1310

Числовые характеристики случайных величин

Доклад

Математика и математический анализ

Математическое ожидание. Формула для вычисления математического ожидания случайной величины по плотности распределения. Дисперсией случайной величины. Среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Русский

2013-01-06

73 KB

104 чел.

Числовые характеристики случайных величин.

1.Математическое ожидание.

Случайной величиной ξ называется действительная функция ξ = ξ (ω) , ω принадлежит σ , такую что при любом x { ω: ξ(ω) < x} принадлежит U

Дискретной случайной величиной (Д.С.В.) называют случайную величину, множество возможных значений которой - конечное или счетное множество.

(определение с пар) – ДСВ – если множества значений случайно величины не более чем счетно.

Математическим ожиданием случайной величины с заданной на вероятностном пространстве (σ,U,P), называется число Мξ= ∫ ξ(ω)P(dω)

 

Математическим ожиданием Д.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

если ряд абсолютно сходится.

Если ряд абсолютно не сходится, то говорят что мат. ожидание случайной величины ξ не существует.

Опр: начальный момент k-го порядка.

Математическим ожиданием Н.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

Мξ=∫ ... ∫ ξ(u1, … , un) π(u1, … , un)du1…dun , если интеграл абсолютно сходится.

(Если не сходится то - не существует.)

Формула для вычисления мат. ожидания случайной величины по плотности распределения

 

Пример: Математическое ожидание суммы для дискретных случайных величин.

 M(ξ+η)=∑(xk+yl)pkl=∑(xk+yl)P(ξ=xk,η= yl)= ∑xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=

 k,l k,l  k,l  k,l 

=xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=∑xk P(ξ= xk)+ ∑ yl P(η= yl)=Mξ+Mη

 k l  l k  k l

Свойства математического ожидания:

  1.  Если С-постоянная, то МС=С
  2.  Если С-постоянная, то М(Сξ)= С Мξ
  3.  Для любых величин ξ, | Мξ |<=М|ξ|
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, М(ξ1 + ξ2)= Мξ1 + Мξ2
  5.  Если случайные величины ξ1 и ξ2 независимы, то Мξ1ξ2= Мξ1*Мξ2

2.Дисперсия.

Дисперсией случайной величины X , D[X ], называется число D[X ] M( X M[X ])2.

По определению дисперсия – это второй центральный момент.

На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой

D[X ] M[Χ2 ] (M[X ])2

Среднеквадратическое отклонение случайной величины σ= √D(x)

Формула для дисперсии суммы двух произвольных случайных величин:

D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2+2 cov(ξ1 , ξ2)

Она выводится из формул:

D(ξ1 + ξ2)= М[(ξ1 + ξ2)- М(ξ1 + ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)+ (ξ2 -M ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)2+ (ξ2 -M ξ2)2+2 (ξ1 -M ξ1) (ξ2 -M ξ2)]

И cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Дискретные распределения

Непрерывные распределения

  1.  Вырожденное распределение:

P(ξ=a)=1

a-постоянная

  1.  Равномерное распределение на [a,b], a<b

  1.  Биномиальное распределение:

0<x<1

P(ξ=k)=Cnk pk(1-p)n-k

K=0,1,…,n

  1.  Распределение Пуассона.

k=0,1,….

  1.  Геометрическое распределение(0<p<1):

n=0,1, …

Свойства дисперсии:

  1.  Для любой случайной величины ξ имеем Dξ>=0
  2.  Если c-постоянная, то Dc=0
  3.  Если c-постоянная, то D(cξ)=c2Dξ
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2

3. Ковариация.

Ковариацией случайных величин ξ1 и ξ2 называется число cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Используя свойства мат. ожидания, легко получить следующую формулу cov(ξ1 , ξ2)=Mξ1ξ2 - М ξ1*M ξ2

Очевидно, что cov(ξ, ξ)=D ξ

5. Коэффициент корреляции.

коэффициент корреляции .

Свойства коэффициента корреляции:

  1.  его модуль не превосходит единицы, т.е. ;
  2.  если  и  независимы, то k( , )=0 (обратное неверно!);
  3.  если , то случайные величины  и  связаны функциональной зависимостью вида  = a +b, где a и b – постоянные.

Моментом k-порядка случайной величины ξ называется число Мξk .

М(ξξ)k центральным моментом порядка k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56307. Життя – можливість. Скористайся нею! 64 KB
  Мета: знайомити учнів з людськими чеснотами, дати можливість дітям впевнитися, що успіх залежить від власних зусиль, від того, наскільки вони будуть людяними, гуманними, толерантними у стосунках, виховувати повагу до людей різного віку та статусу, почуття милосердя.
56308. Сценарий эстрадной миниатюры дружины юных пожарных «Данко» 221.5 KB
  Выезжаем Команда поехали На припев песни группы Банда Андрюха Пожарная команда выбегает вся команда Владислав. Владислав. Звучит музыкальный проигрыш Владислав. Владислав.
56309. Сценарий внеклассного мероприятия «Энергосбережение – первый шаг к устойчивому развитию» 44 KB
  Оборудование: компьютер проектор ватманы клей маркеры шаблоны мультимедийные презентации фильм Экологические катастрофы иллюстрированные макеты лампочек рисунки фото макет школы. Прошу обратить внимание на фотоработы рисунки...
56310. Борис Грінченко – наш земляк 73.5 KB
  Якби людей відзначали номінаціями за вподобання та особисті якості то комусь би дістались вродливість співучість комусь ледарство байдужість честолюбство а Грінченкові ймовірно працелюбність.
56311. Кращої, ніж рідна, мови не буває 125.5 KB
  Мета заходу: донести до студентів красу і багатство української мови; формувати відчуття краси рідної мови; розвивати мовленнєві здібності учнів, збагачувати словниковий склад; виховувати любов до української мови...
56312. Сценарій міської спартакіади серед дітей старшого дошкільного віку присвяченої ЄВРО 2012 73 KB
  Ведуча: Увага Увага Спішіть поспішайте Спортивного свята Ви не минайте. Ведуча: Увага командам Шикуйтеся в ряд. Ведуча: Парад кроком руш Зустрічаємо команду Дошкільного навчального закладу №2. Ведуча: Парад на місті стій наліво...
56313. В поисках украденного счастья 51 KB
  Баба Яга Соловей разбойник Змей Горыныч украли счастье из страны Сказок и теперь все сказки будут заканчиваться плохо в них не будет счастливого конца.: Что же делать Кто нам поможет спасти страну сказок Дети а кто может спасти сказки добрая фея волшебница цветик семицветик...
56314. Tabagisme-l’ENNEMI de l’homme 102 KB
  Tous les participants recoivent les feuilles de papier. Le professeur dit: «Le soleil au centre - c’est le centre de l’univers. Il doit être lié par des lignes avec des étoiles autour du soleil. Ces lignes portent les noms : ma couleur préférée ;