15711

ВИЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ

Лекция

Математика и математический анализ

Дисципліна: МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ОПРАЦЮВАННЯ СПОСТЕРЕЖЕНЬ Модуль 2. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ Лекція 5. ВИЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ. План лекції 5: 5.1. Визначення випадкового експерименту та події. 5.2. Статистична сталість і клас...

Украинкский

2013-06-15

106 KB

5 чел.

Дисципліна: МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ОПРАЦЮВАННЯ

СПОСТЕРЕЖЕНЬ

Модуль 2. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

Лекція 5. ВИЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ.

План лекції 5:

5.1. Визначення випадкового експерименту та події.

5.2. Статистична сталість і класична ймовірність.

5.3. Ймовірнісний простір випадкових подій і операцій.

5.1. Визначення випадкового експерименту та події.

При науковому дослідженні різних технічних задач доводиться зустрічатися з явищами, які прийнято називати випадковими. Випадковим називається таке явище, яке при багатократному повторенні експерименту протікає кожного разу декілька інакше. Дослідженням випадкових явищ займається теорія вірогідності і математична статистика.

Теорія вірогідності є розділом математики, в якому вивчаються закономірності, властиві випадковим подіям. Випадкова подія – це результат випадкового експерименту. Кожним експериментом є деяка дія і спостереження за його результатом. Якщо результат експерименту не можна передбачити точно, то експеримент є випадковим. Таким чином, всі можливі результати такого експерименту є випадковими подіями.

При киданні шестигранного кубика – гральної кості – не можна точно передбачити, яке число випаде. У цьому випадковому експерименті може бути шість різних результатів. Кожен такий результат є випадковою подією. При стрілянині по мішені може бути дві випадкові події – попадання в ціль або промах. При вимірюванні температури може бути нескінченна множина результатів, розміщених в деякому числовому інтервалі.

Закономірності випадкових подій виявляються при масових випробуваннях. Наприклад, якщо п'ятдесят разів кинути монету, то герб випаде приблизно в половині експериментів. Назвемо випадання герба подією А. Нехай виконано п кидань монети, і при цьому герб випав пА разів. Величину пА називають частотою випадкової події А в серії з п повторних випробувань. Відношення пА/п називають відносною частотою події А і позначають Р*(А)= пА/п (Pprobability – ймовірність).

Якщо число кидань весь час збільшувати, то можна відмітити, що Р*(А) наближатиметься до значення 0,5, тобто

Р(А) = .                                 (1)

Ця межа називається вірогідністю випадкової події Р(А).

У експерименті – стрільбі по цілі – подією В назвемо ураження цілі при одному пострілі. Тоді, наприклад, можна отримати:

Р(В) = .                                           (2)

Вираз (2) називається статистичним визначенням вірогідності випадкової події, яка визначає міру об'єктивної можливості реалізації випадкової події при одному випробуванні. При практичному використанні цієї формули необхідно вирішити питання: яку найменшу кількість випробувань треба виконати, щоб значення відносної частоти можна було прийняти за значення вірогідності випадкової події (для підвищення точності визначення Р(В) слід збільшити числа випробувань).

Розглянемо декілька прикладів проведення випадкових експериментів.

Приклад 1. Хай здійснюється стрільба з гармати, встановленої під заданим кутом до горизонту. Користуючись методами зовнішньої баліс-тики, можна знайти теоретичну траєкторію польоту снаряда. Ця траєкторія в основному визначається умовами стрільби: початковою швидкістю снаряда, кутом метання снаряда і балістичним коефіцієнтом снаряда.

Фактична траєкторія кожного окремого снаряда відхиляється від теоретичної за рахунок сукупного впливу багатьох чинників. Такими чинниками є: помилки виготовлення снаряда, відхилення ваги заряду від номінала, неоднорідність структури заряду, помилки установки стволу в задане положення, метеорологічні умови і так далі.

Якщо зробити декілька пострілів за незмінних умов, то отримаємо не одну теоретичну траєкторію, а цілий пучок траєкторій, створюючий так зване «розсіювання снарядів».

Приклад 2. Нехай зважується одне й те ж тіло кілька разів на аналіти-чних вагах. Результати зважувань декілька відрізняються один від одного. Ці відмінності обумовлені впливом багатьох чинників, супроводжуючих операцію зважування, таких як положення тіла на чашці вагів, випадкові вібрації апаратури, помилки відліку показань приладу і так далі.

Приведені приклади підкреслюють випадкові варіації експерименту, основні умови яких залишаються незмінними. Ці варіації пов'язані з наявністю другорядних чинників, що впливають на результат експерименту. Основні умови експерименту зберігаються незмінними, а другорядні – міняються від експеримента до експерименту і вносять випадкові відмінності до результатів.

У природі немає жодного фізичного явища, в якому не були б присутні у тій чи іншій мірі елементи випадковості. Як би повно і точно не були фіксовані умови досліду, неможливо досягти того, щоб при повторенні експерименту результати їх в точності співпадали.

Випадкові відхилення неминуче супроводять будь-яке закономірне явище. Проте у ряді практичних задач цими випадковими елементами можна знехтувати, розглядаючи замість реального явища його спрощену «модель» і припускаючи, що в даних умовах досліду явище протікає цілком певним чином.

У моделі з незліченною множиною чинників, що впливають на дане явище, виділяються найголовніші, вирішальніші чинники, а впливом інших, другорядних чинників приходиться нехтувати. Така «модель» вивчення явищ часто застосовується у техніці, економіці та управлінні виробництвом.

Таким чином визначаються основні закономірності явища, що дозволяє передбачити результат досліду за заданими умовами. У міру розвитку науки кількість чинників, що враховуються, стає все більше, явище досліджується докладніше, науковий прогноз стає глибшим і точнішим.

5.2. Статистічна сталість і класична ймовірність.

Існування границі (предела) у формулі (2) називають статистичною стійкістю відносної частоти випадкової події В. Це означає, що подія В володіє вірогідністю Р(В)основною чисельною характеристикою випадкової події. Величина відхилення відносної частоти події від його вірогідності |Р*(В)Р(В)| залежить від числа випробувань п. Це відхилення було досліджено Я. Бернуллі в 1713 році у вигляді першої теореми закону великих чисел.

Слід підкреслити, що границя (межа) в формулі (2) не є звичайною межею, коли пв / п Р(В) і різниця (В) – пв / п| стає скільки завгодно малою при необмеженому зростанні п. В формулі (2) різниця |Р(В) – пв / п| може бути і не зовсім малою, але вірогідність великого відхилення відносної частоти від вірогідності події прямує до нуля із зростанням п. Таку межу називають межею по вірогідності. У цьому сенс теореми Я. Бернуллі.

Статистичну стійкість відносної частоти випадкової події В можна пояснити таким чином. У кожному випробуванні вірогідність випадкової події є незмінною, а сама подія В або відбувається, або не відбувається. У серії з п випробувань може відбутися пв < п випадкових подій В, тобто в цій серії відносна частота події В буде дорівнювати Р*(В) = пв / п.

В інших серіях дослідів з такокими же п випробуваннями відносні частоти будуть іншими. Але ці частоти матимуть близькі чисельні значення, які згрупуються навколо деякого центру, котрий є ймовірністю випадкової події В в одному випробуванні. Із збільшенням числа випробувань п в кожній серії відносні частоти тісніше групуються навколо вірогідності Р(В).

Підкреслимо, що в теорії вірогідності розглядаються тільки випадкові події, що володіють статистичною стійкістю. Очевидно, що існують випадкові події, які не володіють статистичною стійкістю. Наприклад, неможливо визначити вірогідність того, що наступний президент країни буде кристально чесним, мудрим і користуватиметься загальною повагою.

З визначення вірогідності випадкової події ясно, що вірогідність випадкової події Р позначається безрозмірним числом, що знаходиться у замкненому інтервалі між 0 і 1:

0 ≤ Р(А )≤ 1.                                                              (3)

Якщо ймовірність Р(В) = 1, то подія В називають достовірною. Якщо Р(С)= 0, то подія С називають неможливою. Іноді вірогідність виражається у відсотках між 0 % і 100 % включно. Якщо ймовірність P(D) = α << 1, то подію D називають практично неможливою. Якщо P(E) = 1 – α ( α << 1), то подію Е називають практично достовірною. Вибір малої величини α залежить від суті вирішуваних задач. У різних розділах теорії ймовірності існують свої погляди на можливість ігнорувати малоімовірні події. Найчастіше використовуються такі значення: α = 0,05; α = 0,01; α = 0,001.

Класична ймовірність. У простих випадках ймовірність можна визначити теоретично (комбінаторно), не проводячи випробувань. Ці випадки називають класичною моделлю ймовірністі. До них відносяться випадкові досліди, у яких кількість результатів кінцева. Всі результати є рівноможливими, тобто вони мають рівні ймовірності (кидання монети, вибір кулі з урни і інші).

Якщо загальна кількість цих результатів дорівнює n, то ймовірність кожного результату дорівнює 1/n. Всі можливі результати (випадкові події) можна позначати через А1, А2, …, Аn. Вони називаються елементарними подіями. Ймовірність будь-якої Ai  елементарної події дорівнює

Р(Ai) = 1/n.                                                                     (4)

Формула (4) є імовірнісною функцією Лапласа. Сукупність всіх елементарних випадкових подій А1, А2, ..., Аn називають повною групою для даного випадкового експерименту. Результатом випробування може бути тільки один результат. Тому події А1, А2, ..., Аn є несумісними.

Види випадкових подій. Деяка підгрупа елементарних подій, узята з повної групи А1, А2, ..., Аn, може володіти якою-небудь загальною ознакою, і ця підгрупа подій може бути об'єднана в деяку випадкову подію В. Очевидно, що вірогідність цієї події дорівнює

P(B) = nв/n = (1/n + 1/n + … + 1/n),                                  (5)

де пв – число елементарних подій, що володіють загальною ознакою.

Приклад 1. Нехай навмання (наугад) вибирається одна карта з колоди в 36 карт. У цьому експерименті 36 рівноможливих результатів – елементар-них подій. Для кожної карти вірогідність бути вийнятою дорівнює 1/36. Яка ймовірність вийняти короля Р(К)? У колоді 4 королі, 4 карти, що володіє ознакою «король», тобто є 4 сприятливих результату. Отже

P(K) = nк/n = 4/36 = l/9.                                                 (6)

Формулу (5) можна сформулювати так: вірогідність події В дорівнює відношенню числа сприятливих елементарних результатів до загального числа елементарних результатів. Нагадаємо, що всі елементарні результати рівноможливі. Якщо пА елементарних результатів відповідають події А, то решта nĀ = n – пА результатів відповідають події Ā (не А), протилежному А. Очевидно, що

P(Ā) = nĀ /n = (nnА)/n = 1 – P(А).                                 (7)

Повну групу елементарних подій розділимо на дві підгрупи: А і Ā, сума ймовірностей яких дорівнює

Р(А) + Р(Ā) = Р(А1) + Р(А2) +... + Р(Аn) = 1.                    (8)

До протилежної події Ā слід переходити, якщо А пов'язано з меншим числом елементарних подій. Наприклад, яка вірогідність Р(С) того, що вийнята карта не є ні королем, ні піковою дамою? Протилежна подія Ĉце король або пікова дама. Його ймовірність дорівнює

Р(Ĉ) = Р(К) + Р(Дпік) = 4/36 + 1/36 = 5/36.

Отже,

Р(С)= 1 – Р(Ĉ)= 1 – 5/36 = 31/36.

Ймовірності випадкових подій в класичній моделі, які розраховуються теоретично по формулі (5), можна отримати і експериментально з викорис-танням формули (2). Неодноразово проводилися досліди з киданням гральної кості або монети, які давали відносні частоти появи граней, близьких до 1/6, і герба, близьку до 0,5.

Таким чином, для визначення ймовірності подій можна користуватися як формулою (2), так і формулою (5). Формулу для класичної ймовірності можна використовувати для простих випадкових експериментів, коли відома повна група несумісних рівноможливих результатів.

Формулу для статистичної вірогідності (2) використовують після проведення серії повторних експериментів. Теорема Бернуллі стверджує, що отримана в цій серії дослідів відносна частота події може бути прийнята за вірогідність події.

Відхилення відносної частоти від ймовірності зменшується із збільшен-ням числа повторних випробувань, проте їх можна оцінити. Дуже важливою є необхідність дотримувати незалежність дослідів.

Якщо підрахунок класичної ймовірності не дуже складний, то знаходження статистичної ймовірності вимагає чималої роботи. У теорії ймовірності прямі експериментальні методи визначення ймовірності використовуються рідко. Набагато частіше використовують непрямі методи підрахунку ймовірності.

Зазвичай випадкова подія може бути представлена як сукупність або послідовність елементарних подій, ймовірність яких відома. При цьому слід чітко розрізняти, які події є залежними або незалежними, сумісними або несумісними, чи утворюють вони повну групу, чи є рівноможливими або протилежними.

Проте для вирішення багатьох питань статистичного оцінювання класична схема «точних наук» виявляється недостатньо пристосованою. Існують такі задачі, у яких результат експерименту залежить від такого великого числа чинників, що неможливо їх зареєструвати і врахувати.

У таких задач другорядні випадкові чинники грають помітну роль, а разом з тим число їх таке велике і врахувати їх так складно, що застосування класичних методів статистичного аналізу себе не виправдовує.

Всі подібні задачі вимагають вивчення не тільки основних закономірностей, що визначають явище у загальних рисах, але й аналізу випадкових збурень, котрі пов'язані з наявністю другорядних чинників і додають результату досліду за заданих умов елемент невизначеності.

Теоретично можна необмежено підвищувати точність рішення кожної задачі, враховуючи усі нові чинники: від найістотніших до самих малозначимих. Спроба ретельно проаналізувати вплив всіх чинників приводить до підвищення складності задачі і зниження точності її рішення.

Тому повинна існувати принципова різниця в методах обліку основних, вирішальних чинників, що визначають в головних рисах перебіг явища, і вторинних, другорядних чинників, що впливають на перебіг явища. Елемент невизначеності і збурення, притаманний випадковим явищам, вимагає створення спеціальних методів для вивчення цих явищ.

Практика показує, що по множині спостережень однорідних випадкових явищ можна виявити в них цілком певні закономірності, свого роду стійкості, властиві масовим випадковим явищам. Властивість «стійкості частот» виявляється при багатократному повторенні експерименту, результат якого представляється заздалегідь невизначеним, випадковим.

Розташування точок попадання виявляється приблизно симетричним щодо деякої центральної точки: у центральній області групи пробоїн вони розташовані густіше, ніж по краях; при цьому щільність пробоїн убуває по нормальному закону Гауса.

Закономірності масових явищ виявляються практично незалежними від індивідуальних особливостей окремих випадкових явищ, що входять в масу. Ці окремі особливості в масі як би взаємно погашаються і середній результат маси випадкових явищ виявляється практично вже не випадковим. Саме ця стійкість масових випадкових явищ служить базою для застосування імовірнісних методів дослідження.

Методи теорії ймовірності пристосовані тільки для дослідження масових випадкових явищ; вони не дають можливості передбачити результат окремого випадкового явища, але дають можливість передбачити середній сумарний результат маси однорідних випадкових явищ, передбачити середній результат маси аналогічних дослідів, конкретний результат кожного з яких залишається невизначеним, випадковим.

У всіх випадках, коли застосовуються імовірнісні методи дослідження, мета їх полягає в тому, щоб, минувши дуже складне (і часто практично неможливе) вивчення окремого явища, обумовленого великою кількістю чинників, звернутися безпосередньо до маси випадкових явищ.

Вивчення цих законів дозволяє не тільки здійснювати науковий прогноз в своєрідній області випадкових явищ, але у ряді випадків допомагає цілеспрямовано впливати на хід випадкових явищ, контролювати їх, обмежувати сферу дії випадковості, звужувати її вплив на практику.

Статистичний, метод в науці не протиставляє себе класичному, звичайному методу точних наук, а є його доповненням, що дозволяє глибше аналізувати явище з урахуванням властивих йому елементів випадковості.

5.3. Ймовірнісний простір випадкових подій та операцій.

Визначення. Сукупність усіх можливих реалізацій експерименту прийнято називати простором елементарних подій даного експерименту і позначають літерою Ω, а кожну конкретну реалізацію називають елементарною подією. Якщо всі ці реалізації можливо перелічити як Ω = 1, ω2, …, ωn} або Ω = 1, ω2, …}, то такий простір називається дискретним. Прикладом дискретного простору може бути сукупність подій підкидання монети: Ω = {Г, Р}, де Г – подія випадання гербу, Р – подія випадання решки.

Окрім елементарних подій існують так звані складні події. Сумісне виконання двох подій: А1 –  випадання парного числа очок, А2 число очок, що випаде, не перевищить трьох – запишуться відповідно

А1 = 2, ω4, ω6} та А2 = 1, ω2, ω3}.

Означення. У випадку скінченного або зчисленного (рос. счётного) простору елементарних подій подією А називається будь-яка підм-ножина А = і1, ωі2, …, ωik, …} простору елементарних подій A  Ω.

Здійснення будь-якої з елементарних подій, які входять до А, тягне зa собою здійснення події А: говорять, що подія А відбулася, якщо експеримент закінчився елементарною реалізацією ωi  А.

Якщо при кожному здійсненні експерименту, при якому відбувається подія А, відбувається також і подія В, то говорять, що подія А тягне за собою подію В і цю обставину позначають A  В, тобто подія А належить події В. Якщо подія А тягне за собою подію В і у той же час подія В тягне за собою подію А, то говорять, що події А і В рівносильні: тобто А = В.

Обєднанням (сумою) подій А та В назиється подія С = А υ В, яка відбувається тоді, коли наступає хоча б одна з подій А або В.

Перетином (добутком) подій А та В називається подія С = А ∩ В, яка відбудеться тоді, коли відбудеться і подія А, і подія в одночасно.

Різницею двох подій А і В називається така подія С = А \ В, яка полягає у тому, що відбувається подія А і не відбувається подія В.

Подія Ā називається додатковою (доповненням) до події А, якщо вона відбувається кожен раз, коли не відбувається подія А. Події А і Ā називаються протилежними подіями.

Симетричною різницею подій А і В називається подія С = A  В, в яку входять ті елементарні події, що входять або в А, або в В, але не входять до їх перетину: A  В = (A \ В)∩(В \ A).

Дві події А і В називаються несумісними, якщо настання однієї з них виключає настання іншої. Очевидно, якщо події А і В несумісні, то їх перетин є неможливою подією: А ∩ В = .

Події А1, А2, …, Аn утворюють повну групу подій, якщо в результаті експеринекту неодмінно відбудеться хоча б одна з них. В цьому випадку їх сума  є достовірною подією. Наприклад, подія Ā несумісна з подією А і разом з нею утворює повну групу.

З означень дій над подіями випливають властивості операцій над подіями. Очевидно, що для будь-яких подій А і В справедливі наступні співвідношення:

1. А υ Ω = Ω, А υ = А, А υ А = А.

2. А ∩ Ω = Ω, А  = , А ∩ А = А.

З.  = А, , .

4. А\В = .

5. ДаВ-Д^В, ДиВ-ДпВ – ці формули називаються принципом подвійності, або формулами де Моргана.

6.  Ди 8 •• В uА, Д а 0 * В аД – комутативність операцій об'єднання та перетину.

7. Ди(виО-И^ЧиСДт^(вАі}»(ДАВ)АС^» – асоціативність операцій об'єднання та перетину.

8. Д u^nQ ■ (ДиЦ о И^О – дистрибутивність операцій об'єднання відносно перетину.

9. ДпЦЮС) ш (ДАв)и(ДпС) – дистрибутивність операції перетину відносно об'єднання.

Літературні джерела:

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М. : Наука, 1964. – 576 с.

2. Игуменцева Н.В., Пахомов В.И. Статистический анализ результатов экспериментов и наблюдений: Учебное пособие. – Харьков: ООО «Компания СМИТ», 2005. – 236 с.

3. Пономарьов О.С. Нечеткие множества в задачах автоматизированного управления и принятия решений: Навчальний посібник. – Харків: НТУ «ХПІ», 2005. – 232 с.

4. Суходольский Г.В. Математика для гуманитариев. – Харьков: Изд-во Гуманитарный центр, 2007. – 256 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26513. Основные этапы социально-экономического развития Японии 32 KB
  в руках США. цель – подписание мирного договора сделанного в США и АНГ. договоры как сепаратные м у США и Я. тут же подписан договор безопасности м у Я и США.
26514. Основные этапы социально-экономического и политического развития Индии в 1950 – 2000 гг. 55 KB
  Существенным элементом внешней политики ИНК стали неприсоединение к военным блокам и стремление к консолидации молодых независимых государств. Критике подверглась позиция ИНК в социальных вопросах. В ИНК существовали различные группировки отражавшие несовпадающие интересы социальных слоев связанных с этой партией от крупных капиталистов и землевладельцев до интеллигенции мелкой буржуазии города и деревни трудящихся масс. В этом многообразии коренились и сила общенациональный авторитет ИНК и его внутренняя слабость.
26515. Валютный рынок Украины 34.05 KB
  В сфере валютной политики Национальный банк ставит задачу иметь реальный курс украинской гривны относительно свободно конвертируемых валют на уровне сбалансированности спроса и предложения. Для решения этой задачи и упорядочения ситуации на валютном рынке
26516. Основные направления отечественной и зарубежной историографии 43.5 KB
  Барг, Лавровский: уникальная особенность Англии в том, что она является ед. в Европе страной где развитие буржуазных отношений происходило одновременно в городе и деревне. Именно в деревне кап. Отношения развились более глубоко, именно из деревни шел импульс. Центр тяжести АБР лежал в деревне.
26517. Аграрный вопрос в Великой английской и Великой французской революциях 38.5 KB
  До революции в английской деревни было 2 формы собственности: крестьянская копигольд и буржуазнодворянская рыцарское держание. Революции лекция – феодализма ко времени ВФР уже не было. Эта идея поддержана целым течением яркий представитель Фюре – феодализм как таковой во Франции исчез до революции. необходимости в революции не было.
26518. Основные проблемы и особенности войны северо-американских колоний Англии за независимость и образование США 45.5 KB
  Северовосточные колонии новая Англия – территории с ранним развитием ремесел мануфактуры судостроение и судоходство рыболовство. Это колонии которые пошли по буржуазному пути. Среднеатлантические колонии. Южные колонии плантации основанные на труде рабов.
26519. Дискуссии в отечественной и зарубежной историографии о периодизации ВФ буржуазной революции, ее характере, движущих силах и итогах 44 KB
  Ленин развил мысли Маркса и Энгельса; показал решающую роль крестьянства и плебейского элемента городов в победе революции высоко оценил роль якобинцев и диктатуры. революции роль перешла к историкам радикального направления. атлантической революции.
26520. Проблемы якобинской диктатуры в историографии 34 KB
  Якобинцы: Террор декрет о подозрительных каждый кто своими делами помыслами мешает революции подлежит суду в лице революционного трибунала Якобинцам нужно накормить город установить республику Закон о реквизициях обещали в будущем заплатить оставляли только семейный запас. принудительный займ у богачей в 1млрд франков Вся нация мобилизовалась до полной победы революции Попытка ввести новую религию. Революции восходящей линии см. 20 века стали задаваться вопросом о классовой природе революции чьи интересы она...