13779

Методы решения тригонометрических уравнений

Лекция

Математика и математический анализ

Методы решения тригонометрических уравнений. 1 Решение простейших тригонометрических уравнений. По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений. Ответ: 2 Решение тригонометрических уравнений раз...

Русский

2013-05-13

435 KB

21 чел.

Методы решения

тригонометрических уравнений.


1) Решение простейших тригонометрических уравнений.

По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.

       

Ответ:

2) Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

       

       или

       

       

 или       решений нет

  

Отметим полученные решения и область определения на тригонометрическом круге.

Решением уравнения является:

Ответ:

3) Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям.

Пусть , тогда        

         

  или   

  Т.к.

  при , то корней нет.

Ответ:

4) Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.

 или  

    

    

     

     

       

     

Ответ: ;

5) Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

а) Найдем область определения функции.

Областью определения данного уравнения является:

б) Решим данное уравнение.

Ответ:

6) Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени.

 

Пусть , тогда

  или   

    Т.к.

    при , то корней нет.

Ответ:

7) Решение тригонометрических уравнений как однородное.

Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.

, где

- действительные числа.  - показатель однородности.

Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит . Разделим обе части на , получим

Ответ:

8) Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Т. к. , то корни есть.

Разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , а , тогда получим

   Ответ:

Теория.

1) если , то уравнение однородное.

2) если  и (то есть хотя бы одно из чисел  или  не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , тогда

а) если,  т. е. , то корней нет.

в) если,  т. е. , тогда

Т. к. , то корней нет.

9) Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

              

(1)

(2)

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения  корнями данного уравнения.

Проверка.

Если , тогда

- не верно, значит , не является корнями исходного уравнения.

Ответ:

10) Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного.

Уравнение вида  решается следующей заменой , , ,

Способ I

Пусть , , , , получим

  или   

     (3)

Разделим на , получим  

    

   Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

Теория.

, при

Доказательство:

Шесть способов решения уравнения (3).

  1.  применение формулы .
  2.  через .
  3.  привести к однородному уравнению второй степени.
  4.  способ введения вспомогательного аргумента.
  5.  с помощью неравенства , при .
  6.  метод оценки левой и правой частей уравнения.

Способ II

 или  

Разделим на , получим  

    

   Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

11) Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок).

12) Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Пример №1

Решим уравнение 2.

 или  

  

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ: ,

Пример №2

Решим уравнение 2.

Решим квадратное уравнение относительно.

 и  то корней нет.

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65599. ОЦІНКА ЯКОСТІ ПОВЕРХНЕВИХ ВОД МЕТОДАМИ СУЧАСНИХ ГЕОІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ (НА ПРИКЛАДІ Р. СІВЕРСЬКИЙ ДОНЕЦЬ) 8.29 MB
  Як зазначено у Концепції розвитку водного господарства України незбалансована господарська діяльність залучення на виробничі потреби значних водних ресурсів та їх забруднення стоки із сільськогосподарських угідь та урбанізованих територій штучна зміна природного режиму водних...
65600. НАУКОВО-АКОМОДАТИВНІ ЗАСАДИ РЕСУРСНО-КАЛЕНДАРНОГО МОДЕЛЮВАННЯ БУДІВЕЛЬНОГО ВИРОБНИЦТВА 381.5 KB
  Головною метою оновлення та вдосконалення наукових та теоретичних засад ресурснокалендарного планування та моделювання РКПМ проектів підготовки зведення та впровадження об’єктів будівництва є потреба та можливість суттєвого покращення планування організації і акомодації будівельних процесів...
65601. ВПЛИВ РІЗНИХ ГУМОРАЛЬНИХ ІМУННИХ ФАКТОРІВ НА СТРУКТУРНО-ФУНКЦІОНАЛЬНІ ПОКАЗНИКИ МІОКАРДУ У ХВОРИХ НА РЕВМАТОЇДНИЙ АРТРИТ 222.5 KB
  Ревматоїдний артрит РА є поширеним хронічним захворюванням що характеризується прогресуючим перебігом ерозивного запального процесу в суглобах який призводить до ранньої інвалідизації багатьох хворих Коваленко В. Якщо клінічні особливості і патогенез кардіоваскулярної патології...
65602. ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ПРОЦЕС ОТРИМАННЯ ЦИНКОВОГО КУПОРОСУ ІЗ ЦИНКОВМІСНИХ ШЛАМІВ СТІЧНИХ ВОД 2.47 MB
  Відповідно до державних програм України що стосуються охорони навколишнього середовища за напрямком Новітні технології та ресурсозберігаючі технології в енергетиці промисловості та агропромисловому комплексі робота виконана в рамках...
65603. Стан регуляторних та захистно-пристосувальних механізмів плода при загрозі недоношування 272.5 KB
  Актуальність дослідження обумовлена тим фактом, що в перiод демографiчної кризи, яка вiдмiчається сьогоднi в Українi, проблема невиношування вагiтностi є не тiльки медичною, але i соцiальною, так як це - один з резервiв пiдвищення народжуваностi...
65604. ПРАВЛІННЯ ВИТРАТАМИ МАШИНОБУДІВНОГО ПІДПРИЄМСТВА НА ОСНОВІ ФУНКЦІОНАЛЬНО- ПРОЦЕСНОГО ПІДХОДУ 274.5 KB
  У системі виробничо-господарської діяльності машинобудівного підприємства важливе місце має інтеграція функціонального та процесного підходів до управління витратами, яка забезпечує організацію контролю за ефективним використанням матеріальних, трудових і фінансових ресурсів.
65605. ПАРТІЙНО-ДЕРЖАВНА ПОЛІТИКА В ГАЛУЗІ ОХОРОНИ ЗДОРОВ’Я В УКРАЇНСЬКІЙ СРР (1919 – 1929 рр.) 157 KB
  Актуальність теми посилюється тим що сучасна Україна проголошена соціальною державою де охорона життя та здоров'я населення визначена одним з пріоритетних напрямків діяльності країни та суспільства.
65606. ФОРМУВАННЯ У МАЙБУТНІХ ЕКОНОМІСТІВ ПРОФЕСІЙНИХ УМІНЬ РОЗВ’ЯЗУВАТИ СИТУАТИВНІ ЗАВДАННЯ 189 KB
  Реформування освітньої галузі у тому числі вищої економічної освіти зумовлене суттєвою трансформацією соціальноекономічної сфери та інноваційними процесами що відбуваються в європейському й світовому освітньому просторі.
65607. ФІЛОСОФСЬКО – ОСВІТНІЙ ВИМІР РАЦІОНАЛЬНОГО ПІЗНАННЯ 274 KB
  Перевизначення статусу раціонального пізнання в системі пізнавальної діяльності людини у зв’язку з розгортанням інформаційної революції та відповідною кризою класичної концепції раціональності разом із виявленням буттєвої небезпечності гіпертрофованої експансії...