15714

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ І ЗАКОНИ РОЗПОДІЛЕННЯ

Лекция

Математика и математический анализ

Дисципліна: МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ОПРАЦЮВАННЯ СПОСТЕРЕЖЕНЬ Модуль 2. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ПРИКЛАДНОЇ СТАТИСТИКИ Лекція 8. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ І ЗАКОНИ РОЗПОДІЛЕННЯ План лекції 8: 8.1. Дискретні і неперервні випадкові величини. 8.2. Числові характеристики випадков

Украинкский

2013-06-15

56.5 KB

2 чел.

Дисципліна: МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ОПРАЦЮВАННЯ

СПОСТЕРЕЖЕНЬ

Модуль 2. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ПРИКЛАДНОЇ СТАТИСТИКИ

Лекція 8. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ І ЗАКОНИ РОЗПОДІЛЕННЯ

План лекції 8:

8.1. Дискретні і неперервні випадкові величини.

8.2. Числові характеристики випадкових величин.

8.3. Дискретні і неперервні закони розподілення.

8.1. Дискретні і неперервні випадкові величини.

Випадковою величиною називається змінна, яка приймає своє чисельне значення залежно від результату випадкового експерименту. Якщо результатом випробування є вимірювання фізичної величини, то її вважають випадковою величиною, а зміряне значення є її чисельним значенням.

Для фізичних величин чисельне значення може приймати будь-яке значення з деякого скінченого чисельного інтервалу. Тут використовуються інтервальні шкали вимірювань. Якщо для х і у використовувалася одна і та ж інтервальна шкала, то мають сенс співвідношення х  у, х + у, х×у, х/у і ін. Прикладом може слугувати вимірювання розмірів або мас двох тіл.

«Слабкішою» шкалою є порядкова шкала. Наприклад, екзаменаційна оцінка. Тут мають сенс співвідношення х > у. «Найслабкішою» шкалою вважається номінальна шкала, у якої чисельні значення використовуються замість назв. Наприклад, професія (х = 1) – це інженер, (х = 2) – це лікар і ін. У цій шкалі мають сенс тільки співвідношення  х1 = х2, у2 ≠ у5.

З кожним випадковим експериментом можна зв'язати випадкову величину так, щоб кожному результату експерименту відповідало тільки одне її числове значення. Випадкова величина є функцією від результату випробування. Якщо число результатів дорівнює кінцевому числу п, то відповідна випадкова величина може прийняти не більше, ніж п різних значень. Така випадкова величина називається дискретною.

С бросанием игральной кости введем дискретную случайную величину, принимающую шесть различных значений. Можно ввести случайную величину, принимающую менее шести различных значений, если одно и то же число написать на двух, трех гранях. Напишем на гранях кости натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5,6. Случайная величина, связанная с бросанием такой кости, принимает шесть различных целых значений с одинаковыми вероятностями, равными 1/6. Эту случайную величину X удобно представить таблицей:

Х

1

2

3

4

5

6

Р

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Такая таблица называется законом распределения вероятности дискретной случайной величины, который дает полную информацию об этой величине. В верхней строке таблицы указаны все возможные численные значения, а в нижней – соответствующие вероятности. Поскольку исходы испытания несовместны, то и все численные значения случайной величины несовместны. И, следовательно, здесь можно использовать теорему сложения. Например, можно ввести вероятности:

Р(х > 4) = Р(х = 5 или х = 6) = Р(х = 5) + Р(х = 6) = 1/6+ 1/6 = 1/3;

Р(1< х <4) = Р(х = 2 или х = 3 или х = 4) = 3/6 = 1/2 т.д.

Полученное распределение является равномерным (все значения равновозможны). Поскольку должны приниматься во внимание все исходы (т. е. полная группа), то в любом распределении должно выполняться условие нормировки

                                             (1)

Иногда закон распределения дискретной случайной величины может быть задан аналитически функцией вероятности. Например,

Р(Х = х) = (1/3)sin2х,  Х = {0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π}.

Здесь заданы возможные значения случайной величины X и формула для подсчета вероятностей. Подведя подсчет вероятностей, составим таблицу:

X

0

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

P

0

1/12

1/4

1/3

¼

1/12

0

График многоугольника вероятности распределения приведен на рис. 1.

Рис. 1. График многоугольника вероятности распределения

В дискретном распределении может быть и бесконечно большое число возможных значений, но это множество должно быть счетным. Ясно, что в силу условия нормировки значения вероятностей в этом случае должны становиться бесконечно малыми.

Непрерывной, случайной величиной называется величина, которая может принимать любое значение из некоторого конечного числового интервала. Следовательно, непрерывная случайная величина всегда принимает бесчисленное множество значений, и вероятность того, что она примет в точности какое-то заданное значение, равна нулю.

Поэтому для непрерывной случайной величины имеет смысл говорить только о вероятности попасть в некоторый числовой интервал. Если взять бесконечно малый интервал от х до х + dx, то и вероятность dp попасть в него будет бесконечно малой, и ее можно считать пропорциональной dx, т. е.

dp = p(x<X<dx) = f(x)dx,

где коэффициент пропорциональности f(x) зависит от х и является плотностью вероятности (или плотностью распределения).

Вероятность случайной величины попасть в конечный интервал (х1, х2) равна

P(xl<X<x2) =.

Условие нормировки для непрерывной случайной величины имеет вид

= 1.

Функция плотности вероятности не может быть отрицательной. Для выполнения условия нормировки она должна исчезать на бесконечности

В качестве первообразной функции F(x) для f (x) берут функцию вида

F(x)=,

которая монотонно возрастает от 0 до 1 и имеет простой вероятностный смысл F(x) = Р (- < X < х). Эту функцию называют функцией распределения непрерывной случайной величины.

Таким образом, для задания дискретной случайной величины нужно задать закон распределения в виде таблицы, для задания непрерывной случайной величины надо задать плотность вероятности f(х) или функцию распределения F(x).

8.2. Числові характеристики випадкових величин

Укажем важнейшие числовые характеристики случайных величин. Первая из них — математическое ожидание М(х), являющееся центром распределения или средним значением случайной величины (СВ).

Дискретная СВ:       М (х) = J\i>

i=i

Непрерывная СВ:   М[х)= \xf(x)dx

(3.7)

Дисперсия СВ характеризует степень рассеивания вокруг М(х) и равна математическому ожиданию квадрата отклонения от М(х), т. е.

или

D(x) = mUx-M(x))2

я

для дискретной СВ:        £*(■*) = ^(^ - M(x))*pt для непрерывной СВ:   D(jc)= \(x- M(x))*f(x)dx

(3.8)

(3.9)

Часто бывает удобно воспользоваться формулой

D(x) = M(x2)-Mz(x).                                                        (ЗЛО)

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности СВ. Поэтому вводят среднее квадратичное отклонение ст (х) СВ, которое равно корню квадратному из дисперсии:

Ф) = ^Н-                                                     (ЗЛ1)

Кроме математического ожидания и среднего квадратичного отклонения, используют и другие числовые характеристики случайных величин. Модой распределения Мо(х) называют такое значение дискретной случайной величины, для которой вероятность макси-


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44614. Основные характеристики ВС 29 KB
  Основными характеристиками ВС являются: операционные возможности сети; временные характеристики; надежность; производительность; стоимость. Операционные возможности сети характеризуются такими условиями как: предоставление доступа к прикладным программным средствам БД БЗ т.; удаленный ввод заданий; передача файлов между узлами сети; доступы к удаленным файлам; выдача справок об информационных и программных ресурсах; распределенная обработка данных на нескольких ЭВМ и т. Временные характеристики сети определяют...
44615. Древний Египет 74.5 KB
  Древний Египет План Особенности развития государства и общества. Деспотия Форма государства в странах Древнего Востока. С возникновением государства обычай и стал источником права. Восточная деспотия форма государства при которой глава государства обладающий всей полнотой власти обожествляется управление осуществляется с помощью чиновников а население несет различные государственные повинности.
44616. Древний Рим 95.5 KB
  Основные понятия Квестор Должностное лицо магистрат выполнявший судебные функции в раннереспубликанский период а позднее ведавшее казной архивом; помощник правителя провинции. Квириты Коренные жители римской общины члены курий в период формирования римского государства; имели привилегированное правовое положение исключительно носители квиритского права квиритской собственности и т. Колонат Форма зависимости сельского населения от крупных землевладельцев сдавших участки земли арендаторам колонам периода домината. Комиции...
44617. Древняя Индия 72.5 KB
  Индостан и образовавшие первые государства. Развитие государства Древней Индии имеет особенности отличающий его от других стран Востока. Форма государственного устройства всего Древнего Востока Восточная деспотия Индии имела особенность – власть правителя была ограничена индийской общиной некоторая коллегиальность управления; Существенное влияние на развитие государства оказала религия. Центральная власть Глава государства царь власть которого обожествлялась.
44618. Спарта в период рабовладельческой аристократической республики (VIII в. до н.э. - середина II в. до н.э.) 60.5 KB
  Возникновения государства. Илоты Жители побежденных лаконийских племен превращенные в рабов были собственностью государства. Возникновения государства. Победа Спарты над Афинами в Пелопоннесской войне привел к появлению роскоши развитию товарноденежных отношений и гибели Спарты как военизированного аристократического рабовладельческого государства во II в.
44619. Афинское государство (VIII-IV вв. до н.э.) 105 KB
  Основные понятия Ареопаг Высший орган государственной и судебной власти в Афинах. Булевты Члены Совета пятисот булэ в Древних Афинах в компетенции которого находились вопросы управления внешних сношений финансов государства. Гелиасты Члены судебной коллегии гелиэи в Древних Афинах. Демы Территориальные округа в Древних Афинах со времен реформы Клисфена.
44620. Древний Вавилон 72 KB
  Законы Хаммурапи. Законы Хаммурапи Сборник законов Древнего Вавилона названный именем царя Вавилона. Мушкенум Жители покоренных Хаммурапи областей. Хаммурапи Царь Вавилона в период правления которого XVIII в.
44621. Французская буржуазная революция (1789-1794 гг.). Этапы революции, конституционное законодательство 88.5 KB
  Этапы революции конституционное законодательство. Первый этап революции фельяны. Второй этап революции жирондисты. Третий этап революции якобинцы.
44622. Французское государство в конце XVIII-XIX вв 67 KB
  Третья республика во Франции 18711940 гг. Первая империя 17941814 Во Франции 27 июля месяц термидор произошел переворот. Государственный строй первой империи во Франции стал республиканская монархия в Риме пример принципат. Напоминала Конституцию Франции образца 1791 г.