16235

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Визуализация численных методов

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

КУРСОВАЯ РАБОТА по информатике: Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Содержание: Введение. Постановка задачи. Описание методов решения. Суть задачи. Геометрический смысл задачи. Численные методы реш...

Русский

2016-08-04

223.5 KB

20 чел.

КУРСОВАЯ РАБОТА

по информатике:

Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Содержание:

Введение

1. Постановка задачи

2. Описание методов решения

2. 1. Суть задачи

2. 2. Геометрический смысл задачи

2. 3. Численные методы решения задачи Коши

2. 4. Метод Эйлера

2. 5. Метод Эйлера модифицированный

2. 6. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

2. 7. Решение поставленной задачи методами Эйлера и Эйлера модифицированного…………………………………………………………….12

2. 7. 1. Метод Эйлера……………………………………………………12

2. 7. 2. Метод Эйлера модифицированный……………………………13

3. Алгоритм решения задачи…………………………………………...16

3. 1. Алгоритмы подпрограмм.………………………………………....16

3. 1. 1. Подпрограмма метода Эйлера………………………………….16

3. 1. 2 Подпрограмма метода Эйлера модифицированного…………..16

3. 1. 3. Подпрограмма общего решения и поиска максимальных значений x и y……………………………………………………………………17

3. 2. Алгоритм функции…………………………………………………17

3. 3. Алгоритм программы………………………………………………19

4. Форма программы…………………………………………………….20

5. Листинг программы…………………………………………………..21

6. Решение задачи в MathCad…………………………………………..23

Заключение………………………………………………………………25


Введение.

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и её производные называют дифференциальным уравнением. Решение дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обычным; в противном случае – уравнение в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. В данной работе будут рассматриваться методы решения обычных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Чтобы решить ОДУ, необходимо знать значение зависимой переменной и (или) её производные при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.

Числовое решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.

  •  Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y=f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Эйлера модифицированного.
  •  Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскивания следующей точки кривой y=f(x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милны, Адамса – Башфорта и Хемминга.
  •  Явные методы, в которых функция Ф в выражении (1) не зависит от yn+1.
  •  Неявные методы, в которых функция Ф зависит от yn+1.
  •  В данной курсовой работе будут рассматриваться два одношаговых метода: метод Эйлера и метод Эйлера и методы Эйлера модифицированного.

Цель и задачи

          Цель и задача данной курсовой работы заключается в том чтобы рассчитать и научиться пользоваться несколькими способами решение дифференциального уравнения, добиться вывода графических изображений в программах используемых для этой работы.

1 Убедиться в том, что данные методы решений совпадаю и сделать вывод о сходимости.

2 Проанализировать результаты, которые получатся в обоих методах

3 Так же в соответствующих программах создать данные формы объекта


1. Постановка задачи.

Решить методами Эйлера и Эйлера модифицированного задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке [X0; Xk] с шагом h и начальным условием: Y(X0) = Y0.

Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:

X

Y(1)

Y(2)

YT

X0

Y0(1)

Y0(2)

Y(X0)

X1

Y1(1)

Y1(2)

Y(X1)

Xk

Yk(1)

Yk(2)

Y(Xk)

Где Y(1), Y(2) – решения, полученные различными численными методами, YT – точное решение дифференциального уравнения.

Возможно представление результатов решения не в виде таблицы, а в виде списков.

Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.

Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента c, используемого в общем решении.

  

Дифференциальное уравнение

X0

Xk

h

Y0

Общее решение

y’ =x*y2 + 2*x*y

0

2

0.2

-1.8

y=-2/(1+c*exp(-x2))


2. Описание методов решения.

2. 1. Суть задачи.

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом:

Пусть дано дифференциальное уравнение  и начальное условие y(x0) = у0. Требуется найти функцию у(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

2. 2. Геометрический смысл задачи.

y’ = f(x,y)  - тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (х, у) к оси 0Х, - угловой коэффициент (рис. 1).

Рисунок 1. Геометрический смысл задачи Коши.

Существование решения:

Если правая часть f(x, y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами

|x-x0| < а; |y-y0| < b,

то существует, по меньшей мере, одно решение у = у(х), определённое в окрестности |х – х0| < h, где h - положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

|f(x,y)-f(x,y)| ≤N|y-y|(x,y),

где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x, у) имеет ограниченную производную

fy(x, y) в R, то можно положить N = мах |fy(х, у)| при (х, y) принадлежащим R.

2. 3. Численные методы решения задачи Коши.

При использовании численных методов выполняется замена отрезка [х0, X] - области непрерывного изменения аргумента х множеством . состоящего из конечного числа точек х0 < х1 < ... < xn = Х - сеткой.

При этом xi называют узлами сетки.

Во многих методах используются равномерные сетки с шагом:

Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [х0, X], заменяется её дискретным аналогом - системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1, y2,…,yn - приближённые значения функции в узлах сетки.

Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.

Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на
кривой у =
f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге.
Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге - Кутта.

Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскания следующей точки кривой у = f(x) требуется информация более чем об одной из  предыдущих точек.   Чтобы  получить достаточно точное  численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милна, Адамса - Башфорта и Хемминга.

Явные методы, в которых функция Ф не зависит от yn+1.

Неявные методы, в которых функция Ф зависит от yn+1.

2. 4. Метод Эйлера.

Иногда  этот  метод  называют   методом  Рунге-Кутта  первого   порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

Y’ = f(x, y)

с начальным условием

y(x0) = y0

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi = х0 + ih  и yi = y(xi),   где   i = 0, 1, 2, ...,

xi - узлы сетки,

yi - значение интегральной функции в узлах.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Проведем прямую АВ через точку (xi, yi) под углом α. При этом tg α = f(xi, yi)

В соответствий с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции. Произведем замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной АВ.

Тогда yi+1 = yi + Δy

Из прямоугольного треугольника ABC  

Приравняем правые части tg α = f(xi, yi) и . Получим

Отсюда Δу = hf(xi, yi).

Подставим в это выражение формулу yi+1 = yi + Δy, а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчета очередной точки интегральной функции:

.

Рисунок 2. Метод Эйлера.

Из формулы  видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера приведена на рисунке 3.

F(x, у) - заданная функция – должна

быть описана отдельно.

Входные параметры:

Х0, XK—начальное и конечное

значения независимой переменной;

Y0 – значение y0 из начального условия

y(x0) = y0;

N - количество отрезков разбиения;

Выходные параметры:

У - массив значений искомого решения

в узлах сетки.

Рисунок 3. Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера.

Метод Эйлера - один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 2 погрешность вычислений для io шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.


2.
5. Метод Эйлера модифицированный.

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием:

Выберем шаг h и введём обозначения:

xi = x0 + ih  и yi = y(xi),   где   i = 0, 1, 2, ...,

xi  - узлы сетки,

yi - значение интегральной функции в узлах.

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 4.

Рисунок 4. Метод Эйлера модифицированный.

Проведем решение в несколько этапов:

  1.   Обозначим точки: А(хi, yi,), C(xi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi)) и B(xi+1, yi+1);
  2.   Через точку А проведем прямую под углом α, где tg α = f(xi, yi);
  3.   На этой прямой найдем точку С(хi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi));
  4.   Через точку С проведем прямую под углом α1, где tg α1 = f(xi + h/2,yi + h/2 ∙ f(xi, yi));
  5.   Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой;
  6.   Найдем  точку B(xi+1, yi+1).   Будем  считать   B(xi+1, yi+1)  решением дифференциального уравнения при х = xi+1;
  7.   После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения уi+1:

yi+1 = yi + hf(xi + h/2, yi + h/2 ∙ f(xi, yi)).

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 4 это хорошо видно. Так величина εl характеризует погрешность метода Эйлера, а ε - погрешность метода Эйлера модифицированного.

Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным приведена на рисунке 5.

F(x, у) - заданная функция - должна

быть описана отдельно.

Входные параметры:
Х0,
XК - начальное и конечное

значения независимой

переменной;

Y0 – значение y0 из начального условия

y(x0)=y0;

N - количество отрезков разбиения;

Выходные параметры:

Y - массив значений искомого решения

в узлах сетки.

Рисунок 5. Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным.


2. 7. Решение поставленной задачи методами Эйлера и Эйлера модифицированного.

2. 7. 1. Метод Эйлера.

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем A(0; -1.8) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 0 + 1 · 0,2 = 1,2;

6. Проводим прямую x = x1 = 1,2  до пересечения с прямой l0, отмечаем точку B(x1; y1);

7. Ищем y точки B:

Из прямоугольного треугольника ABC ,

Δy = y1 – y0,

Δx = x1 – x0 = h,

f(x0; y0) = (y1 – y0)/h =>

y1 = y0 + h · (f(x0; y0)) = -1.8 + 0,2 · f(0;-1.8) = -1.8 + 0,2 · 0 = -1.8

Следовательно, точка B имеет координаты (1.2; -1.8).

2. 7. 2. Метод Эйлера модифицированный.

1. Строим оси координат;

2. Отмечаем А(1; 0) – первую точку интегральной кривой;

3. Ищем угол наклона касательной к графику в точке A:

4. Строим касательную l0 в точке А под углом α0;

5. Находим х1 по формуле: xi = х0 + ih, где h – шаг интегрирования

x1 = 0 + 1 · 0,2 = 1,2;

6. Отмечаем середину отрезка x0x1: x0 + h/2, проводим прямую из этой точки до прямой l0, отмечаем точку B(xB; yB);

7. Ищем координаты В:

xB = x0 + h/2 = 0 + 0,2/2 = 0.1

yB = y0 + h/2 · f(x0; y0) = -1.8 + 0,2/2 · 0 = -1.8

Следовательно, точка B имеет координаты (0.1; -1,8);

8. Ищем угол наклона касательной к графику в точке B:

αB = arctg(f(xB; yB)) = arctg((0.1 –( -1.8 )2+2*0.1*(-1.8)) = arctg(-0.036) = 2°

9. Строим касательную l1 в точке B под углом αB;

10. Проводим прямую x = x1 = 1,2 до пересечения с прямой l1, отмечаем точку C(x1; y1);

11. Ищем y точки C:

y1 = yB + h/2(f(xB;yB)) = -1.8+ 0,2/2 · (-0.036) = -1.8036

Следовательно, точка C имеет координаты (1,2; -1.8036).


3. Алгоритм решения задачи.

3. 1. Алгоритм функции.


3. 2. Алгоритм программы.

 


4. Форма программы.

 


5. Листинг программы.
 

 Private x() As Single, e() As Single, em() As Single, o() As Single, y() As Single

Private i, n As Integer

Private x0, xk, y0, h, miny, maxy, minx, maxx As Single

Function f(x, y) As Single

' Сама функция

   f = x * y ^ 2 + 2 * x * y

End Function

Private Sub Eiler()

ReDim x(n)

ReDim e(n)

   x(0) = x0

   e(0) = y0

   For i = 0 To n - 1

       x(i) = Round(x0 + (i * h), 3)

       e(i + 1) = Round(e(i) + h * f(x(i), e(i)), 3)

       

   Next i

End Sub

Private Sub EilerM()

ReDim x(n)

ReDim em(n)

   x(0) = x0

   em(0) = y0

   For i = 0 To n - 1

       x(i) = Round(x0 + i * h, 3)

       em(i + 1) = Round(em(i) + h * f(x(i) + h / 2, em(i) + h / 2 * f(x(i), em(i))), 3)

       

   Next i

End Sub

Private Sub Obshee()

ReDim x(n)

ReDim o(n)

x(0) = x0

o(0) = y0

'    maxy = y0

'    miny = y0

'    maxx = x0

'    minx = x0

   For i = 1 To n

       x(i) = Round(x0 + i * h, 3)

'        If x(i) > maxx Then maxx = x(i)

'        If x(i) > maxx Then maxx = x(i)

      o(i - 1) = (-2) / (1 + f(x(i), o(i)) * (Exp(-x(i)) ^ 2))

       o(i) = Round(ft * (x(i) - 1), 3)

   Next i

End Sub

Private Sub Command1_Click()

   x0 = Val(Text1.Text)

   xk = Val(Text2.Text)

   h = Val(Text3.Text)

   y0 = Val(Text4.Text)

   n = Round((xk - x0) / h)

   

   ReDim x(n)

   ReDim e(n)

   ReDim em(n)

   ReDim o(n)

   

   ' Готовим таблицу

   MSFlexGrid1.Cols = 4

   MSFlexGrid1.Rows = n + 2

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "x"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Общее рещение"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "эйлер"

   MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Эйлер модиф."

   

   Eiler

   EilerM

   Obshee

   

  For i = 0 To n ' Заполняем таблицу

       MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(x(i))

       MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(o(i))

       MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(e(i))

       MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(em(i))

   Next i

   minx = x(0)

   maxx = x(n)

   

   

'    miny =

'    maxy = 1

   For i = 0 To n

       If miny > o(i) Then miny = o(i)

       If miny > e(i) Then miny = e(i)

       If miny > em(i) Then miny = em(i)

       

       If maxy < o(i) Then maxy = o(i)

       If maxy < e(i) Then maxy = e(i)

       If maxy < em(i) Then maxy = em(i)

   Next i

   

   If miny = maxy Then

       miny = -2

       maxy = 2

   End If

   ' Находим верхнюю границу граффика

   If e(n) > o(n) Then maxy = e(n)

   If em(n) > o(n) Then maxy = em(n)

   If e(n) > em(n) Then maxy = e(n)

   Picture1.Cls

   Label10.Caption = Str(miny)

   Label11.Caption = Str(maxy)

   Label8.Caption = Str(minx)

   Label12.Caption = Str(maxx)

   ' пытаемся найти правильный маштаб

   kx = (Picture1.Width - 1200) / (maxx - minx)

   ky = (Picture1.Height - 1200) / Abs(maxy - miny)

   

   For i = 0 To n - 1 ' Рисуем Эйлер

       z1 = Round(600 + (x(i) - x0) * kx)

       z2 = Round(6480 - (e(i) - miny) * ky)

       z3 = Round(600 + (x(i + 1) - x0) * kx)

       z4 = Round(6480 - (e(i + 1) - miny) * ky)

       Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(0, 0, 9999)

   Next i

   

   For i = 0 To n - 1 ' Рисуем ЭйлерМ

       z1 = Round(600 + (x(i) - x0) * kx)

       z2 = Round(6480 - (em(i) - miny) * ky)

       z3 = Round(600 + (x(i + 1) - x0) * kx)

       z4 = Round(6480 - (em(i + 1) - miny) * ky)

       Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(0, 9999, 0)

   Next i

   

   For i = 0 To n - 1 ' Рисуем общее решение

       z1 = Round(600 + (x(i) - x0) * kx)

       z2 = Round(6480 - (o(i) - miny) * ky)

       z3 = Round(600 + (x(i + 1) - x0) * kx)

       z4 = Round(6480 - (o(i + 1) - miny) * ky)

       Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), RGB(9999, 0, 0)

   Next i

End Sub   


                             6.
 Решение задачи в MathCad.


Заключение.

В данной курсовой работе я рассматривала два метода решения  дифференциального уравнения, а именно Метод Эйлера и Эйлера модифицированного. Эти методы были рассчитаны путем вычисления через программу Visual Basic и MathCadе.

         В связи с полученными данными, вычисленными через программы выяснилось, что точки графиков функции не совпадают, то есть имеется погрешность с каждым увеличением шага или с вычислением последующей точки.

С точки зрения вычислений данного дифференциального уравнения, на мой взгляд, проще решается с помощью метода Эйлера, но при этом возникает небольшая погрешность.


α

tg(α) = f(x,y)

y

A

e

B

y=y(x)

yi+1

h

yi

x

O

хi

xi+1

α

Eiler(X0, Xk, Y0, N, Y)

h = (Xk – X0)/N

i = 0, …, N - 1

x = X0 + i ∙ h

Yi+1 = Yi + h ∙ F(x, Yi)

End

y

x

y=y(x)

0

А

С

В

h/2

h

xi

xi+1

ε1

ε

α

α1

EilerM(X0, Xk, Y0, N, Y)

h = (Xk – X0)/N

i = 0, …, N-1

x = X0 + i ∙ h

Yi+1 = Yi + h ∙ F(x + h/2, Yi + h/2 ∙ F(xi, yi))

End

f(х,у)

f = x * y ^ 2 + 2 * x * y

Конец

начало

x0,y0,kx,h

n = (kx-x0)/h

x

y Eiler

y EilerM

y Obshee

x(0):=x0

e(0):=y0

em(0):=y0

o (0):= y0

1

i:=0…..N

1

x (i)= (x(0)+i*h

e(i+1)=e(i)+h*f((x(i);e(i))

i:=0…..N

x (i)=x(0)+i*h

em(i+1)=em(i)+h*f((x(i)+h/2;em(i)+h/2*f((x(i),em(i))

i:=0…..N

x (i)=x(0)+i*h

o(i-1)=(-2)/(1+f(x(i),o(i)*(Exp(-x(i))^2)

kx = (Picture1.Width - 1200) / (maxx - minx)

ky = (Picture1.Height - 1200) / Abs(maxy - miny)

2

2

z1 = Round(600 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(6480 - (e (i) - miny) * ky)

z3 = Round(600 + (x(i+1) - x0) * kx)

z4 = Round(6480- (e (i+1) - miny) * ky)

i:=0…..N

i:=0…..N

z1 = Round(600 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(6480 - (em (i) - miny) * ky)

z3 = Round(600 + (x(i+1) - x0) * kx)

z4 = Round(6480- (em(i+1) - miny) * ky)

i:=0…..N

z1 = Round(600 + (x(i) - x0) * kx)

z2 = Round(6480 - (o (i) - miny) * ky)

z3 = Round(600 + (x(i+1) - x0) * kx)

z4 = Round(6480- (o (i+1) - miny) * ky)

конец

Command1

Labe111

Label10

Text4

Text3

Text2

Text1

MSFlexGrid16

Label2

Label4

Label5

Labe31

Label8

Labe12

Picture1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73486. Управління асортиментом товарів 202 KB
  Представлення маркетологів щодо оптимальних обсягів асортименту багато в чому залежать від роду діяльності тих або інших компаній: виробництво оптова торгівля роздріб та інші особливості вужчої спеціалізації. Наприклад у випадку з роздрібним товаром зусилля направлені...
73487. Пути повышения инвестиционной привлекательности ООО «НефтехимРесурс» 196 KB
  Актуальность оценки управления реальными инвестициями предприятия подтверждается большим значением инвестиций не только для будущего положения предприятия но и для экономики страны в целом. При оценке инвестиционной привлекательности предприятия потенциальные инвесторы в первую...
73488. Английские фразеологизмы как отражение английской национальной культуры 195.5 KB
  Рассмотреть фразеологию как самостоятельную дисциплину английского языка. Осветить предмет и основные задачи фразеологии. Рассмотреть понятие идиома и идиоматическое выражение. Исследовать специфику английских фразеологизмов, отражающих особенности английской национальной культуры.
73489. ДОКУМЕНТУВАННЯ ТРУДОВОЇ ДІЯЛЬНОСТІ. ВІДРЯДЖЕННЯ ТА ВІДПУСТКИ ПРАЦІВНИКІВ 195 KB
  Механізм прийняття працівника на роботу звільнення та переведення. Оформлення праці найважливіший етап працевлаштування від якого залежить майбутнє будьякого працівника. З іншого боку трудові відносини творяться у разі фактичного припущення працівника на роботу з відома...
73490. Совершенствование цепи поставок 194 KB
  Несмотря на общее признание роли управления цепями поставок и взаимодействием с поставщиками в исследовательской литературе до сих пор отсутствует четкое понимание значения и статуса поставок на предприятии их влияния на результаты деятельности предприятия.
73491. Выбор основного оборудования и определение показателей тепловой экономичности ТЭЦ 190 KB
  Годовой отпуск теплоты от ТЭЦ определяем отдельно для производственно-технологических и коммунально-бытовых потребителей. Нужды производственно-технологических потребителей покрываются технологическим паром, а коммунально-бытовых потребителей – сетевой (горячей) водой.
73492. Современное развитие бухгалтерской отчетности в России и мире 189.5 KB
  Исследование исторического развития бухгалтерской отчетности необходимо проводить по всем историческим эпохам, с отслеживанием изменений в методологической базы в разных странах мира, обнаружения исторических предпосылок, необходимых и достаточных условий возникновения...
73493. Конфликтное взаимодействие федеральной и региональной власти 187.5 KB
  Местное самоуправление одна из фундаментальных демократических основ конституционного строя Российской Федерации и всего мира в целом. Понятие федеральной власти Политическая система Российской Федерации определена Конституцией принятой всенародным голосованием 12 декабря 1993 года.
73494. Терминология сферы книжного бизнеса в лексической системе современного русского языка 186.5 KB
  Исследование различных терминосистем способствует совершенствованию русской терминологии в целом выявлению общих закономерностей развития терминологических единиц в системе современного русского языка. Объектом исследования стала терминология сферы книжного бизнеса в русском языке.