13259

Погрешности измерений. Цели математической обработки результатов эксперимента

Лабораторная работа

Физика

Погрешности измерений Основой всего естествознания является наблюдение и эксперимент. Наблюдение - это систематическое целенаправленное восприятие того или иного объекта или явления без воздействия на изучаемый объект или явление. Наблюдение позволяет получит...

Русский

2013-05-11

107 KB

7 чел.

Погрешности измерений

 

Основой всего естествознания является наблюдение и эксперимент.

Наблюдение это систематическое, целенаправленное восприятие того или иного объекта или явления без воздействия на изучаемый объект или явление. Наблюдение позволяет получить первоначальную информацию по изучаемому объекту или явлению.

Эксперимент метод изучения объекта, когда исследователь активно и целенаправленно воздействует на него путем создания искусственных условий или использует естественные условия, необходимые для выявления соответствующих свойств. Достоинствами эксперимента по сравнению с наблюдением реального явления или объекта является:

  1.  Возможность изучения в «чистом виде», без влияния побочных факторов, затемняющих основной процесс;
  2.  В экспериментальных условиях можно получить результат более быстро и точно;
  3.  При эксперименте можно проводить испытания столько раз, сколько это необходимо.

Результат эксперимента или измерения всегда содержит некоторую погрешность. Если погрешность мала, то ею можно пренебречь. Однако при этом неизбежно возникают два вопроса: вопервых, что понимать под малой погрешностью, и, вовторых, как оценить величину погрешности. То есть, и результаты эксперимента нуждаются в определенном теоретическом осмыслении.

Цели математической обработки результатов эксперимента

Целью любого эксперимента является определение качественной и количественной связи между исследуемыми параметрами, либо оценка численного значения какого-либо параметра.

В некоторых случаях вид зависимости между переменными величинами известен по результатам теоретических исследований. Как правило, формулы, выражающие эти зависимости, содержат некоторые постоянные, значения которых и необходимо определить из опыта.

Другим типом задачи является определение неизвестной функциональной связи между переменными величинами на основе данных эксперимента. Такие зависимости называют эмпирическими.

Однозначно определить неизвестную функциональную зависимость между переменными невозможно даже в том случае, если бы результаты эксперимента не имели погрешностей. Тем более не следует этого ожидать, имея результаты эксперимента, содержащие различные погрешности измерения.

Поэтому следует четко понимать, что целью математической обработки результатов эксперимента является не нахождение истинного характера зависимости между переменными или абсолютной величины какой-либо константы, а представление результатов наблюдений в виде наиболее простой формулы с оценкой возможной погрешности ее использования.

Виды измерений и причины погрешностей

Под измерением понимают сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения.

Различают два типа измерений: прямые и косвенные. При прямом измерении измеряемая величина сравнивается непосредственно со своей единицей меры. Например, измерение микрометром линейного размера, промежутка времени при помощи часовых механизмов, температуры термометром, силы тока амперметром и т.п. Значение измеряемой величины отсчитывается при этом по соответствующей шкале прибора.

При косвенном измерении измеряемая величина определяется (вычисляется) по результатам измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью. Например, измерение скорости по пройденному пути и затраченному времени, измерение плотности тела по измерению массы  и объема, температуры при резании по электродвижущей силе, величины силы по упругим деформациям и т.п.

При измерении любой физической величины производят проверку и установку соответствующего прибора, наблюдение их показаний и отсчет. При этом никогда истинного значения измеряемой величины не получить. Это объясняется тем, что измерительные средства основаны на определенном методе измерения, точность которого конечна. При изготовлении прибора задается класс точности. Его погрешность определяется точностью делений шкалы прибора.

Кроме приборной погрешности на результат измерения влияет еще ряд объективных и субъективных причин, обуславливающих появление погрешностей измерения разности между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины. Погрешности измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины. Исключение составляют измерения известных величин при определении точности измерительных приборов или их тарировке. Поэтому одной из важнейших задач математической обработки результатов эксперимента и является оценка истинного значения измеряемой величины по данным эксперимента с возможно  меньшей погрешности.

Типы погрешностей измерения

Кроме приборной погрешности измерения (определяемой методом измерения) существуют и другие, которые можно разделить на три типа:

1. Систематические погрешности обуславливаются постоянно действующими факторами. Например, смещение начальной точки отсчета, влияние нагревания тел на их удлинение, износ режущего лезвия и т.п. Систематические погрешности выявляют при соответствующей тарировке приборов и потому они могут быть учтены при обработке результатов измерений.

2. Случайные погрешности содержат в своей основе много различных причин, каждая из которых не проявляет себя отчетливо. Случайную погрешность можно рассматривать как суммарный эффект действия многих факторов. Поэтому случайные погрешности при многократных измерениях получаются различными как по величине, так и по знаку. Их невозможно учесть как систематические, но можно учесть их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины. Анализ случайных погрешностей является важнейшим разделом математической обработки экспериментальных данных.

3. Грубые погрешности (промахи) появляются вследствие неправильного отсчета по шкале, неправильной записи, неверной установки условий эксперимента и т.п. Они легко выявляются при повторном проведении опытов.

В дальнейшем будем считать, что систематические и грубые погрешности из результатов эксперимента исключены.

Свойства случайных погрешностей

Случайные погрешности бывают как положительные, так и отрицательные разной величины, не превосходящей определенного предела. Если обозначить через  истинное значение измеряемой величины, а результат первого измерения , то их разность  или  называют истинной абсолютной погрешностью одного измерения. Одновременно она является случайной (при исключении систематических и грубых погрешностей).

Если измерения провести многократно в одних и тех же условиях, то результаты отдельных измерений одинаково надежны. Такую совокупность измерений , ,..., называют равноточными измерениями. Если проанализировать достаточно большую серию равноточных измерений и соответствующих случайных погрешностей измерений, то можно выделить 4 свойства случайных погрешностей:

  1.  Число положительных погрешностей почти равно числу отрицательных;
  2.  Мелкие погрешности встречаются чаще, чем крупные;
  3.  Величина наиболее крупных погрешностей не превосходит некоторого определенного предела, зависящего от точности измерения. Самую большую погрешность в ряду равноточных измерений называют предельной погрешностью;
  4.  Частные от деления алгебраической суммы всех случайных погрешностей на их общее близко к нулю, т.е.

Погрешности косвенных измерений

Часто измеряется не непосредственно интересующая нас величина, а другая, зависящая от нее некоторым образом. Например, при резании металлов часто непосредственно измеряются деформации, ЭДС, по которым судят о возникающих силах и температурах. При этом также необходимо оценить погрешность измерения.

При косвенных измерениях значение y измеряемой величины находят по некоторой формуле:

где ,,…, средние арифметические измеряемые непосредственно величины. Рассмотрим функцию общего вида:

где ,,…, независимые переменные, для определения которых производятся n прямых независимых измерений по каждой .

Обозначим значения переменных через среднее значение и отклонения

Эту функцию представим рядом Тейлора, ограничив его первыми членами ряда (принимая )

,

где   производная функции по , взятая в точке .

Учитывая, что  получаем:

.

Чтобы учесть погрешности  всех  опытов целесообразно использовать средние квадратические оценки , так как .

Возведем в квадрат левую и правую части уравнения и разделим на

.

Здесь суммы удвоенных произведений типа

 

согласно четвертому свойству случайных ошибок ().

Тогда в левой и правой частях имеем среднеквадратические погрешности функции и аргументов

.

В качестве меры точности лучше выступает не абсолютная, а относительная погрешность :

где - действительное значение измеряемой величины, - абсолютная погрешность измерения.

Рассмотрим ее определение на примере. Пусть

 

Тогда

; ;

Аналогично можно определить относительную погрешность и при других зависимостях.  Зная относительную погрешность, можно определить и абсолютное ее значение: .

Порядок обработки результатов измерений

При практической обработке результатов измерений необходимо последовательно выполнить следующие операции

  1.  Записать результаты измерений;
  2.  Вычислить среднее значение из  измерений
  3.  Определить погрешности отдельных измерений ;
  4.  Оценить относительную погрешность результатов измерений
  5.  Записать окончательный результат ;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34886. Державний борг. Вплив державного боргу на економіку країни 22.5 KB
  Державний борг-сума грошових средств які держава бере взайми щоб покрити дефіцит бютжету
34887. Податкова система, види податків 22 KB
  Податки у залежності від форми надходження: а прямі; б непрямі. Податки у залежності від формування рівня бюджету:а державні;б місцеві. Прямі податки що безпосередньо йдуть на формування бюджету: ■ податок на додану вартість; ■ прибутковий податок з громадян; ■ податок з прибутку підприємств; ■ плата за землю; ■ податок на нерухомість з юридичних та фізичних осіб; ■ податок з продажів. Непрямі податки це надбавки до цін і тарифів що поширюються на обмежене коло товарів та послуг: ■ акцизи; ■ мита; ■...
34888. Теорія „порівняльних витрат”-основа міжнародної торгівлі 21.5 KB
  Теорія порівняльних витратâоснова міжнародної торгівлі Міжнародна торгівля це обмін товарами і послугами між державнонаціональними господарствами. Передумовами світової торгівлі виступають міжнародний поділ праці спеціалізація різних країн на виробництві окремих видів товарів і послуг відповідно до технікоекономічного рівня розвитку їх природногсографічних умов.У основі об'єктивної необхідності міжнародної торгівлі лежить концепція порівняльних витрат створена Д. Якщо є незаперечні природні сировинні кліматичні переваги однієї...
34890. Перешкоди на шляху розвитку міжнародної торгівлі 20 KB
  Пошліниємитний збір це з ціллю : а протекціонізниєзахист вітчизняного споживача; б фіскальні пошліни налогові.Квотавводиться обмеження на кількість ввезення продукта з ціллю підтримки вітчизняного виробника.
34891. Сутність поняття роздержавлення та приватизація 23.5 KB
  Сутність поняття роздержавлення та приватизація. Термін роздержавлення на Заході відомий давно і вживається він однозначно за змістом як передача власності з державного сектора в приватний. У нас враховуючи суцільний тобто в усіх сферах монополізм зумовлений пануванням державної власності в поняття роздержавлення вкладається дещо інший зміст. А це означає що однією з суттєвих сторін роздержавлення є перетворення самої держави.
34892. Предмет та функціі економічноі теоріі 24.5 KB
  Пізнавальна функція формування ринкового світогляду. Практична функція розробка економічної політики держави на мові об'єктивних економічних закономірностей. Методологічна функція розробка методів засобів наукового і грументарію необхідних для глибокого об'єктивного дослідження ономічної дійсності.
34893. Поняття людських потреб 28 KB
  Матеріальні потреби це бажання споживачів отримати товари та послуги що приносять їм задоволення. Індивідуальні потреби людини споживчі товари і послуги: а первинні задовольняють життєво необхідні потреби людини фізіологічні об'єкт потреб: предмети першої необхідності; б вторинні задовольняють естетичні та культурні потреби кіно театр спорт книги тощо об'єкти потреб: предмети розкоші. Суспільні потреби потреби урядових установих і громадських організацій фірм що...
34894. Методи економічноі теоріі 32 KB
  Факти описова або емпірична теорія займається збором фактів що відносяться до визначеної проблеми в економіці і співставляє гіпотезу з фактами для підтвердження цієї теорії. Індуктивний метод дослідження це виведення економічних принципів тобто створення теорії на основі добору накопичення систематизації й аналізу конкретних фактів господарського життя. Процес пізнання йде від часткового до загального від фактів до теорії. Дедуктивний метод створення економічної теорії з подальшим...