13779

Методы решения тригонометрических уравнений

Лекция

Математика и математический анализ

Методы решения тригонометрических уравнений. 1 Решение простейших тригонометрических уравнений. По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений. Ответ: 2 Решение тригонометрических уравнений раз...

Русский

2013-05-13

435 KB

21 чел.

Методы решения

тригонометрических уравнений.


1) Решение простейших тригонометрических уравнений.

По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.

       

Ответ:

2) Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

       

       или

       

       

 или       решений нет

  

Отметим полученные решения и область определения на тригонометрическом круге.

Решением уравнения является:

Ответ:

3) Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям.

Пусть , тогда        

         

  или   

  Т.к.

  при , то корней нет.

Ответ:

4) Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.

 или  

    

    

     

     

       

     

Ответ: ;

5) Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

а) Найдем область определения функции.

Областью определения данного уравнения является:

б) Решим данное уравнение.

Ответ:

6) Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени.

 

Пусть , тогда

  или   

    Т.к.

    при , то корней нет.

Ответ:

7) Решение тригонометрических уравнений как однородное.

Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.

, где

- действительные числа.  - показатель однородности.

Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит . Разделим обе части на , получим

Ответ:

8) Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Т. к. , то корни есть.

Разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , а , тогда получим

   Ответ:

Теория.

1) если , то уравнение однородное.

2) если  и (то есть хотя бы одно из чисел  или  не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , тогда

а) если,  т. е. , то корней нет.

в) если,  т. е. , тогда

Т. к. , то корней нет.

9) Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

              

(1)

(2)

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения  корнями данного уравнения.

Проверка.

Если , тогда

- не верно, значит , не является корнями исходного уравнения.

Ответ:

10) Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного.

Уравнение вида  решается следующей заменой , , ,

Способ I

Пусть , , , , получим

  или   

     (3)

Разделим на , получим  

    

   Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

Теория.

, при

Доказательство:

Шесть способов решения уравнения (3).

  1.  применение формулы .
  2.  через .
  3.  привести к однородному уравнению второй степени.
  4.  способ введения вспомогательного аргумента.
  5.  с помощью неравенства , при .
  6.  метод оценки левой и правой частей уравнения.

Способ II

 или  

Разделим на , получим  

    

   Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

11) Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок).

12) Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Пример №1

Решим уравнение 2.

 или  

  

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ: ,

Пример №2

Решим уравнение 2.

Решим квадратное уравнение относительно.

 и  то корней нет.

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22563. Механізми, що лежать в основі формування довготривалої памяті 25 KB
  Механізми що лежать в основі формування довготривалої памяті Цей вид памяті не може базуватись лише на циркуляції імпульсів чи змінах електрофізичних характеристик окремих нейронів. Разом з тим велика кількість інформації при цьому зберігається в довготривалій памяті – незмінню.Механізм памяті такоє пояснюють на основі складних морфологічних чи біохімічних змін синапсів. Молекулярна теорія памяті в основі якої лежить уявлення про те що виникаючий під дією зовнішнього подразника нервовий імпульс активує синтез РНК в нейроні.
22564. Визначення та класифікація емоцій 24 KB
  Визначення та класифікація емоцій Емоції рефлекторна адаптаційна психофізіологічна реакція яка повязана з проявом субєктивного ставлення до значущої ситуації і забезпечує організацію доцільної поведінки. Емоції поділяють на вищі та нижчі. Нижчі емоції найбільш елементарні повязані з органічними потребами тварин і людей поділяються на 2 види : 1 гомеостатичні проявляються в вигляді неспокою пошуковорухової активності спраги голоду і ін. Вищі емоції виникаютьлишу у людини в звязку з задоволенням соціальних потреб інтелектуальних...
22565. Функції емоцій 23 KB
  Сигнальна функція полягає в тому що емоції сигналізують про корисний чи негативний вплив даного організму чи успішність чи неуспішність виконання даної дії. Це призводить до моментальної мобілізації всіх систем організму для реакції – відповіді характер якої залежить від того сигналом корисного чи негативного впливу на організм є даний подразник. Таким чином впливи що надходять з зовнішнього середовища і від самого організму призводять до виникнення емоційних переживань що дають загальну якісну характеристику фактору що впливають...
22566. Основні фізіологічні теорії емоцій 25 KB
  Основні фізіологічні теорії емоцій В першій класичній теорії відомій як теорія Джеймся Ланге робили висновок про характеристику стенічних та астенічних емоційних станів.Пізніше Кеннон та Бард показали що емоції гніву та стаху під впливом таламічних розрядів супроводжуються повишеним поступанням адреналіну в кров що призводить до розвитку симпатікотонії яка відіграє позитивну роль в підготовці організму до діяльності і навіть боротьби внаслідок чого ця теорія отримала незву таламічної теорії емоцій. Кортикальні емоційні процеси...
22567. Сон 42 KB
  Існує величезна кількість емпіричних даних і забобонів щодо значення сну і сновидінь але справжнє наукове вивчення сну почалося лише у другій половині ХІХ ст. Прибічники хімічної теорії сну спочатку пояснювали сон накопиченням в організмі гіпнотоксичних речовин молочна вугільна та карбонові кислоти холестерин а нині надають важливого значення особливим хімічним регуляторам сну таким як речовина сну фактор сну чи пептид дельтасну які являють низькомолекулярні поліпептиди 850 920 Да . Кортикальна теорія сну І. Нарешті...
22568. будливий та гальмівний постсиниптичні потенціали 23.5 KB
  Постсинаптичне гальмування ГПСП обумовлене виділенням пресинаптичним закінченням аксона гальмівного медіатора який знижує або гальмує збудливість мембран соми і дендритів нерв клітини з якою він контактує. Прикладами гальмівних нейронів є клітини Реншоу в спинному мозку клітини Пуркіньє мозочку зірчасті клітини кіркової речовини великого мозку . Збудження нейрона супроводжуеться змінами метаболізму зокрема синтезу РНК та іншими зрушеннями в процесі білкового синтезу посиленням теплопродукції поглинанням кисню які відображають...
22569. Постсинаптичне гальмування у ЦНС та його природа.Значення ггальмування у роботі 22.5 KB
  Значення ггальмування у роботі. Гальмування особливий нервовий процес який зумовлюється збудженням і зовнішньо проявляється пригніченням іншого збудження. Постсинаптичне гальмування ГПСП обумовлене виділенням пресинаптичним закінченням аксона гальмівного медіатора який знижує або гальмує збудливість мембран соми і дендритів нерв клітини з якою він контактує.
22570. ЦНС 22.5 KB
  Особливе місце в цій складній організації займае місце ЦНС що повязує в функціональну єдність всі клітини тканини і органи людського організму. Дякуючи великій кількості різних рецепторів ЦНС сприймає багаточисельні зміни що виникають в зовн средовищі і всередині організму і відіграє велику роль в регуляції всіх сторін життєдіяльності огранізму в зовн середовищі. Процеси що відбуваються в ЦНС лежать в основі психічної діяльності та поведінки людини. Діяльність ЦНС найчастіше наз координаційною або узгоджувальною.