1550

Установка числа корней полинома (с учетом их кратности)

Контрольная

Математика и математический анализ

Бесконечная и конечная многоугольные области. Геометрические условия, определяющие распределение корней. Алгебраические соотношения, определяющие распределение корней.

Русский

2013-01-06

101.35 KB

5 чел.

  1.  Постановка задачи.

Будем считать, что на комплексной плоскости задана конечная или бесконечная многоугольная область. Примеры таких областей приведены на рисунке 1. Требуется установить число корней полинома (с учетом их кратности)

 

                                                                                                         (1.1)

внутри области   вне области и на границе области .

Рисунок 1 – Бесконечная и конечная многоугольные области

Многоугольную область будем считать односвязной и симметричной относительно вещественной оси. Границу области в верхней полуплоскости зададим множеством вершин , где определяет множество ребёр многоугольной области  . Область будет определять как часть комплексной плоскости,  расположенную слева от ребёр при их последовательном прохождении от до . Будем считать, что область конечна, если , и бесконечно, если . В последнем случае вершины и определяют не отрезок, а полупрямую.


  1.  Геометрические условия, определяющие распределение корней.

Геометрические условия, определяющие распределение корней полинома относительно конечной и бесконечной многоугольных областей, сформулированы соответственной в виде теорем 2.1 и 2.2.

Теорема 2.1. Число корней  полинома (1.1), расположенных внутри конечной многоугольной области, вне области и на границе области , определяется выражениями

; ,    (2.1)

где - число квадрантов, проходимых годографом полинома при изменении  вдоль границы области в верхней полуплоскости с обходом корней, лежащих на границе.

Теорема 2.2. Число корней полинома (1.1) ,, для бесконечной многоугольной области определяется выражениями

; ,  (2.2)

где - число полных квадрантов, проходимых годографом полинома при изменении вдоль границы области в верхней полуплоскости с обходом корней, лежащих на границе; 

  (2.3)

где - номер последней полуоси, пересекаемой годографом;

    , - коэффициенты, характеризующие наклон годографа при .

Применение теорем 2.1 и 2.2 даёт принципиальную возможность решения задачи определения распределения корней полинома относительно многоугольной области. Однако решение этой задачи путём непосредственного построения и анализа годографов со сложным характером изменения встречает ряд серьёзных трудностей. Во-первых, как и при построении частотных годографов, возникает не имеющая общего решения проблема выбора шага изменения независимой переменной и конечного значения . Во-вторых, по сравнению с частотными годографами вид годографа полинома при изменении вдоль границы многоугольной области усложняется с усложнением границы. В-третьих, приращение аргумента полинома при обходе корней, совпадающих с вершинами области, в отличие от частотных годографов, происходит не на целое число квадрантов. С целью устранения этих недостатков для анализа сложных годографов может быть использована алгебраическая интерпретация теорем 2.1 и 2.2.


  1.  Алгебраические соотношения, определяющие распределение корней.

Рассмотрим параметрическое представление каждого ребра многоугольной области:

                                                                                   (3.1)

где; - вещественная переменная;

 , если не является последним ребром бесконечной области; в противном случае.

Тогда при изменении вдоль го ребра для полинома (1.1) справедливо представление

                                                           (3.2)

Коэффициенты этого представления могут быть найдены с помощью рекуррентных соотношений

 (3.3)

Полином  (3.2) легко может быть приведён к виду

                                               (3.4)

где . Пусть для каждого го ребра многоугольной области получено представление полинома (1.1) в виде (3.4) и найдены множества вещественных корней из интервала и их кратностей полиномов вещественной и мнимой частей соотношения (3.2): . Тогда справедливы следующие леммы.

Лемма 3.1. Начальная точка годографа определяется соотношением

                              (3.5)

где есть соответствующий коэффициент полинома при .

Лемма 3.2. Конечная точка годографа для конечной многоугольной области определяется соотношением

где есть соответствующий коэффициент полинома при . В случае бесконечной области при годограф уходит в с предельным значением фазовой характеристики , определяемым через соответствующие коэффициенты и полинома при .

Лемма 2.2. Каждый элемент такой, что не существует элемента , определяет точку пересечения годографом вещественной оси. Каждый элемент такой, что не существует элемента , определяет точку пересечения годографом мнимой оси. Каждый элемент такой, что существуют элементы  и , определяет обход корня полинома, лежащего на границе области . Приращение аргумента полинома в последнем случае определяется соотношением

                            ,                                     (3.6)

где - приращение аргумента независимой переменной, определяемое соотношениями:

Применение лемм 3.1-3.3 позволяет установить начальную точку годографа полинома при изменении вдоль границы многоугольной области; оси координат, пересекаемые годографом при обходе границы области и при обходе корней полинома, лежащих на границе; асимптотическое поведение годографа при .

По начальной точке годографа, пересекаемым осям и характеристикам асимптотического поведения годографа может быть установлено полное приращение аргумента полинома, лежащих на границе и внутри области. Приращение аргумента полинома при обходе корней, лежащих на границе, может быть найдено с помощью леммы 3.2 и тем самым может быть установлено число корней полинома, лежащих на границе области. Таким образом, без построения годографа может быть решена задача определения распределения корней полинома относительно многоугольной области.

  1.  Заключение. Получены соотношения (2.1) и (2.2), позволяющие по виду годографа установить распределение корней полинома относительно многоугольной области. Полученные результаты могут использоваться при проектировании АС с применением корневых оценок качества переходных процессов. При сложном характере изменения годографа (обусловленного как видом самого полинома, так и видом многоугольной области) определение величин, входящих в соотношения (2.1) и (2.2), непосредственно по годографу представляет собой сложную вычислительную задачу. На основе соотношений (2.1) и (2.2) получены алгебраические выражения, позволяющие установить распределение корней относительно многоугольной области без построения годографа путём анализа вещественных неотрицательных корней специальным образом построенных полиномов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36920. Установка и настройка сервера DHCP 14.43 KB
  Установка и настройка сервера DHCP Цель Изучить процесс установки авторизации сервера DHCP создания области и настройки параметров области Исходная конфигурация компьютера Компьютеры с операционной системой Windows 2003 Server с созданными контроллерами домена. Результат Сервер с установленной и настроенной службой DHCP Требования к отчету Теореретические сведения: Общие сведения о службе DHCP. Последовательность выполняемых действий Установка службы DHCP Авторизация сервера DHCP в ctive Directory Создание области и...
36921. Word. Основные возможности 122 KB
  Любой текст имеет формат определенного типа. Базовый формат текста зависит от стиля который применен к абзацу содержащему этот текст. Процесс изменения формата называется форматированием а следствием изменения формата является изменение внешнего вида документа. Стиль это набор запомненных команд форматирования символов и или абзацев.
36922. Word: Способы запуска. Создание, открытие, сохранение, закрытие файла (документа) 93 KB
  Панели инструментов и их настройка. Контекстное меню в области панелей инструментов. ДЕЙСТВИЯ С ФАЙЛАМИ И ОКНАМИ ФАЙЛОВ Выполните действия связанные с созданием сохранением и закрытием файла: создайте файл для чего: 1й способ: нажмите кнопку Создать файл по умолчанию на Стандартной панели инструментов; 2й способ: нажмите сочетание клавиш CtrlN; 3й способ: выполните команды меню ФайлðСоздать.; в появившемся окне Сохранение документа в раскрывающемся списке Папка откройте Вашу папку если Вашей папки нет то можно создать ее...
36923. Операционная система Windows, конфигурирование и настройка 87.5 KB
  Знакомство с реестром Windows администрирование автозагрузки настройка Windows. Знакомство с основными видами пользовательского интерфейса изучение базовых консольных команд Windows. Системные команды Windows Таблица 1 Основные системные команды Windows HELP название команды Выводит справочную информацию о командах Windows XP.
36924. Исследование статических триггеров 61 KB
  Цель лабораторной работы: исследовать основные свойства статических триггеров. Задание: снять временные диаграммы определить таблицы состояний особенности работы статических триггеров асинхронный RS триггер синхронный RS триггер и D триггерзащелка. Программа работы для каждого триггера.
36925. КОМПЬЮТЕРНАЯ СИСТЕМА PROJECT EXPERT. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕОБХОДИМОСТИ ФИНАНСИРОВАНИЯ ПРОЕКТА 47 KB
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕОБХОДИМОСТИ ФИНАНСИРОВАНИЯ ПРОЕКТА Цель: изучить систему команд Project Expert формирования инвестиционного и операционного планов предприятия по реализации проекта. Выполнить на ПЭВМ следующие разделы Project Expert: Инвестиционный план Операционный план. На основе инвестиционного и операционного планов предприятия определить потребность в финансировании проекта. Теоретическое введение Следующим этапом процесса построения финансовой модели является описание плана развития предприятия проекта.
36926. Решение задач нелинейного программирования в среде Mathcad и Excel 64 KB
  Оптимальное распределение активной мощности между тремя ТЭС Для задачи рассмотренной на 4м практическом занятии выполнить распределение активной мощности между тремя ТЭС без учета 1а и с учетом 1б изменения потерь мощности в сети. Оптимальное распределение активной мощности между тремя ТЭС с учетом уравнений баланса мощностей во всех узлах сети Решить предыдущую задачу с учетом уравнений узловых напряжений для узлов схемы сети. Оптимальное распределение реактивной мощности между тремя ТЭС с учетом уравнений баланса мощностей во...
36927. Исследование статических и динамических характеристик уровнемеров 1.89 MB
  Губкина Кафедра автоматизации технологических процессов Лабораторная работа Исследование статических и динамических характеристик уровнемеров Методическое пособие к лабораторным работам по курсам : Методы и средства измерений испытаний и контроля Автоматизация производственных процессов Основы техники измерений Москва 2011 Введение Автоматизированные системы управления технологическими процессами АСУ ТП получают результаты измерений в процессе...
36928. Блочные симметричные алгоритмы шифровании. Режимы работы блочных алгоритмов 2.77 MB
  Блочными называются шифры в которых логической единицей шифрования является некоторый блок открытого текста после преобразований которого получается блок шифрованного текста такой же длины. Ситуации в которых постороннему наблюдателю известна часть исходного текста встречаются повсеместно. Это диктуется в первую очередь требованием невозможности обратного декодирования в отношении ключа при известных исходном и зашифрованном текстах. Предположим противник обладает некоторыми сведениями о статистических характеристиках открытого текста.