1550

Установка числа корней полинома (с учетом их кратности)

Контрольная

Математика и математический анализ

Бесконечная и конечная многоугольные области. Геометрические условия, определяющие распределение корней. Алгебраические соотношения, определяющие распределение корней.

Русский

2013-01-06

101.35 KB

5 чел.

  1.  Постановка задачи.

Будем считать, что на комплексной плоскости задана конечная или бесконечная многоугольная область. Примеры таких областей приведены на рисунке 1. Требуется установить число корней полинома (с учетом их кратности)

 

                                                                                                         (1.1)

внутри области   вне области и на границе области .

Рисунок 1 – Бесконечная и конечная многоугольные области

Многоугольную область будем считать односвязной и симметричной относительно вещественной оси. Границу области в верхней полуплоскости зададим множеством вершин , где определяет множество ребёр многоугольной области  . Область будет определять как часть комплексной плоскости,  расположенную слева от ребёр при их последовательном прохождении от до . Будем считать, что область конечна, если , и бесконечно, если . В последнем случае вершины и определяют не отрезок, а полупрямую.


  1.  Геометрические условия, определяющие распределение корней.

Геометрические условия, определяющие распределение корней полинома относительно конечной и бесконечной многоугольных областей, сформулированы соответственной в виде теорем 2.1 и 2.2.

Теорема 2.1. Число корней  полинома (1.1), расположенных внутри конечной многоугольной области, вне области и на границе области , определяется выражениями

; ,    (2.1)

где - число квадрантов, проходимых годографом полинома при изменении  вдоль границы области в верхней полуплоскости с обходом корней, лежащих на границе.

Теорема 2.2. Число корней полинома (1.1) ,, для бесконечной многоугольной области определяется выражениями

; ,  (2.2)

где - число полных квадрантов, проходимых годографом полинома при изменении вдоль границы области в верхней полуплоскости с обходом корней, лежащих на границе; 

  (2.3)

где - номер последней полуоси, пересекаемой годографом;

    , - коэффициенты, характеризующие наклон годографа при .

Применение теорем 2.1 и 2.2 даёт принципиальную возможность решения задачи определения распределения корней полинома относительно многоугольной области. Однако решение этой задачи путём непосредственного построения и анализа годографов со сложным характером изменения встречает ряд серьёзных трудностей. Во-первых, как и при построении частотных годографов, возникает не имеющая общего решения проблема выбора шага изменения независимой переменной и конечного значения . Во-вторых, по сравнению с частотными годографами вид годографа полинома при изменении вдоль границы многоугольной области усложняется с усложнением границы. В-третьих, приращение аргумента полинома при обходе корней, совпадающих с вершинами области, в отличие от частотных годографов, происходит не на целое число квадрантов. С целью устранения этих недостатков для анализа сложных годографов может быть использована алгебраическая интерпретация теорем 2.1 и 2.2.


  1.  Алгебраические соотношения, определяющие распределение корней.

Рассмотрим параметрическое представление каждого ребра многоугольной области:

                                                                                   (3.1)

где; - вещественная переменная;

 , если не является последним ребром бесконечной области; в противном случае.

Тогда при изменении вдоль го ребра для полинома (1.1) справедливо представление

                                                           (3.2)

Коэффициенты этого представления могут быть найдены с помощью рекуррентных соотношений

 (3.3)

Полином  (3.2) легко может быть приведён к виду

                                               (3.4)

где . Пусть для каждого го ребра многоугольной области получено представление полинома (1.1) в виде (3.4) и найдены множества вещественных корней из интервала и их кратностей полиномов вещественной и мнимой частей соотношения (3.2): . Тогда справедливы следующие леммы.

Лемма 3.1. Начальная точка годографа определяется соотношением

                              (3.5)

где есть соответствующий коэффициент полинома при .

Лемма 3.2. Конечная точка годографа для конечной многоугольной области определяется соотношением

где есть соответствующий коэффициент полинома при . В случае бесконечной области при годограф уходит в с предельным значением фазовой характеристики , определяемым через соответствующие коэффициенты и полинома при .

Лемма 2.2. Каждый элемент такой, что не существует элемента , определяет точку пересечения годографом вещественной оси. Каждый элемент такой, что не существует элемента , определяет точку пересечения годографом мнимой оси. Каждый элемент такой, что существуют элементы  и , определяет обход корня полинома, лежащего на границе области . Приращение аргумента полинома в последнем случае определяется соотношением

                            ,                                     (3.6)

где - приращение аргумента независимой переменной, определяемое соотношениями:

Применение лемм 3.1-3.3 позволяет установить начальную точку годографа полинома при изменении вдоль границы многоугольной области; оси координат, пересекаемые годографом при обходе границы области и при обходе корней полинома, лежащих на границе; асимптотическое поведение годографа при .

По начальной точке годографа, пересекаемым осям и характеристикам асимптотического поведения годографа может быть установлено полное приращение аргумента полинома, лежащих на границе и внутри области. Приращение аргумента полинома при обходе корней, лежащих на границе, может быть найдено с помощью леммы 3.2 и тем самым может быть установлено число корней полинома, лежащих на границе области. Таким образом, без построения годографа может быть решена задача определения распределения корней полинома относительно многоугольной области.

  1.  Заключение. Получены соотношения (2.1) и (2.2), позволяющие по виду годографа установить распределение корней полинома относительно многоугольной области. Полученные результаты могут использоваться при проектировании АС с применением корневых оценок качества переходных процессов. При сложном характере изменения годографа (обусловленного как видом самого полинома, так и видом многоугольной области) определение величин, входящих в соотношения (2.1) и (2.2), непосредственно по годографу представляет собой сложную вычислительную задачу. На основе соотношений (2.1) и (2.2) получены алгебраические выражения, позволяющие установить распределение корней относительно многоугольной области без построения годографа путём анализа вещественных неотрицательных корней специальным образом построенных полиномов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26832. Общая морфофункциональная характеристика органов пищеварения в связи с их функцией 2.85 KB
  И жидкой пищи воды осущ губами зубами и языком.2предварительная механич обработка пищи в ротовой полости формирования пищевого канала а также начало ферментативного расщепления углеводов. Время прохожден пищи в ЖКТ: лошадь 4дня свинья12 днясобака1215 часов чел от 25 часов до 23 дней.
26833. Основные данные фило- и онтогенеза органов пищеварения. Филогенез-у простейших внутриклеточ пищевар 4.45 KB
  Онтогенез пищеварительной системы Ротовая часть дает начало части ротовой полости. Глоточная часть дает начало глубоким отделам полости рта и глотке. Передняя кишка дает начало пищеводу желудку первоначально на 2 месяце в виде веретенообразного расширения которое поворачивается на 90 градусов и начальной части двенадцатиперстной кишки. Средняя кишка дает начало тонкой слепой восходящему и поперечному отделам ободочной кишки двенадцатиперстной кишке.
26834. Ротовая полость (губы, щеки, десна). Слюнные железы домашних животных 10.66 KB
  Ротовая полость губы щеки десна. Роговая полость cavum oris s. Ротовая полость включает в себя преддверие рта и собственно ротовую полость. Собственно ротовая полость саvum oris proprium это виутрениий шубный участок рта где лежит язык.
26835. Глотка 11.84 KB
  Внутреннее пространство глотки составляет полость глотки cavitas pharyngis. Соответственно органам расположенным кпереди от глотки она может быть разделена на три части: pars nasalis pars oralis и pars laryngea. Верхняя стенка глотки прилежащая к основанию черепа называется сводом fornix pharyngis. В отличие от других отделов глотки стенки ее не спадаются так как являются неподвижными.
26836. Твердое и мягкое небо домашних животных 9.05 KB
  Каудальный свободный конец мягкого неба принято называть небной дугой. Отверстие между небной дужкой свободным краем небной занавески и корнем языка называется зевом fauces. Латеральные края мягкого неба располагаются позади последнего коренного зуба фиксируются на небной и крыловидной костях и следуя в виде складки слизистой оболочки к корню языка образуют небноязычную дугу arcus glossopalatiims. palatines располагается в толще мягкого неба от хоанного края небных костей до свободного края небной дужки.
26837. Язык домашних животных.Язык — lingua 3.44 KB
  Язык lingua На нем различают: а корень radixlinguae б тело corpuslinguae в верхушку языка apexlinguaeЕстьуздечки языка frenulumlinguae.Сосочки: Нитевидные сосочки papillaefiliformes покрывают всю дорсальную поверхность тела и кончика языка. Конические сосочки papillaecorneae располагаются на корне языка. papillaefungiformes выступают среди нитевидных сосочков на' спинке кончике и краях языка.
26838. Зубы лошади и собаки 1.51 KB
  Зубы лошади и собаки. У собак зубы короткокоронковые. Молочные зубы меньше постоянных. Самые крупные секущие зубы sectorius.
26839. Зубы крупного рогатого скота и свиньи 1.73 KB
  молочные и постоянные форма конические. Постоянные зубы у самок не крупные. Постоянные зубы включают 4 премоляра и 3 моляра. Формула молочные 3130 3130 постоянные 3143 3143 КРСна нижней 8 резцов.
26840. Однокамерный желудок домашних животных 5.87 KB
  Однокамерный желудок домашних животных. Желудок ventriculus На левом участке желудка находится кардиальное отверстие ostiumcardiacum а на правом выход пилорическое отверстие ostiumpyloricum Передняя поверхность желудка faciesparietalis прилежит к печени и диафрагме а задняя висцеральная faciesvisceralis к кишеч' ным петлям. hepatog^stricum соединяющей желудок с печенью. У собаки желудок кишечного типа сравнительно большой.