12761

Суммирование числовых рядов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Методические указания и индивидуальные задания к лабораторной работе №10 для студентов технических специальностей Суммирование числовых рядов: Излагаются методические рекомендации по нахождению суммы числового ряда. Проводится разбор примеров с применением п

Русский

2013-05-03

4.62 MB

32 чел.

Методические указания и индивидуальные задания

к лабораторной работе №10

для студентов технических специальностей

Суммирование числовых рядов:

Излагаются методические рекомендации по нахождению суммы числового ряда. Проводится разбор примеров с применением программного продукта MATHCAD.

Методические указания предназначены для студентов технических специальностей.

Содержание

  1.  Задания…………………………………………………………...4
  2.  Теоретические положения………………………………..……..5

2.1. Введение…………………………………………….……..……5

2.2. Ряд геометрической прогрессии…………………………...….6

2.3. Знакочередующиеся ряды……………………………………..8

  1.  Образец выполнения работы………………………………..…..9

Контрольные вопросы………………...……………………….….12

Библиографический список…………………………………….....12

Цель работы:

1. Изучить методы суммирования числовых рядов.

2. Освоить методику применения ЭВМ к нахождению суммы числового ряда.

3. Решить индивидуальное задание.

1. Задания

Задание 1. Вычислить сумму числового ряда.

Индивидуальное задание взять из таблицы 1.1.

Таблица 1.1

Индивидуальные задания

n

f(n)

n

f(n)

1

2

3

4

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

1

2

3

4

9

19

10

20

Задание 2. Вычислить сумму числового ряда, заданного формулой:

        2.1.                                                    2.2.

                                            

где а - номер варианта (указывается преподавателем),

      b - количество согласных в фамилии.

Задание 3. Вычислить сумму ряда с заданной точностью равной 0,001 и определить количество членов ряда, обеспечивающее указанную точность

Результат проверьте с помощью формулы: .

Для выбора индивидуального задания введите:

n - номер варианта (указывается преподавателем),

N- номер группы.

2. Теоретические положения

2.1. Введение

Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

                                                                        (1)

где  – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда,   общим членом ряда.

Ряд (1) считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера п: .

Сумма первых п членов ряда (1) называется n частичной суммой ряда и обозначается через , т.е. .

Рассмотрим частичные суммы

, , , …

Если существует конечный предел  последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: .

Если  не существует или , то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов.

Свойство 1. Если ряд. (1) сходится и его сумма равна , то ряд

,                                                       (2)

где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна . Если же ряд (1) расходится и , то и ряд (2) расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1) и сходится ряд

,                                                                                               (3)

а их суммы равны  и  соответственно, то сходится и ряд

,                                                                                       (4)

причем его сумма равна .

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Свойство 3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.

Ряд                                 

,                                                                         (5)

называется nостатком ряда (1). Он получается из ряда (1) отбрасыванием п первых его членов. Ряд (1) получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (1) и его остаток (5) одновременно сходятся или расходятся.

Из свойства 3 также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток  стремится к нулю при , т.е. .                                                   

2.2. Ряд геометрической прогрессии

Исследуем сходимость ряда

 ,                                                    (6)

который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд (6) часто используется при исследовании рядов на сходимость.

Как известно, сумма первых п членов прогрессии находится по формуле , . Найдем предел этой суммы:

.

Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q:

1. Если , то  при . Поэтому , ряд (6) сходится, его сумма равна ;

2. Если , то  при . Поэтому , ряд (6) расходится;

3. Если , то при  ряд (6) принимает вид , для него  и  , т. е. ряд (6) расходится; при  ряд (6) принимает вид  – в этом случае  при четном п и  при нечетном п. Следовательно,  не существует, ряд (6) расходится.

Итак, ряд геометрической прогрессии сходится при  и расходится при . В случае сходимости его сумма выражается формулой: .

2.3. Знакочередующиеся ряды

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

,                                    (7)

где  для всех  (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный Лейбницем).

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (7) сходится, если:

1. последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

2. общий член ряда стремится к нулю: .

При этом сумма  ряда (7) удовлетворяет неравенствам

                                                                                         (8)

Замечания.

1. Исследование знакочередующегося ряда вида

                                                                          (9)

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (–1) к исследованию ряда (7).

Ряды (7) и (9), для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

2. Соотношение (8) позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму  данного ряда его частичной суммой . Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд , сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е. . Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

3. Образец выполнения работы

Задание 1. Вычислить сумму числового ряда                            .

Решение

Разложим знаменатель на множители, заменив n на х:

Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей:

                 

Найдём каждый член ряда, начиная с n=1:

                          

                          

                         

                          

                          

                        

                                

                     

                          

                     

                     

                     

                          

Заметим, что b(1) и с(4); b(3) и с(6) и т.д. взаимно уничтожаются и без пары остаются с(1), c(2), c(3) и b(n), b(n–1), b(n–2).

Частичная сумма ряда равна:

 

           или

Cумма ряда равна:

Ответ: S=26.

Задание 2.1. Вычислить сумму числового ряда, заданного формулой:

Решение

Общий член ряда можно представить в виде:

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

       

Получим:

Ответ: .

Задание 2.2. Вычислить сумму числового ряда, заданного формулой:

При нахождении суммы следует воспользоваться формулой: . Вывод формулы произвести самостоятельно.

Задание 3. Вычислить сумму ряда с заданной точностью равной 0,001 и определить количество членов ряда, обеспечивающее указанную точность

Решение

Вычислим значения нескольких первых членов ряда, используя формулу общего члена ряда  =  :

                     

                     

                     

                    

                     

Так как модуль пятого члена ряда меньше заданной точности, т.е.  вычисления заканчиваем.  По следствию из теоремы Лейбница модуль остатка знакочередующегося ряда не превосходит модуля первого отброшенного члена ряда, т.е.  =

Следовательно,  для вычисления суммы ряда с заданной точностью достаточно суммировать  4  члена ряда   = .

Вычислим :

                                                                   

Вычислим для контроля сумму   :

                                                              

Следовательно, суммирование четырех первых членов ряда обеспечивает вычисление суммы ряда с заданной точностью.

Ответ: S= –4.233.

Контрольные вопросы

  1.  Дайте определение числового ряда.
  2.  Дайте определение частичной суммы числового ряда, суммы ряда.
  3.  Дайте определение числового расходящегося ряда.
  4.  Сформулируйте свойства числового ряда.
  5.  Дайте определение ряда геометрической прогрессии.
  6.  Запишите формулу вычисления суммы ряда геометрической прогрессии.
  7.  Дайте определение знакочередующегося числового ряда.
  8.  Сформулируйте признак Лейбница.

Библиографический список

  1.  Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова и др. // М.: Высшая школа, Ч. 2., 2008.
  2.  Письменный Д. / Конспект лекций по высшей математике / Дмитрий Письменный // М.: Айрис-пресс, Ч. 2., 2008.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30903. Регуляция дыхания 30.5 KB
  Регуляция дыхания Главная задача регуляции дыхания чтобы потребление кислорода поставка его тканям за счет внешнего дыхания были адекватны функциональным потребностям организма. Самый эффективный способ регуляции дыхания в целом это регуляция внешнего дыхания. Интенсивность внешнего дыхания зависит от варьирования его частоты и глубины. В регуляции дыхания можно выделить 3 группы механизмов: 1.
30904. Механизмы перестройки внешнего дыхания 32 KB
  Накопление СО2 в крови гиперкапния стимулирует дыхание человек будет дышать глубже и чаще. СО2 вымывается из крови гипокапния . ещё до повышения уровня СО2 в крови. Регуляция тонуса сосудов легких 1 Ведущая роль принадлежит газовому составу крови: понижение содержания в крови СО2 приводит к повышению тонуса легочных сосудов при этом уменьшается количество крови которое успевает обогатиться в легких О2 за единицу времени; увеличение СО2 наоборот уменьшает тонус легочных сосудов а значит повышается кровоток и газообмен.
30905. Пищеварение и его значение 36.5 KB
  Методы исследования пищеварительного тракта : XVIII век начало формирования научных методов исследования пищеварительного тракта и его функций. Все методы подразделяются на: 1. Острые методы : Характерная особенность острых экспериментов результат быстро как правило однократно условия далеки от физиологических . а вивисекционный метод прижизненное вскрытие ; б метод изоляции органов или участков органов перфузия питатательными растворами чувствительность к БАВ; в методы канюлирования выводных...
30906. Виды моторики пищеварительного тракта 49 KB
  Физиологические свойства и особенности гладкой мускулатуры пищеварительной трубки Гладкая мускулатура пищеварительной трубки состоит из гладкомышечных клеток ГМК. Межклеточные контакты ГМК пищеварительной трубки обеспечивает наличие нексусов. ГМК пищеварительной трубки обладают рядом физиологических свойств: возбудимостью проводимостью и сократимостью. Особенности возбудимости ГМК пищеварительной трубки: Возбудимость ГМК пищеварительной трубки ниже чем у миоцитов поперечнополосатой мускулатуры ППМ.
30907. Пищеварение в полости рта 27.5 KB
  Пищеварение в полости рта Секреция в ротовой полости В ротовой полости слюну вырабатывают 3 пары крупных и множество мелких слюнных желез. 1 Время нахождения пищи в ротовой полости в среднем 1618 секунд. Е нормальная микрофлора ротовой полости которая угнетает патологическую. В пределах ротовой полости ферменты слюны практически не оказывают влияния изза незначительного времени нахождения пищевого комка в ротовой полости.
30908. Пищеварении в желудке 38.5 KB
  Железы желудка состоят из трех видов клеток: Главные клетки – вырабатывают ферменты; Париетальные обкладочные НCl; Добавочные слизь. Клеточный состав желез изменяется в различных отделах желудка в антральном нет главных клеток в пилорическом нет обкладочных. Стимулирует секрецию желез желудка. Стимулирует моторику желудка.
30909. Пищеварение в 12-перстной кишке 27.5 KB
  За сутки 1525 л панкреатического сока рН 7588. Специфические вещества поджелудочного сока: 1. Ферменты панкреатического сока. Пищеварительные ферменты поджелудочного сока Протеазы поджелудочного сока эндо и экзопептидазы: а Эндопептидазы действуют на молекулу изнутри расщепляя внутренние пептидные связи.
30910. Роль печени в пищеварении 29 KB
  Состав желчи: 1. Специфические вещества: желчные кислоты и желчные пигменты: билирубин основной пигмент у человека придает коричневую окраску; биливердин в основном в желчи травоядных животных зеленый цвет. Роль желчи в пищеварении: 1.Желчные кислоты как компонент желчи играют в пищеварении ведущую роль: эмульгируют жиры активируют поджелудочную липазу обеспечивают всасывание нерастворимых в воде веществ образуя с ними комплексы жирные кислоты холестерин жирорастворимые витамины А D Е К и соли Са2...
30911. Состав и свойства кишечного сока 44.5 KB
  Состав и свойства кишечного сока Сок тонкой кишки Объем суточной секреции 25 л. Сахараза Лактаза Мальтаза Изомальтаза Гаммаамилаза фиксирована к стенке кишки. Фосфатазы Щелочная фосфатаза Кислая фосфатаза Сок толстой кишки рН сока 8590. К специфическим веществам сока толстой кишки относится слизь которая обеспечивает формирование каловых масс.