1310

Числовые характеристики случайных величин

Доклад

Математика и математический анализ

Математическое ожидание. Формула для вычисления математического ожидания случайной величины по плотности распределения. Дисперсией случайной величины. Среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Русский

2013-01-06

73 KB

104 чел.

Числовые характеристики случайных величин.

1.Математическое ожидание.

Случайной величиной ξ называется действительная функция ξ = ξ (ω) , ω принадлежит σ , такую что при любом x { ω: ξ(ω) < x} принадлежит U

Дискретной случайной величиной (Д.С.В.) называют случайную величину, множество возможных значений которой - конечное или счетное множество.

(определение с пар) – ДСВ – если множества значений случайно величины не более чем счетно.

Математическим ожиданием случайной величины с заданной на вероятностном пространстве (σ,U,P), называется число Мξ= ∫ ξ(ω)P(dω)

 

Математическим ожиданием Д.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

если ряд абсолютно сходится.

Если ряд абсолютно не сходится, то говорят что мат. ожидание случайной величины ξ не существует.

Опр: начальный момент k-го порядка.

Математическим ожиданием Н.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

Мξ=∫ ... ∫ ξ(u1, … , un) π(u1, … , un)du1…dun , если интеграл абсолютно сходится.

(Если не сходится то - не существует.)

Формула для вычисления мат. ожидания случайной величины по плотности распределения

 

Пример: Математическое ожидание суммы для дискретных случайных величин.

 M(ξ+η)=∑(xk+yl)pkl=∑(xk+yl)P(ξ=xk,η= yl)= ∑xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=

 k,l k,l  k,l  k,l 

=xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=∑xk P(ξ= xk)+ ∑ yl P(η= yl)=Mξ+Mη

 k l  l k  k l

Свойства математического ожидания:

  1.  Если С-постоянная, то МС=С
  2.  Если С-постоянная, то М(Сξ)= С Мξ
  3.  Для любых величин ξ, | Мξ |<=М|ξ|
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, М(ξ1 + ξ2)= Мξ1 + Мξ2
  5.  Если случайные величины ξ1 и ξ2 независимы, то Мξ1ξ2= Мξ1*Мξ2

2.Дисперсия.

Дисперсией случайной величины X , D[X ], называется число D[X ] M( X M[X ])2.

По определению дисперсия – это второй центральный момент.

На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой

D[X ] M[Χ2 ] (M[X ])2

Среднеквадратическое отклонение случайной величины σ= √D(x)

Формула для дисперсии суммы двух произвольных случайных величин:

D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2+2 cov(ξ1 , ξ2)

Она выводится из формул:

D(ξ1 + ξ2)= М[(ξ1 + ξ2)- М(ξ1 + ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)+ (ξ2 -M ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)2+ (ξ2 -M ξ2)2+2 (ξ1 -M ξ1) (ξ2 -M ξ2)]

И cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Дискретные распределения

Непрерывные распределения

  1.  Вырожденное распределение:

P(ξ=a)=1

a-постоянная

  1.  Равномерное распределение на [a,b], a<b

  1.  Биномиальное распределение:

0<x<1

P(ξ=k)=Cnk pk(1-p)n-k

K=0,1,…,n

  1.  Распределение Пуассона.

k=0,1,….

  1.  Геометрическое распределение(0<p<1):

n=0,1, …

Свойства дисперсии:

  1.  Для любой случайной величины ξ имеем Dξ>=0
  2.  Если c-постоянная, то Dc=0
  3.  Если c-постоянная, то D(cξ)=c2Dξ
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2

3. Ковариация.

Ковариацией случайных величин ξ1 и ξ2 называется число cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Используя свойства мат. ожидания, легко получить следующую формулу cov(ξ1 , ξ2)=Mξ1ξ2 - М ξ1*M ξ2

Очевидно, что cov(ξ, ξ)=D ξ

5. Коэффициент корреляции.

коэффициент корреляции .

Свойства коэффициента корреляции:

  1.  его модуль не превосходит единицы, т.е. ;
  2.  если  и  независимы, то k( , )=0 (обратное неверно!);
  3.  если , то случайные величины  и  связаны функциональной зависимостью вида  = a +b, где a и b – постоянные.

Моментом k-порядка случайной величины ξ называется число Мξk .

М(ξξ)k центральным моментом порядка k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18219. Загальна характеристика та основи методики розвитку рухових здібностей 262 KB
  Змістовий модуль 3 Тема 6. Загальна характеристика та основи методики розвитку рухових здібностей. Поняття про рухові здібності та основні форми їх прояву. 1.1. Визначення поняття рухові здібності потенціальні та актуальні рухові здібності конди
18220. Теорія і методика фізичного виховання, як наукова та навчальна дисципліна. Система фізичного виховання 122 KB
  Змістовий модуль 1 Тема 1. Теорія і методика фізичного виховання як наукова та навчальна дисципліна. Система фізичного виховання. Під терміном теорія в науці і зокрема в ТМФВ розуміють систему основних ідей форму наукового знання що дає цілісне уявлення про законо...
18221. Урок – основна форма фізичного виховання молодших школярів 308.5 KB
  Змістовий модуль 4 Тема 8. Урок основна форма фізичного виховання молодших школярів. Зміст навчального предмету Фізична культура. 1.1. Аналіз програми Основи здоровя і фізична культура Київ 2001 року програмовий матеріал години на проходження зміст к...
18222. Фізична культура в системі виховання дітей шкільного віку 106.5 KB
  Змістовий модуль 5 Тема 10. Фізична культура в системі виховання дітей шкільного віку. План. Соціальнопедагогічне значення фізичної культури дітей шкільного віку. 1.1. Мета завдання спрямованість фізичного виховання школярів. 1.2. Вікові особливості розвитк...
18223. Форми організації занять фізичними вправами в школі 174 KB
  Змістовий модуль 4 Тема 7. Форми організації занять фізичними вправами в школі. Форми фізичного виховання протягом навчального дня. 1.1. Гімнастика перед заняттями. 1.2. Фізкультурні хвилинки і фізкультурні паузи. 1.3. Години здоровя. 1.4. Спортивна година в групах подо...
18224. Математичні терміни 154.5 KB
  Математичні терміни. Твердження судження думка в якій виділяється певний об'єкт встановлюються його властивості або зв'язки з іншими об'єктами. Ознака думка про властивість об'єктів. Ознака істотна ознака без якої об'єкт існувати не може. Ознака неі...
18225. Поняття інформаційних системи, б/д - визначення, властивості, етапи розвитку, класифікація; інформаційна модель концептуального рівня 94.5 KB
  Поняття інформаційних системи б/д визначення властивості етапи розвитку класифікація; інформаційна модель концептуального рівня. 1.1. Поняття інформаційної системи. При самому загальному підході інформаційну систему ІС можна визначити як сукупність організац
18226. Реляційне числення. Мова Альфа 87.5 KB
  Реляційне числення. Мова Альфа Реляційне числення Кодда є одним із найважливіших наріжних каменів теорії реляційних моделей баз даних. У СУБД що існували до появи реляційного підходу було багато засобів для обробки даних і формулювання запитів. Основою для їх р
18227. Логічне проектування баз даних 106.5 KB
  Логічне проектування баз даних. Функціональна залежність. При логічному проектуванні баз даних вирішуються проблеми відображення обєктів предметної області в абстрактні обєкти моделі даних. Це відображення не повинно бути у протиріччі з семантикою предметної