15713

ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ І ФОРМУЛИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Лекция

Математика и математический анализ

Дисципліна: МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ОПРАЦЮВАННЯ СПОСТЕРЕЖЕНЬ Модуль 2. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ПРИКЛАДНОЇ СТАТИСТИКИ Лекція 7: ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ І ФОРМУЛИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ План лекції 5: 7.1. Теорема додавання ймовірностей подій. 7.2. Теорема множення ймовірностей по...

Украинкский

2013-06-15

97.5 KB

23 чел.

Дисципліна: МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ОПРАЦЮВАННЯ

СПОСТЕРЕЖЕНЬ

Модуль 2. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ПРИКЛАДНОЇ СТАТИСТИКИ

Лекція 7: ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ І ФОРМУЛИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

План лекції 5:

7.1. Теорема додавання ймовірностей подій.

7.2. Теорема множення ймовірностей подій.

7.3. Формула повної ймовірності і формула Байєса.

7.1. Теорема додавання ймовірностей подій.

Як вже було зазначено, існують два основних способи визначення поняття ймовірності: 1) за класичною формулою ймовірність зводиться до комбінаторної схеми випадків; 2) за статистичною формулою ймовірність зводиться до частоти події, яка до схеми випадків не зводиться.

Проте не ці способи вважаються основними в теорії ймовірності: їх застосування не завжди можливо. Коли подія зводиться до схеми випадків, ця схема може бути дуже складна, і безпосередній підрахунок ймовірності по формулам стає надмірно громіздким.

Для подій, що не зводяться до комбінаторної схеми випадків, їх ймовірність лише в окремих випадках визначається безпосередньо по частотах. На практиці часто доводиться визначати вірогідність подій, безпосереднє експериментальне відтворення яких утруднене.

Якщо потрібно визначити ймовірність поразки літака, то визначення цієї ймовірності по частоті практично неможливе. І не тільки тому, що такі досліди надмірно дорогі, а тому, що потрібно оцінити результату бою для зразків техніки, які ще тільки проектуються. Така оцінка проводиться для того, щоб виявити раціональні конструктивні параметри елементів створюваної техніки.

Тому для визначення ймовірності подій застосовуються не безпосередні прямі методи, а непрямі, такі, що дозволяють по відомій ймовірності одних подій визначати ймовірність інших подій, з ними зв'язаних. Вся теорія ймовірності, в основному, є системою таких непрямих методів, застосування яких дозволяє звести необхідний експеримент до мінімуму.

Застосування непрямих методів базується на використанні основних теорем теорії ймовірності. Таких теорем існує дві: теорема додавання ймовірностей і теорема множення ймовірностей. Перед формулюванням теорем, введемо поняття суми подій і добутку подій.

У багатьох точних науках застосовуються символічні операції над різними об'єктами, які отримують свої назви по аналогії з арифметичними діями, властивостями яких вони володіють. Такі, наприклад, операції складання і множення матриць в алгебрі і так далі.

Сумою двох подій А і В називається подія С, котра полягає у виконанні події А або події В, або обох разом. Наприклад, якщо подія А – попадання в ціль при першому пострілі, подія В – попадання в ціль при другому пострілі, то подія С = А + В є попадання в ціль при будь-якому пострілі – при першому, при другому або при обох разом.

Якщо події А і В несумісні, то поява обох цих подій разом відпадає, і сума подій А і В зводиться до появи або події А, або події В. Наприклад, якщо подія А – поява карти червової масті при вийманні карти з колоди, подія В – поява карти бубнової масті, то С = А + В є поява карти червоної масті, байдуже – червової або бубнової. Отже, сумою двох  подій А і В називається подія С, що полягає в появі хоч би однієї з подій А і В.

Теорема 1 (теорема додавання або суми ймовірностей несумісних подій). Ймовірність об’єднання двох несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей, тобто якщо події А ∩ В = , то ймовірність подій

Р(А или В) = Р(А U В) = Р(А) + Р(В).                              (1)

Приклад 1. В урні 8 білих, 5 синіх і 2 червоних кулі. Яка ймовірність того, що вийнята куля буде синього або червоного кольору?

Рішення. Нехай подія А полягає у тому, що вийнята синя куля, а подія В – вийнято червону кулю. Тоді Р(А) = 5/15, Р(В) = 2/15. Подія А + В означає, що винуто кулю синього або червоного кольору. Оскільки подія А і В несумісні, то ймовірність події А + В обчислюється за формулою:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 5/15 і 2/15 = 5/15.

Теорема 2 (теорема додавання або суми ймовірностей сумісних подій). Якщо події А і В перетинаються: А ∩ В ≠ , то ймовірність об’єднання цих двох подій дорівнює співвідношенню

Р(А или В) = Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ),                         (2)

де А і В – підмножини простору елементарних подій, Р(АВ) – ймовірність добутку подій А і В.

Звернімо увагу на те, що формула (1) випливає з формули (2). Дійсно, якщо подія А і В несумісні, то їх добуток АВ є неможливою подією, а тому Р(АВ) = 0 і формула (2) перетворюється в формулу (1).

Приклад 2. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі для першого стрілка дорівнює 0,8, для другого – 0,7. Ймовірність добутку подій того, що обидва стрільці з першого постріла влучать в мішень, дорівнює 0,56. Знайдіть ймовірність того, що обидва стрілка не влучать.

Рішення. Нехай подія А означає влучення першого стрілка, а подія В – влучення другого. За умовою Р(А) = 0,8; Р(В) = 0,7; Р(АВ) = 0,56. Розглянемо подію А + В, котра означає, що хоча б один з стрілків влучив у мішень. Ймовірність такого влучення обчислюється за формулою:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,8 + 0,7 – 0,56 = 0,94.

Нехай подія С означає промах обох стрільців. Тоді С і А + В являють собою протилежні події, а тому

Р(С) = 1 – Р(А + В) = 1 – 0, 94 = 0,06.

5.2. Теорема множення ймовірностей подій.

Перед викладенням теореми множення ймовірностей введемо поняття  незалежності і залежності подій. Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того, чи здійснилася подія В чи ні. Подія А називається залежною від події В, якщо ймовірність події А змінюється від  залежить від того, чи здійснилася подія В чи ні.

Ймовірність події А, обчислена при умові, що мала місце інша подія В, називається умовною ймовірністю події А і позначається Р(А/В). Інакше кажучи, умовною ймовірністю Р(А/В) називається ймовірність А, знайдена за умови, що здійснилася подія В.

Добутком двох подій А і В називається подія С, котра полягає в сумісному виконанні події А і події В. Наприклад, якщо подія А – поява туза при вийманні карти з колоди, подія В – поява карти бубнової масті, то подія С = АВ є поява бубнового туза.

Для сумісних подій справедлива теорема множення ймовірностей: «Ймовірність появлення складної події, яка полягає у тому, що відбулися  сумісно дві події А і В, дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої за умови, що перша подія вже відбулася»

Р(А і В) = Р(А)Р(В/А) = Р(В) Р(А/В),                            (3)

де Р(А/В) – умовна ймовірність події А за умови, що подія В вже здійснена.

Умовною ймовірністю Р(А/В) називають ймовірність події А, знайдену у припущені, що подія В вже відбулася. Якщо ймовірність події В відмінна від нуля, то справедлива формула

Р(А/В) = Р(А і В)/Р(В)                                                      (4)

або                              Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В).                                                        (5)

Для незалежних подій А і В умовні ймовірності становляться безумовними

Р(А) = Р(В/А);   Р(В) = Р(А/В),

а формула (3) для незалежних подій матиме вигляд

Р(А і В) = Р(А)Р(В).                                                          (6)

Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірности однієї з них на умовну ймовірність іншої:

Р(АВ) = Р(В)×Р(А/В),   Р(АВ) = Р(А)× Р(В/А).                    (7)

Приклад 3. Із 36 карт вибирають одну. Подія А – вибір карти червонної масті, подія В – вибір дами. Знайти ймовірностй Р(А), Р(В), Р(А/В), Р(В/А).

Рішення. Половина з 36 карт має червону масть, тому Р(А) = ½. Оскільки в колоді є 4 дами, то Р(В) = 1/9. Число Р(А/В) являє собою ймовірність того, що вибрана з колоди дама має червону масть. Число усіх дам в колоді дорівнює 4, з них 2 червоної масти, тому Р(А/В) = ½. Таким  чином, знаходимо, що Р(В/А) = 1/9 (серед 18 карт червоної масти 2 дами).

При користуванні поняттями суми і добутку подій часто виявляється корисною наочна геометрична інтерпретація цих понять (рис. 1, а і рис. 1, б). На рис. 1 наочно проілюстровані поняття суми і добутку двох подій. Якщо подія А є попадання точки в область А, відповідно подія В – попадання в область В, то подією А + В є попадання в область, заштриховану на рис. 1.

Рис. 1. Інтерпретація суми і добатку двох подій

Методом математичної індукції можна розширити придатність формули (7) на будь-яке число подій. Ймовірність добутку трьох залежних подій А, В, С обчислюється за формулою

Р(А і В і С) = Р(А)×Р(В/А)×Р(С/А і В)                         ()

Р(АВС) = Р(А)×Р(В/А)×Р(С/АВ),                             (8б)

а для чотирьох подій вона має вигляд

Р(АВСD) = Р(А)×Р(В/А)×Р(С/АВ)×Р(D/АВC),                       (9)

Для незалежних подій Р(В) = Р(В/А), Р(С/А і В) = Р(С), і тому

Р(А і В і С) = Р(А)Р(В)Р(С).                                        (10)

Приклад 4. Студент підготував до заліку 21 питання з 25. Яка ймовірність того, що студент відповість на три питання?

Рішення. Позначимо відповідь на перше питання А1, відповідь на друге питання А2, на третє питання A3. Оскільки події А1, А2, A3 залежні, то маємо такі ймовірності

Р(А1) = 21/25; Р(А21) = 20/24; Р(А32 и А1) =  19/23. Звідки

Р(А1 і А2 і А3) = Р(А1)×Р(А21)×Р(А32 і А1) =

= (21/25)×(20/24)×(19/23) = 0,58.

Приклад 5. З одинадцяти літер складено слово В И Д А В Н И Ц Т В О. З них вибирають по черзі три літери і приставляють праворуч одна до одної. Яка ймовірність того, що буде отримано слово В И Д?

Рішення. Введемо події В, И, Д, котрі полягають у тому, що першою вибраною літерою є літера В, другою – є И, а третьою – Д. Нам необхідно знайти ймовірність добутку цих подій. Згідно формуль (8б) матимемо:

Р(В і И і Д) = Р(В)×Р(И/В)×Р(Д/ВИ) = (2/11)×(2/10)×(1/9) = (2/495).

Р(ВИД) = Р(В)Р(И/В)Р(Д/ВИ) = (2/11)(2/10)(1/9) = (2/495).

5.3. Формула повної ймовірності і формула Байєса.

У багатьох дослідженнях зустрічається ситуація, коли деяка випадкова подія А може відбутися тільки з однією з несумісних подій H1, Н2, ..., Нn, які загалом створюють повну групу подій. Тоді ймовірність події А дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з подій H1, Н2, ..., Нn на відповідну умовну ймовірність події А. Використовуючи теореми додавання і множення ймовірності, можна записати

Р(А) = Р[(А і Н1) абоі Н2) або ... абоі Нn)] =

= Р(А і Н1) + Р(А і Н2) + ... + Р(А і Нn) =

= Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) + … + Р(Нn)Р(А/Нn) =

= ,                                                                          (11)

де Р(Ні) – ймовірність події Ні, Р(А/Ні) – умовна ймовірність події А у випадку, якщо подія Ні вже відбулася.

Отримана формула для ймовірностіі події А називається формулою повної ймовірності. Щоб знайти ймовірність Р(А), треба знати ймовірності подій H1, Н2, ..., Нn (їх називають гіпотезами) і умовні ймовірності Р(А/Ні), тобто ймовірності події А при реалізації гіпотези Ні.

Якщо число гіпотез дорівнює двом, то вони є протилежними подіями і називаються альтернативами. В цьому випадку формула повної ймовірності набуває вигляд:

Р(А) = Р(Н1)×Р(А/Н1) + Р(Н2)×Р(А/Н2).

Запишемо теорему множення ймовірностей для події А і однієї з гіпотез Ні у вигляді:

Р(А і Н) = Р(А)Р(Ні/А)  Р(Ні)Р(А/Ні).

З цього співвідношення знаходимо умовну ймовірність Р(Ні/А) реа-лізації гіпотези Ні за умови, що подія А вже відбулася

Р(Ні/А) = [Р(Ні)Р(А/Ні )]/Р(А).                             (12)

Отримана формула дозволяє переоцінити апріорну (початкову, доопытную) ймовірність гіпотези Р(Ні), тобто після випробування, в якому подія А відбулася, можна обчислити нову апостеріорну (послеопытную) ймовірність гіпотези Р(Ні/А).

Якщо в формулу (12) підставити формулу (11) для повної ймовірності події А, то отримаємо формулу Байєса:

Р(Ні/А) = [Р(Ні)Р(А/Ні )]/[].                           (13)

Приклад 6 щодо повної ймовірності. Існують три однакові урни; у першій урні дві білі і одна чорна кульки; у другій – три білих і одна чорна кульки; у третій – дві білі і дві чорні кульки. Хтось вибирає навмання одну з урн і виймає з неї кульку. Знайти ймовірність того, що вийнята кулька біла.

Рішення. Розглянемо три гіпотизи: Н1 – вибір першої урни; Н2 – вибір другої урни; Н3 – вибір третьої урни і подію А – вибір білої кульки.

Оскільки гіпотизи відповідно умов задачі рівноможливі, то маємо

Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1/3.

Умовні ймовірності події А при цих гіпотизах дорівнюють:

Р(А/Ні) = 2/3;  Р(А/Н2) = ¾;  Р(А/Н3) = ½.

За формулою повної ймовірности

Р(А) = Р(Ні)Р(А1) + Р(Н2)Р(А2) + Р(Н3)Р(А3) =

= (1/3)(2/3) + (1/3)(3/4) = (1/3)(1/2) = 23/36.

Приклад 7 використання формули Байєса. Число вантажівок, що проїжджають повз бензоколонку, відноситься до числа проїжджаючих там же легковиків як 3:2. Ймовірність, що заправлятиметься вантажівка, дорівнює 0,1; для легковиків ця ймовірність дорівнює 0,2. На заправку підїхала машина. Знайдіть ймовірність того, що машина, котра під’їхала на заправку, є вантажівка.

Рішення. Нехай подія А полягає у тому, що проїжджаюча машина зупинилася на заправку, а гіпотизи: Н1 та Н2 відповідно означають, що проїжджаюча машина відповідно є вантажівка або легковик. Необхідно зна-йти ймовірність Р(Н1/А). З умови задачі випливає, що Р(Н1) = 0,6; Р(Н2) = 0,4; Р(А/Н1) = 0,1; Р(А/Н2) = 0,2. По формулі повної ймовірності знаходимо

Р(А) = Р(А/Н1)Р(Н1) + Р(А/Н2)Р(Н2) = 0,6×0,1 + 0,4×0,2 = 0,14.

Далі слід скористатися формулою Байєса:

Р(Н1) = Р(А/Н1)Р(Н1)/Р(А) = 0,6×0,1/0,14 = 3/7.

Приклад 8 використання формули Байєса. На трьох підприємствах виготовляються прилади одного типу. Перше підприємство виготовляє 60%, друге – 30%, треттє – 10% приладів. Позначимо через Н1, Н2, Н3 – події виготовлення приладів відповідно на першому, другому і третьому підприєм-ствах. Вірогідність справної роботи приладів першого підприємства дорівнює 0,98, другого – 0,99, третього – 0,96. Визначимо ймовірність того, що в зібрану пертію справних приладів увійшли відповідно прилади першого підприємства, другого і третього.

Формула Байєса використовується тоді, коли подія А з'являється спільно з якою-небудь повною групою несумісних подій Н1, Н2 ..., Нп. Після того, як подія А відбулася, потрібно кількісно переоцінити ймовірність подій Н1, Н2, ..., Нп. При цьому відомі апріорні (до досвіду) ймовірності Р(Н1), Р(Н2).....Р(Нп). Потрібно визначити ймовірністі після досліду (апостеріорні).

Апостеріорні ймовірності являють собою умовні ймовірності Р(Н1 /А), Р(Н2 /А), ..., Р(Нп /А). Ймовірність сумісного настання події А з будь-якою з альтернативних подій Ні згіно теореми множення дорівнює:

P(AНi) = P(A)P(Hi /A) = P(Hi)P(A /Hi).

Если Р(А) ≠ 0, то Р(Hi /A) = [P(Hi)P(A /Hi)]/[P(A)].

Якщо цю формулу поєднати з формулою повної ймовірности, то мати-мемо відому формулу Байєса:

Р(Ні/А) = [Р(Ні)Р(А/Ні)]/[].

Рішення. Введемо такі позначення:

А – подія, котра полягає в тому, що виріб справний;

Р(А) – повна вірогідність того, що виріб справний;

Р(Н1), Р(Н2/А), Р(Н3/А)умовні ймовірності того, що справний вироб виготовлено на першому, другому і третьому підприємствах;

Р(А1), Р(А2), Р(А3)- умовні ймовірності того, що вироб, виготовлений на першому, другому і третьому підприємствах, справний;

Р(Н1), Р(Н2), Р(Н3)- ймовірності того, що вироб виготовлений відповідно на першому, другому і третьому підприємствах.

Відомі ймовірності: Р(А1) = 0,98; Р(А2) = 0,99; P(A3) = 0,96; Р(Н1) = 0,60; Р(Н2) = 0,30; Р(Н3) = 0,10.

Потрібно визначити ймовірності: Р(А), Р(Н1/А), Р(Н2/А), Р(Н3/А).

1. Обчислення повної вірогідності того, що вироби, прибулі з різних підприємств, справні:

Р(А) = Р(Н1) Р(А/Н1) + Р(Н2) Р(А/Н2)+ Р(Н3) Р(А/Н3) =

= 0,6×0,98 + 0,3×0,99 + 0,1×0,96 = 0,981.

2. Обчислення умовних ймовірностей того, що в партію справних потрапили вироби першого, другого і третього підприємств відповідно:

Р(Н1/А) = Р(Н1) Р(А/Н1)/Р(А) = (0,0,98)/0,981 = 0,599;

Р(Н2/А) = Р(Н2) Р(А/Н2)/Р(А) = (0,3×0,99)/0,981 = 0,303;

Р(Н3/А) = Р(Н3) Р(А/Н3)/Р(А) = (0,1×0,96)/0,981 = 0,098.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80223. Социальные нормы и отклонения 88.5 KB
  В социологии отклоняющееся поведение называют девиантным. Этот термин употребляется в отечественной социологии в двух основных смыслах – широком и узком. В широком смысле термин девиантность означает любое отклонение от принятых в обществе социальных норм, начиная с самых незначительных, и кончая самыми серьезными, вплоть до убийства.
80224. Культура общества 49.5 KB
  Один из вариантов определения культуры может быть таким: культура – это поведение, присущее специфически человеку разумному, рассматриваемое в неразрывной связи с материальными объектами, используемыми как орудийная часть этого поведения
80225. Концепция стратификации общества 85 KB
  Полагая что Маркс чересчур упростил картину стратификации Вебер утверждал что в обществе существуют и другие линии раздела которые не зависят от классовой принадлежности или экономического положения и предложил многомерный подход к стратификации выделив три измерения: класс экономическое положение статус престиж и партию власть. Престиж – авторитет Влияние уважение в обществе степень которых соответствует определенному социальному статусу. Поэтому один из самых эффективных методов показа благосостояния – большие затраты на...
80226. Социальный статус 41.5 KB
  Социальная мобильность В системе стратификации индивиды или группы могут перемещаться с одного уровня слоя на другой. Этот процесс называется социальной мобильностью. Социальное неравенство предполагает различия в распределении благ и ответственности а социальная стратификация – структурированную систему неравенства социальная мобильность проявляется в движении индивидов или групп от одного социального статуса к другому. Вертикальная мобильность – изменение положения индивида которое вызывает повышение или понижение его социального...
80227. Технология создания видеофильма. Линейный и нелинейный монтаж 60 KB
  Снимаемый или съемочный кадр несколько длиннее того который будет виден на экране после монтажа фильма этот кадр называют монтажным. План составляется после тщательного ознакомления со всем снятым материалом и определения основной концепции монтажа фильма отсюдато название: план монтажа фильма. она является лишь элементом упорядочивающим готовый но еще сырой материал раньше всего в процессе монтажа фильма. Длинным может быть рабочий материал для просмотра или хранения в архиве а фильм должен быть кратким лаконичным лемким по...
80228. Аудио форматы на DVD 405.5 KB
  Аудио мир захвачен CD благодаря их высокой практичности и низкой цене а видео переходит от VHS кассет на DVD. Но музыкальная индустрия и DVD Forum предпочитают универсальный формат они желают продавать наши любимые альбомы на DVD так и появился формат DVD аудио. С технической точки зрения DVD имеет больший объем чем CD.
80229. Современные форматы видео 988.5 KB
  Аналоговый видеосигнал включает в себя несколько различных компонентов, объединенных в единое целое. Такой составной видеосигнал малопригоден для оцифровки. Предварительно его следует разделить на так называемые базовые компоненты. Обычно компоненты представляют собой три различных сигнала, соответствующие определенной модели представления цветового пространства
80230. Алгоритм сжатия видео. Основные особенности MPEG 160 KB
  Сначала все цветовое пространство кадра преобразуется из RGB в YCbCr. Необходимость этого преобразования заключается в том, что глаз более чувствителен к яркости цвета, чем к его оттенку. Y - это величина яркости цвета, а Cb и Cr - цветовые величины, определяющие оттенок и насыщение цвета (они определяют количество синей и красной составляющих в цвете).
80231. СРЕДСТВА МУЛЬТИМЕДИА 94.5 KB
  Мультимедиа это интерактивные системы обеспечивающие работу с неподвижными изображениями и движущимся видео анимированной компьютерной графикой и текстом речью и высококачественным звуком. Появление систем мультимедиа безусловно производит революционные изменения в таких областях как образование компьютерный тренинг во многих сферах профессиональной деятельности науки искусства в компьютерных играх и т. Появление систем мультимедиа подготовлено как с требованиями практики так и с развитием теории.