1310

Числовые характеристики случайных величин

Доклад

Математика и математический анализ

Математическое ожидание. Формула для вычисления математического ожидания случайной величины по плотности распределения. Дисперсией случайной величины. Среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Русский

2013-01-06

73 KB

101 чел.

Числовые характеристики случайных величин.

1.Математическое ожидание.

Случайной величиной ξ называется действительная функция ξ = ξ (ω) , ω принадлежит σ , такую что при любом x { ω: ξ(ω) < x} принадлежит U

Дискретной случайной величиной (Д.С.В.) называют случайную величину, множество возможных значений которой - конечное или счетное множество.

(определение с пар) – ДСВ – если множества значений случайно величины не более чем счетно.

Математическим ожиданием случайной величины с заданной на вероятностном пространстве (σ,U,P), называется число Мξ= ∫ ξ(ω)P(dω)

 

Математическим ожиданием Д.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

если ряд абсолютно сходится.

Если ряд абсолютно не сходится, то говорят что мат. ожидание случайной величины ξ не существует.

Опр: начальный момент k-го порядка.

Математическим ожиданием Н.С.В. называется число M[X ], определяемое равенством

Мξ=∫ ... ∫ ξ(u1, … , un) π(u1, … , un)du1…dun , если интеграл абсолютно сходится.

(Если не сходится то - не существует.)

Формула для вычисления мат. ожидания случайной величины по плотности распределения

 

Пример: Математическое ожидание суммы для дискретных случайных величин.

 M(ξ+η)=∑(xk+yl)pkl=∑(xk+yl)P(ξ=xk,η= yl)= ∑xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=

 k,l k,l  k,l  k,l 

=xk P(ξ= xk,η= yl)+ ∑ yl P(ξ= xk,η= yl)=∑xk P(ξ= xk)+ ∑ yl P(η= yl)=Mξ+Mη

 k l  l k  k l

Свойства математического ожидания:

  1.  Если С-постоянная, то МС=С
  2.  Если С-постоянная, то М(Сξ)= С Мξ
  3.  Для любых величин ξ, | Мξ |<=М|ξ|
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, М(ξ1 + ξ2)= Мξ1 + Мξ2
  5.  Если случайные величины ξ1 и ξ2 независимы, то Мξ1ξ2= Мξ1*Мξ2

2.Дисперсия.

Дисперсией случайной величины X , D[X ], называется число D[X ] M( X M[X ])2.

По определению дисперсия – это второй центральный момент.

На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой

D[X ] M[Χ2 ] (M[X ])2

Среднеквадратическое отклонение случайной величины σ= √D(x)

Формула для дисперсии суммы двух произвольных случайных величин:

D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2+2 cov(ξ1 , ξ2)

Она выводится из формул:

D(ξ1 + ξ2)= М[(ξ1 + ξ2)- М(ξ1 + ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)+ (ξ2 -M ξ2)]2= М[(ξ1 -M ξ1)2+ (ξ2 -M ξ2)2+2 (ξ1 -M ξ1) (ξ2 -M ξ2)]

И cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Дискретные распределения

Непрерывные распределения

  1.  Вырожденное распределение:

P(ξ=a)=1

a-постоянная

  1.  Равномерное распределение на [a,b], a<b

  1.  Биномиальное распределение:

0<x<1

P(ξ=k)=Cnk pk(1-p)n-k

K=0,1,…,n

  1.  Распределение Пуассона.

k=0,1,….

  1.  Геометрическое распределение(0<p<1):

n=0,1, …

Свойства дисперсии:

  1.  Для любой случайной величины ξ имеем Dξ>=0
  2.  Если c-постоянная, то Dc=0
  3.  Если c-постоянная, то D(cξ)=c2Dξ
  4.  Для любых величин ξ1 и ξ2, D(ξ1 + ξ2)= Dξ1 + Dξ2

3. Ковариация.

Ковариацией случайных величин ξ1 и ξ2 называется число cov(ξ1 , ξ2)=M[(ξ1-M ξ1)( ξ2-M ξ2)

Используя свойства мат. ожидания, легко получить следующую формулу cov(ξ1 , ξ2)=Mξ1ξ2 - М ξ1*M ξ2

Очевидно, что cov(ξ, ξ)=D ξ

5. Коэффициент корреляции.

коэффициент корреляции .

Свойства коэффициента корреляции:

  1.  его модуль не превосходит единицы, т.е. ;
  2.  если  и  независимы, то k( , )=0 (обратное неверно!);
  3.  если , то случайные величины  и  связаны функциональной зависимостью вида  = a +b, где a и b – постоянные.

Моментом k-порядка случайной величины ξ называется число Мξk .

М(ξξ)k центральным моментом порядка k.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4930. Проектирование оборудования для дробления, сушки и помола добавок 668.73 KB
  Проектирование оборудования для дробления, сушки и помола добавок Цель работы: Изучение оборудования для дробления, сушки и помола добавок, расчет их основных параметров. Оборудование: Макеты молотковой, зубчатой дробилки, барабанной сушилки и шаров...
4931. Русская тяжеловозная порода лошадей 894 KB
  Русская тяжеловозная порода В последние десятилетия для тяжеловозного коннозаводства наступили трудные времена. И почти все проблемы возникли из-за сложившейся в стране экономической ситуации. Тяжеловоз всегда был недорогой лошадью. Раньше, при соц...
4932. Основы теории управления. Конспект лекций 1.92 MB
  Основы теории управления Введение Сигналы управления и возмущения в общем случае могут быть не детерминированные, а случайные, поэтому приходиться прибегать к статистическим методам исследования систем автоматического управления (САУ). Кроме того, ч...
4933. Комплексные системы управления качеством продукции 161 KB
  Успех организации в значительной степени определяется качеством товаром и услуг. Для достижения успеха в своей деятельности организация должна обеспечить конкурентоспособное качество и конкурентоспособную цену. Качество продукции представляет...
4934. Стратегический менеджмент. Опорный конспект лекций 77.17 KB
  Тема 1. Общая характеристика стратегического менеджмента Стратегический менеджмент, его характеристика и связь с другими науками. Сущность стратегического менеджмента. Отличие стратегического управления от оперативного. Э...
4935. Измерение элементов зубчатых колес 424.5 KB
  Цель работы Изучить принцип действия и устройство зубомеров и овладеть методикой измерения размеров элементов зубчатых колес штангензубомером и микрометрическим зубомером. Материальное обеспечение Штангензубомер типа...
4936. Необходимость ИТ-аудита 58.5 KB
  Необходимость ИТ-аудита Аудит — это системный процесс получения и оценки объективных данных об экономических действиях и событиях, устанавливающий уровень их соответствия определенному критерию и предоставляющий результаты заинтересованным поль...
4937. Поиск информации в World Wide Web 255 KB
  Поиск информации в World Wide Web Основные понятия всемирной паутины К основным видам сервиса Интернет относят WWW, электронную почту, группы новостей, чат, FTP, Gopher, Wais, Telnet,IP-телефония и др. Рассмотрим  подробнее  наиболее популярны...
4938. Информационные системы управления бизнесом 338.5 KB
  Цели и задачи дисциплины Цель изучения дисциплины Информационные системы управления бизнесом – формирование у студентов фундаментальных знаний по интеллектуализации производственной деятельности менеджера для малого, среднего и корпоративн...