12529

ИЗУЧЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Лабораторная работа

Физика

Тема: ИЗУЧЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Цель: Изучение законов гармонических колебаний; Определение момента инерции физического маятника; Определение ускорения свободного падения . Теория. Гармонический осциллятор. Простейшей механической системо

Русский

2013-04-30

240.5 KB

20 чел.

Тема: ИЗУЧЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

 Цель: Изучение законов гармонических

 колебаний;

Определение момента инерции

физического маятника;

Определение ускорения свободного падения .

 

Теория.

Гармонический осциллятор. Простейшей механической системой, которая может совершать колебания, является грузик, колеблющийся на пружинке. Дифференциальное уравнение, описывающее закон колебаний грузика, встречается во многих разделах физики, техники и других наук. Такое уравнение описывает колебание электрической цепи, камертона, порождающего звуковые волны, колебания электронов в атоме, порождающие световые волны, колебания крыла летящего самолета, многие задачи регулирования, такие, например, как стабилизация температуры в термостате и др.

Рассмотрим колебания тела массой m кг, которое прикреплено к пружинке с жесткостью K н/м и может совершать колебания без трения вдоль горизонтального стержня. Начало координатной оси выберем в точке в точке центра масс грузика, находящегося в положении равновесия. При отклонении грузика от положения равновесия возникает противодействующая растяжению пружины сила, равная, согласно закону Гука, .

Тогда согласно второму закону Ньютона можно записать, что ускорение грузика, умноженное на его массу, равно действующей силе.

     (1)

Приведем уравнение к виду:       (2)

Теперь введем обозначение:.  (3)

Подставим выражение (3) и (2):. (4)

Наша задача теперь найти такую функцию , которая будучи подставленной в уравнение (1), превратит его в тождество. Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (4) будет следующая функция:

,     (5)

Таким образом, из выражения (5) видно, что колебания грузика будут происходить по гармоническому закону. Рассмотрим физический смысл полученного решения (5). Как видно величина отклонения грузика от положения равновесия  описывается функцией косинуса, максимальное значение которого по абсолютной величине равно 1.  Поэтому постоянная является величиной максимального отклонения грузика от положения равновесия и называется амплитудой колебаний. Поскольку косинус является периодической функцией с периодом колебаний , можно определить интервал времени, через который колебание начнет повторяться:

  (6)

Из уравнения (6) легко получить:

.     (7)

Подставив выражение (3) в (7) получим:

.     (8)

Таким образом, мы можем сформулировать определение периода колебаний, как время, в течение которого совершается одно полное колебание.

Каждое колебательное движение характеризуется частотой колебаний – числом колебаний, совершаемых в единицу времени. В системе СИ оно измеряется в герцах (Гц). Единица в 1Гц соответствует одному колебанию, совершаемому в одну секунду. Согласно нашему определению, из формулы (8) мы можем определить частоту колебаний :

.     (9)

Из выражений (7) и (9) определим величину:

,      (10)

Постоянная  называется циклической частотой колебаний и ее смысл можно определить как число колебаний за секунд. Аргумент косинуса (синуса) в выражении (4) (в данном случае ) называется фазой колебаний, а  - начальной фазой колебаний.

Вообще выражение (5) удовлетворяет дифференциальному уравнению (4) при любых значениях  и . Для определенного типа колебаний их значения необходимо выбирать, исходя из начальных условий. Если вначале отклонить грузик от положения равновесия и затем отпустить его, мы получим один тип колебаний; если ударить по грузику, когда он находится в положении равновесия,– другой.

Пусть мы отклонили грузик от положения равновесия на величину  и отпустили его. Это значит, что в начальный момент отклонение и скорость  равны соответственно:

.     (11)

Выделим теперь  и . Поскольку нам понадобится скорость, то для ее нахождения возьмем производную по времени от выражения (5):

.    (12)

Подставим значения  и  в выражения (5) и (12) соответственно:

   (13)

   (14)

Решениями уравнений (13) и (14) относительно  и  будут:

.      (15)

Таким образом, в нашем случае движение гармонического осциллятора будет происходить по следующему закону:

    (16)

Затухающий гармонический осциллятор. В предыдущем пункте мы рассмотрели колебания осциллятора, на который действует только сила упругости пружины. Однако, в реальных условиях, на любую механическую колеблющуюся систему действуют еще и силы трения. Поскольку силы трения являются неконсервативными, то энергия колебаний должна уменьшаться с течением времени. Следствием этого будет уменьшение амплитуды колебаний вплоть до их прекращения. Учесть силы трения трудно. Поскольку они очень сложны. Во многих случаях, при движении тел в воздухе или жидкости с небольшой скоростью, сила вязкого трения пропорциональна скорости и направлена против скорости объекта:

.    (17)

В таком случае второй закон Ньютона можно записать в виде:

.     (18)

Разделим уравнение (18) на  и перенесем все члены в левую часть:

.    (19)

Введем обозначения:

; .     (20)

Здесь  имеет смысл циклической частоты незатухающих колебаний осциллятора.

Подставив (20) в (19), получим :

.    (21)

В том случае, когда силы трения не слишком велики (т.е. выполняется условие), решением дифференциальное уравнения (21) является функция вида:

,   (22)

где .

x

 t

рис. 1

График функции (22) изображен на рис. 1. как видно, эта функция, строго говоря, не является периодической, поскольку все ординаты ее уменьшаются с течением времени. Однако она обладает известного рода «повторяемостью». Ее максимумы, минимумы и нули наступают через равные промежутки времени, равные промежутки времени, равные периоду Т гармонического множителя.

Однако циклическая частота затухающих колебаний меньше частоты незатухающих колебаний , что видно из выражения (22).

Величину обычно называют коэффициентом затухания, а величину произведения коэффициента затухания на период колебаний

     (23)

логарифмическим декрементом затухания. Выясним физический смысл этих величин.

Пусть  есть промежуток времени, в течение которого амплитуда колебании уменьшается в раз (- основание натурального логарифма). Тогда можно записать

;    (24)

; .

Таким образом, коэффициент затухания есть величина, обратная времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в  раз.

На практике в различных разделах физики часто называют постоянной времени, временем релаксации, временем жизни, в соответствии со смыслом, который она несет. За время совершится число колебаний , равное:

.      (25)

Преобразуем выражение (23) с учетом (24) и (25):

    (26)

Из (26) видно, что логарифмический декремент затухания (часто говорят просто декремент) равен обратной величине числа колебаний. Для характеристики колебательных систем часто используют величину, равную

     (27)

и называемую добротностью колебательной системы.

Физический смысл  заключается в том, что при малом затухании она характеризует относительную убыль энергии колебаний  за один период:

.    (28)

Из (28) видно, что убыль энергии затухающих колебаний за цикл обратно пропорциональна добротности.

Физический маятник – абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием собственного веса вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести С . Движение такого маятника будет описываться дифференциальным уравнением, выражающим основной закон динамики вращательного движения

,      (29)

где  – момент инерции маятника;  - циклическая частота колебаний; М – момент силы будет равен весу маятника, приложенного к точке центра тяжести, умноженному на плечо этой силы – расстояние от оси до линии действия силы. Из рис. 2 видно:

,     (30)

где  - масса маятника; - ускорение свободного падения; - угол отклонения маятника от вертикали;  - расстояние от центра тяжести до оси вращения.

Знак минус в формуле (30) показывает, что момент силы всегда стремится вернуть маятник в положение равновесия. Теперь выражение (29), с учетом (30) можно записать:

    (31)

Представляется интересным рассмотреть малые колебания маятника, когда максимальный угол отклонения от его положения равновесия значительно меньше единицы (угол в радианах). Тогда можно положить с хорошей точностью:

.      (32) Если еще ввести обозначение:

,      (34) то формула (31) с учетом (32) и (33) примет вид:

.

Дифференциальное уравнение (34) является аналогичным уравнению (4) и поэтому решением его будет функция вида (5):

.      (35)

Теперь по формуле (7) с учетом (33) легко найти выражение для вычисления периода колебаний физического маятника:

.     (36)

Математический маятник. Математическим маятником называется система, состоящая из груза малого размера, подвешенного на длинной нерастяжимой нити. В таком случае, грузик массой можно считать материальной точкой, а расстояние от точки подвеса до центра тяжести будет равно длине нити . Следовательно, момент инерции грузика относительно точки подвеса равен

.      (37)

Теперь период колебаний математического маятника легко вычислить по формуле (36) с учетом (37):

     (38)

Как видно из (38), период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения свободного падения тел независимо от массы груза.

Приведенная длина физического маятника. Приведенной длиной физического маятника называется длина математического маятника с таким же периодом колебаний. Из формулы (36) видно, что период физического маятника зависит от трех параметров: массы, момента инерции и расстояния от оси до центра тяжести, а из формулы (38) для математического – только от его длины. Поэтому определение физического маятника через его приведенную длину является удобным для практики.

Приравняв формулы (36) и (38), легко получить выражение для вычисления приведенной длины математического маятника:

.      (39)

Формулу (39) можно представить в более наглядном виде, если с помощью теоремы Штейнера выразить момент инерции маятника в следующем виде:

,      (40) где -момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Подставив (40) в (39), получим:

.      (41)

Точка , находящаяся на расстоянии  от оси вращения на прямой, проходящей через центр тяжести, называется центром качания физического маятника. Эта точка обладает одним важным свойством: при переносе точки подвеса в точку  (рис. 2)точка становится центром качания, а период колебаний маятника не изменяется.

Докажем это утверждение:

При переносе точки подвеса в точку  расстояние от точки  до центра тяжести будет равно

,      (42) а новая приведенная длина маятника, согласно (41):

.      (43)

С учетом (41) формула (42) примет вид:

.      (44)

Теперь подставив (44) в (43), получим:

.      (45)

Из сравнения формул (41) и (45) видно, что при переносе центра качания в точку подвеса приведенная длина физического маятника не изменяется.

Методика измерений.

Измерение момента инерции физического маятника/ как видно из формулы (38), период колебаний физического маятника зависит от его момента инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса I, массы маятника m и расстояния от точки подвеса до центра масс l .

Величину l легко определить, если положить маятник на призму так, что он будет находиться в равновесии, а затем измерить расстояние от точки его опоры на призму до точки подвеса маятника. Затем, поместив маятник в установку, раскачать его до небольшой амплитуды (5-10º) и измерить период колебаний. После этого момент инерции I легко вычислить по формуле, полученной из (36):

,      (46)

Измерение ускорения свободного падения тел с помощью оборотного маятника. Оборотный маятник представляет собой физический маятник, имеющий две оси вращения, вторая из которых находится в точке центра качания. Известно, что расстояние между центром качания и точкой подвеса равно приведенной длине физического маятника и период колебаний маятника не изменяется при смене осей вращения.

Справедливо и обратное утверждение, если при смене осей вращения период колебаний маятника не изменяется, можно считать, что расстояние между ними равно приведенной длине. Измерив это расстояние, легко вычислить из формулы (38) ускорение свободного падения тел:

     (47)

Задание 1

Измерить момент инерции физического маятника для трех положений груза на стержне маятника. Выбирать положения груза на стержне примерно в равноудаленных друг от друга точках на всей длине стержня.

Задание 2

Для определения ускорения свободного падения тел:

измерить период колебаний маятника не менее 3 раз;

по формуле (47) вычислить ускорение свободного падения тел.

l, м

Δl, м

I, кг·м2

I, кг·м2

ε, %

 Контрольные вопросы

1. По какому закону происходят механические колебания?

2. Что называется физическим маятником? Чему равен период колебаний физического маятника?

3. Дайте определение математического маятника. Чему равен период колебаний математического маятника?

4. Что называется приведенной длиной физического маятника?

5. Чему равен момент инерции физического маятника?

Литература:

1. Трофимова Т.И. «Физика в таблицах и формулах» - Высшее образование, М., 2004 – 431с.

2. Александров Н.В., Яшкин А.Я. «Курс общей физики. Механика.» - Просвещение, М., 1978 – 416с.

3. Ционенко Д.А., Качкар Г.В. «Лабораторные работы (практикум) по курсу «Общая физика» для студентов всех специальностей» - Барановичи, 2000.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33729. Международное товарищество рабочих 134.79 KB
  Деятельность Маркса и Энгельса в 50-х годах В предвидении нового подъема рабочего движения Маркс и Энгельс приступили к собиранию сил рабочего класса, ослабленных поражениями и преследованиями, и занялись обобщением опыта недавно пройденного революционного пути
33730. Осуществление органами МСУ отдельных государственных полномочий 28 KB
  Порядок наделения органов местного самоуправления отдельными государственными полномочиями: Полномочия органов местного самоуправления установленные федеральными законами и законами субъектов Российской Федерации по вопросам не отнесенным к вопросам местного значения являются отдельными государственными полномочиями передаваемыми для осуществления органам местного самоуправления. Наделение органов местного самоуправления отдельными государственными полномочиями Российской Федерации осуществляется федеральными законами отдельными...
33731. Ответственность органов местного самоуправления и должностных лиц местного самоуправления 36 KB
  Ответственность органов местного самоуправления и должностных лиц местного самоуправления перед государством наступает на основании решения соответствующего суда в случае нарушения ими Конституции Российской Федерации федеральных конституционных законов федеральных законов конституции устава законов субъекта Российской Федерации устава муниципального образования а также в случае ненадлежащего осуществления указанными органами и должностными лицами переданных им отдельных государственных полномочий. В случае если соответствующим судом...
33732. Государственная гражданская служба: понятие, принципы, порядок прохождения 33.5 KB
  Согласно ФЗ N 79 от 27 июля 2004 года О государственной гражданской службе в РФ Государственная гражданская служба Российской Федерации вид государственной службы представляющей собой профессиональную служебную деятельность граждан Российской Федерации на должностях государственной гражданской службы Российской Федерации по обеспечению исполнения полномочий федеральных государственных органов государственных органов субъектов Российской Федерации лиц замещающих государственные должности Российской Федерации и лиц замещающих...
33733. Понятие трудового договора. Сторона трудового договора. Заключение и расторжение трудового договора 22 KB
  Понятие трудового договора. Сторона трудового договора. Заключение и расторжение трудового договора. Трудовому договору посвящена часть третья раздел третий трудового кодекса РФ.
33734. Право собственности: содержание, формы, объекты. Бремы и риск собственника. Основания возникновения и прекращения права собственности. Осуществление права государственной и муниципальной собственности 37.5 KB
  Право собственности: содержание формы объекты. Основания возникновения и прекращения права собственности. Осуществление права государственной и муниципальной собственности. Содержание права собственности Собственнику принадлежат права владения пользования и распоряжения своим имуществом.
33735. Гражданско-правовой договор: понятие, содержание и форма. Виды договоров, порядок заключения, изменения и прекращения гражданско-правовых договоров 91.5 KB
  Граждане и юридические лица свободны в заключении договора. Понуждение к заключению договора не допускается за исключением случаев когда обязанность заключить договор предусмотрена настоящим Кодексом законом или добровольно принятым обязательством. К отношениям сторон по смешанному договору применяются в соответствующих частях правила о договорах элементы которых содержатся в смешанном договоре если иное не вытекает из соглашения сторон или существа смешанного договора. Условия договора определяются по усмотрению сторон.
33736. Понятие и состав административных правонарушений. Административная ответственность и её виды. Производство по делам об административных правонарушениях 48.5 KB
  Понятие и состав административных правонарушений. Производство по делам об административных правонарушениях. Административное правонарушение – противоправное виновное действие бездействие физического или юридического лица за которое Кодексом РФ об административных правонарушениях установлена административная ответственность. Предупреждение административный штраф лишение специального права предоставленного физическому лицу административный арест и дисквалификация могут устанавливаться и применяться только в качестве основных...
33737. Территориальные принципы организации местного самоуправления 36 KB
  Территории с низкой плотностью сельского населения; 2 территории всех поселений за исключением территорий городских округов а также возникающие на территориях с низкой плотностью населения межселенные территории входят в состав муниципальных районов; 3 территорию поселения составляют исторически сложившиеся земли населенных пунктов прилегающие к ним земли общего пользования территории традиционного природопользования населения соответствующего поселения рекреационные земли земли для развития поселения; 4 в состав территории поселения...