16236

Визуализация численных методов

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Курсовая работа Визуализация численных методов Cсодержание Содержание Введение 1. Постановка задачи и математическая модель 2. Описание используемых методов 3. Блоксхемы основных процедур 4. Виды формы проекта 5.Листинг программы на языке Visual Basic 6.Ре

Русский

2013-06-20

449.83 KB

4 чел.

Курсовая работа

Визуализация численных методов


Cсодержание

Содержание

Введение

1. Постановка задачи и математическая модель

2. Описание используемых методов

3. Блок-схемы основных процедур

4. Виды формы проекта

5.Листинг программы на языке Visual Basic

6.Решение задачи в MathCAD

Вывод


Введение

Весь мир подчиняется физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений. Решая дифференциальные уравнения мы в полной мере можем  понять явления и процессы происходящие вокруг нас.

Дифференциальные уравнения - это уравнения, содержащие одну или несколько производных. Лишь очень немногие из них удается решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчетов.

 Целью курсовой работы является решение дифференциального уравнения 1-го порядка  на отрезке  методом Эйлера и методом Рунге-Кутта четвёртого порядка. Выполнив все расчёты выяснить, какой из методов более точный, сравнив выведенные значения с общим решением.


1. Постановка задачи и математическая модель

Дано дифференциальное уравнение и начальное условие . Требуется найти функцию , удовлетворяющую указанному уравнению и начальному условию. Результаты решения предоставить в виде таблицы. Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.

  

Дифференциальное уравнение

X0

Xk

h

Y0

Общее решение

y`+2*x*y=x*exp(-x2)

0

1

0,1

1

y=exp(-x2)*(C+x2/2)


  1. Описание используемых методов

Метод Эйлера модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений используют модифицированный метод Эйлера. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

.

Выберем шаг =0,1 и введём обозначения:

и , где =0,1,2…,

        -узлы сетки,

        -значение интегральной функции в узлах.

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка.

Метод Рунге-Кутта

Для большего уменьшения погрешности используется метод Рунге-Кутта.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка     с начальным условием .

Выберем шаг =0,1 и введём обозначения:

и , где =0,1,2…,

      -узлы сетки,

      -значение интегральной функции в узлах.

     

При использовании метода Рунге-Кутта шаг делится на четыре отрезка. Согласно этому методу, последовательные значения исходной функции определяются по формуле:

, где

     ,

А числа    на каждом шаге вычисляются по формулам:

Метод Рунге-Кутта даёт погрешность меньше, чем методы Эйлера и Эйлера модифицированного.

 


3. Блок-схемы основных процедур 

3.1. Блок-схема основной процедуры


3.2. Блок-схема функции

4.Виды формы проекта

Исходный вид для ввода данных


Итоговый вид с решением и графиком


5.Листинг программы на языке Visual Basic

Dim X() As Single

Dim Y() As Single

Dim g() As Single

Dim t() As Single

Private n, i As Integer

Private xk, x0, kx, ky As Single

Private k, k1, k2, k3, k4 As Single

Private h, max, min, y0 As Single

Private Function f(a, b As Single) As Single

f = a * Exp(-a ^ 2) - 2 * a * b

End Function

Private Sub EilerMod()

ReDim Y(n)

Y(0) = y0

For i = 0 To n - 1

Y(i + 1) = Y(i) + h * f(X(i) + h / 2, Y(i) + h / 2 * f(X(i), Y(i)))

Next i

End Sub

Private Sub RungeKutt()

ReDim g(n)

g(0) = y0

For i = 0 To n - 1

k1 = h * f(X(i), g(i))

k2 = h * f(X(i) + h / 2, g(i) + k1 / 2)

k3 = h * f(X(i) + h / 2, g(i) + k2 / 2)

k4 = h * f(X(i) + h, g(i) + k3)

k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

g(i + 1) = g(i) + k

Next i

End Sub

Private Sub Obchee()

ReDim t(n)

For i = 0 To n

t(0) = y0

c = 1

t(i) = Exp(-X(i) ^ 2) * (c + (X(i) ^ 2) / 2)

Next i

End Sub

Private Sub Command1_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

h = Val(Text3.Text)

y0 = Val(Text4.Text)

n = (xk - x0) / h

MSFlexGrid1.Rows = n + 4

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "x"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Эйлер Модиф."

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Рунге-Кутт"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Общее решение"

MSFlexGrid1.TextMatrix(1, 0) = Str(x0)

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = Str(y0)

ReDim X(n)

For i = 0 To n

X(i) = x0 + h * i

Next i

EilerMod

RungeKutt

Obchee

For i = 0 To n

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = Str(X(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(Y(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(g(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(t(i))

Next i

max = y0

min = y0

For i = 0 To n

If Y(i) > max Then max = Y(i)

If Y(i) < min Then min = Y(i)

If g(i) > max Then max = g(i)

If g(i) < min Then min = g(i)

If t(i) > max Then max = t(i)

If t(i) < min Then min = t(i)

Next i

Label7.Caption = Str(max)

Label8.Caption = Str(min)

Label9.Caption = Str(x0)

Label10.Caption = Str(xk)

kx = (6600 - 360) / (xk - x0)

ky = (5280 - 480) / (max - min)

Picture1.Cls

For i = 1 To n - 1

X1 = 840 + Round(kx * (X(i - 1) - x0))

X2 = 840 + Round(kx * (X(i) - x0))

Y1 = 5280 - Round(ky * (Y(i - 1) - min))

Y2 = 5280 - Round(ky * (Y(i) - min))

Picture1.Line (X1, Y1)-(X2, Y2), RGB(9999, 0, 0)

X1 = 840 + Round(kx * (X(i - 1) - x0))

X2 = 840 + Round(kx * (X(i) - x0))

Y1 = 5280 - Round(ky * (g(i - 1) - min))

Y2 = 5280 - Round(ky * (g(i) - min))

Picture1.Line (X1, Y1)-(X2, Y2), RGB(0, 9999, 0)

X1 = 840 + Round(kx * (X(i - 1) - x0))

X2 = 840 + Round(kx * (X(i) - x0))

Y1 = 5280 - Round(ky * (t(i - 1) - min))

Y2 = 5280 - Round(ky * (t(i) - min))

Picture1.Line (X1, Y1)-(X2, Y2), RGB(0, 0, 9999)

Next i

End Sub

Private Sub Command2_Click()

End

End Sub


6.Решение задачи в MathCAD


Вывод

В ходе работы над курсовой работой мною была разработана программа, которая наглядно описывает решение предложенного дифференциального уравнения.

Из получившейся таблицы видно, что значения, полученные в ходе решения методом Рунге-Кутта, почти не отличаются от значений общего решения, а решения методом Эйлера модифицированного отличаются  от общего уже на четвёртом знаке. Сравнив получившиеся результаты можно сделать вывод, что метод Рунге-Кутта более точный

 

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58154. Системный блок компьютера. Устройства ввода 747.5 KB
  Что относится к устройствам ввода Информация в компьютер может вводиться с помощью самых разнообразных уст ройств но не каждое из них называют устройством ввода.
58157. ЗАГАЛЬНІ ОСНОВИ ПЕДАГОГІКИ 1.73 MB
  Равенство На прошлых занятиях мы выяснили что эпоха Просвещения отводит отдельную роль Разуму. Но это не совсем тот разум о котором мы говорили раньше. возможно на дом необходимы отрывки из статьи Канта очень небольшие Две цитаты: Просвещение выход человечества из состояния несовершеннолетия Кант; Из всех способностей человека разум представляющий собою объединение всех других развивается труднее всего и позже всего Руссо.
58158. Государство и право Российской Федерации (90–е годы – по настоящее время) 55.5 KB
  Развитие права Российской Федерации. Если в условиях тоталитарных режимов на первое место ставилось государство то в Конституции РФ на первое место ставится личность и ее политические и экономические права.
58159. Создание web-страниц. Работа с фоном страницы. Формат изображения 68.5 KB
  И осторожно BR Там где вожможно BR Тёмного облака BR Край отогнуть BR font font color= 008000 P lign=right Стёртые лица BR Забытые профили BR И многоточий упрямая нить. BR font DDRESS Ирина Леонардова DDRESS body html Теперь поговорим...
58160. Соседи восточных славян 33.5 KB
  Эти народы жили в трудных природно-климатических условиях. Поэтому вместе с земледелием они занимались скотоводством, собирательством, охотой, были знакомы с железом. Жили они в полуземлянках.
58161. СОСТАВ, СТРУКТУРА И ФУНКЦИИ НАЛОГОВЫХ ОРГАНОВ 117 KB
  В ходе реформирования органов исполнительной власти определена новая структура федеральных органов исполнительной власти в соответствии с которой в составе Министерства финансов РФ выделена Федеральная налоговая служба...
58162. Основные положения теории химического строения органических соединений А.М.Бутлерова 1.62 MB
  Химическое строение вещества как порядок соединения атомов в молекулах. Взаимное влияние атомов и атомных групп в молекуле. При этом строго соблюдается четырехвалентность атомов углерода и одновалентность водородных атомов. Свойства веществ зависят не только от качественного и количественного состава но и от порядка соединения атомов в молекуле явление изомерии.