14669

Особенности анализа динамических систем (ДС) при детерминированных и случайных воздействиях

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 Тема: Особенности анализа динамических систем ДС при детерминированных и случайных воздействиях Цель работы: на практических примерах изучить особенности задач анализа качества систем при детерминированных и случайных воздействиях; постр...

Русский

2013-06-09

199 KB

2 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

Тема: Особенности анализа динамических систем (ДС) при детерминированных и случайных воздействиях

Цель работы: на практических примерах изучить особенности задач анализа качества систем при детерминированных и случайных воздействиях; построение характеристик выходных сигналов ДС (детерминированных и случайных); применение теоремы Винера-Хинчина.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Алгоритм анализа качества системы при детерминированных и случайных воздействиях

Задача анализу известной динамической системы в конкретных условиях ее эксплуатации состоит в определении выходных реакций и сигналов управления систем при определенных входных сигналах, сравнении достигнутых выходных сигналов с желаемыми, вычислении ошибки и получение на ее основе показателя качества системы.

При анализе качества работы СУ исходят из того, что структурная схема и параметры устройств системы известны. Требуется оценить качество ее работы.

Под качеством работы динамической системы понимают свойства сложной системы, которые характеризуют успешность решения ДС задач функционирования в определенных эксплуатационных условиях и в определенный интервал времени или, иначе говоря, характеризует некоторую меру полезных свойств системы.

Решение задач анализа начинается с выбора показателя качества или совокупности показателей. Потом уточняются свойства идеальной и реальной систем. Здесь же четко определяется функциональное назначение и формулируется понятие ошибки системы. Следующий этап задачи - установление динамических характеристик воздействий и других сигналов, которые отвечают каждому варианту условий эксплуатации. Желательно знать модели сигналов, близких к реальным эксплуатационным.

Качество сложной динамической системы, как правило, имеет многочисленные грани, стороны. В зависимости от конкретики целей функционирование и назначение системы разные стороны качества имеют разный вес. Учет по возможности всех важных сторон качества одновременно практически невозможно. Это сильно загромождает критерии (показатели) качества системы и делайте задачи синтезу и анализу качественных систем практически не разрешимыми.

Как правило, в практике определяют главную сторону качества исследуемой системы. Эта сторона качества выступает его эквивалентом, критерий качества такой системы один. Однокритериальные задачи решаются более просто, а результаты обеспечения качества эффективнее.

В практике нередко за главную сторону качества (его эквивалент) избирают некоторую близость реального функционирования системы к ранее определенному нормативному, т.е. точность. В этих случаях понятие "точность" может однозначно характеризовать качество системы, т.е. выступать в роли его эквивалента, а точностной показатель качества может стать критерием ее качества. Таковы, например, критерии качества управления многими типами летательных аппаратов. Например, основной стороной качества систем навигации и управление полетом летательных аппаратов есть некоторая мера близости реальных траекторий полета к нормативным, программных, то есть точность траекторных полетов.

Если близость (точность) выполнение нормативного функционирования системы есть эквивалентом ее качества, то его оценку начинают с определения понятия ошибки системы в функционировании.

Содержание задачи анализа качества функционирования системы проиллюстрируем на примере ДС приведенной на рис.1.

Здесь x – Фурье-образ вектора выходных реакций системы x(t); ψ – Фурье-образ вектора возмущений ψ(t); i – Фурье-образ вектора желаемых сигналов i(t); ε – Фурье-образ вектора ошибок системы, W – передаточная функция измерительной системы.

Рис.1. Структурная схема измерительной системы (задача анализа)

Ошибка системы в функционировании ε(t) – разность между векторами реальных исходных x(t) и желаемых выходных и(t) сигналов системы

,        (1)

где вектор желаемых сигналов i(t) есть результатом желаемого преобразования программного сигнала функцией Φ(t). Причем, при исследовании ДС, чтобы проверить работоспособность, соответствие определенным требованиям данной системы, желаемый сигнал выступает как некая эталонная мера, которая причем назначается исследователем в зависимости от целей и задач работы (функционирования) системы. Иначе говоря, посредством задания желаемого сигнала и вычисления ошибки системы возможно выполнить поверку данной ДС, т.е. установить пригодность данной системы. Здесь Φ(t) – некоторая желательная матрица передаточных функций системы, которая непосредственно отвечает целям функционирования системы, ее назначению - .

Желаемый сигнал – результат абсолютно точного преобразования "идеальной" системой полезной составляющей входного (программного) сигнала. Очевидно, что реальная система отличается от желаемой - „идеальной”. Отличие вызовется, во-первых, наличием помех в сигналах „вход-выход” и необходимостью средств преодоление их влияний соответствующим выбором динамических свойств системы. Во-вторых, желаемые динамические свойства системы не всегда точно реализуются аппаратно. Ошибка системы (1) в функционировании может состоять из детерминированной и случайной частей

;         (2)

,         (3)

которые будем называть детерминированной и случайной ошибками.

Если качество функционирования системы определяется, в основном, детерминированной ошибкой, то за показатель качества принимается интегральная квадратичная ошибка вида

.      (4)

Здесь  – n-измеримый вектор детерминированной ошибки системы (2),  – ее Фурье-образ; R(t) – весовая симетрическая положительно определенная матрица размера n x n, R(s) – ее Фурье-образ; tr – след матрицы; „*” – символ єрмитова сопряжения. Частотный образ критерия (4) полученный с помощью теоремы Парсеваля.

Показателем качества системы при случайных воздействиях принято брать среднюю квадратичную ошибку, которая построенная на случайной ошибке системы (3) и имеет вид

,      (5)

где  – транспонированная матрица спектральных плотностей случайной ошибки системы; R(s) – весовая матрица, не отличается от такой же в выражении (4).

Таким образом, основные этапы решения задачи анализу качества такие:

  •  по известным динамическим характеристикам звеньев и системы в целом, а также входных управляющих и возмущающих воздействий и помех определяются выходные сигналы системы (их динамические характеристики);
  •  устанавливаются свойства “идеальной” системы и модели динамики желаемых сигналов, выбирается вид желаемого показателя качества системы;
  •  определяется понятие ошибки системы;
  •  вычисляется значение показателя качества в заданных эксплуатационных условиях;
  •  проводится сравнение вычислительного значения показателя качества с нужным, делается вывод о пригодности системы, ее эффективности, целесообразность усовершенствования системы с целью повышения ее качества, оценивается влияние тех или других эксплуатационных факторов и параметров конструкции на качество системы и т.п.
  •  исходя из выражений для показателей качества, находим ошибку системы ε, а потом и эрмитово сопряженную ошибку ε*, либо спектральную плотность ошибки системы для системы при случайных воздействиях. Подставив найденные выражения ε и ε*, а также весовую матрицу R = En в интеграл (4) или (5) и соответствующим образом вычислил его, определим значения (число), которое определяет качество системы в заданных условиях работы. Поскольку выражения (4), (5) характеризуют ошибку, то чем такое число будет меньшим, тем качество выше.

Определение характеристик выходных реакций ДС.

Если система находится под воздействием некоторых детерминированных (периодических, непериодических) сигналов, то в качестве характеристик выходного сигнала можно принять его представление в частотной области. Основная задача спектрального анализа – выявление гармонического спектра сигналов, т.е. определение частот гармонических составляющих сигнала (выявление частотного спектра), амплитуд этих гармонических составляющих (амплитудного спектра), и их начальных фаз (фазового спектра).

В основе спектрального анализа лежит теория Фурье о  возможности разложения любого периодического процесса с периодом  (где  - круговая частота периодического процесса,  - частота в герцах) в бесконечную, но счетную сумму отдельных гармонических составляющих.

Таким образом, частотный спектр периодического колебания состоит из частот, кратных основной (базовой) частоте , т.е. частот .

Любой периодический процесс может быть представлен в виде так называемого ряда Фурье, причем комплексные амплитуды  гармонических составляющих имеют действительные и мнимые части – спектры. Исходя из чего, исходный процесс можно представить в виде ряда Фурье

.

Разложения в ряд Фурье позволяют рассматривать совокупность комплексных амплитуд  как изображение периодического процесса в частотной области. Желание  распространить  такой подход на произвольные процессы привело  к вводу понятия Фурье-изображения в соответствии со следующим выражением:

.

Чтобы выполнить преобразование процесса, представленного во временной  области,   в  его  представление  в частотной области, используют процедуру fft, а также необходимо, сделать следующее:

  •  - по заданному значению дискрета времени Ts рассчитать величину Fmax диапазона частот (в герцах) по формуле:                         

;       (6)

  •  в по заданной длительности процесса Т рассчитать дискрет частоты df по формуле:

;       (7)|

  •  по вычисленным данным сформировать вектор значений частот, в которых будет вычислено Фурье-изображение. Чтобы получить Фурье-изображение, необходимо, выполнить следующие действия: к результатам действия процедуры fft применить процедуру fftshift, которая  переставляет местами первую и вторую половины полученного вектора;                                                          
  •  •     перестроить вектор частот по алгоритму:                                    |

;     (8)

  •  следует иметь ввиду, что графики в частной области удобнее выводить при помощи процедуры stem.

Пример. Имеем некий гармонический процесс с заданным временем длительности T, дискретом времени Ts прошедший через некоторое звено с известной передаточной функцией.

Найдем модуль Фурье-изображения выходного периодического сигнала.

df = 1/T;  Fmax = 1/Ts;  dovg = length(t);

f = -Fmax/2 : df  : Fmax/2;

X = fft (Y);  Xp = fftshift(X);

A = abs (Xp);

stem(f ,A) , grid,

title('Модуль Фурье-изображения гармонического процесса');

xlabel('Частота   (Гц)');

уlabel('Модуль')

Результат Фурье-преобразования в значительной степени будет зависеть от величины дискрета времени и мало говорить об амплитудах гармонических составляющих. Это обусловлено различием между определениями Фурье-изображения и комплексного спектра. Поэтому для незатухающих (установившихся, стационарных) колебаний любого вида намного удобнее находить не Фурье-изображение, а его величину, деленную на число точек в реализации. В предыдущей части программы это эквивалентно замене оператора X=fft(Y) на X=fft(Y)/dovg, где dovg — длина вектора t.

В результате получается комплексный спектр, полностью соответствующий коэффициентам комплексного ряда Фурье.

Выделим действительную и мнимую части комплексного спектра:

dch = real(Xp); mch = imag(Xp);

subplot (2,1,1)                                                        

plot (f ,dch) , grid,  •                                                          

title('Комплексный спектр полигармонических колебаний');

ylabel (' Действит. часть')

subplot(2,1,2)                                                                                     

plot (f ,mch) , grid,                                                    

xlabel ('Частота (Гц)');                                 

ylabel ('Мнимая часть')

По полученным графикам можно судить не только о частотах и амплитудах, но и о начальных фазах отдельных гармонических составляющих.

Фильтрация данных в MATLABе

Фильтрация - преобразование заданного сигнала с помощью линейного фильтра, описываемого передаточной функцией вида

Фильтрация осуществляется в MATLABе при помощи оператора filter следующим образом

y = filter(b, a, x),

где x – заданный вектор значений входного сигнала; y – вектор значений выходного сигнала фильтра, получаемого вследствие фильтрации; b, a – вектор коэффициентов числителя, знаменателя передаточной функции фильтра (звена).

Чтобы избежать фазовых искажений полезного сигнала при его восстановлении, можно воспользоваться процедурой двойной фильтрации – filtfilt. Обращение к ней имеет такую же форму, что и к процедуре filter. В отличие от последней процедура filtfilt осуществляет обработку вектора x в два приема: сначала в прямом, а затем в обратном направлении. Результат имеет практически нулевое искажение фазы и амплитуду, измененную квадратом отклика амплитуды фильтра.

Если система находится под воздействием случайных стационарных центрированных процессов, то возможно определить такие неслучайные характеристики (вероятностные) случайного выходного сигнала, как спектральная плотность, корреляционная функция. Причем на основе теоремы Винера-Хинчина возможно определить нужные матрицы спектральных и взаимных спектральных плотностей системы.

  (9)

Выражения (9) представляют собою теорему Винера-Хинчина.

Если x(t) = y(t), то транспонированная матрица спектральных плотностей процесса x(t) запишется как

.

Теорему Винера - Хинчина (выражение (9) возможно использовать для определения спектральных (взаимных спектральных) плотностей сигналов в многомерных динамических системах.

В программе MATLAB процедуры psd, csd осуществляют построение графических зависимостей спектральной (взаимно спектральной) плотностей случайных стационарных центрированных процессов от частоты.

ХОД РАБОТЫ:

  1.  Сформировать входной детерминированный сигнал  длительностью , для нечетных вариантов  и для четных – .
  2.  Пропустить сформированный сигнал через ДС с заданной передаточной функцией W(s): для четных вариантов , для нечетных вариантов , с использованием функции filter, получив на выходе детерминированный сигнал . Построить на одном графике зависимости от времени входного  и выходного  детерминированных сигналов.
  3.  Получить представление выходного сигнала в частотной области, т.е. построить график модуля Фурье-изображения – амплитудный спектр и комплексный спектр гармонического сигнала.
  4.  Сформировать входной случайный сигнал Х с заданной спектральной плотностью , пропустив белый шум с интенсивностью  через формирующий фильтр с передаточной функцией . Записать аналитически выражение для .

Формирование белого шума с заданной интенсивностью

Ts=0.01;

t=0:Ts:20;

x =  randn(1,length(t));

plot(t,x), grid

title('Белый шум');

xlabel('Время (сек)');

ylabel('x(t)')

  1.  Пропустить сформированный случайный сигнал Х через ДС с заданной передаточной функцией W(s), с использованием функции filter, получив на выходе сигнал Y. Построить на одном графике зависимости от времени входного Х и выходного Y детерминированных сигналов.
  2.  Определить по теореме Винера-Хинчина аналитическое выражение для спектральной плотности выходного сигнала . Построить графическое представление спектральной плотности сигнала , с помощью функции psd(Y).
  3.  Определить по теореме Винера-Хинчина аналитическое выражение для взаимно спектральной плотности . Построить взаимно спектральную плотностью входного и выходного случайных сигналов , с помощью функции csd(X,Y).
  4.  Сделать выводы о преимуществах систем при случайных воздействиях в процессе решения задач анализа.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ:

Вариант 1

 

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Контрольные вопросы:

  1.  Что такое задача анализа качества системы?
  2.  Назовите основные этапы задачи анализа качества ДС.
  3.  Что является эталонной мерой для динамических систем?
  4.  Что такое желаемое преобразование системы?
  5.  Что такое поверка, принцип поверки ДС?
  6.  Какие показатели качества работы системы имеются, исходя из особенностей сигналов действующих в ДС?
  7.  Что такое спектр, Фурье-изображение?
  8.  Какой спектр позволяет судить об амплитуде, частоте и фазе гармонических составляющих?
  9.  Что такое корреляционная функция?
  10.  Способы определения спектральной плотности случайного сигнала?
  11.  Суть теоремы Винера-Хинчина?
  12.  В чем преимущества анализа систем при случайных воздействиях?

13.    Каким образом может быть сформирован в MATLABе белый гауссовский шум?

14.    Какая разница между операторами filter и filtfilt?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52833. Математична наука навколо нас 67 KB
  Математична наука навколо нас Протягом усього свідомого життя людина здобуває нові знання. Знанняце сукупність інформаціїяку вона дістає з навколишнього світу в процесі суспільновиробничої практики. Головна мета такого уроку спостереження предметів явищ процесів які вивчаються та вміння використовувати теоретичні знання на практичних прикладах що супроводжується поясненням учителя. У процесі уроку учні зможуть: повторити теоретичні відомості ; поглибити свої знання про...
52834. Конструювання та розвязання економічних задач в середовищі табличного процесору Microsoft Excel 108.5 KB
  Раціональність вибору вказаних класів пояснюється тим, що разом з наочно-образним мисленням, що допомагає цілісно бачити обєкти, в учнів у цьому віці активно розвивається асоціативне мислення, сприяюче засвоєнню різних абстрактних понять.
52835. ЛОКАЛЬНІ ЕКСТРЕМУМИ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ 182 KB
  Викладено методику проведення лекційного заняття з використанням інтерактивних форм навчання з теми Локальні екстремуми функції двох змінних Для викладачів вищої математики вищих навчальних закладів 12 рівнів акредитації. 10 Додатки: Додаток А Текст лекції Локальні екстремуми функції двох змінних 18 Додаток Б Приклади задач економічного характеру. Група: БО 27 Тема: Локальні екстремуми функції двох змінних Мета заняття: Методична: показати методику проведення лекції із застосуванням техніки зворотного...
52836. Графики нагрузок промыленных установок 243.5 KB
  Цеховые электрические сети напряжением до 1000 В являются составной частью систем электроснабжения промышленного предприятия и служат для распределения электроэнергии внутри цехов а также для питания некоторых электроприемников расположенных за пределами цеха на территории предприятия. Схема внутрицеховой сети определяется технологическим процессом производства планировкой помещений цеха взаимным расположением источника питания подстанций и приемников электроэнергии их единичной установленной...
52837. Электричество. Учись быть бережливым 307 KB
  Даже страшно подумать об этом Что случилось бы если бы исчез свет Ответы детей. Если б солнечный свет вдруг бы взял и пропал Мир бы сразу угрюмым и темным весь стал Тьма покрыла бы всё на планете Даже звезды с луною не светят. Солнце звезды запомните это Называют естественными источниками света. И без них день бы в ночь превратился навек Разве сможет без света прожить человек А животные птицы растенья цветы.
52840. Впровадження елементів проектного навчання у роботі з автентичною художньою літературою на уроках англійської мови в старшій школі 111 KB
  Маючи вищу педагогічну освіту методичний та педагогічний досвіт роботи з учнями автор ставить завдання пошуку нових ефективних шляхів навчання комунікативної компетенції які б були достатніми для здійснення спілкування у певних комунікативних сферах та розвитку творчої ініціативи здібностей пізнавальних інтересів учнів. Групове та колективне розвязування навчальних завдань стимулює пізнавальну та творчу діяльність учнів. Робота з віршованими текстами формує творчі здібності критичне та логічне мислення сприяє виявленню в...
52841. Элементы истории математики на уроках в общеобразовательной школе 299 KB
  Решением неопределенных уравнений занимались в древности китайцы греки и индийцы. В Арифметике Диофанта приведено много задач решаемых им с помощью неопределенных уравнений разных степеней при этом он допускает в качестве решений любые положительные дробные или целые числа. Из 1 следует неопределенное уравнение первой степени x y=...