12759

Метод наименьших квадратов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Метод наименьших квадратов В данной работе содержатся краткие теоретические положения образцы выполнения заданий необходимые для выполнения лабораторной работы индивидуальные задания. Работа предназначена для студентов всех специальностей. Содержание 1. Те...

Русский

2013-05-03

1.88 MB

194 чел.

Метод наименьших квадратов

В данной работе содержатся краткие теоретические положения, образцы выполнения заданий, необходимые для выполнения лабораторной работы, индивидуальные задания.

Работа предназначена для студентов всех специальностей.

Содержание

1. Теоретические сведения…………………………………………….5

2. Индивидуальные задания………………………………………….12

   Задание 1 (для студентов экономических специальностей)…….12

   Задание 2 (для студентов экономических специальностей)…….17

   Задание 1 (для студентов инженерных специальностей)……….23

   Задание 2 (для студентов инженерных специальностей)……….28

3. Образцы выполнения заданий…………………………………….34

   3.1 Образец выполнения задания 1 в MSExcel…………………..34

   3.2 Образец выполнения задания 2 в MSExcel…………………..40

   3.3 Образец выполнения задания 1 в MathCAD…………………44

   3.4 Образец выполнения задания 2 в MathCAD…………………47

Контрольные вопросы………………………………………………..51

Библиографический список………………………………………….52

Цель работы: 1. Изучить основы метода наименьших квадратов.

2. Научиться решать задачу аппроксимации дискретной зависимости  непрерывной функцией  определенного класса.

3. Освоить методику применения программных продуктов MathCAD и MSExcel для построения линейной и полиномиальной зависимостей по заданным эмпирическим данным.

Задание

Методом наименьших квадратов по заданным эмпирическим данным построить

  1.  линейную регрессию .
  2.  квадратичную регрессию .

Студентам инженерных специальностей рекомендуется выполнять задания, используя программный продукт MathCAD, экономических специальностей – программный продукт MSExcel. Образцы выполнения заданий в MathCAD и MSExcel приведены в настоящем пособии.

Сами индивидуальные задания смотри в разделе 2 .


1. Теоретические сведения

Метод наименьших квадратов (МНК) – один из наиболее часто используемых методов при обработке эмпирических данных, построении и анализе физических, биологических, технических, экономических и социальных моделей1.

С помощью МНК решают задачу выбора параметров функции (заранее заданного вида) для приближённого описания зависимости величины у от величины х.

Исходные данные могут носить самый разнообразный характер и относиться к различным отраслям науки или техники, например:

  •  зависимость продолжительности службы электрических ламп  от поданного на них напряжения ;
  •  зависимость пробивного напряжения конденсаторов  от температуры окружающей среды ;
  •  зависимость предела прочности стали  от содержания углерода ;
  •  зависимость показателей безработицы  и инфляции ;
  •  зависимость роста преступности,% и роста безработицы ,%
  •  зависимость цен товара  от спроса  на этот товар;
  •  зависимость частного потребления  от располагаемого дохода ;
  •  зависимость температура воздуха  от высоты над уровнем моря  и другие зависимости.

Пусть необходимо установить функциональную зависимость между двумя эмпирическими данными x и y, значения которых занесены в следующую таблицу:

x

x1

x2

xi

xn

y

y1

y2

yi

yn

Точки  координатной плоскости принято называть экспериментальными.

Установим вид функции  по характеру расположения на координатной плоскости экспериментальных точек.

Если точки расположены так, как показано на рис.1, то разумно предположить, что между x и y существует линейная зависимость, выражающаяся формулой:

.                                                (1)

Рассмотрим случай такой зависимости.

Уравнение (1) можно представить в виде

.

Так как точки , , …,  не обязательно лежат на одной прямой, то, подставляя вместо х и у значения координат этих точек в выражение , получаем равенства:

,  , …, ,

где , , …,  – некоторые числа, которые называют погрешностями (отклонениями, невязками).

Понятно, что чем меньше эти погрешности по абсолютной величине, тем лучше прямая, задаваемая уравнением , описывает зависимость между экспериментально полученными значениями x и y.

Сущность метода наименьших квадратов заключается в подборе коэффициентов k и b таким образом, чтобы сумма квадратов погрешностей была как можно меньшей:

                   (2)

Отметим, что в равенстве (2) находится сумма именно квадратов погрешностей, так как в случае суммирования самих погрешностей  сумма может оказаться малой за счет разных знаков погрешностей.

Так как в равенстве (2) xi и yi – заданные числа, а k и b – неизвестные, то сумму S можно рассмотреть как функцию двух переменных k и b: . Исследуем ее на экстремум:

Необходимое условие существования экстремума функции двух переменных:

Приравнивая эти частные производные к нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя переменными k и b:

Преобразуя первое уравнение системы, получим .

Преобразуя второе уравнение системы, получим

.

Откуда имеем систему:

                                   (3)

Система (3) называется нормальной системой.

Из этой системы находим k и b, которые затем подставляем в уравнение (1) и получаем искомое уравнение прямой.

Тот факт, что функция  в найденной точке  имеет именно минимум, устанавливается с помощью частных производных второго порядка.

Вычислим

2

Очевидно,  следовательно, в найденной точке  функция  имеет экстремум; а так как  то, согласно достаточному условию экстремума функции двух переменных, в точке  функция имеет минимум.

Полученная функция  называется линейной регрессией, а коэффициенты k и bкоэффициентами регрессии (величины у на х).

Зависимость между экспериментально полученными величинами может быть близка к квадратичной (рис.2). В этом случае задача состоит в нахождении коэффициентов a2, a1, a0 для составления уравнения вида .

Можно доказать, что для определения коэффициентов a2, a1, a0 следует решить систему уравнений:

В экспериментальной практике в качестве приближающих функций, помимо линейной  и квадратичной , в зависимости от характера точечного графика часто используются следующие приближающие функции:

,  ,  ,  ,   , .

Очевидно, что когда вид приближающей функции установлен, задача сводится только к отысканию значений параметров.

Пример

Д.И. Менделеев в труде «Основы химии» приводит данные растворимости у натриевой селитры  на 100 г воды в зависимости от температуры t0:

ti0

0

4

10

15

21

29

35

51

68

yi

66,7

71,0

76,3

80,6

85,7

92,9

99,4

113,6

125,1

Соответствующая зависимость может быть представлена линейной функцией .

Требуется найти аппроксимирующую (приближаемую) функцию в предположении, что она является линейной.

Найдем коэффициенты k и b.

Для этого составим и решим нормальную систему уравнений

n – число эмпирических точек, n = 9.

Выполним предварительные расчеты и для удобства занесем их в таблицу (столбцы , , , )

1

0

66,7

0

0

67,55

-0,85

0,7225

2

4

71,0

16

284

71,03

-0,03

0,0009

3

10

76,3

100

763

76,25

0,05

0,0025

4

15

80,6

225

1209

80,6

0

0

5

21

85,7

441

1799,7

85,82

-0,12

0,0144

6

29

92,9

841

2694,1

92,78

0,12

0,0144

7

35

99,4

1225

3479

98

1,4

1,96

8

51

113,6

2601

5793,6

111,92

1,68

2,8224

9

68

125,1

4624

8506,8

126,71

-1,61

2,5921

233

811,3

10073

24529,2

8,19

Таким образом, нормальная система принимает вид

Решая систему, находим

Следовательно, уравнение искомой прямой

Вычислим теперь для исходных значений  расчетные значения  и занесем полученные результаты в таблицу (столбец )

Найдем  и занесем результаты в таблицу (столбец ).

Вычислим сумму квадратов отклонений

.


2.
 Индивидуальные задания

Задание 1 (для студентов экономических специальностей)

Вариант

З а д а н и е

1

В таблице приведены данные численности занятого населения (х, млн.) и валового выпуска продукции (у, у.е.).

хi

80

82

83

84

85

86

88

89

90

91

уi

32

34

35

36

36

37

38

40

39

40

В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать валовой выпуск продукции в случае, если занятое население увеличится на 10% по сравнению с последними данными (90 млн.)

2

В таблице приведены данные об уровне безработицы (х) и уровне преступности (у) в некотором населенном пункте.

хi

0,5

1,2

2

3,1

4

5,2

5,9

6,1

6,2

6,3

уi

4,25

4,32

4,4

4,51

4,6

4,72

4,79

4,9

5,0

5,2

В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать уровень преступности в случае, когда безработица отсутствует.

3

В таблице приведены данные о динамике темпов прироста  курса акций (y, в %) за определенный период (t одна неделя).

ti

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

уi

10,2

8,3

5,4

4,1

2,2

0

-1,6

-3,9

-5,9

-7,8

В предположении, что между t и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Сделать выводы о возможной динамике темпов прироста на 12 неделе.

4

Торговое предприятие имеет сеть, состоящую из 10 магазинов, информация о деятельности которых: годовой товарооборот (у, млн. руб.) и торговая площадь (х, тыс. м2) представлена в таблице.

хi

0,24

0,41

0,55

0,58

0,78

0,94

0,98

1,21

1,28

1,32

уi

19,8

38,1

41,0

43,1

56,3

68,5

75,0

89,1

91,1

91,3

В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать годовой товарооборот в случае, если торговая площадь составит ровно 1 тыс. м2.

5

Показатели по объему производства (х, у.е.) и затратам (у, тыс. руб.), взятые из отчетной ведомости предприятия за 10 месяцев, приведены в таблице.

хi

2,32

2,33

2,38

2,41

2,44

2,48

2,51

2,55

2,58

2,60

уi

427

430

440

444

448

455

460

462

465

466

Полагая, что зависимость между х и у задается формулой , где b – постоянные затраты в тыс. руб., k – переменные затраты на 1 условную единицу продукции, определить параметры k и b методом наименьших квадратов. Рассчитать возможные затраты на производство в случае, если объем производства достигнет 3 у.е.

6

В таблице приведена динамика валового выпуска (у, у.е.) за последние 10 лет (x год)

хi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

уi

178

182

190

199

200

213

220

231

235

242

Предполагая линейную зависимость валового выпуска от времени, определить параметры линейной регрессии , используя метод наименьших квадратов. Получить прогноз валового выпуска на следующий год.

7

Показатели стоимости основных производственных фондов (х, млн. руб.) и среднесуточной производительности (у, тонны) приведены в таблице.

хi

2,1

2,3

2,4

2,9

4,1

4,7

5,5

7,2

10,2

14,3

уi

27

29

30

35

36

44

47

55

63

73

Предполагая линейную зависимость у от х, определить параметры линейной регрессии , используя метод наименьших квадратов. Получить прогноз среднесуточной производительности при стоимости основных производственных фондов 16 млн. руб.

8

В таблице приведены данные о количестве пропусков занятий (х) студентом в течение учебного семестра и результатах    (у, %) написания экзаменационного теста.

хi

1

3

5

6

8

10

12

14

15

16

уi

85

75

70

60

50

40

20

10

10

5

Предполагая наличие линейной зависимости между х и у определить параметры линейной регрессии , используя метод наименьших квадратов. Получить прогноз результатов теста при отсутствии пропусков.

9

В таблице приведены данные об объемах производства (x, у.е.) некоторой компании в течение 10 месяцев и соответствующей операционной прибылью (y,тыс. руб.).

хi

500

520

523

530

550

555

560

562

565

570

уi

61

66,8

67

69

74

76,7

78

79

79,3

81

В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Сделать выводы о возможной месячной прибыли, если объем производства достигнет 600 у.е.

10

В таблице приведены данные об уровне безработицы (х) и уровне преступности (у) в некотором населенном пункте.

хi

0,6

1,3

2,2

3,3

4,2

5,3

6,0

6,3

6,4

6,5

уi

4,2

4,27

4,32

4,47

4,53

4,68

4,85

5,01

5,15

5,22

В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать уровень преступности в случае, когда безработица отсутствует.

11

В таблице приведены данные численности занятого населения (х, млн.) и валового выпуска продукции (у, у.е.).

хi

70

73

74

75

76

77

79

80

81

83

уi

219

241

250

264

265

272

281

291

309

320

В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать валовой выпуск продукции в случае, если занятое население увеличится на 10% по сравнению с начальными данными (80 млн.)

12

Показатели по объему производства (х, у.е.) и затратам (у, тыс. руб.), взятые из отчетной ведомости предприятия за 10 месяцев, приведены в таблице.

хi

4,25

4,3

4,4

4,42

4,45

4,5

4,53

4,55

4,6

4,62

уi

530

540

553

554

557

560

565

568

571

572

Полагая, что зависимость между х и у задается формулой , где b – постоянные затраты в тыс. руб., k – переменные затраты на 1 условную единицу продукции, определить параметры k и b методом наименьших квадратов. Рассчитать возможные затраты на производство в случае, если объем производства достигнет 3 у.е.

13

В таблице приведена сведения об объеме спроса (у, у.е.) на некоторую продукцию и цены на эту продукцию (х, тыс. руб.).

хi

10

10,6

11

12

12,5

12,8

13

13,2

13,3

13,7

уi

68

64

59

52

45

42

38

37

35

34

Предполагая линейную зависимость объема спроса от цены на продукцию, определить параметры линейной регрессии , используя метод наименьших квадратов. Получить прогноз объема спроса в случае, если цена на продукцию достигнет 14 тыс. руб.

14

Показатели стоимости основных производственных фондов (х, млн. руб.) и среднесуточной производительности (у, тонны) приведены в таблице.

хi

2,6

2,8

2,9

3,4

4,6

5,2

6,1

7,7

10,6

14,0

уi

19

18

20

23

26

31

37

45

53

68

Предполагая линейную зависимость у от х, определить параметры линейной регрессии , используя метод наименьших квадратов. Получить прогноз среднесуточной производительности при стоимости основных производственных фондов 2 млн. руб.

15

Торговое предприятие имеет сеть, состоящую из 10 магазинов, информация о деятельности которых: годовой товарооборот (у, млн. руб.) и торговая площадь (х, тыс. м2) представлена в таблице.

хi

0,25

0,42

0,57

0,59

0,79

0,95

0,99

1,23

1,29

1,33

уi

21,9

40,1

43,2

44,3

58,3

70,6

77,2

91,2

93,2

93,4

В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать годовой товарооборот в случае, если торговая площадь составит ровно 1 тыс. м2.

Задание 2 (для студентов экономических специальностей)

Вариант

З а д а н и е

1

При моделировании распространения сетей беспроводного доступа были получены следующие данные о стоимости подключения потенциального абонента (у, у.е.) в зависимости от плотности населения (x, чел./км2.) при возможном коэффициенте пропускания услуги (радиусе обслуживания базовой станции)  км.

хi

10

20

30

40

50

60

70

80

90

95

уi

2600

1800

1100

900

750

600

530

500

480

470

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать стоимость подключения потенциального абонента при плотности населения 100 чел./км2.

2

В таблице приведены данные о производительности труда (z) рабочего за одну смену в зависимости от времени (t, час.)

ti

1,5

2

2,5

3

4

5

6

6,5

7

7,5

zi 

35

45

53

60

72

79

81

80

79

76

В предположении, что между t и z существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать производительность труда рабочего в первый час рабочего дня, то есть при t=1.

3

В таблице приведены данные о показателях конкуренции (x) и средневзвешенные по частоте упоминания количества патентов (у).

хi

0,9

0,91

0,92

0,93

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

0,9

уi

4,5

4,8

5,3

5,9

6,1

6,4

6,1

5,4

4,8

4,3

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать количество патентов, в случае, если показатель конкуренции составит 1.

4

При моделировании распространения сетей беспроводного доступа были получены следующие данные о стоимости подключения потенциального абонента (у, у.е.) в зависимости от радиуса обслуживания базовой станции (x, км.) при плотности населения чел./км2.

хi

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

6

уi

8000

3500

2100

1300

1100

900

850

830

820

815

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать стоимость подключения потенциального абонента в случае, если радиус обслуживания базовой станции составит   7 км.

5

В таблице приведены данные о потреблении электроэнергии (Р, кВт) городскими предприятиями некоторого города в зависимости от времени (t, час.)

ti

0,5

1

2

3

4

5

6

6,5

7

7,5

Рi∙10

1000

1001

1004

1010

1020

1030

1050

1060

1070

1080

В предположении, что между t и P существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать потребление электроэнергии в конце рабочего дня, то есть при t=8.

6

В таблице приведены данные о росте объема выручки (у, тыс. у.е.) косметической компании в зависимости от числа клиентов (x).

хi

900

950

1000

1040

1080

1100

1120

1130

1135

1140

уi10

992

1101

1203

1289

1381

1432

1478

1505

1514

1530

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать объем выручки, если число клиентов достигнет 1150 человек.

7

В таблице приведены данные расходах на рекламу (x, тыс. у.е.) и сбыте продукции (у, тыс. ед.)

хi

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

уi

1,6

2,5

4

5,3

7,4

9,7

12

15

18

19,9

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать сбыт продукции при отсутствии рекламы.

8

В таблице приведены данные о показателях конкуренции (x) и средневзвешенные по частоте упоминания количества патентов (у)

хi

0,87

0,88

0,89

0,9

0,91

0,92

0,93

0,94

0,95

0,96

уi

3,3

3,6

4,2

4,5

4,8

5,3

5,9

6,1

6,4

6,1

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать количество патентов, в случае, если показатель конкуренции равен 0,85.

9

При моделировании распространения сетей беспроводного доступа были получены следующие данные о стоимости подключения потенциального абонента (у, у.е.) в зависимости от плотности населения (x, чел./км2.) при возможном коэффициенте пропускания услуги (радиусе обслуживания базовой станции)  км.

хi

10

20

30

40

50

60

70

80

90

95

уi

1000

600

480

430

415

412

410

405

400

392

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать стоимость подключения потенциального абонента при плотности населения 100 чел./км2.

10

В таблице приведены данные о продуктивности животных (x, кг/гол.) и себестоимости единицы продукции (у, руб.)

хi

1100

1200

1300

1500

1700

1800

2000

2400

2700

2900

уi

369

357

324

293

245

233

202

162

151

152

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать себестоимость единицы продукции, если продуктивность животных упадет до 3000 кг/гол.

11

При моделировании распространения сетей беспроводного доступа были получены следующие данные о стоимости подключения потенциального абонента (у, у.е.) в зависимости от радиуса обслуживания базовой станции (x, км.) при плотности населения чел./км2.

хi

1

1,2

1,4

1,7

2

2,4

2,8

3,2

3,6

4

уi

1100

920

850

830

800

785

770

760

750

745

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать стоимость подключения потенциального абонента в случае, если радиус обслуживания базовой станции составит   5 км.

12

В таблице приведены данные о производительности труда (z) рабочего за одну смену в зависимости от времени (t, час.)

ti

0,5

1

1,5

2

3

4

5

6

7

7,5

zi

13

25

35

45

60

72

79

81

79

76

В предположении, что между t и z существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать производительность труда рабочего в конце рабочего дня, то есть при t=8.

13

В таблице приведены цены (x, тыс. руб.) на продукцию и месячной выручки предприятия (у, тыс. руб.)

хi

1,2

2

2,6

3,2

3,6

4,1

5,0

5,9

7,2

7,3

уi

120

250

322

365

430

480

555

605

643

675

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать выручку предприятия в случае, если цена на продукцию составит 8 тыс. руб.

14

При моделировании распространения сетей беспроводного доступа были получены следующие данные о стоимости подключения потенциального абонента (у, у.е.) в зависимости от плотности населения (x, чел./км2.) при возможном коэффициенте пропускания услуги (радиусе обслуживания базовой станции)  км.

хi

10

15

25

35

45

55

65

75

85

95

уi

2600

2100

1300

1000

820

670

580

510

490

470

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Проанализировать, какой может быть плотность населения, чтобы стоимость подключения потенциального абонента составила 450 у.е.?

15

В таблице приведены данные расходах на рекламу (x, тыс. у.е.) и сбыте продукции (у, тыс. ед.)

хi

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

уi

1,5

2,4

4,1

5,3

7,3

9,6

12,1

14,9

18,2

20

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать сбыт продукции при отсутствии рекламы.

Дополнительное задание (для студентов экономических специальностей)

В задании 1 определить также параметры квадратичной регрессии , вычислить сумму квадратов отклонений, сравнить с результатом, полученным в задании 1, и сделать вывод.

В задании 2 определить также параметры линейной регрессии , вычислить сумму квадратов отклонений, сравнить с результатом, полученным в задании 2, и сделать вывод.


Задание 1 (для студентов инженерных специальностей)

Вариант

ант

З а д а н и е

1

В таблице приведены данные о расходе топлива (у, л на 100 км) автомобиля с двигателем объемом 2 литра с автоматической трансмиссией в зависимости от скорости движения (х, км/ч).

хi

10

30

40

70

90

110

130

140

150

160

уi

4,5

4,8

5,1

6

7,5

8,1

9

9,8

11,3

14

В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать расход топлива при скорости 175 км/ч.

2

В таблице приведены данные о сроке службы колеса вагона в годах (х) и износа толщины обода колеса, (у, мм).

хi

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

уi

0,4

0,7

1,2

1,7

1,9

2,2

2,6

3

3,5

3,8

В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Сделать выводы об износе толщины обода колеса через 5,5 лет.

3

В таблице приведены данные о расходе топлива (у, л на 100 км) автомобиля с двигателем объемом 1,5 литра с автоматической трансмиссией в зависимости от скорости движения (х, км/ч).

хi

10

20

40

60

90

110

130

140

150

160

уi

3,8

4

4,2

4,8

5,5

6

7

8,1

10

12

В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать расход топлива при скорости 170 км/ч.

4

В таблице приведены данные об остаточной величине глубины протектора передних колес автомобиля в мм (у) в зависимости от величины пробега (х, тыс. км).

хi

0

5

10

15

20

30

40

50

60

70

уi

9,0

8,5

7,9

7,5

7,0

6,1

5,0

4,1

3

2,0

В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Сделать выводы об износе протектора колеса через 42 тыс. км.

5

В таблице приведены данные о расходе топлива (у, л на 100 км) автомобиля с дизельным двигателем объемом 2,2 литра с механической трансмиссией в зависимости от скорости движения (х, км/ч).

хi

10

20

40

60

90

110

120

130

140

150

уi

1,5

1,8

3

3,9

4,8

5,5

5,7

7

8,1

9,4

В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать расход топлива при скорости 160 км/ч.

6

В таблице приведены данные об остаточной величине глубины протектора задних колес автомобиля в мм (у) в зависимости от величины пробега (х, тыс. км).

хi

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

уi

9,0

8,2

7,4

6,6

5,8

4,9

4,1

3,3

2,5

1,8

В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Сделать выводы о предельно допустимом пробеге колес автомобиля при  минимально допустимой глубине протектора 1,6 мм.

7

В таблице приведены данные о зависимости теплопроводности легких бетонов (у, Вт/(м Со) от плотности (х, кг/м3).

хi

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

уi

0,2

0,22

0,24

0,28

0,33

0,38

0,4

0,42

0,44

0,47

Предполагая линейную зависимость у от х, определить параметры линейной регрессии , используя метод наименьших квадратов. Получить прогноз теплопроводности при плотности 1800 кг/м3.

8

В таблице приведены данные о количестве пропусков занятий (х) студентом в течение учебного семестра и результатах (у, %) написания экзаменационного теста.

хi,

1

2

4

6

8

10

12

13

15

17

уi

85

75

70

60

50

40

20

15

10

5

Предполагая наличие линейной зависимости между х и у определить параметры линейной регрессии , используя метод наименьших квадратов. Получить прогноз результатов теста при пропуске в 18 ч.

9

В таблице приведены данные о зависимости прочности портландцемента (у, МПа) от его удельной поверхности (х, см2/г).

хi 103

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

7,5

уi

25

28

30

32

36

39

41

44

46

47

В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Сделать выводы о прочности при удельной поверхности 6,2103.

10

В таблице приведены результаты измерений положения у (м) материальной точки в зависимости от времени t (cек).

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

у

5,1

6,9

9,1

10,8

13,2

14,9

17,2

18,8

21,2

22,9

В предположении, что между t и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Cделать вывод о возможном положении точки через 12 сек.

11

Для исследования износа рабочей части резца в зависимости от времени работы взяли 10 новых резцов и каждый день измеряли толщину рабочей части. Результаты сведены в таблицу, где у (мм) – толщина рабочей части резца,  х – продолжительность работы в днях:

хi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

уi,

0,1

0,15

0,3

0,4

0,45

0,55

0,65

0,75

0,9

1

В предположении, что между х и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать износ толщины рабочей части резца за 12 дней.

12

В таблице приведены данные о растворимости (у) натриевой селитры  на 100 г воды в зависимости от температуры (t,0С).

ti

0

2

10

16

21

30

35

51

63

67

yi

66,7

69,2

76,3

81,6

85,7

94,7

99,4

113,6

119,8

123

В предположении, что между t и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Вычислить возможную растворимость при температуре 600С.

13

За изменением реакции разложения аммиака следили по изменению давления (P, мм ртутного столба) в различные моменты времени (t, сек). Результаты наблюдений приведены в таблице.

t

100

200

300

400

500

600

700

800

1000

P

11

22,1

33,2

44

55,2

66,3

77,5

87,9

110

В предположении, что между t и P существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Cделать вывод о возможном давлении при t=900.

14

В таблице приведены результаты измерений сопротивления проводника (R, Ом) в зависимости от температуры  (t,0С).

t

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

R

15

19

23

27

31

34

37

39

42

45

В предположении, что между t и R существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Cделать вывод о возможном сопротивлении проводника при температуре 600С.

15

В таблице приведены результаты измерений положения у (м) материальной точки в зависимости от времени t (cек).

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

у

6,3

9,9

14,1

18,2

21,9

26,1

29,8

33,8

37,9

41,9

В предположении, что между t и у существует линейная зависимость, определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Cделать вывод о возможном положении точки через 11 сек.

Задание 2 (для студентов инженерных специальностей)

Вариант

З а д а н и е

1

В таблице приведены данные о высоте подброшенного над землей вверх тела (h, м) в зависимости от времени (t, cек) прошедшего с момента броска.

t i

1

2

3

4

5

6

7

8                  

9

10

h i

2,3

3,71

4,8

5,9

6,3

6,25

5,87

4,82

3,7

2,2

В предположении, что между t и h существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать высоту тела на 11 сек.

2

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака. В таблице приведены данные об изменении высоты (h, м) и времени (t, мин).

t i

1

2

4

6

8

10

12

15

18

20

h i

3,6

3,2

2,57

1,95

1,45

1,09

0,9

0,6

0,3

0,1

В предположении, что между t и h существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии   методом наименьших квадратов. Спрогнозировать время, когда бак опустеет.

3

В таблице приведены данные о времени работы (t, у.е.) некоторого алгоритма в зависимости от количества его элементов (x).

хi

9

12

14

16

18

20

21

23

24

25

ti

152

280

380

500

630

780

860

1025

1130

1225

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать время работы алгоритма, состоящего из 30 элементов.

4

При моделировании распространения сетей беспроводного доступа были получены следующие данные о стоимости подключения потенциального абонента (у, у.е.) в зависимости от радиуса обслуживания базовой станции (x, км.) при плотности населения чел./км2.

хi

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

6

уi

8002

3507

2101

1302

1102

901

849

831

820

815

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать стоимость подключения потенциального абонента в случае, если радиус обслуживания базовой станции составит 6,5 км.

5

В таблице приведены данные о высоте подброшенного над землей вверх тела (h, м) в зависимости от времени (t,cек) прошедшего с момента броска.

t i

1,2

2

3

4

5,1

5,9

7

8                  

9

9,8

h i

2,3

3,71

4,81

5,9

6,3

6,25

5,87

4,82

3,7

2,29

В предположении, что между t и h существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать высоту тела на 10 сек.

6

С ростом диагонали экрана качество изображения падает по квадратичной зависимости. В таблице приведены данные о длине диагонали экрана (х, дюйм) и качестве изображения (у, %) при нахождении на фиксированном расстоянии от экрана.

хi

14

15

17

19

20

21

22

24

27

32

уi

70

69

68,5

67

66,5

65,5

65

63

60

53

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Проанализировать, каким может быть качество изображения при диагонали экрана 40 дюймов.

7

Зависимость температуры T (в градусах Кельвина) от времени t (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и приведена в таблице

t i

1

2

3

3,2

3,6

4

5,0

5,9

6

7,3

Ti

550

640

704

719

735

756

810

855

865

924

В предположении, что между T и t существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Известно, что при температурах нагревателя свыше 1500 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах) через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

8

В таблице приведены данные о времени работы (, мсек.) некоторого алгоритма в зависимости от количества его элементов (x).

хi

9

12

14

16

18

20

21

23

24

25

i

150

283

377

503

628

778

861

1024

1130

1228

В предположении, что между х и  существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать время работы алгоритма, состоящего из 10 элементов.

9

При моделировании распространения сетей беспроводного доступа были получены следующие данные о стоимости подключения потенциального абонента (у, у.е.) в зависимости от плотности населения (x, чел./км2.) при возможном коэффициенте пропускания услуги (радиусе обслуживания базовой станции)  км.

хi

10

20

30

40

50

60

70

80

90

95

уi

1000

602

479

430

416

412

410

406

400

391

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать стоимость подключения потенциального абонента при плотности населения 100 чел./км2.

10

В таблице приведены данные о зависимости выделяемой резистором мощности Р (усл. ед.) от напряжения U (усл. ед.)

Ui

10

30

60

80

100

120

140

160

180

200

Pi

10

90,2

359

638

999,9

1438

1961

2562

3240

4001

В предположении, что между U и P существует квадратичная зависимость , определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать мощность при напряжении 170 .

11

При моделировании распространения сетей беспроводного доступа были получены следующие данные о стоимости подключения потенциального абонента (у, у.е.) в зависимости от радиуса обслуживания базовой станции (x, км.) при плотности населения чел./км2.

хi

1

1,2

1,4

1,7

2

2,4

2,8

3,2

3,6

4

уi

1100

920

850

830

800

785

770

760

750

745

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать стоимость подключения в случае, если радиус обслуживания базовой станции составит 5 км.

12

В таблице приведены данные о высоте подброшенного над землей вверх тела (h, м) в зависимости от времени (t,cек) прошедшего с момента броска.

t i

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8                  

0,9

1

h i

10,2

10,37

10,5

10,6

10,76

10,8

10,9

11

11,1

11,2

В предположении, что между t и h существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать высоту тела на 2-ой сек.

13

С ростом диагонали экрана качество изображения падает по квадратичной зависимости. В таблице приведены данные о длине диагонали экрана (х, дюйм) и качестве изображения (у, %) при фиксированном расстоянии от экрана.

хi

14

15

17

19

20

21

22

24

27

32

уi

70

69,5

68,5

67,5

66

65

64,5

62,5

60

53,5

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Проанализировать, каким может быть качество изображения при диагонали экрана 42 дюйма.

14

В таблице приведены данные о показателях конкуренции (x) и средневзвешенные по частоте упоминания количества патентов (у)

хi

0,87

0,88

0,89

0,9

0,91

0,92

0,93

0,94

0,95

0,96

уi

3,35

3,62

4,21

4,5

4,9

5,3

5,8

6,11

6,3

6,1

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать количество патентов, в случае, если показатель конкуренции равен 0,86.

15

При моделировании распространения сетей беспроводного доступа были получены следующие данные о стоимости подключения потенциального абонента (у, у.е.) в зависимости от требуемой пропускной способности (x, Мбит/с.) при плотности населения чел./км2

хi

0,1

0,2

0,5

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,8

уi

300

340

401

470

540

602

640

680

731

880

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать стоимость подключения, если желаемая скорость доступа составляет 2 Мбит/с.

Дополнительное задание (для студентов инженерных специальностей)

В задании 1 определить также параметры квадратичной регрессии , вычислить сумму квадратов отклонений, сравнить с результатом полученным в задании 1 и сделать вывод.

В задании 2 определить также параметры линейной регрессии , вычислить сумму квадратов отклонений, сравнить с результатом полученным в задании 2 и сделать вывод.


3. Образцы выполнения заданий

3.1 Образец выполнения задания 1 в MSExcel

Для анализа зависимости объема потребления у (в тыс. руб.) от располагаемого дохода х (в тыс. руб.) отобрана выборка объема n=10 (помесячно с сентября по июнь включительно), результаты которой приведены в таблице. Определить параметры линейной регрессии  методом наименьших квадратов. Спрогнозировать потребление при доходе х=30 тыс. руб.

21,4

21,8

22,0

22,6

24,0

24,4

24,6

25,6

27,2

28,0

20,4

21,0

21,6

22,0

23,0

23,4

23,8

25,0

26,4

26,0

Ход работы

  1.  Ввести в таблицу согласно варианта эмпирические данные (столбцы В, C).

  1.  Построить график исходных данных. Для этого в меню Вставка выбрать Диаграмма, указать тип диаграммы Точечная. Далее выбрать Диапазон: столбцы B и С. В Ряд добавить подписи по осям. По графику убедиться в возможной линейной зависимости между х и у.

  1.  Произвести необходимые вычисления (столбцы D, E) Вычислить суммы , , ,  (в строке 12), используя встроенную функцию СУММ.

  1.  Составить и записать систему уравнений для нахождения коэффициентов k и b.

В данном случае в результате имеем систему:

  1.  Неизвестные k и b найти по формулам Крамера:

,  ,

где  – определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных в составленной системе,

– определитель, полученный из определителя  заменой 1-го столбца на столбец свободных членов,

– определитель, полученный из определителя  заменой 2-го столбца на столбец свободных членов, то есть

,

,

.

  1.  Составить и записать уравнение .

В рассматриваемом случае получаем уравнение.

  1.  В таблице (столбец F) для эмпирических значений  по найденному уравнению вычислить .

Вычислить  (столбец G) и  (столбец H).

Вычислить сумму квадратов отклонений  (ячейка H12).

.

  1.  Изобразить прямую регрессии на построенном графике. Для этого в меню, вызванном правой клавишей (при подведении курсора к экспериментальным точкам), выбрать Добавить линию тренда, тип линии тренда – линейная.

  1.  Построить график функции .

Это можно сделать на отдельном графике. Для чего в меню Вставка выбрать Диаграмма, указать тип диаграммы График. Далее выбрать Диапазон: столбцы B и F (в строках – данные столбца B, в столбцах – данные столбца F). Сравнить полученный график с линией тренда на первом графике.

График функции  можно построить и на первом графике. Для этого в меню, вызванном правой клавишей, выбрать Исходные данные, в появившемся окне Ряд, Добавить. Значения Х – данные столбца B, значения У – данные столбца F) Тип диаграммы График.

  1.  По полученному уравнению спрогнозировать значение y по известному значению х. В рассматриваемом случае при доходе х=30 тыс. руб. потребление  (тыс. руб.

Замечание

Найти коэффициенты k и b можно, используя функцию ЛИНЕЙН. При этом результат может незначительно отличаться от результата, полученного по формулам выше. 

Порядок вычислений в этом случае следующий:

  1.  На листе с исходными данными выделить область пустых ячеек 1х2 (1 строка, 2 столбца) для получения оценок коэффициентов регрессии.
  2.  Активизировать Мастер функций, для чего в меню Вставка выбрать Функция. Затем в категории Статистические выбрать функция ЛИНЕЙН. Здесь Известные значения у – столбец С, Известные значения хВ, Конст и Статистика можно не указывать.
  3.  В левой верхней ячейке выделенной области появится значение коэффициента k. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажать на клавишу F2, а затем на комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Коэффициенты k и b можно также получить, используя функцию ИНДЕКС. При этом k = ИНДЕКС(ЛИНЕЙН…; 1),

b = ИНДЕКС(ЛИНЕЙН…; 2).

      3.2 Образец выполнения задания 2 в MSExcel

В таблице приведены данные о результатах деятельности некоторой торговой сети: выручке – у, (млн. руб.)  и количестве покупателей – x, (млн. чел.) за некоторый период.

хi10

7,72

35,51

51,24

63,72

78,92

86,04

89,34

92,66

100,5

101,3

уi10

78,1

114,1

136,9

156,3

181,8

192,5

200,2

206,3

220,9

215,2

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии  методом наименьших квадратов.

Ход работы

Выполнение задания 2 аналогично выполнению заданию 1.

  1.  Ввести исходные данные.

  1.  Построить график исходных данных. По графику убедиться в возможной квадратичной зависимости между х и у.

  1.  Произвести необходимые вычисления

  1.  Составить и записать систему уравнений для нахождения коэффициентов a2, a1, a0.

В данном случае в результате имеем систему:

  1.  Найти неизвестные коэффициенты a2, a1, a0.

Здесь , , .

  1.  Составить и записать уравнение .

В рассматриваемом случае получаем уравнение:

.

  1.  Изобразить линию регрессию на построенном графике. Для этого Добавить линию тренда, тип линии тренда – полиномиальная степени 2.

  1.  Построить график найденной линии . Сравнить полученный график с линией тренда на первом графике.

Замечание

Найти коэффициенты a2, a1, a0. можно, используя функцию ЛИНЕЙН. Порядок вычислений в этом случае следующий:

  1.  На листе с исходными данными выделить область пустых ячеек 1х3 (1 строка, 3 столбца) для получения оценок коэффициентов регрессии.
  2.  В меню Вставка выбрать Функция. Затем в категории Статистические выбрать функция ЛИНЕЙН. Здесь Известные значения у – столбец , Известные значения х – столбцы  и . Поэтому при решении задачи в этом случае следует занести в таблицу столбец , причем лучше это сделать сразу после внесения данных в столбец , а затем уже столбец . Конст и Статистика можно не указывать.
  3.  В левой верхней ячейке выделенной области появится значение коэффициента a2. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажать на клавишу F2, а затем на комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Коэффициенты a2, a1, a0. можно также получить, используя функцию ИНДЕКС. При этом a2 =ИНДЕКС(ЛИНЕЙН…; 1),

a1=ИНДЕКС(ЛИНЕЙН…; 2), a0= ИНДЕКС(ЛИНЕЙН…; 3).


     
3.3 Образец выполнения задания 1 в MathCAD

Для изучения зависимости октанового числа бензина (yi) от чистоты катализатора (xi, %) провели 11 измерений, результаты которых даны  ниже в таблице:

xi

98,7

98,9

99,0

99,1

99,2

99,3

99,4

99,5

99,6

99,7

99,8

yi

87,1

86,1

86,4

87,3

86,1

86,8

87,2

88,4

87,2

86,4

88,6

а) Найти коэффициенты k, b линейной зависимости  октанового числа от чистоты катализатора.

б) Вычислить значение октанового числа для чистоты катализатора 97%.

Ход работы

1) Введем значение n=10 (индексы переменных xi, yi меняются от 0 до 10). Далее, создадим матрицу Т размерностью 2х11, введя в нее данные измерений из таблицы. Для этого на панели Матрица выбрать Создать матрицу или вектор, указать количество строк 2, количество столбцов 11.

2) Вычислим суммы , , , , выбрав на панели Мат.анализ кнопку Суммирование.

3) Далее введем D:=, на панели Матрицы выберем кнопку Вычисление определителя, а затем Создать матрицу или вектор, указав количество строк =2, количество столбцов =2.

В первой строке в появившихся квадратах поочередно введем Мх и n+1. В квадратах второй строки введем Мх2 и  Мх. Рядом ввести D=.

Аналогично вычисляем D1, D2. Получим следующие результаты.

4) Для окончательного вычисления коэффициентов линейной зависимости введем формулу k:=D1, знак деления, D. Рядом ввести k=. Ниже ввести b:= D2, знак деления, D. Рядом ввести b=. В итоге получаем следующее:

Искомое уравнение прямой имеет вид

.

Для ответа на вопрос пункта б) достаточно подставить в найденную зависимость х=97, получим у=84,035.

Для прогнозирования по полученной зависимости каких-либо результатов следует брать значения х не сильно различающимися с данными, по которым построили уравнение регрессии.

Замечание

Программа MATHCAD располагает функциями, позволяющими найти коэффициенты k, b без решения нормальной системы.

Функция intercept (x,y) возвращает значение смещения b в уравнении ,  возвращает значение углового коэффициента k. Ниже представлено решение сформулированной задачи с помощью функций intercept (x,y), .

Определим линейную регрессию как функцию f(х).

В нашем случае функция примет вид .

        3.4 Образец выполнения задания 2 в MathCAD

Определить зависимость частоты заболеваемости жителей города бронхиальной астмой от качества воздуха. Очевидно, чем хуже воздух, например, выше концентрация С угарного газа в атмосфере, тем больше хронических больных Р на 1000 жителей. Статистические данные являются усредненными и приближенными.

 

С мг/куб.м

2

2,5

2,9

3,2

3,6

3,9

4,2

4,6

5,0

Р бол./тыс.

19

20

32

34

51

55

90

108

171

Предполагая, что зависимость между приведенными данными близка к квадратичной, выполним приближение табличной функции полиномом второй степени .   

Можно решить задачу, составив нормальную систему                                                   

Вычисление сумм производится аналогично ранее разобранному образцу. В нашем случае система имеет вид

Решение системы выполним, используя формулы Крамера или с помощью обратной матрицы.

Получив значения коэффициентов, записываем уравнение функции и строим график.

       Замечание

Программа MATHCAD располагает функциями, позволяющими найти коэффициенты a2, a1, a0 без решения нормальной системы.

Для этого используют функцию regress или interp.

p:=regress(x,y,k) – возвращает вектор коэффициентов полинома степени k;

r(t):=interp(p,x,y,t)- возвращает результат полиномиальной регрессии.


Контрольные вопросы

  1.  Понятие экспериментальной точки.
  2.  Что такое отклонения (невязки)?
  3.  Суть метода наименьших квадратов.
  4.  Необходимое условие экстремума функции многих переменных.
  5.  Достаточное условие экстремума функции многих переменных.
  6.  Понятие нормальной системы МНК.
  7.  Вид нормальной системы для эмпирической формулы .
  8.  Вид нормальной системы для эмпирической формулы .


Библиографический список

  1.  Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для вузов – М.: Высш.шк., 2003. – 479 с.
  2.  Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов – М.: Высш. шк., 1989., Т-2.
  3.  Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 655 с.
  4.  Измайлов Г.К., Шелест В.Д. Информатика. Пакет MathCAD: Лабораторный практикум. Спб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008.
  5.  Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1997.
  6.  Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. М.: Дело, 2000.
  7.  Математический анализ для экономистов. / Под ред. А.А. Гриба и А.Ф. Тарасюка. М.: ФИЛИН, 2000.

1


Впервые MНК был предложен К. Гауссом и А. Лежандром  на рубеже 18-19 веков. Первоначально МНК использовался для обработки результатов астрономических и геодезических наблюдений. Строгое математическое обоснование и установление границ содержательной применимости МНК даны А. А. Марковым и А. Н. Колмогоровым.

2 Последнее равенство читатель может установить самостоятельно, воспользовавшись неравенством Коши-Буняковского.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81581. Нарушения обмена биогенных аминов при психических заболеваниях. Предшественники катехоламинов и ингибиторы моноаминооксидазы в лечении депрессивных состояний 108.33 KB
  Предшественники катехоламинов и ингибиторы моноаминооксидазы в лечении депрессивных состояний. Например резерпин – понижающее артериальное давление средство специфически тормозит процесс переноса катехоламинов в специальные гранулы нейронов и тем самым делает эти амины доступными действию эндогенной МАО. Многие антидепрессанты вещества снимающие депрессию увеличивают содержание катехоламинов в синаптической щели т. К таким веществам в частности относятся имипрамин блокирует поглощение норадреналина нервными волокнами амфетамин...
81582. Физиологически активные пептиды мозга 109.08 KB
  Нейропептиды осуществляют контроль за экспрессией вторичных клеточных мессенджеров, цитокинов и других сигнальных молекул, а также за запуском генетических программ апоптоза, антиапоптозной защиты, усиления нейротрофического обеспечения. Такие регуляторные (модуляторные) влияния устраняют общую дезинтеграцию во взаимодействии сложных и часто разнонаправленных молекулярно-биохимических механизмов
81583. Предмет и задачи биологической химии. Обмен веществ и энергии, иерархическая структурная организация и самовоспроизведение как важнейшие признаки живой материи 106.91 KB
  Обмен веществ и энергии иерархическая структурная организация и самовоспроизведение как важнейшие признаки живой материи. Она изучает химическую природу веществ входящих в состав живых организмов их превращения а также связь этих превращений с деятельностью клеток органов и тканей и организма в целом. Из этого определения вытекает что биохимия занимается выяснением химических основ важнейших биологических процессов и общих путей и принципов превращений веществ и энергии лежащих в основе разнообразных проявлений жизни. Важнейшим...
81584. Гетеротрофные и аутотрофные организмы: различия по питанию и источникам энергии. Катаболизм и анаболизм 106.04 KB
  Живые клетки постоянно нуждаются в органических и неорганических веществах а также в химической энергии которую они получают преимущественно из АТФ АТР. Гетеротрофы например животные и грибы зависят от получения органических веществ с пищей. Так как большая часть этих питательных веществ белки углеводы нуклеиновые кислоты и липиды не могут утилизироваться непосредственно они сначала разрушаются до более мелких фрагментов катаболическим путем. Процесс обмена веществ определяется двумя сопряженными процессами: анаболизма и...
81585. Многомолекулярные системы (метаболические цепи, мембранные процессы, системы синтеза биополимеров, молекулярные регуляторные системы) как основные объекты биохимического исследования 103.39 KB
  Метаболическая цепь состоящая из реакций протекающих внутри одной системы называется внутренней. Следствием такого пересечения является возникновение метаболической сети биологической системы. Молекулярные регуляторные системы системы направленные на поддержание гомеостаза.
81586. Уровни структурной организации живого. Биохимия как молекулярный уровень изучения явлений жизни. Биохимия и медицина (медицинская биохимия) 105.42 KB
  Биохимия как молекулярный уровень изучения явлений жизни. Жизнь имеет следующие уровни организации: Молекулярный уровень отражает особенности химизма живого вещества а также механизмы и процессы передачи генной информации Клеточный и субклеточный уровни отражают особенности специализации клеток а также внутриклеточные структуры. Организменный и органнотканевый уровни отражают признаки отдельных особей их строение физиологию поведение а также строение и функции органов и тканей живых существ Популяционновидовой уровень ...
81587. Основные разделы и направления в биохимии: биоорганическая химия, динамическая и функциональная биохимия, молекулярная биология 103.21 KB
  Биохимия включает в себя: Биоорганическая химия изучает вещества лежащие в основе процессов жизнедеятельности в непосредственной связи с познанием их биологической функции. Основные объекты БОХ биополимеры превращения которых составляют химическую сущность биологических процессов и биорегуляторы которые химически регулируют обмен веществ. БОХ занимается получением этих веществ в химически чистом состоянии установлением строения синтезом выяснением зависимостей между строением и биологическими свойствами изучением химических...
81588. История изучения белков. Представление о белках как важнейшем классе органических веществ и структурно-функциональном компоненте организма человека 111.39 KB
  Белки были выделены в отдельный класс биологических молекул в XVIII веке в результате работ французского химика Антуана Фуркруа и других учёных в которых было отмечено свойство белков коагулировать денатурировать под воздействием нагревания или кислот. Голландский химик Геррит Мульдер провёл анализ состава белков и выдвинул гипотезу что практически все белки имеют сходную эмпирическую формулу. Мульдер также определил продукты разрушения белков аминокислоты и для одной из них лейцина с малой долей погрешности определил молекулярную...
81589. Аминокислоты, входящие в состав белков, их строение и свойства. Пептидная связь. Первичная структура белков 123.13 KB
  αАминокислоты представляют собой производные карбоновых кислот у которых один водородный атом у αуглерода замещен на аминогруппу NH2. Аминокислоты будут отличаться друг от друга химической природой радикала R представляющего группу атомов в молекуле аминокислоты связанную с αуглеродным атомом и не участвующую в образовании пептидной связи при синтезе белка. Почти все αамино и αкарбоксильные группы участвуют в образовании пептидных связей белковой молекулы теряя при этом свои специфические для свободных аминокислот...