12652

Чисельне рішення систем диференціальних рівнянь

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №7 Чисельне рішення систем диференціальних рівнянь. Мета роботи: навчитися вирішувати системи диференціальних рівнянь за допомогою пакету С. Завдання: відтворити в пакеті MATHCAD вирішення наведених прикладів. Диференціальні рівняння що входять...

Украинкский

2013-05-02

79 KB

6 чел.

Лабораторна робота №7

Чисельне рішення систем диференціальних рівнянь.

Мета роботи: навчитися вирішувати системи диференціальних рівнянь за допомогою пакету С.

Завдання: відтворити в пакеті MATHCAD вирішення наведених  прикладів.

Диференціальні рівняння, що входять в систему, повинні мати перший Чисельне вирішення систем звичайних порядок (тобто містити лише перші похідні). Всі рівняння мають бути заздалегідь дозволені відносно похідних і записані в нормальній формі вигляду

.

Для перетворення рівнянь в нормальну форму є два основні підходи:

1. Пониження порядку рівнянь шляхом заміни змінних. Якщо вихідне диференціальне рівняння порядку q (q>1) має вигляд

,

то вводяться нові змінні pj, причому j = 1..q-1. У вихідному рівнянні виробляється серія замін:

,

а похідна вищого порядку замінюється похідною першого порядку:

.

Додається q – 2 нових рівнянь вигляду

.

Додається ще одне рівняння

.

Наприклад, рівняння

можна перетворити в систему рівнянь:

2. Приведення системи диференціальних рівнянь до явного вигляду шляхом її рішення відносно похідних. Наприклад, вирішуючи систему

відносно  і, отримаємо:

Розглянемо вирішення систем диференціальних рівнянь в MATHCAD на прикладі завдання про моделювання динаміки електричного ланцюга, показаного на мал. 16.

Динаміка описується наступною системою диференціальних рівнянь:

Мал. 16. Електричний ланцюг

де Uc - напруга на конденсаторі. Хай  ; i1(0) = i2(0) = Uc(0) = 0;  ; L1 = 0,02; L2 = 0,06; M = 0,01; R = 0,5; C = 0,01.

Рішення записується таким чином:

1. Визначаються всі константи і допоміжні функції, присутні в правій частині системи.

2. Визначається спеціальна функція, що обчислює праву частину системи. Функція має два аргументи: перший - незалежна змінна (наприклад, час t), другий - вектор поточних значень залежних змінних. Результатом функції має бути вектор, що містить значення правих частин системи, обчислених по значеннях другого аргументу функції. Вектори мають стільки елементів, скільки рівнянь в системі. При записі правих частин всі залежні змінні замінюються елементами вектора – другого аргументу, причому використовується наступне правило: нульовому елементу відповідає змінна, похідна від якої стоїть в лівій частині першого рівняння; першому елементу - змінна, похідна від якої стоїть в лівій частині другого рівняння і так далі. У наведеному далі прикладі, де другий аргумент функції позначений як Y, елементу Y0 відповідає i1 - змінна з похідної в лівій частині першого рівняння, елементу Y1 відповідає i2 - змінна з похідної в лівій частині другого рівняння, елементу Y2 відповідає UC.

3. Задається вектор початкових значень незалежних змінних.

4. Звернення до функції rkfixed. Перший аргумент - вектор початкових значень. Другий і третій - відповідно початкове і кінцеве значення незалежної змінної. Четвертий аргумент - число проміжних точок рішення (звичайне чимале число в діапазоні  ). П'ятий - ім'я функції, що обчислює праву частину системи. Функція rkfixed повертає матрицю, в нульовому стовпці якої знаходяться значення незалежної змінної, а в інших стовпцях - відповідні значення залежних змінних.

Рішення показане на мал. 17.

Мал. 17. Запис рішення задачі в MATHCAD

 

На мал. 18 показані графіки i2(t), Uc(t). Даним змінним відповідають другий і третій стовпці матриці S.

Мал. 18. Графіки i2(t), Uc(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25947. Большое распространение в зарубежной и отечественной практике получили также висячие тонколистовые системы - мембранные покрытия 76.5 KB
  В некоторых случаях вместо сплошной мембраны покрытие образуется из отдельных не соединяемых друг с другом тонких стальных лент. Сплошное мембранное покрытие успешно применено для универсального стадиона на проспекте Мира в Москве размеры в плане которого достигают 183x224 м рис.
25949. Сводчатые покрытия проектируются, как правило, из сборных железобетонных элементов для прямоугольных в плане однопролетных или многопролетных зданий 35.5 KB
  По продольным краям вдоль образующей своды могут опираться на колонны стены или непосредственно на фундаменты.1 Своды с затяжками Рисунок 7.2 Своды без затяжек 7. Своды призматического полигонального очертания состоят из прямолинейных участков вписанных в дугу указанных выше кривых.
25950. Городские транспортные сооружения 34 KB
  Путепроводы и эстакады можно отнести ко второй группе сооружений. Эстакады применяют в следующих случаях: на пересечениях двух и более транспортных магистралей для увеличения пропускной способности улиц для пропуска скоростных автомагистралей над городской застройкой независимо от сложившейся сети улиц на подходах к большим мостам вместо высоких насыпей на подходах к местам скопления большого числа автомобилей вокзалам аэродромам гостиницам стадионам для уширения набережных и организации движения вдоль рек на косогорах болотах и...
25951. Стоянка для автомобилей (далее автостоянка) - здание, сооружение или специальная открытая площадка, предназначенные только для хранения (стоянки) автомобилей 32.5 KB
  Механизированная автостоянка автостоянка в которой транспортировка автомобилей в места ячейки хранения осуществляется специальными механизированными устройствами без участия водителей.5 Автостоянки закрытого типа для автомобилей с двигателями работающими на сжатом природном газе и сжиженном нефтяном газе встраивать в здания иного назначения и пристраивать к ним а также располагать ниже уровня земли не допускается.7 Хранение автомобилей для перевозки горючесмазочных материалов следует как правило предусматривать на открытых...