14850

КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ЖОЛДАРЫНЫҢ ӘР ТҮРЛІ ӘДІСТЕРІ

Доклад

Математика и математический анализ

КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ЖОЛДАРЫНЫҢ ӘР ТҮРЛІ ӘДІСТЕРІ З.Е.Темірғали Б.А.Қадырбаева І.Жансүгіров атындағы Жетісу мемлекеттік университеті Талдықорған қ. Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі әрі тетігі болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және ә...

Казахский

2013-06-09

150.5 KB

33 чел.

КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ ЖОЛДАРЫНЫҢ ӘР ТҮРЛІ ӘДІСТЕРІ

З.Е.Темірғали, Б.А.Қадырбаева

І.Жансүгіров атындағы Жетісу мемлекеттік университеті , Талдықорған қ.

Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі  болып табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне байланысты бағаланады.

Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің  ұрпағын тәрбиелеп шығу бүгінгі мектептің алдына қойылған  мақсаттардың бірі. Бұл мақсат әрбір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге  жетілдіре түсуін талап етеді. Осы  талаптың орындалуы орта мектеп бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр тақырыбын оқушы санасына  жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай болса, оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын орны, салмағы зор.

Бұл мақала алгебра курсында қарастырылатын квадрат теңдеулерге және оларды шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне негізделініп отыр. 

«Квадрат теңдеулер» мектептегі  алгебра курсының маңызды тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, с.с. мазмұнды есептердің  шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу (функцияның нөлдерін, экстремум нүктелерін, өсу және кему  аралықтарын табу), ең үлкен және ең кіші мәндерді табу есептерін шығару және т.б. жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу қажеттігі  туындайды. Сондай-ақ тригонометриялық, көрсеткіштік және логарифмдік  теңдеулерді, физикада және техникада,  геометрия курсының есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі.

Зерттеу барысында мектеп оқушыларына  «квадрат теңдеулерді» шешу жолдарының тоғыз түрлі әдісімен таныстыруға мүмкіндік  бар екендігін анықтадық. Атап айтқанда, олар төмендегідей болып табылады:

1-әдіс. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу

Мысал:       х2+4х+3 =0      теңдеуін шешейік.

Теңдеудің сол жақ бөлігін  көбейткіштерге жіктейміз:

                    х2+х+3х+3 =х(х+1)+3 (х+1) =(х+1)(х+3)

Демек, теңдеуді былай жазуға болады:  (х+1)(х+3) =0

Көбейтінді нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің біреуі нөлге тең болуы керек. Сондықтан  теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х=-1 және  сандары х2+4х+3=0 теңдеуінің  түбірлері болып табылады.

       2-әдіс. Толық квадратқа келтіру әдісі

      Мысал: х2+8х-9=0   теңдеуін шешейік.

Сол  жақ бөлігін толық квадратқа келтіреміз. Ол үшін х2+8х өрнегін төмендегідей жазып аламыз:   х2 + 8х=х2+2х4

Алынған өрнектің бірінші қосындысы х-тың квадраты, ал екінші қосындысы х пен 4-тің  екі  еселенгені. Толық квадрат алу үшін 42-ын қосу керек. Сонда     х2+2х4+42=(х+4)2

Енді теңдеудің сол жағын  түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 42-ын қосып, алып тастаймыз. Сонда шығатыны:         х2+8х-9=х2+2х4+42-9-4=(х+4)2-25

Сонымен, берілген теңдеуді былайша жазуға болады:     (х+4)2-25=0 ,  яғни (х+4)2=25.

Бұдан              х+4=5, х=1          немесе               х+4=-5, х= -9.                                  Жауабы: 1;-9

          3-әдіс. Квадраттық теңдеулерді формула арқылы шешу

 ах2+вх+с=0,  а≠0 теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтеміз де, төмендегі өрнекті аламыз:

                 4а2х2+4ахв+4ас=0  

   ((2ах)2+4ахв+в2)-в2+4ас=0  ,  (2ах+в)22-4ас

         2ах+в= ,        2ах = -в

                           х=                (1)

Оған келесідегідей мысалдар келтіруге болады:   

1)3х2-7х+4=0 теңдеуін шешейік.

                          а=3, в=-7, с=4.     Д=в2-4ас=(-7)2-4·4·3=49-48=1.  

Д>0 болғандықтан, екі әр түрлі түбір болады: х1=1,  х2=

Сонымен, дискриминант оң болғанда, яғни в2-4ас>0, ах2+вх+с=0 теңдеуінің екі түрлі түбірі болады.

2)9х2+6х+1=0  теңдеуін шешейік.

                         а=9, в=6, с=1. Д=в2-4ас=62-4·9·1=0.  

Д=0 болғандықтан, бір ғана түбір бар болады:    х=,  х=

Сонымен, егер дискриминант нөлге тең болса, яғни в2-4ас=0, ах2+вх+с=0  теңдеуінің жалғыз

түбірі бар болады:        х=          

3)х2+2х+3=0  теңдеуін шешейік.

          а=1, в=2, с=3.  Д=в2-4ас=4-4·3·1= -8.  

Д<0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі болмайды.

Сонымен, егер дискриминант теріс болса, яғни в2-4ас<0,  онда ах2+вх+с=0  теңдеуінің түбірі  болмайды.

4-әдіс. Виет теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешу

Келтірілген түбірлері Виет теоремасын  қанағаттандырады.

Ол былай беріледі: а=1 болғанда,  

Бұдан  келесі  тұжырымдарды шығаруға болады:

а) Егер  q  (1)  теңдеудің  бос мүшесі оң болса (q0) онда теңдеудің екі бірдей таңбалы түбірі болады. Егер р>0, онда екі түбірі де теріс болады, егер р<0, онда  түбірлері оң болады.

Мысал,  1)х2-9х+20=0, х1=4, х2=5, мұнда q=20 >0, р=-9 <0;

              2)х2+5х+6 =0,  х1 =-2,  х2 =-3, мұнда q =6 >0, р =5 >0.

б)  Егер q   (1) теңдеудің  бос мүшесі  теріс болса (q <0), онда теңдеудің  екі түрлі, таңбалы екі түбірі болады, түбірдің модулі бойынша үлкені оң болады, егер р <0 болса, теріс болады, егер р >0. Мысал, 1) х2+3х-4 =0;  х1 =-4,  х2 =1 мұнда q =-4 <0, р=-3 >0

                   2) х2-7х-8 =0;  х1 =8, х2 =-1 мұнда  q =-8 <0, р =-7 <0

 5-әдіс. Теңдеуді «асыра лақтыру» әдісімен шешу    

ах2+вх+с =0 , а ≠0  квадрат теңдеуін қарастырамыз. Теңдеудің  екі жағын да а-ға көбейтіп, мынаны аламыз: а2х2+авх+ас=0. ах =у деп белгілесек, х = . Олай болса  у2+ву+ас =0 теңдеуіне келеміз. Бұл  бастапқы теңдеумен тең. Теңдеудің  түбірлерін у1, у2 –ні Виет теоремасы  арқылы табамыз. Соңында х1 =,  х2 = -ны аламыз. Бұл жағдайда               

 а  коэффициентін бос мүшеге көбейтеді. Сондықтан  да бұл әдісті «асыра лақтыру» әдісі деп атайды [1,13бет]. Бұл әдісті көбінесе Виет теоремасын пайдаланып түбірді оңай табуда және дискриминант дәл квадрат болғанда  қолданады.

Мысал:     2х2-9х+9=0  теңдеуін шешейік.

Шешуі:  2 коэффициенті теңдеудің  бос мүшесіне асыра лақтырамыз, нәтижесінде

у2-9у+18=0 теңдеуін аламыз.  Виет теоремасы бойынша

                     Жауабы: 3; 1, 5.

           6-әдіс. Квадрат теңдеулердің коэффициенттерінің қасиеттерін қолдану

  ах2+вх+с=0,  а≠0 квадрат теңдеуі берілген.        

Егер а+в+с=0  (яғни коэффициенттер қосындысы 0-ге тең) болса, онда х1=1, х2=

Мысал:  7+2-9=0 қосындысы 0-ге тең. Осы үш сан үшін квадрат теңдеу құрастырып, оны шешейік:

                         

 7-әдіс. Квадрат теңдеуді циркуль және сызғыш көмегімен шешу    

 ах2+вх+с=0 квадраттық теңдеуін циркуль және сызғыш көмегімен шешу әдісін ұсынамыз (1-сурет). Ізделінді шеңбер абцисса өсінде В(х;0) және Д (х2;0) нүктелерінде қиылыссын делік. Мұндағы х1, х2 - ах2 + вх + с=0 теңдеуінің түбірлері және ординат осінен  А(0;1) және С(0;) нүктелері арқылы өтеді делік. Олай болса, қима туралы теорема бойынша мынаны аламыз:

                                                     

                                                                                                                                          

                                                                                  

 

ОВ·ОД=ОА·ОС,

бұдан ОС=                                                                                  

                                                                                                                                   1-сурет

Шеңбер  центрі АС және ВД  хорда ортасында орналасқан перпендикуляр SF пен SК-ның

қиылысу нүктелері болып табылады, сондықтанSК=;

SF =

Сонымен,

1) S (шеңбер центрі)  және   А (0;1)  нүктелерін тұрғызамыз;

2) SА  радиусты шеңбер  жүргіземіз;

3) Осы шеңбердің Ох осі арқылы өтетін қиылысу нүктелері бастапқы квадрат теңдеудің  түбірі болады.

Сонымен үш түрлі жағдай болуы мүмкін:  

1-ші жағдай.Шеңбер  радиусы ордината  центрінен артық (АS > SК, немесе,   шеңбер Ох осін екі  нүктеде (2а-сурет)  В (х; 0) және Д (х2;0) нүктелерде қияды. Мұндағы  х1 және х2-ах2+вх+с =0 квадрат теңдеуінің түбірлері).

2-ші жағдай.Шеңбер радиусы ордината центрінде (АS= SК; немесе  тең, шеңбер Ох осін В (х1; 0) нүктесінде (2б)-сурет) жанап өтеді, мұндағы х1 – квадрат теңдеудің түбірі).

3-ші жағдай.Шеңбер радиусы ордината центрінен  кіші (А S < SК, немесе ) кем, щеңбердің абцисса  осімен қиылысатын нүктесі жоқ (2в – сурет), бұл жағдайда теңдеудің шешімі болмайды.

   у        у             у

 

  

                   

                                                                2-сурет

а)  АS>SВ,   екі шешімі бар: х1 және х2

б) АS=SВ,   бір шешімі бар: х1

в) АS<SВ,   шешім жоқ.

8-әдіс. Квадрат теңдеуді номограмма көмегімен шешу

 

         O                B                 E                                           y                  3

          F                                   D                                                                      

                                                                     y                     y             3y

          H                 A                                      

 

         C                               

                                                                     3                   3y                  9      

             p                           q        3-сурет                                                              4- сурет

Бұл квадрат теңдеуді  шешудің бұрынғы және жөнсіз ұмыт болған әдісі [2,83бет].

Брадис таблицасында z2+pz+q=0  теңдеуін шешуге арналған номограмманы қарастырайық. Бұл номограмма квадрат теңдеудідің  түбірлерін анықтауға мүмкіндік береді. Номограмманың қисық сызықты шкаласы төменгі формулалар бойынша  тұрғызылған (жоғарыдағы 3-суретте бейнеленген).

ОВ= ОС=р,  ЕД=q, ОЕ=а десек, мұндағы САН және СДF  үшбұрыштарының ұқсастығына мынадай  пропорция аламыз:    

                                                           Мұнда  z2+pz+q=0 теңдеуді ауыстыру жасағаннан және  жеңілдеткеннен шығады, бұл жердегі z әрпі қисық сызықты шкала нүктесінің кез-келген белгісін білдіреді.

9-әдіс. Квадрат теңдеулерді геометриялық әдіспен шешу

Көне заманда алгебраға қарағанда геометрия көбірек жетілген кезде, квадрат теңдеулерді  алгебралық жолмен емес геометриялық жолмен шеше білген. Ежелгі гректер мына у2 + 6у-16=0 теңдеуін  қалай  шешкендігіне тоқталып өтейік.

Шешуі: жоғарыдағы 4-суретте  көрсетілген, мұндағы у2+6у=16 немесе у2+6у+9=16+9

у2+6у+9 және 16+9 өрнекті геометриялық тұрғыда  сол квадраттың өзін береді, ал

у2+6у-16+9-9=0 бастапқы теңдеу де сол теңдеу. Бұдан алатынымыз у+3=5 немесе у1=2, у2=-8.

          Мақалада қарастырылған 9 әдіс те оқушылардың  «Квадрат теңдеулер» тақырыбын терең меңгеруіне жол ашады.  Сонымен қоса, квадрат теңдеулерді шешудің барлық тоғыз әдісі де қолданыс тапқанда оқушылардың пәнге деген қызығушылығы мен логикалық ойлау қабілеті артады.

      

Қолданылған әдебиеттер:

  1.  Математика, информатика, физика журналы . №5, 2003ж.
  2.  Брадис В.М.   Төрт таңбалы математикалық таблицалар – М.: Просвещение, 1990


у

х

А (0;1)

F

S

В (х1;0)

  Д(х2;0)

S

S

S

А(0;1)              В

        0             х2

х

х

х

А(0;1)

       0            В

А

0  х1

В


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31095. Природа денег. Денежный рынок 30.5 KB
  Природа денег. Денежный рынок Относительно природы денег существуют следующие концепции денег: эмпирическая в которой деньгами называют все что способно выступить в роли платежного средства за товары и услуги; функциональная концепция когда к природе денег подходят через те функции которые они выполняют средства обмена средства накопления стоимости мера стоимостей всех товаров и другие функции. Марксистская концепция которая корнями уходит в классическую объясняет происхождение денег из внутреннего противоречия товара которое в свою...
31096. Основы теории управления 103.5 KB
  Основы теории управления 16. Сущность и природа управления Вся жизнь человека это бесконечная цепочка его деятельности которая разнообразна и многообразна. Сущность управления состоит в том что это специфический вид деятельности человека который возник как потребность и необходимое условие достижения результата в индивидуальной или совместной деятельности. Содержание управления отражает его функции во всей своей совокупности.
31097. Модели, методология и организация процесса принятия управленческих решений 91 KB
  Модели методология и организация процесса принятия управленческих решений Для изучения и освоения категории менеджмента управленческое решение рассмотрим следующие вопросы: что понимают под управленческим решением; почему решение называют управленческим и бывают ли решения неуправленческие; может ли решение приниматься вне целесообразной деятельности человека; можно ли принять управленческое решение без логической цепочки: цель  ситуация  проблема Ц  С  П; кто может быть лицом принимающим решение ЛПР. Управленческое...
31098. Экономические ресурсы предприятия 71 KB
  Фискальная политика государства. Таким образом экономическая политика государства сталкивается с известной дилеммой: длительный спад и безработица или рост цен при сохранении уровня занятости и выпуска. Содержание монетарной политики сводится к воздействию государства на экономическую конъюнктуру посредством изменения количества денег в обращении. Монетарная политика является важным элементом стабилизационной политики государства и сглаживания экономических колебаний циклов.
31099. Методы и модели разработки УР 68.97 KB
  Обобщенная классификация методов принятия управленческих решений В теории принятия управленческих решений используются разнообразные методы среди которых выделяют аналитические статистические математического программирования эвристические экспертные ситуационные и ряд других. В процессе принятия управленческих решений лицо принимающее решение может применять различные методы которые прямо или косвенно способствуют принятию оптимальных по различным критериям решений. Все методы принятия решений можно разделить на две группы:...
31100. Понятие и сущность управленческого решения Сущность, назначение и содержание управленческого решения 57.25 KB
  Решения принимаются человеком в разных сферах деятельности технической биологической социальной экономической политической и являются основным продуктом деятельности организуемых в этих сферах систем управления. Для сферы социальной общественной экономической и политической деятельности людей где в качестве основного объекта управления выступает личность человека с его высокой степенью непредсказуемости в поступках реакциях разработана совокупность социальнопсихологических методов управления которые совместно с...
31101. Денежно-кредитная система 189.34 KB
  Изменение количества денег в обращении способно существенным образом повлиять на уровень доходов цен на выпуск продукции. Происхождение денег. Золото в роли денег В экономической теории существуют две точки зрения на происхождение денег: рационалистическая и эволюционная. История происхождения денег подтверждает эту теорию.
31102. Экономическая теория и экономическая практика 74.5 KB
  Глава школы Франсуа Кенэ 16941774 заложил основы теории воспроизводства общественного капитала создав первую макроэкономическую модель в виде экономических таблиц. После экономических кризисов 2030х гг. Своим разнообразием точек зрения на проблемы общества экономика позволяет выявить исторические особенности экономических систем и понять закономерности развития мировой цивилизации. Микроэкономика связана с исследованием деятельности отдельных экономических субъектов.
31103. Собственность, выбор, конкуренция 97.5 KB
  Собственность и хозяйствование Собственность это общественная форма присвоения факторов и результатов производства. Основополагающую роль играют отношения собственности на факторы производства. Экономическое содержание собственности на факторы производства это способ их соединения который может быть прямым или опосредованным отношениями найма. Особая важность экономической категории собственности определяется тем что: собственность является основой всей системы экономических отношений; от отношений собственности зависит положение...