12652

Чисельне рішення систем диференціальних рівнянь

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №7 Чисельне рішення систем диференціальних рівнянь. Мета роботи: навчитися вирішувати системи диференціальних рівнянь за допомогою пакету С. Завдання: відтворити в пакеті MATHCAD вирішення наведених прикладів. Диференціальні рівняння що входять...

Украинкский

2013-05-02

79 KB

6 чел.

Лабораторна робота №7

Чисельне рішення систем диференціальних рівнянь.

Мета роботи: навчитися вирішувати системи диференціальних рівнянь за допомогою пакету С.

Завдання: відтворити в пакеті MATHCAD вирішення наведених  прикладів.

Диференціальні рівняння, що входять в систему, повинні мати перший Чисельне вирішення систем звичайних порядок (тобто містити лише перші похідні). Всі рівняння мають бути заздалегідь дозволені відносно похідних і записані в нормальній формі вигляду

.

Для перетворення рівнянь в нормальну форму є два основні підходи:

1. Пониження порядку рівнянь шляхом заміни змінних. Якщо вихідне диференціальне рівняння порядку q (q>1) має вигляд

,

то вводяться нові змінні pj, причому j = 1..q-1. У вихідному рівнянні виробляється серія замін:

,

а похідна вищого порядку замінюється похідною першого порядку:

.

Додається q – 2 нових рівнянь вигляду

.

Додається ще одне рівняння

.

Наприклад, рівняння

можна перетворити в систему рівнянь:

2. Приведення системи диференціальних рівнянь до явного вигляду шляхом її рішення відносно похідних. Наприклад, вирішуючи систему

відносно  і, отримаємо:

Розглянемо вирішення систем диференціальних рівнянь в MATHCAD на прикладі завдання про моделювання динаміки електричного ланцюга, показаного на мал. 16.

Динаміка описується наступною системою диференціальних рівнянь:

Мал. 16. Електричний ланцюг

де Uc - напруга на конденсаторі. Хай  ; i1(0) = i2(0) = Uc(0) = 0;  ; L1 = 0,02; L2 = 0,06; M = 0,01; R = 0,5; C = 0,01.

Рішення записується таким чином:

1. Визначаються всі константи і допоміжні функції, присутні в правій частині системи.

2. Визначається спеціальна функція, що обчислює праву частину системи. Функція має два аргументи: перший - незалежна змінна (наприклад, час t), другий - вектор поточних значень залежних змінних. Результатом функції має бути вектор, що містить значення правих частин системи, обчислених по значеннях другого аргументу функції. Вектори мають стільки елементів, скільки рівнянь в системі. При записі правих частин всі залежні змінні замінюються елементами вектора – другого аргументу, причому використовується наступне правило: нульовому елементу відповідає змінна, похідна від якої стоїть в лівій частині першого рівняння; першому елементу - змінна, похідна від якої стоїть в лівій частині другого рівняння і так далі. У наведеному далі прикладі, де другий аргумент функції позначений як Y, елементу Y0 відповідає i1 - змінна з похідної в лівій частині першого рівняння, елементу Y1 відповідає i2 - змінна з похідної в лівій частині другого рівняння, елементу Y2 відповідає UC.

3. Задається вектор початкових значень незалежних змінних.

4. Звернення до функції rkfixed. Перший аргумент - вектор початкових значень. Другий і третій - відповідно початкове і кінцеве значення незалежної змінної. Четвертий аргумент - число проміжних точок рішення (звичайне чимале число в діапазоні  ). П'ятий - ім'я функції, що обчислює праву частину системи. Функція rkfixed повертає матрицю, в нульовому стовпці якої знаходяться значення незалежної змінної, а в інших стовпцях - відповідні значення залежних змінних.

Рішення показане на мал. 17.

Мал. 17. Запис рішення задачі в MATHCAD

 

На мал. 18 показані графіки i2(t), Uc(t). Даним змінним відповідають другий і третій стовпці матриці S.

Мал. 18. Графіки i2(t), Uc(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73157. НЕЛИНЕЙНАЯ ОДНОФАКТОРНАЯ РЕГРЕССИЯ 89.95 KB
  Исследуем данную зависимость для чего определим: Коэффициенты кривой Лаффера а0 а1 а2; Оптимальную налоговую ставку X; Коэффициент детерминации R2 и критерий Фишера F для проверки адекватности построенной модели; Прогнозное значение поступлений Yp для оптимальной налоговой ставки...
73158. Устройство шин, их конструкция и классификация 503.21 KB
  Колеса принимают крутящий момент от двигателя, и за счет сил сцепления с дорогой обеспечивают движение автомобиля, а также они воспринимают и сглаживают удары и толчки от неровностей поверхности дороги. От них зависят возможность разгона и торможения, управляемость и устойчивость, плавность...
73159. Назначение, устройство и принцип работы тормозной системы автомобиля 190.53 KB
  Тормозной механизм –- это устройство непосредственно создающее искусственное сопротивление движению автомобиля преобразующее его кинетическую энергию в тепло рассеиваемое в окружающую среду.
73160. Назначение, устройство и принцип работы подвески автомобиля 241.59 KB
  Гаситель колебаний чаще всего представляет собой отдельное устройство –- амортизатор который гасит взаимные колебания кузова и колес автомобиля; частично эти колебания гасит трение в шарнирах подвески.
73161. Назначение, устройство и принцип работы рулевого управления автомобиля 171.74 KB
  Рулевое управление автомобиля предназначено для выполнения двух взаимосвязанных функций. Первая из них заключается в изменении направления движения в соответствии с управляющим воздействием водителя.
73163. Разработка программ в среде Visual Basic 83.61 KB
  Записать процедуру для вычисления значения ступенчатой функции Z для заданного варианта. Предусмотреть запуск программы из среды Word и возможности ввода значения переменной x из диалогового окна InputBox, а также вывод значения Z в панели сообщения MsgBox.