12644

Фрактальные многоугольники и «золотое» сечение

Реферат

Физика

Фрактальные многоугольники и золотое сечение Рассматривая разнообразные фракталы возникает интуитивное ощущение их красоты а искусственно построенные из них интригуют чрезвычайной похожестью на многие природные образования. Подобные чувства рождаются и при иссл...

Русский

2013-05-02

742.59 KB

25 чел.

Фрактальные многоугольники и «золотое» сечение

Рассматривая разнообразные фракталы, возникает интуитивное ощущение их красоты, а искусственно построенные из них интригуют чрезвычайной похожестью на многие природные образования. Подобные чувства рождаются и при исследовании различных объектов, в которых присутствуют элементы гармонических пропорций.

Более того, невольно напрашивается мысль: а не являются ли фракталы и «золотые» сечения следствием некого общего механизма мироустройства, за которым стоят гармония, согласованность, когерентность и самоподобие.

В этой связи весьма любопытным представляется исследование фрактальных структур в области влияния «золотого» сечения на предмет их устойчивости, изменения форм, визуального восприятия и т.д.

Фрактальный мир природы очень широкий.

И попытки его жесткой привязки к «золотой» пропорции как некому мерилу гармонии, скорее всего, обречены на неудачу.

В то же время уникальность гармонических пропорций, в том числе необычность и исключительность «сáмого иррационального из всех иррациональных чисел» (в цепных дробях выражается одними единицами), просто не могут не оставить своей след и во фрактальной геометрии природы.

Поэтому становятся понятными устремления некоторых авторов [1] найти признаки «золотых» пропорций во фрактальных размерностях.

Действительно, фрактальные структуры априори имеют дробную размерность, которая чаще всего заключена в интервале [1, 2], и некоторые из них достаточно близки к числу Ф ≈ 1,618. Однако каких-либо явных признаков физической интерпретации в этом обнаружить чаще всего не удается, и можно отнести к простой схожести, – с той или иной погрешностью.

В частности,

Здесь больше просматриваются не столько черты фрактальной структуры, сколько сопоставление величины Ф и первых пяти простых чисел 1, 2, 3, 5 и 7 с точность до 5 значащих цифр с относительной погрешностью (1 – с/ Ф)100 = 0,007 %. Более того, можно нафантазировать множество отношений типа ln N/ ln r, выражающих одну из формул вычисления фрактальной размерности и несущественно отличающихся от числа Ф.

Целью настоящей работы является выявление возможных взаимосвязей между фрактальными структурами, основанными на правильных многоугольниках, и «золотым» сечением.

Выбор k-угольников обусловлен тем, что на объектах одинаковой природы можно проследить цепочку изменения фрактальных свойств, начина с обычной точки (k= 1 ), и заканчивая окружностью (k→ ∞), последовательно пройдя разнообразные геометрические образования.

Типичным представителем такого фрактала является известная салфетка Серпинского [2, с. 20], где в качестве топологической подосновы служит равносторонний треугольник.

Автор не ставит задачу синтеза необычных фракталов, поскольку в достаточном количестве их можно найти в ресурсах Интернет.

Поэтому прилагаемый демонстрационный материал служит всего лишь полезным инструментарием, дополняющим аналитические исследования.

Первое наблюдение. Во фрактальных структурах можно выделить следующие три основных элемента, которые так или иначе связаны с «золотым» сечением:


  1.  Фрактальная размерность D равна числу Фидия D=Ф или другим числам обобщенных «золотых» сечений.
  2.  Длина генерирующих векторов или величина фрактальных преобразований выражается через число Ф простыми соотношениями.
  3.  Повороты    векторов    относительно    нулевой    точки    на    комплексной    плоскости соответствуют «золотым» углам (табл. 1), кратным π/10: 18о, 36о, 72о, 108о и т.п.

Таблица 1

Значения тригонометрических функций «золотых» углов

В частности, чтобы   k   одинаковых  вектора  (генерирующих  отрезка) на комплексной плоскости образовали фрактал размерностью  D= Ф, их величину следует установить равной

и для всех k частей целого применяется один общий коэффициент подобия r.

Математическая постановка задачи. Рассмотрим правильный многоугольник с k вершинами. Используя подход, изложенный в работе [2, с. 42], систему интегрируемых функций, задающую совокупность генерирующих комплексных чисел на комплексной плоскости, определим соотношением

где

 мнимая единица;

один из способов задания комплексных координат вершин равностороннего

k-угольника на описанной вокруг него окружности радиусом R с центром в начале координат (для удобства   рассмотрения   за   начало   отсчета   принята   мнимая   ось,   когда   первая   вершина

соответствует положению часовых стрелок на 12 часов),   j = 0, k -1;

коэффициент сжатия (преобразования подобия) – некоторое число, выбираемое

геометрическим построением так, чтобы следующая точка ставилась на расстоянии в   1/г   от соответствующей вершины, /- расстояние до нее начальной точки.

Последовательность     комплексных     чисел,     воспроизводящих     фрактальную     линию, генерируется случайным образом по рекурсивной формуле

где

– случайное число, равномерно (равновероятно) распределенное на

интервале

обозначение целой части от

количество итераций целесообразно принять

 Для лучшей выразительности фракталов


Второе наблюдение. Для построения совершенной фрактальной кривой – без самопересечения линий и с одновременным сохранением их непрерывности – коэффициент подобия r следует назначать строго определенным образом.

Анализ самоподобных фрактальных структур, каждая из частей которых геометрически подобна целому и основана на правильных k-угольниках, показывает:

–   для (5–7)-угольников точка касания соседних фрактальных образований совпадает со

второй вершиной первого из них; –   8-угольник касается одновременно вторым и третьим углами; –   в равносторонних (9–11)-угольниках касается третья вершина; –   12-угольник касается одновременно третьим и четвертым углами т.д.

β

и угол поворота α от мнимой оси к точке

Исходя из этого, угол сектора сопряжения

сопряжения рассчитываются по формулам (рис. 1 – 2):

Тогда по теореме синусов для треугольника АВО находим коэффициент подобия

Следует отметить, что на рис. 1 окружности, хотя в общем случае и пересекаются, фрактальная фигура имеет точку касания двух смежных областей лишь в точке А.

Сами же круги – это условные внешние границы расположения обособленных фрактальных областей, которые изнутри касаются этих окружностей в отдельных k точках, в частности, в точке

Рис. 2. Примеры некорректного (а) и правильного (б) сопряжений фрактальных областей для k-угольников


Для k-угольников  k = 2+ 4m  (m = 1, 2, 3, ...), у которых

 точки касания

окружностей и фрактальных областей совпадают,

Величина r показывает, во сколько раз уменьшаются фрактальные фигуры многоугольника, поэтому фрактальная размерность определяется по общей формуле

исходящих из начала

Таким образом, генератор состоит из   k  векторов длиной

Фрактал строится путем достаточно

координат с равными между собой углами

большого количества повторения простых операций: замены исходного k-угольника комбинацией k других, ему подобных в r раз меньшего размера.

Эта операция повторяется с каждым из k маленьких многоугольников и так далее до бесконечности, приходя в конечном итоге к множеству точек, образующих фрактал.

Фрактальный многоугольник является аттрактором для системы интегрируемых функций (1) и    образуется     при     чисто     случайном     выборе     последовательности     k преобразований

Фракталы    воспроизводятся    в    осях

и   т.п.   Представляют   интерес   и   дополнительные

отображениях

преобразования вида

 (см. приложение), в частности,

 (рис. 4)    или    зеркальных

Исследование свойств фрактальных структур.

Изменение параметров фрактальных многоугольников, вычисляемых по формулам (3)–(5), представлено на рис. 3.

Некоторые фрактальные размерности равны:


Рис. 4. Фрактальные структуры, основанные на правильных многоугольниках

Я = 15-рОсЪ- т=\

38

 2

 

'

<23

Рис. 5. Фрактальные фигуры с наличием явных признаков «золотых»

km/5

пропорций на основе дополнительных преобразований zn =znk


Третье наблюдение. В математическом смысле фракталом (по Мандельброту) называется

множество, для которого дробная размерность Хаусдорфа-Безикевича D строго больше его

~ топологической размерности D , выражающейся целым числом.

В этой связи характерной является эволюция размерностей:

топологической размерностью

Пятиугольник, как совершенный многоугольник, который буквально «нашпигован золотыми сечениями», является своеобразным переходным мостиком от заполняющего плоскость квадрата с

То есть в данном случае «золотое» сечение символизирует, если так можно выразиться, условную пропорцию между плоскостью и линией (рис. 6)

Рис. 6. Переходные формы и эволюция фрактальных структур

И если в Евклидовом пространстве такая пропорциональность лишена физического смысла, то на языке фрактальной геометрии вполне допустима.

Нечто подобное происходит в обратном направлении: при переходе от прямой

к плоскости

Поэтому не

через «треугольную» фрактальную линию

случайны   особые   свойства   треугольника:   в   отличие   от   других   многоугольников,   он   –

единственная жесткая (несжимаемая) геометрическая фигура, – в смысле попытки изменения

внутренних углов при сохранении общего вида конструкции.

Другими словами, с точки зрения фрактальной геометрии в ее единицах измерениях: – треугольник своей конструктивной жесткостью становится прообразом плоскости; –   пятиугольник, в силу своих особенностей пропорционального разбиения целого на части,

первым   из   всех   правильных   многоугольников   наоборот   осуществляет   пропорциональное

разделение (сопоставление) плоскости линией с фрактальной размерностью

Поэтому для восстановления расплывчатого и расщепленного соображения размерности, как «количества пространственных измерений или степени многомерности» [3, c. 30], а также воссоединения двух составляющих, здесь вполне приемлем компромисс в виде «золотой» середины Ф ≈ 1,618 (!?)

Для 8-угольника коэффициент сжатия равен

 обобщенное

«золотое»  сечение для «металлической»  пропорции,  описываемой квадратным уравнением с

целочисленными коэффициентами


Коэффициент сжатия 12-угольника составляет

 

где

 – обобщенное

«золотое»    сечение    для    «металлической»    пропорции,    которой    соответствует    квадратное

уравнением с иррациональными коэффициентами

В 16-угольнике коэффициент сжатия равен

 

где

 обобщенное «золотое»

сечение    для    «металлической»    пропорции,    описываемой    квадратным    уравнением    с

иррациональными коэффициентами

обязательно монотонно), и в пределе совпадает с топологической размерность для окружности

С ростом

 фрактальная размерность

 имеет общую тенденцию к убыванию (не

Пятиугольник состоит из пяти одинаковых частей, которые подобны целому, но имеют в r раз меньший размер:

поэтому его фрактальная размерность равна

Примечательно, что шестиугольник (k= 6, r = 3), который имеет более отдаленное отношение к «золотому» сечению, чем правильный пятиугольник, тем не менее, обладает фрактальной

отличающейся от гармонической пропорции только на

0,8 %.

Во всяком случае, он к ней ближе, чем «усеянный золотом» «пятиугольный фрактал» (в

смысле наличия в нем множества «золотых» сечений):

Например, каждый конец пятиугольной звезды представляет собой «золотой» треугольник, стороны которого образуют при вершине угол 36°, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции «золотого» сечения.

В тоже время в расчете фрактальной размерности D5 число Ф присутствует в явном виде,

что указывает на непосредственную связь фрактала с «золотым» сечением. То есть визуально определяемая форма фрактала обусловлена наличием «золотых» углов, а его содержание подтверждается дробной размерностью со знаменателем 1п(Φ +1).

Внутренняя граница данной фигуры - пятиугольная снежинка Коха - непрерывная кривая, которая нигде не имеет касательной, а в пределе - бесконечную протяженность.

Десятиугольник    характерен    тем,    что    его    сторона    равна

Соответственно    коэффициент    сжатия

 а    фрактальная     размерность

Ближе всего к числу Ф оказывается фрактальная размерность девятиугольника

Четвертое наблюдение. Чтобы получить фигуру с фрактальной размерностью Ф, исходя из

уравнения (4) коэффициент сжатия следует положить равным

Однако если выбрать г > г, то получается разрыв линии или фрактальная пыль. Неравенство ) < г приводит к самопересечению фрактальной линии.

функция от k,

Аналогичным образом, решая нелинейное уравнение

определяемая уравнениями (3)–(4), можно показать, что фрактальная размерность в точности равна Ф для 9,06-угольника, если бы таковой реально существовал.


Таким образом, стремление увидеть в конкретной величине фрактальной размерности D число «золотой» пропорции Ф, на физическом уровне не несет особой смысловой нагрузки, свойственной числу Ф в его обычном проявлении.

Выводы.

  1.  Определены основные признаки фрактальных структур, связанных с «золотым» сечением.
  2.  Представлена система интегрируемых функций, задающая совокупность генерирующих комплексных чисел и воспроизводящая фрактальные многоугольники на комплексной плоскости.
  3.  Получены формулы для построения самоподобных совершенных (без самопересечения) фрактальных кривых, основанных на правильных многоугольниках.
  4.  Исследована эволюция фрактальных структур, исходя из гипотезы о существовании переходных форм между линией и плоскостью.
  5.  Определен ряд фрактальных размерностей через «золотое» сечение.
  6.  Построено множество фрактальных фигур с наличием явных признаков «золотых» пропорций.

Литература

  1.  Шипицын Е.В., Попков В.В. Двойственность и золотое сечение в теории фракталов и хаоса // Вестник Международного Института им. А. Богданова. – 2001. – № 6. – http://www.bogdinst.ru/vestnik/v06_01.htm.
  2.  Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы: Учеб. пособ. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 128 с.
  3.  Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы: Пер. с англ. – М .: Ин-т компьютерных исследований, 2002. – 656 с.

Рис. 7. Реализации фрактальных многоугольников в программной среде MathCad


Приложение

5   ""*ф"- 7  -ЪЩр$Г 9

Наложение двух фракталов, симметричных относительно действительной числовой оси

Фрактальные фигуры с дополнительным преобразованием zn =znu

и = 2

1,5 ^4Д 5

Треугольник Серпинского

и = 2

5-угольник

3 и = 2

6-угольник

8/5 8-угольник


10-угольник

и = 6,

15-угольник 8

20-угольник

и = 20

50-угольник


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23906. Филоктет - характеристика литературного героя 14.8 KB
  Филоктет характеристика литературного героя персонажа Филоктет ФИЛОКТЕТ герой трагедии Софокла Филоктет поставлена в 409 г. создали кроме Софокла и Эсхил и Еврипид обе хронологически предшествовали Софокловой но последние произведения не сохранились. на пути под Трою во время жертвоприношения у Софокла на Хрисе около Лемноса по другим версиям на о. исключительный для Софокла случай наученный Одиссеем выдает себя за жертву Атридов.
23907. Софокл Царь Эдип 16.7 KB
  Назвали мальчика Эдип. Эдип вырос сильным и умным. Эдип был в ужасе.
23908. Софокл Эдип в Колоне 16.43 KB
  Среди этой рощи стоял алтарь в честь героя Эдипа: считалось что этот фиванский герой здесь похоронен и охраняет эту землю. От кровосмесительного брака с матерью у Эдипа были два сына и две дочери: Этеокл и Полиник Антигона и Исмена. Когда Эдип ослепил себя за грехи и ушел от власти оба сына отшатнулись от него.
23909. ОРЕСТ МСТИТ ЗА УБИЙСТВО ОТЦА 14.38 KB
  Это был сын Агамемнона Орест спасенный в день гибели Агамемнона своей няней и воспитанный вдали от родины царем Фокиды Строфием. Только что Орест принес свою жертву отцу как в дверях дворца показались рабыни в черных одеждах. Орест и Пилад поспешно спрятались у могилы и стали смотреть что будут делать рабыни. По сходству их со своими волосами сразу догадалась она что это волосы Ореста.
23910. Эсхил Орестея 22.47 KB
  Но участь его оказалась ужасна а участь сына его Ореста еще ужаснее. Но в живых остается маленький сын Агамемнона и Клитемнестры Орест: чувство матери побеждает в Клитемнестре расчет мстительницы она отсылает его в чужой край чтобы Эгисф не погубил за отцом и сына. Орест растет в далекой Фокиде помышляя только об одном о мести за Агамемнона.
23912. Эсхил Прометей прикованный 16.62 KB
  А затем когда разозленный Зевс не хочет чтобы люди могли варить и жарить доставшееся им мясо и отказывается дать им огонь Прометей похищает этот огонь тайком и приносит людям в полом тростнике. Прометей стал величавей и возвышенней: он не хитрец и вор а мудрый провидец. Само имя Прометей значит Промыслитель.
23913. Аристофан Всадники 16.49 KB
  На сцене их четверо: двух зовут настоящими именами Никий и Демосфен третьего зовут Кожевник настоящее имя ему Клеон а четвертого зовут Колбасник этого главного героя Аристофан выдумал сам. А противник их Клеон он и вправду был ремесленникомкожевником требовал добить врага и продолжать войну до победы. Итак на сцене дом хозяина Народа а перед домом сидят и горюют два его рабаприслужника Никий и Демосфен: были они у хозяина в милости а теперь их оттер новый раб негодяй кожевник. Тот хлебает а кожевнику бросает все лакомые...