15713

ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ І ФОРМУЛИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Лекция

Математика и математический анализ

Дисципліна: МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ОПРАЦЮВАННЯ СПОСТЕРЕЖЕНЬ Модуль 2. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ПРИКЛАДНОЇ СТАТИСТИКИ Лекція 7: ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ І ФОРМУЛИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ План лекції 5: 7.1. Теорема додавання ймовірностей подій. 7.2. Теорема множення ймовірностей по...

Украинкский

2013-06-15

97.5 KB

25 чел.

Дисципліна: МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ОПРАЦЮВАННЯ

СПОСТЕРЕЖЕНЬ

Модуль 2. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ПРИКЛАДНОЇ СТАТИСТИКИ

Лекція 7: ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ І ФОРМУЛИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

План лекції 5:

7.1. Теорема додавання ймовірностей подій.

7.2. Теорема множення ймовірностей подій.

7.3. Формула повної ймовірності і формула Байєса.

7.1. Теорема додавання ймовірностей подій.

Як вже було зазначено, існують два основних способи визначення поняття ймовірності: 1) за класичною формулою ймовірність зводиться до комбінаторної схеми випадків; 2) за статистичною формулою ймовірність зводиться до частоти події, яка до схеми випадків не зводиться.

Проте не ці способи вважаються основними в теорії ймовірності: їх застосування не завжди можливо. Коли подія зводиться до схеми випадків, ця схема може бути дуже складна, і безпосередній підрахунок ймовірності по формулам стає надмірно громіздким.

Для подій, що не зводяться до комбінаторної схеми випадків, їх ймовірність лише в окремих випадках визначається безпосередньо по частотах. На практиці часто доводиться визначати вірогідність подій, безпосереднє експериментальне відтворення яких утруднене.

Якщо потрібно визначити ймовірність поразки літака, то визначення цієї ймовірності по частоті практично неможливе. І не тільки тому, що такі досліди надмірно дорогі, а тому, що потрібно оцінити результату бою для зразків техніки, які ще тільки проектуються. Така оцінка проводиться для того, щоб виявити раціональні конструктивні параметри елементів створюваної техніки.

Тому для визначення ймовірності подій застосовуються не безпосередні прямі методи, а непрямі, такі, що дозволяють по відомій ймовірності одних подій визначати ймовірність інших подій, з ними зв'язаних. Вся теорія ймовірності, в основному, є системою таких непрямих методів, застосування яких дозволяє звести необхідний експеримент до мінімуму.

Застосування непрямих методів базується на використанні основних теорем теорії ймовірності. Таких теорем існує дві: теорема додавання ймовірностей і теорема множення ймовірностей. Перед формулюванням теорем, введемо поняття суми подій і добутку подій.

У багатьох точних науках застосовуються символічні операції над різними об'єктами, які отримують свої назви по аналогії з арифметичними діями, властивостями яких вони володіють. Такі, наприклад, операції складання і множення матриць в алгебрі і так далі.

Сумою двох подій А і В називається подія С, котра полягає у виконанні події А або події В, або обох разом. Наприклад, якщо подія А – попадання в ціль при першому пострілі, подія В – попадання в ціль при другому пострілі, то подія С = А + В є попадання в ціль при будь-якому пострілі – при першому, при другому або при обох разом.

Якщо події А і В несумісні, то поява обох цих подій разом відпадає, і сума подій А і В зводиться до появи або події А, або події В. Наприклад, якщо подія А – поява карти червової масті при вийманні карти з колоди, подія В – поява карти бубнової масті, то С = А + В є поява карти червоної масті, байдуже – червової або бубнової. Отже, сумою двох  подій А і В називається подія С, що полягає в появі хоч би однієї з подій А і В.

Теорема 1 (теорема додавання або суми ймовірностей несумісних подій). Ймовірність об’єднання двох несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей, тобто якщо події А ∩ В = , то ймовірність подій

Р(А или В) = Р(А U В) = Р(А) + Р(В).                              (1)

Приклад 1. В урні 8 білих, 5 синіх і 2 червоних кулі. Яка ймовірність того, що вийнята куля буде синього або червоного кольору?

Рішення. Нехай подія А полягає у тому, що вийнята синя куля, а подія В – вийнято червону кулю. Тоді Р(А) = 5/15, Р(В) = 2/15. Подія А + В означає, що винуто кулю синього або червоного кольору. Оскільки подія А і В несумісні, то ймовірність події А + В обчислюється за формулою:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 5/15 і 2/15 = 5/15.

Теорема 2 (теорема додавання або суми ймовірностей сумісних подій). Якщо події А і В перетинаються: А ∩ В ≠ , то ймовірність об’єднання цих двох подій дорівнює співвідношенню

Р(А или В) = Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ),                         (2)

де А і В – підмножини простору елементарних подій, Р(АВ) – ймовірність добутку подій А і В.

Звернімо увагу на те, що формула (1) випливає з формули (2). Дійсно, якщо подія А і В несумісні, то їх добуток АВ є неможливою подією, а тому Р(АВ) = 0 і формула (2) перетворюється в формулу (1).

Приклад 2. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі для першого стрілка дорівнює 0,8, для другого – 0,7. Ймовірність добутку подій того, що обидва стрільці з першого постріла влучать в мішень, дорівнює 0,56. Знайдіть ймовірність того, що обидва стрілка не влучать.

Рішення. Нехай подія А означає влучення першого стрілка, а подія В – влучення другого. За умовою Р(А) = 0,8; Р(В) = 0,7; Р(АВ) = 0,56. Розглянемо подію А + В, котра означає, що хоча б один з стрілків влучив у мішень. Ймовірність такого влучення обчислюється за формулою:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = 0,8 + 0,7 – 0,56 = 0,94.

Нехай подія С означає промах обох стрільців. Тоді С і А + В являють собою протилежні події, а тому

Р(С) = 1 – Р(А + В) = 1 – 0, 94 = 0,06.

5.2. Теорема множення ймовірностей подій.

Перед викладенням теореми множення ймовірностей введемо поняття  незалежності і залежності подій. Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того, чи здійснилася подія В чи ні. Подія А називається залежною від події В, якщо ймовірність події А змінюється від  залежить від того, чи здійснилася подія В чи ні.

Ймовірність події А, обчислена при умові, що мала місце інша подія В, називається умовною ймовірністю події А і позначається Р(А/В). Інакше кажучи, умовною ймовірністю Р(А/В) називається ймовірність А, знайдена за умови, що здійснилася подія В.

Добутком двох подій А і В називається подія С, котра полягає в сумісному виконанні події А і події В. Наприклад, якщо подія А – поява туза при вийманні карти з колоди, подія В – поява карти бубнової масті, то подія С = АВ є поява бубнового туза.

Для сумісних подій справедлива теорема множення ймовірностей: «Ймовірність появлення складної події, яка полягає у тому, що відбулися  сумісно дві події А і В, дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої за умови, що перша подія вже відбулася»

Р(А і В) = Р(А)Р(В/А) = Р(В) Р(А/В),                            (3)

де Р(А/В) – умовна ймовірність події А за умови, що подія В вже здійснена.

Умовною ймовірністю Р(А/В) називають ймовірність події А, знайдену у припущені, що подія В вже відбулася. Якщо ймовірність події В відмінна від нуля, то справедлива формула

Р(А/В) = Р(А і В)/Р(В)                                                      (4)

або                              Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В).                                                        (5)

Для незалежних подій А і В умовні ймовірності становляться безумовними

Р(А) = Р(В/А);   Р(В) = Р(А/В),

а формула (3) для незалежних подій матиме вигляд

Р(А і В) = Р(А)Р(В).                                                          (6)

Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірности однієї з них на умовну ймовірність іншої:

Р(АВ) = Р(В)×Р(А/В),   Р(АВ) = Р(А)× Р(В/А).                    (7)

Приклад 3. Із 36 карт вибирають одну. Подія А – вибір карти червонної масті, подія В – вибір дами. Знайти ймовірностй Р(А), Р(В), Р(А/В), Р(В/А).

Рішення. Половина з 36 карт має червону масть, тому Р(А) = ½. Оскільки в колоді є 4 дами, то Р(В) = 1/9. Число Р(А/В) являє собою ймовірність того, що вибрана з колоди дама має червону масть. Число усіх дам в колоді дорівнює 4, з них 2 червоної масти, тому Р(А/В) = ½. Таким  чином, знаходимо, що Р(В/А) = 1/9 (серед 18 карт червоної масти 2 дами).

При користуванні поняттями суми і добутку подій часто виявляється корисною наочна геометрична інтерпретація цих понять (рис. 1, а і рис. 1, б). На рис. 1 наочно проілюстровані поняття суми і добутку двох подій. Якщо подія А є попадання точки в область А, відповідно подія В – попадання в область В, то подією А + В є попадання в область, заштриховану на рис. 1.

Рис. 1. Інтерпретація суми і добатку двох подій

Методом математичної індукції можна розширити придатність формули (7) на будь-яке число подій. Ймовірність добутку трьох залежних подій А, В, С обчислюється за формулою

Р(А і В і С) = Р(А)×Р(В/А)×Р(С/А і В)                         ()

Р(АВС) = Р(А)×Р(В/А)×Р(С/АВ),                             (8б)

а для чотирьох подій вона має вигляд

Р(АВСD) = Р(А)×Р(В/А)×Р(С/АВ)×Р(D/АВC),                       (9)

Для незалежних подій Р(В) = Р(В/А), Р(С/А і В) = Р(С), і тому

Р(А і В і С) = Р(А)Р(В)Р(С).                                        (10)

Приклад 4. Студент підготував до заліку 21 питання з 25. Яка ймовірність того, що студент відповість на три питання?

Рішення. Позначимо відповідь на перше питання А1, відповідь на друге питання А2, на третє питання A3. Оскільки події А1, А2, A3 залежні, то маємо такі ймовірності

Р(А1) = 21/25; Р(А21) = 20/24; Р(А32 и А1) =  19/23. Звідки

Р(А1 і А2 і А3) = Р(А1)×Р(А21)×Р(А32 і А1) =

= (21/25)×(20/24)×(19/23) = 0,58.

Приклад 5. З одинадцяти літер складено слово В И Д А В Н И Ц Т В О. З них вибирають по черзі три літери і приставляють праворуч одна до одної. Яка ймовірність того, що буде отримано слово В И Д?

Рішення. Введемо події В, И, Д, котрі полягають у тому, що першою вибраною літерою є літера В, другою – є И, а третьою – Д. Нам необхідно знайти ймовірність добутку цих подій. Згідно формуль (8б) матимемо:

Р(В і И і Д) = Р(В)×Р(И/В)×Р(Д/ВИ) = (2/11)×(2/10)×(1/9) = (2/495).

Р(ВИД) = Р(В)Р(И/В)Р(Д/ВИ) = (2/11)(2/10)(1/9) = (2/495).

5.3. Формула повної ймовірності і формула Байєса.

У багатьох дослідженнях зустрічається ситуація, коли деяка випадкова подія А може відбутися тільки з однією з несумісних подій H1, Н2, ..., Нn, які загалом створюють повну групу подій. Тоді ймовірність події А дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з подій H1, Н2, ..., Нn на відповідну умовну ймовірність події А. Використовуючи теореми додавання і множення ймовірності, можна записати

Р(А) = Р[(А і Н1) абоі Н2) або ... абоі Нn)] =

= Р(А і Н1) + Р(А і Н2) + ... + Р(А і Нn) =

= Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) + … + Р(Нn)Р(А/Нn) =

= ,                                                                          (11)

де Р(Ні) – ймовірність події Ні, Р(А/Ні) – умовна ймовірність події А у випадку, якщо подія Ні вже відбулася.

Отримана формула для ймовірностіі події А називається формулою повної ймовірності. Щоб знайти ймовірність Р(А), треба знати ймовірності подій H1, Н2, ..., Нn (їх називають гіпотезами) і умовні ймовірності Р(А/Ні), тобто ймовірності події А при реалізації гіпотези Ні.

Якщо число гіпотез дорівнює двом, то вони є протилежними подіями і називаються альтернативами. В цьому випадку формула повної ймовірності набуває вигляд:

Р(А) = Р(Н1)×Р(А/Н1) + Р(Н2)×Р(А/Н2).

Запишемо теорему множення ймовірностей для події А і однієї з гіпотез Ні у вигляді:

Р(А і Н) = Р(А)Р(Ні/А)  Р(Ні)Р(А/Ні).

З цього співвідношення знаходимо умовну ймовірність Р(Ні/А) реа-лізації гіпотези Ні за умови, що подія А вже відбулася

Р(Ні/А) = [Р(Ні)Р(А/Ні )]/Р(А).                             (12)

Отримана формула дозволяє переоцінити апріорну (початкову, доопытную) ймовірність гіпотези Р(Ні), тобто після випробування, в якому подія А відбулася, можна обчислити нову апостеріорну (послеопытную) ймовірність гіпотези Р(Ні/А).

Якщо в формулу (12) підставити формулу (11) для повної ймовірності події А, то отримаємо формулу Байєса:

Р(Ні/А) = [Р(Ні)Р(А/Ні )]/[].                           (13)

Приклад 6 щодо повної ймовірності. Існують три однакові урни; у першій урні дві білі і одна чорна кульки; у другій – три білих і одна чорна кульки; у третій – дві білі і дві чорні кульки. Хтось вибирає навмання одну з урн і виймає з неї кульку. Знайти ймовірність того, що вийнята кулька біла.

Рішення. Розглянемо три гіпотизи: Н1 – вибір першої урни; Н2 – вибір другої урни; Н3 – вибір третьої урни і подію А – вибір білої кульки.

Оскільки гіпотизи відповідно умов задачі рівноможливі, то маємо

Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1/3.

Умовні ймовірності події А при цих гіпотизах дорівнюють:

Р(А/Ні) = 2/3;  Р(А/Н2) = ¾;  Р(А/Н3) = ½.

За формулою повної ймовірности

Р(А) = Р(Ні)Р(А1) + Р(Н2)Р(А2) + Р(Н3)Р(А3) =

= (1/3)(2/3) + (1/3)(3/4) = (1/3)(1/2) = 23/36.

Приклад 7 використання формули Байєса. Число вантажівок, що проїжджають повз бензоколонку, відноситься до числа проїжджаючих там же легковиків як 3:2. Ймовірність, що заправлятиметься вантажівка, дорівнює 0,1; для легковиків ця ймовірність дорівнює 0,2. На заправку підїхала машина. Знайдіть ймовірність того, що машина, котра під’їхала на заправку, є вантажівка.

Рішення. Нехай подія А полягає у тому, що проїжджаюча машина зупинилася на заправку, а гіпотизи: Н1 та Н2 відповідно означають, що проїжджаюча машина відповідно є вантажівка або легковик. Необхідно зна-йти ймовірність Р(Н1/А). З умови задачі випливає, що Р(Н1) = 0,6; Р(Н2) = 0,4; Р(А/Н1) = 0,1; Р(А/Н2) = 0,2. По формулі повної ймовірності знаходимо

Р(А) = Р(А/Н1)Р(Н1) + Р(А/Н2)Р(Н2) = 0,6×0,1 + 0,4×0,2 = 0,14.

Далі слід скористатися формулою Байєса:

Р(Н1) = Р(А/Н1)Р(Н1)/Р(А) = 0,6×0,1/0,14 = 3/7.

Приклад 8 використання формули Байєса. На трьох підприємствах виготовляються прилади одного типу. Перше підприємство виготовляє 60%, друге – 30%, треттє – 10% приладів. Позначимо через Н1, Н2, Н3 – події виготовлення приладів відповідно на першому, другому і третьому підприєм-ствах. Вірогідність справної роботи приладів першого підприємства дорівнює 0,98, другого – 0,99, третього – 0,96. Визначимо ймовірність того, що в зібрану пертію справних приладів увійшли відповідно прилади першого підприємства, другого і третього.

Формула Байєса використовується тоді, коли подія А з'являється спільно з якою-небудь повною групою несумісних подій Н1, Н2 ..., Нп. Після того, як подія А відбулася, потрібно кількісно переоцінити ймовірність подій Н1, Н2, ..., Нп. При цьому відомі апріорні (до досвіду) ймовірності Р(Н1), Р(Н2).....Р(Нп). Потрібно визначити ймовірністі після досліду (апостеріорні).

Апостеріорні ймовірності являють собою умовні ймовірності Р(Н1 /А), Р(Н2 /А), ..., Р(Нп /А). Ймовірність сумісного настання події А з будь-якою з альтернативних подій Ні згіно теореми множення дорівнює:

P(AНi) = P(A)P(Hi /A) = P(Hi)P(A /Hi).

Если Р(А) ≠ 0, то Р(Hi /A) = [P(Hi)P(A /Hi)]/[P(A)].

Якщо цю формулу поєднати з формулою повної ймовірности, то мати-мемо відому формулу Байєса:

Р(Ні/А) = [Р(Ні)Р(А/Ні)]/[].

Рішення. Введемо такі позначення:

А – подія, котра полягає в тому, що виріб справний;

Р(А) – повна вірогідність того, що виріб справний;

Р(Н1), Р(Н2/А), Р(Н3/А)умовні ймовірності того, що справний вироб виготовлено на першому, другому і третьому підприємствах;

Р(А1), Р(А2), Р(А3)- умовні ймовірності того, що вироб, виготовлений на першому, другому і третьому підприємствах, справний;

Р(Н1), Р(Н2), Р(Н3)- ймовірності того, що вироб виготовлений відповідно на першому, другому і третьому підприємствах.

Відомі ймовірності: Р(А1) = 0,98; Р(А2) = 0,99; P(A3) = 0,96; Р(Н1) = 0,60; Р(Н2) = 0,30; Р(Н3) = 0,10.

Потрібно визначити ймовірності: Р(А), Р(Н1/А), Р(Н2/А), Р(Н3/А).

1. Обчислення повної вірогідності того, що вироби, прибулі з різних підприємств, справні:

Р(А) = Р(Н1) Р(А/Н1) + Р(Н2) Р(А/Н2)+ Р(Н3) Р(А/Н3) =

= 0,6×0,98 + 0,3×0,99 + 0,1×0,96 = 0,981.

2. Обчислення умовних ймовірностей того, що в партію справних потрапили вироби першого, другого і третього підприємств відповідно:

Р(Н1/А) = Р(Н1) Р(А/Н1)/Р(А) = (0,0,98)/0,981 = 0,599;

Р(Н2/А) = Р(Н2) Р(А/Н2)/Р(А) = (0,3×0,99)/0,981 = 0,303;

Р(Н3/А) = Р(Н3) Р(А/Н3)/Р(А) = (0,1×0,96)/0,981 = 0,098.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84645. Хлебопекарные свойства ржаной муки и показатели, их характеризующие. Особенности углеводно-амилазного и белково-протеиназного комплексов ржаной муки. Автолитическая активность ржаной муки и методы ее определения 23.39 KB
  Хлебопекарные свойства ржаной муки и показатели их характеризующие. Особенности углеводно-амилазного и белково-протеиназного комплексов ржаной муки. Автолитическая активность ржаной муки и методы ее определения. Химический состав ржаной муки В хлебопекарном производстве используется ржаная сортовая мука...
84646. Дополнительное сырье хлебопекарного производства. Соотношение и роль в тесте отдельных видов сырья 39.13 KB
  Для технологических и хозяйственных нужд хлебозаводы используют обычно воду из городского питьевого водопровода. Для бесперебойного снабжения водой и создания постоянного напора во внутренней водопроводной сети устанавливают специальные баки с холодной и горячей водой.
84647. XIX Century Literature 27.1 KB
  Dickens, Charles John Huffam (1812-1870), probably the best-known and, to many people, the greatest English novelist of the 19th century. A moralist, satirist, and social reformer, Dickens crafted complex plots and striking characters that capture the panorama of English society.
84648. Энергия, работа. Закон всемирного тяготения 964 KB
  а предыдущей лекции было показано, что количество движения принимается в качестве меры механического движения. Применение такой меры допустимо, если передача механического движения от одного тела к другому, происходит без превращения в другие формы движения материи.
84649. Механика вращательного движения твёрдого тела. Виды движения твёрдого тела 953.5 KB
  Виды движения твёрдого тела. Движения твёрдого тела Поступательное движение тела при котором тело перемещается параллельно самому себе. Вращательное движение тела при котором все точки его движутся по окружностям и их центры расположены на одной прямой оси вращения.
84650. Сплошные тела. Абсолютно упругое тело. Виды деформаций 1010 KB
  Известно что все тела состоят из молекул и атомов между которыми существуют силы взаимодействия поэтому и формируемое тело можно рассматривать как систему материальных точек расстояния между которыми изменяются при их деформации.
84651. Элементы механики сплошных сред. Свойства и строение жидкостей 1.34 MB
  Жидкости - тела которые имеют определенный объем но не имеют упругости формы. Жидкости это вещества которые обладают свойствами как газов так и твердых тел. Текучесть жидкости. Объясняется на основе представления о характере теплового движения молекул как и в газах только перемещение молекул...
84652. Границы применимости классической механики. Общие вопросы теории относительности 306.5 KB
  Обнаружение движения тел относительно эфира привело бы к появлению абсолютной системы отсчета по отношению к которой можно было бы рассматривать движение других систем. А раз так то обнаружение эфира сделало бы возможным выделение этой абсолютной системы.
84653. Три кита в музыке: «Песенность – танцевальность – маршевость» 378 KB
  Развивать музыкальные способности и знания учащихся Ход урока Звучит Вальс цветов П. Ветер чуть слышно поет Липа вздыхает у сада Чуткая музыка всюду живет В шелесте трав В шуме дубрав Только прислушаться надо: Звонко струится ручей Падает гром с небосвода Это мелодией вечно своей Мир наполняет...