16230

Изучение движения физического резонанса

Лабораторная работа

Физика

Тема: Изучение движения физического резонанса. Введение Физическим маятником называется твердое тело находящееся в поле сил тяготения и имеющего ось вращения лежащую в плоскости перпендикулярной вектору ускорения свободного падения g. o

Русский

2013-06-20

151.5 KB

1 чел.

Тема: Изучение движения физического резонанса.

Введение

Физическим маятником называется твердое тело, находящееся в поле сил тяготения и имеющего ось вращения, лежащую в плоскости, перпендикулярной вектору ускорения свободного падения g.

    o

            r

        o

                          mg

 Известно, что движение твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения, описывается уравнением

              ,                                   (1)

где - момент инерции относительно оси вращения;- угловая скорость вращения;- суммарный момент действующих на тело внешних сил.

 Для физического маятника уравнение (1) преобразуется к виду

              .                              (2)

Уравнение (2) описывает идеализированный случай движения, поскольку не учитывает силы трения. Здесь -момент силы тяжести; - угол отклонения центра масс тела, отсчитываемый от вертикальной оси (положения равновесия);- масса тела;- расстояние от точки закрепления О до центра масс С.

 Умножим обе части (2) на :

и преобразуем полученное выражение к виду

.                          (3)

Интегрирование этого соотношения приводит к уравнению

               (4)

Постоянная интегрирования С может быть найдена из начальных условий(соотношениё для положения равновесия):

,,

где  угловая скорость маятника при прохождении положения равновесия,

Тогда    (4) имеет вид

                                 (5)

Это- уравнение колебания физического маятника.

Для дальнейшего изучения характера движения удобно это уравнение представить в виде

                  (6)

Знаки "+" или "-" соответствуют движению маятника вправо или влево от положения равновесия.

 Характер движения маятника существенно зависит от величины параметра .Действительно, если кинетическая энергия тела при прохождении положения устойчивого равновесия больше, чем работа, необходимая для поднятия центра тяжести маятника от самого низкого положения ( положения устойчивого равновесия) до самого высокого(положения не устойчивого равновесия),

,

то подкоренное выражение в правой части (6) всегда положительно и угол  с течением времени может неограниченно увеличиваться .Другими словами, если , то маятник соверщает вращательное движение вокруг своей оси подвеса с переменной угловой скоростью (кривая 1 на рис. 2).

Если , то , и движение маятника изображается кривой 2 на рис. 2.

Если , то подкоренное выражение положительно при , где .         (7)

Во время движения угол  возрастает до , затем убывает до , т.е. происходят колебания физического маятника.      1

  

         

          2

 max

                3

 -max

Для малых значений , таких что , уравнение (2) преобразуется к виду                (8)

 Это уравнение гармонических колебаний, где - собственная частота колебаний .

Его решение имеет вид

   ,

здесь A,a - амплитуда и начальная фаза колебаний, которые могут быть найдены из начальных условий.Вид такого движения показан на рис. 2 кривой 3.

Все время движения физического маятника в  общем случае связанно с углом поворота  соотношением

,                 (10)

полученным из (6).Если в это соотношение подставить пределы интегрирования  и , также что , то получим формулу для периода колебательного движения:

.                (11)

  Интеграл, стоящий в правой части (11), не может быть выражен через элементарные функции. Однако для малых значений угла  можно с помощью разложения в ряд и замены на  получить в первом приближении для периода гармонических колебаний формулу

.                       (12)

Математический маятник

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из невесомой и не растяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. В приближении малых значений углов отклонения уравнение колебаний математического маятника будет иметь вид (8).С учетом того, что момент инерции

,              (13)

где  масса материальной точки, расстояние до точки подвеса, собственная частота колебаний

                     (14)

Период колебаний математического маятника

.              (15)

Эта формула используется для определения ускорения свободного падения.

Оборотный маятник

Для изучения характеристик движения физического маятника будем использовать оборотный маятник, представляющий собой стержень с двумя легкими опорными призмами и двумя массивными съемными грузами. По теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции такого маятника относительно закрепленной оси, проходящей через точку О (рис.1),

,             (16)

где -момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс,-расстояние между О и С. Подставив (16) в формулу для периода (12), получим

.            (17)

Качественно вид зависимости T(r) изображен на рис. 3. Если подвешивать маятник по другую сторону от центра масс, то, как видно из (17), зависимость T(r) имеет две симметричные ветви.

 По каждую сторону от центра масс  имеются два положения опорных призм, при которых периоды колебаний маятника совпадают ( и ). Найдем их: T() = T() = T,

тогда из (17)

,        T

откуда и

(18)                                     o                   r1          r2                        r

Следовательно, ускорение свободного падения может быть определено по формуле

.             (19)

Упражнение 1.

а) Определение наименьшей длинны подвеса маятника, при  котором с точностью до 0,5%  можно считать


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68499. Экономическая эффективность метрологического обеспечения производства 60.61 KB
  Механизм формирования экономических потерь от погрешности измерений. Экономическая эффективность внедрения новых методов и средств измерений. Экономический эффект от проведения аттестации не стандартизованных средств измерений технологического контрольноизмерительного и испытательного оборудования.
68500. Морфологические особенности опухолей из эпителия и опухоли из тканей, производных мезенхимы 113 KB
  Эпителиальные опухоли - возникают из плоского, переходного, призматического и железистого эпителия. Доброкачественные опухоли из эпителия. Папиллома – опухоль из плоского и переходного эпителия. Локализуется на коже, слизистой полости рта, голосовых связках, в лоханке, мочеточнике, мочевом пузыре и влагалище.
68502. Мораль, нравственность и этика в системе регулярного поведения 102.99 KB
  Ритуалы и этикет как регуляторы поведения Ритуал магическое действие имеющее космический смысл Основная функция упорядочить взаимоотношения между социумом и Виды ритуалов: календарный погребальный Свадебный рождение ребенка инициации ритуал гостеприимства и обмена дарами ритуальные жертвоприношения...
68503. Этика - внутренняя организационная система 123.88 KB
  Никакие кодексы не будут действовать если они не соответствуют с внутренним ощущением правильного справедливого Будут этики доиндустриального общества пророки учет интересов других людей подчинение младших старшим Индустриальное общество...
68505. Ядерная физика 426.5 KB
  Активность является характеристикой радиоактивного вещества как источника радиоактивного излучения. Поглощенная доза количество энергии ядерного излучения поглощенное единицей массы вещества. Поглощенная доза не учитывает качественный состав падающего излучения.
68506. Понятие финансового права и его сущность 62 KB
  Финансовая деятельность государства - это осуществление им функций по планомерному образованию, распределению и использованию денежных фондов (фин ресурсов) в целях реализации задач социально-экономического развития и обеспечения обороноспособности и безопасности страны.
68507. Правовые системы современности 195 KB
  Романо-германская правовая семья. Становления и развития романо-германского права. Основные черты и особенности романо-германского права. Существенные различия правовых систем Германии и Франции. Англосаксонская правовая семья. Традиционная правовая семья. Религиозная правовая семья