12761

Суммирование числовых рядов

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Методические указания и индивидуальные задания к лабораторной работе №10 для студентов технических специальностей Суммирование числовых рядов: Излагаются методические рекомендации по нахождению суммы числового ряда. Проводится разбор примеров с применением п

Русский

2013-05-03

4.62 MB

31 чел.

Методические указания и индивидуальные задания

к лабораторной работе №10

для студентов технических специальностей

Суммирование числовых рядов:

Излагаются методические рекомендации по нахождению суммы числового ряда. Проводится разбор примеров с применением программного продукта MATHCAD.

Методические указания предназначены для студентов технических специальностей.

Содержание

  1.  Задания…………………………………………………………...4
  2.  Теоретические положения………………………………..……..5

2.1. Введение…………………………………………….……..……5

2.2. Ряд геометрической прогрессии…………………………...….6

2.3. Знакочередующиеся ряды……………………………………..8

  1.  Образец выполнения работы………………………………..…..9

Контрольные вопросы………………...……………………….….12

Библиографический список…………………………………….....12

Цель работы:

1. Изучить методы суммирования числовых рядов.

2. Освоить методику применения ЭВМ к нахождению суммы числового ряда.

3. Решить индивидуальное задание.

1. Задания

Задание 1. Вычислить сумму числового ряда.

Индивидуальное задание взять из таблицы 1.1.

Таблица 1.1

Индивидуальные задания

n

f(n)

n

f(n)

1

2

3

4

1

11

2

12

3

13

4

14

5

15

6

16

7

17

8

18

1

2

3

4

9

19

10

20

Задание 2. Вычислить сумму числового ряда, заданного формулой:

        2.1.                                                    2.2.

                                            

где а - номер варианта (указывается преподавателем),

      b - количество согласных в фамилии.

Задание 3. Вычислить сумму ряда с заданной точностью равной 0,001 и определить количество членов ряда, обеспечивающее указанную точность

Результат проверьте с помощью формулы: .

Для выбора индивидуального задания введите:

n - номер варианта (указывается преподавателем),

N- номер группы.

2. Теоретические положения

2.1. Введение

Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

                                                                        (1)

где  – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда,   общим членом ряда.

Ряд (1) считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера п: .

Сумма первых п членов ряда (1) называется n частичной суммой ряда и обозначается через , т.е. .

Рассмотрим частичные суммы

, , , …

Если существует конечный предел  последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: .

Если  не существует или , то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов.

Свойство 1. Если ряд. (1) сходится и его сумма равна , то ряд

,                                                       (2)

где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна . Если же ряд (1) расходится и , то и ряд (2) расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1) и сходится ряд

,                                                                                               (3)

а их суммы равны  и  соответственно, то сходится и ряд

,                                                                                       (4)

причем его сумма равна .

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Свойство 3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.

Ряд                                 

,                                                                         (5)

называется nостатком ряда (1). Он получается из ряда (1) отбрасыванием п первых его членов. Ряд (1) получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (1) и его остаток (5) одновременно сходятся или расходятся.

Из свойства 3 также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток  стремится к нулю при , т.е. .                                                   

2.2. Ряд геометрической прогрессии

Исследуем сходимость ряда

 ,                                                    (6)

который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд (6) часто используется при исследовании рядов на сходимость.

Как известно, сумма первых п членов прогрессии находится по формуле , . Найдем предел этой суммы:

.

Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q:

1. Если , то  при . Поэтому , ряд (6) сходится, его сумма равна ;

2. Если , то  при . Поэтому , ряд (6) расходится;

3. Если , то при  ряд (6) принимает вид , для него  и  , т. е. ряд (6) расходится; при  ряд (6) принимает вид  – в этом случае  при четном п и  при нечетном п. Следовательно,  не существует, ряд (6) расходится.

Итак, ряд геометрической прогрессии сходится при  и расходится при . В случае сходимости его сумма выражается формулой: .

2.3. Знакочередующиеся ряды

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

,                                    (7)

где  для всех  (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный Лейбницем).

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (7) сходится, если:

1. последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

2. общий член ряда стремится к нулю: .

При этом сумма  ряда (7) удовлетворяет неравенствам

                                                                                         (8)

Замечания.

1. Исследование знакочередующегося ряда вида

                                                                          (9)

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (–1) к исследованию ряда (7).

Ряды (7) и (9), для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

2. Соотношение (8) позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму  данного ряда его частичной суммой . Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд , сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е. . Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

3. Образец выполнения работы

Задание 1. Вычислить сумму числового ряда                            .

Решение

Разложим знаменатель на множители, заменив n на х:

Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей:

                 

Найдём каждый член ряда, начиная с n=1:

                          

                          

                         

                          

                          

                        

                                

                     

                          

                     

                     

                     

                          

Заметим, что b(1) и с(4); b(3) и с(6) и т.д. взаимно уничтожаются и без пары остаются с(1), c(2), c(3) и b(n), b(n–1), b(n–2).

Частичная сумма ряда равна:

 

           или

Cумма ряда равна:

Ответ: S=26.

Задание 2.1. Вычислить сумму числового ряда, заданного формулой:

Решение

Общий член ряда можно представить в виде:

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

       

Получим:

Ответ: .

Задание 2.2. Вычислить сумму числового ряда, заданного формулой:

При нахождении суммы следует воспользоваться формулой: . Вывод формулы произвести самостоятельно.

Задание 3. Вычислить сумму ряда с заданной точностью равной 0,001 и определить количество членов ряда, обеспечивающее указанную точность

Решение

Вычислим значения нескольких первых членов ряда, используя формулу общего члена ряда  =  :

                     

                     

                     

                    

                     

Так как модуль пятого члена ряда меньше заданной точности, т.е.  вычисления заканчиваем.  По следствию из теоремы Лейбница модуль остатка знакочередующегося ряда не превосходит модуля первого отброшенного члена ряда, т.е.  =

Следовательно,  для вычисления суммы ряда с заданной точностью достаточно суммировать  4  члена ряда   = .

Вычислим :

                                                                   

Вычислим для контроля сумму   :

                                                              

Следовательно, суммирование четырех первых членов ряда обеспечивает вычисление суммы ряда с заданной точностью.

Ответ: S= –4.233.

Контрольные вопросы

  1.  Дайте определение числового ряда.
  2.  Дайте определение частичной суммы числового ряда, суммы ряда.
  3.  Дайте определение числового расходящегося ряда.
  4.  Сформулируйте свойства числового ряда.
  5.  Дайте определение ряда геометрической прогрессии.
  6.  Запишите формулу вычисления суммы ряда геометрической прогрессии.
  7.  Дайте определение знакочередующегося числового ряда.
  8.  Сформулируйте признак Лейбница.

Библиографический список

  1.  Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова и др. // М.: Высшая школа, Ч. 2., 2008.
  2.  Письменный Д. / Конспект лекций по высшей математике / Дмитрий Письменный // М.: Айрис-пресс, Ч. 2., 2008.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60064. Свято Купала. Загальнотабірний захід 78 KB
  Дія відбувається на природі. Дівчата та хлопці вбрані в національні українські костюми; на «відьмі» - чорний плащ з каптуром, мітла. На сцену виходить ведучий-вихователь.
60065. Сценарий посвящен Дню Победы 28.5 KB
  Вот и наступил долгожданный День Победы! 9 Мая—светлый и радостный праздник. 68 лет назад в этот день закончилась война с немецким фашизмом. Мы с благодарностью вспоминаем наших воинов, защитников, отстоявших мир в жестокой битве.
60066. Їжачок-хитрячок і лісова школа 50 KB
  Мета. Учити дітей співвідносити кількість предметів із цифрами, розуміти і правильно використовувати слова та вирази: порівну, більше на один, менше на один; виділяти загальні ознаки предметів...
60068. Вечорниці-фантазії “На Андрія робиться дівицям надія” 32 KB
  Заходять дівчата1 ДІВЧИНА: Дівчата не роздягайтеся.2 ДІВЧИНА: Чого причепились Не смішіть не заважайте ідіть геть2 ХЛОПЕЦЬ: Макітру вареників на стіл підемо 1 ДІВЧИНА: Та вже будуть вам вареники їжте хоч лусніть тільки воду дайте донести...
60069. Ранок: «Зимонька – зима» 41 KB
  Вгадайте хто це зима Прийшла до нас бабуся У білому кожусі Поля причепурила Сріблястим снігом вкрила. Зима Прийшла зима біловолоса Неначе білим полотном Блискучим снігом одяглося Село і поле за селом.
60070. Мово рідна, слово рідне… Сценарій свята 36.5 KB
  Епіграф: Мова це думки звук Мова це серця стук. Мова це знань джерело. Мова це птаха крило Мова це наші знання Мова це ти і я Хід свята: 1й ведучий: Добридень всім присутнім в залі: І вчителям і школярам І тим гостям що завітали.
60071. Сценарій тематичного вечора «Память серця» 57 KB
  Диктор 22 червня 1941 року, неділя. Той чорний день пам’ятають всі. Сільський ранок. Невгамовна дітвора вже на вулиці. Яскраве сонце у волошковому небі, лагідний літній вітерець, дітвора, яка раділа погожому дню, ще не знали, що вже дзвонить...
60072. Виховний захід «Люблю тебе всім серцем і душе, моя рідненька, Україно!» 55.5 KB
  Господиня співає колискову і колише ляльку на руках Оленка: Я чую голос матері ніжненький Вона мені тихесенько співа Щомить мене ласкою зігріва. Господиня: Спіть мої дітоньки спіть засинайте Швидко в солодкому сні підростайте.