12995

Представлення чисел в цифрових системах

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекція №2. Представлення чисел в цифрових системах . План 1. Позиційна система числення. 2. Восьмирічні та шістнадцятирічні числа. 3. Переведення чисел з однієї системи числення в іншу. Цифровые системы строятся на основе схем в которых происх...

Украинкский

2013-05-07

217.5 KB

5 чел.

Лекція №2. Представлення чисел в цифрових системах .

План

      1. Позиційна система  числення.

      2. Восьмирічні та шістнадцятирічні числа.

      3. Переведення чисел з однієї системи числення в іншу.

Цифровые системы строятся на основе схем, в которых происходит обра- ботка двоичных чисел - нулей и единиц. Однако в реальной жизни лишь немногие проблемы можно описать двоичными числами или какими-либо числами вообще. Поэтому проектировщик цифровой системы должен установить некоторое соответствие между двоичными числами, обрабатываемыми в цифровых схемах, и числами, событиями и обстоятельствами, относящимися к реальному миру. Цель этой лекции состоит в том, чтобы показать, как знакомые числовые величины, а также нечисловые данные, события и состояния могут быть представлены в цифровой системе и как можно оперировать ими внутри этой системы. Булева алгебра, и особенно та ее часть, которую называют прикладной алгеброй логики, в настоящее время получила такое развитие, что в рамках  даже небольшого учебного пособия кратко осветить все ее направления овершенно евозможно, в связи с чем здесь включены лишь те разделы, которые имеют наибольшее практическое значение.

Двоичные числа

Всякое число N в позиционной системе счисления с основанием q можно представить в виде полинома

N = anqn+an-1qn-1+an-2qn-2+…+a1q1+a0q0

Коэффициенты an1 an-1 a, стоящие перед степенями, изображают цифры системы счисления. Количество цифр при основании q равно q, т. е в двоичной системе счисления каждый из коэффициентов может принимать значения 0 или 1 Если q = 10, то коэффициенты могут принимать десять начений 0,1,2, … ,9 (десятичная система).

1. Позиційна система числення.

 Традиционная система чисел, которой нас научили в школе и которой мы ежедневно пользуемся, является позиционной системой счисления (positional number system). В такой системе число представляется строкой цифр, в которой каждому разряду приписан определенный вес (weight). Значение числа равно взвешенной сумме его разрядов, например:

1734 = 1*103+7*102+3*101+4*100

Каждый вес - это степень числа 10, соответствующая положению цифры в строке. Десятичная точка позволяет использовать как положительные, так и отрицательные степени числа 10.

В технике, наряду с десятичной, большое распространение получила двоичная система счисления. Основание двоичной системы равно двум, следовательно, в ней имеется только две цифры: 0 и 1. Этими двумя цифрами можно записать любое число. Перевод десятичного числа в двоичную систему поясним на примере числа 37:

37    1

18   0

9   1

4   0

2   0

1   1

В левой колонке каждое следующее число меньше предыдущего вдвое. Если число не делится на два, то его необходимо уменьшить на единицу. В правой колонке единицами отмечены нечётные числа, нулями — чётные. Читая снизу вверх цифры правой колонки, получаем искомое двоичное число:

37104 а3 а2 а1 а0.

Для перевода (n + 1)-разрядного двоичного числа в десятичное можно воспользоваться развёрнутой записью числа двоичной системы:

N = anqn+an-1qn-1+an-2qn-2+…+a1q1+a0q0

Переведём в десятичную систему двоичное число 100101. Согласно его записи имеем:

n=5;       a0=a2=a5=1;        a1=a3=a4=0

Тогда получим:

1001012.=1*25+0*24+0*23+1*22+0*21+1*20=32+4+1=3710.

Над двоичными числами можно выполнять те же операции, что и над десятичными. Главной из них является операция сложения.

Сложение двоичных чисел осуществляется поразрядно, с запоминанием единиц переноса, точно так же, как и в десятичной системе. Поясним это на примере. Пусть a = 101011, b = 101110, найдём их сумму a + b.

Запишем числа a и b одно под другим, совместив

младшие разряды:

              1     0     1     0     1     1  - число а

     +  

        ___1     0      1    1     1     0  - число b

     1       0     1      1    0     0     1  - число а+b

             (1)  (0)   (1)  (1)  (1)  (0) - переносы

Как и в десятичной системе, суммирование начинаем

с младшего разряда:

а) 1 + 0 = 1, переноса нет, под цифрой 1 (младший разряд числа a + b) записываем в скобках нуль;

б) во втором разряде суммируются единицы: 1 + 1 = 10, т. е. сумма равна нулю и есть единица переноса. Записываем её под результирующим нулём второго

разряда суммы;

в) в третьем разряде 0 + 1 = 1, но ещё надо прибавить единицу переноса из второго разряда, тогда 0 + 1 + 1 = 10. Снова сумма равна нулю и есть единица

переноса;

г) в четвёртом разряде суммируются две единицы и к ним прибавляется единица переноса из третьего разряда:

1 + 1 + 1 = 11. В результате сумма равна 1 и есть единица переноса;

д) в пятом разряде 0 + 0 + 1 = 1, т. е. сумма равна единице, переноса нет;

е) в шестом разряде 1 + 1 = 10. Сумма равна нулю, а единица переноса образует седьмой разряд суммы a + b. Это эквивалентно записи 0+0+1=1, если числа a и b

записать в виде a = 0101011, b = 0101110, т. е. удлинить

их путём приписывания слева нулей.

Другие арифметические операции рассматривать не будем, так как в дальнейшем изложении материала они не понадобятся.

2. Восьмирічні та шістнадцятирічні числа.

Основание 10 важно потому, что мы пользуемся им в повседневной жизни, а основание 2 - потому, что непосредственной обработке в цифровых схемах подвергаются двоичные числа. Числами, выраженными в других системах счисления, напрямую оперируют не так часто, но они могут быть важны для документации и для других целей. В частности, для краткой записи многоразрядных двоичных чисел в цифровой системе удобно применять основания 8 и 16.

В восьмеричной системе счисления (octal number system) в качестве основания используется число 8, а в шестнадцатеричной системе счисления (hexadecimal number system) -число 16. В табл.2.1 представлены двоичные целые числа от 0 до 1111 и их восьмеричные, десятичные и шестнадцатеричные эквиваленты, Для восьмеричной системы нужны 8 цифр, поэтому в ней используются цифры 0-7 десятичной системы. Шестнадцатеричнои системе нужны 16 цифр, поэтому для нее десятичные цифры 0-9 дополняются буквами AF (hexadecimal digit A-F).

              

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления удобны для представления многоразрядных двоичных чисел потому, что их основания являются степенями числа 2. Поскольку в строке из 3 битов возможны 8 различных комбинаций, из этого следует, что каждую такую строку можно однозначно представить одной восьмеричной цифрой, как это сделано в третьем и четвертом столбцах в табл. 2.1. Точно так же 4-битовую строку можно представить одной шестнадцатеричной цифрой согласно пятому и шестому столбцам таблицы.

Таким образом, двоичные числа легко преобразовать в восьмеричные (binary-to-octal conversion). Начиная с двоичной точки и двигаясь влево, мы просто делим биты на группы по три и каждую группу заменяем соответствующей восьмеричной цифрой:

1000110011102 =100 011 001 1102 = 43168 0111011011101010012 = 011 101 101 110 101 0012 = 3556518.

Подобным же образом осуществляется преобразование двоичных чисел в ше-стнадцатеричные (binary-to-hexadecimal conversion), за исключением того, что биты надо разбивать на группы по четыре:

1000110011102 = 1000 1100 11102 = 8СЕ16 111011011101010012 = 0001 1101 1011 101010012=1DBA916.

В этих примерах мы были вольны добавлять нули слева до полного числа битов, кратного 3 или 4, по мере необходимости.

Если у двоичного числа есть разряды справа от двоичной точки, то их тоже можно преобразовать в восьмеричные или шестнадцатеричные символы, начиная с двоичной точки и двигаясь вправо. Как слева, так и справа можно добавить нули до числа битов, кратного трем или четырем, как это показано в следующем примере:

010Л011001011002 =010.101 100 101 1002 = 2.54548

0010.1011 0010 11002 =2.В2С16.

Осуществить преобразование в обратном направлении, из восьмеричного или шестнадцатеричного вида в двоичный (octal- или hexadecimal-to-binary conversion) очень легко. Нужно просто заменить каждую восьмеричную или шестнадцатеричную цифру соответствующей 3- или 4-битовой строкой, как показано ниже:

13578 = 001 011 101 1112 2046.178 = 010 000 100 110.001 1112 BEAD16 =1011 1110 1010 11012  9F.46C, =1001 1111.0100 0110 1100,.

Восьмеричная система счисления была очень популярна 25 лет назад: тогда у ряда миникомпьютеров сигнальные лампочки и переключатели на передней панели были разбиты на группы по три. Однако сегодня восьмеричная система чисел используется не так часто из-за преобладания машин, которые оперируют 8-разрядными байтами (bytes). Из восьмеричного представления многобайтовых величин трудно извлечь значения отдельных байтов; например, как выглядят в восьмеричной записи четыре 8-разрядных байта 32-разрядного числа, которое в восьмеричном представлении имеет вид: 123456701238.

В шестнадцатеричной системе 8-разрядный байт представляется двумя цифрами, а 2п цифр изображают ,,байтовое слово’’: каждая пара цифр образует в точности один байт. Например, 32-разрядное шестнадцатеричное число 5678ABCD состоит из четырех байтов, значения которых равны 56 ,78 , АВ и CD16. В этом контексте состоящее из 4-х битов одноразрядное шестнадцатеричное число называют иногда полубайтам (nibble); 32-разрядное (4-байтовое) число состоит из восьми полубайтов. Шестнадцатеричные числа часто используют при описании адресного пространства в памяти компьютера. Например, о компьютере с 16-разрядными адресами могут сказать, что его память, предназначенная для чтения и/или записи, располагается по адресам 0-EFFF , а в отношении части памяти с адресами F000-FFFF предусмотрено только чтение из нее. Во многих компьютерных языках программирования используется префикс «Ox» (Oxprefix) для обозначения шестнадцатеричной записи числа, например: оxBFC0000.

3. Переведення чисел з однієї системи числення в іншу.

Осуществить преобразование в обратном направлении, из восьмеричного или шестнадцатеричного вида в двоичный (octal- или hexadecimal-to-binary conversion) очень легко. Нужно просто заменить каждую восьмеричную или шестнадцатеричную цифру соответствующей 3- или 4-битовой строкой, как показано ниже:

13578 = 001 011 101 1112      

2046.178 =010 000 100 110.001 1112

BEAD16 =1011 1110 101011012

9F.46C2 =1001 1111.0100 0110 11002,.

Восьмеричная система счисления была очень популярна 25 лет назад: тогда у ряда миникомпьютеров сигнальные лампочки и переключатели на передней панели были разбиты на группы по три. Однако сегодня восьмеричная система чисел используется не часто из-за преобладания машин, которые оперируют 8-разрядными байтами (bytes). Из восьмеричного представления многобайтовых величин трудно извлечь значения отдельных байтов; например, как выглядят в восьмеричной записи четыре 8-разрядных байта 32-разрядного числа, которое в восьмеричном представлении имеет вид: 123456701238

PAGE 1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76960. Формы осуществления публичного управления: понятие, содержание, классификация и характеристика каждой из групп 27.86 KB
  Формы осуществления публичного управления: понятие содержание классификация и характеристика каждой из групп. Форма государственного управления внешнее выражение деятельности органов государственного управления и их должностных лиц осуществляемое в рамках их компетенции по разрешению стоящих задач и вызывающее определенные последствия. Общие черты форм государственного управления: 1.являются способом внешнего выражения деятельности органов государственного управления и их должностных лиц; 2.
76961. Правовые формы государственного управления: понятие, виды, характеристика каждой из форм 29.31 KB
  Правовые формы государственного управления: понятие виды характеристика каждой из форм. Правовая форма государственного управления – это юридически оформленное деяние органа исполнительной власти иного властного субъекта его представителя должностного лица осуществленное в рамках компетенции и влекущее юридические последствия т. Особенности государственного управления: государственное управление имеет ярко выраженный правовой характер направлено на реализацию законов и подзаконных актов; государственное управление осуществляется...
76962. Неправовые формы государственного управления: понятие, сущность, виды, значение. Соотношение с правовыми формами 26.2 KB
  Наряду с этими правовыми формами осуществления исполнительной власти выделяются также неправовые формы в виде организационных действий и материальнотехнических операций информирование инструктирование проведение совещаний консультаций и т. К неправовым формам государственного управления относятся организационные действия и материальнотехнические операции. Материальнотехнические операции разновидность внешнего проявления управленческой деятельности не влекущей юридических последствий направленная на обеспечение реализации правовых...
76963. Правовые акты государственного управления: понятие, признаки и юридическое значение. Классификация правовых актов управления 30.17 KB
  Правовые акты государственного управления: понятие признаки и юридическое значение. Классификация правовых актов управления. Правовой акт управления – вид юридического акта основанное на законе одностороннее юридическивластное волеизъявление органов государственного управления и их должностных лиц принятое в установленном процессуальном порядке и направленное на установление либо возникновение изменение и прекращение административноправовых отношений. Основные черты правового акта управления: 1.
76964. Требования, предъявляемые к правовым актам государственного управления, последствия их несоблюдения 28.36 KB
  Требования предъявляемые к правовым актам государственного управления последствия их несоблюдения. Акт государственного управления это управленческий документ содержащий властное волеизъявление уполномоченного субъекта государственного управления в виде нормативного или индивидуального предписания осуществленное в рамках его компетенции и для целей решения задач управленческой деятельности принятие которого влечет определенные юридические последствия. Являясь подзаконным актом акт государственного управления должен отвечать определенным...
76965. Порядок подготовки, принятия и вступления в действие актов государственного управления 27.03 KB
  Порядок подготовки принятия и вступления в действие актов государственного управления. Порядок подготовки вступления в силу и опубликования правовых актов управления устанавливается различными нормативными правовыми актами в зависимости от вида акта и издающих принимающих их органов федеральной и региональной исполнительной власти а также органов местного самоуправления. Наличие нормативной установленной процедуры издания или принятия актов управления. Подготовка проекта правового акта управления.
76966. Понятие и виды методов публичного управления 29.12 KB
  Понятие и виды методов публичного управления. Методы государственного управления способы приемы воздействия субъекта управления на объект управления в рамках управленческих отношений которые используются для достижения целей и задач управления реализации функций управления. Основные черты методов государственного управления: 1.выражают управленческое воздействие субъекта государственного управления на объект управления; 4.
76967. Убеждение и поощрение как методы государственного управления: понятие, сущность, виды, значение в выполнении задач и функций государственного управления 30.13 KB
  Убеждение и поощрение как методы государственного управления: понятие сущность виды значение в выполнении задач и функций государственного управления. Убеждение – процесс целенаправленного воздействия субъекта управления на управляемый объект в результате которого идеи ценности установки субъекта становятся внутренними идеями личными установками объекта управления. Существуют следующие средства способы убеждения: обучение процесс целенаправленного формирования знаний умений навыков; агитация распространение идей в целях...
76968. Понятие и сущность административно-правовых режимов, их виды и правовые основания введения и использования 28.07 KB
  Понятие и сущность административно-правовых режимов их виды и правовые основания введения и использования. Административно-правовые режимы ставят перед собой цель создание на пути правонарушителей надежных правовых барьеров которые бы затрудняли или же полностью исключали достижение противоправных целей. Ласточкин рассматривает его как совокупность правовых установок и необходимых организационных управленческих мер которые обеспечивали бы порядок реализации отдельными гражданами своих соответствующих прав и обязанностей а также порядок...