14850

КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ЖОЛДАРЫНЫҢ ӘР ТҮРЛІ ӘДІСТЕРІ

Доклад

Математика и математический анализ

КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ЖОЛДАРЫНЫҢ ӘР ТҮРЛІ ӘДІСТЕРІ З.Е.Темірғали Б.А.Қадырбаева І.Жансүгіров атындағы Жетісу мемлекеттік университеті Талдықорған қ. Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі әрі тетігі болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және ә...

Казахский

2013-06-09

150.5 KB

28 чел.

КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ЖОЛДАРЫНЫҢ ӘР ТҮРЛІ ӘДІСТЕРІ

З.Е.Темірғали, Б.А.Қадырбаева

І.Жансүгіров атындағы Жетісу мемлекеттік университеті , Талдықорған қ.

Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі  болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.

Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің  ұрпағын тәрбиелеп шығу бүгінгі мектептің алдына қойылған  мақсаттардың бірі. Бұл мақсат әрбір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге  жетілдіре түсуін талап етеді. Осы  талаптың орындалуы орта мектеп бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына  жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.

Бұл мақала алгебра курсында қарастырылатын квадрат теңдеулерге және оларды шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне негізделініп отыр. 

«Квадрат теңдеулер» мектептегі  алгебра курсының маңызды тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, с.с. мазмұнды есептердің  шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу (функцияның нөлдерін, экстремум нүктелерін, өсу және кему  аралықтарын табу), ең үлкен және ең кіші мәндерді табу есептерін шығару және т.б. жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу қажеттігі  туындайды. Сондай-ақ тригонометриялық, көрсеткіштік және логарифмдік  теңдеулерді, физикада және техникада,  геометрия курсының есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі.

Зерттеу барысында мектеп оқушыларына  «квадрат теңдеулерді» шешу жолдарының тоғыз түрлі әдісімен таныстыруға мүмкіндік  бар екендігін анықтадық. Атап айтқанда, олар төмендегідей болып табылады:

1-әдіс. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу

Мысал:       х2+4х+3 =0      теңдеуін шешейік.

Теңдеудің сол жақ бөлігін  көбейткіштерге жіктейміз:

                    х2+х+3х+3 =х(х+1)+3 (х+1) =(х+1)(х+3)

Демек, теңдеуді былай жазуға болады:  (х+1)(х+3) =0

Көбейтінді нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің біреуі нөлге тең болуы керек. Сондықтан  теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х=-1 және  сандары х2+4х+3=0 теңдеуінің  түбірлері болып табылады.

       2-әдіс. Толық квадратқа келтіру әдісі

      Мысал: х2+8х-9=0   теңдеуін шешейік.

Сол  жақ бөлігін толық квадратқа келтіреміз. Ол үшін х2+8х өрнегін төмендегідей жазып аламыз:   х2 + 8х=х2+2х4

Алынған өрнектің бірінші қосындысы х-тың квадраты, ал екінші қосындысы х пен 4-тің  екі  еселенгені. Толық квадрат алу үшін 42-ын қосу керек. Сонда     х2+2х4+42=(х+4)2

Енді теңдеудің сол жағын  түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 42-ын қосып, алып тастаймыз. Сонда шығатыны:         х2+8х-9=х2+2х4+42-9-4=(х+4)2-25

Сонымен, берілген теңдеуді былайша жазуға болады:     (х+4)2-25=0 ,  яғни (х+4)2=25.

Бұдан              х+4=5, х=1          немесе               х+4=-5, х= -9.                                  Жауабы: 1;-9

          3-әдіс. Квадраттық теңдеулерді формула арқылы шешу

 ах2+вх+с=0,  а≠0 теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтеміз де, төмендегі өрнекті аламыз:

                 4а2х2+4ахв+4ас=0  

   ((2ах)2+4ахв+в2)-в2+4ас=0  ,  (2ах+в)22-4ас

         2ах+в= ,        2ах = -в

                           х=                (1)

Оған келесідегідей мысалдар келтіруге болады:   

1)3х2-7х+4=0 теңдеуін шешейік.

                          а=3, в=-7, с=4.     Д=в2-4ас=(-7)2-4·4·3=49-48=1.  

Д>0 болғандықтан, екі әр түрлі түбір болады: х1=1,  х2=

Сонымен, дискриминант оң болғанда, яғни в2-4ас>0, ах2+вх+с=0 теңдеуінің екі түрлі түбірі болады.

2)9х2+6х+1=0  теңдеуін шешейік.

                         а=9, в=6, с=1. Д=в2-4ас=62-4·9·1=0.  

Д=0 болғандықтан, бір ғана түбір бар болады:    х=,  х=

Сонымен, егер дискриминант нөлге тең болса, яғни в2-4ас=0, ах2+вх+с=0  теңдеуінің жалғыз

түбірі бар болады:        х=          

3)х2+2х+3=0  теңдеуін шешейік.

          а=1, в=2, с=3.  Д=в2-4ас=4-4·3·1= -8.  

Д<0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі болмайды.

Сонымен, егер дискриминант теріс болса, яғни в2-4ас<0,  онда ах2+вх+с=0  теңдеуінің түбірі  болмайды.

4-әдіс. Виет теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешу

Келтірілген түбірлері Виет теоремасын  қанағаттандырады.

Ол былай беріледі: а=1 болғанда,  

Бұдан  келесі  тұжырымдарды шығаруға болады:

а) Егер  q  (1)  теңдеудің  бос мүшесі оң болса (q0) онда теңдеудің екі бірдей таңбалы түбірі болады. Егер р>0, онда екі түбірі де теріс болады, егер р<0, онда  түбірлері оң болады.

Мысал,  1)х2-9х+20=0, х1=4, х2=5, мұнда q=20 >0, р=-9 <0;

              2)х2+5х+6 =0,  х1 =-2,  х2 =-3, мұнда q =6 >0, р =5 >0.

б)  Егер q   (1) теңдеудің  бос мүшесі  теріс болса (q <0), онда теңдеудің  екі түрлі, таңбалы екі түбірі болады, түбірдің модулі бойынша үлкені оң болады, егер р <0 болса, теріс болады, егер р >0. Мысал, 1) х2+3х-4 =0;  х1 =-4,  х2 =1 мұнда q =-4 <0, р=-3 >0

                   2) х2-7х-8 =0;  х1 =8, х2 =-1 мұнда  q =-8 <0, р =-7 <0

 5-әдіс. Теңдеуді «асыра лақтыру» әдісімен шешу    

ах2+вх+с =0 , а ≠0  квадрат теңдеуін қарастырамыз. Теңдеудің  екі жағын да а-ға көбейтіп, мынаны аламыз: а2х2+авх+ас=0. ах =у деп белгілесек, х = . Олай болса  у2+ву+ас =0 теңдеуіне келеміз. Бұл  бастапқы теңдеумен тең. Теңдеудің  түбірлерін у1, у2 –ні Виет теоремасы  арқылы табамыз. Соңында х1 =,  х2 = -ны аламыз. Бұл жағдайда               

 а  коэффициентін бос мүшеге көбейтеді. Сондықтан  да бұл әдісті «асыра лақтыру» әдісі деп атайды [1,13бет]. Бұл әдісті көбінесе Виет теоремасын пайдаланып түбірді оңай табуда және дискриминант дәл квадрат болғанда  қолданады.

Мысал:     2х2-9х+9=0  теңдеуін шешейік.

Шешуі:  2 коэффициенті теңдеудің  бос мүшесіне асыра лақтырамыз, нәтижесінде

у2-9у+18=0 теңдеуін аламыз.  Виет теоремасы бойынша

                     Жауабы: 3; 1, 5.

           6-әдіс. Квадрат теңдеулердің коэффициенттерінің қасиеттерін қолдану

  ах2+вх+с=0,  а≠0 квадрат теңдеуі берілген.        

Егер а+в+с=0  (яғни коэффициенттер қосындысы 0-ге тең) болса, онда х1=1, х2=

Мысал:  7+2-9=0 қосындысы 0-ге тең. Осы үш сан үшін квадрат теңдеу құрастырып, оны шешейік:

                         

 7-әдіс. Квадрат теңдеуді циркуль және сызғыш көмегімен шешу    

 ах2+вх+с=0 квадраттық теңдеуін циркуль және сызғыш көмегімен шешу әдісін ұсынамыз (1-сурет). Ізделінді шеңбер абцисса өсінде В(х;0) және Д (х2;0) нүктелерінде қиылыссын делік. Мұндағы х1, х2 - ах2 + вх + с=0 теңдеуінің түбірлері және ординат осінен  А(0;1) және С(0;) нүктелері арқылы өтеді делік. Олай болса, қима туралы теорема бойынша мынаны аламыз:

                                                     

                                                                                                                                          

                                                                                  

 

ОВ·ОД=ОА·ОС,

бұдан ОС=                                                                                  

                                                                                                                                   1-сурет

Шеңбер  центрі АС және ВД  хорда ортасында орналасқан перпендикуляр SF пен SК-ның

қиылысу нүктелері болып табылады, сондықтанSК=;

SF =

Сонымен,

1) S (шеңбер центрі)  және   А (0;1)  нүктелерін тұрғызамыз;

2) SА  радиусты шеңбер  жүргіземіз;

3) Осы шеңбердің Ох осі арқылы өтетін қиылысу нүктелері бастапқы квадрат теңдеудің  түбірі болады.

Сонымен үш түрлі жағдай болуы мүмкін:  

1-ші жағдай.Шеңбер  радиусы ордината  центрінен артық (АS > SК, немесе,   шеңбер Ох осін екі  нүктеде (2а-сурет)  В (х; 0) және Д (х2;0) нүктелерде қияды. Мұндағы  х1 және х2-ах2+вх+с =0 квадрат теңдеуінің түбірлері).

2-ші жағдай.Шеңбер радиусы ордината центрінде (АS= SК; немесе  тең, шеңбер Ох осін В (х1; 0) нүктесінде (2б)-сурет) жанап өтеді, мұндағы х1 – квадрат теңдеудің түбірі).

3-ші жағдай.Шеңбер радиусы ордината центрінен  кіші (А S < SК, немесе ) кем, щеңбердің абцисса  осімен қиылысатын нүктесі жоқ (2в – сурет), бұл жағдайда теңдеудің шешімі болмайды.

   у        у             у

 

  

                   

                                                                2-сурет

а)  АS>SВ,   екі шешімі бар: х1 және х2

б) АS=SВ,   бір шешімі бар: х1

в) АS<SВ,   шешім жоқ.

8-әдіс. Квадрат теңдеуді номограмма көмегімен шешу

 

         O                B                 E                                           y                  3

          F                                   D                                                                      

                                                                     y                     y             3y

          H                 A                                      

 

         C                               

                                                                     3                   3y                  9      

             p                           q        3-сурет                                                              4- сурет

Бұл квадрат теңдеуді  шешудің бұрынғы және жөнсіз ұмыт болған әдісі [2,83бет].

Брадис таблицасында z2+pz+q=0  теңдеуін шешуге арналған номограмманы қарастырайық. Бұл номограмма квадрат теңдеудідің  түбірлерін анықтауға мүмкіндік береді. Номограмманың қисық сызықты шкаласы төменгі формулалар бойынша  тұрғызылған (жоғарыдағы 3-суретте бейнеленген).

ОВ= ОС=р,  ЕД=q, ОЕ=а десек, мұндағы САН және СДF  үшбұрыштарының ұқсастығына мынадай  пропорция аламыз:    

                                                           Мұнда  z2+pz+q=0 теңдеуді ауыстыру жасағаннан және  жеңілдеткеннен шығады, бұл жердегі z әрпі қисық сызықты шкала нүктесінің кез-келген белгісін білдіреді.

9-әдіс. Квадрат теңдеулерді геометриялық әдіспен шешу

Көне заманда алгебраға қарағанда геометрия көбірек жетілген кезде, квадрат теңдеулерді  алгебралық жолмен емес геометриялық жолмен шеше білген. Ежелгі гректер мына у2 + 6у-16=0 теңдеуін  қалай  шешкендігіне тоқталып өтейік.

Шешуі: жоғарыдағы 4-суретте  көрсетілген, мұндағы у2+6у=16 немесе у2+6у+9=16+9

у2+6у+9 және 16+9 өрнекті геометриялық тұрғыда  сол квадраттың өзін береді, ал

у2+6у-16+9-9=0 бастапқы теңдеу де сол теңдеу. Бұдан алатынымыз у+3=5 немесе у1=2, у2=-8.

          Мақалада қарастырылған 9 әдіс те оқушылардың  «Квадрат теңдеулер» тақырыбын терең меңгеруіне жол ашады.  Сонымен қоса, квадрат теңдеулерді шешудің барлық тоғыз әдісі де қолданыс тапқанда оқушылардың пәнге деген қызығушылығы мен логикалық ойлау қабілеті артады.

      

Қолданылған әдебиеттер:

  1.  Математика, информатика, физика журналы . №5, 2003ж.
  2.  Брадис В.М.   Төрт таңбалы математикалық таблицалар – М.: Просвещение, 1990


у

х

А (0;1)

F

S

В (х1;0)

  Д(х2;0)

S

S

S

А(0;1)              В

        0             х2

х

х

х

А(0;1)

       0            В

А

0  х1

В


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41318. Изучение команд обращения к портам. Реализа-ция последовательного и параллельного обмена данными 149.5 KB
  Основные теоретические положения Организация ввода вывода в микропроцессорной системе Вводом выводом ВВ называется передача данных между ядром ЭВМ включающим в себя микропроцессор и основную память и внешними устройствами ВУ. Управляющие данные от процессора называемые также командными словами или приказами инициируют действия не связанные непосредственно с передачей данных например запуск устройства запрещение прерываний и т. Управляющие данные от внешних устройств называются словами состояния; они содержат информацию об...
41319. Изучение команд пересылки данных МК МС 68HC908GP32 1.63 MB
  Практически изучить команды пересылки данных МК МС 68HC908GP32 ПК ПО. Методические материалы и литература: Методические указания по выполнению практических работ; Иллюстративный материал: команды управления на языке SM для МП. При запуске МК процедура RЕSЕТ в РС автоматически загружается адрес первой команды выполняемой программы вектор начального запуска из двух...
41320. Изучение команд передачи управления 4.09 MB
  Практически изучить команды передачи управления . Методические материалы и литература: Методические указания по выполнению практических работ; Иллюстративный материал: команды операций над числами . При этом использовать описание работы лабораторный блок ПК иллюстрационный материал; В практической части отработать следующие подразделы: Рассмотреть команды передачи управления; Выполнить примеры и отразить их в отчёте; Проанализировать результаты выполненных примеров. Основные теоретические положения Способы...
41321. Изучение программной модели команд управления на языке SM для МП 1.1 MB
  Практически изучить программную модель команд управления на языке SM для МП. Методические материалы и литература: Методические указания по выполнению практических работ; Иллюстративный материал: команды управления на языке SM для МП. При этом исполнение текущей последовательности команд приостанавливается прерывается а вместо нее начинает выполняться другая последовательность соответствующая данному прерыванию.
41322. Изучение команд операций над числами 1.62 MB
  Основные теоретические положения Структура команд Любая команда ЭВМ обычно состоит из двух частей: операционной и адресной. Трехадресная команда легко расшифровывалась и была удобна в использовании но с ростом объемов ОЗУ ее длина становилась непомерно большой. Пример программы в командах процессора Перед вами короткая программа для процессора семейства 1п1е1 которая увеличивает число находящееся в регистре ах. Пример программы в командах процессора Несмотря на то что приведенная программа по длине явно больше чем...
41323. Изучение команд операций с битами 5.5 MB
  Каждая команда МК подгруппы РIС16F8Х представляет собой 14битовое слово разделенное на код операции ОРСОDЕ и поле для одного и более операндов которые могут участвовать или не участвовать в этой команде.1 Основные форматы команд МК Команды работы с битами Отличительной особенностью данной группы команд является то что они оперируют с однобитными операндами в качестве которых используются отдельные биты регистров МК. отрицание логическое НЕ логическая операция над одним операндом результатом которой является...
41324. Исследование состава и возможностей ИС РПО для семейства МК АVR 3.63 MB
  Основные теоретические положения Программная среда АVR Studio Фирма Аtmel разработчик микроконтроллеров АVR очень хорошо позаботилась о сопровождении своей продукции. Для написания программ их отладки трансляции и прошивки в память микроконтроллера фирма разработала специализированную среду разработчика под названием АVR Studio Программная среда АVR Studio это мощный современный про граммный продукт позволяющий производить все этапы разработки программ для любых микрокон троллеров серии АVR ....
41325. Работа с ИС РПО для семейства МК АVR 5.99 MB
  Если уже есть файл с текстом программы на Ассемблере и просто необходимо создать проект а затем подключить туда готовый программный файл снимите соответствующую галочку. Оно должно содержать имя файла куда будет записываться текст программы. При выборе этого элемента диалог создания проекта будет автоматически запускаться каждый раз при запуске программы VR Studio.ps; файл куда будет помещен текст программы на Ассемблере Prog1.
41326. Лабораторная работа Определение скорости полета пули методом баллистического маятника 461 KB
  Приборы: пули свинцовые 5 штук; пневматическое ружье; баллистический маятник; аналитические весы 0001 г; технические весы 1 г; линейка 1 см; секундомер 01 с. где d – расстояние от зеркальца до шкалы; n –отклонение “зайчика†по шкале; – расстояние от оси вращения до точки удара пули; l – расстояние от оси вращения до центра тяжести; h – высота поднятия цента тяжести;  угол отклонения; масса пули m.