15582

Маркушин А.Г. К РАЗРАБОТКЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СЫПУЧЕГО ТЕЛА С ТВЕРДЫМ ЗЕРНОМ

Научная статья

Физика

Маркушин А.Г. К РАЗРАБОТКЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СЫПУЧЕГО ТЕЛА С ТВЕРДЫМ ЗЕРНОМ Сыпучее тело отдельные зерна которого не испытывают пластических деформаций ни при каких обстоятельствах его переработки будем называть твердозёренным сыпучим материалом или сыпу

Русский

2013-06-15

79.88 KB

2 чел.

Маркушин А.Г.

К РАЗРАБОТКЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СЫПУЧЕГО ТЕЛА С ТВЕРДЫМ ЗЕРНОМ

Сыпучее  тело, отдельные зерна которого не испытывают пласти-ческих деформаций ни при каких обстоятельствах его переработки,  будем называть твердозёренным сыпучим материалом или сыпучим телом с твердым зерном. Понятно, что предел текучести отдельных зерен подобного сыпучего тела должен быть во много раз (в десятки раз) большим предела пропорциональности самого сыпучего материала. К таким материалам относятся все каменные и рудные породы мелкой  фракции, пески, металлическая крошка и т.д.

     Движение сыпучего тела рассмотрим при разгрузке бункера в форме параллелепипеда с го-ризонтальным выпускным отверстием в виде щели во всю длину днища бункера, расположенным у одной из его боковых стенок.

Предположим, что длина бункера достаточна для того, чтобы в каждом поперечном сечении уда-                 

ленном от торцевых стенок можно было бы считать  движение сыпучего тела одинаковым. Это позволит ограничить рассмотрение движения материала его исследованием только в одном из                     Рис. 1

этих сечений. Отнесем   сечение бункера к декартовой системе коорди-нат согласно рис. 1 и его часть ограниченную ломаной линией LOENM будем называть областью решения задачи.

   Для определения напряженно-деформированного состояния (НДС) материала и его движения под действием собственного веса при рассмотрении процесса разгрузки бункера имеем уравнения движения плоской теории упругости в напряжениях.

  Численное решение задачи истечения проведем поэтапно использовав метод [1, 2] переменных параметров упругости (МППУ). Для чего все время необходимое для разгрузки бункера разделим на достаточно большое число малых интервалов Δt времени, каждый из которых и будем называть этапом нагружения (разгруки  бункера). Это разбиение  на этапы выполним связав его с характерным размером сыпучего элемента (т.е. с шагом h2 по вертикали конечно-разностной сетки накладываемой на область решения задачи) следующим образом.

  Первым этапом разгрузки бункера будем считать отрезок времени [0, t1], где t1- момент времени, в который последний из элементов сыпучего тела лежавших на заслонке   закрывающей отверстие пересек плоскость y = - h2 падая вниз после ее открытия. Вторым (k - ым) этапом разгрузки будем считать отрезок времени [t1, t2], где t2 – момент времени, в который последний из сыпучих элементов находившихся во втором (k - ом) слое над закрытым отверстием пересек плоскость y = - h2  перемещаясь и затем  падая вниз после открытия выпускного отверстия.

   Отметим здесь, что если количество отрезков разбиения области решения по вертикали n = b/h2, а слоев сыпучих элементов n+1, то последним этапом решения задачи истечения может оказаться вовсе не n+1 этап, а этап k, на котором все характеристики решения отвечают еще физическому смыслу явления истечения.

    Осуществляя поэтапное решение задачи, естественным можно считать использование решения полученного на предыдущем этапе в качестве начального значения решения на текущем этапе. Но тогда также естественным можно считать, что решению задачи истечения сыпучего тела из отверстия должно предшествовать решение задачи определения НДС сыпучего тела в бункере при закрытом отверстии, т.к. только оно  может быть использовано в качестве начального значения решения на первом этапе решения задачи истечения.

Решение задачи при закрытом отверстии проведем также поэтапно

осуществляя нагружение сыпучего тела собственным весом не сразу, а постепенно, за m этапов, увеличивая нагрузку от этапа к этапу на величину g/m. При этом величина m  выбирается такой, чтобы на первом этапе все элементы сыпучего тела в бункере испытывали только упругие деформации, а на втором имели место также еще и пласти-ческие.

Запишем уравнения движения плоской задачи теории упругости для двух последовательных этапов нагружения: (k-1)-го и k-го, 1 < k< m:

xk-1     xyk-1               2uk-1            xyk-1    yk-1                                    2vk-1

——  +  ——  = k-1 —— ,     ——  +  ——  =  (k-1)k-1g/m + k-1 ——    (1)

х            у               t2            х          у                                         t2 

xk        xyk               2uk                xyk     yk                             2 vk

——  +  ——  = k ——  ,     ——  +  ——  =  kkg/m + k ——               (2)

х            у             t2            х          у                                t2 

       Плотность   в этих уравнениях  считаем переменной величиной, которую будем определять решением уравнения получаемого из закона сохранения массы элемента сыпучего тела

                       u                      v

—— +  —— (  —— ) + —— ( —— )   =  0                                             (3)

 t           х            t          у          t

При этом обоснование использования последнего уравнения  для описания истечения сыпучего тела остается тем же самым (как и техника его вывода), каким оно является в механике жидкости. В механике жидкости, как известно, в качестве индивидуальной частицы жидкости, для которой и выводится это уравнение, выступает  достаточно большая совокупность молекул и, при этом, под значением плотности   жидкости в точке понимается предельное осредненное по объему, занимаемому этой совокупностью, значение массы всех ее молекул. Совершенно аналогично поступим и здесь, но вместо термина “индивидуальная частица” введем термин “элемент сыпучего тела”, подразумевая, что это есть достаточно большая совокупность отдельных зерен сыпучего материала.

Будем считать, далее, что приращению нагрузки на k-ом этапе ΔkP = kkg/m - (k-1)k-1g/m = (k  - k-1)kg/m +k-1g/m соответствуют прираще-ния характеристик НДС: Δkij, Δku, Δkv и положим, при этом, по опреде-лению, что Δk = k  - k-1. Тогда можем записать

ijk=ijk-1kij, uk = uk-1 + Δku, vk = vk-1 + Δkv, k = k-1 + Δk, k=1,…,m  (4)  

Используя (4) характеристики НДС на k-ом этапе нагружения можно представить также в виде

ijk = ∑1kΔsij +ij0, uk =∑1k Δsu + u0, vk  = ∑1k Δsv + v0, k  = ∑1k Δs + 0,(5)

где величины с ноликами суть напряжения, перемещения, плотность в ненапряженном состоянии тела, которые считаем равными нулю (все, кроме  0) при равенстве нулю нагрузок на тело, т.е. при полностью выключенным собственном весе тела.

  Подставим соотношения (4) в уравнения (2) и вычтем из полученных соотношений уравнения (1). В результате получим для решения задачи при закрытом отверстии уравнения движения сыпучего тела в прираще-ниях компонент НДС для k-ого этапа нагружения

Δkx      Δkxy               2uk-1                      2 Δku

——  +  ——  = Δk —— + (k-1 + Δk) ——  ,   

х            у                t2                          t2 

                                                                                                                            Δkxy    Δky                                            2 vk-1                      2 Δkv

——  +  ——  =  (k-1 + k Δk)g/m + Δk  ——  + (k-1 + Δk)  —— .            

 х          у                                                   t2                            t2 

Уравнение полученное из закона сохранения массы сыпучего элемента, подобно (6),  может быть представлено в виде

 Δk                      Δku            (uk-1 + Δku)

—— +  —— ( k-1 —— + Δk   ————      )  +    

  t         х              t                   t

                            Δkv             (vk-1 + Δkv)

        —— (k-1 —— + Δk   ————     )   =  0                              (7)                     

          у              t                        t

   Итак, решение задачи определения НДС сыпучего тела находящегося в бункере при закрытом выпускном отверстии сведено к решению последовательности из m начально-краевых задач для уравнений (6),(7), решения которых связаны между собой соотноше-ниями (4).

Описание процесса численного решения указанной последователь-ности начально-краевых задач выполним одновременно с описанием алгоритма учета пластических деформаций.

При k=1 имеем     ij11ij, u1 = Δ1u, v1 = Δ1v, 1 = 0 + Δ1        (71)

и уравнения (6),(7) имеют вид

 x1      xy1                              2 u1

——  +  ——  =  (0 + Δ1) ——  ,   

х            у                             t2 

                                                                                                                       (8)

 xy1       y1     0 +Δ1                          2 v1   

——  +  ——  = ——— g   + (0 +Δ1)  ——  ,  0const ,

х          у            m                                 t2   

 Δ1                            Δ1u                                Δ1v

—— +  — ((0 + Δ1)  —— ) + —— ((0 + Δ1) —— )   =  0                      (9)                              

  t        х                      t          у                        t

В силу сказанного выше о выборе величины m, деформации на первом этапе (k=1) упруги и уравнения (8),(9) эквивалентны следующим уравнениям

                2 u1            2 u1            2 v1             2 u1

( + 2G)  ——   + G —— + ( + G)  ——   =  1     —     ,

                 х2        у2            х у              t2

                                                                                                          (10)

      2 v1                   2 v1                 2 u1                                           2 v1

G   ——   + (  + 2G )  ——  + (  + G )  ——    =  1g/m + 1   

      х2                   у2                 х у                            t2

 1                       u1                    v1

—— +  —— ( 1 —— ) + —— (1 —— )   =  0                                       (11)

  t           х            t          у          t

Проинтегрировав уравнения (10),(11) при соответствующих начально-краевых условиях по времени от 0 до t*  когда величины u1,v1, 1 уже не будут изменяться на величину большую, чем  ξ можем считать решение задачи на первом этапе полученным методом “установления” и, при этом, известными можно считать не только поля u1(x,y), v1(x,y), 1(x,y), но также и поля производных   u1/ t,  v1/ t, 2 u1/ t2, 2v1/ t2.

 Следует здесь отметить, что первые производные   u1/ t,  v1/ t могут быть определены благодаря применению соответствующего численного метода интегрирования уравнений (10),(11), а вторые - 2u1/ t2  , 2v1/ t2 найдены из уравнений (10). И первые и вторые производные решения необходимы для вычислений на следующем этапе нагружения.

   Далее, по найденным перемещениям u1,v1 и формулам Коши

х1 =   u1/х  ,    y1 = v1/y , хy1 = u1/y  +  v1/x                               (12)   могут быть вычислены деформации  х1, y1, хy1 и затем по формулам закона Гука                                                                  

х =  + 2 G х, y  =  + 2 G y ,ху = G ху,                                           (13)

где   = Е/((1+ )(1 - 2)), G = 0.5/(1+)  могут быть определены также и поля напряжений  х 1, у1 , ху1 соответствующие первому (k=1) этапу нагружения. Здесь и ранее х , у , ху  - напряжения, х , у, ху  - деформации, u , v - перемещения,  - модуль Юнга,  - коэффициент Пуасcона.

     При k=2 имеем ij2=ij11ij, u2 = u1 + Δ1u, v2 = v1 + Δ1v, 2 = 1 + Δ1

и для определения величин u2, v2, ij2, 2  остается найти только соответствующие приращения характеристик НДС: Δ2u,  Δ2v, Δ2ij, Δ2. Эти приращения при  2  ≤ km  могут быть найдены интегрированием уравнений (6),(7) т.к. величины с индексами (k-1)  уже  известны, но при этом возникает необходимость учета пластических деформаций. Поэтому для определения НДС сыпучего тела на всех последующих (k>1) этапах нагружениях используем теорию пластического течения при переменных нагружениях, развив ее в нужном направлении.

    В теории пластического течения, как известно, устанавливается связь между приращениями деформаций dх , dу,  dху (в случае плоской деформации), приращениями напряжений dх, dу, dху и напряжениями х , у , ху.    В основу теории пластического течения используемой здесь положим следующие гипотезы:

1. Компоненты тензора приращений пластических деформаций прямо пропорциональны компонентам тензора напряжений.

2. Интенсивность напряжений является функцией интеграла от интенсивности приращений пластических деформаций [3].

   При решении задачи истечения сыпучего материала из бункера обе эти гипотезы также считаем справедливыми, но не для всех элементов сыпучего тела области решения начально-краевой задачи для разрешающих уравнений, а только для тех из них перемещения по вертикали которых  не опустили их ниже плоскости   y = - h2. Для тех элементов, что опустились ниже этой плоскости введем несколько далее по тексту гипотезу 4 о свободном падении сыпучих элементов, а для элементов находящихся в бункере и претерпевших движение и последующее торможение – гипотезу 3 о динамическом уплотнении сыпучего  материала. Под гипотетическим динамическим уплотнением  понимается здесь следующее. При течении материала его зерна, стремясь занять наиболее устойчивое положение, ориентируются длинными осями и утолщенными частями вниз по направлению к отверстию (по потоку, и чем ближе к отверстию, тем в большем числе) и, двигаясь к нему, сближаются (при торможении особенно сильно), образуя регулярные по укладке, куполоподобные структуры, увеличивая тем самым плотность, предел текучести при сжатии (значительно) и, предел текучести при растяжении (в несколько раз), до величин, которые не могут быть такими при естественной укладке (насыпью). Сближение зерен материала объясняется, во-первых, различием плотности в силу ориентированности зерен в радиальном и окружном направлениях, если отсчет вести из центра отверстия выпуска, а, во-вторых, тем, что объем пришедшего в движение материала в первые моменты разгрузки бункера не успевает вытечь из отверстия по причине ограниченности расхода через него и начинает тормозиться (что  фиксировано Р.Квапилом [7]), образуя, в силу ориентированности зерен куполоподобные многослойные структуры, слои в которых при еще большем замедлении или остановке оказываются сцепленными. Последнее объясняется тем, что толстые нижние части зерен одного слоя входят в промежутки между верхними более острыми частями зерен нижележащего слоя и вследствие сближения (сжатия) сцепляются.

Сформулируем теперь 3 – ю и 4 – ю  гипотезы.

    3. Вследствие динамического уплотнения сыпучего материала при его движении пределы текучести при сжатии 3t и “растяжении”4t увеличиваются в сравнении с таковыми 1t, 2t для материала уложенного насыпью в зависимости от длины пройденного пути элементом сыпучего тела. Будем считать, что математически в первом приближении эта гипотеза выражается [ 6 ]  формулами σ3т 1т+(σ3тmax – σ1т)∙v/b, σ4т 2т+(σ4тmax – σ2т)∙v/b, где  σ3тmax , σ4тmax – пределы текучести “идеально” уложенного материала являющиеся принципиально недостижимыми при истечении.

4. При истечении из отверстия для элементов опустившихся до уровня  y = - h2 и ниже уравнения движения (261), как и уравнения (1) или (2), уже нельзя считать справедливыми без соответствующих предположений. Поэтому предположим, что все напряжения для таких элементов равны нулю и уравнения их движения (не учитывающие сопротивление возду-ха) имеют вид 2u/ t2=0,     2v/ t2= - *Vg, где V - объем элемента, *- значение плотности  элемента в момент пересечения прямой y = - h2. Кроме того сделаем еще ряд предположений.

     Будем считать,  что упрочнение является изотропным, а приращения деформаций складываются из приращений упругих и пластических составляющих

dх = dхe+ dхp,  dу = dуe + dуp,  dху = dхуe +dхуp                                 (14)    

здесь индексами е и p обозначены упругие и пластические составляющие соответственно.

     Предположим, далее, что приращения напряжений и упругих деформаций связаны между собой обобщенным законом Гука:

dхe = 1 / Е ( 1 - 2 ) dх -( 1 +  ) dу ,

dуe= 1 / Е ( 1 - 2 ) dу -( 1 +  ) dх ,    dхуe = 1 / G dху        (15)

В качестве условия пластичности примем fs(ij) = I12 – 2∙I 2 – [(q)]2  = i2-[(q)]2  = 0 (здесь Ij инварианты тензора напряжений), а в качестве параметра q упрочнения выберем параметр Удквиста, считая, что обобщенную кривую и= (q) можно построить по диаграмме деформирования материала найденной из опытов на сжатие. При этом предполагаем, что линейный (начальный) участок диаграммы может быть продолжен в область (малых) деформаций растяжения.

Приращения пластических деформаций в соответствии с гипотезой 1, подобно тому как это сделано в  1, 2  запишем в виде:

dхp = F(i) х di , dуp = F(i)у di , dхуp = F(i) ху di ,               (16)

считая, что значение функции F(i) может быть найдено с помощью обычной кривой деформирования при сжатии в цилиндре с идеально гладкой поверхностью и определено формулой

                 (1-) / ((1+)i ) ( 1/Ек – (1-22/(1-))/E ) ,   i    1i , di > 0,

   F(i)  =    

                 0,    i  1i , di ≤ 0,  Ек =  i (i) /  i                                                                 _____________________________

где i =  (1+2)(2х + 2у )+22ху + 22ху        ,                                      (18)

где 1i  - интенсивность напряжений, соответствующая по кривой

деформирования пластической деформации i1 p, накопленной к  началу

рассматриваемого этапа нагружения i1p =  dеp.  Здесь интенсивность

дифференциалов пластической деформации вычисляется по формуле

                     ______________________

p =  (dхp)2 + (dуp)2 + 2(dхуp)2                                                     (19)

Подставив (15) и (16) в (14) получим уравнения состояния пластически деформируемой среды по теории течения:           

     dх = 1/E ( 1 - 2 ) dх -( 1 +  ) dу  + F(i)х di ,      

     dу = 1/E ( 1 - 2 ) dу -( 1 +  ) dх  + F(i)у di ,                        (20)

     dху = 1/G dху + F(i) ху di                     

 Далее, согласно технике применения МППУ, используя равенство

              i                        i                          i

d i  =  ——  d x +  ——  d y +  ——  d  xy

              x                     y                         xy

представим соотношения (14) в виде

dх  = c11 dх  + c12 dу  + c13 dху , dу = c21 dх  + c22 dу  + c23 dху ,                  

dху= c31 dх  + c32 dу  + c33 dху,                                                                          (21)

где cij – коэффициенты, зависящие от вида функции  i (ij), в нашем случае представлены соотношениями

c11 =  (1 - 2 ) /E + ((1+2)х +2y)хF(i) / i ,

c12 = -( 1 +  ) /E +((1+2)y +2x) хF(i) / i ,

c13 = 2ху  хF(i) / i ,

c21 = -( 1 +  ) /E +((1+2)х +2y) yF(i) / i ,                      

c22 =  (1 - 2 ) /E + ((1+2)y +2x) yF(i) / i ,

c23 =  2ху yF(i) / i ,               c31 = ((1+2)х +2y)ху F(i) / i ,

c32 = ((1+2)y +2x) ху F(i) / i ,    c33 = 1/G + 2ху2 F(i) / i ,             (22)

Проинтегрировав соотношения (21) по времени в некоторых пределах  и  применив [1] теорему о среднем получим соотношения связывающие приращения напряжений с приращениями деформаций

Δ х  = ‹c11›Δх+‹c12›Δу+‹c13›Δху , Δ у = ‹c21›Δ х  + ‹c22›Δ у  + ‹c23›Δ ху ,

Δ ху= ‹c31›Δ х  + ‹c32›Δ у  + ‹c33›Δ ху,                                                   (23)

где ‹cij› суть средние значения параметров cij на интервале интегри-рования. Разрешив эти уравнения относительно приращений напряже-ний, что всегда можно сделать, т.к. конкретным деформациям при упругопластическом деформировании однозначно соответствуют кон-кретные  напряжения (но не наоборот), получим следующие выражения

Δ х  =  b11  Δ х + b12 Δ у + b13 Δ ху, Δ у =  b21  Δ х + b22  Δ у + b23 Δ ху,

Δ ху=  b31 Δ х + b32   Δ у + b33 Δ ху.                                                        (24)

Считая, что Δij соответствуют приращениям Δkij  k-ого шага нагружения и использовав  соотношения  Коши будем иметь

                  Δku             Δkv            Δku       Δkv

Δkx =  b11 ——  + b12  —— + b13 (  ——  + —— ),      

                  х                 у                у         х

                   Δku           Δkv               Δku      Δkv

Δky =   b21  —— + b22  —— + b23 ( ——  + —— ),                                  (25)                        

                    х               у                  у         х

                   Δku             Δkv              Δku      Δkv

Δkху =  b31 ——  + b32  —— + b33 ( ——  + —— ).

                    х                 у                 у         х

Подставив (25) в уравнения (6) получим разрешающие задачу уравнения - уравнения движения сыпучего тела в приращениях перемещений для k-ого этапа нагружения ( здесь уравнения даны в безразмерной форме )

              2Δku            2Δku      b13 2Δkv            2Δkv                     2Δku

St/a2{ b11 —— + α2b33 ——  +  — ——  + α b32 —— + (b13+ b31) α ——  +

                х2                у2         α    х2        у2                        х у

                  2Δkv       b11         b31  Δku    b13           b33      Δku    b13        b33

+ (b12+ b33) —— + (  —  + α  —  ) — + ( —  + α  —   ) α —  + ( — + α  —  )∙    

                  х у       х         у     х       х         у        у        х        у

    1  Δkv         b12          b32      Δkv              2u k-1                                         2Δku

   —  ——   + ( —  + α  —   ) ——  } - Δk ——  =  ( k-1 + Δk  ) —— ,

    α   х            х          у       у                  t2                               t2

         b31 2Δku            2Δku   b33 2Δkv       2Δkv                    2Δku

St/b2{ — —— + α b23 —— + — —— + b22 —— + (b21+ b33)  ——  +      (26)

          α    х2                у2     α2   х2           у2                       х у

 (b23+ b32) 2Δkv      1  b31   b21  Δku    1  b33      b23      Δku      1  b33   b23

+   ——     —— + (—  — + —  ) — + (—  —  +  —   ) α —  + (— — + —  )∙    

       α        х у      α   х    у     х      α   х       у        у       α   х    у

   1 Δkv    1 b32   b22   Δkv                          g            2v k-1                               2Δkv

  — — + (— — + —  )  —  } - (k-1 +kΔk) — - Δk —— = (k-1k)——,

   α  х       α  х    у     у                            m             t2                         t2

где St = E0 (t0)2/0, α = a/b.

     Разрешающие уравнения для задачи истечения могут быть получены по той же схеме, что и уравнения (26), но будут отличаться от них только одним членом во втором уравнении. Именно, вместо члена (k-1 + kΔk)g/m в этих уравнениях, которые обозначим через (261), будет фигурировать член Δkg , а начально-краевая задача для них будет отличаться еще и граничным условием в точках границы области решения соответствующих выпускному отверстию бункера.

  Для численного решения уравнений (26), (7), как и (261),(7), необходи-мо сформулировать краевые и начальные условия.   Краевые условия:  на границе LM: Δy = 0,  Δху= 0 – свободная поверхность; на границе EN: Δy = 0,  Δху= 0 – свободная поверхность, если выпускное отверстие открыто; если же отверстие закрыто, то как и на границе ОЕ должны быть выполненными условия: k u = 0,    kv  = 0; на границе ОЕ когда отверстие открыто могут быть поставлены также и такие граничные условия: kv = 0, ху = tg  y , что соответствует шероховатому днищу, - угол трения, при  = 0 днище будет идеально гладким; на границах LO и MN: ku/t = 0, ху = tg х. Форму-лировка граничных условий в приращениях напряжений возможна здесь потому, что напряжения на каждом этапе нагружения, в силу сказанного выше, равны суммам соответствующих приращений напряжений на всех предыдущих этапах и поэтому, например, условия на свободной поверхности  y= 0, ху= 0 будут выполнены если на каждом этапе нагружения будут выполнены  эти же условия но в приращениях напряжений.

  Начальные условия:   t=0 = 0, ut=0 = 0, ( u / t)t=0 = 0, vt=0 = 0 – для задачи истечения, v t=0 = δy Δt /b – при закрытом отверстии, ( v / t)t=0 =  0 – для задачи истечения,  ( v / t) t=0 = δy/b – для задачи с закрытым отверстием, где δ – достаточно малая величина (например, 10-25).

   Для численного решения поставленной начально-краевой задачи необходимо выполнить ее дискретизацию, что и было сделано методом конечных разностей.

    Далее вернемся к описанию процесса решения задачи об определении НДС сыпучего тела в бункере при закрытом выпускном отверстии.

    Найденные на первом этапе нагружения поля u1 = Δ1u, v1 = Δ1v, Δ1 интегрированием уравнений (10),(11) берутся затем в качестве начальных значений для решения задачи на втором этапе нагружения  Δ2u,  Δ2v, Δ2, - при нагрузке 2g/m, - на котором уже определенно возникают пластические деформации сжатия. Вычисления на втором этапе осуществляются в следующей последовательности. При значениях коэффициентов bij: b11= + 2G, b12=, b13= 0, b21= , b22 =  + 2G, b23 = 0, b31= 0, b32= 0, b33 = G интегрируются (например, методом Рунге-Кутта) уравнения (26),(7) по времени от t = 0 до t = t* , при котором решение на смежных шагах численного метода не будет отличаться более чем на величину заданной погрешности  ξ  и  тем самым находятся Δ21u, Δ21v, Δ21. После чего пересчитываются величины bij посредством организации специального итерационного процесса. Опишем его. По найденным значениям Δ21u, Δ21v для каждого элемента тела вычисляются приращения полных деформаций Δхu/х, … .Затем по ним и формулам (24) определяются  приращения напряжений Δ21xk, … . Далее, вычисляются сами  напряжения  ij2=ij11ij и их  интенсивность  iТ (теорерическая) по формуле (18). Далее вычисляются по формулам (15) приращения упругих  деформаций и затем прираще-ния пластических деформаций Δхp, … как разности приращений полных и упругих деформаций Δхp = Δх - Δхe (на первых этапах нагружения они равны нулю) и работа А на них найденных напряжений А = xΔхp + yΔyp + xyΔхyp. Затем, если А > 0, то вычисляется иентенсивность p приращений пластических деформаций; если же А ≤ 0, то полагается p = 0. Затем определяется накопленная пластическая деформация ep2 = ep1 +p и наконец интенсивность деформаций ei2 = iТ + ep2 и ее приращение Δ ei = ei2- ei1. Необходимо отметить здесь, что члены суммы ∑ep могут входить в нее с разными знаками,  которые  определяются алгоритмом учета истории нагружения [4,5] в зависимости от направления процесса нагрузка–разгрузка элемента  тела  и участка диаграммы -, на котором находилась на предыдущем шаге нагружения отображающая НДС  элемента сыпучего тела точка.

  Если ei < e1t для конкретного элемента (e1t – предел текучести по деформациям), то коэффициенты bij в уравнении для данного элемента не меняются. Если же оказывается, что eie1t, то вычисляется значение iд по диаграмме  -,  значение функции F(i)   по формуле (17) , коффициенты cij по формулам (22) и после чего обращением матрицы {cij} находятся  новые значения коэффициентов bijнов. Затем принимает-ся, что bij = 0.5(bij + bijнов) и вычисления повторяются, начиная с вычислений по формулам (24) до тех пор пока │bijs- bijs-1 │> ξ, где  s - номер итерации,  а ξ -  погрешность вычислений. Понятно, при этом, что для напряжений xk-1 и xk    используются при вычислениях одни и те же массивы, но замещение значений xk-1 значениями xk осуществляется только после того как требуемая точность ξ будет достигнута.  

   С новыми значениями величин bij  затем опять осуществляется интегрирование уравнений (26),(7) по времени при начальных значениях  Δ1u,  Δ1v, Δ1 до “ установления” , т.е. до значений Δ22u, Δ22v, Δ22. После чего опять пересчитываются величины bij и интегрируются уравнения (26),(7)  от значений Δ1u,  Δ1v, Δ1  до значений Δ23u, Δ23v, Δ23 и т.д. до тех пор пока  │ Δ2js - Δ2s-1│> ξ или  │ Δ2jsu - Δ2s-1u│> ξ или │ Δ2jsv - Δ2s-1v│> ξ . В результате чего будут найдены Δ2u, Δ2v, Δ2, которые будут служить в качестве начальных значений для решения задачи на  3 – ем этапе нагружения – при нагрузке 3g/m. И так до тех пор пока не будет найдено решение задачи при закрытом отверстии.

      Решение конечно-разностной начально-краевой задачи для уравне-ний (261),(7) предполагается выполнить поэтапно с соблюдением связи (4) между решениями и их характеристиками на смежных этапах.

     Решая задачу первого этапа (k=1) в качестве ij0, u0 , v0 , 0 предпола-гается взять соответствующие величины найденные решением задачи при закрытом отверстии. Так как алгоритм решения задачи истечения на всех этапах разгрузки (нагружения) одинаков достаточно привести его описание только для одного из них (для k-ого).

   Интегрирование уравнений  (261),(7) на k-ом этапе проводится на отрезке времени [tk-1,tk] при bij  и с начальными значениями для Δku, Δkv, Δk и  прочими характеристиками решения задачи найденными на предыдущем этапе. Затем осуществляется пересчет величин bij  и последующее интегрирование уравнений (261),(7) в пределах [tk-1,tk]  при тех же начальных условиях. После чего делается следующая итерация этого процесса , т.е. осуществляется пересчет величин bij  и последующее интегрирование уравнений (261),(7) в тех же временных пределах и  при тех же начальных условиях и так до тех пор пока величины Δku, Δkv, Δk  найденные на смежных итерациях не будут отличаться более чем на ξ.

                                      ЛИТЕРАТУРА                              

1.Биргер  И.А. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести // Изд. АН СССР. Сер. механика. №2. 1965. с.113-119.

2. Биргер  И.А. Теория пластического течения при неизотермическом нагружении // Изд. АН СССР. Сер. механика и машиностроение. №1. 1964. с. 193.

3.  Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.

4. Маркушин А.Г. Об алгоритме учета истории нагружения в задаче истечения сыпучего материала // Математика, механика и их приложе-ния: Материалы науч.-практ. конф. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1998.

5. Горюшинский И.В., Горюшинский В.С., Маркушин А.Г.,Третьяков Г.М. К разработке теоретической основы исследования движения  сыпучего материала в бункерах и бункерных устройствах //  Механизация и автоматизация технологических процессов на  транспорте и в агропромышленном комплексе, вып.16, Самара:  Самарский институт инженеров железнодорожного транспорта, ОАО  “  САМНИТ ”, 1998.

6. Маркушин А.Г. К построению модели истечения сыпучего материала с твердым зерном //  Материалы межвузовской научной конференции “ Современные проблемы нелинейной механики конструкций, взаимо-действующих с агрессивными средами”, март 2000, Саратов. 

7.  Квапил Р. Движение сыпучих материалов в бункерах. М. 1961.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72358. Исследования в области СО. Качественные и количественные методы исследования 13.22 KB
  Качественные методы исследования в PR используются для изучения индивидуального аспекта восприятия PRсообщений имиджа PRкампании в целом. Результатом качественных методов исследования в PR являются неструктурированные текстовые материалы содержащие прямую речь которая в свою очередь...
72359. Регуляция мышечного тонуса, позы и движений: Учебно-методическое пособие 5.93 MB
  Любая поза тела за исключением лежания представляет собой результат непрерывной борьбы систем регуляции активности скелетных мышц с действием силы тяжести. Это осуществляется благодаря тоническому напряжению мышц тела которые крепятся к многочисленным подвижным звеньям скелета...
72362. Элементарная математика: Общие методы решения уравнений и неравенств (Часть 1): Учебно-методическое пособие 2.96 MB
  В пособии представлены первые две части раздела «Общие методы решения уравнений и неравенств» курса «Элементарная математика». В нём содержится тематический план, базовые теоретические положения с выделением основных типов и методов решения задач, список задач для индивидуальной работы...
72363. Программирование на языке высокого уровня СИ/СИ++ 622 KB
  Пособие разработано для студентов очной и заочной формой обучения по соответствующей специальности. Может использоваться для самостоятельной работы, при выполнении практических и лабораторных работ, при подготовке курсовых и дипломных работ: преподавателем соответствующей дисциплины в учебном процессе.
72364. Анатомия и морфология высших растений 2 MB
  Морфология и анатомия растений – науки, изучающие соответственно внешнее и внутреннее строение тела растений. Их важнейшими задачами являются описание и наименование органов и тканей растительного организма, ведь без достаточного понятийного аппарата невозможно развитие ни самих этих наук, ни других разделов ботаники.
72365. Обладнання нафтогазової галузі і умови його експлуатації: Лабораторний практикум 5.71 MB
  Нафтогазове обладнання на даному етапі це високотехнологічні конструкції, які працюють в умовах значних і складних навантажень, що призводить до зношування окремих його деталей та інструменту. Загальне ознайомлення з вказаним обладнанням розширить знання студентів...
72366. Логика: Учебно-практическое пособие 1.08 MB
  Цель курса логики в системе образования наряду с вышеотмеченной мировоззренческой состоит в том чтобы полученные знания позволили: 1 лучше ориентироваться в функциях выполняемых различными элементами разговорного и научного языка в различных коммуникативно-познавательных ситуациях...