12761

Суммирование числовых рядов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Методические указания и индивидуальные задания к лабораторной работе №10 для студентов технических специальностей Суммирование числовых рядов: Излагаются методические рекомендации по нахождению суммы числового ряда. Проводится разбор примеров с применением п

Русский

2013-05-03

4.62 MB

33 чел.

Методические указания и индивидуальные задания

к лабораторной работе №10

для студентов технических специальностей

Суммирование числовых рядов:

Излагаются методические рекомендации по нахождению суммы числового ряда. Проводится разбор примеров с применением программного продукта MATHCAD.

Методические указания предназначены для студентов технических специальностей.

Содержание

  1.  Задания…………………………………………………………...4
  2.  Теоретические положения………………………………..……..5

2.1. Введение…………………………………………….……..……5

2.2. Ряд геометрической прогрессии…………………………...….6

2.3. Знакочередующиеся ряды……………………………………..8

  1.  Образец выполнения работы………………………………..…..9

Контрольные вопросы………………...……………………….….12

Библиографический список…………………………………….....12

Цель работы:

1. Изучить методы суммирования числовых рядов.

2. Освоить методику применения ЭВМ к нахождению суммы числового ряда.

3. Решить индивидуальное задание.

1. Задания

Задание 1. Вычислить сумму числового ряда.

Индивидуальное задание взять из таблицы 1.1.

Таблица 1.1

Индивидуальные задания

n

f(n)

n

f(n)

1

2

3

4

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

1

2

3

4

9

19

10

20

Задание 2. Вычислить сумму числового ряда, заданного формулой:

        2.1.                                                    2.2.

                                            

где а - номер варианта (указывается преподавателем),

      b - количество согласных в фамилии.

Задание 3. Вычислить сумму ряда с заданной точностью равной 0,001 и определить количество членов ряда, обеспечивающее указанную точность

Результат проверьте с помощью формулы: .

Для выбора индивидуального задания введите:

n - номер варианта (указывается преподавателем),

N- номер группы.

2. Теоретические положения

2.1. Введение

Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

                                                                        (1)

где  – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда,   общим членом ряда.

Ряд (1) считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера п: .

Сумма первых п членов ряда (1) называется n частичной суммой ряда и обозначается через , т.е. .

Рассмотрим частичные суммы

, , , …

Если существует конечный предел  последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: .

Если  не существует или , то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов.

Свойство 1. Если ряд. (1) сходится и его сумма равна , то ряд

,                                                       (2)

где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна . Если же ряд (1) расходится и , то и ряд (2) расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1) и сходится ряд

,                                                                                               (3)

а их суммы равны  и  соответственно, то сходится и ряд

,                                                                                       (4)

причем его сумма равна .

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Свойство 3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.

Ряд                                 

,                                                                         (5)

называется nостатком ряда (1). Он получается из ряда (1) отбрасыванием п первых его членов. Ряд (1) получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (1) и его остаток (5) одновременно сходятся или расходятся.

Из свойства 3 также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток  стремится к нулю при , т.е. .                                                   

2.2. Ряд геометрической прогрессии

Исследуем сходимость ряда

 ,                                                    (6)

который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд (6) часто используется при исследовании рядов на сходимость.

Как известно, сумма первых п членов прогрессии находится по формуле , . Найдем предел этой суммы:

.

Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q:

1. Если , то  при . Поэтому , ряд (6) сходится, его сумма равна ;

2. Если , то  при . Поэтому , ряд (6) расходится;

3. Если , то при  ряд (6) принимает вид , для него  и  , т. е. ряд (6) расходится; при  ряд (6) принимает вид  – в этом случае  при четном п и  при нечетном п. Следовательно,  не существует, ряд (6) расходится.

Итак, ряд геометрической прогрессии сходится при  и расходится при . В случае сходимости его сумма выражается формулой: .

2.3. Знакочередующиеся ряды

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

,                                    (7)

где  для всех  (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный Лейбницем).

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (7) сходится, если:

1. последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

2. общий член ряда стремится к нулю: .

При этом сумма  ряда (7) удовлетворяет неравенствам

                                                                                         (8)

Замечания.

1. Исследование знакочередующегося ряда вида

                                                                          (9)

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (–1) к исследованию ряда (7).

Ряды (7) и (9), для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

2. Соотношение (8) позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму  данного ряда его частичной суммой . Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд , сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е. . Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

3. Образец выполнения работы

Задание 1. Вычислить сумму числового ряда                            .

Решение

Разложим знаменатель на множители, заменив n на х:

Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей:

                 

Найдём каждый член ряда, начиная с n=1:

                          

                          

                         

                          

                          

                        

                                

                     

                          

                     

                     

                     

                          

Заметим, что b(1) и с(4); b(3) и с(6) и т.д. взаимно уничтожаются и без пары остаются с(1), c(2), c(3) и b(n), b(n–1), b(n–2).

Частичная сумма ряда равна:

 

           или

Cумма ряда равна:

Ответ: S=26.

Задание 2.1. Вычислить сумму числового ряда, заданного формулой:

Решение

Общий член ряда можно представить в виде:

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

       

Получим:

Ответ: .

Задание 2.2. Вычислить сумму числового ряда, заданного формулой:

При нахождении суммы следует воспользоваться формулой: . Вывод формулы произвести самостоятельно.

Задание 3. Вычислить сумму ряда с заданной точностью равной 0,001 и определить количество членов ряда, обеспечивающее указанную точность

Решение

Вычислим значения нескольких первых членов ряда, используя формулу общего члена ряда  =  :

                     

                     

                     

                    

                     

Так как модуль пятого члена ряда меньше заданной точности, т.е.  вычисления заканчиваем.  По следствию из теоремы Лейбница модуль остатка знакочередующегося ряда не превосходит модуля первого отброшенного члена ряда, т.е.  =

Следовательно,  для вычисления суммы ряда с заданной точностью достаточно суммировать  4  члена ряда   = .

Вычислим :

                                                                   

Вычислим для контроля сумму   :

                                                              

Следовательно, суммирование четырех первых членов ряда обеспечивает вычисление суммы ряда с заданной точностью.

Ответ: S= –4.233.

Контрольные вопросы

  1.  Дайте определение числового ряда.
  2.  Дайте определение частичной суммы числового ряда, суммы ряда.
  3.  Дайте определение числового расходящегося ряда.
  4.  Сформулируйте свойства числового ряда.
  5.  Дайте определение ряда геометрической прогрессии.
  6.  Запишите формулу вычисления суммы ряда геометрической прогрессии.
  7.  Дайте определение знакочередующегося числового ряда.
  8.  Сформулируйте признак Лейбница.

Библиографический список

  1.  Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова и др. // М.: Высшая школа, Ч. 2., 2008.
  2.  Письменный Д. / Конспект лекций по высшей математике / Дмитрий Письменный // М.: Айрис-пресс, Ч. 2., 2008.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84903. Теплоснабжение жилого микрорайона в г. Хабаровск 130.13 KB
  Теплоснабжение – система обеспечения теплом зданий и сооружений, предназначенная для обеспечения теплового комфорта для находящихся в них людей или для возможности выполнения технологических норм. Система теплоснабжения состоит из следующих функциональных частей: источник производства тепловой энергии...
84904. Проект и разработка программного обеспечения продажи мотоциклов 3.42 MB
  При нажатии на кнопку «Перейти к покупкам», появляется имеющаяся база данных мотоциклов. Где покупатель и собственно выбирает себе мотоцикл на свой вкус, и когда покупатель определится с выбором мотоцикла, он выбирает его в списке, путем нажатия клавиши мыши и жмет кнопку «Купить» тем самым покупает его.
84905. АНАЛИЗ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЗДРАВООХРАНЕНИЕМ В НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ 643.68 KB
  Современным объективным условием для существования, функционирования и развития сферы медицинской деятельности, является здравоохранение, которое можно представить как целую систему. Определяющее влияние социально-экономических факторов на показатели здоровья населения проявилось особенно...
84906. Лексико-грамматические особенности деловой документации в современном китайском языке 80.35 KB
  Целью данной работы является выявление лексических и грамматических особенностей составления деловой документации на китайском языке. Развитие партнерских китайско-российских отношений в последнее десятилетие привело к активизации сотрудничества в сферах экономики, торговли, туризма и т.д.
84907. Расчет основных параметров системы связи 1.03 MB
  Разработать структурную схему системы связи, предназначенной для передачи данных и передачи аналоговых сигналов методом ИКМ для заданного вида модуляции и способа приема сигналов. Рассчитать основные параметры системы связи. Указать и обосновать пути совершенствования разработанной системы связи.
84908. План технологического процесса по восстановлению распределительного вала ЗИЛ 130 451.2 KB
  Целью данного курсового проекта является разработка технологического процесса восстановления распределительного вала двигателя «ЗИЛ-130», на основе заданных дефектов, с применением наиболее прогрессивных форм и методов организации авторемонтного производства. Он служит для передачи вращающего момента.
84910. Проектирование локальной вычислительной сети 2.42 MB
  Спроектировать ЛВC, состоящую из пяти маршрутизаторов, составить таблицы маршрутизации для каждого из маршрутизаторов и для рабочих станций. Необходимо обеспечить наличие маршрута по умолчанию. Применить к спроектированной сети технологию VLAN.
84911. Планирование и организация технического обслуживания дорожных машин, автомобилей и тракторов с разработкой технического проведения первого технического обслуживания (ТО-1) экскаватора (на гусеничном ходу) 619.04 KB
  В настоящее время машинные парки дорожно-строительных организаций и дорожно-эксплуатационных хозяйств пополняются экскаваторами, автогрейдерами, бульдозерами, скреперами, катками, планировочно-уплотняющей техникой современных универсальных исполнений с гидроприводом...