15714

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ І ЗАКОНИ РОЗПОДІЛЕННЯ

Лекция

Математика и математический анализ

Дисципліна: МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ОПРАЦЮВАННЯ СПОСТЕРЕЖЕНЬ Модуль 2. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ПРИКЛАДНОЇ СТАТИСТИКИ Лекція 8. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ І ЗАКОНИ РОЗПОДІЛЕННЯ План лекції 8: 8.1. Дискретні і неперервні випадкові величини. 8.2. Числові характеристики випадков

Украинкский

2013-06-15

56.5 KB

2 чел.

Дисципліна: МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ОПРАЦЮВАННЯ

СПОСТЕРЕЖЕНЬ

Модуль 2. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ПРИКЛАДНОЇ СТАТИСТИКИ

Лекція 8. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ І ЗАКОНИ РОЗПОДІЛЕННЯ

План лекції 8:

8.1. Дискретні і неперервні випадкові величини.

8.2. Числові характеристики випадкових величин.

8.3. Дискретні і неперервні закони розподілення.

8.1. Дискретні і неперервні випадкові величини.

Випадковою величиною називається змінна, яка приймає своє чисельне значення залежно від результату випадкового експерименту. Якщо результатом випробування є вимірювання фізичної величини, то її вважають випадковою величиною, а зміряне значення є її чисельним значенням.

Для фізичних величин чисельне значення може приймати будь-яке значення з деякого скінченого чисельного інтервалу. Тут використовуються інтервальні шкали вимірювань. Якщо для х і у використовувалася одна і та ж інтервальна шкала, то мають сенс співвідношення х  у, х + у, х×у, х/у і ін. Прикладом може слугувати вимірювання розмірів або мас двох тіл.

«Слабкішою» шкалою є порядкова шкала. Наприклад, екзаменаційна оцінка. Тут мають сенс співвідношення х > у. «Найслабкішою» шкалою вважається номінальна шкала, у якої чисельні значення використовуються замість назв. Наприклад, професія (х = 1) – це інженер, (х = 2) – це лікар і ін. У цій шкалі мають сенс тільки співвідношення  х1 = х2, у2 ≠ у5.

З кожним випадковим експериментом можна зв'язати випадкову величину так, щоб кожному результату експерименту відповідало тільки одне її числове значення. Випадкова величина є функцією від результату випробування. Якщо число результатів дорівнює кінцевому числу п, то відповідна випадкова величина може прийняти не більше, ніж п різних значень. Така випадкова величина називається дискретною.

С бросанием игральной кости введем дискретную случайную величину, принимающую шесть различных значений. Можно ввести случайную величину, принимающую менее шести различных значений, если одно и то же число написать на двух, трех гранях. Напишем на гранях кости натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5,6. Случайная величина, связанная с бросанием такой кости, принимает шесть различных целых значений с одинаковыми вероятностями, равными 1/6. Эту случайную величину X удобно представить таблицей:

Х

1

2

3

4

5

6

Р

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Такая таблица называется законом распределения вероятности дискретной случайной величины, который дает полную информацию об этой величине. В верхней строке таблицы указаны все возможные численные значения, а в нижней – соответствующие вероятности. Поскольку исходы испытания несовместны, то и все численные значения случайной величины несовместны. И, следовательно, здесь можно использовать теорему сложения. Например, можно ввести вероятности:

Р(х > 4) = Р(х = 5 или х = 6) = Р(х = 5) + Р(х = 6) = 1/6+ 1/6 = 1/3;

Р(1< х <4) = Р(х = 2 или х = 3 или х = 4) = 3/6 = 1/2 т.д.

Полученное распределение является равномерным (все значения равновозможны). Поскольку должны приниматься во внимание все исходы (т. е. полная группа), то в любом распределении должно выполняться условие нормировки

                                             (1)

Иногда закон распределения дискретной случайной величины может быть задан аналитически функцией вероятности. Например,

Р(Х = х) = (1/3)sin2х,  Х = {0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π}.

Здесь заданы возможные значения случайной величины X и формула для подсчета вероятностей. Подведя подсчет вероятностей, составим таблицу:

X

0

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

P

0

1/12

1/4

1/3

¼

1/12

0

График многоугольника вероятности распределения приведен на рис. 1.

Рис. 1. График многоугольника вероятности распределения

В дискретном распределении может быть и бесконечно большое число возможных значений, но это множество должно быть счетным. Ясно, что в силу условия нормировки значения вероятностей в этом случае должны становиться бесконечно малыми.

Непрерывной, случайной величиной называется величина, которая может принимать любое значение из некоторого конечного числового интервала. Следовательно, непрерывная случайная величина всегда принимает бесчисленное множество значений, и вероятность того, что она примет в точности какое-то заданное значение, равна нулю.

Поэтому для непрерывной случайной величины имеет смысл говорить только о вероятности попасть в некоторый числовой интервал. Если взять бесконечно малый интервал от х до х + dx, то и вероятность dp попасть в него будет бесконечно малой, и ее можно считать пропорциональной dx, т. е.

dp = p(x<X<dx) = f(x)dx,

где коэффициент пропорциональности f(x) зависит от х и является плотностью вероятности (или плотностью распределения).

Вероятность случайной величины попасть в конечный интервал (х1, х2) равна

P(xl<X<x2) =.

Условие нормировки для непрерывной случайной величины имеет вид

= 1.

Функция плотности вероятности не может быть отрицательной. Для выполнения условия нормировки она должна исчезать на бесконечности

В качестве первообразной функции F(x) для f (x) берут функцию вида

F(x)=,

которая монотонно возрастает от 0 до 1 и имеет простой вероятностный смысл F(x) = Р (- < X < х). Эту функцию называют функцией распределения непрерывной случайной величины.

Таким образом, для задания дискретной случайной величины нужно задать закон распределения в виде таблицы, для задания непрерывной случайной величины надо задать плотность вероятности f(х) или функцию распределения F(x).

8.2. Числові характеристики випадкових величин

Укажем важнейшие числовые характеристики случайных величин. Первая из них — математическое ожидание М(х), являющееся центром распределения или средним значением случайной величины (СВ).

Дискретная СВ:       М (х) = J\i>

i=i

Непрерывная СВ:   М[х)= \xf(x)dx

(3.7)

Дисперсия СВ характеризует степень рассеивания вокруг М(х) и равна математическому ожиданию квадрата отклонения от М(х), т. е.

или

D(x) = mUx-M(x))2

я

для дискретной СВ:        £*(■*) = ^(^ - M(x))*pt для непрерывной СВ:   D(jc)= \(x- M(x))*f(x)dx

(3.8)

(3.9)

Часто бывает удобно воспользоваться формулой

D(x) = M(x2)-Mz(x).                                                        (ЗЛО)

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности СВ. Поэтому вводят среднее квадратичное отклонение ст (х) СВ, которое равно корню квадратному из дисперсии:

Ф) = ^Н-                                                     (ЗЛ1)

Кроме математического ожидания и среднего квадратичного отклонения, используют и другие числовые характеристики случайных величин. Модой распределения Мо(х) называют такое значение дискретной случайной величины, для которой вероятность макси-


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16060. Правовые системы стран мира 7.59 MB
  Правовые системы стран мира: Энциклопедический справочник. 3е изд. перераб. и доп. / Отв. ред. докт. юрид. наук проф. А.Я. Сухарев. М: Издательство НОРМА 2003. Коллектив авторов: Решетников Ф.М. доктор юридических наук Батлер У.Э. доктор права Лондонского универси
16061. Патентознавство. Підручник 2.06 MB
  МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ У КРАЇ і. І УЖГОРОДСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Л.М. Сусліков В.С. Дьордяй ПАТЕНТОЗНАВСТВО Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальнометодичний посібник для студентів КИЇВ 2005 вищих навчальних закладів ...
16062. Заведомо незаконное задержание, вопросы квалификации 446.5 KB
  МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИИ СИБИРСКИЙ ЮРИДИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ П.Л. Сурихин ЗАВЕДОМО НЕЗАКОННОЕ ЗАДЕРЖАНИЕ: вопросы квалификации Учебное пособие КРАСНОЯРСК 2003 ББК 00.000 Сури
16064. Адвокатура в Российской Федерации 2.01 MB
  Происходящая в России демократизация политической и экономической системы, конституционное провозглашение правового социального государства вызывает необходимость коренной реорганизации форм и методов деятельности...
16065. Основи ораторського мистецтва 320 KB
  ББК 83. 079 Стец В.А. Стец І.І. Костючик М.Ю. Основи ораторського мистецтва. Навчальний посібник. Економічна думка Тернопіль 1998. 60 с. Посібник дає систематичне уявлення про ораторське мистецтво як прикладну і теоретичну дисципліну. Всебічно проаналізований процес о
16066. Сущность исполнения наказания 1.12 MB
  В монографии освещаются вопросы становления науки уголовно-исполнительного права, излагаются основы теории уголовно-исполнительного права, анализируется уголовно-исполнительная деятельность...
16067. Кримінально-виконавче право України 1.79 MB
  Навчальне видання Кримінальновиконавче право України Підручник За редакцією професора А. X. Степанюка Видання друге виправлене і доповнене Редактор А. В. Єфименко Комп'ютерна верстка і дизайн В. М. Зеленька Підписано до друку з оригіналмакета 01.11.2005. Формат ...
16068. Відповідальність юридичних осіб за податкові правопорушення 1.02 MB
  В книзі розглянуто види відповідальності за порушення податкового законодавства суб'єктами підприємницької діяльності. Зміст книги побудований на власному адвокатському досвіді автора, публікаціях фахівців з податкового права та чинному законодавстві. Акцент при викладенні матеріалу і при розгляді тих чи інших питань свідомо робиться з позицій платників податків.