1310

Числовые характеристики случайных величин

Доклад

Математика и математический анализ

Математическое ожидание. Формула для вычисления математического ожидания случайной величины по плотности распределения. Дисперсией случайной величины. Среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Русский

2013-01-06

73 KB

99 чел.

Числовые характеристики случайных величин.

1.Математическое ожидание.

Случайной величиной ξ называется действительная функция ξ = ξ (ω) , ω принадлежит σ , такую что при любом x { ω: ξ(ω) < x} принадлежит U

Дискретной случайной величиной (Д.С.В.) называют случайную величину, множество возможных значений которой - конечное или счетное множество.

(определение с пар) – ДСВ – если множества значений случайно величины не более чем счетно.

Математическим ожиданием случайной величины с заданной на вероятностном пространстве (σ,U,P), называется число Мξ= ∫ ξ(ω)P(dω)

 

Математическим ожиданием Д.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

если ряд абсолютно сходится.

Если ряд абсолютно не сходится, то говорят что мат. ожидание случайной величины ξ не существует.

Опр: начальный момент k-го порядка.

Математическим ожиданием Н.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

Мξ=∫ ... ∫ ξ(u1, … , un) π(u1, … , un)du1…dun , если интеграл абсолютно сходится.

(Если не сходится то - не существует.)

Формула для вычисления мат. ожидания случайной величины по плотности распределения

 

Пример: Математическое ожидание суммы для дискретных случайных величин.

 M(ξ+η)=∑(xk+yl)pkl=∑(xk+yl)P(ξ=xk,η= yl)= ∑xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=

 k,l k,l  k,l  k,l 

=xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=∑xk P(ξ= xk)+ ∑ yl P(η= yl)=Mξ+Mη

 k l  l k  k l

Свойства математического ожидания:

  1.  Если С-постоянная, то МС=С
  2.  Если С-постоянная, то М(Сξ)= С Мξ
  3.  Для любых величин ξ, | Мξ |<=М|ξ|
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, М(ξ1 + ξ2)= Мξ1 + Мξ2
  5.  Если случайные величины ξ1 и ξ2 независимы, то Мξ1ξ2= Мξ1*Мξ2

2.Дисперсия.

Дисперсией случайной величины X , D[X ], называется число D[X ] M( X M[X ])2.

По определению дисперсия – это второй центральный момент.

На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой

D[X ] M[Χ2 ] (M[X ])2

Среднеквадратическое отклонение случайной величины σ= √D(x)

Формула для дисперсии суммы двух произвольных случайных величин:

D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2+2 cov(ξ1 , ξ2)

Она выводится из формул:

D(ξ1 + ξ2)= М[(ξ1 + ξ2)- М(ξ1 + ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)+ (ξ2 -M ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)2+ (ξ2 -M ξ2)2+2 (ξ1 -M ξ1) (ξ2 -M ξ2)]

И cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Дискретные распределения

Непрерывные распределения

  1.  Вырожденное распределение:

P(ξ=a)=1

a-постоянная

  1.  Равномерное распределение на [a,b], a<b

  1.  Биномиальное распределение:

0<x<1

P(ξ=k)=Cnk pk(1-p)n-k

K=0,1,…,n

  1.  Распределение Пуассона.

k=0,1,….

  1.  Геометрическое распределение(0<p<1):

n=0,1, …

Свойства дисперсии:

  1.  Для любой случайной величины ξ имеем Dξ>=0
  2.  Если c-постоянная, то Dc=0
  3.  Если c-постоянная, то D(cξ)=c2Dξ
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2

3. Ковариация.

Ковариацией случайных величин ξ1 и ξ2 называется число cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Используя свойства мат. ожидания, легко получить следующую формулу cov(ξ1 , ξ2)=Mξ1ξ2 - М ξ1*M ξ2

Очевидно, что cov(ξ, ξ)=D ξ

5. Коэффициент корреляции.

коэффициент корреляции .

Свойства коэффициента корреляции:

  1.  его модуль не превосходит единицы, т.е. ;
  2.  если  и  независимы, то k( , )=0 (обратное неверно!);
  3.  если , то случайные величины  и  связаны функциональной зависимостью вида  = a +b, где a и b – постоянные.

Моментом k-порядка случайной величины ξ называется число Мξk .

М(ξξ)k центральным моментом порядка k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72596. Доминирующее положение на товарном рынке: порядок выявления, определения и доказывания. Качественные и количественные критерии доминирования 16.28 KB
  Доминирующим положением признается положение хозяйствующего субъекта группы лиц или нескольких хозяйствующих субъектов групп лиц на рынке определенного товара дающее такому хозяйствующему субъекту группе лиц или таким хозяйствующим субъектам группам лиц возможность оказывать решающее...
72597. Правовые последствия установления факта доминирования на рынке 11.4 KB
  Закона о конкуренции на товарных рынках; 2 необходимость установить доминирующее положение возникает при осуществлении предварительного и последующего государственного контроля за экономической концентрацией в соответствии со ст. 17 18 Закона о конкуренции на товарных рынках...
72598. Согласованные действия хозяйствующих субъектов. Аффилированные лица и группы лиц. Финансово-промышленные группы, холдинги, объединения (ассоциации и союзы) хозяйствующих субъектов 25.21 KB
  Холдинг -– это организация которая занимает ведущее положение потому что в ее активах находятся контрольные пакеты акций дочерних организаций. Предприятия входящие в холдинг могут быть формально независимы. Также существует так называемый банковский холдинг –- это банковская структура которая обеспечивает деятельность холдинговых компаний.
72599. Антимонопольный орган и его правовое положение. Функции антимонопольного органа. Полномочия антимонопольного органа 20.98 KB
  Федеральная антимонопольная служба является уполномоченным федеральным органом исполнительной власти осуществляющим функции по принятию нормативных правовых актов и контролю за соблюдением антимонопольного законодательства законодательства в сфере деятельности субъектов естественных...
72600. Правовые средства и формы регулирования, применяемые антимонопольными органами. Акты антимонопольных органов 16.44 KB
  Действующее антимонопольное законодательство предусматривает достаточно широкий спектр правовых средств антимонопольного регулирования применяемых компетентным государственным органом в строго определенных случаях и в определенном порядке. Формой антимонопольного реагирования чаще всего является предписание.
72601. Права работников антимонопольного органа при проведении проверок соблюдения антимонопольного законодательства. Обязанность представления информации в антимонопольный орган 12.97 KB
  При осуществлении контроля за соблюдением антимонопольного законодательства работники антимонопольного органа в соответствии с возложенными на них полномочиями при предъявлении ими служебных удостоверений и приказа руководителя антимонопольного органа о проведении проверки соблюдения...
72602. Сущность монополии. Монополия и юридическое лицо 17.61 KB
  Господство в экономике служит основой того влияния которое монополии оказывают на все сферы жизни страны. Следовательно главным признаком монопольного образования монополии является занятие монопольного положения.
72603. Сочетание монополии и конкуренции. Основные типы монополий 16.5 KB
  Монополией называют чаще всего крупную корпорацию, которая сосредоточивает в своих руках значительную долю производства и сбыта товаров и господствует на рынке с целью извлечения высокой прибыли. В данном случае речь идет о хозяйственной монополии.
72604. Понятие и виды монополистической деятельности. Монополистическая деятельность и свобода предпринимательства 16.23 KB
  Понятие и виды монополистической деятельности на товарном рынке Под монополистической деятельностью понимаются противоречащие антимонопольному законодательству действия бездействие хозяйствующих субъектов или федеральных органов исполнительной власти органов исполнительной власти субъектов...