1310

Числовые характеристики случайных величин

Доклад

Математика и математический анализ

Математическое ожидание. Формула для вычисления математического ожидания случайной величины по плотности распределения. Дисперсией случайной величины. Среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Русский

2013-01-06

73 KB

103 чел.

Числовые характеристики случайных величин.

1.Математическое ожидание.

Случайной величиной ξ называется действительная функция ξ = ξ (ω) , ω принадлежит σ , такую что при любом x { ω: ξ(ω) < x} принадлежит U

Дискретной случайной величиной (Д.С.В.) называют случайную величину, множество возможных значений которой - конечное или счетное множество.

(определение с пар) – ДСВ – если множества значений случайно величины не более чем счетно.

Математическим ожиданием случайной величины с заданной на вероятностном пространстве (σ,U,P), называется число Мξ= ∫ ξ(ω)P(dω)

 

Математическим ожиданием Д.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

если ряд абсолютно сходится.

Если ряд абсолютно не сходится, то говорят что мат. ожидание случайной величины ξ не существует.

Опр: начальный момент k-го порядка.

Математическим ожиданием Н.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

Мξ=∫ ... ∫ ξ(u1, … , un) π(u1, … , un)du1…dun , если интеграл абсолютно сходится.

(Если не сходится то - не существует.)

Формула для вычисления мат. ожидания случайной величины по плотности распределения

 

Пример: Математическое ожидание суммы для дискретных случайных величин.

 M(ξ+η)=∑(xk+yl)pkl=∑(xk+yl)P(ξ=xk,η= yl)= ∑xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=

 k,l k,l  k,l  k,l 

=xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=∑xk P(ξ= xk)+ ∑ yl P(η= yl)=Mξ+Mη

 k l  l k  k l

Свойства математического ожидания:

  1.  Если С-постоянная, то МС=С
  2.  Если С-постоянная, то М(Сξ)= С Мξ
  3.  Для любых величин ξ, | Мξ |<=М|ξ|
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, М(ξ1 + ξ2)= Мξ1 + Мξ2
  5.  Если случайные величины ξ1 и ξ2 независимы, то Мξ1ξ2= Мξ1*Мξ2

2.Дисперсия.

Дисперсией случайной величины X , D[X ], называется число D[X ] M( X M[X ])2.

По определению дисперсия – это второй центральный момент.

На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой

D[X ] M[Χ2 ] (M[X ])2

Среднеквадратическое отклонение случайной величины σ= √D(x)

Формула для дисперсии суммы двух произвольных случайных величин:

D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2+2 cov(ξ1 , ξ2)

Она выводится из формул:

D(ξ1 + ξ2)= М[(ξ1 + ξ2)- М(ξ1 + ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)+ (ξ2 -M ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)2+ (ξ2 -M ξ2)2+2 (ξ1 -M ξ1) (ξ2 -M ξ2)]

И cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Дискретные распределения

Непрерывные распределения

  1.  Вырожденное распределение:

P(ξ=a)=1

a-постоянная

  1.  Равномерное распределение на [a,b], a<b

  1.  Биномиальное распределение:

0<x<1

P(ξ=k)=Cnk pk(1-p)n-k

K=0,1,…,n

  1.  Распределение Пуассона.

k=0,1,….

  1.  Геометрическое распределение(0<p<1):

n=0,1, …

Свойства дисперсии:

  1.  Для любой случайной величины ξ имеем Dξ>=0
  2.  Если c-постоянная, то Dc=0
  3.  Если c-постоянная, то D(cξ)=c2Dξ
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2

3. Ковариация.

Ковариацией случайных величин ξ1 и ξ2 называется число cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Используя свойства мат. ожидания, легко получить следующую формулу cov(ξ1 , ξ2)=Mξ1ξ2 - М ξ1*M ξ2

Очевидно, что cov(ξ, ξ)=D ξ

5. Коэффициент корреляции.

коэффициент корреляции .

Свойства коэффициента корреляции:

  1.  его модуль не превосходит единицы, т.е. ;
  2.  если  и  независимы, то k( , )=0 (обратное неверно!);
  3.  если , то случайные величины  и  связаны функциональной зависимостью вида  = a +b, где a и b – постоянные.

Моментом k-порядка случайной величины ξ называется число Мξk .

М(ξξ)k центральным моментом порядка k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71804. КОММЕНТАРИЙ РЕГЛАМЕНТА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ДУМЫ ФЕДЕРАЛЬНОГО СОБРАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 133.5 KB
  Формально все три ветви государственной власти равны между собой; это означает что ни одна из них не может починять себе другую или вмешиваться в компетенцию друг друга. Такая конструкция во всем мире является исторически сложившейся и предполагает специализацию каждой из ветвей...
71805. К ВОПРОСУ О ТЕНДЕНЦИЯХ РАЗВИТИЯ СИСТЕМЫ ИПОТЕЧНОГО ЖИЛИЩНОГО КРЕДИТОВАНИЯ В РОССИИ 152 KB
  Например строительная компания Северный город холдинг RBI планирует продавать с использованием ипотечных схем ежемесячно примерно четверть строящегося жилья. В условиях ипотечных программ некоторых российских банков все чаще стали появляться так называемые плавающие изменяющиеся...
71806. ОТЧУЖДЕННЫЙ НАРОД, ИЛИ К ВОПРОСУ О НЕКОНСТИТУЦИОННОСТИ ОТМЕНЫ ВЫБОРОВ ГУБЕРНАТОРОВ 122.5 KB
  Конституционный Суд России постановлением от 21 декабря 2005 г. № 13-П1 наконец решил вопрос о конституционности порядка назначения губернаторов, установленного новой редакцией (от 11 декабря 2004 г.) Федерального закона «Об общих принципах организации законодательных...
71807. ПРОВЕДЕНИЕ ПРОВЕРОК БАНКОМ РОССИИ С УЧАСТИЕМ СЛУЖАЩИХ АГЕНТСТВА ПО СТРАХОВАНИЮ ВКЛАДОВ 79.5 KB
  В соответствии с инструкцией Банка России от 1 декабря 2003 г. № 108И Об организации инспекционной деятельности Центрального банка Российской Федерации Банка России проверки кредитных организаций проводят уполномоченные представителями Банка России.
71808. ПОНЯТИЕ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКОЙ КОРПОРАЦИИ ПО ПРАВУ США 110 KB
  Термин корпорация в американском праве имеет весьма широкое применение. В самом крупном промышленно наиболее развитом штате США Нью-Йорк в соответствии с законодательством все корпорации разделены на три группы: публичные непредпринимательские корпорации...
71809. ПОНЯТИЕ ЧЕСТИ И ДОСТОИНСТВА В РОССИЙСКОМ ПРАВЕ 116 KB
  Право на достоинство является по существу основной целью всех остальных прав человека. В этом смысле достоинство человека источник его прав и свобод. Достоинство это признание обществом социальной ценности уникальности человека значимости каждой личности как частицы человеческого общества.
71811. ПРАВОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ ЭФФЕКТИВНОЙ СИСТЕМЫ СТРАХОВОЙ ЗАЩИТЫ ИМУЩЕСТВЕННЫХ ИНТЕРЕСОВ ГРАЖДАН И ЮРИДИЧЕСКИХ ЛИЦ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 106.5 KB
  Это определяет стратегическую позицию страхования в странах с развитой рыночной экономикой. Система страхования играла вспомогательную роль. Для современной России ускоренное развитие страхования как механизма защиты имущественных интересов лиц становится особенно значимым.
71812. Перспективы федеративного объединения Российской Федерации и Республики Беларусь 88.5 KB
  Объединение России и Белоруссии в Союзное государство важнейший вопрос современности как для Российской Федерации так и для Республики Беларусь. Процесс государственно-правовой интеграции России и Белоруссии идет трудно кроме прочего по причине сопротивления ему со стороны влиятельных сил...