13779

Методы решения тригонометрических уравнений

Лекция

Математика и математический анализ

Методы решения тригонометрических уравнений. 1 Решение простейших тригонометрических уравнений. По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений. Ответ: 2 Решение тригонометрических уравнений раз...

Русский

2013-05-13

435 KB

21 чел.

Методы решения

тригонометрических уравнений.


1) Решение простейших тригонометрических уравнений.

По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.

       

Ответ:

2) Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

       

       или

       

       

 или       решений нет

  

Отметим полученные решения и область определения на тригонометрическом круге.

Решением уравнения является:

Ответ:

3) Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям.

Пусть , тогда        

         

  или   

  Т.к.

  при , то корней нет.

Ответ:

4) Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.

 или  

    

    

     

     

       

     

Ответ: ;

5) Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

а) Найдем область определения функции.

Областью определения данного уравнения является:

б) Решим данное уравнение.

Ответ:

6) Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени.

 

Пусть , тогда

  или   

    Т.к.

    при , то корней нет.

Ответ:

7) Решение тригонометрических уравнений как однородное.

Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.

, где

- действительные числа.  - показатель однородности.

Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит . Разделим обе части на , получим

Ответ:

8) Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Т. к. , то корни есть.

Разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , а , тогда получим

   Ответ:

Теория.

1) если , то уравнение однородное.

2) если  и (то есть хотя бы одно из чисел  или  не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим

Т. к.  и , то существует такой угол , что , тогда

а) если,  т. е. , то корней нет.

в) если,  т. е. , тогда

Т. к. , то корней нет.

9) Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

              

(1)

(2)

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения  корнями данного уравнения.

Проверка.

Если , тогда

- не верно, значит , не является корнями исходного уравнения.

Ответ:

10) Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного.

Уравнение вида  решается следующей заменой , , ,

Способ I

Пусть , , , , получим

  или   

     (3)

Разделим на , получим  

    

   Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

Теория.

, при

Доказательство:

Шесть способов решения уравнения (3).

  1.  применение формулы .
  2.  через .
  3.  привести к однородному уравнению второй степени.
  4.  способ введения вспомогательного аргумента.
  5.  с помощью неравенства , при .
  6.  метод оценки левой и правой частей уравнения.

Способ II

 или  

Разделим на , получим  

    

   Т. к. , при , то корней нет.

Ответ:

11) Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок).

12) Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Пример №1

Решим уравнение 2.

 или  

  

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ: ,

Пример №2

Решим уравнение 2.

Решим квадратное уравнение относительно.

 и  то корней нет.

Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.

Ответ:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57871. Прилагателно име. Граматически особенности. Правопис и употреба 3 MB
  Ход на урока: Днес на нашия урок присъстват гости от цяла Запорожка област но нашата работа ще протече както и друг път. Проверка на домашната работа и поставяне на темата: В. Ето ви образец за домашната работа...
57872. Конспект Лекций по ТОЭ 1.75 MB
  Электрические цепи, в которых получение электрической энергии, её передача и преобразование происходят при неизменных во времени токах и напряжениях, называют цепями постоянного тока. В таких цепях электрические и магнитные поля также не изменяются во времени. Так как токи и напряжения постоянны, то изменения этих величин во времени равны нулю
57873. Пам’ять серця стоїть на посту. Голод 1932-33рр. в Україні як геноцид: мовою документів, через твори У.Самчука «Марія» та В. Барки «Жовтий князь» 174.5 KB
  Барка Жовтий князь знайомство з історичними документами спогадами свідків ознайомити учнів з противоправною політикою радянської держави політикою геноциду щодо українського селянства; сформувати у свідомості учнів уявлення про суб’єктивні причини масового голодомору та його наслідки...
57874. Просвітництво як літературна епоха. Розмаїття виявів літературного життя 72 KB
  Today we are going to listen to student’s reports about three famous representatives of Enlightenment. They are Robert Burns, Daniel Defoe, Heinrich Heine. They lived in different parts of Europe...
57875. Память. Виды памяти 87.5 KB
  Цель урока: дать понятие о видах и качестве памяти определить её роль в формировании индивидуальности; на практике ознакомиться с методами определения памяти; развивать умение тренировать и укреплять память; воспитывать стремление к развитию определенного вида памяти;...
57876. Фізика і мистецтво. Інтегрований урок 55.5 KB
  Це Леонардо да Вінчі. Повідомлення про Леонардо да Вінчі підготували. За свідченням сучасників Леонардо да Вінчі відзначався прекрасною зовнішністю він мав пропорційну структуру був витончений із привабливим обличчям. Леонардо постійно малював і записував.
57877. Классификация млекопитающих. Яйцекладущие и сумчатые млекопитающие 401 KB
  Цель урока: обучающая: Изучить классификацию млекопитающих. Познакомить учащихся с яйцекладущими и сумчатыми млекопитающими, раскрыть особенности размножения и индивидуального развития этих животных: черты сходства и отличия.
57878. Особливості припинення трудових правовідносин. Економічні аспекти зайнятості населення 507 KB
  Основні поняття: трудовий договір безробіття державна служба зайнятості. Аналіз рівня безробіття в Україні. Визначення рівня безробіття в Дергачівському районі. Отже всім зрозуміло що безробіття – це негативне явище в економіці.
57879. Птахи. Звірі. Інтегрований урок з презентацією Я і Україна (природа), англійська мова 3 клас 51 KB
  Мета: Формувати поняття звірі птахи повторити назви птахів та ввести до активного словникового запасу учнів назви тварин англійською мовою закріпити знання про особливості вживання дієслова to hve в теперішньому неозначеному часі; розвивати навики мовлення та вміння порівнювати спостерігати...