13779

Методы решения тригонометрических уравнений

Лекция

Математика и математический анализ

Методы решения тригонометрических уравнений. 1 Решение простейших тригонометрических уравнений. По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений. Ответ: 2 Решение тригонометрических уравнений раз...

Русский

2013-05-13

435 KB

22 чел.

Методы решения

тригонометрических уравнений.


1) Решение простейших тригонометрических уравнений.

По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.

       

Ответ:

2) Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

       

       или

       

       

 или       решений нет

  

Отметим полученные решения и область определения на тригонометрическом круге.

Решением уравнения является:

Ответ:

3) Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям.

Пусть , тогда        

         

  или   

  Т.к.

  при , то корней нет.

Ответ:

4) Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.

 или  

    

    

     

     

       

     

Ответ: ;

5) Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

а) Найдем область определения функции.

Областью определения данного уравнения является:

б) Решим данное уравнение.

Ответ:

6) Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени.

 

Пусть , тогда

  или   

    Т.к.

    при , то корней нет.

Ответ:

7) Решение тригонометрических уравнений как однородное.

Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.

, где

- действительные числа.  - показатель однородности.

Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит . Разделим обе части на , получим

Ответ:

8) Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Т. к. , то корни есть.

Разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , а , тогда получим

   Ответ:

Теория.

1) если , то уравнение однородное.

2) если  и (то есть хотя бы одно из чисел  или  не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , тогда

а) если,  т. е. , то корней нет.

в) если,  т. е. , тогда

Т. к. , то корней нет.

9) Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

              

(1)

(2)

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения  корнями данного уравнения.

Проверка.

Если , тогда

- не верно, значит , не является корнями исходного уравнения.

Ответ:

10) Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного.

Уравнение вида  решается следующей заменой , , ,

Способ I

Пусть , , , , получим

  или   

     (3)

Разделим на , получим  

    

   Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

Теория.

, при

Доказательство:

Шесть способов решения уравнения (3).

  1.  применение формулы .
  2.  через .
  3.  привести к однородному уравнению второй степени.
  4.  способ введения вспомогательного аргумента.
  5.  с помощью неравенства , при .
  6.  метод оценки левой и правой частей уравнения.

Способ II

 или  

Разделим на , получим  

    

   Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

11) Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок).

12) Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Пример №1

Решим уравнение 2.

 или  

  

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ: ,

Пример №2

Решим уравнение 2.

Решим квадратное уравнение относительно.

 и  то корней нет.

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67940. Химиотерапевтические препараты. Антибиотики 81 KB
  В основе выборочного действия антибиотиков лежат возникшие в процессе эволюции структурные и биохимические отличия двух основных групп клеточных организмов: прокариотов и эукариотов. Действие антибиотиков на микробы связано с их способностью угнетать биохимические реакции происходящие в микробной клетке.
67941. Генетика микроорганизмов. Морфология и физиология микроорганизмов 69 KB
  Ядерные структуры бактерий имеют характерное морфологические признаки отличающее их от ядер эукариотических клеток; их образуют так называемые хроматиновые тельца или нуклеотиды лишенные оболочки и включающие в себя почти всю ДНК бактерий. В клетках бактерий содержится два типа нуклеиновых кислот...
67942. Грамположительные кокки (стафилококки и стрептококки) 91 KB
  Семейство Micrococcaceae, род Staphylococcus. Все виды стафилококков представляют собой округлые клетки диаметром 0,5-1 мкм. В мазке располагаются обычно несимметричными гроздьями («гроздья винограда»), но встречаются одиночные клетки, пары клеток. Грамположительны.
67943. Грамотрицательные кокки (менингококки и гонококки) 115.5 KB
  Отдел Gracilicutes, семейство Neisseriaceae, род нейссерий (Neisseria). Все виды семейства являются обитателями слизистых оболочек теплокровных. Общие признаки бактерий этой группы: способны расти в присутствии кислорода, представлены неподвижными диплококками и короткими палочками...
67944. Кишечная палочка. Возбудители брюшного тифа, паратифов А и В 130.5 KB
  Эшерихиозы — заболевания, возбудителями которых является Escherichia coli. Различают энтеральные (кишечные, эпидемические) эшерихиозы — острые инфекционные болезни, характеризующиеся преимущественным поражением пищеварительного тракта, возбудителями которых являются...
67945. Серодиагностика брюшного тифа, паратифов А и В. Сальмонеллы – возбудители острых гастроэнтеритов 100 KB
  Цель: Освоение методов микробиологической диагностики сальмонеллезов и серологической диагностики брюшного тифа и паратифов А и В. Серодиагностика брюшного тифа паратифов А и В. Серологическая диагностика брюшного тифа и паратифов А и В.
67946. Методы микробиологической диагностики дизентерии 98 KB
  Цель: Изучение методов микробиологической диагностики этиотропной терапии и профилактики шигеллезов. Актуальность темы: Шигеллезы распространены повсеместно и представляют серьезную проблему в странах с низким санитарным культурным уровнем и большой частотой случаев недостаточного и некачественного питания.
67947. Методы микробиологической диагностики холеры 92.5 KB
  Возбудителями холеры острого инфекционного заболевания с тенденцией к широкому распространению характеризующегося симптомами тяжелого гастроэнтерита с резким обезвоживанием и тяжелой интоксикацией являются два биовара Vibrio cholere: биовар cholere и биовар eltor.
67948. Микробиологическая диагностика дифтерии 66.5 KB
  Corynebacterium diphteriae (палочка Клебса Леффлера) - возбудитель дифтерии – острого инфекционного заболевания воздухоносных путей и кожных покровов, характеризующегося образованием фибринозных пленок и общей интоксикацией. Возбудитель дифтерии - Corynebacterium принадлежит к семейству Corynebacteriaceae.