15707

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

Лекция

Математика и математический анализ

Дисципліна: МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ОПРАЦЮВАННЯ СПОСТЕРЕЖЕНЬ Модуль 1: ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ Лекція 1: ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ План лекції 1: 1.1. Визначення теорії ймовірностей і математичної статистики. 1.2. Історична довід...

Украинкский

2013-06-15

162.5 KB

11 чел.

Дисципліна: МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ОПРАЦЮВАННЯ

СПОСТЕРЕЖЕНЬ

Модуль 1: ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

Лекція 1: ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

План лекції 1:

1.1. Визначення теорії ймовірностей і математичної статистики.

1.2. Історична  довідка  щодо  розвитку  статистичних  методів.

1.3. Основні поняття теорії ймовірностей і математичної статистики.

1.1. Визначення теорії ймовірностей і математичної статистики.

Математична статистика являє собою розділ математики, присвячений методам обробки статистичних даних (надає відомості про кількість обєк-тів з певними ознаками у будь-якій більш чи менш широкій сукупності).

Самі методи і правила обробки будуються безвідносно до того, які статистичні дані обробляються (технічні, економічні, соціальні), проте звернення до них потребує обовязкового розуміння сутності явища, яке вивчається за допомогою цих правил.

Математична статистика в техніці придатна до застосування по тій причині, що технічні, технологічні та економічні дані завжди являють собою статистичні відомості про однорідні сукупності обєктів та явищ. Такими однорідними сукупностями можуть бути наклади друкованих книг або журналів, дані про прибуток підприємства та інші.

На теперішній час  існує  декілька  різних  визначень математичної статистики: по-перше, це наука про прийняття рішень в умовах нечіткості та невизначеності, по-друге, це наука, котра пояснює дані статистичних спостережень за допомогою ймовірнісних моделей.

Деякі автори вважають,  що математична  статистика  являє собою розділ теорії ймовірностей, а інші вважають, що вона лише звязана з цією теорією, являючи собою окрему від неї науку. У широкому розумінні математична статистика охоплює не тільки ймовірнісні аспекти, але й так звану прикладну статистику («аналіз даних»).

Аналіз статистичних даних методами математичної статистики дозволяє зробити такі висновки: або зробити певне судження про характер та властивості цих даних або взаємозвязків між ними; або доказати, що зібраних даних недостатньо для такого судження.

Висновки щодо сукупності досліджуваних даних можна зробити відносно суцільного розгляду усієї сукупності даних  або  відносно вибірки випадкової величини, коли кожна одиниця вибірки може бути з рівними шансами замінена будь-якою іншою.

Центральним поняттям математичної статистики вважається випад-кова величина – досліджувана величина, яка змінюється при повторенні експерімента при дотриманні незміного комплекса умов, в яких вона виникає.

Основними характеристиками розподілу випадкової величини вважаються середнє арифметичне та середньоквадратичне відхилення компонент часового ряду від середньоквадратичного значення.

При дослідженні взаємозвязку  між значеннями різних випадкових величин використовуються коефіцієнти кореляції між ними. Виявленням звязків між випадковими величинами займається кореляційий аналіз.

Задачі математичної бізнес-статистики прийнято поділяти на чотири основних групи: 1) оцінювання статистичних даних; 2) порівняльний аналіз отриманих даних з певним стандартом для оцінювання якості вироблюваної продукції; 3) дослідження статистичних звязків між даними та їх групами; 4) пошук найліпшого варіанту прийманних рішень досліджуваної задачі.

На основі аналізу подій в минулому  можна з достатньою точністю передбачити ймовірнісний розвиток досліджуваного явища в майбутньому, якщо не зміняться істотно зовнішні або внутрішні умови функціонування.

Для статистичних досліджень використовуються такі методи: 1) методи дослідження операцій; 2) методи теорії масового обслуговування;  3) методи теорії розкладів для оптимізації виробничих процесів; 4) методи керування запасами; 5) методи вибіркового контролю; 6) сіткові методи контролю та керування; 7) модели авторегресії, моделі ковзного середнього, моделі авторегресії–інтегрованого ковзного середнього типу ARIMA, ARIMAX, FARIMA та інші.

1.2. Історична  довідка  щодо  розвитку  статистичних  методів.

На практиці часто досліджуються явищами, результати яких при багаторазовому повторенні в однакових умовах можуть бути різними. Наприклад, неможливо заздалегідь вгадати число, яке випаде при киданні шестигранного грального кубика з пронумерованими гранями.

Причина цього явища пов’язана з тим, що багато факторів, супутніх експерименту і суттєвих для його результату, невідомі. Така неповнота інформації у деяких випадках є принциповою (у воєнних справах), а в інших випадках – недосяжною точністю на сучасному рівні розвитку науки (при прогнозуванні погоди).

Таким чином, можна стверджувати, що результат експерименту або досліду є величиною випадковою, а її значення обумовлене впливом значної кількості різних чинників. І все ж у світі випадковостей існують певні закономірності. Теорія ймовірностей, математична статистика і методи обробки даних надають математичний апарат для їх вивчення.

Існує декілька тлумачень поняття ”випадкова подія”. В побуті вважається, що випадкова подія – це щось вкрай виняткове. В теорії ймовірностей навпаки розглядаються випадкові події, що виникають у масових явищах. Під масовими явищами мають на увазі такі явища, котрі можуть багаторазово повторюватися в однакових умовах.

При розгляді масових явищ виникають нові закономірності, які вивчає теорія ймовірностей і математична статистика. Їх завданням є вивчення випадкових подій, котрі можна багаторазово спостерігаються в однакових умовах, тобто коли досліджуються масові однорідні події.

Визначення 1. Предметом теорії ймовірностей є вивчення й застосування ймовірностних закономірностей масових однорідних випадкових явищ. Теорія ймовірностей являє собою науку, котра дозволяє по ймовірностям одних випадкових подій знаходити ймовірності інших випадкових подій, зв'язаних певним чином з першими.

Можна також сказати, що теорія ймовірності є математичною дисципліною, котра на статистичному рівні з'ясовує закономірності, що виникають при взаємодії великої кількості випадкових чинників [1, c. 44].

Теорія ймовірностей і математична статистика виникли з потреб практики. Вони віддзеркалюють закономірності різних галузей науки і техніки і використовуються при плануванні та організації виробництва, аналізі технологічних процесів і контролі якості продукції.

Перші наукові праці з теорії ймовірностей були направлені на обґрунтування азартних ігор і пов’язані з іменами Дж. Кардано (1501–1576), Х. Гюйгенса (1629 –1695), Б. Паскаля (1623–1662), П. Ферма (1601–1665) та Я. Бернуллі (1654–1705) [1, c. 4 – 6; 2, с. 17 – 22 ].

Видатним досягненням того періоду було відкриття Я. Бернуллі закону великих чисел. Значну роль у розвитку аналітичних методів теорії ймовірностей у XVIII ст. відіграли праці А. Муавра (1667–1754) і С. Пуассона (1781–1840).

Видатна роль в розвитку теорії ймовірності належить знаменитому математикові Лапласу (1749 – 1827), який дав систематичний виклад основ теорії йморівности, привів доведення центральної граничної теореми і розвинув теорію помилок спостережень і вимірювань.

Значний внесок в розвиток теорії ймовірності належить Гауссу (1777 – 1855), який дав обґрунтування нормальному закону і розробив метод найменших квадратів для обробки експериментальних даних.

Для усього XVIII і початку XIX століття був характерним бурхливий розвиток теорії ймовірностей і повсюдне захоплення нею. В Росії створюється знаменита Петербурзька математична школа, яка прославилася працями з теорії ймовірності і поставила їх на міцну логічну і математичну основу.

Серед учених Петербурзької математичної школи слід назвати В.Я. Буняковського (1804 – 1889) – автора першої книги з теорії ймовірностей російською мовою.

Учнем В.Я. Буняковського був П.Л. Чебишов (1821 – 1894), якому належить розширення і узагальнення закону великих чисел. Учнем П.Л. Чебишова був О.О. Марков (1856 – 1922), котрый заклав основи «стохастичних», так званих «марківських» процесів.

Учнем П. Л. Чебишова також був А.М. Ляпунов (1857 – 1918), з ім'ям якого пов'язано перше доведення центральної граничної теореми для надзвичайно загальних умов. А.М. Ляпунов працював у Харківському імператорському університеті з 1885 по 1902 рік.

Продовжувачами традицій Петербурзької математичної школи стали С.Н. Бернштейн (розробив аксіоматику теорії ймовірності), А.Я. Хинчин (1894 – 1959) (досліджував стаціонарні випадкові процеси), Б.В. Гнеденко (1912–1995), М.В. Смірнова (1900–1966) та ін.

У 30-х роках минулого століття теорія ймовірностей і математична статистика стали повноцінними розділами математики (які до цього вважалися прикладними дисциплінами) завдяки чіткому поняттю ймовірності, яке запровадив А.М. Колмогоров (відомий в області теорії стохастичних процесів теорії польоту).

1.3. Основні поняття теорії ймовірностей і математичної статистики.

Кожна наука базується на певних основних поняттях, на які вона спирається і через які виводиться кожне нове поняття. В математиці такими поняттями є точка, пряма, лінія тощо. В теорії ймовірності такими поняттями є подія (рос. событие), дослід, наслідок, ймовірність події (рос. вероятность события) [1, с. 6 – 10; 3,с. 14 – 20; 4, 5].

Визначення 1. Подією прийнято називати все те, що може відбутися чи не відбутися при наявності сукупності умов, пов’язаних з можливістю появи чи непояви цієї події.

Визначення 2. Кожне здійснення розглянутої сукупності умов називається дослідом (випробуванням, іспитом), а результат кожного іспиту – наслідком. Випробовування може повторюватися необмежену кількість разів.

Кидання монети – випробування (рос. испытание). Випадкова подія (случайное событие) – поява герба або цифри при її падінні.

Кидання гральної кістки – випробування. Випадкова подія – поява чисел 1, 2, 3, 4, 5 або 6 на верхній грані.

Таким чином, випадкова подія – це наслідок випробування, яке не можливо заздалегідь передбачити. Події зазвичай позначають великими літерами латинської абетки А, В, С тощо.

Визначення 3. Кожен з можливих наслідків випробування, тобто кожну подію, що може настати в даному випробуванні, називають елементарним наслідком.

Визначення 4. Події називаються рівноможливими, якщо немає жодної причини вважати, що будь-яка з них настане частіше за інші.

Рівноможливість означає рівноправність окремих наслідків випробовування відносно деякого комплексу умов. У прикладі з підкиданням монет маємо справу з рівноможливими подіями (якщо монета виготовлена з однорідного матеріалу і має правильну циліндричну форму).

Визначення 5. Подія називається достовірною (вірогідною), якщо вона не може не настати у даному випробовуванні.

Визначення 6. Неможливою називається подія, що не може настати у даному випробовуванні. Якщо у посудині за нормальних умов знаходиться вода, тоді подія «у посудині рідина» є достовірною, а подія «у посудині крига» – неможливою.

Визначення 7. Дві події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає можливість появи іншої. При киданні монети поява герба виключає появу цифри.

Визначення 8. Дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає можливості появи іншої. При киданні двох монет поява герба на одній з них не виключає появи цифри на іншій. Якщо дві події сумісні, це не означає, що вони відбудуться в одному місці і одночасно. Сумісність вказує лише на можливість здійснення за однакових умов обох подій.

Визначення 9. Дві події називаються протилежними, одна з яких обов’язково має настати в даному випробуванні і заперечити появу іншої події. Подію, протилежну події А, позначають  (не А).

Визначення 10. Єдино можливими подіями А1, А2, ..., Аn називаються події, якщо хоча б одна з них обов’язково настане в даному випробовуванні. Дві протилежні події є єдино можливими.

Визначення 11. Події А1, А2, ..., Аn утворюють повну групу, якщо вони є єдино можливими несумісними результатами деякого випробування. У прикладі з цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 має місце повна група подій появи чисел при киданні гральної кістки. Дві протилежні події утворюють повну групу.

Визначення 12. Будемо казати, що подія А сприяє появі події В, якщо завжди, коли настає подія А, настає і подія В. Нехай подія А – поява 4 при киданні гральної кістки, а подія В – поява парної цифри. Таким чином, подія А сприяє появі події В, оскільки поява 4 означає і появу парної цифри.

Визначення 13. Події А і В називають еквівалентними, якщо поява події А сприяє появі події В, а подія В сприяє появі події А.

Визначення 14. Часто виникає необхідність складну подію представити у вигляді сукупності елементарних подій. Таку операцію прийнято називати декомпозицією. Зворотня операції, коли з множини елементарних подій утворюється одна складна подія, називається композицією. Обидві ці операції здійснюються за допомогою алгебри подій, операціями якої є: заперечення, множення та додавання.

Визначення 15. Запереченням (рос. отрицанием) події А називається нова подія Ā, яка істинна у тому випадку, коли подія А хибна (ложная), і хибна у тому випадку, коли подія А істинна.

Для пояснення скористаємося діаграмою Венна (рис. 1.1). Подія  (заперечення події А) складається з усіх точок простору подій, що не містяться в А (заштрихована область Е на рис. 1). Події А і  взаємно протилежні, тобто () = А (подія «не не хочу» означає «хочу»). До того ж ці події утворюють повну групу подій.

Рис. 1. Операція заперечення на діаграмі Венна.

Визначення 16. Об’єднанням або сумою подій А і В називаюється подія С, що полягає у появі події А або події В, або обох цих подій (якщо це можливо), інакше кажучи, у появі хоча б однієї із них:

C = А + В або С = А В.                             (1)

Заштриховані області на рис. 2 ілюструють суму подій (1).

  

           АВ                        АВ            АВ = А

Рис. 2. Сума подій на діаграмах Венна.

Визначення 17. Перерізом (рос. пересечением) або добутком (произведением) двох подій А і В називають подію С, яка полягає у сумісній появі цих подій, і позначають:

С = А  В  або  С = А × В.                                (2)

Рівність (3) ілюструє заштриховані області на діаграмах Венна (рис. 3).

          

         

AB=    AB = C               AB=B

Рис. 3. Добуток подій на діаграмі Венна

Висновки

На лекції 1 розглянуто предмет і основнв терміни, якими оперує теорія ймовір ностей та математична статистика. Проілюстровано події за характером та можливістю їх виникнення. Наведено алгебру подій, тобто дії, які можна виконувати над ними.

Завдання і питання для самоперевірки

1. Дати означення множини подій.

2. Привести основні форми представлення подій.

3. Привести означення операції обєднання подій і пояснити її сенс за допомогою діаграми Ейлера Венна.

4. Привести означення операції перетину подій і пояснити її сенс за допомогою діаграми Ейлера-Венна.

5. Привести означення порожньої події і розкрити її сутність.

6. Визначити доповнення до даної події, заданої на певному універсальному просторі.

7. У чому полягають комутативність, асоціативність та дистрибутивність властивості подій?

8. Розкрити сутність поняття дизюнктивна сума подій і показати її геометричний сенс.

Літературні джерела:

1. Руденко, В.М. Математична статистика [ТЕКСТ]: навчальний посібник / В.М. Руденко. – Київ: Центр учбової літератури, 2012. – 304 с.

2. Сигел, Э.Ф. Практическая бизнес-статистика [ТЕКСТ]: моно-графия / Э.Ф. Сигел. – М.: Вильямс, 2002. – 1056 с.

3. Игуменцева Н.В., Пахомов В.И. Статистический анализ результатов наблюдений [ТЕКСТ]: учебное пособие / Н.В. Игуменцева, В.И. Пахомов. – Харьков: СМИТ, 2005. – 236 с.

А

А

В

В

В

А

В

А

А

В

В

С


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52003. Групи слів за значенням: омоніми, синоніми, антоніми (загальне ознайомлення). 57.5 KB
  Групи слів за значенням: омоніми синоніми антоніми загальне ознайомлення. Мета уроку: поглибити знання учнів про групи слів за значенням; ознайомити їх з омонімами синонімами антонімами навчити школярів правильно застосовувати їх у текстах знаходити у реченнях доречно використовувати у мовленні; виховувати інтерес до усної народної творчості. Групи слів за значенням Групи слів Звукова форма Значення Приклади Омоніми Однакова зовсім різні Ласка тварина ласка матері Синоніми різна однакові або хуртовина близькі заметіль Антоніми...
52005. Буквы о - а в корне –гор- -гар- 53.5 KB
  Тип урока: изучение нового материала Ход урока 1. Мобилизирующий этап Цель: вспомнить правило с чередующими гласнымилаг лож раст рос кас кос; умение самостоятельно делать выводы сформулировать тему урока назвать цель урока обучение русскому языку средствами субъективизации Предпол.Формулирование темы и цели урока Назовите слова выделенные из каждого ряда.