12529

ИЗУЧЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Лабораторная работа

Физика

Тема: ИЗУЧЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Цель: Изучение законов гармонических колебаний; Определение момента инерции физического маятника; Определение ускорения свободного падения . Теория. Гармонический осциллятор. Простейшей механической системо

Русский

2013-04-30

240.5 KB

20 чел.

Тема: ИЗУЧЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

 Цель: Изучение законов гармонических

 колебаний;

Определение момента инерции

физического маятника;

Определение ускорения свободного падения .

 

Теория.

Гармонический осциллятор. Простейшей механической системой, которая может совершать колебания, является грузик, колеблющийся на пружинке. Дифференциальное уравнение, описывающее закон колебаний грузика, встречается во многих разделах физики, техники и других наук. Такое уравнение описывает колебание электрической цепи, камертона, порождающего звуковые волны, колебания электронов в атоме, порождающие световые волны, колебания крыла летящего самолета, многие задачи регулирования, такие, например, как стабилизация температуры в термостате и др.

Рассмотрим колебания тела массой m кг, которое прикреплено к пружинке с жесткостью K н/м и может совершать колебания без трения вдоль горизонтального стержня. Начало координатной оси выберем в точке в точке центра масс грузика, находящегося в положении равновесия. При отклонении грузика от положения равновесия возникает противодействующая растяжению пружины сила, равная, согласно закону Гука, .

Тогда согласно второму закону Ньютона можно записать, что ускорение грузика, умноженное на его массу, равно действующей силе.

     (1)

Приведем уравнение к виду:       (2)

Теперь введем обозначение:.  (3)

Подставим выражение (3) и (2):. (4)

Наша задача теперь найти такую функцию , которая будучи подставленной в уравнение (1), превратит его в тождество. Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (4) будет следующая функция:

,     (5)

Таким образом, из выражения (5) видно, что колебания грузика будут происходить по гармоническому закону. Рассмотрим физический смысл полученного решения (5). Как видно величина отклонения грузика от положения равновесия  описывается функцией косинуса, максимальное значение которого по абсолютной величине равно 1.  Поэтому постоянная является величиной максимального отклонения грузика от положения равновесия и называется амплитудой колебаний. Поскольку косинус является периодической функцией с периодом колебаний , можно определить интервал времени, через который колебание начнет повторяться:

  (6)

Из уравнения (6) легко получить:

.     (7)

Подставив выражение (3) в (7) получим:

.     (8)

Таким образом, мы можем сформулировать определение периода колебаний, как время, в течение которого совершается одно полное колебание.

Каждое колебательное движение характеризуется частотой колебаний – числом колебаний, совершаемых в единицу времени. В системе СИ оно измеряется в герцах (Гц). Единица в 1Гц соответствует одному колебанию, совершаемому в одну секунду. Согласно нашему определению, из формулы (8) мы можем определить частоту колебаний :

.     (9)

Из выражений (7) и (9) определим величину:

,      (10)

Постоянная  называется циклической частотой колебаний и ее смысл можно определить как число колебаний за секунд. Аргумент косинуса (синуса) в выражении (4) (в данном случае ) называется фазой колебаний, а  - начальной фазой колебаний.

Вообще выражение (5) удовлетворяет дифференциальному уравнению (4) при любых значениях  и . Для определенного типа колебаний их значения необходимо выбирать, исходя из начальных условий. Если вначале отклонить грузик от положения равновесия и затем отпустить его, мы получим один тип колебаний; если ударить по грузику, когда он находится в положении равновесия,– другой.

Пусть мы отклонили грузик от положения равновесия на величину  и отпустили его. Это значит, что в начальный момент отклонение и скорость  равны соответственно:

.     (11)

Выделим теперь  и . Поскольку нам понадобится скорость, то для ее нахождения возьмем производную по времени от выражения (5):

.    (12)

Подставим значения  и  в выражения (5) и (12) соответственно:

   (13)

   (14)

Решениями уравнений (13) и (14) относительно  и  будут:

.      (15)

Таким образом, в нашем случае движение гармонического осциллятора будет происходить по следующему закону:

    (16)

Затухающий гармонический осциллятор. В предыдущем пункте мы рассмотрели колебания осциллятора, на который действует только сила упругости пружины. Однако, в реальных условиях, на любую механическую колеблющуюся систему действуют еще и силы трения. Поскольку силы трения являются неконсервативными, то энергия колебаний должна уменьшаться с течением времени. Следствием этого будет уменьшение амплитуды колебаний вплоть до их прекращения. Учесть силы трения трудно. Поскольку они очень сложны. Во многих случаях, при движении тел в воздухе или жидкости с небольшой скоростью, сила вязкого трения пропорциональна скорости и направлена против скорости объекта:

.    (17)

В таком случае второй закон Ньютона можно записать в виде:

.     (18)

Разделим уравнение (18) на  и перенесем все члены в левую часть:

.    (19)

Введем обозначения:

; .     (20)

Здесь  имеет смысл циклической частоты незатухающих колебаний осциллятора.

Подставив (20) в (19), получим :

.    (21)

В том случае, когда силы трения не слишком велики (т.е. выполняется условие), решением дифференциальное уравнения (21) является функция вида:

,   (22)

где .

x

 t

рис. 1

График функции (22) изображен на рис. 1. как видно, эта функция, строго говоря, не является периодической, поскольку все ординаты ее уменьшаются с течением времени. Однако она обладает известного рода «повторяемостью». Ее максимумы, минимумы и нули наступают через равные промежутки времени, равные промежутки времени, равные периоду Т гармонического множителя.

Однако циклическая частота затухающих колебаний меньше частоты незатухающих колебаний , что видно из выражения (22).

Величину обычно называют коэффициентом затухания, а величину произведения коэффициента затухания на период колебаний

     (23)

логарифмическим декрементом затухания. Выясним физический смысл этих величин.

Пусть  есть промежуток времени, в течение которого амплитуда колебании уменьшается в раз (- основание натурального логарифма). Тогда можно записать

;    (24)

; .

Таким образом, коэффициент затухания есть величина, обратная времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в  раз.

На практике в различных разделах физики часто называют постоянной времени, временем релаксации, временем жизни, в соответствии со смыслом, который она несет. За время совершится число колебаний , равное:

.      (25)

Преобразуем выражение (23) с учетом (24) и (25):

    (26)

Из (26) видно, что логарифмический декремент затухания (часто говорят просто декремент) равен обратной величине числа колебаний. Для характеристики колебательных систем часто используют величину, равную

     (27)

и называемую добротностью колебательной системы.

Физический смысл  заключается в том, что при малом затухании она характеризует относительную убыль энергии колебаний  за один период:

.    (28)

Из (28) видно, что убыль энергии затухающих колебаний за цикл обратно пропорциональна добротности.

Физический маятник – абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием собственного веса вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести С . Движение такого маятника будет описываться дифференциальным уравнением, выражающим основной закон динамики вращательного движения

,      (29)

где  – момент инерции маятника;  - циклическая частота колебаний; М – момент силы будет равен весу маятника, приложенного к точке центра тяжести, умноженному на плечо этой силы – расстояние от оси до линии действия силы. Из рис. 2 видно:

,     (30)

где  - масса маятника; - ускорение свободного падения; - угол отклонения маятника от вертикали;  - расстояние от центра тяжести до оси вращения.

Знак минус в формуле (30) показывает, что момент силы всегда стремится вернуть маятник в положение равновесия. Теперь выражение (29), с учетом (30) можно записать:

    (31)

Представляется интересным рассмотреть малые колебания маятника, когда максимальный угол отклонения от его положения равновесия значительно меньше единицы (угол в радианах). Тогда можно положить с хорошей точностью:

.      (32) Если еще ввести обозначение:

,      (34) то формула (31) с учетом (32) и (33) примет вид:

.

Дифференциальное уравнение (34) является аналогичным уравнению (4) и поэтому решением его будет функция вида (5):

.      (35)

Теперь по формуле (7) с учетом (33) легко найти выражение для вычисления периода колебаний физического маятника:

.     (36)

Математический маятник. Математическим маятником называется система, состоящая из груза малого размера, подвешенного на длинной нерастяжимой нити. В таком случае, грузик массой можно считать материальной точкой, а расстояние от точки подвеса до центра тяжести будет равно длине нити . Следовательно, момент инерции грузика относительно точки подвеса равен

.      (37)

Теперь период колебаний математического маятника легко вычислить по формуле (36) с учетом (37):

     (38)

Как видно из (38), период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения свободного падения тел независимо от массы груза.

Приведенная длина физического маятника. Приведенной длиной физического маятника называется длина математического маятника с таким же периодом колебаний. Из формулы (36) видно, что период физического маятника зависит от трех параметров: массы, момента инерции и расстояния от оси до центра тяжести, а из формулы (38) для математического – только от его длины. Поэтому определение физического маятника через его приведенную длину является удобным для практики.

Приравняв формулы (36) и (38), легко получить выражение для вычисления приведенной длины математического маятника:

.      (39)

Формулу (39) можно представить в более наглядном виде, если с помощью теоремы Штейнера выразить момент инерции маятника в следующем виде:

,      (40) где -момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Подставив (40) в (39), получим:

.      (41)

Точка , находящаяся на расстоянии  от оси вращения на прямой, проходящей через центр тяжести, называется центром качания физического маятника. Эта точка обладает одним важным свойством: при переносе точки подвеса в точку  (рис. 2)точка становится центром качания, а период колебаний маятника не изменяется.

Докажем это утверждение:

При переносе точки подвеса в точку  расстояние от точки  до центра тяжести будет равно

,      (42) а новая приведенная длина маятника, согласно (41):

.      (43)

С учетом (41) формула (42) примет вид:

.      (44)

Теперь подставив (44) в (43), получим:

.      (45)

Из сравнения формул (41) и (45) видно, что при переносе центра качания в точку подвеса приведенная длина физического маятника не изменяется.

Методика измерений.

Измерение момента инерции физического маятника/ как видно из формулы (38), период колебаний физического маятника зависит от его момента инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса I, массы маятника m и расстояния от точки подвеса до центра масс l .

Величину l легко определить, если положить маятник на призму так, что он будет находиться в равновесии, а затем измерить расстояние от точки его опоры на призму до точки подвеса маятника. Затем, поместив маятник в установку, раскачать его до небольшой амплитуды (5-10º) и измерить период колебаний. После этого момент инерции I легко вычислить по формуле, полученной из (36):

,      (46)

Измерение ускорения свободного падения тел с помощью оборотного маятника. Оборотный маятник представляет собой физический маятник, имеющий две оси вращения, вторая из которых находится в точке центра качания. Известно, что расстояние между центром качания и точкой подвеса равно приведенной длине физического маятника и период колебаний маятника не изменяется при смене осей вращения.

Справедливо и обратное утверждение, если при смене осей вращения период колебаний маятника не изменяется, можно считать, что расстояние между ними равно приведенной длине. Измерив это расстояние, легко вычислить из формулы (38) ускорение свободного падения тел:

     (47)

Задание 1

Измерить момент инерции физического маятника для трех положений груза на стержне маятника. Выбирать положения груза на стержне примерно в равноудаленных друг от друга точках на всей длине стержня.

Задание 2

Для определения ускорения свободного падения тел:

измерить период колебаний маятника не менее 3 раз;

по формуле (47) вычислить ускорение свободного падения тел.

l, м

Δl, м

I, кг·м2

I, кг·м2

ε, %

 Контрольные вопросы

1. По какому закону происходят механические колебания?

2. Что называется физическим маятником? Чему равен период колебаний физического маятника?

3. Дайте определение математического маятника. Чему равен период колебаний математического маятника?

4. Что называется приведенной длиной физического маятника?

5. Чему равен момент инерции физического маятника?

Литература:

1. Трофимова Т.И. «Физика в таблицах и формулах» - Высшее образование, М., 2004 – 431с.

2. Александров Н.В., Яшкин А.Я. «Курс общей физики. Механика.» - Просвещение, М., 1978 – 416с.

3. Ционенко Д.А., Качкар Г.В. «Лабораторные работы (практикум) по курсу «Общая физика» для студентов всех специальностей» - Барановичи, 2000.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27433. Особенности проблемного обучения изобразительному искусству в школе. Понятие проблемы и проблемной ситуации в обучении искусству. Специфика организации, проектирования/ моделирования проблемной ситуации на уроках ИЗО 33.5 KB
  В программе она формулируется как задача формирования художественнотворческой активности школьника. Познавательная усвоение способов постижения и организации художественного образа. Основные типы проблем: познание способов методов художественного творчества усвоение способов создания художественного образа специфики языка искусства усвоение приемов изобразительной деятельности. Первый тип проблем объединяет проблемы художественного образного обобщения фактов явлений объектов предметов действительности через художественный замысел.
27434. Урок изобразительного искусства как форма организации и управления художественно-познавательной и творческой деятельностью учащихся. Особенности структуры и оргформ в контексте целей и содержания различных концепций и программ обучения искусству 31.5 KB
  Урок изобразительного искусства как форма организации и управления художественнопознавательной и творческой деятельностью учащихся. Эта разница особенности различных подходов к художественному образованию проявляется и на уроке т. Эти особенности проявляются и в построении структуре урока его проектировании моделировании оценке результатов. Понимание этапов процесса обучения структуры урока зависит от типа обучения: традиционное развивающее проблемное программированное и т.
27435. Традиционная и инновационная структуры урока искусства. Урок-трансляция и урок содержательной коммуникации 33 KB
  Традиционная и инновационная структуры урока искусства. Программа обучения задаётся через предметность содержания класснопоурочную систему тематическое планирование планирование каждого урока. Под структурой урока следует понимать соотношение элементов этапов звеньев урока в их определенной последовательности и взаимосвязи между собой. Элементами урока являются: организационный момент; проверка знаний предыдущего учебного материала логически связанного с содержанием данного урока; переход к новому материалу; изучение нового материала;...
27436. Особенности авторского урока. Педагогическая драматургия авторского урока искусства; элементы театрализации. Сценарий урока: замысел, сюжет, режиссура, «сценография», «персонажи» и «роли», эстетические эффекты и последствия 32 KB
  Особенности авторского урока. Педагогическая драматургия авторского урока искусства; элементы театрализации. Сценарий урока: замысел сюжет режиссура сценография персонажи и роли эстетические эффекты и последствия. можно говорить об авторском характере урока искусства.
27437. Методика организации и проведения анализа и оценки детских работ. Критерии оценки. Специфика диагностики уровня общего и художественного развития учащихся 37 KB
  Специфика диагностики уровня общего и художественного развития учащихся. Программа Изобразительное искусство и художественный труд определяет главной задачей развитие у учащихся способности сопереживать понимать осознавать свои переживания в контексте истории культуры. На основании вышеизложенного учителям изобразительного искусства нужно определять систему оценивания художественнотворческих достижений учащихся в условиях современного обучения из сущности следующих составляющих: 1 что оценивать что именно подлежит оцениванию в...
27438. Психология изобразительной деятельности и восприятия искусства учащихся различных возрастных групп. Их учет в процессе обучения искусству 31.5 KB
  Когда от поверхности предмета отражаются главным образом например красные лучи солнечного спектра а другие цвета поглощаются или отражаются в меньшем количестве мы видим предмет красным. Белые серые и черные цвета называются ахроматическими а имеющие цветовой оттенок хроматическими. Хроматические цвета отличаются по трем признакам или свойствам: цветовым тоном оттенком светлотой и насыщенностью интенсивностью силой цвета. Цветовой тон обозначается названием цвета красный зеленый желтый синий и др.
27439. Методика обучения учащихся восприятию, анализу и эстетической оценке произведений/явлений искусства и окружающей действительности. Организация связи и взаимодействия восприятия/анализа произведений искусства с практической изобразительной деятельностью уч 27.5 KB
  Научить видеть прекрасное вокруг себя в окружающей действительности призвана система эстетического воспитания. Для того чтобы эта система воздействовала на ребенка наиболее эффективно и достигала поставленной цели Б.Неменский выделил следующую ее особенность: Система эстетического воспитания должна быть прежде всего единой объединяющей все предметы все внеклассные занятия всю общественную жизнь школьника где каждый предмет каждый вид занятия имеет свою четкую задачу в деле формирования эстетической культуры и личности школьника.
27440. Язык искусства. Понятие композиции. Композиция как общий способ создания художественного образа в различных видах и жанрах искусства. Методика обучения композиции на уроках ИЗО 30.5 KB
  Язык искусства. Композиция как общий способ создания художественного образа в различных видах и жанрах искусства. ЯЗЫК ИСКУССТВА одно из важнейших проблемных полей современной философии искусства конституированное в контексте характерного для постмодерна радикального поворота от центральной для классической традиции проблематики творчества к актуализирующейся в современной философии искусства проблематике восприятия художественного произведения. Основная ценность языка искусства состоит в его безмерной силе исключительной власти.
27441. Пространство картины и пространство в картине. Метдика обучения различным способам изображения пространства и объема на плоскости 43.5 KB
  Пространство картины и пространство в картине. Пространство одна из форм наряду со временем существования бесконечного и постоянно развивающегося мира. Пространство характеризуется его протяженностью объемом структурой которые понимаются по разному в зависимости от концепций складывающихся в точных науках физике математике философии религии искусстве. Пространство в картине это и место действия и существенный компонент самого действия.