12527

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

Лабораторная работа

Физика

Тема: ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА. Цель: Изучение законов динамики вращательного движения твердого тела; Определение момента силы трения. Теория Твердыми телами в механике называются такие тела для которых мы можем пренебречь их деформац...

Русский

2013-04-30

325 KB

22 чел.

Тема: ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

 Цель: Изучение законов динамики вращательного движения твердого тела;

Определение момента силы трения.

Теория

Твердыми телами в механике называются такие тела, для которых мы можем пренебречь их деформациями и, следовательно, расстояния между частицами остаются неизменными.

Рассмотрим вращательное движение твердого тела относительно неподвижной и проходящей через него оси. Разобьем это тело на множество элементарных объемов, масса каждого из которых равна  и радиус вращения . Кинетическая энергия i – го элемента равна

.      (1)

Кинетические энергии различных элементов будут разными, т.к. различны их линейные скорости. Чтобы рассчитать полную энергию вращательного движения твердого тела, необходимо просуммировать энергии всех его элементов:

    (2)

или

    (3)

т.к. линейная скорость вращения связана с угловой формулой

Поскольку угловая скорость  одинакова для всех элементов тела, ее можно вынести за знак суммы:

     (4)

Величина  называется моментом инерции твердого тела, а  - моментом инерции одного элемента, размерами которого можно пренебречь по сравнению с его радиусом вращения. Момент инерции тела равен сумме моментов инерций элементов, составляющих это тело

    (5)

Тогда формула для кинетической энергии вращательного движения твердого тела принимает вид

      (6)

Момент инерции не зависит от скорости вращения тела и характеризует инертность тела при вращательном движении: чем больше I, тем большую энергию надо затратить для достижения заданной скорости (это следует из формулы (6) ). Значение момента инерции определяется не только его массой, но и ее распределением относительно оси вращения. Для тонкостенного полого цилиндра, такого, что его толщина много меньше его радиуса, момент инерции, согласно (5), будет равен:

    (7)

Здесь радиус цилиндра вынесен за знак суммы, т.к. радиусы всех элементов одинаковы, а сумма их масс равна массе цилиндра. Заменив малые конечные элементы тела бесконечно малыми, величину момента инерции можно рассчитать по формуле

,      (8) где  - масса материальной точки тела.

В качестве примера рассчитаем момент инерции сплошного цилиндра высотой h относительно его геометрической оси. Для этого разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r . Так как радиусы точек бесконечно тонкого цилиндра разны между собой, то его момент инерции можно рассчитать по формуле (7):

,      (9)

где dm – масса всего элементарного цилиндра. Выразим массу полого элементарного цилиндра через его объем dV и плотность

.    (10)

Следовательно, момент инерции элементарного цилиндра равен:

,     (11)

а всего цилиндра:

,    (12)

где R – радиус цилиндра. Произведя интегрирование и подставив пределы, получим:

     (13)

Но  – объем цилиндра, а его масса .

Тогда его момент инерции равен

.      (14)

Без расчета приведем формулы моментов инерции относительно оси, проходящей через центр масс для шара:

     (15)

и для стержня относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно его оси:

,      (16)

где l – длина стержня; R - радиус шара; m – массы этих тел.

                                                                                    

                                                                                                          τ       

                                                                 

Рис.

Для расчета момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр его масс, нужно воспользоваться теоремой Штейнера, которая формулируется следующим образом: Момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции  относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями

.      (17)

Если к телу, закрепленному на оси 0, приложена внешняя сила (рис.1), то работу по перемещению тела по круговой траектории совершает только ее тангенциальная составляющая, равная:

     (18)

Работа по перемещению точки на элемент dl круговой орбиты, равна:

      (19)

Элемент При небольших углах поворота (r – радиус-вектор элемента тела). Тогда формула (19) с учетом (18) записывается следующим образом:

    (20)

Выражение  называется моментом силы:

    (21)

или

,       (22)

где  называется плечом силы .

Тогда работа запишется как

.       (23)

Эта работа затрачивается на изменение кинетической энергии вращения:

.     (24)

Если, то после дифференцирования правой части получим

или, так как

,     (25)

где  – угловое ускорение.

Выражение (25) называется основным законом динамики вращательного движения. Сопоставим формулы динамики движения точки и твердого тела и их кинетических энергий:

Точка F=ma

Вращ. Тело

Динамика движения точки или поступательного движения твердого тела полностью определяется приложенной силой и массой как мерой их инертности. При вращательном движении твердого тела динамика движения определяется не силой как таковой, а ее моментом, инертность – не только массой, а ее распределением относительно оси вращения. Тело не приобретает углового ускорения, если сила приложена, но ее момент будет равен нулю.

Методика выполнения работы

Рассмотрим динамику движения системы, состоящей из груза массой m, подвешенного на нити к вращательному телу, состоящего из диска массой , четырех стержней массой . каждый и четырех грузов массой  (рис.2). Нить, на которой подвешена гирька m, намотана на диск. Согласно второму закону Ньютона составим уравнение поступательного движения груза m:

     (26)

или в скалярном виде

     (27)

Откуда

,      (28)

где T – сила натяжения нити. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения (25), момент силы Т , под действием которой система тел , ,  совершает вращательное движение, равен произведению момента инерции I этой системы на ее угловое ускорение :

или

,       (29)

где R - плечо этой силы, равное радиусу диска.

Выразим силу натяжения нити из (29)

      (30)

и приравняем правые части (28) и (30)

     (31)

Линейное ускорение связано с угловым следующим соотношением , следовательно:

.     (32)

Откуда ускорение груза m равно

      (33)

без учета сил трения в блоке.

рис.

С учетом момента сил трения уравнение динамики вращения записывается следующим образом:

,    (34)

где  – линейное ускорение при действии сил трения;  – момент силы трения. Вычитая уравнение (34) из уравнения (29),

;   (35)

Ускорение a можно рассчитать по формуле (34). Ускорение гирьки с учетом сил трения можно рассчитать из формулы для равноускоренного движения, измерив пройденный путь S и время t:

      (36)

Зная значения  и , по формуле можно определить момент сил трения. Для расчетов необходимо знать величину момента инерции системы вращающихся тел, который будет равен сумме моментов инерции диска, стержня и грузов.

Момент инерции диска согласно (14) равен

.       (37)

Момент инерции каждого из стержней (рис. 4) относительно оси 0 согласно (16) и теореме Штейнера равен

,  (38)

где  – расстояние от центра масс стержня до оси вращения 0; l – длина стержня;  – его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.

Аналогично рассчитываются моменты инерции грузов

,   (39)

где h – расстояние от центра масс груза до оси вращения 0; d – длина груза;  - момент инерции груза относительно оси, проходящей через его центр масс. Сложив моменты инерции всех тел, получим формулу для вычисления момента инерции всей системы:

      (40)

Задание

1. По формулам (40) и (33) рассчитать момент инерции системы и ускорение груза m для расстояния м.

2. Для этого же расстояния измерить время падения груза с заданной высоты. По формуле (36) рассчитать ускорение груза ,  в присутствии сил трения.

3. По формуле (35) рассчитать момент силы трения.

4. Рассчитать погрешность измерений момента силы трения.

, м

I, кг

Учебно-исследовательская работа:

Исследуйте влияние (зависимость) массы опускаемого груза, а также массы и размещения грузов на стержне на погрешность эксперимента.

Контрольные вопросы.

  1.  Что понимают под твердым телом?
  2.  Что называют моментом силы относительно оси, плечом силы?
  3.  Какие физические величины служат основной динамичной характеристикой тела, которое вращается?
  4.  От чего зависит (не зависит) момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении?
  5.  Что называют угловой скоростью движения точки по окружности?
  6.  Что называют угловым ускорением?
  7.  Что называют моментом инерции тел? Как измеряют момент инерции тел сложной формы?

Литература:

1. Трофимова Т.И. «Физика в таблицах и формулах» - Высшее образование, М., 2004 – 431с.

2. Александров Н.В., Яшкин А.Я. «Курс общей физики. Механика.» - Просвещение, М., 1978 – 416с.

3. Ционенко Д.А., Качкар Г.В. «Лабораторные работы (практикум) по курсу «Общая физика» для студентов всех специальностей» - Барановичи, 2000.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69734. Перевантаження операцій new і delete 50.5 KB
  Поведінка перевантажених операцій повинна відповідати діям, які виконуються ними за замовчуванням. Для операції new це означає, що вона повинна повертати правильне значення, коректно обробляти запит на виділення пам’яті нульового розміру і породжувати виключення при неможливості...
69735. Віртуальні методи 45 KB
  Це не завжди можливо, оскільки в різний час покажчик може посилатися на об’єкти різних класів ієрархії, і під час компіляції програми конкретний клас може бути невідомий. Можна навести як приклад функцію, параметром якої є покажчик на об’єкт базового класу.
69736. Використання шаблонів класів 32.5 KB
  Щоб створити за допомогою шаблона конкретний об’єкт конкретного класу (цей процес називається інстанціонуванням), при описі об’єкту після імені шаблона в кутових дужках перераховуються його аргументи...
69737. Області значень 44 KB
  Область значень — це інтервал від мінімального до максимального значення, яке може бути представлена в змінній даного типу. В таблиці 1 приведений розмір займаємої пам’яті і області значень змінних для кожного типу. Оскільки змінних типу void не існує, він не включений в цю таблицю.
69738. Програми друку граничних констант 38 KB
  Введених засобів препроцесора і мови цілком достатньо для програми, що виводить на друк (на екран дісплея) значення констант, що визначають в конкретній системі (для конкретного компілятора) межі зміни даних різних типів.
69739. Мультиплікативні операції 26 KB
  Типи першого і другого операндів можуть відрізнятися, при цьому виконуються перетворення операндів за замовчуванням. Типом результату є тип операндів після перетворення.
69740. Пріоритет і порядок виконання 50 KB
  Пріоритет і асоціативність операцій мови Сі впливаяють на порядок групування операндів і обчислення операцій у виразі. Пріоритет операцій суттєвий тільки за наявності декількох операцій, що мають різний приоритет. Вирази з більш пріоритетними операціями обчислюються першими.
69741. Ініціалізація масивів 24.5 KB
  Якщо у визначенні масиву явно вказаний його розмір, то кількість початкових значень не може бути більше кількості елементів в масиві. Якщо кількість початкових значень менше ніж оголошена довжина масиву, то початкові значення отримають тільки перші елементи масиву...
69742. Символьні масиви. Рядковий тип 40 KB
  Крім того, для рядкових масивів допустима операція конкатенації, яку позначають символом +. Вона полягає у формуванні нового символьного масиву, розмір якого дорівнює сумі розмірів масивів-операндів, а значення - це елементи масивів-операторів, розміщені послідовно.