1550

Установка числа корней полинома (с учетом их кратности)

Контрольная

Математика и математический анализ

Бесконечная и конечная многоугольные области. Геометрические условия, определяющие распределение корней. Алгебраические соотношения, определяющие распределение корней.

Русский

2013-01-06

101.35 KB

5 чел.

  1.  Постановка задачи.

Будем считать, что на комплексной плоскости задана конечная или бесконечная многоугольная область. Примеры таких областей приведены на рисунке 1. Требуется установить число корней полинома (с учетом их кратности)

 

                                                                                                         (1.1)

внутри области   вне области и на границе области .

Рисунок 1 – Бесконечная и конечная многоугольные области

Многоугольную область будем считать односвязной и симметричной относительно вещественной оси. Границу области в верхней полуплоскости зададим множеством вершин , где определяет множество ребёр многоугольной области  . Область будет определять как часть комплексной плоскости,  расположенную слева от ребёр при их последовательном прохождении от до . Будем считать, что область конечна, если , и бесконечно, если . В последнем случае вершины и определяют не отрезок, а полупрямую.


  1.  Геометрические условия, определяющие распределение корней.

Геометрические условия, определяющие распределение корней полинома относительно конечной и бесконечной многоугольных областей, сформулированы соответственной в виде теорем 2.1 и 2.2.

Теорема 2.1. Число корней  полинома (1.1), расположенных внутри конечной многоугольной области, вне области и на границе области , определяется выражениями

; ,    (2.1)

где - число квадрантов, проходимых годографом полинома при изменении  вдоль границы области в верхней полуплоскости с обходом корней, лежащих на границе.

Теорема 2.2. Число корней полинома (1.1) ,, для бесконечной многоугольной области определяется выражениями

; ,  (2.2)

где - число полных квадрантов, проходимых годографом полинома при изменении вдоль границы области в верхней полуплоскости с обходом корней, лежащих на границе; 

  (2.3)

где - номер последней полуоси, пересекаемой годографом;

    , - коэффициенты, характеризующие наклон годографа при .

Применение теорем 2.1 и 2.2 даёт принципиальную возможность решения задачи определения распределения корней полинома относительно многоугольной области. Однако решение этой задачи путём непосредственного построения и анализа годографов со сложным характером изменения встречает ряд серьёзных трудностей. Во-первых, как и при построении частотных годографов, возникает не имеющая общего решения проблема выбора шага изменения независимой переменной и конечного значения . Во-вторых, по сравнению с частотными годографами вид годографа полинома при изменении вдоль границы многоугольной области усложняется с усложнением границы. В-третьих, приращение аргумента полинома при обходе корней, совпадающих с вершинами области, в отличие от частотных годографов, происходит не на целое число квадрантов. С целью устранения этих недостатков для анализа сложных годографов может быть использована алгебраическая интерпретация теорем 2.1 и 2.2.


  1.  Алгебраические соотношения, определяющие распределение корней.

Рассмотрим параметрическое представление каждого ребра многоугольной области:

                                                                                   (3.1)

где; - вещественная переменная;

 , если не является последним ребром бесконечной области; в противном случае.

Тогда при изменении вдоль го ребра для полинома (1.1) справедливо представление

                                                           (3.2)

Коэффициенты этого представления могут быть найдены с помощью рекуррентных соотношений

 (3.3)

Полином  (3.2) легко может быть приведён к виду

                                               (3.4)

где . Пусть для каждого го ребра многоугольной области получено представление полинома (1.1) в виде (3.4) и найдены множества вещественных корней из интервала и их кратностей полиномов вещественной и мнимой частей соотношения (3.2): . Тогда справедливы следующие леммы.

Лемма 3.1. Начальная точка годографа определяется соотношением

                              (3.5)

где есть соответствующий коэффициент полинома при .

Лемма 3.2. Конечная точка годографа для конечной многоугольной области определяется соотношением

где есть соответствующий коэффициент полинома при . В случае бесконечной области при годограф уходит в с предельным значением фазовой характеристики , определяемым через соответствующие коэффициенты и полинома при .

Лемма 2.2. Каждый элемент такой, что не существует элемента , определяет точку пересечения годографом вещественной оси. Каждый элемент такой, что не существует элемента , определяет точку пересечения годографом мнимой оси. Каждый элемент такой, что существуют элементы  и , определяет обход корня полинома, лежащего на границе области . Приращение аргумента полинома в последнем случае определяется соотношением

                            ,                                     (3.6)

где - приращение аргумента независимой переменной, определяемое соотношениями:

Применение лемм 3.1-3.3 позволяет установить начальную точку годографа полинома при изменении вдоль границы многоугольной области; оси координат, пересекаемые годографом при обходе границы области и при обходе корней полинома, лежащих на границе; асимптотическое поведение годографа при .

По начальной точке годографа, пересекаемым осям и характеристикам асимптотического поведения годографа может быть установлено полное приращение аргумента полинома, лежащих на границе и внутри области. Приращение аргумента полинома при обходе корней, лежащих на границе, может быть найдено с помощью леммы 3.2 и тем самым может быть установлено число корней полинома, лежащих на границе области. Таким образом, без построения годографа может быть решена задача определения распределения корней полинома относительно многоугольной области.

  1.  Заключение. Получены соотношения (2.1) и (2.2), позволяющие по виду годографа установить распределение корней полинома относительно многоугольной области. Полученные результаты могут использоваться при проектировании АС с применением корневых оценок качества переходных процессов. При сложном характере изменения годографа (обусловленного как видом самого полинома, так и видом многоугольной области) определение величин, входящих в соотношения (2.1) и (2.2), непосредственно по годографу представляет собой сложную вычислительную задачу. На основе соотношений (2.1) и (2.2) получены алгебраические выражения, позволяющие установить распределение корней относительно многоугольной области без построения годографа путём анализа вещественных неотрицательных корней специальным образом построенных полиномов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2330. Виховна бесіда: Рідним домом хай буде клас 23.97 KB
  Мета: Розширити, поглибити уявлення учнів про основні правила культурного звертання до ровесників, дорослих, сприяти формуванню таких якостей, як доброта, делікатність, тактовність; прищеплювати любов до класу, бажання підтримувати порядок.
2331. Основные показатели ФХД 25.57 KB
  Рентабельность – относительный показатель прибыли (%). Способность фирмы к приращению активов. Доходность фирмы - это превышение доходов фирмы над её расходами. Платежеспособность – способность фирмы выдерживать убытки.
2332. Гармонія розвитку з навколишнім середовищем 92.5 KB
  Концепція сталого розвитку та шлях гармонізації антропогенної діяльності з природою. Екологічне нормування та оцінка впливів на навколишнє середовище при будівництві підприємств, будівель та споруд. Аналіз і оцінювання життєвого циклу продукції і її вплив на навколишнє середовище. Оцінка потенційних впливів на навколишнє середовище.
2333. Цивільна оборона 11.13 MB
  Надзвичайні ситуації мирного та воєнного часів і їх вплив на життєдіяльність населення України. Соціально-політичні та соціально-психологічні НС. Характеристика осередків ураження, що виникають при надзвичайних ситуаціях. Речовини й розчини, що дезактивують.
2334. Понятие и использование OLE 1.23 MB
  OLE (англ. Object Linking and Embedding) — технология связывания и внедрения объектов в другие документы и объекты, разработанные корпорацией Майкрософт.
2335. АФО органів травлення. Обмін речовин. Імунна система. Ендокринні залози. Нирки. Сечові шляхи. АФО новонародженої дитини 175.84 KB
  Анатомо-фізіологічні особливості органів травлення у дітей. Бактерії кишок мають велике значення для життєдіяльності організму. Їх роль наступна. Особливості імунологічної реактивності у дітей. АФО ендокринної системи у дітей. Гормони задньої долі гіпофізу. Основні принципи невідкладної допомоги.
2336. Раскрой сырья на пилопродукцию. Виды и способы распиловки бревен 1.85 MB
  Пол распиловкой бревен следует понимать продольное деление бревен одной или несколькими пилами на пиломатериалы. По количеству одновременно работающих пил в стопке различают индивидуальный и групповой виды распиловки бревен.
2337. Коробка скоростей токарно-карусельного станка 1.29 MB
  Описание конструкции и системы управления станка - прототипа. Анализ конструкции современных металлорежущих станков аналогичных проектируемому. Расчет и обоснование основных технических характеристик проектируемого узла. Описание кинематической схемы проектируемого узла, построение структурной сетки и графика частот. Описание и расчет системы смазки шпиндельного узла и ПГД в целом.
2338. Характеристика заготовительных цехов и цехов основного производства НКМЗ 3.75 MB
  Машины и оборудование с маркой НКМЗ работают более чем в 40 странах мира, среди которых Германия, Франция, Япония, Италия, Канада, Индия, Египет и др. Уже изначально предприятие было сориентировано на производство уникальных машин и оборудования. В предвоенные годы заводом был выполнен ряд ответственных отечественных оборонных заказов.