16230

Изучение движения физического резонанса

Лабораторная работа

Физика

Тема: Изучение движения физического резонанса. Введение Физическим маятником называется твердое тело находящееся в поле сил тяготения и имеющего ось вращения лежащую в плоскости перпендикулярной вектору ускорения свободного падения g. o

Русский

2013-06-20

151.5 KB

1 чел.

Тема: Изучение движения физического резонанса.

Введение

Физическим маятником называется твердое тело, находящееся в поле сил тяготения и имеющего ось вращения, лежащую в плоскости, перпендикулярной вектору ускорения свободного падения g.

    o

            r

        o

                          mg

 Известно, что движение твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения, описывается уравнением

              ,                                   (1)

где - момент инерции относительно оси вращения;- угловая скорость вращения;- суммарный момент действующих на тело внешних сил.

 Для физического маятника уравнение (1) преобразуется к виду

              .                              (2)

Уравнение (2) описывает идеализированный случай движения, поскольку не учитывает силы трения. Здесь -момент силы тяжести; - угол отклонения центра масс тела, отсчитываемый от вертикальной оси (положения равновесия);- масса тела;- расстояние от точки закрепления О до центра масс С.

 Умножим обе части (2) на :

и преобразуем полученное выражение к виду

.                          (3)

Интегрирование этого соотношения приводит к уравнению

               (4)

Постоянная интегрирования С может быть найдена из начальных условий(соотношениё для положения равновесия):

,,

где  угловая скорость маятника при прохождении положения равновесия,

Тогда    (4) имеет вид

                                 (5)

Это- уравнение колебания физического маятника.

Для дальнейшего изучения характера движения удобно это уравнение представить в виде

                  (6)

Знаки "+" или "-" соответствуют движению маятника вправо или влево от положения равновесия.

 Характер движения маятника существенно зависит от величины параметра .Действительно, если кинетическая энергия тела при прохождении положения устойчивого равновесия больше, чем работа, необходимая для поднятия центра тяжести маятника от самого низкого положения ( положения устойчивого равновесия) до самого высокого(положения не устойчивого равновесия),

,

то подкоренное выражение в правой части (6) всегда положительно и угол  с течением времени может неограниченно увеличиваться .Другими словами, если , то маятник соверщает вращательное движение вокруг своей оси подвеса с переменной угловой скоростью (кривая 1 на рис. 2).

Если , то , и движение маятника изображается кривой 2 на рис. 2.

Если , то подкоренное выражение положительно при , где .         (7)

Во время движения угол  возрастает до , затем убывает до , т.е. происходят колебания физического маятника.      1

  

         

          2

 max

                3

 -max

Для малых значений , таких что , уравнение (2) преобразуется к виду                (8)

 Это уравнение гармонических колебаний, где - собственная частота колебаний .

Его решение имеет вид

   ,

здесь A,a - амплитуда и начальная фаза колебаний, которые могут быть найдены из начальных условий.Вид такого движения показан на рис. 2 кривой 3.

Все время движения физического маятника в  общем случае связанно с углом поворота  соотношением

,                 (10)

полученным из (6).Если в это соотношение подставить пределы интегрирования  и , также что , то получим формулу для периода колебательного движения:

.                (11)

  Интеграл, стоящий в правой части (11), не может быть выражен через элементарные функции. Однако для малых значений угла  можно с помощью разложения в ряд и замены на  получить в первом приближении для периода гармонических колебаний формулу

.                       (12)

Математический маятник

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из невесомой и не растяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. В приближении малых значений углов отклонения уравнение колебаний математического маятника будет иметь вид (8).С учетом того, что момент инерции

,              (13)

где  масса материальной точки, расстояние до точки подвеса, собственная частота колебаний

                     (14)

Период колебаний математического маятника

.              (15)

Эта формула используется для определения ускорения свободного падения.

Оборотный маятник

Для изучения характеристик движения физического маятника будем использовать оборотный маятник, представляющий собой стержень с двумя легкими опорными призмами и двумя массивными съемными грузами. По теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции такого маятника относительно закрепленной оси, проходящей через точку О (рис.1),

,             (16)

где -момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс,-расстояние между О и С. Подставив (16) в формулу для периода (12), получим

.            (17)

Качественно вид зависимости T(r) изображен на рис. 3. Если подвешивать маятник по другую сторону от центра масс, то, как видно из (17), зависимость T(r) имеет две симметричные ветви.

 По каждую сторону от центра масс  имеются два положения опорных призм, при которых периоды колебаний маятника совпадают ( и ). Найдем их: T() = T() = T,

тогда из (17)

,        T

откуда и

(18)                                     o                   r1          r2                        r

Следовательно, ускорение свободного падения может быть определено по формуле

.             (19)

Упражнение 1.

а) Определение наименьшей длинны подвеса маятника, при  котором с точностью до 0,5%  можно считать


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20004. Дорожите жизнью, такой красивой 45.5 KB
  На полу раскладываются соответствующие плакаты. Если вы согласны с их ответами на вопросы то переходите в их область. Но при этом нельзя переходить от ответа дважды при решении одного вопроса.
20005. Основные алгоритмические структуры: следование, ветвление, цикл; изображение на блок-схемах. Разбиение задачи на подзадачи. Вспомогательные алгоритмы 46.5 KB
  Цикл Цикл представляет собой алгоритмическую конструкцию в которой многократно выполняется одна и та же последовательность шагов называемая телом цикла. Каждое однократное исполнение тела цикла называется итерацией. Если тело цикла было выполнено N раз говорят что было произведено N итераций. Для того чтобы определить момент прекращения выполнения тела цикла используется условие цикла.
20006. Величины: константы, переменные, типы величин. Присваивание, ввод и вывод величин. Линейные алгоритмы работы с величинами 44.5 KB
  Значение этого выражения при x=0 равно 0. При x=1 y=1 r=2 значение этого выражения истина а при x=2 y=2 r=1 ложь . Если А = куст а В = зеленый то значение выражения АВ есть куст зеленый . От естественных они отличаются ограниченным числом слов значение которых понятно транслятору и очень строгими правилами записи команд операторов.
20007. Логические величины, операции, выражения. Логические выражения в качестве условий в ветвящихся и циклических алгоритмах 49 KB
  Выделяют три основные: поняти высказывание и умозаключение. Высказывание это фомулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным преждложением в котором чтолибо отрицается или утверждается. По поводу высказывание можно сказать истинно оно или ложно.
20008. Представление о программировании: язык программирования (на примере одного из языков высокого уровня); примеры несложных программ с линейной, ветвящейся и циклической структурой 47 KB
  Представление о программировании: язык программирования на примере одного из языков высокого уровня; примеры несложных программ с линейной ветвящейся и циклической структурой. Назначение программирования разработка программ управления компьютером с целью решения различных информационных задач. Для составления программ существуют разнообразные языки программирования. Язык программирования это фиксированная система...
20009. Основные компоненты компьютера, их функциональное назначение и принципы работы. Программный принцип работы компьютера 61 KB
  Основные компоненты компьютера их функциональное назначение и принципы работы. Программный принцип работы компьютера. Узлы составляющие аппаратные средства компьютера называют аппаратным обеспечением. Совокупность аппаратных средств компьютера называют его аппаратной конфигурацией.
20010. Программное обеспечение компьютера, состав и структура. Назначение операционной системы. Командное взаимодействие пользователя с компьютером. Графический пользовательский интерфейс 48.5 KB
  Программное обеспечение компьютера состав и структура. Компьютерная программа представляет собой последовательность команд записанных в двоичной форме на машинном языке понятном процессору компьютера. Совокупность готовых к исполнению программ хранящихся в оперативной и внешней памяти компьютера называется его программным обеспечением. Системное программное обеспечение обеспечивает согласованное взаимодействие устройств компьютера и создает условия для выполнения остальных программ.
20011. Понятие файла и файловой системы организации данных (папка, иерархическая структура, имя файла, тип файла, параметры файла). Основные операции с файлами и папками, выполняемые пользователем. Понятие об архивировании и защите от вирусов 57 KB
  Понятие файла и файловой системы организации данных папка иерархическая структура имя файла тип файла параметры файла. Основные операции с файлами и папками выполняемые пользователем. Имя файла состоит из двух частей разделенных точкой: собственно имя файла и расширение определяющее его тип программа данные и т. Собственно имя файлу дает пользователь а тип файла обычно задается программой автоматически при его создании.