14669

Особенности анализа динамических систем (ДС) при детерминированных и случайных воздействиях

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 Тема: Особенности анализа динамических систем ДС при детерминированных и случайных воздействиях Цель работы: на практических примерах изучить особенности задач анализа качества систем при детерминированных и случайных воздействиях; постр...

Русский

2013-06-09

199 KB

2 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

Тема: Особенности анализа динамических систем (ДС) при детерминированных и случайных воздействиях

Цель работы: на практических примерах изучить особенности задач анализа качества систем при детерминированных и случайных воздействиях; построение характеристик выходных сигналов ДС (детерминированных и случайных); применение теоремы Винера-Хинчина.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Алгоритм анализа качества системы при детерминированных и случайных воздействиях

Задача анализу известной динамической системы в конкретных условиях ее эксплуатации состоит в определении выходных реакций и сигналов управления систем при определенных входных сигналах, сравнении достигнутых выходных сигналов с желаемыми, вычислении ошибки и получение на ее основе показателя качества системы.

При анализе качества работы СУ исходят из того, что структурная схема и параметры устройств системы известны. Требуется оценить качество ее работы.

Под качеством работы динамической системы понимают свойства сложной системы, которые характеризуют успешность решения ДС задач функционирования в определенных эксплуатационных условиях и в определенный интервал времени или, иначе говоря, характеризует некоторую меру полезных свойств системы.

Решение задач анализа начинается с выбора показателя качества или совокупности показателей. Потом уточняются свойства идеальной и реальной систем. Здесь же четко определяется функциональное назначение и формулируется понятие ошибки системы. Следующий этап задачи - установление динамических характеристик воздействий и других сигналов, которые отвечают каждому варианту условий эксплуатации. Желательно знать модели сигналов, близких к реальным эксплуатационным.

Качество сложной динамической системы, как правило, имеет многочисленные грани, стороны. В зависимости от конкретики целей функционирование и назначение системы разные стороны качества имеют разный вес. Учет по возможности всех важных сторон качества одновременно практически невозможно. Это сильно загромождает критерии (показатели) качества системы и делайте задачи синтезу и анализу качественных систем практически не разрешимыми.

Как правило, в практике определяют главную сторону качества исследуемой системы. Эта сторона качества выступает его эквивалентом, критерий качества такой системы один. Однокритериальные задачи решаются более просто, а результаты обеспечения качества эффективнее.

В практике нередко за главную сторону качества (его эквивалент) избирают некоторую близость реального функционирования системы к ранее определенному нормативному, т.е. точность. В этих случаях понятие "точность" может однозначно характеризовать качество системы, т.е. выступать в роли его эквивалента, а точностной показатель качества может стать критерием ее качества. Таковы, например, критерии качества управления многими типами летательных аппаратов. Например, основной стороной качества систем навигации и управление полетом летательных аппаратов есть некоторая мера близости реальных траекторий полета к нормативным, программных, то есть точность траекторных полетов.

Если близость (точность) выполнение нормативного функционирования системы есть эквивалентом ее качества, то его оценку начинают с определения понятия ошибки системы в функционировании.

Содержание задачи анализа качества функционирования системы проиллюстрируем на примере ДС приведенной на рис.1.

Здесь x – Фурье-образ вектора выходных реакций системы x(t); ψ – Фурье-образ вектора возмущений ψ(t); i – Фурье-образ вектора желаемых сигналов i(t); ε – Фурье-образ вектора ошибок системы, W – передаточная функция измерительной системы.

Рис.1. Структурная схема измерительной системы (задача анализа)

Ошибка системы в функционировании ε(t) – разность между векторами реальных исходных x(t) и желаемых выходных и(t) сигналов системы

,        (1)

где вектор желаемых сигналов i(t) есть результатом желаемого преобразования программного сигнала функцией Φ(t). Причем, при исследовании ДС, чтобы проверить работоспособность, соответствие определенным требованиям данной системы, желаемый сигнал выступает как некая эталонная мера, которая причем назначается исследователем в зависимости от целей и задач работы (функционирования) системы. Иначе говоря, посредством задания желаемого сигнала и вычисления ошибки системы возможно выполнить поверку данной ДС, т.е. установить пригодность данной системы. Здесь Φ(t) – некоторая желательная матрица передаточных функций системы, которая непосредственно отвечает целям функционирования системы, ее назначению - .

Желаемый сигнал – результат абсолютно точного преобразования "идеальной" системой полезной составляющей входного (программного) сигнала. Очевидно, что реальная система отличается от желаемой - „идеальной”. Отличие вызовется, во-первых, наличием помех в сигналах „вход-выход” и необходимостью средств преодоление их влияний соответствующим выбором динамических свойств системы. Во-вторых, желаемые динамические свойства системы не всегда точно реализуются аппаратно. Ошибка системы (1) в функционировании может состоять из детерминированной и случайной частей

;         (2)

,         (3)

которые будем называть детерминированной и случайной ошибками.

Если качество функционирования системы определяется, в основном, детерминированной ошибкой, то за показатель качества принимается интегральная квадратичная ошибка вида

.      (4)

Здесь  – n-измеримый вектор детерминированной ошибки системы (2),  – ее Фурье-образ; R(t) – весовая симетрическая положительно определенная матрица размера n x n, R(s) – ее Фурье-образ; tr – след матрицы; „*” – символ єрмитова сопряжения. Частотный образ критерия (4) полученный с помощью теоремы Парсеваля.

Показателем качества системы при случайных воздействиях принято брать среднюю квадратичную ошибку, которая построенная на случайной ошибке системы (3) и имеет вид

,      (5)

где  – транспонированная матрица спектральных плотностей случайной ошибки системы; R(s) – весовая матрица, не отличается от такой же в выражении (4).

Таким образом, основные этапы решения задачи анализу качества такие:

  •  по известным динамическим характеристикам звеньев и системы в целом, а также входных управляющих и возмущающих воздействий и помех определяются выходные сигналы системы (их динамические характеристики);
  •  устанавливаются свойства “идеальной” системы и модели динамики желаемых сигналов, выбирается вид желаемого показателя качества системы;
  •  определяется понятие ошибки системы;
  •  вычисляется значение показателя качества в заданных эксплуатационных условиях;
  •  проводится сравнение вычислительного значения показателя качества с нужным, делается вывод о пригодности системы, ее эффективности, целесообразность усовершенствования системы с целью повышения ее качества, оценивается влияние тех или других эксплуатационных факторов и параметров конструкции на качество системы и т.п.
  •  исходя из выражений для показателей качества, находим ошибку системы ε, а потом и эрмитово сопряженную ошибку ε*, либо спектральную плотность ошибки системы для системы при случайных воздействиях. Подставив найденные выражения ε и ε*, а также весовую матрицу R = En в интеграл (4) или (5) и соответствующим образом вычислил его, определим значения (число), которое определяет качество системы в заданных условиях работы. Поскольку выражения (4), (5) характеризуют ошибку, то чем такое число будет меньшим, тем качество выше.

Определение характеристик выходных реакций ДС.

Если система находится под воздействием некоторых детерминированных (периодических, непериодических) сигналов, то в качестве характеристик выходного сигнала можно принять его представление в частотной области. Основная задача спектрального анализа – выявление гармонического спектра сигналов, т.е. определение частот гармонических составляющих сигнала (выявление частотного спектра), амплитуд этих гармонических составляющих (амплитудного спектра), и их начальных фаз (фазового спектра).

В основе спектрального анализа лежит теория Фурье о  возможности разложения любого периодического процесса с периодом  (где  - круговая частота периодического процесса,  - частота в герцах) в бесконечную, но счетную сумму отдельных гармонических составляющих.

Таким образом, частотный спектр периодического колебания состоит из частот, кратных основной (базовой) частоте , т.е. частот .

Любой периодический процесс может быть представлен в виде так называемого ряда Фурье, причем комплексные амплитуды  гармонических составляющих имеют действительные и мнимые части – спектры. Исходя из чего, исходный процесс можно представить в виде ряда Фурье

.

Разложения в ряд Фурье позволяют рассматривать совокупность комплексных амплитуд  как изображение периодического процесса в частотной области. Желание  распространить  такой подход на произвольные процессы привело  к вводу понятия Фурье-изображения в соответствии со следующим выражением:

.

Чтобы выполнить преобразование процесса, представленного во временной  области,   в  его  представление  в частотной области, используют процедуру fft, а также необходимо, сделать следующее:

  •  - по заданному значению дискрета времени Ts рассчитать величину Fmax диапазона частот (в герцах) по формуле:                         

;       (6)

  •  в по заданной длительности процесса Т рассчитать дискрет частоты df по формуле:

;       (7)|

  •  по вычисленным данным сформировать вектор значений частот, в которых будет вычислено Фурье-изображение. Чтобы получить Фурье-изображение, необходимо, выполнить следующие действия: к результатам действия процедуры fft применить процедуру fftshift, которая  переставляет местами первую и вторую половины полученного вектора;                                                          
  •  •     перестроить вектор частот по алгоритму:                                    |

;     (8)

  •  следует иметь ввиду, что графики в частной области удобнее выводить при помощи процедуры stem.

Пример. Имеем некий гармонический процесс с заданным временем длительности T, дискретом времени Ts прошедший через некоторое звено с известной передаточной функцией.

Найдем модуль Фурье-изображения выходного периодического сигнала.

df = 1/T;  Fmax = 1/Ts;  dovg = length(t);

f = -Fmax/2 : df  : Fmax/2;

X = fft (Y);  Xp = fftshift(X);

A = abs (Xp);

stem(f ,A) , grid,

title('Модуль Фурье-изображения гармонического процесса');

xlabel('Частота   (Гц)');

уlabel('Модуль')

Результат Фурье-преобразования в значительной степени будет зависеть от величины дискрета времени и мало говорить об амплитудах гармонических составляющих. Это обусловлено различием между определениями Фурье-изображения и комплексного спектра. Поэтому для незатухающих (установившихся, стационарных) колебаний любого вида намного удобнее находить не Фурье-изображение, а его величину, деленную на число точек в реализации. В предыдущей части программы это эквивалентно замене оператора X=fft(Y) на X=fft(Y)/dovg, где dovg — длина вектора t.

В результате получается комплексный спектр, полностью соответствующий коэффициентам комплексного ряда Фурье.

Выделим действительную и мнимую части комплексного спектра:

dch = real(Xp); mch = imag(Xp);

subplot (2,1,1)                                                        

plot (f ,dch) , grid,  •                                                          

title('Комплексный спектр полигармонических колебаний');

ylabel (' Действит. часть')

subplot(2,1,2)                                                                                     

plot (f ,mch) , grid,                                                    

xlabel ('Частота (Гц)');                                 

ylabel ('Мнимая часть')

По полученным графикам можно судить не только о частотах и амплитудах, но и о начальных фазах отдельных гармонических составляющих.

Фильтрация данных в MATLABе

Фильтрация - преобразование заданного сигнала с помощью линейного фильтра, описываемого передаточной функцией вида

Фильтрация осуществляется в MATLABе при помощи оператора filter следующим образом

y = filter(b, a, x),

где x – заданный вектор значений входного сигнала; y – вектор значений выходного сигнала фильтра, получаемого вследствие фильтрации; b, a – вектор коэффициентов числителя, знаменателя передаточной функции фильтра (звена).

Чтобы избежать фазовых искажений полезного сигнала при его восстановлении, можно воспользоваться процедурой двойной фильтрации – filtfilt. Обращение к ней имеет такую же форму, что и к процедуре filter. В отличие от последней процедура filtfilt осуществляет обработку вектора x в два приема: сначала в прямом, а затем в обратном направлении. Результат имеет практически нулевое искажение фазы и амплитуду, измененную квадратом отклика амплитуды фильтра.

Если система находится под воздействием случайных стационарных центрированных процессов, то возможно определить такие неслучайные характеристики (вероятностные) случайного выходного сигнала, как спектральная плотность, корреляционная функция. Причем на основе теоремы Винера-Хинчина возможно определить нужные матрицы спектральных и взаимных спектральных плотностей системы.

  (9)

Выражения (9) представляют собою теорему Винера-Хинчина.

Если x(t) = y(t), то транспонированная матрица спектральных плотностей процесса x(t) запишется как

.

Теорему Винера - Хинчина (выражение (9) возможно использовать для определения спектральных (взаимных спектральных) плотностей сигналов в многомерных динамических системах.

В программе MATLAB процедуры psd, csd осуществляют построение графических зависимостей спектральной (взаимно спектральной) плотностей случайных стационарных центрированных процессов от частоты.

ХОД РАБОТЫ:

  1.  Сформировать входной детерминированный сигнал  длительностью , для нечетных вариантов  и для четных – .
  2.  Пропустить сформированный сигнал через ДС с заданной передаточной функцией W(s): для четных вариантов , для нечетных вариантов , с использованием функции filter, получив на выходе детерминированный сигнал . Построить на одном графике зависимости от времени входного  и выходного  детерминированных сигналов.
  3.  Получить представление выходного сигнала в частотной области, т.е. построить график модуля Фурье-изображения – амплитудный спектр и комплексный спектр гармонического сигнала.
  4.  Сформировать входной случайный сигнал Х с заданной спектральной плотностью , пропустив белый шум с интенсивностью  через формирующий фильтр с передаточной функцией . Записать аналитически выражение для .

Формирование белого шума с заданной интенсивностью

Ts=0.01;

t=0:Ts:20;

x =  randn(1,length(t));

plot(t,x), grid

title('Белый шум');

xlabel('Время (сек)');

ylabel('x(t)')

  1.  Пропустить сформированный случайный сигнал Х через ДС с заданной передаточной функцией W(s), с использованием функции filter, получив на выходе сигнал Y. Построить на одном графике зависимости от времени входного Х и выходного Y детерминированных сигналов.
  2.  Определить по теореме Винера-Хинчина аналитическое выражение для спектральной плотности выходного сигнала . Построить графическое представление спектральной плотности сигнала , с помощью функции psd(Y).
  3.  Определить по теореме Винера-Хинчина аналитическое выражение для взаимно спектральной плотности . Построить взаимно спектральную плотностью входного и выходного случайных сигналов , с помощью функции csd(X,Y).
  4.  Сделать выводы о преимуществах систем при случайных воздействиях в процессе решения задач анализа.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ:

Вариант 1

 

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Контрольные вопросы:

  1.  Что такое задача анализа качества системы?
  2.  Назовите основные этапы задачи анализа качества ДС.
  3.  Что является эталонной мерой для динамических систем?
  4.  Что такое желаемое преобразование системы?
  5.  Что такое поверка, принцип поверки ДС?
  6.  Какие показатели качества работы системы имеются, исходя из особенностей сигналов действующих в ДС?
  7.  Что такое спектр, Фурье-изображение?
  8.  Какой спектр позволяет судить об амплитуде, частоте и фазе гармонических составляющих?
  9.  Что такое корреляционная функция?
  10.  Способы определения спектральной плотности случайного сигнала?
  11.  Суть теоремы Винера-Хинчина?
  12.  В чем преимущества анализа систем при случайных воздействиях?

13.    Каким образом может быть сформирован в MATLABе белый гауссовский шум?

14.    Какая разница между операторами filter и filtfilt?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32306. Правовое государство 26.5 KB
  Основными признаками чертами правового государства являются следующие. Полная гарантированность и незыблемость закона в условиях существования прав и свобод граждан а также установление и поддержание принципа взаимной ответственности гражданина и государства в главе 2 Конституции РФ содержится полный перечень экономических политических юридических и социальнокультурных гарантий обеспечения основных прав и свобод граждан. Суть данного принципа состоит в том что для обеспечения процесса нормального функционирования государства в нем...
32307. РЕАЛИЗАЦИЯ ПРАВА: ПОНЯТИЕ И ФОРМЫ 63.5 KB
  Применительно к праву этот процесс означает его перевод в качество правомерного поведения использование свойств права для достижения социально полезного результата. Субъектами реализации права являются те лица на которых право распространяет свое действие то есть субъекты права. Явич справедливо заметил что осуществление права не всегда представляло практическую и теоретическую проблему ее не было когда защищенные силой фактические отношения на заре цивилизации являлись правом ее не бывает или почти не оказывается когда...
32308. Учение о составе правонарушения понятие состава правонарушения как основания юридической ответственности. Элементы состава и их характеристика 46.5 KB
  Учение о составе правонарушения понятие состава правонарушения как основания юридической ответственности. Установление состава правонарушения является юридической квалификацией содеянного весьма важной с правовой точки зрения логической операцией непосредственно затрагивающей судьбу личности. Наличие состава правонарушения является основанием для привлечения виновного лица к юридической ответственности. В состав правонарушения входят следующие четыре элемента которые в свою очередь раскрываются через ряд собственных специфических черт и...
32309. Предмет Теории государства и права 44 KB
  Для теории государства и права в качестве объекта выступают государство и право которые в то же время исследуются и другими науками как юридическими так и не юридическими философией политологией экономикой социологией и т. В качестве предмета теории государства и права выступают два следующих блока объективной действительности. 1 Наиболее общие закономерности возникновения развития и функционирования государства и права. Отсюда предметом теории государства и права будут выступать основные государственноправовые закономерности а...
32310. Место и роль ТГП в системе юридических наук 40.5 KB
  Они дают знания о развитии и чертах государства и права вообще безотносительно к конкретным государствам или праву действующему на отдельной территории. К фундаментальным наукам относятся: o теория государства и права; o история государства и права России и зарубежных стран; o история политических и правовых учений. Эти науки изучают отдельные отрасли права. Они призваны выявить специфику той или иной отрасли ее особенности характерные черты отличия от других отраслей права.
32311. Методология юридической науки 39.5 KB
  Методология юридической науки. Особенности науки теории государства и права выражаются не только в ее предмете но и в методе. Под методом науки понимается совокупность приемов средств принципов и правил с помощью которых обучающийся постигает предмет получает новые знания. Метод это подход к изучаемым явлениям предметам и процессам планомерный путь научного познания и установления истины.
32312. Общая характеристика власти догосударственного периода 37 KB
  Любое общество представляет собой своего рода целостный социальный организм систему который отличается той или иной степенью организованности урегулированности упорядоченности общественных отношений. Для первобытнообщинного строя были характерны следующие черты: наличие лишь примитивных орудий и неспособность человека без помощи всего рода выжить и обеспечить себя пищей одеждой жилищем. Все взрослое население рода и мужчины и женщины имели право участвовать в обсуждении и решении любого вопроса связанного с деятельностью рода....
32313. Азиатский способ производства и возникновение государств на Др.Востоке (восточно-деспотических государств) 34.5 KB
  Постепенно по мере роста масштабов кооперации коллективной трудовой деятельности зародившиеся еще в родоплеменных коллективах зачатки государственной власти превращаются в органы управления и господства над суммами общин которые в зависимости от широты экономических целей складываются в микро и макрогосударства объединяемые силой централизованной власти. Общинники считаются свободными однако фактически все стало государственной собственностью включая личность и жизнь всех подданных которые оказались в безраздельной власти...
32314. Возникновение государственности в Европе (Афины, Рим, германцы, славяне). Общие закономерности и особенности 50 KB
  В отличие от азиатского государства ведущим государствообразующим фактором на территории Европы было классовое разделение общества. Следовательно для генезиса Афинского государства характерно то что оно возникает непосредственно и прежде всего из классовых антагонизмов развивающихся в недрах родоплеменного общества. В длившейся 200 лет борьбе между двумя группами свободных членов римского родоплеменного общества плебеи вырывали у патрициев одну уступку за другой. Если само положение Греции и Рима способствовало...