14633

Сопротивление материалов

Шпаргалка

Производство и промышленные технологии

1Изгиб. Определения. Основные типы балок и опор. Правило знаков. Деформационный изгиб вызывают внешние силы и моменты плоскость действия которых проходит через продольную ось бруса силы перпендикулярны продольной оси . Силовая плоскость – плоскость в которой действ...

Русский

2013-06-08

8.39 MB

12 чел.

1)Изгиб. Определения. Основные типы балок и опор. Правило знаков.

Деформационный изгиб вызывают внешние силы и моменты, плоскость действия которых проходит через продольную ось бруса (силы перпендикулярны продольной оси ).

Силовая плоскость – плоскость, в которой действуют внешние силы.

Главная плоскость инерции – это плоскость, проходящая через продольную ось и одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения (главные центральные оси XY,XZ).

Плоский изгиб – если все силы приложенные к брусу лежат в одной плоскости Прямой изгиб - если силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей инерции бруса.

В этом случае изогнутая ось бруса лежит в силовой плоскости.

Косой изгиб - имеет место, если силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции бруса, в этом случае изогнутая ось не лежит в силовой плоскости

Силовая линия- это линия пересечения силовой плоскости с пл-тью поперечного сечения.

Нейтральная линия-это линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения

Основные типы балок и опор;

Балка-это брус работающий на изгиб.

1)Консоль

2) Двух опорная балка

Пролет- это расстояние между опорами

3)Двухопорная балка с консолью.

4) Многопролетная балка; 3-ех пролетная с консолью

5) Двухопорная балка с консолью и врезанным шарниром 

Два внутренних силовых фактора возникающие при прямом изгибе в поперечном сечении

1) поперечная сила Q

2) изгибающий момент М

который определяют с помощью метода

сечения (силовая плоскость X0Y (Qy0,Мz0)и силовая плоскостьX0Z(Qz 0, My0 )

Правило знаков:

-для Q

 a)при изображении

Положительно Q вращает по часовой стрелки элемент dx относительно любой точки внутри его. При вычислении внешняя сила вращающая отсеченную часть по часовой стрелки относительно центра тяжести поперечного сечения разреза любой точки внутри дает положительную внутреннюю силу

-для М

a)при изображении

b) при вычислении:

В поперечном сечении разреза мысленно представим заделку: внешняя сила (момент) изгибающая балку выпуклостью вниз (сжимающая верхние волокна) дает положительный внутренний момент.

Чистый изгиб имеет место, если в поперечных сечениях балки возникает только изгибающий момент.

Поперечный изгиб – это изгиб при котором в поперечных сечениях бруса возникают два внутренних силовых фактора Q#0,M(x)#0

2)Формула Журавского. Условие прочности по касательным напряжениям.

Формула Журавского;

τ=Q(x)Sz'''/b(y)Jz где τ-касательное напряжение в сечении с координатой х, в точке этого поперечного сечения с координатой у

Q(x)-перерезывающая сила в поперечном сечении х

SZ'''-статический момент части площади поперечного сечения отсекаемой прямой проходящей через рассматриваемую точку параллельную нейтральной оси

b(у)-ширина сечения на уровне рассматриваемой точки

JZ-момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси

Формула Журавского справедлива для массивных профилей, для тонкостенных, τ определяется методами теории упругости.

Гипотезы, положенные в основу вывода формул;

1)Во всех форма τ параллельна Q

2)Величина τ постоянна по ширине сечения. Величина τ зависит от координаты точки y, в которой вычисляется τ, то есть изменяется по высоте

Условия прочности по касательным напряжениям:

τmax≤[σ]≈0.6[σ]

3)Осевое растяжение (сжатие). Внутренние силы, напряженя, деформациию. Закон Гука. Условие прочности и жесткости.

Деформацию осевое растяжение (сжатие) вызывают-внешние силы,объемные,поверхностные результирующие которых совпадают с продольной осью,в этом случае в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила N (N#0).

Напряжение-параметр характеризующий величину и направление внутренней силы в каждой точке поперечного сечения

Полное напряжение-p=dR/dA

Нормальное напряжение- σ =dN/dA

Касательное напряжение- τy =dQy/dA, τz =dQz/dA

Величина напряжений τ и σ =отношению величины внутренней силы к единице площади.

N (Продольная сила). Величина N = сумме проекций на ось X всех внешних сил приложенных к рассматриваемой части бруса

Q y и Q z –перерезующие (поперечные)силы. Величина Qy и Qz =сумме на ось Y,Z всех внешних сил приложенных к рассматриваемой части бруса

М x (крутящий момент). Величина М x =сумме моментов относительно оси Х всех внешних сил приложенных к рассматриваемой части бруса

М y и М z (изгибающие моменты).Величины Мy и Мz =сумме моментов относительно осей Y и Z всех внешних сил приложенных к рассматриваемой части бруса

Пространственная система сил- ∑Fx =0, ∑Fy =0, ∑Fz =0, ∑MOMx =0,∑MOMy =0,∑ MOMz =0

Плоская система сил -∑ F x=0,∑ Fy=0, ∑ MOMz=0

Результирующие внутренних сил-N,Qy,Qz,Mx,My,Mz.

Гипотеза Бернулли; Поперечное сечение бруса плоское до деформации остается плоским и после деформации, тоесть продольные волокна удлиняются на одну и ту же величину.

Продольная деформация-изменение длины бруса в направлении действия силы

Поперечная деформация-изменение длины бруса перпендикулярно направлению действия силы

Абсолютная продольная деформация (удлинение)- Δ L=L1-L [M], [CM]

Относительная продольная деформация (удлинение)- εx=Δl/l

Абсолютная поперечная деформация - Δа=а1-а, Δв =в1-в[Б/Р]

Относительная поперечная деформация: εy=Δa/a

εz=Δb/b.

Коэффициент Пуассона: υ=|εy/εx|

Коэффициент Пуассона характеризует физ. свойства материалов – способность сопротивляться поперечной деформации

Закон Гука: σ =εE

Е- коэффициент пропорциональности, модуль Юнга, модуль продольной упругости или модуль упругости первого рода характеризует физ, свойства материалов- способность сопротивляться продольной деформации..

Условие прочности: σ ≤[ σ]

Условие жесткости: Δl≤[l]

4)Дифференциальные зависимости при изгибе. Правило контроля правильности построения эпюр.

Правила контроля эпюр с помощью диф. зависимостей;

1)если на участке балки отсутствует распределенная нагрузка, то эпюра Q-прямая параллельная оси эпюры. Эпюра моментов здесь – наклонная прямая.

2)если на участке имеется распределенная нагрузка, то эпюра Q-наклонная прямая, а М-парабола.

3)если на некотором участке;

а)Q>0,то М возрастает слева на право

б)Q=0,то М параллельно оси эпюры

в)Q<0,то М убывает слева на право

4)в точке, где эпюра Q пересекает ось х, эпюра М имеем экстремум.

5)под сосредоточенной внешней силой на эпюре Q наблюдается скачек ординаты (если сила +, то скачек вверх; –, то скачек вниз), а на эпюре М-излом, острие которого направлено на встречу действия силы

6)в начале и конце участка с распределенной нагрузкой параболические и прямолинейные части эпюры М сопрягаются плавно(если нет приложенных там сосредоточенных сил)

7)если q направлена вниз (q<0),парабола М направлена вверх (то есть навстречу q) и наоборот-q<0-выпуклость вниз

8)в сечении на свободном или шарнирно опертом конце балки М=0(если нет сосредоточенного момента),если есть сосредоточенный момент то равна этому моменту

9)под внешним моментом М на эпюре М наблюдается скачек на величину этого момента. На эпюре Q это не отражается. Если внешний момент сжимает верхние слои то скачек вверх, если сжимает нижние, то скачек вниз.

10)в сечении, совпадающим с заделкой, изгибающий момент и перерезывающая сила численно равны реактивному моменту и опорной реакции.

Дифференциальные зависимости при изгибе;

-первая диф. зависимость: q=dQ(x)/dx. Первая производная от перерезывающей силы по длине балки равна погонной нагрузке

-вторая диф. зависимость: Q(x)=dM(x)/dx.Величина Q(х)=-а tg угла наклона на эпюры М ( касательной эпюры) к оси эпюры

-третья диф. зависимость q=d² M(x)/dx²

Когда на рассматриваемом участке действует, кроме того, расспределенный момент интенсивностью m, H·м/м, формула принимает следующий вид;

dM/dx=Q+m

5)Статически неопределимые задачи. Основные понятия и определения. Особенности статически неопределимых конструкций.

Статически неопределимыми конструкциями наз. те в которых имеются лишние связи. Лишние с точки зрения обеспечения геометрической неизменяемости конструкции но необходимые для удовлетворения дополнительных требований констркции(прочность жесткость)

Статически неопределимыми задачами наз. те, в которых число неизвестных реакций больше числа ур-ий равновесия которое нужно составить для их определения

Порядок решения статически неопределимых задач ;

1)Определяем число неизвестных (n) реакций опор (внутренних усилий)

2)Определяем число ур-ий равновесия (m) которые можно

составить для рассматриваемой задачи

3)Определяем статической неопределимости задач.j=n-m

4)Составляем ур-ие совместности перемещений в кол-ве j(шт)

5)Решаем совместно m ур-ий равновесия и j ур-ий совместности перемещений. Определяем неизвестные реакции опор

Статически неопределимые задачи можно разделить на 5 типов зависимости от вида ур-ия совместности перемещения;

1)Стержень нагружен системой сил

2)Стержневая система

3)Стержни пересекаются в одной точке

4)Монтажные напряжения

5)Статически неопределимые конструкции с температурными нагружениями

Особенности статически неопределимых систем;

1)Статически неопределимы в стержневых системах распределения внутренних усилий N зависит от жесткости элемента

-чем больше жесткость, тем больше усилия на себя берет стержень

Сжатие-жесткость поперечного сечения бруса на растяжение

Жесткость бруса- ЕА/L

2)Если в статически неопределимой конструкции один из элементов выполнен не точно, то при сборке (до нагружения) в конструкции возникают монтажные напряжения

3)если статически неопределимая конструкция собиралась при температуре отличющаяся от температуре эксплуатации, то даже при отсутствии внешних сил при эксплуатации в элементах имеют место температурные напряжения

6)Нормальные напряжения при чистом изгибе. Условие прочности балок по нормальным напряжениям. Три типа задач при расчетах балок на прочность.

Три типа задач;

1)Проверочный расчет

а)для хрупких материалов

[σсжат]=(3….5)·[σрастяж]

Условия прочности

|мах.σсжат|≤[σсжат]

|махσрастяж|≤[σрастяж]

Проверяем мах. сжатое и мах. растянутое волокно;

max σсжат=М(х)умахсжат/Jz=M(x)/Wz, Wz=Jz/yмахсжат

умахсжат-мах расстояние от нейтральной оси до сжатого волокна

Wc-момент сопротивления сжатия поперечного сечения

Maxσрастяж=М(х)умахрастяж/Jz=M(x)/Wzрастяж

WZраст-момент сопротивления растяжения поперечного сечения

в)Для пластичных материалов

[σсж]=[σр]=[σ]

2)Проэктный расчет

Из условия прочности σ=М(х)/W≤[σ]

WZ≥М(х)/[σ], WZ-момент сопротивления поперечного сечения

WZ=JZ/ymax

а) для прямоугольного сечения

WZ=JZ/ymax, JZ=bh3/12,

ymax=h/2 b) для круглого сечения

 WZ=JZ/ymax, JZ=пd4/64, ymax=d/2

 c) для двутавра

Рассчитываем по формуле WZ

WZ=|Mmax|/[σ]

M max-из эпюра

Выбираем из таблицы больший и меньший двутавр, и с помощью табличных значений WZ для выбранных двутавров рассчитываем σ и сравниваем с [σ]. Подходящий тот двутавр, которого σ удовлетворяет условия прочности. Так же сравниваем с условием рациональности по формуле |σ-[σ]/[σ]|·100%≤5%, отклонение не должно превышать 5%.

Чистый изгиб имеет место, если в поперечных сечениях балки возникает только изгибающий момент

Опыты на резиновых моделях брусьев, на поверхность которых нанесена резиновая сетка, показывает:

1)что линия перпенд. продольным волокнам вдоль деформации остается перпендик. или прямой после деформации, следовательно справедлива гипотеза плоских сечений Бернулли и в поперечных сечениях не возникают касательные напряжения, иначе угол прямой изменился бы и имел бы параллелограмм, а не прямоугольник, так как происходил бы сдвиг слоев

2)верхние волокна с-d растягиваются, нижние e-f сжимаются, a-в не изменяет своей длины – нейтральный слой, тогда ρ – радиус кривизны нейтрального слоя, y-расстояние от некоторой точки до нейтрального слоя

Гипотеза о не надавливании слоев балки:

При чистом изгибе продольные слои бруса не оказывают давления друг на друга, а работают в состоянии осевого растяжения сжатия, отсюда для каждого волокна при осевом растяжении сжатии справедлив закон Гука: σ =Е·ε =Е ·y/p- формула для определения нормальных напряжений балки через кривизну ее изогнутой оси

σ –зависит от координаты точки, в которой вычисляется, чем больше y тем больше σ. При у=0, σ=0, отсюда в нейтральном слое σ=0.

Формула для определения нормальных напряжений балки через кривизну ее изогнутой оси: σ=E·y/ρ

σ- зависит от координаты точки в которой вычисляется, чем больше у тем больше σ. При у=0, σ=0, отсюда в нейтральном слое σ=0

у - расстояние от нейтрального слоя до волокна, в котором вычисляется напряжение

ρ - радиус кривизны

Элементарная внутренняя сила-σ·dA

Кривизна изогнутой оси бруса- 1/ρ

Кривизна нейтрального слоя балки (изогнутой оси бруса)- 1/ρ=М(х)/Е·JZ

Жесткость поперечного сечения бруса на изгиб- E·JZ.

Формула нормального напряжения при чистом изгибе- σ=E·(y/ρ)=EyM(x)/EJz=M(x)y/Jz,где

σ-напряжение в поперечном сечении с координатой х, в точке этого поперечного сечения с координатой у

М(х)-изгибающий момент в сечении с координатой х

JZ-момент инерции рассматриваемого поперечного сечения относительно нейтральной оси.

Прочность балки считается обеспеченной если мах. напряжение в опасном сечении не превышает допускаемого

Опасным считают сечения балки в котором М(х) имеет мах. значение.

7)Дифференциальное уравнение прогнутой оси балки. Определение деформаций балки методом начальных параметров.

Угол поворота сечения (θ) – это угол между плоскостями поперечных сечений до и после деформации

Угол θ также можно задать угол между недеформированной осью и касательной проведенной к изогнутой оси в рассматриваемой точке.

Θ=dy/dx.

Прогиб (у)- перемещение центра тяжести сечения в направлении перпендикулярном недеформированной оси бруса.

Изогнутая ось балки искривляется в силовой плоскости, тоесть сечения получают поступательные перемещение и поворачивается.

Перемещение вверх-у>0

Перемещение вниз-y<0

Угол поворота по часовой - <0. Угол поворота против часовой- >0.

Кривизна изогнутой оси балки;

1/ρ=M(x)/EJz

Точное уравнение изогнутой оси бруса;

1/ρ=(d2y/dx2)/[1+(dy/dx)2]3/2

Основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки;d2y/dx2=M(x)/EJZ

Закон изменения прогиба по длине балки;

y(x)=∫dx∫(M(x)/EJz)dx+cx+D

Производные постоянные С и D находятся из граничных условий;

а) для консоли:

ус=у(0), Qс=Q(0)=0

в) для двухопорной балки

уа=у(0)=0, ув=у(3а)=0

Пять правил метода начальных парамеров;

1)начало координат всегда помещаем в первую крайнюю левую точку точку оси бруса. Это начало оси Х для всех участков.

2)при составлении выражения М(х) всегда учитывают внешние силовые факторы расположенные слева от поперечного сечения разреза.

3)в выражении М(х) внешний момент МА умножают на скобку (х-а)0, где а –координата сечения в котором приложен момент МА

4)если распределенная нагрузка q обрывается до поперечного сечения разреза, то ее дополняют фиктивной q, а для восстановления действительных условий нагружения вводят в рассмотрение компенсирующую нагрузку q равную по величине но противоположную по направлению.

5)интегрируем не раскрывая скобки.

8)Геометрические характеристики сечений. Определение координат центров тяжести и моментов инерции сечения сложной формы.

Способность бруса сопротивляться деформации изгиб, кручение и др. зависит не только от свойств материала и его размеров, но и от формы поперечного сечения (при деформации растяжение, сжатие еще и от площади).

Геометрические параметры, учитывающие параметры геометрических сечений:

-Sy,Sz-статические моменты площади

-Jy,Jz,Jyz,Jp-моменты инерции поперечного сечения

-WyWz,Wp-моменты сопротивления поперечных сечений

Статический момент площади А относительно оси у. Это геометрическая хар-ка определяемая интегралом вида; Sy=∫AZdA, аналогично Sz=∫AydA [СМ³],[М³]. Если известны координаты центра тяжести плоских фигур: Sy=Zцентра тяжести• Α, Sz=Уц.т.•А, и наоборот Zцִт=Sy/A,yц.т..=Sz/A

Статический момент площади относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры равен 0

Центральные оси -это оси проходящие через центр тяжести фигуры

Моменты инерции:

a)Осевые

Jz=∫Ay2dA-момент инерции относительно оси z

 Jy=∫Az2dA-момент инерции относительно оси y [M4],[CM4]

b)Центробежный момент инерции.

Главные оси плоской фигуры –Jzy=∫AzydA-это оси относительно которых центробежный момент инерции =0,>0,<0

c)Полярный

=∫2dA={ρ2=z2+y2}=∫Az2dA+∫Ay2dA=Jy+Jz

Если плоская фигура имеет сложную форму, то ее разбивают на части для которых известны положения центра тяжести и формулы Sz, Sy, тогда Sz,Sy сложные фигуры вычисляются по формулам уЦ.Т. и ZЦ.Т. которые приведены ниже.

где А-площадь поперечного сечения, уЦ.Т. и ZЦ.Т.- это расстояние от осей центров тяжести данной части сложной фигуры, до соответствующего положения начальных осей.

Момент инерции для сложного поперечного сечения;

JZ=JZi, JУ=JУi 

где JZi=JZ+(aZZ1)2A, JУi=JУ+(aУУ1)2А, где JZ,JУ- моменты инерции простых фигур, аУУ1 и аZZ1-расстояния от осей центров тяжести простой фигуры до соответствующей оси центра тяжести поперечного сечения сложной формы.

9) Задачи курса «Сопротивления материалов». Объекты, изучаемые в курсе. Классификация внешних сил. Допущения относ. свойств материала. Допущения относительно характера деформации.

Сопротивление материалов - наука об инженерных методах расчета на прочность жесткость устойчивость. Прочность-способность элемента конструкции сопротивляться разрушению под действием внешних сил

Жесткость-способность элемента конструкции сопротивляться деформации под действием внешних сил

Устойчивость-способность элемента конструкции сохранять первоначальную форму упругого равновесия под действием внешних сил

Задачи курса сопр. мат.- расчеты на прочность, жесткость, устойчивость. В результате решения этих задач можно определить материал, форму, размеры элемента конструкции, обеспечивающий его работоспособность при рациональных затратах.

Брус - геометрическое тело один размер которого намного больше двух других

Ось бруса – геометрическое место точек центров тяжести поперечных сечений

Поперечное сечение - плоская фигура, которую получают пересечением бруса пл-тью перпендик. оси

Пластина – геом. тело образованное двумя плоскими поверхностями расстояние между которыми мало, или геом. тело, один размер которого намного меньше двух других

Оболочка – геом. тело образованное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало

Массив – геометрическое тело, все размеры которого соизмеримы

Внешние силы – объемные, поверхностные (сосредоточенные, распределенные, погонная, давление)

Внешние силы можно разделить на статические, динамические в зависимости от изменения нагрузки во времени

Статическая сила-сила которая нарастает медленно от 0 до мах. значения и больше не изменяется при этом все части конструкции находятся в равновесии

Объемные – приложенные к каждой точке объема занимаемого тела [н/м3],[кг/см3]

Поверхностные – результат контактного взаимодействия с сопряженными элементами конструкции или результат воздействия внешней среды

Сосредоточенные - площадка, по которой передается нагрузка намного меньше по сравнению с размерами взаимодействующих тел [н], [кг]

Погонная - распределена по линии (у площадки контакта один другого. [н/м], [кг/см]

Давление - размеры площадки соизмеримы [н/м2].

Гипотезы относительно свойств материала-

1)Материал однородный, то есть св-ва его сколь угодно малых и больших частей одинаковы

2)материал изотропный –св-ва его одинаковы во всех направлениях

3)Материал сплошной без раковинных пустот

4)Материал идеально упругий в определенных пределах нагружения, после снятия внешней нагрузки полностью восстанавливает форму и объем.

Гипотезы относительно характера деф-ции;

1)Перемещение точек тела, обусловленые его упругой деформацией, малы по сравнению с его размерами. Такие тела наз. линейно деформируемыми.

Принцип начальных размеров;

-изменение в расположении сил не следует учитывать при определении R(реакций опор) и внутренних усилий из ур-я равновесия

2)в определенных пределах нагружения перемещение точек тела пропорциональны приложенным внешним силам

Принцип Суперпозиции или Независимости действия сил;

-результат действия системы сил не зависит от последовательности нагружения ими конструкции и равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности.

10)Внутренние силы. Метод сечений. Общие и частные случаи нагружения.

Метод сечения предназначен для определения внутренних сил по известным внешним.

Внутренние силы (Внутренние силовые факторы)-те силы, которые появляются в теле при его деформации внешними силами.

 N (Продольная сила). Величина N = сумме проекций на ось X всех внешних сил приложенных к рассматриваемой части бруса

 Q y и Q z –перерезывающие (поперечные)силы. Величина Qy и Qz =сумме на ось Y,Z всех внешних сил приложенных к рассматриваемой части бруса

М x (крутящий момент). Величина М x =сумме моментов относительно оси Х всех внешних сил приложенных к рассматриваемой части бруса.

Мy и Мz (изгибающие моменты).Величины Мy и Мz =сумме моментов относительно осей Y и Z всех внешних сил приложенных к рассматриваемой части бруса.

 

Пространственная система сил- ∑Fx =0, ∑Fy=0, ∑Fz =0, ∑MOMx=0,∑MOMy=0, ∑MOMz=0

Плоская система сил - ∑F x=0,∑ Fy=0, ∑ MOMz=0

Результирующие внутренних сил-N,Qy,Qz,Mx,My,Mz.

Нагрузки, действующие на конструкцию, являются по отношению к ней внешними силами. Эти силы приложены к

тому или иному элементу конструкции по некоторым участкам его поверхности или распределены по его объему.

Нагрузку, приложенную к небольшим участкам поверхности бруса, все размеры которого малы по сравнению с его длиной, заменяют сосредоточенной силой, т.е. силой, приложенной к точке поверхности, и переносят к оси бруса. Точки приложения сил на оси бруса сосредоточенных моментов, возникающих при переносе сил, располагают в тех же поперечных сечениях, в которых приложены нагрузки.

Нагрузки, приложенные к участкам больших размеров (например, к поверхности бруса на участке, составляющем существенную часть его длины), при составлении расчетной схемы нельзя заменять сосредоточенными силами. Такие нагрузки на расчетной схеме остаются распределенными по поверхности или приводятся к распределенным по линии. При неравномерном распределении сплошной нагрузки или при перемен- ной ширине загруженного участка соответствующая нагрузка на расчетной схеме является неравномерно распределенной. Нагрузки, распределенные по объему тела, наз. объемными силами [кГ/см3 и др.]. К внешним силам, действующим на элементы конструкции, кроме нагрузок – активных сил, относятся так же реакции связей – реактивные силы. При составлении расчетной схемы в ряде случаев реальные нагрузки нельзя заменить одним лишь сосредоточенным и распре- ленными силовыми нагрузками. В этом случае, кроме силовых, появляются и моментные нагрузки в виде сосредоточенных моментов и моментов, распределенных по линии или по поверхности. Нагрузки различают не только по способу их приложения, но так же по длительности действия и характеру воздействия на конструкцию (статические, динамические). Постоянные нагрузки действуют на протяжении всего периода эксплуатации конструкции. Временные нагрузки действуют на протяжении ограниченного промежутка времени. Величина статической нагрузки нарастает медленно от 0 до мах. значения и больше не изменяется при этом все части конструкции находятся в равновесии. Динамическая нагрузка вызывает в конструкции или в отдельных ее элементах большие ускорения, которыми при расчете пренебречь нельзя. Временная нагрузка может сохранять более или менее постоянную величину в течение всего периода ее действия, а может непрерывно изменятся по некоторому закону переменная нагрузка. Если переменная нагрузка изменяется по циклическому закону, то она наз. циклической.

11)Дифференциальные уравнения изогнутой оси балки. Определение деформаций балки методом непосредственного интегрирования.

Угол поворота сечения (θ) - это угол между плоскостями поперечных сечений до и после деформации

Угол θ также можно задать угол между недеформированной осью и касательной проведенной к изогнутой оси в рассматриваемой точке.

Θ=dy/dx.

Прогиб (у)- перемещение центра тяжести сечения в направлении перпендикулярном недеформированной оси бруса.

Изогнутая ось балки искривляется в силовой плоскости, тоесть сечения получают поступательные перемещение и поворачивается.

Перемещение вверх-у>0

Перемещение вниз-y<0

Угол поворота по часовой - <0. Угол поворота против часовой- >0.

Кривизна изогнутой оси балки;

1/ρ=M(x)/EJz

Точное уравнение изогнутой оси бруса;

1/ρ=(d2y/dx2)/[1+(dy/dx)2]3/2

Основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки;d2y/dx2=M(x)/EJZ

Закон изменения прогиба по длине балки;

y(x)=∫dx∫(M(x)/EJz)dx+cx+D

Производные постоянные С и D находятся из граничных условий. Уравнение изогнутой оси бруса, или уравнение упругой линии балки, или уравнение описывающую кривизну прямой, то есть геометрического места точек, центров тяжести деформированной оси бруса –у=у(х).

Коротко говоря, при определении перемещений методом непосредственного интегрирования необходимо для каждого участка балки составлять выражения изгибающих моментов и производить интегрирования основного диф. уравнения изогнутой оси балки. Но при двух или большем числе участков балки применение этого метода становится затруднительным. Поэтому лучше применять для определения прогиба и угла поворота такие методы; Мор, Верещагин, Кастильян, метод начальных параметров.

12)Распространение касательных напряжений в балках прямоугольного и двутаврового профиля.

Формула для определения касательного напряжения в сечении с координатой Х (формула Журавского) - Q(Х)·S*Z/в(у)·JZ

Определим напряжения в точках на прямоугольном поперечном сечении (точки-1,2,3)

Точка 1; у=0, =М(х)·у/JZ

σ=0

Точка 2;у=h/2→ σ=(M(x)·(h/2)/JZ)≤σmax

S*Z=y*Ц.Т.·А*=уЦ.Т.·0=0

Q(Х)·S*Z/в(у)·JZ

τ=0

Точка С;

S*Z=у*Ц.Т.·А*={уЦ.Т.=1/2· ·((h/2)-у)+у,А*=в(у)((h/2)- -у))}=((h/4)-((у/2)+у)в(у)· ·((h/2)-у)=в(у)1/2((h/2)+у) ·((h/2)-у=(1/2)·в(у)[(h/2)2- -у2]=S*Z

в(у)=в

JZ=вh3/12

(Q(Х)·S*Z/в(у)·JZ=Q(x)· ·1/2·в·[(h/2)2-у2])/в·(вh3/ /12)=6Q(x)/(вh3/12)[(h/2)2 –y2]- закон предраспределения касательного напряжения по высоте прямоугольного сечения

Для точки 1 касательное напряжение можно определять по этой формуле.

Точка 3; у=h/2;τ=0

σ=(M(x)·(h/2)/JZ)

Точка 1;

У=0, τ=(6Q(x)/h3в)·h2/4= =3/2·(Q/hв)=3Q/2A

τmax- в точках принадлежащих нейтральной линии

τ=0-в точках максимально удаленных от нейтральной линии

Двутавровый профиль.

Точка 1; у=h/2, S*Z=у*Ц.Т.·А*, А*=0→τ=0

Точка 2; у=(h/2)-t

S*Z=y*Ц.Т.·A*={A*=вt, у*Ц.Т.=(h/2)-(t/2)}=1tв/2· ·(h-t)

Точка 2'; в(у)=в

(Q(Х)·S*Z/в(у)·JZ

Точка 2'';в(у)=d

Точка 3; у=0, S*Z=SZ max

13) Экспериментальное изучение свойств материалов. Диаграмма растяжения. Коэффициенты запаса прочности. Определение допускаемых напряжений.

Экспериментальные изучения свойств материалов

В результате эксперимента определяются параметры характеризующие физ. (υ,Е) и мех.(σупр,σпропор,σтекуч, σвремен) свойства материалов. Физ. свойства не зависят от напряженного состояния образца (растяжение, изгиб, кручение), а механические зависят. Всех эти величины мы определяем по диаграмме. Для начала чертим диаграмму в координатах «сила- удлинение». Но для изучения свойств материала значительно удобнее иметь диаграммы, построенные в координатах «напряжение – относительная деформация» (рис- ниже).

Пока растягивающие напряжения не достигают некоторой величины σПЦ., диаграмма представляет собой прямую линию, т.е. относительные удлинения Е прямопропорциональны удлинением σ; то есть, до этого предела справедлив закон Гука. Напряжение σПЦ. называется пределом пропорциональности.

σПЦ.=FПЦ./А0

А0-первоначальная (до деформации) площадь поперечного сечения образца. FПЦ .– максимальная сила, до которой F пропорционально ΔF.

После достижения условия пропорциональности следует участок- криволинейный, на котором присутствует предел упругости.

σУПР.=FУпр./А0

FУПР.- максимальная сила до которой сохраняются упругие силы образца.

Предел упругости- напряжение до которого сохраняются упругие свойства материала, тесть остаточная деформация при разгрузке не обнаруживается.

Начиная с момента, когда напряжения достигнуть некоторой величины σТ., деформации растут без увеличения напряжений, тоесть без значительного увеличения силы, и на диаграмме получается участок, параллельный оси абсцисс. Это явление наз. текучестью материала, а напряжение σТ.- пределом текучести. Участок диаграммы, параллельный оси абсцисс, наз. площадкой текучести.

σТ.=FT./A0

FT.- минимальная сила при которой начинает течь материал.

При дальнейшем растяжении образца напряжения, выдерживаемое образцом, наз. пределом прочности, или временным сопротивлением, и обозначается σТ.. Это напряжение соответствует точке 3 диаграммы. Последующее растяжение образца сопровождается уменьшением растягивающей силы. То есть, предел прочности представляет собой отношение наибольшей силы, которую выдерживает образец, к первоначальной площади его поперечного сечения.

σВ.=FMAX./A0

FMAX.-максимальная сила, которую выдерживает материал обраца до разрушения.

После достижения максимальной силы, при дальнейшем растяжении образца деформация происходит, главным образом, на небольшой длине образца. Это ведет к обрзованию местного сужения в виде шейки и к падению силы. Обозначим через FK. Величину растягивающей силы в момент разрыва, получим

σК.=FK./A0

Допускаемое напряжение может быть определено по формуле;

σ МАХ.≤[σ ]

[σ]=σ0/ n

где σ0-опасное напряжение (σТ. – для деталей из пластичного материала, σВР.- для деталей из хрупкого материала)

n- коэффициент запаса прочности, показывающий, во сколько раз допускаемое напряжение меньше опасного.

Выбор величины коэффициента запаса прочности зависит от состояния материала (хруп- кое или пластичное), характера приложения нагрузки (статическая, динамическая, повторно- переменная) и некоторых общих факторов. К этим факторам относятся;

1)неоднородность материала, а, следовательно, различие его механических характеристик в малых образцах и деталях.

2) неточность задания величин внешних нагрузок.

3)приближенность расчетных схем и некоторая приближенность расчетных схем.

Для пластичных материалов в случае статической нагрузки опасным напряжением, следует считать предел текучести, т. е. σ0=σТ., а n=nТ.. Тогда

[σ ]=σ0/n=σТ./nT.

Для хрупких материалов при статической нагрузке опасным напряжением является временное сопротивление и тогда

[σ ]=σ0/n=σВ../nВ.

Принимают, что запас прочности nВ.=2,5 до 3,0

Основная задача сопротивления материалов – обеспечить надежные размеры деталей, подверженных тому или иному силовому, температурному или другому воздействию. Такие размеры можно определить из расчета на прочность и жесткость. Отметим прежде всего, что опасность наступления разрушения характеризуется не столько величинами внутренних усилий и моментов в сечении, сколько величинами нормальных наибольших и касательных напряжений, которые действуют в опасных точках сечения. поэтому величины наибольших напряжений из условия надежности работы детали необходимо ограничивать некоторыми допустимыми напряжениями. Допускаемые напряжения можно обозначать [σ+] – при растяжении, [σ-]-при сжатии

Так допускаемые напряжения можно находить из формул запаса прочности.

14)Геометрические характеристики сечений. Моменты инерции относительно параллельных осей.

Способность бруса сопротивляться деформации изгиб, кручение и др. зависит не только от свойств материала и его размеров, но и от формы поперечного сечения (при деформации растяжение, сжатие еще и от площади). Геометрические параметры, учитывающие параметры геометрических сечений:

-Sy,Sz-статические моменты площади

-Jy,Jz,Jyz,Jp-моменты инерции поперечного сечения

-WyWz,Wp-моменты сопротивления поперечных сечений

Статический момент площади А относительно оси у. Это геометрическая хар-ка определяемая интегралом вида; Sy=∫AZdA, аналогично Sz=∫AydA [СМ³],[М³]. Если известны координаты центра тяжести плоских фигур: Sy=Zцентра тяжести• Α, Sz=Уц.т.•А, и наоборот Zцִт=Sy/A,yц.т..=Sz/A

Статический момент площади относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры равен 0

Центральные оси -это оси проходящие через центр тяжести фигуры

Моменты инерции:

a)Осевые

Jz=∫Ay2dA-момент инерции относительно оси z

 Jy=∫Az2dA-момент инерции относительно оси y [M4],[CM4]

b)Центробежный момент инерции.

Главные оси плоской фигуры –Jzy=∫AzydA-это оси относительно которых центробежный момент инерции =0,>0,<0

c)Полярный

=∫2dA={ρ2=z2+y2}=∫Az2dA+∫Ay2dA=Jy+Jz

Пусть известны моменты инерции бесконечно малой фигуры dF относительно центральных осей Z,y;

Jz=∫Fy2dF-момент инерции относительно оси z

 Jy=∫Fz2dF-момент инерции относительно оси y

Jyz=∫FzydF

Определим моменты инерции относительно осей, параллельных центральным;

Jy1z1=∫Fz1y1dF

Jy1=∫Fz21dF

Jz1=∫Fy21dF

Координаты любой точки в новой системе z1O1y1 можно выразить через координаты в старых осях так;

z1=z+b, y1=y+a

Подставляем эти значения в формулы (те которые выше) и интегрируем почленно;

Jz1=∫Fy21dF=∫F(y+a)2dF= =∫Fy2dF+a2∫FdF+2a∫FydF

Jy1=∫Fz21dF=∫F(z+b)2dF= =∫Fz2dF+b2∫FdF+2b∫FzdF

Jy1z1=∫Fz1y1dF=∫F(z+b)(y+ +a)dF+ab∫FdF+a∫FzdF+b· ·∫FydF

Так как интегралы ∫FdF= =SZ,∫FzdF=Sy равны нулю как статические моменты относительно центральных осей, то формулы принимают вид;

JZ1=JZ+a2F

Jy1=Jy+b2F

Jz1y1=Jzy+abF

Cследовательно; 1) моменты инерции фигуры относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллель- ной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат рас- стояния между этими осями. 2)центробежный момент инерции относительно любой системы прямоугольных осей равен центробежному моменту относительно системы центральных осей, параллельных данным, плюс, произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести в новых осях.

Р.S.Координаты а,b, входящие в формулу следует подставлять с учетом их знака.

15)Вычисление момента инерции при повороте осей. Главные оси инерции и главные моменты инерции.

Пусть известны моменты инерции бесконечно малой фигуры dF относительно центральных осей Z,y;

Jz=∫Fy2dF-момент инерции относительно оси z

 Jy=∫Fz2dF-момент инерции относительно оси y

Jyz=∫FzydF

Повернем оси у,z на угол α против часовой стрел- ки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным. Определим моменты инерции сечения относительно повернутых осей z1,y1;

Jy1z1=∫Fz1y1dF

Jy1=∫Fz21dF

Jz1=∫Fy21dF

Координаты произвольной элементарной площадки в новых осях z1,y1 выражаются через координаты z,y прежней системы осей следующим образом;

Z1=OC+AD=zcosα+ysinα

y1=CB=BD-EA=ycosα-zsinα

Подставим эти значения в формулы моментов инерции (выше) и проинтегрируем почленно;

Jz1=∫F(ycosα-zsinα)2dF= =c =cos2αFy2dF+sin2α∫FZ2dF- -sin2αFyzdF

 Jy1=∫F(zcosα+ysinα)2dF= =sin2αFy2dF+cos2αFZ2dF+sin2α∫FzydF 

Jy1z1=∫F(zcosα+ysinα)(ycosα-zsinα)dF=(cos2α-sin2α) ∫FzydF+(1/2)sin2α(∫Fz2dF-∫Fz2dF)

Окончательно находим;

Jz1=Jzcos2α+Jysin2α-Jzysin

Jy1=Jycos2α+Jzsin2α-Jzysin

Jz1y1=Jzycos2α-(1/2)(Jy-Jz)· ·sin2α

Опр. гл. осей и гл. моментов инерции.

Наибольшее значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю.

JUV=0

Чтобы определить положение главных центральных осей повернем произвольную начальную систему центральных осей z,y на некоторый угол α0, при котором центробежный момент инерции становится равным нулю;

Jz1y1=JVU=0

Тогда из формулы

Jz1y1=Jzycos2α-(1/2)(Jy-Jzsin2α

получим

Jz1y1=Jzycos2α0-(Jy -Jz)2(sin2α0)

Откуда

tg2α0=2Jzy/Jy-Jz

Откуда найдем два угла (острый и тупой) отличающиеся на 90 градусов. Откладываем от оси z и получаем положение оси U (ось V перпендикулярна U)Значения главных моментов инерции из формул;

Jz1=Jzcos2α+Jysin2α- Jzysin

Jy1=Jycos2α+Jzsin2α-Jzysin2α, прехода к повернутым осям, приняв α=α0

Jz1=Jzcos2α0+Jysin2α0 -Jzysin2α0

Jy1=Jycos2α0+Jzsin2α0-Jzysin2α0

Если исключить α0 из трех уравнений (Jz1,Jy1, Jz1y1), то получим формулу для вычисления моментов инерции относительно главных центральных осей.

JU=1/2[(Jz+Jy)±√(Jz-Jy)2+4J2zy]

JV=1/2[(Jz+Jy)±√(Jz -Jy)2+4J2zy]

Свойства главных центральных осей;

1)относительно этих осей центробежный момент инерции равен 0

2)относительно V,U моменты инерции имеют экстремальные величины

3)если плоская фигура имеет ось симметрии, то эта ось одна из главных центральны, вторая проходит через центр тяжести фигуры и перпендикулярна первой.

16) Формула Эйлера для определения критической нагрузки сжатого стержня.

Определим величину силы F, при которой форма равновесия становится неустойчивой (минимальную величину силы, при которой становится неустойчивой). Вывод основуется на допущениях:

1) Напряжение в сечениях бруса не превышает предела пропорциональности (напряжение, до которого сохраняется закон Гука), т.е. материал работает в пределах упругости.

2) Деформации бруса равны по сравнению с его размерами, тогда можно применять диф-е ур-е изогнутой оси бруса.

d2W/dx2=M(x)/EImin; M(x)= –Fx;

d2W/dx2= –FW/EImin; W″+ +(F/EImin)W=0; k2=F/EImin; W(x)= Asinkx + Bcoskx;

1) при x=0:

W(0)=0; A∙0+B∙0=0; B=0.

2) при x=ℓ:

W(ℓ)=0: W(ℓ)=Asinkℓ=0; A≠0; sinkℓ=0; kℓ=πn; k=πn/ℓ. Приравнивая k к k2 получаем: n2π2/ℓ2 = F/EImin; F= n2π2 EImin /ℓ2; при n=1→Fmin=Fкр

Fкр=π2EImin/ℓ2 – формула Эйлера.

W(x)=Asinkx; Wmax при х-?:

Wx(x)=Akcoskx=0; coskx=0; kx= π/2; x=π/2k; Wmax=A∙1=fA=f.

W(x)=fsinkx – закон изменения деформации стержня по длине бруса. Определим геометрический смысл n.

х (координата)=π/2k – координата max. прогиба.

x=π/2k={k=/ℓ}=πℓ/2=ℓ/2n;

xmax=ℓ/2n.

Для n=1: Fкр=x2EImin/ℓ2;

Для n=2: Fкр=4π2EImin/ℓ2;

Для n=3: Fкр=9π2EImin/ℓ2;

n показывает сколько полуволн укладывается на длине бруса при потере устойчивости под действием Fкр.

Iz=bh3/12; Iy=bh3/12; Iz >> Iy;

Iz – ось наибольшей жесткости. EIz – жесткость поперечного сечения бруса на изгиб. Iy – ось наименьшей жесткости. Плоскость xOz перпендикулярна оси наименьшей жесткости. При продольном изгибе бруса (потере его устойчивости) изогнутая ось лежит в плоскости перпендикулярной оси наименьшей жесткости. Ось y – нейтральная ось. Если для бруса IzIy, то всегда при потере устойчивости изогнутая ось лежит в плоскости перпендикулярной оси наименьшей жесткости, и в формулу Эйлера подставляем наименьший из моментов инерции. Рациональной формой поперечного сечения для сжатого длинного и тонкого бруса будет та, у которой моменты инерции Iz = Iy (обладающие центральной симметрией и имеющие момент инерции при наименьшей площади).

А1=А2; I1>>I2; 1 рациональней 2.

17) Предел применимости формулы Эйлера. Расчеты на устойчивость.

Критическое напряжение σкр – это напряжение, которое возникает в сжатом брусе при нагрузке F=Fкр.

σкр=Fкр/A=π2EImin/Aℓ2={Imin/A= i2min}=π2E/(ℓ/i)2 – для шарнирно опертого бруса.

λ пред ={предельная гибкость}= √(π2E/σпропорц) – зависит только от свойств материала.

λ ≥√(π2E/σпропорц); λ пред ≥ λ; При решении задачи на устойчивость надо делать проверку:

– посчитать λ для рассматриваемого бруса.

– сравнить с λпред, взятым из таблиц.

Если λ< λпред, то расчет ведут по формулам Ясинского, или только на сжатие в зависимости от величины λ.

Формула Ясинского: σкр=a-. Формула Ясинского для конструкционных материалов; a и b получены экспериментальным путем, их берут из таблиц. σкр=π2E/λ2; При расчетах брусьев на сжатие, необходимо определить геометрическую характеристику λ из таблиц для рассматриваемого материала, выбрать величины из таблиц λ0 и λпред, и после этого определиться по каким формулам следует вести расчет на сжатие.

18) Сложное сопротивление. Изгиб с кручением брусьев. Условие прочности.

Деформацию изгиба с кручением вызывают внешние силы перпендикулярные продольной оси, но не проходящие через нее (внешние силы и моменты лежат в плоскости, которая не проходит через продольную ось).

Рама – жесткое соединение не скольких брусьев (получают сваркой). (Каждый брус работает на растяжение сжатие, изгиб кручение).

Ферма соединение брусьев с помощью шарниров.

Расчет на прочность ведут по эквивалентным напряжениям, которые вычисляются по одной из теории прочности. Валы изготавливают из пластических материалов, для которых хорошо зарекомендовали себя 3 и 4 теории прочности.

19) Внецентренное растяжение (сжатие) брусьев. Эпюра напряжений. Условие прочности.

Деформацию и внецентренное растяжение (сжатие) вызывают внешние силы, результирующие которых параллельны продольной оси, но не совпадают с ней.

Внутренние силовые факторы определяем из уравнений равновесия отсеченной части:

1. Fx=0: N(x)-F=0; N(x)=F;

2. Fy=0: Qy(x)+0=0; Qy(x)=0;

3. Fz=0: Qz(x)+0=0; Qz(x)=0

4. momx=0: Mx(x)+0=0; Mx(x)=0

5. momy=0: My(x)-F∙zF=0; My(x)=F∙zF;

6. momz=0: Mz(x)-FyF=0; Mz(x)=Fyz;

Следовательно, брус испытывает пространственный изгиб с растяжением. По принципу суперпозиции:

σ =σ(1)+σ(2)+σ(3)=(F/A)∙[1±yFy/i2z± zFz/i2y] – формула для вычисления напряжен. в точке с координ. z, y. Для проведения расчета на прочность необходимо знать величины max напряжений σmax растягивающих и сжимающих. Для этого необходимо знать координаты точек max удаленных от нейтральной линии. Получим уравнение нейтральной линии. При внецентренном растяжении пользуются формулами:

σ =(F/A)∙[1+yFy/i2z+zFz/i2y]. При сжатии:

σ =(–F/A)∙[1+yFy/i2z+zFz/i2y]. Знак перед слагаемыми изгиба ставится в зависимости от того, каким волокнам, растянутым или сжатым, принадлежит рассматриваемая точка.

Нейтральная линия – линия в поперечном сечении во всех точках которой σ =0. Следовательно:

(F/A)∙[1+yFy/i2z+zFz/i2y]=0;

z/az+y/ay=1 – уравнение нейтральной линии в отрезках, где az=–i2y/zF; ay=–i2z/yF.

σв=F/A+FyFyB/Iz+FzFzB/Iy;

Условие прочности для хрупких материалов:

max σp=σв=F/A(1+yFyB/i2z+ zFzB/i2y)≤ [σp];

max σсж=σд=F/A(1-yFyД/i2z- zFzД/i2y)≤ [σсж]; Знак «–» указывает на то, что волокно испытывает сжатие.

Условие прочности для пластичных материалов (берем max по абсолютной величине σ):

max σ=σв=F/A(1+yFyB/i2z+ zFzB/i2y)≤ [σ];

20) Косой изгиб. Эпюра нормальных напряжений. Вычисление прогиба. Условие жесткости и прочности.

Деформацию и косой изгиб вызывают внешние силы и моменты, лежащие в одной плоскости, проходящей через продольную ось бруса, но не совпадающей ни с одной из главных плоскостей инерции бруса.

«*» – силовая линия.

Касательные напряжения малы по сравнению с нормальными

напряжениями в поперечном сечении бруса, поэтому расчет на прочность ведут по нормальным напряжениям σ, которые определяют с использованием принципа суперпозиции как сумму σ от изгибающих моментов MZ и MY.

Условия прочности для хрупкого материала:

max σp=σв=МZ(x)yB/IZy(x)zB/Iy ≤ [σp];

max σс=σд=МZ(x)yД/IZy(x)zД/Iy ≤ [σс];

В формулы для вычисления σ подставляются абсолютные величины параметров, а знак ставится перед дробью с учетом характера напряжений в рассматриваемой точке. Тогда:

σд= -МZ(x)yД/IZy(x)zД/Iy

Для пластичных материалов в условии прочности сравниваются максимальные по модулю напряжения с соответствующими допускаемыми.

Прогиб свободного конца бруса находим, используя принцип суперпозиции.

f=√(f2y+f2z); fy=Fyl3/3EIz; fz= Fzl3/3EIy; Находим угол между направлением полного прогиба и осью z: tgφ=fy/fz=tgψ, где ψ – угол между направлением полного прогиба и осью z. Направление полного прогиба – линия пересечения плоскости, в которой лежит ось z, с плоскостью поперечного сечения.

tgψ=-1/tgφ, т.е. направление полного прогиба перпендикулярно нейтральной линии.

21)Кручение бруса круглого поперечного сечения. Определение напряжений и углов закручивания. Расчет на прочность и жесткость.

Деформацию, кручение вызывают пары внешних сил, плоскость действия которых перпендикулярна продольной оси бруса. Брус, работающий на кручение – балка.

Правило знаков для крутящих моментов (внутренних), возникающих в поперечном сечении под действием скручивающих (внешних): внешний момент считается положительным, если он вращает отсеченную часть вала против часовой стрелки, относительно продольной оси (следует смотреть со стороны поперечного сечения разреза). Знак физического смысла не имеет!

Напряжение и деформацию определяем для брусьев кольцевого и круглого поперечных сечений. Касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении в каждой ее точке перпендикулярны радиус-вектору этой точки.

T(x)=∫aτdAρ=∫aτρdA

Крутящий момент Т(х) равен сумме моментов всех элементарных внутренних сил da, возникающих в поперечном сечении разреза относительно продольной оси.

Гипотезы, положенные в основу вывода формулы:

Сечения до де

формации остаются плоскими, и после деформации.

Радиус-векторы точек сечения в процессе деформации не искривляются.

- угол закручивания или угол взаимного поворота 2 сечений, отстоящих на расстоянии ℓ. θ=/dx=γ/ρ – относительный угол закручивания, γ – угол сдвига.

Закон Гука при кручении

τ = σ + γ; σ =Еε; IР-полярный момент инерции. Т(х)= ∫АτρdA = ∫А{(σθρ)ρdA/τ} =σθIP. σ-модуль сдвига – характеризует свойства материала. σIP жесткость поперечного сечения на кручение. Формула для вычисления взаимного угла поворота 2 сечений, находящихся на расстоянии l: φ=∫lT(x)dx/σIP

φ=Ki=1(T(x)li)/GiIPi, где к – число участков на которых величины Т,G,ρconst. Т(х)-крутящий момент в рассматриваемом сечении. ρ-полярный момент инерции поперечного сечения. ρ-координата точки, в которой мы вычисляем напряжение.

Эпюра τ в поперечном сечении вала.

Расчеты на прочность и жесткость при кручении.

Прочность вала считается обеспеченной, если max напряжения τmax в опасном сечении его не превышают допустимых.

Τmax≤[τКР]. Опасным для вала с =const будет то сечение, в котором Т(х) мах.   полярный момент сопротивления сечения вала.

=πd4/32; Iy=Iz= πd4/64; Iρ=Iy+Iz; Wρ= Iρ/(d/2)= πd3/16=0.2d3

С условия прочности вытекает 3 типа задач:

1) проверочный расчет.

2) проектный расчет.

T(x)/≤ [τКР]; ≥T(x)/[τКР]; πd3/16≥ T(x)/[τКР]; d≥3√(16T(x)/(π[τКР])) или d≥3√(T(x)/(0.2[τКР])).

Для кольцевого сечения:

=πD4/32 - πd4/32=(πd4/32)(1-e4);

C=D/d; =(πd3/16)(1-e3)

d≥ 3√ (16T(x)/(π(1-c3)[τКР])) или

d≥ 3√ (T(x)/(0.2(1-c3)[τКР])).

3) определение грузоподъемности:

из условия прочности имеем:

T(x)/≤ [τkp];

Расчет на жесткость: условие жесткости: φ=∫LT(x)dx/GIρ≤[φ]; [φ]=(4…17)10-3 рад/м. Если Т(х)=const и =const, то: φ=T(x)dx/GIρ≤[φ];

22)Практические расчеты на срез и смятие.

В соединениях соединительные элементы (заклепки, шпонки, штифты, болты, поставленные без зазора и др.) подвергаются деформации сдвига: одна часть детали сдвигается относительно др. под действием внешних сил.

В сечении детали, совпадающем с плоскостью контакта соединяемых деталей, возникает касательное напряжение среза τср. Это сечение соединительной детали (заклепки) – опасное сечение на срез.

Гипотезы, положенные в основу расчета:

1) В поперечных сечениях заклепки возникает только перерезывающая сила Q.

2) Во всех точках сечения τСР||Q

3) Вов всех точках среза τСР||Q, то внешняя сила между ними равна, т.е. если соединение осуществляется несколькими заклепками, то внешняя сила распределяется между ними равномерно: Fi=F/n, где F – нагрузка на соединение, n – кол-во заклепок, Fi– нагрузка, приходящаяся на одну заклепку.

Q- Fi=0; Q= Fi

τср=Q/Acp=Q/(Пd2/4)=Fi/(Пd2/4)=

=F/(nПd2/4).

Условия прочности заклепки на срез: τср=F/(nПd2/4)≤[τср].

Если прочность листов недостаточна, то они разрушаются от напряжений смятия или же растяжения.

Под действием внешних сил первоначально цилиндрическая плоскость контакта заклепки и листов деформируется (сминается). Первоначально круглые отверстия становятся овальными. Закон изменения σсм зависит от качества изготовления и технологии сборки соединения. Поэтому в инженерных расчетах предполагается, что σсм равномерно распределены по диаметральному сечению.

Условия прочности листов на смятие

σсм=Fi/Acм=F/ndδmin≤[σсм];

σр=Fi/(δmin(t-d));

23)Внецентренное растяжение (сжатие) брусьев. Ядро сечения.

Деформацию и внецентренное растяжение (сжатие) вызывают внешние силы, результирующие которых параллельны продольной оси, но не совпадают с ней.

Внутренние силовые факторы определяем из уравнений равновесия отсеченной части:

1. Fx=0: N(x)-F=0; N(x)=F;

2. Fy=0: Qy(x)+0=0; Qy(x)=0;

3. Fz=0: Qz(x)+0=0; Qz(x)=0

4. momx=0: Mx(x)+0=0; Mx(x)=0

5. momy=0: My(x)-F∙zF=0; My(x)=F∙zF;

6. momz=0: Mz(x)-FyF=0; Mz(x)=Fyz;

Следовательно, брус испытывает пространственный изгиб с растяжением. По принципу суперпозиции:

σ =σ(1)+σ(2)+σ(3)=(F/A)∙[1±yFy/i2z± zFz/i2y] – формула для вычисления напряжен. в точке с координ. z, y. Для проведения расчета на прочность необходимо знать величины max напряжений σmax растягивающих и сжимающих. Для этого необходимо знать координаты точек max удаленных от нейтральной линии. Получим уравнение нейтральной линии. При внецентренном растяжении пользуются формулами:

σ =(F/A)∙[1+yFy/i2z+zFz/i2y]. При сжатии:

σ =(–F/A)∙[1+yFy/i2z+zFz/i2y]. Знак перед слагаемыми изгиба ставится в зависимости от того, каким волокнам, растянутым или сжатым, принадлежит рассматриваемая точка.

Нейтральная линия – линия в поперечном сечении во всех точках которой σ =0. Следовательно:

(F/A)∙[1+yFy/i2z+zFz/i2y]=0;

z/az+y/ay=1 – уравнение нейтральной линии в отрезках, где az=–i2y/zF; ay=–i2z/yF.

Ядро сечения такая область в окрестности ц.т. сечения, что если внутри нее приложить внешнюю силу, напряжения в сечении будут одного з-н. Чтобы построить ядро сечения нужно «обкатать» н.л. вокруг сечения, т.е. размещать н.л. так, чтобы она касалась контура сечения, негде не пересекая его. При этом точка приложения силы даст контуры ядра сечения. Пример ядра сечения:

24)Основы напряженного состояния в точки. Главные площадки и главные напряжения. Прямая и обратные задачи. Линейное напряженное состояние.

Через произвольную точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, на которых возникает напряжение σ и τ, в общем случае отличающиеся друг от друга в зависимости от ориентации площадки. Совокупность напряжений, возникающих на множестве площадок, проведенных через рассматриваемую точку, называют напряженным состоянием в точке.

В окрестности точки В вырезаем элементарные параллелепипед. Поворачивая элементарный параллелепипед вокруг т.В, можно найти такое его положение, при котором на гранях действует только нормальное напряжение, а касательное будет равным 0. Теория упругости доказывает, что для любого тела при любой нагрузке для любой точки можно найти такую ориентацию параллелепипеда, и это будет единственное его положение. Такие площадки, на которых действуют нормальные напряжения, называются главными. Напряжения σ на этих площадках – главные напряжения. Направления σ – главные направления. Р – полное напряжения на рассматриваемой площадке. Если в задаче одно из главных напряжений не равно 0, то такие задачи называются одноосными или линейными. Если не равны 0 два главные напряжения – двухосные или плоские. Если не равны 0 три главные напряжения – трехосные или пространственные.

Прямая задача:

– нормаль к площадке Аα; n – нормаль к площадке наибольшего главного напряжения; α – острый угол между и n, причем если поворот от n к по часовой стрелке, то α – отрицательный, если против – положительный.

Дано: σ1; σ2; α.

Определить: σα, τα, σβ, τβ.

σα – результат действия σ1 и σ2.

Обратная задача:

Дано: σα, τα, σβ, τβ.

Найти: σ1; σ2; α.

Решая совместно системы (3) и (4) получим:

σ1=½[(σα+σβ)+√((σασβ)+4τ2α)];

σ2=½[(σα+σβ)–√((σασβ)+4τ2α)];

σ1 – напряжение алгебраически больше из двух полученных. Если одно из двух чисел отрицательно, то имеем σ1 и σ3. Если оба отрицательны, то σ2 и σ3. Если α отрицательное, то по часовой стрелке. Если α положительное, против часовой. Получаем направление σ1, т.е. наибольшее главное напряжение.

Линейное напряженное состояние.

– нормаль к сечению Аα; n – нормаль к поперечному сечению; α – положительное – против часовой стрелки; σ – положительное – направлена вдоль внешней нормали к рассматриваемой площадке; τ – положительное – если стремится повернуть рассматриваемый элемент по часовой стрелке относительно любой точки внутри его.

Сумма напряжений на двух взаимно перпендикулярных наклонных площадках всегда равна напряжению в поперечном сечении, независимо от ориентации площадки. Наибольшее касательное напряжение возникает на площадках под углом 45 градусов к главным.

25)Плоское напряженное состояние. Анализ формул.

– нормаль к площадке Аα; n – нормаль к площадке наибольшего главного напряжения; α – острый угол между и n, причем если поворот от n к по часовой стрелке, то α – отрицательный, если против – положительный.

Анализ формул (3) и (4):

σα+σβ=σ1(sin2α+cos2α)+ +σ2(sin2α+cos2α)=σ1+σ2; Сумма напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках всегда равна сумме главных напряжений, независимо от ориентации площадки.

Вывод: экстремальными значениями для σα и σβ являются главные напряжения, т.е. σ2≤σα≤σ1; σ2≤σβ≤σ1. Касательные напряжения τ имеет максимальные величины на площадках α=±45º от направления σ1. τα=-τβ. Получили подтверждение закона парности касательного напряжения: τ на двух взаимно перпендикулярных площадках всегда равны по величине и противоположны по направлению.

26)Деформации при плоском напряженном состоянии. Обобщенный закон Гука.

Дано: σ1 и σ2.

Найти: ε1 и ε2, т.е. относительную деформацию бесконечно малого элемента в окрестности рассматриваемой точки.

ε1=ε1'+σ1"; ε2=ε2'+σ2", где ε1' и ε2' – результат действия σ1;

σ1" и σ2" – результат действия σ2.

Рассмотрим плоское деформированное состояние как сумму двух одноосных, для которых закон Гука: σε.

Продольная: εХ;

поперечная: εY=-υεX; εZ=-υεX.

ε1'=σ1/E; σ2"=σ2/E;

27)Энергия деформации при изгибе. Интеграл Мора. Порядок решения задач методом Мора.

Теорема Клайперона.

Работа внешней силы (момента) равна половине произведения конечного значения этой силы (момента) на конечное значение соответствующего перемещения (угла поворота), имеющ. в виду статические силы, т.е. увеличивающийся от 0 до конечного значения, и больше не изменяя свое значение. При действии системы сил работа равна половине суммы произведений: А=1/2ni=1Fii, где ∆i  перемещение точки под силой Fi, величина которого зависит от всех приложенных к системе сил.

dU=M2(x)dx/(2EIZ) – элементарная потенциальная энергия деформации балки (точнее элемента dx) работающей в состоянии чистого изгиба.

Чтобы получить энергию деформации всей балки U необходимо проинтегрировать выражение по длине балки.

U=ik=1∫0LiM2(x)dx/2EIZ – потенциальная энергия деформации балки при чистом изгибе, где Li – длина i-го участка балки, на котором законы М(х), Е, IZ постоянны (одинаковы); k – количество участков балки.

Интеграл Мора.

Дана линейно деформируемая балка. Требуется определить перемещение т.К. под действием силы F.

ΔFF – перемещение точки под силой F в направлении силы F (первый индекс) от действия силы F (второй индекс).

ΔКF– перемещение т.К. (1ый индекс) от действия силы F (2ой индекс).

Рассмотрим вспомогательную систему: данную балку освобождаем от внешней нагрузки и в т.К. прикладываем фиктивную силу P.

1) Работа силы Р на перемещении ΔКР равна потенциальной энергии деформации балки под действием силы P.

Ар=Up; Ap=½PΔКР; Up=i=1k∫Li(Mp2(x)/2EIZ)dx.

Слагаемым от Qy при поперечном изгибе пренебрегаем, т.к. действие Qy на напряженное состояние незначительно (τ<<σ).

½PΔКР=i=1k∫Li(Mp(x)/2EIZ)dx.

2) К балке, уже деформируемой силой Р, статически прикладываем силу F. Работа силы F на перемещение ΔFF равна потенциальной энергии деформации балки от силы F.

½FΔFF=ik=1∫Li(MF2(x)/2EIZ)dx.

3) Работа силы Р на перемещение ΔKF: AKF = РΔKF – нет ½, т.к. сила Р уже имела коночное значение.

4) Суммарная работа внешних сил: А=АPFKF; U= ik=1∫Li([MP(x)+MF(x)]2/2EIZ)dx; A=UPΔKF= ik=1∫Li((MP(x)+MF(x))/EIZ)dx.

ΔKF=iLi((MP(x)/P)MF(x)dx)/EIZ.

MP(x)/P=M1(x) – закон изменения на i-ом участке изгибающего момента, вызванного действием единичной (безразмерной) силы (момента), приложенной в той точке, перемещение (угол поворота) для которой определяется:

ΔKF=iLi((MF(x)M1(x)dx)/EIZ) – интеграл Мора.

ΔKF – обобщенное перемещение точки К от заданной системы сил.

MF(x) – закон изменения на i–ом участке изгибающего момента, вызванного действием внешних сил, приложенных к балке.

Если определяется прогиб балки, то в точке К прикладывается единичная сила по направлению искомого перемещения. Если определяется угол поворота, то единичный момент.

Порядок решения задач методом Мора.

1) Для заданной балки на каждом участке записываем законы изменения MF(x).

2) Освобождаем балку от внешней нагрузки.

3) В т. К по направлению искомого перемещения прикладываем единичную силу (момент) и для каждого участка записываем законы М1(х).

4) Подставляем MF(x), M1(x) в интеграл Мора и вычисляем его. Если полученное ΔKF имеет знак «–», то действительное перемещение точки имеет направление противоположное единичной силе.

28)Энергия деформации при изгибе. Теорема Кастильяна.

Пусть балка нагружена системой сил Т и силой F. Требуется определить перемещение точки под силой F в ее направлении.

Определим потенциальную энергию деформации балки силами Т и F, которая равна работе, совершаемой этими силами на перемещениях точек, в которых силы приложены.

Запишем выражение для U (потенц. энергия) с учетом последовательности нагружения балки внешними силами.

1) К балке прикладываем силу F, тогда потенциальная энергия деформации системы силой F: UFFΔFF.

2) Прикладываем систему сил Т, под действием которой точка под силой F получит дополнительное перемещение ΔFT. Сила F на перемещение ΔFT совершает работу : АFT= FΔFT

(Нет 1\2, т.к. сила F уже имела конечное значение; есть 1/2, если сила статически приложена, т.е. во время совершения работы она увеличивается от 0 до конечного значения без рывков и ударов медленно).

Потенциальная энергия деформации равна работе всех сил на их перемещение: UF+AFT+UTT 

Где UTT –потенциальная энергия, накапливаемая балкой в результате ее деформации силами системы Т.

UFΔFT +FΔFT+UTT

Введем новый параметр: удельное перемещение [δ] – перемещение точки под единичной силой F¯=1Н в направлении ее действия, если вместо силы F приложить единичную силу в ее направлении, то получим перемещение ΔFF.

ΔFF=FδFF – связь истинного и удельного перемещения.

UF2ΔFF+FΔFT+UTT 

Возьмем частную производную по F от U:

U/∂F=FδFF+ΔFT=ΔF – полное перемещение точки под силой F в ее направлении от действия всех сил приложенных к балке (F+Т).

Теорема Кастильяна: Перемещение точки под силой в ее направлении, равно частной производной от потенциальной энергии деформации системы по этой силе.

U=in=1∫LiM2(x)dx/2EIZ; ΔF=∂U/∂F= =iLi((M(x)/EIZ)(∂M/∂F)dx).

Метод Кастильяна используют для определения перемещений в оболочках, пластинах, массивах.

Если необходимо найти перемещение точки, в которой не приложена внешняя сила, то

1) В т.К прикладываем фиктивную силу по направлению искомого перемещения (если нужно определить угол поворота θ, то прикладываем фиктивный момент).

2) Записывают выражение М(х) с учетом FФ (реакции опор находят с учетом FФ).

3) Записывают интеграл метода Кастильяна в который уже включили производную от М(х) по FФ, т.е. ∂М(х)/∂FФ. В этом интеграле вместо FФ пишем нуль.

4) Интегрируем и получаем результат.

29)Потенциальная энергия деформации. Гипотезы прочности.

U=∫(M2(x)dV/(2EIz)); U равно половине произведения внешней силы на перемещение точки под этой силой (сумме произведений), что есть работа внешних сил на перемещениях точки под ними.

Для одноосного напряженного состояния:

U= ½FΔl; UFΔl/(Al)=σε/2= σ2/2E;

При трехосном (пространственном напряженном состоянии):

U=σ1ε1/2+σ2ε2/2+σ3ε3/3=(1/2E)(σ12+σ22+σ32-2υ(σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1))

При деформации тела (пространственное) не только происходит изменение его объема, но и изменение формы (кубик → параллелепипед). U=UV+UФ, где UV – удельная потенциальная энергия изменения объема,

UФ – удельная потенциальная энергия формообразования (формоизменения).

UV=(1-2υ/6E)(σ1+σ2+σ3)2;

UФ=(1+υ/6E)((σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2);

Гипотезы прочности:

Цель теории прочности – сравнить напряженное состояние пространственное, плоское с допускаемыми напряжениями, которые получены экспериментальным путем для одноосного напряженного состояния. Два напряженных состояния (например: трехосное и одноосное) равноопасны, если при увеличении главных напряжений в одно и тоже число раз эти напряженные состояния одновременно становятся предельными. Предельное состояние – состояние потери работоспособности. Для хрупких σв → разрушение, для пластичных материалов σт → потеря упругих свойств.

Напряжение при напряженном состоянии равно опасное данному трехосному напряженному состоянию называют эквивалентным (σэкв). При формулировании теории прочности выбирают один или несколько факторов, приводящих к потере работоспособности элемента конструкции (величина напряжений σ, τ, величина деформаций ε, удельная потенциальная энергия, накопленная в теле) разрабатывается теорией, в которых учитывается скорость нагружения, температура, напряженное состояние, давление и т.д.

1-я теория прочности – теория нормальных наибольших напряжений, в соответствии с которой предельное состояние в точке тела наступает, если максимальные σ равны допускаемым. σэкв1=σ1. Условие прочности: σ1≤[σ]. Для 2-х и 3-хосных н.с. дает погрешности, т.к. не учитывается σ2 и σ3, но хорошо работает для хрупких материалов.

2-я теория прочности – максимальная относительная деформация ε: предельное состояние наступает, если εmax превышает допускаемую величину. Условие прочности: εmax≤[ε]. Не применяется в настоящее время т.к. дает неудовлетворительные результаты.

3-я теория прочности – теория наибольших касательных напряжений: предельное состояние наступает, если, τmax превышает допускаемую величину τ. При 3-осном состоянии:

τmax=(σ1-σ3)/2;

При 2-осном состоянии:

τmax=(σ1-σ2)/2;

При 1-осном н.с.: [τ]=[σ]/2.

Условие прочности: τmax≤[τ].

((σ1-σ3)/2)≤([σ]/2); σэкв3≤[σ], где σэкв3=σ1-σ3.

Дает хорошие результаты для пластичных деформаций, но е учитывает σ2.

4-я теория прочности – энергетическая: предельное состояние наступает, если удельная потенциальная энергия формоизменения превышает допускаемую величину.

UФ≤[UФ]; UФ=(1+υ/6E)((σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2);

[UФ]=((1+υ)2[σ]2)/6E; σэкв4≤ [σ];

σэкв4=√(½[(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2]);

В настоящее время продолжается разработка теории прочности с целью учета мех. числа факторов, влияющих на работоспособность элементов конструкции и на свойство материалов, т.к. один и тот же материал в зависимости от температуры, скорости нагружения, напряженного состояния и др. ведет себя как хрупкий или пластичный. Чем больше факторов учитывает, тем достовернее результаты, тем меньше коэффициент запаса прочности.

30)Метод сил для расчета статически неопределимых систем.

В статически неопределенных задачах число неизвестных реакций опор больше числа уравнений равновесия, которые можно составить для определения реакций опор.

Мы дополняем уравнения равновесия условиями совместности перемещений.

После решения уравнения равновесия статическая неопределимость раскрыта.

Канонические уравнения метода сил.

В методе сил уравнения совместности перемещений, которые представляют собой условие равенства нулю перемещений точки под искомой реакцией опор, записывается в каноническом виде.

Те реакции, под которыми на перемещение накладывается ограничение в условие совместности перемещения, обозначаются Х.

Угол поворота в т.А равен 0. Из этого условия находим реактивный момент МА=Х1. Остальные реакции опор находим из уравнения равновесия.

Условие совместности перемещения для т.В ∆1=0 – полное перемещение (от заданных внешних сил и от искомых реакций опор, обозначаемых буквой Х) под силой Х1 в направлении ее действия. Δ1=Δ1F+Δ11=0. Δ1F – перемещение точки под силой Х1 в ее направлении от действия Х1. Δ11=Х1δ11, δ11 – удельное перемещение , т.е. это перемещение точки под силой Х1 в ее направлении от действия единичной (безразмерной) силы: х1ˉ=1. Δ1F+Х1δ11=0.

Подставляем в условие совместности:

Для системы n

-раз статически неопределимой необходимо n-условий совместности перемещений, т.е. приравниваем к 0 перемещение под n-реакциями опор. Тогда имеем систему n-уравнений для определения n-неизвестных.

где δij – удельное перемещение, т.е. перемещение точки под силой Хi в ее направлении от действия единичной силы Хjˉ=1. ΔiF – перемещение точки под силой Хi в ее направлении от действия всех заданных внешних сил.

Вопросы на экзамен по курсу «Сопротивление материалов»

Составители: Молчанов О.А., Степанько Д. Л.; Грабовец А.

1)Изгиб. Определения. Основные типы балок и опор. Правило знаков.

2)Формула Журавского. Условие прочности по касательным напряжениям.

3)Осевое растяжение (сжатие). Внутренние силы, напряжения, деформацию. Закон Гука. Условие прочности и жесткости.

4)Дифференциальные зависимости при изгибе. Правило контроля правильности построения эпюр.

5)Статически неопределимые задачи. Основные понятия и определения. Особенности статически неопределимых конструкций.

6)Нормальные напряжения при чистом изгибе. Условие прочности балок по нормальным напряжениям. Три типа задач при расчетах балок на прочность.

7)Дифференциальное уравнение прогнутой оси балки. Определение деформаций балки методом начальных параметров.

8)Геометрические характеристики сечений. Определение координат центров тяжести и моментов инерции сечения сложной формы.

9)Задачи курса «Сопротивления материалов». Объекты, изучаемые в курсе. Классификация внешних сил. Допущения относ. свойств материала. Допущения относительно характера деформации.

10)Внутренние силы. Метод сечений. Общие и частные случаи нагружения.

11)Дифференциальные уравнения изогнутой оси балки. Определение деформаций балки методом непосредственного интегрирования.

12)Распределение касательных напряжений в балках прямоугольного и двутаврового профиля.

13)Экспериментальное изучение свойств материалов. Диаграмма растяжения. Коэффициенты запаса прочности. Определение допускаемых напряжений.

14)Геометрические характеристики сечений. Моменты инерции относительно параллельных осей.

15)Вычисление моментов инерции при повороте осей. Главные оси инерции и главные моменты инерции.

16)Формула Эйлера для определения критической нагрузки сжатого стержня.

17)Предел применимости формулы Эйлера. Расчеты на устойчивость.

18)Сложное сопротивление. Изгиб с кручением брусьев. Условие прочности.

19)Внецентренное растяжение (сжатие) брусьев. Эпюра напряжений. Условие прочности.

20)Косой изгиб. Эпюра нормальных напряжений. Вычисление прогиба. Условие жесткости и прочности.

21)Кручение бруса круглого поперечного сечения. Определение напряжений и углов закручивания. Расчет на прочность и жесткость.

22)Практические расчеты на срез и смятие.

23)Внецентренное растяжение (сжатие) брусьев. Ядро сечения.

24)Основы напряженного состояния в точки. Главные площадки и главные напряжения. Прямая и обратные задачи. Линейное напряженное состояние.

25)Плоское напряженное состояние. Анализ формул.

26)Деформации при плоском напряженном состоянии. Обобщенный закон Гука.

27)Энергия деформации при изгибе. Интеграл Мора. Порядок решения задач методом Мора.

28)Энергия деформации при изгибе. Теорема Кастильяна. Порядок решения задач методом Кастильяна.

29)Потенциальная энергия деформации. Гипотезы прочности.

30)Метод сил для расчета статически неопределимых систем.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35616. ШКОЛА ТВОРЧЕСКОЙ ЖИЗНИ. ПРОЕКТ 221 KB
  По его вине Древо Жизни утратило крону. ПРОЕКТ ШКОЛА ТВОРЧЕСКОЙ ЖИЗНИ Принцип устойчивости экодеревни Проблемы экодеревень ПУТИ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОЕКТА: Экономическая деятельность в поселении Природные виды деятельности Виды деятельности связанные с информационными технологиями Научная деятельность Искусство Народные ремёсла Медицина Туризм Строительство Малые производства Культура Образование Безопасная интеграция в природную среду Топология экологического поселения Проект...
35617. Шарлотка. Творческий проект 68.02 KB
  Тема: Шарлотка. Но от салата я отказалась И решила приготовить пирог шарлотка. Шарлотка фр. Классическая шарлотка это французское сладкое блюдо приготовленное из белого хлеба заварного крема фруктов и ликёра.
35618. Мой выбор. Творческий проект 33.32 KB
  Правильный выбор профессии позволит мне так построить свою будущую карьеру чтобы достичь выдающихся успехов. Можно выделить следующие подпроблемы: Проблемное поле анализа профессиональной деятельности Изучение алгоритма выбора профессии Выявление и анализ личностных и психофизиологических характеристик Изучение требований...
35619. Акустическая система. Творческий проект по технологии 570.93 KB
  ТБ при работе Правила техники безопасности при выполнении ручных работ: Быть внимательной Аккуратно пользоваться ножом и ножницами чтобы не порезаться Технология выполнения изделия Последовательность изготовления звуковой колонки: Приготовить 2 бутылки и картонный рулон Аккуратно разрезать ножом бутылки оставив только донышки Вырезать ножницами входы для картонного рулона Вырезать ножницами в картонном рулоне вход для телефона Раскрасить картонный рулон черной краской добавляя надписи чтобы украсить звуковую колонку Вставить...
35620. Творческий проект «Оформление рамок» 1.29 MB
  Рамка с повторяющимися узорами подчеркивала картину являясь зачастую не только украшением но и идейным продолжением сюжета картины. Аналоговые работы Материалы инструменты приспособления Малика: Рамка с вязаным цветком: Готовая рамка 2 шт. Пряжа синяя Крючок Бисер стеклярус синий Клей Ножницы Нелли: Рамка с розочками из лент: Лента 2 шт.
35621. Композиция Маки. Творческий проект 516.11 KB
  Так как мои цветы должны быть плотными красивыми и немаркими то я буду использовать шерсть красивого цвета и притом она должна иметь низкую себестоимость. Шерсть овец падала на пол пропитывалась влагой а они еще и топтались по ней копытами. Для изготовления маков понадобится шерсть мыльная вода. Так как я решила что мои цветы должны быть немаркими и плотными то я выбрала шерсть красного цвета.
35622. Ночная сорочка. Творческий проект 24.2 KB
  Задачи 1 Провести исследование и разработать эскиз моего проектного изделия. 4 Изготовить выкройку швейного изделия. 5 Подобрать ткань для изделия. Критерии выбора идеи изделия 1 Технология изготовления соответствует программе 7 класса.
35623. ИЗГОТОВЛЕНИЕ полки для цветов. ТВОРЧЕСКИЙ ПРОЕКТ 48.09 KB
  РАЗДЕЛЫ ПРОЕКТА 1. Обоснование выбора данного проекта 2. Описание собственной работы над проектом разработка эскизов шаблонов ознакомление с литературой подготовка материалов инструментов выполнение теоретической части проекта выполнение практической части проекта оформление проекта защита проекта 5. Достоинства проекта 6.
35624. Оформление бутылки в технике декупаж. Творческий проект 1.1 MB
  Исследование выявление традиций истории стеклянной бутылки. Как только человек научился лить стекло едва ли не первыми предметами стекольного производства стали бутылки. Прошло немало времени пока бутылки приобрели современную стройность и благородную стать.