1550

Установка числа корней полинома (с учетом их кратности)

Контрольная

Математика и математический анализ

Бесконечная и конечная многоугольные области. Геометрические условия, определяющие распределение корней. Алгебраические соотношения, определяющие распределение корней.

Русский

2013-01-06

101.35 KB

5 чел.

  1.  Постановка задачи.

Будем считать, что на комплексной плоскости задана конечная или бесконечная многоугольная область. Примеры таких областей приведены на рисунке 1. Требуется установить число корней полинома (с учетом их кратности)

 

                                                                                                         (1.1)

внутри области   вне области и на границе области .

Рисунок 1 – Бесконечная и конечная многоугольные области

Многоугольную область будем считать односвязной и симметричной относительно вещественной оси. Границу области в верхней полуплоскости зададим множеством вершин , где определяет множество ребёр многоугольной области  . Область будет определять как часть комплексной плоскости,  расположенную слева от ребёр при их последовательном прохождении от до . Будем считать, что область конечна, если , и бесконечно, если . В последнем случае вершины и определяют не отрезок, а полупрямую.


  1.  Геометрические условия, определяющие распределение корней.

Геометрические условия, определяющие распределение корней полинома относительно конечной и бесконечной многоугольных областей, сформулированы соответственной в виде теорем 2.1 и 2.2.

Теорема 2.1. Число корней  полинома (1.1), расположенных внутри конечной многоугольной области, вне области и на границе области , определяется выражениями

; ,    (2.1)

где - число квадрантов, проходимых годографом полинома при изменении  вдоль границы области в верхней полуплоскости с обходом корней, лежащих на границе.

Теорема 2.2. Число корней полинома (1.1) ,, для бесконечной многоугольной области определяется выражениями

; ,  (2.2)

где - число полных квадрантов, проходимых годографом полинома при изменении вдоль границы области в верхней полуплоскости с обходом корней, лежащих на границе; 

  (2.3)

где - номер последней полуоси, пересекаемой годографом;

    , - коэффициенты, характеризующие наклон годографа при .

Применение теорем 2.1 и 2.2 даёт принципиальную возможность решения задачи определения распределения корней полинома относительно многоугольной области. Однако решение этой задачи путём непосредственного построения и анализа годографов со сложным характером изменения встречает ряд серьёзных трудностей. Во-первых, как и при построении частотных годографов, возникает не имеющая общего решения проблема выбора шага изменения независимой переменной и конечного значения . Во-вторых, по сравнению с частотными годографами вид годографа полинома при изменении вдоль границы многоугольной области усложняется с усложнением границы. В-третьих, приращение аргумента полинома при обходе корней, совпадающих с вершинами области, в отличие от частотных годографов, происходит не на целое число квадрантов. С целью устранения этих недостатков для анализа сложных годографов может быть использована алгебраическая интерпретация теорем 2.1 и 2.2.


  1.  Алгебраические соотношения, определяющие распределение корней.

Рассмотрим параметрическое представление каждого ребра многоугольной области:

                                                                                   (3.1)

где; - вещественная переменная;

 , если не является последним ребром бесконечной области; в противном случае.

Тогда при изменении вдоль го ребра для полинома (1.1) справедливо представление

                                                           (3.2)

Коэффициенты этого представления могут быть найдены с помощью рекуррентных соотношений

 (3.3)

Полином  (3.2) легко может быть приведён к виду

                                               (3.4)

где . Пусть для каждого го ребра многоугольной области получено представление полинома (1.1) в виде (3.4) и найдены множества вещественных корней из интервала и их кратностей полиномов вещественной и мнимой частей соотношения (3.2): . Тогда справедливы следующие леммы.

Лемма 3.1. Начальная точка годографа определяется соотношением

                              (3.5)

где есть соответствующий коэффициент полинома при .

Лемма 3.2. Конечная точка годографа для конечной многоугольной области определяется соотношением

где есть соответствующий коэффициент полинома при . В случае бесконечной области при годограф уходит в с предельным значением фазовой характеристики , определяемым через соответствующие коэффициенты и полинома при .

Лемма 2.2. Каждый элемент такой, что не существует элемента , определяет точку пересечения годографом вещественной оси. Каждый элемент такой, что не существует элемента , определяет точку пересечения годографом мнимой оси. Каждый элемент такой, что существуют элементы  и , определяет обход корня полинома, лежащего на границе области . Приращение аргумента полинома в последнем случае определяется соотношением

                            ,                                     (3.6)

где - приращение аргумента независимой переменной, определяемое соотношениями:

Применение лемм 3.1-3.3 позволяет установить начальную точку годографа полинома при изменении вдоль границы многоугольной области; оси координат, пересекаемые годографом при обходе границы области и при обходе корней полинома, лежащих на границе; асимптотическое поведение годографа при .

По начальной точке годографа, пересекаемым осям и характеристикам асимптотического поведения годографа может быть установлено полное приращение аргумента полинома, лежащих на границе и внутри области. Приращение аргумента полинома при обходе корней, лежащих на границе, может быть найдено с помощью леммы 3.2 и тем самым может быть установлено число корней полинома, лежащих на границе области. Таким образом, без построения годографа может быть решена задача определения распределения корней полинома относительно многоугольной области.

  1.  Заключение. Получены соотношения (2.1) и (2.2), позволяющие по виду годографа установить распределение корней полинома относительно многоугольной области. Полученные результаты могут использоваться при проектировании АС с применением корневых оценок качества переходных процессов. При сложном характере изменения годографа (обусловленного как видом самого полинома, так и видом многоугольной области) определение величин, входящих в соотношения (2.1) и (2.2), непосредственно по годографу представляет собой сложную вычислительную задачу. На основе соотношений (2.1) и (2.2) получены алгебраические выражения, позволяющие установить распределение корней относительно многоугольной области без построения годографа путём анализа вещественных неотрицательных корней специальным образом построенных полиномов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59296. ЩО ТАКЕ ПРИРОДА 117 KB
  Виховувати бережливе ставлення до рослин і тварин потребу у збереженні та збагаченні природних багатств. Роздавальні картки звірів птахів риб індивідуальні картки зашифровки щоденники спостережень підручники учнівські малюнки...
59297. Проведення народних ігор в початковій школі 51.5 KB
  За ким була хустина той ловить утікаючого що повинен стати на місце доганяю чого. Місце проведення: довільне. Якщо ходієві не вдається зайняти місце він бере найближчого гравця за руку залучає інших і веде за собою цілий ряд за коло.
59299. Свято здоровя в літньому таборі 49.5 KB
  Зараз ми спробуємо поставити виставу Пригоди Катрусі в країні Невмивайній Катруся і Бруднуля разом ти хто Бруднуля: Я Бруднуля Бруднулькун Знаменитий неуважний З вулиці Вантажної. Тут гарно живеться Катруся: А я сама не знаю як сюди потрапила.
59300. Гра-подорож у країну чистоти у порядку 31.5 KB
  Діти не чистять своє взуття не слідкують за одягом не вміють користуватися носовою хустиночкою. Хочу я напитись чаю Але що це Сам не знаю Самовар мій повний вщерть Утікає напереберть Що зробилось Діти чому в бруднулі всі речі повтікали...
59301. Котилася торба з великого горба 31 KB
  Хід гриподорожі Добрий день любідрузі Яке чудове привітання Добрий день це означає що над нами мирне небо що у нас хороше на серці. Добрий день це означає що всі ми бажаємо один одному добра. Треба дружно привітатись Добрий день Дружно голосно сказати: Добрий день...
59302. КОНКУРС-ЗМАГАННЯ «КОЗАЦЬКІ ЗАБАВИ» 62.5 KB
  Для боротьби ми не збирали ані рушниць ані гармат здоровя повен міх набрали вистачить його для всіх команд. Хлопчик 1 команда: Наша невелика команда і поки молодий у неї вік а Тараса ми вибрали за отамана бо він здоровий чоловік.
59303. Мама, тато і я – спортивна сімя 348.5 KB
  Члени кожної команди женуть мяч ногою від кубика до кубика, обходячи кожний то справа, то зліва. Спочатку вони рухаються в один бік, а потім в інший. Передавати мяч наступним гравцям потрібно також ногою.
59304. CЦЕНАРІЙ КВК ПО ХІМІЇ 67 KB
  Ведучий 1: Доброго дня шановні друзі Сьогодні на острові Хімляндії в Клубі веселих та кмітливих відбудеться зустріч двох команд хіміків і екологів. Ведучий 2. Ведучий 1: То ж запрошуємо на сцену для змагання дві команди.