15585

Алгоритм учета истории нагружения элемента сыпучего тела с твердым зерном в задаче истечения

Научная статья

Физика

А.Г. Маркушин Алгоритм учета истории нагружения элемента сыпучего тела с твердым зерном в задаче истечения I. При решении инженерных задач связанных с проектированием оборудования взаимодействующего с сыпучими материалами возникает как правило необходимость в...

Русский

2013-06-15

158.05 KB

2 чел.

А.Г. Маркушин
 Алгоритм учета истории нагружения элемента сыпучего тела с твердым зерном в задаче истечения

I. При решении инженерных задач, связанных с проектированием обору-дования взаимодействующего с сыпучими материалами, возникает, как правило, необходимость в знании напряженно-деформированного состо-яния его конструктивных элементов, что требует, в свою очередь, знания давления сыпучего материала на эти элементы в процессе эксплуатации оборудования. Последнее невозможно без создания теории движения сы-пучей среды адекватно описывающей ее главные свойства, проявляющи-еся, например, при истечении из бункерных устройств. К числу таких свойств сыпучего тела относится, прежде всего, свойство образования за-пирающих динамических сводов полностью прекращающих истечение или ответственных за явление пульсации при истечении [1].

Построение указанной теории начато в работах [2-4]. Приведем здесь некоторое обоснование этого построения используя терминологию теории пластического течения сплошной среды при переменных нагружениях [5-7], в силу того, что именно она положена в основу развиваемой теории. Составны-ми элементами этой теории являются уравнения движения и соотношения теории упругости, условие пластичнос-ти, условие упрочнения при сжатии, закон пластического течения и закон сохранения массы элемента сыпучего тела. Рис. 1

Под элементом сыпучего материала понимается достаточно большая совокупность отдельных его зерен. Центральным звеном предлагаемой теории является диаграмма учета истории нагружения элемента сыпучего тела, физической интерпретации и математическому описанию которой и посвящена настоящая работа.

II. Как показал предварительный эксперимент реальная диаграмма - сжатия такого сыпучего материала как горох (при стандартных температу-ре давлении воздуха и влажности гороха) может быть представлена пунк-тирной кривой OA1C изображенной на рисунке 1. Реальную диаграмму за-меним, как это и принято, ее схемой – на рис.1 это ломаная линия ОАВС – и выполним ее интерпретацию. Отрезок ОА условной диаграммы - описывает упругие деформации сыпучего материала. По отношению к нагружению элементов сыпучего тела находящегося под действием собственного веса можно сказать, что оно будет отображаться точками отрезка ОА, если эти элементы расположены в верхней части бункера.

Величину 1, при этом, можно считать пределом пропорциональнос-ти, а ломаную линию АВС – состоящей из точек отображающих нагруже-ния элементов находящихся в нижней части бункера. Другими словами – ломаная АВС описывает процесс упруго-пластического деформирования упрочняющегося сыпучего тела.

Сравнивая участок АВС этой диаграммы с аналогичными участками диаграмм сжатия (или растяжения) металлов, т.к. именно для таких материалов развиты практически все теории пластичности, не трудно установить их некоторое подобие. Но это подобие только внешнее в силу того, что физика упруго-пластического деформирования металлов и сыпучих материалов существенно различна. Участок АВС обсуждаемой диаграммы отображает не только процесс упруго-пластического деформи-рования отдельных зерен материала, но также и процесс проникновения зерен в пустоты между ними. При этом можно считать, что начальный участок АА1 отрезка АВ соответствует последнему процессу, участок В1С – в большей степени первому, т.е. пластическим деформациям самих зерен, а участок А1ВВ1 отображает оба этих процесса. Последнее обстоя-тельство объясняется, повидимому, неодинаковой несколько твердостью горошин.

Анализ поверхности и формы горошин участвовавших в предвари-тельном эксперименте по определению диаграммы сжатия гороха выявил наличие задиров и вмятин на поверхности горошин, их формоизменение, что подтверждает предположение о проникновении зерен в пустоты между ними и о пластическом их деформировании.

Понятно, что отображение ломаной АВС сразу двух процессов,- про-никновения зерен в пустоты и пластического их деформирования,- обус-ловлено тем, что средний предел текучести материала отдельных горошин не велик и сравним по величине с пределом пропорциональности сыпучего материала. Сыпучий материал, отдельные зерна которого находясь на дне бункера не испытывают пластических деформаций ни при какой высоте засыпки материала в нем, будем называть твердозёренным сыпучим мате-риалом или сыпучим материалом с твердым зерном. Понятно, что предел текучести отдельных зерен подобного сыпучего тела должен быть во мно-го раз большим предела пропорциональности самого сыпучего материала. К таким материалам относятся все каменные и рудные породы мелкой фракции, пески, металлическая крошка и т.д.

Кривую CD разгрузки материала также заменим ее схемным анало-гом – прямой CD, которую будем считать параллельной прямой ОА, описывающей упругие деформации сыпучего тела. Кроме того, будем предполагать, что прямые CD и OA могут быть продолжены в область малых положительных напряжений (напряжений растяжения).

Все дальнейшие рассуждения проведем рассматривая сыпучий мате-риал с твердым зерном истекающий из цилиндрического бункера с круглым центрально расположенным выпускным отверстием в горизон-тальном днище или находящийся в нем под действием собственного веса.

III. При истечении материала из отверстия бункера его элементы, имеющие различные местоположения в бункере, на разных стадиях истечения могут находиться как в состоянии разгрузки, так и в состоянии активного нагружения, а также в фазе наступления вторичных пластичес-ких деформаций после разгрузки как при нагружении в том же направ-лении, в котором следовала разгрузка (этот тип пластических деформаций представляет собой модель собственно течения материала), так и при нагружении в обратном (по отношению к разгрузке) направлении, совпа-дающим с направлением первичного нагружения (этот тип вторичных пластических деформаций вкупе с первичными пластическими деформа-циями частично исполняет функцию модели явления уплотнения сыпучего тела вследствие проникновения отдельных зерен материала в пустоты между ними).

Принципиальная схема процесса нагрузка-разгрузка произвольного по местоположению в бункере элемента сыпучего тела, которую предпола-гается использовать непосредственно в вычислениях при численном реше-нии задачи истечения приведена на рис.2. Выполним описание этой схемы. Для чего выделим некоторый элемент сыпучего тела расположенный над отверстием на достаточной высоте и проследим изменения в состоянии его нагружения в первые моменты времени после открытия заслонки. Предпо-ложим, что выделенный элемент перед открытием отверстия оказался наг-руженным (сжатым) до состояния соответствующего точке A2 диаграммы i - i нагружения материала (см. рис.2). Другие элементы, расположенные на этой же вертикали ниже, нагрузились до точек, расположенных на 2-ом участке диаграммы ближе к т. A2, элементы лежащие выше - до точек рас-положенных между точками A2 и A1 2-го участка, и, наконец, нагружения элементов лежащих на высоте близкой к H (высота засыпки материала в бункере) отобразилось точками отрезка A1О 1-го участка диаграммы (уп-ругие деформации).

Уравнения прямых соответствующих 1 – ому и 2 – ому участкам диаг-раммы i - i и условия при которых они предполагается будут исполь-зованы в вычислениях таковы:

1. А13А1 : i = Еi , 1t i  2t , здесь Е – модуль упругости сыпучего тела, 1t, 2t – пределы текучести при сжатии и растяжении сыпучего тела. 2. А1А2 : i = Е1t + Е1t( i - 1t ) , di < 0, i < 1t , здесь 1t = 1t/E – предел текучести по деформациям, E1t - модуль упрочнения (при сжатии) сыпучего тела.

В первые же мгновения времени после открытия отверстия выпуска

  

 

 Рис. 2

элементы материала, расположенные в некоторой его окрестности над ним, благодаря началу движения разуплотнятся, из состояния сжатия перейдут в состояние растяжения (явление образования статических сводов в настоящей работе не рассматривается), т.е. произойдет разгруз-ка элементов и нагружение их нагрузкой другого знака, что отобразится точками прямой A2B1A3, 3-его участка диаграммы i - i.

Приведем далее математическое описание всех прочих участков диаграммы и продолжим ее интерпретацию.

3. А2А3 : i = Е( i - е1p ) , di ≥ 0, i 2t . При di < 0: i = Е( i - е1p ) пока Е( i - е1p )  Е1t + Е1t( i - 1t ), иначе i = Е1t + Е1t( i - 1t ). Здесь е1p – накопленная пластическая деформация в момент начала разгрузки (в т. А2).

С течением времени точка на прямой А2А3, отображающая состо-яние нагружения выделенного элемента будет перемещаться от т. A2 к т. B1, а затем к т. A3. Отрезок ОB1 будет характеризовать остаточные пласти-ческие деформации выделенного элемента. Начиная с т. B1 и до т. A3 элемент будет нагружаться растягивающими усилиями (как и ранее про-должает действовать вес нижележащих элементов). Точка A3 отвечает состоянию нагружения элемента, в котором силы сцепления его зерен пре-одолеваются растягивающими усилиями и материал элемента переходит в состояние движения (в состояние вторичной пластической деформации), что соответствует точкам прямой A3A4 - 4-ому участку диаграммы i - i.

При возникновении вторичных пластических деформаций после разгрузки при нагружении в том же направлении, что следовала разгрузка предел текучести 2t имеет значение существенно (в десятки раз) меньшее, чем 1t первичного нагружения и соответствует тем предельным растяги-вающим напряжениям, превышение которых приводит материал в состоя-ние собственно течения.

4. А3А4 : i = Е2t + Е2t( i - 2t - е1p ), di ≥ 0, i ≥ 2t , где 2t = 2t/E – предел текучести по деформациям при растяжении, E2t модуль упрочнения сыпучего тела при растяжении. Отметим, что E2t << E1t и, что величинами E10, E20 , E1t, E2t на рис. 2 помечены соответствующие им углы, хотя они равны не углам, а тангенсам этих углов, E10, E20(E20 << E10) – модули упрочнения сыпучего тела с естественной укладкой зерен.

5. А4А5 : i = Е( i – е2p ), di < 0, при di  0 используется приведенная формула, пока по ней i 2t, в противном случае вычисления проводятся по формуле 4 – ого этапа; е2p – пластическая деформация в момент начала разгрузки, т.е. в точке А4.

Пределы текучести 1t, 2t, 1t, 2t и модули упрочнения Е1t, Е2t соот-ветствуют здесь динамически уплотненному сыпучему материалу.

Под гипотетическим динамическим уплотнением понимается следу-ющее. При течении материала его зерна, стремясь занять наиболее устой-чивое положение, ориентируются длинными осями и утолщенными частя-ми вниз по направлению к отверстию (по потоку, и чем ближе к отверс-тию, тем в большем числе) и, двигаясь к нему, сближаются (главным обра-зом при торможении), образуя регулярные по укладке, куполоподобные структуры, увеличивая тем самым плотность, предел текучести и модуль упрочнения при сжатии и, предел текучести и модуль упрочнения при растяжении, до величин, которые не могут быть такими при естественной укладке. Сближение зерен материала объясняется, во-первых, различием плотности в силу ориентированности зерен в радиальном и окружном направлениях, если отсчет вести из центра отверстия выпуска, а, во-вторых, тем, что объем пришедшего в движение материала в первые моменты разгрузки бункера не успевает вытечь из отверстия по причине ограниченности расхода через него (об этом ниже) и начинает тормозить-ся, образуя, в силу ориентированности зерен, куполоподобные многослой-ные структуры, слои в которых при еще большем замедлении или прекра-щении движения оказываются сцепленными. Последнее объясняется тем, что толстые нижние части зерен одного слоя входят в промежутки между верхними более острыми частями зерен нижележащего слоя и вследствие сближения (сжатия) сцепляются.

В момент, когда фронт волны прекращения движения материала дос-тигнет свободной поверхности (линии СС', см. рис. 3) нагрузки всех элементов материала станут максимально возможными. И если, при этом, толщина образовавшегося запирающего свода и средний предел текучести элементов его образовавших окажутся достаточными для того, чтобы он выдержал вес материала над ним, то истечение материала прекратится. Если же нет, то купол прогибаясь разрушится и материал вновь придет в движение независимо от значений растягивающих напряжений, тем более, что они будут усиливать его разрушение.

О среднем пределе текучести элементов образовавших запирающий свод здесь речь идет потому, что степень регулярности укладки в элемен-тах сыпучего тела по высоте свода будет различной. Степень регулярности укладки в элементе предполагаем зависящей от пройденного пути этим элементом, точнее от его перемещения W по вертикали. По отношению к пределам текучести σ1t, σ2t и модулям упрочнения E1t, E2t это предполо-жение в линейном приближении выразится в виде формул:

σ1t = σ10 + (σ10max – σ10)∙W/H, σ2t = σ20 + (σ20max – σ20)∙W/H, (1)

 E1t = E10 + (E1maxE10)∙W/H, E2t=E20 + (E2maxE20)∙W/H.

Здесь σ10max – предел текучести при сжатии “идеально”-регулярно уложен-ного материала, который как и σ10 (предел текучести при сжатии сыпучего тела с естественной укладкой зерен) может быть оценен экспериментально и является заведомо недостижимым при истечении, что и видно из формулы. Предел текучести при растяжении “идеально” регулярно уложенного материала σ20max, который как и σ20 (предел текучести при растяжении сыпучего тела с естественной укладкой зерен) может быть оценен посредством сравнения численного решения задачи истечения с данными специально поставленного эксперимента по истечению сыпучего тела. Модуль упрочнения E1max при сжатии идеально уложенного сыпу-чего материала также может быть найден экспериментально, тогда как модуль упрочнения E2max при растяжении может быть оценен тем же способом, что и σ20max.

Вернемся, далее, к интерпретации диаграммы.

После открытия заслонки фронт волны разгрузки будет распростра-няться вверх по сыпучему телу, увеличивая объем пришедшего в движение материала и через некоторое время этот объем превысит (и значительно) величину объема V0 столба сыпучего тела, расположенного над отверс-тием. Форма объема материала пришедшего в движение представляет собой эллипсоид вращения, малая ось которого в момент, когда большая ось превзошла по величине высоту засыпки минимальным образом, значительно превосходит ширину отверстия выпуска (рис.3). Р. Квапил обнаружил это явление экспериментально [8] и назвал сечение указанного эллипсоида, содержащее большую ось, эллипсом первичного движения.

Благодаря ограниченности расхода материала при его истечении под действием собственного веса через отверстие фиксированной площади и вследствие того, что объем материала в эллипсоиде первичного движения превосходит объем V0 (практически до конца процесса истечения) от некоторой окрестности отвер-стия вверх в некоторый момент времени начи-нает распространяться фронт волны замедле-ния движения. Точнее, в тот момент когда рас-ход материала, возрастая от нуля, в момент от-крытия заслонки, достигнет своего максимума.    

Как только фронт волны замедления Рис. 3

движения достигнет элемента лежащего непосредственно под выделенным элементом, последний начнет испытывать снизу больший несколько подпор, чем испытывал, что отразится в смене состояния его нагружения, и, соответственно, переходом отображающей состояние нагружения точки с 4-го участка диаграммы на 5-ый, например, в точке A4, т.к. растяги-вающие напряжения начнут уменьшаться, зерна материала в элементе начнут входить в зацепление, элемент будет замедлять свое движение и тормозить выше лежащий. Если при этом замедление нижнего элемента затем начнет уменьшаться, то состояние нагружения выделенного элемен-та в некоторый момент времени опять будет отображаться 4-ым участком диаграммы, но уже точкой на прямой A4A4.

Если же замедление нижнего элемента будет продолжаться и далее, то точка отображающая состояние нагружения элемента на диаграмме бу-дет перемещаться по прямой A4B2 5-го участка, приближаясь снизу к т. B2:

Если выделенный элемент полностью остановился, то это означает, что под ним образовался запирающий куполообразный свод или он сам стал первым снизу элементом этого свода.

В момент образования и остановки такого свода от него вверх начнет распространяться фронт волны прекращения движения материала и вслед-ствие этого выделенный элемент начнет нагружаться сжатием, что отобра-зится на диаграмме прохождением отрезка B2A5. Деформации при этом могут оставаться упругими и при несколько больших нагрузках (отрезок A1A5), чем при первичном нагружении сжатием, вследствие динамичес-кого уплотнения материала при его движении и последующем тормо-жении.

Нагружение этого элемента вследствие его полной остановки может произойти, о чем уже говорилось, упругим образом, и если после этого нижние элементы опять придут в движение, то выделенный элемент вновь будут нагружаться до точки А4.

Если же нагружение выделенного элемента будет сопровождено плас-тическими деформациями сжатия, то это отобразится выходом соответ-ствующей состоянию нагружения точки на 6-ой участок диаграммы, который описывается теми же формулой и условиями, что и 2 – ой участок, и т.д.

Таким образом алгоритм учета истории нагружения элемента сыпуче-го тела при его истечении описан здесь исчерпывающим образом, в том числе и на физическом уровне.

 

 Б и б л и г р а ф и ч е с к и й с п и с о к

  1.  Богомягких В.А. Теория и расчет бункеров для зернистых материалов. Изд-во Ростовского ун-та, 1973.
  2.  Маркушин А.Г. К построению модели истечения сыпучего материала // Математика, механика и их приложения: Материалы науч. – практ. конф., Саратов: Изд-во Сарат. ун-та.1998. с. 56.
  3.  Контарев А.А., Королева О.А., Маркушин А.Г. Об основных деталях построения динамической теории сыпучего тела // Сб. Прикладная математика и механика, вып. 6. Ульяновск: УГТУ, 2001.
  4.  Маркушин А.Г. К разработке динамической теории сыпучего тела с твердым зерном // Аэродинамика. Ударноволновые процессы. Межвуз. сб. научн. тр., вып. 15(18). Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2001. с. 96.
  5.  Биргер И.А. Теория пластического течения при неизотермическом нагружении // Изв.АН СССР. Сер. механика и машиностроение, 1964,1.
  6.  Биргер И.А. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести // Изв. АН СССР. Сер. механика, 1965, 2.
  7.  Шевченко Ю.Н. Термопластичность при переменных нагружениях. Киев: Наукова думка. 1970. 
  8.  Квапил Р. Движение сыпучих материалов в бункерах. М. 1961.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42517. Определение мощности переменного тока 130 KB
  Оборудование: ваттметр электродинамической системы амперметр переменного тока вольтметр на 150 В ламповый реостат с набором ламп лабораторный автотрансформатор ЛАТР соединительные провода. Краткие теоретические сведения Мощность тока определяется как произведение силы тока на напряжение. Поскольку в случае переменного тока сила тока и напряжение изменяются по гармоническому закону то целесообразно ввести понятие мгновенной мощности равной произведению мгновенных значений силы тока и напряжения Мгновенное значение мощности...
42518. Определение индуктивности катушки 79 KB
  Оборудование: разборной школьный трансформатор реостат вольтметры постоянного и переменного тока миллиамперметр источники постоянного и переменного тока. Краткие теоретические сведения Если в проводнике меняется сила тока то в нём возникает ЭДС самоиндукции препятствующая этому изменению пропорциональная скорости изменения силы тока: 20. Таким образом самоиндукцией в 1 Гн обладает такой проводник в котором изменение силы тока на 1 А за 1 с вызывает...
42519. Изучение переходных процессов при замыкании и размыкании цепи с индуктивностью 136 KB
  Цель работы: изучить явление электромагнитной индукции и самоиндукции; приобрести навыки наблюдения на экране осциллографа зависимости токов замыкания и размыкания от времени при различных индуктивностях; определить индуктивность катушки графическим методом. Оборудование: осциллограф ИО-4, реле РСМ, катушка индуктивности с сердечником; два резистора, трансформатор 220/8 В, источник постоянного тока.
42520. Определение коэффициента взаимоиндукции двух катушек 67.5 KB
  Оборудование: мост переменного тока магазин индуктивности источник переменного тока. Краткие теоретические сведения Если в проводнике изменяется сила тока то в нём возникает ЭДС самоиндукции 22. Если подключить такую катушку в цепь переменного тока то вследствие периодического изменения силы тока возникает ЭДС самоиндукции препятствующая приложенному напряжению.
42521. Снятие кривой намагничения и петли гистерезиса с помощью осциллографа 142.5 KB
  Краткие теоретические сведения Ферромагнетикам свойственно явление гистерезиса. Замкнутая кривая bcdef называется петлёй гистерезиса рис. Можно получить семейство петель гистерезиса по способу описанному ранее не доводя намагничение образца до насыщения.
42522. Определение ёмкости конденсаторов 104 KB
  Оборудование: регулятор напряжения ЛАТР миллиамперметр переменного тока на 250 мА вольтметр на 150 В конденсаторы. Если конденсатор включить в цепь постоянного тока то спустя некоторое время он зарядится т. Если конденсатор включить в цепь переменного тока то он будет перезаряжаться с частотой переменного ток и в подводящих проводах всё время будут перемещаться электрические заряды т.
42523. Изучение процессов зарядки и разрядки конденсаторов 240.5 KB
  Цель работы: изучить процессы, происходящие в цепи при зарядке (разрядке) конденсаторов, освоить метод расчёта ёмкости конденсаторов по данным о временной зависимости тока зарядки (разрядки). Оборудование: конденсатор, набор резисторов, микроамперметр на 100 мкА, источник питания постоянного тока, выключатель, секундомер, соединительные провода.
42524. Определение горизонтальной составляющей индукции земного магнетизма с помощью тангенс-гальванометра 102 KB
  Южный полюс магнитного поля Земли находится вблизи северных берегов Америки около 750 северной широты и 1010 западной долготы а северный полюс − в Антарктиде около 670 южной широты и 1400 восточной долготы. Существование магнитного поля Земли непосредственно подтверждается отклонением лёгкой магнитной стрелки при её свободном подвесе. При этом последняя устанавливается в направлении касательной к линии индукции магнитного поля Земли.
42525. Изучение однофазного трансформатора 118 KB
  Принцип действия трансформатора основан на использовании явления электромагнитной индукции. Знак − указывает на то что ЭДС в первичной и вторичной обмотках трансформатора противоположены по фазе. Создаваемый этим током магнитный поток Ф0 концентрируется в магнитопроводе и пронизывает все обмотки трансформатора индуцируя в первичной обмотке ЭДС самоиндукции 27.