14576

Кривые и поверхности в OpenGL

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа № 7 Кривые и поверхности в OpenGL Кривые Безье Кривая Безье задается векторной функцией одной переменной Cu = [ Xu Yu Zu] Где u изменяется в некоторой области например [0.0 1.0]. Фрагмент поверхности Безье задается векторной фу

Русский

2013-06-08

75 KB

57 чел.

Лабораторная работа № 7

Кривые и поверхности в OpenGL

Кривые Безье

Кривая Безье задается векторной функцией одной переменной

   C(u) = [ X(u), Y(u), Z(u)],

     

Где  u изменяется в некоторой области, например, [0.0, 1.0].

Фрагмент поверхности Безье задается векторной функцией двух переменных

   S(u, v) = [ X(u, v), Y(u, v), Z(u, v) ].

Для каждого значения u и v формула C( ) или S( ) вычисляет точку на кривой ( поверхности ). При использовании Безье-вычисления сначала выбирают функцию C( ) или S( ), включают ее (Безье-вычислитель), а затем используют команду glEvalCoord1( ) или glEvalCoord2( ) вместо команды glVertex*( ). В этом случае вершина кривой или поверхности может использоваться точно также, как и любая другая вершина, например, для формирования точки или линии. Кроме того, другие команды автоматически генерируют серии вершин, образующих пространство регулярной однородной сетки по оси u (или по осям u и v ).  

Если  представляет набор контрольных точек, то уравнение

   C(u) =   - представляет собой кривую Безье при изменении u от 0.0 до 1.0, где

 

- многочлен Бернштейна степени n, который задается следующим уравнением

    

В составе OpenGL имеются средства поддержки работы с кривыми и поверхностями Безье - Безье-вычислитель, которые позволяют вычислять значения полиномов Безье любого порядка. Безье вычислитель можно использовать для работы с полиномами от одной, двух, трех и четырех переменных.

Функция обработки полинома одной переменной настраивается в процессе инициализации OpenGL- программы посредством вызова функции

 glMap1f(type, u_min, u_max, stride, order, point array)

 Аргумент  type задает тип объекта, который будет представлен полиномом Безье. Можно назначить в качестве значения этого аргумента константы, задающие трех- и четырехмерные геометрические точки, цвет в формате RGBA, нормали, индексированные цвета и координаты текстур ( от одно- до четырехмерных).

Table 12-1 : Types of Control Points for glMap1*()

Parameter

Meaning

GL_MAP1_VERTEX_3

x, y, z vertex coordinates

GL_MAP1_VERTEX_4

x, y, z, w vertex coordinates

GL_MAP1_INDEX

color index

GL_MAP1_COLOR_4

R, G, B, A

GL_MAP1_NORMAL

normal coordinates

GL_MAP1_TEXTURE_COORD_1

s texture coordinates

GL_MAP1_TEXTURE_COORD_2

s, t texture coordinates

GL_MAP1_TEXTURE_COORD_3

s, t, r texture coordinates

GL_MAP1_TEXTURE_COORD_4

s, t, r, q texture coordinates

 Указатель на массив опорных точек полинома передается функции через аргумент point_array. Аргументы u_min, u_max определяют область существования параметра полинома. Аргумент stride представляет собой количество значений параметра между сегментами кривой. Значение аргумента order должно быть равно количеству опорных точек. Для формирования кубической трехмерной кривой в форме В-сплайна, определенной на интервале (0,1), функции glMap1f() следует передать такой набор аргументов:

point data[]= {…};

glMap1f(GL_MAP_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4, data);

 После настройки функция активизируется посредством вызова:

 glEnable(type);

 Если функция расчета активизирована, то можно получить от нее значения полинома, вызвав функцию:

 glEvalCoord1f(u);

 Таким образом, обращение к glEvalCoord1f() может заменить обращение к функциям glVertex(), glColor(), glNormal(). Пусть, например, функция расчета настроена на формирование кривой Безье на интервале (0,10) по некоторому массиву опорных точек. Набор из 100 точек кривой, равноотстоящих на этом интервале можно получить с помощью такого фрагмента программы:

 glBegin(GL_LINE_STRIP)

 for(i=0; i<100; i++) glEvalCoord1f( (float)i/100.);

glEnd();  

 Если значения параметра u распределены равномерно, то для вычисления точек на кривой следует использовать функции glMapGrid1f() и glEvalMesh1(), например:

 glMapGrid1f(100, 0.0, 10.0);

glEvalMesh1(GL_LINE, 0, 100);

 После вызова glMapGrid1f() устанавливается равномерная сетка в 100 отсчетов, а после вызова функции glEvalMesh1() будет сформирована кривая.

Пример программы вычисления и рисования полинома Безье.

#include <GL/glut.h>

#include <stdlib.h>

GLfloat ctrlpoints[4][3] = {

{ -4.0, -4.0, 0.0}, { -2.0, 4.0, 0.0},

{2.0, -4.0, 0.0}, {4.0, 4.0, 0.0}};

void init(void)

{

  glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);

  glShadeModel(GL_FLAT);

  glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4, &ctrlpoints[0][0]);

  glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);

}

void display(void)

{

  int i;

  glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);

  glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);

  glBegin(GL_LINE_STRIP);

     for (i = 0; i <= 30; i++)

        glEvalCoord1f((GLfloat) i/30.0);

  glEnd();

  /* The following code displays the control points as dots. */

  glPointSize(5.0);

  glColor3f(1.0, 1.0, 0.0);

  glBegin(GL_POINTS);

     for (i = 0; i < 4; i++)

        glVertex3fv(&ctrlpoints[i][0]);

  glEnd();

  glFlush();

}

void reshape(int w, int h)

{

  glViewport(0, 0, (GLsizei) w, (GLsizei) h);

  glMatrixMode(GL_PROJECTION);

  glLoadIdentity();

  if (w <= h)

     glOrtho(-5.0, 5.0, -5.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w,

              5.0*(GLfloat)h/(GLfloat)w, -5.0, 5.0);

  else

     glOrtho(-5.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h,

              5.0*(GLfloat)w/(GLfloat)h, -5.0, 5.0, -5.0, 5.0);

  glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

  glLoadIdentity();

}

void keyboard(unsigned char key, int x, int y)

{

  switch (key) {

     case 27:

        exit(0);

        break;

  }

}

int main(int argc, char** argv)

{

  glutInit(&argc, argv);

  glutInitDisplayMode (GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);

  glutInitWindowSize (500, 500);

  glutInitWindowPosition (100, 100);

  glutCreateWindow (argv[0]);

  init ();

  glutDisplayFunc(display);

  glutReshapeFunc(reshape);

  glutKeyboardFunc (keyboard);

  glutMainLoop();

  return 0;

}

Поверхности Безье

Математически  фрагмент  поверхности  Безье  задается  уравнением                                                                                                   S(u,v)=

где - представляет собой множество  контрольных точек, а функции - те же самые многочлены Бернштейна, что и для одного измерения. Значения  могут представлять вершины, нормали, цвета или текстурные координаты.

Поверхности Безье формируются в OpenGL примерно по той же методике, что и кривые, только роль функции инициализации играет не glMap1*(), а glMap2*(), а для считывания результатов следует обращаться к функции glEvalCoord2*() вместо glEvalCoord1*(). В обеих функциях нужно специфицировать данные, относящиеся к двум независимым параметрам u и v. Например, функция glMap2f() имеет такой формат вызова:

glMap2f(type, u_min, u_max, u_stride, u_order, v_min, v_max, v_stride, v_order, point_array);

 Настройка функции вычисления на работу с бикубической поверхностью Безье, определенной на области (0,1)х(0,1), выполняется таким вызовом glMap2f():

glMap2f(GL_MAP_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4, 0.0, 1.0, 12, 4, data);

 Для обоих независимых переменных нужно задать порядок полинома (аргументы u_order и v_order) и количество значений параметра между сегментами (аргументы u_stride и v_stride), что обеспечивает дополнительную гибкость при формировании поверхности. Обратите внимание на то, что значение v_stride для второго параметра равно 12, поскольку в массиве опорных точек  data данные хранятся по строкам. Поэтому для перехода к следующему элементу этой же строки нужно «перешагнуть» три числа в формате float, а для перехода к следующему элементу в этом же столбце нужно «перешагнуть» через 3*4=12 чисел в формате float. Способ вызова программы расчета зависит от того, какой результат мы хотим получить,- вывести на экран сеть или сформировать многоугольники для последующего раскрашивания. Если ставится задача сформировать на экране сеть, то соответствующий фрагмент программы должен выглядеть примерно так:

 for(j=0; j<100; j++)

{

glBegin(GL_LINE_STRIP);

 for(i=0; i<100; i++)

 glEvalCoord2f((float)i/100.0, (float)j/100.0);

glEnd();

  glBegin(GL_LINE_STRIP);

 for(i=0; i<100; i++)

 glEvalCoord2f((float)j/100.0, (float)i/100.0);

glEnd();

}

 Если же желательно сформировать множество многоугольников, то фрагмент должен выглядеть так:

 for(j=0; j<99; j++)

{

 glBegin(GL_QUAD_STRIP)

 for(i=0; i<=100; i++)

 {

 glEvalCoord2f( (float)i/100.0, (float)j/100.0);

 glEvalCoord2f( (float)(i+1)/100.0, (float)j/100.0);

 }

 glEnd();

}

Для работы на равномерной сетке следует использовать функции glMapGrid2*() и glEvalMesh2(). Тогда в самое начало программы, в ту часть, которая отвечает за инициализацию, нужно включить такой фрагмент:

 glMapGrid2f(100, 0.0, 1.0, 100, 0.0, 1.0);

 В функции отображения display() нужно вызвать glEvalMesh2():

glEvalMesh2(GL_FILL, 0, 100, 0, 100);

 Для работы алгоритмов тонирования (закрашивания) сформированной поверхности при настройке режима учета освещения нужно дополнительно вызвать функцию glEnable(), передав ей в качестве аргумента константу GL_AUTO_NORMAL:

glEnable(GL_AUTO_NORMAL);

 Это позволит OpenGL автоматически вычислять вектор нормали к каждому участку формируемой поверхности и использовать этот вектор при закрашивании участков этой поверхности.

Пример программы аппроксимации с помощью поверхности Безье функции z=sin(x+y):

#include <stdlib.h>

#include <GL/glut.h>

#include <math.h>

#include <stdio.h>

GLfloat ctrlpoints[6][6][3];

void initlights(void)

{

  GLfloat ambient[] = {1.0, 1.0, 1.0, 1.0};

  GLfloat position[] = {0.0, 0.0, 2.0, 1.0};

  GLfloat mat_diffuse[] = {1.0, 1.0, 1.0, 1.0};

  GLfloat mat_specular[] = {1.0, 1.0, 1.0, 1.0};

  GLfloat mat_shininess[] = {50.0};

  glEnable(GL_LIGHTING);

  glEnable(GL_LIGHT0);

  glLightfv(GL_LIGHT0, GL_AMBIENT, ambient);

  glLightfv(GL_LIGHT0, GL_POSITION, position);

  glMaterialfv(GL_FRONT, GL_DIFFUSE, mat_diffuse);

  glMaterialfv(GL_FRONT, GL_SPECULAR, mat_specular);

  glMaterialfv(GL_FRONT, GL_SHININESS, mat_shininess);

}

void display(void)

{

glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);

  glPushMatrix();

  glRotatef(85.0, 1.0, 0.0, 0.0);

glEvalMesh2(GL_FILL, 0, 10, 0, 10);

  glPopMatrix();

  glFlush();

}

void init(void)

{

float x,y;

int i,j;

for (i=0; i<6;i++)

{

x=3.1415/5.0*(float)i;

for(j=0; j<6; j++)

{

 y=3.1415/5.0*(float)j;

 ctrlpoints[i][j][0]=x;

 ctrlpoints[i][j][1]=y;

 ctrlpoints[i][j][2]=sin(x+y);

}

}

  glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);

  glEnable(GL_DEPTH_TEST);

  glMap2f(GL_MAP2_VERTEX_3, 0, 4, 3, 4,

          0, 4, 18, 4, &ctrlpoints[0][0][0]);

  glEnable(GL_MAP2_VERTEX_3);

  glEnable(GL_AUTO_NORMAL);

 glMapGrid2f(10, 0.0, 4.0, 10, 0.0, 4.0);

  initlights();       /* for lighted version only */

}

void reshape(int w, int h)

{

  glViewport(0, 0, 400, 400);

  glMatrixMode(GL_PROJECTION);

  glLoadIdentity();

        glOrtho(-1.0,2.0, -1.0, 2.0, -2.0, 2.0);

  glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

  glLoadIdentity();

}

void keyboard(unsigned char key, int x, int y)

{

  switch (key) {

     case 27:

        exit(0);

        break;

  }

}

int main(int argc, char **argv)

{

  glutInit(&argc, argv);

  glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB | GLUT_DEPTH);

  glutInitWindowSize (500, 500);

  glutInitWindowPosition (100, 100);

  glutCreateWindow(argv[0]);

  init();

  glutReshapeFunc(reshape);

  glutDisplayFunc(display);

  glutKeyboardFunc(keyboard);

  glutMainLoop();

  return 0;

}


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46255. Основные направления научного изучения языковой лексики 13.53 KB
  Лексиколо́гия наука о слове; это раздел языкознания изучающий словарный состав языка или лексику. В лексикологии рассматриваются: слово и его значение система взаимоотношений слов история формирования современной лексики функциональностилевое различие слов в разных сферах речи Объектом изучения является слово. Оно изучается также в морфологии и словообразовании. Однако если в них слова оказываются средством для изучения грамматического строя и словообразовательных моделей и правил языка то в лексикологии слова изучаются для...
46257. Развитие слова в языке в формальном и семантическом аспектах. Понятие лексико-семантического варианта 13.44 KB
  Понятие лексикосемантического варианта. Понятие лексемы и лексикосемантического варианта. В лексикографии для противопоставления сложных и простых знаков используются термины лексема и лексикосемантический вариант в традиции восходящей к А. Можно сказать что разные лексикосемантические варианты с совпадающей формой относятся либо к одной случай полисемии или многозначности либо к разным лексемам случай омонимии.
46258. Д.Б. Эльконин «Историческое происхождение развернутой формы игровой деятельности» 13.42 KB
  Алт для воспитания детей на ранних ступенях развития общества характерны следующие черты: вопервых одинаковое воспитание всех детей и участие всех членов общества в воспитании каждого ребенка; вовторых всесторонность воспитания каждый ребенок должен уметь делать все что умеют делать взрослые и принимать участие во всех сторонах жизни общества членом которого он является; втретьих кратковременность периода воспитания дети уже в раннем возрасте знают все задачи которые ставит жизнь они рано становятся независимыми от взрослых их...
46259. Парадигма ООП. Классы и объекты. Области видимости. Конструкторы. Деструкторы 13.32 KB
  Наследование позволяет создавать иерархию объектов, в которой объекты-потомки наследуют все свойства своих предков. Свойства при наследовании повторно не описываются. Кроме унаследованных, потомок обладает собственными свойствами
46260. Noun. The category of case 13.31 KB
  The ctegory of cse Cse is morphologicl ctegory of noun showing its reltions to other objects or phenomen mnifested in the noun declension. There re four theories concerning the cse system of English. The first is the ‘limited cse theory nd recognizes the system of two cses the common nonmrked member of the opposition nd possessive or genitive cse expressed by the suffix ‘s [s z iz]. The genitive cse of the bulk of the plurl nouns is expressed only by the grphic sign of the postrophe phoneticlly unexpressed.
46261. Значения параметров по умолчанию. Перегрузка функций и операторов. Дружественные функции 13.3 KB
  Дружественная функция объявляется внутри класса, к элементам которого ей нужен доступ, с ключевым словом friend. Дружественная функция может быть обычной функцией или методом другого ранее определенного класса.
46262. Правовая охрана изобретений, полезных моделей и промышленных образцов 13.27 KB
  Патент удостоверяет приоритет авторство изобретения полезной модели или промышленного образца и исключительное право на их использование.В отличие от функций патента срок его действия различается в зависимости от вида объекта промышленной собственности. Так патент на изобретение действует в течение двадцати лет считая с даты поступления заявки в Патентное ведомство.
46263. А.В. Запорожец «Основные проблемы онтогенеза психики» 13.19 KB
  Психологии сложная динамическая система взаимосвязанных процессов и явлений отдельные процессы развиваются не самостоятельно а в системе. психологии направлены на констатацию происходящих в психике возрастных изменений на изучение причин и законов на установление зависимости изменений от условий жизни ребенка. психологии наблюдение беседы сбор и анализ продуктов деятти разные виды эксперимента.