12979

Математичне моделювання та диференціальні рівняння

Лекция

Математика и математический анализ

Лекція 1 Математичне моделювання та диференціальні рівняння. 1.1. Поняття математичного моделювання. Поняття математичного моделювання трактується різними авторами по своєму. Ми будемо його пов’язувати з нашою спеціалізацією – прикладна математика. Під ма

Украинкский

2013-05-07

300.5 KB

0 чел.

Лекція 1

Математичне моделювання та диференціальні рівняння.

1.1. Поняття математичного моделювання.

    Поняття математичного моделювання трактується різними авторами по своєму. Ми будемо його пов’язувати з нашою спеціалізацією – прикладна  математика. Під математичним моделюванням ми будемо розуміти метод дослідження процесів або явищ шляхом пибудови їхніх математичних моделей і дослідження цих процесів. В основу методу покладемо адекватність між змінними складеного рівняння і досліджуваного процесу. Зрозуміло, що на практиці ці процеси не будуть абсолютно ідентичні. Але можна удосконалювати математичну модель, яка більш точно буде описувати цей процес. Треба памятати, що в останньому випадку,як правило, математичні рівняння ускладнюються. А це означає, що їх моделювання на ЕОМ потребує більше часу, або ж більше не визначаючих обчислювальних комплексів.

  Схема таких досліджень починається з постановки задачі і щакінчується проведенням ефективного обчислювального експеременту. Її умови можна записати в такй формі:

  а) постановка задачі;

  б) побудова математичної моделі;

  в) перевірка її адекватності;   

  г) узагальення та теоретичне дослідження данного класу задач;

  д) створення програмного забезпечення;

  е) проведення обчислювального експеременту;

  ж) впровадження цих результатів в виробнитство.

  Розглянемо питання використання диіеренціальних рівнянь в деяких предметних областях.

1.2. Диференціальні рівняння в екології.

  Екологія вивчаеє взаємо відношення людини і, взагалі, живих організмів з навколишнім середовищем. Основним обєктом дослідження в екології являється еволюція популяцій (сукупність одного виду рослин, тварин, чи мікроорганізмів, які населяють протягом тривалого часу певну територію).

  Опишемо математично процес розмноження чи вмирання популяцій.

  Нехай  кількісний стан популяції в момент ,  – число, яке відповідає кількості народжених,  – умираючих в одиницю часу. Тоді запис зміни координати  задається формулою:

    (1.1)

В (1.1) і  можуть залежити від . Наприклад:

    (1.2)

Де  – коефіцієнт народжуваності,  – смертності. Маємо з (1.2)

    (1.3)

Розвязок диференціального рівняння запишемо в вигляді

З розв’язку (1.4) видно, що при  популяція вижчваюча, а при  – вмираюча.

    (1.4)

  Рівняння (1.3) в деяких випадках береться нелінійне

    (1.5)

  Це рівняння Беруллі при  і його розв’язок запишеться в такому вигляді

    (1.6)

З формули (1.6) видно, що при . При цьому можливі випадки

, та

Рівняння (1.5) описує.

  Можна говорити і про більш складні рівняння, системи рівнянь.

  Розглянемо більш детально двух видову модель «хижак-жертва», яка була побудована для виявлення коливань рибних уловів в Адріатичному морі.

  Нехай  –число великих риб-хижаків,  – число малих риб-жертв в момент часу , тоді число риб-хижаків буде рости до тих пір, поки у них буде їжа. Якщо корму не буде вистачати, то кількість риб-хижаків буде зменьшуватися і тоді, починаючи з деякого моменту, буде рости число риб-жертв. Модель має вигляд

    (1.7)

де додатні константи.

  В (1.7) доданок виражає залежність прирісту великих риб від числа малих,  – зменьшення числа малих риб від великих.

1.3. Закони Кеплера руху планет.

  Згідно закону всесвітнього тяжіння два тіла, які знаходятся на віддалі  друг від друга і які мають маси  і  притягаються з силою

    (1.8)

де - константа тяжіння.

  Опишемо рух планети з масою навколо Сонця маси . Вплив других планет на них не будемо враховувати. (Мал 1.1).

Сонце знаходиться в початку координат, а планета має положення  в момент часу . Використавши другий закон Ньютона маємо:

    (1.9)

Враховуючи, що

Позначимо , прийдемо до системи

    (1.10)

Без обмеження загальності візьмемо початкові умови:

при     (1.11)

Перейдемо до полярних координат:

Позначивши отримані вирази в (1.10) будемо мати

Помножимо перше рівняння на ,друге на  і складемо:

    (1.12)

Домножимо перше рівняння на ,друге на  і складемо:

    (1.13)

Перепишемо в нових змінних умови (1.11):

Рівняння (1.13) перепишемо у вигляді

    (1.14)

    (1.15)

Звідки маємо

    (1.6)

Константа  має цікаву гнометричну інтерпретацію. З курсу математичного аналізу відомо, що площа сектора  обчислюється за формулою

Звідки

    (1.17)

,або

Останній вираз означає секторну швидкість. З (1.16) випливає, що вона являється постійною. Це означає, що радіус-вектор “замітає” за рівні проміжки часу рівні площі.

  1-ій закон Кеплера: кожна із планет рухається по плоскій кривій відносно Сонця так, що радіус-вектор, який зв’язує Сонце і кожну з планет, “замітає” рівні площі за рівні проміжки часу.

  Задачу Кощі (1.12)-(1.14) можна розвязати. Розвзок має еліпсоідальну форму, на основі цього робиться наступний висновок:

  2-ій закон Кеплера: траєкторії планет рухаються по еліпсам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.

  З аналізу траєкторій випливає таке твердження:

  3-ій закон Кеплера: квадрати періодів обертання планет пропорційні кубам великих осей їх орбіт.

1.4. Диференціальні рівняння закону пропиту і пропозиції в економічних дослідженнях.

  Пропит і пропозиція – економічній категорії товарного виробництва. Пропит – представлена на ринку потреба в товарах, пропозиція – продукт, який є на ринку чи може бути доставлений на нього.

    Нехай  – ціна, наприклад, на фрукти, – тенденція формування ціни. Тоді, як попит так і пропозиція будуть функціями введених величин. Як показує практика, ці функції можуть бути різними. Часто попит  і пропозиція задаються лінійними

    (1.17)

залежностями. Наприклад:

Для того, щоб попит відповідав пропозиції необхідно:

Звідки

    (1.8)

Припустимо, що в момент 1кг фруктів коштував 1крб. Тоді , , отже

   (1.19)

Це закон зміни цін, щоб між попитом і пропозицією була рівновага.

1.5 Найпростіші рівняння руху частинок в електромагнитних поясах.

  Швидкість зміни імпульсу частинки

дорівнює силі Лоренса, яка діє на неї

    (1.20)

де зарядове число, заряд частинки,  – вектор напруженності прискорюючого поля,  – вектор магнітної індукції,  – вектор швидкості частинки.

де  маса спокою, -приведена енергія частинки.

- векторний добуток двох змінних.

З (1.20) маємо:

    (1.21)

  Рівняння (1.21) не враховує власного поля пучка(кулонівських сил).

  Систему (1.21) перепишемо в скалярній формі:

    (1.22)

Визначимо

тобто

так як , то визначимо:

Тому

    (1.23)

Підставляючи (1.23) в (1.22) отримаємо рівняння руху.

  Але в ці складні рівняння ще входять компоненти електромагнітного поля, які визначаються рівняннями максвела:

    (1.24)

Тут  – електрична і магнітна сталі,  – обємна густина заряду,  – вектор густини струму, - знак транспонування.

  А (1.24) – це рівняння в частинних похідних з складними граничними умовами. Задача заключається не тільки в моделюванні рівнянь руху, а й в розрахунках оптимальних систем.

1.6. Використання диференціальних рівнянь в біології і математичних обчисленнях.

  Біологія. Необхідно знайти залежність площі  молодого листка, що має форму круга, від часу . Відомо, що швидкість зміни площі в момент пропорцієн площі листка, довжини його ободу та косинусу кута між падаючим на листок сонячним променем і верікаллю листка. Маємо модель:

 де     (1.25)

 const, , коефіцієнт пропорційності; розвязуючи рівняння (1.25) ми отримаємо таку залежність:

    (1.26)

  Математика. Обчислити невласний інтеграл

    (1.27)

залежний від параметра .

Знайдемо похідну:

Отримали диференціальне рівняння

    (1.28)

При цьому відомо:

    (1.29)

Розв’язуючи задачу Коші (1.28),(1.29), отримаємо:

    (1.30)

1.7. Побудова диференціальнихрівнянь з заданими параметричними сімействами кривих.

  Припустимо, шо задано однопараметричне сімейство кривих:

   (1.31)

Задача полягає в тому, щоб знайти диференціальне рівняння, розв’язками якого являються криві (1.31). Вважаючи, що функція (1.31) має повну похідну за x запишемо:

    (1.32)

Тоді з (1.31) та (1.32) як з системи рівнянь, вилучаємо сталу  і отримаємо шукане диференціальне рівняння першого порядку.

  Якщо ж задано - параметричне сімейство кривих:

    (1.33)

то до (1.33) додаються дані співвідношення:

    (1.34)

з(1.33) та (1.34), як з системи рівнянь, кількість яких , вилучаються сталі  і отримане таким чином співвідношення між

    (1.35)

і буде шуканим диференціальним рівняння  -го порядку.

  В (1.32) та (1.34) означають частинні похідні відповідних порядків за вказаними змінними. При цьому припускаємо, що похідні існують, тобто функції (1.32) та (1.34) являються диференційовними відповідну кількість разів.

  Аналогічно поступають і при складанні систем рівнянь.

Приклад 1.1. Знайти диференціальне рівняння першого порядку, розв’язками якого буде однопараметричне сімейство

    (1.36)

Розвязання. Продиференйіюємо за  праву частину нашого співвідношення в припущенні, що .

    (1.37)

  Враховуючи (1.36) рівність (1.37) перепишемо таким чином:

    (1.38)

З (1.38) знаходимо  

і підставивши в (1.36) отримаємо шукане диференціальне рівняння

    (1.39)

Приклад 1.2. Знайти диференціальне рівняння другого порядку, розв’язками якого буде двопараметричне сімейство

   (1.40)

Розвязання. Згідно описаного вище складаємо систему рівнянь:

    (1.41)

З якої вилучивши  і  знаходимо шукане диференціальне рівняння:

    (1.42).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30571. Теорема непрерывности. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа 49.24 KB
  Центральная предельная теорема. Интегральная теорема МуавраЛапласа. Обратно если в каждой точке непрерывности функции является функцией распределения то в каждой точке t при этом есть характеристическая функция для функции распределения Интегральная теорема Муавра – Лапласа: Если вероятность p события в каждом испытании постоянна и отлична как от нуля так и от единицы то вероятность того что событие появится в n испытаниях от до раз приближенно равна определенному интегралу: где .
30573. Основные типы статистических гипотез. Общая логическая схема статистического критерия 37.33 KB
  Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющимися в нашем распоряжении выборочными данными х1 х2. Результат подобного сопоставления может быть либо отрицательным данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе а потому от этой гипотезы следует отказаться либо неотрицательным данные наблюдения не противоречат высказанной гипотезе а потому ее можно принять в качестве одного из естественных и допустимых решений. При этом неотрицательный результат статистической проверки гипотезы не означает что высказанное...
30574. Линейные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства. Единственность нейтрального, единственность противоположного элемента. Линейная зависимость. Координаты векторов и их связь при переходе к другому базису 46.5 KB
  Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор. Нулевой вектор 0 равен произведению произвольного вектора х на число 0. Действительно пусть существует два таких вектора – 01 и 02. Для каждого вектора существует единственный противоположный вектор.
30575. Природа эстетического творчества 40 KB
  Эстетическое начало способно пробуждать мощные духовные потенции ужас какой Хорошо хоть не импотенции в наших чувствах и мыслях способно организовать их и стимулировать. Эстетическое – сфера субъектобъектных отношений в которой творчески активное восприятие объекта или создание его сопровождается бескорыстным незаинтересованным удовольствием. Фазы эстетического восприятия: эстетическая установка настроенность на восприятие: волевой акт чка сознательно пришедшего в театр кино музей или отправившегося полюбоваться природным...
30576. Эстетика и творчество 36.5 KB
  Как красота в природе или в жизни будучи воспринята нами мобилизует наши духовные силы так и эстетическое начало в орнаменте музыкальной ритмике и ритмике танца – организуют естественно эстетически наш внутренний мир. Однако ритм только тогда эстетически и художественно действует на наше восприятие когда он преобразуясь в соответствующие психологические импульсы способен привести наш духовный мир в особое состояние – эстетическое настроение. Недаром художники писатели журналисты понимают эстетическое начало как тот вид...
30577. К.С. Станиславский о творчестве 24 KB
  Анализ роли через действие не может быть оценено иначе как открытие гениальное это самый главный и самый верный способ воздействия на актерское воображение стимулятор его работы. Ввел понятие перспектива роли т. Зерно роли – душевное типическое изображение героя.
30578. Розанов о тв-ве, таланте, литературе («Уединенное», «Опавшие листья») 77.5 KB
  Розанов о твве таланте литературе Уединенное Опавшие листья Василий Васильевич Розанов – целое явление в русской философии отдельное от всех не принадлежащее ни к какому течению. Розанов выработал собственный стиль а стиль это душа вещей как он писал сам. Розанов интересен еще тем что он не был устоявшимся раз и навсегда мыслителем который всю свою научную карьеру отстаивает какието свои убеждения и мысли или развивает их свои идеи он постоянно обновлял или подвергал критике. Среди работ важных для понимания...
30579. Лосев А. о творчестве 34.5 KB
  Лосев А. Лосев 23. Лосева учителя математики страстного любителя музыки скрипачавиртуоза и Н. Лосевой дочери настоятеля храма Михаила Архангела протоиерея о.