12652

Чисельне рішення систем диференціальних рівнянь

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №7 Чисельне рішення систем диференціальних рівнянь. Мета роботи: навчитися вирішувати системи диференціальних рівнянь за допомогою пакету С. Завдання: відтворити в пакеті MATHCAD вирішення наведених прикладів. Диференціальні рівняння що входять...

Украинкский

2013-05-02

79 KB

6 чел.

Лабораторна робота №7

Чисельне рішення систем диференціальних рівнянь.

Мета роботи: навчитися вирішувати системи диференціальних рівнянь за допомогою пакету С.

Завдання: відтворити в пакеті MATHCAD вирішення наведених  прикладів.

Диференціальні рівняння, що входять в систему, повинні мати перший Чисельне вирішення систем звичайних порядок (тобто містити лише перші похідні). Всі рівняння мають бути заздалегідь дозволені відносно похідних і записані в нормальній формі вигляду

.

Для перетворення рівнянь в нормальну форму є два основні підходи:

1. Пониження порядку рівнянь шляхом заміни змінних. Якщо вихідне диференціальне рівняння порядку q (q>1) має вигляд

,

то вводяться нові змінні pj, причому j = 1..q-1. У вихідному рівнянні виробляється серія замін:

,

а похідна вищого порядку замінюється похідною першого порядку:

.

Додається q – 2 нових рівнянь вигляду

.

Додається ще одне рівняння

.

Наприклад, рівняння

можна перетворити в систему рівнянь:

2. Приведення системи диференціальних рівнянь до явного вигляду шляхом її рішення відносно похідних. Наприклад, вирішуючи систему

відносно  і, отримаємо:

Розглянемо вирішення систем диференціальних рівнянь в MATHCAD на прикладі завдання про моделювання динаміки електричного ланцюга, показаного на мал. 16.

Динаміка описується наступною системою диференціальних рівнянь:

Мал. 16. Електричний ланцюг

де Uc - напруга на конденсаторі. Хай  ; i1(0) = i2(0) = Uc(0) = 0;  ; L1 = 0,02; L2 = 0,06; M = 0,01; R = 0,5; C = 0,01.

Рішення записується таким чином:

1. Визначаються всі константи і допоміжні функції, присутні в правій частині системи.

2. Визначається спеціальна функція, що обчислює праву частину системи. Функція має два аргументи: перший - незалежна змінна (наприклад, час t), другий - вектор поточних значень залежних змінних. Результатом функції має бути вектор, що містить значення правих частин системи, обчислених по значеннях другого аргументу функції. Вектори мають стільки елементів, скільки рівнянь в системі. При записі правих частин всі залежні змінні замінюються елементами вектора – другого аргументу, причому використовується наступне правило: нульовому елементу відповідає змінна, похідна від якої стоїть в лівій частині першого рівняння; першому елементу - змінна, похідна від якої стоїть в лівій частині другого рівняння і так далі. У наведеному далі прикладі, де другий аргумент функції позначений як Y, елементу Y0 відповідає i1 - змінна з похідної в лівій частині першого рівняння, елементу Y1 відповідає i2 - змінна з похідної в лівій частині другого рівняння, елементу Y2 відповідає UC.

3. Задається вектор початкових значень незалежних змінних.

4. Звернення до функції rkfixed. Перший аргумент - вектор початкових значень. Другий і третій - відповідно початкове і кінцеве значення незалежної змінної. Четвертий аргумент - число проміжних точок рішення (звичайне чимале число в діапазоні  ). П'ятий - ім'я функції, що обчислює праву частину системи. Функція rkfixed повертає матрицю, в нульовому стовпці якої знаходяться значення незалежної змінної, а в інших стовпцях - відповідні значення залежних змінних.

Рішення показане на мал. 17.

Мал. 17. Запис рішення задачі в MATHCAD

 

На мал. 18 показані графіки i2(t), Uc(t). Даним змінним відповідають другий і третій стовпці матриці S.

Мал. 18. Графіки i2(t), Uc(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59824. Зветься веселково – Україною наша рідна батьківська земля 50 KB
  Учениця: Дорогі гості щиро вітаємо вас у нашій світлиці. Учениця: Батьки вчили дітей цінувати кожну крихту хліба і завжди памятати що хліб це життя. Учениця: У нашому музеї зібрані предмети народного побуту що були незамінні в господарстві.
59825. Веселый урок здоровья 51.5 KB
  Входит Доктор Учитель: Да это же доктор Умывальников Доктор: Добрый врач бывалый врач Чуть услышит детский плач В ранний час и в полночь Поспешит на помощь. Я Добрый Доктор Умывальников. Выбегают Лентяи Доктор: Нет это не они.
59826. А вже весна воскресла. Сценарій Свято Великодня для середньої та старшої групи 36.5 KB
  Діти середньої групи співають пісню Люба веснонька весна збірник Весняне намисто Вед.: Коли Великдень ми стрічаєм Діти: Цвітуть садицвітуть поля Вед.: Коли Великдень ми стрічаєм Діти: Весною дихає земля Вед. Дітиразом Бог із нами Радість з нами Хай будуть вічно на землі...
59827. Виховний захід. Мелодії весни 43.5 KB
  Ведучий – Чи не правда, чудова пора року весна. Все прокидається, народжується, радіє. Природа ніби зачаровує нас своєю красою. Квітковий розмай, зелень трав, чарівність звуків!!!
59828. ПРАЗДНИК ВЕСНЫ 54.5 KB
  А превращу-ка я вас в цветы. Весна-Красна А я тебе на подмогу цветы привел. Что-то подозрительные цветы на этой поляне. Вижу вы настоящие цветы.
59829. Весна на пташиних крилах 46.5 KB
  Мета: Пізнавальний розвиток: продовжувати формувати уявлення дітей про життя птахів комах тварин їх ознакиповедінка зовнішній вигляд вчити встановлювати причинно-наслідкові звязки в природі прищеплювати любов до природи...
59830. Свято зустрічі весни. Виховний захід 3 клас 52.5 KB
  Синичка дівчинка Ще в нашому лісі сніги лежать та перший струмочок сьогодні продзвенів мені що весна близько. Йде весна йде весна чарівниченька. Учениця Ось весна вже зовсім близько З гір біжить шумить потік...
59831. «ВЕСНЯНА ФАНТАЗІЯ» В. МОЦАРТА 32.5 KB
  Мета: зясувати чи можна побачити живописний образ природи через сприйняття музичного твору Весняна фантазія В. Завдання: навчити учнів співвідносити живописні образи з музичними; узагальнити поняття про образність і виразність у музиці...