14336

Оценка достоверности результатов эксперимента с помощью критерия Пирсона

Лабораторная работа

Физика

Лабораторная работа №5 Тема: Оценка достоверности результатов эксперимента с помощью критерия Пирсона Цель работы: ознакомление и приобретение навыков статической обработки результатов экспериментальных данных в судостроении Задача: выполнить статическую обрабо...

Русский

2013-06-03

242.5 KB

9 чел.

Лабораторная работа №5

Тема: Оценка достоверности результатов эксперимента с помощью критерия Пирсона

Цель работы: ознакомление и приобретение навыков статической обработки результатов экспериментальных данных в судостроении

Задача: выполнить статическую обработку экспериментальных данных, полученных в лабораторной работе №1 методом Пирсона. Для чего:

  1.  Преобразовать совокупность замеров fi в статический ряд, сгруппировав одинаковые замеры;
  2.  Определить математическое ожидание ;
  3.  Определить дисперсию (степень рассеяния величины  f ) ;

Краткая теория:

Пусть на основе опытов, в которых проведено  n независимых замеров величины, получена совокупность замеров x1, x2,,x3,…,xn. Оценку достоверности результатов можно выполнить с помощью критериев согласия, в частности, критерия Пирсона [2].

Критерий x2  Пирсона представляет собой величину:

x2=      ( 5.1)

где ni – число замеров отвечающих данному принятому диапазону изменений величины x;

αi - вероятность числа замеров в соответствии с гипотетическим распределением;

k -  число разрядов (диапазонов или участков с k = 1, 2, 3, 4… раза попадания в них одинаковых значений fi);

n - общее число замеров.

Суть метода: выдвигается гипотеза, что случайная величина имеет ряд распределения xixn согласно принятому гипотетическому, а отклонения наблюдаемых частот замеров от гипотетического обусловлены случайными причинами; оценка достоверности такой гипотезы проводится после подсчета критерия x2 по данным табличного распределения (см. абл. 5) для определения уровня значимости P; считается, что при уровне значимости более 7% опытные данные практически не противоречат высказанной гипотезе, при этом полученное среднеарифметическое (математическое ожидание) можно с большей вероятностью (достоверностью) и достаточной точностью (степенью погрешности эксперимента, принять в качестве точного (среднестатистического) значения величины x. (т. е. xi  xcp==хточное).

Ход работы:

Применение критерия Пирсона для статистической обработки экспериментальных данных замеров коэффициента трения f швартова о кнехт выполняется в последовательности:

  1.  Произвести выборку замеров fi из лабораторной работы № 1, результаты выборки внести в таблицу 1;
  2.  Преобразуем совокупность замеров fi  из таблицы 1 в следующий статистический ряд, сгруппировав их одинаковые замеры; данные обработки внести в таблицу 2,

где  fi   = f1, f2,  f3, f4 – значения одинаковых замеров fi;

 k = 1,2,3,4,… – число, показывающее сколько раз встречается одинаковое значение замеров  fi  в таблице 1 выборки.

3. Определить математическое ожидание статистического распределения величины  f по данным таблицы 2 [1].

     ( 5.2 )

4. Определить дисперсию Df    (рассеяние значений fi):

  ( 5.3 )

  1.  Выскажем следующую гипотезу: статистическое (случайное) распределение замеров fi подчинено нормальному закону распределения Гаусса с параметрами (5.2) и (5.3), а следовательно, носит случайный характер.
  2.  Преобразуем статистический ряд (таблица 2), составив таблицу вероятностей попадания случайных величин f  в ряд разрядов , считая её распределенной по нормальному закону с параметрами ,   .  Вероятность Р попадания нормально распределенной величины f на участок от до по формуле

    ( 5.4 )

где Ф – табулированная функция Лапласа , см. таблицу 3.

Свойства этой функции: Ф(0) = 0,5Ф(-х) = - Ф(-х)(∞) = 0,5Ф(- ∞) = - 0,5.

7. Подсчитаем критерий Пирсона по (5.1), имея ввиду, что Рі определяется по выражению (5.4) для каждого разряда (диапазона)  , а  отвечает числу замеров в опытах для каждого разряда .

8. Определяем число степеней свободы . оно равно разности числа разрядов и числа независимых условий . Такими условиями могут быть:

 8.1. Сумма всех частот должна быть равна единице (условие накладывается всегда);

Таблица 1

Объем выборки n

Вероятность α

0,8

0,9

0,95

0,98

0,99

0,999

1

2

3

4

5

6

7

4

1,6

2,4

3,2

4,5

5,8

12,9

5

1,5

2,1

2,8

3,7

4,6

8,6

6

1,5

2,0

2,6

3,4

4,0

6,9

7

1,4

1,9

2,4

3,1

3,7

6,0

8

1,4

1,9

2,4

3,0

3,5

5,4

9

1,4

1,9

2,3

2,9

3,4

5,0

10

1,4

1,8

2,3

2,8

3,3

4,8

11

1,4

1,8

2,2

2,8

3,2

4,6

12

1,4

1,8

2,2

2,7

3,1

4,5

13

1,4

1,8

2,2

2,7

3,1

4,3

14

1,4

1,8

2,2

2,7

3,0

4,2

15

1,3

1,8

2,1

2,6

3,0

4,1

16

1,3

1,8

2,1

2,6

2,9

4,0

17

1,3

1,7

2,1

2,6

2,9

4,0

18

1,3

1,7

2,1

2,6

2,9

4,0

19

1,3

1,7

2,1

2,6

2,9

3,9

20

1,3

1,7

2,1

2,5

2,9

3,9

30

1,3

1,7

2,0

2,5

2,8

3,7

40

1,3

1,7

2,0

2,4

2,7

3,6

60

1,3

1,7

2,0

2,4

2,7

3,5

1,3

1,6

2,0

2,3

2,6

3,3

8.2. Совпадение статистического среднего  с гипотетическим (предполагаемым);

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Количество разрядов k

Разряды (участки) g ÷ β

Таблица 2


8.3. Совпадение дисперсий статистического и гипотетического распределений и т.п.

Как видно, (см. п.5) в рассмотренном случае соблюдаются также и два последних условия.

Таким образом, число степеней свободы определяется по формуле:

R = kd = k – 3      ( 5.5 )

9. По таблицам 3,4,5,[3] критерий Пирсона х2   является распределением для полученных степеней свободы r и по которому для подсчитанного значения х2   и определяется уровень значимости Р.

     Таким образом, если соблюдаются сформулированные высше условия достоверности высказанной гипотезы по уровню значимости Р, то можно сделать вывод о том, что эта гипотеза не противоречит экспериментальным статистически обработанным значениям fi.

В частном случае обработки данных по коэффициентам трения fi, это означает, что среднее значение погрешности (среднеквадратичное отклонение) может быть принято в качестве оценки погрешности измерений, а математическое ожидание  (среднее арифметическое  ) может быть принято в качестве точного значения искомой величины f с наибольшей вероятностью α и достоверностью .

Результаты обработки:

1.  

f1,2,3...      

}

произвести выборку из таблицы 1, внести в таблицу 2

2.

kl,2,3...

3.

10.

(при п =k) по ф-ле (5.2)

(по ф-ле 5.1 )

4.

11.

Р = Р(x2, r) =

по ф-ле (5.3)

(по табл.5)

5.

12.

Р ≥ [Р] = 7%

6.

r=k-d=k-3=

13.

7.

14.

по табл. (3,4)

8.

15.

по табл. (3,4)

9.

по ф-ле (5.4)

    

       

 Приложение 1

Значение функции Лапласа  ,   для  х=0÷2,99

                                                                                                                                    Таблица 3

Х

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

0,00000

03983

07926

11791

15542

19146

22575

25804

28814

31594

34134

36433

38493

40320

41924

43319

44520

45543

46407

47128

47725

48214

48610

48928

49180

49379

49534

49653

49744

49813

00399

04380

08317

12172

15910

19497

22907

26115

26103

31859

34375

36650

38686

40490

42073

43448

44630

45637

46485

47193

47778

48257

48645

48956

49202

49396

49547

49664

49752

49819

00798

04776

08706

12552

16276

19847

23237

26424

29389

32121

34614

36864

38877

40658

42220

43574

44738

45728

46562

47257

47831

48300

48679

48983

49224

49413

49560

49674

49760

49825

01197

05172

09095

12930

16640

20194

23565

26730

29673

32381

346850

37076

39065

40824

42364

43699

44845

45818

46638

47320

47882

48341

48

49010

49245

49430

49573

49683

49767

49831

01595

05567

09483

13307

17003

20540

23891

27035

29955

32639

35083

37286

39251

40988

42507

43822

44950

45907

46712

47381

47932

48382

713

49036

49266

49446

49585

49693

49774

49836

01994

05962

09871

13683

17364

20884

24215

27377

30234

32894

35314

37493

39435

41149

42647

43943

45053

45994

46784

47441

47982

48432

48745

49061

49286

49461

49598

49702

49781

49841

02392

06356

10257

14058

17724

21226

24537

27637

30511

33247

35543

37698

38617

41309

42786

44062

45154

46080

46856

47500

48030

48461

48778

49086

49305

49477

49609

49711

49788

49846

02790

03188

03586

06749

07142

07535

10642

11026

11409

14431

14803

15173

18082

18439

18793

21566

21904

22240

24857

25175

25490

27935

28230

28524

30785

31057

31327

33398

33646

33891

35769

35993

36214

37900

38100

38298

39796

29973

40147

41466

41621

41774

42922

43056

43189

44179

44295

44408

45254

45352

45449

46164

46246

46327

46926

46995

47062

47558

47615

47670

48077

48124

48169

48500

48537

48574

48809

48870

48899

49111

49134

49150

49324

49343

49361

49492

49506

49520

49621

49632

49643

49720

49738

49736

49795

49801

49807

49851

49856

49861

Значение функции Лапласа Ф(х) для х ≥ 3,0.

      Таблица 4

х

3,0

3,5

4,0

5,0

Ф(х)

0,49865

0,49977

0,499968

0,49999997

                                                                                                                             

Приложение 2

Значения х2 в зависимости от r и Р


Таблица 5

    p

r

0.95

0.90

0.80

0.70

0.50

0.30

0.20

0.10

0.05

1

0.004

0.016

0.064

0.148

0.455

1.074

1.642

2.71

3.84

2

0.103

0.211

0.446

0.713

1.386

2..41

3.22

4.00

5.95

3

0,352

0,384

1,005

1,424

2,37

3,66

4,64

6,25

7,82

4

0,711

1,064

1,649

2,20

3,36

4,88

5,99

7,78

9,49

5

1,145

1,610

2,34

3,00

4,35

6,00

7,29

9,24

11,07

6

1,635

2,20

3,07

3,83

5,35

7,23

8,56

10,64

12,59

7

2,17

2,83

3,82

4,67

6,35

8,38

9,80

12,02

14,07

8

2,73

3,49

4,59

5,53

7,34

9,52

11,03

13,36

15,51

9

3,32

4,17

5,38

6,39

8,34

10,66

12,24

14,08

16,92

10

3,94

4,86

6,18

7,27

9,34

11,78

13,44

15,99

18,31

11

4,58

5,58

6,99

8,15

10,34

12,90

14,03

17,28

19,08

12

5,23

6,30

7,81

9,03

11,34

14,01

15,81

18,55

21,0

13

5,89

7,04

8,63

9,93

12,34

15,12

16,98

19,81

22,4

14

6,57

7,79

9,47

10,82

13,34

16,22

18,15

21,1

23,7

15

7,26

8,55

10,31

11,72

14,34

17,32

19,31

22,3

25,0

16

7,96

9,31

11,15

12,62

15,34

18,42

20,5

23,5

26,3

17

8,67

10,08

12,00

13,53

16,34

19,51

21,6

24,8

27,6

18

9,39

10,86

12,86

14,44

17,34

20,6

22,8

26,0

28,9

19

10,11

11,65

13,72

15,35

18,34

21,7

23,9

27,2

30,1

20

10,85

12,44

14,58

16,27

19,34

22,8

25,0

28,4

31,4

21

11,59

13,24

15,44

17,18

20,3

23,9

26,2

29,6

32,7

22

12,34

14,01

16,31

18,10

21,3

24,9

27,3

30,8

33,9

23

13,09

14,85

17,19

19,02

22,3

26,0

28,4

32,0

35,2

24

13,85

15,66

18,06

19,94

23,3

27,1

29,6

33,2

36,4

25

14,61

16,47

18,94

20,9

24,3

28,2

30,7

34,4

37,7

26

15,38

17,29

18,82

21,8

25,3

29,2

31,8

35,6

38,9

27

16,15

18,11

20,7

22,7

26,3

30,3

32,9

36,7

40,1

28

16,93

18,94

21,6

23,6

27,3

31,4

34,0

37,9

41,3

29

17,71

19,77

22,5

24,6

28,3

32,5

35,1

39,1

42,6

30

18,49

20,06

23,4

25,5

29,3

33,5

36,2

40,3

43,8

В ы в о д:

1. В результате статистической обработки экспериментальных данных по коэффициенту трения  f из лабораторной работы №1 можно сделать вывод о том, что экспериментальное значение коэффициента трения fэ =   получено с достаточной степенью точности Sf и входит в доверительный интервал его значений fH << fB с достаточно высокой вероятностью α (с учетом критерия Пирсона).

2. При этом рассчитанная погрешность (отклонение) значения коэффициента fэ, полученного экспериментально, от его теоретического значения  fT  не превышает допустимой.

Литература:

1. Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятности и ее инженерные приложения. - М.: Наука, гл. ред. физ. мат. лит. - 1988г. (Физико-математическая библиотека инженера) - 480с.

2. Шенк X. Теория инженерного эксперимента. - М.: Мир - 1982г. - 381с.

3. Давыдов В.В. Технические вычисления в кораблестроении. Москва. Морской  

   транспорт. 1991г.-250с.

4. Лабораторная работа №1. Общесудовые устройства и системы. Швартовное

   устройство. Экспериментальная оценка формулы Эйлера. Кафедра морских

технологий НУК им. адмирала Макарова. Николаев 2007 г. (перечень  экспериментальных замеров fі, таблицы 1,2,3).

Работу выполнил(а):

Студент(ка) группы

«___» 200   г.  

Фамилия, имя, отчество

Разработка: Зинкин В.Н.

Компьютерная верстка: Криницкий Д.А., Стоян В.А.

 Примечание к п. 5. Перед составлением таблицы 2 определить по таблице 1 выборки значений  fi  разряды (диапазоны) gi ÷ βi количество разрядов k.

 Примечание: обозначение в таблице 3, 4:    или ;


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41437. Apceн, cтибiй, бicмут. Дoбувaння і влacтивocтi apceну, cтибiю, бicмуту 608 KB
  Hайбiльшe знчeння як cиpoвин для дoбyвння pceнy мє FesS pceнoпipит. Дo 800C мoлeкyли pceнy щo пepeбyвють y гзoпoдiбнoмy cтнi з cклдoм вiдпoвiдють фopмyлi s4 з вищoї тeмпepтypи s2. Meтлiчнi мoдифiкцiї пpocтиx peчoвин pceнy cтибiю i бicмyтy мють шpyвтy бyдoвy кpиcтлiв. Kpиcтлiчнi фтки pceнy нближютьcя дo мoлeкyляpниx бicмyтy дo мeтлiчниx.
41438. СУЧАСНІ УЯВЛЕННЯ ПРО БУДОВУ АТОМА 1.93 MB
  Ocкiльки атoм yцiлoмy eлeктpoнeйтpльний тo cyмpний зpяд eлeктpoнiв пoвинeн дopiвнювти зpядy ядp. У 107гo eлeмeнт з пoзитивним зpядoм ядp щo дopiвнює 107 y пoлi ядp oбepтютьcя 107 eлeктpoнiв. Tк нпpиклд для тoм xлopy н чcткy eлeктpoнiв пpипдe 1 183717 = 0009 близькo 003 мcи тoм xлopy. Mcoю eлeктpoнiв пopiвнянo з мcoю ядp мoжн пpктичнo знexтyвти.
41439. ПЕРІОДИЧНИЙ ЗАКОН І ПЕРІОДИЧНА СИСТЕМА ЕЛЕМЕНТІВ МЕНДЕЛЄЄВА 153.5 KB
  Характеристика властивостей елементів по періодичній системі. В середині минулого століття хімікам було відомо близько 60 елементів. Проте вся багатогранність хімічних перетворень елементів не може бути зведена до двох типів ознак металічності і неметалічності.
41440. ЗНАЧЕННЯ ПЕРІОДИЧНОГО ЗАКОНУ ТА ПЕРІОДИЧНОЇ СИСТЕМИ 45 KB
  Пepioдичний зкoн i пepioдичн cиcтeм eлeмeнтiв Д. Iз зpocтнням пpoтoнниx чиceл бo тoмниx мc eлeмeнтiв вiдбyвютьcя якicнi змiни пepexiд вiд oднoгo eлeмeнт дo iншoгo. Tк збiльшeння пpoтoннoгo чиcл н oдиницю в pзi пepexoдy вiд Гiдpoгeнy дo Гeлiю зyмoвлює pзючy вiдмiннicть циx двox eлeмeнтiв з xiмiчними влcтивocтями. Пepioдичний зкoн i пepioдичн cиcтeм eлeмeнтiв яcкpвo iлюcтpyють ткoж iнший зкoн дiлeктики зкoн єднocтi i бopoтьби пpoтилeжнocтeй.
41441. ВАЛЕНТНІСТЬ ТА СТУПІНЬ ОКИСЛЕННЯ З ТОЧКИ ЗОРУ БУДОВИ АТОМА 299 KB
  Для xpктepиcтики cтнy тoм в cпoлyцi викopиcтoвyють фopмльнe пoняття cтyпiнь oкиcлeння. Cтyпiнь oкиcлeння пoзнчєтьcя pбcькoю цифpoю iз знкoм бo пepeд нeю над cимвoлoм eлeмeнт нпpиклд І23S32. Для визнчeння cтyпeня oкиcлeння eлeмeнт в cпoлyцi cлiд знти ткi пpвил: 1.Cтyпiнь oкиcлeння oднoтoмнoгo ioн дopiвнює йoгo зpядy.
41442. КИСЛОТИ, ОСНОВИ, ЇХ КЛАСИФІКАЦІЯ, ОДЕРЖАННЯ І ВЛАСТИВОСТІ 567 KB
  Дo бiнpниx cпoлyк нлeжть oкcиди глoгeнiди нiтpиди кpбiди гiдpиди тoщo дo тpинpниx HNOз NOH тoщo. Hйвжливiшими клcми нeopгнiчниx cпoлyк з фyнкцioнльними oзнкми є oкcиди киcлoти ocнoви мфoтepнi гiдpoкcиди coлi. З xiмiчними влcтивocтями oкcиди пoдiляють н coлeтвopнi i нecoлeтвopнi. Coлemвopнi цe ткi oкcиди якi в pзi пepeбiгy пeвниx xiмiчниx peкцiй здтнi yтвopювти coлi.
41443. СОЛІ, ВИДИ СОЛЕЙ, ВЛАСТИВОСТІ, НОМЕНКЛАТУРА 1.66 MB
  Coлi мoжн poзглядти як пpoдyкти пoвнoгo бo чcткoвoro змiщeння томiв Гiдpoгeнy y киcлoтx н тoми мeтлiв бo як пpoдyкти пoвнoгo чи чcткoвoгo змiщeння гiдpoкcильниx гpyп в ocнoвx н киcлoтнi злишки. 3 тoчки зopy тeopiї eлeктpoлiтичнoї диcoцiцiї coлi цe peчoвини якi пiд чc диcoцiцiї poзпдютьcя н ктioни мeтлiв т нioни киcлoтниx злишкiв: N3PO4  3N PO43 Poзpiзняють ткi типи coлeй: нopмльнi бo cepeднi киcлi ocновнi пoдвiйнi змiшнi т кoмплeкcнi. Hopмльнi coлi цe пpoдyкти пoвнoгo змiщeння томiв Гiдpoгeнy н тoми мeтлy в мoлeкyлx киcлoт...
41444. ХІМІЧНА РІВНОВАГА ТА УМОВИ ЇЇ ЗМІЩЕННЯ 630 KB
  Xiмiчн кiнeтик вивчє як гoмoгeннi тк i reтepoгeннi peкцiї. Гoмoгeннuмu нзивютьcя peкцiї щo вiдбyвютьcя в oднopiднoмy cepeдoвищi гoмoгeннiй cиcтeмi нпpиклд в гзoпoдiбнiй cyмiшi бo в piдкoмy poзчинi. Гemepoгeнними нзивютьcя peкцiї щo вiдбyвютьcя в нeoднopiднoмy cepeдoвищi гeтepoгeннiй cиcтeмi мiж peчoвинми якi пepeбyвють y piзниx фзx твepдiй i piдкiй гзoпoдiбнiй i piдкiй тoщo. У згльнoмy poзyмiннi швидкicть peкцiї вiдпoвiдє чиcлy eлeмeнтpниx ктiв взємoдiї щo вiдбyвютьcя з oдиницю чcy: для гoмoгeнниx peкцiй в oдиницi oб'ємy дпя...
41445. POЗЧИHИ. XAPAKTEPИCTИKA POЗЧИHIB TA CПOCOБИ BИPAЖEHHЯ ЇXHЬOГO CKЛAДУ 367.5 KB
  Poзчин cклдєтьcя з poзчинeниx peчoвин i poзчинник тoбто cepeдoвищ в якoмy цi peчoвини piвнoмipнo poзпoдiлeнi y виглядi мoлeкyл бo йoнiв. Якщo ж poзчин yтвopюєтьcя внcлiдoк змiшyвння гзy з гзoм piдини з piдинoю твepдoї peчoвини з твepдoю poзчинникoм ввжють кoмпoнeнт кiлькicть якoгo пepeвжє. Пpoцec пepexoдy peчoвини якy poзчиняють y тoвщу poзчинник нзивєтьcя poзчuнeнням. Цi явищ ткoж дeякi iншi вкзyють н xiмiчнy взємoдiю poзчинeнoї peчoвини з poзчинникoм.