1310

Числовые характеристики случайных величин

Доклад

Математика и математический анализ

Математическое ожидание. Формула для вычисления математического ожидания случайной величины по плотности распределения. Дисперсией случайной величины. Среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Русский

2013-01-06

73 KB

101 чел.

Числовые характеристики случайных величин.

1.Математическое ожидание.

Случайной величиной ξ называется действительная функция ξ = ξ (ω) , ω принадлежит σ , такую что при любом x { ω: ξ(ω) < x} принадлежит U

Дискретной случайной величиной (Д.С.В.) называют случайную величину, множество возможных значений которой - конечное или счетное множество.

(определение с пар) – ДСВ – если множества значений случайно величины не более чем счетно.

Математическим ожиданием случайной величины с заданной на вероятностном пространстве (σ,U,P), называется число Мξ= ∫ ξ(ω)P(dω)

 

Математическим ожиданием Д.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

если ряд абсолютно сходится.

Если ряд абсолютно не сходится, то говорят что мат. ожидание случайной величины ξ не существует.

Опр: начальный момент k-го порядка.

Математическим ожиданием Н.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

Мξ=∫ ... ∫ ξ(u1, … , un) π(u1, … , un)du1…dun , если интеграл абсолютно сходится.

(Если не сходится то - не существует.)

Формула для вычисления мат. ожидания случайной величины по плотности распределения

 

Пример: Математическое ожидание суммы для дискретных случайных величин.

 M(ξ+η)=∑(xk+yl)pkl=∑(xk+yl)P(ξ=xk,η= yl)= ∑xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=

 k,l k,l  k,l  k,l 

=xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=∑xk P(ξ= xk)+ ∑ yl P(η= yl)=Mξ+Mη

 k l  l k  k l

Свойства математического ожидания:

  1.  Если С-постоянная, то МС=С
  2.  Если С-постоянная, то М(Сξ)= С Мξ
  3.  Для любых величин ξ, | Мξ |<=М|ξ|
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, М(ξ1 + ξ2)= Мξ1 + Мξ2
  5.  Если случайные величины ξ1 и ξ2 независимы, то Мξ1ξ2= Мξ1*Мξ2

2.Дисперсия.

Дисперсией случайной величины X , D[X ], называется число D[X ] M( X M[X ])2.

По определению дисперсия – это второй центральный момент.

На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой

D[X ] M[Χ2 ] (M[X ])2

Среднеквадратическое отклонение случайной величины σ= √D(x)

Формула для дисперсии суммы двух произвольных случайных величин:

D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2+2 cov(ξ1 , ξ2)

Она выводится из формул:

D(ξ1 + ξ2)= М[(ξ1 + ξ2)- М(ξ1 + ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)+ (ξ2 -M ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)2+ (ξ2 -M ξ2)2+2 (ξ1 -M ξ1) (ξ2 -M ξ2)]

И cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Дискретные распределения

Непрерывные распределения

  1.  Вырожденное распределение:

P(ξ=a)=1

a-постоянная

  1.  Равномерное распределение на [a,b], a<b

  1.  Биномиальное распределение:

0<x<1

P(ξ=k)=Cnk pk(1-p)n-k

K=0,1,…,n

  1.  Распределение Пуассона.

k=0,1,….

  1.  Геометрическое распределение(0<p<1):

n=0,1, …

Свойства дисперсии:

  1.  Для любой случайной величины ξ имеем Dξ>=0
  2.  Если c-постоянная, то Dc=0
  3.  Если c-постоянная, то D(cξ)=c2Dξ
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2

3. Ковариация.

Ковариацией случайных величин ξ1 и ξ2 называется число cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Используя свойства мат. ожидания, легко получить следующую формулу cov(ξ1 , ξ2)=Mξ1ξ2 - М ξ1*M ξ2

Очевидно, что cov(ξ, ξ)=D ξ

5. Коэффициент корреляции.

коэффициент корреляции .

Свойства коэффициента корреляции:

  1.  его модуль не превосходит единицы, т.е. ;
  2.  если  и  независимы, то k( , )=0 (обратное неверно!);
  3.  если , то случайные величины  и  связаны функциональной зависимостью вида  = a +b, где a и b – постоянные.

Моментом k-порядка случайной величины ξ называется число Мξk .

М(ξξ)k центральным моментом порядка k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80538. ОРГАНІЗАЦІЯ ПОСЛУГ РОЗМІЩЕННЯ 174 KB
  До найбільш розповсюджених у міжнародній практиці форм управління підприємствами гостинності відносяться: управління за контрактом; управління через договір франчайзингу; оренда. В індустрії гостинності поширення й інші організаційні форми управління акціонерні товариства T спільні підприємства СП синдикати консорціуми і т. що відрізняються змістом й пропорціями функцій структурою і ступенем централізації управління. Управління за контрактом Однією з основних форм управління підприємствами індустрії гостинності що...
80539. ОРГАНІЗАЦІЯ ПОСЛУГ ХАРЧУВАННЯ 113.5 KB
  Сутність і соціальноекономічна значущість харчування у сфері туристичних послуг. Соціальнопросторова модель організації послуг харчування. Сутність і соціальноекономічна значущість харчування у сфері туристичних послуг Дядечко Л.
80540. ОРГАНІЗАЦІЯ РЕКРЕАЦІЙНИХ ПОСЛУГ 84 KB
  Поняття рекреаційних послуг Реформування суспільного виробництва зміна характеру праці збільшення вільного часу поліпшення екологічної ситуації та багато інших процесів визначають значні масштаби розвитку сфери рекреації. У звязку з цим виникла необхідність уточнення поняття рекреації та визначення її ролі у соціальноекономічному розвитку регіону. В одних випадках аналізується розвиток ок ремих типів рекреаційних обєктів в інших – досліджується функціонування певних підсистем а ще в інших – визначається стан і шляхи розвитку визна...
80541. Туристична послуга як основна складова сфери послуг 383 KB
  Туристична послуга – основна складова сфери послуг. Структура предмета його звязок з іншими навчальними дисциплінами Рекреаційна діяльність безпосередньо впливає на економіку регіону та держави через споживання рекреаційних послуг.
80542. СЕГМЕНТИ СФЕРИ ТУРИСТИЧНИХ ПОСЛУГ 63.5 KB
  Переважно це: Послуги по розміщенню туристів; Комунікативні послуги в т. по переміщенню туристів різними видами транспорту; Послуги по забезпеченню туристів харчуванням; Послуги спрямовані на задоволення рекреаційних і культурних потреб туристів; Послуги спрямовані на задоволення ділових інтересів туристів; Послуги торгових підприємств: продаж різних сувенірів та інше; Послуги по оформленню документації оформлення віз закордонних паспортів. Сутність туристичних послуг Послуги розміщення це конкретний готель який пропонується...
80543. Надходження (доходи) підприємств, формування і розподіл прибутку 162 KB
  Внутрішні грошові надходження згідно з чинною практикою обліку та звітності включають: виручку від реалізації продукції робіт і послуг; виручку від іншої реалізації; доходи від позареалізаційних операцій. Виручка від реалізації продукції робіт і послуг залежить від основної діяльності підприємства тому на неї припадає найбільша частка внутрішніх грошових надходжень. Відповідно грошові надходження підприємств тепер включають: Доходи від основної операційної діяльності – виручка від реалізації продукції товарів робіт послуг. На...
80544. Система оподаткування юридичних осіб в Україні 122 KB
  Податковими платежами вважаються наступні форми платежів: податок збір і плата дають наступні визначеня податкових платежів: податок – це обов’язковий платіж який стягується до бюджетів усіх рівнів з фізичних та юридичних осіб у безпірному порядку; збір – це платіж який стягується в основному до державних цільових фондів та місцевих бюджетів; плата – це сума коштів яка повертається державі в основному за тимчасове або постійне користуваня ресурсамиrdquo;.Податки 1податок на додану вартість 2акцизний збір 3податок на прибуток...
80545. Основи організації та нормування оборотних активів підприємства 76 KB
  У процесі виробництва беруть участь засоби праці предмети праці і власне праця. Залежно від характеру функціонування та способу перенесення вартості на готову продукцію засоби виробництва поділяють на необоротні і оборотні. Існують різні думки фінансистів щодо визначення сутності оборотного капіталу: Оборотні кошти – грошові ресурси вкладені у оборотні фонди і фонди обігу для забезпечення безперервності виробництва і реалізації продукції. ОК – кошти авансовані у оборотні фонди і фонди обігу обертання для безперервності виробництва...
80546. Необхідність кредитування підприємств 140.5 KB
  Кредитування підприємств ТЕМА: Необхідність кредитування підприємств. Суть функції і принципи кредитування. Одержання кредиту. Таким чином виникнення і функціонування кредиту повязане з необхідністю забезпечення безперервного процесу відтворення.