12644

Фрактальные многоугольники и «золотое» сечение

Реферат

Физика

Фрактальные многоугольники и золотое сечение Рассматривая разнообразные фракталы возникает интуитивное ощущение их красоты а искусственно построенные из них интригуют чрезвычайной похожестью на многие природные образования. Подобные чувства рождаются и при иссл...

Русский

2013-05-02

742.59 KB

25 чел.

Фрактальные многоугольники и «золотое» сечение

Рассматривая разнообразные фракталы, возникает интуитивное ощущение их красоты, а искусственно построенные из них интригуют чрезвычайной похожестью на многие природные образования. Подобные чувства рождаются и при исследовании различных объектов, в которых присутствуют элементы гармонических пропорций.

Более того, невольно напрашивается мысль: а не являются ли фракталы и «золотые» сечения следствием некого общего механизма мироустройства, за которым стоят гармония, согласованность, когерентность и самоподобие.

В этой связи весьма любопытным представляется исследование фрактальных структур в области влияния «золотого» сечения на предмет их устойчивости, изменения форм, визуального восприятия и т.д.

Фрактальный мир природы очень широкий.

И попытки его жесткой привязки к «золотой» пропорции как некому мерилу гармонии, скорее всего, обречены на неудачу.

В то же время уникальность гармонических пропорций, в том числе необычность и исключительность «сáмого иррационального из всех иррациональных чисел» (в цепных дробях выражается одними единицами), просто не могут не оставить своей след и во фрактальной геометрии природы.

Поэтому становятся понятными устремления некоторых авторов [1] найти признаки «золотых» пропорций во фрактальных размерностях.

Действительно, фрактальные структуры априори имеют дробную размерность, которая чаще всего заключена в интервале [1, 2], и некоторые из них достаточно близки к числу Ф ≈ 1,618. Однако каких-либо явных признаков физической интерпретации в этом обнаружить чаще всего не удается, и можно отнести к простой схожести, – с той или иной погрешностью.

В частности,

Здесь больше просматриваются не столько черты фрактальной структуры, сколько сопоставление величины Ф и первых пяти простых чисел 1, 2, 3, 5 и 7 с точность до 5 значащих цифр с относительной погрешностью (1 – с/ Ф)100 = 0,007 %. Более того, можно нафантазировать множество отношений типа ln N/ ln r, выражающих одну из формул вычисления фрактальной размерности и несущественно отличающихся от числа Ф.

Целью настоящей работы является выявление возможных взаимосвязей между фрактальными структурами, основанными на правильных многоугольниках, и «золотым» сечением.

Выбор k-угольников обусловлен тем, что на объектах одинаковой природы можно проследить цепочку изменения фрактальных свойств, начина с обычной точки (k= 1 ), и заканчивая окружностью (k→ ∞), последовательно пройдя разнообразные геометрические образования.

Типичным представителем такого фрактала является известная салфетка Серпинского [2, с. 20], где в качестве топологической подосновы служит равносторонний треугольник.

Автор не ставит задачу синтеза необычных фракталов, поскольку в достаточном количестве их можно найти в ресурсах Интернет.

Поэтому прилагаемый демонстрационный материал служит всего лишь полезным инструментарием, дополняющим аналитические исследования.

Первое наблюдение. Во фрактальных структурах можно выделить следующие три основных элемента, которые так или иначе связаны с «золотым» сечением:


  1.  Фрактальная размерность D равна числу Фидия D=Ф или другим числам обобщенных «золотых» сечений.
  2.  Длина генерирующих векторов или величина фрактальных преобразований выражается через число Ф простыми соотношениями.
  3.  Повороты    векторов    относительно    нулевой    точки    на    комплексной    плоскости соответствуют «золотым» углам (табл. 1), кратным π/10: 18о, 36о, 72о, 108о и т.п.

Таблица 1

Значения тригонометрических функций «золотых» углов

В частности, чтобы   k   одинаковых  вектора  (генерирующих  отрезка) на комплексной плоскости образовали фрактал размерностью  D= Ф, их величину следует установить равной

и для всех k частей целого применяется один общий коэффициент подобия r.

Математическая постановка задачи. Рассмотрим правильный многоугольник с k вершинами. Используя подход, изложенный в работе [2, с. 42], систему интегрируемых функций, задающую совокупность генерирующих комплексных чисел на комплексной плоскости, определим соотношением

где

 мнимая единица;

один из способов задания комплексных координат вершин равностороннего

k-угольника на описанной вокруг него окружности радиусом R с центром в начале координат (для удобства   рассмотрения   за   начало   отсчета   принята   мнимая   ось,   когда   первая   вершина

соответствует положению часовых стрелок на 12 часов),   j = 0, k -1;

коэффициент сжатия (преобразования подобия) – некоторое число, выбираемое

геометрическим построением так, чтобы следующая точка ставилась на расстоянии в   1/г   от соответствующей вершины, /- расстояние до нее начальной точки.

Последовательность     комплексных     чисел,     воспроизводящих     фрактальную     линию, генерируется случайным образом по рекурсивной формуле

где

– случайное число, равномерно (равновероятно) распределенное на

интервале

обозначение целой части от

количество итераций целесообразно принять

 Для лучшей выразительности фракталов


Второе наблюдение. Для построения совершенной фрактальной кривой – без самопересечения линий и с одновременным сохранением их непрерывности – коэффициент подобия r следует назначать строго определенным образом.

Анализ самоподобных фрактальных структур, каждая из частей которых геометрически подобна целому и основана на правильных k-угольниках, показывает:

–   для (5–7)-угольников точка касания соседних фрактальных образований совпадает со

второй вершиной первого из них; –   8-угольник касается одновременно вторым и третьим углами; –   в равносторонних (9–11)-угольниках касается третья вершина; –   12-угольник касается одновременно третьим и четвертым углами т.д.

β

и угол поворота α от мнимой оси к точке

Исходя из этого, угол сектора сопряжения

сопряжения рассчитываются по формулам (рис. 1 – 2):

Тогда по теореме синусов для треугольника АВО находим коэффициент подобия

Следует отметить, что на рис. 1 окружности, хотя в общем случае и пересекаются, фрактальная фигура имеет точку касания двух смежных областей лишь в точке А.

Сами же круги – это условные внешние границы расположения обособленных фрактальных областей, которые изнутри касаются этих окружностей в отдельных k точках, в частности, в точке

Рис. 2. Примеры некорректного (а) и правильного (б) сопряжений фрактальных областей для k-угольников


Для k-угольников  k = 2+ 4m  (m = 1, 2, 3, ...), у которых

 точки касания

окружностей и фрактальных областей совпадают,

Величина r показывает, во сколько раз уменьшаются фрактальные фигуры многоугольника, поэтому фрактальная размерность определяется по общей формуле

исходящих из начала

Таким образом, генератор состоит из   k  векторов длиной

Фрактал строится путем достаточно

координат с равными между собой углами

большого количества повторения простых операций: замены исходного k-угольника комбинацией k других, ему подобных в r раз меньшего размера.

Эта операция повторяется с каждым из k маленьких многоугольников и так далее до бесконечности, приходя в конечном итоге к множеству точек, образующих фрактал.

Фрактальный многоугольник является аттрактором для системы интегрируемых функций (1) и    образуется     при     чисто     случайном     выборе     последовательности     k преобразований

Фракталы    воспроизводятся    в    осях

и   т.п.   Представляют   интерес   и   дополнительные

отображениях

преобразования вида

 (см. приложение), в частности,

 (рис. 4)    или    зеркальных

Исследование свойств фрактальных структур.

Изменение параметров фрактальных многоугольников, вычисляемых по формулам (3)–(5), представлено на рис. 3.

Некоторые фрактальные размерности равны:


Рис. 4. Фрактальные структуры, основанные на правильных многоугольниках

Я = 15-рОсЪ- т=\

38

 2

 

'

<23

Рис. 5. Фрактальные фигуры с наличием явных признаков «золотых»

km/5

пропорций на основе дополнительных преобразований zn =znk


Третье наблюдение. В математическом смысле фракталом (по Мандельброту) называется

множество, для которого дробная размерность Хаусдорфа-Безикевича D строго больше его

~ топологической размерности D , выражающейся целым числом.

В этой связи характерной является эволюция размерностей:

топологической размерностью

Пятиугольник, как совершенный многоугольник, который буквально «нашпигован золотыми сечениями», является своеобразным переходным мостиком от заполняющего плоскость квадрата с

То есть в данном случае «золотое» сечение символизирует, если так можно выразиться, условную пропорцию между плоскостью и линией (рис. 6)

Рис. 6. Переходные формы и эволюция фрактальных структур

И если в Евклидовом пространстве такая пропорциональность лишена физического смысла, то на языке фрактальной геометрии вполне допустима.

Нечто подобное происходит в обратном направлении: при переходе от прямой

к плоскости

Поэтому не

через «треугольную» фрактальную линию

случайны   особые   свойства   треугольника:   в   отличие   от   других   многоугольников,   он   –

единственная жесткая (несжимаемая) геометрическая фигура, – в смысле попытки изменения

внутренних углов при сохранении общего вида конструкции.

Другими словами, с точки зрения фрактальной геометрии в ее единицах измерениях: – треугольник своей конструктивной жесткостью становится прообразом плоскости; –   пятиугольник, в силу своих особенностей пропорционального разбиения целого на части,

первым   из   всех   правильных   многоугольников   наоборот   осуществляет   пропорциональное

разделение (сопоставление) плоскости линией с фрактальной размерностью

Поэтому для восстановления расплывчатого и расщепленного соображения размерности, как «количества пространственных измерений или степени многомерности» [3, c. 30], а также воссоединения двух составляющих, здесь вполне приемлем компромисс в виде «золотой» середины Ф ≈ 1,618 (!?)

Для 8-угольника коэффициент сжатия равен

 обобщенное

«золотое»  сечение для «металлической»  пропорции,  описываемой квадратным уравнением с

целочисленными коэффициентами


Коэффициент сжатия 12-угольника составляет

 

где

 – обобщенное

«золотое»    сечение    для    «металлической»    пропорции,    которой    соответствует    квадратное

уравнением с иррациональными коэффициентами

В 16-угольнике коэффициент сжатия равен

 

где

 обобщенное «золотое»

сечение    для    «металлической»    пропорции,    описываемой    квадратным    уравнением    с

иррациональными коэффициентами

обязательно монотонно), и в пределе совпадает с топологической размерность для окружности

С ростом

 фрактальная размерность

 имеет общую тенденцию к убыванию (не

Пятиугольник состоит из пяти одинаковых частей, которые подобны целому, но имеют в r раз меньший размер:

поэтому его фрактальная размерность равна

Примечательно, что шестиугольник (k= 6, r = 3), который имеет более отдаленное отношение к «золотому» сечению, чем правильный пятиугольник, тем не менее, обладает фрактальной

отличающейся от гармонической пропорции только на

0,8 %.

Во всяком случае, он к ней ближе, чем «усеянный золотом» «пятиугольный фрактал» (в

смысле наличия в нем множества «золотых» сечений):

Например, каждый конец пятиугольной звезды представляет собой «золотой» треугольник, стороны которого образуют при вершине угол 36°, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции «золотого» сечения.

В тоже время в расчете фрактальной размерности D5 число Ф присутствует в явном виде,

что указывает на непосредственную связь фрактала с «золотым» сечением. То есть визуально определяемая форма фрактала обусловлена наличием «золотых» углов, а его содержание подтверждается дробной размерностью со знаменателем 1п(Φ +1).

Внутренняя граница данной фигуры - пятиугольная снежинка Коха - непрерывная кривая, которая нигде не имеет касательной, а в пределе - бесконечную протяженность.

Десятиугольник    характерен    тем,    что    его    сторона    равна

Соответственно    коэффициент    сжатия

 а    фрактальная     размерность

Ближе всего к числу Ф оказывается фрактальная размерность девятиугольника

Четвертое наблюдение. Чтобы получить фигуру с фрактальной размерностью Ф, исходя из

уравнения (4) коэффициент сжатия следует положить равным

Однако если выбрать г > г, то получается разрыв линии или фрактальная пыль. Неравенство ) < г приводит к самопересечению фрактальной линии.

функция от k,

Аналогичным образом, решая нелинейное уравнение

определяемая уравнениями (3)–(4), можно показать, что фрактальная размерность в точности равна Ф для 9,06-угольника, если бы таковой реально существовал.


Таким образом, стремление увидеть в конкретной величине фрактальной размерности D число «золотой» пропорции Ф, на физическом уровне не несет особой смысловой нагрузки, свойственной числу Ф в его обычном проявлении.

Выводы.

  1.  Определены основные признаки фрактальных структур, связанных с «золотым» сечением.
  2.  Представлена система интегрируемых функций, задающая совокупность генерирующих комплексных чисел и воспроизводящая фрактальные многоугольники на комплексной плоскости.
  3.  Получены формулы для построения самоподобных совершенных (без самопересечения) фрактальных кривых, основанных на правильных многоугольниках.
  4.  Исследована эволюция фрактальных структур, исходя из гипотезы о существовании переходных форм между линией и плоскостью.
  5.  Определен ряд фрактальных размерностей через «золотое» сечение.
  6.  Построено множество фрактальных фигур с наличием явных признаков «золотых» пропорций.

Литература

  1.  Шипицын Е.В., Попков В.В. Двойственность и золотое сечение в теории фракталов и хаоса // Вестник Международного Института им. А. Богданова. – 2001. – № 6. – http://www.bogdinst.ru/vestnik/v06_01.htm.
  2.  Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы: Учеб. пособ. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 128 с.
  3.  Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы: Пер. с англ. – М .: Ин-т компьютерных исследований, 2002. – 656 с.

Рис. 7. Реализации фрактальных многоугольников в программной среде MathCad


Приложение

5   ""*ф"- 7  -ЪЩр$Г 9

Наложение двух фракталов, симметричных относительно действительной числовой оси

Фрактальные фигуры с дополнительным преобразованием zn =znu

и = 2

1,5 ^4Д 5

Треугольник Серпинского

и = 2

5-угольник

3 и = 2

6-угольник

8/5 8-угольник


10-угольник

и = 6,

15-угольник 8

20-угольник

и = 20

50-угольник


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14382. Проверка основного закона динамики для вращающихся тел 149 KB
  Лабораторная работа №3 Проверка основного закона динамики для вращающихся тел. Цель: Подтвердить что при неизменном моменте инерции системы угловое ускорение пропорционально моменту действующей силы и что при постоянном моменте силы действующей на тело угловое ус...
14383. Измерение чувствительности и внутреннего сопротивления стрелочного гальванометра. Шунты и добавочные сопротивления 141.5 KB
  Лабораторная работа № 32 по теме: Измерение чувствительности и внутреннего сопротивления стрелочного гальванометра. Шунты и добавочные сопротивления. Цель работы: I Определение внутреннего сопротивления гальванометра и его чувствительности по току и по напряж...
14384. Изучение свойств индуцированного излучения оптического квантового генератора 38.5 KB
  Работа №74.2 Изучение свойств индуцированного излучения оптического квантового генератора. Цель: Определить длину волны лазерного излучения и измерить угловую расходимость лазерного луча. Оборудование: Лазер на оптической скамье дифракционная решетка шка
14385. Дифракционная решетка 39.5 KB
  Работа №71.2 Дифракционная решетка Цель работы: Определить длины волн нескольких линий ртутного спектра с помощью дифракционной решетки. Оборудование: Ртутная лампа ПРК2 спектрогониометр дифракционная решетка. Порядок выполнения работы 1 Проверил з
14386. Определение емкостей конденсаторов и ЭДС гальванических элементов при помощи баллистического галванометра 49 KB
  Работа №33 Определение емкостей конденсаторов и ЭДС гальванических элементов при помощи баллистического галванометра. Цель: Измерить емкости конденсаторов и ЭДС гальванических элементов при помощи баллистического гальванометра. Оборудование: баллистический га
14387. Измерение сопротивления с помощью моста постоянного тока. Определение удельного сопротивления проводников 49 KB
  Работа №31 Измерение сопротивления с помощью моста постоянного тока. Определение удельного сопротивления проводников. Цель: Измерить сопротивление провдников с помощью моста постоянного тока. Определить удельное сопротивление проводника. Оборудование: 3 иссле
14388. Определение внутреннего сопротивления гальванометра 192.5 KB
  Лабораторная работа № 138 Цель работы: Определение внутреннего сопротивления гальванометра. Определение средней чувствительности и градуирование гальванометра. Изучение зависимости периода колебаний логарифмического декремента затухания и времени успокоения от со...
14389. Проверить линейность усилителей электронного осциллографа 230 KB
  Лабораторная работа № 130 Цель работы: Проверить линейность усилителей электронного осциллографа произвести градуировку усилителей проверить внутренний калибратор напряжений. Приборы и материалы: осциллограф реостат магазин сопротивлений вольтметр. ...
14390. Определение внутреннего сопротивления гальванометра 144 KB
  Лабораторная работа № 32 Цель работы: Определение внутреннего сопротивления гальванометра. Расчет добавочного сопротивления для использования гальванометра в качестве вольтметра. Приборы и материалы: гальванометр магазины сопротивлений 2 реостат вольтметр выкл...