14333

Механіка матеріальної точки та твердого тіла

Книга

Физика

ФІЗИКА Методичні рекомендації до вивчення курсу фізики. €œМеханіка€ модуль ІІІ. Для студентів спеціальностей: У методичних рекомендаціях викладено повний лекційний курс з дисципліни фізики з розділу €œМеханіка матеріальної точки та твердого тіла€ а також навед

Украинкский

2013-06-03

5.29 MB

19 чел.

ФІЗИКА

Методичні рекомендації до вивчення курсу фізики. “Механіка” модуль І-ІІ.

Для студентів спеціальностей:

У методичних рекомендаціях викладено повний лекційний курс з дисципліни фізики з розділу “Механіка матеріальної точки та твердого тіла”, а також наведено тестові запитання, що пропонуються використовувати для контролю знань студентів.

Зміст

Вступ ......................................................................................................................

5

1. Кінематика.........................................................................................................

6

1.1. Механічний рух. Система відліку.................................................................

6

1.2. Способи опису руху матеріальної точки. Основна (пряма) задача механіки.................................................................................................................

7

1.3. Кінематичні характеристики поступального руху матеріальної точки....

9

1.4. Обернена задача механіки.............................................................................

14

1.5. Рух матеріальної точки по колу....................................................................

15

1.6. Основи кінематики руху абсолютно твердого тіла.....................................

20

2. Динаміка.............................................................................................................

22

2.1. Динамічні характеристики поступального руху матеріальної точки........

22

2.2 Закони Ньютона...............................................................................................

25

2.3. Динамічні характеристики обертального руху абсолютно твердого тіла..........................................................................................................................

28

2.4. Основне рівняння обертального руху..........................................................

35

2.5. Робота. Потужність. Коефіцієнт корисної дії..............................................

37

2.6. Енергія. Механічна енергія............................................................................

41

2.7 Кінетична енергія............................................................................................

42

2.8. Потенціальна енергія......................................................................................

44

2.9. Неінерціальні системи відліку......................................................................

47

2.10. Сили інерції в системах, що обертаються..................................................

48

3. Закони збереження............................................................................................

51

3.1. Закони збереження в механіці.......................................................................

51

3.2. Закон збереження симетрії та часу...............................................................

53

3.3. Реактивний рух...............................................................................................

54

3.4. Удар.................................................................................................................

57

4. Елементи спеціальної теорії відносності........................................................

59

4.1. Перетворення Галілея....................................................................................

59

4.2. Постулати спеціальної теорії відносності....................................................

61

4.3 Перетворення Лоренцо та їх наслідки...........................................................

62

4.4. Поняття про релятивістську динаміку..........................................................

65

4.5. Основне рівняння релятивістської динаміки...............................................

65

4.6. Кінетична енергія релятивістської частинки...............................................

68

4.7. Взаємозв’язок маси та енергії.......................................................................

70

5. Тестові запитання для перевірки теоретичного матеріалу з курсу фізики

72

Вступ

Механiка — роздiл фiзики, в якому вивчається найпростiша форма руху матерії — механiчний рух, тобто змiна положення одних тiл чи частин тiла вiдносно iнших.

Словомеханiка” в перекладi з грецької мови означає мистецтво створювати машини. Це одна з найстародавнiших наук, розвиток якої нерозривно пов’язаний з практичною дiяльнiстю людини. Авторами перших трактатiв з механiки були Арiстотель (IV ст. до н.е.) та Архімед ( III ст. до н.е.). Подальшого розвитку ця наука отримала в працях Леонардо да Вiнчi, Галiлео Галiлея та iн. Завершилося створення основ механiки нарисом І.Ньютона Математичнi початки натуральної філософії (1687 р.).

З подальшим розвитком фiзики з’ясувалося, що залежно вiд швидкостi руху і масштабiв тiл підходи до вивчення механiчних закономiрностей можуть бути зовсiм рiзними. Тому на сучасному етапi розрiзняють три напрямки механiки: класичну механiку (або механiку Ньютона), релятивiстську механiку (або теорiю вiдносностi Енштейна) та квантову механiку. Всi вони вивчають механiчний рух тiл, але мають певнi межi застосування. Рух макроскопiчних тiл iз швидкостями, невеликими порiвнянно з швидкiстю свiтла, вивчає класична механiка; рух тiл, швидкостi яких близькi до швидкостi свiтла, розглядає релятивiстська механiка; вивченню руху мiкрочастинок присвячена квантова механiка.

У даному випуску розглядаються класична та релятивiстська механiки. Для описування механiчних явищ i встановлення законiв механiки зручно користуватися iдеалiзованими моделями реальних тiл: матерiальною точкою i абсолютно твердим тiлом.

Матеріальною точкою (МТ) називають тiло, геометричними розмiрами якого в умовах конкретної задачi можна знехтувати.

Абсолютно твердим тiлом (АТТ) називають тiло, у якого вiдстань мiж будь-якими двома точками нiколи не змiнюється. Іншими словами, це тіло, деформацією якого можна знехтувати.

Основна задача механіки- визначення положення тіла в будь який момент часу.

  1.  КIНЕМАТИКА

Кiнематика — роздiл механiки, в якому вивчається рух тiл, не встановлюючи причин, що викликали цей рух. Сам термiн походить вiд грецького слова „кiнета”, що означає рух. За законами i залежностями, встановленими в кiнематицi, визначаються параметри польоту лiтальних апаратiв, виконуються розрахунки передач рухiв у рiзних авiацiйних механiзмах та iн.

1.1. Механiчний рух. Система вiдлiку

Механiчним рухом називається змiна положення тiла в просторi вiдносно iнших тiл. Це все свідчить, що механiчний рух є вiдносним. Дiйсно, будь-яке тiло може бути нерухомим вiдносно одних тiл i рухається вiдносно iнших. Разом з тим цей рух є абсолютним, оскiльки завжди можна вказати, таке тiло, вiдносно якого дане „нерухоме” тiло рухається, тобто абсолютно нерухомих тiл в природi не iснує. Отже, починаючи дослiджувати рух якогось тiла, слід визначити, вiдносно якого iншого тiла вiн буде розглядатися. Тiло, вiдносно якого розглядається рух, називається тiлом вiдлiку. Для математичного описування руху з тiлом вiдлiку необхiдно зв’язати систему координат. Як вiдомо, iснує багато рiзних систем координат (полярна, цилiндрична, сферична та iн.). Найбiльш поширеною є прямокутна декартова система координат.

Слiд звернути увагу, що iснують два види декартових систем:

права (рис. 1.1) та лiва (рис.1.2), якi розрiзняють за допомогою правила гвинта: якщо обертати ручку гвинта вiд додатнього кiнця осi ОХ до додатнього кiнця осi ОУ, то в правiй системi координат гвинт буде поступально рухатись у додатньому напрямку осi ОZ, а в лiвiй системi — у вiд’ємному напрямку. У фiзицi здебiльшого застосовується права система.

Перемiщення тiл вiдбувається з плином часу, тому для описування руху слід мати також годинник. Тiло вiдлiку, повязана з ним система координат та годинник становлять систему вiдлiку.

1.2. Способи описування руху матерiальноiї точки. Основна (пряма) задача кінематик

Важливо зазначити, що в класичнiй механiцi загальновизначеною є концепцiя простору i часу, розроблена Ньютоном. Вiдповiдно до цiєї концепцiї простiр i час розглядаються як такi, що не пов’язанi нi мiж собою, нi з рухом тiл. Iншими словами, в класичнiй механiцi простiр i час вважаються абсолютними та iснуючими не залежно один вiд одного. Тому i хiд годинникiв (тобто плин часу) не залежить вiд системи вiдлiку i всюди є однаковим.

Розглянемо спочатку рух найпростiшого об’єкту — матерiальної точки. Визначимо деякi поняття, якi використовують пiд час описування цього руху.

Траєкторiя — це уявна лiнiя, вздовж якої рухається матеріальна точка (рис. 1.3).

Шлях (∆S або S) — це довжина траєкторiї (рис. 1.3). Шлях — величина скалярна, в системi СІ вимiрюється в метрах (м).

Перемiщення ∆r — це найкоротша вiдстань мiж початковою i кiнцевою точками траєкторїi (рис. 1.4). Перемiщення — величина векторна, має напрямок вiд початковоїi до кiнцевої точки траєкторiї; в системi СІ вимiрюється в метрах.

У декартовiй системi координат положення матерiальної точки М може бути задане не тiльки трьома координатами (х, у, z), а й за допомогою радiуса-вектора. Радiус  вектором  точки називається вектор, який проведено з початку координат у дану точку (рис. 1.5).

Радiус-вектор може бути записаний через його проекцiї  на вiдповiднi координатнi осi:

     (1.1)

та за модулем:

,                                      (1.2)

де  - одиничні вектори (орти) відповідних осей координат:

де

Оскільки  формули (1.1) і (1.2) можуть бути записані ще й так:

,                                           (1.3)

.                                             (1.4)

У фізиці прийнято модуль будь-якого вектора  позначати а.

Зрозумiло, що пiд час руху матерiальної точки‚ її радіус-вектор, шлях та координати з часом змiнюються. Вiдповiдно до цього в кiнематицi використовуються три способи описування руху :

— векторний, коли вiдоме рiвняння залежностi радіус-вектора точки вiд часу:

                                                 (1.5)

— траєкторний, коли вiдоме рiвняння руху точки вздовж траєкторії:

                                                 (1.6)

— координатний, коли вiдомi рiвняння руху точки в декартових координатах:

х = х(t), у =у(t), z=z(t).                                         (1.7)

Рiвняння (1.5), (1.6), (1.7) називаються кінематичними рiвняннями руху.

Основна (пряма) задача кiнематики полягає в тому, щоб за кiнематичними рiвняннями руху знайти положення матеріальної точки в просторi i кiнематичнi характеристики руху в будь-який момент часу.

1.3. Кiнематичнi характеристики поступального руху матерiальної точки

До кiнематичних характеристик поступального руху вiдносяться: перемiщення, швидкiсть та прискорення.

1.3.1. Перемiщення

Нехай у момент часу t матерiальна точка пребувала в положеннi 1, а за деякий промiжок часу t — в положеннi 2 (рис. 1.6,а).

Проведемо радiус-вектори і  в точки 1 i 2. Тодi вектор перемiщення визначиться як

                                               (1.8)

тобто вектор перемiщення являє собою змiну (прирiст) радіуса-вектора за часом. З урахуванням (1.3) вектор ∆r можна записати через прирiст координат матерiальної точки (∆х, ∆у, ∆z ) за час ∆t:

                                        (1.9)

а його модуль як

                                    (1.10)

Як видно з рис. (1.6,б) вектор перемiщення збiгається з хордою, що стягує вiдповiдну дiлянку траєкторії. Тому завжди, крiм прямолiнiйного руху, модуль вектора перемiщення менший, нiж шлях, пройдений за той же промiжок часу:

                                                   (1.11)

Тепер будемо зменшувати промiжок часу t до достатньо малого значення, яке назвемо елементарним i позначимо dt. При  цьому вiдбудеться також мале перемiщення, яке називатиметься відповiдно елементарним перемiщенням d i матерiальна точка пройде досить малий, тобто елементарний шлях dS. Ясно, що iз зменшенням ∆t значення ∆r буде все бiльше наближатися до ∆S. Тобто при () можна вважати, що

                                                 dr = dS                                                    (1.12)

За напрямком d буде спрямовано по дотичній до траєкторiї в бiк руху матерiальної точки. Позначимо орт дотичної  , тодi у векторному виглядi можна записати (при ):

1.3.2. Швидкість

Розрiзняють швидкiсть середню i миттєву. Середньою швидкiстю перемiщення () за промiжок часу ∆t називається векторна величина, що дорiвнює вiдношенню вектора перемiщення до цього промiжку часу:

                                                        (1.13)

Вектор  спрямований так, як i вектор  (рис. 1 .7,а).

Будемо нескiнченно зменшувати промiжок часу, направляючи його до нуля (). Показано, що при цьому, починаючи з деяких значень t, вiдношення  перестає змiнюватися. Тобто iснує певна границя, до якої прямує вiдношення  при .

Ця границя i визначає швидкiсть руху в даному мiсцi траєкторiї в даний момент часу, тобто миттєву швидкiсть (при цьому точки 1 i 2 на рис. 1.7,а будуть нескiнченно наближатися одна до одної).

                                                       (1.14)

Враховуючи (1.12) одержимо:

                                                                                                           (1.15)

Швидкість, це фізична величина , що показує, як змінюється переміщення матеріальної точки за одиницю часу.

1.3.3. Прискорення

Прискоренням називається фiзична величина, що характеризує змiну швидкостi з часом. Розрiзняють прискорення середнє i миттєве.

Середнє прискорення ()— це векторна величина, що визначається вiдношенням змiни швидкостi  до промiжку часу , за який ця змiна вiдбулася:

                                                           (1.16)

Напрямок вектора  збігається з напрямком .

Миттєве прискорення (або просто прискорення) , тобто прискорення в певний момент часу це границя, до якої прямує середнє прискорення при

                                  (1.17)

Використовуючи рівність (1.16) маємо,

                                                  (1.18)

Прискорення є векторна величина, що дорівнює похiднiй вектора швидкості за часом. З урахуванням формули (1.16) прискорення можна записати як другу похiдну радіус-вектора за часом:

                                              (1.19)

Як буде показано далi, в загалом вектор  спрямований пiд кутом до вектора  в бiк угнутостi траєкторiї. На рис. 1.8. вектор  вiдповідає прискореному руху, вектор  —сповiльненому руху. Оскiльки змiна швидкостi вiдбувається i за модулем i за на напрямком, розрiзняють двi складовi прискорення:

- прискорення (дотичне), яке характеризує змiну швидкості за модулем i спрямоване по дотичнiй до траєкторії;

- нормальне прискорення (доцентрове), яке характеризує змiну швидкості за напрямком i спрямоване по нормалi до траєкторії.

Повне прискорення дорівнює їх векторнiй сумi

                                                    (1.20)

Для знаходження цих складових прискорення, пiдставимо вираз для швидкостi в означення (1.18) i зробимо вiдповiдне диференцiювання:

Враховуючи, що , а  можна подати у виглядi:

Матимемо вираз:

                                     (1.21)

Можна показати, що

,                                                  (1.22)

де  - орт нормалі, R – радіус кривизни траєкторії в даній точці.

Остаточно вираз (1.21) набуде вигляду:

                                             (1.23)

Порiвнюючи цей вираз з рiвнянням (1.20) бачимо, що перший член виразу визначає тангенцiальне прискорення

                                                   (1.24)

що спрямоване по дотичнiй до траєкторiї в данiй точцi i за модулем дорівнює

.                                                      (1.25)

Другий член визначає нормальне прискорення

,                                                      (1.26)

що спрямоване по нормалi до траєкторії в данiй точцi (тобто до центру кривизни траєкторiї) i за модулем дорівнює

                                                            (1.27)

Як видно з рис.1.9, модуль повного прискорення

                                        (1.28)

Аналогiчно до того, як записувався вектор швидкостi, вектор прискорення теж можна подати через проекцiї  на координатнi осi:

                       (1.29)

                         (1.30)

Цi проекцiї знаходяться як похiднi за часом:

                 (1.31)

1.4. Обернена задача кiнематики

Обернена задача кiнематики полягає в знаходженнi рiвняння руху за вiдомими характеристиками руху.

Розглянемо, як за вiдомими  i  можна знайти рiвняння руху в траєкторному виглядi . Запишемо з виразу (1.12) елементарний шлях, пройдений за час :

                                                          (1.32)

Щоб знайти весь шлях, пройдений за певний промiжок часу , слід проiнтегрувати цей вираз:

                                                  (1.33)

Графiчно цей iнтеграл зображений на рис. 1.10, з якого видно, що шлях чисельно дорiвнює площi фiгури (криволiнiйної трапеції), що обмежена кривою .

Аналогiчно за вiдомим прискоренням можна знайти швидкiсть у довiльний момент часу :

                                                    (1.34)

Якщо в початковий момент часу , тiло мало початкову швидкiсть , то

                                                    (1.35)

Застосуємо наведенi вирази для рiвнозмiнного прямолiнiйного руху при  . Тодi рiвняння (1.35) перепишеться:

                                                (1.36)

З виразу (1.33) можна одержати:

Остаточно:

                                                 (1.37)

Знайшовши  з виразу (1.36) i пiдставивши його у вираз (1.37), можна одержати рiвняння, яке часто зручно використовувати в задачах:

                                                  (1.38)

 

1.5. Рух матерiальної точки по колу

Пiд час розглядання руху матерiальної точки по колу крім характеристик , якi в даному разi називаються лiнiйними, зручно користуватися так званими кутовими характеристиками руху: кутом повороту, кутовою швидкiстю, кутовим прискоренням.

1.5.1 . Кут повороту

Положення матерiальної точки пiд час руху по колу можна визначити кутом повороту . Як видно з рис. 1.11,а, кут повороту з центральним кутом, який вiдповiдає дузi , описанiй матерiальною точкою за час . Вимiрюється кут повороту в радiанах (рад) i є скалярною величиною. Один оберт точки по колу дорiвнює 2, а при N обертах:

                                                       (1.39)

Із геометрiї вiдомий зв’язок мiж довжиною дуги та кутом повороту:

                                                       (1.40)

де  R— радiус кола. Для малих промiжкiв часу  цей вираз матиме вигляд:

                                                       (1.41)

де  - елементарний кут повороту. Для того, щоб показати i напрямок руху точки по колу, домовились елементарний кут повороту показувати як вектор , що вiдкладається вздовж осi обертання. Напрямок вектора  визначається за правилом правого гвинта: вектор елементарного кута повороту збiгається за напрямком з поступальним рухом гвинта, ручка якого обертається в напрямку руху точки по колу (рис. 1.11,а). Такi „штучні” вектори називаються псевдовекторами.

1.5.2. Кутова швидкiсть

Аналогiчно до означень, наведених в п. 1.3.2, розрiзняють середню і миттєву кутові швидкостi. Середня кутова швидкiсть () визначається вiдношенням кута повороту  до вiдповiдного промiжку часу :

                                                        (1.42) 

Для миттєвої кутової швидкостi (або просто кутової швидкості ) можна записати:

                                    (1.43)

тобто чисельно вона дорiвнює похiднiй кута повороту за часом. Вимiрюється кутова швидкiсть у радiанах за секунду (рад/с). Вона теж є псевдовектором, що напрямлений вздовж осi обертання, вiдповiдно до правила гвинта (рис. 1.11). Тому можна записати у векторному виглядi:

                                                      (1.44)

Якщо з часом кутова швидкiсть не змiнюється, тобто , рух по колу називається рiвномiрним, для нього

                                                     (1. 45)

У цьому разі  називають циклічною частотою обертання. Час, за який матерiальна точка проходить один оберт по колу, називається перiодом обертання Т, який вимiрюється в секундах. Вираз (1.45) дає:

                                                     (1.46) 

звідки

Величина, обернена до перiоду, називається частотою обертання :

                                                        (1.47)

Вона показує, скiльки обертiв по колу робить точка за одиницю часу i вимiрюється в секунду мінус першій ступені ( с-1 ) або в герцах (Гц). Зв’язок мiж частотою i кутовою частотою має такий вигляд:

                                                     (1.48)

1.5.3. Кутове прискорення

Кутове прискорення характеризує змiну кутової швидкостi за часом. Аналогiчно до означень, наведених в п. 1.3.3, розрiзняють середнє i миттєве кутове прискорення.

Середнє кутове прискорення () визначається вiдношенням змiни кутової швидкостi до вiдповiдного промiжку часу:

                                                       (1.49) 

Для миттєвого кутового прискорення (або просто кутового прискорення)  можна записати:

                                   (1.50)

Тобто воно чисельно дорiвнює першiй похiднiй кутової швидкості за часом або другiй похiднiй кута повороту за часом. Вимiрюється кутове прискорення в радiанах на секунду в квадратi (рад/с2). Воно також є псевдовектором, спрямованим по осi обертання

                                                    (1.51)

На рис.1.11, в напрямок  вiдповiдає прискореному руху по колу, напрямок  — сповiльненому руху по колу.

Знайдемо зв’язок мiж лiнiйними i кутовими характеристиками руху.

1. Зв’язок мiж лiнiйною i кутовою швидкiстю:

тобто

                                                     (1.52)

2. Звязок мiж тангенцiальним i кутовим прискоренням:

тобто

                                                          (1.53)

3. Звязок між нормальним прискоренням і кутовою швидкістю:

тобто

                                                      (1.54)

Для розвязання оберненої задачi під час руху точки по колу використовують вирази аналогiчнi виразам (1.33) та (1.35):

                                                       (1.55)

                                                  (1. 56)

Тодi для рiвнозмiнного руху по колу вiдповiднi математичнi перетворення дадуть вирази аналогiчнi виразам (1.36), (1.37),(1.38):

                                                    (1.57)

                                                   (1.58)

                                              (1.59)

де  — початкова кутова швидкiсть у момент часу  t=0,  — кутова швидкiсть у момент часу t.

1.6. Основи кiнематики руху абсолютно твердого тiла

Будь-який складний рух абсолютно твердого тiла (АТТ) можна подати як суму незалежних поступальних i обертальних рухiв.

При поступальному русi будь-що пряма, що жорстко звязана з тiлом, залишаєгься паралельною за самої себе (рис. 1.12,а). Обертальним називається рух, коли всi точки тiла описують кола, центри яких лежать на однiй прямiй — осi обертання (рис. 1.12, б, в). Незалежнi рухи описуються за допомогою числа степенів вільності. Числом степенiв вiльностi (i) називається найменша кiлькiсть незалежних величин, за допомогою яких може бути задане положення тiла (або системи) в просторi.

Для визначення положення АТТ в декартових координатах при поступальному русi слід задати координати (х, у, z) будь—якої однiєї його точки. Для визначення орiєнтацiї АТТ у просторi при обертальному русi слід вказати куги , на якi може повертатися тiло навколо вiдповiдних осей. Наприклад, лiтак, що розглядається як АТТ, має шiсть степенiв вiльностi: три поступальнi та три обертальнi (рис. 1.13).

При обмеженнi вiльностi руху кiлькiсть степенiв вiльностi зменшується. Наприклад, тверде тiло, одну з точок якого нерухомо закрiплено, може тiльки обертатися навколо цiєї точки, а поступальний рух у нього взагалi вiдсутнiй. Тому в цьому разі тiло матиме тiльки три степенi вiльностi (обертальнi). Тверде тiло, що обертається навколо закрiпленої осi, має тiльки одну степінь вiльностi якщо воно може пересуватися вздовж цiєї осi, то двi степенi вiльностi й т.д.

Будь-яке макроскопiчне тiло можна уявно роздiлити на малi частини (елементарнi об’єми), кожну з яких можна вважати за матеріальну точку (МТ). Таким чином, тiло буде подано як сукупність МТ.

Відповідно до означення АТТ можна розглядати як сукупнiсть матерiальних точок, вiдстань мiж якими не змiнюється. Тому, при поступальному русi АТТ всi його точки рухаються однаковими траєкторiями. Це означає, що всi вони в будь-який момент часу мають однаковi швидкостi й прискорення. З цього випливає, що для описування поступального руху АТТ достатньо розглянути рух будь-якої однiєї його точки. Таким чином, кiнематика поступального руху АТТ зводиться до кінематики поступального руху матеріальної точки, що розглянута в п. 1.3.

З усiх можливих обертальних рухiв АТТ розглянемо обертальний рух навколо нерухомої осi. Вiссю обертання О´О називається пряма, на якiй лежать центри кiл, що описують точки твердого тiла при його обертаннi (рис. 1.14).

Як зазначалося вище, в цьому разі тiло має одну степiнь вiльностi. Його положення в просторi однозначно визначається кутом повороту , який є однаковим для всiх точок тiла за один i той же час. Тому кутовi швидкостi й кутовi прискорення для всiх точок тiла теж однаковi i визначаються за формулами (1.44), (1.51). Лiнiйнi ж характеристики у точок рiзнi, наприклад,

                                                      (1.60)

i залежать вiд вiдстанi  конкретної точки до осi обертання. В такому випадку зручно користуватися виразами зв’язку мiж лiнiйними i кутовими характеристиками (див.формули (1.52), (1.53). (1.54)).

2. ДІНАМIКА

Розглянемо основнi закони динамiки — тiєї частини класичної механiки, що вивчає причини виникнення i змiни руху тiл. Для цього, перш за все, слід ввести динамiчнi характеристики руху. Будемо дотримуватися тiєї ж послiдовностi, що i в кiнематицi: спочатку розглянемо поступальний рух, а потiм — обертальний. У кiнцi розділу розглянемо питання пов’язанi з енергiєю i роботою в механiцi.

2.1. Динамiчнi характеристики поступального руху

До динамiчних характеристик поступального руху матерiальної точки і абсолютно твердого тiла вiдносяться маса, сила, iмпульс.

2.1.1. Маса

Маса m (вiд лат. massa — брила, шматок) — це фiзична величина, що є мiрою інертних i гравiтацiйних властивостей тiл.

Iнертнi властивостi полягають у тому, що кожне тiло спричиняє опiр намаганням змiнити стан свого руху (тобто змiнити модуль чи напрямок своєї швидкостi) або стан спокою. Чим бiльша iнертнiсть тiла, тим бiльша його маса, яку називають iнертною масою. Гравiтацiйнi властивостi полягають у тому, що кожне тiло створює навколо себе гравiтацiйне поле, яке викликає притягання тiл одне до одного. Чим бiльшi гравiтацiйнi властивостi тiла, тим бiльша його маса, яку називають гравiтацiйною масою.

Немає такого спiввiдношення, з якого випливало б, що маса, що створює гравiтацiйне поле, визначає i iнертнiсть цього тiла. Але дослiдом доведено, що iнертна i гравiтацiйна маси чисельно рiвнi, причому з точністю не менше, нiж    10-12. Тому замiсть двох термінів вживається один „маса”. Одиницею маси в системi СІ є кiлограм (кг).

Маса є величиною скалярною i адитивною, тобто маса всiєї системи дорiвнює сумi мас окремих елементiв системи:

                                                             (2.1)

Розглядаючи складні системи зручно користуватися поняттям центра мас. Центром мас (або центром iнерцiї) системи називається точка С (що може бути i уявною), положення якої задається радіус-вектором

                                                      (2.2)

де  — маса i радiус-вектор i-ї елементарноiї маси, N -  кiлькiсть

елементiв в системi, — маса системи.

З масою пов’язане поняття густини тiла:

                                                         (2.3)

або для однорiдних суцiльних тіл

,                                                          (2.4)

тобто це є маса одиницi об’єму тiла i в системi СІ вимiрюється в кiлограмах на метр кубiчний (кг/м3).

2.1.2. Сила

Сила F — це фiзична величина, що є мiрою дії одного тiла на iнше.

Ця дiя може виникати як при безпосередньому контактi тiл (тертi, ударi, стисканнi та iн.), так i на вiдстанi мiж ними через посередництво створюваних тiлами полiв. Пiд дiєю сили виникає рух чи змiна руху тiла або його деформацiя. Сила — величина векторна i характеризується чисельним значенням, напрямком i точкою прикладання. В системi СІ одиницею вимiрювання сили є ньютон (Н). Лiнiя, вздовж якої дiє сила, називається лiнiєю дії сили. Якщо на тiло одночасно дiють кiлька сил, що прикладенi до однiєї і тiєї ж точки тiла, їх можна замiнити однiєю силою . Ця сила називається рiвнодiйною i визначається векторною сумою всiх сил, що дiють на тiло:

                                      (2.5)

Додавання сил виконується за правилом додавання векторiв (правилом паралелограма), рис. 2.1. Обернена операцiя називається розкладанням сил. Слiд зазначити, що не можна шукати рiвнодiйну сил, що прикладенi до рiзних тiл. Сукупнiсть тiл, видiлених для розгляду з оточуючого середовища, називається механiчною системою. Сили, що дiють у механiчній системi, можуть бути внутрiшнiми i зовнiшнiми.

Внутрiшнiми називаються сили, з якими тiла механiчної системи дiють одне на одне. Зовнiшнiми називаються сили, з якими тiла механiчної системи взаємодiють з iншими тiлами, що не належать до даної системи. Рiвнодiйна зовнiшнiх сил називається головним вектором зовнiшнiх сил.

2.1.3. Iмпульс

Iмпульсом або кiлькiстю руху тiла  в класичнiй механiцi називається величина, що дорiвнює добутку маси тiла на його швидкість

                                                     (2.6)

З означення випливає, що напрямок вектора  збiгається з напрямком вектора . Одиницею вимiрювання iмпульсу в системi СІ є кiлограм на метр за секунду (кг м/с).

2.2. Закони Ньютона

Закони Ньютона з узагальненням дослiдних фактiв i виступають у ролi постулатiв класичної механiки. Вони вiдносяться до поступального руху.

Перший закон Ньютона (закон iнерцiї): тiло (матерiальна точка), яке вiльне вiд зовнiшнiх впливiв, рухається прямолiнiйно i рiвномірно або перебуває в станi спокою.

Тiло, вiльне вiд зовнiшнiх впливiв, називається вiльним, а його рух — вiльним рухом або рухом за iнерцiєю.

Зауважимо, що вiльне тiло — фiзична абстракцiя, проте можна створити умови, за яких зовнiшнi впливи компенсують один одного або, по можливостi, усуненi. На практицi це означає, що рiвнодiйна всiх сил, що дiють на тiло, має бути рiвною нулю.

Другий закон Ньютона (основний закон динамiки поступального руху): прискорення тiла (матерiальної точки) прямо пропорцiйне дiючiй на тiло силi, збiгається з нею за напрямком i обернено пропорцiйне масi тiла (матерiальної точки):

                                                  (2.7) 

Звідси

                                                (2.8)

або, з урахуванням означення прискорення,

                                                  (2.9)

Через проекції на осi координат рiвняння (2.9) буде:

                              (2.10)

Рiвняння (2.10) називаються динамiчними рiвняннями руху тіл (матерiальної точки).

Якщо на тiло дiє кiлька сил, то кожна з них надає тiлу такого прискорення, ніби iнших сил немає. В цьому полягає принцип незалежностi дiї сил. Результат дiї цих сил аналогiчний результату дiї їх рiвнодiйної:

                                                   (2.11)

Запишемо вираз (2.8) в iншiй формi. Врахуємо, що , тоді

                                            (2.12)

Оскiльки , остаточно виходить

                                                    (2.13)

тобто швидкiсть змiни iмпульсу тiла (матерiальної точки) дорiвнює дiючiй силi (iнше формулювання другого закону Ньютона).

З останнього рiвняння виходить такий запис:

                                                 (2.14)

Добуток  називасться імпульсом сили. Отже, рiвняння (2.14) означає, що імпульс сили дорівнює змiнi iмпульсу тіла (матеріальної точки).

Третiй закон Ньютона: два тіла (матерiальнi точки) діють одне на одне з силами, рiвними за модулем i протилежно напрямленими вздовж прямої, що з’єднує ці тіла (матерiальнi точки).

Або, за формулюванням Ньютона: „Дії завжди є рiвна i протилежна протидiя”. Це виражається рівнянням:

                                                  (2.15)

Звернемо увагу, що сили  i  прикладенi до рiзних тiл, тому нiколи не врiвноважують одна одну (тобто рiвнодiйну для них визначати не можна).

Обговоримо наведенi закони докладнiше. Перший закон Ньютона приводить до роздiлення всiх систем вiдлiку на iнерцiальнi та неiнерцiальнi. Справа в тому, що в кiнематицi вибiр системи вiдлiку не був суттєвим i диктувався тiльки математичними зручностями. В динамiцi це питання розглядається iнакше. Дiйсно, якщо в деякiй системi вiдлiку тiло рухається прямолiнiйно i рiвномiрно, то в системi вiдлiку, що сама рухається вiдносно першої системи прискорено, рух цього тiла стає прискореним, хоча не з’явилося нiяких дiючих сил. Це означає, що динамiчне описування одного й того ж руху в рiзних системах вiдлiку здійснюється по-рiзному, i перший закон Ныотона в одних системах вiдлiку виконується, а в iнших — нi. Тому з цієї точки зору всi системи в механiцi подiляються на iнерцiальнi й неiнерцiальнi. Системи вiдлiку, в яких всi вiльнi тiла рухаються прямолiнiйно i рiвномiрно, називаються iнерцiальними. Системи вiдлiку, що знаходяться в станi спокою або рухаються прямолiнiйно i рiвномiрно вiдносно iнерцiальної системи, теж є iнерцiальними. Системи вiдлiку, якi не задовольняють дані умови, називаються неiнерцiальними. Закони Ньютона виконуються тiльки в iнерцiальних системах.

Прикладом iнерцальної системи вiдлiку може бути гелiоцентрична система, початок якої розмiщено в центрi Сонця, а координатнi осi напрямленi на три вiддаленi зiрки. Система вiдлiку, що зв’язана з Землею (геоцентрична система), є неiнерцiальною, оскiльки Земля обертається навколо власної осi i навколо Сонця. тобто рухається прискорено вiдносно гелiоцентричної системи. Однак часто цi обертання можна вважати повiльними i ними знехтувати, розглядаючи Землю як iнерцiальну систему вiдлiку.

Другий i третiй закони Ньютона дозволяють розглядати рух не тiльки окремих тiл (матерiальних точок), але й механiчних систем. Нагадаємо, що сили, що дiють у механiчнiй системi, подiляються на зовнiшнi та внутрiшнi. Вочевидь, що за третiм законом Ньютона, векторна сума всiх внутрiшнiх сил механiчної системи завжди дорiвнює нулю:

                                                   (2.16) 

де  - сили, з якими взаємодiють попарно i-те та j-те тiла. Тодi для механiчної системи рiвняння (2.13) набуде вигляду:

                                             (2.17)

де — iмпульс системи, що дорiвнює векторнiй сумi імпульсів всiх частин системи:

                                       (2,18)

Таким чином, швидкiсть змiни iмпульсу механiчної системи дорiвнює головному вектору зовнiшнiх сил, що дiють на систему.

Пружна сила — виникає при пружних деформацiях i визначається законом Гука:

                                                    (2.19)

де k — коефiцiєнт пружностi, х — деформацiя тiла чи системи. Знак ”-” показує, що пружна сила спрямована протилежно напрямку деформації.

2.3. Динамiчнi характеристики обертального руху абсолютно твердого тiла (АТТ)

З’ясуємо особливостi обертального руху АТТ з динамiчноiї точки зору, розглядаючи такий дослiд. Вiзьмемо тiло у виглядi хрестовини, яке закрiплене на горизонтальнiй осi i може обертатися навколо неї (так званий маятник Обербека). На хрестовинi симетрично осi обертання можуть закрiплятись однаковi тягарцi масами  кожний. На горизонтальнiй осi хрестовини є два шкiви рiзних дiаметрів R1 і R2. Намотаємо на шкiв дiаметром R1 нитку, другий кiнець якої з тягарцем перекинемо через нерухомий блок (Бл.). Пiд дiєю тягарця, тобто сили , хрестовина почне обертатися з кутовим прискоренням  (рис. 2.2,а).

Якщо ж нитку намотати на шкiв з дiаметром R2, що менший за R1, то кутове прискорення зменшиться ( - ) (рис. 2.2,б). Це означає, що одна й та ж сила, залежно вiд точки прикладання, спричиняє рiзну обертальну дiю. Тому в обертальному русi вводиться поняття моменту сили ().

Продовжимо дослiд. Залишимо нитку на другому шкiвi, але змiнимо розташування тягарцiв  на стрижнях хрестовини, закрiпивши їх ближче до центра (рис. 2.2,в). При цьому кутове прискорення обертання хрестовини теж змiниться. Отже, кутове прискорення залежить не тiльки вiд маси, а й вiд розподiлу маси тiла, що обертається. Характеристика, що визначає цю залежнiсть, називається моментом iнерцiї тiла (І).

Третьою характеристикою обертального руху АТТ є момент iмпульсу (). Визначимо цi характеристики, розглядаючи обертання АТТ навколо нерухомої точки О та навколо нерухомої осi, що проходить через цю точку обертання.

2.3.1. Момент сили

Моментом сили . або обертальним моментом вiдносно точки обертання О називається векторний добуток радiус-вектора , проведеного з точки О в точку прикладання сили, на цю силу :

                                                 (2.20)

Визначення моменту сили дано так, щоб кутове прискорення i кутова швидкiсть, якi виникають внаслiдок дiї моменту сили, збiгалися за напрямком з цим моментом. Тобто вектор  спрямований перпендикулярно площинi розташування векторiв  i , вiдповiдно до правила правого гвинта (рис.2.3,а).

Модуль моменту сили дорiвнює:

                                           (2.21)

де  — кут мiж векторами  i , а  — перпендикуляр, проведений з точки О на лiнiю дiї сили , який навивається плечем сили. Одиницею вимiрiв моменту сили є ньютон метр (Н м).

Якщо на тiло дiє кiлька сил, можна знайти суму моментiв цих сил відносно точки обертання О. Ця сума називається головним моментом зовнiшнiх сил вiдносно точки обертання О:

                                              (2.22)

Моментом сили вiдносно осi обертання z називають проекцiю вектора вiдносно точки обертання О на цю вiсь за умови, що вiсь проходить через цю точку О (рис. 2.3,б);

                                                     (2.23)

Якщо вектор  збігається за напрямком з вiссю , то його проекцiя дорiвнює модулю вектора :

                                                       (2.24)

Нехай на тiло дiють двi сили, якi рiвнi за модулем, а спрямованi протилежно вздовж паралельних прямих. Такi сили називаються парою сил (рис. 2.4).

Згiдно з виразом (2.20), момент пари сил вiдносно точки О

а його модуль

                                              (2.25)

Оскільки  то

                                     (2.26)

де l=l1+l2 - плече пари, тобто найкоротша вiдстань мiж прямими, вздовж яких дiють сили одержаний вираз не залежить вiд розташування точки О.

Узагалі, щоб тiло, на яке дiють рiзнi зовнiшнi сили, не оберталося, тобто знаходилось в рiвновазi, сумарний момент цих сил має дорiвнювати нулю:

                                                       (2.27)

2.3.2. Момент iнерції

Уявно розiб’ємо АТТ на малi елементи об’ємом  та масою mi якi можна вважати матерiальними точками (тобто представимо АТТ як систему матерiальних точок з масою mi).

Моментом iнерції І матерiальної точки вiдносно деякої осi z, називається добуток маси матерiальної точки mi на квадрат її вiдстанi , вiд цiєї осi (рис.2.5):

                                (2.28)

Момент iнерцiї всього тiла вiдносно деякоiї осi Z дорівнює сумi моментiв iнерції всiх його точок вiдносно цiєї осi:

                           (2.29)

Ця величина скалярна, одиниця вимiрювання в системi СІ — кг м2.

Момент iнерцiї має кожне тiло, незалежно вiд свого руху. Подiбно до того, як тiло має масу незалежно вiд свого стану руху чи спокою, воно має i момент iнерцiї вiдносно будь-якої осi незалежно вiд того, обертається воно навколо цiєї осi чи нi.

Як виходить iз означення (2.29), момент iнерцiї залежить не тiльки вiд маси тiла, але й вiд того, як ця маса розподiлена за об’ємом тiла. Враховуючи, що  та переходячи вiд додавання до iнтегрування перепишемо вираз (2.29):

                                               (2.30)

де ρ— густина речовини у вибраному об’ємi dV, r — вiдстань цього об’єму вiд осi, вiдносно якої обчислюється момент iнерцiї. Знаходження цього iнтеграла загалом випадках є досить складним. Задача значно спрощується, якщо розглядати однорiднi тiла правильної форми. Наведемо вирази для моментiв iнерцiї деяких таких тiл:

  •  момент iнерцiї диска (цилiндра) з радiусом R вiдносно осi симетрiї:

                                                   (2.31)

  •  момент iнерцiї обруча (тонкостiнного порожнього цилiндра) з радiусом R вiдносно осi симетрії:

                                                   (2.32)

  •  момент iнерції суцiльної кулi з радiусом R вiдносно осi, що проходить через центр кулi:

                                                (2.33)

  •  момент iнерцiї однорiдного стрижня довжиною l вiдносно осi, що проходить через його середину перпендикулярну до l:

                                                (2.34)

  •  те ж саме вiдносно осi, що проходить через кiнець стрижня:

                                                 (2.35)

Як бачимо, момент iнерцiї тiла залежить не тiльки вiд маси, форми i розмiрiв тiла, але й вiд розташування тiла вiдносно осi.

Можна обчислити момент iнерцiї тiла вiдносно будь-якої осi. Для цього зручно використовувати теорему Штейнера: момент iнерцiї тiла І вiдносно довiльноiї осi z’дорiвнює сумi моменту інерції тiла I0, вiдносно осi, що проходить через його центр мас паралельно данiй осi z’, i добутку маси тiла m на квадрат вiдстанi d мiж осями (рис. 2.6):

                                 (2.36)

2.3.3. Момент iмпульсу

Моментом iмпульсу  матерiальної точки вiдносно точки О називається векторний добуток радiус-вектора цiєї точки на її імпульс:

                                                   (2.37)

Напрямок вектора  визначається за правилом правого гвинта (рис.2.7,а) одиниця вимiрювання в системi СІ -  .

Якщо через точку О проходить вiсь z, навколо якої точка обертається, то моментом iмпульсу матерiальної точки вiдносно осi називається проекцiя моменту iмпульсу вiдносно точки О на цю вiсь (рис. 2.7,б):

                                              (2.38) 

Розглянемо тепер АТТ, що обертається навколо нерухомої осi z. Як i в попередньому пунктi, представимо його як систему N матерiальних точок масою mi.Тодi момент iмпульсу АТТ вiдносно точки О, через яку проходить вiсь обертання, дорiвнюватиме геометричнiй сумi моментiв iмпульсiв його точок вiдносно цiєї точки обертання О:

                                         (2.39)

де  — радiус-вектор кожної точки тiла вiдносно точки обертання О, — iмпульс кожної точки тiла. Взагалі, коли тiло несиметричне, вектор  може не збiгатися з вектором кутової швидкостi  (рис. 2.8,а).

Моментом iмпульсу АТТ вiдносно осi обертання Z, що проходить через точку О, називається проекцiя вектора моменту iмпульсу відносно цiєї точки на вiсь (рис. 2.8,б).

Виходячи з виразiв (2.38) та (2.39), можемо записати

                                (2.40)

Iз мiркувань симетрiї зрозумiло, що для однорiдного тiла, симетричного вiдносно осi обертання, вектор  буде спрямований за віссю обертання, i його модуль збiжиться з проекцiєю на цю вiсь:  (рис.2.9). Знайдемо модуль L, враховуючи, що  а куг  мiж векторами , та завжди дорiвнює 90о.

Оскiльки для обертального руку , то з урахуванням виразiв (2.28) та (2.39) можна записати:

тобто момент iмпульсу АТТ вiдносно осi обертання дорiвнює добутку моменту iнерцiї тiла вiдносно тiєї ж осi на кутову швидкість обертання:

                                                   (2.41)

даний вираз не залежить вiд положення на осi обертання точки О, вiдносно якої визначався момент iмпульсу.

2.4. Основне рiвняння динаміки обертального руху абсолютно твердого тiла

Розглянемо обертання АТТ навколо нерухомої точки О (нехай вона збiгається з центром мас) пiд дiєю зовнiшнiх сил . Вiдповідно до виразу (2.39) його момент iмпульсу

Продиференціюємо за часом цей вираз:

Оскiльки вектори  та , колiнеарнi, їх векторний добуток дорiвнює нулю. Тодi з урахуванням формули (2.13) останнiй вираз стане:

де  — головний момент зовнiшнiх сил, що дiють на АТТ.

Остаточний вираз має вигляд:

                                                       (2.42)

i називається основним рiвнянням динамiки обертального руху АТТ вiдносно нерухомої точки О.

Воно свiдчить про те, що похiдна моменту iмпульсу АТТ за часом дорiвнює головному моменту дiючих зовнiшнiх сил. (Моменти і визначаються вiдносно однiєї й тiєї ж точки обертання О). Якщо АТТ обертається навколо нерухомої осi, то рiвняння (2.42) запишеться у вiдповiдних проекцiях  i  на цю вiсь:

                                                     (2.43)

тобто похiдна за часом вiд моменту iмпульсу АТТ вiдносно нерухомої осi обертання дорiвнює головному моменту зовнiшнiх сил вiдносно цiєї осi.

Рiвняння (2.43) можна записати iнакше, якщо врахувати вирази (2.41) та (1.50), а також те, що момент iнерцiї I = соnst:

тобто

                                                         (2.44)

для обертання навколо нерухомої, осi.

Якщо тiло обертається навколо нерухомої точки О, останнiй вираз буде таким:

                                                            (2.45)

Цi вирази читаються так: добуток моменту iнерцiї АТТ вiдносно нерухомої точки (або осi) обертання на кутове прискорення дорiвнює головному моменту зовнiшнiх сил вiдносно тiєї ж точки (або осi) обертання.

Неважко побачити, що рiвняння (2.42) i (2.45) нагадують записи другого закону Ньютона для поступального руку (див. рiвняння (2.13) та (2.8)). Тiльки роль маси тут вiдiграє момент iнерцiї , роль сили — момент сили , роль iмпульсу — момент iмпульсу  роль лiнійного прискорення — кутове прискорення . Якщо при поступальному русi причиною змiни руху були дiючi сили , то при обертальному русi причиною змiни обертання є момент дiючих сил , причому чим вiн бiльший, тим швидше змінюється обертання.

2.5. Робота, потужнiсть, коефiцiєнт корисної дії

2.5.1. Робота

Розглянемо матерiальну точку, що рухається довiльною траєкторiєю L пiд дiєю змiнної сили (рис. 2.10).

Розiб’ємо цю траєкторiю на елементарнi перемiщення  так, щоб на кожному такому перемiщеннi дiючу силу можна було б вважати постiйною.

Тодi скалярний добуток сили  на перемiщення  буде називатись елементарною роботою :

,                                                   (2.46) 

або

                                             (2.47)

де  — кут мiж векторами  i .

Оскiльки ,тобто є проекцiєю сили  на дотичну  до траєкторiї в даному мiсцi, то вираз (2.47) можна записати як

                                                    (2.48)

При , тобто кут  гострий, то  ; 0. Вiдповiдну силу часто називають рушійною силою (наприклад, сила тяги лiтака або ракети).

При , тобто коли кут  тупий,  -0 i вiдповiдно силу називають гальмуючою силою (наприклад, сила тертя чи опору).

Якщо ж кут = то  = 0 i вiдповiдна сила роботи не виконує (наприклад, сила тяжiння при горизонтальному русi потягу або доцентрова сила).

Повна робота сили (F) при перемiщеннi з точки 1 в точку 2 буде визначатися сумою елементарних робiт, для обчислення якої слід проiнтегрувати вираз (2.47) або (2.48):

                                       (2.49)

Якщо тiло рухається прямолiнiйно пiд дiєю постiйної сили (тобто F = соnst, соs= соnst), то в цьому частинному випадку, враховуючи, що dr =dS, з виразу (2.49) отримуємо:

тобто

                                                    (2.50)

Одиницею роботи в системi СІ є джоуль (Дж). 1Дж=1Нм. Роботу сили можна знайти графiчно, якщо відомо її залежнiсть вiд перемiщення (рис.2.11). Добуток на , (див. рис. 2.11), що визначає елементарну роботу , є площиною прямокутника з основою  i висотою . Тодi повна робота, як сума таких прямокутникiв, чисельно дорiвнює всiй площi заштрихованої криволiнiйної трапеції, тобто площi пiд графiком функцiї . Такий пiдхiд часто математично спрощує обчислення роботи.

Для прикладу знайдемо роботу зовнiшньої сили, що розтягує пружину (рис.2.12,а). За третiм законом Ньютона ця сила дорiвнює силi пружностi =, але протилежна їй за напрямком: , тому

                                                         (2.51)

Графiк цiєї сили подано на рис. (2.12,б). Робота зовнiшньої сили є додатною i чисельно дорiвнює площi заштрихованого трикутника

Цей же вираз можна одержати з виразу (2.49), пiдставивши вираз (2.51):

                                         (2.52)

Розглянемо роботу у разi обертального руху. Нехай до АТТ прикладено дотичну силу , пiд дiєю якої воно повернулося на малий кут  (рис. 2.13). При цьому точка прикладання сили перемiстилася на . Як вiдомо, переміщення  можна визначити через радiус R та кут :R. Як видно з рис. 2.13,  R= l, де l — плече сили . Тодi вiдповiдно до виразу (2.48.) елементарна робота дорiвнюватиме:

Оскільки Fl=M, то

                                   (2.53)

тобто елементарна робота при поворотi тiла на елементарний кут  чисельно дорiвнює добутку моменту дiючої сили на цей кут. Якщо ж тiло повернулося на певний кут  вiд положення  до положення , то повну роботу в обертальному русi знайдемо шляхом iнтегрування виразу (2.53):

                                         (2.54) 

Зокрема, коли момент дiючої сили є постiйною величиною (М=соnst) з виразу (2.54) маємо, що

                              (2.55)

2.5.2. Потужнiсть

У поняттi роботи час не вiдiграє нiякої ролi. Однак у технiцi дуже суттєво, який час необхiдно витратити на виконання певної роботи. Вiдомссті про це дає потужнiсть.

Середньою потужнiстю (N) називається фiзична величина, що визначається вiдношенням всiєї виконаної роботи А до часу , за який ця робота була виконана:

                                                        (2.56) 

Миттєва потужнiсть (або просто потужнiсть) визначається вiдношенням елементарної роботи  до промiжку часу , за який вона виконана:

                                                          (2.57)

Одиницею вимiрювання потужностi в системi СІ є ват (Вт) 1Вт=1Дж/с.

Пiдставляючи у вираз (2.57) вирази для роботи (2.46) i (2.53), одержимо вирази для миттєвої потужностi:

— поступального руху

                                    (2.58) 

де  дiюча сила,  — миттєва швидкiсть тiла;

— обертального руху

                                                (2.59)

де М— момент дiючої сили,  — миттєва кутова швидкiсть обертання АТТ.

2.5.3. Коефiцiєнт корисної дії

Характеристикою ефективностi використання технiчного пристрою є його коефiцiєнт корисної дії (ККД).

Залежно вiд конкретної задачi, ККД () визначається через рiзні фiзичні величини, але завжди як вiдношення “корисних результатів” до “витрат”. У механiцi це може бути записано так:

,                                            (2.60)

де  Акор, Nкор. - корисні робота і потужність; Авитр. Nвитр -. витрачені робота і потужність.

У реальності в будь-якому процесі присутні тертя, опір та ін., тому завжди Акор. - Авитр , Nкор. - Nвитр  і ή-1.

ККД виражають у десяткових дробах або у вiдсотках. Наприклад, для авiацiйних двигунiв звичайний ККД — 0,4—0,5 (або 40— 50%), для бортових електрогенераторiв — 0,9—0,95 (або 90—95%).

2.6. Енергiя. Механiчна енергiя

Енергiя — це загальна кiлькiсна мiра руху i взаємодiї всiх видiв матерії. Вiдповiдно до рiзних форм руху i взаємодiї матерiї розглядають рiзнi види енергії: механiчну, внутрiшню, електричну, ядерну та iн. Вiдповiдно до уявлень класичної фiзики енергiя будь-якої системи змiнюється безперервно i може набувати різних значень. Одиницею вимiрювання енергiї є джоуль (Дж) у системi СІ.

У механiцi розрiзняють два види енергiї — кiнетичну та потенцiальну . Повна механiчна енергiя дорівнює їхній сумі:

— для матерiальної точки

                                               (2.61)

— для механiчної системи

,                                           (2.62)

де  та  вiдповiдно кiнетична i потенцiальна енергiя i—го елемента системи. Розглянемо кожний з цих видiв механiчної енергiї.

2.7. Кiнетична енергiя

Кiнетичною енергією  називається енергiя тiла, що рухається. Визначимо кiнетичну енергiю тiла при поступальному русi. Нехай пiд дiєю сили  тiло (матерiальна точка) масою m перемiстилося на , змiнивши при цьому свою швидкiсть на . Тодi кiнетична енергiя тiла змiнилася на . Зрозумiло, що ця змiна кiнетичної енергiї вiдбулася за рахунок виконання силою роботи  (вважаємо, що сил опору та тертя немає):

,

Скористаємося виразом для елементарної роботи (2.49), другим законом Ньютона (2.8) та виразом для тангенцiального прискорення (1.25):

,

Оскільки , а , то .

Якщо тiло починає рухатись iз стану спокою, тобто змінює свою швидкість вiд 0 до υ, воно набуде кiнетичну енергiю

.

Отже, кiнетична енергiя тiла (матерiальної точки) при поступальному русi дорiвнює:

                                                         (2.63)

Враховуючи, що iмпульс р=, вираз (2.63) можна записати iнакше, помноживши i поділивши праву частину на m:

.                                                        (2.64)

Кінетична енергiя системи тiл (матерiальних точок) дорiвнює сумi кiнетичних енергiй окремих елементiв системи тобто є величиною адитивною.

                                                 (2.65)

Кiнетична енергiя є величиною вiдносною, i, як i швидкість, залежить вiд системи вiдлiку.

Знайдемо вираз для кiнетичної енергії АТТ, що обертається, як уже робилося ранiше, роздiлемо умовно АТТ на малi елементи mi, для кожного з яких кiнетична енергiя за формулою (2.63) дорiвнюватиме

.

Враховуючи вираз (2.65), а також рiвняння (1.60), запишемо для всього АТТ:

Оскільки є моментом iнерції I всього тiла, остаточно будемо мати для кiнетичної енергії обертального руху АТТ

                                                        (2.66)

Якщо швидкiсть тiла пiд дiєю сили  змiнюється при поступальному русi вiд  до  то виконана при цьому робота сили дорiвнює змiнi кiнетичної енергiї тiла:

                                  (2.67)

Аналогiчне вiдбувається при обертальному русi, коли кутова швидкiсть АТТ змiнюється вiд  до :

                                                     (2.68)

Зрозумiло, що додатня робота приводить до збiльшення кiнетичної енергiї тiла, а вiд’ємна робота — до зменшення кiнетичної енергiї

2.8. Потенцiальна енергiї

Потенцiальною енергiєю  називається енергiя взаємодії тiл (або їх частин), що залежить вiд їх взаємного розташування.

Загалом взаємодiя мiж тiлами вiдбувається або при безпосередньому контактi, або на вiдстанi, за рахунок сил поля. Сили за їх властивостями можна подiлити на два класи. Для сил одного класу робота при перемiщеннi тiла мiж двома точками не залежить вiд траєкторiї руху, а для сил другого класу — залежить вiд траєкторiї руху тiла.

Сили, робота яких не залежить вiд форми траєкторiї руху тiла i визначається тільки початковою i кiнцевою точками траєкторiї, називаються консервативними (наприклад гравiтацiйна сила, електростатична сила). Саме цi сили можна описати за допомогою потенцiальної енергii.

Сили, робота яких залежить вiд траєкторiї руху тiла, називаються неконсервативними (наприклад, сили тертя). Для цих сил не iснує поняття потенцiальної енергiї.

Область простору, в якiй дiють сили, називається полем сил (або просто полем). Поля, в яких дiють консервативнi сили, називаються потенцiальними полями. Тiло, що перебуває в потенцiальному полi, має потенцiальну енергiю .

За означенням, потенцiальна енергiя тiла в даному його положеннi чисельно дорiвнює роботi, яку виконують дiючi на тiло консервативнi сили при перемiщеннi його з цього положення в те, де потенцiальна енергiя умовно приймається рiвною нулю. З цього означення можна зробити два висновки.

По-перше, робота консервативних сил, що дiють на тiло в потенцiальному полi, дорiвнює зменшенню потенцiальної енергiї тiла. Дiйсно, оскільки пiд дiєю консервативних сил тiло перемiщується з точки з бiльшою потенцiальною енергiєю  в точку з меншою потенцiальною енергiєю- (поки воно не перемiститься в точку, де = 0), то

                                               (2.69)

По-друге, значення потенцiальна енергiя залежить вiд того, яке положення тiла умовно взяте за нуль (вибiр нульового рiвня потенцiальної енергiї називається нормуванням потенцiальної енергії). Причому в разi замiни одного нульового рiвня на iнший потенцiальна енергiя змiнюється на сталу величину. Наприклад, вiзьмемо за нульове положення тiла в точцi l (рис.2.14,а). Тодi в положенні 2 потенцiальна енергiя тiла дорiвнюватиме . Якщо ж узяти за нульове положення тiла в точцi l, то його потенцiальна енергiя в точцi 2 буде . Оскiльки сили консервативні, то робота вздовж траєкторiї 2-l дорiвнює роботi вздовж траєкторiї 2 — 1 — l, тобто  , або

Роботу А, можна позначити як довiльну константу С i записати в загальному виглядi

                                                  (2.70)

Таким чином, потенціальна енергiя визначається не однозначно, а з точнiстю до довiльної сталої. Довiльнiсть вибору сталої не впливає на фiзичнi висновки, оскiльки вони характеризуються не абсолютним значенням потенцiальної енергiї, а й змiною, а саме . Зрозумiло, що для зручностi найчастiше покладають С = 0.

Потенцiальна енергiя залежить вiд характеру взаємодiї тiл, тому єдиної формули для неї, як для кiнетичної енергiї, немає. Крiм того, оскiльки початок вiдлiку вибирається довiльно, потенцiальна енергiя може мати вiд’ємнi значення (кiнетична енергiя завжди додатня). Наприклад, якщо за нуль прийняти потенцiальну енергiю тiла, що пребуває на поверхнi Землi, то потенцiальна енергiя тiла, пiднятого на висоту h1 буде , а тiло, що перебуває на днi шахти глибиною h2, буде .

Запишемо тепер математичний критерiй (тобто ознаку) потенцiальностi поля консервативних сил. Нехай тiло рухалося замкненою траєкторією 1—1 (рис.2.14,б). Оскiльки на нього дiяли консервативнi сили, їх робота в цьому замкненому контуру (позначимо його L) дорiвнює нулю. Математично це записується, з урахуванням рiвняння (2.46), так:

.

У математиці інтеграл вигляду  називається циркуляцiєю вектора  вздовж замкненого контура L. Отже для поля консервативних сил маємо такий математичний критерiй його потенцiальностi:

,                                                     (2.71)

тобто циркуляцiя вектора сили  по довiльному замкненому контуру L дорiвнює нулю.

2.9. Неiнерцiальнi системи вiдлiку

Досi ми розглядали рух в iнерцiальних системах вiдлiку. У таких системах, як вiдомо, виконується другий закон Ньютона, який можна записати у виглядi

                                                        (2.72)

Розглянемо тепер неiнерцiальнi системи вiдлiку, тобто такi, що рухаються прискорено вiдносно iнерцiальних систем.

Нехай неiнерцiальна система К рухається вздовж осi Ох iнерцiальної системи К (рис. 2.15). Тодi для координати х точки М можна записати:

                                                     (2.73)

Продиференцiюємо цей вираз двiчi за часом

,                                              (2.74)

де  - прискорення точки в системі К,  - прискорення  точки в системі К,  - прискорення системи К відносно системи К.

Отже,

                                                   (2.75)

Помножимо лiву i праву частину цього виразу на масу точки m:

Бачимо, що в iнерцiальнiй системi в другому законi Ньютона крiм “звичайної” сили F з’явилася додаткова сила -  . Назвемо її силою інерції  . У векторному вигляді

,                                                  (2.76)

тобто сила iнерції напрямлена протилежно до прискорення неiнерцiальної системи вiдносно iнерцiальної.

Сили iнерцiї можна виміряти. Наприклад, прилади, що вимiрюють сили інерції, дають змогу з великою точнiстю визначати мiсце перебування лiтака чи ракети.

Оскільки сили iнерцiї зумовленi прискореним рухом неiнерцiальної системи вiдлiку, вони можуть проявлятися не тiльки при поступальному, але й при обертальному русi.

2.10. Сили iнерцii в системах, що обертаються

Нехай маємо диск радiуса R, що обертається навколо нерухомої осi з постiйною кутовою швидкістю . Зв’яжемо з вiссю iнерцiальну систему К, що не рухається, тодi диск буде неiнерцiальною системою К, що обертається. Розглянемо кульку на нитцi, що лежить нерухомо на краю диска (рис. 2.16). Маса кульки m. В системi К на неї дiє сила натягу , що за другим законом Ньютона, пропорцiйна масi кульки i доцентровому прискоренню :

                                             (2.77)

У системi К’, в якiй кулька є нерухомою, крiм сили  на неї має дiяти сила iнерцiї, що в даному випадку називається  відцентровою силою F, причому

                       (2.78)

Ця сила завжди перпендикулярна осi обертання i спрямована по радiусу вiд центра кола.

Вiдцентрова сила iнерцiї виникає в усiх системах вiдлiку, що обертаються, i не залежить вiд того, нерухоме тiло в цiй системi, чи рухається. Така сила, наприклад, дiє на нерухоме тiло в зв’язку з обертанням Землi (рис.2.17).

У положеннi 1 на тіло дiє вiдцентрована сила Fвц, гравiтацiйна Fгр направлена до центра Землi.Сила тяжіння буде дорiвнювати:

.

У положенні 2 на екваторi сила тяжiння за модулем дорiвнюватиме рiзницi:

.

У положеннi 3 на полюсi , отже, .

Саме тому на полюсi прискорення вiльного падiння найбiльше ( 9,83 м/с), а на екваторi — найменше (9,78 м/с).

Загалом вираз для вiдцентрової сили є таким:

,                                                          (2.79)

де r - радiус-вектор матерiальної точки.

Якщо тiло рухається в неiнерцiальнiй системi, що обертається, то крiм вiдцентрової сили виникає ще одна сила iнерцiї, що називається силою Корiолiса Fк. Нехай кулька, що розглянута на рис 2.16, рухається рiвномiрно по краю диска зi швидкiстю υ вiдносно диска, тобто системи К (рис. 2.18). Лiнiйна швидкiсть точок краю диска в системi К дорiвнює , отже швидкiсть кульки в системi К буде:

.                                                  (2.80)

Тодi її доцентрове прискорення вiдносно системи К. буде:

.             (2.81)

Помножимо лiвi й правi частини на m:

,                            (2.82)

де — сила натягу нитки.

Тоді для системи К можна записати:

,                                   (2.83)

тобто К “звичайної” сили Fнат на кульку дiють:

вiдцентрова сила , сила Корiолiса .

Оскiльки для нашого прикладу кут мiж векторами  і υ дорiвнює  i Fк спрямована протилежно вектору нормалi n, силу Корiолiса можна подати як векторний добуток:

.                                                  (2.84)

Звернімо увагу, що оскiльки сила Корiолiса перпендикулярна до вектора швидкості υ, вона не змінює чисельного значення швидкостi, а змiнює лише її напрямок, тобто викривляє траєкторiю. В умовах Землi, наприклад, це приводить до того, що рiки північної пiвкулi пiдмивають саме правi береги.

Слiд зазначити, що введення сил iнерцiї не є вкрай необхiдним. У принципi будь-який рух можна розглянути, наприклад, в гелiоцентричнiй, тобто iнерцiальнiй, системi вiдлiку. Але на практицi здебільшого (особливо в авiацiї), розглядають рух вiдносно неiнерцiальної системи, якою є Земля, виявляється набагато зручнішим i простішим.

3. ЗАКОНИ ЗБЕРЕЖЕННЯ

Найбiльш фундаментальними законами природи у фiзицi є закони збереження. В цих законах йдеться про те, що в замкнутiй (iзольованій) системi за будь-яких фiзичних процесів певнi фiзичнi величини завжди залишаються постiйними, тобто не змiнюються з часом. Закони збереження можуть бути загальними та частковими. Загальнi закони збереження вiрнi для всiх фiзичних явищ, а часткові — тiльки для деяких. Так, закони збереження енергiї iмпульсу, моменту iмпульсу виконуються в усiх фiзичних явищах, вони є загальними законами, а закон збереження механiчної енергiї виконується тiльки в механiчних процесах, вiн є частковим законом. Нагадаємо, що в механiчнiй системi можуть дiяти внутрiшнi i зовнiшнi сили. Система, на яку зовнiшнi сили не діють, називається замкненою системою. Зрозумiло, що в земних умовах замкнених систем немає хоча б тому, що завжди дiють сили тяжiння. Проте реальну систему можна вважати замкненою, якщо внутрiшнi сили взаємодiї набагато бiльші зовнiшнiх сил або рiвнодiйна зовнiшнiх сил дорiвнює нулю.

3.1. Закони збереження в механiцi

Закон збереження iмпульсу: в замкненiй системi сумарний iмпульс всiх тiл (матерiальних точок) є величиною постiйною:

                                            (3.1)

Дiйсно, для замкнених систем, коли зовнiшнi сили вiдсутнi, другий закон Ньютона матиме вигляд:

                                                      (3.2)

Із математики вiдомо, що коли похiдна деякої функції дорiвнює нулю, то ця величина — постiйна, отже р = const.

Звернемо увагу, що вираз (3.1) справедливий i в тому разі, коли є зовнiшнi сили, але їх рiвнодiйна дорiвнює нулю.

                                                         (3.3)

Може статися, що F=0, але її проекцiї на якiй осi дорівнюють нулю. Тодi рiвняння (3.1) записується для проекцiй iмпульсу на вiдповiднi осi. Наприклад, . Тодi вираз (3.2) для проекцiй на осях координат буде таким:

; ; .

Звідки .

Закон збереження моменту iмпульсу: в замкненiй системi сумарний момент iмпульсу всiх тiл є величиною постiйною:

                                             (3.4)

дiйсно, для замкненої системи Мзов=0 , бо Fзов=0, тодi рiвняння (2.43) набуде вигляду:

,                                                     (3.5)

а це виконується тiльки при L= const

Якщо ж на систему зовнiшнi сили дiють, але їх головний момент вiдносно нерухомої точки дорiвнiоє нулю, то вираз (3.4) залишається справедливим.

Такi ж висновки можка зробити i про момент iмпульсу вiдносно нерухомої осi: при ,.

Закон эбереження механiчної енергії: в замкненiй системi консервативних сил повна механiчна енергiя є величиною постійною:

                                                  (3.6)

Якщо ж у механiчнiй системi дiють сили тертя або опору, механiчна енергiя поступово зменшується за рахунок перетворення в iнші види енергiї (наприклад, у теплову). Цей процес називається дисипацiєю (розсiюванням) енергiї. Механiчна енергiя не зберiгається, але виконується загальнофiзичний закон збереження енергiї.

Закон эбереження енергiї: енергiя не виникає з нiчого i не зникає безслiдно, вона може тiльки передаватися вiд одних фізичних систем до iнших або переходити з одного виду в iнший в еквiвалентних кількостях.

Загальнофiзичний закон збереження енергії охоплює всi вiдомi фiзичнi явища i розглядається як один з найбiльш широких узагальнень дослiдних фактiв. Його велика роль зумовлена двома причинами. По-перше, закон часто дає можливість розв’язувати практичнi задачi, якi iншими методами не розвязуються. По-друге, ним керуються при дослiдженнi нових явищ природи, ситуації, в яких, як здавалося, порушувався цей закон, приводили до нових вiдкриттiв (радiоактивнiсть нейтрино).

3.2. Закони збереження симетрiї простору i часу

Закони збереження енергiї iмпульсу i моменту iмпульсу пов’язанi з певними властивостями симетрiї простору i часу. Пiд симетрiєю простору розумiється однорiднiсть та iзотропнiсть простору, а пiд симетрією часу - однорiднiсть часу. Розглянмо цi означення. Простiр однорiдний. Це означає, що будь-що точка простору може бути взята за початок вiдлiку в iнерцiальнiй системi вiдлiку, i фізичний процес вiд цього не змiниться.

IIростір ізотропний – це означає, що всi напрямки в просторi рiвноправнi. Час однорідний – це означає, що плин фiзичних процесiв не залежить вiд вибору початкового моменту часу, всi моменти часу рiвноправнi.

Слiд вiдзначити, що симетрiя простору i часу не самоочевидна; вона є узагальненням дослiдних фактiв. Закон збереження енергiї випливає з однорiдностi часу. Дiйсно, плин часу сам по собi не може викликати змiну фiзичних станiв замкненої системи, тобто змiнити енергiю. Закон збереження iмпульсу випливає з однорiдностi простору. Це означає, що перемiщення замкненої системи в просторi не змiнює механiчного стану. (Ця змiна може вiдбуватися тільки в результатi взаємодії даної системи з іншими тiлами, але тодi вона перестане бути замкненою). Аналогiчно з iзотропностi простору випливає закон збереження моменту iмпульсу, тобто поворот замкненої системи в просторi не змiнює її механiчних властивостей.

Як уже зазначалося, закони збереження посiдають особливе мiсце серед всiх законiв природи. Вони є основою важливих розрахункiв як у фiзицi, так i в технiцi, часто дозволяють передбачати рiзнi явища й ефекти. Загальнi закони збереження є пробним каменем будь-якої фiзичної теорiї: непротирiччя цим законам є найважливішим критерієм її справедливостi. На сьогоднi фiзикам не вiдомі явища, в яких порушувався хоча б один iз загальних законiв збереження. Разом з тим не можна стверджувати, що з розширенням границь нашого розумiння природи данi закони або їх конкретнi формулювання залишаться без змiн. Абсолютизацiя цих, як i будь-яких iнших законiв, недопустима. Абсолютними є не закони збереження, а, мабуть, сама iдея збереження: жодна фiзична теорiя не може бути побудована без тих чи iнших величин, що зберігаються.

3.3. Реактивний рух

Рух деяких тiл супроводжується змiною їх маси. Наприклад, маса ракети зменшується за рахунок витоку газiв, що утворюються при згораннi палива. При вильотi їх в одному напрямку, ракета отримує iмпульс у протилежному напрямку. У цьому полягає фiзичиий змiст реактивного руку, який використовується в рiзноманiтних лiтаючих апаратах.

Виведемо рiвняння руху ракети як тiла змiнної маси. Розглянемо систему ракета з газами. Нехай у певний момент часу t маса ракети разом iз газами m, а її швидкiсть вiдносно землi υ. Вiдповідно iмпульс ракети дорiвнює .

За час dt з ракети вилетiли гази масою dm iз швидкiстю u вiд ракети (цю швидкiсть часто називають швидкiстю газової струмини). У результатi цього маса ракети зменшилася на dm i почала дорiвнювати m-dm, а швидкiсть υ збiльшилася на dm i стала дорівнювати -u вiдносно Землi. Вiдповiдно iмпульс ракети буде дорівнювати,  а iмпульс газiв, що вилетiли дорiвнюватиме . Звертаємо увагу, що гази летять у протилежний бiк ракети , тому перед u ставимо знак “-„. Запишемо тепер змiну iмпульсу всiєї системи ракета-гази, що вилетiли за час ‚dt:

або

                    (3.7)

Розкривши дужки будемо мати:

                                          (3.8)

Проаналiзуємо цей вираз у разі, коли зовнiшнi сили дiють на ракету випадок (а) i не дiють на ракету випадок (б) (пiд зовнішніми силами розумiють гравiтацiйнi сили притягання Сонця, Землi, планет, сили опору повiтря та ін.:

а) нехай на ракету дiють зовнiшнi сили. Позначимо їх рiвнодiйну  F. Тодi за другим законом Ньютона

,                                                      (3.9)

або підставивши dp, маємо:

,                                            (3.10)

Подiливши цей вираз на dt‚ матимемо:

.                                             (3.11)

Цей вираз називається рiвнянням Мещерського. Звернемо увагу, на те, що в рiвняннi Мещерського до зовнiшньої сили F додається векторна величина . Вона характеризує механiчну дiю на ракету частинок газу, що відділяються вiд неї, i називається реактивною силою:

                                        (3.12)

Як бачимо, реактивна сила пропорцiйна добутку маси газiв, що вiддiляються за одиницю часу, i швидкостi газової струмини. Ця залежнiсть є основою для розрахунку сили тяги реактивних двигунiв всiх систем;

б) якщо на ракету зовнiшнi сили не дiють (полiт у космiчному просторi на великiй вiдстанi вiд планет), то за законом збереження iмпульсу , тодi вираз (3.8) буде:

                                                (3.13)

Це означає, що ракета рухається тiльки пiд дiєю реактивноiї сили. Визначимо, яку максимальну швидкiсть метиме при цьому ракета. Нехай початкова швидкiсть ракети дорiвнює нулю, її траєкторiя — пряма лiнiя, а гази вилiтають iз сталою швидкiстю u. Це означає, що вектори υ і u  протилежно спрямованi. Тому можна записати в скалярному виглядi:

.                                               (3.14)

Нехай початкова маса ракети , її кiнцева маса пiсля повного вигоряння палива масою  буде (—). Тодi максимальна швидкiсть ракети  при змiнi її маси вiд  до  —  може бути знайдена шляхом iнтегрування виразу (3.14):

                            (3.15)

Вираз

                                  (3.16)

називається формулою Цiолковського. За цiєю формулою можна розрахувати запас палива, необхiдний для надання ракетi певної швидкостi υ. Бачимо, що чим бiльша швидкiсть газової струмини и, тим бiльшою може бути корисна маса ракети ( — ).

3.4. Удар

Взаємодiя мiж тiлами називається ударом, якщо:

— вiдбувається за дуже короткий час;

— внутрiшнi сили взаємодiї настiльки великi, що зовнiшнiми силами можна знехтувати i розглядати тiла, що спiвударяються, як замкнену систему.

Введемо такi умови

• тiла до i пiсля удару рухаються вздовж прямої, що проходить через їх центр мас, тобто удар є центральним;

• тiла рухаються поступально (не обертаючись);

• сили тертя не враховуються.

Розглянемо два граничних випадки центрального удару — абсолютно пружний i абсолютно непружний удар.

1. Абсолютно пружним називається удар, за якою механiчна енергiя тiл, що спiвударних, зберiгається. Це означає, що та частина кiнетичної енергiї, що пiд час удару перейшла в потенціальну енергiю пружної деформацiї, пiсля цього знову перетворюється на рiвну їй кінетичну енергiю. Тому при абсолютно пружному ударi виконуються два закони: збереження механiчної енергiї та збереження iмпульсу.

Нехай два абсолютно пружних тiла з масами  i  рухаються вздовж осi х зi швидкостями відповідно  та  (рис.3.1,а). Пiсля абсолютно пружного удару вони набувають швидкостей вiдповідно  та  (рис.3.1,б).

Запишемо закон збереження механiчної (а саме кiнетичної) енергії та закон збереження iмпульсу для цього випадку:

                                        

Розв’язок цiєї системи рiвнянь дає такі вирази для швидкостей тiл пiсля удару:

                                           

Проаналiзуємо цi вирази для окремо взятих випадкiв:

а). Маси тiл однаковi (==), тодi  i  тобто при ударi тiла обмiнюються швидкостями. Якщо ж до удару одне тiло було нерухомим, то пiсля удару нерухомим буде друге тiло;

б). Маса одного тiла значно бiльша за масу другого тiла (наприклад  ;). Тодi  i  . Тобто швидкість масивного тiла практично не змiнюється.

Коли ж масивне тiло було нерухомим (наприклад, стiна), то =0 i =, тобто тiло, що рухається, вiдскакує в протилежний бiк з такою ж швидкiстю.

2. Абсолютно непружним ударом називається зiткнення двох тiл, в внаслідок чого тiла об’єднуються i рухаються далi разом. Зрозумiло, що в цьому разі закон збереження механiчної енергiї не виконується (кiнетична енергiя частково витрачається на деформацiю), а закон збереження iмпульсу — виконується.

Нехай до удару швидкостi тiл з масами  i  були вiдповiдно і  а після удару обидва тіла почали рухатися разом зі швидкiстю  (рис. 3.2б)

Запишемо закон збереження iмпульсу: 

                                           (3.21)

Звiдси швидкiсть тiл пiсля удару дорівнює:

                                                (3.22)

Тобто, якщо тiла рухалися назустрiч одне одному, то пiсля удару вони будуть рухатимуться в бiк, руху тiла, яке мало бiльший iмпульс.

4. ЕЛЕМЕНТИ СПЕЦIАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ВIДНОСНОСТI

Як відомо, описувати рух можна тiльки в тому разі, коли задана система вiдлiку. Але iснують багато рiзних систем вiдлiку i в кожній з них характеристики одного й того ж руху можуть приймати рiзнi значення. Тому необхiдно вмiти перераховувати цi харатеристики, тобто переходити вiд однiєї системи вiдлiку до іншої. При цьому будемо враховувати, що коли розглядаються невеликi швидкостi (υ«с), справедливими є закони класичної механiки. Коли мова йде про швидкостi, що наближаються до швидкостi свiтла, справедливими виявляються закони спецiальної теорiї вiдносностi (релятивiстської механiки).

Будемо розглядати тiльки інерцiальнi системи вiдлiку. Одну з них умовно назвемо нерухомою i позначимо К. Інша система нехай рухається вздовж осi ОХ рiвномiрно зi швидкiстю υ. Позначимо цю рухому систему К’

4.1. Перетворення Галiлея

Розглянемо точку Р, за якою ведеться спостереження одразу з двох iнерцiальних систем вiдлiку: К(х, у, z ) та К’(х’, у’, z). Система К’ рухається вiдносно системи К зi швидкiстю υ«с вздовж осi ОХ. Виберемо осi координат так, як показано на рис.4.1.

Розглянемо спочатку випадок, коли точка Р нерухома в системi К. Вiдлiк часу почнемо з моменту, коли початки координат обох систем збiглися. Через якийсь час t координати точки Р в системi К’ будуть тi ж: х’, у’, z, а в системi К координати будуть дорiвнюватi (рис.4.1):

                                          (4.1)

( Остання рівність t=t з’явилась тому, що в ньютонiвськiй механiцi час вважається абсолютним i однаковим в усiх системах вiдлiку).

Вираз (4.1) називається перетворенням Галілея. Вiн дозволяє перейти вiд координат i часу однiєї iнерцiальної системи вiдлiку до координат i часу iншої iнерцiальної системи.

Тепер розглянемо випадок, коли точка Р рухається з деякою швидкiстю  вiдносно системи К . Тодi значення її координат будуть змiнюватися з часом. Продиференцiюємо рiвнiсть (4.1) за часом:

                                             (4.2)

Так ми одержали вирази для проекцiй швидкості точки в системi К i її зв’язок з проекцiями швидкостi в системi К 

або у векторному виглядi маємо рiвняння:

.                                                       (4.3)

Цей вираз є класичним законом додавання швидкостей, який слiд читати так: швидкість точки вiдносно системи К дорiвнює векторнiй сумi швидкостей – швидкостi точки в системi К i швидкостi самої системи К вiдносно системи К.

Продиференцiювавши вираз (4.3) ще раз за часом, одержимо:

                                              (4.4)

Це означає, що прискорення точки вiдносно обох iнерцiальних систем К i К’ однаковi, тобто прискорення є величина абсолютна. Тому, що маса точки вважається однаковою в усiх системах, можна записати: . Тодi швидкостi змiни iмпульсу точки в обох системах також будуть однаковими:

Звiдси виходить, що й вимiряна величина сили, що дiє на точку, в обох системах теж буде однаковою, тому що

Це означає, що другий закон Ньютона однаково виконується i формулюється для всiх iнерцiальних систем вiдлiку. Те ж саме можна сказати про всi iншi закони механiки. Це твердження називається принципом вiдносностi Галiлея: неможливо будь-якими механiчними дослiдами, що проводяться в межах даної iнерцiальної системи вiдлiку, встановити,чи перебуває ця система у станi спокою, чи в станi рiвномiрного прямолiнiйного руху.

Величини, що мають однi й тi ж числовi значення в усiх системах вiдлiку, називаються iнварiантними (латинською незмiнними). Також iнварiантними називаються такi рiвняння, що не змiнюються в процесi перетворень координат i часу при переходi з однiєї iнерцiальної системи координат в iншу.

Тодi принцип вiдносностi Галiлея може бути сформульований так: рiвняння механiки iнварiантнi вiдносно до перетворень Галiлея.

4.2. Постулати спецiальної теорiї вiдносностi

Перейдемо тепер до розгляду руху з великими швидкостями. Теорiя, що описує такий рух, була створена А. Ейнштейном. Та частина цiєї теорії, що розглядає iнерцiальнi системи вiдлiку, називається спецiальною теорiєю вiдносностi (СТВ). В основi СТВ лежать два постулати, сформульованi Ейнштейном у 1905 роцi:

1-й постулат: фiзичнi закони однаковi в усiх iнерцiальних системах вiдлiку;

2-й постулат: швидкiсть свiтла у вакуумi не залежить вiд руху джерела й приймача i однакова в усiх iнерцiальних системах вiдлiку.

4.3. Перетворення Лоренца та їх наслiдки

Для великих швидкостей, якi можна порiвнювати зi швидкiстю свiтла, замiсть перетворення Галiлея використовують перетворення Лоренца. Можна показати (без доведення), що для випадку, зображеному на рис. 4.1, перетворення Лоренца мають вигляд:

система К                                                       система К

                                                         

Розглянемо деякi наслiдки з перетворень Лоренца. При невеликих швидкостях υ--с, перетворення Лоренца переходять у перетворення Галiлея. Дiйсно, в цьому разі =0, тоді =1; вираз (4.5) перетворюється на  а вираз (4.7) дає

Замiсть класичного закону додавання швидкостей з перетворення Лоренца випливає релятивістський закон додавання швидкостей:

,

де u — швидкiсть точки в системi К; u— швидкiсть точки в системi К; υ - швидкiсть системи К вiдносно системи К, дiйсно, за означенням . Використовуючи вирази (4.5), (4.7), знайдемо

,

Тоді

,

Подiлимо чисельник i знаменник в цьому виразi на :

,

i, врахувавши, що

.

одержимо формулу закону додавання швидкостей.

Звернемо увагу, що якщо покласти  i , то

тобто релятивістський закон додавання швидкостей вiдповiдає другому постулату СТВ. Якщо ж швидкостi ,  та υ малi порiвняно зi швидкістю с, то , i релятивiстський закон додавання швидкостей перетворюється на класичний закон .

Довжина тiла в рiзних системах вiдлiку виявляється рiзною (так зване скорочення довжини). Розглянемо стрижень, який розмiщено в ситемi К’, причому вiдносно К’ стрижень перебуває в станi спокою (рис.4.2). Позначимо його довжину  (часто її називають власною довжиною). Якщо  i  координати початку i кiнця стрижня, то

,

Знайдемо довжину цього стрижня l вiдносно системи К, тобто системи, вiдносно якої вiн рухається. Зрозумiло, що , причому координати початку l кінця стриженя  і  мають бути вимiрянi одночасно. Використовуючи рiвняння (4.6) маємо

або                                                       (4.9)

Отже, довжина тiла в системi, вiдносно якої воно рухається є меншою нiж довжина тiла в системi, вiдносно якої воно перебуває в станi спокою ().

Часовий проміжок між двома подіями в різних системах виявляється різним (так зване уповільнення часу). Нехай у системі К в однiй i тiй же точцi з координатами х вiдбуваються двi подiї в моменти часу  i  за годинником, що нерухомий вiдносно до системи К. Позначимо промiжок часу мiж цими подiями  (його часто називають власним часом):

У системi К промiжок мiж цими подiями буде , причому моменти  і  вимiряються за годинником, що перебуває в системi К. Використовуючи вираз (4.7), одержимо:

,                                                        (4.10)

тобто .Це означає, що в рухомiй системi вiдлiку час уповiльнюється. А це дає змогу дійти загального висновку, що в рiзних iнерцiальних системах вiдлiку час плине по-рiзному.

Не можна окремо розглядати абсолютний простiр i абсолютний час як такi, що не пов’язанi мiж собою. Навпаки, простiр i час органiчно пов’язанi й утворюють єдину форму iснування матерії — простiр-час. Цей простiр-час має три просторовi координати (х, у,z) i одну часову (t), тобто є чотиривимiрний.

4.4. Поняття про релятивiстську динамiку

У релятивiстськiй динамiцi, як i в класичнiй механiцi, iмпульс тiла визначається як добуток маси на швидкiсть. Проте за умови, що фундаментальний закон збереження iмпульсу повинен виконуватися у будь-якiй iнерцiальнiй системi вiдлiку, виходить, що (на вiдмiну вiд класичної механiки) маса частинки залежить вiд її швидкості

,                                                       (4.11)

де  — маса спокою, υ — швидкiсть частинки в системi К. Масу частинки m називають релятивiстською масою. На вiдмiну вiд цiєї маси, маса спокою — величина iнварiантна, тобто однакова в усiх iнерцiальних системах вiдлiку. Саме за цiєї причини масу  вважають характеристикою частинки.

З урахуванням рiвняння (4.11) iмпульс частинки у релятивiстськiй динамiцi має вигляд

                                             (4.12)

При υ--c вираз (4.12) переходить до ньютонiвського визначення iмпульсу . Де  не залежить вiд швидкостi (у клаcичнiй механiцi ).

4.5. Основне рiвняння релятивістської динамiки

Вiдповiдно до принципу вiдносностi Ейнштейна, всi закони природи повиннi бути iнварiантними вiдносно до iнерцiальних систем вiдлiку. Iншими словами, математичний запис законiв повинен мати однаковий вигляд в усiх цих системах.

Виявляється, що основне рiвняння динамiки Ньютона у виглядi   не вiдповiдає цьому принципу. Разом з тим у теорiї вiдносностi доведено, що його задовольняє рівняння

,                                                        (4.13)

де  — сила, що дiє на частинку. Наведене рiвняння за виглядом повнiстю збiгається з основним рiвнянням ньютонiвської динамiки (2.13), але фiзичний змiст рiвняння (4.13) iнший. У цьому рiвняннi злiва стоїть похiдна не вiд класичного, а вiд релятивiстського iмпульсу. Пiдставимо вираз (4.12) у рiвняння (4.13) i одержимо:

.                                           (4.14)

Вираз (4.14) i є основним рiвнянням релятивістської динамiки. Вочевидь, що саме у такому виглядi рiвняння (4.14) приводить до збереження iмпульсу для вiльної частинки () i при υ--с приймає форму основного рiвняння ньютонiвської динамiки (; де ).

З основного рiвняння релятивiстської динамiки (4.14) випливає несподiваний висновок: вектор прискорення  частинки загалом випадку не збiгається за напрямком з вектором сили . Дiйсно,

,

де  — релятивiстська маса.

Продиференцiювавши цей вираз за часом, одержимо 

                                         (4.15)

Вираз (4.15) графiчно зображено на рис. 4.3, з якого видно, що вектор прискорення  не є колiнеарним вектору .

Зазначимо, що вектор прискорення збігається за напрямком з вектором сили  тiльки у двох випадках: а) вектор сили  перпендикулярний до вектора швидкостi  (поперечна сила); б) вектор сили  паралельний вектору швидкостi  (поздовжня сила). Оскiльки у першому випадку сила, що дiє на частинку — поперечна, то вона змiнює тiльки напрямок швидкостi й не змiнює саму величину швидкостi, тобто . За такої умови похiдна  у виразi (4.15) дорiвнює нулю (релятивiстська маса m залежить вiд швидкостi, але в даному випадку  , отже i ), i рiвняння (4.15) набуває вигляду

або

                                                   (4.16)

Вектори  i  збігається за напрямком.

У разі поздовжньої сили ( паралельна ) рiвняння (4.15) маємо право просто переписати у скалярному виглядi. Взявши похiднi у лiвiй частинi цього рiвняння, матимемо

,

звідки

або у векторному вигляді

                                            (4.17)

З виразiв (4.16) i (4.17) бачимо, що за однакових в обох випадках значеннях сили F i швидкостi υ поперечна сила надає частинцi бiльшого прискорення, нiж поздовжня сила.

4.6. Кiнетична енергiя релятивiстської частинки

Визначимо кiнетичну енергiю так, як i у класичнiй механiцi, а саме, як величину, прирощення якої дорiвнює роботi сили, що дiє на частинку.

                                       (4.18)

Згiдно з рiвнянням (4.13)

,

де m — релятивiстська маса. Отже, враховуючи, що , a 

де — проекцiя вектора  на напрямок вектора (ця проекція дорiвнює  — прирощенню модуля вектора швидкостi, тому () маємо

                       (4.19)

Пiднесемо формулу (4.11) до квадрата i перетворимо її до вигляду

                                                  (4.20)

Тепер знайдемо диференцiал цього виразу, маючи на увазi, що  і c - постiйнi величини:

Подiливши вираз (4.21) на 2m, одержимо

c2dm=υ2dm+mυdυ                                            (4.22)

Права частина виразу (4.22) збiгається з правою частиною виразу для кiнетичної енергiї (4.19).

Тож маємо записати

                                                   (4.23)

Таким чином, прирощення кiнетичної енергiї частинки пропорцiйне прирощенню її релятивiстської маси. Кiнетична енергiя нерухомої частинки дорiвнює нулю, а її маса дорiвнює . Отже, проiнтегрувавши вираз (4.23), маємо

                                                   (4.24)

або

                                               (4.25)

Це i є вираз для релятивiстської кiнетичної енергії. Якщо υ«с, то має бути вираз для класичної кiнетичної енергії . Скористаємося формулою бiнома Ньютона, відповідно до якої

За умови υ«с можна обмежитися тiльки двома членами ряду i тодi вираз (4.25) перетвориться на

                                                 (4.26)

Таким чином, при υ«с вираз для релятивiстської кiнетичної енергiї (4.25) перетворюється на класичний вираз для кiнетичної енергії. Зазначимо, що аналогiчно до класичної механiки релятивiстську кiнетичну енергiю не можна подати у виглядi  , де — релятивiстська маса частинки.

4.7. Взаємозв’язок маси i енергiї

Вiдповiдно до формули (4.23), прирощення кiнетичної енергiї частинки супроводжується пропорцiйним прирощення її релятивiстської маси. Ейнштейн узагальнив цей висновок. Повна енергiя тіла, з яких би видiв вона не складалася (кiнетичної, електричної, хiмiчної, ядерної тощо), пов’язана з масою цього тiла спiввiдношенням

.                                                      (4.27)

Ця формула виражає один iз найфундаментальнiших законiв природи — закон взаємозв’язку (пропорцiйностi) маси  i повної енергiї  тiла. Пiдкреслимо, що у формулу (4.27) до повної енергiї не входить потенцiальна енергiя тiла у зовнiшньому полi, якщо таке поле дiє на тiло.

Врахувавши вираз (4.24), спiввiдношенню (4.27) можна надати вигляду

,                                                 (4.28)

де  маса спокою, а — кiнетична енергiя тiла. Звiдси бачимо, що тiло, яке перебуває у станi спокою (= 0 ), також має енергію тiла.

                                                   (4.29)

Її називають енергiєю спокою або власною енергією тіла. Отже, зробимо висновок, що маса тiла, що у ньютонiвськiй механiцi є мiрою iнертностi (другий закон Ньютона) або мiрою гравiтацiйного притягання (закон всесвiтнього тяжiння), у релятивiстськiй механiці виступає як мiра енерговмiщуваностi тіла, яке у станi спокою також має енергiю.

Наприкiнцi зазначимо, що вiдповiдно до спiввiдношення (4.27), змiна повної енергiї супроводжується змiною маси i навпаки:  , звідси

                                                      (4.30)

За звичайних макроскопiчних процесів така змiна маси надто мала, щоб її зафiксувати. Однак в астрономiчних явищах вона являє собою значну величину. Так Сонце кожну секунду втрачає масу  кг/с. Величина грандiозна з точки зору земних масштабiв, але порiвняно з масою Сонця така втрата маси мiзерно мала .

5. Тестові запитання для перевірки знань теоретичного матеріалу з дисципліни”Фізика”

1)  Що називається "Механікою"?

-наука про механічний рух, механічні взаємодії і рівновагу тіл ;

-наука що вивчає зміну взаємоположень одного тіла відносно іншого ;

-наука, що вивчає матеріальні об’єкти, що рухаються з швидкістю світла у вакуумі ;

-наука що вивчає рух та взаємодію мікрочастинок .

2)  Який рух називається механічним?

-рух, при якому тіло за рівні проміжки часу здійснює  однакове переміщення ;

-рух, при якому тіло набуває прискорення ;

-зміну взаємних положень тіла у просторі з плином часу ;

-рух, при якому тіло зазнає гальмування .

3)  Що називається "Кінематикою":

-розділ "Механіки", що вивчає взаємодію  тіл в природі ;

-розділ "механіки", що вивчає умови рівноваги  тіл у просторі ;

-розділ "Механіки", що вивчає реактивний рух тіл ;

-розділ "Механіки", що вивчає геометричний аспект  руху незалежно від причин, що зумовили цей рух .

4)  Що називається "Динамікою"?

-розділ "Механіки", що вивчає механічну взаємодію  тіл, що спричиняють рух або приводять до зміни механічного стану ;

-розділ "Механіки", що вивчає умови рівноваги  тіл у просторі ;

-розділ "Механіки", що вивчає реактивний рух тіл ;

-розділ "Механіки", що вивчає геометричний аспект  руху незалежно від причин, що зумовили цей рух .

5) Що називається "Статикою"?

-розділ "Механіки", що вивчає механічну взаємодію  тіл, що спричиняють рух або приводять до зміни механічного стану ;

-розділ "Механіки", що вивчає умови рівноваги   тіл ;

-розділ "Механіки", що вивчає реактивний рух тіл ;

-розділ "Механіки", що вивчає геометричний аспект  руху незалежно від причин, що зумовили цей рух .

6)  Основна задача "Механіки" полягає:

-у визначенні положення тіла і його швидкості у будь – який  момент часу за відомими початковими умовами ;

-у знаходженні переміщення та прискорення тіла ;

-у знаходженні причин що примусили тіло рухатися ;

-у знаходженні відстані та часу .

7)  Що називається матеріальною точкою?

- це тіло, що має масу, але розмірами якого можна знехтувати при вивченні його руху ;

- це точка розмірами якої не можна знехтувати ;

- це тіло, що не має маси, розмірами якого не можна знехтувати при вивченні його руху.

8) Система відліку складається з:

- вектор переміщення, годинника, та довільного тіла ;

- годинника, тіла відліку ;

- годинника, тіла відліку, системи координат ;

- годинника, тіла відліку, матеріальна точка.

9) Який рух називається поступальним?

-рух, за якомго тіло за рівні проміжки часу здійснює однакове переміщення ;

-рух, за якого пряма лінія, що з'єднує дві довільні точки тіла, залишається  паралельною до самої себе ;

-зміну взаємних положень тіла у просторі з плином часу ;

-рух, за якого тіло зазнає гальмування .

10) Що таке "переміщення" тіла?

-це відрізок по якому рухається тіло ;

-це направлений вектор, що сполучає кінцеву та початкову точки положення тіла ;

-це довжина лінії вздовж якого рухалося тіло ;

- це лінія яку описує тіло в результаті руху .

11) Що таке "траєкторія" руху тіла?

-це переміщення тіла ;

-це вектор, що сполучає кінцеву та початкову точку положення тіла ;

-це довжина лінії вздовж якого рухалося тіло ;

-це лінія яку описує тіло в результаті руху.

12) Що таке "шлях"?

-це переміщення тіла ;

-це вектор, що сполучає кінцеву та початкову точки ;

-це довжина лінії вздовж якого рухалося тіло ;

-це лінія яку описує тіло в результаті руху.

13) Що таке "швидкість"?

-це добуток переміщення тіла на час ;

-це фізична величина що показує як змінюється переміщення тіла за одиницю часу ;

-це відношення довжини траєкторії до часу .

14)формула швидкості

    1)

   2) 

   3) 

   4) правильної відповіді не має 

15) Що називається "прискоренням"?

-це добуток переміщення тіла на час ;

-це фізична величина, що показує, як змінюється  переміщення тіла за одиницю часу ;

-це відношення довжини траєкторії до часу ;

-це фізична величина, що показує, як змінюється  швидкість тіла за одиницю часу.

16) Формула лінійного прискорення

      1) 

       2)

      3) 

       4) правильної відповіді не має

17) Формула переміщення

      1)

      2) 

      3) 

       4) правильної відповіді не має

18) Формула повного прискорення

     1)  

     2)

     3)

     4)

19)Формула тангенціального прискорення

     1)

     2)

     3)

     4) правильної відповіді не має

20)Формула нормального прискорення :

     

21)Формула кутової швидкості:

    

22)Формула кута повороту при рівноприскореному обертовому русі:

     

23)  Що називається “кутовим прискоренням"?

-це добуток переміщення радіуса вектора тіла на час ;

-це фізична величина, що показує, як змінюється кутова швидкість тіла за одиницю часу ;

-це відношення довжини радіуса вектора до часу ;

-це фізична величина, що показує, як змінюється  лінійна швидкість тіла за одиницю часу.

24)Формула кутового прискорення:

      

25) Що називається "періодом" обертання?

-це час одного повного оберту тіла навколо осі ;

-це кількість обертів за одиницю часу ;

-це кількість обертів за 2π секунд ;

-це фізична величина, що показує, як змінюється переміщення радіуса вектора за одиницю часу.

26)Формула періода обертання:

     

27) Що називається "частотою" обертання?

-це час одного повного оберту тіла навколо осі ;

-це кількість обертів за одиницю часу ;

-це кількість обертів за 2 π секунди ;

-це фізична величина, що показує, як змінюється переміщення радіуса вектора за одиницю часу.

28) Формула частоти обертання:

     

29) Формула циклічної частоти обертання:

     

30) 1. Перший закон динаміки

   2. Другий закон динаміки

   3. Третій закон динаміки

   4. Четвертий закон динаміки

а). Сила, що діє на матеріальну точку, спричиняє прискорення цієї точки, яке пропорційне силі й напрямлене по лінії дії сили;

б). Ізольована матеріальна точка зберігає свій стан спокою або рівномірного прямолінійного руху до того часу, поки інші тіла не виведуть її з цього стану;

в). Сили, з якими взаємодіють дві матеріальні точки, завжди рівні  за модулем і напрямлені по одній прямій в протилежні боки;

г). Усі тіла в природі взаємодіють між собою з силою, що  прямо пропорційна добутку мас взаємодіючих тіл і обернено пропорційна квадрату відстані між ними

Д. Прискорення матеріальної точки, яке виникає при одночасній дії на неї декількох сил, дорівнює векторній сумі прискорень, що надаються точці окремими силами.

31)  Що називається імпульсом тіла?

- це відношення маси тіла до його прискорення ;

- це відношення маси тіла до його швидкості ;

- це добуток маси тіла до його прискорення ;

- це добуток маси тіла до його швидкості.

32) Формула імпульса тіла:

       

33) Формула І закону Ньютона:

     

34) Формула ІІ закону Ньютона:

      

35) Формула ІІІ закону Ньютона:

     

36) Формула ІV закону Ньютона:

     

37)   Що називається моментом імпульсу тіла?

- це відношення маси тіла до його прискорення ;

- це відношення маси тіла до квадрату відстані до осі обертання ;

- це добуток маси тіла на квадрат відстані до осі обертання та і на кутову швидкість ;

- це добуток маси тіла до його кутову швидкості.

38) Формула моменту імпульсу:

    

39)  Що називається моментом сил?

- це  векторне відношення радіус-вектора до прикладеної сили ;

- це векторний добуток радіус-вектор точки  прикладання сили на вектор сили ;

- це відношення сили до квадрату відстані, до точки прикладання сили ;

- це добуток маси тіла на прикладену силу.

40) Формула моменту сил:

    

41)Основне рівняння динаміки обертового руху:

     

42)Закон збереження моменту імпульсу:

     

43)   Що називається "енергією"?

- це міра інертності тіл ;

- це міра взаємодії тіл ;

- це кількісна міра руху та взаємодії всіх  видів матерії ;

- це добуток маси тіла на прикладену силу.

44) Формула роботи сталої сили:

    

45)  Що називається потужністю?

- це добуток постійної сили на переміщення ;

- це відношення виконаної роботи за одиницю часу ;

- це добуток виконаної роботи на затрачений час ;

- це добуток маси тіла на прикладену силу.

46) Формула кінетичної енергії:

    

47)  Що називається кінетичною енергією?

- це добуток маси тіла на квадрат швидкості тіла ;

- це подвійний добуток маси тіла на квадрат швидкості ;

- це половина добутку маси тіла на квадрат швидкості ;

- це добуток маси тіла на швидкість .

48)  Які сили називаються консервативними?

- це сили робота, яких дорівнює нулю ;

- це сили робота яких залежить від вибраного переходу системи з початкового до кінцевого положення ;

- це сили що за своєю природою не пружні але підкоряються  закону Гука ;

- це сили робота яких не залежить від вибраного переходу  системи з початкового до кінцевого положення .

49) Формула потенційної енергії:

50)  Що називається потенційною енергією?

- це добуток маси тіла на переміщення та прискорення вільного падіння ;

- це добуток маси тіла на висоту та  прискорення вільного падіння ;

- це подвійний добуток маси тіла на переміщення та прискорення вільного падіння ;

- це половина добутку маси тіла на переміщення та  прискорення вільного падіння.

51)Формула повної механічної енергії:

    

52)Формула потенційної енергії пружно деформованого тіла:

    

53) Закон збереження енергії:

- повна механічна енергія системи, на яку діють тільки консервативні сили зберігається,   тобто не змінюється з часом ;

- повна механічна енергія системи, на яку діють  тільки неконсервативні сили зберігається, тобто не змінюється з часом ;

- повна механічна енергія системи, дорівнює  тільки енергії руху матерії ;

- повна механічна енергія системи, дорівнює  лише енергії взаємодії матерії.

54)   Що називається моментом інерції?

- моментом інерції матеріальної точки називають фізичну  величину, що чисельно дорівнює відношенню маси точки на   відстань до осі обертання ;

- моментом інерції матеріальної точки називають фізичну  величину, що чисельно дорівнює добутку маси точки на   відстань до осі обертання ;

- моментом інерції матеріальної точки називають фізичну  величину, що чисельно дорівнює добутку маси точки на  квадрат відстані до осі обертання ;

- моментом інерції матеріальної точки називають фізичну  величину, що чисельно дорівнює відношенню маси точки на квадрат відстані до осі обертання.

55) Формула момента інерції:

    

56)    Теорема Штейнера:

- кінетична енергія механічної системи дорівнює сумі кінетичної енергії центра мас системи, маса якого дорівнює масі всієї системи і кінетичної енергії цієї системи в її відносному русі  по відношенню до центра мас ;

- момент інерції твердого тіла відносно деякої вісі дорівнює моменту інерції тіла відносно паралельної осі, що проходить  через його центр мас, складеному з добутком маси тіла на квадрат відстані між осями ;

- у будь-який момент часу геометрична сума рівнодійних заданих сил, рівнодійних реакцій в’язей і сил інерцій для кожної матеріальної точки невільної механічної системи дорівнює нулю ;

- зміна кінетичної енергії механічної системи на деякому переміщені дорівнює сумі робіт зовнішніх і внутрішніх сил .

57)Основне рівняння обертового руху:

      

58)Формула кінетичної енергії обертового руху:

    

59)  Сила тертя:

- це сили, робота яких залежить від вибраного переходу системи з початкового до кінцевого положення ;

- це сила, що виникає у процесі руху одних тіл  або їхніх частинок по поверхні інших ;

- це сили, що за своєю природою не пружні але підкоряються  закону Гука ;

- це сили, робота яких не залежить від вибраного переходу системи з початкового до кінцевого положення .

60) Формула сили тертя:

    

61)   Що називається деформацією?

- це процес коли тіло змінює форму та розміри в наслідок дії зовнішньої сили ;

- це процес коли тіло не змінює форму та розміри в наслідок дії зовнішньої сили  ;

- це процес коли тіло повністю відновлює свої розміри після припинення дії зовнішніх чинників ;

- це процес коли тіло частково повертає свої розміри після припинення дії зовнішніх чинників

62)   Яка деформація називається пружною?

- це процес коли тіло змінює форму та розміри в наслідок дії зовнішньої сили ;

- це процес коли тіло не змінює форму та розміри в наслідок дії зовнішньої сили ;

- це процес коли тіло повністю відновлює свої розміри після припинення дії зовнішніх чинників ;

- це процес коли тіло частково повертає свої розміри  після припинення дії зовнішніх чинників .

63)   Яка деформація називається пластичною?

- це процес коли тіло змінює форму та розміри в наслідок дії зовнішньої сили ;

- це процес коли деформація повністю або частково  зберігається в тілі після припинення дії зовнішніх чинників ;

- це процес коли тіло не змінює форму та розміри в наслідок дії зовнішньої сили ;

- це процес коли тіло повністю відновлює свої розміри після припинення дії зовнішніх чинників .

64)   Що називається механічною напруженістю?

- це фізична величина, що дорівнює добутку сили пружності на площа поперечного перерізу ;

- це фізична величина, що дорівнює відношенню сили пружності на  площа поперечного перерізу ;

- це фізична величина, що дорівнює добутку сили пружності на квадрат площі поперечного перерізу ;

- це фізична величина, що дорівнює відношенню сили пружності на

 квадрат площі поперечного перерізу .

65) Формула абсолютної деформації:

     

66) Формула відносної деформації:

    

67) Формула сили пружності:

    

68)   Сила пружності:

- це сила, що виникає при деформації і спрямована в протилежний бік абсолютному видовженню тіла ;

- це сила, що виникає при ковзані одного тіла по поверхні іншого і спрямована в протилежний бік руху тіла ;

- це сила, що виникає в наслідок притягання тіла до Землі ;

- це сила, що виникає при взаємодії двох тіл різної маси.

69) Формула закону Гука:

    

70) Формула механічної напруженості:

     

71)   Фізичний зміст модуля Юнга?

- це механічне напруження, що виникає в тілі при відносній деформації рівній одиниці ;

- це механічне напруження, що виникає в тілі при відносній деформації рівній одиниці ;

- це сила пружності, що виникає в тілі з площею поперечного перерізу рівним одиниці ;

- це механічна робота, що виникає в тілі при  відносній деформації рівній одиниці.

72)   Закон Всесвітнього тяжіння:

- це сила, що виникає при деформації і спрямована в протилежний бік абсолютному видовженню тіла ;

- це сила, що виникає при взаємодії двох тіл різної маси та  пропорційна добутку їх мас і обернено пропорційна квадрату відстані між ними ;

- це сила, що виникає при ковзані одного тіла по поверхні іншого і спрямована в протилежний бік руху тіла та дорівнює добутку  маси тіла на прискорення ;

- це сила, що виникає внаслідок притягання тіла до Землі та

дорівнює добутку маси тіла на прискорення вільного падіння .

 

73) Формула закона Всесвітнього тяжіння:

    

74)   Фізичний зміст гравітаційної сталої:

- це сила, що виникає при деформації і спрямована в  протилежний бік абсолютному видовженню тіла ;

- це сила, що виникає при взаємодії двох тіл різної маси та  пропорційна добутку їх мас і обернено пропорційна квадрату  відстані між ними ;

- це сила, що виникає при ковзані одного тіла по поверхні іншого і спрямована в протилежний бік руху тіла та дорівнює добутку  маси тіла на прискорення ;

- це сила, що виникає внаслідок взаємодії двох тіл масами по одному

кілограму на відстані одного метра .

ВИКОРИСТАНА ЛIТЕРАТУРА

1.Дущенко В.П.. Кучерук I.М. Загальна фiзика. Фiзичнi механiки. — К.: Вища шк., 1987. —431 с.

2. Савельев К.В. Курс общей физики. Т.І. — М.: Наука. 1986. 432 с.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. — М.: Наука.

1979. — 520 с.

4. Яворський Б.М., Детлаф А.А. Курс фiзики. Т. І. — К.: Вища шк., 1970. —356 с.

5. Кучерук І.М., Горбачу І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики.Т1.- К:”Техніка”.1999.-536 с.

6. Чолпан П.І. Основи фізики.-К.: Вища шк., 1995. – 488 с.

7. Трохимова Т.М. Курс физики.-М.: Высш. шк., 1994. – 478 с.

8. Волькенштейн В.С. Сборник задач по об щему курсу физики. – М.: Наука, 1985,-384 с.

9. Савельєв И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. – М.: Наука, 1982.-302 с.

10. Гольдфарб Н.И. Сборник вопросов и задач по физике. – М.: Высш. шк., 1982.-351 с.

Для нотаток


EMBED Equation.3  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14683. ЗНЯТТЯ РЕГУЛЮВАЛЬНИХ ХСАРАКТЕРИСТИК ДИЗЕЛЬНОГО ДВИГУНА ПО СКЛАДУ СУМІШІ (ВИТРАТІ ПАЛИВА) 261.5 KB
  Лабораторна робота № 1 ЗНЯТТЯ РЕГУЛЮВАЛЬНИХ ХСАРАКТЕРИСТИК ДИЗЕЛЬНОГО ДВИГУНА ПО СКЛАДУ СУМІШІ ВИТРАТІ ПАЛИВА Мета роботи: Встановити оптимальну часову витрату палива і циклову подачу на яку слід регулювати насоси паливного насоса високого тиску. Послідовність ...
14684. ИССЛЕДОВАНИЕ ПИД-РЕГУЛЯТОРОВ 173 KB
  Лабораторная работа № 7 ИССЛЕДОВАНИЕ ПИДРЕГУЛЯТОРОВ Цель работы: изучить способы оптимизации параметров типовых регуляторов П И ПД ПИПИД с использованием пакета MatLab NCD Blokset. Исходные данные: Таблица 1 №...
14685. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СИНТЕЗИРОВАННОЙ МЕТОДОМ СИММЕТРИЧНОГО ОПТИМУМА 108 KB
  абораторная работа №7 4 ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СИНТЕЗИРОВАННОЙ МЕТОДОМ СИММЕТРИЧНОГО ОПТИМУМА Цель работы: Получение практических навыков синтеза системы автоматического регулирования методом симметричного оптимума.
14686. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ, СИНТЕЗИРОВАННОЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ КОНТУРОВ 132.5 KB
  абораторная работа №8 4 ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СИНТЕЗИРОВАННОЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ КОНТУРОВ. Цель работы: изучение и практическое использование метода последовательной оптимизации контуров. 1. ОСН...
14687. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СИНТЕЗИРОВАННОЙ МЕТОДОМ МОДАЛЬНОГО ОПТИМУМА 166.5 KB
  абораторная работа №6 7 ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СИНТЕЗИРОВАННОЙ МЕТОДОМ МОДАЛЬНОГО ОПТИМУМА Цель работы: Получение практических навыков синтеза систем автоматического регулирования АСР методом модального оптимума. Ана...
14688. Определение параметров и основных характеристик однофазного трансформатора 1.13 MB
  Лабораторная работа №4 Определение параметров и основных характеристик однофазного трансформатора. Цель работы. Изучение устройства и принципа действия однофазного трансформатора. Изучение схемы замещения трансформатора и опреде
14689. Исследование асинхронного трехфазного электродвигателя с короткозамкнутым ротором 1.48 MB
  Лабораторная работа №5 Исследование асинхронного трехфазного электродвигателя с короткозамкнутым ротором. Цель работы. Изучение принципа действия трехфазного асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором. Изучение основных сво
14690. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПОГЛОЩЕНИЯ γ – ИЗЛУЧЕНИЯ ВЕЩЕСТВОМ 85 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №27 ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПОГЛОЩЕНИЯ γ – ИЗЛУЧЕНИЯ ВЕЩЕСТВОМ Поток γ излучения проходя через толщу вещества ослабляется. Пусть на поверхность пластинки падает N0 γ – квантов определенной энергии. Найдем число γ – квантов прошедших через образ...
14691. ОСНОВЫ ДОЗИМЕТРИИ 119 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №26 ОСНОВЫ ДОЗИМЕТРИИ Дозиметрия радиоактивного излучения есть один из разделов прикладной физики ядра и элементарных частиц. Дозиметрия первоначально возникла в связи с открытием рентгеновских лучей и их вредным воздействием на живой организм. ...