13779

Методы решения тригонометрических уравнений

Лекция

Математика и математический анализ

Методы решения тригонометрических уравнений. 1 Решение простейших тригонометрических уравнений. По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений. Ответ: 2 Решение тригонометрических уравнений раз...

Русский

2013-05-13

435 KB

21 чел.

Методы решения

тригонометрических уравнений.


1) Решение простейших тригонометрических уравнений.

По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.

       

Ответ:

2) Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

       

       или

       

       

 или       решений нет

  

Отметим полученные решения и область определения на тригонометрическом круге.

Решением уравнения является:

Ответ:

3) Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям.

Пусть , тогда        

         

  или   

  Т.к.

  при , то корней нет.

Ответ:

4) Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.

 или  

    

    

     

     

       

     

Ответ: ;

5) Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

а) Найдем область определения функции.

Областью определения данного уравнения является:

б) Решим данное уравнение.

Ответ:

6) Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени.

 

Пусть , тогда

  или   

    Т.к.

    при , то корней нет.

Ответ:

7) Решение тригонометрических уравнений как однородное.

Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.

, где

- действительные числа.  - показатель однородности.

Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит . Разделим обе части на , получим

Ответ:

8) Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Т. к. , то корни есть.

Разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , а , тогда получим

   Ответ:

Теория.

1) если , то уравнение однородное.

2) если  и (то есть хотя бы одно из чисел  или  не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , тогда

а) если,  т. е. , то корней нет.

в) если,  т. е. , тогда

Т. к. , то корней нет.

9) Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

              

(1)

(2)

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения  корнями данного уравнения.

Проверка.

Если , тогда

- не верно, значит , не является корнями исходного уравнения.

Ответ:

10) Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного.

Уравнение вида  решается следующей заменой , , ,

Способ I

Пусть , , , , получим

  или   

     (3)

Разделим на , получим  

    

   Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

Теория.

, при

Доказательство:

Шесть способов решения уравнения (3).

  1.  применение формулы .
  2.  через .
  3.  привести к однородному уравнению второй степени.
  4.  способ введения вспомогательного аргумента.
  5.  с помощью неравенства , при .
  6.  метод оценки левой и правой частей уравнения.

Способ II

 или  

Разделим на , получим  

    

   Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

11) Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок).

12) Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Пример №1

Решим уравнение 2.

 или  

  

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ: ,

Пример №2

Решим уравнение 2.

Решим квадратное уравнение относительно.

 и  то корней нет.

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43861. Проектирование и разработка реляционной базы данных для информационной системы зоомагазина 1.86 MB
  Целью данной курсовой работы является создание реляционной базы данных зоомагазина и разработка приложения для работы с данной базой. В совокупности данная система должна обеспечивать возможности по накоплению и управлению продажами магазина.
43862. Комп’ютерна мережа підприємства «Анамар» 1.08 MB
  Целью данной дипломной работы является проектирование компьютерной сети для предприятия Анамар. Проектируемая сеть имеет одноранговую структуру с топологией звезда при разработке были использованы основные технологии по защите данных и аутентификации пользователей в сети. Рассмотрены все этапы и требования по проектированию компьютерной сети на предприятии. Все требования заказчика по проектируемой сети были реализованы в данном проекте.
43863. Расчет технологического производства телефонаLG KE600 265 KB
  В последнее время производители сотовых телефонов выпускают не мало аппаратов, которые помимо стандартного набора функций предоставляют пользователям возможности воспроизведения музыки в формате MP3. Корейская компания LG не стала исключением и представила на рынке телефон серии KE600 с функцией музыкальный DJ и навигационным вращающимся джостиком
43864. Двухкаскадная пропаново-этановая холодильная установка. Разработать испаритель-конденсатор 1022 KB
  Графические материалы: технологическая схема двукаскадной холодильной установки сборочный чертеж аппарата сборочные чертежи узлов всего 4 листа формата А1. Вид поставки сортамент: листовой прокат лист толстый г катаный ГОСТ 19903 лист тонкий х катаный ГОСТ 19904 полоса ГОСТ 103 трубы труба электросварная квадратная ТУ 14105566 труба электросварная прямоугольная ТУ 14105566. Вид поставки сортамент: фасонный прокат квадрат г катаный ГОСТ 2591 круг г катаный ГОСТ 2590 листовой прокат лист толстый г катаный ГОСТ 19903...
43865. Фундаменты 10-этажного 5-секционного жилого дома на 200 квартир при несущих лесовых грунтах 2.05 MB
  Для отделки стен жилых комнат использованы обои, в коридорах, прихожих и кладовках – улучшенная клеевая окраска; в кухнях и ванных комнатах панели окрашиваются масляной краской, у сантехнического оборудования частично облицовываются керамической плиткой. Выше панели улучшенная клеевая окраска; в санузлах масляная панель, выше улучшенная клеевая окраска.
43868. Создание Базы Данных в Access. Решение задач в Delphi и Lazarus 1.31 MB
  Структура Базы Данных. Создание Базы Данных в ccess. Создание Базы Данных в ccess. Имеет широкий спектр функций включая связанные запросы связь с внешними таблицами и базами данных.