12800

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ЗАПИСЬ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа № 1 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ЗАПИСЬ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ Цель работы: Изучить правила перевода чисел из одной системы исчисления в другую. Изучить способы кодирования двоичных чисел. Изучить формы представления двоичных чисел а также способы перевода одно

Русский

2013-05-03

687 KB

36 чел.

Лабораторная работа № 1

«ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ЗАПИСЬ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ»

Цель работы: Изучить правила перевода чисел из одной системы исчисления в другую. Изучить способы кодирования двоичных чисел. Изучить формы представления двоичных чисел, а также  способы перевода одной формы записи в другую.

Время выполнения работы – 4 часа.

Краткие теоретические сведения

Системой исчисления называют систему приемов и правил, которые позволяют устанавливать взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов.

Любая позиционная система исчисления с основой  может быть представлена в виде полинома:

,    (1)

где  – число в позиционной системе исчисления с основой ;

       – коэффициент;

       – степень и индекс.

Вес каждого символа определяется его позицией в записи числа.

В двоичной системе исчисления основанием системы является число 2, а коэффициенты  могут принимать значения  или . Эти двоичные цифры называются битами. В общем виде число в двоичной системе исчисления будет записано как

  (2)

Цифровые устройства используют элементы, которые имеют только два устойчивых состояния, поэтому двоичная система исчисления приобрела широчайшее распространение для представления и обработки информации.

  1.  Правила перевода чисел из одной системы исчисления в другую

  1.  Преобразование десятичных чисел в двоичные

Пусть имеем целое десятичное число . Преобразовать его в двоичное число – это значит представить в виде

,    (1.1)

где  – двоичные цифры, равные  или .

Цифры двоичного числа можно определить последовательно, начиная с  и кончая , следующим образом:

а) делим заданное число  на 2. В результате получаем целую часть частного

  (1.2)

и остаток .

б) делим число  на 2. В результате получаем в частном

   (1.3)

и в остатке  и т.д.

Процесс деления продолжается до тех пор, пока мы не получим в частном  и в остатке . Это означает, что мы определили старший разряд двоичного числа.

Пусть имеем дробное десятичное число <. Требуется определить двоичную дробь

,     (1.4)

где  – двоичные цифры, равные  или .

Цифры двоичного числа можно определить последовательно, начиная с , следующим образом:

а) умножаем заданное число  на 2:

     (1.5)

Отделяем целую часть числа , равную  и дробную часть

   (1.6)

б) умножаем  на 2:

      (1.7)

Целая часть от  равна , а дробная часть

   (1.8)

используется для дальнейшего преобразования.

Преобразование продолжается до тех пор, пока после очередного умножения на 2 дробная часто не окажется равной нулю (что означает точное преобразование в двоичную дробь) или пока мы не получим достаточное количество двоичных разрядов, удовлетворяющее нас с точки зрения точности преобразования.

Рассмотрим процесс преобразования десятичного числа  в соответствующее двоичное (см. рисунок 1).

 а)

 б)

Рисунок 1 – Процесс преобразования десятичного числа в двоичное:

а) целая часть; б) дробная часть

Итак,

  1.  Преобразование двоичных чисел в десятичные

Для этого надо двоичное число

     (1.9)

представить в виде

 (1.10)

и непосредственно выполнить все указанные в этой формуле действия.

Рассмотрим процесс преобразования двоичного числа  в соответствующее десятичное (см. рисунок 2).

 а)

 б)

Рисунок 2 – Процесс преобразования двоичного числа в десятичное:

а) целая часть; б) дробная часть

Итак,

2. Кодирование двоичных чисел

2.1. Прямой код числа

Простейшим машинным кодом является прямой код , получаемый при кодировании в числе  только знаковой информации, причем знак «+» кодируется нулем, а знак «–» – единицей. Поэтому прямой код положительного числа совпадает с его записью, а прямой код отрицательного числа отличается от обычной записи числа знаковым разрядом, в который заносится единица.

Примечание 1. Если под поле цифр разрядов выделено больше, чем необходимо для представления числа , то разряды (цифры) числа  заносятся в разрядную сетку ЭВМ в соответствии со своими весами. Код знака числа практически во всех ЭВМ заносится в старший разряд разрядной сетки.

Прямой код числа широко используется при хранении чисел в памяти и выполнении операции умножения. В современных ЭВМ прямой код применяется только для представления положительных двоичных чисел.

Для представления отрицательных чисел применяется обратный или дополнительный коды, поскольку над отрицательными числами в прямом коде неудобно выполнять операции арифметического сложения.

2.2. Обратный код числа

Для образования обратного кода  отрицательного числа необходимо в знаковом разряде поставить единицу, а все цифровые разряды инвертировать (заменить  на , а  – на ). Очевидно, что

2.3. Дополнительный код числа

Дополнительный код  отрицательного числа образуется из обратного кода путем увеличения  на единицу младшего разряда.

Примечание 2. Дополнительный и обратный коды положительного числа совпадают с его прямым кодом. Прямой код можно получить из дополнительного или обратного кода по тем же правилам, которые служат для нахождения дополнительного и обратного кодов.

Пример:

Число   Прямой код  Обратный код  Дополнительный код

    

    

3. Формы представления чисел

  1.  Представление чисел в форме с фиксированной запятой

Для сокращения длины разрядной сетки и упрощения обработки данных положение запятой может быть зафиксировано схемотехнически. При этом формат машинного представления чисел с фиксированной запятой состоит только из двух структурных компонент: поле знака и поле цифр.

Диапазон представления чисел для этого формата .

В зависимости от размеров целой и дробной частей возможны следующие случаи:

1) Если , , то  

2) Если , , то  

3) Если , , то   

4) Если , , то   

Очевидно, что ограничение длины разрядной сетки приводит к ограничению диапазона хранимых чисел и потере точности их представления. Поэтому на практике широко используется и другая форма представления чисел.

3.2. Представление чисел в форме с плавающей запятой

В общем виде числа с плавающей запятой имеют следующий вид:

,

где  – мантисса числа ;

       – порядок числа .

Порядок (с учетом знака) показывает, на сколько разрядов и в какую сторону сдвинута запятая при замене формы записи числа с естественной на нормальную. Например, число  можно представить, как  и как .

В двоичной системе исчисления формат машинного изображения чисел с плавающей запятой включает знаковые поля (мантиссы и порядка), поле мантиссы и поле порядка числа и имеет следующий вид:

Для данного формата разрядной сетки можно записать следующий диапазон представления чисел:

 

   

Примеры представление целых и дробных двоичных чисел в форме с плавающей запятой приведены на рисунке 3.

  а)

  б)

Рисунок 3 – Представление двоичных чисел в форме с плавающей запятой:

а) целая часть; б) дробная часть

Примечание 3. Для упрощения операций над порядками применяют представление чисел с плавающей запятой со смещенным порядком:

,

где  – целое положительное число (смещение), .

Обычно , где  – число двоичных разрядов в поле цифр несмещенного порядка. В этом случае поле знака порядка избыточно, так как  всегда положительно. Такие смещенные порядки называют характеристиками. В зависимости от типа данных числа с плавающей запятой в памяти ЭВМ хранятся в одном из следующих форматов:

При выполнении арифметических операций над числами с плавающей запятой может получаться результат, выходящий за пределы диапазона представления чисел. При этом выход за правую границу диапазона принято называть переполнением порядка (получение очень большого числа), а выход за левую границу – исчезновением порядка (получение очень малого числа).

Примечание 4. В стандарте IEEE крайние значения порядка (характеристики) зарезервированы и не используются для представления обычных чисел. Максимальное значение характеристики, представленное всеми единицами при положительном знаке числа, зарезервировано для представления значения +∞ при нулевой мантиссе. При знаке минус число с максимальной характеристикой используется для представления -∞ и неопределенности. Значение с минимальной характеристикой, равной нулю, зарезервировано для представления денормализованных чисел (положительных и отрицательных), а также для представления нуля (представляется всеми нулями), причем различают +0 и –0.

Наиболее распространено и удобно для представления в ЭВМ ограничение вида <1. Форма представления чисел, для которых справедливо данное ограничение, называется нормализованной.

Если нормализованное двоичное число положительно (в знаковом разряде стоит ), то в старшем цифровом разряде должна стоять . Если же число отрицательно (в знаковом разряде стоит ), то в старшем цифровом разряде дополнительного или обратного кода должен стоять .

Примечание 1. Сочетания  и  в знаковом и старшем цифровом разрядах означают выполнение одного из условий нормализации , а сочетания  и  в этих же разрядах – нарушение этого условия.

Для нормализации числа в этом случае следует повторить цикл сдвига цифровой части влево на один разряд (т. е. умножение на ) с одновременным вычитанием единицы из порядка (что эквивалентно делению на ) до тех пор, пока не начнет выполняться условие нормализации.

Например, отрицательное число

        

является ненормализованным, так как в разряде знака и в старшем цифровом разряде имеет место сочетание . Для нормализации необходимо сдвинуть мантиссу на  разряда влево, а из порядка вычесть число два . В результате получим нормализованное число

        

Порядок выполнения работы

  1.  Ознакомиться с методическими указаниями к лабораторной работе.
  2.  В соответствии с заданным вариантом (см. таблицу 1) изучить порядок перевода чисел из одной системы исчисления в другую.

Таблица 1–Варианты заданий

№ вар.

А

В

С

1

-10,125

13,75

0,12

2

1,22

-6,82

42,25

3

96,5

4,3

-0,96

4

-12,4

3,33

-24,5

5

21,18

-0,82

14,15

6

-15,42

0,08

-6,45

  1.  Представить десятичные числа в двоичной системе в форме с фиксированной и плавающей точкой. При записи чисел в системе счисления с плавающей точкой применять количество разрядов мантиссы – 8, порядка – 6.
  2.  Изучить порядок записи двоичных чисел в прямом, обратном и дополнительном коде, а также порядок.

Контрольные вопросы и задания

  1.  Каковы способы физического представления данных?
  2.  В чем различия позиционной системы исчисления и непозиционной?
  3.  Каковы преимущества и недостатки десятичной и двоичной систем исчисления?
  4.  Приведите правила перевода из десятичной системы исчисления в двоичную и наоборот.
  5.  Как представить отрицательные числа в двоичном коде?
  6.  Какие основные формы представления чисел в ЭВМ?
  7.  Что такое нормализация и переполнение разрядной сетки?
  8.  Приведите правила образования обратного и дополнительного кода.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15996. Государственное и региональное управление 1.54 MB
  В данном учебном пособии в соответствии с утвержденной учебной программой рассматриваются проблемы развития государственного и регионального управления, освещаются зарубежный опыт региональной политики и пути его использования в России с учетом её специфики, правовые основы функционирования субъектов РФ, анализируются регион в качестве социальной экономической системы, финансы и бюджет, рассматриваются вопросы стимулирования
15997. Государственное и муниципальное управление 1.44 MB
  В предлагаемом пособии рассматривается в соответствии с утвержденной учебной программой широкий круг вопросов становления и развития местного самоуправления в России и за рубежом, дается характеристика органов местного самоуправления и муниципальных образований, рассматриваются вопросы формирования и использования местных финансов,
15998. Коррупция и организованная преступность в посткоммунистических государствах 369.5 KB
  Неформальные системы должны стать предметом специального изучения специалистов в области коррупции и организованной преступности в любом географическом контексте. Организованная преступность неизбежно окаймлена рамками неформальных систем и обычно зависит от коррупции
15999. Конкурентне право 2.99 MB
  У навчальному посібнику розглянуто основні аспекти правового захисту економічної конкуренції в Україні, окреслено поняття й види конкуренції та монополії, висвітлено основні положення законодавства про захист економічної конкуренції. Посібник містить навчальну програму курсу «Конкурентне право України».
16000. Виктимология социальные и криминологические проблемы 1.47 MB
  Туляков Вячеслав Алексеевич ВИКТИМОЛОГИЯ В монографии приведены результаты теоретического анализа основных науковедческих проблем современной виктимологии как перспективного направления социальноправовых исследований обеспечивающего повышение эффективнос...
16001. ВИКТИМОЛОГИЯ 924.5 KB
  Туляков В.А. ВИКТИМОЛОГИЯ ВИКТИМОЛОГИЯ от лат victime жертва и греч logos понятие учение область знания на стыке педагогики психологии социологии криминологии и этнографии изучающая различные категории людей жертв неблагопри...
16002. Історія вчень про державу та право 1.45 MB
  Посібник створений з урахуванням досвіду щодо подібних вітчизняних видань, а також власного напрацювання автора при викладанні навчальної дисципліни у вищих навчальних закладах. У посібнику вміщено теоретичний матеріал, перелік літератури, питання для заліку та самоконтролю знань студентів, глосарій контрольні тести-тренінги
16003. Наркоситуация в мире и транснациональный наркобизнес 316 KB
  Владивостокский центр изучения организованной преступности 2002 июль Наркоситуация в мире и транснациональный наркобизнес Реферат Тропиной Татьяны Наркобизнес – величайший массовый убийца. Исключая редкие случаи окровавленные руки п
16004. Валютное регулирование в международном инвестиционном праве 935 KB
  Валютное регулирование в международном инвестиционном праве Предисловие Разумное привлечение иностранного капитала в экономику России выгодно: иностранные инвестиции могут помочь стране быстро модернизировать промышленную базу и увеличить ее производстве...