16308

Фрактальный папоротник и аффинные преобразования

Домашняя работа

Информатика, кибернетика и программирование

Фрактальный папоротник и аффинные преобразования Около четырехсот миллионов лет назад из теплого девонского моря населенного диковинными рыбами на еще безжизненную сушу начали наползать первые растения. Позднее на первобытной Земле многие миллионы лет шумели ка

Русский

2013-06-20

43.5 KB

5 чел.

Фрактальный папоротник и аффинные преобразования

Около четырехсот миллионов лет назад из теплого девонского моря, населенного диковинными рыбами, на еще безжизненную сушу начали наползать первые растения. Позднее на первобытной Земле многие миллионы лет шумели карбонские леса, состоящие преимущественно из гигантских древовидных папоротников. Живописные видения того далекого времени в стиле палео-арт можно отыскать в закоулках интернета. Благодаря своему невероятно древнему происхождению папоротники представляют собой живую иллюстрацию самых фундаментальных природных формообразовательных алгоритмов. Вместе с тем это и классический пример фрактальной геометрической структуры. В одной из моих прошлых статей я рассказывал об L-формализме, который позволяет строить подобные фигуры. Однако, используя рекурсивные замены, мы всегда строим лишь предфрактал какого-либо заданного порядка. Для построения отпечатка истинного фрактала используется другой подход, называемый методом итерируемых функций или IFS-методом (аббревиатура IFS происходит от английских слов iterated function system). IFS-метод основан на аффинных (от лат. affinis - родственный) преобразованиях координат точек по формулам:

X=ax+by+e

Y=cx+dy+f,

где a, b, c, d, e, f - заданные коэффициенты, x и y - текущие координаты, а X и Y - вновь вычисленные значения координат. В начале процесса задается исходная позиция. Каждая последующая точка рассчитывается на основе предыдущей по указанным выше формулам. Для построения изображения листа папоротника одновременно используются четыре различных набора коэффициентов, каждый из которых выбирается на очередном шаге с определенной вероятностью при помощи генератора случайных чисел. Описанный алгоритм можно реализовать в виде циклически повторяющейся конструкции Case.

Private Sub Form_Click()

Randomize Timer

x = 0

y = 0

For i = 1 To 70000

 r = Rnd

 Select Case r

  Case 0 To 0.01

   a = 0: b = 0: c = 0: d = 0.16: e = 0: f = 0

  Case 0.01 To 0.8

   a = 0.85: b = 0.04: c = -0.04: d = 0.85: e = 0: f = 1.6

  Case 0.8 To 0.9

   a = 0.2: b = -0.26: c = 0.23: d = 0.22: e = 0: f = 1.6

  Case 0.9 To 1

   a = -0.15: b = 0.28: c = 0.26: d = 0.24: e = 0: f = 0.44

 End Select

 X1 = (a * x) + (b * y) + e

 Y1 = (c * x) + (d * y) + f

 x = X1

 y = Y1

 PSet (x + 10, 11 - y), RGB(0, 100, 0)

 Next i

End Sub

Метод IFS представляет собой хорошую иллюстрацию принципа системности. Изменение одного из коэффициентов влияет, так или иначе, на всю структуру в целом. В этом смысле влияние коэффициентов в аффинных преобразованиях на форму итогового листа можно сравнить с влиянием генов на фенотипические структуры организма. Все влияет на все. Например, если приравнять к нулю коэффициент d в первом преобразовании, то во всей итоговой структуре исчезнут стебельки. Если начать изменять симметричные значения коэффициентов b и c во втором преобразовании, то все элементы структуры листа в ответ будут скручиваться либо распрямляться (в зависимости от того, будем ли мы увеличивать или уменьшать их абсолютные величины).

При помощи метода IFS можно, разумеется, строить не только изображение листа папоротника, но и другие фрактальные структуры, такие, например, как треугольник Серпинского или снежинка фон Кох. Нужно лишь подобрать соответствующие коэффициенты. Например, треугольник Серпинского появится на экране в результате реализации следующего программного кода:

Private Sub Form_Click()

x = 0

y = 0

For i = 1 To 40000

 r = Rnd

 Select Case r

  Case Is < (1 / 3)

   x = 0.5 * x

   y = 0.5 * y

  Case (1 / 3) To (2 / 3)

   x = 0.5 * x

   y = 0.5 * y + 3000

  Case Is > (2 / 3)

   x = 0.5 * x + 1500

   y = 0.5 * y + 1500

 End Select

 PSet (y + 1000, 5000 - x), RGB(0, 0, 0)

 Next i

End Sub

При использовании формул IFS мы получаем отпечаток истинного фрактала, ограниченного лишь разрешающей способностью устройства отображения. В приведенных выше программных фрагментах используется генератор случайных чисел. Каждый из возможных наборов коэффициентов выбирается случайно с какой-то заданной вероятностью. При этом создается впечатление, что точки одна за другой налипают на висящий в пространстве призрачный фрактальный аттрактор, постепенно делая его видимым. Возможно использование и детерминированных алгоритмов построения фрактальных объектов методом IFS. Заинтересованный читатель найдет исчерпывающую информацию на этот счет в добротном учебнике: Р.М. Кроновер "Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории". Москва: Постмаркет, 2000. - 352 с. Появление учебников по фрактальной геометрии - знаковое событие. Недалеко то время, когда основы фрактальной геометрии войдут обязательной составной частью даже в школьную программу. Это не просто новый модный раздел геометрии. Фрактальная геометрия знаменует собой качественно новый этап ее развития.

В заключении процитирую мысль одного неизвестного сетевого автора, подписавшегося как Hard Wisdom. Сам он отнесся к своей идее как к малозначительному курьезу или приколу, но мне думается, что это нечто большее. Hard Wisdom между прочим высказал сколь элементарную, столь и глубокую мысль о том, что числа - это также не что иное, как фракталы. Он пишет: "Давайте взглянем на обычные целые числа, записанные в позиционной системе счисления. Очевидно, что любая часть такого числа - тоже число! Доказательство данного факта вряд ли необходимо.;-) Давайте отобразим графически число, взятое в двоичной системе счисления (исключительно ради наглядности, для произвольной системы счисления надо лишь использовать большее количество цветов, чем 2 :-). Цифру 1 будем изображать закрашенной точкой, а цифру 0 - пробелом. Итак:

На шкале N отложены числа, на шкале R - цифры в позиции числа. Мы можем заметить интересную симметрию (связанную с основанием системы счисления, в частности, причем симметрию рекурсивную)"


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37489. Философия. Ответы на экзаменационные вопросы 736 KB
  Таким образом зарождение философии исторически обусловлено: накоплением в практической деятельности людей значительного опыта что формировало у них понимание определенной упорядоченности окружающего мира источником которой как они думали являются имеющиеся в природе некие независимых от человека силы; открытием в различных сферах человеческой деятельности зачатков научных знаний эмпирическое знание которые можно было проверить и которые как люди предполагали были связаны с этими глубинными силами; появлением в классовом...
37490. ФИЛОСОФИЯ И ЕЕ РОЛЬ В ОБЩЕСТВЕ 347 KB
  Основной вопрос философии это соотношение человека и мира мышления и природы. Неосновные законы: взаимосвязь общего особенного и единичного взаимосвязь сущности и явления взаимосвязь формы и содержания взаимосвязь причины и следствия взаимосвязь необходимости и случайности взаимосвязь возможности и действительности Структура философии: онтология теория бытия гносеология теория познания теория развития социальная философия философия общества философская антропология философия человека методология теория...
37491. Философия: Учебник. 4.63 MB
  ru Рецензенты: кафедра социальной философии Российского университета Дружбы народов им. редактора журнала Вопросы философии доктор филос. Учебник содержит изложение истории философии и рассмотрение ее основных областей. При этом многие вопросы входящие в вузовский курс философии освещены достаточно подробно что позволит студентам и преподавателям специализированных вузов углубленно изучить философские проблемы применительно к своей специальности.
37492. ФИЛОСОФИЯ КУЛЬТУРЫ. Становление и развитие 2.07 MB
  На протяжении всей истории философская мысль обсуждала проблему фундаментального различия между тем, что существует независимо от человека — миром, природой, натурой и тем, что создано человеком как во внешнем, так и в собственном, физическом и духовном, бытии. Уже в древнегреческой философии зародились представления о «техне» как искусной практической деятельности, мастерстве, создающем необходимый человеку предметный мир (отсюда понятие «техника» во всех европейских языках)
37493. Философия педагогики. Учебное пособие для вузов 1.06 MB
  Она лаконично излагает системную суть философии культурологии психологии религиоведения развернуто дает этическую и эстетическую системы знаний в их неотрывной и прямой значимости для педагогической практики параллельно освещая проблемы образования и реальной жизни школы с установкой на их действительное и творческое решение. Философские аспекты образования и воспитания Философия как наука о всеобщих закономерностях жизни и мира является опорой для всех наук в познании изучаемых ими частных закономерностей это же касается педагогики....
37494. Философия Рене Декарта 32 KB
  Декарт сформулировал четыре правила: признавать истинными только ясные и отчетливые положения; расчленять сложную проблему на более простые менее сложные задачи; постепенно переходить от доказанного и известного к недоказанному и неизвестному; не допускать никаких пробелов в логической цепочке рассуждений. На это Декарт отвечал что нельзя полагаться на очевидность наших чувств как это делают эмпирики. Декарт пробует на самоочевидность тезисы о бытии мира Бога и нашего Я.
37495. Конспект лекций по курсу «Философия» для студентов заочной формы обучения 1.33 MB
  Философия как форма мировоззрения ее роль в жизни общества и человека. Бытие человека. В этой ситуации проблемы мировоззренческой ориентации человека осознание им своего места и роли в обществе цели и смысла социальной и личной активности ответственности за свои поступки и выбор форм и направлений своей деятельности становятся главными жизненными ценностями. В становлении и формировании мировоззренческой культуры человека философия всегда играла особую роль связанную с ее многовековым опытом...
37496. Философия. Учебник для вузов. В. В. Миронова 3.74 MB
  Природа человека. Происхождение человека и уникальность его бытия. Природа сущность и существование человека. Смысл жизни и назначение человека.
37497. Основные философские учения 1.95 MB
  Религиозноидеалистическая картина мира: эволюционный космизм тема 12 Природа человека и смысл его существования 12. Проблемы методологии научного познания в позитивизме и неопозитивизме тема 15 Современный философский иррационализм: решение проблем бытия познания человека и личности в различных школах и течениях 15. Вовторых мы считаем мудрым того кто способен познать трудное и нелегко постижимое для человека ведь воспринимание чувствами свойственно всем а потому это легко и ничего мудрого в этом нет. Но пожалуй труднее всего...