14640

Решение заданного дифференциальног уравнения методом Рунге – Кутта с применением «ручных» вычислений

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Решить заданное дифференциальное уравнение методом Рунге – Кутта с применением ручных вычислений и с помощью программы с шагом h и шагом h/2. С помощью прикладного программного средства MathCAD методом Рунге – Кутта обеспечить вывод полученных решений в виде таблиц и граф...

Русский

2013-06-08

121.27 KB

24 чел.

Решить заданное дифференциальное уравнение методом Рунге – Кутта с применением «ручных» вычислений и с помощью программы с шагом h и шагом  h/2. С помощью прикладного программного средства (MathCAD) методом Рунге – Кутта обеспечить вывод полученных решений в виде таблиц и графиков.

1) Решение «вручную» с помощью MS Excel:

y=f(x,y)

a

b

y0

h

x+sin(y/3)

1.6

2.6

4.6

0.1

1.1) При h=0.1:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

………………………………………………………………………………..

10)

1.2) При h=0.05:

1)

2)

3)

………………………………………..

19)

20)

  

Таблица результатов при h=0.1:

i

xi

y0

k1

f(x,y)=x+sin(y/3)

k2

f(x+h/2,y+k1/2)

0

1,6

4,6

0,259930

2,599298

0,264998

2,649983

1

1,7

h

0,269871

2,698707

0,274541

2,745411

2

1,8

0,1

0,278988

2,789884

0,283222

2,832219

3

1,9

0,287211

2,872105

0,290977

2,909768

4

2

0,294483

2,944828

0,297762

2,977620

5

2,1

0,300773

3,007726

0,303556

3,035562

6

2,2

0,306071

3,060711

0,308363

3,083633

7

2,3

0,310394

3,103941

0,312211

3,122114

8

2,4

0,313782

3,137823

0,315153

3,151530

9

2,5

0,316299

3,162987

0,317262

3,172619

10

2,6

0,318027

3,180270

0,318631

3,186307

i

k3

f(x+h/2,y+k2/2)

k4

f(x+h,y+k3)

Yi1

0

0,264998

2,649978

0,269871

2,698706

4,600000

1

0,274534

2,745336

0,278988

2,789882

4,864965

2

0,283209

2,832087

0,287210

2,872103

5,139467

3

0,290959

2,909592

0,294482

2,944824

5,422643

4

0,297742

2,977415

0,300772

3,007722

5,713571

5

0,303535

3,035347

0,306071

3,060706

6,011281

6

0,308342

3,083421

0,310394

3,103936

6,314785

7

0,312192

3,121921

0,313782

3,137816

6,623098

8

0,315137

3,151367

0,316298

3,162981

6,935262

9

0,317249

3,172494

0,318026

3,180264

7,250372

10

0,318622

3,186222

0,319067

3,190665

7,567596

Таблица результатов при h=0.05:

i

xi

y0

k1

f(x,y)=x+sin(y/3)

k2

f(x+h/2,y+k1/2)

0

1,6

4,6

0,129965

2,599298

0,131244

2,624875

1

1,65

h

0,132499

2,649980

0,133730

2,674598

2

1,7

0,05

0,134935

2,698707

0,136116

2,722311

3

1,75

0,137269

2,745374

0,138396

2,767915

4

1,8

0,139494

2,789884

0,140566

2,811318

5

1,85

0,141608

2,832153

0,142622

2,852440

6

1,9

0,143605

2,872105

0,144561

2,891213

7

1,95

0,145484

2,909680

0,146379

2,927582

8

2

0,147241

2,944828

0,148075

2,961506

9

2,05

0,148876

2,977516

0,149648

2,992957

10

2,1

0,150386

3,007726

0,151096

3,021926

11

2,15

0,151773

3,035453

0,152421

3,048416

12

2,2

0,153036

3,060711

0,153622

3,072447

13

2,25

0,154176

3,083526

0,154703

3,094055

14

2,3

0,155197

3,103941

0,155665

3,113291

15

2,35

0,156101

3,122016

0,156511

3,130220

16

2,4

0,156891

3,137823

0,157246

3,144922

17

2,45

0,157572

3,151447

0,157874

3,157489

18

2,5

0,158149

3,162987

0,158401

3,168027

19

2,55

 

0,158628

3,172555

0,158833

3,176650

20

2,6

0,159014

3,180270

0,159174

3,183485

i

k3

f(x+h/2,y+k2/2)

k4

f(x+h,y+k3)

Yi2

0

0,131244

2,624878

0,132499

2,649980

4,600000

1

0,133730

2,674592

0,134935

2,698707

4,731240

2

0,136115

2,722297

0,137269

2,745373

4,864965

3

0,138395

2,767893

0,139494

2,789884

5,001076

4

0,140564

2,811289

0,141608

2,832152

5,139467

5

0,142620

2,852405

0,143605

2,872105

5,280027

6

0,144559

2,891172

0,145484

2,909679

5,422643

7

0,146377

2,927537

0,147241

2,944828

5,567198

8

0,148073

2,961457

0,148876

2,977516

5,713571

9

0,149645

2,992906

0,150386

3,007726

5,861640

10

0,151094

3,021874

0,151773

3,035453

6,011281

11

0,152418

3,048363

0,153036

3,060710

6,162371

12

0,153620

3,072395

0,154176

3,083525

6,314786

13

0,154700

3,094005

0,155197

3,103941

6,468402

14

0,155662

3,113243

0,156101

3,122015

6,623098

15

0,156509

3,130176

0,156891

3,137822

6,778757

16

0,157244

3,144881

0,157572

3,151446

6,935262

17

0,157873

3,157453

0,158149

3,162986

7,092502

18

0,158400

3,167995

0,158628

3,172554

7,250372

19

0,158831

3,176623

0,159013

3,180269

7,408768

20

0,159173

3,183463

0,159313

3,186263

7,567596

Относительные погрешности метода:

Влияние шага на точность вычислений:

2) Решение в MathCad:

2.1) При  h=0.1:

2.2) При h=0.05:


Относительные погрешности метода:

3) Решение в Matlab:

создадим документ Blank M-file, напечатаем

function f=fun2(t,y)

f=t+sin(y/3);

сохраним под именем fun2

>> t=1.6;

>> h=0.1;

>> t_fin=2.6;

>> y0=4.6;

>> [t,y]=ode45('fun2',[1.6:h:t_fin],[y0]);

>> plot(t,y,'LineWidth', 2);grid;

>> single(y)

ans =

  4.5999999

  4.8649654

  5.1394668

  5.4226437

  5.7135711

  6.0112815

  6.3147855

  6.6230979

  6.9352617

  7.2503719

  7.5675964

Округлим до 6-ти цифр после запятой:

y=

4.600000

4.864965

5.139467

5.422644

5.713571

6.011282

6.314786

6.623098

6.935262

7.250372

7.567596

>> h=0.05;

>> [t,y]=ode45('fun2',[1.6:h:t_fin],[y0]);

>> hold on;

>> plot(t,y,'LineWidth', 2);grid;

single(y)

ans =

  4.5999999

  4.7312398

  4.8649654

  5.0010762

  5.1394668

  5.2800274

  5.4226437

  5.5671983

  5.7135711

  5.8616400

  6.0112815

  6.1623712

  6.3147855

  6.4684014

  6.6230979

  6.7787566

  6.9352617

  7.0925026

  7.2503719

  7.4087682

  7.5675964

Округлим до 6-ти цифр после запятой:

y=

  4.600000

  4.731240

  4.864965

  5.001076

  5.139467

  5.280027

  5.422644

  5.567198

  5.713571

  5.861640

  6.011282

  6.162371

  6.314786

  6.468401

  6.623098

  6.778757

  6.935262

  7.092503

  7.250372

  7.408768

  7.567596

Таким образом, y = 7.567596

Относительные погрешности метода:

Сводная таблица результатов:

Метод

Результат

δ(y), %

h

h/2

h

h/2

«вручную» с Excel

7,567596

7,567596

MathCad

7,567596

7,567596

Matlab

Вывод: относительная погрешность во всех методах одинакова, выявить наиболее точный метод не удалось. На приведенных графиках видно, что с уменьшением шага повышается точность вычислений. В данном случае, при решении способом Рунге-Кутта, по сравнению с методом Эйлера мы получили чуть большую погрешность вычислений (0.000014% против 0.000013%).

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РТ

АЛЬМЕТЬЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ

Кафедра информатики

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА №11

По дисциплине: «Прикладное программирование»

На тему: «Численное решение обыкновенного дифференциального

уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта»

Вариант №42

Выполнил: студент группы 10-21   Хохлов Р.С. Проверил: доцент каф. информатики Амиров Д.Ф.

Альметьевск 2013


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72696. Знайомство з можливостями баз даних Excel 103 KB
  Уявіть себе власником невеличкого магазину. Необхідно вести постійний облік приходу і витрати товарів, щодня мати перед очима реальний залишок, мати можливість роздрукувати найменування товарів по відділах і т.д. Допомогти у цьому може Excel.
72697. ДОСЛІДЖЕННЯ НАПІВПРОВІДНИКОВИХ ВИПРЯМЛЯЧІВ 823 KB
  Трансформатор використовується для перетворення напруги мережі до необхідної величини а також для розділення кіл постійного і змінного струмів. Електричний вентиль здійснює перетворення змінної напруги в пульсуючу де частота пульсації залежить від використання схеми за якою побудовано випрямляч.
72698. ДОСЛІДЖЕННЯ ПІДСИЛЮВАЧА НА ТРАНЗИСТОРІ 650 KB
  Схема підсилювача із загальним емітером наведена на рис. Так як схема підсилювача містить у собі реактивні елементи а якості транзистора залежать від частоти то коефіцієнт підсилення має різнізначення на різних частотах. Це явище називається частотними викривленнями підсилювача.
72699. Дослідження транзисторів по схемі із спільним емітером 104 KB
  Зняти вхідну і вихідну статичні характеристики визначати коефіцієнт підсилення по струму і вхідний опір транзистора. Як основну схему включення біполярного транзистора застосовують схему включення із спільним емітером. Схема для зняття характеристик транзистора із спільним емітером приведена на малюнку.
72700. Электричество и магнетизм 16.86 MB
  Сила тока проходящего через организм зависит от приложенного напряжения и от сопротивления того участка тела через который проходит ток. Необходимо помнить что предел безопасной величины переменного тока с частотой 50 Гц равен 10 мА.
72701. Исследование демографической структуры популяции 263 KB
  Популяция представляет собой группу организмов одного и того же вида, занимающих определенную территорию и обладающих особыми признаками, которые поддаются статистической обработке. Эти признаки - плотность, рождаемость, смертность, биотический потенциал, расселение...
72702. Определение относительной и абсолютной влажности воздуха 277 KB
  Насыщенный пар. В закрытом сосуде жидкость и ее пар могут находиться в состоянии динамического равновесия, когда число молекул, вылетающих из жидкости, равно числу молекул, возвращающихся в жидкость из пара, т. е. когда скорости процессов испарения и конденсации одинаковы.