13258

Изучение погрешностей измерений

Лабораторная работа

Физика

Лабораторная работа № 1 Изучение погрешностей измерений Цель работы: Изучить погрешности измерений. Оценить погрешности измерения физических величин. Ход работы. 1. Теоретическая часть. 1.1. Физические измерения. Измерением в физике называется сравнени

Русский

2013-05-11

261.5 KB

76 чел.

Лабораторная   работа  № 1

Изучение погрешностей измерений

Цель работы: Изучить погрешности измерений. Оценить погрешности измерения физических величин.

Ход работы.

1. Теоретическая часть.

1.1. Физические измерения.

Измерением в физике называется сравнение физической величины с эталонной величиной (или производными от нее величинами). Например, измерение длины какого-либо предмета заключается в сопоставлении (сравнении) этой длины с эталонной длиной в 1 м (1 см, 1 мм и т.д.).

По характеру проведения измерений, их делят на прямые и косвенные. Прямое измерение – это измерение, при котором в ходе опыта непосредственно измеряется интересующая нас величина. Например, измерение расстояния с помощью линейки, рулетки и т.д., измерение времени с помощью секундомера, определение массы тела путем его взвешивания на весах и т.д.

Но не все величины можно определить путем прямого измерения.  Измерения, при которых  величина не измеряется непосредственно, а рассчитывается по некоторой  формуле, в которую входят результаты прямых измерений, называются  косвенными измерениями.

К примеру, плотность тела определить непосредственным измерением весьма затруднительно. В то же время известно, что плотность определяется по формуле:

ρ =,                    (1)

где m  масса тела, а V – его объем. Эти величины определяются путем прямых измерений. Поэтому, измерив на опыте величины m и  V, мы можем подставить их в формулу (1) и рассчитать по ней значение плотности ρ. 

1.2. Абсолютная и относительная погрешности измерений.

   Истинное значение физической величины определить невозможно, так как всякая операция измерения связана с целым рядом ошибок или, иначе, погрешностей. Причины погрешностей могут быть самыми различными. Их возникновение может быть связано с неточностями прибора, обусловлено физическими особенностями исследуемого объекта (например, при измерении диаметра проволоки неоднородной толщины результат случайным образом зависит от выбора участка измерений), причинами случайного характера, методикой проведения опыта и т.д..

Никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно, поэтому в задачу измерения входит не просто нахождение измеряемой величины, но и оценка полученной при этом погрешности.

   Существует понятия абсолютной и относительной погрешности. Под абсолютной погрешностью измерений будем понимать разницу между результатом этого измерения и истинным значением измеряемой величины:

  Δxi= xixи ,                                                  (2)

где Δxi  – абсолютная погрешность  i-го измерения;  xi – результат  i-го измерения; x и – истинное значение измеренной  величины. При физических измерениях, в качестве истинного значения величины полагают среднее арифметическое значение, полученное в результате проведения серии прямых измерений при одних и тех же условиях.

x и ==     (3)

где n – количество измерений.

Результат  всякого физического измерения  принято записывать  в  виде:

                                        x= Δx  (4)  

где среднее значение измеряемой величины, принимаемое за истинное значение,  Δxсредняя   абсолютная ошибка измерений.

Абсолютная погрешность – величина размерная, она имеет ту же размерность, что и измеряемая величина.

   Относительной погрешностью измерений называется отношение абсолютной погрешности к самой измеряемой величины:

ε=                                      (5)

   Относительная ошибка – величина безразмерная. Она выражается обычно в процентах:

ε=%                                      (6)

Относительная ошибка позволяет сравнивать погрешности измерений различных  величин.

1.3. Классы погрешностей  измерений.

1) Систематические погрешности – это погрешности, величина  и знак которых во всех повторяющихся опытах  постоянны или изменяются закономерным образом. Систематические погрешности можно разбить на несколько групп.

А) Погрешности, для которых известна природа и величина. Такие погрешности можно учесть введением соответствующей поправки.

Б) Погрешности известного происхождения, но неизвестной величины. К такой группе погрешностей относятся инструментальные (приборные) погрешности.

В) Погрешности, связанные с заранее неизвестными специфическими особенностями объекта измерений.

Г) Погрешности, обусловленные приближенным характером методики измерений и вычислений. В частности, пренебрежение рядом факторов, незначительно влияющих на результат измерений.

2) Случайные погрешности – изменяются случайным образом по знаку и величине.

Случайные погрешности обычно вызываются большим количеством одновременно действующих причин, характер и размер влияния которых на результат измерений со временем беспорядочно меняется. Эти погрешности проявляются в несовпадении результатов при повторных измерениях одной и той же величины при одинаковых условиях.  Случайную погрешность при единичном наблюдении ни обнаружить, ни рассчитать невозможно. Необходимо выполнение нескольких повторных наблюдений с последующей обработкой серии полученных результатов.

3) Промахи – это грубые ошибки, существенно превышающие ожидаемую погрешность при данных условиях.  Наличие промахов может быть обнаружено по резкому отличию значения отдельного наблюдения от среднего арифметического.

Поэтому для определения промахов, измерение одной и той же физической величины необходимо проводить несколько раз. Промахи исключаются из рассмотрения при расчете среднего значения измеряемой величины и при расчете погрешностей измерений.

В лабораторном практикуме учитываются следующие виды погрешностей:

Δxпп – поправки; Δxпр – приборные (инструментальные); Δxо – отсчета показаний прибора; Δxсл – случайные; Δxв – вычисления (округления).

1.4 Приборные погрешности

Измерительные приборы – это устройства, предназначенные для измерений и имеющие части, которые воспринимают измеряемую величину и преобразуют ее в показания.

Погрешности измерительных средств подразделяют на основные и дополнительные.

Основные – это предельно допустимые  абсолютные или относительные погрешности, которые устанавливаются ГОСТами для измерительных средств.

Дополнительные погрешности возникают вследствие износа, старения, неисправности или неправильной установки средств измерения.  Дополнительные погрешности устраняются, либо на них вводятся поправки Δxпп.

Значение приборной погрешности в учебных лабораториях принимается равной предельной абсолютной погрешности для всех приборов.

Для приборов, в паспорте которых указан класс точности (k),   значение абсолютной приборной погрешности вычисляется по формуле:

   (7)

Здесь xmax – предельное значение, которое может быть измерено прибором.

Предельная абсолютная погрешность для ряда приборов задана в таблице.

№ п/п

Приборы и меры

Значение меры, диапазон измерения

Предельная допустимая погрешность δ

1

Линейки

А) металлические

150, 300, 500 мм

0,1 мм

1000 мм

0,2 мм

Б) деревянные

400, 500, 750 мм

0,5 мм

В) пластмассовые

200, 250, 300 мм

1 мм

2

Гири для технических анализов

10, 20, 50, 100 мг

1 мг

200 мг

2 мг

500 мг

4 мг

1 г

6 мг

2 г

8 мг

3

Мензурки 2-го класса

100, 200 см3

5 см3

4

Штангенциркули с ценой деления 0,1мм; 0,05 мм.

0—155, 0—250, 0—350 мм

0,1мм; 0,05 мм в зависимости от цены деления нониуса

5

Микрометры с ценой деления 0.01 мм

0—25, 25—50, 50—75 мм

0,004 мм

6

Индикаторы часового типа с ценой деления 0,01 мм

0—2, 0—5, 0—10 мм

0,012, 0,016, 0,020 мм соотв.

7

Весы лабораторные

5—100, 10—200 г

3 цены деления шкалы

8

Секундомеры механические

30—60 с

1,5 цены деления шкалы за один оборот секундной стрелки

9

Секундомеры электронные

30 с

0,5 цены деления шкалы за один оборот секундной стрелки

10

Термометры стеклянные жидкостные

От -20°С до +100°С

От -35°С до +100°С

1 цена деления шкалы, если она равна 1; 2; 5°С. И 2 цены деления, если она равна 0,2 °С, 0,5 °С.

Если класс точности прибора не указан, и значение приборной погрешности не задано в таблице, то величину приборной погрешности принимают равной половине цены деления прибора.

   (8)

С приборной погрешностью также связана погрешность отсчета.  Эту погрешность необходимо учитывать только в том случае, когда при измерениях положение измерительного механизма (стрелки) не совпадает с риской на шкале прибора. Тогда погрешность отсчета Δxо определяется формулой (8). По сути, погрешность отсчета является случайной.

1.5 Случайные погрешности

Для анализа влияния случайных погрешностей на результат измерения и их учета необходимо использовать методы теории вероятностей и математической статистики. Но для решения ряда учебных задач и проведения измерений, связанных с определением механических характеристик простых систем, с достаточной степенью точности можно воспользоваться приближенной формулой для расчета случайной погрешности:

==  (9)

где определено формулой (3), а Δxi – формулой (2).

Основанием для использования такой приближенной формулы является тот факт, что отклонения величин от среднего значения при прямом измерении достаточно малы и в большинстве случаев могут быть охарактеризованы следующим графиком (рисунок 1).

При анализе результатов может быть определено среднее квадратичное отклонение:

  (10)

Промахом считается измерение, отклонение которого от среднего значения превышает 3∙σ.

1.6 Приближенные вычисления и погрешность округления

Приближенные числа, полученные в результате измерений и вычислений, могут одержать различное количество значащих цифр, среди которых есть верные, сомнительные и неверные.

Цифра приближенного числа называется верной, если абсолютная погрешность этого числа не превышает одной единицы того разряда, в котором стоит данная цифра.

Цифра, стоящая за последней верной, называется сомнительной.

Цифры, стоящие за сомнительной цифрой, называются неверными

При записи результатов прямых измерений используют метод подсчета цифр. При этом записывают все верные и одну сомнительную цифру. Метод подсчета цифр не является точным. Но его применение оправдано простотой и отсутствием необходимости рассчитывать дополнительно погрешность округления, так как она заведомо меньше абсолютной погрешности, связанной с точностью прибора и случайными факторами.

Например, при округлении чисел по основным правилам, абсолютная погрешность округления не превышает половины последнего сохраняемого в числе разряда. Поэтому все значащие цифры округленного числа будут верными.

В учебных лабораториях абсолютную погрешность округляют до одной значащей цифры. При этом округление всегда производят с избытком. Указанные правила распространяются и на относительные погрешности. Замечание: если единственная значащая цифра равна 1, то в записи сохраняют цифру, следующую за ней.

Конечный результат округления или расчета округляют по основным правилам так, чтобы в нем сохранились только верные и сомнительные цифры. При этом последняя цифра результата и значащая цифра его абсолютной погрешности принадлежат одному и тому же разряду.

При округлении результата измерений его точность уменьшается. Но все расчеты следует вести с такой точностью, чтобы они не вносили в результат заметной дополнительной погрешности.

1.7 Определение полной погрешности измерения и запись окончательного результата.

Как видно из предыдущего анализа, приборные погрешности, случайные погрешности, погрешности отсчета и округления являются независимыми друг от друга. При этом полная погрешность должна объединять все перечисленные типы погрешностей. Для ее расчета  используется следующая формула:

 (11)

Однако, как было показано ранее, погрешность округления Δxв незначительна, а погрешность отсчета Δxо учитывается только при несовпадении результата измерения со штрихом на шкале прибора, поэтому выражение (11) можно упростить и расчет полной погрешности производить  по формуле:

   (12)

Запись конечного результата производится с учетом правил приближенных вычислений в следующем виде:

    (13)

где определяется по формуле (3), а Δх – по формуле (12). Определяется также относительная погрешность измерения ε по формуле (5).

Например: х=(2,30,2)∙10(м), ε=0,9∙10-1; х=(4,00,8)∙10(м), ε=0,2;  Х=(2,100,12)∙10(м) ε=0,6∙10-1.

Алгоритм обработки результатов прямого измерения.

1) Проводим серию из пяти экспериментов на одних и тех же установках и при одинаковых условиях.

2) Рассчитываем среднее значение по формуле (3).

3) Определяем приборную погрешность по таблице 1, либо по формулам (7) или (8).

4) В случае необходимости учитываем  погрешность отсчета (формула (8)).

5) Рассчитываем случайную погрешность по формуле (9). Анализируем, есть ли промахи в полученных значениях (формула (10)).

6) Вычисляем полную погрешность по формуле (12).

7) Округляем полученные числа с учетом приведенных правил и записываем результат прямого измерения в виде (13). Относительную погрешность определяем по формуле (5).

1.8. Оценка косвенных измерений.

Косвенные измерения связаны с вычислениями  по формуле, в которую подставляются результаты прямых измерений и определенные постоянные. Для расчета истинного значения косвенно измеряемой величины по формуле, в нее подставляем средние значения величин, полеченные при прямых измерениях.

Погрешность косвенного измерения определяется погрешностью прямых измерений для величин, входящих в формулу и функциональной зависимостью конечного результата от исходных данных.

Построение формулы для определения относительной погрешности косвенных измерений основано на дифференцировании. При этом в качестве дифференциала аргумента выступает значение полной погрешности прямого измерения. Дифференциал функции, зависящей  от аргумента, определяемого при прямом измерении, строится, в основном, по тем же правилам, что и дифференциал обычной функции, но при этом все члены входят в результирующую формулу со знаком плюс.

Приведем примеры. Пусть приближенная величина z определяется посредством формулы:

z=xy,

в которую входят результаты прямых измерений x и y. Погрешности этих величин соответственно Δx и Δy. Тогда, проводя дифференцирование, получаем:

dz=dxy+dyx.

Определим относительную погрешность величины z, заменяя в формуле дифференциалы на полные погрешности измеряемых величин.

Аналогично можно получить формулу для расчета относительной погрешности косвенного измерения в случае, когда искомая величина выражается как частное величин, полученных в результате прямого измерения:

В полученном выражении следует на только заменить дифференциалы на абсолютные погрешности прямых измерений, но и поменять знак перед вторым слагаемым:

Очевидны обобщения введенных формул на случай степенных, логарифмических и тригонометрических функций косвенных величин от величин, полученных в результате прямых измерений. Полученные в результате дифференцирования и последующих преобразований формулы для расчетов помещены в таблицу 2.

№ п/п

Математическая

Операция

Погрешности

Абсолютная

Относительная

1

z=x+y

Δz=Δx+Δy

2

Z=x-y

Δz=Δx+Δy

3

z=C∙x

Δz=C∙Δx

4

Z=x∙y

Δz=x∙Δy+y∙Δx

5

Z=

Δz=

6

Z=x2

Δz=2∙x∙Δx

7

Z=

Δz=x∙Δx

8

z=lnx

Δz =

9

z=sin(x)

Δz=

10

Z=cos(x)

Δz=

11

z=tg(x)

Δz =

Во всех тригонометрических функциях углы заданы в радианах.

Алгоритм обработки результатов косвенного измерения

1) Проводим анализ измеряемой величины и выводим общую формулу для ее расчета через величины, полученные в рамках прямых измерений и постоянные величины.

2) Производим расчет измеряемой величины по соответствующей формуле, в которую подставляем средние (истинные) значения величин, полученные при прямых измерениях и табличные значения постоянных величин. При вычислениях следует оставлять запасную цифру в числах, входящих в формулу. Полученный в рамках косвенных измерений результат должен быть округлен таким образом, чтобы в нем содержались только верные и сомнительные цифры.

3) По таблице (2) либо с помощью дифференцирования, на основании формулы для расчета величины, строится формула для расчета относительной погрешности косвенного измерения. В формулу подставляются численные значения абсолютных погрешностей и средние значения величин, полученные при прямых измерениях. Результат округляется до одной значащей цифры.

4) По формуле

    (14)

вычисляем абсолютную погрешность косвенного измерения. Здесь – среднее значение величины, вычисленное в п. (2), а  -- относительная погрешность, вычисленная в п.(3).

5) Записываем результат косвенных измерений в виде, соответствующем формуле (13) и приведенным выше требованиям.     

Единицы измерения  

Выбор единиц измерения, вообще говоря, является произвольным. В конечном итоге тот или иной выбор диктуется соответствием выбранных единиц их практическому применению и возможностью воспроизведения в виде соответствующего эталона. Наиболее употребительной является Международная система единиц (СИ).

2. Практическая часть

2.1. Определить среднюю плотность материала, из которого изготовлен образец.

Приборы,  материалы и оборудование. Образец цилиндрической формы,  линейка металлическая (300 мм), штангенциркуль (ШЦ 25) микрометр (0—25 мм), весы электронные.

2.2. Ход работы

1. При помощи металлической линейки измеряем размеры  образца. При помощи электронных весов определяем массу образца.

Таблица (3). Результаты прямых измерений.

M

Δmп

Δmсл

Δm

h

Δhпр

Δhсл

Δh

R

ΔRпр

ΔRсл

ΔR

1

2

3

4

5

Ср.

2. Определяем средние арифметические значения величин (диаметра и длины цилиндра, его массы) по результатам прямых измерений (формула (3)).

3. По таблице (1) и паспортам приборов определяем приборные погрешности.

4. Определяем погрешность отсчета по формуле (8) (при необходимости).

5. Определяем случайные погрешности по формуле (9). Анализируем наличие промахов при проведении эксперимента.

6. Вычисляем полные погрешности прямых измерений по формуле (11) либо (12).

7. Вычисляем относительные погрешности по формуле (5) (или (6)) и записываем результат прямых измерений (в соответствии с (13)). Все записи и расчеты выполняются под таблицей.

8. Среднюю плотность образца рассчитываем по формуле (1), в которой расписан объема цилиндра. Таким образом, окончательная формула для расчета имеет вид:

   (15)

где R – радиус цилиндра, h – его высота, π=3,14.

В формулу (15) подставляем средние (истинные) значения радиуса, массы, высоты цилиндра, найденные ранее.

9. На основании формулы (15) строим формулу для расчета относительной погрешности плотности. По правилам, соответствующим таблице (2), запишем для определения погрешности:

   (16)

В данную формулу подставляются результаты прямых измерений.

10. По формуле (14) определяем абсолютную погрешность косвенного измерения. Записываем результат косвенного измерения.

2.3 Проводим измерения и расчеты в соответствии с п. 1—10, используя в качестве прибора штангенциркуль.

Результаты измерений заносим в таблицу 3.

Правила пользования штангенциркулем.

1. Штангенциркуль предназначен для измерения размеров тел. При этом возможно определение внешних размеров тел и размеров (диаметров) отверстий.  В ряде конструкций предусмотрена возможность измерения глубины глухих отверстий.

2. Для определения размеров тела, его зажимают между губками штангенциркуля. При этом заготовка должна располагаться в плоскости, параллельной плоскости губок и плотно зажата ими.

3. Показания считывают с нониуса: первый штрих нониуса показывает целое значение размера в мм. Количество десятых долей  определяется номером наиболее совпадающего деления нониуса.

Значение диаметра d=(65,70,1) мм.

Ширина паза h=(10,00,1) мм.

2.4 Проводим измерения и расчеты в соответствии с п. 1—10, используя в качестве прибора микрометр.

Результаты измерений заносим в таблицу 3.

Правила пользования микрометром.

1. Микрометр предназначен для измерения размеров тел с высокой точностью.

2. Микрометр представляет собой струбцину, в которой зажимается измеряемое тело. При проведении измерений, следует зажимать тело,  вращая винт за специальную трещотку, расположенную на конце.

3. Показания считываются следующим образом:

- на корпусе расположены штрихи, определяющие размер зазора между губками в мм. Цена деления этой шкалы составляет 0,5 мм.

- на барабане по периметру нанесены деления от 0 до 50. Показания с нониуса барабана следует добавлять к значениям, полученным при отсчете по первой шкале.

Например, на фотографии показано, что после отметки 0 открыт один штрих. Это значит, что размер объекта будет больше 0,5 мм. На барабане вблизи черты получено значение 27. Таким образом, толщина проволоки на фотографии равна 0,50+0,27=0,77мм.

Учитывая приборную погрешность микрометра и погрешность отсчета (указатель не совпадает со штрихом), запишем ответ: b=(7,70,1)∙10-1 мм.

2.5 Делаем вывод о точности измерений в каждом  из случаев.

Литература

  1.  Дж. Сквайрс. Практическая физика.— М.: Мир, 1971 — 242с.
  2.  Физический практикум. Механическая и молекулярная физика

/Под ред. В. И. Ивероновой – М: Наука, 1967 - 280с.

  1.  Стандарт предприятия. СТП 01-01. 02-83. Отчет о лабораторной работе.
  2.  Кембровский Г.С. Измерения в физике. — Минск Высшая школа 1987 - 147с.
  3.  Кембровский Г.С Физический практикум — Минск. Университетское 1990 – 183с.

 

PAGE  1


Частота появления значения в опыте

Значение  случайной величины

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33834. Современный иудаизм 14.75 KB
  Одной из причин столь длительной неизменности иудаизма является его замкнутость самонаправленность. Третья ветвь современного иудаизма консервативное течение занимающее промежуточное положение между ортодоксами и либералами. Существует и мистическая эзотерическая форма иудаизма известная под названием Каббала. В рамках иудаизма сосуществуют самые различные обычаи и верования.
33835. Проблема человеческой индивидуальности 14.57 KB
  С эпохой Возрождения приходит новое видение человека; выдвигается предположение что одна из причин трансформации средневековых представлений о человеке заключается в особенностях городской жизни диктующих новые формы поведения иные способы мышления. Причастность к новой среде зависела преимущественно от духовных свойств конкретного человека. Представители новой светской интеллигенции гуманисты защищают в своих произведениях достоинство человека; утверждают ценность человека независимо от его общественного положения; обосновывают и...
33836. Религия Нового времени 14.54 KB
  Это идолы рода т. Идолы пещеры – личные суеверия присущие отдельному исследователю. Идолы рынка – использование в языке дурных слов влияющих на наш ум. Идолы театра – те что связаны с общепринятыми системами мышления напр.
33838. Субъекти́вный идеали́зм 14.55 KB
  Выступал с критикой понятий материи как вещественной основе тел а так же теорией Ньютона о пространстве как вместилище всех природных тел и учение Локка о происхождении понятий материи и пространства. В основе понятия материи лежит допущение что мы можем образовать отвлеченную идею общего для всех явлений общего понятия вещества. У людей не может быть чувственного восприятия материи как таковой т.
33839. Проблема человека и его прав в философии французского просвещения и педагогические воззрения 14.83 KB
  Проблема человека. Основное внимание Вольтер как философ уделяет проблеме человека в обществе. Паскаля 16231662 о ничтожестве человека это ничтожество связано с ограниченностью познавательных способностей подверженностью человека страданиям его порочностью.
33840. Немецкая классическая философия и ее представители 14.34 KB
  Своеобразным пониманием роли философии в истории человечества в развитии мировой культуры. Все представители классической немецкой философии относились к философии как к специальной системе философских дисциплин категорий идей. Классическая немецкая философия подчеркивала роль философии в разработке проблем гуманизма и предприняла попытки осмыслить человеческую жизнедеятельность. Можно определенно сказать что представители классической немецкой философии пошли вслед за просветителями XVIII в.
33841. ФИЛОСОФИЯ И. КАНТА 15 KB
  КАНТА Иммануил Кант 1724–1804 является родоначальником немецкой классической философии. В критическом периоде наиболее важными произведениями Канта являются Критика чистого разума Критика практического разума Критика способности суждения. Гносеологические взгляды Канта включают в себя анализ трех ступеней познания. В работе Критика практического разума Кант утверждает что объектом познания является материальная вещь находящаяся вне человека и его сознания.
33842. Марксизм. Материалистическая философия жизни 15.08 KB
  и особенно XX столетия явился марксизм. Маркс и Ф. В марксистской философии появилось новое содержание отсутствовавшее в прежних философских системах но выработанное на базе внутренней преемственности в решении ряда кардинальных проблем. Сущность нового внесенного марксизмом в философию можно проследить по следующим линиям: по функциям философии; по соотношению в ней партийности гуманизма и научности; по предмету исследования; по структуре составу и соотношению основных сторон разделов содержания; по соотношению теории и метода; по...