15714

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ І ЗАКОНИ РОЗПОДІЛЕННЯ

Лекция

Математика и математический анализ

Дисципліна: МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ОПРАЦЮВАННЯ СПОСТЕРЕЖЕНЬ Модуль 2. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ПРИКЛАДНОЇ СТАТИСТИКИ Лекція 8. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ І ЗАКОНИ РОЗПОДІЛЕННЯ План лекції 8: 8.1. Дискретні і неперервні випадкові величини. 8.2. Числові характеристики випадков

Украинкский

2013-06-15

56.5 KB

2 чел.

Дисципліна: МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ОПРАЦЮВАННЯ

СПОСТЕРЕЖЕНЬ

Модуль 2. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ПРИКЛАДНОЇ СТАТИСТИКИ

Лекція 8. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ І ЗАКОНИ РОЗПОДІЛЕННЯ

План лекції 8:

8.1. Дискретні і неперервні випадкові величини.

8.2. Числові характеристики випадкових величин.

8.3. Дискретні і неперервні закони розподілення.

8.1. Дискретні і неперервні випадкові величини.

Випадковою величиною називається змінна, яка приймає своє чисельне значення залежно від результату випадкового експерименту. Якщо результатом випробування є вимірювання фізичної величини, то її вважають випадковою величиною, а зміряне значення є її чисельним значенням.

Для фізичних величин чисельне значення може приймати будь-яке значення з деякого скінченого чисельного інтервалу. Тут використовуються інтервальні шкали вимірювань. Якщо для х і у використовувалася одна і та ж інтервальна шкала, то мають сенс співвідношення х  у, х + у, х×у, х/у і ін. Прикладом може слугувати вимірювання розмірів або мас двох тіл.

«Слабкішою» шкалою є порядкова шкала. Наприклад, екзаменаційна оцінка. Тут мають сенс співвідношення х > у. «Найслабкішою» шкалою вважається номінальна шкала, у якої чисельні значення використовуються замість назв. Наприклад, професія (х = 1) – це інженер, (х = 2) – це лікар і ін. У цій шкалі мають сенс тільки співвідношення  х1 = х2, у2 ≠ у5.

З кожним випадковим експериментом можна зв'язати випадкову величину так, щоб кожному результату експерименту відповідало тільки одне її числове значення. Випадкова величина є функцією від результату випробування. Якщо число результатів дорівнює кінцевому числу п, то відповідна випадкова величина може прийняти не більше, ніж п різних значень. Така випадкова величина називається дискретною.

С бросанием игральной кости введем дискретную случайную величину, принимающую шесть различных значений. Можно ввести случайную величину, принимающую менее шести различных значений, если одно и то же число написать на двух, трех гранях. Напишем на гранях кости натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5,6. Случайная величина, связанная с бросанием такой кости, принимает шесть различных целых значений с одинаковыми вероятностями, равными 1/6. Эту случайную величину X удобно представить таблицей:

Х

1

2

3

4

5

6

Р

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Такая таблица называется законом распределения вероятности дискретной случайной величины, который дает полную информацию об этой величине. В верхней строке таблицы указаны все возможные численные значения, а в нижней – соответствующие вероятности. Поскольку исходы испытания несовместны, то и все численные значения случайной величины несовместны. И, следовательно, здесь можно использовать теорему сложения. Например, можно ввести вероятности:

Р(х > 4) = Р(х = 5 или х = 6) = Р(х = 5) + Р(х = 6) = 1/6+ 1/6 = 1/3;

Р(1< х <4) = Р(х = 2 или х = 3 или х = 4) = 3/6 = 1/2 т.д.

Полученное распределение является равномерным (все значения равновозможны). Поскольку должны приниматься во внимание все исходы (т. е. полная группа), то в любом распределении должно выполняться условие нормировки

                                             (1)

Иногда закон распределения дискретной случайной величины может быть задан аналитически функцией вероятности. Например,

Р(Х = х) = (1/3)sin2х,  Х = {0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π}.

Здесь заданы возможные значения случайной величины X и формула для подсчета вероятностей. Подведя подсчет вероятностей, составим таблицу:

X

0

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

P

0

1/12

1/4

1/3

¼

1/12

0

График многоугольника вероятности распределения приведен на рис. 1.

Рис. 1. График многоугольника вероятности распределения

В дискретном распределении может быть и бесконечно большое число возможных значений, но это множество должно быть счетным. Ясно, что в силу условия нормировки значения вероятностей в этом случае должны становиться бесконечно малыми.

Непрерывной, случайной величиной называется величина, которая может принимать любое значение из некоторого конечного числового интервала. Следовательно, непрерывная случайная величина всегда принимает бесчисленное множество значений, и вероятность того, что она примет в точности какое-то заданное значение, равна нулю.

Поэтому для непрерывной случайной величины имеет смысл говорить только о вероятности попасть в некоторый числовой интервал. Если взять бесконечно малый интервал от х до х + dx, то и вероятность dp попасть в него будет бесконечно малой, и ее можно считать пропорциональной dx, т. е.

dp = p(x<X<dx) = f(x)dx,

где коэффициент пропорциональности f(x) зависит от х и является плотностью вероятности (или плотностью распределения).

Вероятность случайной величины попасть в конечный интервал (х1, х2) равна

P(xl<X<x2) =.

Условие нормировки для непрерывной случайной величины имеет вид

= 1.

Функция плотности вероятности не может быть отрицательной. Для выполнения условия нормировки она должна исчезать на бесконечности

В качестве первообразной функции F(x) для f (x) берут функцию вида

F(x)=,

которая монотонно возрастает от 0 до 1 и имеет простой вероятностный смысл F(x) = Р (- < X < х). Эту функцию называют функцией распределения непрерывной случайной величины.

Таким образом, для задания дискретной случайной величины нужно задать закон распределения в виде таблицы, для задания непрерывной случайной величины надо задать плотность вероятности f(х) или функцию распределения F(x).

8.2. Числові характеристики випадкових величин

Укажем важнейшие числовые характеристики случайных величин. Первая из них — математическое ожидание М(х), являющееся центром распределения или средним значением случайной величины (СВ).

Дискретная СВ:       М (х) = J\i>

i=i

Непрерывная СВ:   М[х)= \xf(x)dx

(3.7)

Дисперсия СВ характеризует степень рассеивания вокруг М(х) и равна математическому ожиданию квадрата отклонения от М(х), т. е.

или

D(x) = mUx-M(x))2

я

для дискретной СВ:        £*(■*) = ^(^ - M(x))*pt для непрерывной СВ:   D(jc)= \(x- M(x))*f(x)dx

(3.8)

(3.9)

Часто бывает удобно воспользоваться формулой

D(x) = M(x2)-Mz(x).                                                        (ЗЛО)

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности СВ. Поэтому вводят среднее квадратичное отклонение ст (х) СВ, которое равно корню квадратному из дисперсии:

Ф) = ^Н-                                                     (ЗЛ1)

Кроме математического ожидания и среднего квадратичного отклонения, используют и другие числовые характеристики случайных величин. Модой распределения Мо(х) называют такое значение дискретной случайной величины, для которой вероятность макси-


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60644. Розрахунок заробітоку працівників при окладній формі оплати праці 3.01 MB
  Скласти алгоритм та розв’язати задачу “Розрахунок заробітку працівників при окладній формі оплати праці”, використовуючи засоби MS Excel. Визначити заробіток кожного працівника.
60648. Маски и каналы 2.44 MB
  В этом уроке вы узнаете как: Уточнять выделение с помощью быстрой маски. Сохранять выделение как маску канала Просматривать маску с помощью палитры Chnnels Каналы. Рисовать в маске чтобы модифицировать выделение.