12761

Суммирование числовых рядов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Методические указания и индивидуальные задания к лабораторной работе №10 для студентов технических специальностей Суммирование числовых рядов: Излагаются методические рекомендации по нахождению суммы числового ряда. Проводится разбор примеров с применением п

Русский

2013-05-03

4.62 MB

31 чел.

Методические указания и индивидуальные задания

к лабораторной работе №10

для студентов технических специальностей

Суммирование числовых рядов:

Излагаются методические рекомендации по нахождению суммы числового ряда. Проводится разбор примеров с применением программного продукта MATHCAD.

Методические указания предназначены для студентов технических специальностей.

Содержание

  1.  Задания…………………………………………………………...4
  2.  Теоретические положения………………………………..……..5

2.1. Введение…………………………………………….……..……5

2.2. Ряд геометрической прогрессии…………………………...….6

2.3. Знакочередующиеся ряды……………………………………..8

  1.  Образец выполнения работы………………………………..…..9

Контрольные вопросы………………...……………………….….12

Библиографический список…………………………………….....12

Цель работы:

1. Изучить методы суммирования числовых рядов.

2. Освоить методику применения ЭВМ к нахождению суммы числового ряда.

3. Решить индивидуальное задание.

1. Задания

Задание 1. Вычислить сумму числового ряда.

Индивидуальное задание взять из таблицы 1.1.

Таблица 1.1

Индивидуальные задания

n

f(n)

n

f(n)

1

2

3

4

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

1

2

3

4

9

19

10

20

Задание 2. Вычислить сумму числового ряда, заданного формулой:

        2.1.                                                    2.2.

                                            

где а - номер варианта (указывается преподавателем),

      b - количество согласных в фамилии.

Задание 3. Вычислить сумму ряда с заданной точностью равной 0,001 и определить количество членов ряда, обеспечивающее указанную точность

Результат проверьте с помощью формулы: .

Для выбора индивидуального задания введите:

n - номер варианта (указывается преподавателем),

N- номер группы.

2. Теоретические положения

2.1. Введение

Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

                                                                        (1)

где  – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда,   общим членом ряда.

Ряд (1) считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера п: .

Сумма первых п членов ряда (1) называется n частичной суммой ряда и обозначается через , т.е. .

Рассмотрим частичные суммы

, , , …

Если существует конечный предел  последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: .

Если  не существует или , то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов.

Свойство 1. Если ряд. (1) сходится и его сумма равна , то ряд

,                                                       (2)

где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна . Если же ряд (1) расходится и , то и ряд (2) расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1) и сходится ряд

,                                                                                               (3)

а их суммы равны  и  соответственно, то сходится и ряд

,                                                                                       (4)

причем его сумма равна .

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Свойство 3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.

Ряд                                 

,                                                                         (5)

называется nостатком ряда (1). Он получается из ряда (1) отбрасыванием п первых его членов. Ряд (1) получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (1) и его остаток (5) одновременно сходятся или расходятся.

Из свойства 3 также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток  стремится к нулю при , т.е. .                                                   

2.2. Ряд геометрической прогрессии

Исследуем сходимость ряда

 ,                                                    (6)

который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд (6) часто используется при исследовании рядов на сходимость.

Как известно, сумма первых п членов прогрессии находится по формуле , . Найдем предел этой суммы:

.

Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q:

1. Если , то  при . Поэтому , ряд (6) сходится, его сумма равна ;

2. Если , то  при . Поэтому , ряд (6) расходится;

3. Если , то при  ряд (6) принимает вид , для него  и  , т. е. ряд (6) расходится; при  ряд (6) принимает вид  – в этом случае  при четном п и  при нечетном п. Следовательно,  не существует, ряд (6) расходится.

Итак, ряд геометрической прогрессии сходится при  и расходится при . В случае сходимости его сумма выражается формулой: .

2.3. Знакочередующиеся ряды

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

,                                    (7)

где  для всех  (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный Лейбницем).

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (7) сходится, если:

1. последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

2. общий член ряда стремится к нулю: .

При этом сумма  ряда (7) удовлетворяет неравенствам

                                                                                         (8)

Замечания.

1. Исследование знакочередующегося ряда вида

                                                                          (9)

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (–1) к исследованию ряда (7).

Ряды (7) и (9), для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

2. Соотношение (8) позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму  данного ряда его частичной суммой . Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд , сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е. . Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

3. Образец выполнения работы

Задание 1. Вычислить сумму числового ряда                            .

Решение

Разложим знаменатель на множители, заменив n на х:

Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей:

                 

Найдём каждый член ряда, начиная с n=1:

                          

                          

                         

                          

                          

                        

                                

                     

                          

                     

                     

                     

                          

Заметим, что b(1) и с(4); b(3) и с(6) и т.д. взаимно уничтожаются и без пары остаются с(1), c(2), c(3) и b(n), b(n–1), b(n–2).

Частичная сумма ряда равна:

 

           или

Cумма ряда равна:

Ответ: S=26.

Задание 2.1. Вычислить сумму числового ряда, заданного формулой:

Решение

Общий член ряда можно представить в виде:

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

       

Получим:

Ответ: .

Задание 2.2. Вычислить сумму числового ряда, заданного формулой:

При нахождении суммы следует воспользоваться формулой: . Вывод формулы произвести самостоятельно.

Задание 3. Вычислить сумму ряда с заданной точностью равной 0,001 и определить количество членов ряда, обеспечивающее указанную точность

Решение

Вычислим значения нескольких первых членов ряда, используя формулу общего члена ряда  =  :

                     

                     

                     

                    

                     

Так как модуль пятого члена ряда меньше заданной точности, т.е.  вычисления заканчиваем.  По следствию из теоремы Лейбница модуль остатка знакочередующегося ряда не превосходит модуля первого отброшенного члена ряда, т.е.  =

Следовательно,  для вычисления суммы ряда с заданной точностью достаточно суммировать  4  члена ряда   = .

Вычислим :

                                                                   

Вычислим для контроля сумму   :

                                                              

Следовательно, суммирование четырех первых членов ряда обеспечивает вычисление суммы ряда с заданной точностью.

Ответ: S= –4.233.

Контрольные вопросы

  1.  Дайте определение числового ряда.
  2.  Дайте определение частичной суммы числового ряда, суммы ряда.
  3.  Дайте определение числового расходящегося ряда.
  4.  Сформулируйте свойства числового ряда.
  5.  Дайте определение ряда геометрической прогрессии.
  6.  Запишите формулу вычисления суммы ряда геометрической прогрессии.
  7.  Дайте определение знакочередующегося числового ряда.
  8.  Сформулируйте признак Лейбница.

Библиографический список

  1.  Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова и др. // М.: Высшая школа, Ч. 2., 2008.
  2.  Письменный Д. / Конспект лекций по высшей математике / Дмитрий Письменный // М.: Айрис-пресс, Ч. 2., 2008.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37223. Экономическое содержание и классификация основных средств 58 KB
  Экономическое содержание и классификация основных средств В соответствии с ПБУ 6 01 Учет основных средств утвержденным приказом Минфина РФ от 30 марта 2001 г. При этом объект основных средств должен быть предназначен для использования в производстве продукции выполнении работ оказании услуг или для управленческих нужд организации и способен приносить организации экономические выгоды доход в будущем. В составе основных средств учитываются также: капитальные вложения на коренное улучшение земель осушительные оросительные и другие...
37224. Содержание, методы и информационная база анализа финансового состояния предприятия 74.5 KB
  Финансовое состояние организации определяет конкурентоспособность организации ее потенциал в деловом сотрудничестве позволяет оценить в какой степени гарантированы экономические интересы самого предприятия и его партнеров. Финансовое состояние организации отражает конечные результаты ее деятельности характеризующиеся определенной совокупностью показателей которые интересуют различные группы пользователей: менеджеров организации и в первую очередь финансовых менеджеров; персонала организации; собственников предприятия в том числе его...
37225. Доходы организации и их классификация 55.5 KB
  Суммы полученные в порядке предварительной оплаты продукции товаров работ услуг; авансы в счет оплаты продукции товаров работ услуг; суммы полученных задатков; суммы полученных залогов если договором предусмотрена передача заложенного имущества залогодержателю; суммы полученные в погашение кредита займа предоставленного заемщику. Доходы организации в зависимости от их характера условий осуществления и направлений деятельности подразделяются на: Доходы от обычных видов деятельности выручка от продажи продукции и товаров а также...
37226. Содержание и классификация расходов предприятия 43.5 KB
  Термин расходы в большей степени имеет отношение к бухгалтерскому учету затрат в целях налогообложения прибыли . В соответствии с Положением по бухгалтерскому учету Расходы организации ПБУ10 99 утвержденным приказом Министерства финансов РФ от 6 мая 1999г. Расходы предприятия в зависимости от их характера условий осуществления и направлений деятельности организации подразделяются на: Расходы по обычным видам деятельности расходы связанные с изготовлением продукции и продажей продукции приобретением и продажей товаров выполнением...
37227. Экономическое содержание, функции и виды прибыли 60 KB
  Экономическое содержание функции и виды прибыли. Экономическая сущность прибыли является одной из сложных и дискуссионных проблем в современной экономической науке. Экономическое содержание прибыли проявляется в выполняемых ею функциях среди которых можно выделить следующие: Прибыль характеризует экономический эффект полученный в результате деятельности организации т. Стимулирующая функция прибыли проявляется в том что прибыль выступает основным внутренним источником формирования финансовых ресурсов организации обеспечивающих ее развитие...
37228. Практика и перспективы использования технических средств в учреждении культуры 40.5 KB
  Кроме финансовой затратности изготовления жестких декораций имеется и несколько отрицательных художественнопостановочных моментов их применения. Смена жестких декораций не всегда возможна в течение концерта или спектакля по техническим и экономическим причинам. Проекционные декорации создаваемые позволяют радикальным образом решить все проблемы связанные с использованием жестких декораций следующим образом. Проецируемый слайд точно вписывается в подвешенный экран без геометрических искажений создавая полную иллюзию реальности создаваемых...
37229. Электромузыкальные инструменты 69 KB
  Электромузыкальные инструменты Принцип действия Виды электромузыкальных инструментов Потребительские свойства электромузыкальных инструментов Хранение инструментов Заключение Введение Эмоциональный мир человека невозможно представить без музыки. А термин электрический музыкальный инструмент используется для обозначения инструментов звук которых воспроизводится механически и усиливается или изменяется с помощью электроники. Появлению электромузыкальных инструментов ЭМИ предшествовали инструменты построенные на...
37230. Фотоаппаратура в СКД 106 KB
  Фотоаппаратура в СКД История фотоаппаратуры Виды фотоаппаратов Основные детали фотоаппаратов Современная фотоаппаратура Управление современной фотоаппаратурой Режимы фотоаппаратов Заключение Введение Постоянный обмен информацией короткое время производства экономия финансов польза для окружающей среды вот только несколько причин которые объясняют гигантский рост интереса к фотоаппаратам . Фотоаппарат устройство для получения и фиксации неподвижных изображений материальных объектов при помощи света. Фотоаппарат фотокамера...
37231. Разработка художественно-технических приемов обеспечения проведения социально-культурного мероприятия техническими средствами СКД на основе сценарного плана социально-культурного мероприятия 141.5 KB
  Проведение школьной дискотеки 1.Интерьер помещения для дискотеки 1.Световое оборудование Заключение Введение В большинстве случаев к сожалению дискотеки в школах получают неудовлетворительную оценку. Раньше для успеха дискотеки достаточно было использовать кассету с зарубежными хитами а в качестве освещения использовать 4 фонаря и зеркальный шар.