13779

Методы решения тригонометрических уравнений

Лекция

Математика и математический анализ

Методы решения тригонометрических уравнений. 1 Решение простейших тригонометрических уравнений. По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений. Ответ: 2 Решение тригонометрических уравнений раз...

Русский

2013-05-13

435 KB

22 чел.

Методы решения

тригонометрических уравнений.


1) Решение простейших тригонометрических уравнений.

По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.

       

Ответ:

2) Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

       

       или

       

       

 или       решений нет

  

Отметим полученные решения и область определения на тригонометрическом круге.

Решением уравнения является:

Ответ:

3) Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям.

Пусть , тогда        

         

  или   

  Т.к.

  при , то корней нет.

Ответ:

4) Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.

 или  

    

    

     

     

       

     

Ответ: ;

5) Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

а) Найдем область определения функции.

Областью определения данного уравнения является:

б) Решим данное уравнение.

Ответ:

6) Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени.

 

Пусть , тогда

  или   

    Т.к.

    при , то корней нет.

Ответ:

7) Решение тригонометрических уравнений как однородное.

Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.

, где

- действительные числа.  - показатель однородности.

Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит . Разделим обе части на , получим

Ответ:

8) Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Т. к. , то корни есть.

Разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , а , тогда получим

   Ответ:

Теория.

1) если , то уравнение однородное.

2) если  и (то есть хотя бы одно из чисел  или  не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , тогда

а) если,  т. е. , то корней нет.

в) если,  т. е. , тогда

Т. к. , то корней нет.

9) Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

              

(1)

(2)

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения  корнями данного уравнения.

Проверка.

Если , тогда

- не верно, значит , не является корнями исходного уравнения.

Ответ:

10) Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного.

Уравнение вида  решается следующей заменой , , ,

Способ I

Пусть , , , , получим

  или   

     (3)

Разделим на , получим  

    

   Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

Теория.

, при

Доказательство:

Шесть способов решения уравнения (3).

  1.  применение формулы .
  2.  через .
  3.  привести к однородному уравнению второй степени.
  4.  способ введения вспомогательного аргумента.
  5.  с помощью неравенства , при .
  6.  метод оценки левой и правой частей уравнения.

Способ II

 или  

Разделим на , получим  

    

   Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

11) Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок).

12) Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Пример №1

Решим уравнение 2.

 или  

  

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ: ,

Пример №2

Решим уравнение 2.

Решим квадратное уравнение относительно.

 и  то корней нет.

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56519. Рішення. Безліч рішень 329.5 KB
  Мета: пояснити учням що люди протягом дня приймають багато рішень усі рішення мають наслідки що можна навчитись приймати правильні рішення; розповісти що необхідно звертатись за допомогою до старших для прийняття правильного рішення...
56520. Я + Я = КОМАНДА 31 KB
  Мета: активізувати учасників групи підвищити їх емоційний настрій. Вправа Очікування Мета: виявити що чекають від заняття мобілізувати пізнавальні процеси. Вправа Правила групи...
56521. Тренінг «Моделі самоврядування» 189.5 KB
  Мета: прийняти правила для продуктивної роботи групи під час тренінгу. Хід вправи: Учасникам тренінгу пропонується назвати правила які на їхню думку потрібні для ефективної роботи під час тренінгу.
56522. TRICKY JOBS 58.5 KB
  Well, now I am sure that you can easily guess the subject of our today’s lesson. Yes, you are right; we are going to talk about jobs. If to be precise we are going to focus on tricky jobs.
56523. Тригонометричні підстановки в показникових рівняннях 151 KB
  Як література розвиває емоції взаєморозуміння так математика розвиває спостережливість уяву і розум. Представники кожної із чотирьох груп заздалегідь заготували на дошці запис...
56524. Решение простейших тригонометрических уравнений 782 KB
  Решить уравнение Решение. Решить уравнение Решение. Решить уравнение Решение. Ответ: уравнение не имеет решений Учащиеся уровня А заполняют карточки с подсказками.
56525. Урок по алгебре форме игры «Счастливый случай» 208.5 KB
  Тригонометрические функции числового аргумента. Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента. Обратные тригонометрические функции их определения. Какие явления напоминает график синусоиды или косинусоиды Составление кроссвордов друг другу...
56526. Урок Тригонометричні функції числового аргументу 268 KB
  Мета уроку: повторити, систематизувати й узагальнити знання учнів з теми; розвивати логічне мислення, пізнавальну діяльність, вміння застосовувати властивості тригонометричних функцій до побудови графіків...
56527. Розв’язування тригонометричних рівнянь 2.9 MB
  Розглянемо такі тригонометричні рівняння. Рівняння які зводяться до квадратних відносно тригонометричної функції. Рівняння які розвязуються за допомогою рівності однойменних тригонометричних функцій. Лінійні рівняння відносно синуса і косинуса.