1310

Числовые характеристики случайных величин

Доклад

Математика и математический анализ

Математическое ожидание. Формула для вычисления математического ожидания случайной величины по плотности распределения. Дисперсией случайной величины. Среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Русский

2013-01-06

73 KB

103 чел.

Числовые характеристики случайных величин.

1.Математическое ожидание.

Случайной величиной ξ называется действительная функция ξ = ξ (ω) , ω принадлежит σ , такую что при любом x { ω: ξ(ω) < x} принадлежит U

Дискретной случайной величиной (Д.С.В.) называют случайную величину, множество возможных значений которой - конечное или счетное множество.

(определение с пар) – ДСВ – если множества значений случайно величины не более чем счетно.

Математическим ожиданием случайной величины с заданной на вероятностном пространстве (σ,U,P), называется число Мξ= ∫ ξ(ω)P(dω)

 

Математическим ожиданием Д.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

если ряд абсолютно сходится.

Если ряд абсолютно не сходится, то говорят что мат. ожидание случайной величины ξ не существует.

Опр: начальный момент k-го порядка.

Математическим ожиданием Н.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

Мξ=∫ ... ∫ ξ(u1, … , un) π(u1, … , un)du1…dun , если интеграл абсолютно сходится.

(Если не сходится то - не существует.)

Формула для вычисления мат. ожидания случайной величины по плотности распределения

 

Пример: Математическое ожидание суммы для дискретных случайных величин.

 M(ξ+η)=∑(xk+yl)pkl=∑(xk+yl)P(ξ=xk,η= yl)= ∑xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=

 k,l k,l  k,l  k,l 

=xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=∑xk P(ξ= xk)+ ∑ yl P(η= yl)=Mξ+Mη

 k l  l k  k l

Свойства математического ожидания:

  1.  Если С-постоянная, то МС=С
  2.  Если С-постоянная, то М(Сξ)= С Мξ
  3.  Для любых величин ξ, | Мξ |<=М|ξ|
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, М(ξ1 + ξ2)= Мξ1 + Мξ2
  5.  Если случайные величины ξ1 и ξ2 независимы, то Мξ1ξ2= Мξ1*Мξ2

2.Дисперсия.

Дисперсией случайной величины X , D[X ], называется число D[X ] M( X M[X ])2.

По определению дисперсия – это второй центральный момент.

На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой

D[X ] M[Χ2 ] (M[X ])2

Среднеквадратическое отклонение случайной величины σ= √D(x)

Формула для дисперсии суммы двух произвольных случайных величин:

D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2+2 cov(ξ1 , ξ2)

Она выводится из формул:

D(ξ1 + ξ2)= М[(ξ1 + ξ2)- М(ξ1 + ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)+ (ξ2 -M ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)2+ (ξ2 -M ξ2)2+2 (ξ1 -M ξ1) (ξ2 -M ξ2)]

И cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Дискретные распределения

Непрерывные распределения

  1.  Вырожденное распределение:

P(ξ=a)=1

a-постоянная

  1.  Равномерное распределение на [a,b], a<b

  1.  Биномиальное распределение:

0<x<1

P(ξ=k)=Cnk pk(1-p)n-k

K=0,1,…,n

  1.  Распределение Пуассона.

k=0,1,….

  1.  Геометрическое распределение(0<p<1):

n=0,1, …

Свойства дисперсии:

  1.  Для любой случайной величины ξ имеем Dξ>=0
  2.  Если c-постоянная, то Dc=0
  3.  Если c-постоянная, то D(cξ)=c2Dξ
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2

3. Ковариация.

Ковариацией случайных величин ξ1 и ξ2 называется число cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Используя свойства мат. ожидания, легко получить следующую формулу cov(ξ1 , ξ2)=Mξ1ξ2 - М ξ1*M ξ2

Очевидно, что cov(ξ, ξ)=D ξ

5. Коэффициент корреляции.

коэффициент корреляции .

Свойства коэффициента корреляции:

  1.  его модуль не превосходит единицы, т.е. ;
  2.  если  и  независимы, то k( , )=0 (обратное неверно!);
  3.  если , то случайные величины  и  связаны функциональной зависимостью вида  = a +b, где a и b – постоянные.

Моментом k-порядка случайной величины ξ называется число Мξk .

М(ξξ)k центральным моментом порядка k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38897. ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ ПРОДУКТИВНОСТИ ОТРАСЛИ КОРМОПРОИЗВОДСТВА В СПК «КАТП «ДЖАНКОЙ» ДЖАНКОЙСКОГО РАЙОНА АР КРЫМ 350.5 KB
  Одной из основных проблем животноводства остается производство кормов. При этом их продуктивность снизилась: надой на 1 фуражную корову упал с 3720 до 2847 кг молока то есть его производство уменьшилось более чем в 38 раза Для поднятия животноводства хозяйства необходимо совершенствовать систему кормопроизводства СПК КАТП Джанкой обратив внимание на поиск путей удешевления кормов так как именно их высокая себестоимость делает очень дорогой продукцию животноводства хозяйства и в конечном счете убыточной. Одной из основных причин...
38898. Освещение ЛГБТ-проблематики в современном Рунете 355 KB
  ДИПЛОМНАЯ РАБОТА на тему Освещение ЛГБТ проблематики в современном Рунете. ЛГБТ проблематика как одно из тематических направлений современных СМИ. Актуальность ЛГБТ проблематике в современном социуме 1. Правовые и профессионально-этические проблемы в освещении ЛГБТ проблематики.
38899. Специфика работы с ЛГБТ-проблематикой в рунете 334.5 KB
  Журналистика ДИПЛОМНАЯ РАБОТА на тему Специфика работы с ЛГБТпроблематикой в рунете. ЛГБТпроблематика как одно из тематических направлений современных СМИ. Обоснованность обращения к ЛГБТпроблематике в журналистском и публицистическом научном дискурсе. Правовая и профессиональноэтическая проблемы освещения ЛГБТпроблематики в СМИ.
38900. Міжпроцесна взаємодія в локальній обчислювальній мережі 364 KB
  Переваги використання локальних обчислювальної мережі. Визначення локальної обчислювальної мережі5 1. Модульна структура локальної мережі. Протокол Internet забезпечує при необхідності також фрагментацію і збір датаграм для передачі даних через мережі з малим розміром пакетів.
38901. УРОКИ-ЭКСКУРСИИ ПО МАТЕМАТИКЕ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ 560 KB
  Информатика УРОКИ-ЭКСКУРСИИ ПО МАТЕМАТИКЕ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА Студент Пахтаев Александр Остапович гр. Теоретические основы формирования познавательного интереса младших школьников 1. Особенности познавательного интереса младших школьников 10 1. Роль и значение нестандартных уроков по математике в формировании познавательного интереса младших школьников 25 1.
38902. ПОНЯТТЯ, ВИДИ І ЗНАЧЕННЯ НАСЛІДКІВ ЗЛОЧИНУ 172 KB
  Правове забезпечення охорони прав і свобод людини і громадянина, власності, громадського порядку та громадської безпеки, довкілля, конституційного устрою України від злочинних посягань, забезпечення миру і безпеки людства, а також запобігання злочинам
38903. Исследование законов движения тел по наклонной плоскости 346.5 KB
  Цель работы: проверка законов сохранения энергии для поступательного и вращательного движения тел по наклонной плоскости с учетом силы трения.1 Сила трения Силы трения появляются при перемещении соприкасающихся тел или их частей друг относительно друга. Трение возникающее при относительном перемещении двух соприкасающихся тел называется внешним; трение между частями одного и того же сплошного тела например жидкости или газа носит название внутреннего трения. Сила и есть сила трения покоя.
38904. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ЭНЕРГИИ УДАРА 2.35 MB
  Лаборатория Физические основы механики ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № ФМ5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ЭНЕРГИИ УДАРА ТРЕБОВАНИЯ ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ: Перед включением электроприборов проверить целостность шнуров питания вилки и заземление. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение перераспределения энергии соударяющихся тел определение времени удара. Удар называется центральным если в момент удара центры инерции сталкивающихся тел находятся на одной прямой. Различают два предельных случая удара абсолютно упругий и абсолютно неупругий.
38905. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГОГО УДАРА 1.5 MB
  Лаборатория Физические основы механики ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № ФМ5 А ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГОГО УДАРА Методическое руководство подготовлено: к. Удар называется центральным если в момент удара центры инерции сталкивающихся тел находятся на одной прямой. Различают два предельных случая удара абсолютно упругий и абсолютно неупругий. После удара столкнувшиеся тела движутся вместе с одинаковой скоростью.