1550

Установка числа корней полинома (с учетом их кратности)

Контрольная

Математика и математический анализ

Бесконечная и конечная многоугольные области. Геометрические условия, определяющие распределение корней. Алгебраические соотношения, определяющие распределение корней.

Русский

2013-01-06

101.35 KB

5 чел.

  1.  Постановка задачи.

Будем считать, что на комплексной плоскости задана конечная или бесконечная многоугольная область. Примеры таких областей приведены на рисунке 1. Требуется установить число корней полинома (с учетом их кратности)

 

                                                                                                         (1.1)

внутри области   вне области и на границе области .

Рисунок 1 – Бесконечная и конечная многоугольные области

Многоугольную область будем считать односвязной и симметричной относительно вещественной оси. Границу области в верхней полуплоскости зададим множеством вершин , где определяет множество ребёр многоугольной области  . Область будет определять как часть комплексной плоскости,  расположенную слева от ребёр при их последовательном прохождении от до . Будем считать, что область конечна, если , и бесконечно, если . В последнем случае вершины и определяют не отрезок, а полупрямую.


  1.  Геометрические условия, определяющие распределение корней.

Геометрические условия, определяющие распределение корней полинома относительно конечной и бесконечной многоугольных областей, сформулированы соответственной в виде теорем 2.1 и 2.2.

Теорема 2.1. Число корней  полинома (1.1), расположенных внутри конечной многоугольной области, вне области и на границе области , определяется выражениями

; ,    (2.1)

где - число квадрантов, проходимых годографом полинома при изменении  вдоль границы области в верхней полуплоскости с обходом корней, лежащих на границе.

Теорема 2.2. Число корней полинома (1.1) ,, для бесконечной многоугольной области определяется выражениями

; ,  (2.2)

где - число полных квадрантов, проходимых годографом полинома при изменении вдоль границы области в верхней полуплоскости с обходом корней, лежащих на границе; 

  (2.3)

где - номер последней полуоси, пересекаемой годографом;

    , - коэффициенты, характеризующие наклон годографа при .

Применение теорем 2.1 и 2.2 даёт принципиальную возможность решения задачи определения распределения корней полинома относительно многоугольной области. Однако решение этой задачи путём непосредственного построения и анализа годографов со сложным характером изменения встречает ряд серьёзных трудностей. Во-первых, как и при построении частотных годографов, возникает не имеющая общего решения проблема выбора шага изменения независимой переменной и конечного значения . Во-вторых, по сравнению с частотными годографами вид годографа полинома при изменении вдоль границы многоугольной области усложняется с усложнением границы. В-третьих, приращение аргумента полинома при обходе корней, совпадающих с вершинами области, в отличие от частотных годографов, происходит не на целое число квадрантов. С целью устранения этих недостатков для анализа сложных годографов может быть использована алгебраическая интерпретация теорем 2.1 и 2.2.


  1.  Алгебраические соотношения, определяющие распределение корней.

Рассмотрим параметрическое представление каждого ребра многоугольной области:

                                                                                   (3.1)

где; - вещественная переменная;

 , если не является последним ребром бесконечной области; в противном случае.

Тогда при изменении вдоль го ребра для полинома (1.1) справедливо представление

                                                           (3.2)

Коэффициенты этого представления могут быть найдены с помощью рекуррентных соотношений

 (3.3)

Полином  (3.2) легко может быть приведён к виду

                                               (3.4)

где . Пусть для каждого го ребра многоугольной области получено представление полинома (1.1) в виде (3.4) и найдены множества вещественных корней из интервала и их кратностей полиномов вещественной и мнимой частей соотношения (3.2): . Тогда справедливы следующие леммы.

Лемма 3.1. Начальная точка годографа определяется соотношением

                              (3.5)

где есть соответствующий коэффициент полинома при .

Лемма 3.2. Конечная точка годографа для конечной многоугольной области определяется соотношением

где есть соответствующий коэффициент полинома при . В случае бесконечной области при годограф уходит в с предельным значением фазовой характеристики , определяемым через соответствующие коэффициенты и полинома при .

Лемма 2.2. Каждый элемент такой, что не существует элемента , определяет точку пересечения годографом вещественной оси. Каждый элемент такой, что не существует элемента , определяет точку пересечения годографом мнимой оси. Каждый элемент такой, что существуют элементы  и , определяет обход корня полинома, лежащего на границе области . Приращение аргумента полинома в последнем случае определяется соотношением

                            ,                                     (3.6)

где - приращение аргумента независимой переменной, определяемое соотношениями:

Применение лемм 3.1-3.3 позволяет установить начальную точку годографа полинома при изменении вдоль границы многоугольной области; оси координат, пересекаемые годографом при обходе границы области и при обходе корней полинома, лежащих на границе; асимптотическое поведение годографа при .

По начальной точке годографа, пересекаемым осям и характеристикам асимптотического поведения годографа может быть установлено полное приращение аргумента полинома, лежащих на границе и внутри области. Приращение аргумента полинома при обходе корней, лежащих на границе, может быть найдено с помощью леммы 3.2 и тем самым может быть установлено число корней полинома, лежащих на границе области. Таким образом, без построения годографа может быть решена задача определения распределения корней полинома относительно многоугольной области.

  1.  Заключение. Получены соотношения (2.1) и (2.2), позволяющие по виду годографа установить распределение корней полинома относительно многоугольной области. Полученные результаты могут использоваться при проектировании АС с применением корневых оценок качества переходных процессов. При сложном характере изменения годографа (обусловленного как видом самого полинома, так и видом многоугольной области) определение величин, входящих в соотношения (2.1) и (2.2), непосредственно по годографу представляет собой сложную вычислительную задачу. На основе соотношений (2.1) и (2.2) получены алгебраические выражения, позволяющие установить распределение корней относительно многоугольной области без построения годографа путём анализа вещественных неотрицательных корней специальным образом построенных полиномов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42902. Комплексный анализ проблем оплаты труда на предприятии питания и предложение направлений совершенствования оплаты труда на предприятии 67.08 KB
  Формы и системы оплаты труда. Фонд оплаты труда и его структура. Направления совершенствования системы оплаты труда на предприятии. Администрация предприятий питания самостоятельно выбирает и применяет различные системы оплаты труда работников.
42903. Розробка блоку зв’язку з електроавтоматикою верстата 16Б16. Пристрій управління шпінделем 875.86 KB
  Числове програмне керування (ЧПК) (англ. Computer numerical control) - комп'ютеризована система керування, яка зчитує командні інструкції спеціалізованої мови програмування (наприклад, G-код) і керує приводами метало-, дерево- чи пластмасообробних верстатів та верстатним оснащенням.
42904. Предпримемательство: эволюционный подход 33.65 MB
  Предпринимательство есть способ хозяйствования, который в результате многовековой эволюции утвердился в экономике всех развитых стран. Первоначально предпринимателями называли предприимчивых людей, действующих на рынке, или просто людей энергичных, азартных, склонных к рискованным операциям. В дальнейшем к предпринимательству стали относить любую деятельность, направленную на увеличение прибыли и не запрещённую законом. Однако возникновение предпринимательства как оформившегося устойчивого явления относят к XVII веку.
42905. Сестринский процесс при ожирении 186.5 KB
  Эта проблема касается всех слоев населения независимо от социальной и профессиональной принадлежности, возраста, места проживания и пола. Так, в странах Западной Европы избыточную массу тела имеет от 10 до 20% мужчин и от 20 до 25% женщин. В некоторых регионах Восточной Европы доля людей, страдающих ожирением, достигла 35%. В России в среднем 30% трудоспособного населения имеют ожирение и 25% - избыточную массу тела.
42906. Разработка программы для реализации модели боя типа «Б» с учетом корректировки огня 66.8 KB
  Исходные данные В качестве исходных данных задачи принимаются следующие величины: N1 – численность наших войск на момент начала бояN2 – численность войск противника на момент начала бояn1 – численность при которой наши подразделения выходят из бояn2 – численность при которой подразделения противника выходят из бояλ1 – скорострельность наших подразделенийλ2 – скорострельность подразделений противникаP1 – вероятность поражения БЕ противника при попаданииP2 – вероятность поражения нашей БЕ при попаданииK1 – коэффициент корректировки огня наших...
42907. Розробка алгоритмів покриття та сортування 733.57 KB
  Алгоритм - це точний припис, що визначає обчислювальний процес, що веде від варійованих вихідних даних до шуканого результату. Саме слово «алгоритм» походить від латинської форми написання імені великого математика IX століття Аль Хорезмі (Мухаммеда ібн Муса аль Horesmi)
42908. Разработка программы по учету покупок 4.71 MB
  Стек – это линейный список в котором добавление новых элементов и удаление существующих производится только с одного конца называемого вершиной стека. Это сокращение помогает запомнить механизм работы стека. Значением указателя представляющего стек является ссылка на вершину стека и каждый элемент стека содержит поле ссылки на соседний нижний элемент.Описание процедур Процедура Функция Параметры Описание dd b:Integer Общее колво элементов p:TPElemВершина стека В стек добавляется элемент.
42910. Генератор с широтно-импульсной модуляции 667.11 KB
  Сфера применения: в схемах управления скоростью вращения электродвигателей постоянного тока преобразователях напряжения в импульсных блоках питания и т. Схема ШИМ в своём составе обычно содержит сравнивающий элемент для сравнения управляющего и опорного напряжения генератор сигналов опорного напряжения выходной каскад для обеспечения нужного уровня выходного сигнала по напряжению и мощности. В приведён пример схемы генератора пилообразного напряжения генератора импульсов прямоугольной формы – мультивибратора необходимых для работы...