12526

Определение ускорения свободного падения. Ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли

Лабораторная работа

Физика

Определение ускорения свободного падения Цель работы: Изучить графический метод обработки результатов измерений. Изучить метод наименьших квадратов. Определить ускорение свободного падения при помощи математического маятника.

Русский

2015-01-17

408 KB

70 чел.

Лабораторная   работа  № 2

Определение ускорения

свободного падения

Цель работы: Изучить графический метод обработки результатов измерений. Изучить метод наименьших квадратов. Определить ускорение свободного падения при помощи математического маятника.

Ход работы.

1. Теоретическая часть.

1.1 Графическая обработка результатов измерений 

Графическая обработка результатов измерений отличается простотой и наглядностью. Этим методом можно решать самые разнообразные задачи: находить значение физических величин. Также можно выявлять характер функциональной зависимости между величинами, обнаруживать и устанавливать условия  различных особенностей (максимумов, минимумов, точек перегиба и т.п.), находить значения различных параметров, сопоставлять экспериментальные данные с теорией, выполнять дифференцирование и интегрирование, решать уравнения и т.д..

При построении графиков следует руководствоваться рядом правил.

1. Графики строят на бумаге с миллиметровой или другой специальной сеткой. Размер бумаги определяется интервалом изменения измеряемых величин и выбранным для них масштабом.

2. По оси ординат (вертикальной) откладывают значения функции, по оси абсцисс (горизонтальной) – аргумента.

3. На каждой из осей приводят только тот интервал изменения соответствующей физической величины, в котором велось исследование. Совсем не обязательно, чтобы на графике помещалось начало координат, т.е. точка (0;0).

4. Масштаб графика определяется  абсолютными погрешностями тех величин, которые откладываются по осям. Погрешность каждой из величин должна представляться в выбранном масштабе отрезком, не меньшим размера ячейки миллиметровой сетки. Масштабы по каждой  из осей выбираются независимо друг от друга. Оптимальным по точности для обеих осей одновременно будет наклон основной части кривой под углом, близким к 45°.

5. Шкалы на осях наносят, как правило, в виде равноотстоящих чисел. Выбор этих чисел и их густота в каждом конкретном случае должны обеспечивать наибольшую простоту и удобство нанесения и чтения данных.

6. На осях  указывают обозначения и через запятую единицы измерения соответствующих величин. Обозначения не следует наносить на поле, отведенном для графика.

В случае очень больших либо очень малых величин, множители, определяющие порядок чисел, записываются при обозначении.

7. Точки на график наносят аккуратно, остро заточенным карандашом и обводят кружком. Если на одном листе строятся несколько графиков, то для обозначения точек, принадлежащим различным кривым, используются различные фигуры: треугольники, квадратики и т.д.

8. Кривую по нанесенным точкам проводят карандашом плавно, без изломов и перегибов, так, чтобы она располагалась как можно ближе ко всем точкам, и по обе стороны от нее оказывалось приблизительно равное их количество.

Не следует проводить кривую через каждую точку. При этом получается ломаная линия, не соответствующая рассматриваемому физическому процессу. Отклонение точек от кривой отражает наличие погрешностей.

Любая особенность (максимум, минимум, перегиб, излом, резкое изменение кривизны) на графике должна быть тщательно обоснована и объяснена. В соответствующей области необходима большая густота экспериментальных точек.

Кривую по экспериментальным точкам проводят от руки, а прямую – с помощью линейки. Линия не должна маскировать экспериментальных точек, поэтому она внутри фигурок, окружающих точки, не проводится.

Если на одном графике строится несколько кривых, то для их различения используют либо различные линии, либо различные цвета, вводя также соответствующие дополнительные буквенные или цифровые обозначения.

9. Для того, чтобы график наиболее четко отражал характерные особенности изучаемой зависимости, бывает удобно использовать функциональные масштабы: по осям откладывать не сами измеряемые величины, а их функции. Вид функций в каждом конкретном случае подбирается в соответствии с поставленной задачей, в большинстве случаев так, чтобы график представлял собой прямую линию.

Наиболее используемыми являются логарифмические масштабы, позволяющие упрощать графики, соответствующие степенной и экспоненциальной зависимости.

10. Погрешности измерения на графике на графике изображаются крестиками, размеры которых вдоль каждой из осей в соответствующих масштабах определяют величину этих погрешностей.

11. Графики подписывают. В подписи указывают основное содержание графика, объясняют все приведенные кривые.

Замечание. График позволяет легко и быстро обнаружить грубые ошибки (промахи). Поэтому первичную графическую обработку данных рекомендуется выполнять непосредственно во время эксперимента или, по крайней мере,  до разбора установки и ухода из лаборатории. Предполагаемый  ошибочный результат немедленно перепроверяется, выясняются причины, приведшие к его появлению. Если ошибка обнаружена слишком поздно, когда проверка уже невозможна, то такой результат на график всё равно наносится, но не учитывается во время обработки.

Рис.1 Примерный график зависимости величины х от t.

1.2 Оценка погрешности при графической обработке результатов измерений.

Выберем оси координат таким образом, чтобы экспериментальная прямая проходила через начало координат. Напомним, что точка (0;0) не обязательно должна являться началом координат. Обозначения величин по осям могут начинаться с любого значения, удобного для построения графика. Отметим, что соответствующим подбором функционального масштаба, экспериментальная кривая может быть приведена к виду прямой.  Исключение составляют графики, имеющие резкие максимумы, минимумы, пики, точки перегиба. Исследование явлений, описываемых такими сложными графиками, выходит за рамки курса лабораторного практикума для специальностей нефизического профиля.

Рассмотрим график, построенный по экспериментальным точкам, и имеющий вид прямой, проходящей через начало координат.

Прямая описывается формулой

y=ax.      (1)

Пусть графическим методом находится параметр a. Для этого используем формулу:

   (2)

где унач и укон, а также хнач и хкон определяются из экспериментального графика для его центральной части. Другими словами, параметр a определяется как тангенс угла наклона экспериментальной прямой к оси абсцисс.

Рис. 2 Правила расчета погрешностей

Для оценки случайной погрешности в определении данного параметра, прямую поворачивают вокруг начала координат так, чтобы она, проходя через одну или несколько экспериментальных точек, имела минимальный угловой коэффициент a1. При этом ниже повернутой прямой не будет ни одной экспериментальной точки. Затем, аналогично поворачивают прямую так, чтобы она имела максимальный угловой коэффициент a2. Определяют модули разностей  и . Наибольшую их этих величин принимают за предельную абсолютную случайную погрешность . Относительную случайную погрешность определяют по формуле

    (3)

Инструментальную погрешность, погрешность отсчета и вычисления рассчитывают так же, как при косвенных измерениях. Кроме перечисленных погрешностей, при графическом методе обработки результатов добавляется еще одна – погрешность графической обработки. Она связана с невозможностью абсолютно точного построения графика и снятия с него отсчетов. При правильно выбранном масштабе погрешность Δхг для каждой из откладываемых по осям величин может составлять значение, соответствующее 2-3 мм миллиметровой бумаги, на которой построен график. При этом относительная погрешность определяется формулой

    (4)

Полная относительная погрешность определяется как сумма всех частных погрешностей (случайной, инструментальной, отсчета, вычисления, графической):

  (5)

Вычисления истинного значения измеряемой величины и ее погрешности выполняются под графиком. Результат измерений записывается стандартным образом.

1.3 Метод наименьших квадратов

В экспериментальных исследованиях линейные функциональные зависимости встречаются довольно часто. Примерами могут служить зависимости: силы упругости от деформации (закон Гука Fу = -kx), силы тока в проводнике от напряжения (закон Ома I = U/R), кинетической энергии фотоэлектронов от частоты падающего излучения (закон Эйнштейна E = h - A) и др. Кроме того, с помощью замены переменных практически любую зависимость можно свести к линейной вида

y = ax + b,    (6)

где a и b - некоторые подлежащие определению параметры. В частном случае параметр b может быть равен нулю (величины y и x прямо пропорциональны друг другу). Тогда соотношение (6) примет вид

y = ax     (7)

В обоих случаях при обработке результатов измерений можно использовать простой и наглядный графический метод. Однако он не отличается высокой точностью, что связано с дополнительными погрешностями при нанесении точек, проведении прямой “на глаз” и снятии отсчетов с графика. Точность можно повысить, если результаты измерений обработать аналитически, используя метод наименьших квадратов. Рассмотрим его применение для простой зависимости (7).

Пусть некоторая величина y прямо пропорциональна величине х, т.е. y = ax. Экспериментально независимыми способами измерен ряд значений xi, i = 1, 2, ..., n, одной величины и соответствующие им значения yi другой величины. При графической обработке результатов измерений полученные данные по соответствующим правилам изображаются в виде точек (рис. 1п). Дальнейшая задача сводится к подбору такого угла наклона α проводимой прямой, при котором она располагалась бы возможно ближе ко всем точкам и по обе ее стороны оказывалось бы приблизительно равное их количество. Понятно, что выполнение подобной операции “на глаз” не может обеспечить высокую точность. Более точное математическое правило проведения прямой линии заключается в нахождении такого значения параметра а, при котором сумма квадратов отклонений всех экспериментальных точек от линии графика была бы наименьшей.

Обычно случайные погрешности в определении аргумента х незначительны (как правило, в ходе эксперимента значения xi задаются и устанавливаются на приборах самим экспериментатором). Поэтому отклонения экспериментальных точек от прямой, т.е. случайные погрешности yi, будут равны разностям ординат данных точек и соответствующих точек на прямой (см. рис. 1п). Согласно методу наименьших квадратов наилучшей будет та прямая, для которой будет минимальной величина

   (8)

По условию минимума производная от величины S по параметру a должна быть равна нулю:

   (9)

Отсюда наилучшее значение

   (10)

Для оценки абсолютной случайной погрешности измерения вычисляют стандартное отклонение

      (11)

При количестве измерений n10 абсолютную случайную погрешность принимают равной ac = 3a, при n = 5 величина ac = 5a.

Относительная случайная погрешность a,c = ac/a, или в процентах

a,c = (ac/a) ∙100 %.         (12)

Инструментальные и другие погрешности оценивают так же, как и при косвенных измерениях.

1.4 Оформление графиков при помощи средств Excel

Обработка результатов физического эксперимента является сложной задачей. Этот процесс требует не только творческого подхода, связанного с подготовкой к проведению эксперимента и анализом полученных данных, но и является очень трудоемким. При проведении эксперимента и расчете погрешностей необходимо выполнять огромное количество арифметических действий. Однако эти действия достаточно просты, поэтому процесс обработки результатов физического эксперимента может быть автоматизирован. Существует множество профессиональных прикладных пакетов, позволяющих проводить обработку и анализ экспериментальных данных с высокой степенью точности. Однако в рамках физического практикума для студентов инженерно-технических специальностей нет необходимости использовать профессиональные пакеты.

Здесь мы покажем, как может быть использовано стандартное приложение Excel  для построения простейших графиков и их функционального описания.

Последовательность действий следующая.

1. Загружаем Excel. В первой строке записываем значения величины, соответствующей оси абсцисс. То есть, определяем значения аргумента. Во второй строке записываем полученные значения измеряемой физической величины, зависящей от аргумента. Следует обратить внимание на строгое соответствие в записи: под значением аргумента должно располагаться соответствующее значение зависящей от него величины. (Заметим, что значения аргумента и функции можно определять и в столбцах.) Если на одном графике необходимо построить две линии, то в следующей строке записываем данные для построения этой второй линии.

2. Выделяем строки, удерживая левую кнопку мыши и проводя указателем мыши по необходимой области. Затем открываем меню «Вставка», выбираем подменю «Диаграмма». Открывается соответствующее окно для построения диаграммы. Здесь из открывающегося списка выбираем «Точечная», причем тот образец, в котором точки не соединены линиями. Иначе получиться ломаная линия, что не соответствует правилам построения графиков в физике.

3. Нажимаем кнопку «Далее» и определяем диапазон данных, указывая, что данные в стоках или столбцах. Еще раз нажимаем «Далее». Открывается диалоговое окно, в котором можно оформить подписи на осях, скрыть или показать линии сетки, выполнить ряд других действий по оформлению графика.

4. Нажимаем кнопку «Далее» и помещаем диаграмму на выбранный лист, нажимая «Готово».

В полученной диаграмме нажимаем правой кнопкой мыши на одну из точек. Происходит выделение всех точек, принадлежащих этому ряду. Нажимаем правую кнопку мыши. Открывается контекстное меню. Первой позицией в нем идет «Формат рядов данных». Выбираем эту позицию. В открывшемся меню задаем значения погрешностей величин, отложенных по осям абсцисс и ординат. Нажимаем Ок. Затем опять правой кнопкой вызываем контекстное меню и уже выбираем пункт «Добавить линию тренда».

В открывшемся окне выбираем тип линии тренда (линейная). (Ранее мы договорились, что будем работать с линейными функциями, но когда очевидно, что функциональная зависимость другая, то и выбираем подходящий тип линии). Заходим также в окно «Параметры» и устанавливаем там флажок напротив позиции «Показывать уравнение на диаграмме». Нажимаем Ок. Аналогичные действия совершаем для точек второго ряда. В результате получаем картинку, удовлетворяющую большинству (но не всем!) требований к оформлению графиков. Более того, в результате будут получены в явном виде уравнения, описывающие экспериментальные кривые. При построении прямых, компьютер использует метод наименьших квадратов, рассмотренный выше.

5. Возможностей Excel недостаточно, чтобы провести полную обработку данных физического эксперимента. Но, если эксперимент не сложен и высокая точность не требуется, то Excel является приемлемым вариантом. Отметим, что его можно использовать для предварительного анализа результатов эксперимента. При этом формула, определяющая линию тренда (если повезет) может подсказать и гипотезу, на основании которой можно интерпретировать полученные данные.

2. Практическая часть

2.1. Определить ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли, используя метод математического маятника.

Приборы,  материалы и оборудование. Шарик металлический (пластмассовый) на нити,  линейка металлическая (300 мм), секундомер.

2.2 Ход работы

1. Измерить период колебаний математического маятника Т1 для данной его длины . Для этого отвести шарик от положения равновесия на малый угол (не более 30°) и отпустить. Засечь время, в течение которого шарик на нити данной длины совершит 10 колебаний. Полученное значение времени разделить на 10. Учесть, что при этом и приборная погрешность также будет делиться на 10. Измерение периода провести 5 раз для одной и той же длины.

2. Измерить периоды колебаний Т2, Т3, Т4, для различных длин маятника .  Результаты измерений занести в табл. (1). Рассчитать погрешности прямых измерений.

l1=20 см

l2=40 см

l3=60 см

l4=80 см

T1

ΔTп1

ΔTсл1

T2

ΔTп2

ΔTсл2

T3

ΔTп3

ΔTсл3

T4

ΔTп4

ΔTсл4

1

2

3

4

5

Ср.

3. Из формулы математического маятника

      (12)

определить ускорение свободного падения, подставив в нее средние значения величин, полученных при прямом измерении. Вычисления провести для всех четырех значений длин нитей и периодов.

4. Рассчитать погрешность измерений ускорения свободного падения. Для этого вывести формулу для определения погрешности косвенного измерения из формулы (12). Подставить в нее результаты, полученные при проведении прямых измерений.

5. Сравнить относительные погрешности ускорения свободного падения, полученные при разных значениях длины нити. Оценить абсолютные погрешности. Заполнить таблицу (2)

l, см

g м/с2

g

20

40

60

80

6. Построить график зависимости Т(l). Построить график зависимости Т2(l). Используя метод наименьших квадратов, определить значение коэффициента пропорциональность между Т2 и l.

7. Построить графики зависимости Т(l) и Т2(l) используя средства Excel (на одном листе). Полученные данные сравнить с результатами п.6. Сделать вывод.

PAGE  3


X∙10
n, ед. изм

t∙10n, ед. изм

15

5

25

1

3

унач

укон

хкон

хнач

У