12979

Математичне моделювання та диференціальні рівняння

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 1 Математичне моделювання та диференціальні рівняння. 1.1. Поняття математичного моделювання. Поняття математичного моделювання трактується різними авторами по своєму. Ми будемо його пов’язувати з нашою спеціалізацією – прикладна математика. Під ма

Украинкский

2013-05-07

300.5 KB

0 чел.

Лекція 1

Математичне моделювання та диференціальні рівняння.

1.1. Поняття математичного моделювання.

    Поняття математичного моделювання трактується різними авторами по своєму. Ми будемо його пов’язувати з нашою спеціалізацією – прикладна  математика. Під математичним моделюванням ми будемо розуміти метод дослідження процесів або явищ шляхом пибудови їхніх математичних моделей і дослідження цих процесів. В основу методу покладемо адекватність між змінними складеного рівняння і досліджуваного процесу. Зрозуміло, що на практиці ці процеси не будуть абсолютно ідентичні. Але можна удосконалювати математичну модель, яка більш точно буде описувати цей процес. Треба памятати, що в останньому випадку,як правило, математичні рівняння ускладнюються. А це означає, що їх моделювання на ЕОМ потребує більше часу, або ж більше не визначаючих обчислювальних комплексів.

  Схема таких досліджень починається з постановки задачі і щакінчується проведенням ефективного обчислювального експеременту. Її умови можна записати в такй формі:

  а) постановка задачі;

  б) побудова математичної моделі;

  в) перевірка її адекватності;   

  г) узагальення та теоретичне дослідження данного класу задач;

  д) створення програмного забезпечення;

  е) проведення обчислювального експеременту;

  ж) впровадження цих результатів в виробнитство.

  Розглянемо питання використання диіеренціальних рівнянь в деяких предметних областях.

1.2. Диференціальні рівняння в екології.

  Екологія вивчаеє взаємо відношення людини і, взагалі, живих організмів з навколишнім середовищем. Основним обєктом дослідження в екології являється еволюція популяцій (сукупність одного виду рослин, тварин, чи мікроорганізмів, які населяють протягом тривалого часу певну територію).

  Опишемо математично процес розмноження чи вмирання популяцій.

  Нехай  кількісний стан популяції в момент ,  – число, яке відповідає кількості народжених,  – умираючих в одиницю часу. Тоді запис зміни координати  задається формулою:

    (1.1)

В (1.1) і  можуть залежити від . Наприклад:

    (1.2)

Де  – коефіцієнт народжуваності,  – смертності. Маємо з (1.2)

    (1.3)

Розвязок диференціального рівняння запишемо в вигляді

З розв’язку (1.4) видно, що при  популяція вижчваюча, а при  – вмираюча.

    (1.4)

  Рівняння (1.3) в деяких випадках береться нелінійне

    (1.5)

  Це рівняння Беруллі при  і його розв’язок запишеться в такому вигляді

    (1.6)

З формули (1.6) видно, що при . При цьому можливі випадки

, та

Рівняння (1.5) описує.

  Можна говорити і про більш складні рівняння, системи рівнянь.

  Розглянемо більш детально двух видову модель «хижак-жертва», яка була побудована для виявлення коливань рибних уловів в Адріатичному морі.

  Нехай  –число великих риб-хижаків,  – число малих риб-жертв в момент часу , тоді число риб-хижаків буде рости до тих пір, поки у них буде їжа. Якщо корму не буде вистачати, то кількість риб-хижаків буде зменьшуватися і тоді, починаючи з деякого моменту, буде рости число риб-жертв. Модель має вигляд

    (1.7)

де додатні константи.

  В (1.7) доданок виражає залежність прирісту великих риб від числа малих,  – зменьшення числа малих риб від великих.

1.3. Закони Кеплера руху планет.

  Згідно закону всесвітнього тяжіння два тіла, які знаходятся на віддалі  друг від друга і які мають маси  і  притягаються з силою

    (1.8)

де - константа тяжіння.

  Опишемо рух планети з масою навколо Сонця маси . Вплив других планет на них не будемо враховувати. (Мал 1.1).

Сонце знаходиться в початку координат, а планета має положення  в момент часу . Використавши другий закон Ньютона маємо:

    (1.9)

Враховуючи, що

Позначимо , прийдемо до системи

    (1.10)

Без обмеження загальності візьмемо початкові умови:

при     (1.11)

Перейдемо до полярних координат:

Позначивши отримані вирази в (1.10) будемо мати

Помножимо перше рівняння на ,друге на  і складемо:

    (1.12)

Домножимо перше рівняння на ,друге на  і складемо:

    (1.13)

Перепишемо в нових змінних умови (1.11):

Рівняння (1.13) перепишемо у вигляді

    (1.14)

    (1.15)

Звідки маємо

    (1.6)

Константа  має цікаву гнометричну інтерпретацію. З курсу математичного аналізу відомо, що площа сектора  обчислюється за формулою

Звідки

    (1.17)

,або

Останній вираз означає секторну швидкість. З (1.16) випливає, що вона являється постійною. Це означає, що радіус-вектор “замітає” за рівні проміжки часу рівні площі.

  1-ій закон Кеплера: кожна із планет рухається по плоскій кривій відносно Сонця так, що радіус-вектор, який зв’язує Сонце і кожну з планет, “замітає” рівні площі за рівні проміжки часу.

  Задачу Кощі (1.12)-(1.14) можна розвязати. Розвзок має еліпсоідальну форму, на основі цього робиться наступний висновок:

  2-ій закон Кеплера: траєкторії планет рухаються по еліпсам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.

  З аналізу траєкторій випливає таке твердження:

  3-ій закон Кеплера: квадрати періодів обертання планет пропорційні кубам великих осей їх орбіт.

1.4. Диференціальні рівняння закону пропиту і пропозиції в економічних дослідженнях.

  Пропит і пропозиція – економічній категорії товарного виробництва. Пропит – представлена на ринку потреба в товарах, пропозиція – продукт, який є на ринку чи може бути доставлений на нього.

    Нехай  – ціна, наприклад, на фрукти, – тенденція формування ціни. Тоді, як попит так і пропозиція будуть функціями введених величин. Як показує практика, ці функції можуть бути різними. Часто попит  і пропозиція задаються лінійними

    (1.17)

залежностями. Наприклад:

Для того, щоб попит відповідав пропозиції необхідно:

Звідки

    (1.8)

Припустимо, що в момент 1кг фруктів коштував 1крб. Тоді , , отже

   (1.19)

Це закон зміни цін, щоб між попитом і пропозицією була рівновага.

1.5 Найпростіші рівняння руху частинок в електромагнитних поясах.

  Швидкість зміни імпульсу частинки

дорівнює силі Лоренса, яка діє на неї

    (1.20)

де зарядове число, заряд частинки,  – вектор напруженності прискорюючого поля,  – вектор магнітної індукції,  – вектор швидкості частинки.

де  маса спокою, -приведена енергія частинки.

- векторний добуток двох змінних.

З (1.20) маємо:

    (1.21)

  Рівняння (1.21) не враховує власного поля пучка(кулонівських сил).

  Систему (1.21) перепишемо в скалярній формі:

    (1.22)

Визначимо

тобто

так як , то визначимо:

Тому

    (1.23)

Підставляючи (1.23) в (1.22) отримаємо рівняння руху.

  Але в ці складні рівняння ще входять компоненти електромагнітного поля, які визначаються рівняннями максвела:

    (1.24)

Тут  – електрична і магнітна сталі,  – обємна густина заряду,  – вектор густини струму, - знак транспонування.

  А (1.24) – це рівняння в частинних похідних з складними граничними умовами. Задача заключається не тільки в моделюванні рівнянь руху, а й в розрахунках оптимальних систем.

1.6. Використання диференціальних рівнянь в біології і математичних обчисленнях.

  Біологія. Необхідно знайти залежність площі  молодого листка, що має форму круга, від часу . Відомо, що швидкість зміни площі в момент пропорцієн площі листка, довжини його ободу та косинусу кута між падаючим на листок сонячним променем і верікаллю листка. Маємо модель:

 де     (1.25)

 const, , коефіцієнт пропорційності; розвязуючи рівняння (1.25) ми отримаємо таку залежність:

    (1.26)

  Математика. Обчислити невласний інтеграл

    (1.27)

залежний від параметра .

Знайдемо похідну:

Отримали диференціальне рівняння

    (1.28)

При цьому відомо:

    (1.29)

Розв’язуючи задачу Коші (1.28),(1.29), отримаємо:

    (1.30)

1.7. Побудова диференціальнихрівнянь з заданими параметричними сімействами кривих.

  Припустимо, шо задано однопараметричне сімейство кривих:

   (1.31)

Задача полягає в тому, щоб знайти диференціальне рівняння, розв’язками якого являються криві (1.31). Вважаючи, що функція (1.31) має повну похідну за x запишемо:

    (1.32)

Тоді з (1.31) та (1.32) як з системи рівнянь, вилучаємо сталу  і отримаємо шукане диференціальне рівняння першого порядку.

  Якщо ж задано - параметричне сімейство кривих:

    (1.33)

то до (1.33) додаються дані співвідношення:

    (1.34)

з(1.33) та (1.34), як з системи рівнянь, кількість яких , вилучаються сталі  і отримане таким чином співвідношення між

    (1.35)

і буде шуканим диференціальним рівняння  -го порядку.

  В (1.32) та (1.34) означають частинні похідні відповідних порядків за вказаними змінними. При цьому припускаємо, що похідні існують, тобто функції (1.32) та (1.34) являються диференційовними відповідну кількість разів.

  Аналогічно поступають і при складанні систем рівнянь.

Приклад 1.1. Знайти диференціальне рівняння першого порядку, розв’язками якого буде однопараметричне сімейство

    (1.36)

Розвязання. Продиференйіюємо за  праву частину нашого співвідношення в припущенні, що .

    (1.37)

  Враховуючи (1.36) рівність (1.37) перепишемо таким чином:

    (1.38)

З (1.38) знаходимо  

і підставивши в (1.36) отримаємо шукане диференціальне рівняння

    (1.39)

Приклад 1.2. Знайти диференціальне рівняння другого порядку, розв’язками якого буде двопараметричне сімейство

   (1.40)

Розвязання. Згідно описаного вище складаємо систему рівнянь:

    (1.41)

З якої вилучивши  і  знаходимо шукане диференціальне рівняння:

    (1.42).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84541. Роль клапанів серця у гемодинаміці. Тони серця, механізми їх походження ФКГ, її аналіз 42.92 KB
  Клапани розташовані при вході та при виході обох шлуночків серця. Мітральний та трьохстулковий клапани перешкоджають зворотньому закиду крові регургітації крові в передсердя під час систоли шлуночків. Перший систолічний тон виникає на початку систоли шлуночків. Його формують такі компоненти: закриття стулок передсердношлуночкового клапану; це основний компонент першого тону дає осциляції найбільшої висоти виникає на межі фаз ізометричного та асинхронного скорочень; міокардіальний компонент пов’язаний із напруженням та вібрацією...
84542. Артеріальний пульс, його походження СФГ, її аналіз 43.09 KB
  При аналізі СФГ враховують перш за все стан стінок крупних артеріальних судин. Про це можна судити за конфігурацією СФГ вираженості окремих її хвиль. Розрахунок тривалості серцевого циклу проводять по полікардіограмі – синхронно зареєстровані ЕКГ ФКГ СФГ.
84543. Регуляція діяльності серця. Міогенні та місцеві нервові механізми регуляції діяльності серця 40.8 KB
  Міогенні та місцеві нервові механізми регуляції діяльності серця. Баланс притоку та відтоку крові притік крові до серця по венозних судинах; відтік – за рахунок активного вигнання крові шлуночками серця; 2. Рівний хвилинний об’єм крові ХОК правого та лівого відділів серця; 3.
84544. Місцеві міогенні механізми регуляції серцевої діяльності 48.71 KB
  Залежність ССС від вихідної довжини КМЦ. Залежність ССС від опору вигнанню рівня артеріального тиску. Залежність ССС від ЧСС. Тому суть цього механізму можна викласти так: чим більше крові притікає до серця під час діастоли тим більша вихідна довжина КМЦ тим більша ССС СО.
84545. Характер і механізми впливів симпатичних нервів на діяльність серця. Роль симпатичних рефлексів в регуляції серцевої діяльності 44.58 KB
  Характер впливів симпатичної нервової системи на серце: позитивний інотропний вплив посилює силу серцевих скорочень; позитивний хронотропний вплив посилює ЧСС; позитивний дромотропний вплив посилює швидкість проведення збудження по елементам провідної системи серця особливо по передсердношлуночковому вузлу структурам провідної системи шлуночків; позитивний батмотропний вплив збільшення збудливості. Медіатор норадреналін взаємодіє переважно з βадренорецепторами оскільки αадренорецепторів тут майже немає при цьому...
84546. Характер і механізми впливів парасимпатичних нервів на діяльність серця. Роль парасимпатичних рефлексів в регуляції серцевої діяльності 44.78 KB
  Механізм впливів блукаючого нерва на серце пов’язаний із дією медіатора ацетилхоліну на мхолінорецептори КМЦ типових і атипових. В результаті підвищується проникність мембран КМЦ для йонів калію – посилення виходу йонів із клітини за градієнтом концентрації що в свою чергу веде до: розвитку гіперполяризації мембран КМЦ; найбільше цей ефект виражений в клітинах з низьким вихідним рівнем мембранного потенціалу найбільше в вузлах АКМЦ: пазуховопередсердному та передсердношлуночковому де МПС = –60мВ; менше – в КМЦ передсердь; найменше –...
84547. Гуморальна регуляція діяльності серця. Залежність діяльності серця від зміни йонного складу крові 44.41 KB
  Залежність діяльності серця від зміни концентрації йонів в плазмі крові. Найбільше клінічне значення має вплив йонів калію. При гіпокаліємії зниження концентрації йонів калію в плазмі крові нижче 1ммоль л розвиваються різноманітні електрофізіологічні зміни в КМЦ. Характер змін в КМЦ залежить від того що переважає: втрата йонів калію клітинами чи міжклітинною рідиною.
84548. Особливості структури і функції різних відділів кровоносних судин у гемодинаміці. Основний закон гемодинаміки 52.71 KB
  При такому підході видно що кровоносна система є замкненою системою в яку послідовно входять два насоси і судини легень і паралельно – судини решти областей. Судини у системі крові виконують роль шляхів транспорту. Рух крові по судинам описує основний закон гемодинаміки: де Р1 – тиск крові на початку судини Р2 – в кінці судини R тиск який здійснює судина току крові Q – об’ємна швидкість кровотоку об’єм який проходить через поперечний переріз судини за одиницю часу. Отже рівняння можна прочитати так: об’єм крові що проходить...
84549. Значення в’язкості крові для гемодинаміки. Особливості структури та функції різних відділів судинної системи 44 KB
  В’язкість крові залежить від таких 2ох факторів. Від зміни лінійної швидкості руху крові. В’язкість крові складає 45 – 50 умовних одиниць а плазми – 17 – 23 гривні.