130

Обучение математическому моделированию как основному методу решения текстовых задач в курсе алгебры основной школы

Дипломная

Педагогика и дидактика

Психолого-педагогические основы обучения решению текстовых задач в курсе алгебры основной школы. Математическое моделирование – один из основных методов решения текстовых задач в основной школе. Методика обучения решению текстовых задач на основе моделирования задачной ситуации.

Русский

2012-11-14

517 KB

290 чел.

МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Кафедра методики преподавания математики

 ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

 

 По теме: «Обучение математическому моделированию как основному методу решения

текстовых задач в курсе алгебры основной школы ».

 

Студента

5 курса в/о

Кирилюка И.Н

Научный руководитель:

КПН, проф.

Захарова А.Е.

Москва , 2012 .

 

 План

Введение.

Глава 1. Психолого-педагогические основы обучения решению текстовых задач в курсе алгебры основной школы

§ 1. Понятие « задача », « текстовая задача ». Структура задачи. Процесс решения.

§ 2. Функции задач в обучении математике на современном этапе

§ 3. Психологические особенности учащихся 7-9 классов

§ 4. Современные дидактические принципы обучения математике

Глава 2. Математическое моделирование – один из основных методов решения текстовых задач в основной школе

§ 1. Понятие модели и моделирования. Вспомогательные модели 

§ 2. Методы решения задач

§ 3. Классификация задач

§ 4. Этапы решения задач

Глава 3. Методика обучения решению текстовых задач на основе моделирования задачной ситуации

§ 1. Требования нормативных документов

§ 2. Анализ школьных учебников и задачников по алгебре 7 – 9 классов

§ 3. Обучение моделированию как учебной деятельности

Заключение.

Литература.


Введение.

В настоящее время задача - это основное средство обучения и развития учеников, средство реализации принципов дифференциации (уровневой и профильной), средство развития пространственного мышления, творческой деятельности школьников, средство контроля усвоения ими учебного материала. Поэтому роль задач в обучении трудно переоценить. Задачи выступают в процессе обучения и как средство организации и управление учебно-познавательной деятельностью школьников на различных ее этапах: репродукция, эвристика, исследование. Немаловажная роль принадлежит задачам в развитии мышления школьников. Задачи также выступают как средство связи теории с практикой и участвуют в организации и развитии самостоятельной деятельности.

Каждая учебная задача в каждый момент времени, на том или ином этапе обучения несет в себе самые разнообразные функции, одна из которых является ведущей. Обучение математике через решение задач означает такую организацию учебного процесса, при которой через задачи, через их решение реализуются и образовательная, и развивающая, и воспитательная функции обучения математики.

В данной работе рассмотрена проблема поиска одного из возможных путей обучения школьников 7-9 классов решению текстовых задач.

Как текущий, тематический так и итоговый контроль на всех уровнях обучения по курсу алгебры 7-9 классах содержит текстовые задачи. Вместе с тем, каждый учебник алгебры предлагает большое число задач с различной фабулой и учитель, особенно молодой, часто затрудняется в отборе задач для урока, для домашней работы, для самостоятельной или контрольной работы. Он не может четко сказать, смогут ли его ученики решить задачу: смогут ли они провести ее анализ, составить математическую модель, осознают ли они свою деятельность и т. п. Сказанное выше доказывает актуальность проблемы.

В качестве основного средства решения проблемы выбрана система целенаправленной работы учителя по следующим направлениям:

− формирование у школьников четких представлений и понимания необходимости трех этапов алгебраического решения текстовой задачи:

· составление математической модели ситуации, рассматриваемой в задаче,

· внутримодельное решение,

· интерпретация внутримодельного решения.

− обучение выполнению всех этапов решения текстовых задач,

− обучение правильно оформлять решение текстовых задач.

Объект – процесс обучения по курсу алгебры 7-9 классов.

 Предмет – процесс обучения решению задач в школьном курсе алгебры 7-9 классов.

К целям написания дипломной работы можно отнести следующее : на основе анализа публикаций, изучения психолого-педагогической и методической литературы, изучения опыта учителей, наблюдения за их деятельностью на уроках, выявить основные направления в обучении школьников решению текстовых задач в курсе алгебры 7-9 классов и разработать (на основе полученных результатов) конкретные рекомендации по обучению решению текстовых задач в 7 классе.

Выполнение данного исследования потребовало решение следующих задач :

1.Изучить и проанализировать психолого-педагогическую, методическую и учебную литературу по теме исследования, а также требования программы по математике для 7 – 9 классов.

2. Изучить опыт передовых учителей и осуществить наблюдение за деятельностью учителей в данном направлении.

3. Провести частичную опытную проверку разработанных материалов. Сделать необходимые выводы.

В процессе проведения исследования были использованы следующие методы :

- наблюдение,

- изучение литературы,

- опытная проверка.

Дипломная работа имеет следующую структуру : введение, три главы, заключение, список литературы.

Во введении обосновывается актуальность, объект, предмет, цели, задачи и методы исследования. В первой главе изложены психолого-педагогические аспекты. В частности понятие «задача», «текстовая задача», функции задач в обучении математике, а также, психологические особенности детей данного возраста и их учет при обучении решению текстовых задач, а также современные дидактические принципы обучения математике. Во второй главе представлены материалы, касающиеся математического моделирования и непосредственно задач. Здесь представлены: понятие модели и моделирования, вспомогательные модели; методы решения задач; классификация задач; этапы решения задач. Третья глава посвящена методике обучения решению текстовых задач на основе моделирования задачной ситуации. Здесь рассмотрены следующие аспекты: требования нормативных документов; анализ школьных учебников и задачников по алгебре 7-9 классов, а также система работы учителя математики по обучению решения текстовых задач в 7-ом классе. В заключении изложены итоги и результаты проведенного исследования. Список литературы насчитывает 23 библиографических источника.

Глава 1. Психолого-педагогические основы обучения решению текстовых задач в курсе алгебры основной школы .

§ 1. ПОНЯТИЕ «ЗАДАЧА», «ТЕКСТОВАЯ ЗАДАЧА». СТРУКТУРА ЗАДАЧИ. ПРОЦЕСС РЕШЕНИЯ.

Понятие задачи очень емко и связано с большим числом самых разнообразных проблем, рассматриваемых в дидактике, психологии, философии и др. Понятие задачи тесно связано с понятиями проблемной ситуации, проблемы, вопроса, задания, упражнения. Несмотря на то, что проблема решения задач как практических, так и математических изучается довольно продолжительное время, к настоящему времени нет единого подхода в трактовке основных понятий, связанных с задачей. В каждой из наук исследователи по-разному определяют генезис каждого из этих понятий, их иерархию. Кроме того, психолога, философа, математика, педагога и др. интересуют специфические для каждой науки стороны этого понятия.

Выясним сначала, что понимается под задачей.

В психолого-педагогической литературе можно найти различные подходы к понятию «задача». В основном эти подходы едины по указанию проблемной ситуации как источника задачи и различаются по характеристике места и роли субъекта в рассматриваемой ситуации.

Представления об объекте, в данном случае - о задаче определяются и уточняются в процессе исследования условий его возникновения и функционирования.

 Как же возникает задача?

Исследование, проведенное Л.М.Фридманом, привело его к выводу о том, что «…проблемные ситуации образуются из следующих компонентов: действующего субъекта - С, объекта его деятельности О, преграды (затруднения) на пути осуществления его деятельности – П»). Субъект начинает анализировать проблемную ситуацию. В процессе этого анализа выявляются все компоненты проблемной ситуации, их взаимосвязи, вид преграды и ее особенности. Результаты проведенного анализа субъект выражает на каком-то языке. Зарождение и развитие задачи можно рассматривать как моделирование проблемной ситуации, в которую попадает субъект в процессе своей деятельности, а саму задачу - как знаковую модель проблемной ситуации, выраженную с помощью знаков естественного или искусственного языков» .

Очевидно, что понятие проблемной ситуации шире, чем понятие задачи: задача как модель проблемной ситуации отражает лишь некоторые ее стороны. Кроме этого, проблемная ситуация и задача имеют специфические качества, свойства. Так, проблемная ситуация связана с определенным субъектом (по определению), она неотделима от этого субъекта. Задача же может быть передана одним субъектом другому, она может быть изменена, дополнена, урезана, переделана и т.п.

Задача может возникнуть в результате не только практической, но и познавательной деятельности. В этом случае задачу можно рассматривать как требование найти, доказать, установить, определить и т.д. какие-то характеристики некоторого объекта по его известным характеристикам. Отметим, что эта трактовка задачи совпадает с данной ранее, если рассматривать проблемную ситуацию, возникшую в процессе познания, изучения, исследования субъектом рассматриваемого объекта и возникшее на этом пути препятствие.

В процессе обучения математике школьники решают огромное количество задач, приведенных в учебнике, задачнике или составленных учителем. И на первый взгляд, кажется, что эти задачи существуют независимо от учеников. Теперь понятно, что каждая задача становится задачей по существу лишь в ситуации, когда школьник «принял» ее, начал искать ее решение.

В методической литературе наряду с термином «задача» используется и термин «упражнение». Одни авторы под упражнением понимают задачу, метод, решения которой известен. Например, задача на закрепление формулы корней квадратного уравнения вполне может быть названа упражнением в соответствии с приведенной трактовкой. Другие считают упражнением любую задачу, решаемую в процессе обучения. Очевидно, нецелесообразно иметь два термина для одного и того же объекта. Отметим еще, что в соответствии с давней устоявшейся традицией термин «упражнение» используют в курсе алгебры, термин «задача» - в курсе геометрии. Однако, упражнения в действующих и в пробных курсах алгебры служат не только и не столько для закрепления материала, сколько для изучения алгебры, для развития школьников. Иной подход к трактовке упражнения осуществлен Г.И.Саранцевым. Дело в том, что в процессе взаимодействия субъекта и задачи изменения могут происходить как в субъекте, так и в задаче. Изменения в субъекте связаны с приобретением им знаний, развитием его умений и навыков в процессе работы над задачей. В процессе взаимодействия субъекта и задачи могут изменяться, преобразовываться условие и требование задачи, появляться, уточняться и преобразовываться различные модели задачи и т.д. Г.И.Саранцев предлагает назвать упражнением такую задачу, в процессе решения которой изменяется только решающий ее субъект.

 Отдельно стоят математические задачи, решение которых достигается специальными математическими средствами и методами. Среди них выделяют задачи научные (например, теорема Ферма, проблема Гольбаха и др.), решение которых способствует развитию математики и ее приложений, и задачи учебные, которые служат для формирования необходимых математических знаний, умений и навыков у разных групп обучаемых (школьников, слушателей курсов, студентов и др.) и направлены на изменение качеств личности обучаемого (не знал — знаю, не умел — умею и т.п.) .

Учебные математические задачи различаются по характеру их объектов. В одних задачах все объекты математические (числа, геометрические фигуры, функции и т.п.), в других объектами являются реальные предметы (люди, животные, автотранспортные и механические средства, сплавы, жидкости и т.д.) или их свойства и характеристики : количество, возраст, скорость, производительность, длина, масса и т.п. Задачи, все объекты которых математические (доказательства теорем, вычислительные упражнения, установление признаков изучаемого математического понятия и т.д.), часто называют математическими заданиями.

Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми (сюжетными, практическими, арифметическими и т.д.). Перечисленные названия берут начало от способа записи (задача представлена в виде текста), сюжета (описываются реальные объекты, явления, события), характера математических выкладок (устанавливаются количественные отношения между значениями некоторых величин, связанные чаще всего с вычислениями). В последнее время наиболее распространенным является термин « текстовая задача ».

Текстовой задачей будем называть описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность требуемых действий .

Придерживаясь современной терминологии, можно сказать, что текстовая задача представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса и т.п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь, его количественные и функциональные характеристики.

Пример 1.1. Расстояние между городами А и В равно 195 км. Одновременно из обоих городов навстречу друг другу выходят два поезда и идут до встречи 3 ч; после встречи поезд из А тратит на прохождение расстояния от места встречи до В на 13/14 ч больше, чем тратит поезд, идущий из В, на прохождение расстояния от места встречи до А. Определить скорость каждого поезда.

В задаче описывается движение двух поездов. Любое движение характеризуется тремя величинами: пройденным расстоянием, скоростью и временем движения. В данной задаче известно, что поезда прошли одно и то же расстояние, равное 195 км. Дано время движения поездов до встречи. Кроме того, известно, что один из поездов был в пути на 13/14 ч больше, чем второй. Необходимо найти количественные характеристики скоростей движения двух поездов.

В каждой задаче можно выделить:

а) числовые значения величин, которые называются данными, или известными (их должно быть не меньше двух);

б) некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой (словесный материал, указывающий на характер связей между данными и искомыми);

в) требование или вопрос, на который надо найти ответ.

 Числовые значения величин и существующие между ними зависимости, т.е. количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними, называют условием (или условиями) задачи. В задаче обычно не одно, а несколько условий, которые называют элементарными.

 Требования могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме, их также может быть несколько. Величину, значения которой требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величинискомыми, или неизвестными.

 Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи. Для того чтобы уяснить структуру задачи, надо выявить ее условия и требования, т.е. построить высказывательную модель задачи .

 Пример 1.2. Выделим условия и требования в задаче «Собака погналась за лисицей, которая была от нее на расстоянии 30 м . Скачок собаки 2 м, скачок лисицы 1 м. В то время, как лисица делает три скачка, собака делает только два скачка. Сколько скачков должна сделать собака, чтобы догнать лисицу? Какое расстояние пробежит собака?»

Условия задачи

1. Собака бежит вдогонку за лисицей.

2. Первоначальное расстояние между собакой и лисицей 30 м.

3. Скачок собаки равен 2 м.

4. Скачок лисицы равен 1 м.

5. За то время, как лисица делает три скачка, собака делает только два скачка.

6. Собака догнала лисицу.

Требования задачи

1. Сколько скачков должна сделать собака, чтобы догнать лисицу?

2. Какое расстояние пробежит собака?

Ответ на требование задачи получается в результате ее решения.

Решить задачу в широком смысле этого слова — это значит раскрыть связи между данными, заданными условием задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и т.п.), выполнить действия над данными задачи, используя общие положения, и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность его выполнения. Термин «решение задачи» широко применяется в математике. Этим термином обозначают связанные между собой, но все же неодинаковые понятия:

1) решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование задачи;

2) решением задачи называют процесс нахождения этого результата, т. е. вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до окончания решения;

3) решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.

В дальнейшем мы не будем придерживаться какого-то одного значения этого термина и не станем пояснять, что мы имеем в виду в той или иной ситуации. В каждом конкретном случае будет ясно, о каком толковании термина «решение задачи» идет речь.

В условиях школьного обучения практически невозможно исчерпать все многообразие задач, с которыми учащиеся встретятся, окончив школу. Поэтому обучать в школе нужно таким методам и способам решения задач, которые являются общими для многих из них, и обучать так, чтобы достигался более высокий уровень умственного развития учащихся, делающий возможным в дальнейшем самостоятельное решение новых задач. Постановка перед учащимися задач может осуществляться на различных этапах обучения (и дидактические функции задач известны), это является необходимым условием стимулирования мышления учащихся. Наряду с задачами, которые в дальнейшем приводят к образованию навыка, существуют также задачи, предполагающие развернутый, творческий процесс решения.

Данные психологии и наши наблюдения свидетельствуют о том, что в решении самых различных задач разными людьми проявляются общие закономерности, характеризующие решение задач как специфическую деятельность. Наряду с логической структурой решения задачи, определяемой организацией исходных ее элементов, логикой необходимых преобразований, можно говорить о наличии психологической структуры решения задач, выражающей присущее человеку строение интеллектуальной деятельности.

§ 2. ФУНКЦИИ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ.

Математическое образование на современном этапе характеризуется вниманием к школьнику, к его возможностям и потребностям, к его самопознанию, саморазвитию, его отношению к природе, окружающим людям, к самому себе.

Ведущие цели математического образования определяются местом и ролью математики как науки в современном обществе, тенденциями в развитии этого общества, его приоритетами, глубиной и системностью таких процессов как гуманизация и гуманитаризация образования.

Одной из важнейших целей школьного математического образования является формирование у школьников умения строить математические модели простейших реальных процессов, изучать эти процессы по их математическим моделям, умение видеть общее в процессах, описываемых одной и той же математической моделью. При этом важны как алгоритмическая, так и эвристическая составляющие в деятельности учащихся, раскрытие их творческого потенциала.

Понятно, что в достижении указанных целей важная роль принадлежит текстовым (сюжетным) задачам.

Какая бы модель при решении текстовой задачи ни использовалась: арифметическое выражение, уравнение, неравенство или их система, график или др., ученик должен проявить понимание исходной ситуации, известную смелость и изобретательность при составлении модели, умение систематизировать имеющиеся знания и представления, умение целесообразно использовать накопленный им опыт. Как показывает практика, наиболее трудным для учащихся представляется именно этап, составления математической модели задачной ситуации.

Внутримодельное решение связано с большей частью содержательных линий школьного курса математики и поэтому представляет особую ценность в деле обучения решению собственно математических задач.

Решение задач - деятельность, которую осваивают школьники на протяжении всех лет обучения в школе. Задачи выступают как метод, как цель и как одно из основных средств обучения математике (и не только математике).

Кроме того, решение текстовых задач позволяет развивать такие личностные компоненты как: познавательный (обеспечивается, например, разнообразием фабулы задач и содержательным комментарием учителя), мотивационно-потребностный (обеспечивается подбором нестандартных оригинальных задач, поддержанием интереса к решению и составлению задач), эмоционально-волевой (обеспечивается созданием и поддержанием творческой атмосферы при решении задач, разъяснением необходимости и поощрением упорства и настойчивости в достижении поставленной цели), нравственный (обеспечивается формированием представлений о недопустимости списывания, подсказок, о благотворности своевременной помощи товарищу).

Понимание функции текстовых задач в обучении предопределяет степень внимания к ним всех участников процесса образования. Вопросами определения функции задач в обучении занимались такие видные ученые как И.Я.Лернер, Р.С.Черкасов, Ю.М.Колягин и другие. И.Я.Лернер выделяет : познавательную и развивающую функции задач, К.И.Нешков и А.Д.Семушин вводят понятия задачи с дидактическими функциями, задачи с познавательными функциями и задачи с развивающими функциями, Ю.М.Колягин делит функции задач на обучающие, воспитательные и развивающие. Каждый из авторов дает необходимые пояснения. Например, под задачами с дидактическими функциями понимаются задачи на «прямое применение изученной теории или рассматриваемой зависимости, на закрепление всех основных фактов школьного курса математики»; задачи с познавательными функциями - это задачи, в процессе решения которых «... учащиеся углубляют отдельные, обязательные для усвоения всеми учащимися стороны материала, изученного в классе, знакомятся с важными в познавательном отношении теоретическими сведениями, не изученными ранее решениями задач» ; задачи с развивающими функциями - это « задачи, содержание которых может отходить от основного курса математики, посильно осложнять некоторые из изученных ранее вопросов школьной программы; запоминание и освоение этого материала всеми учащимися не обязательно. При решении этих задач ученику недостаточно применить изученные теоретические сведения или уже известные методы решения задач, а необходимо проявить выдумку и сообразительность» . Очевидно, текстовые задачи выполняют (или могут эффективно выполнять) каждую из указанных функций в процессе обучения математике школьников 7 - 9 классов.

Каждая учебная задача в каждый момент времени, на том или ином этапе обучения несет в себе самые разнообразные функции, одна из которых является ведущей. Например, одна и та же задача может выполнять функцию создания мотива для введения и изучения какого - то математического понятия, свойства, метода. Эта же задача может служить для демонстрации логики рассуждений и записи решения задач определенного типа. Можно применить эту же задачу для отработки навыка в решении задач под руководство учителя или в условиях самостоятельного решения ее школьником, ее же можно применить для контроля знаний и умений ученика, она же может выполнять и роль средства, развивающего творчество школьника, если задачи такого рода еще не рассматривались учителем и т. д. . В практике обучения нередко можно наблюдать ситуацию, когда учитель: не видя ведущей (по мнению авторов) функции задачи, в своей работе на первый план ставит второстепенную (скрытую) ее функцию. В этом случае ведущая функция задачи остается нереализованной. Вместе с тем, грамотный, опытный, творчески работающий учитель, видя перспективу, работая с задачей, раскрывает ее функции более полно и широко, чем это было предусмотрено авторами сборников.

Ведущие функции задач определяются ведущими целями обучения математике на каждом этапе развития отечественного математического образования. В соответствии с этим ведущими функциями задач являются : обучающие, воспитывающие и развивающие.

Под обучающими функциями задачи будем понимать те, которые направлены на формирование у школьников системы знаний, умений и навыков. Эти знания, умения и навыки могут быть предусмотрены программой или служить ее расширению и углублению на различных этапах их усвоения. По характеру обучающие функции обычно подразделяются на общие, специальные и конкретные. Первые характеризуют функции задач, которые присущи не только процессу обучения математике, но и всем предметам естественно - математического цикла. К общим обучающим функциям задач обычно относят:

1) формирование некоторого понятия (на всех уровнях работы с ним) и установление различных связей между понятиями (от рода к виду, внутри - и межпредметные связи и т.п.);

2) подведение объекта под понятие и выведение следствия из факта принадлежности объекта объему данного понятия, описание объекта, его определение;

3) формирование ведущих идей, законов и установление связей между ними;

4) формирование основных видов умозаключений, способов и приемов их проведения;

5) формирование умений и навыков моделирования учебного материала (чертежи, графики, таблицы, и т.п.) и т.д..

Под специальными обучающими функциями понимают те общие обучающие функции задач, которые могут быть соотнесены лишь с обучением математике. К специальным обучающим функциям могут быть отнесены те, которые связаны с формированием умений и навыков характерных только для школьного курса математики. Из специальных обучающих функций выделяют конкретные (как их частные виды). Например, при формировании общего умения анализировать условие задачи, последние общую обучающую функцию; при формировании умения решать математические задачи они выполняют специальную обучающую функцию; и, наконец, математические задачи «на части» (или другие) выполняют в обучении конкретную специальную функцию.

Не следует забывать и о воспитательных функциях задач, наиболее важными и актуальными среди которых являются следующие :

1) поддержание и возбуждение интереса к математике;

2) воспитание у школьников ответственного отношения к предмету;

3) воспитание потребности и умения учиться математике;

4) воспитание понимания диалектического характера познания в математике : от целенаправленного наблюдения процесса, явления, объекта к абстрактному мышлению (к обдумыванию отмеченных закономерностей их взаимосвязей, обоснований и т.д.), а от него - к практической проверке полученных результатов, к получению новых возможных закономерностей.

Под развивающими функциями задач будем понимать те, которые направлены на развитие мышления учащихся, на формирование качеств, присущих научному мышлению на овладение приемами эффективной умственной деятельности. Рассматривают как общие, так и специальные развивающие функции задач.

К общим развивающим функциям задач можно отнести следующие:

1) формирование умений эффективно использовать в изучении математики методов научного познания таких, как наблюдение, сравнение, противопоставление, анализ и синтез, обобщение и специализацию, и др.;

2) владение элементарной логической грамотностью;

3) владение умением выполнять умозаключения индуктивного и дедуктивного характера;

4) умение правильно ставить мысленный и/или практический опыт, выдвигать гипотезы, проверять их;

5) умение осуществлять выбор средств и методов для достижения поставленной цели, учитывая конкретные условия; и т.д.

К специальным развивающим функциям математических задач могут быть отнесены следующие:

1) умение математизировать простейшие ситуации жизненного характера;

2) умение выдвигать гипотезу о свойствах математического объекта, доказывать или опровергать ее;

3) умение распознавать то или иное математическое понятие в различных ситуациях;

4) умение правильно пользоваться математической символикой; и т.п.

Выше уже было сказано о выполнении задачами и контролирующей функции. К последней можно отнести следующие функции :

1) определение уровня обученности и обучаемости школьника;

2) установление наличия умения самостоятельно учиться;

3) установление математических способностей;

4) определение уровня развития того или иного компонента математического мышления или качества, характерного математическому стилю мышления;

5) установление уровня сформированных познавательных интересов; и др. Следует отметить, что указанные функции не могут быть реализованы абсолютно изолировано одна от другой, как и соответствующие цели обучения. Но вместе с тем, основная, ведущая функция любой задачи в каждый момент процесса обучения должна быть непременно реализована. Реализация же второстепенной функции задачи (полная или частичная) определяются конкретными условиями.

Рассмотренные функции задач в обучении математике позволяют определить требования к их подбору как по каждой теме курса, так и по курсу в целом в соответствии с целями обучения, воспитания и развития школьников.

Использование в обучении математике мотивационной функции задач способствует осознанному восприятию материала школьниками, развитию их мыслительной деятельности. 

При этом задачи могут иметь дидактической целью:

- обоснование необходимости и полезности изучения определенного материала;

- подготовку к введению нового понятия;

- аргументацию целесообразности определения понятия;

- ознакомление с конкретными моделями абстрактной теории;

- подготовку к доказательству сложного утверждения;

- ознакомление с новым методом решения задач, доказательства теорем;

- сравнение эффективности различных методов решения задачи;

- установление связей изученной теории с новой.

Для мотивации введения и изучения нового материала несомненный интерес представляют задачи с практическим содержанием. Необходимость овладения математической теорией для удовлетворения нужд практики способствует формированию у школьников научных взглядов. Кроме этого применение задач в целях мотивации необходимых знаний и умений создает условия для реализации межпредметных связей, связи обучения математике с практической жизнью.

Означает ли это, что на каждую задачу можно приклеить ярлык, например, «задача с дидактическими функциями»? Нет, конечно. Функция задачи определяется не только и не столько ее содержанием и структурой, сколько ее местом в учебном процессе. Одна и та же задача может быть и задачей с дидактическими функциями, если учитель применяет ее при фронтальной работе с классом, демонстрирует анализ задачи, удобную форму записи, применение для ее решения изученного алгебраического материала, проводит анализ решения, рассматривает другие способы решения. Эта же задача может выполнять и познавательные функции, если способ решения таких задач или задачи с таким сюжетом в классе еще не рассматривались, но все необходимые для ее решения знания имеются у учащихся. Та же самая задача выполняет развивающие функции, если ученик или группа учеников предлагают ее оригинальное решение, например, графический способ при решении задачи на движение.

§ 3 . ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ УЧАЩИХСЯ 7-9 КЛАССОВ.

Любая более или менее успешная методика строится с учетом психологических особенностей тех, кого учат. Рассматриваемый нами возраст подпадает под характеристики подросткового периода. Главной особенностью подросткового возраста является его переходный характер — от детства к взрослости. Это период резкого увеличения темпов физического развития и полового созревания. Характерная его черта - проявление подростками противоположных черт личности, их неожиданная смена друг другом: то общительный, то замкнутый, то веселый, то унылый и т.д.

Главная же задача подростка - формирование самосознания и идентичности (быть как другие сверстники). Переход от детства к взрослости не у всех протекает гладко. В связи с этим Э. Шпрангер выделяет три типа развития личности подростка. Для первого типа характерно бурное, кризисное течение, переживаемое подростком как второе рождение. Его итог — становление нового Я. Для второго типа характерно плавное, без глубоких потрясений изменение личности. Третий тип развития связан с активным и сознательным процессом самовоспитания, самостоятельным преодолением тревог и кризисов.

Ш. Бюлер также выделила три фазы психического развития :

Первая из них — это прелюдия, отдельные симптомы которой появляются в 11-12 лет, когда подростки необузданны, драчливы, когда детские игры кажутся им неинтересными, а игры старших подростков еще непонятны.

«Прелюдия» сменяется следующей, негативной фазой, продолжительность которой от 11 до 13 лет у девочек и от 14 до 16 лет у мальчиков, а основными чертами являются повышенная чувствительность и раздражительность, беспокойное и легко возбудимое состояние, физическое и душевное недомогание, неудовлетворенность собой, переносимая подростками на окружающий мир. Поэтому нередко можно видеть одновременное присутствие у подростка ненависти к себе и окружающему миру, что заставляет его чувствовать себя одиноким, чужим и непонятым окружающими людьми. Ребенок на этой стадии наиболее чувствителен к восприятию негативного, отрицательного, что побуждает его либо к агрессивной самозащите, либо к пассивной меланхолии. Результатом этого становится снижение работоспособности, изоляция или активное враждебное отношение к окружающим. Окончание негативной фазы совпадает с завершением телесного созревания.

Позитивная фаза начинается с того, что подросток становится восприимчив к позитивным аспектам окружения. Перед ним открываются источники радости, среди которых на первое место выходит «переживание природы» — сознательное переживание прекрасного. При благоприятных условиях развития такими источниками радости могут стать искусство и наука. К этому присоединяется и любовь, «дающая выход самому тяжелому напряжению».

Особенности эмоциональной сферы.

Для эмоциональной сферы подростков характерны

• очень большая эмоциональная возбудимость, поэтому подростки отличаются вспыльчивостью, бурным проявлением своих чувств, страстностью: они горячо берутся за интересное дело, страстно отстаивают свои взгляды, готовы «взорваться» на малейшую несправедливость к себе и своим товарищам;

• большая устойчивость эмоциональных переживаний по сравнению с младшими школьниками; в частности, подросток долго не забывает обиды, нанесенной ему учителем, поэтому последнему после своего опрометчивого поступка требуется приложить много усилий, чтобы восстановить потерянный в глазах ученика авторитет;

• в то же время для подростков характерны перепады настроения — от безудержного веселья к унынию и обратно, причем достаточно значимых причин для подобной перемены настроения может и не быть;

• противоречивость чувств: часто подросток с жаром защищает своего товарища, хотя понимает, что тот достоин осуждения; обладая высокоразвитым чувством собственного достоинства, он может заплакать от обиды, хотя и понимает, что плакать стыдно; сентиментальность порою уживается с удивительной черствостью, болезненная застенчивость — с развязностью;

• переживания у подростка возникают не только по поводу оценки его другими, но и по поводу самооценки, которая появляется у него в результате роста его самосознания;

• у подростков сильно развито чувство принадлежности к группе, поэтому они острее и болезненнее переживают неодобрение товарищей, чем неодобрение учителя;

• подростки предъявляют высокие требования к дружбе, в основе которой лежит не совместная игра, как у младших школьников, а общность интересов, нравственных чувств; дружба у подростков более избирательна и интимна, более длительна; под влиянием дружбы изменяется и подросток, правда, не всегда в положительную сторону, поэтому не всякую дружбу нужно приветствовать;

В связи с этим, текстовые задачи должны быть эмоционально окрашены. Предлагаемые задачные ситуации необходимо сделать современными, хорошо знакомыми из жизни, для того, чтобы ученикам было интересно их решать. Задачи должны иметь несколько вопросов, различные уровни сложности.

 

Характеристика мотивационной сферы

В этом возрасте в организме и психике ребенка происходят существенные изменения, обусловленные половым созреванием. Это значительно изменяет сферу интересов ребенка. При этом можно отчетливо проследить две тенденции в развитии интересов: с одной стороны, появление новых интересов и влечений к общественной жизни, технике, чтению книг, у многих выражены спортивные интересы, с другой, свертывание и отмирание установившейся ранее системы интересов, отсюда ее негативный, протестующий, отрицательный характер. Именно сочетание обоих моментов, взятых вместе, пишет Л. С. Выготский, характеризует тот на первый взгляд странный факт, что у подростка наблюдается как будто общее понижение, а иногда даже и полное отсутствие интересов. Эта опустошающая фаза, в продолжение которой подросток окончательно изживает свое детство, дала повод Л. Н. Толстому назвать этот период «пустыней отрочества».

Для этой фазы характерны также пессимизм, распад коллективных связей, разрыв сложившихся прежде отношений между детьми, в том числе и дружественных, стремление к одиночеству, резкое изменение отношения к другим людям, пренебрежение правилами о6щественного поведения.

В результате больше половины подростков характеризуются индивидуалистической направленностью. При этом ее пик приходится на средних подростков, а к старшему подростковому возрасту, доля индивидуалистов несколько уменьшается; однако общество, другие люди интересуют их опосредованно, через самих себя.

В мотивационной сфере подростков происходит чрезвычайно важное изменение, заключающееся в том, что они в значительной степени способны руководствоваться в своем нравственном поведении теми требованиями, которые сами себе предъявляют, и теми задачами и целями, которые перед собой ставят. Следовательно, происходит переход от «реактивного» следования требованиям извне к активному построению своего поведения в соответствии со своим собственным идеалом.

У подростков отмечается большая, чем прежде, устойчивость целей, достаточно развитое чувство долга, ответственности. Интересы уже не ситуативные, а возникают постепенно по мере накопления знаний. Отсюда — устойчивость ряда мотивов, базирующихся на интересах и поставленных самими учащимися целях. Часто интерес к чему-нибудь приобретает характер увлечения. Считается, что подростковый возраст без увлечений, подобен детству без игр. Увлечения подростка - сильные и часто сменяют друг друга, но иногда принимают «запойный» характер; как правило, они не связаны с учебной деятельностью. Некоторые из этих увлечений могут способствовать развитию личности подростков, так как удовлетворяют их познавательную потребность, способствуют формированию полезных навыков.

Важно, что в мотивах подростков содержится аргументация и предвидение последствий принятого решения, что свидетельствует о значительно более полном осознании процесса мотивации и структуры мотива. Это снижает импульсивность действий и поступков подростков, особенно старших.

Наличие идеалов, самооценок, усвоенных норм и правил общественного поведения свидетельствует о значительном развитии личности подростков, о формировании у них «внутреннего плана», являющегося существенным фактором мотивации и организации собственного поведения. Однако этот «внутренний план» еще не организован в целостную систему, недостаточно обобщен и устойчив. Так, имеющийся идеал неконкретен и часто меняется (сегодня подростку нравится один герой, которому хочется подражать, а завтра — другой). Требования подростка к себе нуждаются в постоянной поддержке со стороны. Отсюда — и неустойчивость ряда мотивов, изменчивость поведения. Кроме того, для данного возраста характерно несоответствие целей возможностям, что свидетельствует о завышенном уровне притязаний и становится причиной частых неудач в осуществлении задуманного.

Чтобы учесть мотивационную составляющую, решение задачи необходимо сделать личностно значимым, т.е. решение задач необходимо проводить в соревновательной форме, где ученик может проявить себя как в личном так и в командном решении задач.

Особенности волевых проявлений

Весьма противоречива волевая сфера подростков. Наблюдается переход от внешней стимуляции волевой активности к самостимуляции. Подросток стремится к самостоятельному поведению. Подростки хотят быть волевыми. Однако этот механизм еще недостаточно сформирован. Поэтому подростки часто страдают оттого, что у них нет «воли».

Приходящийся на этот возраст процесс полового созревания существенно изменяет волевую сферу, причем не всегда в лучшую сторону. Возрастает смелость (которая в этот период вообще достигает наибольшего проявления), но снижается выдержка, самообладание. Наблюдается установка на отказ от усилия, поэтому упорство проявляется только в интересной работе. Снижается дисциплинированность, усиливается проявление упрямства, отчасти в связи с тем, что советы взрослых воспринимаются критически как утверждение своего «Я», права на собственное мнение, на свою точку зрения.

Познавательные процессы.

 Внимание. Школьники средних классов могут удерживать преднамеренное внимание в течение 40-45 минут (при сильной мотивации к учебному материалу) и следить путем распределения и переключения внимания за 4-6 объектами сразу. Несмотря на это, у них наблюдается повышенная отвлекаемость, приводящая к нарушению дисциплины. Это вызвано многими причинами: все еще сохраняющейся импульсивностью их поведения, нетерпеливостью, стремлением выполнить самому и поскорее, ростом потребности в двигательной активности. Подросткам трудно сдерживать свое стремление к разнообразию, получению новых впечатлений, поэтому они отвлекаются на внешние стимулы довольно легко. Они больше ориентированы на результат деятельности, качество выполнения их не очень волнует, а однообразная работа быстро вызывает скуку и снижение интенсивности внимания.

С учетом данных факторов задачи должны быть разнонаправленными, т.е. решить, построить, доказать, определить, найти и т.д.

Восприятие. Характерной особенностью восприятия подростков является его интеллектуализация, т. е. умение не просто видеть объект (чертеж, схему), а выделять в нем определенные связи и зависимости. На уроках геометрии, черчения у подростков формируется умение мысленно воспринимать косвенные признаки предметов, например, умение видеть сечения объемных фигур, читать чертеж и т. д.

В связи с этим задачи необходимо подбирать так, чтобы не только не мешать данному процессу, но и всячески его поддерживать.

 Мышление. С 11-12 лет мышление подростков переходит на новый уровень, становится теоретическим, рефлексивным. У подростка появляется способность рассуждать на основе одних общих предпосылок. Все рассуждения, вплоть до заключения, идут на вербальном уровне, поскольку содержанием таких рассуждений являются слова, высказывания, математические знаки.

Новым является и то, что познавательные задачи сначала предварительно мысленно решаются с помощью построения различных гипотез и их проверки. А мышление предположениями характеризует именно теоретическое мышление.

Принципиальное различие мышления подростков от такового у младших школьников видно при решении логических задач. Например, если предложить решить следующую задачу: «У лошади четыре ноги, и у этого животного тоже четыре ноги. Можно ли утверждать, что это животное тоже лошадь?», то младшие школьники либо ответят «Да», либо скажут, что не знают. Подростки же дают правильный ответ и логически его обосновывают: «Четыре ноги есть не только у лошади, поэтому такое утверждение не совсем правильное».

Однако у разных подростков уровень логического мышления разный, так как умение понимать и удерживать логику доказательства развивается неодинаково у всех подростков.

В 12-14 лет стремление к интеллектуальной деятельности и темпы возрастания ее возможностей заметно снижаются, что сказывается и на снижении успеваемости подростков. Однако это не свидетельствует об их умственной деградации. В этот период появляется ряд качественно новых образований, увеличивающих познавательные и творческие возможности. Так, возрастает способность к абстрагированию, самостоятельность в формулировании выводов, в соотнесении знаний и умений. Устанавливается более тесная связь понятийного и образного мышления. Подростки уже способны анализировать абстрактные идеи, искать ошибки и логические противоречия в абстрактных рассуждениях. Благодаря этому у них пробуждается интерес к философским проблемам, в том числе к религиозным, политическим, этическим и т. д. Они начинают рассуждать об идеалах, о будущем, у них создается новый, обобщенный взгляд на мир, т. е. начинает формироваться мировоззрение. Таким образом, подростки не столько «меньше могут», сколько «меньше хотят».

Память. В подростковом возрасте снижается объем памяти. Временное ухудшение памяти у детей 10-12 лет можно объяснить тем, что в этом возрасте запоминание материала еще непосредственное, без использования специальных приемов, и в значительной мере зависит от врожденных задатков, в частности подвижности - инертности нервных процессов. Известно, что, инертность нервных процессов способствует продуктивности памяти, подвижность же, характеризуемая быстрым исчезновением следовых процессов в центральной нервной системе, не дает долго оставаться возбуждению в нервных клетках, из-за чего полученная информация быстро исчезает. Именно в 10-12 лет, когда начинается половое созревание, у многих школьников нарастает подвижность нервных процессов. Возникают, следовательно, худшие предпосылки для механического запоминания и сохранения учебного материала.

С другой стороны, у подростка активно развивается логическая память, которая преимущественно и используется им в процессе учебной деятельности.

По этому необходимо помочь организовать накопление опыта в решении текстовых задач, подчеркивая каждый раз основные моменты в решении.

Общение

Общение подростка со взрослыми и особенно со сверстниками за стенами школы становится основным, если в школе он не получает удовлетворения своих новых потребностей. Такое общение помогает подростку выйти за рамки школы и там искать свое статусное место, а также получать от сверстников оценку себя. Среди причин обращения к сверстникам на первом месте стоит «люблю поболтать», «чтобы весело провести время». В результате образуются уличные компании со своими правилами, нормами поведения, местом пребывания.

Внешние особенности поведения в процессе общения младших подростков весьма противоречивы. С одной стороны, в общении с товарищами ребята проявляют коллективизм, а с другой — негативизм, готовность противопоставить себя коллективу; с одной стороны, у них ярко выражено стремление быть «как все», с другой — желание выделиться, отличиться любой ценой; с одной стороны, стремление заслужить уважение и авторитет товарищей, с другой — бравирование собственными недостатками. Страстное желание иметь верного друга сосуществует у младших подростков с беспорядочной сменой приятелей, способностью быстро разочаровываться в бывших «друзьях на всю жизнь». Стремясь сохранить при общении со взрослыми их поддержку, некритично подражая им, подростки в то же время стремятся к независимости, уважительному отношению со стороны взрослых к своей личной жизни и правам.

 Подростковая застенчивость, робость. Стремление казаться взрослым накладывает отпечаток на восприятие подростком отношения к нему окружающих, делает это восприятие обостренным. Если на этом фоне подросток начинает воспринимать себя в качестве объекта шуток, насмешек одноклассников, это приводит к его замкнутости, к стремлению изолироваться от окружения. К такому же результату приводит и обостренное переживание своих неудач, допущенных в присутствии других людей ошибок, имеющихся у себя действительных или надуманных недостатков во внешнем виде или физическом развитии.

Подросток страдает от собственной робости, так как испытывает сильную потребность в общественной активности, в общении со сверстниками. Эти страдания, а также чрезмерная склонность к самоанализу приводят к тому, что затрудняется или становится вообще невозможным его приспособление к новым общественным ситуациям.

Особенности Я – концепции.

В подростковом возрасте активно формируется самосознание, происходит постепенная переориентация с внешних оценок на внутренние, в результате чего вырабатывается собственная независимая система эталонов самооценивания и самоотношения (эмансипация самооценки). При этом у подростков, по сравнению с младшими школьниками, адекватность самооценки, несмотря на ее нестабильность, повышается. Подростки все больше и больше проникают в свой собственный мир и начинают понимать свою неповторимость. Это приводит к качественным изменениям самооценки подростков. Происходит резкий переход от фрагментарного и недостаточно четкого видения себя к относительно полной Я - концепции. Так, количество качеств, которые осознаются у себя подростком, в два раза больше, чем у младших школьников. Существенно то, что в содержании самооценки подростков превалируют основные моральные черты — доброта, честность, справедливость. Наряду с этими наиболее значимыми и хорошо осознаваемыми качествами своего Я выступают : коммуникативные, волевые и интеллектуальные качества. Довольно высокий уровень самокритичности подростков дает им возможность отмечать в своем Я - образе и отрицательные качества, от которых они хотели бы избавиться.

«Чувство взрослости». Существенная особенность подростков появление впечатления о своей взрослости уже в 11-12 лет. Его признаки:

• возникновение желания и требований «взрослого» к себе отношения со стороны окружающих;

• стремление к самостоятельности и желание оградить некоторые сферы своей жизни от вмешательства взрослых (эмансипация от контроля взрослых);

• стремление к пространственной автономии — неприкосновенности своего личностного пространства, к свободе выбора стиля одежды, круга общения и т. п.;

• наличие собственных взглядов и стремление их отстоять.

Различают:

• социально-моральную взрослость, которая реализуется во взаимоотношениях со взрослыми, в участии ребенка в заботах о семье, ее благополучии, особенно если она испытывает материальные затруднения;

• интеллектуальную взрослость, выражающуюся в стремлении ребенка узнать что-то новое и уметь делать что-то по-настоящему;

• равнение ребенка на качества «настоящего мужчины».

Наряду с чувством взрослости можно столкнуться с проявлениями так называемой тенденции к взрослости у подростков. Она возникает как ответная реакция на непризнание взрослыми или сверстниками претензий ребенка на взрослость. Часто это выражается в форме дурных привычек (курение, игра в карты, потребление спиртных напитков, использование жаргона и т. д.), даже в мелком хулиганстве, т. е. совершении поступков, которые, по мнению подростка, ставят его на одну плоскость со взрослыми.

Учитывая все вышеуказанные психологические особенности подростков можно охарактеризовать особенности умственного развития подростка и процесса освоения знаний.

Где-то между 10-14 годами ребенок переходит на третью стадию, названную стадией формальных операций. Умственная деятельность ребенка основана на способности оперировать гипотетическими утверждениями и не ограничена его опытом и предшествующими событиями. Ребенок может мысленно представлять возможные переменные и даже делать выводы о потенциальных отношениях, подлежащие дальнейшей проверке путем эксперимента или наблюдения. Именно на этом этапе приобретается способность к формальному или аксиоматическому выражению конкретных идей, которыми ребенок руководствовался ранее при решении задач, но которые не умел описать или понять на формальном уровне. Уже ранее, на стадии конкретных операций, ребенок был способен интуитивно и конкретно усваивать большую часть основных идей математики. Но он мог понимать их только в терминах конкретных операций.

В процессе усвоения ребенком основных понятий самое важное - помочь ему в постепенном переходе от конкретного мышления к использованию абстрактно-понятийных способов мышления. Однако пытаться достичь того путем формальных объяснений, основанных на логике, совершенно бесполезно, поскольку логика весьма далека от способа мышления ребенка и по своей внутренней структуре совершенно для него недоступна. К сожалению, в основном преподавание математики носит именно такой характер. Ребенка учат не пониманию математической закономерности, а, скорее, применению некоторых схем и приемов, не объясняя при этом их смысла и взаимной связи и не изменяя материала в соответствии со способом мышления ребенка. На основе таких неадекватных приемов учащиеся легко приходят к убеждению, что самое важное - это точность, хотя последнее имеет значительно больше общего с вычислением, чем с математикой.

Но ход умственного развития определяется и различными влияниями среды, особенно школьной. Поэтому преподавание основ наук, даже на элементарном уровне, не должно слепо следовать естественному ходу познавательного развития ребенка. Преподавание может стать даже ведущим фактором этого развития, предоставляя ученику заманчивые и вполне осуществимые возможности самому форсировать свое развитие. Опыт показывает полезность постановки перед учащимися таких задач, которые поощряют его к переходу на следующие стадии развития. С помощью умело сформулированных вопросов средней трудности учитель побуждает ученика к ускоренному переходу от одной стадии умственного развития к другой, способствуя тем самым более глубокому пониманию принципов математики.

Представляется, что освоение некоторого предмета включает три процесса протекающих почти одновременно.

Первый из них - получение новой информации - часто противоречит или заменяет тот объем знаний, которым субъект явно или неявно владел прежде. Как минимум, новая информация их уточняет.

Второй аспект обучения можно определить как трансформацию знаний. Это процесс перестройки наличного знания, приспосабливающий последнее к решению новых задач. Мы учим анализировать информацию, обнаруживать в ней скрытые стороны, упорядочивать ее с целью экстраполяции, интерполяции или придания ей новой формы. К преобразованию относятся и такие способы обработки информации, которые позволяют выходить за ее пределы.

Третья сторона обучения — это проверка степени адекватности применяемых способов обращения с информацией, содержащейся в задаче. Правильно ли мы действовали, целесообразно ли выведенное нами обобщение, применима ли допущенная экстраполяция - таковы вопросы, на которые в данном случае приходится отвечать. Как правило, роль учителя при оценке такого рода оказывается решающей, однако во многих случаях оценка осуществляется и на основе суждений о правдоподобии, если отсутствует возможность строгой проверки правильности наших действий.

Изучение любой темы распадается обычно на ряд этапов, каждый из которых включает все три описанных процесса. Оптимально построенный учебный процесс отражает предшествующий материал и позволяет делать обобщения, выходящие за пределы данной темы. Процесс учебного овладения темой может быть кратким или длительным, содержать много понятий или мало. Длительность каждого этапа овладения понятием зависит от ожидаемого учащимися вознаграждения своих усилий как в смысле формального поощрения в баллах, так и в смысле приобретения определенного знания. Очень важен вопрос равновесия между внешними и внутренними способами поощрения учащихся. О роли поощрения и наказания в процессе обучения написано много, но мало кто в действительности интересовался ролью таких факторов, как заинтересованность, любознательность, жажда открытия. Если, как преподаватели, мы намерены приучать детей ко все более и более длительным этапам усвоения понятий в процессе обучения, то отсюда следует необходимость детальной разработки методических пособий, что усилит действие поощрений внутреннего типа, каковым является ускорение понимания и овладение предметом. Один из возможных способов побудить ученика к преодолению трудностей учебного материала - это бросить ему вызов испытать свои силы, заставить его выложиться полностью, открыть для него радость успешного завершения трудной работы. Хороший учитель знает силу этого соблазна. Ученик должен испытать чувство полного поглощения работой. Испытав подобное чувство в классе, многие ученики, весьма вероятно, перенесут это состояние и на свою самостоятельную работу. Это же относится и к текстовым задачам. Ученик должен хотеть решать задачи, ему должен быть интересен сам процесс решения, для чего его необходимо побудить к решению.

 

§ 4.СОВРЕМЕННЫЕ ДИДАКТИЧЕСКИ ПРИНЦИПЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ.

 Принципы обучения - это исходные дидактические положения, которые отражают протекание объективных законов и закономерностей процесса обучения и определяют его направленность развитие личности.

В принципах обучения отражаются теоретические подходы к построению учебного процесса и управлению им. Они определяют позиции и установки, с которыми учителя и преподаватели подходят к организации процесса обучения и к поиску возможностей его оптимизации.

Знание принципов обучения дает возможность организовать учебный процесс, обоснованно определить цели и отобрать содержание учебного материала, выбрать адекватные целям формы и методы обучения. Вместе с тем они позволяют обучающим и обучаемым соблюдать этапность процесса обучения, осуществлять взаимодействие и сотрудничество. Поскольку принципы обучения формулируются на основе общих законов и закономерностей, то среди них есть общие для организации учебного процесса во всех типах образовательных учреждений.

По мере развития теории и практики обучения, открытия новых закономерностей процесса обучения, старые принципы обучения видоизменялись, формулировались новые, поэтому они являются исторически преходящими. Работа над ними продолжается и сегодня. Предпринимаются попытки вывести единые принципы целостного педагогического процесса, отражающие закономерности обучения и воспитания.

Все принципы обучения связаны друг с другом и проникают один в другой, поэтому они могут быть представлены как единая система содержательных и процессуальных (организационно-методических) принципов. Такое их деление условно: значение каждого принципа не ограничивается только рамками своей группы. Однако оно методически правомерно, так как помогает ответить на два основных вопроса дидактики: чему и как учить? Из дидактических принципов вытекают правила обучения, которые подчиняются принципу, конкретизируют его, определяют характер отдельных методических приемов, используемых учителями (преподавателями), и ведут к реализации данного принципа. Принципы отражают сущность процесса обучения, а правила - его отдельные стороны.

 Содержательные принципы обучения отражают закономерности, которые связаны с отбором содержания образования и его совершенствованием. К ним относятся принципы: гражданственности, научности, воспитывающего характера, фундаментальности и прикладной направленности (связи обучения с жизнью, теории с практикой).

 Принцип гражданственности отражает социальные аспекты обучения. В настоящее время его значимость является общепризнанной в связи с изменением государственного статуса России, необходимостью возрождения чувства патриотизма, чувства Родины, развития национального характера, формирования национальных ценностей и разработкой доктрины отечественного образования. Данный принцип выражается в ориентации содержания образования па развитие духовности и социальной зрелости личности. Он связан с формированием гражданского самосознания, системы представлений о социальном и политическом укладе России, о психологических особенностях российского этноса, его ментальных структурах, приоритетах национальной политики и культуры.

Согласно принципу гражданственности содержание обучения должно строиться с учетом его социальной и личностной значимости, иметь интерпретационный материал, отражающий текущие события, региональную и местную специфику.

Например, при подборе задач на движение можно использовать названия местных городов, сел, деревень. Также можно использовать задачи на современные темы: банки, магазины, кредиты, рынки и т.д.

 Принцип научности предполагает соответствие содержания образования уровню развития современной науки и техники, опыту, накопленному мировой цивилизацией. Согласно принципу научности содержание образования должно быть направлено па ознакомление обучаемых с научными фактами, явлениями, законами, основными теориями и концепциями той или иной отрасли, приближаясь к раскрытию ее современных достижений и перспектив развития. Разработка учебных планов, учебных программ и учебников ведется в соответствии с принципом научности.

Последовательное осуществление принципа научности означает ориентацию процесса обучения на формирование у учащихся концептуального видения мира и создание его адекватного и реалистического образа.

Принцип научности имеет отношение и к методам обучения. В соответствии с ним педагогическое воздействие должно быть направлено на развитие у учащихся познавательной активности и дивергентного мышления, творчества, ознакомление их со способами научной организации учебного труда. Этому способствует использование проблемных ситуаций, в том числе ситуаций личностного выбора, а также специальное обучение умению наблюдать явления, фиксировать и анализировать полученные результаты, вести научную дискуссию, доказывать свою точку зрения, работать с учебной и научной литературой.

При реализации принципа научности проявляются два диалектических противоречия. Первое связано с тем, что, с одной стороны, знания нужно доводить до научных понятий, а с другой - они должны быть доступны. Второе противоречие обусловлено тем, что в процессе обучения дается «готовый» материал, не являющийся дискуссионным, а в науке в отношении тех или иных вопросов существуют различные трактовки.

Принцип воспитывающего обучения базируется на закономерности единства обучения и воспитания в целостном педагогическом процессе. Этот принцип предполагает формирование в процессе обучения базовой культуры личности: нравственной, правовой, эстетической, физической, культуры труда и жизнедеятельности, общения. Воспитание в процессе обучения связано с интеллектуальным развитием и, прежде всего, с развитием креативности, с учетом интересов обучаемых.

Воспитывающий эффект в обучении зависит от содержания образования, его разносторонности, направленности и научности. Усвоение учебного материала не только развивает познавательную сферу обучаемых, но и формирует у них навыки учебного труда, такие личностные свойства : как организованность, самостоятельность, усидчивость, трудолюбие, деловитость, требовательность к себе и другим, дисциплинированность.

Принцип воспитывающего обучения предполагает уважительное отношение к личности обучаемого в соответствии с разумной требовательностью. Требовательность, не основанная на уважении, вызывает недовольство и агрессивность учащихся. Доброжелательность без требовательности приводит к нарушению дисциплины, неорганизованности, непослушанию обучаемых. Требовательность является своеобразной мерой уважения к личности. А.С.Макаренко подчеркивал, что к человеку нужно предъявлять как можно больше требований, но вместе с тем и как можно больше уважения. Воспитательный потенциал требовательности возрастает, если она объективно целесообразна, продиктована потребностями процесса обучения, задачами развития личности. Требовательность, какой бы оправданной и справедливой она ни была, не принесет пользы, если она не учитывает уровень развития личности ученика.

Реализация принципа воспитывающего обучения предполагает опору на сильные стороны обучаемых. Это обусловлено тем, что обучаемые не являются одинаковыми по уровню воспитанности. В этой связи многократное подчеркивание их недостатков может вместо позитивных сдвигов в личностном и интеллектуальном развитии привести к снижению их самооценки и уровня притязаний. Появление детей аутсайдеров и детей с девиантным поведением имеет в качестве одной из причин недоверие учителя к ученику, излишний критицизм и его отвержение.

Выявляя в ученике положительное и опираясь на него, делая ставку на доверие, педагог авансирует уровень достижений и направляет развитие личности. Когда ученик овладевает новыми формами поведения и деятельности, добивается ощутимого успеха в работе над собой, переживает радость, внутреннее удовлетворение, то это укрепляет его уверенность в своих силах, побуждает к личностному росту.

Воспитывающий потенциал обучения возрастает, когда наблюдается согласованность в действиях учителей-предметников, воспитателей, администрации образовательного учреждения и родителей. Если воспитательные воздействия в процессе обучения будут несбалансированными, негармонизированными, разнонаправленными, а иногда и противоположными, то учащийся приучается рассматривать нормы и правила поведения как нечто необязательное, устанавливаемое для себя каждым человеком произвольно.

 Принцип фундаментальности и прикладной направленности обучения требует основательной теоретической и практической подготовки учащихся уже в общеобразовательной школе. В традиционной дидактике он формулировался как связь обучения с жизнью, теории с практикой.

Фундаментальность в обучении предполагает научность, полноту и глубину знаний. Она обусловлена характером современной научно-технической революции, требующей от человека высокоинтеллектуальной мобильности, исследовательского склада мышления, желания и умения постоянно пополнять свои знания по мере происходящих в жизни и деятельности изменений. Фундаментальные знания обладают способностью медленнее устаревать, чем знания конкретные. Они апеллируют не столько к памяти, сколько к мышлению человека.

Фундаментальность обучения требует систематичности знаний, оптимального соотношения их теоретичности и практичности, а практическая направленность - моделирования и экстраполяции этих знаний на реальные жизненные ситуации.

Фундаментальность обучения имеет в качестве основного результата развитие сознания и самосознания. Сознание направляет поступки и действия человека и одновременно само складывается под влиянием поведения и деятельности. Следовательно, научно обоснованное построение процесса обучения предполагает его ориентированность на единство знаний и умений, сознания и поведения. Это требование вытекает из признанного в отечественной психологии и педагогике закона единства сознания и деятельности, согласно которому сознание возникает, формируется и проявляется в деятельности. В соответствии с этим законом в обучении требуется своевременное подкрепление знаний, в том числе и о социальных нормах и правилах поведения. Речь идет о сознательном усвоении знаний, т.е. об организации деятельности, в которой учащиеся убеждались бы в истинности и научности получаемых знаний, идей, овладевали бы умениями и навыками социально ценного поведения.

Организация и методика обучения, как и содержание образования, не могут выбираться произвольно. Они регламентированы действием закономерностей социального, психологического и педагогического характера, знание которых позволяет сформулировать организационно-методические принципы обучения: преемственности, последовательности и систематичности; единства группового и индивидуального обучения; соответствия обучения возрастным и индивидуальным особенностям обучаемых; сознательности и творческой активности; доступности при достаточном уровне трудности; наглядности; продуктивности и надежности .

 Принцип преемственности, последовательности и систематичности обучения опирается на объективно существующие этапы познания, взаимосвязь чувственного и логического, рационального и иррационального, сознательного и бессознательного.

Преемственность касается содержания обучения, его форм и способов, стратегий и тактик взаимодействия субъектов в учебном процессе, личностных новообразований обучаемых. Она позволяет объединить и иерархизировать отдельные парциальные и частные учебные ситуации в единый целостный учебный процесс.

В каждый временной интервал обучения педагог решает конкретные задачи. Связь и преемственность этих задач создают условия для перехода учащихся от простых к более сложным формам познания, поведения и деятельности, обеспечивая последовательное их решение .

Преемственность предполагает построение определенной системы и последовательности процесса обучения, так как сложные задачи не могут быть решены до изучения более простых. Систематичность и последовательность позволяют прогнозировать темп усвоения того или иного учебного материала, их сопоставимость и ценность.

Последовательность и систематичность в обучении позволяют разрешить противоречие между необходимостью формирования знаний, умений и навыков по предметам и формированием целостного концептуального видения мира. Прежде всего, это обеспечивается системным построением программ и учебников и установлением межпредметных и внутрипредметных связей.

Реализация системного подхода к обучению позволило более четко структурировать учебный материал, создать комплекты учебных и наглядных пособий по изучаемым учебным предметам. Системное структурирование требует вычленения в изучаемом материале ведущих понятий и категорий, установления их связей с другими понятиями и категориями (причинных, функциональных и др.), раскрытия их генезиса.

Наличие многопредметности, различных видов обучающих практик вызывает необходимость их иерархизации, т.е. выстраивания в зависимости от степени сложности. Поэтому процесс обучения должен проводиться строго последовательно, с соблюдением правила «от незнания - к знанию, от неумения - к умению». Об этом образно писал Я.А.Коменский: «Природа не делает скачков, а идет вперед постепенно... Так подвигается вперед и тот, кто строит дом. Он начинает не с крыши и не со стен, а с фундамента. А заложив фундамент, не покрывает его крышей, а воздвигает стены. Словом, как в природе все сцепляется одно с другим, так и в обучении нужно связывать все одно с другим именно так, а не иначе...».

Последовательность в обучении обеспечивает доступность учебного материала, прочность его усвоения, постепенное нарастание трудностей и развитие познавательных возможностей обучаемых. Она реализуется:

- в научно обоснованном построении плана изучения учебных дисциплин и структурно-логических схем их прохождения;

- в психологически и педагогически выверенном распределении учебного материала по каждой учебной дисциплине;

- в прохождении тем учебного материала в определенном порядке;

- в обоснованных действиях педагогов по развитию различных личностных качеств.

Существуют зависимые и независимые друг от друга учебные дисциплины и курсы. Зависимые можно разделить на последовательно и параллельно изучаемые. Первые должны преподаваться так, чтобы одни предшествовали другим. Параллельные надлежит изучать одновременно. При линейном их изучении разрывается по времени то, что должно восприниматься и усваиваться обучаемыми как единое целое. Учебный материал при этом плохо запоминается, слабо связывается в сознании, увеличиваются затраты времени на усвоение. Взаимозависимые курсы должны изучаться параллельно, т.е. только одновременно и взаимосвязанно, со строгой синхронностью.

В образовательной практике принцип преемственности, последовательности и систематичности реализуется в процессе тематического планирования, когда педагог намечает последовательность изучения отдельных разделов, тем, вопросов, отбирает содержание, намечает систему уроков и других форм организации процесса обучения, планирует усвоение, повторение, закрепление и формы контроля. При поурочном планировании учитель располагает содержание темы таким образом, чтобы исходные понятия изучались ранее, а тренировочные упражнения следовали бы за изучением теории.

Принцип единства группового и индивидуального обучения предполагает их оптимальное сочетание. Этот принцип основывается на представлении, что индивид становится личностью благодаря, с одной стороны, его общению и взаимодействию с другими людьми, а с другой - своему стремлению к обособлению. Отражая специфически человеческую потребность в «другом», общение представляет собой особый вид деятельности, в процессе которой возникают представление и понятие о другом человеке. Взаимодействие и обособление обеспечивают социализацию и развитие личности.

Наилучшие условия для этого создает учебный коллектив как специфическая форма социальной организации, основанная на общности интересов и отношениях доверия, сотрудничества, взаимной помощи. В коллективе личность развивается и проявляет себя благодаря действию механизмов персонализации, отраженной субъектности, каждый из которых оказывается задействованным в процессе группового обучения.

Коллектив воспроизводит существенные характеристики и особенности, присущие социальной системе, и на их основе формирует содержание индивидуального сознания. В этой связи в учебном коллективе усваиваются нормы общения, поведения, деятельности, формируются умения и навыки совместной деятельности. Коллектив дает возможность каждому учащемуся репрезентировать себя в значимых для него отношениях, изменять свой статус в среде сверстников, проявлять эмоциональную идентификацию и ценностно-ориентационное единство. Индивидуальность имеет тенденцию усиливать себя за счет взаимодействия с другими людьми.

Традиционное обучение является групповым, так как оно организуется для учебных групп до 30-40 человек и даже целых «потоков» - курса, факультета (до 100-300 человек). Последнее обусловлено экономией средств, затрачиваемых на образование, но дидактически это не оправданно.

Групповое обучение, отражая общность интересов обучаемых, создает условия для диалога, обеспечивает совместный поиск наиболее продуктивных способов решения задач, создает условия для проявления взаимопомощи, повышает чувство ответственно ста, социальную и личностную значимость. Групповая форма обучения, побуждая и формируя коллективизм, является приоритетной в образовательных учреждениях.

Кроме того, в коллективной учебной деятельности создаются условия для персонализации хорошо успевающих учеников, статус которых бывает не очень высоким из-за других причин (физические недостатки, которые являются особенно аффектирующими для подростков и старших школьников; заниженная самооценка, вызванная неприятием себя, своей внешности, своих психических или личностных параметров).

Не меньшее значение имеет возможность получить в процессе группового общения опыт оценки и взаимооценки, необходимой для структурирования и обобщения личного опыта, который в значительной мере складывается в ситуациях успешной и неуспешной учебной деятельности. Впоследствии личный опыт становится главным источником развития рефлексии или рефлексирующего самосознания, лежащего в основе личностных новообразований на всех этапах онтогенеза.

Обучение, однако, не может быть успешным, если игнорируются индивидуальные особенности обучаемых, трудности, испытываемые каждым, различия в темпе и степени усвоения материала и др. Это означает, что наряду с групповыми формами обучения следует применять и индивидуальное обучение. При этом важно достигать оптимального сочетания коллективной и индивидуальной работы обучаемых. Новации предшествующих десятилетий были связаны с поисками путей индивидуализации обучения: разработка идей программированного обучения, его компьютеризация и увеличение времени на самостоятельную работу. Формами индивидуализации обучения являются индивидуализированные творческие учебные задания, индивидуальные консультации и собеседования, самостоятельная учебная работа, оказание индивидуальной помощи обучаемым и др.

 Принцип соответствия обучения возрастным и индивидуальным особенностям обучаемых предполагает реализацию возрастных и индивидуальных подходов. Согласно этому принципу, содержание, формы и методы организации учебной деятельности зависят от возраста обучаемых. Уровень познавательных возможностей и личностного развития определяет организацию учебной деятельности младших школьников, предоставление самостоятельности и инициативы подросткам и старшим школьникам. Также должны учитываться индивидуальные характеристики темперамента, характера, способностей, воли обучаемых.

Возрастной подход предусматривает знание уровней актуального психического и личностного развития, воспитанности и социальной зрелости обучаемых. Эффективность учебной деятельности снижается, если предъявляемые требования и организационные структуры обучения отстают от возрастных возможностей учащихся или, наоборот, опережают их.

Современное образование по-прежнему не учитывает особенностей пола ученика. Между тем пол обучаемого своеобразно трансформирует образовательные задачи, влияет на деятельностные и личностные ориентации, интересы, предпочтения, оценки. Знание специфики развития мальчиков и девочек в тех или иных возрастах позволило бы построить обучение в соответствии с их психофизиологическими особенностями, избавило бы от усредненных способов воздействия, что в конечном итоге способствовало бы формированию эталонов женственности и мужественности уже в школьном возрасте.

 Принцип сознательности и творческой активности обучаемых утверждает их субъектность в учебном процессе. Активность личности является интегрированным показателем ее направленности и деятельной сущности. Активность обучаемых может иметь репродуктивный или творческий характер. В первом случае она направлена на упоминание и воспроизведение изучаемого материала следование побуждающим указаниям учителя (преподавателя), выполнение учебных заданий по образцам и алгоритмам.

Обучение опирающееся на репродуктивные процессы, оставляет невостребованным личностный потенциал обучаемых, их творческое отношение к учебной деятельности, личную инициативу, самостоятельность мышления.. Творческий же педагог допускает их вариативные решения, не требует жесткого следования своему темпу, оставляет время для мысленного экспериментирования и апробации различных способов решения одних и тех же задач, поощряет самостоятельность и дивергентность мышления, делает контролирующую функцию прерогативой ученика, передавая ему ответственность за совершаемые действия и результаты деятельности. Учитель своими стратегиями обучения как бы «обрекает» ученика на творчество, «заставляет» осознавать ход и результаты учения, намечать этапы выполнения учебных заданий.

Данный принцип требует развития у обучаемых аргументированности и доказательности суждений, выводов, оценок, способов решения, конструктивного поведения, так как недостаточная их осмысленность может сделать процесс обучения неуправляемым. В случаях затруднений осмысления педагог должен дать аргументированные разъяснения, провести повторную отработку действий, показать вариативные способы и приемы решения учебных задач.

Реализация принципа сознательности и творческой активности обучаемых предполагает развитие их инициативы и самодеятельности. Педагог должен поддерживать желание учащихся выполнять учебные задания по-своему, поощрять их к тому, чтобы они занимали в актах учебного взаимодействия активную позицию. Этому способствует применение различных форм самоуправления в учебном процессе. Обучаемые должны овладеть умениями принимать самостоятельные решения, делать целесообразные выборы и прогнозировать свое продвижение в обучении. Для этого педагогу необходимо иметь представление о возможных формах самоуправления в учебном процессе, он должен уметь изменять стиль взаимодействия с обучаемыми, расширяя его демократические формы в связи с развитием самостоятельности как личностного качества.

 Принцип доступности обучения при достаточном уровне его трудности требует учета в его организации реальных возможностей обучаемых, отказа от интеллектуальных и эмоциональных перегрузок, отрицательно сказывающихся на физическом и психическом здоровье. Реализация этого принципа связана и с учетом уровня развития познавательной сферы обучаемых.

Однако обучение не должно быть излишне легким. В нем должна быть соблюдена мера психической напряженности и неопределенности, необходимая для поддержания у учащихся интеллектуального и энергетического тонуса, а также активности поисковых действий, связанных с преодолением учебных трудностей.

Возникающие субъективные трудности обучения не должны быть результатом недостаточного профессионализма педагога или его неорганизованности. Опытный педагог заботится о подборе и постепенном усложнении учебных задач, понимая, что обучаемый может легко разувериться в своих способностях и возможностях и отказаться от выполнения кажущихся ему сверх трудных заданий. Это требует не приблизительного, а точного знания возрастных и индивидуальных особенностей учащихся, имеющегося у них опыта решения задач определенного типа.

Приходится считаться и с тем, что возможности обучаемых могут не только возрастать в процессе обучения, но и временно снижаться из-за усталости, развивающейся обычно к концу полугодия. Порой это усугубляется за счет ошибок в планировании учебного процесса. Практика показывает, что в отдельные недели происходит суммирование учебных трудностей, каждая из которых в отдельности успешно преодолевается, а вместе взятые они вызывают стрессовую ситуацию.

Принцип доступности обучения требует осмысления проблемы трудности и объема учебного материала, подлежащего усвоению. Трудность определяется степенью предсказуемости или непредсказуемости последующего элемента, а объем - количеством относительно самостоятельных элементов. Вот почему реализация доступности обучения во многом зависит от уровня методической подготовленности педагога, от его умения обоснованно построить изучение основных понятий и категорий.

При предъявлении недоступного для усвоения учебного материала снижается мотивация учения, ослабевает произвольность психических процессов, падает работоспособность, быстрее наступает утомление. Однако чрезмерное упрощение материала тоже снижает интерес к учению, не способствует формированию ответственного отношения к нему, не содействует развитию личности. Обучение, оставаясь доступным, должно вызывать интеллектуальные, нравственные и физические усилия.

Традиционная дидактика в целях обеспечения доступности при изложении учебного материала и организации учебной деятельности рекомендует идти от простого к сложному, от конкретного к абстрактному, от известного к неизвестному, от фактов к обобщениям и т.п. Однако этот же принцип, но в другой дидактической системе реализуется не с простого, а с общего, не с близкого, а с главного, не с элементов, а со структуры, не с частей, а с целого.

 Одним из важнейших положений, лежащих в основе организации процесса обучения, является принцип наглядности. Я.А.Коменский отмечал, что «если мы намерены насаждать в учащихся истинные и достоверные знания, то мы вообще должны стремиться обучать всему при помощи личного наблюдения и чувственной наглядности». «Все, что только можно представлять для восприятия чувствами, а именно: видимое - для восприятия зрением, слышимое - слухом, запахи - обонянием, подлежащее вкусу - вкусом, доступное осязанию - путем осязания. Если какие-то предметы сразу можно воспринимать несколькими чувствами, пусть они сразу охватываются несколькими чувствами...»(Коменский Я.А. Избранные педагогические сочинения. М.)

Исследования показывают, что сопровождение рассказа иллюстрацией того, что изучается, значительно повышает уровень усвоения. Так, эффективность слухового восприятия информации составляет 15%, зрительного - 25%, а их одновременное включение в процесс обучения повышает эффективность восприятия до 65%.

Наглядность в обучении обеспечивается применением разнообразных иллюстраций, демонстраций, лабораторно-практических работ, использованием ярких примеров и жизненных фактов. Особое место в осуществлении принципа наглядности отводится применению наглядных пособий, слайдов, карт, схем и т.п. Наглядность может использоваться на всех этапах процесса обучения. Ее роль тем выше, чем менее знакомы обучаемые с изучаемыми явлениями и процессами. По мере возрастания сложности и абстрактности материала обращаются к разным видам наглядности: естественной (предметы объективной реальности и действия с ними), экспериментальной (опыты, эксперименты), объемной (макеты, фигуры и т.п.), изобразительной (картины, фотографии, рисунки), звукаизобразительной (кинофильмы, телепрограммы), звуковой (магнитофонные записи), символической и графической (карты, графики, схемы, формулы), словесной (образные словесные описания событий, фактов, действий). В использовании наглядности важно чувство меры..

Реализация принципа наглядности во многом зависит от качества дидактических материалов и технических средств, владения учителем (преподавателем) навыками их использования, от созданных в образовательных учреждениях условий для изготовления пособий, схем, слайдов, фотографий, демонстраций кино- и видеофильмов, использования телевидения и других средств.

Организационно-методическим принципом является и принцип продуктивности и надежности обучения. Он исходит из достаточно очевидного положения о том, что если обучение не приводит к достижению целей образования, то в нем нет педагогической необходимости. Вот почему обучение должно быть, прежде всего, продуктивным, иметь образовательный, развивающий и воспитательный эффект. В свою очередь это обязывает каждого учителя (преподавателя) заботиться о надежности обучения, т.е. о прочности, основательности и гарантированности достижений обучаемых.

Прочность обучения связана с созданием условий для надежного сохранения в памяти обучаемых необходимых для будущей деятельности знаний, овладения способами выполнения действий. Однако поскольку человеческая память не в состоянии удержать всю информацию, то педагог должен выделить, что учащимся следует запомнить прочно, а с чем достаточно только ознакомиться. Не требует прочного усвоения вспомогательный материал, используемый для решения более общих задач обучения. Не следует перегружать память конкретными датами, имеющими ситуативное значение. Важнейшие принципиальные положения, обеспечивающие самостоятельную ориентировку обучаемых, должны быть усвоены прочно.

Требование основательности обучения является в дидактике традиционным. Главный признак основательности - это сознательное и прочное усвоение фундаментальных идей, положений, понятий, категорий, понимание сущности изучаемых предметов, связей и отношений внутри них и между ними. 

 Требование гарантированности достижения целей обучения обязывает учителей (преподавателей) принимать необходимые меры, чтобы поставленные задачи были решены, несмотря на объективные и субъективные трудности.

Продуктивность и надежность обучения выражаются также в соблюдении всех выше рассмотренных принципов и требований. Нарушением этого принципа является проведение методических инноваций, не имеющих психолого-педагогического обоснования. Инновационная деятельность педагога должна базироваться на научных положениях, осуществляться первоначально локально и лишь при получении позитивного результата внедряться в массовую образовательную практику.

Принцип продуктивности и надежности обучения обязывает учителя (преподавателя) осуществлять выбор форм и методов обучения в соответствии с его целями, совершенствовать их в интересах гарантированного достижения целей.

Рассмотренные принципы в реальном процессе обучения выступают во взаимодействии друг с другом и функционируют как целостная система. Поэтому любой из принципов приобретает свое действительное значение лишь в связи с другими. Они проявляются одновременно на каждом этапе учебного процесса. Принципы обучения дополняют и усиливают друг друга: сознательность - основа активности; последовательность приводит к доступности, а доступность способствует сознательности и прочности и т.д. Только совокупное действие принципов обучения обеспечивает правильное определение его задач, отбор содержания, выбор форм, методов и средств деятельности как педагогов, так и обучаемых. Преувеличение роли одних принципов в обучении и недооценка других приводят к снижению его эффективности.

Глава 2. Математическое моделирование – один из основных методов решения текстовых задач в основной школе.

§ 1. ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МОДЕЛИ.

Для решения многих научных и практических задач широко используется метод моделирования. Реальные объекты или процессы иногда бывают настолько сложны и многогранны, что их изучение невозможно без построения и исследования модели, отображающей лишь какую-то сторону этого процесса или объекта и потому более простую, чем эта реальность. Например, в медицине многие лекарственные препараты, разрабатываемые для лечения людей, первоначально испытывают на животных, которые в этом случае и выступают в качестве модели человека.

Под моделью (от лат. тodе1u мера) понимают мысленно представимую или материально реализованную систему, которая, отражая и воспроизводя объект исследования, способна замещать его при определенных условиях так, что изучение ее дает новую информацию об этом объекте.

Модель в самом широком смысле — это любой мысленный или знаковый образ моделируемого объекта (оригинала). В качестве модели могут выступать изображения, описания, схемы, чертежи, графики, уравнения, планы, карты, копии оригинала (уменьшенные или увеличенные), компьютерные программы и т . п. При этом следует помнить, что модель всегда является отображением оригинала, она в каком-либо отношении должна быть не только удобна для изучения свойств исследуемого объекта, но и позволяла бы перенести полученные при ее изучен знания на исходный объект.

Обычно модель строится с таким расчетом, чтобы охватить только те свойства оригинала, которые существенны в данной ситуации и требуют изучения.

Моделирование — это процесс построения моделей, а так изучения на них соответствующих явлений, процессов, систем объектов (оригиналов). Он заключается в том, что для исследования какого-либо явления или объекта выбирается или строится другой объект (модель), в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект. Моделирование применяется в тех случаях, когда по каким-либо причинам затруднительно или невозможно изучить оригинал в естественных условиях, когда необходимо облегчить процесс следования того или иного объекта. Модель всегда обладает только некоторыми, существенными в данных условиях, свойства моделируемого объекта.

Моделирование является одним из основных методов любой науки. Когда ученые, изучая какое-либо реальное явление, создают его модель, то дальнейшее изучение явления производится на созданной модели. Исследовав модель, изучив ее свойства и закономерности, их проверяют на практике. Обычно модель определяется как некоторый объект, исследование которого служит средством для получения знаний о другом объекте (оригинале). Разные люди с одной и той же целью, для одного и того объекта могут построить совершенно разные модели.

 Чтобы модель была пригодной для этих целей, она должна удовлетворять соответствующим признакам. В большинстве случаев модель обладает не одним признаком, а несколькими, и, следовательно, пригодна и для других целей. Говоря о том, что уравнение это знаковая модель задачи, очевидно, необходимо указать, какие еще существуют виды моделей.

Можно также отметить такую важную закономерность: создание материальных и идеальных (образных и знаково-символических) моделей производится на основе предварительного создания мысленных моделей - наглядных образов моделируемых объектов.

 То есть субъект, разрабатывая модель того или иного объекта, сначала создает у себя мысленный, наглядный образ этого объекта - его мысленную модель, а затем уже на ее основе строит материальную или образную, знаково-символическую модель. Понимание, усвоение, осознание готовой модели происходит в обратном порядке, а именно: сначала чувственно воспринимают модель (материальную, образную или знаково-символическую) а затем строят соответствующую ей мысленную модель - наглядный образ моделируемого объекта. Модель не просто дает возможность создать наглядный образ моделируемого объекта, а создает образ его наиболее существенных свойств, все остальные, несущественные в данном случае свойства, отбрасываются. Таким образом, создается обобщенный наглядный образ моделируемого объекта.

В моделировании можно выделить следующие этапы:

1. выявление в ситуации или явлении существенных факторов и отбрасывание несущественных;

2. построение схемы взаимосвязи существенных факторов;

3. получение из построенной схемы необходимых выводов.

Для реализации описанного содержания процесса моделирования необходимо:

1. знать некоторые объекты, отношения и факты некоторой области деятельности;

2. уметь выделять основное и отбрасывать несущественное;

3. создавать на полученной основе схему ситуации;

4. выбрать язык, на котором она будет рассматриваться;

5. получить из схемы выводы, т.е. решить задачу на выбранном языке

 

Использование моделирования в обучении.

 Л.М.Фридман дает следующее определение модели в широком смысле

Моделью некоторого объекта А (оригинала) называется объект В, в каком-то отношении подобный (аналогичный) оригиналу А, выбранный или построенный субъектом по крайней мере для одной из следующих целей :

1) замена объекта А в некотором мысленном (воображаемом) или реальном действии (процессе), так как объект В более удобен для этого действия в данных условиях (модель заместитель). 

2) создание представления об объекте А (реально существующем или воображаемого) с помощью объекта В (модель-представление).

 3) истолкование (интерпретация) объекта А в виде объекта В (модель интерпретация).

4) Исследование объекта А с помощью объекта В, посредством изучения объекта В (исследовательская модель).

Использование моделирования в обучении имеет два аспекта.

1. Моделирование служит тем содержанием, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения, тем методом познания, которым они должны овладеть.

2. Моделирование является тем учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение.

Рассмотрим более подробно оба этих аспекта использования моделирования в обучении.

Метод моделирования в содержании обучения.

Содержание учебных предметов обычно определяют как особую педагогическую проекцию основ соответствующих наук. Изучить основы какой-либо науки - значит не только узнать и запомнить некоторые ее факты и закономерности, но и овладеть ее идеями и методами. В последнее время высказывается вполне обоснованное мнение, что овладение идеями науки, ее методами даже важнее для общего образования в нынешних условиях, чем усвоение фактов закономерностей, хотя, конечно, одно без другого невозможно. Одним из основных методов любой науки, как было уже сказано, является моделирование. "Наука только и может иметь дело с моделями, с приближенным описанием действительности, отражающим те или иные стороны реальности. Математическая модель - это специальный способ описания, позволяющий для анализа использовать формально-логический аппарат математики. Изучение математических моделей - это основной метод познания, используемый в естественных науках" (Н.Н.Моисеев "Математические модели экономической науки" М.1973г.).

 Возьмем, к примеру, математику. Все математические понятия, такие, как число, функция, уравнение, геометрическая фигура и др. представляют собой особые модели количественных отношений и пространственных форм окружающей действительности.

 Эти модели математика сконструировала в процессе своего многовекового развития. Но и в настоящее время продолжается конструирование различных математических моделей, и любое творчество в области математики связано с созданием новых моделей. Для изучения этих моделей в математике разработаны многочисленные методы, такие, как методы решения уравнений, исследования функций, измерения и вычисление длин, площадей и объемов геометрических фигур и тел и т.д. Наконец, в математике разработаны и особы методики для использования в практике результатов исследования математических моделей. Примером такой методики являются приемы решения практических задач с помощью уравнений.

Аналогичную картину можно видеть и в других науках.

 Отсюда понятно, что основы науки, которые составляют содержание соответствующего учебного предмета, содержат и систему научных моделей, и аппарат для исследования этих моделей, и методики использования в практике результатов исследования моделей.

 Однако, обнаруживается такой парадокс: то, что они имеют дело с моделями, изучают модели, учащиеся, как правило, не знают. Да и откуда им это знать, если в программах и учебниках эти понятия почти отсутствуют? (За исключением учебников А.Г.Мордковича "Алгебра 7" и "Математика 5" Г.В.Дорофеева и Л.Г. Петерсон.) Учащиеся с удивлением узнают, что привычные для них понятия, уравнения, числа, фигуры являются научными моделями, что, решая задачи, они моделируют.

 Несколько лет назад было проведено массовое обследование школьников с целью установить их представления о моделировании и моделях. В ответ на вопрос "Что такое модель и моделирование?" подавляющее большинство учащихся, не дав четкого определения, указали лишь на модели геометрических тел; моделирование они определяли как процесс построения таких моделей. Отвечая на вопрос "Где и для чего используется моделирование?, учащиеся опять-таки ссылались на те же модели геометрических тел. На вопрос "Какова роль моделирования в науке?" дети либо вовсе не смогли дать ответа, либо ограничивались указанием на роль моделей как наглядных образов.

Как видим, представления школьников о модели и моделировании весьма неясные и ограниченные. Естественно возникает вопрос: а нужно ли давать им более ясные и правильные представления о моделировании и моделях? Нужно ли включать эти понятия в содержание обучения? Может быть достаточно того, что школьники изучают сами модели, усваивают их сущность?

С таким мнением, широко распространенным в педагогической среде, трудно согласиться.

Во-первых, поскольку важнейшей задачей среднего образования является формирование у учащихся научного, диалектико-материалистического мировоззрения, то совсем не безразлично, как они воспринимают изучаемые научные понятия. Одно дело, когда они ясно и отчетливо понимают, что все научные понятия отражают определенные явления, процессы и отношения объективной действительности, являются моделями этих явлений. В этом случае у школьников формируется правильный взгляд на изучаемые понятия, у них воспитывается подлинно научное представление о процессе познания. И совсем другое дело, когда они этого не знают, когда изучаемые понятия воспринимаются ими как нечто такое, что надо лишь выучить и запомнить. Нередко можно встретить детей, которые математику воспринимают как игру в символы и не представляют, что на самом деле изучает эта наука, (такой отрыв заученных знаний от их подлинного содержания, как известно, носит название формализма знаний)

 Во-вторых, как показывают экспериментальные исследования, явное введение в содержание образования понятий модели и моделирования, выяснение их сущности и роли в научном познании существенно меняет отношение школьников к учебному предмету, к учению вообще, делает их учебную деятельность более осмысленной и продуктивной.

В течение ряда лет апробировалась система обучения решению задач (текстовых, сюжетных), в основе которой лежало широкое использование моделирования. В этой системе сами задачи рассматривались как особые знаковые модели реальных ситуаций (задачных ситуаций), а процесс их решения - как построение цепи моделей (вспомогательной, обобщенной предметной, логической математической и др.). При этом много времени было уделено обучению построения таких моделей, для чего была разработана система особых заданий, Исследователи добивались, чтобы у учащихся был сформирован общий подход к любым задачам, чтобы они овладели общим способом их решения.

В другом исследовании проверялась возможность и целесообразность изложения курса геометрии с точки зрения моделей. Результаты показали, что такой подход создает благоприятные условия для развития у учащихся основ теоретического мышления, внутренней мотивации учения.

Эти теоретические и экспериментальные исследования, как и некоторые другие, позволяют утверждать, что назрела необходимость явного включения моделирования в содержание учебных предметов, необходимость овладения моделированием как методом научного познания и решения практических задач.

§ 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

 Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и др. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом — строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.

Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод — построив разные алгоритмы. Ясно, что и в этих случаях мы также имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые (с целью избежать разночтения и неоднозначность трактовки термина «метод решения») будем называть способами решения.

 Иногда для краткости изложения вместо того чтобы говорить, что задача решена определенным способом в рамках, например, арифметического метода, будем говорить, что «задача решена арифметическим способом» или «задача решена арифметическим методом», а то и просто — «задача решена арифметически».

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом — значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей.

Пример 2.1. Поют в хоре и занимаются танцами 82 студента, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 студента, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый студент занимается только чем-то одним?

Решение.

1-й способ.

1) 82 + 32 + 78 = 192 (чел.) — удвоенное число студентов, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2) 192 : 2 = 96 (чел.) — поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;

3) 96 – 32 = 64 (чел.) — поют в хоре;

4) 96 - 78 = 18 (чел.) — занимаются танцами;

5) 96 - 82 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой.

2-й способ.

1) 82 - 32 = 50 (чел.) — на столько больше студентов поют в хоре, чем занимаются художественной гимнастикой;

2) 50 + 78 = 128 (чел.) — удвоенное число студентов, поющих в хоре;

3) 128 : 2 = 64 (чел.) — поют в хоре;

4) 78 - 64 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой;

5) 82 - 64 18 (чел.) — занимаются танцами.

О т в е т: 64 студента поют в хоре, 14 студентов занимаются художественной гимнастикой, 18 студентов занимаются танцами.

Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.

Пример 2.2. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справится с заданием за два дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?

Решение.

1-й способ. Пусть х д./день — первоначальная производительность рабочего. Тогда (х + 10) д./день — новая производительность, 3х - д. — число деталей, которые он должен сделать. По условию получаем уравнение 3х = 2(х + 10), решив которое найдем х = 20. Первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.

2-й способ. Пусть х д. — число деталей, которые должен сделать рабочий. Тогда х!2 д./день — новая производительность, (х/2 -10) д./день — первоначальная производительность рабочего. По условию получаем уравнение х = 3(х/2 - 10), решив которое найдем х = 60. Рабочий должен сделать 60 деталей, его первоначальная производительность 20 деталей в день.

Ответ: 20 деталей в день; 60 деталей.

Аналитико-Геометрический метод. Решить задачу аналитико-геометрическим методом — значит найти ответ на требование задачи, используя как алгебраические выражения, уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств так и геометрические построения или свойства геометрических фигур. Одну и ту же задачу можно также решить различными геометрическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения используются различные построения или свойства фигур.

Пример 2.3. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна 20 км/ч, второго — 30 км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?

Решение.

1-й способ. Математическую модель задачи представим в виде диаграммы. Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали — за 1 ч. Отложим на вертикальной прямой отрезок АВ равный 250 км. Он будет изображать расстояние между городами. Для удобства проведем еще одну ось времени через точку 6. Затем на вертикальных прямых станем откладывать отрезки пути, пройденные каждым туристом за 1 ч, 2ч, 3ч. и т. д.(рис 1. а). Из чертежа видим, что через 5 ч они встретятся.

2-й способ. В прямоугольной системе координат по горизонтали отложим время движения (в часах), по вертикали — расстояние (в километрах).

Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали — за 1 ч. Построим графики, характеризующие движение каждого туриста. Движение первого туриста определяется функцией у = 20х, второго — у = 250 – 30х. Абсцисса точки их пересечения (точки О) указывает, через сколько часов туристы встретятся. (рис 1.б) . Из чертежа видно, что ее значение равно 5. Ордината указывает, на каком расстоянии от пункта А произойдет встреча. Ее значение равно 100.

3-й способ. Пусть время движения туристов до встречи изображается отрезком ОТ, а скорость сближения—отрезком 0S. (рис 1. в). Тогда площадь S прямоугольника 0S0Т (она равна 0S · ОТ) соответствует расстоянию между городами А и В (пройденный путь есть произведение скорости движения на время движения). Учитывая, что туристы сближаются каждый час на 20 + 30 = 50 (км), расстояние между городами равно 250 км, имеем уравнение 250 = 50 · ОТ, решив которое находим ОТ = 5 (ч). Итак, туристы встретятся через 5 ч.

Ответ: через 5 ч.

а б в

Рис.1.

Практический метод. Решить задачу практическим методом — значит найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т.п.).

Пример 2.4. Некто истратил 30 р. своих денег, после чего удвоил оставшиеся деньги. Затем он истратил 60 р., после чего опять удвоил оставшиеся деньги. Когда он еще истратил 90 р., у него осталось 70 р. Сколько денег было вначале?

Решение. Чтобы определить, сколько денег было первоначально, возьмем оставшееся количество денег и выполним обратные операции в обратном порядке. Берем оставшиеся 70 р., добавляем к ним истраченные 90 р. (160 р.), затем делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как второй раз удвоили оставшиеся деньги (80 р.). После этого добавляем 60 р. и находим, сколько денег было до того, как истратили 60 р. (140 р.). Делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как первый раз удвоили оставшиеся деньги (70 р.), прибавляем истраченные в первый раз 30 р. и находим первоначальное количество денег (100р).

Ответ: первоначально было 100 р.

 Иногда в ходе решения задачи применяются несколько методов: алгебраический и арифметический; геометрический, алгебраический и арифметический; арифметический и практический и т. п. В этом случае считают, что задача решается комбинированным (смешанным) методом.

Пример 2.5. Четыре товарища купили телевизор. Первый внес половину суммы, вносимой остальными, второй — треть того, что внесли все его товарищи, третий — четверть того, что все его товарищи, четвертый — оставшиеся 650 р. Сколько было уплачено за телевизор?

Решение. Пусть первый товарищ внес х р., второй — у р., третий — z р. Тогда, решая задачу чисто алгебраическим методом, по условию задачи получим достаточно громоздкую систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Комбинированный метод позволяет получить ответ на требование задачи более простым путем.

Решение начнем алгебраическим методом.

Пусть первый товарищ внес х р., тогда все остальные внесли 2х р. Отсюда находим стоимость телевизора: х + 2х =3х (р.). Значит, первый внес 1/3 стоимости телевизора.

Пусть второй товарищ внес у р., тогда все остальные внесли 3у р. Отсюда находим стоимость телевизора: у + Зу =4у (р.). Значит, второй внес 1/4 стоимости телевизора.

Пусть третий товарищ внес z. р., тогда все остальные внесли 4z р. Отсюда находим стоимость телевизора: z + 4z = 5z (р.). Значит, третий внес 1/5 стоимости телевизора.

Продолжим решение арифметическим методом.

Первый, второй и третий внесли 1/3 + 1/4 + 1/5 = 47/60 стоимости телевизора. Значит, четвертый внес остальные 1 - 47/60 = 13/60 стоимости. По условию это составляет 650 р. Следовательно, телевизор стоит 650 · 60/13 =3000 р.

Ответ: 3000 р.

§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ.

 Проблеме классификации задач посвящено немало научных исследований. Почему вопрос о классификации задач так важен в процессе обучения математике? Постараемся ответить на этот вопрос. 1) Рассматривая задачи на равномерное движение двух тел по одной прямой, учитель в соответствии со стратегией и тактикой курса, в соответствии с уровнем школьников может по - разному организовать процесс обучения их решению. Он может из урока в урок предлагать школьникам такие задачи, не проводя при этом анализа задачной ситуации, решения задачи. В результате учитель потеряет много времени, добившись при этом незначительных успехов. Мало того, он в каждый момент не знает, смогут ли его подопечные справиться с определенной задачей того же вида или нет. Зная классификацию рассматриваемых задач, учитель целенаправленно организует процесс обучения их решению, предлагая школьникам сначала анализировать задачную ситуацию по определенной схеме, выделяя тем самым основные существенные различия между задачами, т.е. ориентируя учеников на известные ему классы задач и постепенно подводя учеников к общим приемам решения задач всех четырех классов задач на движение рассматриваемого вида :

1 - задачи на движение в противоположных направлениях:

1.1.-навстречу друг другу,

1.2. - на удаление друг от друга;

2 - задачи на движение в одном направлении:

2.1. - вдогонку,

2.2. - на отставание.

При наличии хорошо подготовленного класса учитель может провести анализ всех возможных заданных ситуаций в общем виде, выделить с ребятами возможные классы задач и найти для каждого класса общий способ решения. В дальнейшей работе над конкретной задачей ученики определяют тип задачи (ее принадлежность определенному классу) и, пользуясь общим приемом решения, дают решение предложенной задачи. Как видим, при втором и третьем вариантах организации процесса обучения реализуются все ведущие функции задач. Кроме этого учитель получает серьезный выигрыш по времени.

 Анализируя различные источники, можно сделать вывод о многочисленных попытках классификации школьных задач. Так многие годы в методике преподавания математики была распространена классификация, основу которой составлял характер требования задачи : 1) задачи на построение; 2) задачи на доказательство; 3) задачи на вычисление.

В зависимости от целей классификации выбирают основание для ее проведения и на его основе получают те или иные группы текстовых задач, которые объединяет либо метод решения, либо количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, либо схожий сюжет и т.п. В зависимости от выбранного основания задачи можно классифицировать (т.е. разделить на группы по выбранному основанию) :

- по числу действий, которые необходимо выполнить для решения задачи;

- по соответствию числа данных и искомых;

- по фабуле задачи;

- по способам решения и др.

Положив в основание классификации число действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, выделяют простые и составные задачи. Задачу, для решения которой достаточно выполнить только одно арифметическое действие, называют простой. Задачу, для решения которой нужно выполнить два или большее число действий, называют составной.

Пример 3.1. Саше 7 лет, он на 3 года старше Тани. Сколько лет Тане?

Данная задача является простой.

Пример 3.2. Будем считать, что айсберг представляет собой прямоугольный параллелепипед. Известно, что его высота над водой равна 36 м , что составляет 1/6 часть всей его высоты. Ширина айсберга в 125 раз больше его высоты, но в 3 раза меньше его длины. Определите объем айсберга.

Данная задача является составной.

Выбрав в качестве основания классификации соответствие числа данных и искомых задачи, выделяют задачи определенные, задачи с альтернативным условием, неопределенные и переопределенные задачи. Чаще всего в задачах число условий (зависимостей между величинами) соответствует числу данных и искомых. Но встречаются задачи, в которых этого соответствия нет.

Определенные задачиэто задачи, в которых условий столько, сколько необходимо и достаточно для получения ответа.

Пример 3.3. Два переплетчика должны переплести 384 книги. Один из них переплетает по пять книг в день , и уже переплел 160 книг. Сколько книг в день должен переплетать другой переплетчик, чтобы закончить работу в один день с первым?

В данной задаче число условий соответствует числу данных и искомых. Поэтому она имеет решение и является определенной.

Задачи с альтернативным условиемэто задачи, в ходе решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все эти возможности будут исследованы.

Пример 3.4. От одной пристани по реке одновременно отправляются два катера. Один движется со скоростью 17 км/ч, а второй — со скоростью 19 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 2 ч, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

В задаче не сказано, в одном ли направлении отправляются катера. Если считать, что они отправились в одном направлении, получим один ответ, если в противоположных направлениях — другой.

Неопределенные задачизадачи, в которых условий недостаточно для получения ответа.

Пример3.5. На складе было 392 банки вишневого, малинового и клубничного варенья. Банок с вишневым вареньем было в 3 раза больше, чем малинового. Сколько весит вишневое варенье, если в каждой банке его 100 г?

В задаче недостаточное число данных (в ней нет данных о количестве банок с клубничным вареньем). Для того чтобы ее решить, необходимо дополнить условие.

 Переопределенные задачизадачи, имеющие условия, которые не используются при их решении выбранным способом. Такие условия называют лишними. Следует иметь в виду, что при решении задачи другим способом лишними могут оказаться уже другие условия. Если в переопределенной задаче лишние условия не противоречат остальным условиям, то она имеет решение.

Пример 3.6. В одной печи можно обжечь 39000 кирпичей за шесть дней, а в другой столько же кирпичей можно обжечь за пять дней. За сколько дней можно обжечь 143 000 кирпичей, используя обе печи одновременно, если в первой печи за один день обжигают на 1 300 кирпичей меньше, чем во второй?

Задача имеет одно решение: используя обе печи одновременно, можно обжечь 143 000 кирпичей за 10 дней. Здесь условия «в одной печи можно обжечь 39 000 кирпичей за шесть дней, а в другой столько же кирпичей можно обжечь за пять дней» и «в первой печи за один день обжигают на 1 300 кирпичей меньше, чем во второй» не противоречат друг другу.

Иногда лишние условия задачи противоречивы.

Пример 3.7. Из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч. Спустя 3 ч из пункта 6 ему навстречу вышел другой поезд, скорость которого на 10 км/ч больше, чем у первого. Расстояние между пунктами 570 км. Сколько часов до встречи был в пути второй поезд, если его скорость в 1,5 раза больше скорости первого поезда?

В задаче одно условие лишнее. Причем условия «скорость второго поезда на 10 км/ч больше, чем у первого» и «скорость второго поезда в 1,5 раза больше скорости первого поезда» противоречат друг другу. Эта задача может иметь решение, если исключить одно из условий. Если исключить кратное отношение, то получим ответ: второй поезд был в пути 3 ч. Если же исключить разностное отношение, то получим другой ответ: второй поезд был в пути 2,6 ч.

Иногда лишние условия при решении задачи не используются и не влияют на ответ.

Пример 3.8. На речном вокзале за три дня было продано 42 билета второго и третьего классов. Билетов второго класса было продано в 2 раза меньше, чем третьего. Сколько денег получил кассир за все проданные билеты, если билет второго класса стоил 120 р., а третьего — на 30 р. дешевле?

В задаче имеется лишнее условие (три дня).

 В курсе математики неопределенные задачи называют задачами с недостающими данными, а переопределенные — задачами с избыточными данными.

Положив в основание классификации фабулу задачи, чаще всего выделяют такие группы задач: «на движение», «на работу», «на смеси и сплавы», «на смешение и концентрацию», «на проценты», «на части», «на время», «на покупку и продажу» и т.п. Классифицировать задачи, исходя из фабулы условия, очень сложно, так как тематика условий задач бывает порой очень разнообразной.

Множество задач, в которых имеется одинаковая зависимость между величинами, входящими в эти задачи, при возможном различии их числовых данных и фабул образуют определенный вид задач. Задачи одного вида имеют одну и ту же алгебраическую модель.

При решении задач различными методами используют, как правило, «свою» классификацию задач. Так, при алгебраическом методе решения чаще всего в качестве основания классификации в учебниках алгебры выбирают вид математической модели. Однако следует отметить, что такое разбиение задач на группы, строго говоря, не является классификацией, так как существуют задачи, которые могут быть отнесены к нескольким указанным группам. Это относится к задачам, математическая модель которых может быть представлена как в виде системы уравнений, так и в виде квадратного уравнения.

§ 4. ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.

 

Продуктивность деятельности учащихся при решении задачи обуславливается его умением выбора нужных операций, приводящих к получению желаемого результата. Выбор операций обуславливается структурой задачи, а также сформированностью приемов умственной учебной деятельности учащихся .Из этого вытекает необходимость расчленения хода решения задачи на отдельные этапы, каждый из которых является определенной законченной частью решения задачи, дающей возможность осуществить операции следующего этапа.

Л.М Фридман выделяет следующую структуру процесса решения задачи:

1. Анализ задачи.

2. Построение модели задачи.

3. Поиск способа решения.

4. Осуществление решения задачи.

5. Проверка решения задачи.

6. Исследование задачи и ее решения.

7. Формулирование ответа задачи.

8. Учебно-познавательный анализ задачи и ее решения.

Л.М. Фридман также отмечает, что из указных восьми этапов четыре являются обязательными, они имеются (в том или ином виде, явно ил, и неявно) в процессе решения любой задачи. Это этапы анализа задачи, поиска решения, осуществление решения и формулирование ответа. Остальные этапы являются необязательными, и они имеются лишь при решении сложных или каких-то особых задач.

А.Г. Мордкович выделяет три этапа решения текстовых задач:

1. Составление математической модели,

2. Работа с математической моделью,

3.Ответ на вопрос задачи.

В книге Демидова Т.Е., Тонких А.П. «Теория и практика решения текстовых задач» авторы выделяют следующие этапы решения текстовых задач:

1. Анализ содержания задачи.

2. Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения.

3. Осуществление плана решения задачи.

4. Проверка решения задачи.

На основе вышесказанного деятельность по решению задачи включает следующие этапы независимо от выбранного метода решения:

1. Анализ и запись условия задачи.

2. Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения.

а) выявление основания для составления выражения, уравнении, системы уравнений и т.д.

б) составление выражения, уравнении, системы уравнений и т.д.

3. Осуществление плана решения задачи.

4. Проверка решения задачи.

5. Запись ответа.

6. Анализ решения.

Рассмотрим подробнее каждый из указанных этапов.

1. Анализ задачи.

Этот этап включает анализ и запись условия задачи, анализ чертежа если он необходим и построен:

Основное назначение этапа — осмыслить ситуацию, отраженную в задаче; выделить условия и требования назвать данные и искомые, выделить величины и зависимости между ними (явные и неявные). На этом этапе решения задач можно использовать такие приемы:

а) представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче;

б) постановка специальных вопросов и поиск ответов на них;

в) «переформулировка» задачи;

г) моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных или графических моделей и т.д.

Рекомендации :

1.Уясните смысл текста задачи и значение каждого слова. Вспомните или прочитайте определения понятий, вошедших в условие.

2.Установите объект исследования.

3. Выявите процессы, описываемые в задаче. Заметьте, сколько их, сколько раз придется вести наблюдения, сколько раз придется вести записи.

4.Укажите величины, характеризующие каждый процесс, обозначьте их и проставьте единицы измерения. Запишите зависимости между величинами в виде формул.

5. Запишите условие задачи в понятной и доступной вам форме, для чего: выберите одну из неизвестных величин (желательно самую маленькую) и обозначьте ее буквой, составьте для каждого процесса задачи выражения ,включающее данные и неизвестные. Не забудьте о выбранных единицах измерения, упростите все выражения.

Первый прием — представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче, — выполняется фактически при чтении или слушании задачи. Вместе с тем мысленное воспроизведение всех объектов задачи и связей между ними может проводиться позже. Цель такого воспроизведения — выявление основных количественных и качественных характеристик ситуации, представленной в задаче.

Второй прием — постановка специальных вопросов и поиск ответов на них — включает следующий «стандартный» набор вопросов, ответы на которые позволяют детально разобраться в содержании задачи:

1. О чем говорится в задаче?

2. Что известно в задаче?

3. Что требуется найти в задаче?

4. Что в задаче неизвестно? и др.

Пример 4.1. По линии водопровода уложены 23 трубы двух размеров: 470 см и 825 см. Участок, выложенный более короткими трубами, длиннее на 5 630 см. Сколько уложено тех и других труб?

Проведем анализ содержания задачи, используя прием постановки вопросов и поиска ответов на них:

1. О чем говорится в задаче?

В задаче говорится об укладке труб по линии водопровода.

2. Что известно в задаче?

В задаче известно: по линии водопровода уложены 23 трубы; использовались трубы двух размеров; длина короткой трубы —470 см; длина длинной трубы — 825 см; участок, выложенный более короткими трубами, больше на 5 630 см.

3. Что требуется найти в задаче?

В задаче требуется найти, сколько уложено длинных и коротких труб.

Третий прием — переформулеровка текста задачи — состоит в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим описанием, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Вся лишняя, несущественная информация при этом отбрасывается, текст задачи преобразуется в форму, облегчающую поиск пути решения. В ходе переформулировки выделяются основные ситуации, о которых идет речь в задаче, при необходимости строится вспомогательная модель задачи: краткая запись условия, таблица, рисунок, чертеж, диаграмма и т. п.

Моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных моделей или графических моделей является еще одним, четвертым, приемом анализа задачи (о моделировании см. § 6).

Пример 4.2. В первую неделю типография получила с фабрики шесть рулонов бумаги одного сорта и заплатила за них 204 р. Сколько рублей должна заплатить типография за месяц, если она получила 10 таких же рулонов бумаги того же сорта?

Вспомогательная модель задачи представлена в виде таблицы.

Число рулонов (шт.)

Стоимость (р.)

Цена (р.)

6

204

Одинаковая

10

?

Вспомогательные модели являются действенным средством поиска пути решения задачи и составления плана ее решения.

 

2. Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения.

Назначение этапа — завершить установление связей между данными и искомыми величинами и указать последовательность использования этих связей.

Проведя анализ задачи, не всегда просто найти путь ее решения. Поиск пути решения задачи является довольно трудным процессом, для которого нет точного предписания. Укажем некоторые приемы, помогающие осуществлять этот этап:

Одним из приемов поиска пути решения задачи является анализ задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Поиск пути решения задачи можно осуществлять от вопроса задачи к данным (аналитический путь) или от данных к вопросу (синтетический путь).

В первом случае (аналитический путь) на основе анализа задачи необходимо уточнить, что требуется найти в задаче и определить, что достаточно знать для ответа на этот вопрос. Для этого следует выяснить, какие из нужных данных есть в условии задачи. Если они (или одно из них) отсутствуют, надо определить, что нужно знать, чтобы найти недостающие данные (или одно недостающее данное), и т.д., пока для определения очередного неизвестного оба данных будут известны.

Поиск пути решения заканчивается составлением плана решения задачи. Под планом решения будем понимать объяснение того, что узнаем, выполнив то или иное действие, и указание по порядку выполнения арифметических действий.

Пример 4.3. В трех школах 1072 ученика, во второй на 16 учеников больше, чем в третьей, и на 14 учеников меньше, чем в первой. Сколько учеников в каждой школе?

Поиск пути решения. Чтобы определить число учащихся в каждой школе, надо сначала узнать число учащихся в одной из школ и разность между этим числом и числом учащихся других школ.

В условии дана разность числа учащихся второй и третьей школ и разность числа учащихся первой и второй школ. Поэтому в первую очередь удобнее определять число учащихся второй школы; для этого приравняем число учащихся первой и третьей школ к числу учащихся второй школы. Чтобы узнать, сколько было бы учащихся в трех школах, если бы каждой школе было столько, сколько во второй, надо знать настоящее число учащихся трех школ (дано в условии) и на сколько учеников увеличится или уменьшится при предполагаемом изменении числа учащихся первой и третьей школ. Последнее число определим, зная, что число учащихся первой школы надо уменьшить на 14 учеников (чтобы уравнять со второй школой), а число учащихся третьей школы увеличить на 16.

План решения.

1. На сколько учеников увеличилось бы общее число учащихся трех школ если бы в каждой школе число учеников было бы таким же, как во второй ;

2. Сколько учеников было бы в трех школах, если бы число учеников в каждой школе было бы таким же, как во второй школе?

3. Сколько учеников во второй школе?

4. Сколько учеников в первой школе?

5. Сколько учеников в третьей школе?

Во втором случае (синтетический путь) решающий выделяет в тексте задачи два каких-либо данных и на основе связи между ними, установленной при анализе, определяет, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого действия. Затем, считая полученное число данным, решающий опять выделяет два взаимосвязанных данных и определяет, какое неизвестное может быть найдено по ним и с помощью какого действия, и т.д., пока выполнение очередного действия не приведет к определению искомого.

При решении задач анализ и синтез в рассуждениях, как правило, переплетаются. Осуществляя поиск пути решения задачи синтетически, анализ часто производят «про себя». В то же время, каким бы приемом мы ни вели поиск пути решения составной задачи, ее предварительный анализ (хотя бы подсознательный) неизбежен.

Еще одним из приемов поиска пути решения задачи является разбиение задачи на смысловые части. Сущность этой работы включается в том, чтобы научиться различать в данной задаче отдельные, менее сложные задачи, последовательное решение которых позволяет получить ответ на требование данной.

Пример 4.4. Капитан хоккейной команды посчитал, что если собрать каждого игрока по 90 р., то на покупку инвентаря не хватит 750 р. Если же собирать по 100 р., то не хватит 500 р. .Собрав по 100 р. с игрока и получив от спонсора 1 250 р., команда закупила перчатки, клюшки и шайбы на всю сумму, причем за перчатки было уплачено на 600 р. меньше, чем за клюшки, и в 3 раза больше, чем за шайбы. Сколько было уплачено за шайбы?

Поиск пути решения. По краткой записи можно попытаться выяснить, из каких задач складывается данная задача и отделить их пунктирными линиями, а затем охарактеризовать составные части, на которые разбили задачу.

1. Капитан хоккейной команды посчитал, что если собрать с каждого игрока по 90 р., то на покупку инвентаря не хватит 750 р. Если же собирать по 100 р., то не хватит 500 р. Сколько игроков в команде?

2. Собрав по 100 р. с игрока и получив от спонсора 1 250 р., команда закупила перчатки, клюшки и шайбы. Сколько стоят перчатки, клюшки и шайбы вместе?

3. За перчатки уплачено на 600 р. меньше, чем за клюшки, и в 3 раза больше, чем за шайбы. Сколько уплачено за шайбы?

Решим эти задачи алгебраически.

1. Пусть х чел. — число игроков в команде. Тогда 90х р. — соберет команда, если каждый игрок сдаст по 90 р., 100 х р. — соберет команда если каждый игрок сдаст по 100 р. (90 х + 750) р. или (100х + 500)-стоимость инвентаря. Следовательно, получаем уравнение 90 х + 750 = 100х + 500, решив которое найдем х = 25 (чел).

2. Собрав с каждого игрока по 100 р., команда получила 100 · 25 = 2 500 (р.). Поэтому на закупку перчаток, клюшек и шайб (с учетом денег спонсора) было потрачено 2 500 + 1 250 = 3 750 (р.).

3. Пусть у р. — стоимость шайб, тогда 3у р. — стоимость перчаток , ( 3у + 600) р. — стоимость клюшек. По условию задачи имеем уравнение: у +3у +(3у + 600) =3750.

Решив это уравнение, найдем у = 450. Значит, за шайбы было уплачено 450р.

Ответ: за шайбы уплачено 450 р.

3. Осуществление плана решения задачи.

Назначение этапа — найти ответ на требование задачи. Немаловажную роль при решении задач играет запись найденного решения. Прежде всего остановимся на используемых сокращениях при записи действий с именованными числами. При записи именованных чисел, выраженных в метрических мерах, используются наименования, принятые в международной системе единиц СИ, например, «м»— метр, «км/ч» — километров в час. Названия таких мер, как квадратный метр, кубический метр, записываются «м2», «м3». Все названия метрических мер, употребляемых без чисел, выписываются полностью словами, например: «сколько гектаров земли …», а не «сколько га земли…».. Что касается других наименований, то здесь нет общеустановленных условных обозначений. Вместе с тем в последнее время, как правило, вместо «руб.» принято писать «р.», вместо «коп.» — «к.» и др.

 Алгебраический метод. Осуществление плана решения задачи выполняется письменно. В этом случае описывают выбор неизвестного (неизвестных) и его обозначения; записывают, как выражаются другие величины через неизвестные и заданные числа; а так же определяют соотношения, лежащие в основе математической модели задачи. Затем составляется уравнение (система уравнен, неравенств), выполняется его решение, в результате чего находится ответ на требование задачи.

Геометрический метод. Осуществление плана решения задачи выполняется письменно. Обычно в этом случае описывают и выполняют построение графика или диаграммы. Затем ответы на требование задачи считываются с чертежа (если используется конструктивный прием) или находятся в результате аналитического решения задачи (если используется графико-вычислительный прием).

4. Проверка решения задачи.

Назначение этапа — установить, правильно ли понята задача, и выяснить, не противоречит ли полученный ответ всем другим условиям задачи. Этот этап является обязательным при решении задач. Следует помнить, что логичные рассуждения на других этапах решения задачи не гарантируют правильности ее решения.

Проверку решения задачи можно проводить различными способами. Перечислим их.

I. Установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи и данными в условии задачи.

II. Составление и решение задачи, обратной данной.

III. Решение задачи различными способами.

IV. Решение задачи различными методами.

V. Прикидка (грубая проверка).

Остановимся на каждом из них подробнее.

I. Проверка решения задачи способом установления соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными в условии задачи заключается в следующем: числовые значения искомой величины, полученные в ответе на вопросы задачи, вводятся в текст задачи и устанавливается, не возникают ли при этом противоречия, а затем выполняются арифметические действия с числовыми значениями величин согласно их связям между собой, которые заданы в условии задачи. Если при этом получаются числа, данные в условии задачи, то делается заключение о верном ее решении.

Следует иметь в виду, что подстановка полученных значений искомой величины в уравнение не является проверкой правильности решения задачи. Получение верного равенства в этом случае гарантирует лишь правильность решения уравнения.

II. Проверка решения задачи способом составления и решения задачи, обратной данной, заключается в том, что после решения задачи составляется обратная по отношению к данной задача. Если при ее решении в ответе получится значение величины, которое было задано в условии данной задачи, то можно считать, что она решена правильно.

С большой осторожностью следует применять этот способ при решении задач алгебраическим методом. Уравнение, составленное при решении обратной задачи, всегда имеет корнем число, которое было задано в условии данной задачи. Может случиться так, что обратная задача не учитывает некоторых ограничений прямой задачи, и один из корней не будет являться ее решением.

Таким образом, указанный способ проверки оказывает определенную помощь в контроле проведенных вычислений и рассуждений, однако в некоторых случаях он малоэффективен т.к. мы можем получить несколько значений, являющихся потенциальными решениями.

III. Проверить решение задачи можно, решив ее различны способами. Напомним, что задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей. Получив при решении задачи различными способами один и тот же результат, делают вывод о том, что задача решена верно.

IV. Проверку решения задачи можно выполнить, решив задачу различными методами (арифметическим, алгебраическим, геометрическим и др.). В этом случае, получив один и тот же результат делают вывод о том, что задача была решена верно.

V. Проверка решения задачи прикидкой правильного ответа. Суть этого способа состоит в установлении границ для искомого числа. Он позволяет грубо оценить правильность решения задачи, и если в результате прикидки мы не выясним, что некоторые значения искомых не удовлетворяют условию задачи, то необходимо провести проверку каким-либо другим способом.

Обратим внимание на то, что прикидка не позволяет проверить правильность полученного числового значения ответа. В некоторых случаях она лишь позволяет определить, что задача решена неверно.

В процессе решения задач необходимо проверять полученный : ответ на требование задачи, выбрав наиболее рациональный способом учитывающий специфику задачи. Например, задачу на встречное движение удобно проверять, решив ее различными способами, а задачу на нахождение неизвестных по двум разностям — способом установления соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и числами, данными в условии задачи.

Следует помнить, что выполняя проверку задачи любым из указанных способов, необходимо выяснить, не противоречит ли полученный ответ всем условиям задачи. На практике это означает, что при решении обратной задачи или при решении задачи другими методами логика рассуждений должна быть отличной от логики рассуждений, применяемой в ходе решения данной задачи. Несоблюдение этого может привести к тому, что ошибочное решение не будет обнаружено.

5. Запись ответа.

Рекомендации: Прочитать, о чем спрашивается в задаче, выбрать числа, соответствующие вопросу и записать их в качестве ответа. Если таких чисел нет, ответ следует получить путем выполнения дополнительных действий. Если ответ состоит из нескольких чисел, то их записывают в том порядке, в котором о них спрашивается в задаче.

6. Анализ решения задачи.

 Рекомендации: Уяснить метод и идею решения задачи, особенности этого решения. Указать, что нового в приемах решения. Проверить, все ли различные случаи данной ситуации рассмотрены, нельзя ли сделать каких-то обобщений. Выяснить, нельзя ли рассмотреть другие процессы, чтобы упростить решение задачи, сделать его более рациональным. Попробуйте для этого по-другому записать зависимости между величинами, и на основе этого составить качественно новое выражение. Проследить, нельзя ли упростить расчеты.

В реальном процессе решения задачи названные этапы не имеют четких границ, и человек, решающий задачу, не всегда выделяет их в явном виде, переходя от одного к другому незаметно для себя. Вместе с тем решение каждой отдельно взятой задачи обязательно должно содержать все указанные этапы, осмысленное прохождение которых (вместе со знанием приемов их выполнения) делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным, а значит, более успешным. Игнорирование одних этапов (например, поиска пути решения) может привести к решению методом «проб и ошибок», игнорирование других (например, проверки решения задачи) — к получению неверного ответа и т. д.

Глава 3. Методика обучения решению текстовых задач на основе моделирования задачной ситуации. 

§ 1. ТРЕБОВАНИЕ НОРМАТИВНЫХ ДОКУМЕНТОВ.

 Математика в учебном плане школы.

В задачи курса математики основной школы входит:

развитие представлений о числе и роли вычислений в человеческой практике; формирование практических навыков вычислений и вычислительной культуры;

 − формирование формально-оперативных алгебраических умений и их применение к решению математических и нематематических задач;

− изучение свойств и графиков элементарных функций, использование функционально-графических представлений для описания и анализа реальных зависимостей;

− освоение основных фактов планиметрии;

− формирование представлений об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений;

− развитие логического мышления и речевых умений – умения логически обосновать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический).

 Требования к математической подготовке школьников.

Числа и вычисления.

Учащиеся должны:

правильно употреблять термины, связанные с различными видами чисел и способами их записи: целое, дробное, рациональное, иррациональное, положительное, десятичная дробь и др.

 сравнивать два числа, упорядочивать в несложных случаях наборы чисел; понимать связь отношений «больше» и «меньше» с расположением точек на координатной прямой;

 выполнять вычисления в типичных случаях, обеспечивающих практические потребности, в том числе с использованием калькулятора;

составлять и решать пропорции, решать основные задачи на дроби, проценты;

округлять целые числа и десятичные дроби, понимать смысл основных форм записи приближенных значений, производить прикидку и оценку результатов вычислений

Выражения и их преобразования.

Учащиеся должны:

правильно употреблять буквенную символику, понимать смысл терминов выражение, тождественное преобразование, формулировку заданий: упростить выражение. Разложить на множители;

 составлять несложные буквенные выражения и формулы; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления4 выражать в формулах основных типов одни переменные через другие;

выполнять основные действия со степенями с натуральным и целым показателем, многочленами, алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители вынесением общего множителя за скобки, применением формул сокращенного умножения;

выполнять преобразования числовых выражений, содержащих квадратные корни;

применять основные тригонометрические тождества и формулы приведения для несложных вычислений и преобразований.

Уравнения.

Учащиеся должны:

 правильно употреблять термины «уравнение», «неравенство», «система», «корень уравнения», «решение системы»; понимать их в тексте, в речи учителя; понимать формулировку задачи «решить уравнение, неравенство, систему»;

решать линейные, квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы уравнений с двумя переменными(линейные и системы, в которых одно уравнение второй степени);

 решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, неравенства второй степени;

решать несложные текстовые задачи с помощью составления уравнений.

Функции.

Учащиеся должны:

правильно употреблять функциональную терминологию (значение функций, аргумент, график функции, область определения, возрастание и др.),понимать ее при чтении текста, в речи учителя, в формулировке задачи;

понимать содержательный смысл важнейших свойств функций, уметь по графику функции отвечать на вопросы, касающиеся ее свойств: указывать промежутки возрастания и убывания, знакопостоянства;

находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком, решать обратную задачу;

строить графики функций – линейной, прямой и обратной пропорциональности, квадратичной функции и уметь по графику функции отвечать на вопросы, касающиеся ее свойств;

интерпретировать в несложных случаях графики реальных зависимостей между величинами. Отвечая на поставленные вопросы.

§ 2. АНАЛИЗ ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКОВ И ЗАДАЧНИКОВ ПО АЛГЕБРЕ 7 – 9 КЛАССОВ.

В данном параграфе проводился анализ с целью выявления основных подходов авторов к решению данной проблемы, для этого были выбраны учебники алгебры для 7- 9 классов следующих авторов и авторских коллективов:

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И.; Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.; Мордкович А.Г.; Муравин К.С., Муравин Г.К., Дорофеев Г.В.

Рассмотрим учебники алгебры 7 – 9 классов Мордковича А.Г.

В данных учебниках изучение решения текстовых задач начинается с изучения понятий математического языка и математической модели. Автор советует на данном этапе провести беседу, направленную на освоение понятия математического языка, и предлагает для закрепления задачи по переводу конкретных ситуаций на математический язык и обратно. Понятие математической модели автор считает целесообразно вводить при помощи системы заданий на составление математической модели реальной ситуации и составление задачных ситуаций по готовой математической модели. При этом рассматриваются различные виды математических моделей, и выделяются три этапа математического моделирования. По данной теме предлагаются задачи по трем направлениям: переход от реальной ситуации к математической модели; по заданной математической модели описать словами адекватную реальную ситуацию; решить задачу, выделив три этапа математического моделирования.

В дальнейшем в программе алгебры 7 – 9 классов текстовые задачи встречаются : при изучении темы «умножение многочлен на одночлен», «линейная функция», «системы двух линейных уравнений с двумя переменными», «алгебраические дроби», «рациональные уравнения», «системы неравенств», «системы уравнений », «прогрессии».

При изучении каждой из вышеуказанных тем приведено много примеров с подробными объяснениями. Все решения предложенные автором приведены с выделением трех этапа математического моделирования. При объяснении решения текстовых задач даны объяснения метода выбора переменных, хода рассуждений, даны различные виды вспомогательных моделей. Для развития навыков по решению текстовых задач предложено большое количество задач с различными фабулами и различной степени сложности. Все задачи предлагается решить с выделением трех этапов математического моделирования.

Рассмотрим учебники алгебры 7 – 9 классов авторов Муравин К.С., Муравин Г.К., Дорофеев Г.В. .

В данных учебниках изучение решения текстовых задач также начинается с изучения понятий математического языка и математической модели, но авторы только упоминают о данных понятиях, и, не давая теоретической базы, сразу переходят к рассмотрению примеров. В качестве примеров даны задачи с решениями, выступающими как шаблон возможных действий. При этом не объясняется ход этих решений. Текстовые задачи также предлагаются при изучении всех вышеуказанных тем, но в теоретической части подробного решения с объяснениями нет. Авторы не делают упор на математическое моделирование. Для развития навыков по решению текстовых задач предложено большое количество задач с различными фабулами и различной степени сложности.

Рассмотрим учебники алгебры 7 – 9 классов авторов Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И.; Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.

В данных учебниках, при изучении решения текстовых задач, на понятиях математического языка и математической модели внимание не акцентируется, а используется конкретные виды математических моделей при изучении конкретной темы. Большинство основных понятий вводятся при помощи текстовых задач. В теоретической части в качестве примеров даны задачи с решениями, выступающими как шаблон возможных действий, без объяснения метода выбора переменных и хода рассуждения. Для развития навыков по решению текстовых задач также предложено большое количество задач с различными фабулами и различной степени сложности.

На наш взгляд наиболее методически продуманным является учебник Мордковича А.Г.. В нем представлена планомерная работа по освоению, углублению и закреплению понятий согласно нашей проблемы. На всем этапе изучения алгебры основной школы автор постоянно решает текстовые задачи, подчеркивая важность математического моделирования.

§ 3. ОБУЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЮ КАК УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.

Моделирование как учебная деятельность.

Для того чтобы учащиеся овладели моделированием как методом научного познания, недостаточно лишь познакомить их с научной трактовкой понятий модели и моделирования, недостаточно лишь демонстрировать им разные модели и показывать процесс моделирования отдельных явлений и процессов. Надо, чтобы школьники сами строили модели, сами изучали какие либо объекты, явления с помощью моделирования. Возможности для такого действенного овладения моделированием имеются в школьных курсах математики, физики, химии и других учебных предметах.

Когда учащиеся, решая практическую математическую (сюжетную) или физическую задачу, понимая, что она представляет собой знаковую модель некоторой реальной ситуации, составляют последовательность различных ее моделей, затем изучают эти модели и, наконец, переводят получение решение на язык исходной задачи, то тем самым школьники овладевают методом моделирования. 

При обучении математическому моделированию в процессе решения текстовых задач можно отметить несколько уровней обучения в порядке нарастающей сложности:

1. Обучение «языку» на котором будет вестись моделирование (изучение теории и решение системы упражнений , направленных на ее закрепление).

2. Обучение «переводу» реальной ситуации на данный математический язык.

3. Обучение выбору существенных переменных и построению схемы их взаимосвязей.

4. Обучение составлению математических выражений, реально существующих отношений и связей (в частности составлению уравнения по условию задачи).

5. Обучение решению математически выраженных отношений и связей, истолкованию полученного ответа.

6. Обучение исследованию полученного решения (в частности простейшим навыкам самоконтроля).

 Очевидно, что ученик, владеющий в какой-то степени методом моделирования по сравнению с тем, кто этим методом не владеет, будет успешнее решать задачи методом составления уравнения. Разобравшись в условии, он просто переведет его на математический язык, построит математическую модель этой задачи: введет переменную, запишет с ее помощью все существующие в задаче соотношения и составит математическое выражение, связывающее их (уравнение, неравенство, систему уравнений или неравенств с одной или несколькими переменными). Затем ему останется только найти значения переменной, при которых выражение обращается в истинное числовое равенство, и проверить, какие из них являются адекватными условию задачи.

Нам представляется на сегодняшний день наиболее перспективным и продуманным подход А.Г. Мордковича, реализованный им в учебниках и задачниках по алгебре для 7 – 9 классов.

Мы остановились на выборе трехэтапной работы над текстовыми задачами: 1) составление математической модели; 2) решение полученной математической модели; 3) ответ на вопрос задачи.

Как показывает практика, наибольшую трудность для учащихся представляет первый этап. Это объясняется тем, что выполнение второго этапа отрабатывается и вне связи с текстовыми задачами: решаются уравнения и неравенства, системы уравнений. Выполнение третьего этапа обычно не вызывает особых затруднений у учеников, хотя и здесь могут появиться ошибки из-за невнимательности: полученное значение х сразу заносится в ответ, хотя вопрос задачи касался другой величины и т.д.

Для того, чтобы построить методическую систему работы учителя по обучению построению математической модели задачи, необходимо проанализировать эту деятельность, определить ее состав и структуру.

Деятельность моделирования задачи в 7-ом классе состоит в следующем:

1) Определение процесса описанного в задаче;

2) Определение видов этого процесса (видов задачной ситуации);

3) Указание величин, характеризующих каждый из видов процесса;

4) Запись соотношения, характеризующего выделенный процесс;

5) Анализ, какие из указанных величин известны, а какие нет;

6) Введение обозначения буквой одной из неизвестных величин (желательно той, о которой спрашивается в задаче);

7) Выражение каждой из неизвестных величин через известные и введенную букву. Если это сделать не удается – введение новой буквы для другой неизвестной величины;

8) Проверка, соответствуют ли друг другу единицы измерения величин. Если нет. То приведение их в соответствие;

9) Составление уравнения или системы уравнений.

Умение строить математическую модель данной задачной ситуации означает владение всеми указанными действиями. Поэтому практическую работу считаем целесообразно провести по следующему плану:

1) Материалы вводной беседы с учениками 7 класса, в ходе которой у них формируется понятии о математическом языке и математической модели текстовых задач.

2) Подборка задач и методика работы с ними. Основной целью которой является обучение выбору переменных (оптимальному).

3) Дидактическая игра «Математическое домино», в процессе которой учащиеся осваивают составление математических выражений и уравнений по условию задачи.

4) Фрагмент конспекта урока по теме « Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным», основной целью которого является формирование умения составлять математические модели текстовых задач.

Тема «математический язык», «математическая модель» занимает ключевое положение во всем курсе. От того, как подается эта тема ученикам, во многом зависит их отношение к новому для них учебному предмету – алгебре. По большому счету, нельзя начинать изучение нового предмета, не упомянув его основную идею, на раскрытие которой ориентирован весь курс. Поэтому имеет смысл планировать уроки, отведенные на изучение данной темы, так, чтобы, повторяя материал курса математики 5-6 классов, понемногу вводить новые термины: математический язык, математическая модель,- не давая им, естественно, строгого истолкования( эти понятия будут постепенно уточняться и пополняться новым содержанием вплоть до 11 кл.). Главная задача состоит в том, чтобы школьники привыкли к этим терминам и включили их в свой рабочий словарь.

Прежде чем изучать математический язык и математические модели целесообразно напомнить понятия числовых и алгебраических выражений.

Числовое выражение - всякая запись, составленная из чисел и знаков арифметических действий(составленная, разумеется, со смыслом). Если же вместо конкретных чисел употребляются буквы (преимущественно латинского алфавита) говорим об алгебраическом выражении.

Также необходимо напомнить понятия: «значение алгебраического и числового выражения »,« переменная », «допустимое и недопустимое значения выражения », после чего можно приступать к дальнейшему материалу.

 

В начале года, на первых уроках для определения уровня сформированности общих знаний по заданным направлениям была проведена самостоятельная работа. Для объективности о обобщенности информации работа проводилась анонимно. Ученикам были предложены задачи которые необходимо решить выделив в них следующие моменты :

а) Определение величины принимаемой за х.

б) Выражение отношений между величинами.

в) Запись построенной математической модели.

1.Судоходная часть реки составляет 5/9, а несудоходная 4/9 от всей длины реки. Определите длину реки, если судоходная часть длиннее несудоходной на 200км.

2.Одно число больше другого на 27, а их сумма 95. Найдите эти числа.

3. В двух пакетах 240 орехов. В одном пакете в 1,4 раза больше, чем во втором. Сколько орехов в каждом пакете.

4. Сумма трех слагаемых равна 78. Первое в 3 раза больше второго, а второе в три раза больше третьего. Найти все слагаемые.

Результаты самостоятельной работы показали, что не все умеют выбрать величину, которую можно обозначить за х ; допускают ошибки в выражении через переменную зависимостей между величинами, о которых идет речь в задаче что влечет за собой неправильное составление математических моделей.

Более подробно результаты отражает следующая таблица:

М кеп № задания

Не решили вообще

Не преступали

к решению

Правильно

построили

модель

Указали величину, обозначенную буквой

Неверно

выразили

зависимости

Допустили ошибки

в вычислениях

Несоответствие

результата

требованиям

задачи

1

8 ( 47 %)

2 ( 12 %)

3( 35 %)

2 ( 12 %)

–– –

2

1 ( 6 % )

5 ( 29 %)

2 ( 12 %)

8 ( 47 %)

1 ( 6 % )

3

3 ( 35 %)

5( 29 %)

2( 12 %)

– 3 (18 %)

2 ( 12 %)

2 ( 12 %)

4

2 ( 12 %)

5 ( 29 %)

2 ( 12 %)

4 (24 %)

4 (24 %)

(работу писали 17 человек)

Аналогичная самостоятельная работа была проведена на последнем занятии с целью сравнения ее результатов с результатами первой работы. Анализ результатов будет приведен в конце, после описания проведенной работы.

 

1. На уроке была проведена беседа, следующего содержания:

В совершенно разных на первый взгляд задачах можно обнаружить, что их решение практически одинаково. Если на столе лежат 2 яблока, 2 апельсина и 1 груша, то чтобы найти общее число фруктов надо сложить эти числа:

2+2+1=5.

Но точно также можно определить и число карандашей в коробке, если известно, что в ней лежат 2 красных, 2 синих и 1 зеленый карандаш. В этих непохожих на первый взгляд ситуациях мы использовали одну и ту же математическую модель, складывая не яблоки с апельсинами и не карандаши, а числа. А для того, чтобы к любой задаче построить математическую модель, надо научиться переводить условие задачи с обычного языка на специальный язык - математический.

С помощью языка люди передают друг другу разнообразные сведения, обмениваются информацией. В мире существует около 2000 различных языков, на которых говорят, читают, пишут разные народы. Это так называемые естественные языки - они возникали и развивались вместе с народами.

По мере изучения математики вы постепенно знакомитесь с математическим языком. Математический язык относится к искусственным, специальным языкам, которые создаются и развиваются вместе с той или иной наукой.

В математическом языке, как и любом другом, существует письменная и устная речь. В математическом языке есть свои буквы - различные математические знаки и символы. К ним, прежде всего, относятся цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью цифр по специальным правилам записывают числа. Вы знакомы и с другими математическими знаками.

- Приведите примеры известных вам математических знаков? (+, -, ·, : , <,>,% скобки.)

- Так же в математическом языке используются латинские буквы. Вам уже приходилось их применять. Где именно вы применяли латинские буквы? (При обозначении точек, отрезков, прямых, углов, а так же для обозначения чисел.)

Когда, например, говорят : " Возьмем число А ", то это означает, что некоторому числу, не важно, какому именно - дали "имя" А и дальше с ним можно обращаться так, как будто оно вполне определенное. Можно, например, записать его сумму с числом 6.

- Что получится?...(А+6)

- Можно умножить его на 10, получится … (А·10).

Записи А+6 и А·10— это математические выражения. 

Математически выражения -слова математического языка - составляются из чисел, букв, знаков действий и скобок.

- Приведите примеры математических выражений. ((5 - 3) · 2, а - с, n: 5 и так далее)

- Как вы думаете, всякая ли последовательность символов математического языка является математическим выражением?

Так же, как и в любом языке произвольная последовательность букв не является словом, так и в математическом языке не всякая последовательность символов будет математическим выражением. Необходимо, чтобы эта последовательность имела смысл, что-то обозначала. Для этого при составлении выражений соблюдаются определенные правила.

- Приведите примеры правил составления математических выражений

 ( При вычитании отрицательного числа оно берется в скобки, например: 9 - (-3); при умножении суммы двух чисел на третье число, эту сумму заключают в скобки, например: (5 + 8) · 3; выражение 5 + 8 · 3 являет уже суммой числа 5 и произведения чисел 8 и 3, т. е. со скобками будет выглядеть так: 5 + (8 · 3), однако при этом скобки договорились не ставить: при отсутствии скобок умножение должно выполняться раньше сложения; частное двух чисел, обозначенных буквами, записывают обычно с помощью черты дроби, например: .)

Из математических выражений составляют предложения. Они выражают некоторую мысль, что-то утверждают. Например: 3 + 4 = 7, 8< 9, а — четное число. Первые два из них - верные утверждения, а третье - неверное (если a , например, равно 99).

Занимаясь математикой, вы постоянно переводите словосочетания и предложения с русского языка на математический и наоборот. Например, фраза "сумма чисел 6 и 4" на математическом языке записывается как 6 + 4 .

- Запишите на математическом языке предложения: при перестановке слагаемых сумма не изменяется; чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.

- Выполните перевод с математического на русский язык; а ( b + с) = ab+ ас; а · b = b · а.

- Как вы думаете для чего нужен такой язык, чем он удобен? (Предложения на математическом языке короче, яснее и, кроме того, понятны людям, говорящим на разных языках.)

Для развития навыков в этом направлении были предложены следующие задания:

Переведите на математический язык условие данной задачи, постройте возможные математические модели.

п/п

Задачная ситуация

Математическая модель

1

Скорость первого тела равна скорости второго тела.

х = у

2

Скорость первого тела больше скорости второго тела на 2 км/ч.

а) х – у = 2

б) х – 2 = у

в) х = у + 2

3

Скорость первого тела на 3км/ч меньше скорости. второго тела.

а) х + 3 = у

б) х = у - 3

в) у – х = 3

4

Скорость первого тела в два раза больше скорости второго тела.

а) х = 2у

б)

в)  .

5

Скорость первого тела в 4 раза меньше скорости второго тела.

а) у = 4х

б)

в)

6

Если первое тело увеличит свою скорость на 2 км/ч, а второе уменьшит свою скорость в 3 раза, то их скорости будут равны.

 

7

а) Первое тело за 3 часа проходит то же расстояние, что второе – за 2 часа.

б) Если первое тело увеличит скорость в 3 раза, а второе – в 2 раза, то их скорости будут равны.

3х = 2у

8

Если первое тело уменьшит скорость на 5 км/ч, то за 3 часа оно пройдет то же расстояние, что второе тело за 4 часа.

( х – 5 ) · 3 = 4у

Ученики получили таблицу где вторую колонку необходимо было заполнить. Для решения каждого задания к доске вызывался по одному ученику, все остальные работали на месте.

В качестве домашнего задания были предложены аналогичные задания из учебника.

2. Обучение выбору переменной.

Цель работы: научить наиболее рациональному выбору переменной .

Какую величину обозначить буквой х ?. Этот вопрос почти всегда возникает у учащихся, когда они начинают решать задачу. И от того, как ребенок решит эту проблему, зависит успешность решения им всей задачи. Можно, конечно, дать школьникам рекомендации типа: "Обозначай буквой всегда меньшее из неизвестных чисел" или "Обозначай буквой то, о чем спрашивается в задаче". Но в этом случае может возникнуть проблема, которая является одной из причин низкого уровня сформированности умения решать задачи. А именно к проблеме того, что обучение ведется как обучение решению по образцу. В этом случае велика опасность, что в ситуации, когда такими способами переменную ввести неудобно, ученик останавливается уже на самом первом этапе решения, не зная, как выразить в этом случае отношения между величинами. Или, выразив их, получит такое уравнение, один вид которого отобьет всякое желание его решать.

Поэтому на проводившихся занятиях, хотя и давались рекомендации подобного рода, делалось это все же с оговоркой, что несмотря на то, что это одни из наиболее удобных способов, в то же время они не являются универсальными, подходящими для любых задач. Отмечалось, что хотя и существуют сходные по содержанию и методу решения задачи, все же к решению каждой задачи надо подходить индивидуально.

На предыдущем этапе отмечалось, что условие задачи можно перевести на математический язык разными способами. Эти способы могут отличаться трудностью самого перевода и трудностью решения получаемого уравнения. При решении задач, как правило, лучше сделать более простым перевод, а уже потом посмотреть, какое получится уравнение. Иногда, однако, при простом переводе получается задача, для решения которой дети еще не имеют алгоритмических приемов, и тогда надо искать другой выход из положения.

На примерах следующих задач были разобраны некоторые правила, позволяющие построить наиболее простую математическую модель решаемой задачи. Причем это делалось на основе рассмотрения различных способов введения переменной и выбора из них лучшего.

Задача 1. За рыбок и аквариум заплатили 25300 р. Сколько стоит аквариум и сколько рыбки, если известно, что рыбки дешевле аквариума в 10 раз?

Рассмотрим возможные способы введения переменной:

Цена рыбок

Цена аквариума

Общая стоимость

Уравнение

I способ

х

 10х

х + 10х

х + 10х = 25300

II способ

 

у

 

= 25300

Из таблицы наглядно видно, что при первом способе уравнение получается проще.

Задача 2. В двух магазинах было 1860 кг яблок. Затем в первом магазине запас яблок удвоили, а во второй привезли еще 140 кг, и тогда во втором магазине стало на 1780 кг меньше, чем в первом. Сколько стало яблок в каждом магазине?

Рассмотрим возможные способы введения переменной.

1 магазин

2 магазин

В двух магазинах

Было

у/2

1860-у\2

1860

Стало

у

1860 - у/2 + 140

1860 - у/2 + 140 + у

1 магазин

2 магазин

В двух магазинах

Было

1860 - ( 2 - 140 )

z - 140

1860

Стало

(1860 - ( z - 140 )) - 2

z

( 1860 - ( z- 140 ))·2 + z

1 магазин

2 магазин

В двух магазинах

Было

х

1860-х

1860

Стало

1860 – х + 140

2х + 1860 – х + 140

1 магазин

2 магазин

В двух магазинах

Было

1860 - а

а

1860

Стало

( 1860 – а ) · 2

а + 140

(1860 – а ) ·2 + а + 140

Если буквой обозначить искомое количество яблок в первом магазине, то дальше при решении уравнения придется иметь дело не с целыми числами, а с дробями. Но совсем не обязательно в качестве неизвестного выбирать то, что требуется найти в задаче. Поэтому обозначить через х можно либо конечное количество яблок во втором магазине, либо количество яблок в одном из магазинов до привоза.

Задача 3. На дорогу от дома до работы и обратно у Андрея уходит 90 мин. Обратный путь занимает у него на 10 мин больше, чем путь на работу. Сколько минут Андрей добирается до работы и сколько минут он едет домой?

Решив еще несколько задач, пришли к выводу, что лучше за х принимать меньшую из неизвестных величин, так как тогда больше вероятность того, что зависимости будут выражаться с помощью знака « + », и в уравнении числа будут не дробными, а целыми. Таким образом, при выборе переменной мы руководствовались пусть неформальными, но все же мудрыми правилами " Плюс лучше минуса" и "Целое лучше дроби".

Затем решались задачи, в задании к которым формулировалась необходимость обозначить за х наименьшую из неизвестных величин. Проблема состояла как раз в том, чтобы разобраться, какая же них меньшая? Например:

Задача 4. Компот и сухофруктов содержит изюм, чернослив и груши. Чернослива в 4 раза больше, чем изюма, а груш в 5 раз больше, чем изюма, Сколько изюма, чернослива и груш в отдельности содержится в 1кг компота?

Задача 5. Сумма трех слагаемых равна 192. Первое число в 5 раз меньше второго, а второе слагаемое в 2 раза меньше третьего. Найдите каждое из чисел.

Также составлялись модели, и если было возможно, решались задачи на движение, к которым давались следующие задания:

- Решите задачу, составив уравнение двумя способами: а) обозначив буквой расстояние; б) обозначив буквой время движения.

Задача 6. Андрей доехал на велосипеде от реки до деревни и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 час. От реки до деревни он ехал со скоростью 10 км/ч, а на обратном пути его скорость была 15 км/ч. Чему равно расстояние от реки до деревни?

- Решите задачу, составив уравнение двумя способами: а) обозначив буквой какую-нибудь скорость движения; б) обозначив буквой расстояние.

Задача 7. От города до поселка мотоциклист доехал за 3 часа. Если бы он увеличил скорость на 25 км/ч, то проехал бы это расстояние за 2 часа. Чему равно расстояние от города до поселка?

- Решите задачу, обозначив буквой удобную для составления уравнения величину.

Задача 8. Велосипедист первую половину пути проехал за 3 ч, а вторую -за 2 ч, так как увеличил скорость на 4 км/ч. Какое расстояние проехал велосипедист?

Задача 9 .От железнодорожной станции до турбазы туристы шли со скоростью 4 км/ч, а обратно ехали на велосипедах со скоростью 12 км/ч и затратили на дорогу на 4 часа меньше. Чему равно расстояние от станции до турбазы?

На примерах этих задач было так же показано, что намного проще и нагляднее представлять условие задачи и осуществлять перевод, используя таблицы.

3. Дидактическая игра « Математическое домино».

В процессе данной игры учащиеся осваивают составление математических моделей : выражений или уравнений по условию задачи.

В данной игре игрокам ( 4 человека, 2 команды ) были предложены фишки домино (12 шт.) изготовленные из бумаги. Каждая фишка разделена на два поля, в одном поле описана задачная ситуация, в другом готовые математические модели другой задачной ситуации. Игрокам необходимо к каждой задачной ситуации подобрать свою модель или модели, при этом они должны определить какие величины можно обозначить за х. Правило игры как в домино, ходы осуществляются по очереди, если нет нужной фишки, ход пропускается. При затруднении можно совещаться. Команда, первая выставившая все фишки выигрывает.

В одной библиотеке книг в 1,5 раза больше чем в другой.

Х – 25 или

у + 25 или

х – у = 25

 

Всего 24 человека. Сколько мальчиков и сколько девочек.

1,5 х или

 

 

10 больше 2 на 8

24 – х или

24 - у

m меньше n в 2 раза.

10 – 2 = 8

2 + 8 = 10

10 – 8 = 2

Пусть х задуманное число. Если к этому числу прибавить 7, полученную сумму умножить на 3 и из произведения вычесть 47 получится задуманное число

2 m = n 

 

Первое число с, второе в 1,4 раза больше первого. Если из второго вычесть 5,2 а к первому прибавить 4,8, то получим равные результаты.

3 ( х + 7 ) – 47 = х

Первый рабочий выполнил работу за t ч, второй за v ч. Первый работал на 3 ч больше второго.

с + 4,8 = 1,4с – 5,2

Стакан яблочного сока а руб., апельсинового б руб., Цена 5 стаканов яблочного = 6 стаканов апельсинового.

3 t = v

Работало 5 бригад по а человек, и 3 бригады по b человек, всего работало m человек

5а = 6б

3 м шерстяной ткани и а м шелка стоят 120р. Сколько стоит 1 м шелка, если 1 м шерстяной ткани стоит k рублей.

5а + 3b = m

У Коли было 64 марки, у Саши 50 марок. Коля несколько марок подарил Саше, марок стало поровну.

3 k + а х = 120

Отец старше сына на 25 лет. Сколько лет отцу, сыну

64 – х = 50 + х

4. Фрагмент конспекта урока по теме « Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным», основной целью которого является формирование умения составлять математические модели текстовых задач.

Преимущество такого подхода заключается в том, что ученики привыкают к последовательности шагов на первом этапе решения текстовых задач, понимают их необходимость и взаимообусловленность. Рассмотрим, например организацию работы по обучению моделированию задач на движение, так как они составляют основную массу текстовых задач.

 Задача. Теплоход с туристами отправился от пристани вниз по течению реки и должен вернуться обратно через 5 часов. Скорость течения реки 3 км/ч, скорость теплохода в стоячей воде 18 км/ч. На какое расстояние туристы отплывут от пристани, если перед возвращением они пробудут на берегу 3 часа?

После прочтения условия учитель начинает диалог с классом со следующих вопросов:

«Какой процесс рассматривается в задаче?» - «Движение».

«О каких величинах мы должны говорить, решая задачи на движение?» - «Мы должны говорить о времени движения, скорости движения и о расстоянии».

«Сколько ситуаций описывается в задаче?» - «Две».

«На какие отдельные ситуации можно разбить задачу?» - «На движение по течению и движение против течения».

«Какова первая ситуация?» - «Теплоход с туристами отправился от пристани по течению реки. Скорость течения реки 3 км/ч, скорость теплохода в стоячей воде 18 км/ч».

«Что нужно, чтобы изложить эту ситуацию на математическом языке?» - «Нужно составить уравнение, обозначив неизвестную величину за х » .

«Какую же величину обозначить за х ?» - « ? »

Учитель замечает, что неизвестной величиной является расстояние на которое отплывет теплоход

«Что получим. Если искомое расстояние обозначим за х ?» - «Это расстояние теплоход проходит со скорость 18+3 = 21 км/ч и затрачивает часов ».

Вторая ситуация обсуждается аналогично, но теперь движение против течения значит возвращаясь теплоход будет идти со скорость 18 – 3 = 15 км/ч и затратит на возвращение  часов.

Учитель задает следующий вопрос.

«Какое дополнительное условие мы не использовали?» - «туристы пробудут на берегу 3 часа».

«Сколько же времени займет вся поездка?» - « вся поездка займет () часа, что по условию задачи равно 5 часов»

Так учащиеся получают уравнение для определения неизвестной величины х , которая является искомым расстоянием:

 

Решение данного уравнения не представляет особой сложности. После преобразований переходим к решению уравнения вида:

 

Умножая обе части этого уравнения на 105(наименьшее общее кратное чисел 21 и 15), получаем 5х + 7х =210,

12х = 210,

х = 17,5

Ответ: На 17,5 км туристы отплывут от пристани.

Ход рассуждения полезно представить в виде таблицы:

Ситуации.

Величины

Уравнение

Путь

(км)

Скорость

(км/ч)

Время

( ч )

Движение по

течению.

х

21

 

Движение против

течения.

х

15

 

 

 

 

На заключительном занятии, как уже говорилось выше, была проведена самостоятельная работа по тем же направлениям что и в начале. В нее вошли задачи:

1. На скотном дворе было 19 кур и овец. Сколько было кур и сколько овец, если у них вместе 52 ноги?

2. Андрей задумал число, умножил его на 2, прибавил к результату 1, то, что получилось, снова умножил на 2 и из результата вычел 1. После этого у него получилось число 33. Какое число было задумано?

3. На турбазе имеются палатки и домики; всего их 25. В каждом домике живут 4 человека, а в палатке 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если на ней может одновременно отдыхать 70 человек?

4. Найдите два числа, сумма которых равна 37, а произведение 160.

Более подробно результаты отражает следующая таблица:

М кеп № задания

Не решили вообще

Не преступали

к решению

Правильно

построили

модель

Указали величину, обозначенную буквой

Неверно

выразили

зависимости

Допустили ошибки

в вычислениях

Несоответствие

результата

требованиям

задачи

1

2 ( 12 %)

8 ( 47 %)

1( 6 %)

1 (6 %)

2(12 %)

–– 2(12 %)

2

1 ( 6 % )

9 ( 53 %)

1( 6 %)

4 ( 24 %)

1( 6 %)

1 ( 6 % )

3

3 ( 18 %)

9 ( 53 %)

2(12 %)

– 1 ( 6 %)

2 (12 %)

-

4

2 ( 12 %)

8 (47 %)

2(12 %)

2 (12 %)

2(12 %)

1 (6 %)

 

По результатам этой работы видно, что гораздо большее число учащихся смогло построить верную математическую модель задачи и решить текстовые задачи, что свидетельствует об определенных успехах проделанной работы. По всем направлениям, на которые была ориентирована работа, есть тенденция к улучшению знаний и умений учащихся.

Заключение

1. Проблема отбора задач, определение их фабулы, уровня сложности, обучение их решению была и остается актуальной.

2. Анализ фактического текста учебников свидетельствует о серьезных находках авторов в направлении поиска путей и методов обучения в курсе алгебры решению текстовых задач, так А.Г. Мордкович сосредоточил внимание на четырех направлениях:

1) Формирование понятий математического языка и математической модели.

2) Обучение выражению отношений и зависимостей между величинами.

3) Обучение выбору переменной.

4) Обучение переводу на математический язык задач, для решения которых требуется введение переменных. (Обучение составлению математических выражений отношений и связей, существующих в задачах и нахождение из них значений переменных).

Другие авторы не столь последовательны в решении вышеуказанных проблем.

3. Мы придерживаемся, концепции А.Г. Мордковича и в конкретных методических разработках следуем указанным направлениям.

4. Полученные результаты убеждают, что выбранное направление совершенствования методов обучения решению текстовых задач является перспективным.


Список литературы.

1 Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / 5-е изд. – М.: Просвещение, 1998.

2. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / 2-е изд. – М.: Просвещение, 1994.

3. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / 2-е изд. – М.: Просвещение, 1995.

4. . Жохов В.И., Крайнева Л.Б. Уроки алгебры в 7 классе: Пособие для учителей к учебнику «Алгебра,7» Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой под редю С.А. Теляковского - М.: Вербум-М,2000.

5. Ильин Е.П. Психология: Учебник для учебных заведений.- СПб.: Питер, 2004.

6. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.; Под ред. Теляковского С.А. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / 5-е изд. – М.: Просвещение, 1997.

7. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.; Под ред. Теляковского С.А. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / 3-е изд. – М.: Просвещение, 1994.

8. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.; Под ред. Теляковского С.А. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / 4-е изд. – М.: Просвещение, 1997.

9. Мордкович А.Г. Алгебра. 7-9 кл.: Методическое пособие для учителя.-2-е изд.- М.: Мнемозина,2001.

10. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.:. Учеб. для общеобразоват. учреждений -3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина,2000.

11.Мордкович А.Г. и др. Алгебра. 7 кл.:. Задачник. для общеобразоват. учреждений -3-е изд.- М.: Мнемозина,2000.

12. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.:. Учеб. для общеобразоват. учреждений -2-е изд.- М.: Мнемозина,2001.

13. Мордкович А.Г. и др. Алгебра. 8 кл.:. Задачник. для общеобразоват. учреждений -2-е изд.- М.: Мнемозина,2001.

14. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 кл.:. Учеб. для общеобразоват. учреждений - 4-е изд.- М.: Мнемозина,2002.

15. Мордкович А.Г. и др. Алгебра. 9 кл.:. Задачник. для общеобразоват. учреждений -2-е изд.- М.: Мнемозина,2002.

16. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений - 2-е изд. – М.: Просвещение, 2000.

17. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2000.

18. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений - 2-е изд. – М.: Просвещение, 2002.

19. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов.- М.: Просвещение, 2002.

20. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология: Учеб. для студ. сред. пед. учеб. заведений.-3-е изд., стереотип.- М.: Издательский центр «Академия», 1999.

21. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе.- М.: Просвещение, 1983.

22. Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. Учеб. пос. для учителей и студентов педвузов и колледжей.- М.: Школьная пресса, 2002.

23. Шиянов Е.Н., Котова И.Б. Развитие личности в обучении: Учеб. пособие для студ. пед. вузов.- М.: Издательский центр «Академия», 1999.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47306. Основы обороны государства 807.2 KB
  Россия – одна из крупнейших стран мира, имеющая богатые исторические и культурные традиции. Ее экономический, научно–технический и военный потенциал, уникальное географическое положение на Евразийском континенте позволяют Российской Федерации играть важную роль в современном мире.
47307. Анализ производственной деятельности ОАО «Уссурремтехснаб» 1.19 MB
  В процессе выполнения сельскохозяйственных работ детали и узлы машин изнашиваются. Износ деталей вызывает простои машин из-за технических неисправностей и нарушение агротехнических сроков. Снижается качество работы, падает производительность и увеличиваются расходы на содержание машин.
47308. Обзор диагностических аппаратов медицинского назначений 438 KB
  Большое значение в медицине имеет развитие микропроцессорной техники. Это однокристальные системы, ориентированные на использование в функциях управления разными приборами контроля. Количество микроконтроллеров, выпускаемых сегодня, почти в 10 раз превышает количество традиционных микропроцессоров (МП).
47310. Разработка программного обеспечения для автоматизации учета договоров купли-продажи новых автомобилей в автосалоне 509 KB
  В случае утраты покупателем документа, удостоверяющего право собственности на транспортное средство или номерной агрегат, продавец обязан по заявлению владельца и предъявлению им паспорта или другого документа, его заменяющего, выдать новый документ с пометкой "дубликат" с указанием серии, номера и даты ранее выданного документа
47311. ПОДГОТОВКА КЕРАМИЧЕСКИХ ПЛИТОК К УКЛАДКЕ. СОРТИРОВКА КЕРАМИЧЕСКИХ ПЛИТОК 2.69 MB
  ПОДГОТОВКА КЕРАМИЧЕСКИХ ПЛИТОК К УКЛАДКЕСОРТИРОВКА КЕРАМИЧЕСКИХ ПЛИТОК Состав технологических операций. Сортировка плиток по размерам калибровка цвету и оттенку качеству лицевой поверхности; выбраковка дефектных плиток. Укладка отсортированных плиток в контейнеры или ящикикассеты. Шаблоны и приспособления для сортировки плиток.
47313. Электроснабжение элитного коттеджного поселка 3.9 MB
  Объектом электроснабжения является элитный коттеджный поселок, общей площадью 0,183 км2, располагающийся в Московской области РФ. Поселок состоит из 59 коттеджей и 5 общественных зданий. Коттеджный поселок относится к III категории надежности электроснабжения. Электроснабжение осуществляется от распределительного устройства (РУ) 10кВ подстанции
47314. ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ВЕДЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ КОММЕРЦИИ НА ОАО «РОСТЕЛЕКОМ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СОВРЕМЕННЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ 3.52 MB
  Целью дипломной работы является анализ эффективности применения информационных систем для осуществления электронной коммерции на примере ОАО «Ростелеком»