12761

Суммирование числовых рядов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Методические указания и индивидуальные задания к лабораторной работе №10 для студентов технических специальностей Суммирование числовых рядов: Излагаются методические рекомендации по нахождению суммы числового ряда. Проводится разбор примеров с применением п

Русский

2013-05-03

4.62 MB

32 чел.

Методические указания и индивидуальные задания

к лабораторной работе №10

для студентов технических специальностей

Суммирование числовых рядов:

Излагаются методические рекомендации по нахождению суммы числового ряда. Проводится разбор примеров с применением программного продукта MATHCAD.

Методические указания предназначены для студентов технических специальностей.

Содержание

  1.  Задания…………………………………………………………...4
  2.  Теоретические положения………………………………..……..5

2.1. Введение…………………………………………….……..……5

2.2. Ряд геометрической прогрессии…………………………...….6

2.3. Знакочередующиеся ряды……………………………………..8

  1.  Образец выполнения работы………………………………..…..9

Контрольные вопросы………………...……………………….….12

Библиографический список…………………………………….....12

Цель работы:

1. Изучить методы суммирования числовых рядов.

2. Освоить методику применения ЭВМ к нахождению суммы числового ряда.

3. Решить индивидуальное задание.

1. Задания

Задание 1. Вычислить сумму числового ряда.

Индивидуальное задание взять из таблицы 1.1.

Таблица 1.1

Индивидуальные задания

n

f(n)

n

f(n)

1

2

3

4

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

1

2

3

4

9

19

10

20

Задание 2. Вычислить сумму числового ряда, заданного формулой:

        2.1.                                                    2.2.

                                            

где а - номер варианта (указывается преподавателем),

      b - количество согласных в фамилии.

Задание 3. Вычислить сумму ряда с заданной точностью равной 0,001 и определить количество членов ряда, обеспечивающее указанную точность

Результат проверьте с помощью формулы: .

Для выбора индивидуального задания введите:

n - номер варианта (указывается преподавателем),

N- номер группы.

2. Теоретические положения

2.1. Введение

Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

                                                                        (1)

где  – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда,   общим членом ряда.

Ряд (1) считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера п: .

Сумма первых п членов ряда (1) называется n частичной суммой ряда и обозначается через , т.е. .

Рассмотрим частичные суммы

, , , …

Если существует конечный предел  последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: .

Если  не существует или , то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов.

Свойство 1. Если ряд. (1) сходится и его сумма равна , то ряд

,                                                       (2)

где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна . Если же ряд (1) расходится и , то и ряд (2) расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1) и сходится ряд

,                                                                                               (3)

а их суммы равны  и  соответственно, то сходится и ряд

,                                                                                       (4)

причем его сумма равна .

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Свойство 3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.

Ряд                                 

,                                                                         (5)

называется nостатком ряда (1). Он получается из ряда (1) отбрасыванием п первых его членов. Ряд (1) получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (1) и его остаток (5) одновременно сходятся или расходятся.

Из свойства 3 также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток  стремится к нулю при , т.е. .                                                   

2.2. Ряд геометрической прогрессии

Исследуем сходимость ряда

 ,                                                    (6)

который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд (6) часто используется при исследовании рядов на сходимость.

Как известно, сумма первых п членов прогрессии находится по формуле , . Найдем предел этой суммы:

.

Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q:

1. Если , то  при . Поэтому , ряд (6) сходится, его сумма равна ;

2. Если , то  при . Поэтому , ряд (6) расходится;

3. Если , то при  ряд (6) принимает вид , для него  и  , т. е. ряд (6) расходится; при  ряд (6) принимает вид  – в этом случае  при четном п и  при нечетном п. Следовательно,  не существует, ряд (6) расходится.

Итак, ряд геометрической прогрессии сходится при  и расходится при . В случае сходимости его сумма выражается формулой: .

2.3. Знакочередующиеся ряды

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

,                                    (7)

где  для всех  (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный Лейбницем).

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (7) сходится, если:

1. последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

2. общий член ряда стремится к нулю: .

При этом сумма  ряда (7) удовлетворяет неравенствам

                                                                                         (8)

Замечания.

1. Исследование знакочередующегося ряда вида

                                                                          (9)

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (–1) к исследованию ряда (7).

Ряды (7) и (9), для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

2. Соотношение (8) позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму  данного ряда его частичной суммой . Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд , сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е. . Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

3. Образец выполнения работы

Задание 1. Вычислить сумму числового ряда                            .

Решение

Разложим знаменатель на множители, заменив n на х:

Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей:

                 

Найдём каждый член ряда, начиная с n=1:

                          

                          

                         

                          

                          

                        

                                

                     

                          

                     

                     

                     

                          

Заметим, что b(1) и с(4); b(3) и с(6) и т.д. взаимно уничтожаются и без пары остаются с(1), c(2), c(3) и b(n), b(n–1), b(n–2).

Частичная сумма ряда равна:

 

           или

Cумма ряда равна:

Ответ: S=26.

Задание 2.1. Вычислить сумму числового ряда, заданного формулой:

Решение

Общий член ряда можно представить в виде:

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

       

Получим:

Ответ: .

Задание 2.2. Вычислить сумму числового ряда, заданного формулой:

При нахождении суммы следует воспользоваться формулой: . Вывод формулы произвести самостоятельно.

Задание 3. Вычислить сумму ряда с заданной точностью равной 0,001 и определить количество членов ряда, обеспечивающее указанную точность

Решение

Вычислим значения нескольких первых членов ряда, используя формулу общего члена ряда  =  :

                     

                     

                     

                    

                     

Так как модуль пятого члена ряда меньше заданной точности, т.е.  вычисления заканчиваем.  По следствию из теоремы Лейбница модуль остатка знакочередующегося ряда не превосходит модуля первого отброшенного члена ряда, т.е.  =

Следовательно,  для вычисления суммы ряда с заданной точностью достаточно суммировать  4  члена ряда   = .

Вычислим :

                                                                   

Вычислим для контроля сумму   :

                                                              

Следовательно, суммирование четырех первых членов ряда обеспечивает вычисление суммы ряда с заданной точностью.

Ответ: S= –4.233.

Контрольные вопросы

  1.  Дайте определение числового ряда.
  2.  Дайте определение частичной суммы числового ряда, суммы ряда.
  3.  Дайте определение числового расходящегося ряда.
  4.  Сформулируйте свойства числового ряда.
  5.  Дайте определение ряда геометрической прогрессии.
  6.  Запишите формулу вычисления суммы ряда геометрической прогрессии.
  7.  Дайте определение знакочередующегося числового ряда.
  8.  Сформулируйте признак Лейбница.

Библиографический список

  1.  Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова и др. // М.: Высшая школа, Ч. 2., 2008.
  2.  Письменный Д. / Конспект лекций по высшей математике / Дмитрий Письменный // М.: Айрис-пресс, Ч. 2., 2008.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36187. Стропильные конструкции крыши, висячие и наслонные стропила 199.92 KB
  Основными несущими элементами крыши являются: мауэрлат стропила и обрешетка. Стропила: Висячие стропила. Висячие стропила опираются только на две крайние опоры например лишь на стены здания без промежуточных опор.
36188. Устройство современных кровель, вентилируемых и невентилируемых, инверсионных кровель 350 KB
  защитный слой выполняемый из мелкого гравия или просеянного шлака втопленного в окрасочный слой битума. Совмещенные крыши: а б невентилируемая; в вентилируемая; 1 защитный слой; 2 рулонный ковер; 3 стяжка; 4 термоизоляция; 5 пароизоляция; 6 вентилируемый канал; 7 несущая конструкция; 8 отделочный слой. Пароизоляционный слой в виде одного или двух слоев рубероида или пергамина на мастике предусматривают для защиты теплоизоляции от увлажнения водяными парами проникающими со стороны внутренних помещений. Поверх...
36189. Естественное освещение помещений 36 KB
  По действующим сейчас правилам все помещения предназначенные для длительного пребывания людей должны иметь естественное освещение. Клеффнера увеличение размеров окон свыше 1 10 1 8 площади пола помещения не дает соответствующего повышения средней освещенности горизонтальной поверхности в помещении. Равномерность освещения при северной ориентации помещений достигается при высоко поднятых окнах с перемычками небольшой высоты при светлых стенах и потолках большой площади окон небольшой глубине помещения а также применением занавесей....
36190. Входные узлы, тамбур, двери. Материалы и основные конструкции 19.19 KB
  Двери как створ различаются по материалу изготовления. Это железные деревянные стеклянные пластиковые алюминиевые двери и др. дция двери: Двери делятся на: внутренние или межкомнатные разделяющие комнаты и входные в квартиры для санитарнотехнических узлов наружные входные в здания тамбурные и специальные например запасные выходы звукоизоляционные двери.
36191. Огнестойкость строительных конструкций и классификация степени сгораемости материалов 43.5 KB
  Продолжительность в часах сопротивления строительной конструкции воздействию высокой температуры при пожаре до исчерпания ею несущей и ограждающей способности принято называть пределом огнестойкости. Предел огнестойкости конструкции определяется опытным или расчетным путем.Он измеряется в см и представляет собой размер повреждения конструкции в контрольной зоне в течение 15 мин. В соответствии со СНиП 11280 Противопожарные нормы проектирования зданий и сооружений по сгораемости строительные конструкции делятся на: несгораемые...
36192. Виды систем канализации. Устройство наружных и внутренних канализационных систем 20.42 KB
  Канализация представляет собой комплекс инженерных сооружений и мероприятий предназначенных для следующих целей: приема сточных вод в местах образования и транспортирования их к очистным сооружениям; очистки и обеззараживания сточных вод; утилизации полезных веществ содержащихся в сточных водах и в их осадке; выпуска очищенных вод в водоем. Системы канализации: Под системой канализации принято понимать совместное или разделительное отведение сточных вод. Общесплавными называют системы канализации при которых все сточные воды ...
36193. Двухтрубная система отопления с естественной циркуляцией и нижней разводкой 217.5 KB
  Удаление воздуха осуществляется либо через воздушные краны краны Маевского установленные на радиаторах отопления верхнего этажа либо через воздушную трубу соединяющую подающие стояки с расширительным баком. Преимущества нижней разводки отопления перед верхней разводкой: Меньшие потери теплоты так как магистральные трубопроводы не прокладываются на чердаке. При строительстве можно запускать систему отопления при недостроенных верхних этажах.
36194. Системы вентиляции 73.54 KB
  Результатом плохой вентиляции в помещении может стать: несвежий воздух неприятные запахи из кухни и туалетных комнат повышенная влажность конденсация влаги ощущение недостатка свежего воздуха. Существует два основных типа вентиляции: естественная вентиляция и принудительная вентиляция. Для создания усиления естественной вентиляции в стенах зданий прокладывают специальные вытяжные вентиляционные каналы ведущие в кухню в ванную и туалет.
36195. Сфера деятельности дизайнера пространственной среды и вопросы которые он должен решать в проектировании различных объектов 28 KB
  Суть дизайнерской деятельности: с одной стороны это комплекс знаний и навыков преобразованные в метод проектирования который в дальнейшем используется для создания дизайнпроекта; с другой это мировоззрение проектировщика его взгляд на объект проектирования и окружающий мир а также умение обобщать синтезировать вычленять существенные взаимосвязи и закономерности Дизайн и архитектура вместе образуют основу предметнопространственного окружения второй природы которую создает вокруг себя человек. Архитектура формирует ее стабильный...