16219

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа №7 Решение дифференциальных уравнений первого порядка Цель лабораторной работы: Изучить принципы создания класса для решения дифференциальных уравнений первого порядка. Постановка задачи: Разработать класс решения дифференциальных уравнен...

Русский

2013-06-20

80 KB

4 чел.

Лабораторная работа №7

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Цель лабораторной работы: Изучить принципы создания класса для решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Постановка задачи:

Разработать класс решения дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера, методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Головная программа должна предоставлять возможность выбора метода решения и дифференциального уравнения и списка.

Краткие теоретические сведения:

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,у')=0 или у'=f(x,y). Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим несколько численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Описание численных методов приводится для уравнения в виде у'=f(x,y).

  1.  Метод Эйлера.

Рассмотрим два варианта вывода расчетных формул

y1=y0+h*f(x0,y0)

x1=x0+h

Расчетные формулы для 1-го шага

yi+1=yi+h*f(xi,yi)

xi+1=xi*h

Расчетные формулы для i-го шага


  1.  Модифицированный метод Эйлера (вариант 2).

уi+1i+(h/2)[f(xi,yi)+f(xi,+h,yi+hf(xi,yi))],

xi+1=xi+h.

  1.  Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

уi+1=уi+(k1+2k2+2k3+k4)/6,

k1=hf(xi,yi),

k2=hf(xi+h/2, yi+k1/2),

k3=hf(xi+h/2, yi+k2/2),

k4=hf(xi+h, yi+k3),

xi+1=xi+h,

где уi+1i - значения искомой функции в точках xi+1, xi соответственно, индекс i показывает номер шага интегрирования, h - шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x0, y=y0.

Текст программы:

// основная программа

unit UMainForm;

interface

uses

 Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

 Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, ComCtrls, TeeProcs, TeEngine, Chart, Series,

 Buttons, BubbleCh, Grids, DiffEquation;

type

 TForm1 = class(TForm)

   EditMin: TEdit;

   EditMax: TEdit;

   Label1: TLabel;

   Label2: TLabel;

   Label3: TLabel;

   Panel1: TPanel;

   Label4: TLabel;

   Bevel1: TBevel;

   DisplayChart: TChart;

   Series1: TLineSeries;

   SpeedButton1: TSpeedButton;

   Panel4: TPanel;

   RadioGroupEquation: TRadioGroup;

   Table: TStringGrid;

   Label5: TLabel;

   Panel2: TPanel;

   EditH: TEdit;

   Label6: TLabel;

   Panel3: TPanel;

   GroupBox1: TGroupBox;

   CheckBox1: TCheckBox;

   CheckBox2: TCheckBox;

   CheckBox3: TCheckBox;

   Series2: TLineSeries;

   Series3: TLineSeries;

   procedure SpeedButton1Click(Sender: TObject);

   procedure RadioGroupEquationClick(Sender: TObject);

   procedure GroupBox1Click(Sender: TObject);

   procedure CheckBoxesClick(Sender: TObject);

   procedure FormCreate(Sender: TObject);

 private

   { Private declarations }

 public

   { Public declarations }

 end;

var

 Form1: TForm1;

 Diff:TDifferentia;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.SpeedButton1Click(Sender: TObject);

var

 Method:TMethod;

begin

if Assigned(Diff) then

 diff.Free;

if CheckBox1.Checked=true then Method[0]:=1 else Method[0]:=0;

if CheckBox2.Checked=true then Method[1]:=1 else Method[1]:=0;

if CheckBox3.Checked=true then Method[2]:=1 else Method[2]:=0;

case (RadioGroupEquation.ItemIndex) of

 0:Diff:=TDifferentia.Create(StrToFloat(EditMin.Text),StrToFloat(EditMax.Text),Method,StrToFloat(EditH.Text),DisplayChart,Table);

 1:Diff:=TDifferentia1.Create(StrToFloat(EditMin.Text),StrToFloat(EditMax.Text),Method,StrToFloat(EditH.Text),DisplayChart,Table);

 2:Diff:=TDifferentia2.Create(StrToFloat(EditMin.Text),StrToFloat(EditMax.Text),Method,StrToFloat(EditH.Text),DisplayChart,Table);

end;

end;

procedure TForm1.RadioGroupEquationClick(Sender: TObject);

begin

//  ShowMessage('Для вычисления значений нажмите кнопку "РАССЧИТАТЬ"');

end;

procedure TForm1.GroupBox1Click(Sender: TObject);

begin

 ShowMessage('Для вычисления значений нажмите кнопку "РАССЧИТАТЬ"');

end;

procedure TForm1.CheckBoxesClick(Sender: TObject);

begin

 Diff.Method[(Sender as TCheckBox).Tag]:=ord((Sender as TCheckBox).Checked);

end;

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

begin

 SpeedButton1.Click;

end;

end.

unit DiffEquation;

interface

Uses Chart, Grids, Classes, SysUtils;

Type

 TArrayList = array [0..2] of TList;

 TPoint = Record

     x:Extended;

     y:Extended;

   end;

 PPoint=^TPoint;

 TMethod=array [0..2] of byte;

 TDifferentia = class

   private

     FMin:Extended;  // мин. граница промежутка

     FMax:Extended;  // макс. граница промежутка

     FH:Extended;    // шаг вычисления

     FN:Integer;     // количество итераций

     FMethod:TMethod;    // метод вычисления

     FChart:TChart;  // область отображения

     FTable:TStringGrid;  // таблица для значений

     PD:PPoint;

     FResult:TArrayList;

     procedure DrawF(AResult:TList;series:Byte);

     procedure FillTable(AResult:TList; ARow:Byte);

{     procedure SetMin(newMin:Extended);

     procedure SetMax(newMax:Extended);

     procedure SetMethod(newMetod:Byte);}

   public

     constructor Create(AMin,AMax:Extended; AMethod:TMethod; AH:Extended; AChart:TChart; ATable:TStringGrid); overload;

     function F(x0,y0:Extended):Extended;  virtual;

     property Min:Extended read FMin write FMin;

     property Max:Extended read FMax write FMax;

//     property Method:Byte read FMethod write FMethod;

     property Chart:TChart read FChart write FChart;

     property Table:TStringGrid read FTable write FTable;

     procedure Calculate;

     procedure Calc_Ejler;

     procedure Calc_Modify_Ejler;

     procedure Calc_Runge_Kutta;

     function GetMethod(ind: integer): byte;

     procedure SetMethod(ind: integer;ANew: byte);

     procedure OutPut;

     property Method[ind: integer]: byte read GetMethod write SetMethod;

  end;

 TDifferentia1 = class (TDifferentia)

   public

     function F(x0,y0:Extended):Extended;     override;

 end;

 TDifferentia2 = class (TDifferentia)

   public

     function F(x0,y0:Extended):Extended;     override;

 end;

implementation

function TDifferentia.GetMethod(ind:  integer): byte;

begin

 Result:=FMethod[ind];

end;

procedure TDifferentia.SetMethod(ind: integer;ANew: byte);

begin

 FMethod[ind]:=ANew;

 Self.OutPut;

end;

function TDifferentia1.F(x0,y0:Extended):Extended;

begin

 Result:=(1-2*x0)/(y0*y0);

 Result:=FH*Result;

end;

function TDifferentia2.F(x0,y0:Extended):Extended;

begin

 Result:=sin(x0)-y0;

 Result:=FH*Result;

end;

constructor TDifferentia.Create(AMin,AMax:Extended; AMethod:TMethod; AH:Extended; AChart:TChart; ATable:TStringGrid);

begin

 FMin:=AMin;

 FMax:=AMax;

 FH:=AH;

 FN:=round((FMax-FMin)/FH)+1;

 FMethod:=AMethod;

 FChart:=AChart;

 FTable:=ATable;

 Calculate;

 OutPut;

end;

function TDifferentia.F(x0,y0:Extended):Extended;

begin

 Result:=3*x0-2*y0+5;

 Result:=FH*Result;

end;

procedure TDifferentia.Calculate;

begin

 Calc_Ejler;

 Calc_Modify_Ejler;

 Calc_Runge_Kutta;

end;

procedure TDifferentia.Calc_Ejler;

var

 i:Integer;

 x:Extended;

 y0,y:Extended; // y0 предыдущее значение

begin

 FResult[0]:=TList.Create;

 x:=FMin;

 y0:=1;

 for i:=1 to FN do

  begin

    new(PD);

    y:=y0+F(x-FH,y0);

    y0:=y;

    PD^.x:=x;

    PD^.y:=y;

    x:=x+FH;

    FResult[0].Add(PD);

  end;

end;

procedure TDifferentia.Calc_Modify_Ejler;

var

 i:integer;

 x:Extended;

 y0,y:Extended;

begin

 FResult[1]:=TList.Create;

 x:=FMin;

 y0:=1;

 for i:=1 to FN do

   begin

     new(PD);

     y:=y0+f((x+FH/2),(y0+f(x,y0)/2));

     y0:=y;

     PD^.x:=x;

     PD^.y:=y;

     x:=x+FH;

     FResult[1].Add(PD);

   end;

end;

procedure TDifferentia.Calc_Runge_Kutta;

var

  k1,k2,k3,k4:Extended;

  y0,y:Extended;

  x:Extended;

  i:integer;

begin

 FResult[2]:=TList.Create;

 x:=FMin;

 y0:=1;

 for i:=1 to FN do

   begin

     new(PD);

     k1:=f(x,y0);

     k2:=f(x+FH/2, y0+k1/2);

     k3:=f(x+FH/2, y0+k2/2);

     k4:=f(x+FH, y0+k3);

     y:=y0+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

     y0:=y;

     PD^.x:=x;

     PD^.y:=y;

     x:=x+FH;

     FResult[2].Add(PD);

   end;

end;

procedure TDifferentia.DrawF(AResult:TList;series:Byte);

var

 i:integer;

begin

FChart.Series[series].Clear;

     for  i:=0 to AResult.Count-1 do

     begin

       new(PD);

       PD:=AResult[i];

       FChart.Series[series].AddXY(PD^.x, PD^.y);

     end;

end;

procedure TDifferentia.OutPut;

var

 i:integer;

 x:Extended;

begin

FTable.Rows[0].Clear;

FTable.Rows[1].Clear;

FTable.Rows[2].Clear;

FTable.Rows[3].Clear;

FChart.Series[0].Clear;

FChart.Series[1].Clear;

FChart.Series[2].Clear;

if ((FMethod[0]=1)or(FMethod[1]=1)or(FMethod[2]=1)) then

  if (Assigned(FChart))and(Assigned(FTable)) then

   begin

     FTable.Cells[0,0]:='   X ';

     FTable.ColCount:=2;

     x:=FMin;

     for i:=1 to FN do

          begin

            FTable.ColCount:=FTable.ColCount+1;

            FTable.Cells[i,0]:=FloatToStr(x);

            x:=x+FH;

          end;

     FTable.ColCount:=Table.ColCount-1;

     if FMethod[0]=1 then

         begin

           FTable.Cells[0,1]:='   Y1 ';

           DrawF(FResult[0],0);

           FillTable(FResult[0],1);

         end;

     if FMethod[1]=1 then

         begin

           FTable.Cells[0,2]:='   Y2 ';

           DrawF(FResult[1],1);

           FillTable(FResult[1],2);

         end;

     if FMethod[2]=1 then

          begin

           FTable.Cells[0,3]:='   Y3';

           DrawF(FResult[2],2);

           FillTable(FResult[2],3);

          end;

   end;

end;

procedure TDifferentia.FillTable(AResult:TList; ARow:Byte);

var

i:integer;

begin

for  i:=0 to AResult.Count-1 do      // y - столбцы

     begin

       new(PD);

       PD:=AResult.Items[i];

       FTable.Cells[i+1,ARow]:=FloatToStr(PD^.y);

       //Dispose(PD);

     end;

end;

end.


Результаты работы программы:

Вывод: В результате выполнения данной лабораторной работы были изучить принципы создания класса для решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Был разработан класс, который позволяет вычислять дифференциальные уравнения первого порядка четырьмя различными методами:  Эйлера, усовершенствованный метод Эйлера и методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Программа отображает результаты работы в виде графика и таблицы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37612. Проведение экспериментальных работ при исследовании переходных процессов в электрических цепях 115 KB
  На экране осциллографа получаем изображение зависимости напряжения и тока конденсатора от времени.Зарисовываем осциллограммы тока и напряжения на конденсаторе: Рассчитываем по осциллограмме постоянные времени разряда и заряда конденсатора по кривой uсt. На экране осциллографа получаем изображения зависимости тока и напряжения катушки от времени. Зарисовываем осциллограммы тока и напряжения катушки: Рассчитываем по осциллограмме постоянные времени при подключении и отключении катушки по кривой it.
37613. История государства и права зарубежных стран (ИГПЗС) 712 KB
  В силу конкретноисторического подхода к государственноправовым явлениям и процессам присущим тому или иному обществу на том или ином этапе его развития оперируя множеством фактов и событий политической жизни деятельности государств правительств классов и партий ИГПЗС ставит своей целью выявление исторических закономерностей развития государства и права. ИГПЗС тесно связана с другой юридической наукой и учебной дисциплиной – Теорией государства и права также изучающей закономерности развития государства и права. Теория...
37614. Основи теорії транспортних процесів і систем 4.22 MB
  У цьому розділі вивчаються питання стосовно експлуатаційних властивостей транспортних засобів що використовуються для організації процесу перевезення вантажів та пасажирів. В країнах Азії до цих пір переміщення вантажів та людей за допомогою коромисел є дуже розповсюдженим. В умовах первинно общинного ладу для транспортування людей та вантажів використовувались найпростіші засоби включаючи в'ючних тварин. На сьогодні транспорт це одна із найважливіших галузей матеріального виробництва що виконує перевезення людей та вантажів.
37615. Программирование на языке ассемблера для микропроцессоров фирмы Intel 411.5 KB
  Программист или любой другой пользователь может использовать любые высокоуровневые средства вплоть до программ построения виртуальных миров и возможно даже не подозревать что на самом деле компьютер выполняет не команды языка на котором написана его программа а их трансформированное представление в форме скучной и унылой последовательности команд совсем другого языка машинного. шесть регистров сегментов: cs ds ss es fs gs; регистры состояния и управления: регистр флагов eflags flags; регистр указателя команды eip ip. Его...
37616. Тезисы лекций по маркетингу 534.5 KB
  В этой ипостаси маркетинг существует несколько тысяч лет когда произошло отделение купца негоцианта от производителя товара – ремесленника. Производственная: Разработка ассортимента новых продуктов; Разработка требований к новым товарам Сбытовая: Выбор каналов сбыта. Сравнительный анализ сбытовой и современной концепций маркетинга Сбытовая Современный маркетинг Учет потребностей Предприятия Потребителей Производится то что Удается произвести Что будет куплено Ассортимент Узкий Широкий Горизонт планирования Краткосрочный Длительный...
37617. Бег с барьерами 15.99 KB
  Дисциплины: Зимний сезон : 50 метров 60 метров Летний сезон : 100 метров женщины 110 метров мужчины 400 метров История Первые упоминания об официальных стартах в барьерном беге относятся к соревнованиям в Англии в 1837 году в колледже Итон. Олимпийский дебют на дистанции 110 метров с барьерами состоялся в 1896 году.
37618. Горный бег 18.2 KB
  Классификация трасс по критерию набор высоты Категория А: набор высоты составляет как минимум 76 метров 250 футов на каждую милю 16 км дистанции; по шоссе проходит не более 20 от общей длины трассы; трасса должна быть длиной не менее одной мили 16 Категория В: набор высоты составляет как минимум 38 метров 125 футов на каждую милю 16 км дистанции; по шоссе проходит не более 30 от общей длины трассы; Категория С: набор высоты составляет как минимум 304 метра 100 футов на каждую милю 16 км дистанции; по шоссе проходит не...
37619. Михаил Сергеевич Горбачёв 42.26 KB
  Как обычные люди становятся историческими личностями, что выделяет их из общего ряда? То, что отличает от остальных, - исключительные способности, энергия, честолюбие, жажда власти, приверженность идеалу, или, напротив, безоглядный цинизм, беспринципность, или то, что с ними связывает
37620. Слагаемые профессионального имиджа педагога 135.5 KB
  Теоретические основы исследования проблемы имиджа педагога. Понятие и структура имиджа. Профессиональный имидж педагога. Создание имиджа учителя. Рекомендации и памятки для учителей...