16230

Изучение движения физического резонанса

Лабораторная работа

Физика

Тема: Изучение движения физического резонанса. Введение Физическим маятником называется твердое тело находящееся в поле сил тяготения и имеющего ось вращения лежащую в плоскости перпендикулярной вектору ускорения свободного падения g. o

Русский

2013-06-20

151.5 KB

1 чел.

Тема: Изучение движения физического резонанса.

Введение

Физическим маятником называется твердое тело, находящееся в поле сил тяготения и имеющего ось вращения, лежащую в плоскости, перпендикулярной вектору ускорения свободного падения g.

    o

            r

        o

                          mg

 Известно, что движение твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения, описывается уравнением

              ,                                   (1)

где - момент инерции относительно оси вращения;- угловая скорость вращения;- суммарный момент действующих на тело внешних сил.

 Для физического маятника уравнение (1) преобразуется к виду

              .                              (2)

Уравнение (2) описывает идеализированный случай движения, поскольку не учитывает силы трения. Здесь -момент силы тяжести; - угол отклонения центра масс тела, отсчитываемый от вертикальной оси (положения равновесия);- масса тела;- расстояние от точки закрепления О до центра масс С.

 Умножим обе части (2) на :

и преобразуем полученное выражение к виду

.                          (3)

Интегрирование этого соотношения приводит к уравнению

               (4)

Постоянная интегрирования С может быть найдена из начальных условий(соотношениё для положения равновесия):

,,

где  угловая скорость маятника при прохождении положения равновесия,

Тогда    (4) имеет вид

                                 (5)

Это- уравнение колебания физического маятника.

Для дальнейшего изучения характера движения удобно это уравнение представить в виде

                  (6)

Знаки "+" или "-" соответствуют движению маятника вправо или влево от положения равновесия.

 Характер движения маятника существенно зависит от величины параметра .Действительно, если кинетическая энергия тела при прохождении положения устойчивого равновесия больше, чем работа, необходимая для поднятия центра тяжести маятника от самого низкого положения ( положения устойчивого равновесия) до самого высокого(положения не устойчивого равновесия),

,

то подкоренное выражение в правой части (6) всегда положительно и угол  с течением времени может неограниченно увеличиваться .Другими словами, если , то маятник соверщает вращательное движение вокруг своей оси подвеса с переменной угловой скоростью (кривая 1 на рис. 2).

Если , то , и движение маятника изображается кривой 2 на рис. 2.

Если , то подкоренное выражение положительно при , где .         (7)

Во время движения угол  возрастает до , затем убывает до , т.е. происходят колебания физического маятника.      1

  

         

          2

 max

                3

 -max

Для малых значений , таких что , уравнение (2) преобразуется к виду                (8)

 Это уравнение гармонических колебаний, где - собственная частота колебаний .

Его решение имеет вид

   ,

здесь A,a - амплитуда и начальная фаза колебаний, которые могут быть найдены из начальных условий.Вид такого движения показан на рис. 2 кривой 3.

Все время движения физического маятника в  общем случае связанно с углом поворота  соотношением

,                 (10)

полученным из (6).Если в это соотношение подставить пределы интегрирования  и , также что , то получим формулу для периода колебательного движения:

.                (11)

  Интеграл, стоящий в правой части (11), не может быть выражен через элементарные функции. Однако для малых значений угла  можно с помощью разложения в ряд и замены на  получить в первом приближении для периода гармонических колебаний формулу

.                       (12)

Математический маятник

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из невесомой и не растяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. В приближении малых значений углов отклонения уравнение колебаний математического маятника будет иметь вид (8).С учетом того, что момент инерции

,              (13)

где  масса материальной точки, расстояние до точки подвеса, собственная частота колебаний

                     (14)

Период колебаний математического маятника

.              (15)

Эта формула используется для определения ускорения свободного падения.

Оборотный маятник

Для изучения характеристик движения физического маятника будем использовать оборотный маятник, представляющий собой стержень с двумя легкими опорными призмами и двумя массивными съемными грузами. По теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции такого маятника относительно закрепленной оси, проходящей через точку О (рис.1),

,             (16)

где -момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс,-расстояние между О и С. Подставив (16) в формулу для периода (12), получим

.            (17)

Качественно вид зависимости T(r) изображен на рис. 3. Если подвешивать маятник по другую сторону от центра масс, то, как видно из (17), зависимость T(r) имеет две симметричные ветви.

 По каждую сторону от центра масс  имеются два положения опорных призм, при которых периоды колебаний маятника совпадают ( и ). Найдем их: T() = T() = T,

тогда из (17)

,        T

откуда и

(18)                                     o                   r1          r2                        r

Следовательно, ускорение свободного падения может быть определено по формуле

.             (19)

Упражнение 1.

а) Определение наименьшей длинны подвеса маятника, при  котором с точностью до 0,5%  можно считать


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65412. Геомеханічне обґрунтування тривалої стійкості запобіжних ціликів між транспортними тунелями 220.5 KB
  Основна ідея досліджень полягає у геомеханічному обґрунтуванні інтегрального значення коефіцієнтy запасу міцності стрічкових запобіжних ціликів на основі аналізу і співставлення діючого і граничного напружених станів з урахуванням реологічних явищ...
65413. СТРАТЕГІЯ ІННОВАЦІЙНОГО РОЗВИТКУ ПІДПРИЄМСТВ ВИНОГРАДАРСТВА І ПЛОДІВНИЦТВА АВТОНОМНОЇ РЕСПУБЛІКИ КРИМ 235.5 KB
  Географічне положення Автономної Республіки Крим є одним з чинників що формують інвестиційну привабливість для вкладення в інноваційну діяльність різних галузей що в свою чергу вимагає розробки довготривалої стратегії інноваційного розвитку на основі створення...
65414. АДМІНІСТРАТИВНА ВІДПОВІДАЛЬНІСТЬ ЗА ПОРУШЕННЯ ЗАКОНОДАВСТВА ПРО ПРАЦЮ 203 KB
  Актуальність дослідженої теми пояснюється тим що характеристика адміністративних правопорушень у сфері трудових правовідносин має важливе значення для запровадження механізму протидії їм а також розроблення пропозицій...
65415. Робота утримувальної протизсувної споруди у вигляді паль-шпонок 1.85 MB
  Для досягнення мети дослідження були поставлені такі завдання: систематизувати й узагальнити наявні дані за регіональними особливостями конструкцій пальових ПС методами їх розрахунку як у зсувній товщі так і в закладанні в стійких незміщуваних ґрунтах Криму...
65416. Конструктивно-технологічні рішення відновлення несучої здатності пошкоджених панелей обшивки літака шляхом приформування композитної накладки 5.08 MB
  Результати досліджень провідних світових організацій довели що в цих випадках раціональним методом ремонтубільшості технологічних та експлуатаційних дефектів є приформування ремонтної накладки з полімерного композиційного матеріалу ПКМ.
65417. ПІДВИЩЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ ВАНТАЖОПЕРЕВЕЗЕНЬ ШЛЯХОМ УДОСКОНАЛЕННЯ ЇХ ОРГАНІЗАЦІЇ ТА ІНФОРМАЦІЙНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ НА ПРОМИСЛОВОМУ ТРАНСПОРТІ 238.5 KB
  Термін виконання цих послуг суттєво впливає на вартість кінцевого продукту і значно залежить від інформаційного забезпечення усіх процесів які відбуваються на промисловому транспорті при формуванні чи розпилу вантажопотоків починаючи...
65418. ОЧИЩЕННЯ ВОДИ ВІД МІКРОМІЦЕТІВ 3.36 MB
  Вода завжди вважалася джерелом розповсюдження ряду збудників небезпечних захворювань. Кількість таких захворювань, які передаються водним шляхом, катастрофічно збільшується. Погіршення якості води в джерелах водопостачання призводить до зниження санітарно-гігієнічних показників питної води...
65419. РОЗВИТОК ЗЕМСЬКОЇ ОСВІТИ НА ЛІВОБЕРЕЖНІЙ УКРАЇНІ (ДРУГА ПОЛОВИНА ХІХ – ПОЧАТОК ХХ ст.) 214.5 KB
  Роботу виконано на кафедрі педагогіки імені Богдана Ступарика Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника Міністерство освіти і науки України. У період модернізації національної системи освіти шляхом створення...
65420. УДОСКОНАЛЕННЯ ТЕХНОЛОГІЇ ТАМПОДРУКУ ТА ФЛЕКСОГРАФІЧНОГО ДРУКУ НА ПОЛІМЕРНИХ ВИРОБАХ ТА ПЛІВКАХ 687.5 KB
  Метою і завданням дослідження є удосконалення технології тамподруку та флексографічного друку на полімерних плівках і виробах шляхом їх попередньої обробки для зміни поверхневих властивостей з метою поліпшення якості відбитків.