13779

Методы решения тригонометрических уравнений

Лекция

Математика и математический анализ

Методы решения тригонометрических уравнений. 1 Решение простейших тригонометрических уравнений. По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений. Ответ: 2 Решение тригонометрических уравнений раз...

Русский

2013-05-13

435 KB

21 чел.

Методы решения

тригонометрических уравнений.


1) Решение простейших тригонометрических уравнений.

По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.

       

Ответ:

2) Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

       

       или

       

       

 или       решений нет

  

Отметим полученные решения и область определения на тригонометрическом круге.

Решением уравнения является:

Ответ:

3) Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям.

Пусть , тогда        

         

  или   

  Т.к.

  при , то корней нет.

Ответ:

4) Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.

 или  

    

    

     

     

       

     

Ответ: ;

5) Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

а) Найдем область определения функции.

Областью определения данного уравнения является:

б) Решим данное уравнение.

Ответ:

6) Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени.

 

Пусть , тогда

  или   

    Т.к.

    при , то корней нет.

Ответ:

7) Решение тригонометрических уравнений как однородное.

Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.

, где

- действительные числа.  - показатель однородности.

Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит . Разделим обе части на , получим

Ответ:

8) Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Т. к. , то корни есть.

Разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , а , тогда получим

   Ответ:

Теория.

1) если , то уравнение однородное.

2) если  и (то есть хотя бы одно из чисел  или  не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , тогда

а) если,  т. е. , то корней нет.

в) если,  т. е. , тогда

Т. к. , то корней нет.

9) Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

              

(1)

(2)

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения  корнями данного уравнения.

Проверка.

Если , тогда

- не верно, значит , не является корнями исходного уравнения.

Ответ:

10) Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного.

Уравнение вида  решается следующей заменой , , ,

Способ I

Пусть , , , , получим

  или   

     (3)

Разделим на , получим  

    

   Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

Теория.

, при

Доказательство:

Шесть способов решения уравнения (3).

  1.  применение формулы .
  2.  через .
  3.  привести к однородному уравнению второй степени.
  4.  способ введения вспомогательного аргумента.
  5.  с помощью неравенства , при .
  6.  метод оценки левой и правой частей уравнения.

Способ II

 или  

Разделим на , получим  

    

   Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

11) Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок).

12) Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Пример №1

Решим уравнение 2.

 или  

  

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ: ,

Пример №2

Решим уравнение 2.

Решим квадратное уравнение относительно.

 и  то корней нет.

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52455. Національна кухня 11.66 MB
  CDplyer crds. Pudding is typicl English dish. Stek nd fries risotto – but we lso do severl English dishes s well. Were rgentinin people surprised when they herd tht n English chef ws going to open resturnt here Yes they were – very I think people do not usully expect the English to be good cooks.
52456. National cuisine 532 KB
  Tody we continue to discuss different questions nd fcts bout mels nd food. ll living things need food becuse it is the bsic fuel of our life. Wht food is very good for us Which of the foods re not so good for us nd wht food cn even cuse illnesses Write list of 15 best nd 15 worst foods. Nowdys in spoken English you my often come cross such phrse s junk food.
52457. Cultural Development of Young People 45 KB
  Der friends Tody t the lesson we’ll try to revel the notion “Culturl development of young peopleâ€.: I think I’ll be doctor becuse it’s n importnt nd necessry profession which helps people to keep in good helth. Pupils brinstorm their ides nd come to the conclusion tht “ culturl development†includes the following things: eduction upbringing socil surroundings trditions the wy we tret other people the wy we work nd study the wy we dress...
52458. We and the English-speaking world. Comparing cultures 139.5 KB
  Guests: investors from Germny representtives of school dminist rtion correspondents from locl mss medi techers of the lyceum. I’m gld to introduce you our guests from Germny Peter Freundlieb nd Julius Zitsek. nd I hope our guests from Germny will help us won’t they The guests introduce themselves nd tell some words bout their country nd their mission in Ukrine. I think they will explin us the reson: boy nd girl worn in ntionl Ukrinin costumes hnd in the Germn guests bred nd slt on the ntionl Ukrinin towel nd spek bout Ukrinin...
52459. CYBERBULLYING 102 KB
  Techer: Good fternoon der pupils nd our guests We re hppy to greet you t our prty devoted to Interntionl Dy for Tolernce nd problems of cyberbullying. Presenter 1: Tody we’re going to tlk bout bullying. Bullying occurs in every country round the globe when people especilly children ren't tolernt of ech other.
52461. ВІТАННЯ ВІД СВІТЛОФОРЧИКА 53.5 KB
  Учителька бабуся. Учителька бабуся. Ура Учителька бабуся. О а навіщо нам ці правила Що ми – шофери чи що Учителька бабуся.