16230

Изучение движения физического резонанса

Лабораторная работа

Физика

Тема: Изучение движения физического резонанса. Введение Физическим маятником называется твердое тело находящееся в поле сил тяготения и имеющего ось вращения лежащую в плоскости перпендикулярной вектору ускорения свободного падения g. o

Русский

2013-06-20

151.5 KB

1 чел.

Тема: Изучение движения физического резонанса.

Введение

Физическим маятником называется твердое тело, находящееся в поле сил тяготения и имеющего ось вращения, лежащую в плоскости, перпендикулярной вектору ускорения свободного падения g.

    o

            r

        o

                          mg

 Известно, что движение твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения, описывается уравнением

              ,                                   (1)

где - момент инерции относительно оси вращения;- угловая скорость вращения;- суммарный момент действующих на тело внешних сил.

 Для физического маятника уравнение (1) преобразуется к виду

              .                              (2)

Уравнение (2) описывает идеализированный случай движения, поскольку не учитывает силы трения. Здесь -момент силы тяжести; - угол отклонения центра масс тела, отсчитываемый от вертикальной оси (положения равновесия);- масса тела;- расстояние от точки закрепления О до центра масс С.

 Умножим обе части (2) на :

и преобразуем полученное выражение к виду

.                          (3)

Интегрирование этого соотношения приводит к уравнению

               (4)

Постоянная интегрирования С может быть найдена из начальных условий(соотношениё для положения равновесия):

,,

где  угловая скорость маятника при прохождении положения равновесия,

Тогда    (4) имеет вид

                                 (5)

Это- уравнение колебания физического маятника.

Для дальнейшего изучения характера движения удобно это уравнение представить в виде

                  (6)

Знаки "+" или "-" соответствуют движению маятника вправо или влево от положения равновесия.

 Характер движения маятника существенно зависит от величины параметра .Действительно, если кинетическая энергия тела при прохождении положения устойчивого равновесия больше, чем работа, необходимая для поднятия центра тяжести маятника от самого низкого положения ( положения устойчивого равновесия) до самого высокого(положения не устойчивого равновесия),

,

то подкоренное выражение в правой части (6) всегда положительно и угол  с течением времени может неограниченно увеличиваться .Другими словами, если , то маятник соверщает вращательное движение вокруг своей оси подвеса с переменной угловой скоростью (кривая 1 на рис. 2).

Если , то , и движение маятника изображается кривой 2 на рис. 2.

Если , то подкоренное выражение положительно при , где .         (7)

Во время движения угол  возрастает до , затем убывает до , т.е. происходят колебания физического маятника.      1

  

         

          2

 max

                3

 -max

Для малых значений , таких что , уравнение (2) преобразуется к виду                (8)

 Это уравнение гармонических колебаний, где - собственная частота колебаний .

Его решение имеет вид

   ,

здесь A,a - амплитуда и начальная фаза колебаний, которые могут быть найдены из начальных условий.Вид такого движения показан на рис. 2 кривой 3.

Все время движения физического маятника в  общем случае связанно с углом поворота  соотношением

,                 (10)

полученным из (6).Если в это соотношение подставить пределы интегрирования  и , также что , то получим формулу для периода колебательного движения:

.                (11)

  Интеграл, стоящий в правой части (11), не может быть выражен через элементарные функции. Однако для малых значений угла  можно с помощью разложения в ряд и замены на  получить в первом приближении для периода гармонических колебаний формулу

.                       (12)

Математический маятник

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из невесомой и не растяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. В приближении малых значений углов отклонения уравнение колебаний математического маятника будет иметь вид (8).С учетом того, что момент инерции

,              (13)

где  масса материальной точки, расстояние до точки подвеса, собственная частота колебаний

                     (14)

Период колебаний математического маятника

.              (15)

Эта формула используется для определения ускорения свободного падения.

Оборотный маятник

Для изучения характеристик движения физического маятника будем использовать оборотный маятник, представляющий собой стержень с двумя легкими опорными призмами и двумя массивными съемными грузами. По теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции такого маятника относительно закрепленной оси, проходящей через точку О (рис.1),

,             (16)

где -момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс,-расстояние между О и С. Подставив (16) в формулу для периода (12), получим

.            (17)

Качественно вид зависимости T(r) изображен на рис. 3. Если подвешивать маятник по другую сторону от центра масс, то, как видно из (17), зависимость T(r) имеет две симметричные ветви.

 По каждую сторону от центра масс  имеются два положения опорных призм, при которых периоды колебаний маятника совпадают ( и ). Найдем их: T() = T() = T,

тогда из (17)

,        T

откуда и

(18)                                     o                   r1          r2                        r

Следовательно, ускорение свободного падения может быть определено по формуле

.             (19)

Упражнение 1.

а) Определение наименьшей длинны подвеса маятника, при  котором с точностью до 0,5%  можно считать


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42842. Методики итерационного решения задачи Коши методом Рунге-Кутта 4 порядка 243.76 KB
  Инженеру очень часто приходится сталкиваться с ними при разработке новых изделий или технологических процессов так как большая часть законов физики формулируется именно в виде дифференциальных уравнений. Любая задача проектирования связанная с расчетом потоков энергии или движением тел в конечном счете сводится к решению дифференциальных уравнений. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют такую важную роль в практике инженерных расчетов и в моделировании. Поэтому для построения компактных работающих в реальном...
42843. Расчет усилителя звуковой частоты на основе интегральной микросхемы TDA 2050 390.69 KB
  При выборе интегральной микросхемы основного усилительного каскада пришлось немного отойти от технического задания в виду возможности обеспечения данной микросхемой верхней граничной частоты 20кГц и нижней граничной частоты 20 Гц, что в свою очередь только улучшит качество воспроизводимого звука.
42844. Усилитель звуковой частоты мощности тембров и громности 419.17 KB
  Схема усилителя Перечень элементов Заключение Список литературы Техническое задание Выходная мощность Pвых 35 Вт Сопротивление нагрузки Rн 4 Ом Входное напряжение Uвх 20мВ Сопротивление источника сигнала Rис 110 Ом...
42845. Технологический проект холодного цеха Столовой при промышленном предприятии на 210 мест 938 KB
  Общественное питание представляет собой отрасль народного хозяйства, основу которой составляют предприятия, характеризующиеся единством форм организации производства и обслуживания потребителей и различающихся по типам специализации.
42846. Разработка базы данных пациентов районной поликлиники 6.88 MB
  Описание таблиц и логической структуры базы данных. Схема данных. 29 Введение: Целью данной курсовой является создание базы данных для работников регистратуры поликлиники.
42847. Г. Маркузе и Франкфуртская социологическая школа 72.11 KB
  Среди центров и школ западной философии, которые на протяжении целых десятилетий сохраняли и до сих пор еще сохраняют заметное влияние на философию, социальную мысль всего мира, надо особо выделить так называемую франкфуртскую школу. Группа талантливых, а в политическом отношении радикально-критически настроенных философов, социологов, экономистов, историков, литераторов объединилась вокруг основанного в 1923 г. при Франкфуртском университете Института социальных исследований.
42848. Телескопічні системи. Розрахунок монокуляра 880.79 KB
  До таких призм можно віднести призми АкР90 Лемана ВкЛ0 Шмідта ВкР45 Систему двох призм : Аббе Ак0 Пехана Пк0 Порро Іго роду Систему трьох призм : Порро ІІго роду. Призма оптична деталь що має у своєму складі заломлюючі та відбиваючі поверхні які утворюють між собою двогранні кути Позначають призми двома великими літерами і числом яке вказує на кут відхилення осьового променя. Призми які є відбиваючими характеризуються коефіцієнтом: c = d D d довжина ходу осьового променя; D діаметр світлового пучка...
42849. Маркетингове дослідження компанії MTI 592.77 KB
  MTI українська компанія багатопрофільний ІТхолдинг один з найбільших гравців ринку інформаційних технологій України яка була заснована у 1991 році. Фактори макро і мікро середи в якому працює MTI. Компанія MTI є одним з найбільш великих в Україні постачальників комп'ютерної і офісної техніки.