14336

Оценка достоверности результатов эксперимента с помощью критерия Пирсона

Лабораторная работа

Физика

Лабораторная работа №5 Тема: Оценка достоверности результатов эксперимента с помощью критерия Пирсона Цель работы: ознакомление и приобретение навыков статической обработки результатов экспериментальных данных в судостроении Задача: выполнить статическую обрабо...

Русский

2013-06-03

242.5 KB

8 чел.

Лабораторная работа №5

Тема: Оценка достоверности результатов эксперимента с помощью критерия Пирсона

Цель работы: ознакомление и приобретение навыков статической обработки результатов экспериментальных данных в судостроении

Задача: выполнить статическую обработку экспериментальных данных, полученных в лабораторной работе №1 методом Пирсона. Для чего:

  1.  Преобразовать совокупность замеров fi в статический ряд, сгруппировав одинаковые замеры;
  2.  Определить математическое ожидание ;
  3.  Определить дисперсию (степень рассеяния величины  f ) ;

Краткая теория:

Пусть на основе опытов, в которых проведено  n независимых замеров величины, получена совокупность замеров x1, x2,,x3,…,xn. Оценку достоверности результатов можно выполнить с помощью критериев согласия, в частности, критерия Пирсона [2].

Критерий x2  Пирсона представляет собой величину:

x2=      ( 5.1)

где ni – число замеров отвечающих данному принятому диапазону изменений величины x;

αi - вероятность числа замеров в соответствии с гипотетическим распределением;

k -  число разрядов (диапазонов или участков с k = 1, 2, 3, 4… раза попадания в них одинаковых значений fi);

n - общее число замеров.

Суть метода: выдвигается гипотеза, что случайная величина имеет ряд распределения xixn согласно принятому гипотетическому, а отклонения наблюдаемых частот замеров от гипотетического обусловлены случайными причинами; оценка достоверности такой гипотезы проводится после подсчета критерия x2 по данным табличного распределения (см. абл. 5) для определения уровня значимости P; считается, что при уровне значимости более 7% опытные данные практически не противоречат высказанной гипотезе, при этом полученное среднеарифметическое (математическое ожидание) можно с большей вероятностью (достоверностью) и достаточной точностью (степенью погрешности эксперимента, принять в качестве точного (среднестатистического) значения величины x. (т. е. xi  xcp==хточное).

Ход работы:

Применение критерия Пирсона для статистической обработки экспериментальных данных замеров коэффициента трения f швартова о кнехт выполняется в последовательности:

  1.  Произвести выборку замеров fi из лабораторной работы № 1, результаты выборки внести в таблицу 1;
  2.  Преобразуем совокупность замеров fi  из таблицы 1 в следующий статистический ряд, сгруппировав их одинаковые замеры; данные обработки внести в таблицу 2,

где  fi   = f1, f2,  f3, f4 – значения одинаковых замеров fi;

 k = 1,2,3,4,… – число, показывающее сколько раз встречается одинаковое значение замеров  fi  в таблице 1 выборки.

3. Определить математическое ожидание статистического распределения величины  f по данным таблицы 2 [1].

     ( 5.2 )

4. Определить дисперсию Df    (рассеяние значений fi):

  ( 5.3 )

  1.  Выскажем следующую гипотезу: статистическое (случайное) распределение замеров fi подчинено нормальному закону распределения Гаусса с параметрами (5.2) и (5.3), а следовательно, носит случайный характер.
  2.  Преобразуем статистический ряд (таблица 2), составив таблицу вероятностей попадания случайных величин f  в ряд разрядов , считая её распределенной по нормальному закону с параметрами ,   .  Вероятность Р попадания нормально распределенной величины f на участок от до по формуле

    ( 5.4 )

где Ф – табулированная функция Лапласа , см. таблицу 3.

Свойства этой функции: Ф(0) = 0,5Ф(-х) = - Ф(-х)(∞) = 0,5Ф(- ∞) = - 0,5.

7. Подсчитаем критерий Пирсона по (5.1), имея ввиду, что Рі определяется по выражению (5.4) для каждого разряда (диапазона)  , а  отвечает числу замеров в опытах для каждого разряда .

8. Определяем число степеней свободы . оно равно разности числа разрядов и числа независимых условий . Такими условиями могут быть:

 8.1. Сумма всех частот должна быть равна единице (условие накладывается всегда);

Таблица 1

Объем выборки n

Вероятность α

0,8

0,9

0,95

0,98

0,99

0,999

1

2

3

4

5

6

7

4

1,6

2,4

3,2

4,5

5,8

12,9

5

1,5

2,1

2,8

3,7

4,6

8,6

6

1,5

2,0

2,6

3,4

4,0

6,9

7

1,4

1,9

2,4

3,1

3,7

6,0

8

1,4

1,9

2,4

3,0

3,5

5,4

9

1,4

1,9

2,3

2,9

3,4

5,0

10

1,4

1,8

2,3

2,8

3,3

4,8

11

1,4

1,8

2,2

2,8

3,2

4,6

12

1,4

1,8

2,2

2,7

3,1

4,5

13

1,4

1,8

2,2

2,7

3,1

4,3

14

1,4

1,8

2,2

2,7

3,0

4,2

15

1,3

1,8

2,1

2,6

3,0

4,1

16

1,3

1,8

2,1

2,6

2,9

4,0

17

1,3

1,7

2,1

2,6

2,9

4,0

18

1,3

1,7

2,1

2,6

2,9

4,0

19

1,3

1,7

2,1

2,6

2,9

3,9

20

1,3

1,7

2,1

2,5

2,9

3,9

30

1,3

1,7

2,0

2,5

2,8

3,7

40

1,3

1,7

2,0

2,4

2,7

3,6

60

1,3

1,7

2,0

2,4

2,7

3,5

1,3

1,6

2,0

2,3

2,6

3,3

8.2. Совпадение статистического среднего  с гипотетическим (предполагаемым);

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Количество разрядов k

Разряды (участки) g ÷ β

Таблица 2


8.3. Совпадение дисперсий статистического и гипотетического распределений и т.п.

Как видно, (см. п.5) в рассмотренном случае соблюдаются также и два последних условия.

Таким образом, число степеней свободы определяется по формуле:

R = kd = k – 3      ( 5.5 )

9. По таблицам 3,4,5,[3] критерий Пирсона х2   является распределением для полученных степеней свободы r и по которому для подсчитанного значения х2   и определяется уровень значимости Р.

     Таким образом, если соблюдаются сформулированные высше условия достоверности высказанной гипотезы по уровню значимости Р, то можно сделать вывод о том, что эта гипотеза не противоречит экспериментальным статистически обработанным значениям fi.

В частном случае обработки данных по коэффициентам трения fi, это означает, что среднее значение погрешности (среднеквадратичное отклонение) может быть принято в качестве оценки погрешности измерений, а математическое ожидание  (среднее арифметическое  ) может быть принято в качестве точного значения искомой величины f с наибольшей вероятностью α и достоверностью .

Результаты обработки:

1.  

f1,2,3...      

}

произвести выборку из таблицы 1, внести в таблицу 2

2.

kl,2,3...

3.

10.

(при п =k) по ф-ле (5.2)

(по ф-ле 5.1 )

4.

11.

Р = Р(x2, r) =

по ф-ле (5.3)

(по табл.5)

5.

12.

Р ≥ [Р] = 7%

6.

r=k-d=k-3=

13.

7.

14.

по табл. (3,4)

8.

15.

по табл. (3,4)

9.

по ф-ле (5.4)

    

       

 Приложение 1

Значение функции Лапласа  ,   для  х=0÷2,99

                                                                                                                                    Таблица 3

Х

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

0,00000

03983

07926

11791

15542

19146

22575

25804

28814

31594

34134

36433

38493

40320

41924

43319

44520

45543

46407

47128

47725

48214

48610

48928

49180

49379

49534

49653

49744

49813

00399

04380

08317

12172

15910

19497

22907

26115

26103

31859

34375

36650

38686

40490

42073

43448

44630

45637

46485

47193

47778

48257

48645

48956

49202

49396

49547

49664

49752

49819

00798

04776

08706

12552

16276

19847

23237

26424

29389

32121

34614

36864

38877

40658

42220

43574

44738

45728

46562

47257

47831

48300

48679

48983

49224

49413

49560

49674

49760

49825

01197

05172

09095

12930

16640

20194

23565

26730

29673

32381

346850

37076

39065

40824

42364

43699

44845

45818

46638

47320

47882

48341

48

49010

49245

49430

49573

49683

49767

49831

01595

05567

09483

13307

17003

20540

23891

27035

29955

32639

35083

37286

39251

40988

42507

43822

44950

45907

46712

47381

47932

48382

713

49036

49266

49446

49585

49693

49774

49836

01994

05962

09871

13683

17364

20884

24215

27377

30234

32894

35314

37493

39435

41149

42647

43943

45053

45994

46784

47441

47982

48432

48745

49061

49286

49461

49598

49702

49781

49841

02392

06356

10257

14058

17724

21226

24537

27637

30511

33247

35543

37698

38617

41309

42786

44062

45154

46080

46856

47500

48030

48461

48778

49086

49305

49477

49609

49711

49788

49846

02790

03188

03586

06749

07142

07535

10642

11026

11409

14431

14803

15173

18082

18439

18793

21566

21904

22240

24857

25175

25490

27935

28230

28524

30785

31057

31327

33398

33646

33891

35769

35993

36214

37900

38100

38298

39796

29973

40147

41466

41621

41774

42922

43056

43189

44179

44295

44408

45254

45352

45449

46164

46246

46327

46926

46995

47062

47558

47615

47670

48077

48124

48169

48500

48537

48574

48809

48870

48899

49111

49134

49150

49324

49343

49361

49492

49506

49520

49621

49632

49643

49720

49738

49736

49795

49801

49807

49851

49856

49861

Значение функции Лапласа Ф(х) для х ≥ 3,0.

      Таблица 4

х

3,0

3,5

4,0

5,0

Ф(х)

0,49865

0,49977

0,499968

0,49999997

                                                                                                                             

Приложение 2

Значения х2 в зависимости от r и Р


Таблица 5

    p

r

0.95

0.90

0.80

0.70

0.50

0.30

0.20

0.10

0.05

1

0.004

0.016

0.064

0.148

0.455

1.074

1.642

2.71

3.84

2

0.103

0.211

0.446

0.713

1.386

2..41

3.22

4.00

5.95

3

0,352

0,384

1,005

1,424

2,37

3,66

4,64

6,25

7,82

4

0,711

1,064

1,649

2,20

3,36

4,88

5,99

7,78

9,49

5

1,145

1,610

2,34

3,00

4,35

6,00

7,29

9,24

11,07

6

1,635

2,20

3,07

3,83

5,35

7,23

8,56

10,64

12,59

7

2,17

2,83

3,82

4,67

6,35

8,38

9,80

12,02

14,07

8

2,73

3,49

4,59

5,53

7,34

9,52

11,03

13,36

15,51

9

3,32

4,17

5,38

6,39

8,34

10,66

12,24

14,08

16,92

10

3,94

4,86

6,18

7,27

9,34

11,78

13,44

15,99

18,31

11

4,58

5,58

6,99

8,15

10,34

12,90

14,03

17,28

19,08

12

5,23

6,30

7,81

9,03

11,34

14,01

15,81

18,55

21,0

13

5,89

7,04

8,63

9,93

12,34

15,12

16,98

19,81

22,4

14

6,57

7,79

9,47

10,82

13,34

16,22

18,15

21,1

23,7

15

7,26

8,55

10,31

11,72

14,34

17,32

19,31

22,3

25,0

16

7,96

9,31

11,15

12,62

15,34

18,42

20,5

23,5

26,3

17

8,67

10,08

12,00

13,53

16,34

19,51

21,6

24,8

27,6

18

9,39

10,86

12,86

14,44

17,34

20,6

22,8

26,0

28,9

19

10,11

11,65

13,72

15,35

18,34

21,7

23,9

27,2

30,1

20

10,85

12,44

14,58

16,27

19,34

22,8

25,0

28,4

31,4

21

11,59

13,24

15,44

17,18

20,3

23,9

26,2

29,6

32,7

22

12,34

14,01

16,31

18,10

21,3

24,9

27,3

30,8

33,9

23

13,09

14,85

17,19

19,02

22,3

26,0

28,4

32,0

35,2

24

13,85

15,66

18,06

19,94

23,3

27,1

29,6

33,2

36,4

25

14,61

16,47

18,94

20,9

24,3

28,2

30,7

34,4

37,7

26

15,38

17,29

18,82

21,8

25,3

29,2

31,8

35,6

38,9

27

16,15

18,11

20,7

22,7

26,3

30,3

32,9

36,7

40,1

28

16,93

18,94

21,6

23,6

27,3

31,4

34,0

37,9

41,3

29

17,71

19,77

22,5

24,6

28,3

32,5

35,1

39,1

42,6

30

18,49

20,06

23,4

25,5

29,3

33,5

36,2

40,3

43,8

В ы в о д:

1. В результате статистической обработки экспериментальных данных по коэффициенту трения  f из лабораторной работы №1 можно сделать вывод о том, что экспериментальное значение коэффициента трения fэ =   получено с достаточной степенью точности Sf и входит в доверительный интервал его значений fH << fB с достаточно высокой вероятностью α (с учетом критерия Пирсона).

2. При этом рассчитанная погрешность (отклонение) значения коэффициента fэ, полученного экспериментально, от его теоретического значения  fT  не превышает допустимой.

Литература:

1. Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятности и ее инженерные приложения. - М.: Наука, гл. ред. физ. мат. лит. - 1988г. (Физико-математическая библиотека инженера) - 480с.

2. Шенк X. Теория инженерного эксперимента. - М.: Мир - 1982г. - 381с.

3. Давыдов В.В. Технические вычисления в кораблестроении. Москва. Морской  

   транспорт. 1991г.-250с.

4. Лабораторная работа №1. Общесудовые устройства и системы. Швартовное

   устройство. Экспериментальная оценка формулы Эйлера. Кафедра морских

технологий НУК им. адмирала Макарова. Николаев 2007 г. (перечень  экспериментальных замеров fі, таблицы 1,2,3).

Работу выполнил(а):

Студент(ка) группы

«___» 200   г.  

Фамилия, имя, отчество

Разработка: Зинкин В.Н.

Компьютерная верстка: Криницкий Д.А., Стоян В.А.

 Примечание к п. 5. Перед составлением таблицы 2 определить по таблице 1 выборки значений  fi  разряды (диапазоны) gi ÷ βi количество разрядов k.

 Примечание: обозначение в таблице 3, 4:    или ;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53731. Технология приготовления блинов, оладьев, блинчиков. Выпечка блинов 855 KB
  Такие блины как губка впитывают в себя растопленное масло, сметану, отчего делаются сочными, лоснящимися и вкусными. Блины различают и называют по тому виду муки или крупы, которые идут на их изготовление: ржаные, гречневые, гречнево-пшеничные, пшеничные, пшенные, манные. Таким образом, разнообразной может быть сама основа блинов. Но этого мало. Отличны по технологии, например, заварные блины. Кроме того, разнообразие в ассортимент блинов вносят и различные способы употребления их.
53732. Оригами с аппликацией 285 KB
  Цели занятия: выполнить поделку кленовый лист с аппликацией в технике оригами Задачи: Обучить: выполнять поделки в стиле оригами видами оригами приёмам складывания фактуре бумаги технике безопасности при использовании ножниц клее. Для учителя: ПТК поделки оригами с аппликацией фотографии оригами шаблоны конспект урока презентация Для учеников : ножницы цветная бумага картон клей.
53733. РАКЕТА. День космонавтики-52 года 42.5 KB
  ЦЕЛИ УРОКА: Предметные: Отрабатывать умения детей выполнять макет ракеты по заданному образцу; Формировать представления об окружающем мире; закрепить знания о том что первым космонавтом был Ю. гудок ракеты Физкультминутка : Космонавты сильные смелые здоровые. Хотите быть такими же Выполняем зарядку для глаз: берём в руки маленький макет ракеты и по команде учителя выполняем несколько упражнений для глаз. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ...
53734. Расы человека 79.5 KB
  Цель: создать условия для осознания и осмысления блока информации о расах и причинах их появления. Задачи: помочь в раскрытии понятия «раса» и основных характеристик существующих рас; научить обосновывать единство и полноценность человеческих рас; создать условия для развития у детей умения самостоятельно добывать знания, критически, творчески и продуктивно оценивать информацию; учить объяснять, аргументировать;
53735. Религия древних греков 167 KB
  Оргмомент Учитель: Здравствуйте ребята садитесь. Учитель проверяет готовность к уроку. Переход к изучению новой темы Учитель: Сегодняшний урок мне хотелось бы начать с крылатых выражений которые возникли из древнегреческой мифологии. В: Кто помогает либо наоборот мешает героям в поэмах О: Боги В: Какие боги встречались в тексте поэм О: Фетида Гефест Посейдон Афина Учитель: Хорошо.
53736. Сжатое изложение 36 KB
  Слайд 2 Попробуйте догадаться о ком идёт речь. Слайд 3 Слайд 4 Рыжик Однажды лесник подобрал в лесу оленёнка. Слайд 5 Кого однажды подобрал лесник в лесу Какая беда случилась у оленёнка Кому лесник отдал малыша Что сделали ребята Чем закончилась история с оленёнком Слайд 6 Лексикостилистическая работа. Слайд 7 Однажды лесник подобрал в лесу оленёнка.
53737. Правописание местоимений с предлогами 48.5 KB
  Задачи: 1 формировать умение правильно употреблять и писать местоимения 1 2 3 лица навык раздельного написания местоимений с предлогами; 2 отработать навык определения падежа личных местоимений единственного и множественного числа; воспитывать интерес к изучению русского языка. 3 вопроса Перечисли все падежи русского языка Перечисли личные местоимения множественного числа Мы вы они Вместо какой части речи употребляются имена существительные. Итак ребята тема нашего сегодняшнего урока: Личные местоимения с предлогами. Знаете ли...
53738. Распознавание частей речи. Местоимение 58.5 KB
  Задачи: закрепление знаний об основных частях речи и развитие умения определять часть речи слов по вопросу; формирование общего понятия о местоимении как части речи; совершенствование навыка разбора предложения по членам; развитие умения правильно употреблять разные части речи в предложении. К какому новому большому разделу вы перешли на прошлом уроке...
53739. Распознавание рода у имен существительных множественного числа 58 KB
  Цель урока: Научить учащихся определять род у имен существительных стоящих во множественном числе. Задачи: совершенствование навыка изменения имен существительных по числам; закрепление знаний о роде имен существительных и развитие умения определять род имени существительного с помощью опорных слов местоимений; формирование и закрепление умения...