16308

Фрактальный папоротник и аффинные преобразования

Домашняя работа

Информатика, кибернетика и программирование

Фрактальный папоротник и аффинные преобразования Около четырехсот миллионов лет назад из теплого девонского моря населенного диковинными рыбами на еще безжизненную сушу начали наползать первые растения. Позднее на первобытной Земле многие миллионы лет шумели ка

Русский

2013-06-20

43.5 KB

2 чел.

Фрактальный папоротник и аффинные преобразования

Около четырехсот миллионов лет назад из теплого девонского моря, населенного диковинными рыбами, на еще безжизненную сушу начали наползать первые растения. Позднее на первобытной Земле многие миллионы лет шумели карбонские леса, состоящие преимущественно из гигантских древовидных папоротников. Живописные видения того далекого времени в стиле палео-арт можно отыскать в закоулках интернета. Благодаря своему невероятно древнему происхождению папоротники представляют собой живую иллюстрацию самых фундаментальных природных формообразовательных алгоритмов. Вместе с тем это и классический пример фрактальной геометрической структуры. В одной из моих прошлых статей я рассказывал об L-формализме, который позволяет строить подобные фигуры. Однако, используя рекурсивные замены, мы всегда строим лишь предфрактал какого-либо заданного порядка. Для построения отпечатка истинного фрактала используется другой подход, называемый методом итерируемых функций или IFS-методом (аббревиатура IFS происходит от английских слов iterated function system). IFS-метод основан на аффинных (от лат. affinis - родственный) преобразованиях координат точек по формулам:

X=ax+by+e

Y=cx+dy+f,

где a, b, c, d, e, f - заданные коэффициенты, x и y - текущие координаты, а X и Y - вновь вычисленные значения координат. В начале процесса задается исходная позиция. Каждая последующая точка рассчитывается на основе предыдущей по указанным выше формулам. Для построения изображения листа папоротника одновременно используются четыре различных набора коэффициентов, каждый из которых выбирается на очередном шаге с определенной вероятностью при помощи генератора случайных чисел. Описанный алгоритм можно реализовать в виде циклически повторяющейся конструкции Case.

Private Sub Form_Click()

Randomize Timer

x = 0

y = 0

For i = 1 To 70000

 r = Rnd

 Select Case r

  Case 0 To 0.01

   a = 0: b = 0: c = 0: d = 0.16: e = 0: f = 0

  Case 0.01 To 0.8

   a = 0.85: b = 0.04: c = -0.04: d = 0.85: e = 0: f = 1.6

  Case 0.8 To 0.9

   a = 0.2: b = -0.26: c = 0.23: d = 0.22: e = 0: f = 1.6

  Case 0.9 To 1

   a = -0.15: b = 0.28: c = 0.26: d = 0.24: e = 0: f = 0.44

 End Select

 X1 = (a * x) + (b * y) + e

 Y1 = (c * x) + (d * y) + f

 x = X1

 y = Y1

 PSet (x + 10, 11 - y), RGB(0, 100, 0)

 Next i

End Sub

Метод IFS представляет собой хорошую иллюстрацию принципа системности. Изменение одного из коэффициентов влияет, так или иначе, на всю структуру в целом. В этом смысле влияние коэффициентов в аффинных преобразованиях на форму итогового листа можно сравнить с влиянием генов на фенотипические структуры организма. Все влияет на все. Например, если приравнять к нулю коэффициент d в первом преобразовании, то во всей итоговой структуре исчезнут стебельки. Если начать изменять симметричные значения коэффициентов b и c во втором преобразовании, то все элементы структуры листа в ответ будут скручиваться либо распрямляться (в зависимости от того, будем ли мы увеличивать или уменьшать их абсолютные величины).

При помощи метода IFS можно, разумеется, строить не только изображение листа папоротника, но и другие фрактальные структуры, такие, например, как треугольник Серпинского или снежинка фон Кох. Нужно лишь подобрать соответствующие коэффициенты. Например, треугольник Серпинского появится на экране в результате реализации следующего программного кода:

Private Sub Form_Click()

x = 0

y = 0

For i = 1 To 40000

 r = Rnd

 Select Case r

  Case Is < (1 / 3)

   x = 0.5 * x

   y = 0.5 * y

  Case (1 / 3) To (2 / 3)

   x = 0.5 * x

   y = 0.5 * y + 3000

  Case Is > (2 / 3)

   x = 0.5 * x + 1500

   y = 0.5 * y + 1500

 End Select

 PSet (y + 1000, 5000 - x), RGB(0, 0, 0)

 Next i

End Sub

При использовании формул IFS мы получаем отпечаток истинного фрактала, ограниченного лишь разрешающей способностью устройства отображения. В приведенных выше программных фрагментах используется генератор случайных чисел. Каждый из возможных наборов коэффициентов выбирается случайно с какой-то заданной вероятностью. При этом создается впечатление, что точки одна за другой налипают на висящий в пространстве призрачный фрактальный аттрактор, постепенно делая его видимым. Возможно использование и детерминированных алгоритмов построения фрактальных объектов методом IFS. Заинтересованный читатель найдет исчерпывающую информацию на этот счет в добротном учебнике: Р.М. Кроновер "Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории". Москва: Постмаркет, 2000. - 352 с. Появление учебников по фрактальной геометрии - знаковое событие. Недалеко то время, когда основы фрактальной геометрии войдут обязательной составной частью даже в школьную программу. Это не просто новый модный раздел геометрии. Фрактальная геометрия знаменует собой качественно новый этап ее развития.

В заключении процитирую мысль одного неизвестного сетевого автора, подписавшегося как Hard Wisdom. Сам он отнесся к своей идее как к малозначительному курьезу или приколу, но мне думается, что это нечто большее. Hard Wisdom между прочим высказал сколь элементарную, столь и глубокую мысль о том, что числа - это также не что иное, как фракталы. Он пишет: "Давайте взглянем на обычные целые числа, записанные в позиционной системе счисления. Очевидно, что любая часть такого числа - тоже число! Доказательство данного факта вряд ли необходимо.;-) Давайте отобразим графически число, взятое в двоичной системе счисления (исключительно ради наглядности, для произвольной системы счисления надо лишь использовать большее количество цветов, чем 2 :-). Цифру 1 будем изображать закрашенной точкой, а цифру 0 - пробелом. Итак:

На шкале N отложены числа, на шкале R - цифры в позиции числа. Мы можем заметить интересную симметрию (связанную с основанием системы счисления, в частности, причем симметрию рекурсивную)"


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45372. Многообразие форм организации обучения в школе. Психолого-педагогические требования к современному уроку 52.5 KB
  Многообразие форм организации обучения в школе. План Формы организации обучения. Критерии выбора форм организации обучения. Общие формы обучения Фронтальная форма Групповая Парная Индивидуальная.
45373. Педагогическая деятельность и педагогические взгляды В.А.Сухомлинского 38.5 KB
  Нравственное воспитание 6. Воспитание потребностей культура желаний 7. Трудовое воспитание 8. Другие идеи воспитание без наказаний зубрежка основа на эмоциональночувственной сфере 3 составные части воспитательного процесса.
45374. Место и роль государства в политической системе общества 47.01 KB
  Такая ситуация не может не влиять на природу действующих законов и подза конных актов которые порой могут между собой находиться в противоречии. Отсюда систематизация – это упорядочение нормативных актов приведение их в определённую систему. Выделяют такие виды систематизации как: 1 инкорпорация – форма систематизации путём объединения нормативных актов без изменения их со держания в сборник где каждый из актов сохраняет своё самостоятельное юридическое значение. На неофициальные инкорпоративные материалы нельзя ссылаться в процессе...
45375. Правовое государство: понятие и признаки 50.64 KB
  Основоположник античной политической науки Аристотель обосновал идею господства права и правовой законности а также идею права как критерия справедливости. Появляется теория разделения властей прав человека первое представление о законности. принципы и юридические гарантии законности Для начала следует отметить что законность это политикоправовое явление которое характеризует процесс совершенствования государственноправовой формы организации общества путем строгого и неуклонного соблюдения и исполнения действующего...
45376. Соотношение гражданского общества и государства 54.37 KB
  соотношение гражданского общества и государства Гражданское общество и государство представляют собой понятия которые отражают различные стороны жизни общества и противостоят друг другу. Без зрелого гражданского общества невозможно создание правового демократического государства поскольку именно сознательные свободные граждане способны формировать наиболее рациональные формы человеческого общежития. Соотношение гражданского общества и государства характеризуется тем что их нельзя ни отождествлять ни противопоставлять друг другу тем более...
45377. Исторические предпосылки возникновения права 57.96 KB
  Есть лишь отношения объективно требующие или не требую щие правового опосредования. Лишь в отдельных случаях субъект может не знать что стал участником правового отношения например оказавшись наследником по закону после смерти родственника проживавшего в другом городе. Механизм правового регулирования: понятие структура стадии процесса Право как инструмент социального управления призвано упорядочивать общественные отношения обеспе чивая реализацию позитивных интересов субъектов. Каждый из этапов и юридических элементов правового...
45378. ПОНЯТИЕ, ПРИЗНАКИ И СУЩНОСТЬ ПРАВА 43.74 KB
  Ценность права выражается в том что оно прежде всего выступает средством: − регулирования общественных отношений придаёт действиям людей согласованность упорядоченность уверенность; − защиты существующего общественного строя устанавливает меры юридической ответственности за общественно опасные и вредные деяния; − обновления общества фактором его прогресса содействует развитию тех социальных связей в которых заинтересовано общество; − решения глобальных проблем современности оборонных экологических и т. Эффективность правового...
45379. Социальное регулирование. Понятие, функции и виды социальных норм 64.66 KB
  Место и роль права в системе социального регулирования. Отличие права от других нормативных систем. При обсуждении роли права в системе социального нормативного регулирования значение имеют нормы третьей и четвертой группы в литературе именно их принято квалифицировать как социальные нормы. Именно в этих процессах доминирующие в обществе идеи права и правовые представления переводятся в форму юридических правил норм общего действия.
45380. Соотношение права и морали 51.65 KB
  соотношение права и морали. Единство права и морали заключается в следующем: право и мораль являются универсальными регуляторами поведения людей имеют способность проникать в различные области общественной жизни; право и мораль являются многомерными образованиями имеющими сложную структуру которая состоит из одинаковых и взаимодействующих между собой элементов; право и мораль действуют в едином поле социальных отношений; право и мораль служат общей цели – совершенствованию и упорядочению общественной жизни...