14640

Решение заданного дифференциальног уравнения методом Рунге – Кутта с применением «ручных» вычислений

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Решить заданное дифференциальное уравнение методом Рунге Кутта с применением ручных вычислений и с помощью программы с шагом h и шагом h/2. С помощью прикладного программного средства MathCAD методом Рунге Кутта обеспечить вывод полученных решений в виде таблиц и граф...

Русский

2013-06-08

121.27 KB

27 чел.

Решить заданное дифференциальное уравнение методом Рунге – Кутта с применением «ручных» вычислений и с помощью программы с шагом h и шагом  h/2. С помощью прикладного программного средства (MathCAD) методом Рунге – Кутта обеспечить вывод полученных решений в виде таблиц и графиков.

1) Решение «вручную» с помощью MS Excel:

y=f(x,y)

a

b

y0

h

x+sin(y/3)

1.6

2.6

4.6

0.1

1.1) При h=0.1:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

………………………………………………………………………………..

10)

1.2) При h=0.05:

1)

2)

3)

………………………………………..

19)

20)

  

Таблица результатов при h=0.1:

i

xi

y0

k1

f(x,y)=x+sin(y/3)

k2

f(x+h/2,y+k1/2)

0

1,6

4,6

0,259930

2,599298

0,264998

2,649983

1

1,7

h

0,269871

2,698707

0,274541

2,745411

2

1,8

0,1

0,278988

2,789884

0,283222

2,832219

3

1,9

0,287211

2,872105

0,290977

2,909768

4

2

0,294483

2,944828

0,297762

2,977620

5

2,1

0,300773

3,007726

0,303556

3,035562

6

2,2

0,306071

3,060711

0,308363

3,083633

7

2,3

0,310394

3,103941

0,312211

3,122114

8

2,4

0,313782

3,137823

0,315153

3,151530

9

2,5

0,316299

3,162987

0,317262

3,172619

10

2,6

0,318027

3,180270

0,318631

3,186307

i

k3

f(x+h/2,y+k2/2)

k4

f(x+h,y+k3)

Yi1

0

0,264998

2,649978

0,269871

2,698706

4,600000

1

0,274534

2,745336

0,278988

2,789882

4,864965

2

0,283209

2,832087

0,287210

2,872103

5,139467

3

0,290959

2,909592

0,294482

2,944824

5,422643

4

0,297742

2,977415

0,300772

3,007722

5,713571

5

0,303535

3,035347

0,306071

3,060706

6,011281

6

0,308342

3,083421

0,310394

3,103936

6,314785

7

0,312192

3,121921

0,313782

3,137816

6,623098

8

0,315137

3,151367

0,316298

3,162981

6,935262

9

0,317249

3,172494

0,318026

3,180264

7,250372

10

0,318622

3,186222

0,319067

3,190665

7,567596

Таблица результатов при h=0.05:

i

xi

y0

k1

f(x,y)=x+sin(y/3)

k2

f(x+h/2,y+k1/2)

0

1,6

4,6

0,129965

2,599298

0,131244

2,624875

1

1,65

h

0,132499

2,649980

0,133730

2,674598

2

1,7

0,05

0,134935

2,698707

0,136116

2,722311

3

1,75

0,137269

2,745374

0,138396

2,767915

4

1,8

0,139494

2,789884

0,140566

2,811318

5

1,85

0,141608

2,832153

0,142622

2,852440

6

1,9

0,143605

2,872105

0,144561

2,891213

7

1,95

0,145484

2,909680

0,146379

2,927582

8

2

0,147241

2,944828

0,148075

2,961506

9

2,05

0,148876

2,977516

0,149648

2,992957

10

2,1

0,150386

3,007726

0,151096

3,021926

11

2,15

0,151773

3,035453

0,152421

3,048416

12

2,2

0,153036

3,060711

0,153622

3,072447

13

2,25

0,154176

3,083526

0,154703

3,094055

14

2,3

0,155197

3,103941

0,155665

3,113291

15

2,35

0,156101

3,122016

0,156511

3,130220

16

2,4

0,156891

3,137823

0,157246

3,144922

17

2,45

0,157572

3,151447

0,157874

3,157489

18

2,5

0,158149

3,162987

0,158401

3,168027

19

2,55

 

0,158628

3,172555

0,158833

3,176650

20

2,6

0,159014

3,180270

0,159174

3,183485

i

k3

f(x+h/2,y+k2/2)

k4

f(x+h,y+k3)

Yi2

0

0,131244

2,624878

0,132499

2,649980

4,600000

1

0,133730

2,674592

0,134935

2,698707

4,731240

2

0,136115

2,722297

0,137269

2,745373

4,864965

3

0,138395

2,767893

0,139494

2,789884

5,001076

4

0,140564

2,811289

0,141608

2,832152

5,139467

5

0,142620

2,852405

0,143605

2,872105

5,280027

6

0,144559

2,891172

0,145484

2,909679

5,422643

7

0,146377

2,927537

0,147241

2,944828

5,567198

8

0,148073

2,961457

0,148876

2,977516

5,713571

9

0,149645

2,992906

0,150386

3,007726

5,861640

10

0,151094

3,021874

0,151773

3,035453

6,011281

11

0,152418

3,048363

0,153036

3,060710

6,162371

12

0,153620

3,072395

0,154176

3,083525

6,314786

13

0,154700

3,094005

0,155197

3,103941

6,468402

14

0,155662

3,113243

0,156101

3,122015

6,623098

15

0,156509

3,130176

0,156891

3,137822

6,778757

16

0,157244

3,144881

0,157572

3,151446

6,935262

17

0,157873

3,157453

0,158149

3,162986

7,092502

18

0,158400

3,167995

0,158628

3,172554

7,250372

19

0,158831

3,176623

0,159013

3,180269

7,408768

20

0,159173

3,183463

0,159313

3,186263

7,567596

Относительные погрешности метода:

Влияние шага на точность вычислений:

2) Решение в MathCad:

2.1) При  h=0.1:

2.2) При h=0.05:


Относительные погрешности метода:

3) Решение в Matlab:

создадим документ Blank M-file, напечатаем

function f=fun2(t,y)

f=t+sin(y/3);

сохраним под именем fun2

>> t=1.6;

>> h=0.1;

>> t_fin=2.6;

>> y0=4.6;

>> [t,y]=ode45('fun2',[1.6:h:t_fin],[y0]);

>> plot(t,y,'LineWidth', 2);grid;

>> single(y)

ans =

  4.5999999

  4.8649654

  5.1394668

  5.4226437

  5.7135711

  6.0112815

  6.3147855

  6.6230979

  6.9352617

  7.2503719

  7.5675964

Округлим до 6-ти цифр после запятой:

y=

4.600000

4.864965

5.139467

5.422644

5.713571

6.011282

6.314786

6.623098

6.935262

7.250372

7.567596

>> h=0.05;

>> [t,y]=ode45('fun2',[1.6:h:t_fin],[y0]);

>> hold on;

>> plot(t,y,'LineWidth', 2);grid;

single(y)

ans =

  4.5999999

  4.7312398

  4.8649654

  5.0010762

  5.1394668

  5.2800274

  5.4226437

  5.5671983

  5.7135711

  5.8616400

  6.0112815

  6.1623712

  6.3147855

  6.4684014

  6.6230979

  6.7787566

  6.9352617

  7.0925026

  7.2503719

  7.4087682

  7.5675964

Округлим до 6-ти цифр после запятой:

y=

  4.600000

  4.731240

  4.864965

  5.001076

  5.139467

  5.280027

  5.422644

  5.567198

  5.713571

  5.861640

  6.011282

  6.162371

  6.314786

  6.468401

  6.623098

  6.778757

  6.935262

  7.092503

  7.250372

  7.408768

  7.567596

Таким образом, y = 7.567596

Относительные погрешности метода:

Сводная таблица результатов:

Метод

Результат

δ(y), %

h

h/2

h

h/2

«вручную» с Excel

7,567596

7,567596

MathCad

7,567596

7,567596

Matlab

Вывод: относительная погрешность во всех методах одинакова, выявить наиболее точный метод не удалось. На приведенных графиках видно, что с уменьшением шага повышается точность вычислений. В данном случае, при решении способом Рунге-Кутта, по сравнению с методом Эйлера мы получили чуть большую погрешность вычислений (0.000014% против 0.000013%).

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РТ

АЛЬМЕТЬЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ

Кафедра информатики

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА №11

По дисциплине: «Прикладное программирование»

На тему: «Численное решение обыкновенного дифференциального

уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта»

Вариант №42

Выполнил: студент группы 10-21   Хохлов Р.С. Проверил: доцент каф. информатики Амиров Д.Ф.

Альметьевск 2013


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20785. Физико-химические процессы протекающие в воде 1 контура и основы водного режима реакторов ВВЭР 166 KB
  б уметь: показать влияние примесей в воде 1 контура на скорость коррозии конструкционных материалах; обосновать ведение калийаммиачного водного режима 1 контура при борном регулировании. Задание на самостоятельную подготовку: самостоятельно проработать вопросы классификации коррозионных процессов показатели коррозионной стойкости коррозии стали в паре. Введение ВХР АС должен обеспечивать работу основного и вспомогательного теплоэнергетического оборудования без повреждений и снижения экономичности и при...
20786. Системы реагентного хозяйства и «чистого» конденсата 361 KB
  Целевая установка: В результате изучения материала лекции студенты должны: а знать: назначение состав принцип действия и основы эксплуатации систем боросодержащей воды и борного концентрата; назначение состав принцип действия и основы эксплуатации узла реагентов реакторного отделения ТВ20; назначение состав принцип действия и основы эксплуатации системы чистого конденсата дистиллята. Назначение состав принцип действия и основы...
20787. Организация ВХР 1 контура 486 KB
  Целевая установка: В результате изучения материала лекции студенты должны: а знать: назначение ведения ВХР 1 контура; назначение средств обеспечения ВХР 1 контура; нормы качества теплоносителя 1 контура при работе энергоблока на энергетическом уровне мощности; нормы качества подпиточной воды воды подаваемой на уплотнения ГЦН и растворов хим.реагентов; ограничения по эксплуатации РУ при отклонении нормируемых показателей; характерные причины отклонения ВХР 1 контура и методы их устранения; диагностические...
20788. Вводная лекция по дисциплине «Водный режим контуров АЭС» 117.5 KB
  Основные понятия физики и химии воды. Виды и показатели качества воды. Выводы по лекции.
20789. Подготовка воды для заполнения и подпитки контуров 302 KB
  Целевая установка: В результате изучения материала лекции студенты должны: а знать: технологию предварительной очистки природных вод; основные методы опреснения и обессоливания воды; использование очистки воды методом дистилляции на АЭС; принципы ионного обмена между смолами и водными растворами; основные показатели качества ионитов; основные методы очистки воды от растворенных газов применяемых на АЭС;...
20790. Работа с приложением Ansys 3.4 MB
  Цель работы – Придумать и реализовать 2 проекта при помощи приложения Ansys, предоставить развернутое описание своих действий в помощь те, кто будет заниматься этим в дальнейшем, основываясь на достигнутых мною результатах. В этой работе мы рассмотрим общие сведения об Ansys и его возможностях, а так же пронаблюдаем процесс создания модели, задания различных данных и работы с получившимися результатами на примере двух несложных проектов.
20791. Проект мероприятий по совершенствованию системы сбыта предприятия (на примере ООО «НАРМИ», г. Александровск) 849 KB
  В результате анализа основных технико-экономических показателей деятельности ресторана «НАРМИ» в прогнозном периоде по сравнению с отчетным была выявлена экономическая эффективность внедрения как всего комплекса предложенных мероприятий, так и отдельных направлений.
20792. Юридичні особи в міжнародному праві 159 KB
  Обґрунтування критеріїв визначення статусу юридичних осіб, порядку їх утворення, основних закономірностей функціонування в різних країнах світу, висвітлення проблем національності юридичних осіб; показати їхню важливість та одночасно принципи формування у сучасному світі.
20793. Микропроцессоры (МП) 88.5 KB
  Закон функционирования управляющего автомата УА может быть задан двумя способами: в виде жесткой логики автомат Мили и автомат Мура; в виде микропрограмм закодированных определенным образом в виде микрокоманд. Учитывая что микроразрядность ОБ может достигать нескольких десятков разрядов а число устройств 816 автоматов то число состояний такого автомата может достигать астрономических цифр и описать их в виде графа автоматов Мили или Мура не представляется возможным. Тема: Представление закона функционирования микропроцессора...