1310

Числовые характеристики случайных величин

Доклад

Математика и математический анализ

Математическое ожидание. Формула для вычисления математического ожидания случайной величины по плотности распределения. Дисперсией случайной величины. Среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Русский

2013-01-06

73 KB

104 чел.

Числовые характеристики случайных величин.

1.Математическое ожидание.

Случайной величиной ξ называется действительная функция ξ = ξ (ω) , ω принадлежит σ , такую что при любом x { ω: ξ(ω) < x} принадлежит U

Дискретной случайной величиной (Д.С.В.) называют случайную величину, множество возможных значений которой - конечное или счетное множество.

(определение с пар) – ДСВ – если множества значений случайно величины не более чем счетно.

Математическим ожиданием случайной величины с заданной на вероятностном пространстве (σ,U,P), называется число Мξ= ∫ ξ(ω)P(dω)

 

Математическим ожиданием Д.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

если ряд абсолютно сходится.

Если ряд абсолютно не сходится, то говорят что мат. ожидание случайной величины ξ не существует.

Опр: начальный момент k-го порядка.

Математическим ожиданием Н.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

Мξ=∫ ... ∫ ξ(u1, … , un) π(u1, … , un)du1…dun , если интеграл абсолютно сходится.

(Если не сходится то - не существует.)

Формула для вычисления мат. ожидания случайной величины по плотности распределения

 

Пример: Математическое ожидание суммы для дискретных случайных величин.

 M(ξ+η)=∑(xk+yl)pkl=∑(xk+yl)P(ξ=xk,η= yl)= ∑xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=

 k,l k,l  k,l  k,l 

=xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=∑xk P(ξ= xk)+ ∑ yl P(η= yl)=Mξ+Mη

 k l  l k  k l

Свойства математического ожидания:

  1.  Если С-постоянная, то МС=С
  2.  Если С-постоянная, то М(Сξ)= С Мξ
  3.  Для любых величин ξ, | Мξ |<=М|ξ|
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, М(ξ1 + ξ2)= Мξ1 + Мξ2
  5.  Если случайные величины ξ1 и ξ2 независимы, то Мξ1ξ2= Мξ1*Мξ2

2.Дисперсия.

Дисперсией случайной величины X , D[X ], называется число D[X ] M( X M[X ])2.

По определению дисперсия – это второй центральный момент.

На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой

D[X ] M[Χ2 ] (M[X ])2

Среднеквадратическое отклонение случайной величины σ= √D(x)

Формула для дисперсии суммы двух произвольных случайных величин:

D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2+2 cov(ξ1 , ξ2)

Она выводится из формул:

D(ξ1 + ξ2)= М[(ξ1 + ξ2)- М(ξ1 + ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)+ (ξ2 -M ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)2+ (ξ2 -M ξ2)2+2 (ξ1 -M ξ1) (ξ2 -M ξ2)]

И cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Дискретные распределения

Непрерывные распределения

  1.  Вырожденное распределение:

P(ξ=a)=1

a-постоянная

  1.  Равномерное распределение на [a,b], a<b

  1.  Биномиальное распределение:

0<x<1

P(ξ=k)=Cnk pk(1-p)n-k

K=0,1,…,n

  1.  Распределение Пуассона.

k=0,1,….

  1.  Геометрическое распределение(0<p<1):

n=0,1, …

Свойства дисперсии:

  1.  Для любой случайной величины ξ имеем Dξ>=0
  2.  Если c-постоянная, то Dc=0
  3.  Если c-постоянная, то D(cξ)=c2Dξ
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2

3. Ковариация.

Ковариацией случайных величин ξ1 и ξ2 называется число cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Используя свойства мат. ожидания, легко получить следующую формулу cov(ξ1 , ξ2)=Mξ1ξ2 - М ξ1*M ξ2

Очевидно, что cov(ξ, ξ)=D ξ

5. Коэффициент корреляции.

коэффициент корреляции .

Свойства коэффициента корреляции:

  1.  его модуль не превосходит единицы, т.е. ;
  2.  если  и  независимы, то k( , )=0 (обратное неверно!);
  3.  если , то случайные величины  и  связаны функциональной зависимостью вида  = a +b, где a и b – постоянные.

Моментом k-порядка случайной величины ξ называется число Мξk .

М(ξξ)k центральным моментом порядка k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21228. Психологические аспекты теории и практики обучения 32.62 KB
  Леонтьев учение рассматривал как тип ведущей деятельности. Которая не только занимается большой период времени но и в ее русле формируется мама личность ученика более частные виды деятельности. Платонов считал что учение это вид деятельности в процессе которой осуществляется обучение личности и достигается ее обученность Научение. Ительсон считал что научение это устойчивое целесообразное изменение физической и психической деятельности поведения которое возникает благодаря предшествующей деятельности и не вызывается непосредственно...
21229. Класифікація підприємств роздрібної торгівлі 28.21 KB
  Кінцевою ланкою, що завершує процес просування товарів від виробника до споживача, є роздрібна торгівля — діяльність субєктів товарного ринку з продажу товарів і надання додаткових послуг безпосередньо населенню. У роздрібній торгівлі товари переходять зі сфери обігу у сферу споживання
21230. Педагогическая деятельность 16.43 KB
  деятельности: обучающая воспитывающая организационная управленческая консультационнодиагностическая Во все виды входят 3 компонента: постановка цели и задач Включает в себя анализ педагогической ситуации совокупность условий в которых учитель ставит принимает и реализует пед. Решение пед задач идет в неск. педагогические средства и решения задач При выборе средств и способов пед.
21231. Педагогическое общение 13.69 KB
  Если рассматривать как сквозной процесс в обучение то необходимо выделить 2 основные модели общения: учебно дисциплинарную и личностно ориентированную. Стадии педагогического общения: Моделирование предстоящего общения. Организация непосредственного общения. Анализ общения.
21232. Социальная психология личности 18.89 KB
  Понимание личности в соц. существенно отличается от понимания личности в смежных науках: социология и общая психология. детерминации личности.
21233. Конфликт: функции и структура, динамика и топология. Способы психологической работы с конфликтами 20.22 KB
  Способы психологической работы с конфликтами Конфликт это трудно разрешимая ситуация которая может возникнуть в силу сложившейся дисгармонии межличностных отношений между людьми в обществе или группе а так же в результате нарушения равновесия между существующими в них структурами. Функции конфликта конструктивная он выступает источником развития и противоречия она призвана разрешать противоречия и как правило конфликт исчерпывается и как правило влечет к положительному завершения конфликта деструктивная в конфликте люди испытывают...
21234. ПРОДОЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАЩИТА 591.5 KB
  Поэтому релейная защита в указанных сетях должна быть в первую очередь быстродействующей то есть работать без выдержки времени. Продольная дифференциальная защита является защитой с абсолютной селективностью не реагирует на внешние КЗ токи нагрузки качания и за счёт этого она может действовать без выдержки времени и иметь высокую чувствительность. Поскольку защита должна работать без выдержки времени то необходимо принять в расчёт и переходные токи.
21235. ДИСТАНЦИОННАЯ ЗАЩИТА 87 KB
  Необходимо применение быстродействующей селективной защиты обладающей высокой чувствительностью в сетях любой конфигурации. Выдержка времени дистанционной защиты зависит от удалённости места КЗ.1 Основным органом дистанционной защиты является измерительный дистанционный орган определяющий удалённость КЗ.2 Трёхступенчатая дистанционная защита Для обеспечения селективности дистанционные защиты в сетях сложной конфигурации выполняются направленными и действуют только при направлении мощности КЗ в линию.
21236. ЗАЩИТА ГЕНЕРАТОРОВ 139 KB
  Защита должна действовать на отключение. Ток до 5 А считается безопасным и защита должна действовать на сигнал при токах более 5 А на отключение. Защита должна действовать на отключение.