1550

Установка числа корней полинома (с учетом их кратности)

Контрольная

Математика и математический анализ

Бесконечная и конечная многоугольные области. Геометрические условия, определяющие распределение корней. Алгебраические соотношения, определяющие распределение корней.

Русский

2013-01-06

101.35 KB

5 чел.

  1.  Постановка задачи.

Будем считать, что на комплексной плоскости задана конечная или бесконечная многоугольная область. Примеры таких областей приведены на рисунке 1. Требуется установить число корней полинома (с учетом их кратности)

 

                                                                                                         (1.1)

внутри области   вне области и на границе области .

Рисунок 1 – Бесконечная и конечная многоугольные области

Многоугольную область будем считать односвязной и симметричной относительно вещественной оси. Границу области в верхней полуплоскости зададим множеством вершин , где определяет множество ребёр многоугольной области  . Область будет определять как часть комплексной плоскости,  расположенную слева от ребёр при их последовательном прохождении от до . Будем считать, что область конечна, если , и бесконечно, если . В последнем случае вершины и определяют не отрезок, а полупрямую.


  1.  Геометрические условия, определяющие распределение корней.

Геометрические условия, определяющие распределение корней полинома относительно конечной и бесконечной многоугольных областей, сформулированы соответственной в виде теорем 2.1 и 2.2.

Теорема 2.1. Число корней  полинома (1.1), расположенных внутри конечной многоугольной области, вне области и на границе области , определяется выражениями

; ,    (2.1)

где - число квадрантов, проходимых годографом полинома при изменении  вдоль границы области в верхней полуплоскости с обходом корней, лежащих на границе.

Теорема 2.2. Число корней полинома (1.1) ,, для бесконечной многоугольной области определяется выражениями

; ,  (2.2)

где - число полных квадрантов, проходимых годографом полинома при изменении вдоль границы области в верхней полуплоскости с обходом корней, лежащих на границе; 

  (2.3)

где - номер последней полуоси, пересекаемой годографом;

    , - коэффициенты, характеризующие наклон годографа при .

Применение теорем 2.1 и 2.2 даёт принципиальную возможность решения задачи определения распределения корней полинома относительно многоугольной области. Однако решение этой задачи путём непосредственного построения и анализа годографов со сложным характером изменения встречает ряд серьёзных трудностей. Во-первых, как и при построении частотных годографов, возникает не имеющая общего решения проблема выбора шага изменения независимой переменной и конечного значения . Во-вторых, по сравнению с частотными годографами вид годографа полинома при изменении вдоль границы многоугольной области усложняется с усложнением границы. В-третьих, приращение аргумента полинома при обходе корней, совпадающих с вершинами области, в отличие от частотных годографов, происходит не на целое число квадрантов. С целью устранения этих недостатков для анализа сложных годографов может быть использована алгебраическая интерпретация теорем 2.1 и 2.2.


  1.  Алгебраические соотношения, определяющие распределение корней.

Рассмотрим параметрическое представление каждого ребра многоугольной области:

                                                                                   (3.1)

где; - вещественная переменная;

 , если не является последним ребром бесконечной области; в противном случае.

Тогда при изменении вдоль го ребра для полинома (1.1) справедливо представление

                                                           (3.2)

Коэффициенты этого представления могут быть найдены с помощью рекуррентных соотношений

 (3.3)

Полином  (3.2) легко может быть приведён к виду

                                               (3.4)

где . Пусть для каждого го ребра многоугольной области получено представление полинома (1.1) в виде (3.4) и найдены множества вещественных корней из интервала и их кратностей полиномов вещественной и мнимой частей соотношения (3.2): . Тогда справедливы следующие леммы.

Лемма 3.1. Начальная точка годографа определяется соотношением

                              (3.5)

где есть соответствующий коэффициент полинома при .

Лемма 3.2. Конечная точка годографа для конечной многоугольной области определяется соотношением

где есть соответствующий коэффициент полинома при . В случае бесконечной области при годограф уходит в с предельным значением фазовой характеристики , определяемым через соответствующие коэффициенты и полинома при .

Лемма 2.2. Каждый элемент такой, что не существует элемента , определяет точку пересечения годографом вещественной оси. Каждый элемент такой, что не существует элемента , определяет точку пересечения годографом мнимой оси. Каждый элемент такой, что существуют элементы  и , определяет обход корня полинома, лежащего на границе области . Приращение аргумента полинома в последнем случае определяется соотношением

                            ,                                     (3.6)

где - приращение аргумента независимой переменной, определяемое соотношениями:

Применение лемм 3.1-3.3 позволяет установить начальную точку годографа полинома при изменении вдоль границы многоугольной области; оси координат, пересекаемые годографом при обходе границы области и при обходе корней полинома, лежащих на границе; асимптотическое поведение годографа при .

По начальной точке годографа, пересекаемым осям и характеристикам асимптотического поведения годографа может быть установлено полное приращение аргумента полинома, лежащих на границе и внутри области. Приращение аргумента полинома при обходе корней, лежащих на границе, может быть найдено с помощью леммы 3.2 и тем самым может быть установлено число корней полинома, лежащих на границе области. Таким образом, без построения годографа может быть решена задача определения распределения корней полинома относительно многоугольной области.

  1.  Заключение. Получены соотношения (2.1) и (2.2), позволяющие по виду годографа установить распределение корней полинома относительно многоугольной области. Полученные результаты могут использоваться при проектировании АС с применением корневых оценок качества переходных процессов. При сложном характере изменения годографа (обусловленного как видом самого полинома, так и видом многоугольной области) определение величин, входящих в соотношения (2.1) и (2.2), непосредственно по годографу представляет собой сложную вычислительную задачу. На основе соотношений (2.1) и (2.2) получены алгебраические выражения, позволяющие установить распределение корней относительно многоугольной области без построения годографа путём анализа вещественных неотрицательных корней специальным образом построенных полиномов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26115. Бухгалтерский баланс как форма БФО 48.5 KB
  По данной статье по счету 04 не учитываются расходы на НИОКР Результаты исследований и разработок Регламентируется ПБУ 17 02 показывается сальдо по Д04 части НИОКР минус сальдо по К05 относящуюся к НИОКР ОС Регламентируется ПБУ 6 01 и методическими указаниями по учету ОС. Относится так же суммы незавершенного строительства сальдо Д08 и 07 в части затрат относящихся к строительству объекта ОС Доходные вложения в МЦ Указывается сальдо Д03 где учтено имущество переданное в лизинг за минусом сальдо К02 в части амортизация по имуществу...
26116. Отчет о прибылях и убытках как форма БФО 27.5 KB
  Торговые организации показывают себестоимость проданных товаров по покупной стоимости Д90 2 К41 покупная себестоимость Валовая прибыль убыток выручка себестоимость продаж Коммерческие расходы Это расходы на продажу. Торговые организации по этой статье отчета указывают сумму издержек обращения за отчетный период: Д90 2 К44 Управленческие расходы Это статья заполняется если учетной политикой предусмотрено списание общехозяйственных расходов как расходов отчетного периода непосредственно в Д90 2 Д90 2 К26 Прибыль убыток от продаж...
26117. Роль и значение БУ в системе управления предприятием и его регулирование в РФ 35 KB
  Структура ответа: Место БУ в системе хозяйственного учета. Он занимает особое место в системе учета. Бухгалтерский учет занимает особое место в системе хозяйственного учета и в отличие от других видов учета: строго документален основанием для любой бухгалтерской записи должен служить специально оформленный документ; является сплошным и непрерывным во времени так как при ведении бухгалтерского учета необходимо фиксировать все без исключения факты хозяйственной деятельности; отражает все объекты и хозяйственные операции помимо натуральных и...
26118. Документальное оформление и учет денежных средств в кассе предприятия 33 KB
  Документальное оформление и учет денежных средств в кассе предприятия. Денежные средства могут находится в кассе предприятия в виде наличных денег или денежных документов. Организация в лице руководства должна обеспечить сохранность денежных средств в помещении кассы и при их транспортировке. Администрация предприятия несет в установленном законодательством порядке ответственность в случае если по ее вине были нарушены требования и не созданы условия хранения и транспортировки денежных средств.
26119. Учет денежных средств на счетах в банке 32 KB
  Все организации обязаны хранить свободные денежные средства на счетах в банках. Но существуют некоторые приоритеты: в первую очередь списываются денежные средства по исполнительным документам затем производится списание по платежным документам на перечисления платежей в бюджет и государственные внебюджетные фонды после этого перечисляются средства для расчетов по оплате труда с лицами работающими по трудовому договору контракту и по другим денежным требованиям. Перечислены денежные средства в счет оплаты труда на лицевые счета в...
26120. Учет расчетов с подотчетными лицами 28.5 KB
  Учет расчетов с подотчетными лицами Структура ответа: Понятие подотчетного лица. Порядок выдачи аванса под отчет. Срок представления авансового отчета. Подотчетный лица работники организации получившие авансом денежные средства на предстоящие административнохозяйственные и командировочные расходы.
26121. Учет расчетов с поставщиками и подрядчиками 25.5 KB
  Обязательства по расчетам с поставщиками и подрядчиками возникают между организациями по сделкам оформленным договорами поставки или договорами куплипродажи. По Д суммы выполненных обязательств По К образование задолженности Основание для принятия на учет кредиторской задолженности перед поставщиками расчетные документы счета счетафактуры и документы свидельствующие о факте совершения сделки товарнотранспортные накладные приходные ордера акты выполненных работ и акты приема. Основные реквизиты счетафактуры: номер документа...
26122. Учет расчетов с покупателями и заказчиками 28.5 KB
  Д62 дебиторская задолженность покупателей и заказчиков. В зависимости от возможностей истребования дебиторская задолженность делится на: истребованную и неистребованную. Истребованной считается задолженность относительно которой предприятиекредитор предпринимает определенные действия с целью выполнения должником обязательств по расчетам. Истребованная дебиторская задолженность по истечении срока исковой давности 196 стасья ГКРФ 3 года может быть включена в состав прочих расходов или быть списана за счет резервов по сомнительным долгам.
26123. Учет расчетов с персоналом по оплате труда 55.5 KB
  Для учета личного состава для учета расчетов по начислению и выплате зарплаты используются следующие унифицированные формы первичных документов: приказ распоряжение о приеме работника на работу личная карточка работника приказ распоряжение о предоставлении отпуска приказ распоряжение о прекращении действия трудового договора табель учета рабочего времени документы по учету выработки наряды на сдельную работу маршрутные листы и ведомости учета выполненных работ. При косвенносдельной размер зарплаты работника ставиться в...