15714

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ І ЗАКОНИ РОЗПОДІЛЕННЯ

Лекция

Математика и математический анализ

Дисципліна: МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ОПРАЦЮВАННЯ СПОСТЕРЕЖЕНЬ Модуль 2. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ПРИКЛАДНОЇ СТАТИСТИКИ Лекція 8. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ І ЗАКОНИ РОЗПОДІЛЕННЯ План лекції 8: 8.1. Дискретні і неперервні випадкові величини. 8.2. Числові характеристики випадков

Украинкский

2013-06-15

56.5 KB

2 чел.

Дисципліна: МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА ТА ОПРАЦЮВАННЯ

СПОСТЕРЕЖЕНЬ

Модуль 2. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ПРИКЛАДНОЇ СТАТИСТИКИ

Лекція 8. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ І ЗАКОНИ РОЗПОДІЛЕННЯ

План лекції 8:

8.1. Дискретні і неперервні випадкові величини.

8.2. Числові характеристики випадкових величин.

8.3. Дискретні і неперервні закони розподілення.

8.1. Дискретні і неперервні випадкові величини.

Випадковою величиною називається змінна, яка приймає своє чисельне значення залежно від результату випадкового експерименту. Якщо результатом випробування є вимірювання фізичної величини, то її вважають випадковою величиною, а зміряне значення є її чисельним значенням.

Для фізичних величин чисельне значення може приймати будь-яке значення з деякого скінченого чисельного інтервалу. Тут використовуються інтервальні шкали вимірювань. Якщо для х і у використовувалася одна і та ж інтервальна шкала, то мають сенс співвідношення х  у, х + у, х×у, х/у і ін. Прикладом може слугувати вимірювання розмірів або мас двох тіл.

«Слабкішою» шкалою є порядкова шкала. Наприклад, екзаменаційна оцінка. Тут мають сенс співвідношення х > у. «Найслабкішою» шкалою вважається номінальна шкала, у якої чисельні значення використовуються замість назв. Наприклад, професія (х = 1) – це інженер, (х = 2) – це лікар і ін. У цій шкалі мають сенс тільки співвідношення  х1 = х2, у2 ≠ у5.

З кожним випадковим експериментом можна зв'язати випадкову величину так, щоб кожному результату експерименту відповідало тільки одне її числове значення. Випадкова величина є функцією від результату випробування. Якщо число результатів дорівнює кінцевому числу п, то відповідна випадкова величина може прийняти не більше, ніж п різних значень. Така випадкова величина називається дискретною.

С бросанием игральной кости введем дискретную случайную величину, принимающую шесть различных значений. Можно ввести случайную величину, принимающую менее шести различных значений, если одно и то же число написать на двух, трех гранях. Напишем на гранях кости натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5,6. Случайная величина, связанная с бросанием такой кости, принимает шесть различных целых значений с одинаковыми вероятностями, равными 1/6. Эту случайную величину X удобно представить таблицей:

Х

1

2

3

4

5

6

Р

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Такая таблица называется законом распределения вероятности дискретной случайной величины, который дает полную информацию об этой величине. В верхней строке таблицы указаны все возможные численные значения, а в нижней – соответствующие вероятности. Поскольку исходы испытания несовместны, то и все численные значения случайной величины несовместны. И, следовательно, здесь можно использовать теорему сложения. Например, можно ввести вероятности:

Р(х > 4) = Р(х = 5 или х = 6) = Р(х = 5) + Р(х = 6) = 1/6+ 1/6 = 1/3;

Р(1< х <4) = Р(х = 2 или х = 3 или х = 4) = 3/6 = 1/2 т.д.

Полученное распределение является равномерным (все значения равновозможны). Поскольку должны приниматься во внимание все исходы (т. е. полная группа), то в любом распределении должно выполняться условие нормировки

                                             (1)

Иногда закон распределения дискретной случайной величины может быть задан аналитически функцией вероятности. Например,

Р(Х = х) = (1/3)sin2х,  Х = {0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π}.

Здесь заданы возможные значения случайной величины X и формула для подсчета вероятностей. Подведя подсчет вероятностей, составим таблицу:

X

0

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

P

0

1/12

1/4

1/3

¼

1/12

0

График многоугольника вероятности распределения приведен на рис. 1.

Рис. 1. График многоугольника вероятности распределения

В дискретном распределении может быть и бесконечно большое число возможных значений, но это множество должно быть счетным. Ясно, что в силу условия нормировки значения вероятностей в этом случае должны становиться бесконечно малыми.

Непрерывной, случайной величиной называется величина, которая может принимать любое значение из некоторого конечного числового интервала. Следовательно, непрерывная случайная величина всегда принимает бесчисленное множество значений, и вероятность того, что она примет в точности какое-то заданное значение, равна нулю.

Поэтому для непрерывной случайной величины имеет смысл говорить только о вероятности попасть в некоторый числовой интервал. Если взять бесконечно малый интервал от х до х + dx, то и вероятность dp попасть в него будет бесконечно малой, и ее можно считать пропорциональной dx, т. е.

dp = p(x<X<dx) = f(x)dx,

где коэффициент пропорциональности f(x) зависит от х и является плотностью вероятности (или плотностью распределения).

Вероятность случайной величины попасть в конечный интервал (х1, х2) равна

P(xl<X<x2) =.

Условие нормировки для непрерывной случайной величины имеет вид

= 1.

Функция плотности вероятности не может быть отрицательной. Для выполнения условия нормировки она должна исчезать на бесконечности

В качестве первообразной функции F(x) для f (x) берут функцию вида

F(x)=,

которая монотонно возрастает от 0 до 1 и имеет простой вероятностный смысл F(x) = Р (- < X < х). Эту функцию называют функцией распределения непрерывной случайной величины.

Таким образом, для задания дискретной случайной величины нужно задать закон распределения в виде таблицы, для задания непрерывной случайной величины надо задать плотность вероятности f(х) или функцию распределения F(x).

8.2. Числові характеристики випадкових величин

Укажем важнейшие числовые характеристики случайных величин. Первая из них — математическое ожидание М(х), являющееся центром распределения или средним значением случайной величины (СВ).

Дискретная СВ:       М (х) = J\i>

i=i

Непрерывная СВ:   М[х)= \xf(x)dx

(3.7)

Дисперсия СВ характеризует степень рассеивания вокруг М(х) и равна математическому ожиданию квадрата отклонения от М(х), т. е.

или

D(x) = mUx-M(x))2

я

для дискретной СВ:        £*(■*) = ^(^ - M(x))*pt для непрерывной СВ:   D(jc)= \(x- M(x))*f(x)dx

(3.8)

(3.9)

Часто бывает удобно воспользоваться формулой

D(x) = M(x2)-Mz(x).                                                        (ЗЛО)

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности СВ. Поэтому вводят среднее квадратичное отклонение ст (х) СВ, которое равно корню квадратному из дисперсии:

Ф) = ^Н-                                                     (ЗЛ1)

Кроме математического ожидания и среднего квадратичного отклонения, используют и другие числовые характеристики случайных величин. Модой распределения Мо(х) называют такое значение дискретной случайной величины, для которой вероятность макси-


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14728. Исследование эквивалентных преобразований математических моделей динамических систем в пространстве состояний 36.36 KB
  4 Лабораторная работа №2 Исследование эквивалентных преобразований математических моделей динамических систем в пространстве состояний Цели работы: исследовать управляемость и наблюдаемость системы; привести ММ управляемой ДС к основной норм
14729. Анализ и планирование показателей рецептуры в Сети аптек «Винницкая городская аптека» 527.5 KB
  Руководство отделами осуществляют заведующие отделами и их заместители. В штате РПО предусмотрены должности провизоров и фармацевтов. Провизоры выделяются для приема рецептов на лекарства индивидуального изготовления и ГЛС, осуществления контроля качества приготовляемых лекарств
14730. Ознакомительная работа в среде MuLisp. Базовые функции Лиспа. Символы, свойства символов. Средства языка для работы с числами 76 KB
  Лабораторная работа № 1. Тема: Ознакомительная работа в среде MuLisp. Базовые функции Лиспа. Символы свойства символов. Средства языка для работы с числами. Цель: Ознакомиться со средой MuLisp. Изучить базовые функции Лиспа символы и их свойства а также средства для работы с...
14731. Определение функций. Функции ввода-вывода. Вычисления, изменяющие структуру 53 KB
  Лабораторная работа №2. Тема: Определение функций. Функции вводавывода. Вычисления изменяющие структуру. Цель: Получить навыки в написании функций. Изучить функции вводавывода. Функции определяемые пользователем. Функция ввода. Функции вывода. Вы...
14733. Ознакомиться с реализацией рекурсивных структур данных (на примере списков) на языке Lisp 31.5 KB
  Лабораторная работа №7 Цели работы Ознакомиться с реализацией рекурсивных структур данных на примере списков на языке Lisp. Реализовать основные функции работы со списками: создание списка вставка элемента с клавиатуры на позицию по з
14734. Изучение устройства и режимов работы диффузионной системы типа СДО - 125/3 - 12 692 KB
  Изучение устройства и режимов работы диффузионной системы типа СДО 125/3 12 Цель работы: Изучить конструкцию диффузионной системы типа СДО125/312 и особенности эксплуатации при проведении диффузионноокислительных процессов в технологии производства интегральн...
14735. Исследование радиационных характеристик источников ИК излучения 1.03 MB
  Исследование радиационных характеристик источников ИК излучения Цель работы: Изучить характеристики и конструкции источников ИК излучения Овладеть приемами аналитического расчета Овладеть приемами экспериментального определения облученности ...
14736. Изучение конструкции установки для осаждения эпитаксиальных слоев твердых растворов А iii B V ЭПИТРОН – 1С 1.45 MB
  Лабораторная работа №4 Изучение конструкции установки для осаждения эпитаксиальных слоев твердых растворов А iii B V Эпитрон 1С. Цель работы: I изучить физикохимические основы процесса получения структур типа из газовой фазы; 2 изучить конструкцию технические х