1310

Числовые характеристики случайных величин

Доклад

Математика и математический анализ

Математическое ожидание. Формула для вычисления математического ожидания случайной величины по плотности распределения. Дисперсией случайной величины. Среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Русский

2013-01-06

73 KB

104 чел.

Числовые характеристики случайных величин.

1.Математическое ожидание.

Случайной величиной ξ называется действительная функция ξ = ξ (ω) , ω принадлежит σ , такую что при любом x { ω: ξ(ω) < x} принадлежит U

Дискретной случайной величиной (Д.С.В.) называют случайную величину, множество возможных значений которой - конечное или счетное множество.

(определение с пар) – ДСВ – если множества значений случайно величины не более чем счетно.

Математическим ожиданием случайной величины с заданной на вероятностном пространстве (σ,U,P), называется число Мξ= ∫ ξ(ω)P(dω)

 

Математическим ожиданием Д.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

если ряд абсолютно сходится.

Если ряд абсолютно не сходится, то говорят что мат. ожидание случайной величины ξ не существует.

Опр: начальный момент k-го порядка.

Математическим ожиданием Н.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

Мξ=∫ ... ∫ ξ(u1, … , un) π(u1, … , un)du1…dun , если интеграл абсолютно сходится.

(Если не сходится то - не существует.)

Формула для вычисления мат. ожидания случайной величины по плотности распределения

 

Пример: Математическое ожидание суммы для дискретных случайных величин.

 M(ξ+η)=∑(xk+yl)pkl=∑(xk+yl)P(ξ=xk,η= yl)= ∑xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=

 k,l k,l  k,l  k,l 

=xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=∑xk P(ξ= xk)+ ∑ yl P(η= yl)=Mξ+Mη

 k l  l k  k l

Свойства математического ожидания:

  1.  Если С-постоянная, то МС=С
  2.  Если С-постоянная, то М(Сξ)= С Мξ
  3.  Для любых величин ξ, | Мξ |<=М|ξ|
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, М(ξ1 + ξ2)= Мξ1 + Мξ2
  5.  Если случайные величины ξ1 и ξ2 независимы, то Мξ1ξ2= Мξ1*Мξ2

2.Дисперсия.

Дисперсией случайной величины X , D[X ], называется число D[X ] M( X M[X ])2.

По определению дисперсия – это второй центральный момент.

На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой

D[X ] M[Χ2 ] (M[X ])2

Среднеквадратическое отклонение случайной величины σ= √D(x)

Формула для дисперсии суммы двух произвольных случайных величин:

D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2+2 cov(ξ1 , ξ2)

Она выводится из формул:

D(ξ1 + ξ2)= М[(ξ1 + ξ2)- М(ξ1 + ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)+ (ξ2 -M ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)2+ (ξ2 -M ξ2)2+2 (ξ1 -M ξ1) (ξ2 -M ξ2)]

И cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Дискретные распределения

Непрерывные распределения

  1.  Вырожденное распределение:

P(ξ=a)=1

a-постоянная

  1.  Равномерное распределение на [a,b], a<b

  1.  Биномиальное распределение:

0<x<1

P(ξ=k)=Cnk pk(1-p)n-k

K=0,1,…,n

  1.  Распределение Пуассона.

k=0,1,….

  1.  Геометрическое распределение(0<p<1):

n=0,1, …

Свойства дисперсии:

  1.  Для любой случайной величины ξ имеем Dξ>=0
  2.  Если c-постоянная, то Dc=0
  3.  Если c-постоянная, то D(cξ)=c2Dξ
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2

3. Ковариация.

Ковариацией случайных величин ξ1 и ξ2 называется число cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Используя свойства мат. ожидания, легко получить следующую формулу cov(ξ1 , ξ2)=Mξ1ξ2 - М ξ1*M ξ2

Очевидно, что cov(ξ, ξ)=D ξ

5. Коэффициент корреляции.

коэффициент корреляции .

Свойства коэффициента корреляции:

  1.  его модуль не превосходит единицы, т.е. ;
  2.  если  и  независимы, то k( , )=0 (обратное неверно!);
  3.  если , то случайные величины  и  связаны функциональной зависимостью вида  = a +b, где a и b – постоянные.

Моментом k-порядка случайной величины ξ называется число Мξk .

М(ξξ)k центральным моментом порядка k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45254. Выставка как форма ПР-акции: функции, классификация, этапы разработки и реализации 30.5 KB
  Выставки позволяют наглядно показать каких достижений добилась организация показать фирму с наиболее выгодной стороны и заинтересовать потенциальных потребителей. Функции: организация выставки вызывает у общественности мнение что фирма обладает положительными качествами: солидность успешность компетентность авторитетность. создание благоприятного общественного мнения о фирме в рамках выставки. Для чего проводятся мероприятия: освещение выставки в СМИ интервью доклады выступления с сообщением о деятельности фирмы качествах...
45255. Участие в выставке как В ПР акция: этапы организации, содержание информационной поддержки 31 KB
  Выбор конкретной выставки. стадия работы выставки работа в ходе функционирования выставки 5. Завязывание контактов в деловом мире страны-организатора выставки. Предоставление необходимой информации о самой фирме и ее продуктах формирование у потребителей знаний о конкретном товаре или услуге; формирование положительного имиджа фирмы доброжелательного отношения к ней поддержание репутации строительной фирмы на определенном этапе; поиск новых партнеров или агентов; формирование потребностей и стимулирование сбыта продукта; позиционирование...
45256. Выставочный стенд как форма ПР-коммуникаций: маркетинговые задачи, предметный формат, содержательное оформление 26 KB
  Маркетинговые задачи: Стенд это образ фирмы-экспонента в миниатюре воплощающий его общую предпринимательскую культуру. Отразить лицо фирмы.Иметь свое лицо название фирмы эмблема графическое изображение цвета что помогает идентификации фирмы и создает предпосылки для ее узнавания в будущем. Структура стенда: руководитель стенда документальное обеспечение представительские контакты с выставочным комитетом представление фирмы перед СМИ несколько стендистов рядовая публика привлечение к стенду и менеджер по продажам работа с...
45257. Антикризисная стратегия фирмы: этапы формирования и реализации 28 KB
  Антикризисная стратегия фирмы: этапы формирования и реализации Кризис это событие по вине которого компания попадает в центр не всегда доброжелательного внимания СМИ и других внешних целевых аудиторий в том числе акционеров политиков профсоюзных организации движений в защиту окружающей среды которые по той или иной причине вполне законно интересуются действиями организации. Реагирование на кризис: выявление сути проблемы идентификация источника выявление ключевых аудиторий расчет издержек информирование публичное заявление для СМИ...
45258. СМИ как ресурс реализации антикризисной программы фирмы 28 KB
  СМИ как ресурс реализации антикризисной программы фирмы. Кризис это событие по вине которого компания попадает в центр не всегда доброжелательного внимания СМИ и других внешних целевых аудиторий в том числе акционеров политиков профсоюзных организации движений в защиту окружающей среды которые по той или иной причине вполне законно интересуются действиями организации. Необходимо работать со СМИ они склонны искать и транслировать сенсации конфликты неоднозначные оценки слухи и т. Для СМИ важно кто первый обнародует сенсационный...
45259. Спонсоринг как разновидность PR-технологий: идеология, функции, приоритеты, мотивы, формы 29 KB
  В содержании программы должны быть представлены: Проблема вызывающая необходимость разработки программы. Цели конкретное представление о желаемом результате программы. Бюджет программы с конкретными статьями расходов.
45260. Попечительский совет как PR – ресурс фирмы: миссия, функции, этапы организации, приоритеты деятельности 30.5 KB
  Попечительский совет как PR ресурс фирмы: миссия функции этапы организации приоритеты деятельности. Но существуют некоторые общие функции которые присущи попечительскому совету любой организации: 1. создание положительного образа организации ПР; 3. лоббирование интересов организации на различных уровнях; 4 контроль за финансовой деятельностью организации; 5.
45261. Партнерские отношения как PR-ресурс организации: алгоритм работы со спонсором, содержание спонсорского пакета 29 KB
  Спонсорство обязано быть выгодным как самому спонсору так и инициатору проекта. описание проекта и его идеи с акцентом на деталях наиболее важных для спонсора дается оценка значения проекта для города региона и нужных спонсору социальных групп. программу с информацией о месте и времени события сценарий графики перечисление авторов и участников проекта. указание о поддержке проекта государственными структурами авторитетными учреждениями культуры известными и уважаемыми людьми копии официальных решений рекомендательных писем обращений...
45262. Имидж фирмы: структура, этапы формирования и реализации 27 KB
  Имидж фирмы: структура этапы формирования и реализации. Имидж фирмы целостное восприятие фирмы различными группами общественности формирующееся на основе известной им информации о различных сторонах деятельности фирмы. Структура: структуру имиджа фирмы составляют представления людей относительно фирмы которые условно можно разделить на группы: имидж товара или услуги представления людей относительно уникальных характеристик которыми он обладает его отличительных свойств. внутренний имидж фирмы представление сотрудников о фирме...