14640

Решение заданного дифференциальног уравнения методом Рунге – Кутта с применением «ручных» вычислений

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Решить заданное дифференциальное уравнение методом Рунге – Кутта с применением ручных вычислений и с помощью программы с шагом h и шагом h/2. С помощью прикладного программного средства MathCAD методом Рунге – Кутта обеспечить вывод полученных решений в виде таблиц и граф...

Русский

2013-06-08

121.27 KB

23 чел.

Решить заданное дифференциальное уравнение методом Рунге – Кутта с применением «ручных» вычислений и с помощью программы с шагом h и шагом  h/2. С помощью прикладного программного средства (MathCAD) методом Рунге – Кутта обеспечить вывод полученных решений в виде таблиц и графиков.

1) Решение «вручную» с помощью MS Excel:

y=f(x,y)

a

b

y0

h

x+sin(y/3)

1.6

2.6

4.6

0.1

1.1) При h=0.1:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

………………………………………………………………………………..

10)

1.2) При h=0.05:

1)

2)

3)

………………………………………..

19)

20)

  

Таблица результатов при h=0.1:

i

xi

y0

k1

f(x,y)=x+sin(y/3)

k2

f(x+h/2,y+k1/2)

0

1,6

4,6

0,259930

2,599298

0,264998

2,649983

1

1,7

h

0,269871

2,698707

0,274541

2,745411

2

1,8

0,1

0,278988

2,789884

0,283222

2,832219

3

1,9

0,287211

2,872105

0,290977

2,909768

4

2

0,294483

2,944828

0,297762

2,977620

5

2,1

0,300773

3,007726

0,303556

3,035562

6

2,2

0,306071

3,060711

0,308363

3,083633

7

2,3

0,310394

3,103941

0,312211

3,122114

8

2,4

0,313782

3,137823

0,315153

3,151530

9

2,5

0,316299

3,162987

0,317262

3,172619

10

2,6

0,318027

3,180270

0,318631

3,186307

i

k3

f(x+h/2,y+k2/2)

k4

f(x+h,y+k3)

Yi1

0

0,264998

2,649978

0,269871

2,698706

4,600000

1

0,274534

2,745336

0,278988

2,789882

4,864965

2

0,283209

2,832087

0,287210

2,872103

5,139467

3

0,290959

2,909592

0,294482

2,944824

5,422643

4

0,297742

2,977415

0,300772

3,007722

5,713571

5

0,303535

3,035347

0,306071

3,060706

6,011281

6

0,308342

3,083421

0,310394

3,103936

6,314785

7

0,312192

3,121921

0,313782

3,137816

6,623098

8

0,315137

3,151367

0,316298

3,162981

6,935262

9

0,317249

3,172494

0,318026

3,180264

7,250372

10

0,318622

3,186222

0,319067

3,190665

7,567596

Таблица результатов при h=0.05:

i

xi

y0

k1

f(x,y)=x+sin(y/3)

k2

f(x+h/2,y+k1/2)

0

1,6

4,6

0,129965

2,599298

0,131244

2,624875

1

1,65

h

0,132499

2,649980

0,133730

2,674598

2

1,7

0,05

0,134935

2,698707

0,136116

2,722311

3

1,75

0,137269

2,745374

0,138396

2,767915

4

1,8

0,139494

2,789884

0,140566

2,811318

5

1,85

0,141608

2,832153

0,142622

2,852440

6

1,9

0,143605

2,872105

0,144561

2,891213

7

1,95

0,145484

2,909680

0,146379

2,927582

8

2

0,147241

2,944828

0,148075

2,961506

9

2,05

0,148876

2,977516

0,149648

2,992957

10

2,1

0,150386

3,007726

0,151096

3,021926

11

2,15

0,151773

3,035453

0,152421

3,048416

12

2,2

0,153036

3,060711

0,153622

3,072447

13

2,25

0,154176

3,083526

0,154703

3,094055

14

2,3

0,155197

3,103941

0,155665

3,113291

15

2,35

0,156101

3,122016

0,156511

3,130220

16

2,4

0,156891

3,137823

0,157246

3,144922

17

2,45

0,157572

3,151447

0,157874

3,157489

18

2,5

0,158149

3,162987

0,158401

3,168027

19

2,55

 

0,158628

3,172555

0,158833

3,176650

20

2,6

0,159014

3,180270

0,159174

3,183485

i

k3

f(x+h/2,y+k2/2)

k4

f(x+h,y+k3)

Yi2

0

0,131244

2,624878

0,132499

2,649980

4,600000

1

0,133730

2,674592

0,134935

2,698707

4,731240

2

0,136115

2,722297

0,137269

2,745373

4,864965

3

0,138395

2,767893

0,139494

2,789884

5,001076

4

0,140564

2,811289

0,141608

2,832152

5,139467

5

0,142620

2,852405

0,143605

2,872105

5,280027

6

0,144559

2,891172

0,145484

2,909679

5,422643

7

0,146377

2,927537

0,147241

2,944828

5,567198

8

0,148073

2,961457

0,148876

2,977516

5,713571

9

0,149645

2,992906

0,150386

3,007726

5,861640

10

0,151094

3,021874

0,151773

3,035453

6,011281

11

0,152418

3,048363

0,153036

3,060710

6,162371

12

0,153620

3,072395

0,154176

3,083525

6,314786

13

0,154700

3,094005

0,155197

3,103941

6,468402

14

0,155662

3,113243

0,156101

3,122015

6,623098

15

0,156509

3,130176

0,156891

3,137822

6,778757

16

0,157244

3,144881

0,157572

3,151446

6,935262

17

0,157873

3,157453

0,158149

3,162986

7,092502

18

0,158400

3,167995

0,158628

3,172554

7,250372

19

0,158831

3,176623

0,159013

3,180269

7,408768

20

0,159173

3,183463

0,159313

3,186263

7,567596

Относительные погрешности метода:

Влияние шага на точность вычислений:

2) Решение в MathCad:

2.1) При  h=0.1:

2.2) При h=0.05:


Относительные погрешности метода:

3) Решение в Matlab:

создадим документ Blank M-file, напечатаем

function f=fun2(t,y)

f=t+sin(y/3);

сохраним под именем fun2

>> t=1.6;

>> h=0.1;

>> t_fin=2.6;

>> y0=4.6;

>> [t,y]=ode45('fun2',[1.6:h:t_fin],[y0]);

>> plot(t,y,'LineWidth', 2);grid;

>> single(y)

ans =

  4.5999999

  4.8649654

  5.1394668

  5.4226437

  5.7135711

  6.0112815

  6.3147855

  6.6230979

  6.9352617

  7.2503719

  7.5675964

Округлим до 6-ти цифр после запятой:

y=

4.600000

4.864965

5.139467

5.422644

5.713571

6.011282

6.314786

6.623098

6.935262

7.250372

7.567596

>> h=0.05;

>> [t,y]=ode45('fun2',[1.6:h:t_fin],[y0]);

>> hold on;

>> plot(t,y,'LineWidth', 2);grid;

single(y)

ans =

  4.5999999

  4.7312398

  4.8649654

  5.0010762

  5.1394668

  5.2800274

  5.4226437

  5.5671983

  5.7135711

  5.8616400

  6.0112815

  6.1623712

  6.3147855

  6.4684014

  6.6230979

  6.7787566

  6.9352617

  7.0925026

  7.2503719

  7.4087682

  7.5675964

Округлим до 6-ти цифр после запятой:

y=

  4.600000

  4.731240

  4.864965

  5.001076

  5.139467

  5.280027

  5.422644

  5.567198

  5.713571

  5.861640

  6.011282

  6.162371

  6.314786

  6.468401

  6.623098

  6.778757

  6.935262

  7.092503

  7.250372

  7.408768

  7.567596

Таким образом, y = 7.567596

Относительные погрешности метода:

Сводная таблица результатов:

Метод

Результат

δ(y), %

h

h/2

h

h/2

«вручную» с Excel

7,567596

7,567596

MathCad

7,567596

7,567596

Matlab

Вывод: относительная погрешность во всех методах одинакова, выявить наиболее точный метод не удалось. На приведенных графиках видно, что с уменьшением шага повышается точность вычислений. В данном случае, при решении способом Рунге-Кутта, по сравнению с методом Эйлера мы получили чуть большую погрешность вычислений (0.000014% против 0.000013%).

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РТ

АЛЬМЕТЬЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ

Кафедра информатики

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА №11

По дисциплине: «Прикладное программирование»

На тему: «Численное решение обыкновенного дифференциального

уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта»

Вариант №42

Выполнил: студент группы 10-21   Хохлов Р.С. Проверил: доцент каф. информатики Амиров Д.Ф.

Альметьевск 2013


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16282. Анализатор спектра DL-4. Работа со спутником 1.3 MB
  Лабораторная работа №1 Анализатор спектра DL4. Работа со спутником 1 Цель работы: 1.1 Получить навыки работы с прибором DL4. 1.2 Научиться настраиваться на нужную программу и фиксировать её в памяти прибора. 1.2 Научиться заносить данные прибора в компьютер при помощи
16283. Система проектирования электронных схем. Логические элементы 153 KB
  Лабораторная работа № Тема: Система проектирования электронных схем. Логические элементы Цель: Научиться с помощью системы EWB анализировать работу электронных схем работать с электронным знакогенератором и осциллографом. Оборудование: IBM PC Программное
16284. Исследование принципиальных электрических схем простых логических элементов (И, ИЛИ, НЕ) 47 KB
  Лабораторная работа № Тема: Исследование принципиальных электрических схем простых логических элементов И ИЛИ НЕ Цель работы: Проанализировать работу принципиальных электрических схем простых логических элементов И ИЛИ НЕ Оборудование:IBM PC Программно
16285. Анализ работы триггеров 78 KB
  Лабораторная работа № Тема: Анализ работы триггеров. Цель: С помощью системы EWB проанализировать работу триггеров. Оборудование. IBM PС. Программное обеспечение: windows ewb. Вопросы для повторения: Что такое триггер Какие бывают триггеры3.Принцип работ триггер...
16286. Анализ работы регистров 35.5 KB
  Лабораторная работа № Тема: Анализ работы регистров Цель: С помощью системы EWB проанализировать работу электронных схем регистров. Оборудование: IBM PC Программное обеспечение: WINDOWS EWB Вопросы для повторения: Что такое регистр Классификация...
16287. Исследование работы дешифраторов 34 KB
  Лабораторная работа № Тема: Исследование работы дешифраторов. Цель работы: Исследовать работу дешифраторов с помощью программы EWB. Оборудование: IBM PC. Программное обеспечение: WINDOWS EWB Вопросы для повторения: Назначение дешифраторов. Принцип действия де...
16288. Анализ работы цифровых индикаторов 42 KB
  Лабораторная работа № Тема: Анализ работы цифровых индикаторов Цель работы: Исследовать работу цифровых индикаторов с помощью программы EWB. Оборудование: IBM PC. Программное обеспечение: WINDOWS EWB. Вопросы для повторения: Что такое цифровые индик
16289. Исследование работы Постоянно запоминающего устройства(ПЗУ) в интегральном исполнении 208.5 KB
  Лабораторная работа №13 Тема: Исследование работы Постоянно запоминающего устройстваПЗУ в интегральном исполнении.. Цель работы: Исследовать работу постоянно запоминающего устройства с помощью программы EWB. Оборудование: IBM PC. Программное обеспечение: WINDOWS EWB ...
16290. Исследование принципиальных электрических схем сложных логических элементов (И – НЕ, ИЛИ – НЕ) 42 KB
  Лабораторная работа № Тема: Исследование принципиальных электрических схем сложных логических элементов И – НЕ ИЛИ – НЕ. Цель: Проанализировать работу принципиальных электрических схем сложных логических элементов И – НЕ ИЛИ – НЕ. Оборудование: IBM PC Программн