1310

Числовые характеристики случайных величин

Доклад

Математика и математический анализ

Математическое ожидание. Формула для вычисления математического ожидания случайной величины по плотности распределения. Дисперсией случайной величины. Среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Русский

2013-01-06

73 KB

103 чел.

Числовые характеристики случайных величин.

1.Математическое ожидание.

Случайной величиной ξ называется действительная функция ξ = ξ (ω) , ω принадлежит σ , такую что при любом x { ω: ξ(ω) < x} принадлежит U

Дискретной случайной величиной (Д.С.В.) называют случайную величину, множество возможных значений которой - конечное или счетное множество.

(определение с пар) – ДСВ – если множества значений случайно величины не более чем счетно.

Математическим ожиданием случайной величины с заданной на вероятностном пространстве (σ,U,P), называется число Мξ= ∫ ξ(ω)P(dω)

 

Математическим ожиданием Д.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

если ряд абсолютно сходится.

Если ряд абсолютно не сходится, то говорят что мат. ожидание случайной величины ξ не существует.

Опр: начальный момент k-го порядка.

Математическим ожиданием Н.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

Мξ=∫ ... ∫ ξ(u1, … , un) π(u1, … , un)du1…dun , если интеграл абсолютно сходится.

(Если не сходится то - не существует.)

Формула для вычисления мат. ожидания случайной величины по плотности распределения

 

Пример: Математическое ожидание суммы для дискретных случайных величин.

 M(ξ+η)=∑(xk+yl)pkl=∑(xk+yl)P(ξ=xk,η= yl)= ∑xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=

 k,l k,l  k,l  k,l 

=xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=∑xk P(ξ= xk)+ ∑ yl P(η= yl)=Mξ+Mη

 k l  l k  k l

Свойства математического ожидания:

  1.  Если С-постоянная, то МС=С
  2.  Если С-постоянная, то М(Сξ)= С Мξ
  3.  Для любых величин ξ, | Мξ |<=М|ξ|
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, М(ξ1 + ξ2)= Мξ1 + Мξ2
  5.  Если случайные величины ξ1 и ξ2 независимы, то Мξ1ξ2= Мξ1*Мξ2

2.Дисперсия.

Дисперсией случайной величины X , D[X ], называется число D[X ] M( X M[X ])2.

По определению дисперсия – это второй центральный момент.

На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой

D[X ] M[Χ2 ] (M[X ])2

Среднеквадратическое отклонение случайной величины σ= √D(x)

Формула для дисперсии суммы двух произвольных случайных величин:

D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2+2 cov(ξ1 , ξ2)

Она выводится из формул:

D(ξ1 + ξ2)= М[(ξ1 + ξ2)- М(ξ1 + ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)+ (ξ2 -M ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)2+ (ξ2 -M ξ2)2+2 (ξ1 -M ξ1) (ξ2 -M ξ2)]

И cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Дискретные распределения

Непрерывные распределения

  1.  Вырожденное распределение:

P(ξ=a)=1

a-постоянная

  1.  Равномерное распределение на [a,b], a<b

  1.  Биномиальное распределение:

0<x<1

P(ξ=k)=Cnk pk(1-p)n-k

K=0,1,…,n

  1.  Распределение Пуассона.

k=0,1,….

  1.  Геометрическое распределение(0<p<1):

n=0,1, …

Свойства дисперсии:

  1.  Для любой случайной величины ξ имеем Dξ>=0
  2.  Если c-постоянная, то Dc=0
  3.  Если c-постоянная, то D(cξ)=c2Dξ
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2

3. Ковариация.

Ковариацией случайных величин ξ1 и ξ2 называется число cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Используя свойства мат. ожидания, легко получить следующую формулу cov(ξ1 , ξ2)=Mξ1ξ2 - М ξ1*M ξ2

Очевидно, что cov(ξ, ξ)=D ξ

5. Коэффициент корреляции.

коэффициент корреляции .

Свойства коэффициента корреляции:

  1.  его модуль не превосходит единицы, т.е. ;
  2.  если  и  независимы, то k( , )=0 (обратное неверно!);
  3.  если , то случайные величины  и  связаны функциональной зависимостью вида  = a +b, где a и b – постоянные.

Моментом k-порядка случайной величины ξ называется число Мξk .

М(ξξ)k центральным моментом порядка k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43874. Жилой одноквартирный дом в городе Шира 1.23 MB
  Жилой дом является композиционной основой усадьбы, и правильный выбор его местонахождения во многом определяет планировочную структуру участка и последующее удобство его эксплуатации. Предполагается, что участок находится на окраине города, где нет интенсивного движения транспорта и вредного воздействия газов, вырабатываемых инфраструктурой города.
43876. Розрахунок привода зубчастого редуктора 2.21 MB
  Вибираємо марку та потужність електродвигуна Потужність на вихідному валу: кВт.1 Розрахунок зубчастих передач редуктора Види матеріалу: Для скорочення номенклатури матеріалів вибираємо однакові марки сталі для шестерні колеса Сталь 40Х поліпшену. Колова швидкість зубчатих коліс рад с; м с; Для змащування редуктора використовуємо мастило марки ИРП150. Арк № докум Підпис Дата Розроб.
43877. Разработка информационной системы для оценки уровня уязвимости объектов транспортной инфраструктуры 7.1 MB
  Обеспечение высокого уровня безопасности на железнодорожном транспорте является в настоящее время одной из первостепенных задач государства и организаций, осуществляющих железнодорожные перевозки. Если сравнить количество пассажиров и грузов, перевозимых различными видами транспорта внутри страны, то окажется, что на долю железнодорожных перевозок приходится весьма ощутимая их часть.
43878. Разработка программы обучения персонала продажам банковских услуг ООО «Хоум Кредит энд Финанс Банк» 984.5 KB
  Подходы к созданию программ обучения персонала Корпоративные стандарты Кейс Организация обучения персонала в ООО Хоум Кредит энд Финанс...
43879. Процесс влияния состояния основных средств на деятельность таможенных органов 547 KB
  Еще одно принципиальное нововведение - глубокий аналитический учет, обязательный и единообразный для всех субъектов бюджетного учета. Это достигается путем интеграции кодов бюджетной классификации в номер бухгалтерского счета. Кроме того, вводится еще один вид бюджетной классификации - классификация операций сектора государственного управления.
43880. Программный комплекс расчета комплексной нетранзитивности отношения превосходства на группе объектов 7.88 MB
  Требования к помещениям для работы с ПЭВМ Требования к уровням электромагнитного и электростатического полей в помещениях с ВДТ и ПЭВМ Требования к режиму работы пользователя ПЭВМ Вредные факторы возникающие при работе на ПЭВМ Вид работы Вредные факторы Действие на организм Средства Защиты Пользователь ПЭВМ Отклонение параметров микроклимата от нормы Охлаждение или перегрев Системы отопления или кондиционирования Неправильное освещение
43881. Организация управленческого учета на примере ООО «Фабрика мебели «Роникон» 840 KB
  Теоретические основы управленческого учета Сущность субъект и объект цели и задачи методы и принципы управленческого учета Пути совершенствования системы управленческого учета на ООО Фабрика мебели Роникон
43882. Визначення та наукове обгрунтування психолого-педагогічних умов подолання особистісної тривожності у дітей молодшого шкільного віку та пятикласників 959.5 KB
  Підходи науковців до реалізації наступності зорієнтовані передусім на інтеграцію двох ланок освіти, усунення суперечок між запитами школи і амбіційним завищеними вимогами окремих батьків щодо підготовки їхніх дітей; між непідготовленістю окремих учнів, які не відвідували дошкільних установ, і необхідністю враховувати специфіку дошкільної освіти.