14697

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ

Лабораторная работа

Физика

Лабораторная работа № 5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ Цель работы: ознакомиться с основными характеристиками волновых процессов; изучить условия образования и особенности стоячей волны; определить скорость звука в воздухе метод...

Русский

2013-06-09

408 KB

107 чел.

Лабораторная  работа  № 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ

Цель работы:

ознакомиться с основными характеристиками волновых процессов;

изучить условия образования и особенности стоячей волны;

определить скорость звука в воздухе методом стоячей волны;

определить для воздуха отношение изобарической теплоемкости к изохорической.

Понятие о волнах.

Волну можно определить, как возмущение, распространяющееся в пространстве. В упругой среде под возмущением понимают периодически меняющуюся деформацию, порождаемую действием периодической силы. Объем пространства, в котором происходят эти колебания, возрастает с течением времени. При рассмотрении процессов распространения волн в телах обычно отвлекаются от молекулярного строения этих тел и рассматривают тела как сплошную среду, непрерывно распределенную в пространстве. Под частицей среды, совершающей вынужденные колебания, понимают малый элемент объема среды, размеры которого в то же время во много раз больше межмолекулярных расстояний. Вследствие действия упругих сил деформация будет распространяться в среде с определенной скоростью, называемой скоростью волны.

Примечание 1 В общем случае наличие упругих свойств в среде не является обязательным для распространения в ней волн. Например, электромагнитные и гравитационные волны распространяются и в вакууме. Поэтому в физике  в о л н а м и  называют всякие распространяющиеся в пространстве возмущения состояния вещества или поля. Под возмущением понимают отклонение физических величин от их равновесных состояний.

В газовой среде волны представляют собой чередующиеся области более высокого и более низкого давления и плотности, перемещающиеся в пространстве с течением времени. Под действием изменяющегося давления барабанная перепонка уха совершает вынужденные колебания, которые через довольно сложную систему слухового аппарата вызывают биотоки, протекающие к мозгу.

Важно отметить, что частицы среды не увлекаются движущейся волной. Скорость их колебательного движения отличается от скорости волны. Траектория частиц представляет собой замкнутую кривую, а их суммарное отклонение  за период равно нулю. Поэтому распространение волн не вызывает переноса вещества, хотя при этом переносится энергия от источника колебаний в окружающее пространство.

В зависимости от того, в каком направлении происходят колебания частиц, говорят о продольной или поперечной  волне.

Волны называются продольными, если смещение частиц среды происходит вдоль направления распространения волны (например, при периодическом упругом сжатии или растяжении тонкого стержня вдоль его оси). Продольные волны распространяются в средах, в которых силы упругости возникают при сжатии или растяжении (т. е. в твердых, жидких и газообразных).

Если частицы колеблются в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны, то волны называются поперечными. Они распространяются только в средах, в которых возможна упругая деформация сдвига (только в твердых телах). Кроме того, поперечные волны распространяются на свободной поверхности жидкости (например, волны на поверхности воды) или на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей (например, на границе пресной и соленой воды).

Теория упругих деформаций дает формулы для вычисления скоростей распространения поперечных и продольных волн в упругих средах.

Скорость распространения продольной волны

                                          (1)

где Е - модуль Юнга среды (модуль упругости среды);  ρ - плотность среды.

     Примечание 2 Скорость распространения продольной волны имеет размерность – м/с, то есть, время должно присутствовать. Покажем это более подробными выкладками.

    За время Δt при скорости распространения волны v сжатие или разрежение распространится на расстояние l = v·Δt. Каждая из областей (Δm) будет перемещаться со скоростью  По второму закону динамики, импульс силы, действующей на крайний слой воздуха равен изменению количеству движения объема ΔV, прилегающему к источнику колебаний (торцу стержня). Если обозначить плотность воздуха через ρ, то масса пришедшая в движение, будет равна  ρ·S·l, а изменение количества движения - ρ·S·l·u. Тогда получим следующее равенство:

F·Δt = ρ·S·l·u,

Разделив обе части этого равенства на S·Δt, получим ,  умножив числитель и знаменатель правой части данного соотношения на l, можно записать:

    Отношение силы F к площади S, в данном случае, называется напряжением. По закону Гука, напряжение прямо пропорционально относительному удлинению , то есть:

    Коэффициент пропорциональности E, равный напряжению, которое вызвало бы увеличение длины вдвое, называется модулем упругости или модулем Юнга. Видно, что  Подставляя в предыдущую формулу, получим:

    Или, скорость движения сжатия (или разрежения) будет равна

, то есть, то, что требовалось доказать.

 

Скорость же распространения поперечной волны

                                          (2)

где  G - модуль сдвига.

Звуковые волны в воздухе являются продольными.  Для жидкостей и газов вместо модуля Юнга  в формулу (1) входит отношение отклонения давления ΔΡ к относительному изменению объема  

                 (3)

Знак минус означает, что увеличению давления (процессу сжатия среды) соответствует уменьшение объема и наоборот. Полагая изменения объема и давления бесконечно малыми, можно записать

                               (4)

При распространении волн в газах давление и плотность периодически повышаются и понижаются  (соответственно, при сжатии и разрежении), в результате чего происходит изменение температуры различных участков среды. Сжатие и разрежение происходят так быстро, что смежные участки не успевают обменяться энергией. Процессы, происходящие в системе без теплообмена с окружающей средой,  называются   адиабатическими. При адиабатическом процессе изменение состояния газа описывается уравнением Пуассона:

                          (5)

Параметр  γ  называют показателем адиабаты. Он равен отношению молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении Cp и постоянном объеме Cv :

.

Дифференцируя (5), получаем  , откуда следует:

.                             (6)

Подставив (6) в (4), получим для модуля упругости газа

.                                    (7)

Подставив (7) в (1), найдем скорость упругих волн в газах:

   .                      (8)

Из уравнения Менделеева-Клапейрона  можно выразить плотность газа:  

                         (9)

где - молярная масса.

Подставляя (9) в (8), получим конечную формулу для нахождения скорости звука в газе:

                    (10)

где R - универсальная газовая постоянная, Т - температура газа.

Измерение скорости звука - один из наиболее точных методов определения показателя адиабаты.

Преобразуя формулу (10), получим:

                        (11)

Таким образом, для определения показателя адиабаты достаточно измерить температуру газа и скорость распространения звука.    

Уравнение волны. Энергия волн.

Волновой поверхностью называют геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. В простейших случаях они имеет форму плоскости или сферы, а соответствующая волна называется плоской или сферической. Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. Пусть частицы среды, лежащие в плоскости  x = 0 , начинают в момент t = 0 совершать колебания по гармоническому закону. Это значит, что смещение частиц изменяется во времени по закону синуса или косинуса, например:

y = A sin ωt                       (12)

где у - смещение данных частиц от положения равновесия в момент времени t, А -максимальное значение смещения (амплитуда);  ω - циклическая частота.

Пренебрегая затуханием в среде, получим уравнение колебания частиц, расположенных в плоскости, соответствующей произвольному значению x>0 (рисунок 1). Пусть волна распространяется в направлении возрастания х. Чтобы пройти путь от плоскости x=0 до указанной плоскости, волне требуется время  
                                     ( 13)
где v -скорость перемещения поверхности постоянной фазы (фазовая скорость).
Поэтому колебания частиц, лежащих в плоскости х, начнутся в момент t = τ  будут происходить по такому же закону, что и в плоскости х=0, но с

Рисунок- 1
отставанием по времени на величину  τ, а именно:
    (14)
Иначе говоря, смещение частиц, находившихся в момент t=0 в плоскости х, в момент t будут такими же, как в плоскости х=0, но  в более ранний момент времени
t1 =                                  (15)
Учитывая (13), получаем:

y = A sinω                  (16)

Уравнение (16) представляет собой уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х.  Из него можно определить отклонение частиц среды от равновесия в любой точке пространства с координатой х и в любой момент времени t при распространении указанной волны. Вместо синуса в (16) можно поставить косинус. Аргумент косинуса или синуса называют фазой колебания. Фаза определяет состояние колебательного процесса в данный момент времени (знак и абсолютную величину относительного отклонения частиц от их положения равновесия). Из (15) видно, что фаза колебаний частиц, расположенных в плоскости х, меньше соответствующей величины для частиц, расположенных в плоскости х = 0, на величину, равную .

Если плоская волна распространяется в направлении убывания х (налево), то уравнение (16) преобразуется к виду:

У = A sinω                  (17)

Учитывая, что

,               (18)

запишем (16) в виде:

у=A cos2π             (19)

где Т - период колебания, ν - частота.

Расстояние λ, на которое волна распространяется за  период Т

λ=υT                                           (20)

называется длиной волны.

Можно также определить длину волны и как расстояние между двумя ближайшими точками, фазы колебаний которых отличаются на 2π  (рисунок 2).

                                                  

Рисунок- 2

В дальнейшем более удобно использовать в уравнении волны косинус. Учитывая (19 и 20), уравнение бегущей волны, распространяющейся в направлении “+x”,  можно представить в виде:

            (21)

где   - волновое число, показывающее, сколько длин волн укладывается на расстоянии, равном 2π метров.

Для бегущей волны, распространяющейся в направлении “-x”, получим:

            (21а)

При распространении бегущей волны происходит перенос энергии в пространстве. Плотность кинетической энергии wk (равная кинетической энергии единицы объема)  составляет

, где   ρ – плотность среды, u – скорость колебательного движения частиц среды (не путать со скоростью распространения волны v). Поскольку u = dy/dt, то из (21) получим:

=            (22)

В отличие от обычных локальных колебаний (математический маятник, груз на пружине и т.п.), потенциальная энергия бегущей волны определяется не смещением некоторого участка от положения равновесия, а его относительной деформацией dy/dx (dx - длина участка в невозмущенном состоянии, dy – изменение длины участка при прохождении волны). Плотность потенциальной энергии (потенциальная энергия единицы объема) равна:

 (22a)

где K0 = E. 

Дифференцируя (21) по х и подставляя значение v, учитывая (1), получим:

=              (23)

    Примечание 3 Рассмотрим более подробно вывод формулы (23)            Подставляем, найденное значение в выражение (22a). Если K0 = E, а E = ρ·v2, поскольку      v = λν, или v = (2π/k)·(ω/2π), E = ω2ρ/k2, то

------------------------------------------------

Как видно из (22) и (23), для бегущей волны в любой момент времени выполняется равенство: wk = wp. Иначе говоря, кинетическая и потенциальная энергии колеблются в одной фазе (т.е. достигают своих максимальных или минимальных значений одновременно). Это является существенным отличием от локальных колебаний, для которых кинетическая и потенциальная энергии колеблются в противофазе.

Плотность полной колебательной энергии для бегущей волны

w = wk + wp.

С учетом (22,23) получим

                    = =  

=                   (24).

Эта величина колеблется во времени с частотой, вдвое большей частоты колебаний частиц среды. Среднее по времени значение плотности энергии волны для любой точки, через которую проходит волна, равно

                          (25).

Множитель 0.5 возникает за счет того, что среднее значение квадрата синуса за период как раз равно 0,5.

Таким образом, плотность колебательной энергии, переносимой волной, пропорциональна плотности среды и квадратам частоты и амплитуды.

Особую роль играют гармонические волны (см., например, уравнения (16) и (17)). Это связано с тем, что любое распространяющееся колебание, какова бы ни была его форма, всегда можно рассматривать как результат суперпозиции (сложения) гармонических волн с соответственно подобранными частотами, амплитудами и фазами.

Стоячие волны.

Особый интерес представляет собой результат интерференции двух волн с одинаковой амплитудой и частотой, распространяющихся навстречу друг другу. На опыте это можно осуществить, если на пути бегущей волны перпендикулярно к направлению распространения поставить хорошо отражающую преграду. В результате сложения (интерференции) падающей и отраженной волн возникнет так называемая стоячая волна. Пусть падающая волна описывается уравнением (16), а отраженная – уравнением (17).

Сложение этих двух волн дает Y = y1 + y2:

                      Y = 2A cosωt  cos                   (26)

Это уравнение, называемое уравнением стоячей волны, удобно в дальнейшем анализировать в виде:

Y = 2A cosωt ,                          (27)

где множитель

A0 =                      (28)

является амплитудой стоячей волны. Как видно из выражения (28), амплитуда стоячей волны зависит от координаты точки, но не зависит от времени. У бегущей плоской волны амплитуда не зависит ни от координаты, ни от времени (при отсутствии затухания).

     Примечание 4 Проделаем необходимые преобразования для определения суммарной волны.

Y = A[sin ω(t – x/v) + sin ω(t + x/v)] =

= 2Acos[ω/2(t – x/v – t - x/v)] sin[ω/2(t – x/v + t + x/v)] = 2Acos(-ωx/v) sin ωt =  = 2Acos(ωx/v) sin ωt.

Или Y = A0sin ωt, где A0 = 2Acos(ωx/v).

Множитель  sin ωt  показывает, что в точках среды возникает колебание с той же частотой, что и колебания встречных волн. Так как функция  - может принимать значения от 0 до 1, то амплитуда стоячей волны в зависимости от координаты точки может принимать значения (А0): от 0 до 2.

Точки стоячей волны, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называют узлами, а точки, в которых она максимальна, называют пучностями. Координаты пучностей стоячей волны можно определить из равенства  

или            

тогда                                                    (29)

где   k = 0, 1, 2,... .

Координаты узлов определяются из равенства

Или ,

откуда следует

x=                                  (30)

Из выражений (29) и (30) следует, что расстояние между соседними узлами (или между соседними пучностями) равно , а расстояние между ближайшими узлом и пучностью равно  (рисунок- 3). Уравнение (27) показывает, что все точки среды, расположенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе, причем значение фазы определяется только временем. Для бегущей волны как следует из (16), фаза определяется как временем, так и пространственной координатой. В этом еще одно отличие между данными волнами. При переходе через узел фаза стоячей волны скачкообразно изменяется на 180о. Кривые 1 и 5, приведенные на рисунок 3, соответствуют максимальному отклонению частиц от положения равновесия в моменты времени, отличающиеся на половину периода. В другие моменты времени кривая отклонения частиц будет располагаться между этими двумя.

                                                     Рисунок- 3

При отражении волн на границе двух сред возникает либо узел, либо пучность (в зависимости от так называемых акустических сопротивлений сред). Акустическим сопротивлением среды называют величину . Если среда, от которой отражается волна, обладает более высоким акустическим сопротивлением, чем та, в которой эта волна возбуждается, то на границе раздела образуется узел. В этом случае фаза волны при отражении меняется на противоположную (на 180°). При отражении волны от среды с меньшим акустическим сопротивлением изменение фазы колебаний не происходит.

В отличие от бегущей волны, которая переносит энергию, в стоячей волне переноса энергии нет. Бегущая волна может двигаться вправо или влево, а у стоячей волны нет направления распространения. Под термином "стоячая волна" нужно понимать особое колебательное состояние среды, образованное интерферирующими волнами.

В момент, когда частицы среды проходят положение равновесия, полная энергия частиц, захваченных колебанием, равна кинетической. Она сосредоточена в окрестностях пучностей. Напротив, в момент, когда отклонение частиц от положения равновесия максимально, их полная энергия является уже потенциальной. Она сосредоточена вблизи узлов. Таким образом, два раза за период происходит переход энергии от пучностей к соседним узлам и наоборот. В результате средний по времени поток энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю.

Стоячие волны различной природы (упругие, электромагнитные) проявляются во многих физических явлениях (например, колебания струн музыкальных инструментов, камертонов, колебания электрического тока в вибраторах антенн, голография).

Если плоская звуковая волна распространяется вдоль оси цилиндра в столбе воздуха, ограниченном его стенками и поршнем (рисунок 4), то в результате сложения падающей и отраженной от поршня волн образуется стоячая волна. Вследствие разности акустических сопротивлений поршня и воздуха на границе с поршнем будет находиться узел стоячей волны. На открытом же конце цилиндра будет находиться пучность.

                                 Рисунок- 4

В этом случае в цилиндре могут установиться лишь такие стоячие колебания, при которых на длине столба L укладывается нечетное число четвертей длин волн , т.е. выполняется условие:

                        (31)

где n - любое целое число (n ≠ 0).

Из этого условия можно выразить длину волны

                            (32)

или частоту колебаний

                           (33)

Возникающие колебания частотами, удовлетворяющими условию (33), называются собственными колебаниями системы. Колебания с наименьшей частотой называют основным тоном, а остальные, с частотами 3o, 5o, 7o, -  обертонами.

Если частота фиксирована, то устойчивых колебаний можно добиться, изменяя L путем перемещения поршня и добиваясь таким образом выполнения условия (30). Расстояние между двумя соседними положениями поршня, при которых возникают устойчивые колебания, равно . На эту величину отличаются и соответствующие длины столбов воздуха в трубе.

Методика определения скорости звука в воздухе.

Возникновение собственных колебаний в столбе воздуха можно использовать для нахождения скорости распространения звука в воздухе. Эту скорость можно определить, зная длину волны λ распространяющейся от источника колебаний с известной частотой , по формуле Эйлера:

                                   (34)

Для измерения длины волны используется экспериментальная установка, состоящая из стеклянной цилиндрической трубы, внутри которой может перемещаться подвижной металлический поршень. На противоположном конце трубы укреплен микрофон, превращающий акустические колебания в электрические (рисунок 5). Последние усиливаются осциллографом, на экране которого можно наблюдать зависимость электрического сигнала от времени. На поверхности трубы имеется узкое отверстие, через которое из динамика в замкнутый объем (резонатор) поступает звуковая волна. В результате дифракции и отражения от стенок трубы в резонаторе образуется несколько типов колебаний. При определенных положениях поршня возникает стоячая волна, аналогичная той, которая возникала бы при падении на поршень плоской волны, распространяющейся вдоль оси трубы (назовем ее осью Х) и отражении от него. Перемещая поршень, можно добиться максимального сигнала в микрофоне. В этом случае  положение пучности совпадает с положением мембраны микрофона, а на границе воздух-поршень образуется узел. Если частота фиксирована, то устойчивые колебания устанавливаются только при определенных расстояниях L между поршнем и мембраной, которые, как казалось бы, можно определить из формулы (31).

                           х2                 х1                х0                    xmic

Рисунок- 5

Однако она справедлива только для идеального случая. Имеется несколько причин, по которым эта формула на практике оказывается весьма неточной.

Во-первых, данная формула соответствуют так называемым идеальным границам: акустическое сопротивление второй среды стремится к бесконечности (закрытая граница) или оно стремится к нулю (открытая граница). Так как акустическое сопротивление второй среды всегда имеет конечное значение, то узлы и пучности смещаются от закрытого и открытого концов трубы. Особенно сильным оказывается смещение пучности от открытого конца трубы. Пучность точно совпадала бы с открытым концом трубы, если бы акустическое сопротивление граничащей среды было равно нулю. Это соответствовало бы границе воздух – вакуум, что совершенно нереализуемо. Более того, в нашем случае на второй границе (в микрофоне) происходит частичное поглощение звука.

Второй причиной, по которой формула (31) оказывается неточной, являются так называемые волноводные эффекты, усиливающиеся по мере роста диаметра трубы.

Наконец, поглощение энергии звуковой волны воздухом также вносит коррективы в указанную формулу.

По указанным причинам формула (31) соответствует только идеальным условиям и на практике точно не выполняется. Однако можно воспользоваться следующим обстоятельством. 

Пусть при некотором минимальном значении расстояния между поршнем и микрофоном L = Lmin в нашем резонаторе возникают устойчивые колебания, о чем будет свидетельствовать максимальное значение сигнала в микрофоне (положение пучности совпадает с координатой мембраны xmic). Координату соответствующей границы поршень-воздух (положение узла) обозначим х0. По указанным выше причинам, зависимость амплитуды стоячей волны от пространственной координаты х вдоль оси трубы в интервале между х0 и xmic не будет точно описываться формулой (28). Как показывает опыт, в нашем случае, как и в ранее рассмотренном идеализированном, при увеличении длины столба воздуха на величину, равную точно λ/2, снова возникают устойчивые колебания и в микрофоне снова достигается максимум интенсивности. Увеличение длины столба воздуха достигается перемещением отражающей границы (поршня) в направлении от микрофона в новое положение х1. При этом модуль разности х1-х0 (равный разности длин столбов воздуха), с высокой степенью точности равен λ/2.

В пространстве между х1 и х0 образуется обычная стоячая волна, для которой зависимость амплитуды вдоль оси трубы уже хорошо описывается формулой (28). Распределение же амплитуды вдоль оси трубы в промежутке между х0 и xmic будет таким же, как и в первом случае. При достаточно длинной трубе возможно несколько положений поршня, при которых достигается максимум сигнала в микрофоне, и расстояние между любыми такими соседними положениями поршня с высокой степенью точности будет составлять λ/2.

Задание

1. Включить осциллограф. На звуковом генераторе установить значение первой из указанных частот и включить генератор.

2. Перемещая поршень в направлении от микрофона, определить два соседних положения поршня, х0 и х1, при которых достигается максимальное значение сигнала на осциллографе, с которым соединен микрофон. За положение поршня принимается координата плоскости поршня, от которой отражается волна (т.е. плоскости, обращенной к микрофону).

3. Определить скорость звука в воздухе, используя формулу

,                                   (35)

где - частота колебаний звукового генератора,  - измеренное расстояние между двумя соседними положениями поршня, при которых достигается максимальное значение сигнала на осциллографе (т.е. расстояние между соседними узлами).

4. Повторить пункты 2-3 для двух других частот.

5. Рассчитать абсолютную и относительную погрешности скорости звука.

6. Рассчитать показатель адиабаты для воздуха по формуле (11).

Таблица 1

Номер

измерения

υ=            Гц

υ=             Гц

υ=             Гц

Х0

Х1

l

Δl

Х0

Х1

l

Δl

X0

X1

l

Δl

1

2

3

Среднее

значение

Таблица 2

μ,

R,

Т,К

Таблица 3

υ, Гц

Δυ, Гц

, м

, м

v, м/c

Δv, м/c

εV

γ

Δγ

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62291. Содержание и структура урока физической культуры в общеобразовательной школе 25.72 KB
  В практике работы общеобразовательных школ довольно часто говорят о содержании урока. Вместе с тем в работах посвященных теории урока данное понятие не выделено в качестве аспекта заслуживающего специального внимания и анализа.