13532

Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера

Конспект урока

Информатика, кибернетика и программирование

Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера. Что нужно знать: перевод чисел между десятичной двоичной восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления см. презентацию Системы счислени

Русский

2015-04-22

218 KB

67 чел.

А1 (базовый уровень, время – 1 мин)

Тема:  Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера.

Что нужно знать:

  •  перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления (см. презентацию «Системы счисления»)

Полезно помнить, что в двоичной системе:

  •  четные числа оканчиваются на 0, нечетные – на 1;
  •  числа, которые делятся на 4, оканчиваются на 00, и т.д.; числа, которые делятся на 2k, оканчиваются на k нулей
  •  если число N принадлежит интервалу 2k-1  N < 2k, в его двоичной записи будет всего k цифр, например, для числа 125:

 26 = 64  125 < 128 = 27,    125 = 11111012  (7 цифр)

  •  числа вида 2k записываются в двоичной системе как единица и k нулей, например:

 16 = 24 = 100002

  •  числа вида 2k-1 записываются в двоичной системе k единиц, например:

 15 = 24-1 = 11112

  •  если известна двоичная запись числа N, то двоичную запись числа 2·N можно легко получить, приписав в конец ноль, например:
    15 = 1111
    2,  30 = 111102,         60 = 1111002,  120 = 11110002
  •  отрицательные целые числа хранятся в памяти в двоичном дополнительном коде (подробнее см. презентацию «Компьютер изнутри»)
  •  для перевода отрицательного числа (-a) в двоичный дополнительный код нужно сделать следующие операции:
    •  перевести число a-1 в двоичную систему счисления
    •  сделать инверсию битов: заменить все нули на единицы и единицы на нули в пределах разрядной сетки (см. пример далее)

Пример задания:

Сколько единиц в двоичной записи числа 1025? 

1) 1            2)  2       3)  10  4) 11

Решение (вариант 1, прямой перевод):

  1.  переводим число 1025 в двоичную систему: 1025 = 100000000012
  2.  считаем единицы, их две
  3.  Ответ: 2

Возможные проблемы:

легко запутаться при переводе больших чисел.

Решение (вариант 2, разложение на сумму степеней двойки):

  1.  тут очень полезно знать наизусть таблицу степеней двойки, где 1024 = 210 и 1 = 20
  2.  таким образом, 1025=  1024 + 1 = 210 + 20
  3.  вспоминая, как переводится число из двоичной системы  в десятичную (значение каждой цифры умножается на 2 в степени, равной её разряду), понимаем, что в двоичной записи числа ровно столько единиц, сколько в приведенной сумме различных степеней двойки, то есть, 2
  4.  Ответ: 2

Возможные проблемы:

нужно помнить таблицу степеней двойки.

Когда удобно использовать:

  •  когда число чуть больше какой-то степени двойки

Ещё пример задания:

Дано: и . Какое из чисел с, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a < c < b?    

1) 110110012            2)  110111002          3)  110101112          4) 110110002

Общий подход:

перевести все числа (и исходные данные, и ответы) в одну (любую!) систему счисления и сравнить.

Решение (вариант 1, через десятичную систему):

  1.  
  2.  
  3.  переводим в десятичную систему все ответы:

110110012 = 217, 11011100 2= 220, 110101112 = 215, 110110002=216

  1.  очевидно, что между числами 215 и 217 может быть только 216
  2.  таким образом, верный ответ – 4 .

Возможные проблемы:

арифметические ошибки при переводе из других систем в десятичную.

Решение (вариант 2, через двоичную систему):

  1.   (каждая цифра шестнадцатеричной системы отдельно переводится в четыре двоичных – тетраду);
  2.   (каждая цифра восьмеричной системы отдельно переводится в три двоичных – триаду, старшие нули можно не писать);
  3.  теперь нужно сообразить, что между этими числами находится только двоичное число 110110002 – это ответ 4.

Возможные проблемы:

запись двоичных чисел однородна, содержит много одинаковых символов – нулей и единиц, поэтому легко запутаться и сделать ошибку.

Решение (вариант 3, через восьмеричную систему):

  1.  (сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на триады справа налево, каждую триаду перевели отдельно в десятичную систему, так как для чисел от 0 до 7 их восьмеричная запись совпадает с десятичной);
  2.  ,  никуда переводить не нужно;
  3.  переводим в восьмеричную систему все ответы:

110110012 = 011  011  0012  = 3318 (разбили на триады справа налево, каждую триаду перевели отдельно в десятичную систему, как в п. 1)

11011100 2= 3348, 110101112 = 3278, 110110002=3308

  1.  в восьмеричной системе между числами 3278 и 3318 может быть только 3308
  2.  таким образом, верный ответ – 4 .

Возможные проблемы:

нужно помнить двоичную запись чисел от 0 до 7 (или переводить эти числа в двоичную систему при решении).

Решение (вариант 4, через шестнадцатеричную систему):

  1.   никуда переводить не нужно;
  2.   (сначала перевели в двоичную систему, потом двоичную запись числа разбили на тетрады справа налево, каждую тетраду перевели в шестнадцатеричную систему; при этом тетрады можно переводить из двоичной системы в десятичную, а затем заменить все числа, большие 9, на буквы – A, B, C, D, E, F);
  3.  переводим в шестнадцатеричную систему все ответы:

110110012 = 1101 10012  = D916 (разбили на тетрады справа налево, каждую тетраду перевели отдельно в десятичную систему, все числа, большие 9, заменили  на буквы – A, B, C, D, E, F, как в п. 1)

11011100 2= DC16, 110101112 = D716, 110110002=D816

  1.  в шестнадцатеричной системе между числами D716 и D916 может быть только D816
  2.  таким образом, верный ответ – 4 .

Возможные проблемы:

нужно помнить двоичную запись чисел от 0 до 15 (или переводить эти числа в двоичную систему при решении).

Выводы:

  •  есть несколько способов решения, «каждый выбирает для себя»;
  •  наиболее сложные вычисления – при переводе всех чисел в десятичную систему, можно легко ошибиться;
  •  сравнивать числа в двоичной системе сложно, также легко ошибиться;
  •  видимо, в этой задаче наиболее простой вариант – использовать восьмеричную систему, нужно просто запомнить двоичные записи чисел от 0 до 7 и аккуратно все сделать;
  •  в других задачах может быть так, что выгоднее переводить все в десятичную или шестнадцатеричную систему счисления.

Еще пример задания:

Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-78)? 

1) 3            2)  4           3)  5  4) 6

Решение (вариант 1, классический):

  1.  переводим число 78 в двоичную систему счисления:

78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 26 + 23 + 22 + 21 = 10011102

  1.  по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов
  2.  чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:

78 = 010011102

  1.  делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

010011102     →    101100012  

  1.  добавляем к результату единицу

101100012  + 1 = 101100102

это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде

  1.  в записи этого числа 4 единицы
  2.  таким образом, верный ответ – 2 .

Возможные ловушки и проблемы:

  •  нужно не забыть в конце добавить единицу, причем это может быть не так тривиально, если будут переносы в следующий разряд – тут тоже есть шанс ошибиться из-за невнимательности

Решение (вариант 2, неклассический):

  1.  переводим число 78 – 1=77 в двоичную систему счисления:

77 = 64 + 8 + 4 + 1 = 26 + 23 + 22 + 20 = 10011012

  1.  по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов
  2.  чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:

77 = 010011012

  1.  делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

010011012     →    101100102  

это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде

  1.  в записи этого числа 4 единицы
  2.  таким образом, верный ответ – 2 .

Возможные ловушки и проблемы:

  •  нужно помнить, что в этом способе в двоичную систему переводится не число a, а число
    a-1; именно этот прием позволяет избежать добавления единицы в конце (легче вычесть в десятичной системе, чем добавить в двоичной)

Решение (вариант 3, неклассический):

  1.  переводим число 78 в двоичную систему счисления:

78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 26 + 23 + 22 + 21 = 10011102

  1.  по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов
  2.  чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:

78 = 010011102

  1.  для всех битов, которые стоят слева от младшей единицы, делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

010011102     →    101100102  

это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде

  1.  в записи этого числа 4 единицы
  2.  таким образом, верный ответ – 2 .

Возможные ловушки и проблемы:

  •  нужно помнить, что при инверсии младшая единица и все нули после нее не меняются


Задачи для тренировки
1:

  1.  Как представлено число 8310 в двоичной системе счисления?

1)  10010112 2) 11001012  3) 10100112  4) 1010012 

  1.  Сколько единиц в двоичной записи числа 195?

1)  5 2) 2 3) 3  4) 4

  1.  Сколько единиц в двоичной записи числа 173?

1)  7 2) 5 3) 6  4) 4

  1.  Как представлено число 25 в двоичной системе счисления?

1)  10012  2) 110012  3) 100112  4) 110102

  1.  Как представлено число 82 в двоичной системе счисления?

1)  10100102 2) 10100112  3) 1001012  4) 10001002

  1.  Как представлено число 263 в восьмеричной системе счисления?

1)  3018  2) 6508  3) 4078  4) 7778

  1.  Как записывается число 5678 в двоичной системе счисления?

1)  10111012 2) 1001101112  3) 1011101112  4) 111101112

  1.  Как записывается число A8716 в восьмеричной системе счисления?

1)  4358  2) 15778  3) 52078   4) 64008

  1.  Как записывается число 7548 в шестнадцатеричной системе счисления?

1)  73816  2) 1A416  3) 1EC16   4) A5616

  1.  Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-128)?

1) 1            2)  2           3)  3  4) 4

  1.  Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-35)?

1) 3            2)  4           3)  5  4) 6

  1.  Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 100110102            2)  100111102           3)  100111112  4) 110111102

  1.  Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 111110012            2)  110110002           3)  111101112  4) 111110002

  1.  Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 110110102            2)  111111102           3)  110111102  4) 110111112

  1.  Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 111010102            2)  111011102           3)  111010112  4) 111011002

  1.  Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 111010102            2)  111010002           3)  111010112  4) 111011002

  1.  Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 110100112            2)  110011102           3)  110010102  4) 110011002

  1.  Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 111000112            2)  110110102           3)  101011012  4) 110111012

  1.  Сколько единиц в двоичной записи числа 64?

1) 1   2)  2  3)  4   4) 6

  1.  Сколько единиц в двоичной записи числа 127?

1) 1   2)  2  3)  6   4) 7

  1.  Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 48?

1) 1   2)  2  3)  4   4) 6

  1.  Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 254?

1) 1   2)  2  3)  4   4) 8

  1.  Какое из чисел является наименьшим?

1) E616   2)  3478  3)  111001012  4) 232

  1.  Какое из чисел является наибольшим?

1) 9B16   2)  2348  3)  100110102  4) 153

  1.  Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 101011002            2)  101010102           3)  101010112  4) 101010002

  1.  Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 110110102            2)  111111102           3)  110111112  4) 110111102

  1.  Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 100010102            2)  100011102           3)  100100112  4) 100011002

  1.  Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 111010102            2)  111011102           3)  111011002  4) 111010112

  1.  Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 101010102            2)  101111002           3)  101000112  4) 101011002

  1.  Сколько единиц в двоичной записи числа 173?

1) 4   2)  5  3)  6   4) 7

  1.  Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 10000002            2)  10001102           3)  10001012  4) 10001112

  1.  Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 100010012            2)  100011002           3)  110101112  4) 111110002

  1.  Дано: , . Какое из чисел С, записанных в шестнадцатеричной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) AA16             2)  B816           3)  D616   4) F016

  1.  Дано: , . Какое из чисел Z, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 1111110012            2)  1111001112           3)  1101111002  4) 1101101112

  1.  Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1) 101110102            2)  101010102           3) 1010101002   4) 101000102

  1.  Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 513?

1) 5 2) 2  3) 3  4) 4

  1.  Сколько нулей в двоичной записи десятичного числа 497?

1) 5 2) 2  3) 3  4) 4

  1.  Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит ровно 3 единицы.

1) 1 2) 11  3) 3  4) 33

  1.  Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит ровно 2 единицы.

1) 7 2) 11  3) 12  4) 15

  1.  Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит ровно 4 единицы.

1) 15 2) 21  3) 32  4) 35

  1.  Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит ровно 2 единицы.

1) 14 2) 16  3) 18  4) 31

  1.  Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит ровно 3 единицы.

1) 8 2) 10  3) 12  4) 14

  1.  Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит наибольшее количество единиц.

1) 13 2) 14  3) 15  4) 16

  1.  Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит наибольшее количество единиц.

1) 23 2) 24  3) 25  4) 26

  1.  Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит наибольшее количество значащих нулей.

1) 3 2) 8  3) 11  4) 15

  1.  Для каждого из перечисленных ниже десятичных чисел построили двоичную запись. Укажите число, двоичная запись которого содержит наибольшее количество значащих нулей.

1) 13 2) 18  3) 21  4) 25

  1.  Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе:
     10001011, 10111000, 10011011, 10110100.
    Сколько среди них чисел, больших, чем А4
    16 +208?

1) 1 2) 2  3) 3  4) 4

  1.  Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе:
     10101011, 11001100, 11000111, 11110100.
    Сколько среди них чисел,
    меньших, чем BC16 +208?

1) 1 2) 2  3) 3  4) 4

  1.  Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе:
     11000000, 11000011, 11011001, 11011111.
    Сколько среди них чисел, больших, чем A
    B16 +258?

1) 1 2) 2  3) 3  4) 4

  1.  Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе:
     10111010, 10110100, 10101111, 10101100.
    Сколько среди них чисел, меньших, чем 9
    C16 +378?

1) 1 2) 2  3) 3  4) 4

1 Источники заданий:


Демонстрационные варианты  2004-2013 гг.


Тренировочные и диагностические работы МИОО.


Гусева И.Ю. . Информатика: раздаточный материал тренировочных тестов. — СПб: Тригон, 2009.


Якушкин П.А., Лещинер В.Р., Кириенко Д.П.   2010. Информатика. Типовые тестовые задания. — М.: Экзамен, 2010.


Абрамян М.Э., Михалкович С.С., Русанова Я.М., Чердынцева М.И.  Информатика.  шаг за шагом. — М.: НИИ школьных технологий, 2010.


Чуркина Т.Е.  2011. Информатика. Тематические тренировочные задания. — М.: Эксмо, 2010.


Самылкина Н.Н., Островская Е.М.  2011. Информатика. Тематические тренировочные задания. — М.: Эксмо, 2010.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83652. Представление синусоидальных величин с помощью векторов и комплексных чисел 166 KB
  Это было связано с тем что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Цепи с изменяющимися переменными токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Для периодического тока имеем 1 Величина обратная периоду есть частота измеряемая в герцах Гц: 2 Диапазон частот применяемых в технике: от сверхнизких частот 0. Ее принято...
83653. Элементы цепи синусоидального тока. Векторные диаграммы и комплексные соотношения для них 186 KB
  Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам: разделим первый из них на второй. Следовательно соответствующие им векторы напряжения и тока Полученный результат показывает что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на.
83654. Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС 189.5 KB
  Положительных направлений напряжений и токов. Однако число уравнений подлежащих решению может быть сокращено если воспользоваться специальными методами расчета к которым относятся методы контурных токов и узловых потенциалов. Метод контурных токов Идея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа но не для действительных а для воображаемых токов циркулирующих по замкнутым контурам т. Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно.
83655. Основы матричных методов расчета электрических цепей 192 KB
  Соотношение 3 запишем для всех n ветвей схемы в виде матричного равенства или 4 где Z диагональная квадратная размерностью n x n матрица сопротивлений ветвей все элементы которой взаимную индуктивность не учитываем за исключением элементов главной диагонали равны нулю. Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения 8 где столбцовая матрица контурных токов; транспонированная контурная матрица. 11 то получим матричную форму записи уравнений составленных по методу контурных токов: 12 где...
83656. Преобразование энергии в электрической цепи. Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока 145 KB
  Мгновенная активная реактивная и полная мощности синусоидального тока Передача энергии w по электрической цепи например по линии электропередачи рассеяние энергии то есть переход электромагнитной энергии в тепловую а также и другие виды преобразования энергии характеризуются интенсивностью с которой протекает процесс то есть тем сколько энергии передается по линии в единицу времени сколько энергии рассеивается в единицу времени. 1 Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет вид: . Среднее за период...
83657. Резонансы в цепях синусоидального тока 136 KB
  Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением. Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементамирезонанс напряжений Для цепи на рис. В цепи преобладает индуктивность т.
83658. Векторные и топографические диаграммы 135.5 KB
  Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы. Они представляют собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной плоскости отображающие их потенциалы. Для построения топографической диаграммы предварительно осуществим расчет комплексных потенциалов другой вариант построения топографической диаграммы предполагает расчет комплексов напряжений на элементах цепи с последующим суммированием векторов напряжений вдоль...
83659. Анализ цепей с индуктивно связанными элементами 150 KB
  Такие элементы могут связывать цепи электрически гальванически разделенные друг от друга. В том случае когда изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе цепи говорят что эти два элемента индуктивно связаны а возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степень индуктивной связи элементов характеризуется коэффициентом связи 1 где М взаимная индуктивность элементов цепи размерность Гн; и собственные индуктивности этих элементов.
83660. Особенности составления матричных уравнений при наличии индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками 118 KB
  В общем случае разветвленной цепи со взаимной индукцией матрица сопротивлений ветвей имеет вид Z . Здесь элементы главной диагонали комплексные сопротивления ветвей схемы; элементы вне главной диагонали комплексные сопротивления индуктивной связи i й и k й ветвей знак ставится при одинаковой ориентации ветвей относительно одноименных зажимов в противном случае ставится...