1395

Общая физика

Лекция

Физика

Вектора углового перемещения, угловой скорости и ускорения. Производная единичного вектора (при его повороте). Нормальное и касательное ускорения. Центр инерции системы тел. Теорема о движении центра инерции. Закон сохранения импульса. Работа. Кинетическая энергия. Закон сохранения кинетической энергии. Мощность. Следствия из преобразований Лоренца: длины тел и промежутки времени.

Русский

2013-01-06

2.36 MB

24 чел.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
КАФЕДРА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ОБЩАЯ ФИЗИКА 
(конспект лекций) 
 
 
С.Е.МАЛЬХАНОВ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Санкт-Петербург 
2001 
 
 
 
 
 1 

 
 
 
Предлагаемый  читателям  конспект  лекций  по  общей  физике  многие  годы  и  по 
настоящее  время  читается  автором  студентам 1 и 2 курсов  технических  факультетов 
Санкт-Петербургского  государственного  технического  университета.  В  основу  данного 
курса заложена идея о том, что физика суть наука экспериментальная, а хорошая теория 
предполагает  обобщение  экспериментальных  закономерностей  до  физических  законов. 
Автор,  воспитанный  на  экспериментальном  видении  физических  проблем  старался 
донести  до  студентов  неизбежную  потребность  в  теоретических  расчетах.  Необходимые 
сведения по векторной алгебре, интегральному и дифференциальному исчислению, рядам 
и другие математические сведения автор вводит в курс по мере их надобности, с самого 
начала предлагая их как необходимые расчетные операции.  
С начала и до конца курса автор старается сформировать у студентов физическую 
картину  мира  на  основе  представлений  о  квантовом  характере  устройства  природы, 
используя квазинепрерывность и непрерывность как идеальную математическую модель. 
Законы  сохранения,  виды  взаимодействий,  релятивизм,  и  статистический  характер 
устройства природы также пронизывают весь курс. Тенденция восхождения от простого к 
сложному, от простых закономерностей к более общим законам преследуется в изложении 
материала.  Автор  благодарен  коллективу  кафедры  экспериментальной  физики 
университета разных лет, (с начала 70-х годов) работа рядом с которыми позволила ему 
реализовать данный конспект лекций.  
Конспект  лекций  состоит  из 4 частей. 1 часть – МЕХАНИКА, 2 часть – 
МОЛЕКУЛЯРНАЯ  ФИЗИКА, 3 часть – ЭЛЕКТРИЧЕСТВО  И  МАГНЕТИЗМ, 4 часть – 
ОПТИКА И АТОМНАЯ ФИЗИКА.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Мальханов Сергей  Ефремович  2001 г 
 
 
 
 
 
 
 
 2 

 
Содержание 
 
Часть 1 МЕХАНИКА 
 
О предмете физики 11 
ВВЕДЕНИЕ 12 
§ 1 Предмет и метод физики 12 
§ 2 Основные понятия физики 12 
ГЛАВА 1 КИНЕМАТИКА 15 
§ 1 Векторы 15 
§ 2 Путь, перемещение, скорость, ускорение 18 
§ 3 Интегрирование скорости для нахождения пути 19 
§ 4 Вектора углового перемещения, угловой скорости и ускорения 21 
§ 5 Производная  единичного  вектора  (при  его  повороте).  Нормальное  и 
25 
касательное ускорения 
 ГЛАВА 2 ДИНАМИКА 25 
§ 1 Масса и импульс тела 25 
§ 2 Законы Ньютона 26 
§ 3 Принцип относительности Галилея 28 
§ 4 Центр инерции системы тел. Теорема о движении центра инерции. Закон 
30 
сохранения импульса 
§ 5 Работа. Кинетическая энергия. Закон сохранения кинетической энергии. 
32 
Мощность 
§ 6 Единицы измерения механических величин 35 
§ 7 Консервативные и неконсервативные силы 36 
§ 8 Потенциальная энергия. Закон сохранения полной механической энергии 39 
§ 9 Связь силы и потенциальной энергии (в поле консервативных сил) 42 
§ 10 Момент силы. Векторное произведение 45 
§ 11 Момент импульса. Закон сохранения момента импульса 49 
§ 12 Момент  импульса  относительно  неподвижной  оси.  Момент  инерции 
51 
твердого тела 
§ 13 Неинерциальные системы отсчета 57 
§ 13.1 Центробежная сила инерции 57 
§ 13.2 Сила Кориолиса 58 
§ 14 Гироскопы 60 
ГЛАВА 3 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 62 
§ 1 Постулаты специальной теории относительности 62 
§ 2 Преобразования Лоренца (1904 г) 65 
§ 3 Следствия из преобразований Лоренца: длины тел и промежутки времени 70 
§ 4 Преобразования скоростей, импульса и энергии 71 
ГЛАВА 4 ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ 73 
§ 1 Законы Кеплера 73 
§ 2 Силы,  действующие  по  закону  обратных  квадратов.  Закон  всемирного 
74 
тяготения 
§ 3 Движение в центральном поле (задача двух тел). Секторальная скорость 75 
§ 4 Кеплерова задача:  траектории тел в поле тяготения 77 
§ 5 Космические скорости 81 
§ 6 Об общем принципе относительности 82 
ГЛАВА 5 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 85 
§ 1 Малые колебания 86 
 3 

§ 2 Свободные гармонические колебания 88 
§ 3 Математический и физический маятники 90 
§ 4 Затухающие колебания 92 
§ 5 Вынужденные  колебания  гармонического  осциллятора  (с  учетом  сил 
95 
сопротивления) 
§ 6 Сложение колебаний одинакового направления. Векторная диаграмма 98 
§ 7 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний 100 
§ 8 Биения 102 
§ 9 Ангармонический осциллятор 103 
§ 10 Адиабатические инварианты 105 
 
Часть 2 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА 
 
Об атомистической теории 109 
ГЛАВА 1 ФИЗИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 111 
§ 1 Вероятность. Частотное определение вероятности. Свойства вероятности 112 
§ 2 Статистический вес 116 
§ 3 Дискретные и непрерывные распределения вероятности 116 
§ 4 Применение статистических методов к системе молекул 118 
§ 5 Каноническое распределение 119 
5.1 Микроканоническое распределение 120 
5.2 Каноническое распределение Гиббса 122 
ГЛАВА 2 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 124 
§ 1 Распределение Максвелла по импульсам, скоростям и энергиям 124 
1.1 Плотность распределения по векторам импульсов 125 
1.2 Плотность распределения по векторам скоростей 126 
1.3 Плотность распределения для компонентов скорости 126 
1.4 Плотность распределения для модуля скорости 127 
1.5 Плотность распределения для энергии 129 
1.6  Анализ  результатов  для  плотности  вероятности  модулей  скорости, 
129 
импульса и энергии 
§ 2 Распределение Больцмана 132 
§ 3 Биномиальное распределение 134 
§ 4 Распределение Гаусса (нормальное распределение) 136 
§ 5 Распределение Стьюдента 139 
ГЛАВА 3 ТЕРМОДИНАМИКА 141 
Вместо вступления 141 
§ 1 Энтропия. Понятие и свойства 142 
§ 2 Температура 143 
2.1 Температура как параметр равновесной системы 143 
2.2 Термометрия 144 
2.3 Термометр Фаренгейта 149 
§ 3 Давление  
150 
§ 4 Первый закон термодинамики 151 
§ 5 Макроскопические состояния газа. Процессы 152 
§ 6 Расчет работы и внутренней энергии в термодинамике 154 
§ 7 Теплоемкость 156 
7.1 Расчет теплоемкости при постоянном объеме и давлении 156 
7.2 Виды теплоемкости 157 
§ 8 Уравнение Пуассона для адиабатического процесса 158 
§ 9 Политропический процесс 159 
 4 

§ 10 Применение первого начала термодинамики к тепловым процессам 159 
§ 11 Цикл и теорема Карно 162 
§ 12 Второе и третье начала термодинамики 164 
§ 13 Уравнение состояния газа в Модели Ван-дер-Ваальса 166 
§ 14 Процесс Джоуля-Томсона 167 
ГЛАВА 4 ФИЗИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА 171 
§ 1 Средняя длина свободного пробега молекул 171 
1.1 Эффективное сечение взаимодействия молекул 172 
1.2 Средняя длина свободного пробега 172 
§ 2 Диффузия. Коэффициент диффузии 174 
§ 3 Теплопроводность Коэффициент теплопроводности 176 
§ 4 Динамическая вязкость. Коэффициент вязкости 178 
§ 5 Перенос заряда 179 
ГЛАВА 5 ГИДРОДИНАМИКА 181 
§ 1 Понятие о гидродинамике 181 
1.1 Модель сплошной среды 181 
1.2 Уравнение непрерывности 182 
1.3 Об уравнении Эйлера 184 
1.4 Теорема неразрывности струй 184 
§ 2 Уравнение Бернулли 185 
§ 3 Ламинарное и турбулентное течения 187 
§ 4 Формула Пуазейля 188 
ГЛАВА 6 СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ 192 
§ 1 Простые  кристаллические  структуры.  Плотность  кристаллов  и 
192 
межатомные расстояния 
1.1 О простых кристаллических структурах 192 
1.2 Плотность кристаллов и межатомные расстояния 194 
§ 2 Решетка Бравэ.  
197 
§ 3 Кристаллические системы 199 
§ 4 Теплоемкость кристаллов 202 
 
Часть 3 Электричество и магнетизм 
 
ГЛАВА 1 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ (ВАКУУМ) 206 
§ 1 Электрические заряды 206 
§ 2 О единицах измерения заряда 210 
§ 3 О получении электрических зарядов 212 
3.1 Элемент Вольты 212 
3.2 Элемент Даниэля-Якоби 212 
§ 4 Электризация как разделение зарядов 213 
§ 5 Опыты с электронами 214 
5.1 Об определении заряда в опыте Милликена 214 
5.2 Обнаружение движения электронов в опыте Толмена и Стюарта 216 
5.3 Приведение диска в движение с использованием электронного тока 217 
§ 6 Напряженность электрического поля 217 
§ 7 Постановка задачи о расчете электрических полей 219 
§ 8 Потенциал электрического поля 222 
8.1 Об электрическом потенциале 222 
8.2 Потенциальный характер электрического поля 224 
§ 9 Закон Гаусса 228 
§ 10 Формулы Остроградского –Гаусса, Стокса и уравнения Максвелла для Е 231 
 5 

в вакууме 
10.1 От формулы Остроградского-Гаусса к уравнению Максвелла 231 
10.2  От  циркуляции  вектора  Е  по  контуру,  через  формулу  Стокса  к 
233 
следующему уравнению Максвелла 
§ 11 Метод зеркальных изображений 235 
ГЛАВА 2 ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 237 
§ 1 Проводник во внешнем электрическом поле 237 
§ 2 Электрическая емкость 240 
§ 3 Электростатический генератор Ван-де-Граафа 241 
ГЛАВА 3 ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 243 
§ 1 Поляризация диэлектриков 243 
§ 2 Модель расчета электрического поля диполя 246 
§ 3 Поляризованность 248 
§ 4 Вектор электрической индукции 250 
§ 5 Энергия электрического поля 253 
ГЛАВА 4 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 257 
§ 1 Сила и плотность электрического тока 257 
§ 2 Закон Ома 259 
§ 3 Подвижность носителей заряда 260 
§ 4 Закон Ома для замкнутой цепи 261 
§ 5 Электрические цепи 263 
§ 6 Уравнение непрерывности 270 
ГЛАВА 5 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ (ВАКУУМ) 272 
§ 1 Магнитная индукция – характеристика магнитного поля 272 
§ 2 Формула Био-Савара-Лапласа 274 
§ 3 Магнитная индукция прямого провода с током 276 
§ 4 Соленоидальный (вихревой) характер магнитного поля 277 
§ 5 Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции 278 
§ 6 Закон полного тока 280 
§ 7 Поле соленоида 281 
§ 8 Магнитное поле движущегося заряда 283 
§ 9 Сила Лоренца 284 
ГЛАВА 6 МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 286 
§ 1 Магнитный момент и намагниченность 286 
§ 2 Напряженность магнитного поля 288 
§ 3 Законы магнитного поля в среде (и с учетом Н) 289 
§ 4 Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики 290 
§ 5 Электромагнитная индукция 291 
§ 6 Диамагнетизм – проявление  электромагнитной индукции элементарных 
293 
токов 
6.1 О магнитомеханическом отношении для электрона 294 
6.2  Расчет  изменения  механического  момента  количества  движения 
295 
орбитального электрона при включении магнитного поля 
6.3  Дополнительный  магнитный  момент  электрона  в  атоме – причина 
296 
диамагнетизма 
§ 7 Парамагнетизм. Опыт Штерна и Герлаха 297 
7.1 Постановка задачи 297 
7.2 Не скомпенсированные спины электронов – природа парамагнетизма 298 
§ 8 Ферромагнетизм 300 
§ 9 Магнитные цепи 302 
 6 

ГЛАВА 7 СВЯЗЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ 304 
§ 1 О вихревых электрических полях. Первое положение теории Максвелла 304 
§ 2 Токи смещения. Второе положение теории Максвелла 308 
§ 3 Значение теории электромагнетизма Максвелла 310 
 
Часть 4 Оптика и атомная физика 
 
ГЛАВА 1 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 312 
§ 1 Потенциалы электромагнитного поля. Волновое уравнение 312 
§ 2 Уравнение плоской волны. Плоские затухающие и сферические волны 315 
2.1 Уравнение плоской волны 315 
2.2 Фазовая и волновая скорости 317 
2.3 Затухающие и сферические волны 318 
§ 3 Плоская электромагнитная волна 319 
§ 4 Энергия и импульс электромагнитной волны 322 
4.1 Вектор Пойнтинга 322 
4.2 Импульс электромагнитной волны 323 
§ 5 О шкале электромагнитных волн 324 
§ 6 О характеристиках электромагнитных волн 327 
§ 7 Принципы Ферма, Гюйгенса и Гюйгенса-Френеля 329 
§ 8 Поляризованные электромагнитные волны 331 
§ 9 Способы поляризации 333 
9.1 Закон Брюстера 333 
9.2 Идеальный поляризатор. Закон Малюса 334 
§ 10 Интерференция электромагнитных волн 337 
§ 11 Опыт Юнга 339 
§ 12 Интерференция в пленках 342 
§ 13 Дифракция 344 
§ 14 Дифракция от круглого отверстия 347 
§ 15 Дифракция  от  прямоугольной  длинной  щели  по  Фраунгоферу.  Расчет 
350 
интенсивности 
§ 16 Голография 355 
16.1 Интерференция поляризованного света 355 
16.2 О лазерах 356 
16.3 Получение голографического снимка 358 
16.4  Получение  голографического  изображения  как  восстановление 
359 
волновой картины со снимка 
ГЛАВА 2 КВАНТОВАЯ ОПТИКА 361 
§ 1 Тепловое излучение. Закон теплового излучения Кирхгофа 361 
§ 2 Закон Стефана –Больцмана. Закон Вина и формула Вина 365 
§ 3 Формула Планка 368 
3.1 Формула Релея-Джинса, классические представления 368 
3.2 Гипотеза и формула Планка 370 
3.3 Анализ формулы Планка 371 
§ 4 О фотонах 372 
4.1 Фотоэффект 373 
4.2 Эффект Комптона 378 
ГЛАВА 3 АТОМНАЯ ФИЗИКА 384 
§ 1 Закономерности в атомных спектрах. Постулаты бора 384 
1.1 Дисперсия электромагнитного излучения. Виды спектров 384 
1.2 О спектрах. Термы. Серии 386 
 7 

§ 2 Опыт Франка-Герца 389 
§ 3 Квантование по Бору 392 
3.1 Квантование момента импульса 392 
3.2 Боровский радиус и квантование внутренней энергии 395 
§ 4 Волновое уравнение Шредингера 396 
4.1 Электрон-волна 396 
4.2 Уравнение Шредингера 398 
4.3 Конструирование уравнения Шредингера способом Энрико Ферми 399 
§ 5 Атом водорода 402 
5.1 Лапласиан в сферической системе координат 403 
5.2 Решение уравнения Шредингера в сферической системе координат 406 
5.3 Квантовый характер решений уравнения Шредингера 408 
§ 6 Смысл Ψ-функции и соотношение неопределенностей 410 
6.1 О смысле Ψ-функции 410 
6.2 О соотношении неопределенностей Гейзенберга 413 
ГЛАВА 4 АТОМНАЯ ФИЗИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ 416 
§ 1 Типы связей атомов в твердых телах 416 
§ 2 Дифракция рентгеновских лучей 418 
§ 3 Образование энергетических зон в твердых телах 420 
ГЛАВА 5 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ФИЗИКЕ АТОМНОГО ЯДРА 424 
§ 1 Радиоактивность. Закон радиоактивного распада 424 
1.1 Виды радиоактивности 424 
1.2 Основной закон радиоактивного распада 427 
§ 2 Энергия связи ядер 428 
§ 3 Получение ядерной энергии 431 
3.1 Деление ядер 431 
3.2 Работа ядерного реактора 432 
3.3 Термоядерные реакции 435 
3.4 Природный ядерный реактор в Окло 436 
 
 8 

 
 
 
 
 
 
 
 
“Бытие. 
 
Глава 1. 
 
Сотворение неба и земли.... 
 
  
В начале сотворил Бог небо  и 
землю. 
2.Земля же была безвидна и  
пуста, и тьма над бездною; и дух 
Божий носился над водою. 
И сказал Бог: да будет свет. 
И стал свет 
4.И увидел Бог свет, что он 
хорош; и отделил Бог свет от  
тьмы. 
И назвал Бог свет днем, а  
тьму ночью. И был вечер и 
было утро: день один. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 

АРИСТОТЕЛЬ ( 384-322гг до н.э.) 324г. до н.э., Греция, северная часть, Стагир 
“ ... природа двояка: она есть и форма и материя. 
... дело физика познавать и ту, и другую природу... 
...  самым  обычным  движением...  будет  движение  в  отношении  места,  которое 
мы называем перемещением. 
... место есть нечто; где сейчас находится вода, там после ее ухода... из сосуда... 
снова окажется воздух... еще какое-нибудь тело...  
перемещение простых физических тел показывает не только, что место есть не-
что, но также, что оно имеет и какую-то силу... 
... каждое из этих тел устремляется к своему собственному месту... верх (куда 
огонь) ...низ (куда земля)... право... лево... шесть направлений” 
АРХИМЕД (287-212г. до н. э.), Сицилия, Сиракузы 
“ Тяжести, уравновешивающиеся на равных длинах, будут тоже равны (вспом-
ним также известный закон Архимеда)  
Тело более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, погружается 
настолько,  чтобы  объем  жидкости,  соответствующей  погруженной,  имел  вес, 
равный весу всего тела ...” 
ГАЛИЛЕЙ ГАЛИЛЕО (1564-1642гг) Пиза, Флоренция Великое герцогство Тос-
каны, кафедра в Пизе, затем в Падуе 18 лет 
“Сальвиати...  что  произошло  бы  с  тем  же  движущимся  телом на поверхности, 
которая не поднимается и не опускается? 
Симпличио... оно должно оставаться неподвижным  
Сальвиати...  если  шар  положить  неподвижно,  но  если  придать  ему  импульс 
движения... сколь долго полагаете вы, продолжалось бы это движение...? 
Симпличио... столь долго, сколь велика длина такой поверхности без спуска и 
подъема. 
Сальвиати...  следовательно,  если  бы  такое  пространство  было  бы  беспредель-
ным, движение по нему равным образом не имело бы предела, то есть было бы 
постоянным? 
Симпличио... мне кажется, что так...” 
 
 
 
 
 
 
 
 10 

О ПРЕДМЕТЕ ФИЗИКИ 
Человеку  неизвестны  окончательные  истины,  а  известно  только  то,  что 
можно сказать об излагаемом предмете, исходя из современного уровня науки. 
Физики  изучают  явления,  происходящие  в  неживой  природе.  На  основе 
опытов и размышлений создаются модели явлений. Эти модели изменяются со 
временем  людьми  в  зависимости  от  точности  экспериментов,  различиях  в  их 
осмыслении  и  иногда  в  силу  конъюнктурных  соображений.  Применение  той 
или иной физической модели в практической деятельности людей не зависит от 
возраста модели.  
 В сферу интересов физиков включены явления, связанные с устройством 
материи  (того  из  чего  построена  вся  природа)  и  свойства  материи,  определяе-
мые этим устройством. Часто, чем ближе к физике, тем ближе к вопросу о том, 
как устроена материя и почему такое устройство определяет те или иные явле-
ния природы. Физические науки всегда находятся в тесном контакте с вопроса-
ми высвобождения материей энергии, то есть энергетических ресурсов челове-
чества. Наоборот, к физическим вопросам относятся вопросы о том, - какие яв-
ления  природы  и  как  указывают  на  то  или  иное  устройство  материи.  В  силу 
сказанного, физика часто пересекается с другими науками, порожденными час-
то ранее ею, поэтому физика универсальна и может до сих пор  выделять из се-
бя другие новые науки.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 

Введение 
 
§1  ПРЕДМЕТ И МЕТОД  ФИЗИКИ 
 
В физике изучаются формы движения материи, в чем и состоит предмет 
физики.  Условно  материя  делится  на  поле  и  вещество.  Вещество - все  окру-
жающие  нас  тела,  которые  мы  можем  наблюдать  с  помощью  наших  органов 
чувств. 
Поля - объекты, посредством которых происходят различные взаимодей-
ствия. Поля мы можем наблюдать лишь опосредствованно через движение ве-
щества и с помощью физических приборов. Физические приборы являются как 
бы дополнительными органами чувств человека. 
Методом  исследования  в  физике  является  опыт,  эксперимент.  Только 
эксперимент может служить прямым доказательством наличия того или иного 
физического  закона.  Теория  сильна  тем,  что  может  предсказывать  физические 
законы помимо эксперимента (хотя чаще в связи с экспериментом), но единст-
венным доказательством справедливости закона служит только опыт, экспери-
мент. Точность знания законов в физике ограничена точностью экспериментов. 
 
§2  ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФИЗИКИ 
 
Событие. Всякие изменения с телами (и полями) мы будем называть со-
бытиями.  События  происходят  в  пространстве  и  во  времени.  Пространство. 
Пространством мы будем называть систему тел (полей), относительно которых 
определяется положение других тел (полей). (Абсолютное пространство - одна 
из моделей реального физического объекта - пространства). 
 Мы живем в трехмерном Мире. Для его количественного описания Рене 
Декартом изобретена прямоугольная система координат: i, j, k - называются ор-
тами осей координат  x, y, z . 
                                      Z
                                         k         j                           Y
                                  i
                    X
Орты указывают направление осей коорди-
нат  x y z и имеют единичную длину, то есть их модули равны единице. Тогда   
i,   y j    и   z k  обозначают и направление и величины координат. Координаты 
точки  А  можно символически записать как  r = x i  +   j  +   z k , где  r   назы-
вается радиус- вектором. 
Итак  x, y  и  z  имеют линейные размеры.  Чтобы 
 12 

далее  работать  с  этими  величинами,  необходимо  определиться  в  системе  еди-
ниц  измерения - международной  системе  единиц,  принятой  в  большинстве 
стран мира. “SI” - System International. 
 
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ДЛИНЫ  
(немного предыстории) 
1.1675г. Длина секундного маятника. 
 -длина  маятника,  близкого  к  математическому  и  имеющего  период  равный 
единице  времени  в 1 секунду ( в  те  времена  во  Французской  Академии  наук 
существовала проблема воспроизводимости промежутка времени в 1 секунду). 
Единица длины, определенная таким способом была весьма неточной. Рассчи-
таем ее по формуле для периода математического маятника: 
Т = 2п (l /g)1/2    l = g T2 / (2π)2 ≈ 0,25 м 
1791г. Франция. Академия наук.  
1 м: одна десятимиллионная часть четверти длины земного меридиана т.е. 
1/40 000 000. Это было расстояние в 1100 км от Дюнкерка до Барселоны по ме-
ридиану. В дальнейшем из-за трудностей и погрешностей при повторных изме-
рениях  вместо  естественного    вводится  архивный  метр  и  изготавливается 31 
эталон его в 1889 г.  Ширина штриха в нем составляла 10 мкм, погрешность 0,1 
мкм. 
 1960г.  
1 м: 1650763,73 длин волн в вакууме перехода 2p5 - 5d10  изотопа криптона-86. 
Измеряется методами интерферометрии (см. раздел волновая оптика). Относи-
тельная погрешность равна 3 10 –8. 
1983г. 7 – я  генеральная конференция по мерам и весам (ГКМВ).  
1 м:  длина пути, проходимого светом в вакууме за  1/ 299792458 секунды   
( скорость света постулируется при этом равной  299792458 м/с). Измеряется с 
помощью лазерной техники. Относительная погрешность составляет 10 -10. 
 
ВРЕМЯ, ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ 
 
Временем  будем  называть  показания  неких  часов.  Часы - тело,  в  котором  со-
вершается периодический процесс (опять же, за часы мы выбираем те же тела: 
ничего другого  нас нет). 
               Z                                                      B
                                    Y                                       r2,t2
     X                 A
                  r1,t1
 
Произошло  перемещение тела в пространстве и во времени 
 13 

 
ЭТАЛОНЫ ВРЕМЕНИ 
 
До 1960 г. 
1с -  1/ 86400   часть солнечных средних суток 
1960 г. 
1с -  1/ 31556925,9747  часть  тропического 1900 года,  1 января, полдня. Отно-
сительная погрешность - 10-7. 
1972г. 8 ГКМВ. 
1с = 9192631770 периодам излучения между двумя сверхтонкими уровням ос-
новного состояния Cs - 133 [m = 4, M = 0  и m = 3, M = 0, где m и M - параметры 
состояния атома  Cs] невозмущенного внешними полями. 
Таким образом, мы имеем способ, определяться в пространстве и во вре-
мени. 
          Однородность пространства (и времени) означает, что простая трансляция 
-  перемещение  системы  замкнутых  тел  в  пространстве  (и  со  временем),  не 
влияет на ход происходящих в этой системе событий и явлений. 
 
Изотропность пространства означает, что поворот замкнутой системы тел 
относительно оси, произвольно проведенной в пространстве, не влияет на ход 
происходящих в системе событий и явлений. 
 
 14 

 
 
 
 
 
 
 
ЧАСТЬ 1   МЕХАНИКА 
 
 
 механике  изучаются  формы  движения.  Движением  в  механике  мы  будем 
Вназывать  процессы  изменения  взаимного  расположения  тел  при 
поступательных  и  вращательных  формах  их  изменения  в  пространстве  и  со 
временем. 
 
 
 ГЛАВА 1     КИНЕМАТИКА 
 
 
 
кинематика - раздел  механики,  в  котором  описывается  движение  тел 
Ккак материальных точек. Материальной точкой называется воображаемое 
тело,  не  имеющее  массы,  размерами  которого  в  условиях  данной  задачи 
можно  пренебречь.  Задача  кинематики - описание  зависимости  кинематических 
величин от времени:   
 (t),  v (t),  (t), ...    
 
  
§ 1 Векторы 
 
 
 
Векторы - физические величины, имеющие направление, (а  - "вектор а"). 
В  декартовой  системе  координат    a = ax i + ayj + azk.  i, j, k- базисные  векторы 
(орты декартовой системы координат), а x,y,z- компоненты вектора. 
15 

 
 
Сложение векторов геометрически  (1586г, Стевин). Пусть имеем два вектора a1 и 
a
 
Вектора  складываются  по  правилу  параллелограмма,  для  этого  совместим 
начала  векторов  параллельным  переносом  и  проведем  в  полученном 
параллелограмме  диагональ  или  совместим  начало  и  конец  двух  векторов  и 
соединим начало первого с концом второго. Мы получим тот же самый результат: 
                                           a
                               a2                           a1
                                          a =  a1 + a2      
 
  
  

Продолжим аналогию на число векторов большее двух: 
                                            a
                a1                                                       a3
                                                 a
 
a = a1 + a2 + a
Вычитание векторов определяется как действие обратное сложению, например 
 
a2 = a - a1                                                               
 
Сложение векторов алгебраически, если: 
 
a1 = a1xi + a1ya1zk       и           a2  = a2x i + a2y j + a2zk,  
 
         то  a = a1 ± a2 = (a1x ± a2x)i + (a1y ± a2y)j + (a1z ± a2z)
 
 - суммы или разности компонентов векторов. 
 
16

 
 
  
Умножение  на  скаляр.  α:  αa - вектор  в  α  раз  больший  по  величине,  чем  
величина  вектора  а,  причем  для    α> 0 - того  же  направления,  а  для    α< 0 - 
противоположного направления.  
  
Заметим,  что    ax, ay  и  az  являются  сторонами  прямоугольного 
параллелепипеда в декартовой системе координат, а поскольку  a = axi + ay+ azk,  
где    а  -  сумма  векторов,  то  модуль  а  по  определению  равен  а2 = а 2
2
2
x + ay + az   ,то 
есть модуль вектора  а  вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов 
его компонентов и является диагональю прямоугольного параллелепипеда. 
О скалярном произведении векторов. По определению: 
 
а
^
1а2 =а1а2Cos(aa2), при этом  ii=jj=kk=11Cos 0 = 1,  
 
 ij=ik=jk=Cos (π /2)= 0. 
 
 
В качестве примера возведем в квадрат сам вектор а. 
 
 
( a
2
2
2
xi+ayj+azk)2 = ax + ay +az +axayij+ ... . 
 
Вектор как тензор первого порядка 
 
Тензор  по  Сокольникову  И.С.  Тензоры - абстрактные  объекты,  свойства 
которых  не  зависят  от  координатных  систем,  используемых  для  описания  этих 
объектов. 
Тензоры    как  математическое  отображение  физических  величин - 
физические  величины,  математически  так  представленные,  что  их  свойства  (при 
таком  описании)  не  зависят  от  координатных  систем,  используемых  для 
представления  данных  физических  величин.  Компонентов  вектора    a  x, ay, az  
недостаточно  для  независимого  от  выбора  координат  описания  физической 
величины. Каждая компонента  становится как  бы  вектором и распадается на три 
новых компоненты: ax (a xx, a xy, a xz),  ay (a yx, a yy, a yz),  az (a zx, a zy, a zz).  Тензорное 
преобразование  предполагает  независимость  от  выбора  системы  координат  для 
данной 
физической 
величины, 
и 
такая 
независимость 
называется 
инвариантностью по отношению к преобразованию координат. 
 
 
 
 
 
17

 
 
  
 §2 Путь, перемещение, скорость, ускорение 
 
 
 
Рассмотрим двумерное пространство, плоскость (для простоты). 
          Y
                                                                     r2
                                 ∆r                     перемещение
                  r1                           траектория
                                                                             X
 
г = r2 - r1  - вектор перемещения, перемещение, ∆r, - длина прямой, соединяющей 
начальную и конечную точки траектории  
Чтобы  узнать  форму  траектории  надо  знать  вид  зависимости  y(x). Вдоль 
траектории отсчитывается путь. 
 
Скорость  мы  будем  связывать  с  быстротой  перемещения  материальной  
точки в пространстве. В данном случае речь идет о мгновенной скорости на пути. 
Рассмотрим участок траектории 
             Y                                       r2
                              ∆r
                                  r1
                                                                           X
 
v = lim(∆r/ ∆t) = dr/dt, 
     ∆t→0  
          
По определению 
 
 [v] = м/с,  v = vx i + vy j + vz k,  vx = dx/dt, vy = dy/dt, 
 
v
2
2
2
z = dy/dt, v2 = vx  + vy  + vz  
 
18

 
 
 
Мгновенная скорость есть первая производная от радиус-вектора по времени. 
Мгновенное ускорение: 
 
a = lim ∆v/∆t = dv/dt = d2r/dt2,  
     ∆t→0 
 
a = axi + ayj + azk, ax = dvx/dt = d2x/dt2, 
       
 
a

2
2
y = dvy/dt =d2y/dt2, аz = dvz/dt = d2z/dt2, a2 = ax + ay  + az . 
 
 
§ 3 Интегрирование скорости для нахождения пути 
 
 
 
Рассмотрим  задачу  о  том,  как,  зная  величину  скорости  вычислить  путь 
пройденный  материальной  точкой.  Пусть  нам  известна  зависимость  модуля 
скорости от времени. 
 
        V
          vi                                           V(t)
  
                                                                                  t
                   t0            ∆t                                    tкон
 
Разобьем путь  S вдоль траектории на относительно небольшие участки, тогда  
  
S = ∆s1 + ∆s2 +  ...  + ∆sn = ∑∆si   
 
но так как vi = ∆si/t, то ∆si = vi ∆t, где ∆t - равные промежутки времени ⇒  
 
 S = ∑∆si = ∑ vi ∆t. 
 
 
19

 
 
Суммирование производится от  i = 1 до  i = n - натурального числа. Это равенство 
приближенное и будет тем точнее, чем меньше ∆t. Точным значением будет 
 
                               tкон                                                      
      s = lim ∑ vi∆t = ∫ v(t) dt           
          ∆t→0            t0 
 
 
Получили определенный интеграл в пределах от  t0  до  tкон  от вектора мгновенной 
скорости. Можно интегрировать вектор скорости. 
 
 
                            tкон        кон  
                            ∫ v(t) dt = ∫ dr(t) = r2 - r1 = ∆r 
                            t0          t0 
(v = dr/dt ⇒ dr = dt) 
 
Средняя путевая скорость: 
 
                                                tкон 
<v> = s/(tкон - t0) = [1/(tкон -t0)] ∫ v(t) dt,  
                                                               t0 
 
средняя скорость по перемещению 
 
                                         tкон 
<v> = ∆r/∆t = [1/(tкон - t0)] ∫ v(t) dt 
                                             t0 
 
Заметим,  что  среднее  значение  произвольной  функции  f(x)  вычисляется  по 
формуле 
 
                            x2    
<f> = [1/(x2 - x1)] ∫ f(x)dx 
                            x1 
 
 
20

 
 
 
 
§ 4 Вектора углового перемещения, угловой скорости и ускорения 
  
 
Рассмотрим вращение материальной точки (частицы) вокруг оси 
   ϕ→∆ϕ→dϕ                        ϕωε
 
Если  ϕ  мал - (dϕ),  то  перемещение  можно  было  бы  считать  прямолинейным,  но 
такие  повороты  никак  не  сложить  по  правилу  параллелограмма.  За  величину 
принимаем поворот dϕ, а за направление - направление вдоль оси, около которой 
совершается поворот, по правилу правого винта. dϕ - псевдовектор. Тогда: 
 
 
               ω = lim∆ϕ/∆t = dϕ/dt,  ε = lim ∆ω/∆t = dω/dt = d2ϕ/dt2, 
                      ∆t→0                             ∆t→0 
                                    
 
 ω и ε - также псевдовекторы.                     
При равномерном вращении за равные промежутки времени точка проходит 
равные углы, тогда 
 
ω = ϕ/t = cst ⇒ ε = 0. 
 
Назовем время одного полного оборота, при этом, периодом t = T, а так как угол 
полного оборота ϕ = 2π, то 
 
ω = ϕ/t = 2π/T ⇒ T = 2π/ω 
 
 
21

 
 
[ϕ] = град., рад., [t, T] = с, [ω] = рад/с, [ε] = рад/с2 
 
 
Определим число оборотов в единицу времени 
  
ν =1/Т = ω/ 2π ⇒ ω = 2πν, [ν] = c-1= Гц. 
 
Связь линейной и угловой скорости. 
Вариант 1 
 
Пусть  тело,  вращаясь  вокруг  оси,  переместилось  на  ∆s  и  угол  поворота 
составил ∆ϕ. R - радиус поворота 
 
 
 
               ∆ϕ                               R
(∆s/2)/R = sin ∆ϕ/2.  Это  приближенное 
равенство  тем  точнее,  чем  ∆s< R, а  так  как  
                                                                                    ∆s
sin  ∆ϕ/2≈∆ϕ/2  при  относительно  малых 
значениях  ∆ϕ  ⇒    ∆s  ≅  R∆ϕ  а  в  пределе 
                  ∆s R
точно,  то есть 
 
 
 
 v = lim ∆s/∆t = ds/dt = R dϕ/dt = Rω, (ds = R dϕ) 
         ∆t→0 
 а также a = dv/dt = d(ωR)/dt = R dω/dt =  Rε 
 
                                                             
 
Вариант 2.  
Пусть e - вектор единичной длины, но переменный по направлению 
 
e = Cosωt + Sinωt, так как ω = α/t ⇒ α = ωt 
 
 
 
 
22

 
 
 Представим  радиус-вектор  материальной  точки    (частицы,  тела - при 
аппроксимации) в виде 
 
r = e = (r Cosωt)i + (r Sinωt)j ⇒ v = dr/dt = d(r e)/dt = d[(r Cosωt)i + (r Sinωt)j] /dt =  
= ωr[(-Sinωt)i + (Cosωt)j]. 
 
Найдем модуль скорости. Имеем v = ωr , r = R ⇒ v = ωR.  Вычислим ускорение. 
 
a = dv/dt = rω2[(-Cosωt)i + (-Sinωt)j] = - r ω2e
 
Из полученного выражения  (знака минус),  следует, что вектора а и r  направлены 
навстречу друг другу. Для модуля ускорения имеем 
 
a = ω2R = v2/R. 
 
 
 §  5  Производная  единичного  вектора  (при  его  повороте).  Нормальное  и 
касательное ускорения 
 
 
                                       n
        
                      e                             τ
∆ϕ                        ∆e
                    
 
 
Пусть  единичный  вектор  е  поворачивается  на  угол  ∆ϕ.  Найдем  его 
производную, учитывая, что изменение вектора суть - ∆е, а ортом вектора ∆е - τ 
является единичный вектор коллинеарный с ∆е  
                  ∆е = ∆ϕτ, тогда - de/dt = lim ∆e/dt= lim τ∆ϕ/∆t = τω, 
                                                         ∆t→0         ∆t→0    
 
 de/dt = ωτ
 
23

 
 
  
Получилось  выражение,  в  котором  направление  векторов  левой  и  правой  части 
взаимно  перпендикулярны.  Тогда  направление  скорости  можно  также  задать  с 
помощью  орта  τ,  только  что  определенного:  v =,  а  полное  ускорение 
определиться как производная по времени 
 
а =dv/dt = d(vτ) /dt= (dv/dt)τ + v dτ/dt = aττ + vωn = aττ + an n = aτ + an, 
 
где  орт  n  перпендикулярен    τ  и  v  и  является  ортом  нормали  в  данной  точке 
траектории. В полученных выражениях: 
aτ  = dv/dt - модуль касательного ускорения 
an = ωv = v2/R - модуль нормальной составляющей ускорения (ω = v/R) 
 
Обобщенная  векторная  схема  обозначений  в  декартовой  системе  координат 
(краткая запись) 
 
                                   
                                        n                                                                                                         
A = A1e1 + A2e2 + A3e3,  ∑ Ai ei = Aµeµ = A,  
                                      i=1                                                                                                        
 
индексы у  А  можно совсем опустить, подразумевая любой многокомпонентный 
вектор. К примеру, запись скалярного произведения приобретает вид  
 
                                      n             n                n                  n                                                      
                         AB = ( ∑ Ai ei ) ( ∑ Bj ej ) = ∑ AiBjeiej = ∑ Ai Bj δij  
                                     i=1           j=1          i,j=1             i, j=1   
                    
ei ej = δij =  {1 при i=j, 0 при i ≠ j}. δij - символ Кронекера. 
 
 
 
 
 
 
 
 
24

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ГЛАВА 2    ДИНАМИКА 
 
 
 
§ 1 Масса и импульс тела 
 
 
М асса - мера инертности тел. При попытке привести тело в движение (то 
есть  изменить  величину  и  направление,  или  только  величину  или 
только  направление  скорости  тела)  мы  встречаем  его  сопротивление.  Чтобы 
количественно  оценить  меру  сопротивляемости,  и  вводится  понятие  массы,  как 
количественной  характеристики  свойств  тела.  Мало  просто  говорить:  маленькая 
масса,  большая  масса.  Надо  ответить  на  вопрос  - сколько?  Тут  и  возникает 
проблема эталона массы. 
Долгое  время эталоном  массы служил  1дм3  воды  при 3,98°С  и при  Р = 105 
Па. Из-за неточности в определении плотности воды от него отказались. 
 
 
25

 
 
В настоящее время пользуются другим эталоном массы. Эталон массы, так 
называемый 1 кг массы, храниться в Севре под Парижем в международном бюро 
мер и весов, он представляет собой цилиндр диаметром 39 мм, высотой 39 мм из 
сплава -  90% Pt и 10% Ir
 . Плотность  этого  вещества,  обладающего  высокой 
стойкостью, однородностью и полируемостью, - 21 г/см.  
                      
Отметим,  что  1с  и  1м - естественные  эталоны,  а 1 кг  единственный 
искусственно  созданный  эталон.  С  ним  сравниваются  прототипы  для  их 
изготовления и дальнейшего употребления. Принято обозначение массы – "m" или 
иное. 
 
Импульсом  (количеством  движения)  называется  (по  определению) 
произведение массы тела на его скорость. 
 
Итак, первое понятие в динамике - масса, второе - импульс, [p] =кг м/с 
 
 
§ 2 Законы Ньютона 
 
 
1-й закон Ньютона. Закон инерции (по Ньютону). 
 
 Всякое  тело  продолжает  удерживаться  в  своем  состоянии  покоя  или 
равномерного и прямолинейного движения пока и поскольку оно не понуждается 
приложенными  силами  изменить  это  состояние  (переводы  “из  Ньютона” 
выполнены академиком А.Н. Крыловым). 
"Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы 
то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным…". 
( “Neuton I. ”Philosophia naturalis principia mathematica.”Londoni, 1687.”) Так писал 
Ньютон! Резюмируем: 
 
•  В теории Ньютона считается, что пространство Евклидово (свободное тело 
может  бесконечно  долго  двигаться  прямолинейно,  через  точку  можно 
провести только одну прямую параллельно данной). 
•  В  теории  Эйнштейна  (общая  теория  относительности,  неинерциальные 
системы  отсчета)  пространство-время  неевклидово.  Частицы  здесь 
перемещаются  вдоль  путей,  которые  при  заданной  кривизне  пространства 
 
26

 
 
совпадают  с  линиями  кратчайших  расстояний  между  двумя  точками 
(возможен  вариант  соглашения:  мы  как  непосредственные  участники 
движения не ощущаем кривизны пространства). 
Прежде,  чем  формулировать  последующие  законы  Ньютона  целесообразно 
привести некоторые "определения по Ньютону". 
 
1. “Количество  материи  (масса)  есть  мера  таковой,  устанавливаемая 
пропорционально  плотности  ее  и  объему  (иначе  говоря m = ρV,  то  есть 
человечество  в  лице  Ньютона  шло  к  понятию  массы  через  объем  и  плотность 
тел, что закономерно; вспомним понятие количества вещества; масса аддитивна 
- С.М.) 
2. Количество  движения  есть  мера  такового,  устанавливаемая  пропорционально 
скорости и массе (p = mv) 
3. Врожденная  сила  материи  есть  присущая  ей  способность  сопротивления,  по 
которой  всякое  отдельное  тело  поскольку  оно  предоставлено  самому  себе, 
удерживает состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. 
 
4. Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его 
состояние покоя или равномерного, прямолинейного движения”. 
... и так далее, из подобных определений состоят Ньютоновы записи о движении. 
 
 
2-й закон Ньютона 
 
 
 
Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей 
силе  и  происходит    по  направлению  той  прямой,  по  которой  эта  сила  действует. 
Рассмотрим скорость изменения импульса, то есть 
 
dp/dt = d(mv)/dt = mdv/dt = md2r/dt2  
 
dp/dt = F - называется силой ⇒ F = ma, [F] = кг м/с2 = Н 
 
 
В  динамике  (по  сравнению  с  кинематикой)  из-за  введения  массы 
становиться  существенной  система  отсчета,  в  которой  исследуется  задача - с 
ускорением движется тело или без. 
 
Инерциальной  будем  называть  систему,  в  которой  выполняется  закон 
инерции.  Таким  образом  множество  систем  отсчета ( а  это  какие-то  тела) 
 
27

 
 
движущихся  относительно  данной  системы  равномерно  и  прямолинейно  все 
взаимно инерциальны. Системы, движущиеся с ускорением – не инерциальны. 
 
 
3-й закон Ньютона 
 
 
 
Действию  всегда  есть  равное  и  противоположное  противодействие,  иначе 
говоря - силы  взаимодействия  двух  тел  равны,  действуют  вдоль  одной  прямой  и 
направлены навстречу друг другу  
 
 
 
 
                   F1                                                 F2
 
 
 
 
 
 § 3 Принцип относительности Галилея 
 
 
Законы  классической  механики  инвариантны  по  отношению  к  любой 
инерциальной  системе  координат  (инвариантны – "не  зависят",  справедливо  с 
высокой точностью при скоростях много меньших скорости света  v«c). 
 
с - максимальная  известная  нам  в  природе  скорость - скорость 
распространения  электромагнитных  взаимодействий  в  вакууме  с= 3 108м/с = 300 
000  км/с.  Постулирована  точно: 299 792 458 м/с  (по  экспериментальным 
измерениям  ошибка  равна  62 ± 1,8 по  данным 1973 г).  Для  сравнения 
космические  скорости  v1 = 8 км/c, v2 = 11 км/c,  в  ускорителях  скорости 
элементарных частиц до 0,9с и более. 
 
Рассмотрим  две  инерциальные  системы,  движущиеся  друг  относительно 
друга вдоль осей xx′ со скоростью v                              
 
К – не штрихованная система, считаем ее неподвижной 
К′ - штрихованная система движется относительно  К со скоростью v. Итак 
 
 
28

 
 
Дано: 
 r(t) - зависимость радиус-вектора от времени в К. 
 
Найти: 
 r′(t),  v′(t),  a′(t), ... все  в  штрихованной  системе  координат  для  данного  тела, 
движущегося со скоростью  v относительно К 
1. v = v + v     (1) 
 
 
2.  Чтобы  найти  r′(t)  надо  проинтегрировать (1) по  времени.  Перепишем  в 
виде: 
                                         v
 
         Z           K                                  Z′            K′
dr′/dt = dr/dt + v,  dr′ = dr + vdt 
                                               v
 
 интегрируем  от 0 до  произвольного 
                                      X                                             X′ момента времени 
  Y
 
                        t = t′                Y′
 
 
t           t                t 
 ∫dr′(t) = ∫dr(t) + v ∫dt. 
0          0               0  
 
Имеем    r′ = r + vt.  Здесь  vt - линейно  зависящий  от  времени  радиус-вектор 
штрихованной системы координат относительно начала не штрихованной. 
3. Чтобы найти ускорение, надо провести дифференцирование (1) по времени 
 
dv′/dt = dv/dt + d/dt(v) = dv/dt так как v = cst ⇒ a′ = 
 
То есть ускорение одинаково в этих двух системах отсчета. Заметим, что если бы 
скорость  v  была  функцией  времени,  то  системы  координат  не  были  бы  взаимно 
инерциальны. 
 
4. Поведение импульса. 
  Образуем формулы для импульса  в  К и К′ системах 
 
 
 
29

 
 
 
p =mvp′ = mv′ = m(v + v) = mv + mv = p + p
 
2.  Сила 
 
F =  ma,  F =  ma = ma = F  F = F 
 
 
 То есть, во всех инерциальных системах отсчета инвариантен второй закон 
Ньютона. 
§ 4 Центр  инерции  системы  тел.  Теорема  о  движении  центра  инерции.  Закон 
сохранения импульса 
 
Центром  инерции  (или  центром  масс)  системы  тел  мы  будем  называть 
точку, определяемую, например, радиус-вектором  R
                                                            
 
R = 
∑  mi  ri  /  ∑  mi - суммирование  производится  от i=1 до i=n – произвольного 
натурального числа 
 
 
R -  радиус-вектор (координаты) центра инерции, mi - масса i-й частицы,                 
ri -радиус-вектор i-й частицы. Так как масса аддитивна, то 
           N                                                                    n 
            ∑ mi = m -масса всей системы  ⇒ mR = ∑ mi ri        (*)         
           i=1                                                                  i=1 
                
 
 
 
 
                Z                                   mi
 
                                    ri
 
 
                                     R
 
 
                                                                        Y
 
        X
 
 
30

 
 
 
1.  Найдем первую производную от  (*) по времени 
 
 
 
m d/dt = ∑mi dri/dt ⇒ m V = ∑ m vi ⇒ P = ∑pi    (**) 
 
 
 
Результат  такой,  что  импульс  центра  инерции,  P,  равен  сумме  импульсов,  pi, 
частиц, составляющих систему. 
 
2.  Теорема о движении центра масс.  
Найдем вторую производную от последнего выражения   (**). 
 
                     n 
         dP/dt = ∑ dpi /dt ;  dP/dt = F
                    i=1  
 
Здесь F - суммарная сила, которую можно представить как сумму сил внутренних 
и внешних.                                    
       n   n          m   
F = ∑ ∑ Flk + ∑ F
   k=1 l=1      j=1  
 
Переберем все пары сил Flk, чтобы найти сумму внутренних сил взаимодействия 
между  частицами,  составляющими  тело.  Тогда,  поскольку  согласно  третьего 
закона Ньютона все Flk + Fkl = 0, то каждой силе найдется равная ей по величине и 
противоположная  по  направлению  противодействующая  сила  для  любой  пары 
частиц. Внешняя же сила приложена к центру инерции тела, следовательно 
 
∑ Fj = Fвнеш = m ц. .и. 
 
Вывод:  (теорема о движении центра масс). 
О центре масс можно говорить как о материальной точке, масса которой равна 
массе  всего  тела,  и  рассматривать  движение  этой  материальной  точки  вместо 
движения всего тела в целом. 
 
31

 
 
 
3.  Закон сохранения импульса 
 
 
 
Пусть сумма всех внешних сил равна нулю Fвнеш  = 0 ⇒ 
 
dp/dt =0 ⇒ p = cst (t). 
 
Если  сумма  внешних  сил  действующих  на  систему  равна 0, то  импульс  центра 
инерции системы есть величина постоянная, не меняется со временем, то есть mv 
=cst, откуда следует, что и скорость центра инерции также является константой по 
времени. 
 
Закон сохранения импульса в механике - важнейший закон физики в целом. 
Запишем для замкнутой системы частиц 
 
∑ pi = cst 
 
Для двух взаимодействующих частиц в любые моменты времени 
 
 
p1 + p2 = p′1 + p′2 = p′′1 + p′′2 = ... = cst. 
 
 
Отметим  в заключение  и  забегая  несколько  вперед,  что законы сохранения 
проистекают из:  
Однородности времени - закон сохранения энергии. 
Однородности пространства - закон сохранения импульса. 
Изотропии пространства - закон сохранения момента импульса. 
 
 
§ 5 Работа.  Кинетическая  энергия.  Закон  сохранения  кинетической  энергии. 
Мощность 
 
Понятие  работы  максимально  приближает  нас  к  реальной  практической 
жизни.  В  дальнейшем  только  через  работу  мы  сможем  понимать  смысл  многих 
физических  величин  и  в  частности  энергии  во  всех  ее  проявлениях.  По 
определению 
 
 
 
32

 
 
      r2 
A = ∫ Fdr 
      r1 
 
A = Fs = Fs Cos(F^s) (при F = cst) 
 

 
 
                                                                             F
 
                                                  r
 
                            r1
 
                                                 r2
 
 
                                            ∆ ≅∆s                       
 
 
 
∆A = F ⋅∆r = F проекция (г) = ∆г ⋅проекция.∆r( F) = F ∆r Cos (F^r). В пределе dA 
F dr, при этом полагаем  ds≡dr. 
 
Пусть F = cst ⇒ A = F (r2 - r1) = r, [А] = Н м = Дж. 
 
Пример: Работа упругой силы 
 
                                                                                F
                                             1                   2
 
 
 
       2                                                  2                         2 
A = ∫ F dx; F = -kx, [k] = Н/м2, A = -∫ kx dx = - kx2/2| = - kx 2
2
2 /2 + kx1 /2 
      1                                                  1                          1 
 
33

 
 
 
Выбором  начала  отсчета  обнуляем  одно  слагаемое (x1 = 0), а  тогда  опускаем 
индекс 
 
A = - kx2/2 
 
О кинетической энергии 
 
 
Заметим, что, так как v = dr/dt  и  F = dp/dt ⇒ dr = vdt и dp = Fdt, то 
 
dA = Fdr = F vdt = (dp)v = (mdv)v = d(mv2/2).  T = mv2/2 называют кинетической 
энергией тела массы  m, движущегося со скоростью  v . Совершаемая работа здесь 
определяется  изменением  кинетической  энергии  тела.  Если  совершаемая  работа 
равна нулю, то кинетическая энергия тела остается постоянной 
 
dA = 0, d(mv2/2) = 0 ⇒ mv2/2 = Т = cst 
 
В этом смысле можно говорить о законе сохранения кинетической энергии.             
 
О мощности 
 
N = dA/dt, [N] = Дж/с = Вт.   N = Fds/dt = Fv 
 
 Пусть масса является функцией времени (например, в смысле релятивизма). 
Вычислим  при  этом  условии  кинетическую  энергию.  Дифференциал  импульса  в 
этом случае имеет вид:                                            
dp = d(mr v) = d[mv/(1-v2/c2)1/2] = mdv/(1-v2/c2) + md[(1-v2/c2)-1/2] = m dv/(1- v2/c2) – 
(Ѕ)m v(1-v2/c2)-3/2(-1/c2)dv2 = m dv(1-v2/c2)-1/2 + mvdv2/2c2(1-v2/c2)-3/2. 
Vd= mdv/(1-v2/c2)1/2 + mv2dv2/2c2(1-v2/c2)3/2 = dv2/2(1-v2/c2)1/2 + v2dv2/2c2(1- 
- v2/c2)1/2 (1-v2/c2) =  [mdv2 (1-v2/c2) +(1/c2)mv2dv2]/2(1-v2/c2)3/2 = mdv2/2 (1-v2/c2)3/2. 
 
34

 
 
Интегрирование  проведено  из  состояния    1    в  состояние  2. Таким  образом,  для 
релятивистской кинетической энергии получено выражение 
       2                                                                                                                                          
A = ∫ dp = ∫mdv2/2(1-v2/c2)3/2 = (-mc2/2)∫d(1-v2/c2)/1-v2/c2)3/2 =  
      1                
        = mc2/(1-v2/c2)1/2| = mrc2| = ∆(mrc2) = T2 - T1. 
 
Tr = mrc2 = mc2/(1-v2/c2)1/2. 
Заметим,  что  разложением  в  ряд  Тейлора  из  этого  выражения  можно 
получить  более  привычное  для  нас  нерелятивистское  приближение. 
Предварительно вычтем из релятивистского значения кинетической энергии массу 
покоя частицы E = mc2, имеем 
 
T = mc2[(1-v2/c2)-1/2 - 1] = mc2[1  + v2/2c2 + ...  -1] = mv2/2,  ((1±α)n = 1 ± nα± ..., 
α«1). 
 
 
§ 6 Единицы измерения механических величин 
 
 
[r, x, y, z, s] = м, [t] = c, [m] = кг, [v] = м/с, [a] = м/с, [p] = кг м/с, [F] = кг м/с2 = Н,  
 
[A] = [T] = кг м2/с2  =  Н м = Дж. 
 
 
Пико    нано    микро   милли    санти    деци              дека    гекто   кило  
10-12     10-9      10-6             10-3         10-2       10-1       1        10       102        103  
Мега    Гига    Тера 
106        109       1012 
 
 
 
35

 
 
Приставки, которые чаще всего встречались автору в его работе: 
 
1 пФ      пикофарада 1 
ТОм     ТераОм 
1 нм      нанометр 1 
ГОм      ГигаОм 
1 мкм    микрометр 1 
пс         пикосекунда 
1 мм      миллиметр 1 
мкс       микросекунда 
1 дм      дециметр 1 
мс         миллисекунда 
1 гПа    гектопаскаль 1 
мА        миллиампер 
1 кг       килограмм 1 
мкА      микроампер 
1 кВт    киловатт 1 
мВ        милливольт 
1 МВт   мегаватт 1 
км         километр 
 
 
 
§ 7 Консервативные и не консервативные силы 
 
 
В  физике  (и  в  частности  в  механике)  консервативными  называют  силы, 
работа которых по любому замкнутому контуру равна нулю. 
 
 
 Электрический
 
            заряд
                                                +++
 
 
 ЗЕМЛЯ
 
                                                       РАКЕТА
                                                          °
 
 
                              °
 
 
                               Земля
 
 
                Однородное электрическое поле
     Е
 
 
 
 
 
36

 
 
 
Запишем аналитически определение консервативной силы 
    
         
A =  ∫ Fds = 0, где  ∫ - обозначение интеграла по замкнутому контуру 
       L                      L             
  Криволинейные интегралы вида:   ∫ Fds, где F - произвольный вектор,       
                                                             L 
        а  ds - элемент контура общей длины  L, называют циркуляцией вектора F по 
замкнутому контуру L. 
                        
 
 
 
                      L                                       d d ds
 
 
                                                                                  F
 
 
 
Следствие. 
 
 
Работа консервативных сил по перемещению тела из произвольной  (·) 1 в (·) 
2 не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным 
положением тела. К таким силам относятся, например, сила тяжести, сила Кулона, 
сила  упругости.  Силы,  не  имеющие  обсуждаемого  свойства,  относятся  к 
неконсервативным силам.  
 
Пример 1: диссипативные  силы - трения  и  сопротивления,  как  это  происходит, 
если тянуть тело по поверхности 
  
 
 
                                        α
 
           Fсопр.                    α                                    ds
 
 
 
 
 
37

 
 
 
Здесь dA = Fds = Fds Cosπ = -Fds, то есть работа совершается против сил трения. 
Ракета,  взлетающая  с  поверхности  Земли  находится  как  в  поле  консервативных 
так и в поле диссипативных сил (сил по преодолению сопротивления атмосферы). 
 
О трении качения в сравнении с трением скольжения. 
 
 
 
 
 
 
      Fтр                           Fтр
            Атгезия                            Атгезия
      почти   в точке                 по поверхности
 
Атгезия - сцепление 
(склеивание, 
слипание) 
тел, 
обусловленное 
межмолекулярным  и межатомным электромагнитным взаимодействием. 
 
Пример 2. Гироскопические  силы:  центростремительная  сила,  магнитная 
составляющая силы Лоренца. Для них всегда  F⊥ds ⇒ A = F ds Cosπ/2 = 0  
          
 FЛ = q v B Sin(B^v
 
 
       r                            r                             r
                       r                           r
                                                                                (B)
            r                  r                            r
                                          FЛ
    r                   r                 r                           r
                       ds                     r                      r
         r              v        r                     r                   r
r
 
38

 
 
       Fцс = maцс
 
                                                                             Fцс
 
§ 8 Потенциальная  энергия.  Закон                                                                                 d   
сохранения 
полной 
механической                                                            FF
энергии 
 
 
 
Мы говорили о работе как об изменении кинетической энергии тела. В этом 
смысле определение работы достаточно общо. Рассмотрим систему тел, в которой 
действуют  только  консервативные  силы.  Для  них  работа  зависит  лишь  от 
координат,  иначе  говоря  только  от  положения  начальной  и  конечной  точки 
рассматриваемого  тела  (или  системы  тел).  Тогда  в  отношении  работы, 
совершенной  при  перемещении  тела  из (·) 1 в (·) 2 в  поле  консервативных  сил, 
можно записать 
 
A12 = A02 - A01 = (пере обозначим A01≡U1  и  A02 ≡ U2) = U1 - U2  = -∆U.  
 
Следовательно,  работа  и  вновь  введенная  физическая  величина  находятся  в 
отношении: 
 
A = - ∆U 
 
Здесь U = U(r) - функция  только  координат.  Она  называется  потенциальной 
энергией.  Потенциальную  энергию  отсчитывают  от  начала  координат,  которое 
выбирается произвольно для каждой конкретной задачи 
 
 
 
-∆U = AO2 - AO1 = AO′2 - AO′1 = cst 
 
 
Примеры расчета потенциальной энергии для разных полей. 
 
1.Поле силы тяжести  P = mg. 
 
 
39

 
 
dA = Fds = P  dx = -mg dx. Знак  минус  появляется,  так  как  работа 
совершается  против  сил  поля,  а  ускорение  свободного  падения,  g,  и  возрастание 
координаты, x, направлены навстречу друг другу. В этом случае 
 
 
                                          h 
dU = -dA = m g dx ⇒ U = ∫ m g dx = m g h 
                                         0 
 
                                            x
                                                                g
                                        h
 
 
                                                                                  
1. Энергия растянутой пружины  F = - kx  
 
dU = - dA = -Fdx = kx dx 
 
                                                                                                                                                                      x
                                                                              0                                                   x ′
                                                                       
                       
 
 
       x′                 x′  
U = ∫ kx dx = kx2/2| = kx′2/2 
      0                  0       
 
Если опустить штрих у  x,  имеем выражение в общем виде 
 
                 U = kx2/2. 
 
 
40

 
 
Наглядную  модель  растянутой  пружины  можно  распространить  на  любые 
деформируемые упругие твердые тела. 
 
 
3. Поле гравитации  F = G M m /r2. 
 
                                                              
 
                    d r   =   d                           =   F ′                                    r
 
                                                                                                                                 
 
                0                                 r                           
 
 
       r                r      
A = ∫ Fdr = e e′∫(GM m/r2)dr = GM m/r  ⇒ U = - GM m/r . 
      ∞               ∞                                        
 
На бесконечности  потенциальная энергия принимается равной нулю. При этом на 
бесконечности  (относительно  большом  расстоянии)  по  отношению  к  силовому 
притягивающему  центру  она  максимальна.  Следовательно,  при  любом  другом 
положении она меньше, чем ноль, то есть отрицательна. 
 
Закон сохранения полной механической энергии. 
 
Рассмотрим  поле  центральных  сил  (пусть  силовой  центр  для 
определенности будет притягивающим).  
Будучи  предоставлено  самому  себе  ранее,  и  оказавшись  в  разное  время 
последовательно в двух произвольных точках (1), а затем (2), тело должно иметь 
как  кинетическую, 
так 
и 
потенциальную 
энергии 
по 
                              2                   ( 2 )                             1       ( 1 )                        
отношению 
к 
н е к и й   ц е н т р                                                                           с и л о в а я
2
2
данному 
                                                  T 2 ∼ v 2                       T 1 ∼ v 1       л и н и я
притягивающему 
                                                    U 2 ∼ r 2                         U 1 ∼ r 1
               
(либо 
к 
отталкивающему) 
центру. Тогда: 
 
 
 
 
41

 
 
 
 
 
 
A12 = T2 - T1, v2>v1  и  A12 = U1(r1) - U2(r2),  (r2<r1) 
 
Работа  по  перемещению  тела  в  силовом  поле  определена  двумя  способами:  как 
разность  кинетических  энергий  и  как  разность  потенциальных  энергий  тела,  но 
так, чтобы знак работы оставался одинаковым. Приравняем правые части 
 
T2 - T1 = U1 - U2  ⇒ T2 + U2 = T1 + U1 = ... 
 
Такие  суммы  справедливы  для  произвольных  координат  (а  в  данном  случае  и 
точек траектории) по отношению к центру как началу координат, следовательно 
 
 T + U = CST = E 
 
 
Таким  образом,  сумма  кинетической  и  потенциальной  энергий  является 
сохраняющейся  величиной  частицы  (системы  частиц,  тел)  при  выполнении 
условия  замкнутости  и  в  центральном  (консервативном)  силовом  поле.  Таков 
важнейший закон физики - закон сохранения энергии. 
 
Заметим,  что  в  более  широком  смысле  полная  энергия  во  вселенной  есть  по 
нашим представлениям постоянная величина. 
 
 
§ 9 Связь силы и потенциальной энергии (в поле консервативных сил) 
 
  
 
  Как    сила  так  и  энергия - обе  являются  функциями  координат  в  полях 
центральных сил  F = F ( r ), U = U ( r ).  Имеем 
 
dA = Fdr = Fx dx + Fy dy + Fz dz = - dU, 
 
при  этом  потенциальная  энергия, U, является  скаляром,  зависящим  в  общем 
случае  от  всех  трех  координат x, y, и z. Произведения  компонентов  векторов 
обозначим в виде 
 
 
42

 
 
Fx dx = -dU|y, z = cst,  Fy dy = -dU|x, z = cst, Fz = -dU|x, y = cst,  
 
тогда компоненты силы представляют собой производные вида 
 
Fx = - ∂U/∂x, Fy = -∂U/∂y, Fz = -∂U/∂z. 
 
Здесь  вычисляются  производные  только  по  одной  из  трех  переменных,  так 
называемые  частные  производные,  две  другие  переменные  считаются 
константами  как  параметры.  С  помощью  этих  компонентов  можно  записать 
вектор силы 
 
F
 = Fxi + Fyj + Fzk = -((∂U/∂x) i + (∂U/∂y) j + (∂U/∂z) k)  = -(∂/∂x) i + (∂/∂y) j +   
 
 + (∂/∂z) k)U, но  ((∂/∂x)i + (∂/∂y)j + (∂/∂z)k) = ∇, тогда в краткой записи имеем 
 
F = -∇U ≡ - grad U. 
 
Значок    ∇ - набла,  или  аббревиатура grad - градиент  означают,  таким  образом, 
сумму  частных  производных,  помноженных  на  орты  декартовой  системы 
координат  (градиент  можно  записать  и  в  любой  другой  системе  координат),  а 
физически  это  означает  направление  максимального  изменения  функции,  в 
данном случае потенциальной энергии U. 
 
Заметим, что 
 
dU = (∂U/∂x)dx + (∂U/∂y)dy + (∂U/∂z)dz 
 
является полным дифференциалом потенциальной энергии. [∂U/∂x] = Дж/м=Н 
 
Закон сохранения энергии и однородность времени 
 
 
Покажем  аналитически,  как  однородность  времени  приводит  к  закону 
сохранения энергии. С одной стороны имеем 
 
A12 = T2 - T1,   (*) 
 
с другой стороны                             
 
43

 
 
                                                                              
A12 = ∫Fdr = -∫[(∂U/∂x)dx + (∂U/dy)dy + (∂U/∂z)dz] = -∫dU 
                                                                                              
 
Теперь пусть U* зависит и от времени, тогда 
 
dU* = (∂U/∂x)dx + (∂U/∂y)dy + (∂U/∂z)dz + (∂U/∂t)dt. 
 
Итого получили 
 
                                                                  
A*12 = -(∫dU + ∫(∂U/∂t)dt). 
                                                                 
 
В данном случае система находится в силовом поле других тел, которое меняется 
во времени. Работу А12 можно получить, если вычесть из полного дифференциала 
U* слагаемое зависящее от времени 
  
                                                                   
A12 = - (∫dU* - ∫(∂U/∂t)dt). 
                                                                
 
Сопоставляем последнее выражение с выражением для работы через кинетические 
энергии  (*) 
 
T2 - T1 = U1* - U2* + ∫(∂U/∂t)dt ⇒ (T2 + U2*) = (T1 + U1*) + ∫(∂U/∂t)dt 
                      
Очевидно,  что  для  выполнения  закона  сохранения  полной  энергии  необходимо 
равенство  нулю    последнего  интеграла.  Отличие  его  от  нуля  означало  бы,  что 
система  предполагается  незамкнутой.  Наша  система  замкнутая  (точнее 
квазизамкнутая)  и  протекание  процессов  в  ней  от  времени  не  зависит,  поэтому 
последнее слагаемое равно нулю. 
 
Однородность  времени  означает  следующее.  Если  замкнутую  систему 
поставить  в  совершенно  одинаковые  условия  в  два  произвольные  моменты 
времени, то начиная с любого из этих двух моментов все явления в системе будут 
протекать  совершенно  одинаково. (Будет  совершаться  одинаковая  работа,  и 
сохраняться полная энергия).  
 
44

 
 
 
Замечание:  вопрос  о  том  надо  ли  всю  Вселенную  считать  замкнутой  или  не 
замкнутой  системой,  по-видимому,  пока  остается  открытым.  Части  вселенной:  
Солнечную  систему,  Галактику  можно  считать  в  известном  смысле 
квазизамкнутыми. 
 
 
§ 10 Момент силы. Векторное произведение 
 
 
Динамика = кинематика + масса,  m ⇒ F  (появление массы приводит к появлению 
силы). 
 
 
Наглядным  примером  понятия  момента  силы  может  служить  следующая 
схема, в которой направление силы и плеча взаимно перпендикулярны. 
 
 
                                  F
 
 
                      l
 
 
                   M = l·F
     F - сила, l - плечо, M - момент
              
 
Момент силы в общем случае - вектор (точнее 
псевдовектор).  Для  более  полного  определения  момента  силы  (иногда  говорят: 
«момент вращения» или «вращательный момент») математика предоставляет нам 
векторное произведение векторов. 
 
 
M = r
×F;  |M| = r F Sinϕ 
 
 
45

 
 
                           O′
 
 
                                                         F
  
              M
 
 
   
                               ϕ            r
                       A

        
 
      Момент              относительно точки
 
                            О
   
   
 
 
 
 
                      O′
 
 
                 M
 
                                                            F
 
 
                          ϕ
 
                                             r
   Момент              относительно оси
 
                       O
 
 
 
 
 
 
 
                                 r      M
 
 
       OO′       ϕ
 
 
       Вид сверху
 
   (относительно оси)
 
                                         F
           
 
 
 
 
46

 
 
 
   Величина момента=площади
 
                                          параллелограмма
                                                F
 
 
                                         ϕ
 
 
                   ϕ                           FSinϕ
 
      OO′                                            
 
    Sпаоралл. = 2 (1/2)rFSinϕ
 
        
 
 
 
 
 
 
 
 
M  всегда  перпендикулярен  плоскости,  в  которой  лежит  параллелограмм.  М 
также как и  F вектор и как вектор записывается через компоненты и обладает 
всеми свойствами векторов 
 
M = Mx i + My j  + Mz k
 
 
 
О векторном произведении векторов 
 
с = a×b 
 
c    ⊥  плоскости,  в  которой  находятся  вектора  a  и    b    и  его  величина  по 
определению равна 
 
с = a b Sin (a^b)    
 
причем,  направление  вектора    с    определяется  по  правилу  правого  винта, 
следовательно 
 
a×b = - b×a 
 
 
47

 
 
                                        -c                         b
1.  Свойство 
a×b = -b×a 
называется 
      c
антикоммутативностью 
                                                                  a
2.  Применим  свойство антикоммутативности 
                           b
и  определение  величины  для  векторного 
перемножения  ортов  декартовой  системы 
координат, имеем 
                           a             c
3.   
    a×b = c                            b×a = c = -a×b
i×i = j×j = k×k = 0. 
 
        k
 
                             j
 
               
 
 
На 
рисунке 
показано 
направление 
поворота 
положительного знака 
 
i×k =-j, i×j = k   j×i =-k, j×k = i    k×i = j, k×j =-i. 
 
Тогда имеем для векторного произведения двух векторов  
 
a×b = (axi + ayj + azk)×(bx i + by j + bz k) = 
 
= (ay bz - az by)i + (az bx - ax bz)j + (ax by - by ax)k  
 
Второй  способ  нахождения  результирующего  вектора    при  векторном 
перемножении  векторов заключается в составлении определителя вида 
 
i
j
k
 
a
a
a
 
x
y
z
 
b x b y b z    
Действуя по мнемоническому правилу можно получить компоненты вектора с как 
произведения двух других векторов a  и  b
 
с = aхb = (ay bz - az by) + (az bx - ax bz) + (ay bx - ax by) 
                       cx                      cy                      cz 
 
 
 
48

 
 
 Для момента импульса имеем  
 
 
 
           i      j      k
 
           x     y      z
 
                                          
          F x    F y     F z
 
 
M = r×F =  i (y Fz – z Fy) + (z Fx – x Fz) + (x Fy -  y Fx).       
  
Численно модуль момента силы M ( M2 = M 2
2
2
x  + My  + Mz ), или как иногда пишут 
вращательного момента, равен площади параллелограмма со сторонами r и F. 
 
 
§ 11 Момент импульса. Закон сохранения момента импульса 
 
 
 
По определению момент импульса равен (для одной частицы) 
 
L = r×p = r×v,  L = r p Sin (r^p) 
 
 
 
             O′                          v
 
 
                             r
 
                                 m
 
             O
 
 
Возьмем первую производную по времени от момента импульса 
 
dL /dt = (dr/dt)×p + r×(dp/dt) = v×mv + r×F = (т.к. v×v =0 ) = M
 
 (Здесь вычисляется производная от произведения двух функций согласно правилу 
и с сохранением векторного произведения)  
 
Получили равенство  
 
49

 
 
 
dL/dt = M.  
 
Налицо аналогия со вторым законом Ньютона (dp/dt = F). Таким образом, мы как 
бы  обобщили,  перенесли  формулу  второго  закона  Ньютона  на  произвольное 
вращательное движение
 

Рассмотрим  систему  частиц.  Тогда  имеем  по  принципу  суперпозиции  для 
момента импульса и момента силы 
                                                                 
L = ∑ Li  и  M = ∑ Mi 
                                                                       
 
Возьмем  первую  производную  по  времени  от  момента  импульса  для  системы 
частиц 
dL/dt = ∑ Mi = ∑ ∑ Mlk + ∑ M
             i           l, k              j 
 
Здесь  моменты  сил  представлены  в  виде  моментов  внутренних  и  внешних. 
Индексами l, k обозначены  моменты  внутренних  сил,  а  индексом j - моменты 
внешних сил. Согласно третьему закону Ньютона сумма моментов внутренних сил 
должна быть равна нулю так как  M lk  = - M kl и тогда 
 
 dL/dt = внешн. сил 
 
Сформулируем полученное равенство.  
 
  Производная по времени от суммарного момента импульсов системы частиц 
равна сумме моментов внешних сил, действующих на эту систему. 
 
  Пусть  система  замкнута  и  сумма  внешних  сил  действующих  на  систему 
равна нулю (здесь она может быть и не обязательно замкнута, силы могут быть и 
скомпенсированными,  но  мы  для  надежности  полагаем    ее  замкнутой,  чтобы 
различать два эти случая) ,тогда 
 
dL/dt = 0 ⇒ L = cst. 
 
Для  замкнутой  системы  тел  всегда  момент  импульса  есть  константа.  Здесь 
сформулирован закон сохранения момента импульса системы тел. 
 
 
50

 
 
Замечание. Рассмотрим поле центральных сил 
  
 F = f ( r ) r/r 
 
                        r/r - орт              
              центр
dL/dt = 
                                                 F
внешн.сил = r×F = 
                                     тело    
 
 r
× f (r )r/r = (так как r×r≡0) ≡ 0 ⇒ 
 
 
 L =cst 
 
То  есть,  для  центральных  сил  момент  импульса  всегда  сохраняется  в  силу 
особенности самих центральных сил. 
 
Наряду  с    законами  сохранения    импульса  и  энергии,  закон  сохранения 
момента импульса является важнейшим из фундаментальных законов физики. 
 
 
 
pi  = cst - однородность пространства,  
 
                           ∑ Ti + ∑ Ui = Е =cst - однородность времени, 
 
                                                                  ∑ Li = cst - изотропность пространства 
 
 
 
§ 12 Момент импульса относительно неподвижной оси. Момент инерции твердого 
тела 
 
 
 
 
Модель абсолютно твердого тела определяется как система связанных частиц с 
неизменными расстояниями между ними 
 
Мы  имеем  формулу  момента  импульса  для  вращения  твердого  тела  (системы 
частиц) относительно произвольной точки 
 
L = r×p = r×v.                                                                                       
 
 
 
51

 
 
 
 
 
 
 
                         Ось Z          ω
                                                                            vi
L  iz  /Li = Ri/ri 

   Li                                hg
= Cos αi ⇒  
Liz
 Ri = ri Cos αi 
Ri
 
αi
m
Рассмотрим 
α
i
i
вращение 
ri
твердого  тела 
ц.м.
вокруг 
неподвижной 
оси.  Ось  для 
надежности 
  “зажата” 
в 
 
шарнирах. 
Тогда модуль вектора L для i -й точки запишется в виде 
 
Li = mi ri vi  = mi ri ωRi. 
 
L, v, r -  тройка  взаимно  перпендикулярных  векторов,  объединяемая  векторным 
произведением. 
 
Отступление-ретроспектива:  
 
 Было произвольное вращение и поступательное движение одновременно. Мы 
 
а)  совместили  равномерное  движение  центра  масс  тела  с  началом 
инерциальной  системы  отсчета,  движущейся  с  той  же  самой  скоростью - таким 
образом мы оказались в неподвижной системе отсчета; 
 
б)  вращение  относительно  осей x, y и z, вообще  говоря,  осталось 
произвольным; 
 
в)  после  этого  мы  зафиксировали  ось  и  оказались  в  модели  вращения  вокруг 
неподвижной  оси - это  так  называемое  плоское  вращение,  при  котором  любая 
точка тела описывает окружность. 
 
 
 
52

 
 
 
                 Z            Z                                    Y  
                                  Y
                 O
       X
Точку О сов-
                  Yfmj                              X
местим с цен-
тром масс
 
 
 
 
 
Найдем проекцию момента импульса на ось z, имеем 
 

2
i z = mi ri Ri ωz Cos αi = mi Ri  ωz. 
 
Просуммируем  по  всему  телу  (здесь  уместно  вспомнить  о  квантовом  характере 
устройства материи и непрерывном континууме лишь как об удобной модели для 
математических расчетов с применением интегрирования ) 
 

2
z = ∑ L iz = ωz ∑ mi Ri  (ωz =cst) 
 
Здесь  Lz  и  ωz  направлены вдоль оси  z.  
 
 m
2
i Ri  = Ii  
 
  и  называется  моментом инерции материальной точки, а  
 
I = ∑ m
2
i Ri  –  
 
- моментом инерции тела в целом. 
 
Размерность момента инерции [I] = кг м2. Окончательно имеем 
 
Lz = ω 
 
 
53

 
 
 
Возвратимся  к  вращению  относительно  точки.  В  этом  случае  ω - мгновенное 
значение  угловой  скорости - ось  вращения  все  время  меняет  свое  положение  в 
пространстве. 
 
 
 
                             vi
 
                                           ω       vi
   ω(t)                                                        r
 
i
 
                                     ⇒       O
 
                      ri
 
         O                     vi  ⊥  ωi  ⊥  ri  -
      -  в произвольные моменты времени
 
 
     
 
Li = mi rvi = mi ri×(ω×ri) = mi [ω (rri) - ri (riω)]   ( * ) 
 
Здесь  применено  соотношение  известное  в  векторной  алгебре  под  названием 
“BAC - CAB” ("бац минус цаб") 
 
a×(b×c) = b(a c) – c (a b)
 
которое проверяется прямым вычислением. Распишем на компоненты каждый из 
векторов в  ( * ) 
 
ω = ωx i + ωy j + ωz k,  riω = xiωx + yiωy + ziωz,  ri= x i + y j + z k
                                                                                                                           
Тогда компоненты вектора момента импульса имеют вид 
 

2
xi = mi [ωxri  - xi (xi ωx + yi ωy +zi ωz)],  
 

2
yi = mi[ωyri  - yi (xi ωx + yi ωy + ziωz)], 
 

2
zi = mi[ωzri  - zi (xi ωx + yi ωy + zi ωz)]. 
 
Просуммируем  компоненты  момента  импульса,  сгруппировав  их  предварительно 
с учетом постоянных по величине - ωx, y и z. 
 
 
54

 
 
                      I xx                     I xy                 I xz                                                                         
   L 
2
2
x = ωx ∑mi(ri  - xi ) - ωy ∑ mi xi yi - ωz ∑ mi xi zi,  
   
                     I yx                     I yy                 I yz          
   L 
2
2
y = - ωx ∑ mi xi yi + ωy ∑ mi (ri  - yi ) - ωz∑mi yi zi,  
           
                I zx                      I zy                   I zz            
   L 
2
2
z = - ωx ∑ mi xi zi  - ωy ∑ mi yi zi + ωz ∑ mi (ri  - zi ). 
 
 
Таким образом, вектор момента импульса не представим в виде совокупности 
трех  компонент.  Эти  компоненты  сами  выражаются  через  другие  величины - 
компоненты  моментов  инерции.  Чтобы  описать  инвариантным  образом  по 
отношению  к  декартовой  системе  координат  произвольное  вращение  твердого 
тела, запишем 
 
L x = I xx ωx + I xy ωy + I xz ωz 
L y = I yx ωx + I yy ωy + I yz ωz 
L z = I zx ωx + I zy ωy + I zz ωz. 
 
 
Получилось симметричное выражение, для которого совокупность вида 
 
I
I
I
xx
xy
xz
I
I
Iyy
Iyz
yx
Izx
Izy
Izz
 
называется тензором  2-го  ранга. В этой классификации вектор - тензор первого 
ранга, а скаляр - тензор нулевого ранга.  Тензор  I  называется тензором инерции.  
Чтобы  вычислить  весь  тензор,  необходимо  вычислить  все  его  компоненты. 
Рассмотрим одну из них 
 

2
2
xx = ∑ mi (ri  - xi ) 
 
От  суммы  можно  перейти  к  интегралу,  чтобы  воспользоваться  континуальным 
методом расчета 
 
55

 
 
 
dI 
2
2
2
2
xx = dm (ri  - xi ) = (ri  - xi ) ρ (x,y,z) dV  
 
   здесь dm = ρdV, ρ-плотность тела, V- его объем; кроме того помним, что 
 r2 - x2 = x2  + y2 + z2 - x2 = y2 + z2 ⇒ 
 
I xx = ∫ ρ(x,y,z)(y2 + z2)dV. 
        V 
 
Индексы при переходе к интегрированию можно опустить. 
 
Заметим, что в нашем тензоре 
 
I xy  = I yx = I1,  I xz = I zx = I2,  I zy = I yz 
 
Такие  тензоры  называются  симметричными.  Для  него  можно  рассчитывать 
меньшее количество компонентов 
 
I xx I 1 I 2
I 1 I yy I 3
I 2 I 3 I zz  
 
 
Обратимся вновь к вращению относительно оси. При этом L z = ωI. Пусть  L  z 
≡ L, а  ω  (ее  направление)  совпадает  с    L. (I – постоянная  величина  для  каждого 
конкретного тела вращения) 
 
 M = L/dt,   L = I ω⇒ 
 
 M = I dω/dt = I d2ϕ/dt2 = εI. 
 
Момент инерции каждого тела известной формы рассчитывается и табулируется. 
Рассчитаем  работу,  мощность  и  кинетическую  энергию  тела  при  вращении 
относительно оси 
 
dA = F ds = (ds = R dϕ) = F R dϕ  = M dϕ ⇒  
 
 
56

 
 
      2   
A = ∫ M dϕ 
      1  
 
N = dA/dt = M dϕ/dt = Mω 
 

2
2
i = mivi /2 = mi (ωRi)2/2 = (miRi /2) ω2 = Iiω2/2;  
 
 K вращ = ∑ K i = Iω2/2 = Lω2/2 =  L2/2I. 
 
при этом  К полн. = К пост. + К вращ.. 
 
 
§ 13 Неинерциальные системы отсчета 
 
13.1 Центробежная сила инерции 
 
                                                                              пружины = - m ω2R 
 
                                 ω
F  ц  .б. = mω2R  (F цб   = mv2/R = mωv  = 
mω2R) 
 
R
Если  положение  тела  в  пространстве 
v
описывать  с  помощью  радиус-вектора  r
        r        Fц.б.
то  необходимо  прибегнуть  к  векторному 
произведению 
 
ц.с. = -ц.б. = mω×v  (F =  m а ц.б.) 
      ω                                     ω
 
                          v
 
                                                        v
 
 
                       r
                                                      w          r

 
        
 
 

 
57

 
 
 
 
v = 
ω×r = - r×ω,  ⇒ 
 
Fц .б. = m [ω×(r×ω)],  где r×ω = -v 
 
Fц .с. = m[ω×(ω×r)]. 
 
 
13.2 Сила Кориолиса 
 
 
 
  Рассмотрим  вращающуюся  систему  отсчета,  в  которой  и  относительно 
которой  тело  движется  с  заданной  скоростью.  Такая  система  отсчета  является 
неинерциальной, тогда 
 
v′ - скорость тела относительно вращающейся системы отсчета 
 
v - скорость тела относительно неподвижной системы отсчета 
 
ω - угловая скорость вращения системы отсчета 
 
 
 
Сила,  действующая  на  тело  относительно  неподвижной  системы  отсчета 
должна рассчитываться следующим образом: 
 
 
F инерции = m а n = mv2/R = m (v′ + ωR)2/R = mv′2/R + 2mv′ω + mω2R 
 
F = mv′2/R -  сила,  действующая  на  тело  относительно  вращающейся  системы 
отсчета 
 
Fk = 2mv′ω - сила Кориолиса 
 
58

 
 
 
                                ω = cst
 
 
F  ц.  б. = mω2R - центробежная  сила 
(относительно 
неподвижной 
системы 
отсчета) 
Fr
 
Сократим  на  массу  и  получим  выражение 
для ускорения относительно неподвижной 
       v′       
- инерциальной системы отсчета. 
 
инерциальной = в + 2ω×v′ + ω×(ω×R) 
 
a  инерциальной - ускорение  относительно  инерциальной  (неподвижной)  системы 
отсчета 
 
в - ускорение во вращающейся (относительно вращающейся) системе отсчета 
 
ω×v = ω×(ω×R) - центростремительное ускорение 
 
2ω×v′ - ускорение Кориолиса 
 
Для сил соответственно будет 
 
инерциальной = в + к + ц.б. 
 
 
Таким  образом,  сила  Кориолиса  реальна  с  точки  зрения  неподвижной 
(инерциальной)  системы  отсчета  и  возникает,  то  есть  действует  на  тело  в  тех 
случаях,  когда  это  тело  находится  в  неинерциальной  системе  и  ему  сообщают 
некую скорость в этой неинерциальной системе отсчета. 
 
 
 
 
 
 
 
59

 
 
§ 14 Гироскопы 
 
 
 
Гироскопом  называется  массивное  симметричное  тело  вращающееся  вокруг 
оси  симметрии.  Здесь  мы  имеем  дело  с  неинерциальной  системой  отсчета.  Для 
такого тела момент импульса вычисляется по формуле: 
 
L =   
 
 
                                ω  O   F1        O′′
 
                                L
 
 
 
   O′   M(F1F2)                                            O′
 
          
 
              
 
 
 
                  O′′
 
                          F2         O
 
 
 
 
ОО - ось в плоскости чертежа, О′О′ - также ось в плоскости чертежа , О′′О′′ - ось 
перпендикулярная  плоскости  чертежа,  F1,  F2 - пара  сил  перпендикулярных 
плоскости чертежа. 
 
1.  В начале ось ОО неподвижна и тело вращается со скоростью ω около ОО, 
 
 L =  
 
2.  Пусть  ω′ - вынужденный поворот (с этой скоростью) оси ОО вокруг оси О′О′ 
под  действием  пары  сил  F1  и  F2,  причем  так,  что  ω′«  ω,  и  при  этом  поворот 
столь  мал,  что  направление  момента  L  и  частоты  ω  будем  считать 
совпадающими. 
3. Анализируем, что произойдет с появлением пары сил F1,F2.  
 
 
60

 
 
M = r×F,  dL/dt = M   dL = M dt  (∆L = M∆t),  то  есть  направления  M  и  ∆L  
совпадают.  В  результате  вышло  так,  что  L  и  ∆L  имеют  различные  направления. 
Тогда 
 
L = L + L 
 
L′ - результирующее направление момента импульса совпадает при этом с новым 
направлением  оси  гироскопа,  а,  таким  образом,  и  с  ω′,  так  как  угол  отклонения 
задан актуально маленьким. 
Вывод:  при  попытке  повернуть  ось  гироскопа  вокруг  оси  О′О′  мы  получаем 
приращение ∆L момента импульса перпендикулярное направлению приложенных 
сил 
 
 
 
                                 ∆ω  O        L
 
                           ω′        ω
 
                             L′      L   F
 
1        O′′
         
 
    
                          M
 
      O′                                                          O′
 
 
 
                O′′         F2
 
 
                               O
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61

 
 
 
 
 
 

ГЛАВА 3 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 
 
 
§ 1 Постулаты специальной теории относительности 
 

 
деи  специальной  теории  относительности  (СТО)  были  изложены 
впервые  в  статье  А.  Эйнштейна  в 1905 г    “К  электродинамике 
  И движущихся  тел”.  СТО  разработана  для  инерциальных  систем 
отсчета.  Сформулируем  два  постулата,  на  которых  основана  специальная 
теория относительности: 
 
1.Принцип относительности 
 
  Законы  природы  одинаковы  во  всех  инерциальных  системах  отсчета  
(это приводит к тому, что эталоны длины одинаковы и отсутствует понятие 
одновременности  событий - и  то  и  другое  относительно  по  отношению  к 
данной инерциальной системе отсчета). 
 
2.Факт предельной скорости распространения взаимодействий 
 
  Существует  предельная  скорость  распространения  взаимодействий - 
скорость  света  в  пустоте  (вакууме),  и  она  не  зависит  от  инерциальной 
системы отсчета, то есть одинакова во всех инерциальных системах отсчета 
 
О втором постулате 
i.   Существует максимально возможная в природе скорость. 
ii.   Это скорость света в вакууме с = 299792458,0 ± 1,2 м/с ≅ 3 108 м/с  (по 
измерениям независимо длины волны λ и частоты ν в 1972г), ошибка 10-
5 нм, видимый свет λ ≈ 1 мкм = 1000 нм. 
iii.  Она, эта скорость, одинакова в любой инерциальной системе отсчета. 
 
61 

 
 
 
 
 
 Впервые  проблема  возникла,  когда  Максвелл  и  Лоренц  (датский) 
написали  уравнения  электродинамики,  в  которые  вошла  скорость 
электромагнитного  взаимодействия  (скорость  света).  Она  не  должна  была 
быть  равной  бесконечности.  В  современной  экспериментальной  физике 
неизвестна  скорость  большая,  чем  скорость  света  в  пустоте - предельная 
скорость взаимодействий. 
 
 Классическая  механика  основана  на  преобразованиях  Галилея,  в 
которых  
 
v′ = v ± v.   
 
Согласно же новым постулатам получается, что 
 
с′ = с + v = с ⇒ с′ = с (?). 
 
Это утверждение нетривиально и требует основательного обоснования. 
 
Рассмотрим эксперимент Майкельсона - Морли. Схема опыта: 
 
 
 
                                              З е р к а л о   С
                                                                                                  v З ем л и
                                                    l
                                                            П о л у п р о з р а ч н а я       З е р к а л о
    И с т о ч н и к                                           п л а с т и н а                   Е
              с в е т а                                                   l
                                    З д е с ь   и н т е р ф е р е н ц и я
                       
 
 
 
 
 
62

 
 
 
 
 
 
Вокруг  установки  находится  “неподвижный  эфир”,  а  установка 
движется  вместе  с  Землей  со  скоростью v Земли.  По  тем  временам  поиски 
неподвижного  эфира  эквивалентны  ныне  поискам  неподвижной  системы 
отсчета. 
 
Формулировка  какого-либо  закона,  зависящего  от  скорости,  не  остается 
инвариантной  по  отношению  к  инерциальным  системам  координат.  Тогда 
когда   a  и    F , к  примеру, - инвариантны,  будучи  выраженными  в  другой 
системе  координат  (по  Галилею).  В  связи  с  этим  основные  законы 
электродинамики и, в частности, оптики перестают быть инвариантными по 
отношению  к  группе  Галилеевых  преобразований,  так  как  эти  законы 
зависят  от  скорости  распространения  света.  Люди  будучи  идеалистами 
придумали эфир, как носитель света. 
 
Итак,  прибор  вместе  с  Землей  движется  относительно  неподвижного 
эфира. Ход лучей либо  ⊥, либо  || по отношению соответственно к зеркалам  
С и  Е. Если разность фаз  ⊥ - го  и || - го лучей в точке интерференции не 
измениться, то на интерферометре должно получиться усиление света. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
К чему приведет расчет, если учитывать неподвижный эфир? 
 
Подсчитаем время прохождения через эфир лучей  света 
перпендикулярных (к зеркалу С) и параллельных (к зеркалу Е) направлению 
перемещения экспериментальной установки (Земли по отношению к эфиру) 
со скоростью  с  туда и обратно. 
 
1. || (к зеркалу Е) 
 
 
t1- время туда, t2 - время обратно v Земли ≡ v 
 
 
63

 
 
 
сt1 = l + vt1 ⇒ t1 = l/(c-v),  ct2 = l - vt2 ⇒ t2 = l/ (c+ v) 
 
t1 + t2 = [l(c+ v) +l(c - v)]/(c2 - v2) = 2lc/(c2 - v2) = (2l/c)/(1 - v2/c2) 
 
2.  ⊥ (к зеркалу С) 
 
Можно  было  бы  рассудить  проще. t3 - время  туда  и  обратно  считать 
одинаковым, тогда 
 
2t3 = 2l/c . 
 
Если же  учесть  движение в эфире, то получим треугольник для хода лучей 
света до зеркала  С  и обратно 
 
 
 
 
                      ct3
 
                                     l
 
 
                       vt3
      
 
(ct
2
3)2 = l2 + (vt3)2 ⇒ t3 (c2 - v2) = l2  
 
t3 = l / (c2 - v2)1/2,  2t3 = (2l/c) / (1 - v2/c2). 
 
 
То  есть,  времена    t1  + t2  и    2t3    различаются,  следовательно  лучи  не 
обязательно  должны  приходить  в  фазе  в  точку  интерференции  и  давать 
усиление. Эксперименты при всех вариациях давали только усиление света. 
Следовательно,  не  было  обнаружено  преимущественной  системы  отсчета - 
неподвижного  эфира,  например,  и  следовательно  соблюдается  принцип 
относительности  для  скорости  света - в  разных  инерциальных  системах 
отсчета она одинакова и 
 
с′ = с + v = с. 
 
Назовем другие эксперименты, выполненные с той же целью. 
 
64

 
 
 
1. Кеннеди, Торндайк 1932г. 
 
 
На 
интерферометре 
Майкельсона 
проводились 
непрерывные 
измерения  в  течение  полугода  тогда,  когда  Земля  переходила  в 
диаметрально противоположную точку своей орбиты. 
 
 
 
 
2. Бонч-бруевич, Молчанов  1956г. 
 
Скорость света от левого и правого краев Солнца (V отн. = 2,3·2 = 4,6 км/с). 
Обе скорости совпали с точностью до 20% 
 
3.  Саде.  Опыт  на  γ – квантах.  Описан  в  статье  Phys. Rev. Letters, 10, 271, 
1963г 
Движущийся изотоп С12 со скоростью 0,5с и неподвижный О16 излучают на 
наблюдателя. В обоих случаях скорость света с точностью до 10% оказалась 
одинаковой. 
 
 
§ 2 Преобразования Лоренца (1904г) 
 
 
 
Излагается  по  сборнику  статей  А.  Эйнштейна    "Физика  и  реальность". 
““О  специальной  и  общей  теории  относительности”,  общедоступное 
изложение, приложение 1, простой вывод преобразований Лоренца”.  
 
 
65

Дано: 
с = cst + принцип относительности 
(в каждой системе отсчета все про- 
исходит одинаково). 
Система К′ движется равномерно и  
Прямолинейно относительно  К  вдоль оси  x 
со скоростью  v . В начальный момент  
системы К и К′ совпадают. 
 
Найти:  
зависимости x′ (x, t)  и  t′ (x, t)  
 
 
 
                                                                             
                                y, y′
    t =0, x = 0
 
                y                          y′         y =y′
         x′ = 0
                                                       z = z′
 
                  K                          K′
 
                                                         x, x′
 
                                                             x, x′
         z, z′
   
 
 
  z                          z′
 
 
Лучи света движутся слева направо и в обратном направлении относительно К и 
К′. Они пройдут в этих системах расстояния соответственно ct  и  ct′. 
 
1.  В положительном направлении оси x 
 
x = сt, x – сt = 0  и  x′ = сt′, x′ - сt′ = 0 
 
осуществим связь систем через параметр 
 
x′ - ct′ = λ (x - ct) 
 
2.  В отрицательном направлении оси x 
 
-x = ct, x +ct = 0  и  -x′ = ct′, x′ + ct′ = 0 
 
 также осуществим связь через параметр 
 
66 

 
 
x′ + ct′ = µ (x + ct) 
 
Получили  систему  двух  уравнений,  выражающих  штрихованные  (искомые) 
координаты через не штрихованные координаты, которые даны по условию 
 
x′ - ct′ = λ(x - ct)  
 
x′ + ct = µ(x + ct). 
 
 
Здесь предполагаем, что преобразования линейны, то есть коэффициенты λ и µ 
не  являются  какими-либо  сложными  функциями  координат  и  времени  (время 
можно считать одной из координат - четвертой для 3-х мерного пространства), так 
как  пространство  и  время  однородны,  Решим  систему  относительно 
штрихованных  координат.  Для  этого  сложим  и  вычтем  уравнения  друг  из  друга. 
Вспомним,  что  наша  цель - определить  неизвестные  коэффициенты  как 
параметры,  которые  в  дальнейшем  позволят  нам  записать  формулы 
преобразований координат.                                               
 
Сложим ( + ) 
 
2x′ = λ(x - ct) + µ(x + ct) ⇒ 2x′ = λx - λct + µx + µct ⇒ 2x′ = x(λ + µ) – ct(λ - µ) 
 
(λ +µ)/2 = a, (λ -µ)/2 =b ⇒  
 
x′ = ax – bct. 
 
Вычтем ( - ) 
 
- 2ct′ = λ(x - ct) - µ(x +ct ) ⇒ -2ct′ = λx - λct - µx - µct ⇒ 2ct′ = ct(λ + µ) - x(λ - µ) 
 
ct′ = a ct - bx 
  
x′ = ax – b ct       ( 1 ) 
ct′ = a ct - bx       ( 2 ) 
 
С  этого  момента  для  определения  параметров    а    и    b    используем  следующие 
начальные и граничные условия: 
 
67

 
 
 
1.  Из ( 2 )  t′ = 0, act -bx = 0 ⇒ t = bx/ac 
2.  Из ( 1 )  x′ = 0, ax – b ct = 0 ⇒ x =bct/a = vt, здесь v= bс/a - скорость движения 
системы координат К′ относительно К 
3.  Из ( 1 )  t = 0, x′ = ax,  x =x′/a 
 
Рассмотрим уравнение (1), имеем: 
 
x′ = ax – b ct =  (используем начальное условие 1.)  = ax – bc bx/ac =  
 
(используем дважды начальное условие 2.) 
 
 = ax – v bx/c = ax – v (bx/c)(ca/ac) = ax – v (bc/a)(a/c2)x =  
 
= ax - v2ax/c2 = ax(1 - v2/c2). 
 
Получена  связь  штрихованной  и  не  штрихованной  координаты.  В  качестве 
второго уравнения берем начальное условие 3.  
 
x′ = ax (1 - v2/c2) 
 
x′ = ax                
 
Получили систему, решение которой зависит от параметра  а. Согласно принципа 
относительности, единица длины в обеих системах независима и равна, к примеру, 
1 м, то есть с равным основанием 
 
 
   
x′ = 1м  и  x  = 1м  ⇒  x = x′  ⇒  x  = ax′ ⇒ 
 
 
(подставим полученное выражение в первое уравнение системы), имеем 
 
x′ = a2x′ (1 - v2/c2). 
 
Отсюда  и  найдем  коэффициент  а,  удовлетворяющий  условию  равноправия  систем 
отсчета 
 
 
68

 
 
 a = 1/ (1 - v2/c2)1/2. 
 
 
Чтобы найти  b, вновь обратимся к граничному условию  2. v = bc/a ⇒  b = v a/c  ⇒  
 
b = (v/c)/(1 - v2/c2)1/2 . 
 
Подставим  выражения,  полученные  для    а    и  b   в  систему  уравнений (1) , (2). 
Имеем 
 
x′ = (x - vt)/(1 - v2/c2)1/2 
 
     t′ = (t - xv/c2)/(1 - v2/c2)1/2.  
  
Получили преобразования Лоренца для координаты и времени. 
Обратимся вновь к преобразованиям Галилея. Образуем интервал вида 
 
s2 = (x2  - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 - c2(t2 - t1)2 
 
Теперь  образуем  такой  же  интервал  в  штрихованной  системе  координат.  Учтем  при 
этом преобразования по Галилею 
 
x′ = x - vt, t′ = t, y′ = y, z′ = z ⇒ s′2 = (x2 - vt - x1 + vt)2 + (y2 - y1)2 + (z2 -z1)2 - c2(t2 -t1)2 = s2 
 
То есть преобразования Галилея инвариантны при условии равенства времен.  
 
Проверим преобразования Лоренца. Опустим  y  и  z  координаты, так как они 
не преобразуются при замене координат 
 
(x2′ - x1′)2 - c2(t2′ - t1′)2 = [(x2 - vt2 -x1 +vt1)2 - c2(t2 -x2v/c2 - t1 + + x1v/c2)2]/(1 - v2/c2)  = 
 
= [(x2 - x1)2  - 2(x2 - x1)(v t2 - vt1) + (vt2 - vt1)2 - c2(t2 - t1)2  + 2(t2 - t1)(x2v - x1v) 1/c2)(x2v  
 
- x1v)2]/(1- v2/c2)  =  [(x2 - x1)2(1 - v2/c2) - (t2 - t1)2(c2 - v2)]/(1 - v2/c2) =  (x2 - x1)2 - c2(t2 –  
 
-t1)2. 
 
 
69

 
 
 
Таким  образом,  преобразования  Лоренца  инвариантны  и  по  отношению  ко 
времени. Пусть  x = x
2
1, y = x2, z =x3, -c2t2 = x4 . При таком выборе интервал можно 
записать в виде 
 
∆s2 = ∆x 2
2
2
2
1  + ∆x2  + ∆x3  + ∆x4 . 
 
 
 
 
 
§ 3 Следствия из преобразований Лоренца: длины тел и промежутки времени 
 
о длинах тел 
 
∆x′ = x2′ - x1′ = [(x2  - vt2) - (x1 -vt1)]/(1 - v2/c2)1/2  
 
Для сравнения длин тел совместим моменты времени, чтобы провести наблюдение 
одновременно, тогда t1  = t2 
 
∆x′ = ∆x/(1 - β2)1/2,   β = v/с 
 
Часто пере обозначают  ∆x′ = l0,  ∆x = l ⇒  
 
l = l
  
0(1 - β2)1/2    l < l0  
 
l0 называют собственной длиной, а l - длина по отношению к той системе отсчета, 
которая  принята  за  неподвижную,  и  из  которой  ведется  наблюдение  за 
движущейся системой (иначе говоря: как длина видится из неподвижной системы 
в  движущейся).  Назовем  ее  кажущейся  длиной.  При  этом  говорят  о  сокращении 
длины. Кажущаяся длина меньше собственной, как это следует из формулы. 
 
О промежутках времени 
 
Чтобы  проанализировать  продолжительность  промежутков  времени,  выразим 
в явном виде  t  через t′ и x′ 
 
70

 
 
 
x′ = (x - vt)/(1 - β2)1/2, t′ = (t -xv/c2)/(1 - β2)1/2 ⇒ 
x = x′(1 -β2)1/2 + vt, t = t′(1 - β2)1/2 + xv/c2 ⇒  
t = t′(1 -β2)1/2 + v/c2(x′(1 - β2)1/2 + vt) ⇒ 
t(1 - v2/c2) = (1 - β2)1/2(t′ + vx′/c2) ⇒ 
 
 
t = (t′ + vx′/c2)/(1 - β2)1/2 
 
Запишем длину не штрихованного временного интервала и учтем  необходимость 
совместить  концы  координат,  чтобы  по  ним  замечать  длительность  промежутка 
времени: следовательно необходимо положить x1′ = x2′ 
 
t2 - t1 = [(t2′ + vx2′/c2) - (t1′ + vx1′/c2)]/(1 - β2)1/2 = (t2′ - t1′)/(1 - β2)1/2. 
 
Длительности записываются в виде 
 
∆t = ∆t′/(1 - β2)1/2 . 
 
∆t′ называют собственным временем, а ∆t - время по отношению к неподвижной 
системе  отсчета  (то  есть  как  оно  “видится”  из  неподвижной  системы  отсчета  по 
отношению к движущейся) назовем кажущимся временем. В этом смысле говорят 
о замедлении времени. Кажущееся время больше собственного согласно формуле. 
 
Поскольку системы координат равноправны, то любая из них может “считать 
себя” неподвижной (лабораторной системой), а другую - движущейся. Расчет длин 
и  промежутков  времени  ведется  по  формулам.  Такова  суть  относительности. 
Физики, работающие на ускорителях, все свои расчеты производят по указанным 
здесь  формулам.  Для  них  это  обычное  дело.  Так  практика  подтверждает 
объективность законов специальной теории относительности. 
 
 
§ 4 Преобразования скоростей, импульса и энергии 
 
vx′ = dx′/dt′, vy′ = dy′/dt′, vz′ = dz′/dt′ 
 
найдем дифференциалы от соответствующих преобразований Лоренца 
 
71

 
 
 
dx′ = (dx - vdt)/(1 -β2)1/2, dy′ = dy, dz′ = dz, 
dt′ = (dt - vdx/c2)/(1 - β2)1/2 
 
vx′ = (dx - vdt)/(dt - vdx/c2) 
vy′ = [vy(1 - β2)1/2]/(1 - vvx/c2) 
vz′ = [vz(1 - β2)1/2]/(1 - vvx/c2). 
 
y  и  z - компоненты  скорости  преобразуются  нетривиальным  путем  из-за 
преобразований  времени.  В  отношении преобразований времени, физик-теоретик 
из  Германии  Вольфганг  Паули  заметил,  что  “В  высшей  степени  поразительной 
чертой  преобразований  Лоренца  является  то,  что  и  временная  переменная  также 
преобразуется  к  новому  значению”.  Релятивистские ( от  англ.- relative) значения 
для импульса и энергии выпишем без вычисления 
 
p = m0v/(1 -β2)1/2 = mrv,  E = m0c2/(1 - β2)1/2. 
 
Исключим скорость и найдем связь между энергией и импульсом 
 
p2(1 - β2) = (m0v)2 ,  E2(1 - β2) = (m0c2)2⇒ 1 - β2 = (m0c2)2/E2 
 
p2(m0c2)2/E2 = m0c2(1 - (1- v2/c2)) ⇒ p2c2/E2 = 1 - (m0c2)2/E2 ⇒  
 
p2c2 = E2 - m 2
2
0 c4 ⇒ E2 = p2c2 + m0 c4 . 
 
Кинетическую  энергию  выразим  как  разность  между  полной  релятивистской 
энергией и энергией покоя частицы 
 
T = mrc2 - m0c2. 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
72

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ГЛАВА 4  ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ 
 
 
§ 1 Законы Кеплера 
 
 
 
а основе многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге (1546-
н 1601) немецкий ученый Кеплер сформулировал 3 закона. 
 
 
1. (1609)  Каждая  планета  Солнечной  системы  движется  по  эллипсу,  в  одном  из 
фокусов которого находится Солнце. 
2.  (1609) Радиус-вектор планеты за равные времена описывает равные площади. 
3. (1618) Квадраты  времен  обращений  планет  относятся  как  кубы  больших  осей 
эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца. 
 
                  
T 2
2
3
3
i /Tk  = ri /rk  ⇒ 
  
r3/T2 = cst = K - постоянная Кеплера 
 
 
 
73

 
 
 
 
 
 
                 A ′                               A
 
   A ′A   =   r
§ 2 Силы, 
  действующие 
по закону обратных квадратов 
 
F  ∼ 1 / r2 
 
 
Эти  силы  центральные,  то  есть  направлены  вдоль  линий,  соединяющих 
материальные точки (или, точнее, центры масс тел) и (или) силовые центры 
 
 
 
          
                      ( 1 )                                                 2 1             ( 2 )
 
                                                                                                                                         
                      O             e
 
r                       r
 
                                                    r   =   / r
 
 
F21 =  (-α/r2) (r/r) 
 
Перечислим законы, в которых силы подчиняются закону обратных квадратов. 
1. Закон Кулона:  |α| = q1q2/4πε0 
2. Закон всемирного тяготения: α = γm1m2 
 
Вычислим потенциальную энергию 
 
-U = ∫ Fdr = -  (αdr/r2)(r/r) = -α ∫dr/r2 = α/r +C, (r→∞, U max = 0 ⇒ C = 0)  
⇒    
U = - α/r 
 
Замечание. 
 
 
74

 
 
  
Существует  так  называемое  сильное  ядерное  взаимодействие.  Для  него 
потенциальная энергия подчиняется закону 
 
U яд.( r ) = - D e - r/r0 / r,  
 
 r<< r атома, r0 = 2 10-13 см, D = 10-18 Эрг см = 10-27 Дж м 
 
Переменную  для  построения  графика  можно  пере  обозначить  как  r = 2 10-15x, 
тогда потенциальная энергия имеет вид 
 
U яд.(x) = - 5 10-13e-x x-1  
 
0
0
.5
13
5 10
13
x
1
12
5 10
.
e
.
x
.
1 10
12
1.5 10
12
2 10
0
1
2
3
x
 
Очевидно,  что  эта  зависимость  сильнее,  чем  закон  обратного  квадрата,  хотя  по 
виду они похожи. 
 
§ 3 Движение в центральном поле (задача двух тел). Секторальная скорость 
 
 
центра масс  = (m1r1 + m2r2)/(m1 + m2). 
 
Поместим начало отсчета в центр масс, тогда имеем 
 
 
 
75

 
 
 
                                                            ц е н т р
 
                  m 1           1                          м а с с                                         2       m 2
 
центра масс = 0 ⇒  
                                                                    О
 
m1r1 + m2r2 = 0. Пусть  
 
              О ′
r = r2  -  r1 . Будем 
рассматривать 
поступательное 
и 
вращательное движение системы 
r2 = r + r1 ⇒ m1r1 + m2(r + r1) =0 ⇒ r1 = - m2r/(m1 + m2) 
 
 ⇒ r2 = m1r/(m1 + m2). 
 
 
Запишем  кинетическую  и  потенциальную  энергию  для  двух  частиц  в 
преобразованной системе координат в центральном поле. 
 
U = U( r ) 
 
T = (m1/2)(dr1/dt)2 + (m2/2)(dr2/dt)2  =  
 
= (m1/2)[m2/(m1 + m2)]2(dr/dt)2 + (m2/2)[ m1/(m1 + m2)]2(dr/dt)2=  
 
= [m1m2/2(m1 + m2)](dr/dt)2 =  (m/2)(dr/dt)2 , где    m =m1m2/(m1 + m2). 
 
Таким  образом,  задача  сводится  к  задаче  о  движении  одной  частицы  в 
потенциальном поле. 
 
Обратимся  к  описанию  движения  одной  такой  частицы  во  внешнем  поле, 
где  потенциальная  энергия  есть  функция  расстояния  до  центра.  То  есть  частица 
находится  в  центральном  поле.  Для  нее  справедлив  закон  сохранения  момента 
импульса 
 
L = r×p = cst 
 
Это  означает,  в  частности,  что  L  все  время  лежит  в  одной  плоскости  (частица 
падает,  например,  на  притягивающий  центр  по  прямой).  Рассмотрим  сектор  как 
криволинейный  треугольник.  Запишем  импульс  и  момент  импульса  в  полярных 
координатах. 
 
76

 
 
 
p = mv = mrω = mr (dϕ/dt),  (ϕ (v)  r и p
 
 
ds = (1/2)r rdϕ | :dt  ⇒ ds/dt = (r2/2) dϕ/dt 
 
                          r                r dϕ
L = r p = mr2dϕ/dt =2m ds/dt 
          dϕ                ds
 
                                 r
       
ds/dt  называют  секторальной  скоростью.  Так 
как  
 
L = cst ⇒ ds/dt = cst ⇒ ds = cst dt ⇒ ds ~ dt. 
 
 
Таким  образом,  сохранение  момента  импульса  означает  постоянство 
секторальной  скорости  и  радиус-вектор,  проводимый  из  центра  в  точки 
траектории,  за  равные  времена  описывает  равные  площади,  что  приводит  нас  ко 
второму закону Кеплера. 
 
 
§ 4 Кеплерова задача: каковы траектории тел в поле тяготения ? 
 
 
 
 
Под траекторией подразумеваем зависимость координат друг от друга r = r 
(x,y,z,t) ⇒ x ~ y ~ z,  в случае полярных координат на плоскости r ~ ϕ. 
 
Поставим  задачу:  найти  возможные  траектории  в  поле  тяготения  (поле 
притягивающего  центра)  тяготеющей  массы  (планеты,  частицы).  Имеем  законы 
сохранения энергии и момента импульса. Запишем полную энергию системы 
 
 E = T поступат. + Т вращат. + U потенциальн. = (m)(dr/dt)2 /2+ (mr2)(dϕ/dt)2 /2+ U = 
 
= (L = mr2dϕ/dt ⇒ dϕ/dt = L/mr2) = (m)(dr/dt)2 /2+ (L2/2mr2) + U. 
 
Здесь  Е и L – числа в том смысле, что они константы (в поле центральных сил) 
как сохраняющиеся величины. Тогда 
 
(m)(dr/dt)2 /2= E - U - L2/2mr2 ⇒ dr/dt = [2(E -U)/m - (L/mr)2]1/2  ⇒ 
 
 
77

 
 
Получим  уравнение  траектории  в  полярных  координатах.  Для  этого  используем 
выражение L = mr2dϕ/dt  и исключим  dt   из двух последних выражений 
 
dr = [2(E - U)/m - (L/mr)2]1/2(mr2dϕ/L) 
 
dϕ = (L dr /mr2)/[2(E - U) - (L/mr)2]1/2 
 
ϕ = ∫ (L dr /r2) /[2m(E - U) - (L2/r2)]1/2 + cst 
 
cst  выбором начала координат обращается в ноль (cst = 0), U = -α/r и d(1/r) = -dr 
/r2, тогда 
 
ϕ = - L∫ d(1/r)/[2mE + (2mα/r) - (L2/r2)]1/2 . (*) 
 
Получился интеграл, который можно свести к табличному интегралу вида 
 
ϕ = -∫ dx/(1-x2)1/2 = arccos x, где x = 1/r. 
 
Решение представимо в виде 
 
сos ϕ = [(L/r) - (mα/L)]/[2mE + (mα/L)2]1/2   (**) 
 
Здесь вычислен интеграл  (*) и "взят" косинус от левой и правой частей.  
 
Существует  так  называемое  уравнение  конических  сечений.  Оно 
представляется в полярных координатах как 
 
r = p/(1 +e cosϕ)       
 
Выразим наше решение (**) явно через  r 
 
[2mE + (mα/L)2]1/2 cos ϕ = (L/r) - (mα/L)  ⇒  1 / [(mα/L) + ((2mE + (mα/L)2 )1/2cosϕ] 
=  
 
= r/L. 
 
r = (L2/mα)/[1 + L/mα(2mE + (mα/L)2)1/2 cosα] 
 
 
78

 
 
Здесь p = L2/mα, e = [(2EL2/mα2) + 1] 
 
Проанализируем уравнение конических сечений, для этого представим его в виде 
 
r(1 + e cosϕ) = p 
 
1. е = 0 - окружность  (r = p = cst = 1)  
 
2. 0< e< 1 (e = 0,5 ; p = 1) - эллипс   r = 1/(1 + 0,5 cosϕ) 
 
3. е = 1, р = 1 - парабола  r = 1/(1 + cosϕ) 
 
4. e> 1 (e = 1,5 , p = 1) - гипербола  r = 1/(1 + 2cos ϕ) 
 
Замечание.  Здесь целесообразно расчетное задание для обучающихся. 
Построить на одном листе миллиметровой бумаги разумного формата все четыре  
 
90
 
2
2
 
120
60
 
1.5
 
150
30
 
1
 
1
( 1 cos( x) )
 
0.5
.
1
 
( 1 0.5 cos( x) )
0
180
0
0
 
1
 
1
1 1.5 cos
.
(
( x) )
 
 
210
330
 
 
 
240
300
 
 
270
x
 
   
зависимости дающие круг, эллипс, параболу и гиперболу с шагом 15°, начиная с 
0° в полярной системе координат, чтобы у всех кривых был единый центр. 
 
79

 
 
 
 
 
В  декартовой  системе  координат  для  окружности  начало  самих  координат 
совпадает  с  её  центром,  а  у  эллипса  (параболы,  гиперболы) - с  одним  из  их 
фокусов. Уравнения при этом имеют вид  
 
окружность  x2 + y2 = R2 
 
эллипс  (x/a)2 + (y/b)2 = 1 
 
гипербола  (x/a)2 - (y/b)2 = 1 
 
парабола  y2 = 2px 
 
Представим  схему  возможных  траекторий  частицы  в  зависимости  от  начальной 
скорости. Движение начинается из точки  А 
 
 
 
v0 = 0 - прямая,  проходящая 
через  В  (падение на  В) 
1. v0  <  vk - эллипс.  А - 
афелий,  В′ - перигелий (vk - 
     A          v0= 0   B      B′                          B′′
круговая  скорость,  афелий - 
                   v0<vk
наиболее  удаленная  точка, 
                         vk<v0<vп
перигелий - наименее 
удаленная 
точка 
при 
                        v = vk
движении  по  эллипсу  в 
    v0>vп                v0 = vп
                                отношение 
одного 
из 
фокусов). 
2. v0 = vk - окружность с центром в  В. 
3. vk<v0<vп - эллипс.  А - перигелий,  В′′ - афелий (vп - параболическая скорость). 
4. v0 = vп – парабола. 
5. v0>vп – гипербола. 
 
 
 
 
 
80

 
 
§ 5 Космические скорости 
 
 
Будем  говорить  о  космическом  корабле  (вместо  частицы  в  центральном 
поле). Полная энергия равна 
 
E = T + U = (mv2/2) - γ mM/r = ( g = γM/r2) = (mv2/2) - mgr 
 
1. E<0 
T + U < 0, T< -U ⇒ mv2/2 < mgr ⇒ v2 < 2gr, v = v1 = (2gR)1/2 (r =R - средний радиус 
Земли) 
Ракету  нельзя  удалить  на  бесконечность.  Движение  финитное:  окружность, 
эллипс, падение на центр. Рассмотрим отдельно случай окружности 
 

2
веса = F центробежн. ⇒ mg = mv1 /R ( g ≅ 10 м/с2, R ≅ 6,4 103 км) v1 = (gR)1/2 ≅ 8 103 м/c 
= 8км/с 
2.  E = 0, 
 T = -U ⇒ v = v2 = (2gr)1/2 ≅ 11,2 км/с - парабола 
3. E> 0,  
T> -U ⇒ v > (2gr)1/2 – гипербола (гиперболы) 
 
В  двух  последних  случаях  движение  ин  финитное.  При E = 0  - минимальная 
энергия, необходимая для отрыва от Земли. Движение по параболе относительно 
Земли как притягивающего центра. Ракета становится спутником Солнца. Для Е > 
0 ракета уходит от Земли по гиперболе. 
4. Отрыв от Солнца 
E  ≥ 0 по  отношению  к  Солнцу  как  притягивающему  центру.  Здесь  необходимо 
учитывать  три  тела:  Солнце,  Землю  и  космический  корабль.  Можно  рассчитать, 
что отрыв от Солнца (переход на параболическую или гиперболическую орбиты) с 
неподвижной точки на орбите Земли произойдет при скорости 42,1 км/с. С учетом 
движения Земли по орбите эта скорость составит: 
по движению  42,1 - 29,8 = 12,3 км/с 
 
 
 против движения  42,1 + 29,8 = 71,9 км/с. 
 
 
 
 
81

 
 
§ 6  Об общем принципе относительности 
 
 
(ОТО, неинерциальные системы.  Принцип 
эквивалентности 
(по 
выражению Вольфганга Паули “ Краеугольный камень...”) 
 
Все  физические  явления  в  гравитационном  поле  происходят  также  как  и  в 
поле сил инерции. При этом должны совпадать напряженности полей, начальные 
условия, а системы быть замкнутыми. 
 E 
Кул. = F/q  по аналогии   Eтяг. = F/mтяг. . При этом F = m тяг E тяг..,  F = m инерции 
a,  то  есть  две  последние  силы  в  известном  смысле  неразличимы,  эквивалентны. 
Запишем иначе. 
 
Сила = тяжелая масса × напряженность поля тяжести 
 
Сила = инертная масса×ускорение. 
 
Инерция - способность  тела  сохранять  покой  или  равномерное,  прямолинейное 
движение. 
Общий принцип относительности. 
 
Все  тела  отсчета  как  системы  координат  (К,К′  и  любые  другие) 
эквивалентны  в  отношение  описания  в  них  явлений  природы  (формулировании 
общих законов природы) каким бы ни было их состояние движения инерциальным 
или неинерциальным. 
Замечание (в связи с принципом эквивалентности) 
 
Выбором  системы  отсчета  с  заданным  ускорением  можно  любое 
гравитационное  поле  заменить  полем  инерции.  Виды  относительности, 
имеющиеся у нас к настоящему моменту 
 
 
 
Вид системы 
Круг явлений 
 
Относительность  по  инерциальные 
механические 
Галилею 
Относительность 
в  инерциальные 
все явления 
рамках СТО 
Относительность 
в  любые - инерциальные и  все явления 
рамках ОТО 
неинерциальные 
 
 
 
82

 
 
О тяготении 
  Тела, движущиеся под действием поля силы тяжести, испытывают ускорение, 
не зависящее ни от материала, ни от физического состояния самих этих тел. 
 
 
Эксперименты, выполненные в связи с проверкой ОТО  
 
1.  Искажение эллиптических орбит планет около Солнца 
Если  пространство  искривлено  по  разному,  то 
эллиптическая  орбита  не  подчиняется  точно  закону 
Кеплера. Подтверждено в случае Меркурия. 
     1                                                         2
 
 
   
 
 
Название 
Среднее  Период 
Период 
Радиус  
Масса  
расстоя
обращен
вращения (к земному)  (к земной) 
ние  от  ия 
Солнца 
Меркурий 57,9 
88 суток 58,6 
0,38 0,055 
млн. км 
суток 
 
 
Угол, описываемый прямой, соединяющий планету и Солнце на несколько секунд 
отличается от 360° - орбита искривлена. 
 
 
2.  Искривление траектории световых лучей под действием гравитационных полей 
 
При  фотографировании  затмения  Солнца  зарегистрировано  смещение 
положения звезд на фотоснимках 29 мая 1919 года Эддингтоном и Кроммелином 
на 17′′ 
по  сравнению  с  не  возмущенным  затмением 
  Видимое                                      точка
состоянием. 
                                                    наблюдения
 
   Реальное
 
 
 
 
83

 
 
3.  Смещение  к  красному  концу  спектральных  линий,  приходящих  от  звезд 
большой  массы  (отличать  от  эффекта  Доплера).  При  этом  длина  волны 
излучения меньше ожидаемой. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
84

 
 
 
 
 
 
 
 
ГЛАВА 5  МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ (ГАРМОНИЧЕСКИЙ 
ОСЦИЛЛЯТОР) 
 
 
Вступление 
 
удем  называть  колебаниями,  вообще  говоря,  любые  повторяющиеся 
процессы. 
 Б  Когда мы говорим о колебаниях, то подразумеваем колебательную 
систему (более или менее простую или сложную). 
Примеры колебательных систем: 
 струны  музыкальных  инструментов  (сами  музыкальные  инструменты  (горло 
Шаляпина)), 
 части механизмов и машин, 
 газы (воздух), 
 волны и суда (предметы) на воде 
 все виды электромагнитного излучения, 
 мембраны акустических систем,  
 земная кора при землетрясениях, 
 планеты солнечной системы, 
 белые карлики в процессе их рождения и смерти, 
 ядра атомов по отношению к захватам. 
 
 
Движение  относительно  положения  равновесия  в  колебательной  системе 
поддерживается упругими внутренними или другими силами. Все виды колебаний 
мы будем сводить к гармоническим колебаниям. 
   
Виды колебаний по отношению к характеру внешнего воздействия: 
 
85

 
 
1. Свободные колебания 
 
Однократное  внешнее  воздействие,  после  чего  система  освобождается  и 
остается  предоставленной  самой  себе.  Внутренние  силы  (упругие  или  другие) 
заставляют колебаться систему, пока энергия первого толчка не растрачивается на 
работу по преодолению сил сопротивления. 
2. Вынужденные колебания 
 
Периодическое  внешнее  воздействие  таково,  что  колебания  системы  не 
прекращаются в течение всего времени этого воздействия. Энергия, передаваемая 
системе  за  один  период  должна  равняться  работе  против  сил  сопротивления  в 
системе. 
3. Автоколебания 
 
Такие  вынужденные  колебания,  при  которых  система  сама  регулирует 
подачу  в  себя  энергии  (все  механические  часы  с  пружинами  и  гирями, 
мультивибраторы  …). 
4. Параметрические колебания 
 
Такие вынужденные колебания, при которых за счет внешнего воздействия 
происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы (размеров, 
массы, коэффициента упругости ...). 
 
 
§1 Малые колебания 
 
 
 
Пусть потенциальная энергия колебательной системы, U , зависит от одной 
переменной  х  (линейная задача), и пусть у системы есть положение устойчивого 
равновесия  при  х = 0. 
Система - колеблющаяся 
материальная точка. 
                                                                  U   =   U m in
  
                                                                                                                                        x
Разложим  U (х)  в  ряд 
                                      -   a                         0                       +   a
Маклорена - частный 
случай  ряда  Тейлора 
(разложение  происходит 
не  в  произвольной  точке 
х0, а в точке х = 0 
 
f(x) = f(0)x0/0! + f ′(0)x1/1! + f ′′(0)x2/2! + ...     (0!≡1, k! = 1·2· ...·k)). 
 
86

 
 
 
U (x) = U(0) + U′(0)x + U′′(0)x2 + .... 
 
i)U(0) =0 - это  условие  мы  накладываем  сами  для  удобства,  как  это  делается 
обычно. 
ii)U′(0) = - F(0) = 0 - так как сила в точке равновесия равна нулю 
iii)Обозначим  U′′(0) = k ⇒ U (x) ≈ kx2/2 - в более привычных обозначениях, если 
не рассматривать члены ряда более высокого порядка малости 
 
F(x) = - dU/dx = - d(rx2/2)/dx = -kx 
 
F(x)  служит  внутренней  силой,  возвращающей  систему  в  положение  равновесие. 
Для колебаний необходимо внешнее однократное воздействие. Тогда по второму 
закону Ньютона 
 
F = ma = m d2x/dt2 
                              U
 
                                                       E
 
 
                                                   T
                                                   цепочка
 
                                               атомов
 
                                                       U
                       x = 0     
                                                                    x
      равновесие
 
        - a                                                a
 
 
 
Уравнение малых колебаний запишется в виде 
 
m d2x/dt2 = - kx  или 
 
 d2x/dt2 + ω 2
0  x = 0,  
где  ω 2
0  =  k/m 
 
 
[ω 2
0 ] = [k/m] = кг/с2кг, так как [k] = [F/x] = Н/м = кг м/с2м ⇒ [ω] = c-1 = рад/с.  ч - не 
обязательно  имеет  смысл  длины,  это  может  быть  угол  или  какая-либо  другая 
физическая величина. 
 
 
 
87

 
 
 
§ 2 Свободные гармонические колебания (свободный гармонический осциллятор) 
 
 
 
Имеем 
 
d2x/dt2 + ω 2
0 x = 0 . (*) 
 
Надо решить это уравнение - найти зависимость  x (t). Оно классифицируется как 
однородное  дифференциальное  уравнение  второго  порядка  с  постоянными 
коэффициентами. Решения таких уравнений ищутся в виде  x = eλt, подставим в (*) 
для отыскания параметра λ. 
 
 d2x/dt2 = λ2 eλt  ⇒ λ2 eλt +ω 2
2
0  eλt = 0 ⇒ λ2 = - ω0  ⇒ λ = ± i ω0 ⇒ x1,2 = exp( ± iω0t) 
 
В решении уравнения (*) должно быть две константы интегрирования, так как оно 
второго порядка и общее решение записывается в таком случае как суперпозиция 
этих констант и двух частных решений   х1  и   х2 по аналогии с  d2x/dt2 = 0 ⇒ dx/dt 
= c1 ⇒ x = c1x + c2, тогда 
 
x = c1x1 + c2x2 = c1 exp ( iω0t ) + c2 exp (-iω0t ). 
 
Воспользуемся формулой Эйлера 
 
exp ( ± iω0t ) = Cos (ω0t) ± i Sin (ω0t) 
 
получим 
 
x= c1[Cos(ω0t) + i Sin(ω0t)] + c2[Cos(ω0t) – i Sin(ω0t)] =  c1Cos(ω0t) + ic1Sin(ω0t) +  
 
+c2Cos(ω0t) -c2iSin(ω0t) = (c1 + c2)Cos(ω0t) - i(c2 –  - c1) Sin(ω0t) = a1Cos(ω0t) –  
 
a2Sin(ω0t). 
 
 
 
88

 
 
а1 и а2  представим как катеты прямоугольного треугольника, тогда найдется для 
него и гипотенуза 
 
 
                        a                    a2
a2 = a 2
2
1  + a2 ,  Sinα = a2/a, Cosα = a1/a 
 
                      α
x = a[CosαCos(ω0t) -SinαSin(ω0t)] = a Cos(ω0t + 
                            a1
    
α). 
 
Выражение 
 
x = Cos(ω0t +α) 
есть решение уравнения свободных малых колебаний, здесь 
ω0 - собственная частота свободных колебаний системы, а - амплитуда, t - время, α 
- начальная фаза колебаний, (ω0е + α) - фаза, x - смещение. 
  Итак, смещение здесь изменяется по закону косинуса, следовательно движение 
представляет  собой  свободные  гармонические  колебания.  Замечание  к 
определению периода. Период  косинуса -  Т = 2π, тогда 
 
α + ω0(t +T) = (ω0t + α) + 2π ⇒ ω0T =2π ⇒ T = 2π/ω0 = 1/ν0 
 
Об  энергии  свободных  гармонических  колебаний  (иначе  говоря,  свободного 
гармонического осциллятора). 
 
Вычислим  скорость,  и  ускорение  колеблющейся  точки  в  зависимости  от 
времени 
 
v = dx/dt = -aω
2
0 Sin(ω0t + α),  w = d2x/dt2 = -aω0 Cos(ω0t + α)   
 
заметим, что  x  и  w  находятся в противофазе. 
 
T = mv2/2 = ma2ω 2
0 Sin2(ω0t + α)/2    
 
U = kx2/2 = ka2Cos2(ω
2
2
2
0t +α) =(ω0  = k/m ⇒ k = mω0 ) = ma2ω0 Cos2(ω0t +α)/2 
 
E = T + U = ma2ω 2
0 /2 = cst. 
 
 
89

 
 
 
 § 

Математический и физический маятники (в модели свободного 
гармонического осциллятора) 
 
 
 
В колебательной системе всегда надо определиться с внутренними силами. 
В  механике  под  маятником  понимают  тело  (как  правило  твердое)  совершающее 
под  действием  силы  тяжести  (или  за  счет  упругих  сил)  колебания  около 
положения  равновесия.  Рассмотрим  модель  математического  маятника. 
Определение. 
  Система,  состоящая  из  невесомой,  нерастяжимой  нити  с  точечной  массой  на 
конце.  
При  отклонении  маятника  от  положения  равновесия  (внешнем  воздействии)  по 
отношению к нему возникает вращательный момент (момент силы). 
 
                                  z
 
                                            R = l Sinϕ
 
                           l    ϕ
          
 
 
 
 
 
                    m g
 
                         M                                          y
 
             x
 
M = r×F, L = r×p 
 
 
Маятник колеблется в плоскости  xy . На массу  m  в направлении  - z   действует 
сила тяжести mg. Момент этой силы относительно оси  х  равен  mg R = mgl Sin ϕ. 
Момент  этой  силы  имеет  такое  направление,  что  стремиться  вернуть  маятник  в 
положение равновесия, поэтому моменту и угловому смещению надо приписывать 
противоположные  знаки  (также  как  квазиупругой  силе  и  смещению).  Распишем 
момент импульса относительно оси  х 
 
L x = p l, p = mv = m l dϕ/dt ⇒ L x = - ml2dϕ/dt 
 
 
90

 
 
Распишем момент силы относительно оси  х 
 
Mx = mgl Sinϕ - по определению, с другой стороны  
 
Mx = dL x /dt = - ml2d2ϕ/dt2 
 
Приравняем эти моменты 
 
mgl Sinϕ = - ml2 d2ϕ/dt2  ⇒    g Sinϕ = - l d2ϕ/dt2 .            (*) 
 
Вообще говоря, уравнение получилось трансцендентное, но для малых колебаний 
можно полагать ϕ ≅ Sinϕ ⇒ 
 
gϕ = - ld2ϕ/dt2 ⇒ d2ϕ/dt2 + ϕg/l = 0, g/l = ω 2
0  ⇒ 
 
Таким образом, уравнение свелось уже к решенному нами ранее уравнению. Здесь 
период  
 
T = 2π/ω0 = 2π(l/g)1/2. 
 
Рассмотрим модель физического маятника 
 
 
Вернемся  еще  раз  к  уравнению (*). В  нем  колеблющееся  тело 
представлялось  материальной  точкой.  Если  же  колеблющееся  тело  нельзя 
представить как материальную точку, то необходимо учитывать момент инерции 
тела.  Это  будет  момент  инерции  относительно  оси,  проходящей  через  точку 
подвеса этого тела    ml2 = I⇒  
 
mg l Sinϕ = - I d2ϕ/dt2 ⇒ (также для малых колебаний) d2ϕ/dt2 + ϕmgl /I = 0 
 
ω 2
0  = mg l/I, T = 2π(I/mg l)1/2 
 
 
91

 
 
На  оси  ОО′  есть  точка ( С ) по  другую  сторону  центра  масс, при  подвешении  за 
которую  колебания  данного  тела  будут  точно  такими  же  как  и  в  точке  А.  АС 
называют приведенной длиной. 
 
 
   О
 
             А
 
                  ϕ
 
 
                                              С
 
 
                                                                 О′
 
Замечания: 
1. Во всех формулах , полученных в данной главе  ω0  не зависит от амплитуды - 
это важнейшее свойство гармонического осциллятора 
2.  Для  нескольких  возбуждающих  сил  по  отношению  к  данной  колебательной 
системе справедлив принцип суперпозиции. 
 
 
§ 4 Затухающие колебания (затухающий гармонический осциллятор) 
 
 
 
 
Введем для колебательной системы силу сопротивления. Теперь речь пойдет 
о  свободных  затухающих  колебаниях,  где  затухание  обусловлено  силами 
сопротивления. Пусть 
 
Fx = - r dx/dt = -r v, 
 
то  есть  сила  сопротивления  прямо  пропорциональна  скорости  в  первой  степени. 
Сила и скорость противоположны по направлению и 
  
[r] = [F/v] = H /v/c = кг м с/с2 м = кг/с 
 
 
92

 
 
Заметим,  что  линейная  зависимость  сил  сопротивления  от  скорости  часто 
реализуется на практике. Пример 
 
                              ·      ·
 
                         ·   ··  ·    ·       ·
 
                      ·     ·              ·           ·
                    ·  v    ··  ·                ··      ·
 
 
                  ·    ·     ·     ·       ·           ·
                 ·    ·   ·     ·      ·      ·      ·
 
                ·    ·       ·          ·         ·      ·
 
                   ·     ·       ·      ·          ·
                       ·        ·     ·         ·
На  пластину 
(некое  миделево  сечение),  которая 
движется  в  газе  перпендикулярно  своей  плоскости  при  относительно  низком 
давлении  (когда  можно  не  учитывать  столкновение  молекул  между  собой) 
действует  сила F ~ v . Рассчитаем  скорость  движения  молекул  при  комнатной 
температуре 
 
v = (RT/M)1/2.   Считаем для азота: M = 28 г/моль, R = 8,3 Дж/К моль, Т = 300°К   
 
v ≈ 300м/с ≈ 1000 км/час 
 
Такой скорости достигают самолеты, летающие в верхних слоях атмосферы. 
  Итак, уравнение имеет вид 
 
md2x/dt2 = - kx – r dx/dt  ⇒  md2x/dt2 + r dx/dt + kx = 0. 
 
Это - однородное  линейное  дифференциальное  уравнение  второго  порядка  с 
постоянными коэффициентами, преобразуем 
 
d2x/dt2 + 2βdx/dt + ω 2
0 x = 0   (2β = r/m, [β] = 1/ с) 
 
двойка  использована  для  того,  чтобы  короче  в  дальнейшем  записать  решение 
этого уравнения. Для решения используем уже известный прием. 
 
x = e λ t, dx/dt = λ e λ t, d 2x/dt2 = λ2 e λ t, 
 
 подставим в уравнение 
 
λ2e λ t + 2βλe λ t + ω 2
2
0 e λ t = 0,  λ2 + 2βλ + ω0  = 0, 
 
 
93

 
 
λ
2
1, 2 = - β ± (β2 - ω0 )1/2,   
 
x
2
2
1 = exp{[-β + (β2 - ω0 )1/2]t}, x2 = exp{[-β - (β2 - ω0 )1/2)]t},  
 
Пусть  (β2 - ω 2
0 )1/2 =ω,  
 
x = c1 exp{[(-β + ω)]t} + c2 exp{[(-β - ω)]t} = c1e-βt eωt + c2e-βte-ωt =  
 
= e-βt{c1[Cos(ωt) + i Sin(ωt)] + c2[Cos(ωt) + i Sin(ωt)]} =  
 
= e-βt a Cos(ωt + α) = ai Cos(ωt + α), где ai = a e-βt. 
 
Получили  гармоническое  колебание  с  экспоненциально  спадающей  амплитудой. 
Для построения графика выберем  
t = 2 c-1 , a = 1, ω =  100 рад/с, α = 20 рад. 
 
 
0.15
0.12075
 
Вычислим 
период 
и 
0.1
определим  логарифмический 
0.05
декремент колебания, λкол. 
 
2 t
e
cos
.
( 100 t
20)
0
ω2 = β2 - ω 2
0 , T = 2π/ω = 2π/(β2 
0.05
– ω 2
0 );  
 
0.1
 
0.128703 0.15
 
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
1
t
2
ai+1/ai = a(t)/a(t +T) = ae-βt/ae-β(t 
+T) = eβT  ⇒ ln(ai+1/ai) = βT = λ кол.. 
 
β  называется  затуханием,  от  нее  зависит  скорость  убывания  амплитуды 
колебаний,  а  ω  в  данном  случае - частота  затухающих  колебаний.  Период 
колебаний как видно остается при этом постоянным. 
 
 
 
94

 
 
 
§ 5 Вынужденные колебания гармонического осциллятора 
(с учетом сил сопротивления) 
 
 
 
Пусть вынуждающая сила также изменяется по гармоническому закону 
 
F = F0 Cos(ωt) 
 
это  не  одноразовый  импульс,  а  постоянно  действующая  во  времени  сила. 
Уравнение имеет вид 
 
m d2x/dt2 = -kx – r dx/dt + F
2
0 Cos(ωt),  ω0  = k/m, r/m = 2β, F0/m = f0 ⇒  
 
d2x/dt2 + ω 2
0 x + 2βdx/dt = f0 Cos(ωt)  (*) 
 
Получили (*) - линейное,  неоднородное  дифференциальное  уравнение    с 
постоянными  коэффициентами.  Его  решение  ищется  следующим  образом:  мы 
имеем  общее  решение  однородного  уравнения,  построенного  для  данного  без 
правой части.  
 
x однородное = a e-βt Cos(ωt + α)  (1). 
 
Чтобы  найти  общее  решение  неоднородного  уравнения,  необходимо  к  (1) 
прибавить любое частное решение  неоднородного уравнения (*). Пусть 
 
x ч.н. = B eiωt. 
 
Определим  параметр  B  используя подстановку  х ч н.  в  (*) 
 
dx/dt = B i ω eiωt, d2x/dt2 = -B ω2 eiωt 
 
- Bω2eiωt + ω 2
2
0  B eiωt + 2β B i ω eiωt = f0 eiωt  ⇒  B = f0/(ω0  - ω2 + 2iβω) ⇒ 
 

2
ч .н. = f0 eiωt/(ω0  - ω2 + 2iβω)   (2). 
 
95

 
 
 
 
Отступление (о комплексных числах) 
 
 
 
 
                   y
 
                                        x
 
 
                                  ρ                      y
 
 
                          α
                                                                 x
 
 
z = x + i y,  i 2 = - 1,  Re z = x, Im z = y,  |z| = (x2 + y2)1/2 
 
В полярных координатах 
 
ρ2 = x2 + y2,  x = ρ Cosα,  y = ρ Sinα,  z = ρ(Cosα + i Sinα),  tgα = y/x. 
 
Справедливость формулы Эйлера - 
 
e± iα = Cos α ± i Sin α 
 
может быть доказана разложением в ряд, составляющих формулу функций 
 
Sin α = α - α3/3! + α5/5! - α7/7! + ... 
 
Cos α = 1 - α2/2! + α4/4! - α6/6! + ... 
 
eiα = 1 + iα + (iα)2/2! + (iα)3/3! + ... . 
 
например 
 
(iα)3 = -i α3, (iα)6 = - α6, ...,  Im z =  Sin α,  Re z = Cos α 
 
 
96

 
 
Представим  комплексный  знаменатель  частного  решения  (2)  неоднородного 
уравнения через тригонометрические функции 
 
x = ω 2
2
2
0  - ω2,  y = 2βω ⇒ tgϕ = y/x = 2βω/(ω0  - ω2), ϕ = arc tg [2βω/(ω0  - ω2)], 
 
 ρ = (x2 + y2)1/2 = [(ω 2
0  + ω2)2 + 4β2ω2]1/2 ⇒ 
 
x ч.н. = f0 eiωt/ρeiϕ = f0ei(ωt - ϕ)/ρ. 
 
Составим общее решение неоднородного уравнения 
 
x о..н. = x однород. + х ч. н. = a e-βt Cos(ωt + α) + [f0 ei(ωt - ϕ)/ρ]. 
 
Будем  рассматривать  решения  в  моменты  времени,  достаточно  удаленные  от 
момента t = 0, тогда с достаточной степенью точности 
 
x о.н. ≅ f0 ei(ωt - ϕ)/ρ 
 
x = Re (x о..н.) = Re{f0 [Cos(ωt - ϕ) + i Sin(ωt - ϕ)]/ρ } = f0 Cos(ωt - ϕ)/ρ. 
 
Выпишем окончательное решение 
 
x = f
2
2
0 Cos{ωt – arc tg[2βω/(ω0  - ω2)]}/[(ω0  - ω2)2 + 4β2ω2]1/2. 
 
Роль  амплитуды  в  решении  выполняет  часть  выражения  не  являющаяся 
периодической функцией, то есть 
 
a = f
2
0/ [(ω0  - ω2)2 + 4β2ω2]1/2.        (3) 
 
Найдем резонанс амплитуды. Для этой цели вычислим максимумы знаменателя в 
выражении (3), а точнее выражения под корнем как функции частоты ω 
 
[(ω 2
2
0  - ω2)2 + 4β2ω2]′ω = 0,   2(ω0  - ω2)( - 2ω) + 8β2ω = 0 
 
1.  ω = 0 - физически не интересное решение 
2. -(ω 2
2
2
2
0  - ωр ) + 2β2 = 0 ⇒ ωр  = ω0  - β2 
 
 
97

 
 
Подставим найденное значение частоты резонанса в выражение для амплитуды (3) 
 

2
2
2
2
max  = f0/[(ω0  -ω0  + 2β2)2 + 4β2(ω0  - β2)]1/2 = f0/2β(ω0  -β2)1/2 
 
β (всегда должно быть) <ω0. Пусть β3>β2>β1 ⇒ ωр3< ωр2 < ωр1 ⇒ a max3> a max2 >a 
max1.  Для  построения  графика  формула  (3)  специально  преобразована.  
Обозначены ω≡х, β3= 2, β2 = 1, β1 =  
= 0,7. 
 
1
0.826443
1
0.8
2
2
2
( 1
x
)
1
2
x
0.6
1
2
2
2
( 1
x
)
1
4
x
0.4
1
2
2
2
( 1
x
)
1
16
x
0.2
0.024268
0
2
4
6
0.1
x
7
 
 
 
§ 6 Сложение колебаний одинакового направления. Векторная диаграмма 
 
 
Колебания 
гармонического 
осциллятора 
можно 
представить 
как 
                                          а
вращение  вектора  длины -  а    в  плоскости 
                                ω0
чертежа около некоторой точки  О.  
                                   α
 
                           О                х
Пусть дано: x1 = a1 Cos (ω0t + α1)  и  
                    x = a Cos (ω0t + α)
 
 
98

 
 
 x2 = a2 Cos (ω0t + α2) 
 
Найти:  
x = x1 + x2  с помощью векторной диаграммы, то есть выразить   а  и  α  через  а1, 
а2, α1  и  α2. 
 
 
 
 
 
 
                                                                                        a
                                            2
   
                                                                                                          α 2   -   α 1
                        α
                α 2                                             2
                                  α 1
                        O                   x 1                     x2
                                                          x
 
 
 
 а  можно найти, используя теорему косинусов 
 
a2 = a 2
2
1  + a2  + a1a2 Cos (α2 - α1). 
 
Найдем начальную фазу результирующего колебания 
 
 
99

 
 
 
 
 
 
 
                                a        a2        a2 Sinα2
 
             α                               α
 
2
 
                               a1
 
                                   α1              a1 Sinα1
 
 
               x
 
1 = a1 Cos α1         x2 =
 
                                           = a2 Cosα2
 
 
 
 
tg α = (a1Sinα1 + Sinα2)/(a1 Cosα1 + a2Cosα2) 
 
 
§ 7 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний 
 
 
 
Одна  и  та  же  точка  совершает  периодические  колебания  в  двух  взаимно 
перпендикулярных  направлениях.  Это  происходит  одновременно.  Имеем 
параметрический вид (через t) записи уравнений 
 
                    Y
 
x = a Cos (ω0t + α),  y = b Cos (ω0t + β) 
                           OY
 
Пусть α + β = ϕ, α = 0 ⇒ β = ϕ 
                                                          X
         OX
        
 
Здесь  дан  параметрический  вид  (через 
переменный  параметр  t) уравнения 
траектории точки. Точка в плоскости  x 
- y совершает  какое-то  движение.  Найдем  форму  траектории    y(x)    исключив  t. 
Имеем 
 
100

 
 
 
x = a Cos (ω0t), y = b Cos (ω0t + ϕ) 
 
Cos (ω0t) = x/a ⇒ 1 - Sin2(ω0t) = (x/a)2 
 
y/b = Cos (ω0t + ϕ) = Cos(ω0t)Cosϕ - Sin(ω0t)Sinϕ = [(x/a) Cosϕ] - [1 - (x/a)2]1/2Sinϕ 
 
[1 - (x/a)2]1/2Sinϕ = (x /a)Cosϕ  - y/b        | возведем в квадрат обе части равенства 
 
[1 - (x/a)2]Sin2ϕ = (x/a)2Cos2ϕ - 2xyCosϕ/ab - (y/b)2 ⇒  
 
Sin2ϕ = (x/a)2 + (y/b)2 – (2xy/ab) Cosϕ (**) 
 
Проанализируем полученное выражение (**) 
1. ϕ = 0 ⇒   (x/a - y/b)2 = 0 ⇒ x/a = y/b ⇒ y = bx/a - прямая 
2. ϕ = ±π ⇒   (x/a + y/b)2 = 0 ⇒ y = - bx/a - прямая 
3. ϕ = ±π/2 ⇒   (x/a)2 + (y/b)2 = 1 – эллипс 
 
 
 
 
                               y
 
  Если 
частоты 
колебаний 
не 
                               b              -π/2
совпадают  (например,  отличаются  в 
целое  число  раз),  то  графически 
                                                     a        x
получаются 
фигуры 
в 
виде 
горизонтальных 
и 
вертикальных 
                                               π/2
восьмерок  (при n = 2; 1.2) и  цепочек, 
называемых  фигурами  Лиссажу.  По 
числу 
звеньев 
цепочек 
экспериментально  осциллографически  можно  находить  отношение  частот 
колебаний.  Направление  колебаний  определяется  по  возрастанию  или  убыванию 
косинуса. 
x = a Cos (ω0t + α),  y = b Cos (ω0t + β) 
 
t ↑ x 
↓ y 
↓ y 
↑ 
 
 
π/2 -π/2 
 
101

 
 
 
 
§ 8 Биения 
 
 
 
Пусть  имеем  два  колебания  одного  направления  с  одинаковыми 
амплитудами,  но  незначительно  отличающимися  частотами  (например,  на 10%), 
тогда 
 
ω1 = ω,  ω2 = ω + ∆ω,  x1 = a Cos(ωt),  x2 = a Cos(ω + ∆ω)t 
 
x = x1 + x2 =  = a[Cos(ωt) + Cos(ω + ∆ω)t] =  
= a 2 Cos{[ωt + (ω + ∆ω)t]/2} Cos{[ωt - (ω + ∆ω)t]/2} = 
 
= 2aCos(ωt + ∆ωt/2) Cos(∆ωt/2)= (∆ω << ω, ω/∆ω≈ 10раз) = 
 
= 2a Сos(ωt)Cos(∆ωt/2). 
 
Если  построить  график  такой  функции,  то  роль  меняющейся  амплитуды  может 
быть приписана  А = |2а Cos(∆ωt/2)| . Заметим, что плавно меняющаяся функция 
будет искажена в меру отличия частот. Периодами двух периодических функций 
являются соответственно: высокочастотной - Т = 2π/ω, низкочастотной -  
ТА = 2π /∆ω 
 
  График представлен для ω = 100 Гц, ∆ω = 10 Гц, А = 1, при этом Т ≅ 62,8 мс, ТА 
≅ 0,63 с. 
 
 
 
102

 
 
2
1.99868
1
2 cos
.
( 5 t ) cos
.
( 100 t )
0
1
1.99998
2 1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
1
t
2
 
 
Биениями называются 
 
Колебания амплитуды, образующиеся при сложении двух колебаний с мало 
отличающимися частотами. 
 
 
 §9 Ангармонический осциллятор 
 
  Пусть 
 
U (x) = (kx2/2) - skx3/3 
 
Здесь оставлены члены ряда по четвертый включительно 
 
U (x) = U (0) + U′(0)x + U′′(0)x2/2! + U ′′′(0)x3/3! + ... 
 
U (0) = 0 (выбором начала отсчета), U′ (0) = F (0) = 0, 
 
U ′′(0) = k, U′′′(0) = -2sk ⇒ U (x) ≈ (kx2/2) - skx3/3 ⇒ 
 
 
103

 
 
F (x) = - dU(x)/dx = - kx + skx2 ⇒ md2x/dt2 = -kx + skx2 ⇒ 
 
d2x/dt2 + ω 2
2
2
2
0 x - sω0  x2 =0.   (*)     (d2x/dt2 + ω0 x  = sω0  x2) 
   
Наличие члена  х2  делает это уравнение нелинейным. Его решение будем искать в 
виде 
 
x = a (Cosωt + qCos2ωt) + x1 = a Cosωt + aqCos2ωt + x1 .       (1) 
 
Здесь  q  и  х1 - два неизвестных параметра (для уравнения второго порядка). Для 
их определения подставим решение (1) в исходное уравнение  (*)  d2x/dt2 + ω 2
0 x - 
sω 2
0  x2 =0. Вычислим вторую производную и квадрат неизвестного. 
  
d2x/dt2 = a[(-ω2)Cosωt + (- 4ω2)Cos2ωt] = - aω2(Cosωt + 4qCos2ωt)         (2) 
 
x2 = (a Cos(ωt) + a q Cos(2ωt) + x
2
1)2 = a2Cos2 (ωt) + a2q2Cos2 (2ωt) + x1  +  
 
+ (по парные удвоенные произведения). 
 
Считаем q1  и  x1  малыми и пренебрежем всеми членами, сомножителями которых 
они являются. 
 
x2 ≈ a2Cos2ωt = (a2/2)(1 + Cos2ωt) = (a2/2) + (a2Cos2ωt)/2     (3) 
 
Подставим (1, 2 и 3) в исходное уравнение  (*)  d2x/dt2 + ω 2
2
0 x - sω0  x2 =0, 
имеем 
 
- aω2Cos (ωt) - 4aqω2Cos (2ωt) + aω 2 
2
2
2
0  Cosωt + ω0 aqCos(2ωt) + ω0 x1 - sω0 a2/2 –  
 
-  (sω 2
0 a2 /2) Cos (2ωt) =  
 
= (ω 2
2
2
2
2
0 a - aω2)Cos(ωt) + (ω0 aq - sω0 a2/2 - 4aqω2)Cos(2ωt)+ ω0 x1 - sω0 a2/2 = 0 
 
Для равенства нулю последнего выражения необходимо равенство нулю всех его 
слагаемых 
 
1. ω = ω
2
0 ⇒ a(ω0  - ω2)Cos(ωt) = 0 
 
104

 
 
 
2. ω 2
2
2
0 aq - sω0 a2/2 - 4aqω0  = 0 ⇒ (ω0 ≠ 0) ⇒ 3q = as/2 ⇒ a = 6q/s 
 
3. ω 2
2
0 x1 - aω0 a2/2 = 0 ⇒ x1 = sa2 /2. 
 
Найдем среднее значение от смещения x 
 
< х > = < a(Cosωt + qCos2ωt) + x1> =  
 
(так как средние значения от периодических функций равны нулю) 
 
 ⇒ <x> = x1, но x1 = sa2/2 ⇒ x = sa2/2. 
 
 
Применим полученный результат к цепочке атомов в твердом теле. С одной 
стороны  полная  энергия  гармонического  осциллятора E пропорциональна 
квадрату  амплитуды (E ~ a2).  Смещение  также  пропорционально  квадрату 
амплитуды  согласно  нашему  результату (x ~ a2).  Следовательно,  среднее 
смещение пропорционально средней энергии гармонического осциллятора 
 
<х> ~ <E>, 
 
а  из  статистической  физики  следует,  что  средняя  энергия  при  тепловом 
равновесии пропорциональна температуре, <х> ~ <Е> ~ T, следовательно, и <x> ~ 
T, что объясняет нам линейное термическое расширение твердых тел. 
 
 
§ 10 Адиабатические инварианты 
 
 
 
Адиабатическими 
инвариантами 
называют 
физические 
величины, 
являющиеся  функциями  координат,  скоростей  и  других  параметров 
колебательных  систем  при  условии  актуально  медленного  изменения  этих 
параметров: 
 
f(k,ω,E, m, T,...). 
 
 
105

 
 
  Поставим  задачу  получить  некоторые  адиабатические  инварианты.  Запишем 
полную энергию системы, считая ее не (!) замкнутой  Е ≠ cst, k - var 
 
E = mv2/2 + kx2/2. 
 
Возьмем первую производную по времени - t , учитывая,  
что k = k (t) 
 
dE/dt = mv dv/dt + kx dx/dt + (x2/2)dk/dt = v(ma + kx) + (x2/2)dk/dt =  
 
(x2/2)dk/dt. 
 
В  круглых  скобках  стоят  две  силы  одинаковые  по  величине  и  противоположные 
по направлению, имеем 
 
dE/dt = (x2/2)dk/dt = (kx2/2) k dk/ dt = U ( x ) k dk/ dt. 
 
Используем разложение в ряд вида 
 
k dk / dt = (k dk / dt)0 (1 +α) ⇒  dE/dt = U(x)( k dk /dt)0 (1 + α).     (1) 
 
 
Здесь  записано  разложение  в  ряд  типа  Тейлора  и  учтен  первый  порядок 
малости    (  при dk/dt → 0 α  → 0). (dk/ k dt)0  -  значение  выражения (1) в  точке, 
выбранной за начало отсчета. Проинтегрируем (1) по времени от  t  до  t + T(k).  В 
нашем случае период  Т  является функцией  k. 
 
                       t +T(k)                           t +T(k)              
∆E = (dk/ k dt)0 [∫ U(x(t′))dt′ + β], β = α ∫ U dt′ (dk/ k dt)0 → 0  
                           t                                     t       
(так как α→0⇔dk/dt →0) 
                                                            
  
 
Пусть для внутренней (потенциальной) энергии k = cst, а в выражении k dk/ dt -  k  
и само это выражение перестало быть константой, в течение промежутка времени 
равного периоду Т. Это позволяет не утратить первоначальную зависимость  k(t). 
 
 
106

 
 
i)   U = kx2/2 
ii)  x = a Cos(ωt + α) 
iii) U = (ka2 /2) Cos2(ωt + α) = E Cos2(ωt + α) = E[1 + Cos(2ωt + α)]/2. 
 
Вычислим отдельно интеграл при t = 0 
 
 
 
  T                   T                                                                                                                         
  ∫U dt′ = (E/2) ∫ [1 + Cos(2ωt′ + 2α)]dt′ =  
  0                   0  
             T        T          
 = (E/2)[∫dt′ + ∫ Cos(2ωt′ + 2α)dt′] = 
            0         0   
                                              T                            
= ET/2 + (1/2ω)Sin(2ωt +2α) | = ET/2. 
                                              0  
                     
  
 
Тогда 
 
∆E = (dk/ k dt) (ET/2). 
 
Заметим,  что  T dk/dt ≅  ∆k  с  точностью  до  величины  более  высокого  порядка 
малости. Данное выражение равно приращению  k  за период  T . 
 
(k(t) = k0 + ∆t dk/dt + ∆t2d2k/2!dt2 + ..., здесь ∆t = T ⇒ k ≅ k0 + T dk/dt ⇒ T dk/dt ≅ k - 
k0 = ∆k) 
 
Тогда 
 
∆E = ∆k E/2k. 
 
Осуществим предельный переход  ∆ → d ⇒ dE = E dk/2k ⇒ dE/E = dk/2k.  
Имеем  дифференциальное  уравнение  с  разделяющимися  переменными, 
интегрируем  
 
107

 
 
 
ln E = (1/2)ln k + cst ⇒ ln E/√k = cst ⇒ E/√k = cst.  
 
Получили соотношение для адиабатических инвариант  E  и  k. Это соотношение 
приводит также к 
 
ω = √k/m ⇒ √k = ω√m ⇒ E/ω = cst  и  T = 2π√m/k ⇒ √k = 2π√m/T ⇒ ET = cst. 
 
Пример: при медленном укорочении нити математического маятника его период 
колебаний медленно уменьшается и одновременно возрастает энергия, а 
произведение  ЕТ - остается постоянным. Отличие от параметрических колебаний 
состоит в том, что там нить периодически удлиняется  и укорачивается, то есть 
меняется не монотонно.  
 
108

 
 
 
 
Часть 2    Молекулярная физика 
 
 
 
Введение 
 
 
Молекулярная физика объединяет разделы: 
i)  Собственно молекулярная физика - представление о веществе с позиций 
молекулярно-кинетической теории 
ii) Физическая статистика – расчетный инструмент для изучения молеку-
лярной физики (математическая база) 
iii) Термодинамика - учение о тепловом движении 
iv) Физическая кинетика - изучение процессов движения молекул в веще-
стве (газах и твердых телах). (Две небольшие главы посвящены гидро-
динамике – изучению движения жидкости как континуальной субстан-
ции, а также строению и свойствам кристаллов). 
 
Основные понятия молекулярной физики - микрочастица и динами-
ческая система. Динамическая система представляет собой собрание мик-
рочастиц (в газе, твердом или, как говорят, конденсированном теле, жид-
кости)  молекул,  атомов,  ионов,  ядер  атомов,  нейтронов,  протонов, 
электронов,... . Однако, как правило частицы, о которых идет речь в моле-
кулярной  физике  не  заряжены  или  электромагнитным  взаимодействием 
между ними можно пренебречь. 
Атомистические  представления  впервые  зародились  в  эксперимен-
тальной химии. Сформулируем два положения: 
1. Общий вес, участвующих в химических реакциях веществ остается не-
изменным 
2. Вещества вступают в реакции в одних и тех же простых весовых отно-
шениях (Закон кратных отношений) 
Пример: 
 2 
части водорода + 16 частей кислорода = 18 частей воды (осталь-
ное, если оно и есть не востребуется) 
 109  
 

 
 
 
2Н2 + О2 = 2Н2О 
4     :   32 :    36 
1     :    8  :     9 
(2  :  16  :   18). 
Авогадро в 1811 г. предложил объяснение (для объемов реагирую-
щих веществ при нормальных условиях).  Любой газ состоит из огромного 
числа  частичек.  На  определенное  число  частичек  одного  сорта  при  их 
взаимодействии  требуется  вполне  определенное  число  частичек  другого 
сорта. Так, если, при соединении одной весовой части водорода с восемью 
весовыми частями кислорода, получается девять весовых частей воды, это 
может означать следующее: молекула кислорода в восемь раз тяжелее мо-
лекулы  водорода,  а  молекула  воды  в  девять  раз  тяжелее  молекулы водо-
рода. Так мы приходим к понятию молекулярного и атомного весов. Ве-
совую часть, приходящуюся на одну весовую часть водорода в отношении 
каждого атома называют грамм-атомом, а молекулы - грам-молем. Любой 
грамм-атом содержит такое же количество частиц как и один грамм-атом 
водорода в отношении каждого элемента периодической системы элемен-
тов из таблицы Менделеева. 
 
Au 197 
г/моль 
H 1 
г/моль 
C 12 
г/моль 
U235 235 
г/моль 
N2 (2×14) 
28 г/моль и так далее 
 
 
 
Таким образом, в одном моле вещества содержится одинаковое чис-
ло молекул и в одном грамм-атоме вещества содержится одинаковое чис-
ло  атомов.  Называют  это  число - числом  Авогадро  и  оно  равно    NA = 
6,02204 10 23 частиц/моль. Пользуются также иногда числом Лошмидта 
 
L0 = NA/VM = 6,02 1023/22,4 103  = 2,7 1019 частиц/cм-3  (1/моль 
 
где  VM = 22,4 л - объем  занимаемый  одним  молем  газа  при  нормальных 
условиях. Нормальные условия (н.у.): T = 273°K, p = 1 атм = 1,01 105 Па, 
VM = 22,4 л/моль = 22,4 дм3/моль = 22,4 103см3/моль = 22,4 10-3 м3/моль. С 
определенными оговорками указанные сведения годятся не только для га-
зов, но и для других веществ. 
 
 
 
 
 110 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Глава 1   Физическая статистика 
 
 
редмет  физической  статистики  составляет  изучение  за-
  Пкономерностей,  которым  подчиняются  поведение  и 
свойства  тел,  состоящих  из  колоссального  количества 
отдельных  частиц - атомов  и  молекул.  Тело - суть  совокупность  частиц, 
составляющих  газ,  жидкость  или  твердое  тело.  Тело  в  данном  случае 
представляется  системой  динамической,  чем  подчеркивается  внутреннее 
непрерывное движение, составляющих тело частиц. 
 
Динамическая система 
 
1 частица  
2 частицы  
Колоссальное  количество 
-  ее  состояние  описы- -  задача  двух  тел.  Че- частиц. 
вается  законами  Нью- рез  приведенную  мас-  Даже  начальные  условия 
тона и задается началь- су  и  выбором  начала  для  каждой  частицы  не 
ными условиями 
отсчета  сводится  к  за- задать. Как быть? 
даче об одной частице 
 
 
В  макроскопическом  теле (динамической системе) устанавливается 
некое стационарное распределение частиц по энергиям, скоростям, коор-
динатам и т. д.. Можно предположить, что с течением времени количество 
частиц  имеющих  заданные  параметры  не  изменяется,  хотя  частицы  при 
этом  могут  поменяться  ролями,  но  так  как  все  частицы  предполагаются 
одинаковыми,  то  в  целом  картина  остается  неизменной.  Физическая  ста-
тистика  назначена  изучать  эти  стационарные  состояния  и  описывать  их 
аналитически с помощью формул. 
 
Один из основоположников статистической механики Джозайя Вил-
лард  Гиббс  в  работе 1902 года  “Основные  принципы  статистической 
механики,  изложенные  со  специальным  применением    к  рациональному 
 111 

 
 
обоснованию термодинамики” характеризует ситуацию в данной отрасли 
физики следующим образом. “Мы можем представить себе большое число 
систем  (частиц  С.М.)  одинаковой  природы,  но  различных  по  конфигура-
циям (координатам С.М.) и скоростям, которыми они обладают в данный 
момент и различных не только бесконечно мало, но и так, что охватывает-
ся  каждая  мыслимая  комбинация  конфигураций    и  скоростей.  При  этом 
мы  можем  поставить  себе  задачей,  не  рассматривать  прохождение  опре-
деленной  системы  через  всю  последовательность  ее  конфигураций,  а  ус-
тановить:  как  будет  распределено  все  число  систем  между  возможными 
различными  конфигурациями  и  скоростями  в  любой  требуемый  момент, 
если такое распределение было задано для какого-либо момента времени. 
Основным уравнением при таком исследовании является уравнение, даю-
щее  скорость  изменения  числа  систем,  заключенных  внутри  определен-
ных малых границ конфигурации и скорости”. 
 
Выделим  из  отрывка  две  основные  мысли.  Во-первых  в  приведен-
ном  отрывке  ставится  задача  статистической  механики - установить  как 
распределено  число  систем  между  различными  возможными  конфигура-
циями и скоростями (число частиц по координатам и скоростям).  И  более 
конкретно.  Получить  уравнения,  дающие  скорость  изменения  числа  сис-
тем, заключенных внутри малых границ конфигураций и скоростей.  
 
Следует иметь в виду, что состояния микроскопических параметров 
определяют  значения  макроскопических  величин,  с  которыми  мы  при-
выкли иметь дело в обычной практике: давлением, плотностью, темпера-
турой,  концентрацией,  объемом,  напряженностью  электрического  и  маг-
нитного  полей  и  т.д.  С  молекулярных  позиций  физические  величины, 
встречающиеся  в  термодинамике,  как  и  в  любом  другом  разделе  макро-
скопической  физики,  имеют  смысл  средних  значений,  которые  принима-
ют при определенных условиях какие-либо функции макросостояния дан-
ной системы (давление и т.д.).  
Прежде,  чем обратиться к конкретным видам распределений физи-
ческих величин остановимся на определении понятий вероятности и плот-
ности вероятности. 
 
 
§ 1 Вероятность. Частотное определение вероятности. Свойства вероятно-
сти 
 
 
Между специалистами и статистиками нет согласия об определении 
вероятности.  Строгая  логика  позволяет  несколько  способов  формулиро-
вок. “Выбор - дело  вкуса” - Д.  Худсон.  Такой  тезис  обуславливает  по-
 112 

 
 
строение изложения в виде сводки определений вероятности. Для удобст-
ва определения пронумерованы. 
 
1.  В источнике оно названо априорным или изначальным 
 
 
Вероятность  случайного  события  (состояния)  есть  количественная 
мера ожидаемой возможности его появления 
 
2.  Субъективное определение 
 
 
Вероятность того, что событие произошло или произойдет, служит 
иногда мерой нашей уверенности в происходящем 
 
3.  Так называемое КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 
 
 
Вероятностью  появления  события  А    называют  отношение  числа, 
благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех един-
ственно возможных и равновозможных элементарных исходов испытания. 
Равновозможные - ни одно из событий не является более или менее воз-
можным, чем другие. 
Единственно возможные -  реализуется из нескольких одно событие, они 
же несовместные. 
Элементарное - каждое событие, которое может наступить в испытании. 
Предложена критика классического определения вероятности:  
i)  Ограниченность - число  элементарных  испытаний  предполагается  ко-
нечным 
ii) Часто на практике невозможно представить результат испытания в виде 
элементарного события 
iii) Элементарные события нельзя считать равновозможными (так, неиде-
альны грани игральной кости). 
 
 
Запишем определение аналитически 
 
P(Ai) = mi/(m1 + m2 + ...) = mi / ∑mj 
 
Ai - событие (данное, i-тое) 
mi - число, благоприятствующих этому событию исходов 
mj - все исходы, включая i-тые 
P(Ai) - вероятность события A, P - Probability 
 
4.  Комбинаторное определение 
 
 113 

 
 
 
Событие может приводить к  N  равновозможным исходам. Если в  
n  случаях обнаруживается признак  A  , то вероятность  A  есть  n/N  (рас-
чет числа комбинаций). 
 
5.  Статистическое определение вероятности 
 
 
Относительная  частота  (появления  события)  или  число  близкое  к 
ней. 
 
6.  Современное определение, основанное на понятии меры 
 
 
Пусть Ω- пространство (множество) Ф - пустое пространство, а е1,е2, 
... - элементы пространства Ω.  
Если Р(Ω) = 1 и Р(А∪В) = Р(А) + Р(В), где множества  А  и  В  не имеют 
общих элементов, то тогда  Р  есть неотрицательная мера называемая ве-
роятностью со свойством Р(Ф) = 0. 
 
7.  Частотное определение 
 
Р (А) = lim n/N 
(N → ∞) 
 
 
За  вероятность  совершения  события  (реализации  состояния)  А  
принимается предел отношения числа случаев  n , в которых совершается 
данное  событие  (состояние)  к  числу  всевозможных  событий  (состояний)  
N , которые могут совершиться в данном эксперименте при  N → ∞ . 
Пример: выпадение цифры  6  на игральной кости 
 
N ≥ 10 3,  P(6) = 1/6 
 
8.  Интерпретация  вероятности,  применяющаяся  в  физике  (разновидность 
частотного определения). 
 
P = lim (t i / t) 
 (t → ∞) 
 
Вероятностью для некоторой системы находиться в течение време-
ни ti   в некотором определенном состоянии называется предел отношения 
этого промежутка времени  ti  ко всему времени наблюдения за системой. 
Пример: вероятность для некоторого газа иметь параметры Vi, Pi, Ti. 
 
Если измерять одновременно долгое время  V,P,T  и при этом опре-
делить  промежуток  времени    ti , в течение которого  V,P,T  будут иметь 
 114 

 
 
значения  Vi, Pi, Ti, то таким образом можно определить искомую вероят-
ность (практически это достигается путем непосредственных измерений). 
 
Свойства вероятности 
1.  Вероятность реализации всех возможных состояний системы рав-
на  1 . 
2.  Вероятность не реализуемого состояния равна  0 . 
3.  Вероятность случайного состояния заключена между  0  и  1. 
4.  Вероятность  реализации  двух  или  нескольких  состояний  (собы-
тий)  обязательно  не  совместных  в  одном  эксперименте  равна 
сумме вероятностей этих состояний (событий). 
Так,  вероятность  появления  либо    1,  либо    6    в  одном  броске  игральной 
кости равна 
1/6 + 1/6 = 1/3 
 
5.  Вероятность  произведения 
(пересечения)  или  совмест-
ной  реализации  двух  или 
нескольких  состояний  (со-
бытий)  равна  произведению 
вероятности  одного  из  них 
на  условные  вероятности 
остальных,  вычисленных  в 
предположении, что все предыдущие уже имели место. 
Я кинул игральную кость - выпало  6 . При повторном броске опять хочу 
получить  6 . Эта вероятность равна: 
 
1/6·1/6 = 1/36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 115 

 
 
 
§ 2 Статистический вес 
 
 
Рассмотрим более подробно вариант, когда данное состояние реали-
зуется двумя или более способами. При бросании двух игральных костей 
одновременно возможно выпадение следующих сумм - 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 
10, 11, 12. При этом они могут реализовываться разными способами. Со-
ставим таблицу 
 
 
Событие  или  состоя- Способы,  которыми  со- Число  Веро-
ние  (сумма,  состав- ставляется данная сумма 
спо-
ятность 
ленная  из  цифр  двух 
собов 
граней игральной кос-
ти) 
2 1+1  1 
1/36 
3 1+2,2+1 

2/36 
4 1+3,2+2,3+1 

3/36 
5 1+4,2+3,3+2,4+1 

4/36 
6 1+5,2+4,3+3,4+2,5+1, 5 5/36 
7 1+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+1, 6 
6/36 
8 2+6,3+5,4+4,5+3,6+2 5 5/36 
9 3+6,4+5,5+4,6+3, 

4/36 
10 4+6,5+5,6+4 

3/36 
11 5+6,6+5 

2/36 
12 6+6  1 
1/36 
Итого  
36 

 
 
Определение 
 
Статистическим  весом  называется  число  способов,  которым  может 
быть реализовано данное состояние. 
 
 
§ 3 Дискретные и непрерывные распределения вероятностей 
 
 
 
Пусть имеем  N  штук однотипных измерений некоторой величины  
а. При измерении: 
 
 116 

 
 
в  n1 случаях она оказалась равной - a1 
в  n2 случаях                                     - a2 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
в  ni  случаях                                     - ai 
 
При этом  n1 + n2 + ... = N - полному числу измерений, тогда среднее зна-
чение с весом величины  a  по определению есть 
 
<a> = (n1a1 + n2a2 + ... )/N = ν1a1 + ν2a2 + ... . 
 
Здесь νi = ni/N - частота появления (или весовые части) значения  ai  изме-
ряемой  величины a . По  некоторым  определениям  такие  отношения  есть 
вероятности 
 
P = ni /N ( или иначе  lim ni/N при  N → ∞). 
 
Определим математическое ожидание случайной величины как пре-
дел, к которому стремиться среднее значение с весом случайной величины  
a  при неограниченном возрастании числа измерений (N → ∞). Поскольку 
 
lim νi = pi (при N → ∞), то 
 
lim<a> = p1a1 + p2a2 + ... = M(a) (при N → ∞). 
 
 
Если события (значения случайной величины) распределены непре-
рывным  образом,  то  и  вероятность  надо  рассматривать  как  непрерывно 
распределенную величину. Тогда имеем промежуток  a, a+da, внутри ко-
торого заключено бесконечно малое значение случайной величины - da . 
Вероятность того, что случайная величина примет значения внутри этого 
промежутка пропорциональна самой величине этого промежутка 
 
dP ∼ da  и  dP = ρ(a) da, 
 
где ρ(а) - некая  функция  а  такая, что 
 
ρ(a) =dP/da, ∫ρ(a) da = 1 (интегрирование проводится по всем возможным 
значениям  a)  и  [ρ(a)] = [da]-1, то есть их размерности взаимно обратны, 
так как сама вероятность по определению - величина безразмерная. 
 
Известно, что простое среднее арифметическое равно 
 
<a> = ∑ ai/N. 
 
 117 

 
 
Так называемое среднее с весом 
 
<a> = a1n1 + a2n2 + ... aini + ... + aNnN)/N = ∑ aini/ ∑ni = (: N) =  ∑νiai/∑νi 
 
где ∑ ni = N, a  ∑ νi = 1, νi - так называемые статистические веса. Среднее 
для непрерывно распределенной величины по аналогии запишется в виде 
 
<a> = ∫ ρ(a) a da / ∫ ρ(a) da =  
 
(при интегрировании по всем возможным значениям  a) 
 
 = ∫ ρ(a) a da, так как при этом  ∫ ρ(a) da = 1 
 
 
Графически  зависимость  плотности  вероятности  от  значений  слу-
чайной величины может быть представлена в  виде, например 
 
  ρ(a)                            ρ(a)da=dP
 
 
 
 
 
 
 
                 a
 
1     a2        da           a
 
 
 Возможные пределы интегрирования: 
          +∞     ∞     a2 
          ∫   ,      ∫   ,   ∫ ,  и т.д. 
         -∞        0     a1 
 
 
 
 
§ 4 Применение статистических методов к системе молекул 
 
 
Любое  макроскопическое  состояние  подсистемы  (части  рассматри-
ваемой системы) можно представить как случайное событие, зависящее от  
6 N  переменных 
 
 118 

 
 
x1 ... x N                                                    p x1 ... p xN 
y1 ... y N    3N координат         p y1 ... p yN    3N импульсов  
z1 ... z N                                   p z1 ... p zN 
 
Переобозначим координаты и импульсы однообразно и подряд 
 
q1, ... q 3N,  p 1 ... p3N., тогда dΓ = dq1 ... dp3N.  
 
 
dГ – суть элемент объема в  6N - мерном пространстве (координат и им-
пульсов). Тогда, по аналогии можно записать, учитывая, что обобщенные 
координаты  суть  случайные  величины,  распределенные  практически  не-
прерывно 
 
dP = ρ dΓ, а P = ∫ ρ dΓ. 
 
Интегрирование  можно  проводить  по  конечному  объему    ∆Γ    данного 
пространства. Если проинтегрировать по всему объему ( по всем возмож-
ным состояниям координат и импульсов), то 
 
                    ∫ ρ dΓ = 1. 
(По всем состояниям) 
Любая  макроскопическая  величина, характеризующая газ является функ-
цией этих  6N  переменных и времени. 
 
 
§ 5 Каноническое распределение 
 
 
 
Здесь мы имеем дело с двумя макроскопическими системами  A  и  
A′.  A′ называют термостатом, A - подсистемой. 
 
 
 
 119 

 
 
 Вместе  они  образуют  целую  систе-
му. Между  A  и  A′  возможны раз-
ные  варианты  взаимодействия,  на-
               A′          A
пример: 
 
1. A  -  замкнута  (системы  практиче-
ски  не  взаимодействуют  между 
собой), 
2. A - квазизамкнута (системы слабо 
взаимодействуют между собой), 
...и т.д.    -  возможны многие другие разнообразные способы их взаимо-
действия. 
 
Пусть  E′ - энергия системы  A′ , то есть термостата, E - энергия сис-
темы  A  то есть исследуемой подсистемы и  E* = E′ + E  (E′ = E* - E). 
 
5.1 Микроканоническое распределение 
 
 
Предположим, что  A  замкнута, ее энергия за все время наблюдения 
не  меняется  (вообще  говоря,  такой  система  может  быть,  например,  при 
абсолютном нуле температур). Заметим, что все состояния системы с за-
данной  энергией  равновероятны  (в  смысле  вероятности  данного  ее  со-
стояния). 
 
Микроканоническое  распределение  характеризуется  тем,  что  веро-
ятность  нахождения  замкнутой  подсистемы  в  одном  из  состояний  с  дан-
ной энергией пропорциональна кратности его вырождения, а говоря дру-
гими словами - статистическому весу, то есть числу способов, которыми 
может быть реализовано это состояние. 
 
Если при абсолютном нуле температур микросостояние реализуется 
всего одним способом, его статистический вес равен 1, то при любых дру-
гих  температурах  одно  и  то  же  макросостояние,  например,  энергия  под-
системы равная  E0 , может быть реализовано многими способами (точнее 
равными  двум  или  большими  двух),  которые  все  являются  равновероят-
ными. При этом справедлива следующая формула: 
 
ρ(E) = cst δ(E - E0),  
 
где ρ - плотность вероятности для энергии, а  δ - так называемая символи-
ческая дельта-функция Дирака 
 
δ = |(0 при E ≠ E0)  и  (∞ при E = E0) 
 
 120 

 
 
 
 
 
        ρ                      
 
 
 
 
 
                                                    E
 
                             E0
 
Эта  функция  математически  мо-
жет быть смоделирована разными способами, например 
 
                                                                         a 
δ(x) = lim[e-x/a/(aπ)1/2] = lim[Sin(ax)/πx] = lim[(∫ eixtdt)/2π],  
          a → ∞                   a → ∞             a → ∞ -a 
 
график иллюстрирует модель δ - функции. 
 
1
1
2
x
0.5
e
174
1.91517 10
.
0 20
0
20
20
x
20
 
 
 
 
δ-функция математически является не обычной, а символической функци-
ей. Она обладает следующими важными для нас свойствами. 
 
1.  δ(x) = 0 при x≠0 
2.  ∫δ(x)dx = 1 (при интегрировании по всему пространству, в данном слу-
чае от -∞ до +∞) 
3.  ∫ f(x) δ(x - x′)dx = f(x′) ⇒ ∫ f(x) δ(x)dx = f(0). 
 
 121 

 
 
5.2 Каноническое распределение Гиббса 
 
 
Пусть  A  квазизамкнута. A и A′  взаимодействуют. Подсистема  A 
находится  в  термостате    A′ . Взаимодействие  осуществляется  через  по-
верхность,  являющуюся  общей  границей,  причем  граница  условная,  так 
как система в целом состоит из одних и тех же частиц. Мы просто наблю-
даем за поведением подсистемы как части целостной системы. 
Характеристика распределения Гиббса: 
 
Распределение  Гиббса  описывает  распределение  вероятностей 
(иметь  ту  или  иную  энергию,  например)  различных  состояний  подсисте-
мы,  составляющей  малую,  квазинезависимую  часть  произвольной  систе-
мы (термостата), находящейся в состоянии статистического равновесия. 
(Если не учитывать, что вся система находится в состоянии равновесия, то  
рассуждения этого раздела теряют смысл.) При этом имеет место: 
 
ρ(E) = A e – E / kT, A - константа 
 
 
 
              ρ(E)
 
            A
 
 
 
 
                          асимптотически     
 
                                                       E
 
Вероятность 
получить 
от 
резервуара  (термостата,  среды)  большую  флуктуацию  энергии  для  под-
системы  уменьшается  экспоненциально  с  ростом  энергии  этой  флуктуа-
ции. 
 
Вообще  говоря,  ρ  есть  функция  фундаментальных  сохраняющихся 
величин: энергии, компанентов импульса и момента импульса как векто-
ров,  однако  выбором  системы  отсчета  можно  исключить  зависимость  от 
импульсов и моментов импульсов. Рассмотрение вероятностного характе-
ра энергии, как наиболее фундаментальной физической величины, имеют 
достаточно общий характер. 
 Распределение  Гиббса  можно  получить,  путем  следующего  рассу-
ждения. 
 Пусть Ω0 (E* - E)  и  Ω(E) - статистические веса термостата и под-
системы  (это  числа).  Тогда  вероятность  иметь  данное  состояние  (по  от-
ношению  к  энергии  в  данном  случае)  пропорциональна  произведению 
 122 

 
 
статистических весов (так как они взаимодействуют) по свойству вероят-
ности 
 
P ∼ Ω0(E* - E) Ω(E).  (1) 
 
Представим через экспоненту статистический вес термостата.  
 
Ω 0 (E* - E) = e σ (E*-E),   
 
Произведем разложение в ряд 
 
σ(E*- E) = σ(E*) – E ∂σ/∂E + ... ≈ σ - E/θ, θ = (∂σ/∂E)-1 ⇒ 
 
Ω0(E* - E) ≈ eσ e -E / θ,  
 
Введем дополнительную константу и произведем замену, имеем (см.(1)) 
 
Pn = cst eσ e –E n / θ Ω(En)  (n → ∞ ⇒ dPE = ρ(E)dΓ).  
 
Пусть θ = kT, cst=A 
 
ρ(E) = A e -E / kT. 
 
Резюме: 
i)  Микроканоническое распределение - эквивалент признания равноверо-
ятными всех микросостояний данного тела 
ii) В  каноническом  распределении  содержится  утверждение  о  том,  что 
среда  не  стремиться  передать  свою  энергию  телу  так,  чтобы  энергия 
этого  тела  возрастала  до  максимально  возможного  значения  (но  слу-
чайные флуктуации энергии всегда возможны и подчиняются экспонен-
те). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 123 

 
 
 
Глава 2   Статистические распределения физических величин 
 
 
 
§ 1 Распределения Максвелла по импульсам, скоростям и энергиям 
 
 
усть  p  и  q - обобщенные импульсы и координаты, тогда ве-
Проятность, (например, для частиц газа) иметь импульсы и ко-
ординаты в заданных границах равна 
 
dPp, q = A e –E (p, q) / kTdpdq.  (1) 
 
E - полная энергия частицы из числа частиц составляющих тело. Ее можно 
представить как сумму кинетической и потенциальной составляющих 
 
E(p, q) = E k(p) + E п(q) ,  
 
причем E k зависит только от импульсов, E п зависит только от координат.  
Если  произведение  обобщенных  импульсов  и  координат  есть  элемент 
объема фазового пространства, то правую часть канонического распреде-
ления  можно  представить  в  виде  произведения  двух  сомножителей    по 
свойству пересечения вероятностей. 
 
Пусть,  кроме  того,  кинетическая  и  потенциальная  составляющие 
энергии  взаимно  независимы,  что  очень  хорошо  реализуется  для  сильно 
разряженных газов и вполне удовлетворительно при нормальных услови-
ях (p = 105 Па, T = 273K), тогда вероятности можно перемножать. 
 
dPq,p = A e –Eк /kT e –Eп /kT dpdq = a e –Eк /kT b e –Eп /kT dpdq, A = ab 
 
dPp = a e –E к / kT dp, dPq = b e –E п / kTdq. 
 
Перейдем к реальному трехмерному пространству. Далее в случае распре-
деления Максвелла рассмотрим кинетическую составляющую энергии. 
 
 
 
 
 
 124 

 
 
1.1 Плотность распределения по векторам импульсов 
 
 
E
2
2
2
к = mv2/2 = m2v2/2m = p2/2m = (px  + py  + pz )/2m 
 
dP
2
2
2
p = a exp[-(1/kT2m)(px  + py  + pz )]dpxdpydpz. 
 
 
dp = dpxdpydpz - элемент  объема  в  пространстве  импульсов.  Мы  изучаем 
вероятность для частиц - иметь тот или иной импульс или вероятность то-
го, что некоторая доля частиц обладает импульсом в заданных пределах. 
Применим условие нормировки, чтобы найти вид плотности вероятности 
 
 
P = ∫ ρdΓ(по всем состояниям)=1 ⇒  
 
          + ∞ 
P
2
2
2
p = a ∫∫∫exp[(- 1 / kT2m) (px  + py  + pz )] dpxdpydpz . 
-  ∞ 
-  
Интегрирование    проводится  по  каждой  компоненте  импульса  от - ∞  до 
+∞. Так как интегралы независимы и численно равны друг другу (три вза-
имно  перпендикулярных  направления  для  импульсов  статистически  рав-
ноправны), то можно записать 
 
P
2
p = a[∫ exp(- pi /kT2m) dpi]3.  (- ∞, +∞), i = x,y или z. 
 
Воспользуемся табличным интегралом вида   
 
 ∫ exp(-αx2)dx = (-∞, +∞) = (π/α)-1/2. У нас  α = (kT2m)-1, тогда 
 
a(πkT2m) 3/2 = 1 ⇒ a = (2πkTm) - 3/2 ⇒ 
 
 dPp = (2πmkT)-3/2 exp(-p2/2mkT) dp
 
Окончательно для плотности распределения по векторам импульсов име-
ем 
 
ρp  = (2πmkT) - 3/2 exp(-p2/2mkT). 
 
 
 125 

 
 
1.2 Плотность распределения по векторам скоростей 
 
 
 
Выразим импульсы явно через скорости 
 
pi = mvi, p2 = m2v2 ⇒ 
 
 dP
2
2
2
v = a exp[(-m(vx  +vy  +vz )/2kT)] m3dvxdvydvz. 
 
a′ = a m3 = (2πmkT) -3/2 m3 = (2πkT/m) -3/2, 
 
dPv = (2πkT/m)-3/2exp(-mv2/2kT)dv   dv = dvxdvydvz. 
 
Окончательно для плотности распределения по векторам скоростей имеем 
 
ρv = (2πkT/m)-3/2 exp(-mv2/2kT). 
 
 
1.3 Плотность распределения для компонентов скорости  vx, vy, vz 
 
 
 
Считаем компоненты скорости взаимно независимыми, а поскольку 
вклад каждой скорости в вектор скорости одинаков (статистически равно-
вероятен), то для одной компоненты справедливо 
 
 
(2πkT/m) -3/2 → замена → (2πkT/m) -1/2. 
 
Здесь  использовано  свойство  пересечения  вероятностей  взаимно  незави-
симых событий, тогда 
 
 
dP
2
i = (2πkT/m)-1/2 exp(-vi m/2kT) dvi     i = x,y или z. 
 
 
Для плотности распределения по компонентам скоростей имеем 
 
ρ
2
vi = (2πkT/m)-1/2 exp (-mvi /2kT). 
 
 
 126 

 
 
1.4  Плотность распределения для модуля скорости 
 
 
 
Воспользуемся формулой 
 
dPv = (2πkT/m)-3/2 exp(-mv2/2kT) dvxdvydvz. 
 
Вместо  элемента  объема  в  пространстве  скоростей  декартовой  системы 
координат перейдем к элементу объема в сферических координатах, кото-
рые содержат в качестве одной из компонент модуль скорости  v , и про-
интегрируем по другим компонентам – углам:  полярному ϕ  и азимуталь-
ному θ, чтобы исключить их из дальнейшего рассмотрения. 
 
Отступление: сферические координаты, связь с ДСК 
                Z
    
x = ρSinθCosϕ 
y = ρSinθSinϕ 
                             ρ
z = ρCosθ 
                    θ
 
                                                      y
 
                  ϕ
 
    x
 
 
 
                                    dρ
 
 
                           dθ
 
                                    ρ
 
               θ
 
 
 
             ϕ         dϕ
 
 
 
 
 
 127 

 
 
 
    dθ
 
                              dρ                 ρdθ
 
 
 
 ρdθ
 
           
                     dρ               ρ Sinθ dθ
 
 
 
 
Криволинейный параллелепипед представляет собой элемент объема   
dV в сферической системе координат. Чтобы перейти в пространство ско-
ростей, делаем формальную замену  ρ  →  v 
 
dV = v2(Sinθ) dv dϕ dθ, 
 
тогда 
 
dPv = (m/2πkT)3/2 exp(-mv2/2kT)v2(Sinθ) dv dϕ dθ. 
 
Интегралы по углам вычисляются в пределах 
ϕ :  от  0  до  2π, а  θ :  от  0  до  π 
 
 2π             π                           π 
  ∫dϕ = 2π;  ∫ (Sinθ) dθ = -Cosθ | = - (-1-1) = 2 
 0               0                            0  
 
dPv = (m/2πkT)3/2 exp(-mv2/2kT) v2 4π dv. 
 
 Чтобы  получить  плотность  распределения  по  модулям  импульсов  умно-
жим и разделим это выражение (и показатель экспоненты в нем) на массу  
m . (Предлагается вычислить самостоятельно). Имеем 
 
dPp = (m/2πkT)3/2 exp(-p2/2mkT)(4πp2/m3) dp =  
 
= (2πmkT) -3/2exp(-p2/2mkT) 4πp2 dp. 
 
Для плотностей вероятности по модулям скоростей и импульсов имеем 
 
ρv = (m/2πkT)3/2 exp(-mv2/2kT) v2 4π, 
 
 128 

 
 
ρp = (2πmkT)-3/2 exp(-p2/2mkT) p2 4π. 
 
 
1.5 Плотность распределения для энергии 
 
 
Формулу  плотности  вероятности  для  энергии,  ε,  можно  получить 
как  из  распределения  для  модуля  скорости,  так  и  для  модуля  импульса. 
При этом необходимо использовать формулу для вероятности. Воспользу-
емся формулой вероятности для модулей импульсов. 
 
ε = p2/2m ⇒ p2 = 2mε ⇒ 2p dp = 2m dε ⇒ dp = mdε/(2mε)1/2 
 
dPε = 4π (2πkT)-3/2 m-3/2 e-ε/kT 2mε[mdε/(2mε)1/2] = 
 
= (2/π1/2)(kT)-3/2 e-ε/kTε1/2dε. 
 
ρε = (2/π1/2) (kT)-3/2 e-ε/kT ε1/2. 
1.6  Анализ  результатов  для  плотностей  вероятности  модулей  скоро-
сти, импульса и энергии 
 
 
Расчетное  задание  для  студентов.  Построение  графиков  зависимо-
сти плотности вероятности для скорости и энергии. Для удобства расчетов 
формулы приведены к условно безразмерным единицам. 
 
ρv = exp(-v2/T) v2  и  ρε = exp(-ε) ε1/2  
 
(v,ε) = x = 0 - 3 c шагом 0,1. T =  0,5; 1 и 2. 
0.65 0.6
2
x
2
e
x
.
2
x
0.4
0.5 2
e
x
.
x
e
. x
x
0.2
2
e
. x
0
0 0
2
4
0
x
5
 
 129 

 
 
 
0.5
0.4
2
x
2
x
e
0.2
2
x
2
e
x
.
0
0 0
1
2
3
0
x
3
 
 
 
 
График плотности распределения для скорости формируется из экспонен-
циального спада и квадратичной зависимости. 
 Найдем  среднюю  арифметическую  скорость  идеального  газа  по 
формуле 
 
 
          ∞ 
<v> = ∫v ρ v dv 
          0 
 
 
                                        ∞  
      <v> = 4π (m/2πkT)3/2 ∫exp(-mv2/2kT)v2vdv. 
                                        0 
 
Вычислим заблаговременно интеграл 
         ∞                                                             ∞ 
        ∫exp(-mv2/2kT)v2d(v2/2) = (1/2)(2kT/m)2 ∫ e-y y dy = (1/2) (2kT/m)2 
        0                                                             0 
 
                                                                                     ∞  
При преобразованиях использованы: mv2/2kT = y,   ∫e-y y dy = 1 
                                                                                     0  
 
 
<v> =4π (m/2πkT)3/2(1/2) (2kT/m)2 = (8kT/πm)1/2.  
 
 
 130 

 
 
 
Найдем наиболее вероятную скорость (как экстремум функции) 
 
d(ρv)/dv = d[4π(m/2πkT)3/2 v2 exp(-mv2/2kT)]/dv =  
 
= 4π(m/2πkT)3/2[2v exp(-mv2/2kT) + v2(-mv/kT) exp(-mv2/2kT)] =0. 
 
С  этого  момента    v    приобретает  статус  наиболее  вероятной  скорости - 
vвер.  
 
2 = v 2
2
вер m/kT ⇒ vвер  = 2kT/m 
 
vвер = (2kT/m)1/2. 
 
 
Выпишем, не вычисляя, среднеквадратичную скорость, <v2> 
 
           ∞ 
<v2> = ∫ ρv v2dv 
           0 
 
√<v2> = (3kT/m)1/2. 
 
Замечание:  при  расчетах  удобнее  пользоваться  отношением    k/m  =  R/M, 
где k - постоянная Больцмана (рассчитанная на одну частицу), m - масса 
одной  частицы  (атома,  молекулы), R - газовая  постоянная  (рассчитанная 
на один моль частиц), M - масса одного моля частиц. 
 
График  для  энергии  формируется из экспоненциального спада (без 
квадрата в экспоненте) и корневой зависимости от энергии 
 
0.7
x
e
0.5
x
x
e
. x
0
0 0
1
2
3
0
x
3
 
 
 
 
 131 

 
 
 
Найдем наиболее вероятную энергию 
 
d(e -ε/kT√ε)/dε = e-ε/kT/2√ε - e -ε/kT√ε/kT = 0, 
 
с этого момента  ε  приобретает статус наиболее вероятной энергии, εвер 
 
1/(2√εвер) = √εвер/kT ⇒ εвер= kT/2. 
 
Замечание:  
 
ε
2
вер′ = mvвер /2 = (m/2)(2kT/m) = kT ≠ εвер. 
 
 
Расчет средней энергии. Имеем 
 
                             ∞ 
                  <ε> =  ∫(2 /√π)(kT)-3/2 e -ε/kTε √ε dε. 
                             0 
∞ 
∫ e -ε /kT ε3/2 dε = (сделаем замену переменной ε = x2) =  

       ∞      
 = 2 ∫exp(-x2/kT)x4dx. 
      0 
  
Получился интеграл вида 
      ∞ 
In = ∫ exp(-αx2) xn dx 
      0 
 
О нем известно, что 
 
I0 = (π/α)1/2/2,  In = [(n-1)/2α] In-2, (рекурентное соотношение) ⇒  
 
I4 = (3/2α) I2 = (3/2α)(1/2α) I0 = = (3/2α) (1/2α) [(π/α)1/2/2],   α = 1/kT. 
 
2I4 = (¾) (kT)5/2√π ⇒  <ε> = (2/√π)(kT)-3/2 2I4 = (2/√π)(kT)-3/2 (¾) (kT)5/2√π  
⇒ 
 <ε> =  3kT/2. 
 
 
 132 

 
 
§ 2 Распределение Больцмана 
 
 
 
Рассмотрим вторую составляющую полной энергии в каноническом 
распределении Гиббса, содержащую потенциальную энергию. Для нее 
 
dPq = b exp[-Wп (q) /kT] 
 
Вспомним, что  Wп (q) - энергия частиц находящихся во внешнем поле, а  
q  - обобщенная координата. 
 
Рассмотрим  газ,  находящийся  во  внешнем  (гравитационном)  поле. 
Потенциальная энергия такого, идеального, или близкого идеальному, га-
за есть функция только координат. Заменим обобщенную координату -  на 
декартовы координаты 
 
dq = dxdydz = dv. 
 
Согласно частотному определению вероятности 
 
dP = dN/N, 
 
что хорошо выполняется при больших  N, тогда 
 
dN = N b exp(-Wп[(x,y,z)/kT] dv 
 
Пусть dN/dv = n - концентрация  молекул, Nb = n0 - некая исходная кон-
центрация  молекул, Wп ≡ U, тогда 
 
n = n0 e -U(x,y,z) / kT. 
 
 
Пример: молекулы в поле тяжести Земли 
 
U = mgz,  z - высота над поверхностью Земли 
 
n(z) = n0 e – mgz /kT, z = 0 ⇒ n = n0. 
 
Часто  распределения    Максвелла-Больцмана    не  разъединяют,  но  пишут 
вместе 
 133 

 
 
dN = N0 A exp(- U - mv2/2 ) dvxdvydvz dxdydz,  A = (m/2πkT)3/2. 
 
§ 3 Биномиальное распределение 
 
Существует физически важная задача. Идеальная система состоит из  
N  спинов и находится во внешнем магнитном поле. Такая задача может 
быть сведена к задачам типа:  чет-нечет, верх-низ, белое - черное, 0 - 1, ... 
и т.д. 
 
 
 
 
 
 
                  по                   против
 
                полю                  поля
 
 
 
 
Ставим нашу задачу. Пусть p - вероятность для спина быть направленным 
вверх,  тогда q - вероятность  для  спина  быть направленным вниз. Какова 
вероятность P(n) того, что  n  штук из общего числа  N  спинов направле-
ны вверх. То есть, определим вероятность конфигурации спинов, в кото-
рой  n  из них направлено вверх, а  N - n  - вниз. Запишем 
 
p...pq...q = pnqN-n  
 
-  один  из  способов,  при  котором  спины  располагаются в актуальном по-
рядке.  Достаточно  любые два  спина из числа  n  поменять местами, то 
появится  (реализуется)  еще  один  способ  достичь  того  же  состояния  в 
смысле его вероятности. Полное число таких способов равно числу соче-
таний из  N  по  n , тогда 
 
P(n) = CnN pnqN-n = [N!/n!(N-n)!] pnqN-n. 
 
Полученное выражение называют биномиальным распределением. 
 134 

 
 
 
О сочетаниях. 
 Число сочетаний  CnN  из  N  элементов по  n в каждой группе  озна-
чает возможность составить группы по  n  элементов в каждой, не обра-
щая внимания на порядок элементов в группах CnN = N!/n!(N-n)!. Напри-
мер: 
 
C23: (1,2,3) ⇒ 12,23,13 - три группы по два элемента в каждой 
C23 = 3!/2!1! = 3 
Cnn = n!/n!0! = 1,  0!≡1, используют также запись  (Nn) ≡ CNn 
 
Пример 1 
 
p=q=1/2, N=4 
 
P(n) = Cn4 (1/2) 4 
 
n=0, P(0) = C04(1/2)4 = 4!/0!4!16 = 1/16 
 
n=1, P(1) = C14(1/2)4 = 4!/1!3!16 = 4/16 
 
n=2, P(2) = C24(1/2)4 = 4!/2!2!16 = 6/16 
 
n=3, P(3) = C34(1/2)4 = 4!/3!1!16 = 4/16 
 
n=4, P(3) = C44 (1/2)4 = 4!/4!0!16 = 1/16 
 
  
0.5
 
0.4
 
dbinom ( n , N, p )
 
0.2
 
 
0
0
2
4
 
0
n
5
 
 
 
 
Пример 2 
 
p = 1/3, q = 2/3, N = 4 
 
 135 

 
 
P(n) = Cn4 (1/3)n(2/3)4-n 
 
n = 0,  P(0) = (4!/0!4!) 16/81 = 16/81 
 
n = 1,  P(1) =  (4!/1!3!)  8/81 = 32/81 
 
n = 2,  P(2) = (4!/2!2!) 4/81 = 24/81 
 
n = 3,  P(3) = (4!/3!1!) 2/81 = 8/81 
 
n = 4,  P(4) = (4!/4!0!) 1/81 = 1/81 
 
  
0.5
 
0.4
 
dbinom ( n , N, p )
 
0.2
 
 
0
0 0
2
4
 
0
n
5
 
 
 
 
 
 
§ 4 Распределение Гаусса (нормальное распределение) 
 
 
 
Биномиальное  распределение  сугубо  дискретное  и  плотность  веро-
ятности в континуальном смысле для него не записать. В пределе, при  N 
→ ∞ , можно показать, что оно переходит в другое распределение так на-
зываемое нормальное распределение. 
 
Итак, имеем 
 
P(n) = [N!/n!(N-n)!] pnqN-n        (1) 
 
Пусть  n′  - число, при котором  вероятность  P(n′) принимает максималь-
ное  значение.  Чтобы  его  найти,  необходимо  вычислить  производную  от 
P(n)  по  n  и приравнять ее к нулю. Пусть, кроме того, при  n >> n′  и  при  
n << n′  - P(n) становиться пренебрежимо малой. То есть, здесь исследу-
 136 

 
 
ются свойства  P(n)  при   n  актуально близких к  n′. Вычислим логарифм 
от обеих частей  (1) 
 
lnP = lnN! - lnn! - ln(N-n)! + nlnp + (N-n)lnq      (2) 
 
n  - квази непрерывны, используем условие максимума 
 
dP/dn = 0 ⇔ dlnP/dn = dP/Pdn = 0. 
 
Используем одно из приближений формулы Стирлинга 
 
lnn! = nlnn - n + (½)ln(2πn), n>>lnn ⇒ 
 
⇒ lnn! = nlnn - n. 
 
Тогда 
 
d(lnn!)/dn = d(nlnn - n)/dn ≅ lnn 
 
dln(N - n)!/dn  ≅ - ln(N - n). 
 
Из  (2)  имеем 
 
d(lnP)/dn = - lnn + ln(N -n) + lnp - lnq = 0          (3) 
 
ln[p(N - n)/nq] = 0 ⇒ p (N – n )/nq = 1, p (N - n) = nq ⇒ pN = n(p + q), 
 
а так как  p + q =1, а  n  обращает исследуемую функцию в  0 , то есть  n = 
n′, то следовательно 
 
n = n′ = pN      (4) 
 
Продолжая  исследование  биномиального  распределения  около    n  ≅  n′    и 
при  N → ∞ , разложим   lnP(n)  в ряд Тейлора в точке n′, чтобы получить 
актуальное приближение 
 
lnP(n) = lnP(n′) + (n - n′){d[lnP(n)]/dn}n=n′ +  
 
 + [(n - n′)2/2!]{d2[lnP(n)]/dn2}n=n′ + ... 
 
 137 

 
 
Второе слагаемое обращается в  0  по условию экстремума, а вторую про-
изводную второго порядка в третьем слагаемом раскроем с использовани-
ем уже имеющейся в (3) первой производной 
 
 d2[lnP(n)]/dn2 = d[-lnn + ln(N - n) + lnp - lnq]/dn = (-1/n) - 1/(N - n) =  
 
= - N/n(N - n) = ( n = n′ = Np) = - 1/pqN 
 
lnP(n) = lnP(n′) - (n - n′)2/2Npq 
 
P(n) = P(n′) exp[-(n - n′)2/2Npq],  
 
используем предельный переход и делаем замену  P(n′) → P′ 
 
dP = P′ exp[-(n - n′)2/2Npq] dn ⇒ ρn = P′ exp[-(n - n′)2/2Npq] 
 
пусть  n  принадлежит множеству целых положительных и отрицательных 
чисел. Воспользуемся нормировкой на единицу для вычисления коэффи-
циента P′ 
 
  ∞              ∞                                             ∞ 
  ∫ ρndn = P′∫ exp[-(n - n′)2/2Npq]dn = (I = ∫exp(-x2)dx) = √π) =  
 -∞             -∞                                            -∞ 
= P′(π2Npq)1/2 = 1 ⇒ P′ = (2πNpq)-1/2. 
 
ρn = (2πNpq)-1/2 exp[-(n - n′)2/2Npq. 
 
Можно показать путем интегрирования, что среднее значение <n> =  (без 
вывода, так как это достаточно очевидно) = n′, при котором вероятность 
имеет  максимум,  что  и  было  нами  ранее  показано  (формула (4)). Точно 
также  можно  получить  выражение  для  дисперсии  методом  нахождения 
среднего значения с помощью интегрирования (без вывода) D = <∆n2> = 
<(n - <n>)2> = Npq ⇒ ∆n = (Npq)1/2.Если теперь перейти к обозначениям 
применяемым обычно в литературе по физической статистике <n> = <x>, 
∆n = σ = (Npq)1/2, получим 
 
ρx = [(2π)-1/2/σ] exp[-(x - <x>)2/2σ2]. 
 
 
 138 

 
 
§ 5 Распределение Стьюдента 
 
 
Распределение Стьюдента описывает плотность вероятности значе-
ний средних арифметических, вычисленных по выборкам из  n  случайных 
отсчетов из нормально распределенной генеральной совокупности. 
 
Генеральная  совокупность - вся  совокупность  измеряемых  случай-
ных величин. 
 
Выборка - совокупность части случайно отобранных из генеральной 
совокупности величин. Например, 50 промежутков времени по  5  секунд 
каждый, измеряемые грубым и точным прибором, из всех возможных по-
лучаемых  значений,  нормально  распределенных  промежутков  времени - 
выборка.  
 
Утверждается следующее: 
 Если  при  нормально  распределенной  генеральной  совокупности  распре-
деление величины  t  равно 
 
t = (<x> - mx)/(√D/√n),  где 
 
<x>  и  M x - среднее арифметическое и математическое ожидание случай-
ной величины  xi, 
 
  D =σ2 =  < (xi - <x>)2> = [∑(xi - <x>)2]/(n -1),  
 
 то тогда  t  подчиняется распределению Стьюдента, плотность вероятно-
сти которого имеет вид: 
 
 
ρ(n-1)(t) = Γ(n/2)/{Γ[(n-1)/2][π(n-1)]1/2[1 + t2/(n-1)]-n/2}, 
 
 
Γ(n) = ∫ un-1e-udu - гамма функция    
 
 
 139 

 
 
График представляет плотность распределения Стьюдента при 
 n = 25 (распределение применяется для малого числа измерений 
n<30). 
0.4
0.4
Пример: 
 
Пусть  по  результатам  из-
dt( t , n )
0.2
мерений  необходимо  провести 
зависимость  y  от  x . Для каж-
дого  значения    xi    должно  быть 
7
2.949688 10
.
измерено  n  значений  yi , где  n  
5
0
5
7
t
7
может  оказаться  меньше  30 из-
мерений. Получится набор сред-
них  значений  игреков  для  каждого  соответствующего  им  значения  икс. 
Необходимо, чтобы они были распределены в соответствии с нормальным 
распределением Гаусса. 
 
      y
  
 
 
 
 
 
 
                      x
 
1         xi          x2       x
 
 
Из графика следует, что в результате многократных измерений  y(xi)  , об-
разуется полоса, а усреднение дает усредненную кривую внутри этой по-
лосы, что существенно ограничивает интерпретацию  кривой  y(x). Штри-
ховой  линией  внутри  полосы  показано,  что  внутри  этой  полосы  можно 
провести кривую произвольного вида. Повторим, что все сказанное спра-
ведливо в том случае, если игреки в зависимости от иксов будут распре-
делены по нормальному гауссову закону. 
 
Данное распределение было опубликовано в 1908 году  В. С. Россе-
том, который подписал свою статью псевдонимом 
 
Student.
 140 

 
 
 
 
 
 
 
Глава 3   Термодинамика 
 
 
Вместо вступления 
 
 
,V,T - три  параметра  состояния  газа,  которыми  можно  описать  со-
стояние данной массы газа. Масса тоже является параметром, а так-
Pже могут быть и другие параметры, тогда 
 
f (P,V,T) = 0 -  
 
уравнение, связывающее определенный набор параметров называют урав-
нением состояния. 
 
Для  одного  моля  идеального  газа,  а  на  практике  для  газа  слабо 
взаимодействующих молекул, атомов или ионов, для разряженного газа и 
даже отчасти для газа при нормальных условиях справедливо уравнение 
 
PV/T = cst, 
 
что  является  экспериментальным  фактом  и  называется  уравнением  со-
стояния идеального газа 
 
cst = R = 1,01 105 22,4 10-3/273 ≅ 8,3 Дж/К моль 
 
Так, для одного моля газа это уравнение пишут в виде 
 
PVµ = RT. 
 
Для произвольного количества молей, ν  так как vµ = V/ν  
 
PV = νRT, 
 
 141  
 

 
 
где  V  - произвольный  объем  газа.  Количество  молей  можно  выразить, 
как известно, и другими способами, например  ν = m/M, где  m - масса га-
за, а  M - масса одного моля газа, тогда 
 
PV = m R T/M. 
 
 
§ 1 Энтропия. Понятие и свойства 
 
 
 
Мы ранее определили статистический вес как число способов, кото-
рыми может быть реализовано данное состояние. Вероятность реализации 
данного состояния системы (например, идеального газа) пропорциональна 
его  статистическому  весу.  Пусть  система  представлена  двумя  подсисте-
мами со статистическими весами  Ω1  и  Ω2 , тогда число способов, кото-
рыми может быть реализовано состояние всей системы должно быть рав-
но произведению статистических весов  
 
Ω = Ω1Ω2       (1) 
 
по  свойству  пересечения  вероятностей.  Прологарифмируем  (1) и  умно-
жим на постоянную Больцмана 
 
lnΩ = lnΩ1 + lnΩ2       | ·k  ⇒  k lnΩ = S ⇒ S = S1 + S2. 
 
Определение 
 
Энтропией называется произведение логарифма числа способов, ко-
торыми  может  быть  реализовано  данное  состояние,  на  константу  Больц-
мана.  Тогда  с  одной  стороны  энтропия  аддитивна.  В  этом  состоит  фор-
мальное  удобство:  энтропию  можно  складывать,  а    Ω    нет.  С  другой 
стороны энтропия обладает свойствами 
1.  Энтропия равновесной системы максимальна 
2.  Изолированная  система,  будучи  предоставлена  самой  себе,  переходит 
из менее вероятных состояний в более вероятные, что сопровождается 
ростом энтропии (так как увеличивается число способов...). 
 
 142 

 
 
 
§ 2 Температура 
 
2.1 Температура как параметр равновесной системы 
 
 
 
Пусть нам дана замкнутая система, находящаяся в равновесии. Раз-
делим ее на две части 
 
 
 
Можно записать 
                                    2
 
                   1
S = S1 + S2,  U = U1 + U2. 
 
S - энтропия,  U - внутренняя  энергия,  определяе-
мая энергией всех частиц, составляющих систему. Так как энтропия явля-
ется функцией внутренней энергии  S = S(U), то 
 
∂S/∂U1 = ∂(S1 + S2)/∂U1 = ∂S1/∂U1 + (∂S2∂U2)(∂U2/∂U1) 
 
∂U2/∂U1 = ∂(U - U1)/∂U1 = -1 
 
Здесь  S2(U2(U1)), а  S = cst  и  U = cst, имеем 
 
∂S1/∂U1 = ∂S2/∂U2 = ... (справедливо для числа участков  > 2) = cst 
 
Поскольку  система  была  разделена  на  части  произвольно,  то  можно  ут-
верждать,  что  ∂S/∂U - есть  сохраняющаяся  величина  (при  постоянном 
объеме). Ее можно обозначить как 
 
(∂S/∂U)v = 1/T ⇒ (∂U/∂S)v = T, 
 
где  T  называют температурой. 
 
 
 143 

 
2.2 Термометрия 
 
 
Пусть  a - некий параметр системы, меняющийся с температурой, к 
примеру, линейно, тогда  T ∼ a или 
 
T = A·a 
 
Для того, чтобы определить значение константы  A  до 1954 года пользо-
вались двумя реперными точками, а именно 
 
T1 = 100°C - точка кипения воды и  
 
T2 = 0°C  -    точка плавления льда, имеем 
 
T1 = Aa1,  T2 = Aa2 ⇒ A = T1/a1 = T2/a2 
 
          T
A = (T2 - T1)/(a2 - a1). 
 
         T2
 
 
         T1
 
 
 
                       a
 
1             a2              a
 
С 1954 года  реперная  точка - тройная  точка  воды:  273,16°K (считется 
точной по определению). 
Очевидно,  что  существует  бесконечное  множество  эмпирических 
температурных шкал. Шкалы Цельсия и Кельвина являются наиболее рас-
пространенными. Один градус у них одинаковый. 
 
            °K                       °C
 
 
  373,16                     100
 
 
 
  273,16                       0
 
 
            0                    -273,16
 
 
Примеры различных видов наиболее распространенных термометров. 
 
 144 

 
i.  Объем  газа  (как  правило,  разряженного,  приближенного  к  идеальному 
газу) 
 
T = Av V   (T = 0, V ≠ 0 !?) 
 
Под абсолютным нулем температуры, мы будем понимать такую темпера-
туру,  при  которой  прекращается  движение  частиц  составляющих  тело. 
Однако, по современным представлениям это не означает, что полностью 
прекращается обмен между частицами (в частности сохраняется так назы-
ваемая нулевая энергия)) 
 
Газовые  термометры - вне  конкуренции  по  чувствительности,  точ-
ности и воспроизводимости. По ним градуируют остальные термометры. 
 
ii. Жидкостные термометры (по изменению объема) 
 
Вещество 
Диапазон температур 
 
°C 
Пентан 
- 200         +20 
Этиловый спирт 
- 110         +50 
Толуол 
- 70           +100 
Ртуть 
- 38,86      +600  
 
iii. Термометры электрического сопротивления (металлы и сплавы) 
 
T = Ar R 
 
В общем случае шкала нелинейная или близкая к линейной на отдельных 
участках 
 
Платина 
+ 10     до   + 1100 
Медь - 
253(жидкий H2)  до + 120 
 
Сверху естественной границей служит температура плавления металлов, а 
снизу - температура сверхпроводящего состояния. Ниже даны температу-
ры сжижения некоторых газов. 
 
 
 
Газ 
 
Гелий 
Водород  Азот 
Воздух 
Кислород 

°K 
   4,2 
   20 
  77 
    81 
     90 
 
 145 

 
 
                                   G
 
 
                      Rнагрузки
 
 +                                           A       _
 
 
                        V
        
 
 
 
 
          R
 
 
 
 
 
 
                                                  T
 
                 T
 
Сверхпроводимости
 
 
iv. Полупроводниковые термометры электрического сопротивления, R (их 
характеризует высокая чувствительность) 
 
R ∼ e -A/T,   R = A0 e-A/T     (германий (до < 20°K), уголь) 
 
Общая проблема термометрии - соотношение размеров образца для изме-
рения и термометра 
 
                               Объект
 
 
 
        Термометр
 
 
 
                                        Объект
 
          Термометр
 
 
 
Вторая проблема - различная чувствительность на разных участках диапа-
зона (в случае полупроводников - электрической проводимости) 
 
 
 146 

 
 
         G      ← высокая
 
 
                         чувствительность
 
 
                                       слабая →0
 
 
                                                       T
 
 
 
Если  R = R0 e -A/T ⇒ ln(R/R0) = -A/T, следовательно, можно применить ли-
неаризацию  (R ~ 1/G, G- проводимость). 
 
    ln G
 
 
 
 
 
 
 
                                            1/T
 
   
 
Для электрических способов применяют мостовой метод измерения - мос-
тик  Уинстона. 
 
 
              R1                 R2
RT - термометр 
RM - магазин сопротивлений 
R1 и R2 - резисторы 
                   G
 
При  равновесии  через  индикатор  G  
              RM                  RT
ток не течет ⇒  
RT/RM = R2/R1,  откуда  можно  найти 
неизвестное  сопротивление  термо-
метра - RT. Индикация момента рав-
новесия может осуществляться с помощью стрелки, звуком, светом и т.д. . 
 
v.  Термопары  (низкая теплоемкость) 
 
 
 
 147 

 
 
   Спай   двух металлов        +     -
                       ETЭДС
 
                                              Уголь-
 
                                  Me2      ный
 
 
                           Me1          порошок
 
 
 
 
        T = cst               Tx
                   
  При  соединении 
(спайке)  двух  металлов  или  специальных  сплавов,  содержащих  сущест-
венно разное количество электронов в единице объема (то есть их концен-
трацию) происходит выравнивание величин зарядов у границы и возника-
ет  электродвижущая  (ЭДС)  сила,  которая  с  изменением  температуры  
также  меняется,  что  и  используется  для  измерения  самой  температуры 
(TЭДС) . 
 
Металл или сплав 
Диапазон температур, °С 
 
Медь-константан 
- 200       + 350 
Pt  -  Pt + 30% Rh 
от   Tкомн   до   1400-1600            
 
 
vi. Пирометры  используются  для  измерения  очень  высоких  температур, 
при которых тела раскаляются до состояния излучения видимого света. 
Применяется закон теплового излучения тел Стефана-Больцмана путем 
сравнения  излучательности  тел  при  их  нагреве.  Свет  из  отверстия  на 
рисунке сравнивается по интенсивности со светом раскаленной спирали 
прибора. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 148 

 
Заметим  в  заключение,  что  при  измерении  температур,  особенно  очень 
низких, например, близких к абсолютному нулю, становиться существен-
ной  проблема  нагрева  измеряемого  объекта  теплом    подводимым  к  тер-
мометру  для  приведения  этого  термометра  в  рабочее  состояние.  Этот 
пример иллюстрирует и более общую  проблему - возникновение искаже-
ний,  вносимых  измерителем,  которые  в  отдельных  случаях  атомно-
молекулярного  уровня  (известное  соотношение  неопределенностей  Гей-
зенберга) могут приводить к принципиальной невозможности точных из-
мерений. 
 
 
Международная практическая температурная шкала 
 
 
С 1968 года установлено  12  реперных точек. Опорной точкой явля-
ется тройная точка воды  -  273,16°K  (0,01°С) 
 
№ п/п 
Вещество Агрегатное 
со-
Температура 
стояние 
 
 
 
°K 
 1. 
H2 
тройная точка 13,81 
 2. 
H2 
кипение 17,042 
 3. 
H2 
кипение  орта-  и 
20,28 
пара- смеси 
 4. 
O2 
тройная точка 54,361 
 5. 
O2 
тройная точка 83,798 
 6. 
O2 
кипение 90,188 
 7. 
H2O 
кипение 373,15 
 8. 
Sn 
затвердевание 505,1181 
 9. 
Zn 
затвердевание 692,73 
10. Ag затвердевание 1235,08 
11. Au затвердевание 1337,58 
а также много вторичных точек. 
 
 
2.3 Термометр Фаренгейта  (немецкий физик, 1686 - 1736 г) 
 
 
Андерс Цельсий (Celsius A. 1701 - 1744) шведский астроном и фи-
зик предложил свою шкалу в 1742 году. Изучение шкалы Фаренгейта це-
лесообразно проводить путем сравнения со шкалой Цельсия. 
 
 149 

 
 
          °F                    °C    100°C
      
 
                                                 212°F  
                   36,6°C
 
      96°F       тело чело-    :100
  
 
                        века
 
         : 96           -17,8°C
 
          0°F      лед+соль   0°C    32°F
 
                 с нашатырем
 
 
 
5∆t°F = 9∆t°C 
 
t°F = 1,8 t°C + 32°F 
 
°C  -30 -25 -20 -15 -10 -5  0  10 15 20 25 30 35 
°F  -22 -13 -4  5  14 23 32 50 59 68 77 86 95 
 
 
§ 3 Давление 
 
 
Давление механически определяется как отношение величины силы 
к величине площадки, на которую действует эта сила. 
 
 
P = dF/dS 
                        Dr              F
 
                                                 dS
Вообще  говоря,  в  данном  случае 
приходится  часто  говорить  о  сред-
ней  силе,  хотя  ее  довольно  трудно 
точно определить. 
 
 
Используем  выражение,  свя-
зывающее  силу  и  потенциальную  энергию.  Отметим,  что  изменение  по-
тенциальной энергии  ∆U  эквивалентно, а точнее говоря равно с противо-
положным знаком работе, а с силой связано через градиент, тогда 
 
F = -∂U/∂r ⇒ P = F/S = (-∂U/∂r)/S = - (∂U/∂V)S. 
 
 150 

 
Произошло такое изменение формы тела, при котором  S  осталось посто-
янной.  Изменение  формы  тела  можно  представить  как  перестановку  от-
дельных его частей. 
 
1 атм = 760 мм. рт. ст. = 1,05 105 Па. 
 
 
§ 4. Первый закон термодинамики 
 
 
Рассмотрим первый закон термодинамики как полный дифференци-
ал  энергии.  Используем  то  обстоятельство,  что  внутренняя  энергия  есть 
функция  энтропии  и  объема  в  общем  случае  U (S,V), тогда  ее  полный 
дифференциал равен 
 
dU = (∂U/∂S)dS + (∂U/∂V)dV, где 
 
(∂U/∂S)V = T,  (∂U/∂V)S = - P ⇒ 
 
dU = TdS - PdV 
 
dU - Внутренняя энергия системы, центр масс которой покоится 
TdS = δQ - Теплота 
PdV - Механическая работа (за счет изменения объема). 
 
Определим теплоту как 
 
δQ = TdS ⇒ dS = δQ/T,  S = k lnρ ⇒ TdS = kT d lnρ 
 
Обычно пишут 
 
δQ = dU + δA, либо в конечных приращениях  Q = ∆U + A. (*) 
 
 
Заметим,  что  соответствующее  элементарному  процессу  прираще-
ние какой-либо физической величины  f  →  ∆f  можно рассматривать как 
бесконечно малое приращение в пределе только в том случае, если  ∑ ∆f  ( 
или ∫ df ), соответствующие переходу из одного состояния  (1)  в другое  
(2)  не зависит от пути (иначе говоря - способа), по которыму совершается 
этот переход ( как это происходит при механическом перемещении в слу-
чае консервативных сил). Это значит, что не всегда верно 
 
 151 

 
 
  2                                                 
  ∫ df = f2 - f1, 
 1                            2                        2             
 а в нашем случае ∫ dQ ≠ Q2 - Q1    ∫ dA ≠ A2 - A1, а вот для  
                              1                        1          
внутренней энергии это верно всегда  
 2                                              
 ∫ dU = U2 - U1. 
1                                               
 
В этом случае говорят, что  U  является функцией состояния, тогда как те-
плота  Q  и работа  A  не являются функциями состояния. Следовательно 
dU является полным дифференциалом, а  δQ  и  δA  -  нет, и этот факт обо-
значают на письме как это сделано здесь круглыми буквами дельта. Мы, 
однако, понимая сказанное, будем писать, иногда с оговорками, и, всегда 
подразумевая данный факт: dQ  и  dA.  
 
Сформулируем первый закон термодинамики (*). 
Теплота,  сообщаемая  системе  расходуется  на  приращение  внутренней 
энергии этой системы и совершение системой работы  над внешними те-
лами.  
 
 
§ 5 Макроскопические параметры состояния газа. Процессы 
 
 
 
Имеем термодинамические параметры газа (вообще говоря, их мож-
но отнести и к твердым телам и к жидкостям) 
 
 
Объем 
Масса 
Энтропия  Давление  Теплота 
Работа 
V m S P Q A 
 
Внутренняя  Плотность  Концентрация  Температура  Хим.  сос-
энергия 
тав  и др. 

ρ 
n T 
 
 
 
В опыте, то есть физическом или ином эксперименте, (и в обыден-
ной жизни) мы имеем дело с объемом газа, состоящим из громадного чис-
ла частиц: атомов, молекул, ионов, электронов,... квазичастиц: дырок, ва-
кансий,  экситонов,  поляронов,  более  сложных  образований,  но  также 
 152 

 
микроскопических, размеры которых  <<  всего объема газа. Когда неко-
торым прибором измеряют величину того или иного параметра, то эта ве-
личина суть результат усреднения от действия всех частиц, составляющих 
тело. 
   
Если число столкновений одной молекулы с остальными может со-
ставлять 1010  ст/с,  то  число  столкновений  между  всеми  молекулами  при 
тех же условиях составляет  1020ст/с. 
 
Пример: измерение давления 
 
           P
При  быстродействии  осциллографа    0,1нс = 
10-10с он будет регистрировать  ⇒ 10-101020 = 
1010  столкновений  одновременно,  поэтому  и 
можно говорить, что наши приборы измеряют 
усредненные значения параметров. 
Замечание. 
                            1 c                      t
Замечательные  свойства  осциллографов  по-
  зволяют  наблюдать  формы  сигналов.  В  нем 
создается  так  называемая  развертка  по  времени:  линейно  нарастающее  с 
заданной скоростью напряжение позволяет переместить лучик на экране с 
одного  края  на  другой.  По  вертикали  при  этом  подается  напряжение  ис-
следуемой формы пропорциональное величине данного параметра. 
 
 
 
   ∼ U
Любая  физическая  величина  преоб-
разуется  в  эквивалентное  ей  элек-
трическое  напряжение  и  далее  ее 
                                 = U
можно  измерять  преобразовывать  и 
т.д.. 
                        t                 t
 
 
 
 
Состояние и процесс. 
 
Предположим,  что  мы  наблюдаем  за  некоторым  набором  парамет-
ров. Если параметры не меняются, то можно говорить о равновесном со-
стоянии.  Если  некоторые  из  них  меняются,  то  говорят  что  идет  процесс 
(процесс изменения этих параметров). Процесс идет до тех пор, пока сис-
тема не перейдет в новое равновесное состояние 
 
 153 

 
 
      P1  V1   T1...            Во время
 
                                     процесса
 
                                  меняются все
 
      P2  V2   T2 ...      параметры или
 
                                 хотя бы один
 
                                      из них.
 
 
Практически  можно  говорить  о  ква-
зи равновесных состояниях вместо равновесных, которые являются удоб-
ной идеализацией. Если один параметр меняется быстрее другого, к при-
меру,  в 10  раз, то можно говорить о квази равновесии или о равновесии в 
отношение  медленно меряющегося параметра в сравнении с другим. На-
пример, вода в чайнике нагревается, а ее объем в процессе нагрева услов-
но остается постоянным. 
 
 
§ 6 Расчет работы и внутренней энергии в термодинамике 
 
                 Fср
6.1 Работа 
                           ∆h
 
 
              ∆S
            
δA = Fср∆h,  P = Fср/∆S ⇒ 
 
δA = P∆S∆h = P∆V. Пусть 
 
δA ≅ dA ⇒ dA = PdV 
 
       2  
A = ∫ PdV 
      1 
 
6.2 Внутренняя энергия 
 
 
Рассчитаем среднюю кинетическую энергию, приходящуюся на од-
ну частицу и на одну координату. Используем каноническое распределе-
ние Гиббса. 
 154 

 
 
< εi > = [∫ exp(-βεi) εi dpi]/ [∫ exp(-βεi) dpi]. 
 
-∂[exp(-βε
2
i)]∂β = εi exp(-βεi),  εi = pi /2m,  β = 1/kT,  i-я координата. 
                    ∞                             ∞ 
< εi > ={ -∂[∫ exp(-βεi) dpi]/∂β}/[∫ exp(-βεi) dpi] =  
                 -∞                            -∞ 
           ∞   
= -∂ln[∫exp(-βp 2i/2m) dpi]/∂β = - ∂[ln(2mπ/β)1/2]/∂β =  
         -∞   
= 1/2β = kT/2. 
                                                                ∞  
В расчете использован интеграл вида   ∫exp(-x2) dx = √π 
                                                               -∞   
 
 < εi > = kT/2   i =1 
 
< εi > = i kT/2 - формула для произвольного числа степеней свободы час-
тицы (например, молекулы). 
 
Теорема о равнораспределении кинетической энергии по степеням свобо-
ды: 
 
на каждую степень свободы частицы, то есть на каждую координату 
или ось вращения, к примеру, приходится в среднем одинаковая кинети-
ческая энергия равная  ε =kT/2. 
 
Найдем внутреннюю энергию произвольного количества вещества 
 
εi = i kT/2      |·NA ⇒ UM = i RT/2  (UM=εiNA, R=kNA)   | ·ν ⇒ U=iνRT/2 
 
i = 3      Z
                             i = 3 + 3 = 6
  i = 3 +2 = 5
                                                        Y
                       i = 3 + 2 + 2 = 7
       X
 155 
 

 
 
Точке  может  соответствовать  три  поступательных  степени  свободы  по  числу 
трех декартовых координат  (He, H+, ...). 
Для двухатомных молекул в модели жесткой нерастяжимой связи между 
ними  прибавляется  еще  две  оси  вращения - вдоль  линии  их  соединяющей  и 
перпендикулярно ее середине  (N2, H2, O2,...). 
Для трех- и более молекул реализуются все три взаимно перпендикуляр-
ные оси вращения  (CO2, H2O, ...). 
В модели упругой  (не жесткой) связи, кроме указанных степеней свобо-
ды, прибавляются еще колебательные степени свободы. 
 
 
§ 7 Теплоемкость 
 
7.1 Расчет теплоемкости при постоянном объеме и давлении. Закон Майера 
 
 
Теплоемкостью тела,  C,  называется отношение бесконечно малого коли-
чества теплоты, полученного этим телом к соответствующему приращению его 
температуры. 
 
C = δQ/dT. 
 
Часто пишут, и мы будем придерживаться записи C = dQ/dT ⇒ 
 
C = (dU + PdV)/dT = (dU/dT) + PdV/dT. 
 
Используем тот факт, что и внутренняя энергия представляется полным диффе-
ренциалом U (V,T) ⇒ запишем 
 
dU = (∂U/∂T)V dT + (∂U/∂V)T dV 
 
C = (∂U/∂T)V + (∂U/∂V)T (dV/dT) + PdV/dT = (второе слагаемое равно  
 
нулю при T = cst) = (∂U/∂T)V  + PdV/dT. 
 
1.  V = cst ⇒ dV/dT = 0 ⇒ 
 
CV = (∂U/∂T)V = ∂(νi RT/2)/∂T = νi R/2, ν = 1 ⇒ CV = (i/2)R . 
 
2.  P = cst 
 
 156 

 
 
CP = CV + PdV/dT. 
 
Используем уравнение Менделеева - Клапейрона 
 
PV = νRT ⇒ PdV = νRdT ⇒ dV/dT = νR/P ⇒  
 
CP = CV +νR = ν(i/2) R+ νR = [(i + 2)/2] νR. 
 
ν = 1 ⇒  CPµ  = CVµ + R. 
 
Полученное выражение называют уравнением Майера (Майер   Юлиус Роберт 
1814-1878). 
 
Для различных процессов можно рассчитать теплоту, внутреннюю энер-
гию и работу. 
1.  T = cst – изотермический 
 
 
dU = 0 ⇒ δQ = δA. 
 
2.  P = cst - изобарический 
 
 
δQ = dU + δA 
 
3.  V = cst - изохорический 
 
δA = 0 ⇒ δQ = dU 
 
4.Q = cst (δQ = 0) - адиабатический 
 
dU = - δA 
 
 
5.  C = cst - политропический 
δQ/dT = cst. 
 
7.2 Виды теплоемкости 
 
 
 
Полная теплоемкость, C , [Дж/K] 
 
C = dQ/dT 
 
 157 

 
 
теплота, которую необходимо передать телу, чтобы изменить его температуру 
на  1  градус. 
 
 
Удельная теплоемкость, Cуд , [Дж/K кг] 
 
Cуд = dQ/m dT 
 
теплоемкость, приведенная к единичной массе. 
 
 
Молярная теплоемкость, Cµ, [Дж/K моль] 
 
C µ  = dQ/νdT 
 
теплоемкость, приведенная к одному молю. 
 
 
§ 8 Уравнение Пуассона для адиабатического процесса 
 
 
dQ = dU + dA,  dQ = 0 ⇒ dU = νCV dT, ν = 1 ⇒ dU = CV dT,  
 
dA = PdV⇒ 
 
CV dT + PdV = 0     |· R  ⇒  CV R dT + RP dV = 0, но 
 
из PV = RT ⇒ PdV + V dP = R dT ⇒  
 
(исключим температуру) 
 
CV (PdV + V dP) + R PdV = 0,  R=CP - CV  ⇒  
 
CV PdV + CV V dP + (CP - CV  ) PdV = 0    |: CV , (γ = Cp/CV = cst) 
 
PdV + V dP + (γ - 1)PdV=0, ⇒ γPdV + V dP = 0. 
 
γdV/V + dP/P = 0    |      ∫ 
 
 γ lnV + lnP = cst ⇒ ln (Vγ P) = cst ⇒ P Vγ = cst,  P
γ
γ
1V1  = P2V2  = ... . 
 
 158 

 
 
§ 9  Политропический процесс 
 
 
C = cst,  C = dQ/dT ⇒ dQ = C dT.  dQ = dU + dA, ν = 1 ⇒  
 
C dT = CV dT + PdV     | ·R 
 
CR dT - CV R dT = RP dV, (C - CV )R dT = RP dV,  
 
PV = RT,  R dT = PdV + V dP(исключим температуру)  ⇒ 
 
(C - CV)(PdV + V dP) = R PdV ⇒ (C - CV) PdV = (R+CV - C) PdV 
 
(используем уравнение Майера) ⇒ CP = R+CV 
 
(C - CV) VdP = (Cp - C) PdV    | : PV 
 
 (C - CV)dP/P = (CP - C)dV/V   | ∫ 
 
(C - CV)lnP = (CP - C)lnV + cst   | : (C - CV) 
 
[(C- CP)/(C - CV)]lnV + lnP = cst, nlnV + lnP = cst, 
 
 P V n = cst,  n = (C- CP)/(C - CV). 
 
 
§ 10 Применение первого начала термодинамики к тепловым процессам 
 
 
Первоначально термодинамика возникла как наука о превращении тепло-
ты в работу. При этом не было надобности в исследовании микроскопической 
картины явлений, а исследователи опирались на так называемые основные на-
чала термодинамики, полученные опытным путем. Мы, нендолго, будем дейст-
вовать в рамках этих представлений по-своему довольно плодотворных. 
 
Рассмотрим некий объем газа, способный совершить работу (или над ко-
торым совершается работа внешними силами, что в известном смысле все равно 
и  одинаково  с  точностью  до  знака).  Построим  для  такой  системы  несколько 
диаграмм в координатах  
 P-V,  подразумевая,  что  эти  замкнутые  циклы  многократно  повторяются.  Нам 
необходимо, чтобы за один полный цикл совершалась положительная работа. 
 
 159 

 
 
        P
 
 
               (1)  A = P∆V         (2)
 
     P12
 
                        изобара
 
 
 
               V1                          V2      V
 
 
 
 
 
        P
 
      P2                    (2)
 
 
               A = 0       изохора
 
 
      P
 
1                    (1)
 
                          V
 
12               V
 
 
 
        P
 
       P2                            (2)
 
 
             A=∆P∆V      некий более
 
                           сложный процесс
 
        P1   (1)
 
 
                 V1              V2            V
 
 
 
Рассмотрим процесс вида 
 
 
 160 

 
 
        P
 
        P1        (1)
 
 
 
 
        P2                               (2)
 
 
                V1                    V2       V
 
 
Работа в таком процессе вычисляется по формуле 
 
 
      2 
A = ∫ P(V) dV 
      1 
 
Однако, двигаясь туда - сюда по одному и тому же пути  работы не совершить. 
Вспомним, что совершаемая работа равна численно площади под кривой. Сле-
довательно, в прямом и обратном направлениях надо двигаться по двум разным 
кривым  так,  чтобы  площади  подграфиков  (таков  термин)  оказались  разными, 
например 
 
        P       (1)
 
        P1
 
 
 
       P
 
2                                 (2)
 
 
               V
 
1                    V2       V
 
 
Работу можно подсчитать как изменение теплоты за один полный цикл 
Q1 - теплота, подведенная к системе 
Q2 - теплота, отведенная от системы (или отданная холодильнику - холодильни-
ком часто служит просто внешняя среда), тогда 
 
A = Q1 - Q2. 
 
Коэффициент полезного действия  (КПД)  такого устройства можно определить 
как 
 
 161 

 
 
η = (Q1 - Q2)/Q1. 
 
 
Рассмотрим противоположный случай - холодильной машины, в которой 
совершается  работа  с  целью  охлаждения  некоего  объема.  Для  этого  запустим 
цикл в обратном направлении. 
 
Q1 - теплота, поглощаемая системой из окружающей среды 
 
Q2 - теплота, отводимая от системы с помощью каких-либо      ухищрений 
Q2/(Q1- Q2) называется холодильным коэффициентом. 
 
 
§ 11 Цикл и теорема Карно 
 
 
Схема тепловой машины часто представляется в виде схемы. 
 
 Карно  приду-
мал  свой  совершенно 
конкретный  цикл,  по-
зволяющий  переводить 
     Нагреватель         холодильник
теплоту  в  работу,  со-
стоящий  из  двух  изо-
терм и двух адиабат.  
 
Q1
устройство
Q2
 
     для перевода теплоты в работу
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Вслед  за  Карно  построим  такой  цикл  и  рассчитаем  его    КПД.  Заметим, 
что  адиабата  всегда  идет  круче,  чем  изотерма.  Идея  состоит  в  том,  чтобы  вы-
числить теплоту, передаваемую системе на пути  1-2-3  и теплоту, отбираемую 
от системы на пути  3-4-1  и вычислить  КПД.  
 
 
 
 162 

 
 
 
                            P                                                     изотермы 
 
 
                                                                                          адиабаты 
 
 
 
 
 
                                             V1           V4          V2             V3            V 
 
 
                                        2 
1.  δQ1 = A12 = ∫PdV = νR∫ TdV/V = νRT1ln(V2/V1) 
                                       1 
 
 
2. δQ2 = 0 
 
3. δQ3 = -A34 = νRT2ln(V3/V4) 
 
4. δQ4 = 0 
 
Q1 = δQ1 + δQ2,  Q2 = δQ3 + δQ4, 
 
η = (Q1 - Q2)/Q1 = [νRT1ln(V2/V1) - νRT2ln(V3/V4)]/νRT1ln(V2/V1). 
 
Из графика следует, что точки 1, 4 и 2, 3 находятся на одних и тех же адиабатах. 
 
T
γ-1
γ-1
γ-1
γ-1
1V1
 = T4V4 , T2V2  = T3V3 , T1 = T2, T3 = T4 ⇒  (после почленного деления 
равенств получим равенство отношений) 
 
V1/V2 = V4/V3  и следовательно ⇒ η = (T1 - T2)/T1 - максимальный КПД. 
T1 - температура нагревателя, T2 - температура холодильника. 
 
Теорема Карно: 
 
КПД всех обратимых машин одинаков и определяется только температу-
рами нагревателя и холодильника η = (T1 - T2)/T1 . 
 
 
 163 

 
 
 
Понятие обратимого процесса: 
 
 
При обратимом процессе система в обратной последовательности может 
пройти  через  те  же  состояния,  что  и  при  прямом  ходе  (при  этом  во  внешней 
среде никаких изменений не должно произойти). 
 
 
§ 12 Второе и третье начала термодинамики 
 
 
 
Существует чисто технический вопрос: как лучше отобрать тепло от те-
ла?  Вообще,  по  каким  законам  происходит  отбирание  тепла?  Что  надо  пред-
принять, чтобы отобрать тепло от нагретого тела? 
 
Формулировка    Клаузиуса  второго  начала  термодинамики. (Рудольф    Юлиус  
Эмануэль 1822 – 1888г., ректор Боннского университета) 
 
Невозможны  процессы,  единственным  результатом  которых  был  бы  пе-
реход тепла от тела менее нагретого к телу более нагретому. 
 
  
 
                               Q
 
         менее                            более
 
         нагретое                    нагретое
 
 
                 Здесь необходимо
 
                какое-то устройство
 
 
 
Вспомним школьную задачку о холодильнике в изолированной комнате: холо-
дильник  охлаждается,  комната  нагревается,  энергия  же  берется  из  электриче-
ской розетки (через которую и осуществляется связь с внешней средой). 
 
Используем  формулировку  второго  свойства  энтропии  и  на  его  основе 
дадим второе определение второго начала термодинамики. 
Второе определение  
 
изолированная  система,  будучи  предоставлена  самой  себе,  переходит  из 
менее вероятных состояний в более вероятные, что сопровождается ростом эн-
тропии (так как при этом увеличивается число способов, которыми может быть 
составлено данное состояние). 
Из этого определения следует 
 164 

 
 
 
энтропия изолированной системы может только возрастать. 
 
О третьем начале термодинамики 
 
 
Имеем 
 
S = k ln Ω 
 
При  T = 0  тело находится в состоянии, называемом основным: все движение 
“заморожено”. То есть при температуре абсолютного нуля число способов реа-
лизации этого единственного основного состояния равно  1. 
 
Ω = 1 ⇒ S = k ln 1 = 0  или  
 
 lim S = 0 
  T→0 
 
Это и есть определение третьего начала термодинамики, сформулируем его 
 
Энтропия системы стремиться к  0  при стремлении к  0  температуры.  
Замечание: существует определение 
 
dS = δQ/T,  но так как lim (δQ/T) = 0 ⇒ lim S = 0 
                                    T→0                     T→0  
 
Некоторые сомнения: переход беспорядка в порядок  
 
Из принципа возрастания энтропии создается впечатление, что мир дви-
жется от упорядоченного состояния к не упорядоченному и характеризуется все 
возрастающим  беспорядком.  Почему - возникает  вопрос?  Почему  возможно 
превращение случайной смеси молекул и атомов в высокоорганизованные мак-
ромолекулы? 
 
Минералы, нефть, газ, … 
растения и живые существа 
 
Ответить точно на этот вопрос мы не можем, однако и парадокса в этом нет, так 
как мы живем в мире не изолированных систем и справедлива следующая фор-
мула: 
 
энтропия  системы может быть уменьшена, но только в том случае, если 
данная система взаимодействует с другими системами, так что в процессе взаи-
модействия в другом месте происходит компенсирующее увеличение энтропии. 
 
Уменьшить  энтропию  некоторой  системы  можно  лишь  с  привлечением 
различных  дополнительных  систем  и  процессов  (способы  разные).  Методы - 
дело  талантов  и  гениев,  которые  изобретают  циклы,  процессы  и  механизмы. 
 165 

 
 
Природа при этом - самый гениальный изобретатель - изобрела живые существа 
(каким-то  образом  с  использованием  эволюционного  отбора  или  иным  спосо-
бом). 
 
 
§ 13 Уравнение состояния газа в модели Ван-дер-Ваальса 
 
 
Для реальных газов уравнение PV = νRT - не точно, при  P = 103 атм -  в  2  
раза. 
Ван-дер-Ваальс учел. 
1.  Размеры молекул 
2.  Силы взаимодействия между молекулами 
 
1.   
P(VM - b) = RT, ν = 1, b - объем, занимаемый самими молекулами. Размер 
атома водорода  ∼ 5 10 -11 м, тогда объем составит ∼ 125 10 -33 м 3, NA = 6 10 23 
ат/моль ⇒  b ∼ 1,25 10 -31 6 10 23 ∼ 10 -7 м 3/моль. Все другие молекулы больше и 
для них  b  по порядку величины всегда больше, например, для азота  b = 3,86 
10 -5 м3/моль. Константы  b  для разных молекул вычислены и сведены в табли-
цы в справочниках 
 
2. 
 
Молекулы  взаимодействуют  между  собой  как  диполи  и  притягиваются 
разноименными  полюсами.  Притяжение  соответствует  устойчивому  равнове-
сию, а отталкивание - неустойчивому. Притягиваясь, молекулы создают допол-
нительное давление, которое можно учесть 
 
 
 
                           _                         _
 
         +                      +
 
 
 
             (P + P′)(V
 
M - b) = RT
 
 
 
Рассмотрим  (вслед за Ван-дер-Ваальсом)  два небольших объема внутри иссле-
дуемого  сосуда  с  газом,  расположенные  в  непосредственной  близости  друг  от 
 166 

 
 
друга. Сила притяжения между ними обратно пропорциональна размерам этих 
объемов. Если взять объемы одинаковыми, то 
 
F ∼ 1/V2        |  : S 
 
P′ =  F/S ∼ 1/SV2 ⇒ P′ = a′/SV 2
2
M  = a/VM , [a] = Па  м6/моль2 = Нм  4/моль  2.  Кон-
станты  a  для разных молекул вычислены и сведены в таблицы в справочниках. 
Например, для азота  a =  0,135 Н м 4/моль 2. Уравнение  Ван-дер-Ваальса для 
одного моля газа имеет вид: 
 
(P + a/V 2
M )(VM - b) = RT. 
 
Для произвольного объема газа имеем 
 
VM = V/ν ⇒ (P + aν2/V2)(V - νb) = νRT. 
 
 
§ 14 Процесс Джоуля - Томсона 
 
 
Гей-Люссак  решал  задачу  о  нахождении  зависимости  U(T,V) - внутренней 
энергии от объема и температуры экспериментально. 
 
 
 
 
 
           Воздух              Вакуум
 
               T ↓                    T ↑
 
 
                          медные сосуды
    
Вентиль открывается, воздух переходит в откачанный сосуд, температура воз-
духа при этом в сосудах оказывается различной. Объяснение: 
 
Так  как  процесс  близок  к  адиабатическому  (по  условию  опыта  он  быст-
рый), то часть внутренней энергии переходит в работу и  температура в первом  
сосуде  уменьшается.  Но так как общее количество внутренней энергии в обо-
их  сосудах  обязано  оставаться  постоянным,  то  со  временем  температуры    вы-
равниваются. 
 167 

 
 
 
Джоуль,  воспроизводя  эксперимент,  все  устройство  помещал  в  воду.  
Температура  воды  до  и  после  опыта  оставалась  одинаковой  ⇒  при    T  =  cst  
внутренняя энергия не зависит от объема. 
Опыт Джоуля - Томсона (более точный 1852-1862). 
 
Цилиндрическая трубка окружена теплоизолирующим материалом 
 
 
                Пористая перегородка
 
 
                 (1)            (2)
 
                  P
 
1             P2
 
   A
   
 
1 = P1V1(U1)      A2 = P2V2(U2)
 
 
 
 
Левый поршень перемещается так, чтобы  P1  и  P2  оставались неизменными. 
Течение  газа  не  турбулентное,  а  ламинарное,  стационарное.  Кинетической 
энергией газа по сравнению с изменениями внутренней энергии можно пренеб-
речь (актуально медленное течение газа). В опыте измерялись температуры час-
тей (1)  и  (2) . Эти температуры установились  T1  и   T2  в конце всего экспери-
мента. Работу, совершенную по прошествии этого процесса можно вычислить 
по формуле 
 
A = P2V2 - P1V1. 
 
Поскольку теплоты газ не получал, то есть процесс протекал адиабатически, то 
⇒ 
 
U2 - U1 + A = 0 ⇒ U1 - U2  = A, здесь 
 
U1 - внутренняя энергия в левой части сосуда в начальном состоянии, 
U2 - внутренняя энергия газа в правой части сосуда после окончания процесса и 
перехода во второе состояние, 
A - совершаемая работа. 
Поскольку изменение внутренней энергии равно совершаемой работе, то 
 
U1 - U2 = P2V2 - P1V1 ⇒ U1 + P1V1 = U2 + P2V2 = cst 
 
Таким  образом,  (U + PV)  в  процессе  Джоуля - Томсона  является  сохраняю-
щейся величиной. U + PV = I, где  I - получило наименование энтальпии. 
Следствия. 
 168 

 
 
 
Температура  части  (1)  для  всех  газов  уменьшается,  кроме  водорода,  у 
которого  температура  увеличивается.  Разность  температур    T2 - T2 = ∆T  уста-
навливается тем меньшей, чем лучше газ удовлетворяет свойствам идеального 
газа. В пределе, если бы газ был идеальным 
 
P1V1 = P2V2 ⇒ U1 = U2. 
 
То  есть  для  идеального  газа  процесс  Джоуля - Томсона  не  реализуется,  внут-
ренняя энергия не зависит от изменения объема, а только температуры, что мы 
и имели в формуле  ∆U = νCV∆T. Для реальных газов процесс есть! 
Практические примеры. 
i.  Раздувающийся мяч 
ii. Прогон воздуха через узкое отверстие, например, велосипедного насоса 
 
 
 
 
 
                P1 >> P2
 
 
 
                 P1  >>  P2       
 
 
 
 
Мяч и велосипедный насос холодеют при энергичном прохождении воздуха... 
Элементарная теория процесса Джоуля - Томсона. 
 
 I= I (P, T) = cst - запишем полный дифференциал энтальпии 
 
dI(P,T) = (∂I/∂T)P dT + (∂I/dP)T dP = 0 
 
тогда 
 
dT/dP = - (∂I/∂P)T / (dI /dT)P. 
 
При замене бесконечно малых на конечные приращения  d → ∆ отношение  ∆T/
∆P можно интерпретировать как изменение температуры, возникающее в про-
цессе Джоуля - Томсона за счет изменения давления, отнесенное к этому изме-
нению давления. В результате преобразований имеем 
 
(∂I/∂T)P = ∂(U + PV)P/∂T = (∂U/∂T + P∂V/∂T)P = CP, 
 
 169 

 
 
(∂I/∂P)T = ∂(U + PV)T/∂P = 0 + V + P(∂V/∂T)T. 
 
Следовательно 
 
dT/dP = - [V + P(∂V/∂P)T]/CP. 
 
Если вычислить то же самое через уравнение Ван-дер-Ваальса, то 
 
dT/dP = {[b RT/(V - b)2] - 2a/V2}/CP(∂P/∂V)T ≅ ∆T/∆P. 
 
1.  ∆T > 0 ⇒ T2 > T1 - охлаждение 
2.  ∆T < 0 ⇒ T2 < T1 - нагревание 
3.  ∆T = 0, T = Ti - инверсия, Ti - температура инверсии. 
 
Характерные примеры 
 
Для  углекислоты  при  100-200 атм  и  пропустив  через  вентиль,  получим 
твердое состояние. Водород при пропускании через узкое отверстие из баллона 
под большим давлением может самовоспламеняться от разогрева. 
Резюме: 
1.  Исследования  Гей-Люссака,  Джоуля  и  Томсона  не  только  позволили 
обнаружить зависимость  U(V)  для реальных газов, они привели к от-
крытию нового явления - процесса Джоуля-Томсона. 
2.  Процессом Джоуля-Томсона называют стационарное течение газа через 
пористую перегородку (пробку). 
3.  Явление изменения температуры газа при таком течении называют эф-
фектом Джоуля-Томсона. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 170 

 
 
 
 
 
 
 
Глава 4    Физическая кинетика 
 
 
 
аздел молекулярной физики, в котором изучаются процессы, возни-
кающие при нарушении равновесия, носит название физической ки-
  Рнетики. В телах могут возникать флуктуации температуры, концен-
трации,  скорости  перемещения  какой-либо  части  системы 
относительно других ее частей. 
Такие  флуктуации  приводят  к  нарушению 
равновесия. Однако,  известно, что система,  по закону возрастания энтропии,  
стремиться восстановить свое равновесное состояние (система предоставленная 
самой себе стремиться перейти из менее вероятных в более вероятные состоя-
ния). При восстановлении равновесия происходит образование потоков частиц 
(в том числе электрически заряженных частиц). Во всяком случае, такое движе-
ние связано с движением молекул, атомов, ионов и электронов. В первом при-
ближении будем говорить об электро-нейтральных молекулах. 
 
Газ считаем разряженным так, что выполняются следующие три условия  
 
1.  Время  соударения  молекулы  с  другими  молекулами  много  меньше  времени 
между соударениями этой молекулы с другими молекулами. 
2.  Вероятность  соударения  трех  и  более  молекул  много  меньше,  чем  вероят-
ность соударения двух молекул. 
3.  Среднее  расстояние  между  молекулами  много  больше,  чем  средняя  длина 
волны  Де - Бройля  молекулы.  Этим  подчеркивается  сугубо  классическое 
приближение, а не квантово-механическое. 
 
 
 
§ 1 Средняя длина свободного пробега молекул 
 
 
 
Столкновения молекул - взаимодействие, в результате которого молекулы 
изменяют направление своего движения. (Мы не знаем и не интересуемся тем, 
как  на  самом  деле  происходит  собственно  столкновение.)  Кроме  того,  мы  все 
время говорим о неких средних величинах: координатах, скоростях, импульсах 
 171 

 
 
усредненных молекул (слишком много в нашем распоряжении молекул, чтобы 
говорить  о  каждой  в  отдельности).  Также  выполняются  следующие  два  усло-
вия: 
 
1.  Одна молекула движется остальные - нет. 
2.  Не важна предыстория молекулы - нет влияния на данное столкновения всех 
предыдущих столкновений. 
 
 
1.1 Эффективное сечение взаимодействия молекул 
 
 
Пусть  D - минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух 
молекул при столкновении. Молекулы мы будем считать сферическими, так как 
силовое поле точечного электрического заряда имеет сферическую симметрию   
 
       S σ     
 
 
                                      r
 
2
              r
 
1
 
 
 
                D = r
 
1+ r2
 
 
Тогда    D    является  диаметром  круга,  площадь  которого  называется эффектив-
ным сечением взаимодействия 
 
S = π D2/4 = σ. 
 
 
1.2 Средняя длина свободного пробега 
 
 
 
Средней длиной свободного пробега,  λ, молекулы газа называется сред-
нее расстояние, проходимое молекулой между двумя соседними столкновения-
ми.  
Рассчитаем  среднее  число  столкновений  молекул.  Пусть  <v> - средняя 
скорость  движения  молекулы,  а    τ - среднее  время  пролета  молекулы  между 
двумя соседними столкновениями, тогда 
 172 

 
 
 
<v> = λ/τ, 1/τ = ν = <v>/λ, 
 
где  ν - число столкновений одной молекулы за  1 секунду. 
 
Выделим  в  газе  часть  пространства  между  двумя  соседними  столкнове-
ниями молекулы 
 
 
 
 
 
                   d
 
                             < v >   
 
 
 
 
Путь,  проходимый  молекулой  в  единицу  времени  численно  равен  скорости  
(действительно, скорость есть путь в единицу времени). Основываясь на опыте, 
возьмем  <v>  >>  d, где d - эффективный диаметр молекулы. Объем цилиндра, 
охватывающего область  взаимодействия равен 
 
(*)  πd2<v>  (здесь берется два эффективных диаметра, м3/с). 
 
Внутри  такого  объема  за  одну  секунду  произойдет  одно  столкновение.  Умно-
жим  (*)  на число молекул в единичном объеме, n (концентрацию молекул, м -3 
), тогда получим 
 
nπd2<v> -  
 
 - 
полное  число  столкновений  одной  молекулы  за  единицу  времени  со 
всеми  молекулами,  содержащимися  в  единичном  объеме.  Мы  полагали  при 
этом движущейся только нашу данную молекулу. Учет движения всех молекул 
приведет (без вывода)  
 
ν = √2 π d2 <v> n.,  λ=<v> τ =<v>/ν, τ – время пролета между соударениями. 
 
Тогда 
 
λ = <v>/ν = 1/√2 πd2n. 
 
Следствие: так как P = nkT ⇒ n = P/kT ⇒ λ = kT/√2 πd2P∼ T/P. 
 
 173 

 
 
 
§ 2 Диффузия. Коэффициент диффузии 
 
 
При диффузии речь идет о переносе количества вещества (молекул и т.д.). 
Пусть дан газ, состоящий из двух сортов молекул, причем  m1 = m2 = m  и  d1 = 
d2 = d. В этом случае молекулам обеих компонент можно приписать также оди-
наковую среднюю скорость теплового движения. 
Определение: 
 
Диффузией  называется  процесс  выравнивания  в  смеси  веществ  концен-
траций двух или нескольких сортов веществ, обусловленный тепловым движе-
нием молекул. 
 
При  этом  происходит  процесс  выравнивания  концентраций,  сопровож-
дающийся переносом массы каждой из компонент в направлении убывания ее 
концентрации. Экспериментально установлено  (Закон Фика) 
 
N ∼ dn /dz, 
 
где  N  число частиц, перемещающееся за единицу времени, а  dn/dz - градиент 
концентрации в направлении оси z. Перепишем это соотношение в виде равен-
ства, введя при этом размерный коэффициент  D - коэффициент диффузии 
 
N = - D dn/dz S  ([N] = c-1, [dn/dz] = м -4, [S] = м2 ⇒ [D] = [м2/с]). 
 
Здесь  S - величина площадки, через которую происходит перенос молекул. 
 
Рассчитаем  число  молекул,  пролетающих  через  площадку    S    в  единицу 
времени на одну координату и в одну сторону: 
 
n<v>S/6. 
 
Тогда слева направо пролетает в единицу времени 
 
N1 = n1<v>S/6, а справа налево  N2 = n2<v>S/6. 
 
Изобразим схематично вид сбоку (посмотрим сбоку на ситуацию) 
 
 174 

 
 
  
 
               z-λ   z+λ
 
 
                                                  z
 
                    0  
 
 
             n
 
1             n2
 
Последнее  соударение  молекулы,  перед  тем  как  она  долетит  до  площадки    S, 
произойдет на расстоянии  λ  - средней длины свободного пробега. Тогда, если 
выбрать начало координат на  S  и направить ось  z  слева направо концентра-
ции частиц будут являться функциями  z  вида 
 
n1 = n(z-λ), n2 = n(z+λ)  
 
и число молекул перелетевших через площадку в одну сторону за единицу вре-
мени может быть вычислено в виде 
 
N = N1 -N2 = <v>[n(z-λ) - n(z+λ)]S/6, 
 
а  так  как    λ    мало,  то  разложение  в  ряд  Тейлора  позволяет  использовать  при-
ближение 
 
n(z-λ) - n(z +λ) = n(z) - λdn/dz - n(z) - λdn/dz = -2λdn/dz ⇒ 
 
N = -<v>λS dn/dz/3 = -DS dn/dz ⇒ D = <v>λ/3. 
 
Замечание 
 
Пусть  J = N/S  тогда 
 
J = -D dn/dz 
 
Здесь  J  - плотность потока частиц, число частиц, пролетающих через единич-
ную площадку в единицу времени. Пусть  m0 - масса одной частицы ⇒ Jm0 = M 
- масса всего переносимого вещества. Имеем 
 
nm0 = Nm0/V = M/V = ρ - плотность вещества. 
 
Получим соотношение 
 
M = -D dρ/dz. 
 175 

 
 
 
Заметим в заключение, что в данном рассмотрении по сути дела речь шла о са-
модиффузии - перемешивании молекул одного и того же вещества (или моле-
кул очень сходных по объему и массе). 
 
 
§ 3 Теплопроводность. Коэффициент теплопроводности 
 
 
 
Здесь речь идет о переносе потока тепла (или энергии). Пусть в газе ка-
ким-либо образом поддерживается в различных его частях различная темпера-
тура. То есть имеется градиент температуры. В данном случае через единичную 
площадку пролетает одинаковое число молекул в обе стороны, но эти молекулы 
имеют разную кинетическую энергию, по известной формуле  
 
E = i kT/2. 
 
Если в газе (или иной среде) создать вдоль некоторой оси (пусть  z) градиент 
тепла, то там возникает поток тепла, стремящийся скомпенсировать создавшее-
ся неравновесное состояние. Этот экспериментальный факт можно отразить за-
висимостями вида: 
 
Q ∼ ∆S ∆t dT/dz , где  Q - теплота или энергия (Дж), или 
 
q ∼ ∆S dT/dz, где  q=Q/∆t  - мощность, поток тепла (Дж/с = Вт), или 
 
q′ ∼ dT/dz, где  q′=Q/∆t S - плотность потока (Дж/с м2 = Вт/м2). 
 
Чтобы  поставить  знаки  равенства  необходимо  ввести  коэффициент,  размер-
ность которого определяется из формулы, например 
 
q = - κ∆S dT/dz, [κ] = Вт/м К. 
 
Чтобы к этому процессу не примешивалась диффузия,  необходимо сохранять 
неизменным число молекул пролетающих через площадку  S. Тогда число мо-
лекул пролетающих за одну секунду в одну сторону равно: 
 
N = n<v>S/6. 
 
 
Рассчитаем поток тепла, проходящего через площадку. Будем исходить из 
предположения,  что  каждая  молекула  переносит  энергию  равную  E = i kT/2, 
 176 

 
 
соответствующую температуре в том месте, где произошло ее последнее соуда-
рение 
 
q = N<E1> - N<E2> = N (<E1> - <E2>) = (ikT1/2 - ikT2/2)n<v>S/6. 
 
           E1                     E2
 
               z-λ  z+λ
 
 
 
                   0                            z
 
 
 
             T
 
1            T2
        
 
T1 = T(z-λ), T2 = T(z + λ) ⇒ T1 - T2 = T(z-λ) 
- T(z + λ) = T(z) - λdT/dz -  
 
T(z) - λdT/dz = -2λdT/dz. 
 
При разложении в ряд Тейлора использована малость длины свободного пробе-
га  λ  по сравнению с расстоянием, на которое происходит перенос тепла. 
 
q = -(1/3)n<v>S(ik/2)λdT/dz, i k n /2 = i n k NA/2NA = (iR/2)n/NA = Cv n/NA =  
 
Cv N/VNA = Cv m/VM = cv ρ. 
 
i - число  степеней  свободы, k - постоянная  Больцмана, n - концентрация, M - 
масса одного моля, m - масса, NA - число Авогадро, R - газовая постоянная, Cv - 
молярная теплоемкость, cv = Сv/M - удельная теплоемкость, ρ - плотность веще-
ства. 
 
Таким образом, для мощности при переносе тепла имеем выражение 
 
 
q = - (λ<v>cvρ/3) S dT/dz  ⇒  κ = <v>λcvρ/3. 
 
 
Заметим  также,  что  данный  расчет  и  полученные  формулы  справедливы  для 
молекул сходных по размерам. 
 
 
 
 
 177 

 
 
 
§ 4 Динамическая вязкость. Коэффициент вязкости 
 
 
 
В  данном  случае  происходит  перенос  импульса  молекулами  за  счет  так 
называемых сил внутреннего трения. Чтобы понять суть происхождения внут-
реннего  трения,  рассмотрим  два  соприкасающихся  слоя  вещества  некоторой 
толщины 
 
                                   z
 
 
     ∆z           K
 
1                            u1
     ∆z           K
 
2                      u2
 
                 m = m
 
1 = m2
u1, u2 - скорости  упорядоченного  движе-
ния слоев, а  K1, K2 - импульсы слоев. За-
пишем  переносимый  импульс  двумя  спо-
собами 
 
K* = - ηS∆t du/dz , ([K′] = кг м/с, [η] = Н с/м2 = Па с) K=K*/∆t 
 
K =-  ηS du/dz, ([K] = кг м/с2). 
 
Здесь η - коэффициент, уравнивающий левую и правую части. Используем да-
лее  последнее  выражение.  Через  площадку    S    в  единицу  времени  из  одного 
слоя в другой переходит число молекул 
 
N = n<v>S/6. 
 
Переходя из одного слоя в другой, молекула либо теряет, либо приобретает им-
пульс, а также и весь слой  (через одну частицу - ближайшему окружению и да-
лее - всему слою). Запишем величину импульса, передаваемого в единицу вре-
мени через площадку S 
 
K=Nmu=n<v>Smu/6,  K1 - K2 = ∆K = N (mu1 - mu2) = n<v>Sm(u1 - u2)/6. 
 
Свое  последнее  соударение  молекула  претерпевает  на  расстоянии  свободного 
пробега 
 
 178 

 
 
                                    z
 
                  u(z+λ)
 
              λ
 
 
              λ
 
 
 
                   u(z-λ)
 
          
 
∆K = n<v>Sm[u(z-λ) - u(z+λ)]/6 = - (1/3)n<v>Smλdu/dz. 
 
nm = Nm/V = M/V=ρ (m - масса одной молекулы, М-масса, V - объем) ⇒  
 
∆K = - ρ<v>λSdu/3dz ⇒ 
 
η = ρ<v>λ/3. 
 
Приведем сравнительную таблицу явлений переноса 
 
Изменяющаяся  величина  Градиент 
Название  явления 
(в единицу времени) 
(коэффициент) 
Число частиц 
концентрации 
Диффузия 
N,с-1 
dn/dz, м-3/м 
 (D) 
Энергия частиц 
температуры 
Теплопроводность 
q, Дж/с 
dT/dz, K/м 
(κ) 
Импульс частиц 
скорости 
Вязкость 
K, импульс/с = кг м/с/с 
du/dz, м/с/м 
 (η) 
 
§ 5 Перенос заряда 
 
 
В  среде  со  свободными  носителями  заряда  (электронный  газ  в  металле 
или  полупроводнике,  ионы  в  газе  или  жидкости)  приложим  в  направлении    z  
слабое однородное электрическое поле E. Пусть  jz - средний электрический за-
ряд, пересекающий в единицу времени единичную площадку в направлении  z . 
jz  называют  плотностью  электрического  тока  или  плотностью  потока  зарядов 
[jz] = Кл /м2с.  Пусть  q - заряд одной частицы, N′ - число частиц, пролетающих 
через единичную площадку в единицу времени, тогда 
 
jz = N′q. 
 
 179 

 
 
С другой стороны  jz ∼ E. Чтобы поставить знак равенства необходимо ввести 
коэффициент 
 
jz = σq E.     (1) 
 
Этот коэффициент пропорциональности σq называется удельной электрической 
проводимостью вещества. Заметим аналогию 
 
N = n<v>S/6  ⇔  jz = N′q = q nq <v>др (N′ = nq<v>др).   (2)  
 
В  выражении (2) отсутствует  численный  коэффициент  1/6, так  как  движение 
всего  заряда  упорядочено  и  направлено  вдоль  одной  координаты.  Скорость  
<v>др  в  данном  случае  называют  дрейфовой.  Это  скорость  дрейфа  зарядов  в 
слабом электрическом поле. 
 
Запишем уравнение движения частицы согласно 2-го закона Ньютона 
 
mdv/dt = qE, после интегрирования - v = qEt/m + v0. 
 
Произведем усреднение. Тогда  v0 = 0 , как скорость в начальный момент вре-
мени,  t = τ - среднему времени свободного пробега, а v заменяется  на  <v>др 
 
<v>др = qEτ/m. 
 
Приравняем  правые  части  (1)  и  (2)  и  подставим  туда  значение  дрейфовой 
скорости 
 
σq E = q nq <v>др = q2nqEτ / m. 
 
Отсюда  получим  значение  удельной  проводимости,  выраженное  через  микро-
скопические параметры 
 
σq = q2nqτ/m. 
 
Так как 
 
τ = λ/<v>
2
др = 1/√2πdэфф n<v>др , то 
 
σ
2
q = q2nq / m√2πdэфф n<v>др, 
 
где  n - концентрация всех частиц, обусловленных столкновениями, а  nq - сред-
няя концентрация заряженных частиц. Они могут совпадать. 
 
 180 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Глава 5   Гидродинамика 
 
 
§1 Понятие о гидродинамике 
 
 
1.1 Модель сплошной среды 
 
одержание  гидродинамики  составляет  изучение  движения  жидко-
стей. Все рассуждения, как правило, справедливы и для газов, хотя 
  Сздесь используется другое название - аэродинамика. Субстанция 
рассматривается при этом как сплошная среда. Если в гидродинамике говорят о 
смещении некоторой частицы, то речь идет не о смещении отдельной молеку-
лы, а о смещении целого элемента континуального объема. При этом, сколь ма-
ленький  объем  ни  взять,  в  нем  частичек  предполагается  актуально  много 
(столько, сколько нам нужно), чем и хороша такая идеализация частичек, кото-
рые и сами в свою очередь состоят из воображаемых частичек всегда в доста-
точном  количестве.  Элемент  такого  объема  можно  рассматривать  как  точку, 
имеющую массу. Характеристиками жидкости здесь являются 
 
скорость  v = v(x,y,z,t), давление  P = Р(x,y,z,t), плотность  ρ = ρ(x,y,z,t). 
Подчеркнем,  что  скорость  (давление,  плотность)  рассматриваются  в  каждой 
данной точке пространства с координатами  (x,y,z)   в момент времени   t   и от-
носится не к частицам жидкости, а к точкам пространства. Температуру можно 
считать как неизменной, так и любой удобной для данного рассмотрения. 
 
Плотность  ρ  считаем неизменной вдоль всего объема жидкости и в тече-
ние всего времени движения. Иначе говоря, жидкость у нас несжимаемая. Сжи-
 181 

 
 
маемостью называется способность вещества  (тела)  изменять свой объем под 
действием всестороннего давления. 
 
 
 клапан
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Сжимаемость  = (∆V/∆P) - изотермическая, адиабатическая. Пользуются поня-
тием сжимаемости в виде  β = - ∆V/V∆P, Па-1. Для примера в таблице приведе-
ны коэффициенты сжимаемости некоторых жидкостей 
 
Вещество 
t°C 
P, атм 
β, 10-6 атм-1 
H2SO4 0 
1-16  302,5 
C2H5OH 20 
1-50 
112 
Hg 20  1-10 
3,91 
 
 
1.2 Уравнение непрерывности 
 
 
Пусть имеем объем  V0, тогда масса жидкости в нем 
 
m = ∫ ρdV.    (1) 
     V0  
 Пусть  f - площадь поверхности, ограничивающей объем  V0,  а  df - векторный 
элемент этой поверхности (с направлением вне  (+)  или во внутрь (-) ). 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 182 

 
 
v
f
Здесь  v - длина в единицу времени, 
тогда 
 
dV0 = df, dm′ = ρdV0 =  ρdf,  ⇒  m′ = ∫ ρ v df.      (2) 
 
                                                                  f 
 
 
Здесь  m′ - масса вытекающей из объема  V0  жидкости или втекающей в него, а  
f  - замкнутая поверхность, ограничивающая объем  V0. Выражение  (2)  харак-
теризует массу жидкости, заключенную в данном объеме. 
 Получим из  (1)  массу,  меняющуюся со временем в данном объеме жидкости 
 
dm/dt = d[∫ ρdV]/dt. 
 
Тогда 
 
d[ ∫ ρdV]/dt + ∫ ρ df = 0 
  V0               f 
 
На основании теоремы  Остроградского-Гаусса преобразуем интеграл по замк-
нутой поверхности в интеграл по объему 
                                                     3  
( ∫ ds = ∫ div g dV), где  div g  = ∑ ∂g i /dxi, g i  - компонента данного  
  s         V                                    i =1  
вектора,  xi - компонента радиус вектора.) 
 
∫ ρ df = ∫ div (ρv) dv 
f            V0 
 
d[∫ ρdV] /dt + ∫ div (ρv) dV = ∫ [∂ρ/∂t + div (ρv)] dV = 0 
   V0               V0                      V0 
 
Так как  V0 - произвольный объем, то и  
 
∂ρ/∂t + div (ρv) = 0. 
 
Получено так называемое уравнение непрерывности. В данном случае оно ха-
рактеризует закон сохранения вещества. Часто используют  ρv = j  - плотность 
потока,  [j] = кг/м2с. В нашем случае плотность потока массы жидкости  (а мо-
жет быть: газа, частиц  и т.п.). 
 
 183 

 
 
 
1.3 Об уравнении Эйлера 
 
 
Имеем определение давления 
 
P = dF/dS    
 
продифференцируем обе части по оставшейся координате   | d/dx  ⇒ 
 
  dP/dx = dF/dV = Fед. об.. 
 
Здесь  Fед.об. - сила, приходящаяся на единичный объем, учтем ее векторный ха-
рактер 
 
Fед.об. = Fxi + Fyj + Fzk = (∂P/∂x) i + (∂P/∂y) + (∂P/∂z) k = grad P. 
 
В состоянии равновесия 
 
Fед.об. = grad P. 
 
Если равновесия нет, то можно записать уравнение движения согласно второму 
закону Ньютона 
 
ρdv/dt = Fед.об. - grad P, 
 
где  v -  скорость единицы объема, а если учесть и силу веса жидкости, имеем: 
 
ρdv/dt = Fед.об. - grad P + ρg
 
Полученное выражение носит название уравнения Эйлера. 
 
1.4 Теорема неразрывности струй 
 
 
Картина  тока  жидкости  представляется  полем  вектора  скорости.  Каждая 
линия  тока  является  касательной  к  вектору  скорости  в  данной  точке.  Густота 
линий  тока  пропорциональна  величине  скорости.  Часть  жидкости,  ограничен-
ная  линиями  тока  называется  трубкой  жидкости.  Вектора  скорости  не  пересе-
кают стенок трубки тока как касательные к ним. 
 
 184 

 
 
 
           S1             v1
 
 
 
 
 
                                 S
 
2           v2
 
 
 
 
 
Определение теоремы неразрывности струй: 
 
S v = cst 
 
Произведение величины сечения, проведенного через трубку тока в произволь-
ной ее точке на среднюю скорость жидкости в этом сечении ,есть величина по-
стоянная. 
Следовательно 
 
S1v1 = S2v2 = ...  = Sivi = ... 
 
 
§ 2 Уравнение Бернулли 
 
 
 
Вообще говоря, течение жидкости в трубке тока может быть произволь-
ным.  Течение  жидкости  называется  стационарным  или  установившимся,  если 
вектор  скорости  в  каждой  точке  пространства  текущей  жидкости  остается  по-
стоянным. 
 
Рассмотрим трубку со стационарным течением. Пусть трубка ограничена 
стенками и сечениями  S1  и  S2 . За время  ∆t  сечения переместятся  на длины  
∆l1  и  ∆l2. 
 
 185 

 
 
  
 
              ∆l
 
1
   
   
 
   S
 
1                            ∆l2
      h
 
1              S2   h2
 
Здесь  h1  и  h2 - высоты центров масс элементов объемов трубки тока над за-
данным уровнем. Согласно теореме о неразрывности струй 
 
S1v1 = S2v2, S1∆l1/∆t1 = S2∆l2/∆t2, 
 
но так как  ∆t1 = ∆t2 ⇒ S1∆l1 = S2∆l2 ⇒ ∆V1 = ∆V2. 
 
То  есть  элементарные  объемы  жидкости,  образующиеся  около  сечений    S1,S2   
за один и тот же промежуток времени равны друг другу. 
1.  Рассчитаем кинетическую энергию элементарных объемов 
 
K
2
2
2
1 = m1v1 /2 = ∆V1 ρv1 /2,  K2 = ∆V2ρv2 /2 
 
2.  Рассчитаем потенциальную энергию относительно заданного уровня 
 
W1 = m1gh1 = ρ∆V1gh1,  W2 = ρ∆V2gh2. 
 
Для того чтобы рассчитать полное приращение энергии при переходе жидкости 
от объема  ∆V1  к объему  ∆V2  сложим кинетическую и потенциальную состав-
ляющие и найдем разность энергий между вторым и первым состояниями 
 
∆E = E
2
2
2 - E1 = ∆V2ρv2 /2 + ρ∆V2gh2 - ∆V1ρv1  - ρ∆V1gh2.   
 
Данное  приращение  энергии  должно  равняться  совершаемой  над  объемом  ра-
боте при его перемещении. Работа давления на боковые стенки равна  0 (здесь 
перемещения нет). Остается работа за счет разницы давлений на торцах. 
 
A = P1S1∆l1 - P2S2∆l2 = P1∆V - P2∆V,  ∆E = A ⇒  
ρv 2
2
2 /2 + ρgh2 - ρv1 /2 - ρgh1 = P1 - P2. 
 
Произведено сокращение на элементарный объем, который в данном случае ос-
тается одинаковым.  
 
 186 

 
 
ρv 2
2
2 /2 + ρgh2 + P2 = ρv1 /2 + ρgh1 + P1. 
 
Так как сечения выбирались произвольно, то 
 
ρv2/2 + ρgh + P = cst.  (1) 
 
Это выражение будет точным при  ∆S → 0. 
Определение 
 
В стационарно текущей жидкости в отсутствие внутреннего трения вдоль 
любой линии тока справедливо уравнение  (1), которое называется уравнением 
Бернулли. 
 
Уравнение Бернулли хорошо выполняется и для реальных жидкостей. 
Следствие. 
 
При  h1 = h2  (случай горизонтальных линий тока)  уравнение имеет вид 
 
ρv 2
2
1 /2 + P1 = ρv2 /2 + P2. 
 
Тогда, если v1 > v2,  то P1<P2. 
 
Пример: Водоструйный насос 
 
                жидкость
 
                                     здесь
 
                                   P<Pатмосф
 
 здесь
 
   
образуется
 
 подсос
 
             в атмосферу
 
  
  Водоструйным насосом достигается уменьшение давления до ∼  100 мм. рт.ст, 
что в  7,6  раза меньше атмосферного давления. 
 
 
§ 3 Ламинарное и турбулентное течения 
 
 
Рассмотрим течение жидкости по трубе. 
Ламинарное (слоистое): 
 
жидкость разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга 
не перемешиваясь, течение стационарно. 
Турбулентное: 
 187 

 
 
 
жидкость  энергично  перемешивается  во  всех  направлениях  (Р.  Осборн, 
английский физик  1842-1912). 
 
Рейнольдс  для  характеристики  течения  предложил  следующую  безраз-
мерную величину 
 
Re = ρ v l /η, [η] = Па с = кг/м с. 
 
ρ - плотность, v - средняя по сечению трубы скорость потока, η - коэффициент 
вязкости жидкости, l - характерный размер для трубы. 
 
Начиная  с  некоторого  критического  значения  числа  Re,  течение  из  ла-
минарного  (для данной конфигурации сечения трубы)  переходит в турбулент-
ное. Для круглого сечения это  Re = 1000. Характер течения различных жидко-
стей или  (газов)  будет одинаков для одинаковых чисел  Рейнольдса. 
 
Замечание. Иногда пользуются понятием кинематической вязкости 
 
ν = η/ρ ⇒ Re = vl/η, [ν] = м 2/с. 
 
§ 4 Формула Пуазейля 
 
 
Рассмотрим течение жидкости по трубе круглого сечения. Пусть течение 
ламинарное.  Будем искать зависимость скорости течения жидкости в трубе от 
радиуса трубы. 
 
 
 
   
      R       r
 
 
                            l
 
 
             (1)                        (2)
    
Выделим  в  трубе  с  текущей  жидкостью  воображаемый  цилиндр.  Так  как  дви-
жение  жидкости  равномерное,  то  сумма  внешних  сил,  приложенных  к  этому 
цилиндру должна быть равна нулю. 
Рассчитаем силы, действующие на цилиндр. 
1.  Основания цилиндра. Составим разность сил давления на основания 
 
(P1 - P2) πr2 
 
 188 

 
 
2.  Боковая поверхность. На боковую поверхность действуют силы внутреннего 
трения (вязкости). 
 
F = K/t = η |dv/dr| Sбок  = - η 2π rl dv/dr. 
 
Знак минус означает убывание скорости с ростом  r . Сложим силы и приравня-
ем их к  0  (силы трения препятствуют перемещению, которому способствуют 
силы давления). 
 
(P1 - P2) πr2 + η 2πrl dv/dr = 0 
 
dv/dr =  - (P1 - P2) r/2ηl. 
 
Интегрируем полученное дифференциальное уравнение. 
 
∫ dv = - (P1 - P2)/2 ηl ∫ rdr, 
 
v =  C - (P1 - P2) r2/4ηl       (*) 
 
Найдем константу интегрирования  C  по граничному условию  
 v =  (при r=R) = 0, то есть скорость движения у стенки жидкости равна  0, тогда 
 
C = (P1 - P2)R2/4η l       (1). 
 
Подставим  (1)  в  (*)  и преобразуем. 
 
v =  (1 - r2/R2)(P1 - P2)R2/4η l. 
 
То есть  v ∼ r2 , следовательно,  v(r) - парабола. В центре трубы при   r = 0   ско-
рость максимальна 
 
vмакс = v(0) = (P1 - P2) R2/4ηl ⇒ v( r ) = vмакс(1 - r2/R2).      (2) 
 
Вычислим  поток  жидкости (Q) - объем  жидкости,  протекающей  за  единицу 
времени через поперечное сечение трубы  S. 
 
 189 

 
 
 
 
 
                    dS
 
                  R           r
 
                                    r +dr
 
 
 
 
 
Через  кольцо  (как  это  показано  на  рисунке)  за    1с    пройдет  объем  жидкости 
равный  произведению  площади  кольца    dS    на  среднюю  скорость  движения 
жидкости в точках кольца  (v = l /t).  
Замечание: в данном случае  dQ  - поток в единицу времени, м3/с, но если дом-
ножить его на плотность (что всегда можно сделать, так как плотность не меня-
ется), то получим -   м3 кг/с м3 = кг/с, то есть -  ежесекундную массу. Итак 
 
dQ = dS v(r) = 2πrdr v(r). 
 
Подставим  v (r)  из  (2) 
 
dQ = vмакс (1 - r2/R2) 2πrdr ⇒  
                  R                                                            R 
Q = vмакс 2π∫ (1 - r2/R2)rdr = 2πvмакс [(r2/2) - (r4/4R2)] | = vмаксπR2/2 =  
                 0                                                              0 
=vмакс S/2. 
 
 
Подставим значение  vмакс  из  (2)   
 
Q = (P1 - P2)SR2/8ηl. 
 
Полученное выражение носит название формулы Пуазейля. С учетом  S = πR2  
можно получить выражение вида 
 
Q = (P1 - P2) S2/8ηlπ. 
 
Из формулы Пуазейля следует, что поток жидкости прямо пропорционален пе-
репаду давления на единицу длины при прочих равных условиях 
 
Q ∼ (P1 - P2)/l. 
 
 190 

 
 
Расчет кинетической энергии потока жидкости 
 
dK = dm v2(r)/2 
 
dm = ρdV,  dV = dS v (r), dS = 2πrdr  ⇒  dm = ρ v (r) 2πrdr  ⇒  
 
dK = πρ v3rdr. 
 
Используем выражение  (2)  и для расчета кинетической энергии останется вы-
числить интеграл 
 
K = ρπ(∆P R /4ηl)3 ∫ (1 - r2/R2)3 rdr     ([K] = Дж/с). 
 
Работу, совершаемую жидкостью при движении можно вычислять по формуле 
 
A = ∫ ∆P dV. 
 
Чтобы перейти к интегрированию по радиальной координате  (так как скорость 
зависит только от нее)  произведем замену, получим 
 
dV = v 2πrdr  ([V] = м3/с),  A = 2π ∆P ∫ vrdr =  
 
= π ∆P2 R2/2ηl ∫ (1 - r2/R2)rdr. 
 
Эффект Магнуса. (М. Генрих, 1802 - 1870, немецкий физик) 
 
 
                                 Здесь скорость
 
                             больше,  давление  
                                   меньше
 
 
                                  Здесь скорость
 
                              меньше, давление  
                                    больше
 
 
Цилиндрическое  тело  приводится  во  вращательное  движение  внутренними 
средствами.  Оно  находится  под  воздействием  потока  частиц  слева  на  рисунке  
(ветер).  Возникает  сила,  действующая  перпендикулярно  направлению  потока 
частиц, определяемая разностью давлений. 
 
 
 
 191 

 
 
 
 
 
 
 
 
Глава 6   Строение и свойства кристаллов 
 
 
 
§ 1 Простые кристаллические структуры. Плотность кристаллов и межатомные 
расстояния 
 
 
вердые  тела  подразделяются  на  тела  аморфные  и 
кристаллические.  В  кристаллических  телах  из  атомов 
  Тобразуется регулярный строй, неизменный во времени. Этот 
регулярный  строй  (расположение)  атомов  в  твердых  телах  называют  кристал-
лической  структурой.  Иногда  говорят:  кристаллическая  решетка  или  просто 
решетка. При этом говорят о регулярном (правильном) дальнем порядке распо-
ложения атомов, тогда как у аморфных тел реальным является только ближний 
порядок.  Следует  иметь  в  виду,  что  в  реальных  кристаллах  дальний  порядок 
реализуется  лишь  в  относительно  небольших  областях - зернах.  На  границах 
таких зерен порядок меняется. Размер зерен составляет доли миллиметра. Если 
оценить межатомные расстояния (постоянную решетки)  как  10А, тогда как  0,1 
мм = 106 А, то количество атомов в такой цепочке составит ∼ 105 штук.  Мы бу-
дем идеализировать весь кристалл, считая его бесконечным (подспудно подра-
зумевая зерна). 
 
1.1  О простых кристаллических структурах 
 
 
Атомам  надо  упаковаться  в  твердом  теле  наиболее  плотно  (вследствие 
сил  взаимодействия),  иначе  твердые  тела  распадутся,  и  не  будут  таковыми. 
Существуют  различные  виды  связей  атомов  и  молекул.  Здесь  мы  будем  апри-
орно предполагать наличие таких связей.  
Перечислим наиболее часто встречающиеся кристаллические структуры: 
ПК - простая кубическая структура - атомы находятся в вершинах куба. 
ОЦК - объемно-центрированная кубическая структура - к ПК добавлен атом в 
геометрический центр куба. 
 192 

 
 
ГЦК - гранецентрированная кубическая структура - к ПК добавлено по атому в 
центр каждой грани. 
 
ГЕКС - гексагональная  структура  с  плотной  упаковкой - слои  шестиугольных 
тетраэдров с атомами в вершинах правильных шестиугольников. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Существует также много других структур.  
 
Остановимся подробней на структуре типа алмаза. Структура типа алмаза обра-
зуется из гранецентрированной кубической решетки. Атом в одной из вершин 
куба и три ближайших соседних атома такой решетки, расположенные в сосед-
них гранях куба, сходящихся к этой вершине, образуют правильный тетраэдр. В 
центре этого правильного тетраэдра помещается еще один атом. Также необхо-
димо поступить и с тетраэдрами образованными у других вершин куба. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 193 

 
 
 
1.2 Плотность кристаллов и межатомные расстояния 
 
 
 
Координационное  число – число  ближайших  к  данному  атому  соседних 
атомов, тогда 
 
 
Структура 
Координационное число 
Типа алмаза 4 
Пк 6 
Оцк 8 
Гцк 12 
Гекс 12 
 
 
Природа устроена так, что при различных упаковках решетка в целом энергети-
чески находится (для каждой отдельной упаковки) в своем равновесном состоя-
нии.  Чем  меньше  координационное  число,  тем  больший  объем  приходится  на 
один атом и тем более «рыхлой» является упаковка. Пример: - α  и  γ   - железо. 
 
 
Координационное 
Упаковка и вид желе- Температура, °С  
число 
за 

ОЦК  α - Fe 
300 - < 900  
12 
ГЦК   γ - Fe 
≥ 900 
 
 
 194 

 
 
 
                      Скачек
 
 постоянной решетки     плотности  
     aFe                    ρFe
 
 
 
 
                900    T,°C       900    T,°C  
 
 
Плотность кристалла можно связать с таким микроскопическим парамет-
ром как постоянная решетки. Постоянная решетки совпадает по смыслу  с рас-
стоянием между ближайшими соседними атомами только в случае простой ку-
бической решетки. Ограничимся в данном случае представлением о постоянной 
решетки,  как  о  некоем  характерном  расстоянии  между  соседними  атомами  в 
кристалле, тогда 
 
V = a3, 
 
где  V - некоторый характерный элементарный объем в кристалле. 
 
ρ = m/V = m/a3 = nM/NАa3 
 
m - масса атомов в данном элементарном объеме  
 
M - молярная масса (или атомная) 
 
NA - число Авогадро, M/NА – масса одного атома 
 
n - количество атомов, приходящихся на данный элементарный объем (элемен-
тарную ячейку). 
 
Более точно пишут: 
 
ρ = nM/kNAa3 ⇒ a = (n M/k NAρ)1/3, 
 
в нашем случае  k = 1. 
 
 
Определим  n  для простой кубической ячейки. Для наглядности предста-
вим атомы в решетке согласно рисунку 
 
 
 195 

 
 
 
 
Для  простой  кубической  ячейки  за  эле-
ментарную ячейку можно принять кубик, 
в  вершинах  которого  находятся  атомы. 
Каждый  атом  в  вершине  на  1/8  часть 
принадлежит кубической ячейке, тогда, поскольку всего таких атомов  8 ,  име-
ем  n = 1.  
Для ОЦК - решетки прибавится еще один атом в центре. Итого будет  n = 
2. Рассчитаем постоянную решетки для  ОЦК  решетки железа  (т.е. α - Fe) . 
 
a3 =  n M / k NAρ ≅ 2 ⋅56⋅ 10-3/1⋅6,02⋅1023⋅7,88⋅103 ≅ 2⋅10-29 м 3 ⇒  
⇒ a  ≅ 0,287⋅10-9 м = 0,287 нм = 2,87 A. 
 
Замечено, что  ГЦК - решеткой обладают благородные газы и большинство ме-
таллов. В таблице приводятся постоянные решетки для некоторых элементов 
 
Элемент 
тип решетки 
постоянная решетки,    
                                          
                 А 
α - Po -  
ПК 
(единственный  - 
элемент  с  простой 
кубической решеткой 
при  нормальных  ус-
ловиях) 
Fe 
ОЦК - не  плотная                  2,87 
упаковка 

ОЦК - не  плотная                  3,16 
упаковка 
Ar (T = 4,2 K) 
ГЦК - плотная  упа-                 5,26 
ковка 
Kr (T = 58 K) 
ГЦК - плотная  упа-                 5,72 
ковка 
Xe (58 K) 
ГЦК - плотная  упа-                 6,20 
ковка 
Ti 
ГЕКС - плотная  упа-                 2,95 
ковка 
Be 
ГЕКС - плотная  упа-                2,29 
ковка 
 
 
 196 

 
 
§ 2 Решетка Бравэ и ячейка Вигнера -Зейтца 
 
 
 
Необходимо  более  строго  определить  элементарную  ячейку  в  кристалле 
иначе называемую примитивной ячейкой. 
Примитивная ячейка: 
 
такой  минимальный  объем  пространства  кристалла,  который  при  всех 
возможных трансляциях заполнит пространство до бесконечности 
 
 
⋅   ⋅    ⋅    ⋅    ⋅    ⋅    ⋅    ⋅
 
⋅   ⋅    ⋅    ⋅    ⋅    ⋅    ⋅    ⋅
 
⋅ 
 
 ⋅     a1  ⋅    ⋅  R  ⋅    ⋅    ⋅
 
⋅  ⋅    ⋅    ⋅ a2   ⋅    ⋅    ⋅    ⋅
 
  ⋅    ⋅    ⋅    ⋅    ⋅    ⋅    ⋅    ⋅
 
 
 
R - вектор трансляции, ai - базовые вектора (одновременно все три - некомпла-
нарные). Для произвольной точки трехмерного пространства можно записать 
 
R = n1a1 + n2a2 + n3a3.     (1) 
 
ni - целые числа. 
Первое определение решетки Бравэ: 
 
бесконечная периодическая структура, образованная дискретными точка-
ми  (узлами,  атомами)  и  имеющая  абсолютно  одинаковый  пространственный 
порядок и ориентацию независимо от исходной точки. 
Второе определение решетки Бравэ: 
 
трехмерная решетка Бравэ образована всеми точками с радиус- векторами  
R  вида  (1). 
 
Термин  “решетка  Бравэ”  применяется  как  ко  множеству  точек,  так  и  ко 
множеству  векторов,  соединяющих  эти  точки.  Иногда  говорят,  что  решетка 
Бравэ понимается как множество трансляций, определяемых векторами. 
 
Теперь  можно  вернуться  к  определению  примитивной  (элементарной) 
ячейки, основываясь на том, что параллельным переносом такой примитивной 
ячейки может быть образована вся решетка Бравэ. 
Определение примитивной ячейки: 
 
объем пространства, который,  будучи подвергнут всем трансляциям, об-
разующим решетку  Бравэ,  заполнит все пространство, нигде не перекрываясь 
и нигде не оставляя пустот. 
 197 

 
 
 
Выделить примитивную ячейку не всегда легко. Это, вообще говоря, са-
мостоятельная  задача,  так  как  существует  множество  разных  и  подчас  очень 
сложных  решеток.  Ячейка  Вигнера-Зейтца – одна  из  них:  (обладает  полной 
симметрией решетки Бравэ) 
 
 
      ⋅          ⋅          ⋅          ⋅          ⋅
 
 
 
            ⋅          ⋅          ⋅          ⋅
 
 
      ⋅          ⋅          ⋅           ⋅          ⋅
 
 
 
Определение. 
 
Ячейка  Вигнера-Зейтца    -    наименьший  многогранник,  ограниченный 
плоскостями, проведенными через середины прямых, соединяющих ближайшие 
узлы. 
На плоском рисунке плоскости заменены прямыми. Если в пространстве 
попытаться изобразить для  ОЦК - решетки примитивную ячейку, то получим 
усеченный октаэдр. 
 
Специалисты по физике твердого тела чаще интересуются всеми указан-
ными построениями в пространстве - обратном линейному пространству.  Это 
связано  с  тем обстоятельством, что в таком обратном пространстве проще пе-
рейти к пространству энергии и импульса для микроскопических объектов типа 
атом, электрон, фотон, а также квазичастиц: дырка, фонон, полярон и т.п. . При 
этом расчеты ведутся по формулам 
 
 k =2π/λ,  p = ћk =2π/λ ,  ε = hν = hc/λ. 
 
Здесь  λ - длина волны, k - волновое число, p,ε - импульс и энергия частиц,  ћ = 
h/2π - постоянная Планка. 
Замечание  о  терминологии:  Когда  говорят  “элементарная”  или  “услов-
ная”  ячейка,  то  при  этом  не  подразумевается  примитивная  ячейка.  Обратная 
ячейка всегда определена по отношению к конкретной прямой решетке Бравэ. 
 
 
 
 
 
 
 
 198 

 
 
 
§ 3 Кристаллические системы 
 
 
 
Рассмотрим  все  возможные  типы  симметрий  решеток  Бравэ  по  отноше-
нию  к  поворотам  и  отражениям.  Такие  типы  симметрий  носят  название  кри-
сталлических систем или сингоний. Каждая из них представляет собой опреде-
ленную совокупность осей и плоскостей симметрии. 
 
1.  Триклинная система (наименее симметричная из всех) 
 
  
 
 
 
                             α
 
 
                          β   γ
 
 
                                           Гt
 
Параллелепипед с произвольными ребрами и углами   α ≠ β ≠ γ, a ≠ b ≠ c, t - 
триклинная, 1 штука 
 
2.  Моноклинная система 
 
  На боку-
 
  - прямой
 
                                 β
 
                                         Г
b
m, Гm
 
 
 
 
 
 
 
Прямой параллелепипед с произвольными основаниями  α = γ = π/2, β ≠ π/2, a ≠ 
b ≠ c, m - моноклинная, Г b
m  - с атомами в двух гранях (центрированными осно-
ваниями), b - базовая, 2 штуки. 
 
3.  Ортогональная система (или ромбическая) 
 
 199 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Прямоугольный параллелепипед, α = β = γ = π/2, a≠b≠c. Г
v
0 - ортогональный, Г0  
-  объемно-центрированный,  Г b
0  - с  центрированными  основаниями - базо-
центрированный, Г f0 - гранецентрированный. b - атомы только в гранях основа-
ниях, f - атомы в центрах всех граней, 4 штуки. 
 
4.  Квадратная система (или тетрагональная) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Прямая призма с квадратными основаниями b = a≠c. Г
v
q,  Гq . q -  квадратная, 2 
штуки. 
 
5 Ромбоэдрическая система (тригональная) 
 
 
 
                  α
 
 
 
 
 
 
 
Ромбоэдр - куб, сжатый вдоль его пространственной диагонали, Гrh, rh - ромбо-
эдрическая, 1 штука. 
 200 

 
 
 
6.  Гексагональная система 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Правильная шестигранная призма, Гh, h - гексагональная. Обязательно с атома-
ми в центрах оснований - такова единственная реализация данной кристалличе-
ской системы, 1 штука. 
 
 
7.  Кубическая система 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Г
v
f
c -  Простая,  Гc  -  объемно-центрированная,  Гc  - гране-  центрированная, 3 
штуки. 
 
Отметим,  сколько  величин  необходимо  указать,  чтобы  определить  решетку 
Бравэ  кристаллической  системы.  Прямые  углы  и  равные  стороны  при этом не 
указываются. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 201 

 
 
 
Обозна-
Количество 
Элементы 
Количество 
элемен-
чение 
реализуемых 
тов,необходимое 
для 
системы  решеток 
дан-
однозначного  определе-
ной системы 
ния системы 
Гt 1 
α, β, γ, a, b, c  6 
Гm 2 
β, a, b, c 

Гo 

a, b, c 

Гq 2 
a, 
c  2 
Гrh 1 
α, a 

Гh 1 
a, 
c  2 
Гc 3 


Итого 14 
 
 
 
Кристаллограф  Е.С.Федоров  (1853 - 1919)  показал, что может существовать 
всего: 
 
c 36 
кубических 
q 68 
тетрагональных (квадратных) 
h 27 
гексагональных 
rh 25 
ромбоэдрических 
o 59 
ромбических (ортогональных) 
m 13 
моноклинных 
t 2 
триклинных 
Итого 230 
Всего  230  пространственных  групп,  которые  распределены  по  кристалличе-
ским системам в соответствии с таблицей. 
 
 
§ 4 Теплоемкость кристаллов 
 
 
 
Расположение частиц (атомов) в узлах кристаллической решетки отвечает 
минимуму их взаимной потенциальной энергии. Колебания вдоль произвольно-
го  направления  можно  представить  как  наложение  колебаний  вдоль  трех  вза-
имно  перпендикулярных  направлений.  При  расчете  теплоемкости  твердых  тел 
по модели идеального газа имеем: 
 
ε = ikT/2, i=3, U = NA 2 ⋅3 kT/2 = 3RT. 
 
 202 

 
 
Число  Авогадро, NA,  можно  использовать  в  случае  простых  химических  ве-
ществ,  например,  металлов.  Удвоение  энергии  (появление  множителя 2) для 
любых  твердых  тел  связано  с  тем,  что  колебательное  движение  определяется 
наличием как кинетической, так и потенциальной составляющих энергии, а для 
гармонического осциллятора их средние значения одинаковы. Тогда 
 
С = dU/dT = 3R = 8/31⋅3 = 25Дж/K моль. 
 
 
         C
 
       3R
 
 
 
 
                                                      T
 
    
 
 
Такая модель носит название закона Дюлонга - Пти. Однако, на начальном уча-
стке  закон  Дюлонга - Пти  не  совпадает  с  экспериментальными  результатами. 
Существует модель Дебая, которая более точно отражает поведение теплоемко-
сти  при  низких  температурах  и  плавно  переходит  в  закон  Дюлонга - Пти  при 
высоких температурах, как это иллюстрируется графиком для благородных га-
зов 
 
 
 
 Cv, Дж/К моль
 
       25
 
              Xe        Ar
 
                          C ~ T3
 
 
                                   85            T,K
 
 
 
Формула в модели Дебая для теплоемкости при низких температурах имеет вид 
 
Cv ≅ 234 (T/θ D)3nk. 
 
Здесь  к - постоянная Больцмана, n - число атомов в одном моле вещества. Ха-
рактерная температура θ D, при которой происходит переход от кубической за-
висимости к отсутствию зависимости теплоемкости твердых тел от температу-
 203 

 
 
ры, называется температурой Дебая. Для примера в таблицу сведены некоторые 
дебаевские температуры  
 
Кристалл 
θ D, K 
Tплавл, С 
Fe 420 1530 
алмаз 1860   
Cu 315 1083 
Ag 215 960,8 
Au 170 1063 
Zn 234  
 
 
До сих пор речь здесь шла о решеточной теплоемкости. Не была учтена 
теплоемкость,  определяемая    свободными  электронами  (точнее  говоря  квази- 
свободными,  которые  могут  перемещаться  по  кристаллу  под  действием  элек-
трического  поля,  не  выходя  за  пределы  кристалла).  Эти  электроны  называют 
также электронным газом, они тоже дают свой вклад в теплоемкость. В модели 
статистики Ферми-Дирака эта теплоемкость рассчитывается по формуле: 
 
Сv = π2/2 (kT/εF)n k. 
 
Здесь εF - так называемая энергия Ферми - энергия состояний частиц и квазича-
стиц в кристалле. Отметим, что зависимость от температуры здесь линейная  Cv 
~ T, и поэтому влияние на теплоемкость кристаллов электронного газа заметно 
сказывается только при температурах еще более низких, чем дебаевские. 
 204 

 
 
 
 
 
 
 
Часть 3   Электричество и магнетизм 
 
 
 
 
В механике нас интересовало поведение тел как единого целого или час-
тей целого при приложении к ним сил извне. Тела в результате двигались по-
ступательно, вращались. Частично было рассмотрено поведение тел при скоро-
стях близких к скорости света. 
 
В  молекулярной  физике  мы  как  бы  заглянули  внутрь  тел  при  большом 
увеличении.  Изучали  процессы,  происходящие  в  телах  и  с  телами  на  уровне 
молекул. 
 
В данном разделе мы обратимся к кругу явлений, обусловленных наличи-
ем и взаимодействием частиц особого сорта. Под особым сортом подразумева-
ются частицы, обладающие (снабженные) так называемым электрическим заря-
дом.  Взаимодействие  таких  частиц  осуществляется  через  посредство  электри-
ческих и магнитных (а, вообще говоря, электромагнитных) полей. 
 
Пока  заряженная  частица  покоится  (а  мы  покоимся  вместе  с  ней),  поле 
вокруг  нее  называют  электрическим.  Оно  обладает  своими  специфическими 
свойствами.  Вокруг  движущейся  заряженной  частицы  (или  если  наблюдатель 
движется  относительно  заряженной  частицы) «возникает»  еще  одно  поле,  так 
называемое  магнитное  поле.  Постараемся  разобраться  в  круге  обозначенных 
явлений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
205

 
 
 
 
Глава 1    Электрическое поле (вакуум) 
 
 
§ 1. Электрические заряды 
 
  Об электричестве нам кое-что известно. Что можно констатировать? 
 
Установлено экспериментально, что все заряженные частицы можно раз-
делить на два класса таким образом, что: если частицы  A и B  отталкиваются, 
но частица  A  в это время притягивает частицу  С, то и частица  B  также будет 
притягивать частицу  C . 
 
Причина существования этого свойства в точности не известна    
 
 
Некоторые философы существование  +  и  -  зарядов рассматривают как 
противоположное  проявление  одного  качества.  Так  же,  например,  как  левое  и 
правое. 
 
 
 
            
                         
 
Тело сохраняет электро-нейтральность 
 
 
 
 
Наша  вселенная  (наша  жизнь)  представляет  собой  уравновешенную  (может 
быть не до конца, это точно не известно) смесь положительных и отрицатель-
ных зарядов. 
Свойства зарядов 
а. Закон сохранения электрических зарядов 
б. Закон квантования зарядов. 
 
206

Сформулируем два эти свойства, которые нам нужно будет учитывать во всем 
дальнейшем рассмотрении. 
а. 
Суммарный заряд электрически изолированной системы не изменяется. 
б. 
Справедливо следующее утверждение: 
 
Минимальный  (элементарный)  заряд,  наблюдаемый  экспериментально 
численно равен заряду электрона  e = 1,6 10-19 Кл. Наконец,  последнее утвер-
ждение, которое можно констатировать, - справедлив закон Кулона для точеч-
ных зарядов 
 
F = k q1q2/r2. 
 
Определение. Сила, с которой взаимодействуют электрически заряженные тела 
точечного  размера,  прямо  пропорциональна  величинам  зарядов  этих  тел,  об-
ратно  пропорциональна  квадрату  расстояния  между  ними  и  направлена  вдоль 
линии их соединяющей. 
 
Сила – вектор. Направление силы в каждом конкретном случае определя-
ется  знаками  зарядов  и  выбором  системы  координат.  При  этом  необходимо 
учитывать число взаимодействующих между собой заряженных тел или непре-
рывный характер распределения заряда. В качестве примера рассмотрим ситуа-
цию с двумя точечными заряженными телами. 
 
 
           Заряд 1                                                                  Заряд 2 
                 +                                                                           +  
                      e = r/r                                                                                  r  
                         
F12                                                   r                                                    F21  
 
 
 
 
F12 = k|q1q2| (r/r)/r2 
 
F12 – сила, действующая на заряд  1  со стороны заряда  2 , e = r/r – орт, задаю-
щий направление оси. 
 
 
§ 2. О единицах измерения заряда 
 
 
 
Из  систем  единиц  измерения  физических  величин,  которых  существует 
много (а предложить можно бесконечно много), упомянем о: 
 
207

 
 
 
              
С Г С                                            М К С  
 
Сантиметр  грамм  секунда            метр    килограмм    секунда 
 
 
 
Через эти три физические величины: длину, время и массу (их называют основ-
ными единицами измерения физических величин) можно определить все меха-
нические величины, и тогда записать точные физические законы. 
 
Чтобы распространить единицы измерения на электрические и магнитные 
явления,  необходимо  ввести  одну  или  несколько  основных  электромагнитных 
единиц,  через  нее  определить  остальные  единицы  и  записать  законы  электро-
магнетизма. 
 
 
 
                                                  СГС 
 
                     СГСЭ                                                    СГСМ   
 
              Электрическая                                             Магнитная 
 
 
СГСЭ 
 
Из закона Кулона получим единицу заряда СГСЭ 
 
F = k q1q2/r2   ⇒   (q1 =q2 = q, k = 1) ⇒ F = q2/r2. 
 
Пусть  k = 1 , то есть коэффициент в законе безразмерный и численно равен  1. 
Квадратными скобками (как это принято) в дальнейшем будем показывать раз-
мерности физических величин.  
 
[q] =  [Fr2]1/2 =  (дн см2)1/2 =  (г см3/с2)1.2 = г1/2см3/2с-1 = 1 СГСЭ  
 
единица заряда. 
 
 
208

1СГСЭ  единица  заряда  называется  абсолютной  электростатической  единицей 
заряда. 
 
СГСМ 
 
Получим ее из законов Био-Савара-Лапласа и Ампера. 
а. Закон Био-Савара-Лапласа запишем в виде 
 
B = k1i l/r2. 
 
Этот  закон  позволяет  рассчитать  величину  магнитной  индукции,  создаваемую 
постоянным током, проходящим через элемент dl провода. Здесь  к1 – коэффи-
циент, позволяющий уравнять левую и правую части формулы. 
б. Закон Ампера 
 
F = k2 l B i. 
 
Этот  закон  позволяет  рассчитать  величину  силы,  действующей  на  проводник 
длины  dl  с током в магнитном поле. dB  из  а.   подставим в  б., причем пусть 
токи и длины все равны по величине (l = r), тогда 
 
F = k1k2 l2 i2/r2 = ki2, k = k1k2 = 1 ⇒ [i] =  [F]1/2 = дн1/2 = 1 СГСМ - 
 
-единица силы тока. 
 
Она называется  абсолютной электромагнитной единицей силы тока. Через эту 
силу тока выражаются все остальные электромагнитные единицы (+ 3 основные 
единицы из механики) в том числе и единица заряда. 
Определение. 
 
Одной единицей СГСМ силы тока называется сила не изменяющегося то-
ка,  который  течет  в  двух  параллельных,  прямолинейных  проводниках  беско-
нечной длины и ничтожно малого кругового сечения, находящихся на расстоя-
нии 2 см один от другого в вакууме и вызывающего между этими проводника-
ми силу в 1 дину на 1 см длины. 
 
Заметим, что поскольку 
 
[q]СГСМ = [it] = дн1/2с ⇒ [qСГСЕ / qСГСМ] = дн1/2см/дн1/2с = см/с. 
 
Опустив аргументацию, утверждаем далее, что это отношение с размерностью 
скорости – скорость света в вакууме (или электродинамическая постоянная как 
ее называют более формально). Тогда 
 
 
209

qСГСМ = qСГСЭ/c ⇒ F = qЭ1qЭ2/r2 = c2qM1qM2/r2. 
 
Таким образом, закон Кулона в СГСМ системе единиц запишется в виде 
 
F = c2 q1q2/r2. 
 
МКСА  (МКС + А – Ампер) 
 
Основной электромагнитной единицей в МКСА является сила тока в  1А (А – 
ампер). 
Определение 
 1 
ампер – сила  не  изменяющегося  тока,  который  течет  в  двух  прямоли-
нейных параллельных проводниках бесконечной длины и ничтожно малого се-
чения на расстоянии  1 м  один от другого в вакууме и вызывает между этими 
проводниками силу взаимодействия равную  2 10-7 Н на каждый метр длины. 
 
 
 
                                                    1 м  
                                                    
 
                                                                1 м 
               1 А                 F = 2 10-7 Н                                  
                                                
                                                                           
                                                                         1 м 
 
 
 
 
Можно показать (из законов Ампера и Био-Савара-Лапласа) для прямых прово-
дов, что 
 
F = k i1i2 l2/r2. 
 
То есть согласно определению 
 
2 10-7 Н = k 1A2 1м2/ 1м2. 
 
k  выбирают  (полагают)  равным:  k = µ0/2π  ⇒  µ0 = 4π 10-7  Н/A2.  Из  закона 
Ампера, уже имея  1A , получим 
 
 
210

B = F/ i l  Н/Aм,  По определению  Н/A м = Тл  (Тесла), тогда  Ф =  BS Тл м2. По 
определению  Тл м2 = Вб (Вебер), тогда  Ф = L i ⇒ L = Ф/i Вб/А. По определе-
нию  Вб/А = Гн (Генри), тогда размерность  µ0  преобразуется следующим об-
разом  [µ0] = Н м/А2м = Тл м2/А м = Вб/А м = Гн/м. µ0 называют магнитной по-
стоянной. 
 
µ0 = 4π 10-7 Гн/м. 
 
Зная  [i] = 1A, получим единицу заряда  q = i t A c . По определению, А с = Кл 
(Кулон). 
 
Обратимся к закону Кулона 
 
F = k q1q2/r2. 
 
Если взять  q1 = q2 = 1 Кл, то  k  оказывается не безразмерным и не равным  1, 
его выбирают (полагают) равным 
 
к = 1/4πε0  ⇒  F = 1/4πε0 (q2/r2). 
 
О размерности  ε0: 
 
[ε0] = [q2/Fr2] = Кл2/Н м2 = Кл2/Дж м = Кл/В м = Ф/м. 
 
О численном значении ε0: 
 
 
Из  опыта  косвенно  следует,  что  два  точечных  электрических  заряда  по 
одному Кулону каждый, расположенные на расстоянии  1м  друг от друга в ва-
кууме взаимодействуют между собой с силой равной  9 109 Н. Тогда 
 
9 109 = 1 Кл2/4πε0 1 м2  ⇒  ε0 = 1/4π9109 = 8,85 10-12 Ф/м. 
 
ε0 называют электрической постоянной. Она также как и  µ0 появилась в МКСА 
системе единиц. Далее делаем следующее утверждение. 
 
Система  МКСА  совпадает с  СИ  (SI) – международной системой единиц из-
мерения! SI – System International of Units. 
 
Расчет  размерности  и  численного  значения  выражения          (ε0µ0)-1/2  дает: 
[(ε0µ0)-1/2] = м/с, (ε0µ0)-1/2 = 3 108 м/с. Заметим, что с = 3 108 м/с – скорость света 
в  вакууме.  Она  же  называется  электродинамической  (или  электромагнитной) 
постоянной. 
 
 
 
211

§ 3. О получении электрических зарядов. Гальванические элементы 
 
3.1 Элемент Вольты (1800г.) 
 
 
Элемент  Вольты  представляет  собой  сосуд,  наполненный  водным  раствором 
серной кислоты с погруженными в нее медными и цинковыми электродами 
 
 
 
                                   Cu                        Zn   
                                                                            
     Менее                                                                               Более 
отрицательный                       H2SO4                               отрицательный               
                                                водный    
                                                 раствор 
 
 
 
 Кислота в водном растворе диссоциирует 
 
H
- -
2SO4 → 2H+ + SO4 . 
 
Металлы взаимодействуют с анионом  SO - -
4 , причем выходят в раствор и обра-
зуют  соли 
 
Zn SO4  и  Cu SO4. 
 
Zn (!) эффективнее уходит со своего  электрода, чем медь, и заряжает цинковый 
электрод более отрицательно, чем медь - медный. В этом случае медный элек-
трод  можно  считать  эффективно  положительно  заряженным  по  сравнению  с 
медным. 
 
3.2  Элемент  Даниэля-Якоби 
 
 
 
Элемент Даниэля - Якоби отличается от элемента Вольты тем, что элек-
троды  у  него  погружаются  не  в  кислоту,  а  в  растворы  солей      CuSO4 -  (Cu), 
ZnSO4 – (Zn). 
 
 
 
212

                               Cu  +                             Zn  -  
                                                      
 
                                                                                                   Пористая        
                                                                                                перегородка      
         CuSO4                                                                            ZnSO4     
 
 
 
 
 
 
 
Пористая  перегородка  предохраняет  растворы  от  быстрого  перемешивания. 
Растворы при этом выбираются так называемой нормальной концентрации - 1 
моль/литр.  При  таком  выборе  образующийся  в  системе  потенциал  электрода 
будет зависеть только от типа металла (Cu, Zn, …). Этот потенциал характери-
зует  способность  металла  посылать  ионы  в  раствор  и  называется  нормальным 
абсолютным потенциалом. 
 
Как происходит образование зарядов на электродах в элементе Даниэля-
Якоби?  
 
Zn:  катионы  цинка,  как  и  у  Вольты,  уходя  с  электрода,  заряжают  его  отрица-
тельно. 
 
Cu: здесь, наоборот, катионы меди идут из раствора и оседают на электроде, за-
ряжая его положительно. 
 
Такой  эффект  достигается  при  нормальной  концентрации  растворов,  так  как 
при этом равновесие сдвигается в данную сторону. Тогда, в идеале будет 
 
φZn = -  0,76 В 
φCu = + 0,34 В 
____________ 
∆φ = 1,10 В. 
 
 
§ 4 Электризация как разделение зарядов 
 
 
 
В любом гальваническом элементе имеется два электрода, один положи-
тельный,  другой  отрицательный.  Опыт  показывает,  что  возникновение  заряда 
 
213

какого-то знака на объекте ВСЕГДА сопровождается появлением заряда проти-
воположного знака, равного ему количественно (по модулю) в другом месте. 
Определение. 
 
Всякий  процесс  электрического  заряжения  тел  есть  процесс  разделения 
зарядов. 
Пример. 
Рассчитаем заряд «свободных» электронов в одном кубическом сантиметре се-
ребра – Ag47102. Серебро одновалентно. 
 Число атомов серебра  в 1 см3  
 
n = 5,86 1022. Q = 5,86 1022 1,6 10-19 = 9,4 103 Кл. 
  
Чтобы узнать заряд всех электронов, содержащихся в 1 см3 серебра нужно ум-
ножить полученное число на полное число электронов в его атоме. 
 
 Qполн. = 9,4 103 47 = 4,4 105 Кл. 
 
 
Кроме электронов известны положительно заряженные элементарные частицы 
–  протоны,  которые  могут  существовать  самостоятельно  (не  распадаясь  неоп-
ределенно-долгое время) вне атома. Величина заряда протонов равна численно 
величине  заряда  электронов,  а  масса  в 1836 раз  больше  массы  электрона  (на-
помним,  что  говорить  о  зарядах  безотносительно  материальных  тел  не  имеет 
смысла), существуют и другие элементарные частицы имеющие электрический 
заряд. Следовательно, положительные заряды также как и отрицательные мож-
но прибавлять и отнимать от вещественных объектов. 
 
 
§ 5 Опыты с электронами 
 
 
5.1. Об определении элементарного заряда в опыте Милликена (1997-1913гг) 
 
 
 
В  электрический  конденсатор  (между  его  пластин)  впрыскиваются  час-
тички масла. Частички масла освещаются ультрафиолетовым светом (или рент-
геном) и таким образом заряжаются положительно (с них уходят отрицательно 
заряженные электроны). К конденсатору прикладывается электрическое напря-
жение величиной  в несколько тысяч вольт, и он помещается в вакуум, чтобы 
не учитывать действующую на частицы архимедову силу. 
 
 
 
214

 
 
                  + 
 
 
          ∆φ, 
           d  
 
                              V =0                             V = cst                   
 
 
                  _ 
 
 
 
 
 
В данном опыте уравновешивается сила веса и электрическая сила, действую-
щая на заряженные масляные капельки. Из этого равенства находится величина 
заряда. 
 
F = qE = ∆φq/d ⇒ mg = ∆φq/d. 
 
Затем  ту  же  замеченную  капельку  перезаряжают  облучением  и  опять  уравно-
вешивают,  меняя  величину  поля  ∆φ.  Эта  процедура  повторяется  много-много 
раз. Получается набор зарядов 
 
q1, q2, q3,…q i, …q j, … 
 
Если  предполагать,  что  существует  минимальный  далее  неделимый  заряд,  то 
есть q i = e n i, то для набора опытов можно составить произведения 
 
en1, en2, en3, …, en i, …, en j, … . 
 
Здесь    n    -  число  элементарных  зарядов,  составляющих заряд частички. Далее 
составляются  всевозможные  пары  разностей    q  i – q j  . Среди  этих  разностей 
отыскивается,  получающаяся  многократно  минимальная  доля,  которая  оказа-
лась в опыте Милликена примерно одинаковой с некоторым разбросом. Из раз-
ностей  находится  среднее  значение,  которое  и  принимается  за  элементарный 
заряд – заряд электрона. Милликен получил величину 
 
E = 4,774 10-10 СГСЭ ед. заряда. 
 
Современное значение  (по книге: Дуков В.М. «Электрон», 1946 г) 
 
 
215

 
 
e = 4.803 10-10 СГСЭ ед. заряда. 
 
Другое  современное  значение,  которое  приводится  в  задачниках  по  физике  в 
системе единиц «SI» 
 
e = 1, 60217733(49) 10-19 Кл. 
 
 
5.2 Обнаружение движения электронов по инерции в опыте Толмэна и Стюарта 
(1916г.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Катушка  с  проводом  приводится  во  вращение,  а  затем  резко  тормозится. L = 
500 м, v = 300 м/с, L -  длина проволоки, v – линейная скорость вращения.  
 
Опыты показали, что при торможении катушки в цепи ее проволоки воз-
никает  кратковременный  ток.  В  этих  опытах  определялся  так  называемый 
удельный заряд электрона – отношение заряда электрона к его массе, e/m. Ве-
личина удельного заряда совпала с результатами, полученными в других опы-
тах. 
 
 
 
 
 
 
216

5.3 Приведение диска в движение с использованием электронного тока 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                                                                                              
                Ртуть                                  Ртуть   ( 80Hg200 )    
 
                                                                                                                                                           
                                                                        Сила направлена  на нас     
 
Если приложить перпендикулярно плоскости металлического диска магнитное 
поле  и  пропустить  электрический  ток,  так  как  показано  на  рисунке  (между 
центром диска и его краями), то диск начинает вращаться. Причиной тому слу-
жит сила Лоренца, заворачивающая электроны по правилу векторного произве-
дения. 
 
= q (vB
 
Свободные электроны при своем движении увлекают за собой и металлический 
диск, рассеиваясь на оболочках и ядрах атомов, составляющих решетку метал-
ла, из которого изготовлен диск. 
 
 
§ 6 Напряженность электрического поля 
 
 
 
При  исследовании  взаимодействия  электрических  зарядов,  привлекает  к 
себе внимание, прежде всего тот факт, что взаимная сила в законе Кулона дей-
ствует  между  заряженными  телами  на  расстоянии.  Как  это  можно  объяснить? 
Остается допустить наличие некоей материальной субстанции между заряжен-
ными телами, с помощью которой передается электрическое взаимодействие. 
 
Будем полагать, что вокруг зарядов существуют поля, называемые элек-
трическими и перейдем к оценкам (и расчетам) их количественных характери-
стик. 
 
Пробным  зарядом  будем  называть  заряженное  тело  с  размерами  много 
меньшими расстояний, на которых изучается действие зарядов. Другими взаи-
модействиями пренебрегаем. 
 
217

 
 
 
 
 
     + Q   
 
 
                                         q1  -  F1 ,  q2  -  F2 , …  
 
 
Если  в  данную  точку  в  окрестности  исследуемых  зарядов  помещать  пробные 
заряды разной величины, то оказывается, что 
 
F1/q1 = F2/q2 = … = cst = E
 
Здесь    E  служит  силовой  характеристикой  электрического  поля  в  каждой  его 
точке и называется напряженностью электрического поля. 
 
[E] = Нм/Кл м =  Дж/Кл м = Кл В/Кл м = В/м. 
 
Рассмотрим частный случай: напряженность поля точечного заряда 
 
F = q1q2e/4πε0r2. 
 
Пусть  q1  пробный заряд, тогда 
 
E = F/q1 = q2/4πε0r2. 
 
Опустим  значок    2  ,  обозначив,  таким  образом,  произвольный  характер  выби-
раемой точки и зададим направление силы, имеем 
 
E =  qe/4πε0r2 = qr/4πε0r3. 
 
Запишем принцип суперпозиции 
 
E = Σ Ei. 
 
Суммарная  напряженность  электрического  поля  в  данной  точке  равна  сумме 
напряженностей, создаваемых разными заряженными телами в данной точке. 
 
 
 
218

§ 7  Постановка задачи о расчете электрических полей 
 
 
 
Основной  задачей  электростатики  является  расчет  электрического  поля, 
то есть нахождение величины и направления электрического поля во всех точ-
ках пространства вокруг заряженных тел. 
 
 
 
 
 
 Q  
 
 
 
Тело несет заряд  Q . Заряд распределен по телу произвольно (в общем случае 
неточечным способом). 
Линейно протяженное тело 
Пусть τ - линейная плотность заряда. В общем случае  τ = τ (r, t), но в данном 
нашем случае зависит только от координат (то есть, радиус-вектора) и не зави-
сит от времени. 
 
 
                                z  
 
 
 
                   L                      dl, dq   
 
 
                                                                                              y 
 
      x 
   
 
τ = dq/dl ⇒ dq = τ dl ⇒ [τ] = Кл/м 
 
 
q = ∫ τ(r) dl(r), τ = cst ⇒ q = τ ∫ dl = τL ⇒ τ = q/L 
     L                                          L   
 
Тело, протяженное по плоскости 
Пусть  σ - поверхностная плотность заряда 
 
 
219

σ = dq/ds, dq = σ ds ⇒ [σ] = Кл/м 2 
 
                                   z   
 
 
                                                           ds, dq    
                                               r    
 
 
 
             x                                                                             y            
 
 
 
q = ∫ σ ds, σ = cst ⇒  q = σ ∫ ds = σs ⇒ σ = q/s 
     s                                      s   
 
Тело, протяженное в пространстве 
Здесь  ρ - объемная плотность заряда 
 
ρ = dq/dV, dq = ρ dV ⇒ [ρ] = Кл/м3 
 
 
                       z 
 
 
                                r                dV dq, 
                                       
                                                                       y                           
         x 
 
 
 
q =  ∫ ρ dV, ρ = cst ⇒ q = ρ ∫ dV = ρ V 
      V                                    V   
 
Если  τ, σ  или  ρ  есть функции координат, то можно говорить о малых частях 
ds, dl, dV , как о точечных заряженных телах. В таких случаях, при расчете на-
пряженности электрического поля можно воспользоваться формулой точечного 
заряда.  Проследим  такую  процедуру  на  примере  заряда,  распределенного  по 
объему. 
 
  
 
220

Пусть имеем заряженное объемное тело 
 
 
              Z                                                                           z   
 
 
                                                                                                      A     
 
                                                    Y                                                            y  
 
                                                               l            e          x   
                                           dV    
                                  + dq       

 
 
 
 
 
 
dA(x, y, z) =  dq(x,y,z) e/4πε0 l2(x,y,z) = ρ(x,y,z)dVe/(4πε0l2(x,y,z)) 
 
 
E
A = ∫ ρdVe/(4πε0l2). 
        V 
 
 Пример  линейно  заряженного  тела – отрезок  прямой.  Здесь  также  заряд  рас-
пределен неточечным образом.  
Пусть точка, в которой ищется напряженность электрического поля, находится 
на продолжении прямой. Прямую целесообразно совместить с какой-нибудь из 
осей, например, x.  Начало координат удобно поместить в искомую точку. 
 
 
 
 x          q, τ         dx, dq                                                               A 
 
           x2                                            x1                                       O 
 
 
 
dEA = dq/4πε0x2 = τdx/(4πε0x2). 
 
        x2     
 
221

ΕΑ = ∫ τdx/(4πε0x2) 
        x1   
 
 
τ = τ(x) – здесь необходим конкретный вид зависимости 
τ = cst(x), тогда 
 
 
                      x2                                  x2    
EA = (τ/4πε0) ∫ dx/x2  = (τ/4πε0)(-1/x)| = (τ/4πε0)(1/x1 – 1/x2). 
                     x1                                                        x2                                                               
  
  
 
Трудности,  которые  возникают  при  решении  задач  об  определении    E,   
иногда  можно  уменьшить,  введя  понятие  потенциала  (как  некую  математиче-
скую процедуру). 
 
 
§ 8 Потенциал электрического поля 
 
 
8.1. Об электрическом потенциале     
 
 
Напряженность  является  силовой  характеристикой  электрического  поля. 
Можно ввести характеристику поля не силовую, а по отношению к той энергии, 
которая  расходуется  при  перемещении  заряда  в  электрическом  поле.  Оценим, 
какая работа необходима для того, чтобы перенести заряд из бесконечности (из 
места, где электрического поля нет) в данную точку поля. 
Первое определение, неформальное 
 
                                                                         +   
 
 
++
 
+
 
  + 
 
Если перемещать заряды разной величины и составить отношения расходуемых 
энергий к величинам зарядов, то отношения 
 
W1/q1 = W2/q2 = … = ϕ 
 
222

 
будут  оставаться  постоянными.  Такая  сохраняющаяся  величина  называется 
электрическим потенциалом и имеет размерность: [ϕ] = В (Вольт). 
Второе определение, формальное 
Вычислим  работу  по  перемещению  заряда  в  электрическом  поле  вдоль  одной 
координаты  из  бесконечности  в  данную  точку.  Учтем,  что  работа  и  потенци-
альная энергия равны друг другу с точностью до знака. 
 
 
                                                           x                 x    
dW = - dA = - Fdx, F = qE ⇒ W = - ∫ F dx = - q ∫E dx. 
                                                           ∞                ∞        
 
Представим напряженность электрического поля в виде полного дифференциа-
ла некоторой произвольной скалярной функции. 
 
E = -dϕ/dx, тогда 
 
           x                      x              x          
W = q ∫ dϕ dx/dx = q ∫ dϕ = qϕ | = qϕ(x) + qϕ(∞) = [ϕ(∞) = 0] = qϕ ⇒ 
        ∞                      ∞             ∞   
 
W = qϕ ⇒ ϕ = W/q. 
 
В итоге мы получили то же определение потенциала, как и в первом определе-
нии. Запишем связь напряженности и потенциала для трехмерного пространст-
ва в декартовых координатах. 
 
Ey = -dϕ/dy, Εz = - dϕ/dz ⇒ E = Ex i + Ey + Ez k =  - (i dϕ/dx + dϕ/dy  
 
 + k dϕ/dz) = - (i d  /dx + d  /dy  + k d  /dz) ϕ =- ∇ϕ. 
 
 
Здесь  символ  набла - ∇  означает  математическую  операцию  над  скалярной 
функцией и является математическим оператором вида 
 
∇ = - ( i d /dx + j d /dy + k d /dz). 
 
 
 
 
 
 
223

8.2 Потенциальный характер электрического поля 
 
 
 
Заметим,  что  энергия,  затрачиваемая  на  перенос  заряда  в  электрическом 
поле,  не  зависит  от  формы  пути  переносимого  заряда,  так  как  электрическое 
поле – поле консервативных сил. Заметим также здесь, что по определению 
 
U = ϕ1 - ϕ2, а  ∆ϕ = ϕ2 - ϕ1, тогда 
 
                                                                         (2)   
                                                                              ϕ2  
                              q 
 
                              q   
 
 
    (1)                   q  
       ϕ1                             
                                  q 
 
 
∆ϕ = ∆W/q, ∆W = ∆ϕq = cst. 
 
В обычной бытовой розетке (дома) разность потенциалов составляет 220 В. 
О циркуляции вектора напряженности электрического поля 
 
 
Интеграл вида 
 
∫ dl ,  ( dl = E dl Cos E^dl

 
 
называется циркуляцией вектора  E  по замкнутому контуру  L. Такой интеграл 
можно вычислять как определенный интеграл в декартовой системе координат. 
Если  учесть  потенциальный  характер  электрического  поля,  то  циркуляция  на-
пряженности электрического поля по замкнутому контуру равна  0 .  
 
 
 
∫ E dl = 0 

 
 
 
224

 
 
 
            E                      dl 
 
 
 
                       L                                                                          Q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Иначе 
 
2           1    
∫ E d+ ∫ dl = 0 . 

 
Можно также записать следующее 
 
∫ E dl = q ∫ dl = q ∫ dA = 0, 
L             L             L            
 
откуда следует, что с точностью до постоянной работа при перемещении заряда 
по замкнутому контуру равна нулю. Здесь 
 
dl = Fx dlx + Fy dly + Fz dlz. 
 
Если контур  L  не замкнутый 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
225

 
 
 
                      
                                                              dl      
                           dl              
                                                    L 
                  dl 
 
 
 
 
 
Во всех скалярных произведениях  dl  имеет направление касательной в данной 
точке траектории, а  E  может быть направлено произвольно по отношению к  
dl .  Выбор обхода контура всегда возможен в двух встречных направлениях.  
 
Потенциал поля точечного заряда. 
 
Имеем для точечного заряда 
 
 
E = q/4πε0 r2 (пусть  r = x), 
 
ϕ = - ∫ E(x) dx = - q/4πε0 ∫dx/x2 = q/4πε0x + ϕ∞  (ϕ∞ = 0). 
 
 
Второй вариант: определенный интеграл          
 
         x                             x   
ϕ = - ∫ E(x) dx = - q/4πε0 ∫ dx/x2 = q (1/x – 1/∞)/4πε0         
        ∞                             ∞             
 
 
Итак, для точечного заряда имеем расчетную формулу потенциала 
 
 
ϕ = q/4πε0r. 
 
 
 
 
Теперь,  как  итог  всему  сказанному,  рассмотрим  задачу  о  расчете  поля  с 
применением скалярного потенциала. 
 
 
226

 
 
 
 
 
 
 
 
                                                                   r                         A    
                                dV,     
 
                                          dq 
 
 
 
 
dϕA = dq/4πε0r =  (dq = ρ dV) = ρ dV/4πε0 ⇒ ϕ = (1/4πε0)∫ ρ dV/r. 
 
 
Привязку удобнее осуществлять к одной системе координат, тогда 
 
 
 
 
                      z                                          A   
                                             r2                r = r2 – r1                              
 
 
                                            r1               
 
                                                   y    
         x  
 
 
 
Здесь  r = r2 – r1  -  расстояние от элемента заряженного тела до искомой точки  
A, в которой вычисляется потенциал электрического поля. Далее можно найти  
E , вычисляя  ∂ϕ/∂x, ∂ϕ/∂y, ∂ϕ/∂z  и  подставляя вычисленные значения в E = 
∇ϕ. Такой расчет, хотя и более длителен, но проще прямого расчета  E , так как 
предполагает простую систему одномерных уравнений. 
 
 
 
 
227

§ 9 Закон Гаусса 
 
 
 
Рассмотрим произвольную систему неточечных электрических зарядов, а 
точнее говоря заряженных тел с произвольно распределенными на них заряда-
ми. Окружим эти тела замкнутой поверхностью так, чтобы все эти тела оказа-
лись внутри нее. Пусть эта поверхность – сфера, удаленная от заряженных тел 
далеко так, что заряды можно считать точками по отношению к точкам сферы, 
приведя, таким образом,  задачу к сферически симметричной задаче. 
 
 
                           S                        e         n                                    E         n            
                                                                    e  
                             q1 
                  qi 
                                                                n   
                                        q2
 
          dS                               q    
 
          q3                 q4, …                                                            
 
                                                                                           r 
 
 
 
 
 
 
Определим поток вектора напряженности электрического поля  dФЕ через пло-
щадку  dS  как произведение 
 
E = EdS ⇒  ФE = ∫ EdS 
                                 S 
 
E = Ee, dS  =  dS n, q = Σ qi, q = ∫ ρ dV. 
 
 
Рассчитаем  поток  вектора  напряженности  электрического  поля  через  за-
данную воображаемую поверхность. Вначале запишем подынтегральное выра-
жение для потока 
 
dS = e dS n/4πε0r2. 
 
Для сферы  en = 1 ⇒  
 
 
228

 
 
ФE = ∫ EdS = ∫ qdS/4πε0r2 = (q/4πε0r2) ∫ dS = q/ε0. 
        S           S                                      
 
Закон Гаусса записывается в виде 
 
∫ d= q/ε0. 

 
Здесь слева стоит поток вектора через замкнутую поверхность, а справа заряд, 
ограниченный  этой  поверхностью,  поделенный  на  электрическую  постоянную 
(что означает, что закон записан в системе единиц  SI). 
Замечание. Для среды с диэлектрической проницаемостью отличной от едини-
цы  формула  измениться  тем,  что  электрическую  постоянную  необходимо  по-
множить на диэлектрическую проницаемость, ε. 
Выводы: 
Справедлива формула 
 
∫ dS = q/ε0 

 
Если внутри замкнутой поверхности  S  зарядов нет, то 
 
∫ dS = 0 ⇒ E = 

 
Закон Гаусса позволяет в случаях хорошей симметрии (например, сферической 
и осевой) сравнительно легко рассчитывать напряженность электрического по-
ля  вокруг  заряженных  тел  в  пространстве  вокруг  симметричных  заряженных 
тел. 
 
Пример: расчет электрического поля вокруг бесконечной равномерно заряжен-
ной плоскости. 
 
Дано: 
Бесконечная плоскость равномерно 
заряженная с поверхностной плотно- 
стью заряда σ. 
 
Найти: 
Напряженность электрического поля 
 
229

В точках пространства вокруг плоско- 
сти. 
 
    
                                                n       E  
 
 
 
 
             n                                                                                       E 
     
 ∆S                
 
 
 
 
 
 
 
                                                                                   
 
 
 
  
 
 
 
 
Пересечем  плоскость  цилиндром  с  боковой  поверхностью  перпендикулярной 
данной  плоскости.  Заряд,  оказавшийся  внутри  цилиндрической  поверхности, 
ограниченной боковой поверхностью и торцами, и, таким образом, замкнутой, 
равен 
 
Q = σ ∆S. 
 
Для вычисления интеграла по замкнутой поверхности необходимо представить 
его в виде суммы трех интегралов по боковой поверхности и двум торцам 
 
∫  =  ∫    +    ∫    +    ∫   
S   бок.  торец1  торец2 
 
Вследствие  симметрии  напряженность  электрического  поля,  создаваемая  заря-
женной  плоскостью  направлена  перпендикулярно  к  плоскости  во  всех  точках 
 
230

пространства  (плоскость  заряжена  равномерно  и  бесконечно  протяженна).  Раз 
так, то интеграл по боковой поверхности от скалярного произведения  EdS ра-
вен  0  (вследствие взаимной перпендикулярности  E  и  dS). Остаются интегра-
лы по торцам, их два. В точках торцов E = cst, и E n = E, тогда поток, проходя-
щий через торцы равен 
 
∫ E n dS =  E ∫ dS = 2E∆S. 
2∆S              2∆S 
 
Приравняем  поток  согласно  закону  Гаусса  заряду  с  учетом  электрической  по-
стоянной 
 
2E ∆S = σ∆S/ε0 ⇒ E = σ/2ε0. 
 
 
Попутно  рассудим  об  электрическом  поле  между  двумя  бесконечными, 
одинаково - равномерно, но разноименно заряженными пластинами (аппрокси-
мация  плоского  конденсатора  с  размерами  пластин  много  больше  расстояния 
между ними) 
                                       2E 
 
                                         E 
      - 
 
 
       + 
 
 
E k = 2E = σ/ε0. 
 
 
§ 10 Формулы Остроградского-Гаусса, Стокса и уравнения Максвелла для  E  в ва-
кууме 
 
10.1 От формулы Остроградского- Гаусса к уравнению Максвелла 
 
 
Пусть имеем поле векторов  a , тогда 
 
 
a = a dS ,  Фa = ∫ dS 
                              S 
 
 
231

Фa называется потоком вектора  a  через площадку  S. Здесь вектор dS направ-
лен по орту нормали n к площадке dS, то есть 
 
 
                                                 dS   
                                              n     
 
 
                    dS      
                        
 
 
 
Определим для вектора  a  оператор 
 
div a = ∂ax/∂x + ∂ay/∂y + ∂az/∂z.   
 
Заметим, что 
 
∇⋅ a = (i∂/∂x + j∂/∂y + k∂/∂z)(axi + ayj + azk) = div a
 
Без  вывода  запишем  соотношение,  называемое  формулой  Остроградского-
Гаусса 
 
∫ a dS = ∫ div a dV.  
S          V 
 
Здесь  объем    V  ограничивается  замкнутой  поверхностью    S  .  Для  вектора  на-
пряженности электрического поля формула перепишется в виде 
 
∫ dS = ∫ div E dV. 
S           V     
 
Используем  полученную  формулу  для  записи  закона  Гаусса.  Предварительно 
отметим следующее 
    
        n 
Q = Σ qi = ∫ ρ dV. 
      i=1     V 
 
 
Имеем 
 
 
232

∫ div E dV = (1/ε0) ∫ρ dV 
V                           V 
 
∫ (div E - ρ/ε0) dV = 0 

 
Так как объем выбирался произвольно, как объем, ограниченный произвольной 
поверхностью, то 
 
div E = ρ/ε0. 
 
Получили  одно  из  уравнений  Максвелла.  Оно связывает электрическое поле с 
электрическими зарядами. Его генезис: Закон Кулона – закон Гаусса – уравне-
ние Максвелла. 
 
 
10.2  От  циркуляции  вектора    E    по  контуру,  через  формулу  Стокса  к 
следующему уравнению Максвелла 
 
 
Для напряженности электрического поля имеем 
 
∫ E dl = 

 
Согласно  формуле  Стокса  подобный  интеграл  по  замкнутому  контуру  можно 
преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур 
 
 
                                                                             dS  
                                                                    n     
             S                                                            dS  
 
 
 
 
                                                   L 
               dl        el        dl = dl el   
 
Для произвольного вектора  a  будет (без вывода): 
 
∫ dl = ∫ rot a d
L          S       
 
 
233

Здесь  направление    dl    определяется  направлением  орта    e , совпадающего  по 
направлению с касательной в данной точке контура  L .  (Единственное, что не-
обходимо  выбрать – это  направление  обхода  контура  по  или  против  часовой 
стрелки,  что  должно  быть  согласовано  и  с  направлением  орта    n).  Для  нашей 
задачи формула запишется в виде 
 
∫ E dl = ∫ rot E dS
 
Оператор  rot E  можно представить как векторное произведение 
 
 
 
                                   i       j       k    
rot E = ∇⋅E =                                            = i (∂Ez/∂y - ∂Ey/∂z) +  
                                ∂/∂x  ∂/∂y  ∂/∂z 
  
 
                                  Ex     Ey     Ez  
 
 
 
                + j (∂Ex/∂z - ∂Ez/∂x) +  k (∂Ey/∂x - ∂Ex/∂y). 
 
 
Проще  запомнить  последовательность  совокупности  производных  для  ротора 
по мнемоническому правилу 
                                                               
                                                       ∂/∂x  
                                          j                           k 
 
                                        ∂/∂z                    ∂/∂y 
 
                                                         i   
 
Таким образом, для напряженности электрического поля имеем 
 
∫ rot dS = 0, 

 
а так как поверхность   S  выбиралась произвольно, вследствие произвольности 
выбора контура, на которую эта поверхность опирается, то и  
rot E = 0. 
 
234

 
Заметим, что по определению  E = - ∇ϕ, из чего следует, что 
rot (∇ϕ) = 0, 
 
то есть ротор от градиента произвольной скалярной функции в данном случае 
равен нулю, (этот факт проверяется подстановкой), что в нашем случае и озна-
чает поле консервативных сил. 
Выводы: К настоящему моменту имеем два уравнения Максвелла для электри-
ческого поля в вакууме. 
 
div E = ρ/ε0 
rot E = 0. 
 
 
§ 11 Метод зеркальных изображений 
 
 
 
Метод  зеркальных  изображений  относится  к  способам  расчета  (точнее 
получения)  картины  электрического  поля.  Суть  метода  состоит  в  следующем. 
Если  в электрическом поле заменить эквипотенциальную поверхность провод-
ником той же формы, с потенциалом на нем равном потенциалу рассматривае-
мой потенциальной поверхности, то электрическое поле такого проводника не 
изменится по сравнению с исходным. Отметим последовательность процедур. 
Имеем эквипотенциальную поверхность в электрическом поле 
Имеем проводник той же формы 
Помещаем проводник на место потенциальной поверхности. 
Пример1 
 
Поместим заряженную металлическую сферу на место воображаемой эк-
випотенциальной поверхности сферической симметрии 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
 
 
 
 
 
 
235

 
 
Пример 2  (иллюстрация ответа на вопрос «Почему зеркальных?») 
 
Имеем положительный точечный заряд и заряженную плоскость. Если за 
плоскостью на таком же расстоянии по нормали поместить отрицательный за-
ряд,  то  картина  поля  в  точности  будет  эквивалентна  той,  что  напоминает  зер-
кальное отражение в плоскости исходного точечного заряда и всей картины его 
поля 
 
 
 
 
 
 
++
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
---
 
 
 
 
Резюмировать ситуацию проще цитатой из курса лекций по физике аме-
риканского автора Р. П. Фейнмана: 
«В  книгах  можно  найти  длинные  перечни  решений  задач  электростатики  для 
гиперболических поверхностей и других сложных штук. Вас могло бы удивить, 
как  это  удалось  рассчитать  поля  близ  поверхностей  столь  ужасной  формы,  но 
они были рассчитаны задом наперед! Кто-то решил простую задачу с фиксиро-
ванными  зарядами,  а  затем  обнаружил,  что  появляются  некоторые  эквипотен-
циальные  поверхности  новой  формы,  ну,  и  написал  работу,  что  поля  снаружи 
проводника такой формы могут быть изображены так-то и так-то.». 
 
 
 
 
 
236

 
 
Глава 2    Проводники в электрическом поле 
 
 
 
§ 1 Проводник во внешнем электрическом поле 
 
 
 
Будем  представлять  себе  проводником  тело  (как  правило  металл,  но  не 
обязательно: это может быть жидкий электролит или ионизованный газ) имею-
щее на каждую структурную единицу (атом или молекулу) один или несколько 
свободных  носителей  электрического  заряда.  Электроны  и  ионы,  способные 
проводить электрический ток и, вообще принимать участие в явлениях прово-
димости называются электронами и ионами проводимости. Так, например, ще-
лочные металлы (Li, K, Na, Rb, Cs) можно представлять себе в виде регулярно 
расположенных ионных остовов, погруженных в более или менее однородную 
электронную жидкость. Металлы переходных групп и ближайшие к ним харак-
теризуются большими энергиями связи электронов. В таблице приведены числа 
электронов, n, приходящихся на 1см3 для некоторых элементов 
n, 1022 см-3 
4,7  2,65 1,4  1,15  0,91 8,47 
Элемент Li 
Na  K 
Rb  Cs  Cu 
 
 
5,86 5,90 17  13,2 
Ag Au Fe  Zn 
 
 
В 1897 году Джозеф Джон Томсон (не путать с лордом Кельвином Том-
соном  Уильямом  и  другими  Томсонами)  при  исследовании  катодных  лучей 
предположил  и  доказал  существование  электронов  (не  путать  также  с  сыном 
лорда Кельвина – Томсоном Джорджем Паджетом, который занимался дифрак-
цией электронов на кристаллах и электронными микроскопами). 
 
237

 
В 1900 году Друдэ разработал свою теорию электро- и теплопроводности 
– он рассматривал электроны в металле как электронный газ и применил к нему 
кинетическую теорию газов. 
Основные положения теории Друдэ. 
 
Приближение независимых электронов. В промежутках между столкновениями 
не  учитывается  ни  электрон  электронное  взаимодействие,  ни  электрон  ионное 
взаимодействие для квазисвободных электронов в металлах. 
Столкновения  рассматриваются  как  мгновенные  события – внезапное  измене-
ние скорости частиц, причинами которого пренебрегают. 
 
 
 
 
 
 
 
Вероятность  испытать  столкновение  для  частиц  пропорциональна  отношению  
dt/τ , где  τ -  усредненное время свободного пробега электронов (константа для 
данного металла), dt – время собственно столкновения. 
 
Выведем  электроны  в  металле  каким-либо  способом  из  состояния  равновесия. 
Возврат  к  равновесию  происходит  благодаря  взаимодействию  (столкновению) 
электронов между собой и со структурой, причем скорости электронов сразу же 
после столкновений не связаны с их скоростями до столкновений и направлены 
случайным образом (величина средней скорости при этом соответствует равно-
весной температуре тела). 
 
Популярность модели Друдэ определялась очень хорошим согласием его 
положений с экспериментальными результатами. 
Поскольку в проводниках 
есть  заряженные  частицы,  которые  могут  двигаться  свободно  (квазисвободно, 
например, электроны внутри куска металла), то при внесении такого проводни-
ка в электрическое поле на эти частицы начинает действовать сила, и они при-
ходят в движение. 
 Положительные  частицы  движутся  в  направлении  вектора    E , отрица-
тельные – в  противоположную  сторону.  В  результате  такого  движения  про-
изойдет  так  называемое  разделение  зарядов.  Наступит  состояние  равновесия, 
при котором внутри проводника образуется внутреннее поле, направленное на-
встречу внешнему и равное ему по величине. 
 
 
 
 
 
238

 
                                                                                        E    
 
                           _                          +    
                          _                            + 
                          _                             +  
                          _    Eвнутреннее          +  
                           _                           +   
                           _                          +   
                            _                        + 
 
  
Внутреннее поле  =  внешнему ⇒  внутри проводника поле равно нулю. 
 
Заметим также, что в состоянии равновесия силовые линии напряженно-
сти должны быть нормальным к поверхности тела, касательных составляющих 
у них быть не может вследствие равновесия. Иначе об этом можно сказать так: 
линии напряженности электрического поля должны быть перпендикулярны эк-
випотенциальной поверхности, которой является в данном случае поверхность 
самого проводника. Аналитически это можно выразить так: 
 
E = - ∇ϕ, Ex = -∂ϕ/∂x, Ex = 0 ⇒ ∂ϕ/∂x = 0 ⇒ ϕ = cst. 
 
Поверхность  проводника  является  поверхностью  одинакового  потенциала.  За-
ряды при этом находятся в тонком приповерхностном слое толщиной в среднем  
1 – 2  атома. Мы можем прийти к выводу. Внутри любой металлической решет-
ки (сетки) отсутствует электрическое поле. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Такое устройство называют клеткой Фарадея. Внутри такой клетки мож-
но, например, проводить точные опыты с зарядами. 
 
 
 
239

§ 2 Электрическая емкость 
 
 
Рассмотрим  два  заряженных  проводника  произвольной  формы.  Одним  из  них 
может служить Земля. 
 
 
                             +                                                             _       
                                 +                                                    _  
                                  +                                           _ 
                                    +                                     _   
                                    +                                  _ 
                                    +                                  _        
                                +                E                   _             
 
 
 
Если подзарядить один из проводников, то на другом как говорят, инду-
цируется дополнительный заряд противоположного знака и возрастает разность 
потенциалов между проводниками. Отношение же величины заряда к разности 
потенциалов (или электрическому напряжению) для двух данных проводников 
будет  оставаться  постоянным.  Так  получается  сохраняющаяся  величина  для 
двух данных проводников 
 
Q1/U1 = Q2/U2 = … = C ⇒ Q = CU. 
 
Здесь.  С -  постоянная, характеризующая способность проводников аккумули-
ровать  (накапливать)  заряд.  С  зависит  от формы, качества и размеров провод-
ника, а также качества среды (в электрическом отношении) между проводника-
ми. Причем 
 
 
C со средой/ С ваккума = ε 
 
Очевидно, что  ε вак = 1, а вот  ε воздуха = 1,000594. 
 
 
[C] = [Q/U] = Кл/В = Ф (Фарада), то есть изменение заряда на  1 Кл ,  приводя-
щее к изменению разности потенциалов в  1 В  произойдет при наличии емко-
сти между проводниками в  1 Ф . 
 
 
 
240

§ 3 Электростатический генератор Ван-де-Граафа 
 
 
Первый электростатический генератор (ускоритель) электронов на энергию  80 
КэВ (кило электрон вольт) был построен в 1929 году Ван-де-Граафом. 
Вначале  рассмотрим  схематично  способ  получения  значительного  количества 
заряда. Здесь используется то обстоятельство, что заряды всегда распределяют-
ся по внешней поверхности проводника. Для получения заряда очень большой 
величины  (что  создаст  высокое  напряжение  между  разделенными  зарядами) 
используется следующая схема. К полому шару прикасаются с внутренней сто-
роны малым шаром на изоляторе, после того как его подзаряжают от элемента. 
Процедуру повторяют до тех пор, пока пе реносимая доля не станет равна утеч-
ке через изолятор полого шара. 
Полый шар с отверстием  
 
                                      Переносчик зарядов 
                                                                                             Элемент       
                                                          + +
                                                                                         +  
                 +                                                                     + 
                                                                                      +           _ 
 
                     Изоляторы 
 
Приведем схему ускорителя  Ван-де-Граафа. 
 
                   1  
 
 
 
 
 
                      4 
 
                     5 
 
 
 
 
 
        -    U   +   
                               3               2 
 
 
241

 
1 - высоковольтный электрод – шар. Такая форма оптимальна, она дает равно-
мерное  распределение  заряда.  Радиус  шара  обычно  составляет  несколько  мет-
ров. Шар радиусом  r = 5 м  уже считается большим. Чем меньше радиус кри-
визны  заряженного  тела,  тем  большая  напряженность  электрического  поля 
(больше густота линий напряженности) около этих точек тела 
 
 
максимальная кривизна             минимальная кривизна 
 
 
 
 
 
плоскость                                                                острие (иглы) 
 
 
 
Оценим  максимально  достижимую  разность  потенциалов  исходя  из  радиуса 
сферы.  Напряжение  пробоя  воздуха  составляет 3 106  В/м = 3 В/мкм,  и  сильно 
зависит от влажности, давления, наличия в воздухе частичек и т.д.. Тогда 
 
E = ϕ/r ⇒ ϕ = E r = 3 106 5 = 15 106 В = 15 МВ. 
 
Практически  же  удается  реализовать  для  данных  параметров  ϕмакс = 3÷4 МВ. 
Система при этом заполняется сухим газом под высоким давлением (частица не 
успевает разбежаться и ионизовать другие). 
– опорный валик (с обеих сторон транспортера) 
– гребенчатый электрод, используемый для подачи на ленту транспортера заря-
дов  от  источника.  Точно  такой  же  электрод  в  верхней  части  транспортера  (не 
показан  на  рисунке)  передает  заряд  на  внутреннюю  поверхность  сферы  после 
чего заряды равномерно распределяются по внешней поверхности сферы. 
 – Опорная колонна 
 – Транспортер зарядов. 
 
Передача заряда осуществляется посредством коронного разряда (путем подбо-
ра  соответствующего  напряжения).  При  движении  ленты  транспортера  совер-
шается  работа  по  преодолению  сил  электрического  поля.  Скорость  движения 
ленты  20 – 40 м/с (сравним: пешеход – 6 км/час  = 1,6 м/с, велосипедист – 20 
км/час = 5 м/с, автомобиль – 60 км/час = 15 м/с). Когда заряд накопиться гене-
ратор  использую  как  ускоритель  для  разгона  заряженных  частиц,  например, 
электронов. 
 
 
242

 
 
 
 
 
 
 
 
Глава 3   Диэлектрики в электрическом поле 
 
 
§1 Поляризация диэлектриков 
 
 
 
Диэлектрики – это вещества, у которых свободных носителей заряда  нет 
!! Так в идеале. На самом деле, если в металлах свободных носителей заряда ≈ 
1022  см-3,  то  в  диэлектриках,  вследствие  несовершенства  кристаллической 
структуры (разорванные связи, инородные атомы и пр.) количество свободных 
носителей  оценивается  от 102  до 107  см-3.  Такое  количество  относительно  ни-
чтожно мало. Будем считать для определенности, что все электроны в диэлек-
триках  не  свободны,  но  связаны  с  атомами  и  молекулами.  Представим  себе 
мысленный опыт: имеем слегка подзаряженный электрометр, поднесем к нему 
незаряженный диэлектрик 
                                    + + + + + + + + + + + + +         
                                    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _                                                
                                         
                                    + + + + + + + + + + + +  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
243

 
Мы увидим, что показания электрометра уменьшатся. Если убрать диэлектрик, 
то показания электрометра  вернуться к исходному положению. 
 
Если бы вместо диэлектрика был проводник, то мы объяснили бы это по-
ведение  тем,  что  на  проводнике  возник  индуцированный  заряд  и  изменил 
(уменьшил, скомпенсировал) поле электрометра. Если с диэлектриком рассуж-
дать также, то надо также предполагать возникновение индуцированного заря-
да. Представим себе другой мысленный эксперимент. 
 
 
 
 
                                       _   
                                  +       
 
                                                    + 
 
 
 
 
Стеклянная  палочка  на  нитке  в  поле  заряженного  шара  поворачивается  вдоль 
линий напряженности электрического поля. Этот опыт также свидетельствует в 
пользу возникновения индуцированного заряда. Однако, диэлектрики электри-
ческого тока не проводят, так как свободных носителей заряда в них практиче-
ски нет. 
 
Для объяснения этих опытов привлечем явление, которое называется по-
ляризацией диэлектриков и наличие в диэлектриках так называемых поляриза-
ционных зарядов, которые могут поворачиваться в электрическом поле, сохра-
няя  неизменным  центр  масс.  Терминология,  таким  образом,  используется  сле-
дующая. 
Металлы – индуцированные заряды, 
Диэлектрики – поляризационные заряды. 
Отметим следующую разницу, которая восходит к эксперименту. 
Металл 
 
 
    +                                         _      +                                                   _ 
            
+
-
  
 
 
можно разрезать не вынося из поля и разделить заряды. 
Диэлектрик 
 
244

 
 
       +                                   _         +                   _     +                     _   
 
 
 
 
Разрезать можно – разделить заряды нельзя. Тогда, принимаем следующую мо-
дель (версию). Диэлектрики состоят из молекул, представляющих собой дипо-
ли. 
 
 
 
 
 
 
 
 
           
 
       
+           -
 
 
     
+         - 
             
 
 
без поля                                       в поле 
                                          
 
 
Замечание. Молекулы как диполи проявляют себя в двух видах 
Неполярные: в отсутствие электрического поля центры масс и геометрические 
центры зарядов совпадают (симметричные молекулы). К ним относятся H2, O2, 
N2, и т.д., как правило это газы - упругие диполи. 
Полярные:  в  отсутствие  электрического  поля  центры  масс  и  центры  зарядов 
сдвинуты друг относительно друга - жесткие диполи. 
 
 
 
 
 
                    
 
 
 
 
 
 
 
 
245

Однако и те и другие молекулы (сферические в поле вытягиваются и также ста-
новятся  полярными)  в  электрическом  поле  поворачиваются,  чтобы  располо-
житься по полю, а центры их масс остаются при этом на месте. 
 
 
§ 2 Модель расчета электрического поля диполя 
 
 
 
Диполь в данной модели – система, состоящая из двух одинаковых по ве-
личине разноименных точечных зарядов (+q, -q)  , расстояние между которыми 
значительно меньше расстояния до тех точек, для которых ведется расчет поля 
диполя  (напомним,  что  расчет  электрических  полей – основная  задача  курса 
электростатики).  Привяжем  декартову  систему  координат  к  диполю  согласно 
рисунку  
 
 
                      Z 
r >> d 
                                                                                   P(x,y,z)   
                                                   r+     
 
                       +q                    r    
                                                            r_    
                       d/2  θ 
                d                                                      Y 
                        d/2   
     X   
                       -q 
 
 
 
 
                      Z 
                z-d/2   
                                           r+ 
                            +       z        r                                                z  
 
 
              z + d/2                       r_ 
                             _  
 
                                                             y  
 
246

 
В условиях задачи потенциал искомой точки можно найти по формуле для то-
чечного заряда 
 
ϕ(r) = |q|/4πε0 r(±),  r2 = x2 + y2 + z2, r_2 = y2 + (z + d/2)2, 
 r 2
+  = y2 + (z - d/2)2. 
Для +q:  z = d/2 ⇒ r 2
+  = x2 + y2 + (z – d/2)2 
Для –q:  z = - d/2 ⇒ r_2 = x2 + y2 + (z – d/2)2. 
 
ϕ+ = q/4π[(z – d/2)2 + x2 + y2]1/2, ϕ_ = - q/4π[(z + d/2)2 +x2 + y2]1/2. 
 
Поскольку  d  относительно мало, то 
 
(z ± d/2)2 = z2 ± z d + d2/4 ≅ z2 ± z d,  
r 2
±  = x2 + y2 + z2 ± z d = r2 ± z d = r2(1 ± z d/r2)2. 
ϕP =  ϕ+ + ϕ_ = (q/4πε0)[(r2 – z d)-1/2  -  (r2 + z d)-1/2] =   
= (q/4πε0r)[(1 – z d/r2)-1/2 – (1 + z d/r2)-1/2]. 
 
Разложим  (1 ± z d/r2)-1/2 в ряд вида 
 
(1 ± x)-m = 1 ± m x ± …   x << 1. 
(1 ± z d/r2)-1/2  =  1 ± z d/2r2 ± … . ⇒  
ϕP = (q/4πε0r)[1 + z d/2r2 – 1 + z d/2r2] = q z d/4πε0r r2. 
z/r = Cos θ,  p = q d  ⇒ ϕP = p Cos θ/ 4πε0r2. 
 
                                                                                             z  
 
 
                                                              P(x,y,z) 
                      z  
 
                                                                                             d 
                                                   r                                                              y    
                             θ  
 
 
 
 
 
 
 
 
247

d – вектор, имеющий направление от отрицательного заряда к положительному, 
а по величине равный расстоянию между зарядами. 
Во-первых имеем: 
Диполь -               ϕ ~ 1/r2 
Точечный заряд - ϕ ~ 1/r. 
Во-вторых. 
 
p = d ⇒ ϕP = p r Cosθ/4πε0r3 = p r /4πε0r3. 
 
Для  отыскания  вектора  напряженности  электрического  поля,  необходимо  рас-
считать его компоненты по  x, y  и  z. Воспользуемся выражениями 
   
ϕ = p z/ 4πε0r3  и  E = -∇ϕ = - (i∂ϕ/∂x + j∂ϕ/∂y + k∂ϕ/∂z), 
 
Ez = (-p/4πε0 )∂ (z/r3)/∂z  = (-p/4πε0)(1/r3 – 3z2/r5), 
 
Ey = (-p/4πε0)∂(z/r3)/∂y = 3zy/r5, 
 
Ex = (-p/4πε0)∂(z/r3)/∂x = 3zx/r5. 
 
Замечание. Здесь, например 
 
∂(z/r3)/∂x = ∂[z (x2 + y2 + z2)- 3/2]/∂x = z (- 3x)/ (x2 + y2 + z2) 5/2 = -3xz/r5. 
 
Тогда весь вектор  E  можно записать в виде 
 
E = (p/4πε0)[3zxi/r5 + 3zyj/r5 + (1/r3 – 3z2/r5)k
 
                      Ex              Ey                Ez. 
 
Таким образом, электрическое поле диполя рассчитано в данной модели с ука-
занными допущениями. 
 
 
§ 3 Поляризованность 
 
 
 
Итак, у нас есть понятие электрического дипольного момента 
 
p = d
 
 
248

Поскольку диэлектрик можно представить себе состоящим из диполей, то через 
понятие  диполя  можно  охарактеризовать  и  диэлектрик  в  целом.  Количествен-
ной характеристикой поляризации диэлектрика в целом служит физическая ве-
личина – поляризованность.  Поляризованность – электрический  дипольный 
момент единицы объема диэлектрика, он равен векторной сумме электрических 
дипольных моментов,  pi ,  деленной на величину самого объема  V 
 
P = (1/V) Σ pi. 
 
Частный случай. Если  pi  - все одинаковы, то есть  q  и  d  - одинаковы, то тогда 
и  P – поляризованность одинакова во всем диэлектрике. Такие диэлектрики на-
зывают однородными в смысле  поляризации. О размерностях. 
 
[pi] = Кл м, [P] = Кл/м2. 
 
Таблица поляризованности некоторых элементов 
 
Элемент  H He Li  Ne Na Ar K 
 
 
Поляри-
0.66 
0.21 
12 0.4 27 1.6 4 
зован-
ность, 
отн. ед. 
 
Оболочки щелочных металлов легко деформируются в электрическом поле из-
за слабой связи валентных электронов с ядром, а благородные газы более жест-
кие в этом смысле, отсюда – количественные отличия в поляризованности. 
 
 
                   H Cl                                                        H2O     
 
                                 H   
                                                                                                O 
                                                                                                      p 
        Cl                           p                                    H  
                                                                                                  H  
 
 
 
Иногда применяют термин поляризуемость подчеркивая этим способность ди-
электриков к поляризации в электрическом поле. 
 
 
249

 
§ 4 Вектор электрической индукции 
 
 
В системе единиц  «СИ»  произведение  ε0E  называется электрическим смеще-
нием вакуума и обозначается 
 
D0 = ε0 E,  [D] =  Ф В/м м = Кл/м2. 
 
Если обобщить это понятие на случай произвольной среды, а не только вакуу-
ма, то 
 
D = ε0E + P
 
где  D – вектор электрической индукции, или иначе - электрическое смещение. 
Эта  физическая  величина  содержит  в  себе  информацию  о  реакции  среды  на 
приложение электрического поля (далее в данном разделе предполагается, что к 
диэлектрику приложено электрическое поле и исследуется вопрос о том, какое 
поле  образуется  внутри  диэлектрика).  В  диэлектрике  суммируется  действие 
внешнего и внутреннего полей (точнее говоря происходит отклик диэлектрика 
своими внутренними ресурсами на приложенное внешнее поле), результирую-
щее поле терминологически называется электрическим смещением. 
 
Если диэлектрик изотропный, то есть у него во всех направлениях поля-
ризация одинакова (существуют и анизотропные диэлектрики), то для него по 
всему объему диэлектрика можно записать следующее выражение 
 
P = α ε0 E
 
которое справедливо в не слишком сильных полях. Здесь  α - скалярная вели-
чина, называемая диэлектрической восприимчивостью и 
 
D = ε0E + α ε0 E = (1 + α)ε0E = ε ε0E, ε = 1 + α. 
 
Если  диэлектрик  анизотропный,  то  возникнут  составляющие  электрического 
смещения  Dx, Dy, Dz , зависящие от каждой компоненты  Ex, Ey, Ez , приложен-
ного извне электрического поля. 
 
D = {Dx, Dy, Dz}. 
 
Dx = ε xx ε0Ex + ε xy ε0Ey + ε xz ε0Ez 
 
Dy = ε yx ε0Ex + ε yy ε0Ey + ε yz ε0Ez 
 
250

 
Dz = ε zx ε0Ex + ε zy ε0Ey + ε zz ε0Ez. 
 
                D0x            D0y            Doz                 
 
ε ∼ ε (E) ⇒ ε lm (параметр двойного индекса). 
 
В данном случае диэлектрическая проницаемость – тензор второго 
ранга (напомним, что вектор – тензор первого ранга, скаляр –  
нулевого). Компоненты тензора второго ранга запишем в виде таблицы 
 
 
                        ε 11   ε 12   ε 13  
                         
       ε lm  =        ε 21   ε 22     ε 23        ,  x → 1, y → 2, z → 3  
 
                        ε 31    ε 32   ε 33    
 
 
D i  =  ε 0 Σ ε ik E k 
                k 
k, i = (1,2,3  или  x,y,z). 
 
В записи дважды встречающийся индекс означает суммирование по нему 
 
Dm = ε 0 ε i k El . 
 
Резюме. В анизотропных диэлектриках  D  и  E  не коллинеарные вектора. 
 
Емкость плоского конденсатора. 
 
Рассмотрим конденсатор, прибор, способный накапливать электрический 
заряд. 
 
  ϕ1             ϕ2          U = ϕ1 - ϕ2                        U    
 
 
                                                                  S 
 
C0, q                               
                  ϕ2 = 0                                      0              d                          x           
 
                                                                          d 
 
251

 
Пусть конденсатор – плоский, причем  d<<√ S. d – расстояние между пластина-
ми, S – площадь пластин, σ - поверхностная плотность зарядов, с которой рав-
номерно заряжены пластины конденсатора (напомним, что  Ε = σ/ε 0). Найдем 
разность потенциалов  U. 
 
U = ϕ1 - ϕ2 = ∫ E dx = σ/ε 0 ∫ dx = σ d/ε 0, σ = q/S ⇒ U = qd/Sε0,  
 
C0 = q/U = ε0σ/d. 
 
 
Теперь проведем мысленный эксперимент – заполним пространство меж-
ду пластинами диэлектриком и будем заряжать их до такого же заряда  q  как и 
без  диэлектрика.  Измерим  разность  потенциалов.  Мы  выясним,  что  разность 
потенциалов другой по сравнению с конденсатором без диэлектрика. Посколь-
ку  q  остается неизменной (по нашему произволу)  тогда 
 
Q = C1U1 = C0U ⇒ C1/C0 = U/U1 = E /E1 = ε. 
 
Здесь  ε  есть  та  самая  относительная  диэлектрическая  проницаемость  (относи-
тельно вакуума), которая была введена нами ранее. В данном представлении ε 
измеряется  экспериментально  как  отношение  напряжений.  В  таблицу  сведены 
сильно отличающиеся диэлектрические проницаемости разных веществ. 
 
вещество 
вакуум  воздух 
стекло  вода  Титанат бария 
Ba Ti O2 
ε 
1 1.000594 
5-10 
81 
6000-7000 
 
Таким образом емкость конденсатора в произвольном случае равна 
 
C = C1 = C0 ε = ε ε0 S/d. 
 
Замечание: поведение  Ba Ti O2  с температурой 
 
 
 
 
 
 
 
 
252

       ε 
 
 
                ~ в 10     раз 
 
 
 
 
 
                                                                                    θК ≅ 120         Т°С 
 
Вещества  с  таким  температурным  поведением  называют  сегнетоэлектриками. 
Они представляются состоящими из доменов – частей с одинаково направлен-
ными диполями (дипольными моментами). Слева от максимума происходит пе-
рестройка доменов – объединение мелких в один большой домен с одинаково 
направленными дипольными моментами. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Справа от максимума происходит разрушение всей доменной структуры по за-
кону  ε ~ 1/T , который называется законом Кюри – Вейсса. Максимальное зна-
чение  ε  приблизительно соответствует температуре, называемой температурой  
Кюри - θК.  При  обратном  ходе  температуры    ε    проходит  все  стадии  прямого 
пути  с  характерными  для  подобных  процессов  гистерезисными  явлениями.  В 
итоге  ε  возвращается к исходному состоянию. 
 
 
§ 5 Энергия электрического поля 
 
 
 
В  начале  коснемся  энергии,  совершаемой  при  перемещении  точечных 
электрических зарядов. 
 
При перемещении электрических зарядов силы кулоновского взаимодей-
ствия совершают определенную работу  А. 
 
253

 
Системе  электрических  зарядов  можно  приписать  энергию  взаимодейст-
вия, за счет убыли которой совершается работа. 
 
A = - ∆W, ϕ = - A/q = W/q, - A = - ϕq = ∆W, - ∆W = -(W2 – W1) = A21 =  = - A12/ 
 
Часто работа против сил поля считается положительной, а работа самого поля – 
отрицательной. Пусть заряд  q1  создающий поле точечный, тогда 
 
ϕ = q1/4πε0εr, W = q ϕ = q1 q / 4πε0εr. 
 
Рассмотрим систему большого числа точечных зарядов. 
 
 
 
 
 
                                                                                   q1      
 
                                        r12       
 
 
 
        q2 
 
 
 
 
Энергия взаимодействия между  1  и  2  зарядами равна 
 
W12 = q1q2/4πε0r12. 
 
Среду вокруг зарядов предполагаем эквивалентной вакууму с диэлектрической 
проницаемостью близкой к единице. Энергия взаимодействия между  i  и  j  за-
рядами запишется 
 
W ij = qiqj/4πε0rij. 
 
Если найти энергию взаимодействия между каждой парой зарядов и сложить их 
все, получим 
 
W = (1/2) Σ qiqj/4πε0rij =  Σ qi ϕj/2 
        по всем парам    
 
 
254

Коэффициент    ½    появляется  от  того,  что  каждая  пара  зарядов  в  такой  сумме 
просчитана дважды. Представим, что число зарядов возрастает до непрерывно-
го их распределения (так, что становиться возможен континуальный подход). 
 
qi → dqi,  dqi = ρi dVi, dϕ = dqi/4πε0r, 
 
 ϕ = ∫ ρ dV/4πε0r 
  (по j – ым объемам) 
 
Если для нахождения потенциалов интегрирование ведется по объемам, содер-
жащим  заряды  с  индексом    j  ,  то  для  самих  зарядов  интегрирование  остается 
вести по объемам содержащим заряды  i . 
 
dW  = (1/2) Σ dqi dϕj, Σ → ∫ , 
 
 W = (1/2) ∫ ∫ dqi dϕj = (1/2) ∫ ∫ ρidViρjdVj/4πε0r. 
                (i, j)                     (i, j) 
 
Интегрирование как по  i , так и по j  в конечном итоге проводится по одному и 
тому же объему как суммирование в пределе по каждому элементарному объе-
му всего объема в целом. В итоге получим равенство 
 
W = (1/2) ∫ ρ ϕ dV 
                V 
 
Это равенство можно истолковать так: потенциальная энергия заряда величины  
q = ∫ ρ dV  равна произведению величины этого заряда на потенциал, создавае-
мый другими зарядами в той же точке. Вообще говоря, только что была вычис-
лена энергия внутри объема  WV . Можно также говорить и об энергии на по-
верхности 
 
 
Ws = ∫ σ ϕ dS 
        S 
 
⇒ W = WV + WS. 
 
Заметим, что энергия поверхности как правило много меньше энергии объема. 
Справедливы  также  формулы  объемной  и  поверхностной  плотности  энергии, 
например 
 
w= dW/dV = ρϕ/2. 
 
255

 
Выразим энергию электрического поля через его напряженность. 
В конденсаторе 
 
U = E d, E = σ/εε0 = q/Sεε0 ⇒ q = Sε ε0 E = S ε ε0 U/d. 
 
W = Uq/2 =( ½) E d S ε ε0 = (S d = V) = εε0 V E2 ⇒ w = W/V = ε ε0E2/2. 
 
Для произвольного объема 
В общем случае, если энергия распределена по объему неравномерно, имеем 
 
W = dW/dV, dW = w dV ⇒  
 
W = ∫ w dV = ∫ εε0E2 dV/2. 
       V             V 
 
 
В проводнике 
Поверхность проводника эквипотенциальна, то есть потенциалы точек поверх-
ности проводника все одинаковы. 
 
W = Σ qi ϕj/2 = ϕ/2 Σqi = ϕQ/2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
256

 
 
 
 
 
 
Глава 4    Постоянный электрический ток 
 
 
§ 1 Сила и плотность электрического тока 
 
 
 
Электрическим током называют упорядоченное движение электрических 
зарядов    (электрически  заряженных  частиц) . Для  получения  электрического 
тока необходимо выполнение двух условий одновременно. 
1. Наличие свободных электрических зарядов 
2. Эти заряды должны находиться в электрическом поле 
Как осуществить эти условия ? Возможность приложения электрического поля 
как  правило  сводится  к  проблеме  хороших  электрических  контактов.  Свобод-
ные  электрические  заряды  есть,  например,  в  металлах,  электролитах,  ионизо-
ванном газе, других твердых и иных телах. Силу электрического тока опреде-
лим как изменение электрического заряда со временем. Если за равные проме-
жутки времени заряд изменяется на одинаковую величину, то 
 
i = q/t, [i] = Кл/с = А. 
 
А если же нет 
 
i= dq/dt, q = ∫ i(t) dt. 
 
Возможен  и  другой  подход.  Прежде,  чем  охарактеризовать  движение  зарядов 
силой тока, введем понятие плотности тока. 
 
Плотность электрического тока равна (численно) величине заряда, прохо-
дящего  в  единицу  времени  через  единичную  площадку,  расположенную  пер-
пендикулярно линиям тока 
 
j = q/St. 
 
257

 
В  среде  с  движущимися  упорядоченно  зарядами  рассмотрим  параллелепипед, 
составленный из линий тока 
 
 
                                                                S = n S,  v = l/t 
 
 
                            
                                 S 
 
S
                                                             n        
                                  
                                    l    
 
 
  
Длина такого параллелепипеда  l  численно равна скорости в единицу времени  
(скорость – единичная длина или иначе говоря длина в единицу времени) . То-
гда число частиц, которые пройдут через площадку  S  за единицу времени рав-
няется числу частиц, заключенному внутри этого параллелепипеда, а полное же 
число частиц равно 
 
N = n S v t  (v t = l). 
 
n – концентрация  частиц  (число  частиц  единичного  объема).  Полный  заряд 
внутри параллелепипеда равен 
 
q = qe N = qe n S v t . 
 
Отсюда  можно  найти  плотность    тока,  направление  которого  совпадает  с  на-
правлением скорости частиц 
 
j = q/St = qe n v, j = qe n v
 
Заметим, что так как 
 
 
J = i/S, i = q/t ⇒ j = di /dS, i = ∫ dS
                                                 S 
 
Интегрирование  проводится  по  всей  поверхности,  через  которую  протекает 
электрический ток. 
 
258

 
 
§ 2 Закон Ома 
 
 
 
Ом экспериментально установил закон. Сила тока, текущего по однород-
ному металлическому проводнику прямо пропорциональна разности потенциа-
лов, приложенной к концам этого проводника. 
 
Интегральная форма записи закона Ома. 
 
   +                          i                                     _     
ϕ1                                                                    ϕ2 
 
∆ϕ = ϕ2 - ϕ1, U = ϕ1 - ϕ2, i ~ U, i = GU = U/R, [G] = Сименс, [R] = Ом. 
 
Дифференциальная форма записи закона Ома. 
 
 
Рассмотрим  отрезок  проводника  (кусок  проволоки).  Выразим  сопротив-
ление этого куска проволоки через его размеры, считая его электрически одно-
родным. 
 
 
 
         S                       l   
 
 
R ∼ l/S, R = ρ l/S = (1/σ) l/S, [ρ] = Ом м, [σ] = (Ом м)-1. 
 
ρ - удельное сопротивление, σ - удельная электрическая проводимость. Приве-
дем сводку удельных сопротивлений металлов и одного сплава при  20°С. 
 
 
Элемент 
Медь Железо  Серебро  Константан 
 
(сплав, Cu - 58.8%, Ni – 40%, 
Mn – 1.2%) 
ρ, 10-9 Ом м  17 98  16 
440 
 
Проведем преобразования 
 
259

 
R = l/σS = U/i ⇒ i/σS = U/l ⇒ j/σ = E ⇒ j = σE. 
 
В векторной форме 
 
j= σ E
 
Здесь  j, σ  и  E  характеризуют электрическое состояние среды в каждой дан-
ной точке являясь функциями координат и времени.  
 
 
§ 3 Подвижность носителей заряда 
 
 
 
Введем новую физическую величину, характеризующую поведение заря-
женных частиц при их движении в электрически активной среде. 
 
j = env, j = σE ⇒ env = σE, σ = env/E = enµ.  µ = v/E, [µ] = м2/В с. 
 
µ - скорость  заряженной  частицы  приведенная  к  единичной  напряженности 
электрического поля называется подвижностью. v  называют дрейфовой скоро-
стью  (vдр)  или скоростью дрейфа заряженной частицы (электрона) или квази-
частицы (дырка) в электрическом поле. (Заметим, что наличие падения напря-
жения  (разности  потенциалов)  означает,  что  для  вектора  напряженности  элек-
трического поля существует отличная от нуля ее составляющая  Eτ вдоль про-
водника. 
 
                             En                            E  
 
 
 
                                                            Eτ   
 
 
µ для данного проводника в одних и тех же условиях является постоянной ве-
личиной. Механически движение под действием электрического поля заряжен-
ной частицы можно трактовать, например, как скатывание шарика под уклон на 
наклонной плоскости с шероховатостями, препятствующими скатыванию.  
 
 
 
 
 
260

 
 
    _     
 
 
 
 
 
                                                          + 
 
 
 
Уклон  эквивалентен  напряженности  электрического  поля  (электрическому  на-
пряжению, разности потенциалов), а шероховатости – электронным оболочкам 
атомов, их ядрам, носителям заряда, а также несовершенствами среды, по кото-
рой течет ток. 
 
 
§ 4 Закон Ома для замкнутой цепи 
 
 
 
Ранее мы упоминали об элементах Вольты и Даниэля-Якоби. Существу-
ют и другие элементы и источники напряжения (тока) . В электротехнике эле-
менты обозначают символами. 
 
 
                                                                           e         r    
               e                                                          _         +                  
               _        +     
 
                R 
 
 
 
                                                                                  R 
 
 
 
В элементе заряды разделены. Если замкнуть цепь на внешнюю нагрузку, кото-
рой служит резистор  R , то при переносе заряда по электрической цепи будет 
совершена работа. 
 
 
261

E = A/q ⇒ A = e q. 
 
e – электрическое  напряжение,  для  которого  исторически  сложилось  название 
электродвижущая сила – ЭДС. 
 
A = e i t  (q i t). 
 
Рассмотрим  участок  цепи.  Для  него  работа  численно  равная  теплу  Джоуля - 
Ленца рассчитывается по формуле  
 
Q = AR = U q = U i t. U = i R ⇒ AR = i2R t. 
 
Для замкнутой цепи с источником ЭДС необходимо учесть внутреннее сопро-
тивление  самого  источника  согласно  эквивалентной  схеме  на  рисунке.  Соста-
вим баланс энергий. 
 
A = Qr + AR 
 
A – полная энергия высвобождаемая при химической реакции в элементе 
 
A = e i t. 
 
Qr – тепло, которым обменивается электролит и электроды со средой, оставаясь 
при этом в тепловом равновесии со средой 
 
Qr = Ur q = r i2 t. 
 
AR – работа тока на внешней нагрузке (утюг, компьютер, город и т.д.) 
 
AR = UR q = R i2 t. 
 
Подставив в уравнение баланса соответствующие выражения получим 
 
e i t = r i2 t + R i2 t ⇒ i = e/(R + r). 
 
Последнее  полученное  выражение  называется  законом  Ома  для  замкнутой  це-
пи.  Внутреннее  сопротивление  включает  сопротивление  электролита  и  элек-
тродов. Током короткого замыкания называют ток, текущий по цепи при замк-
нутой накоротко внешней нагрузке  R = 0 ⇒ iк.з. = e/r. 
Замечание. Определим понятие источника тока и источника напряжения. 
Источник напряжения. 
 
 
 
262

 
 
 
     UR                                             r<<R ⇒  U R ≅ e = cst(i) 
 
 
 
 
 
                                                           i 
 
 
Сопротивление  нагрузки  достаточно  велико  и  изменяется  в  процессе  работы 
незначительно. Создается ситуация, при которой напряжение на нагрузке оста-
ется примерно постоянным во время всего процесса работы схемы – отсюда и 
название: источник напряжения. 
Источник тока 
 
           i                                                 r >> R ⇒ i = cst            
 
 
 
 
 
 
                                                          UR 
В  данном  случае  сопротивление  нагрузки  много  меньше  внутреннего  сопро-
тивления. Изменение нагрузочного сопротивления слабо влияет на ток в цепи – 
отсюда и название: источник тока. 
 
 
§ 5 Электрические цепи 
 
Последовательное соединение резисторов 
 
                                                           эквивалентная 
         U1, R1                     U2, R2          ….   схема               RΣ       
  i                                                              …. ⇒       i 
                                                             
 
                                U      …. 
 
263

 
 
 
U = U1 + U2 + …  , U = i R ⇒ i RΣ = i R1 + i R2 + … = i Σ Ri ⇒ 
 
RΣ = Σ Ri. 
 
При  последовательном  соединении  двух  и  более  резисторов  их  общее  сопро-
тивление равно сумме их отдельных сопротивлений. 
 
Параллельное соединение резисторов 
 
 
 
 
           i1         R1 
 
 
                       R2                   эквивалентная                        RΣ   
          i2                              i          схема                   i      
                                                          ⇒ 
 
          i3          R3                                   
                                                  U                                         U 
 
                    ……     
 
 
 
i= i1 + i2 + …      (i = U/R) ⇒ U/RΣ = U/R1 + U/R2 + …  
 
1/RΣ = 1/R1 + 1/R2 + … = Σ 1/Ri ⇒ RΣ = (Σ 1/Ri)-1. 
 
При параллельном соединении резисторов обратная величина их общего сопро-
тивления равна сумме обратных величин сопротивлений отдельных резисторов. 
 
 
 
264

 
Последовательное соединение конденсаторов 
 
                                                 эквивалентная 
                 U1         U2            ….    Схема                             U 
 
                                                 ….  ⇒     
                   C1        C2            ….                                             C     
                         U 
 
Заряд  между  конденсаторами  распределиться  таким  образом,  что  на  каждом 
проводничке индуцируется один и тот же заряд 
 
 
                    +     _     +   _  
 
 
                  Q         Q         Q    
 
 
Тогда 
 
U = U1 + U2 + …  (U = Q/C) ⇒ Q/C = Q/C1 + Q/C2 + … 
 
1/C = 1/C1 + 1/C2 + … = Σ 1/Ci. 
 
При последовательном соединении конденсаторов обратная величина их общей 
емкости равна сумме обратных величин их отдельных емкостей. 
 
Параллельное соединение конденсаторов 
 
               Q1           C1                эквивалентная 
 
                                                         схема                  Q           C    
                 Q2        C2                           ⇒ 
 
 
 
                                             U                                             U 
 
 
 
265

Заряды между пластинами распределяются пропорционально емкостям конден-
саторов, а полный заряд равен при этом сумме этих зарядов. Пластины конден-
саторов составляют как бы части пластины одного большого (эквивалентного) 
конденсатора. 
 
Q  = Q1 + Q2 + …   (Q = C U) ⇒ C U = C1 U + C2 U + … . 
 
C = C1 + C2 + … =  Σ C i. 
 
При  параллельном  соединении  конденсаторов  их  общая  емкость  равна  сумме 
емкостей отдельно взятых конденсаторов. 
 
Последовательное соединение элементов 
 
                    _ e 1 + _  e 2  +  ….                             _   E  + 
                                                              ⇒    
                   r            r                                              rобщ.   
       I                                                           I   
 
 
 
 
                               R                                                      R   
 
 Внутреннее сопротивление эквивалентного элемента (рассчитывается как сум-
ма последовательно соединенных резисторов) и ток в цепи (по закону Ома для 
замкнутой цепи) равны соответственно 
 
rобщ. = Σ ri, I = E/(R + rобщ.)⇒. 
 
E = IR + I rобщ. = IR + I Σ ri = IR + Σ ei. 
 
R<< Σ ri ⇒ E = Σ ei. e1 = e2 = … = e ⇒ E = ne. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
266

Параллельное соединение элементов 
 
 
             I1    _  e1  +                                           _     E  + 
                                                                        
 
                                               ⇒     
              I2   _  e2   +                          I 
 
 
 
I  
 
                      R                                                      R     
 
 
 
 
Запишем  значения  общего  тока  и  общего  внутреннего  сопротивления  (как  со-
противления параллельно включенных резисторов резисторов). 
 
I = E/(R + rобщ.), rобщ = ( Σ 1/ri)-1. 
 
R<<rобщ. ⇒ E′ = I/ (Σ 1/ri) = Σ Ii/ (Σ 1/ri) = ( Σ ei/ri)/ (Σ 1/ri). 
 
К этому выражению можно прибавить падение напряжения на внешней нагруз-
ке 
 
E = E′ + ( Σ ei/ri) R. 
 
Если все элементы одинаковы и нагрузка маленькая, то 
 
ei = e, ri = r ⇒ E = e (проверяется подстановкой). 
 
То есть, ЭДС всей батареи равна ЭДС одного источника и 
 
rобщ. = r/n (n – число элементов, соединенных параллельно). 
 
 
Резюме: 
 
 
 
 
267

Прибор 
Вид соединения 
Формула 

Послед. 
Σ ri 

Паралл. 
( Σ 1/ri)-1 

Послед. 
( Σ 1/ci)-1 

Паралл. 
Σ ci 

Послед 
Σ ei, (R – мало) 

Паралл. 
(Σ ei/ri)/ Σ (1/ri), 
 (R – мало) 
 
 
Резистивный мостик (Уинстона) 
 
                                 R1                                             R2     
                     I1          rr                      a          I2        
 
 
       I 
                                                  R5 
 
                                R4                                             R3    
                     I4                                               I3  
                                                          б     
 
 
 
Такую  схему  не  свести  ни  к  последовательному  ни  к  параллельному  соедине-
нию резисторов. Запишем системы уравнений. 
Сумма падений напряжений на резисторах в замкнутом контуре равна нулю. ( 
Если бы внутри контура были источники, то был бы не «0», а алгебраическая 
сумма ЭДС). 
 
U1 + U5 + U4 = 0. 
 
2.  
 
U5 + U2 + U3 = 0 
 
Алгебраическая сумма токов, втекающих и вытекающих в точках  а  и  б  (уз-
лах), также должна ровняться нулю. Используемые здесь правила в литературе 
называют законами Кирхгофа. Ситуация, при которой ток через  R5  оказывает-
ся равным нулю называется равновесием моста. Найдем аналитические условия 
(выражения)  равновесия  моста  Уинстона.  Последовательно    R5    можно  вклю-
 
268

чить  измеритель  тока,  либо  вместо  этого  резистора  подсоединить  индикатор 
нуля.  В  этом  случае  одинаковые  токи  будут  протекать  через  пару  резисторов  
R1, R2  и  пару  R3, R4. Имеем из 1.  И  2. 
 
U5 = 0, U1 + U4 = 0, U2 + U3 = 0 ⇒ U1 = - U4, U2 = - U3 ⇒ 
 
 U1/U2 = U4/U3. 
 
U1 = I1R1  U3 = I2R3 
U2 = I1R2  U4 = I2R4 ⇒ 
 
R1/R2 = R4/R3. 
 
Пусть  R3 = Rx – неизвестное сопротивление и пусть 
 
 
 
        R4 =                              переменное сопротивление, позволяющее 
                                              установить положение равновесия.   
 
 
Rx = R4 (R2 / R1). 
 
 
Таким образом имея эталонные резисторы и переменный резистор можно 
измерять сопротивление неизвестного резистора. Такой же принцип применяют 
для  измерения  неизвестной  емкости  (и  индуктивности).  Способ  измерения  по 
методу мостика Уинстона заложен в основу работы многих прецизионных из-
мерительных приборов. 
О зарядке и разрядке конденсатора. 
 
                    C                       R1                                          К    
 
 
                                 
                                                                                 осциллографу 
                                              R2 
               _        +   
 
 
 
 
 
 
269

Зарядка и разрядка конденсатора аналитически подчиняется закону показатель-
ной  функции    в зависимости от времени. Обычно в качестве основания выби-
рают число Непера (основание натуральных логарифмов). 
 
UR2 = U0(1 – e – A t). 
 
t= 0 ⇒ UR2 = 0, t →∞ ⇒ UR2 → U0. 
 
UR1 =  U0 e -A t. 
 
t = 0 ⇒ UR1 = U0, t → ∞ ⇒ UR1 → 0. 
 
 
 
Такое  поведение  объясняется  тем,  что  если  сила,  заставляющая  скапливаться 
заряды на пластине постоянна, то сила отталкивания одноименных зарядов на 
пластинах возрастает по мере увеличения числа этих зарядов. 
 
 
§ 6 Уравнение непрерывности 
 
 
 
Рассмотрим  некоторую  электрически  активную  среду,  то  есть  среду  со 
свободными  электрическими  зарядами.  Представим  себе  в  этой  среде  вообра-
жаемую  замкнутую поверхность, Ограничивающую объем  V . Возможны три 
случая. 
Ток только вытекает изнутри через поверхность 
Весь ток протекает через поверхность, не застревая в ней 
Ток только втекает через поверхность внутрь и весь остается («гибнет») там 
Возможно также действие всех трех вариантов сразу. 
 
 
 
 
                      j(t) 
     S   
 
 
                    
      V  
 
 
 
 
 
270

 
Рассмотрим только тот ток, который ведет к убыли заряда, тогда 
 
i = - dq/dt, q = ∫ ρ dV, i = ∫ j dS,  ⇒ - d/dt = ∫ j dS ⇒  
                        V              S                           S  
 
- d/dt ∫ ρ dV =  ∫ j dS 
        V             S  
 
Согласно формуле Остроградского-Гаусса заменим интегрирование по замкну-
той  поверхности  интегрированием  по  объему,  заключенному  внутри  этой  по-
верхности 
 
∫ j dS = ∫ div j dV ⇒ ∫ div j dV = - d (∫ ρ dV)/dt ⇒  
S          V                  V                        V   
 
∫ ( div j + dρ/dt) dV = 0 

 
 
Ввиду произвольности объема, ограниченного произвольно выбранной поверх-
ностью в проводящей среде имеем 
 
div + dρ/dt = 0. 
 
Эта  формула  выражает  так  называемое  условие  непрерывности  или  закон  со-
хранения заряда при протекании тока. Определение. 
 
Убыль  заряда  со  временем  из  замкнутого  объема  равна  дивергенции 
плотности  тока,  выходящего  через  замкнутую  поверхность,  ограничивающую 
этот объем. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
271

 
 
 
 
 
 
Глава 5    Магнитное поле (вакуум) 
 
 
§ 1 Магнитная индукция – характеристика магнитного поля 
 
 
 
В  электростатике  заряды  были  неподвижны  и  рассматривалось  электро-
статическое поле неподвижных электрических зарядов. Исключение составлял 
постоянный электрический ток, однако, мы не рассматривали изменений в сре-
де вокруг проводников с токами (этим мы займемся здесь и сейчас) и уравнение 
непрерывности, где надо было связать заряды и токи. В уравнении непрерывно-
сти  изменение  плотности  зарядов  со  временем  можно  было  рассматривать 
очень медленным, квазистатическим процессом, хотя в принципе оно справед-
ливо  при  перемещении  зарядов  с  любой  скоростью.  Рассмотрим  взаимодейст-
вие проводников с токами. Из опыта следует. 
 
 
 
 
 
 
                                      I1             I2                    I1                 I2  
 
 
 
 
 
 
Ампер ( Андре Мари, французский математик, физик, химик, 1775-1836гг) ус-
тановил,  что  провода  взаимодействуют  с  силой    F    в том случае, если по ним 
течет электрический ток, причем 
 
F ∼  Ι1 Ι2 / r. 
 
 
272

Для изучения этих взаимодействий можно использовать (как аналог точечного 
заряда)  элементарный  магнит.  Магниты  существуют  в  земной  коре  в  готовом 
виде.  Опыты  с  магнитами  впервые  производил  Эрстед    (Ханс  Кристиан,  дат-
ский физик и химик, 1777-1851гг). 
 
 
                             N                                                               S  
 
 
 
 
 
                                   S                                                                N 
 
При замене направления тока стрелка разворачивается. Магнитную стрелку Эр-
стеда можно заменить элементом тока. Такой прием отчасти искусственный, но 
полезный, для определения магнитного поля вокруг проводников с токами, как 
характеристики состояния среды при наличии движущихся зарядов. Таким об-
разом, вокруг движущихся зарядов предполагается наличие материальной суб-
станции, так называемого магнитного поля, которое ответственно за магнитное 
взаимодействие: действие силы на проводники с током и природные магниты. 
 
Ампер установил закон, согласно которому магнитное поле способно вы-
зывать появление механической силы, действующей на элемент тока 
 
dF ~ i B dl 
 
 
 
                                   d
                                     i      i dl      
 
 
 
 
причем 
 
F1/(i dl)1 = F2 /(i dl)2 = … = Fi / (i dl)i = cst = B. 
 
Здесь F – сила, действующая на произвольный элемент тока, (i dl) – произведе-
ние тока на элемент длины – элемент тока, b – величина магнитной индукции, 
характеризующая  магнитное  взаимодействие,  ее  единица  измерения  определя-
ется как: 
 
[B] = [F/idl] = н/А м = Тл. 
 
273

 
Определим направление  B . Опыт показывает, что   dFB и dвзаимно перпен-
дикулярны, причем  dl  совпадает по направлению с током в данной точке, а  dF  
приложена к середине  dl . Заметим, что длина  dl  выбирается много меньше 
расстояния, на котором в данном опыте изучается действие тока, неоднородно-
стью поля в данном опыте можно пренебречь. Для такой тройки векторов опре-
делено векторное произведение, так что 
 
 
 
 
    B                     F ~ (dB)                  B    
 
                                                         dF                       dl 
              i     dl 
                                                                                                от нас 
 
                               d F                                                            к нам  
 
 
В системе единиц  СИ  закон Ампера запишется в виде 
 
dF = i (d✕Β). 
 
Если поворачивать  dl  к  B , то dF направлено по правилу правого винта. 
 
Для  B  справедлив принцип суперпозиции 
 
B = Σ B
 
Результирующий вектор магнитной индукции данной точки пространства равен 
сумме  векторов  магнитной  индукции,  вызываемых  каждым  источником  маг-
нитного поля в отдельности в этой точке. 
 
§ 2. Формула Био-Савара-Лапласа 
 
 
 
Эта  формула  получена  экспериментально.  Рассмотрим  произвольный 
проводник  с  током  и  поставим  задачу:  найти  магнитную  индукцию,  создавае-
мую элементом  dl  с током  i  этого проводника в окружающем пространстве. 
 
 
 
 
274

 
 
 
 
 
                         dl                 r                             C     d        
 
 
 
 
           i                                            A  dB        dB ~ i dl f(α)/r2    
 
 
 
Экспериментально установлено, что магнитная индукция пропорциональна си-
ле  тока  в  проводнике,  длине  проводника  и обратно пропорциональна расстоя-
нию  между  проводником  (в  данном  случае  элементом  длины  dl ) и  искомой 
точкой, в которой рассчитывается индукция магнитного поля. Направление  dB  
является  функцией  угла  для  элемента  с  током.  Чтобы  записать  точный  закон, 
необходимо учесть систему единиц и взаимное направление векторов  dl, r, dB
По аналоги с законом Ампера воспользуемся векторным произведением 
 
dB ~ (dlr). 
 
Начала векторов можно совмещать параллельным переносом и так по правилу 
векторного произведения определить направление вектора  dB
 
 
 
 
 
                        C                                                      A   
                      dl                     dl         r 
        r                              r                                       dl                           r    
               dB 
                                                                            dB   
 
 
 
Запишем в системе единиц  «СИ» 
 
dB = (µ/4π)i dlr/r3, r/r (er) – орт. 
 
 
275

Формула включает три составляющих 
Величина 
 
dB ~ dl i f(α)/r2. 
Направление 
 
dB ~ dlr
Удовлетворение системе единиц  «СИ» 
 
µ0/4π. 
 
 
§ 3 Магнитная индукция прямого провода с током 
 
 
 
Рассмотрим  отрезок  конечной  длины  прямого  провода  с  током    AB    и 
рассчитаем индукцию магнитного поля в произвольной точке  C  около прово-
да, используя закон Био-Савара-Лапласа. 
 
 
     I                                           dl 
 
      α2                r0                α            α1  
 
                              dα        r 
 
 
                       ❂  B 
 
 
dB = (µ0 4π) I (dr)/r3, d r = dl r Sin α  
 
                                                                              dl 
                dl                                                            
 
                    α                                                                 α   
                                                             r dα              
 
            r 
 
 
276

 
 
dl/ r dα = 1/Sin α ⇒ dl = r dα / Sin α , r0/r = Sin α ⇒ r = r0/ Sin α ⇒ 
 
dl = r dα / Sin α  = r0 dα /(Sin α)2. 
 
Таким образом переменная интегрирования свелась к углу  α . Проведем интег-
рирование по углу  α  (как суммирование в пределе вклада от каждого элемента  
dl  в индукцию магнитного поля в искомой точке). Для этого подставим в фор-
мулу  Био-Савара-Лапласа  значения  для  всех  изменяющихся  величин  выразив 
их через угол  α . 
 
dB = (µ0 /4π ) I Sin α dα/ r0. 
 
  
 
                    
                    α2                                               α2  
B = µ0 I /4πr0∫ Sin α dα = (µ0I/4πr0) (- Cos α)| = 
                     α1                                               α1      
 
= (µ0I /4πr0)( Cos α1 – Cos α2). 
 
 
Рассмотрим предельный случай бесконечного прямого провода 
 
α1 = 0, α2 = π ⇒ B = µ0 I / 2π r0. 
 
Отступление. Французские физики Био Жан Батист (1774-1812), Савар Феликс 
(1791-1841)  и  наиболее  известный  из  них  Лаплас  Пьер  Симон (1749-1827) за-
нимались  исследованиями  в  сфере  магнетизма.  Лаплас  известен  также  как  ас-
троном и математик. Ему принадлежат приоритеты введения понятий удельной 
теплоемкости,  потенциальной  функции,  а  также  небесная  теория  возникнове-
ния планет с жидким ядром. 
 
 
§ 4 Соленоидальный (вихревой) характер магнитного поля 
 
 
Под линиями индукции магнитного поля мы будем понимать воображае-
мые  линии,  касательные  к  которым  в  каждой  точке  такой  линии  направлены 
также как и вектора магнитной индукции. На примере прямого провода с током 
 
277

можно видеть, что линии индукции магнитного поля представляют собой замк-
нутые концентрические окружности. 
 
 
                                   B 
                                                                                                   B    
 
     I 
 
 
 
 
 
 
Эрстед назвал такие воображаемые линии вихрями. 
 
Вспомним,  что  линии  напряженности  электрического  поля  разомкнуты, 
они  начинаются  на  положительных  зарядах  (заряженных  телах),  а  заканчива-
ются  на  отрицательных.  Такое  векторное  поле  мы  называем  потенциальным. 
Поскольку  линии  индукции  магнитного  поля  не  прерываются,  то  (по  этому 
случаю)  все  векторные  поля,  обладающие  непрерывными  линиями  называют 
соленоидальными  (вихревыми).  В  этой  ситуации  нет  оснований  говорить  о 
магнитных зарядах. Магнитную среду такие линии пронизывают также не пре-
рываясь. 
 
               N                                     S      
 
 
 
 
 
§ 5 Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции 
 
 
 
Составим интеграл вида 
 
∫ dS = ФB

Это есть поток  Ф  магнитной индукции  B  через некоторую поверхность  S . 
Определим такой поток через замкнутую поверхность 
 
ФB = ∫ B dS
        S  
 
278

 
В  интеграле  появился  кружок,  означающий  интегрирование  по  замкнутой  по-
верхности.  Поток  вектора  магнитной  индукции  для  любой  замкнутой  поверх-
ности, построенной в магнитном поле равен  0 , так как внутри такой поверхно-
сти нет магнитных зарядов и внутри нее не зарождаются линии магнитной ин-
дукции, подобно тому как это происходит с электрическими зарядами. 
 
 
 
                                                E dS = En dS 
 
 
 
 
 
 
 
Тогда 
 
 ∫ B dS = 0  (ФB = 0) 

 
Согласно формуле Остроградского-Гаусса 
 
 ∫ B dS = ∫ div dV = 0. 
S           V 
 
Поскольку  поверхность  выбиралась  произвольно,  то  и  объем,  ограниченный 
этой поверхностью, тоже произвольный и следовательно 
 
div B = 0. 
 
Эта формула отражает факт соленоидальности магнитного поля. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
279

§ 6 Закон полного тока 
 
 
Составим интеграл (контурный интеграл) 
 
∫ dl

 
Здесь  L – некий контур (вообще говоря замкнутый, но не обязательно) в маг-
нитном поле, а  dl – вектор, численно равный  dl  и из одной с ним точки прове-
дем вектор  B
 
 
                                                       B                B  
 
 
                                             dl                      dl      
                                                                                               r          
 
          L  
                                                dl = Bl dl 
 
 
Пусть  рассматриваемый  контур  совпадает  с  воображаемой  замкнутой  линией 
магнитной индукции вокруг прямого провода с током, имеющей форму окруж-
ности. Тогда  B  и  dl  совпадут по направлению. Вычислим контурный инте-
грал,  для  чего  вначале  составим  под  интегральное  выражение.  Имеем  магнит-
ную индукцию прямого провода с током бесконечной длины 
 
dl = (µ0 I el/2πr) dl = µ0 Idl/2πr  (d= dl el, eel = 1). 
 
Проинтегрируем полученное выражение по замкнутому круговому контуру 
 
∫ B dl = (µ0I/2πr) ∫ dl = µ0I. 
L                      L=2πr 
 
В  поле  векторов  интеграл  от  скалярного  произведения  некоторого  вектора  на 
вектор элемента замкнутого контура называется циркуляцией (у нас вектора  B) 
по контуру  L . В этом случае закон полного тока можно сформулировать сле-
дующим  образом.  Циркуляция  вектора  магнитной  индукции  по  замкнутому 
контуру,  создаваемая  токами,  которые  охватываются  данным  контуром,  равна 
сумме этих токов, умноженных в системе единиц «СИ» на магнитную постоян-
ную µ0 = 4π 10-7 Гн/м. 
 
280

 
Если  среда  электрически  неоднородная,  то  вместо  токов  задается  плот-
ность токов 
 
J = di/dS ⇒ i =  ∫ j dS 
 
 
                                      dS    
 
  
 
 
 
∫ B dl = µ0 ∫ j dS
L              S       
 
Применим формулу Стокса 
 
∫ rot B dS = µ0 ∫ j dS 
S                     S                       S    
 
 
                                           L                                         
 
Поскольку контур, а следовательно и поверхность «натянутая» на этот контур 
выбираются произвольно, то 
 
∫ (rot B - µ0 j) dS = 0 ⇒ rot B = µ0 j
 
Сводка формул для стационарных электрического и магнитного полей в вакуу-
ме 
 
div E = ρ/ε0,  div B = 0,  rot E = 0, rot B = µ0 j
 
 
§ 7 Поле соленоида 
 
 
 
Соленоид представляет собой провод, навитый на электрически непрово-
дящий каркас цилиндрической формы, с электрическим током 
 
 
 
 
281

 
 
 
 
                                                                 d   
 
 
                                 l    
 
d << l 
 
                   2                                          3 
                     
 
 
 
 
 
                    1                                          4             B       
 
 
 
 
 
Каждый виток создает поле так, что на оси соленоида (и в ближайшей окрест-
ности  оси)  густота  линий  одинакова  (поле  однородно),  а  снаружи  их  густота 
ничтожно  мала.  Для  расчета  поля  на  оси  соленоида  воспользуемся  законом 
полного тока 
 
∫ B dl = µ0 Σ i k. 

 
Вычислим  интеграл – циркуляцию  вектора  магнитной  индукции  по  контуру 
обозначенному  на  рисунке.  Интегрирование  разобьем  по  четырем  сторонам 
прямоугольника, имеем 
 
2           2                        4        3      
∫ B dl = ∫ B dl Cos 90° = ∫ = 0,   ∫ (B ≅0) dl = 0 
1           1                        3        2 
 
  Остается участок 
 
 
 
282

4           4                                 4   
∫ B dl = ∫ B dl = (B = cst) = B ∫ dl = BL. 
1          1                                 1 
 
Согласно  закону  полного  тока  вычисленная  циркуляция  магнитной  индукции 
равна сумме токов, которые охватывает замкнутый контур с точностью до ко-
эффициента. Пусть  N – количество проводников, которое охватывает данный 
контур, тогда 
 
BL = µ0 N i ⇒ B = Nµ0 i/L = µ0 n i. 
 
Здесь  n – число  проводников,  приходящееся  на  единицу  длины  соленоида 
(удельное число проводников). 
 
Провод с током, навитый на непроводящий каркас в виде кольца круглого 
сечения называют тороидом  
 
 
 
 
 
                                                                              D 
 
                     d   
 
D<< d 
 
 
Если  D << d, то для него также справедлива формула длинного соленоида. 
 
 
 
§ 8 Магнитное поле движущегося заряда 
 
 
 
Электрический  ток  есть  упорядоченное  движение  заряженных  частиц. 
Попытаемся  оценить  создаваемое  одной  такой  частицей  магнитное  поле  (это 
может быть магнитное поле на большом расстоянии от движущегося электрона, 
протона и т.д.). Нам известно как рассчитывается магнитное поле, создаваемое 
малым  отрезком  провода  с  током  (элементарным  током)  по  формуле  Био-
Саварра-Лапласа 
 
dB = (µ0/4π)i dl Sinα /r2, 
 
283

 
но 
 
i = j S, j = q n v ⇒ i = q n v S ⇒ i dl = q n v S dl = q n v V. 
 
Здесь  j – плотность тока, S – сечение малого отрезка провода, n – концентрация 
частиц (n = N/dV ⇒ N = n dV), v – скорость перемещения частиц, qe – элемен-
тарный заряд, V (dV) – объем (элементарный объем), N – полное число частиц. 
Подставим полученное выражение в исходную формулу и положим  N = 1. 
 
B = (µ0/4π) N qe v Sinα/r2. 
 
Векторная форма образуется по свойству векторного произведения 
 
B = (µ0/4π) qe(vr)/ r3. 
 
 
§ 9 Сила Лоренца 
 
 
 
Рассмотрим силу, действующую на заряженную частицу в электрическом 
и магнитном полях. 
а. Электрическое поле. Из определения электрического поля имеем 
 
FE = q 
 
б. Магнитное поле. Воспользуемся формулой силы Ампера 
 
F = i(lB), F = i l B Sinα, i l = j S l = q n v V = q v N 
 
(i = j S, j = q n v, n V = N = 1). 
 
F = q v B Sinα, FB = q(vB
 
B^l = 0 
v= 0 
q = 0 ⇒ F = 0 
                                                                                    v 
 
 
 
                                                          F 
 
284

 
 
Объединим силы, действующие на частицу в электрическом и магнитном полях 
 
FЛ = FE + FH = qE + q(vB). 
 
Так  называемая  сила  Лоренца  названа  по  имени  физика-теоретика  из  Нидер-
ландов  Лоренца Хендрика Антона (1853-1928). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
285

 
 
 
 
 
 
 
 
Глава 6    Магнитное поле в веществе 
 
 
 
До  сих  пор  мы  предполагали,  что  образующиеся  вокруг  проводников  с 
токами или вокруг движущихся зарядов (что то же самое) магнитные поля дей-
ствуют  в  вакууме.  Формулы  всех  законов  записаны  для  вакуума.  Если  вместо 
вакуума окажется какая-либо среда (как это обычно бывает на практике), то за-
пись  законов  несколько  изменится.  Опыт  показывает,  что  магнитные  поля  в 
различных средах могут как усиливаться так и ослабевать. Чтобы приблизиться 
к  пониманию  такого  поведения,  необходимо  обратиться  к  ряду  эксперимен-
тальных данных и теоретических расчетов, в частности, на уровне электронных 
оболочек атомов. 
 
 
§ 1 Магнитный момент и намагниченность 
 
 
 
Для описания магнитных явлений необходимо ввести некоторые понятия. 
Широко  распространены  в  природе  замкнутые  токи.  К  ним  относятся  движу-
щиеся электроны атомных оболочек. Их называют элементарными токами (за-
ряд элементарен, контур мал). Рассмотрим такой элементарный ток и рассчита-
ем магнитную индукцию на оси, проходящей через центр круга, ограниченного 
таким контуром и перпендикулярной данному кругу. 
 
                          dl   
                R 
                                                              r                                dB′ 
 
                 i   
                                                                                                          dB  
 
                                                         dl ⊥ r 
 
 
286

 
 
Здесь  необходимо  проинтегрировать  (просуммировать  в  пределе)  проекции 
векторов  dB′  на ось в формуле Био-Савара-Лапласа. 
 
dB/dB′ = R/r, dB′ = (µ0/4π) i dl r Sin (dl^r) /r 3. 
 
dB = dB′ R/r = (µ0/4π) i l dl/r3. 
 
Интегрирование  проводиться  по  длине  контура,  что  и  дает  в  результате  его 
длину 
 
B = µ0 i π R2/ 2π r3. 
 
Введем понятие магнитного момента контура с током 
 
 
                                   n                                                n   
 
             S              i                             i                 S       
  
 
 
pm = iS, pm = i SS = S n, [pm] = А м2 ⇒  
 
B = µ0 i S / 2π r3 = µ0 pm /2π r3. 
 
Вектором магнитного момента  p m  контура с током называется произведение 
величины  тока,  текущего  по  контуру  на  величину  площадки,  обтекаемого  то-
ком контура с направлением перпендикулярно плоскости контура и определяе-
мым по правилу правого винта. 
 
Для  объяснения  намагничения  тел  (то  есть  возникновения  в  среде  внут-
реннего  магнитного  поля)  Ампер  и  предположил,  что  в  молекулах  веществ 
циркулируют  некие  круговые  токи  (молекулярные  токи) . Каждый  такой  ток 
обладает магнитным моментом и может создавать в окружающем пространстве 
магнитное  поле.  В отсутствие внешнего магнитного поля магнитные моменты 
среды направлены хаотически (по случайному закону). При действии внешнего 
магнитного поля, а иногда и спонтанно (в природных магнитах) магнитные мо-
менты  могут  приобретать  преимущественную  ориентацию,  тогда  суммарный 
магнитный момент среды отличен от нуля. 
 
Вещества с отличным от нуля суммарным магнитным моментом характе-
ризуются  магнитным  моментом  единицы  объема,  тогда (pm – магнитный  мо-
мент одной молекулы),  
 
287

 
 
 Σ pm – магнитный момент всех молекул, содержащихся в объеме   
∆V  
 
∆V.                J = Σ pm / ∆V - намагниченность 
                          ∆V 
 
 
Объем  ∆V  мал с точки зрения макроскопики, но содержит очень большое чис-
ло микроскопических токов. Определение. Вектором намагниченности называ-
ется отношение суммы векторов магнитных моментов отдельных молекул, со-
держащихся в малом объеме  ∆V  к величине этого объема. 
 
Таким образом, магнитное поле в веществе (среде) равно сумме внешне-
го, приложенного к веществу поля, и внутреннего, образующегося при прило-
жении внешнего 
 
B = Bвнешн + Bвнутр . 
 
 
§ 2 Напряженность магнитного поля 
 
 
 
Для описания магнитного поля наряду с магнитной индукцией использу-
ется  и  другая  физическая  величина.  По  определению  для  вакуума  (в  системе 
единиц  СИ) 
 
H = B/µ0 ⇒ B = µ0 H, [H] = Тл м/Гн = Вб/Гн м = А/м. 
 
Закон  Био-Савара-Лапласа при этом можно записать как 
 
dH = i (dlr)/ 4π r3. 
 
Для поля, создаваемого круговым током 
 
H = pm/ 2π r3. 
 
H называется напряженностью магнитного поля. Сравним размерности  H  и   J 
они одинаковы. Можно показать, что 
 
B = Bвнеш + Bвнутр = µ0 H + µ0 J
 
 
288

Направления  H  и  J  обычно не совпадают. В тех же случаях, когда они совпа-
дают можно записать 
 
J = κ H
 
Напомним, что внутреннее поле в большинстве случаев порождается внешним. 
κ называют магнитной восприимчивостью, она безразмерна. В этом случае ре-
зультирующее поле (магнитную индукцию) можно записать в виде 
 
B = µ0 H + µ0 J = µ0 H + κ µ0 H = µ0 (1 + κ) H = µµ0 H
 
µ = 1 + κ называют магнитной проницаемостью вещества, из которого состоит 
среда. 
Замечание.  Намагничение  вещества  (зависимость  магнитной  индукции  от  на-
пряженности внешнего приложенного к этому веществу магнитного поля) про-
исходит часто по сложному закону, то есть  µ  не является в общем случае по-
стоянной величиной. 
 
 
§ 3 Законы магнитного поля в среде (и с учетом  H) 
 
 
Закон Ампера 
 
dF = i (dlB) ⇒ dF = i µµ0 (dlH). 
 
Закон Био-Савара-Лапласа 
 
B = (µµ0/4π) i (dlr)/ r3 ⇒ H = i (dlr)/ 4π r3. 
 
Закон полного тока 
 
∫ dl = µµ0 Σ Ii ⇒ ∫ H dl = Σ Ii. 
L                  i         L             i    
 
Форма записи законов Максвелла 
 
div B = 0 ⇒ div H = 0 
rot B = µ0 j 
Для вакуума ⇒ rot H = j 
В среде  
 
289

 
rot Bсреды = µ0 (jсреды),   jсреды= jвнешн + jвнутр,   jвнутр= rot J,  
 
rot Bсреды = µ0 (jвнешн+  rot J)  rot [(Bсреды/µ0) – J] = jвнешн. 
 
Bсреды = µ0 (J + H) ⇒ H = (B/µ0) – J ⇒ rot H = jвнешн. 
 
Если  опустить  обозначение  «внешнее»  у  плотности  тока,  то  формулы  как  для 
вакуума так и для среды приобретают точно одинаковый вид. 
 
 
§ 4 Диамагнетики, парамагнетики, ферромагнетики 
 
 
 
В справочниках магнитные свойства веществ различают часто по магнит-
ной восприимчивости  κ . Составим таблицу. 
 
Диамагнетики 
Парамагнетики 
[κ = µ - 1]⋅ 10 6,  
[κ = µ - 1]⋅ 10 6, 
µ < 1, κ - отрицательна 
µ > 1, κ - положительна 
 
Азот - 
0.0062 
Кислород (газ) 1.8 
Водород - 
0.063  Алюминий 21 
Углекислота 
- 5.3 
Платина 300 
 
Графит - 
50 
Хлористое железо 2500 
Вода - 
9.0  Кислород 
(жид- 3400 
кость) 
Серебро -26 


Висмут - 
170 


 
 
 
 
 
 
 
 
290

Ферромагнетики (железо и его сплавы) 
[κ = µ - 1], µ>>1, κ ≈ µ 
 
Исходная  намаг- После 
принуди- Состав 
ниченность 
тельного  намагни-
чения 
Железо 200 
500 
 
Железо-
600 10000  96.7%Fe, 
кремний 
3.3% Si 
Пермалой 8000 
100000 
22% 
Fe, 
78% Ni 
Супермалой 

800000 
79% Ni, 5%Mo, 
16% Fe 
 
Из таблицы следует, что диа-  и парамагнетики имеют разные знаки магнитной 
восприимчивости,  а  порядок  величин  сравнительно  близкий.  Ферромагнетики 
имеют знак магнитной восприимчивости такой же как у парамагнетиков, одна-
ко, их абсолютная величина на 8-10 порядков больше, чем у первых двух маг-
нетиков. 
 
 
§ 5 Электромагнитная индукция 
 
 
 
Мы  уже  знаем,  что  электрические  токи  создают  вокруг  себя  магнитное 
поле. Естественно, что существует и обратный эффект в том смысле, что маг-
нитное поле порождает в проводниках токи (потоки заряженных частиц), а сле-
довательно  вызывает  появление  ЭДС.  Это  явление  называется  электромагнит-
ной индукцией (М. Фарадей 1831), токи называют индукционными. Сформули-
руем закон Ленца о направлении индукционных токов. Индукционный ток все-
гда направлен таким образом, что его действие противоположно действию при-
чины его вызвавшей. 
 
 
 
 
 
291

5.1 Об основном законе электромагнитной индукции 
 
Индукционный ток, а следовательно и ЭДС индукции появляется если: провод-
ник  пересекает  линии  магнитной  индукции  или,  что  тоже  самое  изменяется 
число  линий  индукции,  проходящих  через  площадку,  ограниченную  проводя-
щим контуром 
 
 
                       B                                                                 
 
                               n                                                   B        n         Ei     
 
                   i  
 
                    Ei                                                   i  
 
 
 
Опытным путем Фарадей установил, что 
 
Ei ~ dФ/dt (Ei = f dФ/dt, dФB = B dS). 
 
ЭДС  индукции  Ei  прямо  пропорциональна  изменению  потока  магнитной  ин-
дукции,  или  ЭДС  равна  скорости  изменения  потока  магнитной  индукции  с 
(точностью  до  некоторого  коэффициента  f ). Теперь  переформулируем  закон 
(или правило) Ленца применив понятие потока. ЭДС индукции стремиться пре-
пятствовать  всякому  изменению  магнитного  потока  его  вызывающего.  Рас-
смотрим размерность скорости изм