14850

КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ЖОЛДАРЫНЫҢ ӘР ТҮРЛІ ӘДІСТЕРІ

Доклад

Математика и математический анализ

КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ЖОЛДАРЫНЫҢ ӘР ТҮРЛІ ӘДІСТЕРІ З.Е.Темірғали Б.А.Қадырбаева І.Жансүгіров атындағы Жетісу мемлекеттік университеті Талдықорған қ. Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі әрі тетігі болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және ә...

Казахский

2013-06-09

150.5 KB

31 чел.

КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ЖОЛДАРЫНЫҢ ӘР ТҮРЛІ ӘДІСТЕРІ

З.Е.Темірғали, Б.А.Қадырбаева

І.Жансүгіров атындағы Жетісу мемлекеттік университеті , Талдықорған қ.

Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі  болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.

Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің  ұрпағын тәрбиелеп шығу бүгінгі мектептің алдына қойылған  мақсаттардың бірі. Бұл мақсат әрбір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге  жетілдіре түсуін талап етеді. Осы  талаптың орындалуы орта мектеп бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына  жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.

Бұл мақала алгебра курсында қарастырылатын квадрат теңдеулерге және оларды шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне негізделініп отыр. 

«Квадрат теңдеулер» мектептегі  алгебра курсының маңызды тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, с.с. мазмұнды есептердің  шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу (функцияның нөлдерін, экстремум нүктелерін, өсу және кему  аралықтарын табу), ең үлкен және ең кіші мәндерді табу есептерін шығару және т.б. жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу қажеттігі  туындайды. Сондай-ақ тригонометриялық, көрсеткіштік және логарифмдік  теңдеулерді, физикада және техникада,  геометрия курсының есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі.

Зерттеу барысында мектеп оқушыларына  «квадрат теңдеулерді» шешу жолдарының тоғыз түрлі әдісімен таныстыруға мүмкіндік  бар екендігін анықтадық. Атап айтқанда, олар төмендегідей болып табылады:

1-әдіс. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу

Мысал:       х2+4х+3 =0      теңдеуін шешейік.

Теңдеудің сол жақ бөлігін  көбейткіштерге жіктейміз:

                    х2+х+3х+3 =х(х+1)+3 (х+1) =(х+1)(х+3)

Демек, теңдеуді былай жазуға болады:  (х+1)(х+3) =0

Көбейтінді нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің біреуі нөлге тең болуы керек. Сондықтан  теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х=-1 және  сандары х2+4х+3=0 теңдеуінің  түбірлері болып табылады.

       2-әдіс. Толық квадратқа келтіру әдісі

      Мысал: х2+8х-9=0   теңдеуін шешейік.

Сол  жақ бөлігін толық квадратқа келтіреміз. Ол үшін х2+8х өрнегін төмендегідей жазып аламыз:   х2 + 8х=х2+2х4

Алынған өрнектің бірінші қосындысы х-тың квадраты, ал екінші қосындысы х пен 4-тің  екі  еселенгені. Толық квадрат алу үшін 42-ын қосу керек. Сонда     х2+2х4+42=(х+4)2

Енді теңдеудің сол жағын  түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 42-ын қосып, алып тастаймыз. Сонда шығатыны:         х2+8х-9=х2+2х4+42-9-4=(х+4)2-25

Сонымен, берілген теңдеуді былайша жазуға болады:     (х+4)2-25=0 ,  яғни (х+4)2=25.

Бұдан              х+4=5, х=1          немесе               х+4=-5, х= -9.                                  Жауабы: 1;-9

          3-әдіс. Квадраттық теңдеулерді формула арқылы шешу

 ах2+вх+с=0,  а≠0 теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтеміз де, төмендегі өрнекті аламыз:

                 4а2х2+4ахв+4ас=0  

   ((2ах)2+4ахв+в2)-в2+4ас=0  ,  (2ах+в)22-4ас

         2ах+в= ,        2ах = -в

                           х=                (1)

Оған келесідегідей мысалдар келтіруге болады:   

1)3х2-7х+4=0 теңдеуін шешейік.

                          а=3, в=-7, с=4.     Д=в2-4ас=(-7)2-4·4·3=49-48=1.  

Д>0 болғандықтан, екі әр түрлі түбір болады: х1=1,  х2=

Сонымен, дискриминант оң болғанда, яғни в2-4ас>0, ах2+вх+с=0 теңдеуінің екі түрлі түбірі болады.

2)9х2+6х+1=0  теңдеуін шешейік.

                         а=9, в=6, с=1. Д=в2-4ас=62-4·9·1=0.  

Д=0 болғандықтан, бір ғана түбір бар болады:    х=,  х=

Сонымен, егер дискриминант нөлге тең болса, яғни в2-4ас=0, ах2+вх+с=0  теңдеуінің жалғыз

түбірі бар болады:        х=          

3)х2+2х+3=0  теңдеуін шешейік.

          а=1, в=2, с=3.  Д=в2-4ас=4-4·3·1= -8.  

Д<0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі болмайды.

Сонымен, егер дискриминант теріс болса, яғни в2-4ас<0,  онда ах2+вх+с=0  теңдеуінің түбірі  болмайды.

4-әдіс. Виет теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешу

Келтірілген түбірлері Виет теоремасын  қанағаттандырады.

Ол былай беріледі: а=1 болғанда,  

Бұдан  келесі  тұжырымдарды шығаруға болады:

а) Егер  q  (1)  теңдеудің  бос мүшесі оң болса (q0) онда теңдеудің екі бірдей таңбалы түбірі болады. Егер р>0, онда екі түбірі де теріс болады, егер р<0, онда  түбірлері оң болады.

Мысал,  1)х2-9х+20=0, х1=4, х2=5, мұнда q=20 >0, р=-9 <0;

              2)х2+5х+6 =0,  х1 =-2,  х2 =-3, мұнда q =6 >0, р =5 >0.

б)  Егер q   (1) теңдеудің  бос мүшесі  теріс болса (q <0), онда теңдеудің  екі түрлі, таңбалы екі түбірі болады, түбірдің модулі бойынша үлкені оң болады, егер р <0 болса, теріс болады, егер р >0. Мысал, 1) х2+3х-4 =0;  х1 =-4,  х2 =1 мұнда q =-4 <0, р=-3 >0

                   2) х2-7х-8 =0;  х1 =8, х2 =-1 мұнда  q =-8 <0, р =-7 <0

 5-әдіс. Теңдеуді «асыра лақтыру» әдісімен шешу    

ах2+вх+с =0 , а ≠0  квадрат теңдеуін қарастырамыз. Теңдеудің  екі жағын да а-ға көбейтіп, мынаны аламыз: а2х2+авх+ас=0. ах =у деп белгілесек, х = . Олай болса  у2+ву+ас =0 теңдеуіне келеміз. Бұл  бастапқы теңдеумен тең. Теңдеудің  түбірлерін у1, у2 –ні Виет теоремасы  арқылы табамыз. Соңында х1 =,  х2 = -ны аламыз. Бұл жағдайда               

 а  коэффициентін бос мүшеге көбейтеді. Сондықтан  да бұл әдісті «асыра лақтыру» әдісі деп атайды [1,13бет]. Бұл әдісті көбінесе Виет теоремасын пайдаланып түбірді оңай табуда және дискриминант дәл квадрат болғанда  қолданады.

Мысал:     2х2-9х+9=0  теңдеуін шешейік.

Шешуі:  2 коэффициенті теңдеудің  бос мүшесіне асыра лақтырамыз, нәтижесінде

у2-9у+18=0 теңдеуін аламыз.  Виет теоремасы бойынша

                     Жауабы: 3; 1, 5.

           6-әдіс. Квадрат теңдеулердің коэффициенттерінің қасиеттерін қолдану

  ах2+вх+с=0,  а≠0 квадрат теңдеуі берілген.        

Егер а+в+с=0  (яғни коэффициенттер қосындысы 0-ге тең) болса, онда х1=1, х2=

Мысал:  7+2-9=0 қосындысы 0-ге тең. Осы үш сан үшін квадрат теңдеу құрастырып, оны шешейік:

                         

 7-әдіс. Квадрат теңдеуді циркуль және сызғыш көмегімен шешу    

 ах2+вх+с=0 квадраттық теңдеуін циркуль және сызғыш көмегімен шешу әдісін ұсынамыз (1-сурет). Ізделінді шеңбер абцисса өсінде В(х;0) және Д (х2;0) нүктелерінде қиылыссын делік. Мұндағы х1, х2 - ах2 + вх + с=0 теңдеуінің түбірлері және ординат осінен  А(0;1) және С(0;) нүктелері арқылы өтеді делік. Олай болса, қима туралы теорема бойынша мынаны аламыз:

                                                     

                                                                                                                                          

                                                                                  

 

ОВ·ОД=ОА·ОС,

бұдан ОС=                                                                                  

                                                                                                                                   1-сурет

Шеңбер  центрі АС және ВД  хорда ортасында орналасқан перпендикуляр SF пен SК-ның

қиылысу нүктелері болып табылады, сондықтанSК=;

SF =

Сонымен,

1) S (шеңбер центрі)  және   А (0;1)  нүктелерін тұрғызамыз;

2) SА  радиусты шеңбер  жүргіземіз;

3) Осы шеңбердің Ох осі арқылы өтетін қиылысу нүктелері бастапқы квадрат теңдеудің  түбірі болады.

Сонымен үш түрлі жағдай болуы мүмкін:  

1-ші жағдай.Шеңбер  радиусы ордината  центрінен артық (АS > SК, немесе,   шеңбер Ох осін екі  нүктеде (2а-сурет)  В (х; 0) және Д (х2;0) нүктелерде қияды. Мұндағы  х1 және х2-ах2+вх+с =0 квадрат теңдеуінің түбірлері).

2-ші жағдай.Шеңбер радиусы ордината центрінде (АS= SК; немесе  тең, шеңбер Ох осін В (х1; 0) нүктесінде (2б)-сурет) жанап өтеді, мұндағы х1 – квадрат теңдеудің түбірі).

3-ші жағдай.Шеңбер радиусы ордината центрінен  кіші (А S < SК, немесе ) кем, щеңбердің абцисса  осімен қиылысатын нүктесі жоқ (2в – сурет), бұл жағдайда теңдеудің шешімі болмайды.

   у        у             у

 

  

                   

                                                                2-сурет

а)  АS>SВ,   екі шешімі бар: х1 және х2

б) АS=SВ,   бір шешімі бар: х1

в) АS<SВ,   шешім жоқ.

8-әдіс. Квадрат теңдеуді номограмма көмегімен шешу

 

         O                B                 E                                           y                  3

          F                                   D                                                                      

                                                                     y                     y             3y

          H                 A                                      

 

         C                               

                                                                     3                   3y                  9      

             p                           q        3-сурет                                                              4- сурет

Бұл квадрат теңдеуді  шешудің бұрынғы және жөнсіз ұмыт болған әдісі [2,83бет].

Брадис таблицасында z2+pz+q=0  теңдеуін шешуге арналған номограмманы қарастырайық. Бұл номограмма квадрат теңдеудідің  түбірлерін анықтауға мүмкіндік береді. Номограмманың қисық сызықты шкаласы төменгі формулалар бойынша  тұрғызылған (жоғарыдағы 3-суретте бейнеленген).

ОВ= ОС=р,  ЕД=q, ОЕ=а десек, мұндағы САН және СДF  үшбұрыштарының ұқсастығына мынадай  пропорция аламыз:    

                                                           Мұнда  z2+pz+q=0 теңдеуді ауыстыру жасағаннан және  жеңілдеткеннен шығады, бұл жердегі z әрпі қисық сызықты шкала нүктесінің кез-келген белгісін білдіреді.

9-әдіс. Квадрат теңдеулерді геометриялық әдіспен шешу

Көне заманда алгебраға қарағанда геометрия көбірек жетілген кезде, квадрат теңдеулерді  алгебралық жолмен емес геометриялық жолмен шеше білген. Ежелгі гректер мына у2 + 6у-16=0 теңдеуін  қалай  шешкендігіне тоқталып өтейік.

Шешуі: жоғарыдағы 4-суретте  көрсетілген, мұндағы у2+6у=16 немесе у2+6у+9=16+9

у2+6у+9 және 16+9 өрнекті геометриялық тұрғыда  сол квадраттың өзін береді, ал

у2+6у-16+9-9=0 бастапқы теңдеу де сол теңдеу. Бұдан алатынымыз у+3=5 немесе у1=2, у2=-8.

          Мақалада қарастырылған 9 әдіс те оқушылардың  «Квадрат теңдеулер» тақырыбын терең меңгеруіне жол ашады.  Сонымен қоса, квадрат теңдеулерді шешудің барлық тоғыз әдісі де қолданыс тапқанда оқушылардың пәнге деген қызығушылығы мен логикалық ойлау қабілеті артады.

      

Қолданылған әдебиеттер:

  1.  Математика, информатика, физика журналы . №5, 2003ж.
  2.  Брадис В.М.   Төрт таңбалы математикалық таблицалар – М.: Просвещение, 1990


у

х

А (0;1)

F

S

В (х1;0)

  Д(х2;0)

S

S

S

А(0;1)              В

        0             х2

х

х

х

А(0;1)

       0            В

А

0  х1

В


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21728. Аудио система персонального компьютера 245.5 KB
  Собственно цифровые каналы звуковой карты проходят через интерфейсные схемы например MIDI от шины расширения до ЦАП и от АЦП обратно к шине. На этих картах располагается и порт традиционного MIDI. Интерфейс MIDI Цифровой интерфейс музыкальных инструментов MIDI Musical Instrument Digital Interface является последовательным асинхронным интерфейсом с частотой передачи 3125 Кбит с. В настоящее время интерфейс MIDI имеют и дорогие синтезаторы и дешевые музыкальные клавиатуры пригодные в качестве устройств ввода компьютера.
21729. Коммуникационные устройства 306.5 KB
  Обмен данными требуется для различных целей: передачи файлов совместного использования периферийных устройств например принтеров доступа к разнообразным информационным услугам Интернета и частных сетей приема и передачи факсимильных сообщений посылки сообщений на пейджеры и мобильные телефоны установление голосовой связи IPтелефония видеосвязи и даже совместных игр по сети. СОМпорт Последовательный интерфейс для передачи данных в одном направлении использует одну сигнальную линию по которой информационные биты передаются друг за...
21730. Беспроводные интерфейсы связи 575 KB
  Инфракрасный интерфейс IrDA 2. В беспроводных интерфейсах используются электромагнитные волны инфракрасного IrDA Infrared Data Association и радиочастотного Blue Tooth диапазонов. Инфракрасный интерфейс IrDA 1. Общая характеристика IrDA Применение излучателей и приемников инфракрасного ИК диапазона позволяет осуществлять беспроводную связь между парой устройств удаленных на расстояние нескольких метров.
21731. Общая характеристика периферийных устройств ЭВМ 68.5 KB
  Общая характеристика периферийных устройств ЭВМ Вопросы: Введение в дисциплину периферийные устройства ПУ ЭВМ. Введение в дисциплину периферийные устройства ПУ ЭВМ. Как известно совместимый IBM PC компьютер организован по фоннеймановской архитектуре которая была сформулирована Джорджем фон Нейманом еще в 1945году и имеет следующие принципы: ЭВМ состоит из блока управления БУ и арифметикологического устройства АЛУ. Согласно этой архитектуры ЭВМ можно условно разделить на устройства непосредственной обработки информации и...
21732. Клавиатура. Манипуляторы-указатели 103 KB
  Вопросы: Общая характеристика клавиатуры. Интерфейс клавиатуры и мыши.Общая характеристика клавиатуры. Емкостные датчики и датчики Холла не имеют подвижных контактов и являются наиболее надежными для клавиатуры.
21733. Принципы вывода изображений 209 KB
  Принципы организации видеопамяти. Такой способ отображения называется линейным линейной последовательности пикселов соответствует линейная последовательность бит или групп бит видеопамяти. Многослойное отображение пикселов памяти Таким образом объем видеопамяти в битах V требуемый для хранения образа экрана определяется как произведение количества пикселов p в строке на количество строк n и на количество бит на пиксел b. Если физический объем видеопамяти превышает объем необходимый для отображения матрицы всего экрана видеопамять...
21734. Обработка видеоизображений 128.5 KB
  Стандарты кодеков изображений MPEG. Более совершенные устройства позволяют записывать в реальном времени последовательность видеокадров выполняя их сжатие методами MJPEG DVI или INDEO MPEGкодирование требует слишком больших ресурсов для выполнения преобразования в реальном времени. MPEG ряд кодеков MPEG1 MPEG2 MPEG4 MPEG7. Стандарты кодеков изображений MPEG.
21735. Дисплей и его разновидности 147 KB
  Крупицы люминофора Зерно триады экрана Экран Заполнение экрана Шаг матрицы зерен экрана Рис 5. Шаг матрицы зерен экрана Dot Pitch принято измерять в миллиметрах. Однако отождествлять эти два параметра не очень корректно и параметр Dot Pitch лучше перевести как зернистость экрана но не размер зерна. У 15 мониторов проволочка одна она расположена снизу на высоте примерно 1 3 высоты экрана.
21736. Интерфейсы и адаптеры дисплеев 327 KB
  В традиционной технике цветного телевизионного вещания PAL SECAM или NTSC видеосигнал непосредственно несет информацию о мгновенном значении яркости fн а цветовая информация передается в модулированном виде на дополнительных частотах fд . Таким образом обеспечивается совместимость чернобелого приемника игнорирующего цветовую информацию с цветным передающим каналом. fп 35МГц f МГц fд1 =443Мгц fн=45МГц fд2=46 МГц Однако для вывода графической информации с...