1492

Особенности математического моделирования

Шпаргалка

Экономическая теория и математическое моделирование

Технологический объект управления. Цель и задачи математического моделирования систем управления. Блочный принцип построения модели. Аналитический метод построения математических моделей. Основные потоки. Модель идеального смещения. Модель идеального вытеснения. Однопараметрическая диффузионная модель.

Русский

2013-01-06

156.83 KB

77 чел.

1.Технологический объект управления. Технологический объект управления – некоторая система, преобразования вектора входных координат в вектор выходных координат. Как правило входные координаты – материальные и энергетические потоки на входе в объект, а выходные – на выходе из объекта. Управление – воздействие на параметры системы для достижения поставленной цели. Параметр – величина, численной значение которой характеризует рассматриваемые свойства системы. Система – множество элементов, находящихся в определенных связях друг с другом и образующих определенную целостность и единство. Связь – взаимная обусловленность. Структура системы = совокупность связей. Моделирование – метод изучения одних объектов с помощью других заместителей с последующим переносом полученных результатов на оригинал. Модель – совокупность представлений об оригинале может быть выражена в разных формах описания: график, система уравнений, физический объект. Координаты состояния – переменные которые характеризуют состояние объекта. При нанесении возмущения на объект выходные координаты переходят к новому значению за время перехода. Если этим временем можно пренебречь, то данный объект – безинерциональный, если нельзя – инерциональный. Для статического(безинерц) объекта математической моделью является модель статики. Для динамической – модель статики + модель динамики. Если параметр постепенно изменяет свое значение, то такие объекты – нестационарные. В зависимости от числа входных и выходных параметров различают одномерные и многомерные объекты. Применение моделирования:

1)Математическое обеспечение систем управления, необходимое для разработки ПО.

2)Оптимальный синтез систем управления.

3)Разработка компьютерных  тренажеров для обучения и аттестации эксплуатационного персонала на предприятии.

 2. Классификация моделей.

По методу построения(3): 

1) Экспериментальные (исходные данные – результаты измерения входных и выходных координат, по которым определяются и параметры математической зависимости ). 2)Аналитические (используют закон сохранения и переноса субстанции. При этом используют различные физические законы, описывающие протекаемые явления в моделируемом объекте).

3) Комбинированные

По характеру изменения координат во времени(2):

1) Статические(модели статики описывают статический режим).

2)Динамические(модели динамики описывают динамический режим)

По характеру изменения координат состояния в пространстве(2):

1)С распределенными координатами ( Для такого объекта модель динамики – система дифференцируемых уравнений в частных производных).

2)С сосредоточенными координатами(если в каждой точке объекта значение координат состояния одно и тоже – то это объект с сосредоточенными координатами. Модель статики для такого объекта – система алгебраических уравнений, модель динамики – система обыкновенных дифференцируемых уравнений)

По однозначности связей между входными и выходными координатами(3): 1)Детерминированные - однозначная связь.

2)Стохастические - неоднозначная связь.

3)Имитационные – моделиформальное описание логики функционирования исследуемой системы и взаимодействия ее составляющих во времени учитывающее наиболее существенные причинно-следственные связи.

 3. Этапы моделирования.

1)Выбор объекта и формулировка целей моделирования (критериев завершённости и исходных данных, четких задач моделирования, цепи и формы получения результатов).

  1.  2)Построение математической модели.
  2.  3)Решение математической модели (выработка метода, разработка алгоритма, отладка программы, получение результатов модели).
  3.  4)Анализ и обобщение полученных результатов.
  4.  5)Проверка адекватности математической модели.

 4.Цель и задачи математического моделирования систем управления. Блочный принцип построения модели.

Цель – получение оптимальных результатов при разработке и эксплуатации систем управления.

Y=F(x,B), где  – вектор параметров.

 

Задачи:

  1.  x,BY(t) →k , Анализ системы: получение характеристики вектора выходных координат Y(k) и параметров показателей качества процессов управления и регулирования (k).
  2.  x,YB. Параметрическая идентификация (B). Характерна для объектов управления.
  3.  Y,Bx(t) → U(t) Синтез системы управления (U(t) – функция управления)

Блочный принцип построения модели. Модель строится из отдельных логически законченных блоков, отражающих элемент системы. Это позволяет упростить задачу нахождения ошибок. В случае ошибки несоответствующий блок заменяется, а остальные остаются без изменений.

Этапы выполнения задачи с помощью Simulink:

  1.  Приведения дифференциального уравнения к системе уравнений первого порядка.
  2.  Написание файл функции для системы уравнений
  3.  Вызов подходящей команды
  4.  Визуализация результата

 5. Аналитический метод построения математических моделей. Основные потоки.

При протекании различных процессов появляются потоки вещества и энергии, входящие в объект или исходящие из него. Исходя из этого можно записать балансовое соотношение sum(прих)- sum(уход)=d/dt(количество субстанций). Балансовое соотношение может составляться для энергетических потоков, потоков вещества по отдельным компонентам и потока вещества в целом.

Основные потоки:

  1.  Конвективный(n=V*c), где V-объемный расход, с – концентрация.
  2.  Конвективный тепловой (q = m*Cp*T), где m - массовый расход, Сp – теплоемкость, Т – температура.
  3.  Поток вещества через поверхность или масса передач(n=K*F*∆С), где K-кинетический коэффициент, F-площадь поверхности, ∆С – изменение концентрации.
  4.  Тепловой поток вещества через поверхность(q=k*F* ∆Т), где k-коэффициент теплопередачи, F-площадь поверхности, ∆Т – разность температур
  5.  Поток вещества во всем объеме(n=W*V), где W-скорость химической реакции, V-объем
  6.  Тепловой поток во всем объеме (q=W*V*∆H), где W-скорость химической реакции, V-объем, ∆Н – изменение энтальпии

6. Методика построения аналитической модели.

  1.  Описание объекта моделирования и анализ протекающих в нём процессов(перечисляются и ранжируются процессы).
  2.  Формулирование системы допущений(допущения это положения идеализирующее объект - мало значимые процессы исключаются из рассмотрения, переменные параметры заменяются постоянными).
  3.  Составление структурной схемы(схема разделяется на ряд элементов в соответствии с допущениями, в каждом элементе протекает ограниченное число процессов).
  4.  Составление уравнений аналитической модели.
  5.  Анализ полученной системы уравнений. Она должна удовлетворять условиям:
  6.  замкнутость системы уравнений – число переменных должно равняться числу уравнений.
  7.  линейная независимость уравнений – никакое уравнение в системе не может быть получено линейной комбинацией других
  8.   единство размерностей – складываться и приравниваться  могут величины одной размерности.
  9.  Совместимость уравнений – никакое уравнение нельзя прорешать отдельно от остальных

Начинать надо с самых грубых допущений и самой простой математической модели. После получения конечных результатов проверяется адекватность модели.  

Граничные условия – значение координаты состояния и ее производной на границе объекта. В общем виде:

  1.  Граничные условия первого порядка(α=1; β=0)
  2.  Граничные условия второго порядка(α=0; β=1)
  3.  Граничные условия третьего порядка(α≠0; β≠0)

 7.Ячеечная модель. Применяется для моделирования объекта с распределёнными параметрами.

Суть: объект с распределёнными параметрами заменяется системой объектов с сосредоточенными параметрами.  n-кол-во ячеек. .

                  

    

Кол-во ячеек выбирается по кривой разгона.  n=1 – Объект со сосредоточенными параметрами.

 8.Модель идеального смещения. Модель идеального вытеснения. Однопараметрическая диффузионная модель.

Модель идеального смещения. Поступающее вещество мгновенно равномерно распределяется по всему объёму аппарата; модель соответствует аппаратам с мешалкой с интенсивным перемешиванием.

Модель идеального вытеснения. Среда перемещается в виде отдельных слоев, которые не взаимодействуют друг с другом; модель применяется для трубчатых аппаратов с большим отношением L/D.

Однопараметрическая диффузионная модель. В основе допущение, что наличие неоднородной плотности субстанции приводит к возникновению потоков, которые описываются уравнением, аналогичным уровнению диффузии:  где ng-диффуз. поток вещ-ва; Дэф - эффект. коэф-т диффузии; S – площадь; C – концентрация.

Градиент переменной величины – вектор, направленный в сторону наиболее быстрого изменения величины и численно равный скорости его возрастания в данном направлении. В одномерном случае градиент = производная.

 10.Общий вид модели системы автоматического регулирования (САР). Модель первичного преобразования.

 О – объект; ПП – первичный преобразователь; ИУ – исполнительное устройство; y- управляемая переменная, u – управляющее воздействие. LC – регулятору уровня

После ПП выходная координата объекта будет представлена в виде безразмерной величины. Регулятор в соответствии с законом регулирования в зависимости от ошибки регулирования вырабатывает регулирующее воздействие. UY в зависимости от регулирующего воздействия изменяет входную координату Х.

Модель первичного преобразования. Допущения: пренебрегаем инерциональностью и статическую характеристику считаем линейной.

11. Модель исполнительного устройства

Исполнительное устройство – это элемент системы управления, оказывающее непосредственное воздействие на объект управления. Это воздействие как правило выражается в изменении потока вещества или энергии. Состояние ИС характеризуется степенью открытия клапана. Изменение степени открытия клапана ведет к изменению перепада давления и соответственно к изменению расхода. ИС состоит из исполнительного механизма и регулирующего органа.

Модель ИУ сводится к матем-му описанию статич-й и расход-й характеристики клапана. В зависимости от управляющего воздействия при малых степенях открытия или малых изменениях расхода линейна, а при больших нелинейна.

Исполнительный механизм может быть представлен интегрирующим звеном и усилительным звеном.

Если статич-я характеристика описана интегрирующим звеном, то необходимо в модель добавить ограничение по скорости.

Математическая модель

Расходная характеристика клапана м.б. выражена как:

M=Kв*f(P1, P2)*A

Kв – условная Пропускная способность клапана;

P1, P2 – давление;

А – степень открытия клапана;

Формулы для определения расходной характеристики определяется тем, какая среда протекает через регулирующий орган.

Упрощенная модель исполнительного устройства

Статистическая и расходная характеристики – линейны

Где

Ao – степень открытия в статистическом режиме, когда y=y заданное.

 12.Математическая модель регуляторов. Позиционный регулятор.

Регуляторы подразделяются в зависимости от:

1 . Регулируемого параметра (темп. Давление.)

2 . Характеристики связи между входным и выходным воздействием (аналоговое, дискретное, импульсное)

3 . Закона регулирования (ПИД – регулятор, позиционный)

Позиционные регуляторы:

Бывают двухпозиционные и многопозиционные;  с зоной возврата и без зоны возврата; с зоной нечувствительности и без.

Статистическая характеристика двухпозиционного регулятора без зоны возврата:

Статистическая характеристика может быть представлена в осях (E,U), отсчитываемых от положения статистического равновесия, а может быть представлена в осях (y,U), где y- регулируемый параметр (рис 2), а – установка срабатывания. Такие регуляторы применяются когда объект обладает запаздыванием.

Математическая модель такого регулятора:

Двухпозиционный регулятор с зоной возврата:

 13.Математическая модель регуляторов. Аналоговый регулятор.

Регуляторы подразделяются в зависимости от:

1.Регулируемого параметра (темп. Давление.)

2.Характеристики связи между входным и выходным воздействием (аналоговое, дискретное, импульсное)

3.Закона регулирования (ПИД – регулятор, позиционный)

Аналоговый регулятор.   Математическя модель:

           Пропорция       Интегр            Дифер сост

Сочетание дает различные комбинации (П, ПИ, ПИД) ПИ- самые распространённые.

        

 14.Импульсные регуляторы

Импульс - кратковрем-ый сигнал заданной формы. В регуляторах используются импульсы прямоугольной формы. При этом используются следующие виды импульсной модуляции:

  1.  амплитудно-импульсная АИ  (Т=const, , )
  2.  широтно-импульсная ШИ
  3.  частотно-импульсная ЧИ T<>const

Модуляция – изменение параметров сигнала по к-л з-ну

Рис. А-амплитуда, Т-период, -ширина(длительность)

В качестве закона по которому модулируется выходной сигнал регулятора используется ПИД-закон. В соотв-и с принятым законом регулирования и видом импул. модуляции параметры выходного сигнала регул-ра могут изменяться.

Пример:

 

 15.Оптимизация систем управления. Последовательность решения задач оптимизации.

Оптимизация – нахождение наилучших условий функционирования систем в условиях сформированного критерия. Качество решения задачи управления оценивается критерием оптимальности(оптимизации). Системы характеризуются несколькими показателями качества. Изменение значения одних показателей качества, как правило ведёт к улучшению одних показателей и ухудшению других. Поэтому критерии оптимизации формируются из нескольких показателей качества. Изменяемые параметры системы ведущие к изменению критерия называют оптимизирующими факторами. Точка в которой каждый критерий имеет экстремальное значение  называют оптимальной. При отсутствии ограничений оптимизация называется безусловной,  а при их наличии условной. Ограничения могут быть в виде равенств, неравенств. Наличие ограничений смещает точку оптимума.  Зависимость между критерием оптимизации и оптимизирующим фактором называется целевой функцией.

X-оптимизирующий фактор(горизонтальная ось), K- критерий оптимизации(вертикальная ось), A – точка условного оптимума, Б – точка безусловного оптимума(пересечение графика с Kmax).

Решение оптимизационных задач складывается из следующего:

  1.  нахождение контролируемых (изменяемых) входных координат, которые называются оптимизирующими факторами.
  2.  Установление наличия ограничений
  3.  нахождение показателей качества и формирование из них критерия оптимальности
  4.  выбор метода оптимизации
  5.  нахождение оптимальной точки.

16. Формирование критерия оптимальности.

1 этап: нормализация-приведение к единому виду размерных показателей качества.

2 этап: нахождение критерия путем усреднение нормализ-х значений показ-лей качества.

Нормализация производится так, чтобы в результате получался безразмерный показатель качества, изменяющийся в интервале [0,1]

n- Размерный показатель качества

d- Безразмерный показатель качества

Вводится базовая шкала желательности (шкала безразмерного показателя качества):

0,8-1 отлично; 0,6-0,8 хорошо; 0,4-0,6 удовлетворительно; 0,2-0,4 плохо; 0,2-0 неуд.

Задаются 2 опорные т-ки, соответствующие качественной оценке хорошо плохо. Исходя из этого проводят параметрическую идентификацию функции принадлежности (находят её параметры). Эта процедура проводится по каждому из размерных показателей кач-ва.

В качестве среднего примен-ся среднее геометрическое

Формула

Среднее геометрическое берут т.к. неудовлетворительное значение одного качества ведёт к неуд. Значению критерия оптимальности в целом.

 17. Безусловная оптимизация аналитическим методом.

Требования для применения: целевая ф-я должна быть задана аналитически, т.е. в виде уравнения K=f(x).

Чтобы найти экстремум: производная ф-и приравнивается к 0. получаем уравнение и решаем его, получая решение – оптимальную точку.

в точке А: K=f(x)

Рис. (график)

Если целевая ф-я многомерная, т.е. содержит неск-ко оптимиз-х факторов. В этом случае получают систему из n-уравнений из которых находят вектор оптимальных значений

 18. Безусловная оптимизация методом сканирования

Сканирование- последовательный просмотр или перебор

Реализуется следующим образом:

1) Определяют область сканирования, т.е. интервал каждого из оптимизирующих факторов.

Рис

2) Выбирают интервал дискретности по каждому из оптимизирующих факторов и покрывают область сеткой.

3) В каждой полученной точке находят критерий оптимальности, затем анализируют все точки и находят оптимальную.

Рис для двух оптимизир-х факторов

Заполнение узлов сетки осуществляется по слоям: все оптимизир-е факторы кроме одного фиксир-ся на определённом ур-не, а по оставшимся осущ-ся перебор.

Достоинства: Наглядность. Невозможность ошибки при выборе глобального и локального экстремума

Недостатки: при наличии более 4-х оптимиз-х факторов этот метод не используется.

 19. Поисковые методы безусловной оптимизации.

1 Метод покоординатных шагов:

Общее для всех методов.

1) Исходными данными поиска явл-ся требуемая точность метода и начальная точка поиска

2) Выбирается величина шага поиска Н, и по некоторому правилу происх-т получение новых точек по предыдущей точке при К=0,1,2...

3) Получение новых точек идет до тех пор, пока не будет выполнено усл-е прекращ-я поиска. Последняя т-ка поиска – решение задачи оптимизации. Все т-ки поиска составляют траекторию поиска.

Методы поиска отличаются друг от друга:

1) процедурой выбора величины шага, он м.б. одинаковым на всех итерациях или расчит-ся на каждой итерации;

2) Методом алгоритма получения новой т-ки;

3) Условием прекращения поиска.

Для методов с постоянным шагом, его выбирают знач-но меньше точности :

Если при выбранной величине шага не удаётся получить решение с треб-ой точностью, то величину шага уменьш-ют и продолжают поиск из последней точки имеющей траектории.

Условие прекращения поиска:

1) Все соседние точки поиска хуже, чем предыдущие: , где Ф-целевая ф-я

2) ,

Если задача оптимизации – задача поиска минимума, то достаточно выполнения условия:

Min      

 Max 

Методы поисковой оптимиз-ии класифиц-т по порядку производной целевой ф-и, использ-ой для получения новых точек. Методом поиска 0-порядка не треб-ся вычисление производных, а достаточно самой целевой ф-и. Методом поиска 1-порядка использует частные производные, а м-ды 2-порядка использ-т матрицу вторых производных. Чем выше порядок, тем более обоснов-м явл-ся выбор новой т-ки поиска и тем меньше число итераций м-да, но при этом возрастает трудоёмкость каждой операции из-за численного расчета производных. Эффективность поискового метода определяют по числу итераций и по кол-ву вычисления целевой ф-и на каждой итерации.

 20. Метод случайного поиска.

Исходные данные:

1) Требуемая точность ;

2) Начальная т-ка поиска ,

3) Величина шага поиска h

Алгоритм:

Поиск новых т-к производится в случайном направлении, на котором откладывается заданный шаг, таким образом получают пробную т-ку и проверяют лучше ли она чем предыдущая. Для решения задач поиска Минимума

(1) , К=0,1,2...

Если (1) выполняется, то включают в траекторию поиска, т.е. , в противном случае пробную точку исключ-ют из рассмотрения и проводят выбор нового случайного направления из т-ки

Графически: Рис

Достоинство: простота

Недостатки:

1. Заранее не изв-но, сколько случ-х направлений потребуется для получения новой т-ки траектории поиска, что делает затраты на проведение одной итерации слишком большими;

2. Число итераций в методе слишком велико, т.к. при выборе направления поиска не использ-ся инфа о целевой ф-ии

21. Метод покоординатных шагов

В методе в качестве возможных направлений поиска, выбирают направления параллельные осям координат, причем движение может быть, как в сторону увеличения так и в сторону уменьшения координат.

Исходные данные: величина шага n, начальная точка поиска.

x0=(x10,x20) В случае двухмерного пространства будет 2 оптимизирующих фактора.

Алгоритм: из точки х0, вдоль оси х1 в сторону увеличения координаты.

хпр10+h,x20) при k=0 получают пробную точку с координатами.

Сравнивают значение функции Ф(хпр) со значением функции в предыдущей точке поиска, если выполняется условие Ф(хпр)≤ Ф(хк), то пробную точку включают в траекторию поиска хк+1= хпр, в противном случае пробную точку исключают из рассмотрения и получают новую пробную точку, двигаясь вдоль оси х1, в сторону уменьшения координаты.

Получают пробную точку с координатами хпр1к+h,x2к)

Если условие Ф(хпр)>Ф(хк), то продолжают движение вдоль оси х2 в сторону увеличения координаты.

Получают точку хпр1к,x2к+h)

И так далее по алгоритму.

При построении траектории описка повторное движение по точкам вошедшим в траекторию поиска запрещено.

Получение новых точек в методе покоординатного поиска продолжается до тех пор, пока не будет получена точка хк, для которой все соседние пробные точки будут хуже (соседние точки во всех направлениях в сторону уменьшения и увеличения). Тогда поиск прекращается и в качестве точки минимума выбирается последняя точка траектории поиска.

 22. Градиентный метод с постоянным шагом

Исходные данные: требуемая точность ε, начальная точка поиска х0, шаг поиска h.

Получение новых точек производится по формуле

(1)     хк+1кh grad Ф(хк),    к = 0, 1, 2, …  min Ф(х)

хк+1к + h grad Ф(хк),    к = 0, 1, 2, …  max Ф(х)

В общем случае каждая из формул является векторным соотношением, которое включает n уравнений

(2)     

В скалярном виде:

(3)     

Если эту систему свернуть, то получится уравнение в общем виде

 

В качестве условия прекращения поиска во всех градиентных методах используется комбинация двух условий

23. Градиентный метод с дроблением шага

Исходные данные: ε, х0, h (h=1)

Получение новых точек производится по формуле

хк+1кhк grad Ф(хк),    к = 0, 1, 2, …

hк - величина шага к-ой итерации поиска

При этом шаге должно выполнятся условие

(1)     Ф(хкh grad Ф(хк)) ≤ Ф(хк) - ε hк |grad Ф(хк)|2

Если величина шага hк такова, что неравенство (1) не выполнено, то производится дробление шага до тех пор, пока данное условие не будет выполнено.

Дробление шага выполняется по формуле:

 

Такой подход позволяет сократить число итераций, но затраты на проведение одной итерации возрастают.

 24. Метод наискорейшего спуска

В этом методе на каждой итерации градиентного метода, выбирается оптимальный шаг.

Исходные данные: ε, х0

Получение новых точек производится по формуле

хк+1 = хкhк grad Ф(хк),    к = 0, 1, 2, …  

hк = minФ(хкhк grad Ф(хк))       0 < h < ∞

Выбор шага производится по результатам одномерной оптимизации по параметру h.

Основная идея метода заключается в том, что на каждой итерации выбирается максимально возможная величина шага в направлении наискорейшего убывания целевой функции, т.е. в направлении вектора антиградиента функции Ф(х) в точке хк.

Из всех градиентных методов , в методе наискорейшего спуска, наименьшее число итераций.

 25.  Метод штрафных функций

Основная задача метода, состоит в преобразовании задачи минимизации функции с соответствующими ограничениями наложенными на х, в задачу поиска минимума без ограничений функций.

Пусть в общем случае имеем задачу нахождения минимума с ограничениями

f(x)→min

φi(x) ≤ 0, i = 1, n1

ψi(x) = 0, i = 1, n2

z(x) = f(x)+αH(x)

H(x) – функция штрафа

α – параметр штрафа

Необходимо, чтобы при нарушении ограничений H(x), «штрафовала» функцию z, т.е. увеличивала её значения, в этом случае минимум функции z будет находится внутри функции ограничений.

Для данной задачи функция штрафа будет иметь 3 составляющих, т.к. 2 ограничения

H(x)=Hφ(x) + Hψ(x)

и составляющие должны удовлетворять условию

 

 

Функций может быть несколько

p – натуральное число, обычно р = 2

Чем больше α, тем сильнее влияет функция штрафа тем точнее выполняются условия задачи.

Алгоритм:

1. Задать начальную точку х0

и начальное значение α0

2. Минимизировать функцию z(x) одним из методов безусловной оптимизации

В результате определяется хк*

3. Если условие αк H(xк*) < ε выполняется, то xn* принимается за оптимальное решение задачи.

Иначе:

4. αк+1=β αn 

β > 1

За начальную точку принимается хк* и алгоритм повторяется со второго шага.

Рекомендуется выбирать значения параметров алгоритмов из диапазона

α 0÷1

β 1÷10

26. Метод барьерных функций

В отличие от штрафных функций данный метод применяется к задачам с ограничениями только в виде неравенств.

Суть метода: поиск обязан начинаться из внутренней точки, и последующие точки не должны выходить из допустимых областей. Поэтому исходная задача модифицируется так, что при приближении к границе допустимой области растет барьер, препятствующий выходу за границы.

Исходная задача на условный экстремум задается в виде

f(x)→min

φi(x) ≤ 0, i = 1, n1

Исходная задача преобразуется в задачу безусловной минимизации с помощью вспомогательной функции

z(x) = f(x) + μ B(x)

B(x) – барьерная функция

μ – параметр барьера

Обязательное условие внутренняя область не должна быть пустой.

точки лежащие: φi(x) < 0

Барьерная функция строится, так что она не должна быть не отрицательной и непрерывной на допустимой области и стремилась к бесконечности при приближении изнутри границы.

Алгоритм:

1. Выбрать начальную точку x0, так чтобы φi(x0) < 0

Задать точность

Значение μ0 и число B в интервале от 0 до 1

2. Минимизировать функцию z(x) одним из методов безусловной минимизации, в результате чего определяется хк*

3. Проверить если

μк Bк*) < ε, то хк* принимать за оптимальное решение задачи

4. Рассчитывается новое значение μк+1 =  β·μк

за начальную точку принимается хк* и возвращаемся к шагу 2

μ0 берут 2÷10

Замечание: в процессе поиска минимума в близи границы из-за дискретности шагов, возможен выход за допустимую область, где барьерная функция становится отрицательной, что повлечет расхождение поиска. Поэтому необходима явная проверка на допустимость точек на каждом шаге при минимизации функции z.