16238

ИНФОРМАТИКА. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

ИНФОРМАТИКА. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Представлены методические рекомендации для выполнения курсовой работы и 30 вариантов заданий для курсовой работы по дисциплине Информатика для студентов 1го курса специ...

Русский

2013-06-20

241 KB

9 чел.

ИНФОРМАТИКА. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Представлены методические рекомендации для выполнения курсовой работы и 30 вариантов заданий для курсовой работы по дисциплине «Информатика» для студентов 1-го курса специальности 200900 «Сети связи и системы коммутации», 201000 «Многоканальные телекоммуникационные системы»  дневной формы обучения .

Задания выдаются студентам в соответствии с рабочей программой по дисциплине и выполняются аудиторно в течении четырнадцати часов и самостоятельно в течении сорока часов.

Рекомендовано НМС УрТИСИ СибГУТИ в качестве вариантов контрольных заданий для студентов дневной формы обучения факультета Телекоммуникацтй специальности 200900 «Сети связи и системы коммутации», 201000 «Многоканальные телекоммуникационные системы»  

Кафедра физики, прикладной

математики и информатики

УрТИСИ ГОУ ВПО «СибГУТИ», 2006

Министерство РФ по связи и информатизации

ГОУ ВПО «Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и  информатики»

Уральский технический институт связи и информатики (филиал)


Методические рекомендации
 

по выполнению курсовой работы

  1.  Назначение курсовой работы

Курсовой проект является важнейшей составляющей курса и первой объёмной самостоятельной инженерно-расчётной работой студента. Курсовой проект завершает подготовку по дисциплине «Информатика» и становится базой для выполнения последующих курсовых проектов по специальным дисциплинам.

Темой курсового проекта является «Визуализация численных методов» путём:

1) написания программы на языке Visual Basic;

2) проверки решения с помощью приложения MathCad.

В ходе выполнения курсовой работы предполагается решение дифференциального уравнения предложенными численными методами.

  1.  Примерное содержание пояснительной записки

Пояснительная записка оформляется на листах формата А4.

Первая страница – титульный лист, оформленный по общим правилам. Описание работы должно включать:

  •  постановку задачи и математическую модель,
    •  описание используемых методов (применительно к конкретной задаче),
    •  блок-схемы основных процедур,
    •  виды формы проекта (исходный – для ввода данных, итоговый – с представленным решением и графиком),
    •  листинг программы на языке Visual Basic,
    •  оценку погрешности вычислений,
    •  решение задачи в MathCad,
    •  вывод по работе.

  1.  Календарный план выполнения работы

На выполнение курсовой работы отводится 7 недель (7 практических занятий). На занятии предполагается отчет по самостоятельной работе студента и обсуждение хода работы с преподавателем.

ПР1

Построение математической модели задачи. Решение задачи в MathCad.

ПР2

Описание численных методов решения задачи. Построение алгоритма решения задачи для заданных численных методов в виде блок-схемы.

ПР3

Написание программы решения задачи на языке программирования VisualBasic.

ПР4

Отладка программы на компьютере.

ПР5

Пояснительная записка сдается на проверку.

ПР6

Защита курсовой работы.

ПР7

Защита курсовой работы.

  1.  Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши

Существует множество технических систем и технологических процессов, характеристики которых непрерывно меняются со временем t. Такие явления обычно подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений.

Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Лишь очень немногие из них удаётся решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчётов.

В зависимости от числа независимых переменных и типа входящих в них производных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним, которые называются частными. В этой главе рассматриваются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

4.1 Постановка задачи

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом.

Пусть дано дифференциальное уравнение      и начальное условие y(x0) = y0.  Требуется найти функцию y(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Геометрический смысл задачи:

 - тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (x, y) к оси ОХ, - угловой коэффициент (рис.1).

Существование решения:

Если правая часть f(x,y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами

|xx0| < a ;  |yy0| < b ,

то существует, по меньшей мере, одно решение  y = y(x), определённое в окрестности  |xx0| < h, где h – положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

где N – некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от a и b. Если f(x, y)имеет ограниченную производную  в R, то можно положить

N = max||    при    .

4.2 Численные методы решения задачи Коши

При использовании численных методов выполняется замена отрезка [x0, X] – области непрерывного изменения аргумента х множеством , состоящего из конечного числа точек  x0 < x1 < … < xn = X – сеткой.

При этом xi называют узлами сетки.

Во многих методах используются равномерные сетки с шагом 

Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [x0, X], заменяется её дискретным аналогом – системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1, y2, …, yn – приближённые значения функции в узлах сетки.

                                 (4.1)

Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.

  •  Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на кривой y = f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге – Кутта.
  •  Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскания следующей точки кривой y = f(x) требуется информация более чем об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милна, Адамса – Башфорта и Хемминга.
  •  Явные методы, в которых функция Ф в выражении (4.1) не зависит от yn+1.
  •  Неявные методы, в которых функция Ф зависит от yn+1.

4.3 Метод Эйлера

Иногда этот метод называют методом Рунге-Кутта первого порядка точности.

Данный метод одношаговый. Табулирование функции происходит поочередно в каждой точке. Для расчета значения функции в очередном узле необходимо использовать значение функции в одном предыдущем узле.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x0) = y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

 xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, …,

xi – узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах .

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 2.

Проведем прямую АВ через точку (xi,yi) под углом α. При этом

tgα = f(xi,yi) (1).

В соответствии с геометрическим смыслом задачи, прямая АВ является касательной к интегральной функции.  Произведем замену точки интегральной функции точкой, лежащей на касательной AB.

Тогда yi+1 = yiy (2).

Из прямоугольного треугольника АВС  (3).

Приравняем правые части (1) и (3). Получим .

Отсюда

Подставим в это выражение формулу (2), а затем преобразуем его. В результате получаем формулу расчета очередной точки интегральной функции:

    (4).

Рисунок 2. Метод Эйлера.

Из формулы (4) видно, что для расчета каждой следующей точки интегральной функции необходимо знать значение только одной предыдущей точки. Таким образом, зная начальные условия, можно построить интегральную кривую на заданном промежутке.

Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера приведена на рисунке 3.

Рисунок 3. Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения  методом Эйлера.

Метод Эйлера – один из простейших методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но существенным его недостатком является большая погрешность вычислений. На рисунке 2 погрешность вычислений для i-го шага обозначена ε. С каждым шагом погрешность вычислений увеличивается.

4.4 Метод Эйлера модифицированный

Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта  второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x0) = y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

 xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, …,

xi – узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах .

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 4.

Рисунок 4. Метод Эйлера модифицированный.

Проведем решение в несколько этапов.

  1.  Обозначим точки: A(xi, yi), C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)) и B(xi+1, yi+1).
  2.  Через точку  А проведем прямую под углом α, где

  1.  На этой прямой найдем точку C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)).
  2.  Через точку  С проведем прямую под углом α1, где

  1.  Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.
  2.  Найдем точку В(xi+1, yi+1). Будем считать  В(xi+1, yi+1) решением дифференциального уравнения при x=xi+1.
  3.  После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения yi+1:

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 4 это хорошо видно. Так величина ε1 характеризует погрешность метода Эйлера, а ε – погрешность метода Эйлера модифицированного.

Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным приведена на рисунке 5.

Рисунок 5. Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным.

4.5 Метод Рунге – Кутта 4-го порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x0) = y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

 xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, … .

Аналогично описанным выше методам производится решение дифференциального уравнения. Отличие состоит в делении шага на 4 части.

Согласно методу Рунге – Кутта четвёртого порядка, последовательные значения yi искомой функции y определяются по формуле:

где

,         i = 0, 1, 2, …

а числа  k1(i),  k2(i),  k3(i),  k4(i)  на каждом шаге вычисляются по формулам:

Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.

Методы Рунге – Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.

На рисунке 6 приведена блок-схема процедуры RUNGE(X0, XK, Y0, N, Y) для решения задачи Коши описанным выше методом Рунге – Кутта.

RUNGE4(X0, XK, Y0, N, Y)

h = (XK – X0) / N

i = 0, … , N-1

x = X0 + i * h

K1 = h * F(x, Yi)

K2 = h * F(x + h/2, Yi + K1 / 2)

K3 = h * F(x + h/2, Yi + K2 / 2)

K4 = h * F(x + h, Yi + K3)

K = (K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4) / 6

Yi+1 = Yi + K

End

Рисунок 6. Блок-схема процедуры RUNGE

На рисунке 7 приведена блок-схема алгоритма основной программы для решения задачи Коши и получения результатов с фиксированным количеством отрезков разбиения N. В основной программе происходит обращение к процедуре RUNGE(X0, XK, Y0, N, Y), вычисляющей значения искомой функции yj в точках xj методом Рунге – Кутта.

Исходными данными в данной задаче являются: 

X0, XK – начальное и конечное значения независимой переменной;

Y0 – значение y0 из начального условия  y(x0) = y0;

N – количество отрезков разбиения.

Результаты работы программы выводятся в виде двух столбцов: 

X – массив значений узлов сетки;

Y – массив значений искомого решения в соответствующих узлах сетки.

Ввод X0, XK, Y0, N

RUNGE(X0, XK, Y0, N, Y)

h = (XK – X0) / N

i = 0 … N

X = X0 + i * h

Вывод X, Yi

End

Рисунок 7. Блок-схема алгоритма основной программы для решения задачи Коши с фиксированным количеством отрезков разбиения N

4.6 Решение дифференциальных уравнений в среде MathCad

Рисунок 8. Пример решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта              4 порядка в среде MathCad.


  1.  Задания

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ  1–го ПОРЯДКА С ФИКСИРОВАННЫМ ШАГОМ

В курсовой работе необходимо указанными методами решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1 – го порядка на отрезке [ Хо, Хк] с шагом h  и  начальным условием У(Хо)=Уо.

Ответ должен  быть получен в виде таблицы результатов:

X

Y(1)

Y(2)

Y(T)

X0

Y0(1)

Y0(2)

Y(X0)

X1

Y1(1)

Y1(2)

Y(X1)

Xk

Yk(1)

Yk(2)

Y(Xk)

где :  Y (1), Y (2)  - решения,  полученные различными  численными  методами,              Y(T)            –  точное решение дифференциального уравнения.

Возможно представление результатов решения не в виде таблицы, а в виде списков.

Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.

Исходные данные для различных вариантов представлены в таблице.

Перед вычислением последнего столбца таблицы  результатов необходимо из начальных  условий  вычислить значение  коэффициента  с, используемое в общем  решении.

Таблица  - Задания для курсовых работ.

Дифференциальные уравнения

X0

Xk

h

Y0

Общее решение

Методы решения

1

 xydx+(x+1) dy=0

1.2

2

0.1

1

 y=c(x+1) exp(-x)

Эйлер, Рунге-Кутт

2

 y=xy 2+2xy

0

2

0.2

-1.8

 y=-2/(1+cexp(-x2))

Эйлер, Эйлер модифицированный

3

 y=2ln(x)

1

2

0.1

16

 y=(xln(x)-x+c) 2

Рунге-Кутт, Эйлер модифицированный

4

 yctg(x)=2-y

0

1

0.1

1

 y=2-cos(x)

Эйлер, Рунге-Кутт

5

 yx=3y

1

1.4

0.05

2

 y=cx 3

Эйлер, Эйлер модифицированный

6

 yy+x=1

0

1

0.1

2

 y=

Рунге-Кутт, Эйлер модифицированный

7

 y=-0.05y

1

2

0.1

2

 y=cexp(-0.05•x)

Эйлер, Рунге-Кутт

8

 y=4x-2y

1.2

2

0.1

2.4

 y=cexp(-2x)+2x-1

Эйлер, Эйлер модифицированный

9

(y2-2xy)dx+x2dy =0

1

2

0.1

0.2

 y=x2/(c+x)

Рунге-Кутт, Эйлер модифицированный

10

(y-y) x=e x

1

2

0.1

4

 y=exp(x)(lnx+c)

Эйлер, Рунге-Кутт

11

 yx=exp(x)-y

1.0

2

0.1

1

 y=[exp(x)+1-e]/x

Эйлер, Эйлер модифицированный

12

 yx=4y

1

1.4

0.05

2

 y=x4c

Рунге-Кутт, Эйлер модифицированный

13

 y(x+1)=y + 2

0

0.8

0.1

0

 y=(x+1) c-2

Эйлер, Рунге-Кутт

14

2xydx-(x+1)dy=0

0

0.8

0.05

4

 y=e2x c/(x+1)2

Эйлер, Эйлер модифицированный

15

 y+2xy=xexp(-x 2)

0

1

0.1

1

 y=exp(-x 2)(c+x 2/2)

Рунге-Кутт, Эйлер модифицированный

16

 y+y=cos(x)

0

/2

/10

1

 y=cexp(-x)+[cos (x)+

+sin (x)] /2

Эйлер, Рунге-Кутт

17

 yx=y+1

1

5

0.5

-0.9

 y=cx-1

Эйлер, Эйлер модифицированный

18

3x2y=0

1

1.8

0.1

0

 y=x3-c

Рунге-Кутт, Эйлер модифицированный

19

 xy+y=y 2ln(x)

1

1.6

0.1

4

 y=[1+ln (x)+cx]-1

Эйлер, Рунге-Кутт

20

(1+x 2)dy+ydx=0

1

1.8

0.1

1

 lny=-arctg(x)+c

Эйлер, Эйлер модифицированный

21

y=y/x+sin(y/x)

1

1.5

0.05

/2

y=2xarctg(cx)

Рунге-Кутт, Эйлер модифицированный

22

xy-y=x 2cos(x)

1.8

2.4

0.1

0.5

y=x[sin(x)+c]

Эйлер, Рунге-Кутт

23

y+y/x=3/x

1

1.8

0.1

0

y=3(x-1)/x

Эйлер, Эйлер модифицированный

24

y=2x2+2y

0

1

0.1

1

 y=1.5exp(2x)-x2-x-c

Рунге-Кутт, Эйлер модифицированный

25

ysin(x)-ycos (x)=0

/2

3/4

/20

1

y=sin (x)

Эйлер, Рунге-Кутт

26

(1+y 2) dx=xdy

1

1.5

0.05

1

y=tg( ln (cx) )

Эйлер, Эйлер модифицированный

27

(x-y) dx+xdy=0

1.2

2

0.1

2

y=x(c-ln (x))

Рунге-Кутт, Эйлер модифицированный

28

xy=y [ln (y)-ln (x)]

1

2

0.1

1

y=xexp(1+cx)

Эйлер, Рунге-Кутт

29

x 2+xy=y

1

1.4

0.05

0

y=x-x 2

Эйлер, Эйлер модифицированный

30

y+2xy=2xy 2

1

1.2

0.02

2

y=[(1+cexp(x 2)]-1

Рунге-Кутт, Эйлер модифицированный



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3720. Электропривод ножниц стана 450 401 KB
  Введение Идея создания второго крупного завода рядом с КМК возникла еще в годы первых пятилеток, но только в 1950 г. появилась возможность вернуться к вопросу о строительстве завода. В 1957г. Совет Министров СССР утвердил проектное задание на строит...
3721. Разработка цифровой интегральной микросхемы 230.5 KB
  Элементная база экономики непрерывно развивается. На смену крупногабаритному оборудованию приходит оборудование малых размеров с более точными параметрами и высокой надежностью. Такое оборудование является менее энергоемким и требует меньш...
3722. Экономическая география и регионалистика 126.5 KB
  Экономико-географическое положение территории России Экономико-географическое положение (ЭГП) – это положение объектов в экономическом и социальном пространстве относительно друг друга, а также относительно границ (государственных, администрати...
3723. Экономика предприятия. Предприятие как хозяйствующий субъект 605.5 KB
  Предприятие — это самостоятельный хозяйствующий субъект, созданный в порядке, установленном действующим законодательством Российской Федерации, для производства продукции, выполнения работ и оказания услуг. Понятие предприятие в широком смысл...
3724. Рынок как экономическая система 314.5 KB
  Понятие рынка в общих чертах известно любому человеку, осуществляющему какие-либо покупки. В тоже время понятие рынка многопланово. Происходящие здесь изменения интересуют и затрагивают огромные количества людей, в том числе и таких, кому...
3725. Формы международного перемещения капитала 55 KB
  Назовите основные формы международного перемещения капитала. Что такое прямые инвестиции, портфельные инвестиции. Международное движение капитала - это помещение и функционирование капитала за рубежом, прежде всего с целью его самовозрастания. Вклад...
3726. Системный кризис в СССР ( 70-е -первая половина 80-х гг.) 35.5 KB
  Системный кризис в СССР ( 70-е -первая половина 80-х гг.) Уже в 70-е годы поиски теоретической мысли были направлены на оправдание просчетов в коммунистическом строительстве. Если поначалу появлялись робкие упреки в адрес авторов Программы коммунист...
3727. Эволюция представлений о строении атома. Есть ли предел системе элементов Менделеева. 375.5 KB
  Возникновение атомистики Вопрос о строении окружающего мира всегда волновал человека. Начало современной науке о строении вещества было положено в античном мире, работами древнегреческих ученых разных школ – ионийской, элеатской, пифагорейской....
3728. Эволюция вселенной 79 KB
  Введение Мир, Земля, Космос, Вселенная… Тысячелетиями пытливое человечество обращало свои взгляды на окружающий мир, стремилось постигнуть его, вырваться за пределы микромира в макромир. Величественная картина небесного купола, усеянного мириадами з...