12560

Типовые звенья и их характеристики

Лабораторная работа

Физика

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к лабораторной работе по теме: Типовые звенья и их характеристики по дисциплине: Основы теории управления 1 Цель работы: Изучение теоретических сведений об элементарных и типовых звеньях систем автоматического управления. Закрепление те...

Русский

2013-05-01

285.76 KB

375 чел.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторной работе

по теме: Типовые звенья и их характеристики

по дисциплине: Основы теории управления

1 Цель работы:

Изучение теоретических сведений об элементарных и типовых звеньях систем автоматического управления. Закрепление теоретических сведений на практике, построение динамических характеристик в программе Matlab.

2. Структура отчета

Отчет должен содержать:

  1.  титульный лист;
  2.  цель работы, задание;
  3.  краткие теоретические сведения
  4.  решение задачи;
  5.  выводы.


3 Теоретическая часть

3.1 Временные и частотные характеристики звенев и систем

 3.1.1 Временные характеристики звеньев и систем

Динамические свойства линейных звеньев и систем автоматического управления в целом могут быть описаны дифференциальными уравнениями и передаточными функциями, а также с помощью временных и частотных характеристик.

Временная характеристика представляет собой функцию времени,  описывающую выходной сигнал звена (или системы) при подаче на вход звена определенного тестирующего сигнала. Частотные характеристики описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоническим воздействием на входе.

Указанные  характеристики могут быть сняты экспериментально или построены по уравнению звена. Имеется и обратная возможность – по экспериментально полученным характеристикам составить уравнение звена. Кроме того, с помощью этих характеристик можно определить реакцию звена на любое возмущение произвольного вида. Переходные и частотные характеристики однозначно связаны с дифференциальным уравнением звена и его передаточной функцией и наряду с ними являются исчерпывающим описанием динамических свойств  звена.

К числу основных временных характеристик звена или системы относятся переходная функция и функция веса.

Переходная функция звена представляет собой сигнал на выходе звена (реакцию звена), вызванный подачей на его вход  единичного ступенчатого воздействия. Единичное ступенчатое воздействие (единичная ступенчатая функция, функция Хевисайда) – это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным (рисунок 1).

Рисунок 1- Единичное ступенчатое воздействие

Единичное ступенчатое воздействие обозначается  и может быть описано следующим выражением:

                                                        (1)

Переходная функция  обычно обозначается  . Следовательно,  – это выражение  для  при  = .

Наряду с переходной функцией при описании звеньев и систем применяется функция веса, общепринятое обозначение которой  . Эта временная характеристика представляет собой реакцию звена на дельта-функцию (единичную импульсную функцию, иглу Дирака). Дельта-функция, которая обозначается , – это математическая идеализация предельно короткого импульсного сигнала бесконечно большой амплитуды. Математически дельта-функцию можно описать следующим образом:

                                                (2)

При этом согласно определению дельта-функции

.                                                                   (3)

Таким образом, - это  при =.

Поскольку дельта-функция равна производной по времени от единичного ступенчатого воздействия, то и между переходной функцией,  и функцией веса линейных звеньев существует аналогичная связь:

.                                                                                                 (4)

И наоборот

      

Зная переходную и функцию веса, можно определить реакцию звена на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях с помощью следующих формул:

;                                                                    (5)

,                                                                           (6)

где ,  – значения  и   при  t = 0;

Выражения  (5) и (6)  легко получаются друг из друга, являясь вариантами интеграла Дюамеля  или  интеграла свертки. 

У реальных инерционных звеньев и систем h(0)=0, так как реакция на их выходе всегда отстает от входного воздействия.  Поэтому в дальнейшем выражения (5) и (6) приводятся без первого слагаемого.

Временные  характеристики могут быть выражены непосредственно через передаточную функцию звена с помощью преобразований Лапласа.

Поскольку   ,     в случае, когда входное воздействие  (t) представляет собой единичный импульс , и с учетом того, что его изображение по Лапласу , получим следующее выражение для изображения функции веса звена:

w(p) =W(p)                 или                 , т.е.

.                                                    (7)

Таким образом, функция веса  определяется через передаточную функцию по формуле обратного преобразования Лапласа, т.е. является ее оригиналом.

В случае, когда (t) = 1(t), учитывая, что L = 1/p, получаем  следующее выражение для изображения переходной характеристики:

Следовательно, переходная характеристика звена равна:

3.1.2 Частотные характеристики звеньев и систем

При рассмотрении частотных  характеристик считаем, что на входе системы действует гармонический сигнал с амплитудой  и частотой :

.                                                                                             (8)

По окончании переходного процесса на выходе линейной системы будут существовать гармонические колебания с той же частотой, что и у входного сигнала, но в общем случае отличающиеся от  него по амплитуде и фазе, т.е. в установившемся режиме выходная величина звена равна:

,                                                                                  (9)

где  – амплитуда установившихся выходных колебаний;   – фазовый сдвиг между входными и выходными   синусоидальными колебаниями.

При изменении частоты  изменяется, как соотношение между амплитудами входных  и выходных колебаний, так и фазовый сдвиг  между ними. При этом зависимость от частоты отношения амплитуд  называется  амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), т.е.

.

Зависимость величины фазового сдвига от частоты называется  фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

Определив амплитудно- и фазо-частотную характеристики системы, например, получив их экспериментально, можно построить еще одну частотную характеристику –  амплитудно-фазовую (АФЧХ).

Амплитудно-фазовую характеристику, используя  в качестве полярных координат, строят на  комплексной плоскости по следующим правилам. Задаются значением частоты ωi, для которого по графику ФЧХ  определяют величину фазового сдвига φ(ωi) , а по графику АЧХ  – величину  A(ωi).

Рисунок 2 – Примерный вид частотных характеристик инерционной   САУ: а) амплитудно-частотная, б) фазово-частотная

Рисунок 3 – Примерный вид амплитудно-фазовой частотной  характеристики инерционной   САУ


          Из начала координат комплексной плоскости проводится луч под углом
φ(ωi) к положительной действительной полуоси. Угол откладывается  против часовой стрелки, если φ(ωi) > 0, т.е. когда выходной гармонический сигнал опережает входной, и в противоположном направлении, если φ(ωi) < 0 .Из начала координат по этому лучу откладывается отрезок, длина которого в выбранном масштабе равна A(ωi) (рисунок 3).

Каждая точка амплитудно-фазовой частотной характеристики соответствует определенному значению частоты. Значения для конечного количества точек характеристики наносятся вдоль характеристики и указывают направление возрастания частоты ω.

Очевидно, что возможно и решение обратной задачи: по годографу  амплитудно-фазовую частотную характеристику можно построить характеристики и . На рисунке 2 приведен примерный вид этих характеристик для инерционной системы.

Как показано на этих рисунках, у таких звеньев в силу их инерционности амплитудная частотная характеристика по мере увеличения частоты в конце концов спадает до нуля. При этом, чем менее инерционно звено, тем шире его амплитудная частотная характеристика, т.е. тем больше полоса пропускаемых звеном частот, или просто его полоса пропускания.

Теоретически частотная характеристика продолжается до бесконечности, но практически полоса пропускания оценивается значением частоты, при котором отношение амплитуд окончательно становится меньше определенного, достаточно малого конечного значения. Это значение обычно берут равным 0,05 (на этой частоте амплитуда выходных колебаний падает до 5 % амплитуды входных колебаний). Наличие максимума у амплитудной частотной характеристики говорит о резонансных свойствах звена.

Частота, соответствующая максимуму амплитудной характеристики, называется резонансной ().

Фазовая характеристика у обычных инерционных звеньев (рисунок 2, б) отрицательна ((ω)< 0), т.е. выходные колебания отстают по фазе от входных, и это отставание растет с частотой.

Используя символическую форму записи гармонических сигналов xвх(t) и xвых(t), получим аналитические  выражения для рассмотренных характеристик, их зависимость между собой и с передаточной функцией системы.

Символическая запись сигналов (8) и (9):

,                  .

Определим амплитудно-фазовую характеристику системы, как отношение выходного сигнала системы к входному, выраженное в комплексной форме:

.                                                    (10)

Из выражения (10) следует, что амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики является соответственно модулем и фазой (аргументом) амплидудно-фазовой характеристики:

A(ω) = |W()|      и     φ(ω) = argW().                                                        (11)

Очевидно, что на приведенных зависимостях   между характеристиками основывалась рассмотренная методика построении W(jω) по A(ω)  и  φ(ω).

Комплексное выражение для  W() может быть представлено, как в форме (10), так и в виде:

W() = P(ω) + jQ(ω),                                                                               (12)

где P(ω), Q(ω) – соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики системы.

Таким образом, получаем всего пять частотных характеристик: амплитудно-фазовую W(), амплитудно-частотную A(ω), фазо-частотную φ(ω), вещественную частотную P(ω) и мнимую частотную Q(ω). Между этими характеристиками, кроме зависимостей (11) – (12), имеются следующие очевидные связи:

;                                                                                (13)

                                                                                             (14)

.                                                 (15)

Частотные характеристики системы не зависят от времени. В этом их принципиальное отличие от временных характеристик. Если временные характеристики определяют поведение системы в переходном процессе при различных типовых входных воздействиях, то частотные выражают зависимость параметров установившихся выходных синусоидальных колебаний от тех же параметров входных колебаний при различных частотах.

Частотные характеристики широко используются в инженерной практике при анализе и синтезе САУ. Особым их достоинством является то, что они могут быть получены экспериментальным путем, что особенно важно для систем, аналитические уравнения которых не представляется возможным получить из-за их сложности или малоизученности технологического процесса.

Несмотря на то, что частотные характеристики, например W(), отображают только установившиеся процессы в системе, они в полной мере определяет и ее динамические свойства.

Подставляя  производные сигналов  (t)  и равные

 

 ….

 …. ,

в дифференциальное уравнение

 

получим:

 = .

Из полученного выражения  определяем АФХ системы:

.                             (16)

Выражение для АФЧХ W()  системы может быть получено по ее передаточной функции W(p), в которой достаточно переменную p заменить на  :

W( ) = .                                                                                     (17)

Если в выражении   осуществить аналогичную замену p  на , получим:

,                                                                                (18)

где  и  – изображения Фурье входного и выходного сигналов.

На основании выражения (18) амплитудно-фазовую частотную характеристику  можно определить как отношение изображений Фурье выходного и входного сигналов системы при нулевых начальных условиях:

.

Выражению (5), связывающему с помощью преобразования Лапласа передаточную функцию системы с ее временной характеристикой – функцией веса , соответствуют следующие зависимости для амплитудно-фазовой частотной  характеристики:

                                                                                   (19)

и

                                                                                (20)

Первое выражение определяет амплитудно-фазовую частотную характеристику, характеристики системы по его весовой функции, а второе, наоборот, – весовую функцию по . По частотным характеристикам САУ можно непосредственно определить ее реакцию не только на импульсное воздействие, но и на входное воздействие любого вида.

Преобразуя выражение (16), в котором приняты следующие обозначения:

A()=;

B() =

получим:

,                                                                 (21)

где индексами  и  отмечены действительные (U) и мнимые (V) части соответствующих комплексных величин в числителе и знаменателе.

Преобразуя (21), окончательно имеем:

,

где:

Для инженерных расчетов особенно широко используются частотные характеристики, построенные в логарифмическом масштабе, в том числе  логарифмическая амплитудно-частотная L(ω), связанная с АЧХ системы зависимостью:

L(ω) = 20lg A(ω).                                                                                          (22)

Смысл приведенного выражения заключается в следующем. Определим усиление системой  мощности сигнала, в виде отношения мощности на выходе Рвых к мощности на входе Рвх. Этот показатель, для удобства оцениваемый  в логарифмическом масштабе, с учетом того, что мощность сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, записывается в виде:

.

В качестве единицы усиления или ослабления мощности сигнала при прохождении его через какое-либо устройство принят Бел (по имени американского изобретателя А. Белла). Но поскольку  1 Бел является слишком крупной единицей (ей соответствует изменение мощности в десять раз), в теории автоматического регулирования за единицу измерения  принят децибел 1 дБ = 0,1 Б.

С учетом этого можно записать:

,

где величина L(ω ) выражена  в децибелах.

Используемая совместно с L(ωфазо-частотная характеристика  строится в полулогарифмическом масштабе: по оси ординат откладывается значение фазы   в градусах или радианах, а по оси абсцисс – . При этом единицей измерения частоты является декада. Декадой называется частотный интервал, граничные значения которого соотносятся в десять раз. В логарифмическом масштабе частот отрезок в одну декаду не зависит от частоты и имеет длину, равную единице.

При решении практических задач на оси абсцисс указываются не значения lgω, а, что более удобно, значения самой частоты ω. Очевидно, что при использовании логарифмического масштаба точка на оси абсцисс, соответствующая ω = 0, находится слева в бесконечности, т.е. логарифмические характеристики строятся не от нулевой частоты, а от некоторого значения, которое определяется данными конкретной задачи.

В дальнейшем для краткости будем в названии различных частотных характеристик опускать слово «частотная», говоря просто о  логарифмической амплитудной характеристике L(ω) (ЛАХ), амплитудно-фазовой характеристике W()  (АФХ) и т.п.

3.2 Элементарные звенья систем автоматического управления 

Математическое описание системы начинают  с разбиения ее на звенья и составления математических моделей этих звеньев. При этом передаточные функции, временные и частотные характеристики, которыми описываются звенья, не учитывают их физической природы, т.е. рассматривается его математическая модель, а не реальное конструктивное исполнение и принципы работы звена. Очевидно, что при составлении математического описания системы целесообразно ориентироваться на математические модели звеньев стандартного вида, так называемые типовые  звенья. Рассмотрим их основные характеристики.

3.2.1 Пропорциональное (усилительное, безинерционное, масштабирующее) звено

 

Пропорциональное (усилительное, безинерционное, масштабирующее) звеноэто звено, выходной сигнал которого пропорционален входному сигналу:

,

где kкоэффициент усиления звена.

Операторное уравнение звена:

,

а его  передаточная функция:

W(p) = k.

Амплитудно-фазовая характеристика: W()= k.  

Соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики:

Р(ω) = k, Q(ω) = 0.

Амплитудно-  и фазо-частотная  характеристики звена:

A(ω) =, .

Переходная функция звена (рисунок 4):

.

Рисунок 4 – Переходная функция пропорционального звена

Рисунок 5 – Логарифмические амплитудно- и фазо-частотная характеристики

Логарифмическая АЧХ звена в соответствии с выражениями (22):

.

Графики логарифмической амплитудно- и фазо-частотной характеристик приведены на рисунке 5.

Примерами технической реализации пропорциональных  звеньев являются потенциометр, полупроводниковый усилитель, зубчатая передача и т.п.

3.2.2 Интегрирующее звено

Интегрирующее звено – это звено, выходной сигнал которого пропорционален интегралу по времени от входного сигнала:


Операторное уравнение, связывающее изображения входного и выходного сигналов звена: , а его  передаточная функция:

.

Амплитудно-фазовая характеристика звена (рисунок 6):

W()= .

 

Рисунок 6 – Амплитудно-фазовая частотная характеристика

Вещественная  и мнимая и частотные характеристики: 

.

Амплитудно- и фазо-частотная характеристики:

A(ω) .                                                                 (23)

Логарифмическая АЧХ звена с учетом (21) и (23) описывается  выражением:

.

Этому уравнению соответствует прямая линия с наклоном  -20 дБ/дек. Логарифмическая ФЧХ не зависит от частоты и равна . Графики логарифмической амплитудно- и фазочастотной характеристик приведены на рисунке 7.

Выражения для переходной функции  и функции веса интегрирующего звена (рисунок 8):

    w (t).

Рисунок 7 – Логарифмические амплитудно- и фазо-частотная характеристики

Рисунок 8 – Переходная функция и функция веса интегрирующего звена

Примеры технической реализации интегрирующего звена: усилитель постоянного тока с большим коэффициентом усиления, в цепь обратной связи которого включен конденсатор.

3.2.3 Идеальное дифференцирующее звено

Идеальное дифференцирующее звено – это звено, выходной сигнал которого пропорционален производной по времени от входного сигнала:

.

Операторное уравнение, связывающее изображения входного и выходного сигналов звена:

,

 а передаточная функция звена:

.

Передаточная функция такого звена  не удовлетворяет условиям физической реализуемости, поэтому звено называется идеальным.

Амплитудно-фазовая характеристика звена (рисунок 9):

.

Амплитудно- и фазо-частотные характеристики звена: A(ω) = , .

Переходная функция звена:

 где  – дельта-функция.

Логарифмическая АЧХ звена описывается выражением:

.

Рисунок 9 – Амплитудно-фазовая частотная характеристика

Графики логарифмических амплитудно- и фазо-частотной характеристик приведены на рисунке 10.

Рисунок 10 – Логарифмические амплитудно- и фазо-частотная характеристики

3.3.4 Апериодическое звено первого порядка

Апериодическое звено первого порядка – это звено, выходной сигнал которого связан с входным сигналом следующим дифференциальным уравнением:

,                                                                     (24)

где k,  T – коэффициент усиления и постоянная времени звена соответственно.

Операторное уравнение звена:

,

а передаточная функция

.

Пример технической реализации апериодического звена первого порядка – RС-цепочка, поскольку напряжение, приложенное к ней (входной сигнал), и протекающий в цепи ток (выходной сигнал), связаны между собой уравнением Кирхгофа вида (24).

 Амплитудно-фазовая характеристика звена имеет вид:

= = .

Вещественная и мнимая частотные характеристики:

;         .                                                         (25)

Складывая выражения (25), получим:

.                                                                                       (26)

Возведя обе части выражения (26) в квадрат и прибавляя к обеим частям полученного равенства слагаемое (k/2)2, получим:

.                                                                             (27)

Из (25) – (27) следует, что АФХ звена имеет вид расположенной в четвертом квадранте полуокружности (рисунок 11) с радиусом k/2 , центр которой находится на действительной положительной полуоси в точке с координатами (k/2; 0).

Рисунок 11 – Амплитудно-фазовая частотная характеристика

В соответствии с формулой разложения переходная функция звена имеет вид:

h(t) = .

Функция веса может быть найдена по формуле:

w(t) = .

Графики временных характеристик звена приведены на рисунке 12.

Рисунок 12 – Переходная функция и функция веса апериодического звена

Амплитудно-  и фазо-частотная характеристики звена:

.                       (28)

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика  звена

.                                                                        (29)

Предварительно построим приближенную характеристику L(ω) в низкочастотном диапазоне  до частоты сопряжения, пренебрегая в выражении (2.48) слагаемым, зависящим от частоты, так как оно много меньше единицы. В результате, получим:

.

На  графике (рисунок 13) этому выражению соответствует прямая линия, параллельная оси частот. На частотах,  много больших  частоты  сопряжения , пренебрежем единицей. Тогда формула (29) приобретает вид:

.

Так как частота по оси абсцисс откладывается в логарифмическом масштабе, то этому выражению соответствует прямая линия с наклоном  -20 дБ/дек.

Рисунок 13 – Логарифмические амплитудно- и фазо-частотная характеристики

Характеристику, составленную из прямолинейных отрезков , называют асимптотической. Наибольшее отклонение асимптотической характеристики от точной получается на частоте сопряжения :  оно равно  -3 дБ.

3.2.5 Реальное  дифференцирующее  звено

Реальное  дифференцирующее  звено – это звено, выходной сигнал которого связан с входным сигналом следующим дифференциальным уравнением:

,

где k, T – коэффициент усиления и постоянная времени звена соответственно.

Операторное уравнение звена:

.

Передаточная функция звена:

.

Частотные характеристики:

= ; ; .       (30)

Выражение для  годографа , полученное по (30) после преобразований,  аналогичных тем, что были проделаны для апериодического звена первого порядка, имеет вид:

.                                                                          (31)

Формально выражения (25) и (31) совпадают, но годограф реального дифференцирующего звена (рисунок 14) находится в первом квадранте, так как знаки у мнимых частотных характеристик этих звеньев противоположны.

Рисунок 14 – Амплитудно-фазовая частотная характеристика

Остальные частотные характеристики:

;            ;

.

Графики логарифмических амплитудно- и фазо-частотной характеристик приведены на рисуноке 15.

Рисунок 15 – Логарифмические амплитудно- и фазо-частотная характеристики

Переходная функция звена (рисунке 16):          .

Рисунок 12 – Переходная функция звена

3.2.6 Инерционное звено второго порядка

Инерционное звено второго порядка – это звено, зависимость между выходным и входным сигналами которого описывается следующим дифференциальным уравнением:


где
k, T – соответственно коэффициент усиления и постоянная времени звена; -  коэффициент демпфирования.

Операторное уравнение звена:

Передаточная функция звена:

.                                                                                   (32)

Примерами реализации инерционного звена второго порядка являются RLC-контур, состоящий из катушки индуктивности, резистора и конденсатора, или физический маятник.

Амплитудно-  и  фазо-частотная характеристики:

A(ω);        .                                (33)

В зависимости от значения коэффициента демпфирования   свойства инерционного звена второго порядка изменяются настолько существенно, что при различных значениях  это звено имеет различные названия: консервативное, колебательное или апериодическое звено второго порядка.

1)      Консервативное звено:,  передаточная функция (32) принимает вид:

.                                                                                             (34)

При этом ее полюса чисто мнимые: .

Выражения  переходной функции и функции веса консервативного звена:

;                 =.

2)      Колебательное звено: ,  полюса передаточной функции (32) – комплексно-сопряженные числа. С учетом (33) логарифмическая амплитудно-частотная характеристика звена примет вид:  

.

Кусочно-асимптотическая ЛАЧХ звена состоит из двух участков. На низкочастотном участке до частоты сопряжения  уравнение горизонтальной асимптоты:

,

а в диапазоне частот много больше частоты сопряжения уравнение высокочастотной асимптоты:

Последнее уравнение – это уравнение прямой с наклоном  -40 дБ/дек.

В окрестности частоты сопряжения график ЛАЧХ колебательного звена при имеет амплитудный всплеск («горб»), величина которого тем больше, чем меньше коэффициент демпфирования  . У консервативного звена  при  амплитудный всплеск вырождается в разрыв непрерывности.

Выражения  переходной функции и функции веса колебательного звена:

;

    = ;

где  .

3)      Апериодическое звено второго порядка: ,  полюса передаточной функции (32) – действительные числа, поэтому передаточную функцию звена можно представить в следующем виде:

.                                                                                  (35)

Очевидно, что между коэффициентами передаточных функций (32) и (35) существуют следующие зависимости:

        и         .

Уравнения логарифмических амплитудно- и фазо-частотной характеристик:

;

.


       Выражения для временных характеристик апериодического звена второго порядка:

 ;

 = .

 

Графики логарифмических  амплитудно- и фазочастотной характеристик инерционного звена второго порядка для различных значений коэффициента демпфирования  приведены на рисунке 14; графики временных характеристик  – на рисунке 15.

Рисунок 15 – Логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики: а) - консервативного и колебательного звеньев; б)  - апериодического звена второго порядка

Рисунок 16 – Временные характеристики инерционного звена второго порядка: а) – переходные функции; б) – функции веса

3.2.7  Звено чистого запаздывания

Звено чистого запаздывания – это звено, выходной сигнал которого полностью совпадает по форме с  входным сигналом,  но отстает от него  на время , т.е.

.

На основании теоремы запаздывания: . Следовательно, передаточная функция звена имеет вид:

,

где  – время запаздывания.

Частотные характеристики для звена чистого запаздывания: 

 cos(ω) – j sin (ω);

т.е.         P(ω) = cos(ω)          и         Q(ω)= – sin (ω);

A(ω) = 1,              ω,             .

На рисунке 17 приведен график переходной функции звена, на рисунке 18– годограф АФХ, а на рисунке 19 – логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики.

Рисунок 17 – Переходная функция звена

Рисунок 18 – Амплитудно-фазовая частотная характеристика

       
Рисунок 19 – Логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики

3.2.8  Неминимально-фазовые звенья    

Выше были рассмотрены наиболее часто встречающиеся на практике типы минимально-фазовых звеньев. В отличие от них передаточная функция  любого неминимально-фазового звена имеет хотя бы один «правый» ноль или полюс. Приведем пример такой передаточной функции

  1.   неустойчивое апериодическое звено:

.

Здесь имеется положительный полюс (корень знаменателя):

.

Частотные характеристики такого звена:

;               ,

так как при  входной и выходной гармонические сигналы находятся в противофазе.

В то же время для обычного апериодического звена имеем:

       Разница между ними, как видим, в величине фазы, амплитудные же характеристики одинаковы. Оказывается, что из всех возможных звеньев с одинаковыми амплитудными характеристиками минимально-фазовые типовые звенья обладают  наименьшими по абсолютному значению фазовыми характеристиками. В этом и состоит смысл введенных терминов.

Важным свойством минимально-фазовых звеньев является однозначное соответствие амплитудной и фазовой частотных характеристик. Другими словами, по заданной амплитудно-частотной  характеристике всегда можно определить амплитудно-фазовую и наоборот. Этим  же свойством обладают  вещественная  и мнимая  части амплитудно-фазовой характеристики минимально-фазовых звеньев.

Заметим, что для данного неминимально-фазового звена переходная функция будет расходящейся, вместо обычной затухающей.

2)  Неустойчивое форсирующее звено. Так называется звено с передаточной функцией W(s)=k(Ts — 1). Фазовая частотная функция имеет вид

                  (36)

Для получения этой и последующих формул для фазовой частотной функции неминимально-фазовых элементарных звеньев рассмотрим пределы их частотных передаточных и фазовых частотных функций при —> 0 и —>.

Для частотной передаточной функции  неустойчивого форсирующего звена W(j)=k(Tj-1) имеем:

при    —> 0    W(j) —> —k, и соответственно фазовая частотная функция ()—>l (= ±1, ±3, ...);

при —>   W(j) —> kTj, и соответственно ()—>/2.

3) Неустойчивое форсирующее звено 2-го порядка. Так называется звено с передаточной функцией

,

Частотная передаточная функция и .  В данном случае при —> 0   W(j) —>k,   и   соответственно  фазовая   частотная  функция  ()—>0,   а при —>  W(j)—> (-1)2kT2(j)2 , и соответственно () —>. Формула,   удовлетворяет приведенным предельным соотношениям, и () не терпит разрыва при = 1/Т, если l = 0 при 1/Т и l = — 1 при > 1/Т:

               (37)

4) Неустойчивое колебательное звено. Так называется звено с передаточной функцией  ,

Частотная передаточная функция  , и фазовая частотная функция, определяемая как разность между аргументами числителя и знаменателя, равна фазовой частотной функции неустойчивого форсирующего звена 2-го порядка с отрицательным знаком:

5) Консервативное звено. Так называется звено с передаточной функцией , которая   получается   из   передаточной функции колебательного звена при  =0. Поэтому, положив =0 в фазовой частотной функции колебательного звена, получим

Это звено является маргинальным.

Еще одно маргинальное элементарное звено с передаточной функцией W(s) = k(T2s2 + 1) получим, если положим = 0 в передаточной функции форсирующего звена 2-го порядка. Из фазовой частотной функции указанного звена при £ = 0 имеем

3.3 Пакет прикладных программ Control System Toolbox

Для выполнения лабораторной работы используется пакет прикладных программ (ППП) Control System Toolbox. ППП предназначен для работы с LTI-моделями (Linear Time Invariant Models) систем управления.

В Control System Toolbox имеется тип данных, определяющих динамическую систему в виде комплексной передаточной функции. Синтаксис команды, создающий LTI-систему c одним входом и одним выходом в виде передаточной функции:

TF([bm, …, b1, b0], [an, …, a1, a0])

bm, …, b1 – значения коэффициентов полинома В в (3.3),

an, …, a1 – значения коэффициентов полинома A в (3.3).

Для выполнения работы могут применяться команды, приведенные в таблице 3.1.

Для определения корней полиномов степени k, может, также, применятся команда MATLAB

roots(P),

которая, в качестве аргумента P, получает матрицу коэффициентов полинома [pk, …, p0].

Таблица 3.1 - Некоторые команды Control System Toolbox

Синтаксис

Описание

pole(<LTI-объект>)

Вычисление полюсов передаточной функции

zero(<LTI-объект>)

Вычисление нулей передаточной функции

step(<LTI-объект>)

Построение графика переходного процесса

impulse(<LTI-объект>)

Построение графика импульсной переходной функции

bode(<LTI-объект>)

Построение логарифмических частотных характеристик (диаграммы Боде)

nyquist(<LTI-объект>)

Построение частотного годографа Найквиста

Другим вариантом получения графиков динамических характеристик СУ является использование графического интерфейса ППП CST – LTI viewer, вызов которого осуществляется командой

ltiview

в которой, в качестве параметра, можно указать имя переменной, содержащей LTI-объект.

Для нахождения полюсов передаточной функции f можно использовать функцию

>> p = pole ( f )

Вызов функции

>> [w0,zeta,p] = damp ( f )

позволяет найти не только полюса p, но также соответствующие им собственные частоты w0 и коэффициенты демпфирования zeta в виде массивов.

Нули передаточной функции f вычисляются как

>> z = zero ( f );

Устойчивость системы не зависит от расположения нулей, но они существенно влияют на переходные процессы. Команда

>> pzmap ( f );

строит карту расположения нулей (они обозначаются кружками) и полюсов (крестики) системы на комплексной плоскости.

  1.  Порядок выполнения работы:
  2.  Изучить теоретические сведения об элементарных и типовых звеньях
  3.  Получить допуск к выполнению работы и задание от преподавателя
  4.  Запустить систему MATLAB.
  5.  Создать tf-объект, в соответствии с заданным вариантом.
  6.  Составить дифференциальное уравнение, определяющее функционирование звена.
  7.  Определить полюса передаточной функции с использованием команды roots или pole.
  8.  Определить нули передаточной функции с использованием команды roots или zero.
  9.  Используя LTI-viewer, или соответствующие команды (табл.1) получить динамические характеристики – переходную функцию h(t), импульсно-переходную функцию w(t) и частотные характеристики – диаграмму Боде, частотный годограф Найквиста.
  10.  Построить корневой годограф с использованием команды pzmap ( f ).
  11.  Чем отличается звено от других звеньев.
  12.  Оформить отчет и сдать преподавателю на проверку

5. Список использованных источников:

  1.  Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М: Наука, 1975
  2.    Попов  Е.П.  Теория  линейных  систем  автоматического  регулирования   и управления. – М.: Наука, 1978.
  3.  Теория автоматического управления. Ч. 1. Теория линейных систем автоматического управления. Под ред. А. А. Воронова. Учеб. Пособие для вузов. М., «Высш. школа», 1977. - 303 с. с ил.
  4.  Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 288 с.
  5.  Юревич Е. И. Теория автоматического управления. Учебник для студентов высш. техн. учебн. Заведений. Изд. 2-е, перераб. И доп. Л., «Энергия», 1975. - 416 с. с ил.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20716. Метрические пространства 68 KB
  Определим действительнозначную функцию ОПР: Если: 1аксиома неотрицательности; 2 аксиома тождественности; 3 аксиома симметрии; 4 аксиома треугольника; то называется расстоянием или метрикой определенной на множестве М. Перечисленные аксиомы называются аксиомами расстояния. 1 1я аксиома выполнена; 2 2я аксиома выполнена; 3 4Для ее проверки составим: Пусть4я аксиома выполнена.к 2 аксиома не выполняется не следует что х=у то данная пара метрическим пространством не является.
20717. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 57 KB
  Чтобы разобраться в этом вопросе рассмотрим понятие фундаментальной последовательности на R’. Определение: последовательность {xn} называется фундаментальной если выполняется Пример. ТЕОРЕМАпринцип сходимости Коши Для сходимости последовательности необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной. Понятие фундаментальной последовательности переносится на метрические пространства.
20718. Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд 130.5 KB
  Формула и ряд Тейлора. Биномиальный ряд. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора: пусть функция имеет в некотором интервале производные до порядка включительно а точка находится внутри этого интервала. Используя эту теорему можно сделать следующий вывод: если функция имеет на некотором отрезке производные всех порядков раз они имеются все то каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной то можно написать формулу Тейлора для любого значения .
20720. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 72.5 KB
  Вопрос о том является ли это решение общим приводит к понятию линейной независимости системы частных решений линейно независимых функций 1 и фундаментальной системы решений 2. Совокупность всех линейнонезависимых частных решений уравнения называется фундаментальной системой решений этого уравнения тогда есть общее решение для уравнения . Таким образом для решения нужно: найти частные решения; выяснить их линейную независимость ; найти общее решение согласно .
20721. Мощность множества. Арифметика счетной мощности 59.5 KB
  Пусть A – некоторое счетное мнво тогда по определению A N.Из всякого бесконечного мнва можно выделить счетное подмново.Сумма конечного числа счетных мнв есть счетное мнво. Сумма счетного числа конечных мнв есть счетное мнво.
20722. Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства функции непрерывной на отрезке 29.5 KB
  Иногда говорят что предел функции в точке а : fx=b      х: ха ха и fxb Данное определение называется определением предела функции на языке .3 Если fx=fa то функция назся непрерывной в точке а.4 Если использовать предел функции в точке то определение функции в точке можно оформить в виде:    : ха х[ аb] и fxb Опред.
20723. Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости числовой последовательности 62 KB
  Определение: Если каждому по определённому закону можно поставить в соответствие то числа получающиеся при каждом конкретном n образуют числовую последовательность. Если такое имеет место то пишут что последовательность расходится. Теорема Необходимое условие сходимости числовой последовательности: если последовательность {Xn} сходится то она ограничена. Определение 2: Если предел сходящейся последовательности равен 0 то она называется бесконечно малой последовательностью.