12652

Чисельне рішення систем диференціальних рівнянь

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №7 Чисельне рішення систем диференціальних рівнянь. Мета роботи: навчитися вирішувати системи диференціальних рівнянь за допомогою пакету С. Завдання: відтворити в пакеті MATHCAD вирішення наведених прикладів. Диференціальні рівняння що входять...

Украинкский

2013-05-02

79 KB

6 чел.

Лабораторна робота №7

Чисельне рішення систем диференціальних рівнянь.

Мета роботи: навчитися вирішувати системи диференціальних рівнянь за допомогою пакету С.

Завдання: відтворити в пакеті MATHCAD вирішення наведених  прикладів.

Диференціальні рівняння, що входять в систему, повинні мати перший Чисельне вирішення систем звичайних порядок (тобто містити лише перші похідні). Всі рівняння мають бути заздалегідь дозволені відносно похідних і записані в нормальній формі вигляду

.

Для перетворення рівнянь в нормальну форму є два основні підходи:

1. Пониження порядку рівнянь шляхом заміни змінних. Якщо вихідне диференціальне рівняння порядку q (q>1) має вигляд

,

то вводяться нові змінні pj, причому j = 1..q-1. У вихідному рівнянні виробляється серія замін:

,

а похідна вищого порядку замінюється похідною першого порядку:

.

Додається q – 2 нових рівнянь вигляду

.

Додається ще одне рівняння

.

Наприклад, рівняння

можна перетворити в систему рівнянь:

2. Приведення системи диференціальних рівнянь до явного вигляду шляхом її рішення відносно похідних. Наприклад, вирішуючи систему

відносно  і, отримаємо:

Розглянемо вирішення систем диференціальних рівнянь в MATHCAD на прикладі завдання про моделювання динаміки електричного ланцюга, показаного на мал. 16.

Динаміка описується наступною системою диференціальних рівнянь:

Мал. 16. Електричний ланцюг

де Uc - напруга на конденсаторі. Хай  ; i1(0) = i2(0) = Uc(0) = 0;  ; L1 = 0,02; L2 = 0,06; M = 0,01; R = 0,5; C = 0,01.

Рішення записується таким чином:

1. Визначаються всі константи і допоміжні функції, присутні в правій частині системи.

2. Визначається спеціальна функція, що обчислює праву частину системи. Функція має два аргументи: перший - незалежна змінна (наприклад, час t), другий - вектор поточних значень залежних змінних. Результатом функції має бути вектор, що містить значення правих частин системи, обчислених по значеннях другого аргументу функції. Вектори мають стільки елементів, скільки рівнянь в системі. При записі правих частин всі залежні змінні замінюються елементами вектора – другого аргументу, причому використовується наступне правило: нульовому елементу відповідає змінна, похідна від якої стоїть в лівій частині першого рівняння; першому елементу - змінна, похідна від якої стоїть в лівій частині другого рівняння і так далі. У наведеному далі прикладі, де другий аргумент функції позначений як Y, елементу Y0 відповідає i1 - змінна з похідної в лівій частині першого рівняння, елементу Y1 відповідає i2 - змінна з похідної в лівій частині другого рівняння, елементу Y2 відповідає UC.

3. Задається вектор початкових значень незалежних змінних.

4. Звернення до функції rkfixed. Перший аргумент - вектор початкових значень. Другий і третій - відповідно початкове і кінцеве значення незалежної змінної. Четвертий аргумент - число проміжних точок рішення (звичайне чимале число в діапазоні  ). П'ятий - ім'я функції, що обчислює праву частину системи. Функція rkfixed повертає матрицю, в нульовому стовпці якої знаходяться значення незалежної змінної, а в інших стовпцях - відповідні значення залежних змінних.

Рішення показане на мал. 17.

Мал. 17. Запис рішення задачі в MATHCAD

 

На мал. 18 показані графіки i2(t), Uc(t). Даним змінним відповідають другий і третій стовпці матриці S.

Мал. 18. Графіки i2(t), Uc(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31324. Издержки предприятия и пути их оптимизации, на примере ООО «Ижтрейдинг» магазина Миндаль Ижевск 1.77 MB
  Месторасположение предприятия и зона обслуживания конкуренты и потребители продукции товаров и услуг. Характеристика товаров и оказываемых услуг. Руководитель отдела снабжения товаровед как руководители среднего звена определяют принципиальные вопросы закупочной политики в частности ориентацию на определенных поставщиков. В непосредственном подчинении у специалиста по снабжению находится: товаровед.
31326. Организация постановки пьесы «Саломея» О. Уайльда 9.96 MB
  Наряду с этим в 1891 году Уайльд пишет на французском языке трагедию Саломея именно эту пьесу я взяла для постановки дипломного спектакля. Оскар Уайльд был представлен русской читающей публике в журнале Артист в 1892 году как автор запрещенной пьесы Саломея. В 1917 году пьеса была поставлена одновременно в двух театрах: Малый театр Саломея – Ольга Гзовская и Камерный театр Саломея – Алиса Коонен. В настоящее время Саломея один из ведущих спектаклей театра Романа Виктюка.
31327. Восстановление токсичных веществ 967 KB
  Нитрогруппа отличается высокой стабильностью по отношению к электрофильным реагентам и разнообразным окислителям. Большинство нуклеофильных агентов за исключением литий- и магнийорганических соединений, а также литийалюминийгидрида не действуют на нитрогруппу. Нитрогруппа относится к числу превосходных нуклеофильных групп в процессах активированного ароматического нуклеофильного замещения
31329. Реставрация дома в Иркутской области 1.05 MB
  Подготовка и оклейка поверхности обоями 31 2. По всем показателям вид отделки лицевой поверхности керамическая плитка для пола аналогична фасадной керамической плитке. Назначение и виды штукатурных работ Штукатуркой называется отделочный слой на поверхности различных конструктивных элементов зданий стен перегородок перекрытий колонн и др. выравнивающий эти поверхности или придающий им определенную форму и фактуру.
31330. Модернизация электрооборудования продольношлифовального станка модели 3Б722 1.22 MB
  Присоединительные клеммы располагаются в закрытой коробке имеющей резьбовое отверстие или патрубок для ввода проводов: – снятие двигателя и его установка не должны вызывать частичного или полного демонтажа механизмов станка; замена и изменение натяжения ремней должна быть простой. Выбор элементов монтажа С целью защиты проводников от механических повреждений и вредных воздействий машинного масла пыли и охлаждающей жидкости производится в стальных тонкостенных трубах...
31331. Робота з базами даних і можливість автоматизації роботи кулінарного сайту 268.5 KB
  Необхідність вдосконалення методів і прийомів визначення економічної ефективності і розрахунків пояснюється тим, що впровадження обчислювальної техніки - дорогий процес, і тому доцільність витрат на створення і впровадження інформаційної системи повинно бути серйозно обґрунтовано. На створення інформаційної системи потрібні одноразові витрати на її розробку і придбання необхідного комплексу технічних засобів. Економічна ефективність системи визначається з урахуванням одноразових витрат і поточних витрат.
31332. Проектирование локальной вычислительной сети ООО «РАСКО» 4.84 MB
  Локальные сети в сравнении с глобальными сетями внесли много нового в способы организации работы пользователей. Доступ к разделяемым ресурсам стал гораздо удобнее - пользователь мог просто просматривать списки имеющихся ресурсов, а не запоминать их идентификаторы или имена. После соединения с удаленным ресурсом можно было работать с ним с помощью уже знакомых пользователю по работе с локальными ресурсами команд.