13259

Погрешности измерений. Цели математической обработки результатов эксперимента

Лабораторная работа

Физика

Погрешности измерений Основой всего естествознания является наблюдение и эксперимент. Наблюдение - это систематическое целенаправленное восприятие того или иного объекта или явления без воздействия на изучаемый объект или явление. Наблюдение позволяет получит...

Русский

2013-05-11

107 KB

6 чел.

Погрешности измерений

 

Основой всего естествознания является наблюдение и эксперимент.

Наблюдение это систематическое, целенаправленное восприятие того или иного объекта или явления без воздействия на изучаемый объект или явление. Наблюдение позволяет получить первоначальную информацию по изучаемому объекту или явлению.

Эксперимент метод изучения объекта, когда исследователь активно и целенаправленно воздействует на него путем создания искусственных условий или использует естественные условия, необходимые для выявления соответствующих свойств. Достоинствами эксперимента по сравнению с наблюдением реального явления или объекта является:

  1.  Возможность изучения в «чистом виде», без влияния побочных факторов, затемняющих основной процесс;
  2.  В экспериментальных условиях можно получить результат более быстро и точно;
  3.  При эксперименте можно проводить испытания столько раз, сколько это необходимо.

Результат эксперимента или измерения всегда содержит некоторую погрешность. Если погрешность мала, то ею можно пренебречь. Однако при этом неизбежно возникают два вопроса: вопервых, что понимать под малой погрешностью, и, вовторых, как оценить величину погрешности. То есть, и результаты эксперимента нуждаются в определенном теоретическом осмыслении.

Цели математической обработки результатов эксперимента

Целью любого эксперимента является определение качественной и количественной связи между исследуемыми параметрами, либо оценка численного значения какого-либо параметра.

В некоторых случаях вид зависимости между переменными величинами известен по результатам теоретических исследований. Как правило, формулы, выражающие эти зависимости, содержат некоторые постоянные, значения которых и необходимо определить из опыта.

Другим типом задачи является определение неизвестной функциональной связи между переменными величинами на основе данных эксперимента. Такие зависимости называют эмпирическими.

Однозначно определить неизвестную функциональную зависимость между переменными невозможно даже в том случае, если бы результаты эксперимента не имели погрешностей. Тем более не следует этого ожидать, имея результаты эксперимента, содержащие различные погрешности измерения.

Поэтому следует четко понимать, что целью математической обработки результатов эксперимента является не нахождение истинного характера зависимости между переменными или абсолютной величины какой-либо константы, а представление результатов наблюдений в виде наиболее простой формулы с оценкой возможной погрешности ее использования.

Виды измерений и причины погрешностей

Под измерением понимают сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения.

Различают два типа измерений: прямые и косвенные. При прямом измерении измеряемая величина сравнивается непосредственно со своей единицей меры. Например, измерение микрометром линейного размера, промежутка времени при помощи часовых механизмов, температуры термометром, силы тока амперметром и т.п. Значение измеряемой величины отсчитывается при этом по соответствующей шкале прибора.

При косвенном измерении измеряемая величина определяется (вычисляется) по результатам измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью. Например, измерение скорости по пройденному пути и затраченному времени, измерение плотности тела по измерению массы  и объема, температуры при резании по электродвижущей силе, величины силы по упругим деформациям и т.п.

При измерении любой физической величины производят проверку и установку соответствующего прибора, наблюдение их показаний и отсчет. При этом никогда истинного значения измеряемой величины не получить. Это объясняется тем, что измерительные средства основаны на определенном методе измерения, точность которого конечна. При изготовлении прибора задается класс точности. Его погрешность определяется точностью делений шкалы прибора.

Кроме приборной погрешности на результат измерения влияет еще ряд объективных и субъективных причин, обуславливающих появление погрешностей измерения разности между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины. Погрешности измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины. Исключение составляют измерения известных величин при определении точности измерительных приборов или их тарировке. Поэтому одной из важнейших задач математической обработки результатов эксперимента и является оценка истинного значения измеряемой величины по данным эксперимента с возможно  меньшей погрешности.

Типы погрешностей измерения

Кроме приборной погрешности измерения (определяемой методом измерения) существуют и другие, которые можно разделить на три типа:

1. Систематические погрешности обуславливаются постоянно действующими факторами. Например, смещение начальной точки отсчета, влияние нагревания тел на их удлинение, износ режущего лезвия и т.п. Систематические погрешности выявляют при соответствующей тарировке приборов и потому они могут быть учтены при обработке результатов измерений.

2. Случайные погрешности содержат в своей основе много различных причин, каждая из которых не проявляет себя отчетливо. Случайную погрешность можно рассматривать как суммарный эффект действия многих факторов. Поэтому случайные погрешности при многократных измерениях получаются различными как по величине, так и по знаку. Их невозможно учесть как систематические, но можно учесть их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины. Анализ случайных погрешностей является важнейшим разделом математической обработки экспериментальных данных.

3. Грубые погрешности (промахи) появляются вследствие неправильного отсчета по шкале, неправильной записи, неверной установки условий эксперимента и т.п. Они легко выявляются при повторном проведении опытов.

В дальнейшем будем считать, что систематические и грубые погрешности из результатов эксперимента исключены.

Свойства случайных погрешностей

Случайные погрешности бывают как положительные, так и отрицательные разной величины, не превосходящей определенного предела. Если обозначить через  истинное значение измеряемой величины, а результат первого измерения , то их разность  или  называют истинной абсолютной погрешностью одного измерения. Одновременно она является случайной (при исключении систематических и грубых погрешностей).

Если измерения провести многократно в одних и тех же условиях, то результаты отдельных измерений одинаково надежны. Такую совокупность измерений , ,..., называют равноточными измерениями. Если проанализировать достаточно большую серию равноточных измерений и соответствующих случайных погрешностей измерений, то можно выделить 4 свойства случайных погрешностей:

  1.  Число положительных погрешностей почти равно числу отрицательных;
  2.  Мелкие погрешности встречаются чаще, чем крупные;
  3.  Величина наиболее крупных погрешностей не превосходит некоторого определенного предела, зависящего от точности измерения. Самую большую погрешность в ряду равноточных измерений называют предельной погрешностью;
  4.  Частные от деления алгебраической суммы всех случайных погрешностей на их общее близко к нулю, т.е.

Погрешности косвенных измерений

Часто измеряется не непосредственно интересующая нас величина, а другая, зависящая от нее некоторым образом. Например, при резании металлов часто непосредственно измеряются деформации, ЭДС, по которым судят о возникающих силах и температурах. При этом также необходимо оценить погрешность измерения.

При косвенных измерениях значение y измеряемой величины находят по некоторой формуле:

где ,,…, средние арифметические измеряемые непосредственно величины. Рассмотрим функцию общего вида:

где ,,…, независимые переменные, для определения которых производятся n прямых независимых измерений по каждой .

Обозначим значения переменных через среднее значение и отклонения

Эту функцию представим рядом Тейлора, ограничив его первыми членами ряда (принимая )

,

где   производная функции по , взятая в точке .

Учитывая, что  получаем:

.

Чтобы учесть погрешности  всех  опытов целесообразно использовать средние квадратические оценки , так как .

Возведем в квадрат левую и правую части уравнения и разделим на

.

Здесь суммы удвоенных произведений типа

 

согласно четвертому свойству случайных ошибок ().

Тогда в левой и правой частях имеем среднеквадратические погрешности функции и аргументов

.

В качестве меры точности лучше выступает не абсолютная, а относительная погрешность :

где - действительное значение измеряемой величины, - абсолютная погрешность измерения.

Рассмотрим ее определение на примере. Пусть

 

Тогда

; ;

Аналогично можно определить относительную погрешность и при других зависимостях.  Зная относительную погрешность, можно определить и абсолютное ее значение: .

Порядок обработки результатов измерений

При практической обработке результатов измерений необходимо последовательно выполнить следующие операции

  1.  Записать результаты измерений;
  2.  Вычислить среднее значение из  измерений
  3.  Определить погрешности отдельных измерений ;
  4.  Оценить относительную погрешность результатов измерений
  5.  Записать окончательный результат ;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13389. CORELDRAW. POWERCLIP. ОБРАБОТКА РАСТРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ 267.4 KB
  Лабораторная работа N 5 CORELDRAW. POWERCLIP. ОБРАБОТКА РАСТРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ Совокупность команд PowerClip Фигурная обрезка Команды находятся в меню Эффекты. Данное подменю содержит четыре команды: Place Inside Container Поместить в контейнер Extract Contents Извлечь содержимое Edit Contents Р...
13390. CORELDRAW. ИНТЕРАКТИВНЫЙ ОБЪЕМ 361.88 KB
  Лабораторная работа N 6 CORELDRAW. ИНТЕРАКТИВНЫЙ ОБЪЕМ Инструмент Интерактивный объем Данный инструмент позволяет создавать иллюзию объема для плоских объектов. Иллюзия возникает изза того что за объектом или перед ним достраивается дополнительная плоскость той же ...
13391. CORELDRAW. ИНТЕРАКТИВНОЕ ИСКАЖЕНИЕ. ИМИТАЦИЯ ОБЪЕМА 309.26 KB
  Лабораторная работа N 7 CORELDRAW. ИНТЕРАКТИВНОЕ ИСКАЖЕНИЕ. ИМИТАЦИЯ ОБЪЕМА Эффект Интерактивное искажение Инструмент Интерактивное искажение является инструментом категории интерактивных инструментов и предназначен для деформации формы объекта к которому он при
13392. CORELDRAW. ПРИМЕНЕНИЕ НАВЫКОВ 165.88 KB
  Лабораторная работа N 8 CORELDRAW. ПРИМЕНЕНИЕ НАВЫКОВ Порядок выполнения работы Выполнить построение изображения согласно индивидуальному заданию и предложенным рекомендациям. ВАРИАНТ 1. КОЛЛАЖ ТУПИК РЕКОМЕНДАЦИИ: Д
13393. Побудова плану котеджу 58 KB
  Лабораторна робота № 2 Тема: Побудова плану котеджу. Мета: закріпити практичні навички побудови плану методом напрямоквідстань та використання команд trim extend. Обладнання: ПК програмне забезпечення AutoCAD ...
13394. Створення шаблону в AutoCAD 12 83.5 KB
  Дисципліна ОКТБ ЛР № 9. Тема роботи: створення шаблону. Мета роботи: систематизувати теоретичні знання роботи з файлами повторити команди створення та редагування примітивів в програмі AutoCAD. Обладнання: ПК AutoCAD 12 Завдання для лабораторної роботи. Відкрит
13395. Робота з видовими екранами, компоновка аркуша 17.52 KB
  Дисципліна ОКТБ ЛР № 10. Тема роботи: робота з видовими екранами компоновка аркуша. Мета роботи: отримати практичні навички з видовими екранами. Обладнання: ПК AutoCAD 812 Теоретичні відомості. Видовим екраном називається ділянка графічного екрана де відображаєть...
13396. Створення об’єктів за допомогою інструмента «Коробка» 118.48 KB
  Лабораторна робота № 11. Тема: Створення об’єктів за допомогою інструмента Коробка. Мета: навчитись будувати твердотільні моделі заданого розміру та розташування в просторі за допомогою інструменту Коробка. Обладнання: AutoCAD 2008 AutoCAD 2012 ПК. Теоретичні відомості...
13397. Створення пустотілих об’єктів за допомогою інструмента «Віднімання» 43.62 KB
  Лабораторна робота № 12. Тема: Створення пустотілих об’єктів за допомогою інструмента Віднімання Мета: отримати практичні навички при виконанні операцій з твердотільними об’єктами Обладнання: AutoCAD 2008 AutoCAD 2012 ПК. Теоретичні відомості. Трехмерная компьютерна