16219

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа №7 Решение дифференциальных уравнений первого порядка Цель лабораторной работы: Изучить принципы создания класса для решения дифференциальных уравнений первого порядка. Постановка задачи: Разработать класс решения дифференциальных уравнен...

Русский

2013-06-20

80 KB

5 чел.

Лабораторная работа №7

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Цель лабораторной работы: Изучить принципы создания класса для решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Постановка задачи:

Разработать класс решения дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера, методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Головная программа должна предоставлять возможность выбора метода решения и дифференциального уравнения и списка.

Краткие теоретические сведения:

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,у')=0 или у'=f(x,y). Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим несколько численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Описание численных методов приводится для уравнения в виде у'=f(x,y).

  1.  Метод Эйлера.

Рассмотрим два варианта вывода расчетных формул

y1=y0+h*f(x0,y0)

x1=x0+h

Расчетные формулы для 1-го шага

yi+1=yi+h*f(xi,yi)

xi+1=xi*h

Расчетные формулы для i-го шага


  1.  Модифицированный метод Эйлера (вариант 2).

уi+1i+(h/2)[f(xi,yi)+f(xi,+h,yi+hf(xi,yi))],

xi+1=xi+h.

  1.  Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

уi+1=уi+(k1+2k2+2k3+k4)/6,

k1=hf(xi,yi),

k2=hf(xi+h/2, yi+k1/2),

k3=hf(xi+h/2, yi+k2/2),

k4=hf(xi+h, yi+k3),

xi+1=xi+h,

где уi+1i - значения искомой функции в точках xi+1, xi соответственно, индекс i показывает номер шага интегрирования, h - шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x0, y=y0.

Текст программы:

// основная программа

unit UMainForm;

interface

uses

 Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

 Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, ComCtrls, TeeProcs, TeEngine, Chart, Series,

 Buttons, BubbleCh, Grids, DiffEquation;

type

 TForm1 = class(TForm)

   EditMin: TEdit;

   EditMax: TEdit;

   Label1: TLabel;

   Label2: TLabel;

   Label3: TLabel;

   Panel1: TPanel;

   Label4: TLabel;

   Bevel1: TBevel;

   DisplayChart: TChart;

   Series1: TLineSeries;

   SpeedButton1: TSpeedButton;

   Panel4: TPanel;

   RadioGroupEquation: TRadioGroup;

   Table: TStringGrid;

   Label5: TLabel;

   Panel2: TPanel;

   EditH: TEdit;

   Label6: TLabel;

   Panel3: TPanel;

   GroupBox1: TGroupBox;

   CheckBox1: TCheckBox;

   CheckBox2: TCheckBox;

   CheckBox3: TCheckBox;

   Series2: TLineSeries;

   Series3: TLineSeries;

   procedure SpeedButton1Click(Sender: TObject);

   procedure RadioGroupEquationClick(Sender: TObject);

   procedure GroupBox1Click(Sender: TObject);

   procedure CheckBoxesClick(Sender: TObject);

   procedure FormCreate(Sender: TObject);

 private

   { Private declarations }

 public

   { Public declarations }

 end;

var

 Form1: TForm1;

 Diff:TDifferentia;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.SpeedButton1Click(Sender: TObject);

var

 Method:TMethod;

begin

if Assigned(Diff) then

 diff.Free;

if CheckBox1.Checked=true then Method[0]:=1 else Method[0]:=0;

if CheckBox2.Checked=true then Method[1]:=1 else Method[1]:=0;

if CheckBox3.Checked=true then Method[2]:=1 else Method[2]:=0;

case (RadioGroupEquation.ItemIndex) of

 0:Diff:=TDifferentia.Create(StrToFloat(EditMin.Text),StrToFloat(EditMax.Text),Method,StrToFloat(EditH.Text),DisplayChart,Table);

 1:Diff:=TDifferentia1.Create(StrToFloat(EditMin.Text),StrToFloat(EditMax.Text),Method,StrToFloat(EditH.Text),DisplayChart,Table);

 2:Diff:=TDifferentia2.Create(StrToFloat(EditMin.Text),StrToFloat(EditMax.Text),Method,StrToFloat(EditH.Text),DisplayChart,Table);

end;

end;

procedure TForm1.RadioGroupEquationClick(Sender: TObject);

begin

//  ShowMessage('Для вычисления значений нажмите кнопку "РАССЧИТАТЬ"');

end;

procedure TForm1.GroupBox1Click(Sender: TObject);

begin

 ShowMessage('Для вычисления значений нажмите кнопку "РАССЧИТАТЬ"');

end;

procedure TForm1.CheckBoxesClick(Sender: TObject);

begin

 Diff.Method[(Sender as TCheckBox).Tag]:=ord((Sender as TCheckBox).Checked);

end;

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

begin

 SpeedButton1.Click;

end;

end.

unit DiffEquation;

interface

Uses Chart, Grids, Classes, SysUtils;

Type

 TArrayList = array [0..2] of TList;

 TPoint = Record

     x:Extended;

     y:Extended;

   end;

 PPoint=^TPoint;

 TMethod=array [0..2] of byte;

 TDifferentia = class

   private

     FMin:Extended;  // мин. граница промежутка

     FMax:Extended;  // макс. граница промежутка

     FH:Extended;    // шаг вычисления

     FN:Integer;     // количество итераций

     FMethod:TMethod;    // метод вычисления

     FChart:TChart;  // область отображения

     FTable:TStringGrid;  // таблица для значений

     PD:PPoint;

     FResult:TArrayList;

     procedure DrawF(AResult:TList;series:Byte);

     procedure FillTable(AResult:TList; ARow:Byte);

{     procedure SetMin(newMin:Extended);

     procedure SetMax(newMax:Extended);

     procedure SetMethod(newMetod:Byte);}

   public

     constructor Create(AMin,AMax:Extended; AMethod:TMethod; AH:Extended; AChart:TChart; ATable:TStringGrid); overload;

     function F(x0,y0:Extended):Extended;  virtual;

     property Min:Extended read FMin write FMin;

     property Max:Extended read FMax write FMax;

//     property Method:Byte read FMethod write FMethod;

     property Chart:TChart read FChart write FChart;

     property Table:TStringGrid read FTable write FTable;

     procedure Calculate;

     procedure Calc_Ejler;

     procedure Calc_Modify_Ejler;

     procedure Calc_Runge_Kutta;

     function GetMethod(ind: integer): byte;

     procedure SetMethod(ind: integer;ANew: byte);

     procedure OutPut;

     property Method[ind: integer]: byte read GetMethod write SetMethod;

  end;

 TDifferentia1 = class (TDifferentia)

   public

     function F(x0,y0:Extended):Extended;     override;

 end;

 TDifferentia2 = class (TDifferentia)

   public

     function F(x0,y0:Extended):Extended;     override;

 end;

implementation

function TDifferentia.GetMethod(ind:  integer): byte;

begin

 Result:=FMethod[ind];

end;

procedure TDifferentia.SetMethod(ind: integer;ANew: byte);

begin

 FMethod[ind]:=ANew;

 Self.OutPut;

end;

function TDifferentia1.F(x0,y0:Extended):Extended;

begin

 Result:=(1-2*x0)/(y0*y0);

 Result:=FH*Result;

end;

function TDifferentia2.F(x0,y0:Extended):Extended;

begin

 Result:=sin(x0)-y0;

 Result:=FH*Result;

end;

constructor TDifferentia.Create(AMin,AMax:Extended; AMethod:TMethod; AH:Extended; AChart:TChart; ATable:TStringGrid);

begin

 FMin:=AMin;

 FMax:=AMax;

 FH:=AH;

 FN:=round((FMax-FMin)/FH)+1;

 FMethod:=AMethod;

 FChart:=AChart;

 FTable:=ATable;

 Calculate;

 OutPut;

end;

function TDifferentia.F(x0,y0:Extended):Extended;

begin

 Result:=3*x0-2*y0+5;

 Result:=FH*Result;

end;

procedure TDifferentia.Calculate;

begin

 Calc_Ejler;

 Calc_Modify_Ejler;

 Calc_Runge_Kutta;

end;

procedure TDifferentia.Calc_Ejler;

var

 i:Integer;

 x:Extended;

 y0,y:Extended; // y0 предыдущее значение

begin

 FResult[0]:=TList.Create;

 x:=FMin;

 y0:=1;

 for i:=1 to FN do

  begin

    new(PD);

    y:=y0+F(x-FH,y0);

    y0:=y;

    PD^.x:=x;

    PD^.y:=y;

    x:=x+FH;

    FResult[0].Add(PD);

  end;

end;

procedure TDifferentia.Calc_Modify_Ejler;

var

 i:integer;

 x:Extended;

 y0,y:Extended;

begin

 FResult[1]:=TList.Create;

 x:=FMin;

 y0:=1;

 for i:=1 to FN do

   begin

     new(PD);

     y:=y0+f((x+FH/2),(y0+f(x,y0)/2));

     y0:=y;

     PD^.x:=x;

     PD^.y:=y;

     x:=x+FH;

     FResult[1].Add(PD);

   end;

end;

procedure TDifferentia.Calc_Runge_Kutta;

var

  k1,k2,k3,k4:Extended;

  y0,y:Extended;

  x:Extended;

  i:integer;

begin

 FResult[2]:=TList.Create;

 x:=FMin;

 y0:=1;

 for i:=1 to FN do

   begin

     new(PD);

     k1:=f(x,y0);

     k2:=f(x+FH/2, y0+k1/2);

     k3:=f(x+FH/2, y0+k2/2);

     k4:=f(x+FH, y0+k3);

     y:=y0+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

     y0:=y;

     PD^.x:=x;

     PD^.y:=y;

     x:=x+FH;

     FResult[2].Add(PD);

   end;

end;

procedure TDifferentia.DrawF(AResult:TList;series:Byte);

var

 i:integer;

begin

FChart.Series[series].Clear;

     for  i:=0 to AResult.Count-1 do

     begin

       new(PD);

       PD:=AResult[i];

       FChart.Series[series].AddXY(PD^.x, PD^.y);

     end;

end;

procedure TDifferentia.OutPut;

var

 i:integer;

 x:Extended;

begin

FTable.Rows[0].Clear;

FTable.Rows[1].Clear;

FTable.Rows[2].Clear;

FTable.Rows[3].Clear;

FChart.Series[0].Clear;

FChart.Series[1].Clear;

FChart.Series[2].Clear;

if ((FMethod[0]=1)or(FMethod[1]=1)or(FMethod[2]=1)) then

  if (Assigned(FChart))and(Assigned(FTable)) then

   begin

     FTable.Cells[0,0]:='   X ';

     FTable.ColCount:=2;

     x:=FMin;

     for i:=1 to FN do

          begin

            FTable.ColCount:=FTable.ColCount+1;

            FTable.Cells[i,0]:=FloatToStr(x);

            x:=x+FH;

          end;

     FTable.ColCount:=Table.ColCount-1;

     if FMethod[0]=1 then

         begin

           FTable.Cells[0,1]:='   Y1 ';

           DrawF(FResult[0],0);

           FillTable(FResult[0],1);

         end;

     if FMethod[1]=1 then

         begin

           FTable.Cells[0,2]:='   Y2 ';

           DrawF(FResult[1],1);

           FillTable(FResult[1],2);

         end;

     if FMethod[2]=1 then

          begin

           FTable.Cells[0,3]:='   Y3';

           DrawF(FResult[2],2);

           FillTable(FResult[2],3);

          end;

   end;

end;

procedure TDifferentia.FillTable(AResult:TList; ARow:Byte);

var

i:integer;

begin

for  i:=0 to AResult.Count-1 do      // y - столбцы

     begin

       new(PD);

       PD:=AResult.Items[i];

       FTable.Cells[i+1,ARow]:=FloatToStr(PD^.y);

       //Dispose(PD);

     end;

end;

end.


Результаты работы программы:

Вывод: В результате выполнения данной лабораторной работы были изучить принципы создания класса для решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Был разработан класс, который позволяет вычислять дифференциальные уравнения первого порядка четырьмя различными методами:  Эйлера, усовершенствованный метод Эйлера и методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Программа отображает результаты работы в виде графика и таблицы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76611. Настройка параметров аутентификации Windows 2000 (ХР) 144.5 KB
  Определяет число новых паролей которые должны быть сопоставлены учетной записи пользователя прежде чем можно будет снова использовать старый пароль. Определяет период времени в днях в течение которого можно использовать пароль прежде чем система потребует от пользователя заменить его. Минимальный срок действия пароля Определяет период времени в днях в течение которого необходимо использовать пароль прежде чем пользователь сможет заменить его. Определяет наименьшее число символов которые может содержать пароль учетной записи...
76612. Екатерина II. Просвещенный абсолютизм 33.5 KB
  Екатерина II стремилась построить законную самодержавную монархию обновить ее с учетом новых исторических реалий а не вводить конституционный демократический строй как этого хотели просветители. Большое внимание Екатерина II уделяла совершенствованию законодательства. Екатерина написала для комиссии Наказ в котором обосновала основные принципы политики просвещенного абсолютизма. Екатерина II положила начало крупнейшему музею мира Эрмитажу.
76613. Зарождение либеральной и революционной идеи в России 18 века 29.5 KB
  Русский либерализм одна из значимых тенденций общественной мысли в России. Либерализм в России возник как идеология в период кризиса феодальнокрепостнического строя конец 18 1я половина 19 в. Его появление обусловлено включением России в широкий общеевропейский контекст приобщением высших слоев общества к европейской образованности утверждением идеалов просвещения внедрением идеи общественного договора и т.
76614. Россия и мир в 19 веке. Попытки модернизации и промышленный переворот. Развитие россии при Александре 1 30 KB
  Александр 1 – сын императора Павла I и княгини Марии Фёдоровны, внук Екатерины 2. Родился 23 декабря 1777 г. С самого раннего детства он начал жить у бабушки, которая хотела воспитать из него хорошего государя. После смерти Екатерины на престол вошел Павел
76615. Декабризм. Исторические условия, предпосылки, программы, тактика 28.5 KB
  Серьезное влияние на становление взглядов будущих декабристов оказали идеи западных национально-освободительных движений русская публицистика и просветительская литература. Таким образом можно выделить следующие важнейшие причины восстания декабристов. Несмотря на то что далеко не все было готово заговорщики решили действовать и восстание декабристов произошло в 1825 г. Но Николай 1 был предупрежден о том что готовится восстание декабристов на Сенатской площади.
76616. Николай 1. Западничество и славянофильство 35 KB
  Либеральная мысль в России разделилась на два идейных течения оппозиционных политике Николая I славянофилы и западники. Западники придерживались идеи о том что Россия принадлежит к европейской цивилизации и следовательно путь ее развития проходит по тем же рельсам по которым уже прошла Европа. Западники напротив верили в единство человеческой цивилизации и полагали что Россия стала цивилизованным государством лишь со времен Петра Великого благодаря именно реформам Петра. С особенным интересом западники следили за умственным...
76617. Россия во второй половине 19 в. Реформы и контрреформы 45 KB
  Реформы и контрреформы. Сразу же началась подготовка судебной реформы. Основные принципы судебной реформы определенные с учетом опыта европейских стран была одобрена Александром II в сентябре 1862 г. Важнейшим принципом реформы было признание равенства всех подданных империи перед законом.
76618. Основные направления народничества 33 KB
  езавершенность и половинчатость большинства реформ, проводившихся в борьбе с консерваторами, вызвали всплеск движения революционного народничества. Общество «Земля и воля», созданное Чернышевским, Слепцовым, Обручевым, Серно-Соловьевичем в конце 1861- начале 1862 г. в Петербурге не имело достаточно сил, чтобы стать всероссийской организацией
76619. Распространение марксизма в России 34 KB
  Первые организации пролетариата возникли в Петербурге и Одессе и назывались соответственно Северный союз русских рабочих и Южнороссийский союз рабочих. Оба императора и мысли не допускали чтобы разрешить образование профсоюзов или других даже не политических рабочих организаций. В результате по решению правительства трудовые споры должны были улаживать специальные чиновники фабричные инспектора которые разумеется чаще находились под влиянием предпринимателей нежели заботились об интересах рабочих. со своими соратниками он создал в...