15585

Алгоритм учета истории нагружения элемента сыпучего тела с твердым зерном в задаче истечения

Научная статья

Физика

А.Г. Маркушин Алгоритм учета истории нагружения элемента сыпучего тела с твердым зерном в задаче истечения I. При решении инженерных задач связанных с проектированием оборудования взаимодействующего с сыпучими материалами возникает как правило необходимость в...

Русский

2013-06-15

158.05 KB

2 чел.

А.Г. Маркушин
 Алгоритм учета истории нагружения элемента сыпучего тела с твердым зерном в задаче истечения

I. При решении инженерных задач, связанных с проектированием обору-дования взаимодействующего с сыпучими материалами, возникает, как правило, необходимость в знании напряженно-деформированного состо-яния его конструктивных элементов, что требует, в свою очередь, знания давления сыпучего материала на эти элементы в процессе эксплуатации оборудования. Последнее невозможно без создания теории движения сы-пучей среды адекватно описывающей ее главные свойства, проявляющи-еся, например, при истечении из бункерных устройств. К числу таких свойств сыпучего тела относится, прежде всего, свойство образования за-пирающих динамических сводов полностью прекращающих истечение или ответственных за явление пульсации при истечении [1].

Построение указанной теории начато в работах [2-4]. Приведем здесь некоторое обоснование этого построения используя терминологию теории пластического течения сплошной среды при переменных нагружениях [5-7], в силу того, что именно она положена в основу развиваемой теории. Составны-ми элементами этой теории являются уравнения движения и соотношения теории упругости, условие пластичнос-ти, условие упрочнения при сжатии, закон пластического течения и закон сохранения массы элемента сыпучего тела. Рис. 1

Под элементом сыпучего материала понимается достаточно большая совокупность отдельных его зерен. Центральным звеном предлагаемой теории является диаграмма учета истории нагружения элемента сыпучего тела, физической интерпретации и математическому описанию которой и посвящена настоящая работа.

II. Как показал предварительный эксперимент реальная диаграмма - сжатия такого сыпучего материала как горох (при стандартных температу-ре давлении воздуха и влажности гороха) может быть представлена пунк-тирной кривой OA1C изображенной на рисунке 1. Реальную диаграмму за-меним, как это и принято, ее схемой – на рис.1 это ломаная линия ОАВС – и выполним ее интерпретацию. Отрезок ОА условной диаграммы - описывает упругие деформации сыпучего материала. По отношению к нагружению элементов сыпучего тела находящегося под действием собственного веса можно сказать, что оно будет отображаться точками отрезка ОА, если эти элементы расположены в верхней части бункера.

Величину 1, при этом, можно считать пределом пропорциональнос-ти, а ломаную линию АВС – состоящей из точек отображающих нагруже-ния элементов находящихся в нижней части бункера. Другими словами – ломаная АВС описывает процесс упруго-пластического деформирования упрочняющегося сыпучего тела.

Сравнивая участок АВС этой диаграммы с аналогичными участками диаграмм сжатия (или растяжения) металлов, т.к. именно для таких материалов развиты практически все теории пластичности, не трудно установить их некоторое подобие. Но это подобие только внешнее в силу того, что физика упруго-пластического деформирования металлов и сыпучих материалов существенно различна. Участок АВС обсуждаемой диаграммы отображает не только процесс упруго-пластического деформи-рования отдельных зерен материала, но также и процесс проникновения зерен в пустоты между ними. При этом можно считать, что начальный участок АА1 отрезка АВ соответствует последнему процессу, участок В1С – в большей степени первому, т.е. пластическим деформациям самих зерен, а участок А1ВВ1 отображает оба этих процесса. Последнее обстоя-тельство объясняется, повидимому, неодинаковой несколько твердостью горошин.

Анализ поверхности и формы горошин участвовавших в предвари-тельном эксперименте по определению диаграммы сжатия гороха выявил наличие задиров и вмятин на поверхности горошин, их формоизменение, что подтверждает предположение о проникновении зерен в пустоты между ними и о пластическом их деформировании.

Понятно, что отображение ломаной АВС сразу двух процессов,- про-никновения зерен в пустоты и пластического их деформирования,- обус-ловлено тем, что средний предел текучести материала отдельных горошин не велик и сравним по величине с пределом пропорциональности сыпучего материала. Сыпучий материал, отдельные зерна которого находясь на дне бункера не испытывают пластических деформаций ни при какой высоте засыпки материала в нем, будем называть твердозёренным сыпучим мате-риалом или сыпучим материалом с твердым зерном. Понятно, что предел текучести отдельных зерен подобного сыпучего тела должен быть во мно-го раз большим предела пропорциональности самого сыпучего материала. К таким материалам относятся все каменные и рудные породы мелкой фракции, пески, металлическая крошка и т.д.

Кривую CD разгрузки материала также заменим ее схемным анало-гом – прямой CD, которую будем считать параллельной прямой ОА, описывающей упругие деформации сыпучего тела. Кроме того, будем предполагать, что прямые CD и OA могут быть продолжены в область малых положительных напряжений (напряжений растяжения).

Все дальнейшие рассуждения проведем рассматривая сыпучий мате-риал с твердым зерном истекающий из цилиндрического бункера с круглым центрально расположенным выпускным отверстием в горизон-тальном днище или находящийся в нем под действием собственного веса.

III. При истечении материала из отверстия бункера его элементы, имеющие различные местоположения в бункере, на разных стадиях истечения могут находиться как в состоянии разгрузки, так и в состоянии активного нагружения, а также в фазе наступления вторичных пластичес-ких деформаций после разгрузки как при нагружении в том же направ-лении, в котором следовала разгрузка (этот тип пластических деформаций представляет собой модель собственно течения материала), так и при нагружении в обратном (по отношению к разгрузке) направлении, совпа-дающим с направлением первичного нагружения (этот тип вторичных пластических деформаций вкупе с первичными пластическими деформа-циями частично исполняет функцию модели явления уплотнения сыпучего тела вследствие проникновения отдельных зерен материала в пустоты между ними).

Принципиальная схема процесса нагрузка-разгрузка произвольного по местоположению в бункере элемента сыпучего тела, которую предпола-гается использовать непосредственно в вычислениях при численном реше-нии задачи истечения приведена на рис.2. Выполним описание этой схемы. Для чего выделим некоторый элемент сыпучего тела расположенный над отверстием на достаточной высоте и проследим изменения в состоянии его нагружения в первые моменты времени после открытия заслонки. Предпо-ложим, что выделенный элемент перед открытием отверстия оказался наг-руженным (сжатым) до состояния соответствующего точке A2 диаграммы i - i нагружения материала (см. рис.2). Другие элементы, расположенные на этой же вертикали ниже, нагрузились до точек, расположенных на 2-ом участке диаграммы ближе к т. A2, элементы лежащие выше - до точек рас-положенных между точками A2 и A1 2-го участка, и, наконец, нагружения элементов лежащих на высоте близкой к H (высота засыпки материала в бункере) отобразилось точками отрезка A1О 1-го участка диаграммы (уп-ругие деформации).

Уравнения прямых соответствующих 1 – ому и 2 – ому участкам диаг-раммы i - i и условия при которых они предполагается будут исполь-зованы в вычислениях таковы:

1. А13А1 : i = Еi , 1t i  2t , здесь Е – модуль упругости сыпучего тела, 1t, 2t – пределы текучести при сжатии и растяжении сыпучего тела. 2. А1А2 : i = Е1t + Е1t( i - 1t ) , di < 0, i < 1t , здесь 1t = 1t/E – предел текучести по деформациям, E1t - модуль упрочнения (при сжатии) сыпучего тела.

В первые же мгновения времени после открытия отверстия выпуска

  

 

 Рис. 2

элементы материала, расположенные в некоторой его окрестности над ним, благодаря началу движения разуплотнятся, из состояния сжатия перейдут в состояние растяжения (явление образования статических сводов в настоящей работе не рассматривается), т.е. произойдет разгруз-ка элементов и нагружение их нагрузкой другого знака, что отобразится точками прямой A2B1A3, 3-его участка диаграммы i - i.

Приведем далее математическое описание всех прочих участков диаграммы и продолжим ее интерпретацию.

3. А2А3 : i = Е( i - е1p ) , di ≥ 0, i 2t . При di < 0: i = Е( i - е1p ) пока Е( i - е1p )  Е1t + Е1t( i - 1t ), иначе i = Е1t + Е1t( i - 1t ). Здесь е1p – накопленная пластическая деформация в момент начала разгрузки (в т. А2).

С течением времени точка на прямой А2А3, отображающая состо-яние нагружения выделенного элемента будет перемещаться от т. A2 к т. B1, а затем к т. A3. Отрезок ОB1 будет характеризовать остаточные пласти-ческие деформации выделенного элемента. Начиная с т. B1 и до т. A3 элемент будет нагружаться растягивающими усилиями (как и ранее про-должает действовать вес нижележащих элементов). Точка A3 отвечает состоянию нагружения элемента, в котором силы сцепления его зерен пре-одолеваются растягивающими усилиями и материал элемента переходит в состояние движения (в состояние вторичной пластической деформации), что соответствует точкам прямой A3A4 - 4-ому участку диаграммы i - i.

При возникновении вторичных пластических деформаций после разгрузки при нагружении в том же направлении, что следовала разгрузка предел текучести 2t имеет значение существенно (в десятки раз) меньшее, чем 1t первичного нагружения и соответствует тем предельным растяги-вающим напряжениям, превышение которых приводит материал в состоя-ние собственно течения.

4. А3А4 : i = Е2t + Е2t( i - 2t - е1p ), di ≥ 0, i ≥ 2t , где 2t = 2t/E – предел текучести по деформациям при растяжении, E2t модуль упрочнения сыпучего тела при растяжении. Отметим, что E2t << E1t и, что величинами E10, E20 , E1t, E2t на рис. 2 помечены соответствующие им углы, хотя они равны не углам, а тангенсам этих углов, E10, E20(E20 << E10) – модули упрочнения сыпучего тела с естественной укладкой зерен.

5. А4А5 : i = Е( i – е2p ), di < 0, при di  0 используется приведенная формула, пока по ней i 2t, в противном случае вычисления проводятся по формуле 4 – ого этапа; е2p – пластическая деформация в момент начала разгрузки, т.е. в точке А4.

Пределы текучести 1t, 2t, 1t, 2t и модули упрочнения Е1t, Е2t соот-ветствуют здесь динамически уплотненному сыпучему материалу.

Под гипотетическим динамическим уплотнением понимается следу-ющее. При течении материала его зерна, стремясь занять наиболее устой-чивое положение, ориентируются длинными осями и утолщенными частя-ми вниз по направлению к отверстию (по потоку, и чем ближе к отверс-тию, тем в большем числе) и, двигаясь к нему, сближаются (главным обра-зом при торможении), образуя регулярные по укладке, куполоподобные структуры, увеличивая тем самым плотность, предел текучести и модуль упрочнения при сжатии и, предел текучести и модуль упрочнения при растяжении, до величин, которые не могут быть такими при естественной укладке. Сближение зерен материала объясняется, во-первых, различием плотности в силу ориентированности зерен в радиальном и окружном направлениях, если отсчет вести из центра отверстия выпуска, а, во-вторых, тем, что объем пришедшего в движение материала в первые моменты разгрузки бункера не успевает вытечь из отверстия по причине ограниченности расхода через него (об этом ниже) и начинает тормозить-ся, образуя, в силу ориентированности зерен, куполоподобные многослой-ные структуры, слои в которых при еще большем замедлении или прекра-щении движения оказываются сцепленными. Последнее объясняется тем, что толстые нижние части зерен одного слоя входят в промежутки между верхними более острыми частями зерен нижележащего слоя и вследствие сближения (сжатия) сцепляются.

В момент, когда фронт волны прекращения движения материала дос-тигнет свободной поверхности (линии СС', см. рис. 3) нагрузки всех элементов материала станут максимально возможными. И если, при этом, толщина образовавшегося запирающего свода и средний предел текучести элементов его образовавших окажутся достаточными для того, чтобы он выдержал вес материала над ним, то истечение материала прекратится. Если же нет, то купол прогибаясь разрушится и материал вновь придет в движение независимо от значений растягивающих напряжений, тем более, что они будут усиливать его разрушение.

О среднем пределе текучести элементов образовавших запирающий свод здесь речь идет потому, что степень регулярности укладки в элемен-тах сыпучего тела по высоте свода будет различной. Степень регулярности укладки в элементе предполагаем зависящей от пройденного пути этим элементом, точнее от его перемещения W по вертикали. По отношению к пределам текучести σ1t, σ2t и модулям упрочнения E1t, E2t это предполо-жение в линейном приближении выразится в виде формул:

σ1t = σ10 + (σ10max – σ10)∙W/H, σ2t = σ20 + (σ20max – σ20)∙W/H, (1)

 E1t = E10 + (E1maxE10)∙W/H, E2t=E20 + (E2maxE20)∙W/H.

Здесь σ10max – предел текучести при сжатии “идеально”-регулярно уложен-ного материала, который как и σ10 (предел текучести при сжатии сыпучего тела с естественной укладкой зерен) может быть оценен экспериментально и является заведомо недостижимым при истечении, что и видно из формулы. Предел текучести при растяжении “идеально” регулярно уложенного материала σ20max, который как и σ20 (предел текучести при растяжении сыпучего тела с естественной укладкой зерен) может быть оценен посредством сравнения численного решения задачи истечения с данными специально поставленного эксперимента по истечению сыпучего тела. Модуль упрочнения E1max при сжатии идеально уложенного сыпу-чего материала также может быть найден экспериментально, тогда как модуль упрочнения E2max при растяжении может быть оценен тем же способом, что и σ20max.

Вернемся, далее, к интерпретации диаграммы.

После открытия заслонки фронт волны разгрузки будет распростра-няться вверх по сыпучему телу, увеличивая объем пришедшего в движение материала и через некоторое время этот объем превысит (и значительно) величину объема V0 столба сыпучего тела, расположенного над отверс-тием. Форма объема материала пришедшего в движение представляет собой эллипсоид вращения, малая ось которого в момент, когда большая ось превзошла по величине высоту засыпки минимальным образом, значительно превосходит ширину отверстия выпуска (рис.3). Р. Квапил обнаружил это явление экспериментально [8] и назвал сечение указанного эллипсоида, содержащее большую ось, эллипсом первичного движения.

Благодаря ограниченности расхода материала при его истечении под действием собственного веса через отверстие фиксированной площади и вследствие того, что объем материала в эллипсоиде первичного движения превосходит объем V0 (практически до конца процесса истечения) от некоторой окрестности отвер-стия вверх в некоторый момент времени начи-нает распространяться фронт волны замедле-ния движения. Точнее, в тот момент когда рас-ход материала, возрастая от нуля, в момент от-крытия заслонки, достигнет своего максимума.    

Как только фронт волны замедления Рис. 3

движения достигнет элемента лежащего непосредственно под выделенным элементом, последний начнет испытывать снизу больший несколько подпор, чем испытывал, что отразится в смене состояния его нагружения, и, соответственно, переходом отображающей состояние нагружения точки с 4-го участка диаграммы на 5-ый, например, в точке A4, т.к. растяги-вающие напряжения начнут уменьшаться, зерна материала в элементе начнут входить в зацепление, элемент будет замедлять свое движение и тормозить выше лежащий. Если при этом замедление нижнего элемента затем начнет уменьшаться, то состояние нагружения выделенного элемен-та в некоторый момент времени опять будет отображаться 4-ым участком диаграммы, но уже точкой на прямой A4A4.

Если же замедление нижнего элемента будет продолжаться и далее, то точка отображающая состояние нагружения элемента на диаграмме бу-дет перемещаться по прямой A4B2 5-го участка, приближаясь снизу к т. B2:

Если выделенный элемент полностью остановился, то это означает, что под ним образовался запирающий куполообразный свод или он сам стал первым снизу элементом этого свода.

В момент образования и остановки такого свода от него вверх начнет распространяться фронт волны прекращения движения материала и вслед-ствие этого выделенный элемент начнет нагружаться сжатием, что отобра-зится на диаграмме прохождением отрезка B2A5. Деформации при этом могут оставаться упругими и при несколько больших нагрузках (отрезок A1A5), чем при первичном нагружении сжатием, вследствие динамичес-кого уплотнения материала при его движении и последующем тормо-жении.

Нагружение этого элемента вследствие его полной остановки может произойти, о чем уже говорилось, упругим образом, и если после этого нижние элементы опять придут в движение, то выделенный элемент вновь будут нагружаться до точки А4.

Если же нагружение выделенного элемента будет сопровождено плас-тическими деформациями сжатия, то это отобразится выходом соответ-ствующей состоянию нагружения точки на 6-ой участок диаграммы, который описывается теми же формулой и условиями, что и 2 – ой участок, и т.д.

Таким образом алгоритм учета истории нагружения элемента сыпуче-го тела при его истечении описан здесь исчерпывающим образом, в том числе и на физическом уровне.

 

 Б и б л и г р а ф и ч е с к и й с п и с о к

  1.  Богомягких В.А. Теория и расчет бункеров для зернистых материалов. Изд-во Ростовского ун-та, 1973.
  2.  Маркушин А.Г. К построению модели истечения сыпучего материала // Математика, механика и их приложения: Материалы науч. – практ. конф., Саратов: Изд-во Сарат. ун-та.1998. с. 56.
  3.  Контарев А.А., Королева О.А., Маркушин А.Г. Об основных деталях построения динамической теории сыпучего тела // Сб. Прикладная математика и механика, вып. 6. Ульяновск: УГТУ, 2001.
  4.  Маркушин А.Г. К разработке динамической теории сыпучего тела с твердым зерном // Аэродинамика. Ударноволновые процессы. Межвуз. сб. научн. тр., вып. 15(18). Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2001. с. 96.
  5.  Биргер И.А. Теория пластического течения при неизотермическом нагружении // Изв.АН СССР. Сер. механика и машиностроение, 1964,1.
  6.  Биргер И.А. Расчет конструкций с учетом пластичности и ползучести // Изв. АН СССР. Сер. механика, 1965, 2.
  7.  Шевченко Ю.Н. Термопластичность при переменных нагружениях. Киев: Наукова думка. 1970. 
  8.  Квапил Р. Движение сыпучих материалов в бункерах. М. 1961.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77832. Культурно-развлекательный центр 1.32 MB
  В настоящее время разветвленную сеть учреждений культуры можно характеризовать по территориальному признаку. Территориальный признак учитывает численность учреждений по месту их расположения в масштабе района, города, области, края, республики.
77833. Анализ туристских ресурсов стран Западной Европы 84.58 KB
  Туристские ресурсы создают возможность расширения производства туристского продукта, определяемую активами, запасами, внутренними резервами туристской организации, а также природными и социальными условиями, в которых она действует – совокупностью природных...
77834. Аутсорсинг, авторинг управління проектами 57.64 KB
  Відносно недавно поняття аутсорсингу досить щільно увійшло в життя бізнесу. Багато компаній для себе вже прийняли рішення про перехід на аутсорсингові схеми роботи, наприклад, при організації охорони, бухгалтерської служби, підтримки ІТ-інфраструктури та багатьох інших допоміжних функцій.
77835. Чеська Республіка 414 KB
  Охорона природи в Чехії має глибокі традиції. Найперші в Європі природні заповідники — Жофінський одвічний ліс і Боубінський одвічний ліс у Шумаві — заявлені ще в 1838 році. У 1995 році у Чехії налічувалося 27 великих і 136 невеликих територій, що охороняються, загальною плошею 11848 км2...
77836. Профессионально-прикладная физическая подготовка 77.5 KB
  Основное назначение профессионально-прикладной подготовки — направленное развитие и поддержание на оптимальном уровне тех психических и физических качеств человека, к которым предъявляют повышенные требования конкретная профессиональная деятельность...
77837. Причины возвышения Франкского государства 185 KB
  Тема моего реферата – причины возвышения Франкского государства. Как известно, Франкское государство положило основу для крупнейших государств современности. Мне стало интересно, почему именно франки возвысились над остальными германскими народами – саксами, готами, варварами, алеманами, бургундами.
77839. Искусство как форма протеста (дадаизм) 44 KB
  Последствия первой мировой войны оказали сильное влияние на умы тогдашних представителей искусства. Возникнув как литературное течение это направление искусства проявлялось и в живописи и в фотографии и в скульптуре.