1310

Числовые характеристики случайных величин

Доклад

Математика и математический анализ

Математическое ожидание. Формула для вычисления математического ожидания случайной величины по плотности распределения. Дисперсией случайной величины. Среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Русский

2013-01-06

73 KB

103 чел.

Числовые характеристики случайных величин.

1.Математическое ожидание.

Случайной величиной ξ называется действительная функция ξ = ξ (ω) , ω принадлежит σ , такую что при любом x { ω: ξ(ω) < x} принадлежит U

Дискретной случайной величиной (Д.С.В.) называют случайную величину, множество возможных значений которой - конечное или счетное множество.

(определение с пар) – ДСВ – если множества значений случайно величины не более чем счетно.

Математическим ожиданием случайной величины с заданной на вероятностном пространстве (σ,U,P), называется число Мξ= ∫ ξ(ω)P(dω)

 

Математическим ожиданием Д.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

если ряд абсолютно сходится.

Если ряд абсолютно не сходится, то говорят что мат. ожидание случайной величины ξ не существует.

Опр: начальный момент k-го порядка.

Математическим ожиданием Н.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

Мξ=∫ ... ∫ ξ(u1, … , un) π(u1, … , un)du1…dun , если интеграл абсолютно сходится.

(Если не сходится то - не существует.)

Формула для вычисления мат. ожидания случайной величины по плотности распределения

 

Пример: Математическое ожидание суммы для дискретных случайных величин.

 M(ξ+η)=∑(xk+yl)pkl=∑(xk+yl)P(ξ=xk,η= yl)= ∑xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=

 k,l k,l  k,l  k,l 

=xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=∑xk P(ξ= xk)+ ∑ yl P(η= yl)=Mξ+Mη

 k l  l k  k l

Свойства математического ожидания:

  1.  Если С-постоянная, то МС=С
  2.  Если С-постоянная, то М(Сξ)= С Мξ
  3.  Для любых величин ξ, | Мξ |<=М|ξ|
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, М(ξ1 + ξ2)= Мξ1 + Мξ2
  5.  Если случайные величины ξ1 и ξ2 независимы, то Мξ1ξ2= Мξ1*Мξ2

2.Дисперсия.

Дисперсией случайной величины X , D[X ], называется число D[X ] M( X M[X ])2.

По определению дисперсия – это второй центральный момент.

На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой

D[X ] M[Χ2 ] (M[X ])2

Среднеквадратическое отклонение случайной величины σ= √D(x)

Формула для дисперсии суммы двух произвольных случайных величин:

D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2+2 cov(ξ1 , ξ2)

Она выводится из формул:

D(ξ1 + ξ2)= М[(ξ1 + ξ2)- М(ξ1 + ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)+ (ξ2 -M ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)2+ (ξ2 -M ξ2)2+2 (ξ1 -M ξ1) (ξ2 -M ξ2)]

И cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Дискретные распределения

Непрерывные распределения

  1.  Вырожденное распределение:

P(ξ=a)=1

a-постоянная

  1.  Равномерное распределение на [a,b], a<b

  1.  Биномиальное распределение:

0<x<1

P(ξ=k)=Cnk pk(1-p)n-k

K=0,1,…,n

  1.  Распределение Пуассона.

k=0,1,….

  1.  Геометрическое распределение(0<p<1):

n=0,1, …

Свойства дисперсии:

  1.  Для любой случайной величины ξ имеем Dξ>=0
  2.  Если c-постоянная, то Dc=0
  3.  Если c-постоянная, то D(cξ)=c2Dξ
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2

3. Ковариация.

Ковариацией случайных величин ξ1 и ξ2 называется число cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Используя свойства мат. ожидания, легко получить следующую формулу cov(ξ1 , ξ2)=Mξ1ξ2 - М ξ1*M ξ2

Очевидно, что cov(ξ, ξ)=D ξ

5. Коэффициент корреляции.

коэффициент корреляции .

Свойства коэффициента корреляции:

  1.  его модуль не превосходит единицы, т.е. ;
  2.  если  и  независимы, то k( , )=0 (обратное неверно!);
  3.  если , то случайные величины  и  связаны функциональной зависимостью вида  = a +b, где a и b – постоянные.

Моментом k-порядка случайной величины ξ называется число Мξk .

М(ξξ)k центральным моментом порядка k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21522. Медицинские части и учреждения объединений 207 KB
  Использование имеющихся сил и средств для эвакуации раненых и больных из мпп и районов массовых санитарных потерь в омо и омедб а также эвакуация раненых и больных своим приданным санитарным транспортом в военные полевые госпитали госпитальной базы пгб. Возможность по эвакуации более 1700 раненых и больных за один рейс; В. На отдельный медицинский отряд возлагаются следующие задачи:  эвакуация раненых и больных на себя из мпп а в ряде случаев непосредственно из очагов массовых санитарных потерь;  прием регистрация медицинская...
21523. Медицинская служба ВС РФ в чрезвычайных ситуациях мирного времени 91 KB
  Она характеризующуюся неопределенностью и сложностью принятия решений значительным экологическим ущербом человеческими жертвами необходимостью помощи извне и вследствие этого крупных людских материальных и временных затрат на проведение эвакуационноспасательных работ и ликвидацию последствий этих аварий катастроф и бедствий. Перед медицинскими формированиями Министерства Обороны работающими совместно со службой экстренной медицинской помощи Министерства Здравоохранения стоят аналогичные с ней задачи а именно: восстановление...
21524. Понятие о военной и экстремальной медицине 252 KB
  Необходимые базы обеспечивающие развитие теории и совершенствование практики здравоохранения ВС является военномедицинской организацией которая представлена специально предназначенными для этого силами и средствами объединёнными Вооруженных Сил в специализированную систему действующую на основе определённых принципов и правил военномедицинскую службу. Следовательно в своём становлении и развитии военная медицина базируется не только на общих положениях медицинской но также в не меньшей степени и военной науки. Вместе с тем...
21525. Задачи и организация медицинской службы Вооруженных Сил Российской Федерации в военное время 110.5 KB
  Задачи и организация медицинской службы Вооруженных Сил Российской Федерации в военное время Учебные вопросы: 1. Основные задачи медицинской службы Российской Армии в военное время их краткое содержание и значение. Перед медицинской службой стоят следующие основные задачи: Обеспечение высокой боевой готовности сил и средств медицинской службы. Проведение мероприятий медицинской службы по защите личного состава войск а также защиты соединений частей и учреждений медицинской службы от оружия массового поражения.
21526. Санитарные потери войск 145.5 KB
  Принимая во внимание поражающую способность современного огнестрельного оружия и высокую степень бронезащищённности войск значительная часть личного состава укрыта за бронёй танков бронетранспортёров боевых машин пехоты следует ожидать увеличения удельного веса закрытых травм в особенности закрытых травм мозга которые могут составить 57 общего числа санитарных потерь от огнестрельного оружия. Таким образом следующей особенностью поражающего действия ядерного оружия надо считать изменчивость структуры причиняемых им потерь. Величина...
21527. ОТРАВЛЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКИМИ ЖИДКОСТЯМИ: клиника, диагностика, лечение 131.5 KB
  Многие из технических жидкостей высокотоксичны и при определенных условиях могут вызвать как острые так и хронические отравления личного состава. Наиболее часто встречаются и тяжело протекают острые отравления такими веществами как этиленгликоль и его производные хлорированные углеводороды дихлорэтан четыреххлористый углерод трихлорэтилен метиловый спирт. Острые отравления ядовитыми техническими жидкостями это трудный для диагностики и сложный для лечения раздел клинической токсикологии имеющий большую актуальность и важное...
21528. ОТРАВЛЕНИЯ ФИТОТОКСИКАНТАМИ 248.5 KB
  ВВЕДЕНИЕ Боевые фитотоксиканты БФТ фитотоксиканты боевого применения гербициды военного предназначения токсичные химические вещества предназначенные для поражения и уничтожения различных видов растительности с военными целями. Возможны поражения людей при вдыхании аэрозолей употреблении зараженных продуктов и воды. Производные дихлор и трихлорфеноксиуксусных кислот обладают сравнительно невысокой токсичностью но при действии в больших дозах могут наблюдаться тяжелые поражения смертельные отравления у человека возможны при...
21529. ОТРАВЛЯЮЩИЕ ВЕЩЕСТВА ОБЩЕТОКСИЧЕСКОГО ДЕЙСТВИЯ 126.5 KB
  Острые отравления: Руководство для врачей. НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ Таблицы и слайды по теме: Отравления цианидами и монооксидом углерода. Известно также что в США применяется смертная казнь посредством отравления осужденных парами синильной кислоты в специальной камере. Могут быть и отравления цианидами вследствие употребления в пищу большого количества семян миндаля персика абрикоса вишни сливы и других растений семейства розовоцветных или настоек из их плодов.
21530. ПОРАЖЕНИЯ ОТРАВЛЯЮЩИМИ ВЕЩЕСТВАМИ ОБЩЕТОКСИЧЕСКОГО ДЕЙСТВИЯ: КЛИНИКА, ДИАГНОСТИКА, ЛЕЧЕНИЕ, ЭТАПНОЕ ЛЕЧЕНИЕ 127 KB
  К отравляющим веществам общетоксического действия относятся следующие вещества: синильная кислота цианистый калий натрий хлорциан бромциан моноОксид углерода. ОТРАВЛЕНИЯ МОНООКСИДОМ УГЛЕРОДА УГАРНЫМ ГАЗОМ. Монооксид углерода газ без цвета и запаха. Монооксид углерода относится к веществам общетоксического действия.