13779

Методы решения тригонометрических уравнений

Лекция

Математика и математический анализ

Методы решения тригонометрических уравнений. 1 Решение простейших тригонометрических уравнений. По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений. Ответ: 2 Решение тригонометрических уравнений раз...

Русский

2013-05-13

435 KB

21 чел.

Методы решения

тригонометрических уравнений.


1) Решение простейших тригонометрических уравнений.

По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.

       

Ответ:

2) Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

       

       или

       

       

 или       решений нет

  

Отметим полученные решения и область определения на тригонометрическом круге.

Решением уравнения является:

Ответ:

3) Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям.

Пусть , тогда        

         

  или   

  Т.к.

  при , то корней нет.

Ответ:

4) Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.

 или  

    

    

     

     

       

     

Ответ: ;

5) Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

а) Найдем область определения функции.

Областью определения данного уравнения является:

б) Решим данное уравнение.

Ответ:

6) Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени.

 

Пусть , тогда

  или   

    Т.к.

    при , то корней нет.

Ответ:

7) Решение тригонометрических уравнений как однородное.

Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.

, где

- действительные числа.  - показатель однородности.

Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит . Разделим обе части на , получим

Ответ:

8) Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Т. к. , то корни есть.

Разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , а , тогда получим

   Ответ:

Теория.

1) если , то уравнение однородное.

2) если  и (то есть хотя бы одно из чисел  или  не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , тогда

а) если,  т. е. , то корней нет.

в) если,  т. е. , тогда

Т. к. , то корней нет.

9) Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

              

(1)

(2)

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения  корнями данного уравнения.

Проверка.

Если , тогда

- не верно, значит , не является корнями исходного уравнения.

Ответ:

10) Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного.

Уравнение вида  решается следующей заменой , , ,

Способ I

Пусть , , , , получим

  или   

     (3)

Разделим на , получим  

    

   Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

Теория.

, при

Доказательство:

Шесть способов решения уравнения (3).

  1.  применение формулы .
  2.  через .
  3.  привести к однородному уравнению второй степени.
  4.  способ введения вспомогательного аргумента.
  5.  с помощью неравенства , при .
  6.  метод оценки левой и правой частей уравнения.

Способ II

 или  

Разделим на , получим  

    

   Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

11) Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок).

12) Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Пример №1

Решим уравнение 2.

 или  

  

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ: ,

Пример №2

Решим уравнение 2.

Решим квадратное уравнение относительно.

 и  то корней нет.

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30460. Глава государства в зарубежных странах 16.16 KB
  Глава государства в зарубежных странах. Во всех современных государствах имеется институт главы государства. Глава государства рассматривается как высшее должностное лицо считающееся носителем исполнительной власти и верховным представителем государства в сфере международных отношений. Обычно главой государства выступает либо выборный президент в республиках либо наследственный монарх.
30461. Правительство в зарубежных странах 15.82 KB
  В зависимости от формы правления правительства формируются двумя основными способами: парламентским право на формирование правительства в этих странах получает та политическая партия которая имеет большинство мест в нижней палате парламента страны.; внепарламентским право на формирование правительства в этих странах имеет не парламент а избирательный корпус. Состав и структура правительства очень разнообразны и в ряде стран Великобритании никак не регулируются что позволяет каждому новому...
30462. Функции и структура судебной власти в зарубежных странах 15.31 KB
  Суды первой инстанции рассматривающие дела по существу: мировые судьи полицейские суды районные суды суды судебных округов и др. Суды второй инстанции особые апелляционные или высокие суды в странах тоталитарного социализма такого звена нет куда можно обращаться с жалобой на решение суда первой инстанции. Суды кассационной инстанции. Это либо вышестоящий суд либо верховные суды иногда официально называющиеся кассационными.
30463. Принципы судоустройства и судопроизводства в зарубежных странах 14.95 KB
  Ни один государственный орган должностное или иное лицо не вправе указывать суду как ему следует решить то или иное дело; судьи решают дело на основе закона и личного убеждения. Нельзя отказывать в приеме дела по причинам отсутствия закона или его неясности. возможность обжалования и пересмотра судебного решения путем апелляции повторное рассмотрение дела по существу по процедуре первой инстанции кассации проверка выполнения закона судом. К числу особых принципов в сфере уголовного процесса относятся: право обвиняемого на...
30464. Конституционная юстиция в зарубежных странах 14.95 KB
  Существует несколько моделей конституционного контроля. Европейская модель конституционного контроля получила самое широкое распространение после Второй мировой войны постоянно совершенствовалась и теперь она воспринимается на других континентах. Для обоснования конституционного контроля использовались три основных теории12. Впрочем сами конституции в странах с такого рода режимами можно считать таковыми лишь условно: никакого конституционного строя там разумеется быть не может.
30465. Формы политико-территориального устройства в зарубежных странах 15.18 KB
  Главное различие между обеими формами заключается в том что при унитарной форме территория государства состоит из политикоадминистративных или административных единиц тогда как при федеративной форме высшие территориальные единицы представляют собой государствоподобные образования или даже государства субъекты федерации. означает не что...
30466. Принципы распределения компетенции между федерацией и ее субъектами в зарубежных странах 15.91 KB
  В первую очередь он механизм регулирует отношения равновесия на основе принципа разделения власти между всеми имеющимися центрами власти в государстве. С его помощью происходит реализация разграничения полномочий между ветвями власти без чего не может нормально функционировать не только федеративное государство но и любое другое. Вопервых разделение власти между центром и регионами имеет конституционноправовое обоснование. В случаях же возникновения коллизий между центром и регионами в отношении разделения власти...
30467. Статус субъектов федерации и иных носителей государственной автономии в зарубежных странах 14.96 KB
  Эти договоры не могут противоречить праву и интересам Союза а также правам других кантонов. С нижестоящими иностранными властями кантоны могут иметь дело непосредственно а в остальных случаях отношения кантонов с заграницей осуществляются через посредство Союза. В заключение следует отметить специфическую особенность трех кантонов Швейцарии это Аппенцелль Базель и Унтервальден которая заключается в том что каждый из них состоит из двух полукантонов а общекантональной власти там не существует. Каждый из полукантонов имеет свою...