16348

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕМКОСТИ КОНДЕНСАТОРА

Лабораторная работа

Физика

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: знакомство с одним из методов измерения электрической емкости конденсатора; экспериментальная проверка формул для расчета емкости батареи конденсаторов при их параллельном и последовательном соединениях. ОБОРУДОВАНИЕ Регулируемый источн...

Русский

2013-06-20

1.27 MB

95 чел.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: знакомство с одним из методов измерения электрической емкости конденсатора ; экспериментальная проверка формул для расчета емкости батареи конденсаторов  при их параллельном и последовательном соединениях.

ОБОРУДОВАНИЕ

  1.  Регулируемый источник постоянного напряжения «» на плате «Блок генераторов».
  2.  Стабилизированные источники постоянного напряжения «» и «» на плате «Блок генераторов».
  3.  Блок мультиметров.
  4.  Миниблок «Интегратор тока»
  5.  Миниблок «Ключ».
  6.  Миниблок «Конденсатор эталонной емкости».
  7.  Миниблок «Конденсатор неизвестной емкости».
  8.  Кабель со специальной вилкой и зажимами типа крокодил для подсоединения миниблока «Конденсатор неизвестной емкости» к мультиметру, работающему в режиме измерения емкости.
  9.  Красные и синие соединительные провода.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Электроемкость уединенного проводника

Рассмотрим процесс зарядки удаленного от других тел (уединенного) проводника (рис. 1).

Сообщим ему заряд q. В результате этого заряд проводника станет равным . В разделе электростатики, посвященном проводникам, находящимся в электростатическом поле, доказывается, что такой заряд обязательно распределится по поверхности проводника так, чтобы напряженность поля внутри проводника стала равной нулю(), а его поверхность стала эквипотенциальной. Пусть значение потенциала этой поверхности равно .

Если теперь вновь сообщить проводнику такой же заряд q, то предыдущий заряд на проводнике не будет влиять на распределение нового заряда, так как внутри проводника напряженность поля , а на поверхности проводника тангенциальная составляющая напряженности . Следовательно, новый заряд q распределится по поверхности точно так же, как и первый. В этом случае, очевидно, и заряд и потенциал проводника увеличатся вдвое:

,  .

При сообщении проводнику заряда q в n-й раз все повторится: , .

Таким образом, потенциал  уединенного проводника будет все время пропорционален находящемуся на нем заряду . Записывается это в виде соотношения

,        (1)

где С – коэффициент пропорциональности, называемый электроемкостью (или просто емкостью) уединенного проводника.

Для выяснения физического смысла коэффициента С перепишем формулу (1) так:

.         (2)

В соответствии с (2) электроемкость уединенного проводника численно равна заряду, который нужно сообщить этому незаряженному проводнику, чтобы его потенциал стал равным единице .

Единицей емкости является фарад (Ф), .

Теперь найдем выражение для емкости уединенного проводящего шара радиуса R, находящегося в однородном и изотропном безграничном диэлектрике с проницаемостью e (рис. 2). Для этого сообщим шару заряд q и вычислим его потенциал j по формуле, связывающей потенциал  с напряженностью :

,     (3)

где .

Сопоставив (3) с (2), получим искомую формулу для емкости уединенного проводящего шара:

.        (4)

 Из выражения (4) следует, что электроемкость уединенного проводящего шара определяется его размерами (R) и диэлектрическими свойствами среды (e), в которой он находится. Следует заметить, что в общем случае электроемкость уединенного проводника зависит также от его формы.

2. Взаимная электроемкость. Конденсаторы

 Рассмотрим практически важный случай двух близко расположенных друг от друга металлических проводников.

Пусть проводники имеют форму тонких сферических концентрических оболочек с радиусами  и , пространство между которыми заполнено однородным и изотропным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e (рис. 3).

Сообщим этим проводникам равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку заряды  и . Вследствие взаимного притяжения, эти заряды равномерно распределятся по обращенным друг к другу поверхностям сферических оболочек так, как показано на рис. 3 (точно так же распределятся заряды и в случае, если внутренняя оболочка будет заменена металлическим шаром). В результате между металлическими оболочками возникнет электростатическое поле, обладающее сферической симметрией, которое совершенно не будет зависеть от внешних электростатических полей. В этом случае роль электростатического экрана выполняет внешняя металлическая сферическая оболочка радиуса .

Разность потенциалов  между рассматриваемыми оболочками находится по известной формуле, которая применительно к нашему случаю будет иметь вид

,        (5)

где E – величина напряженности поля между оболочками на произвольном расстоянии r от их центра; dr – модуль вектора элементарного перемещения по радиальному направлению.

Подставляя формулу  в (5), получаем пропорциональную зависимость между разностью потенциалов  и абсолютной величиной заряда q на каждой из оболочек:

.     (6)

Действительно, вследствие наложения полей между оболочками при возрастании величины заряда q в n раз напряженность поля  увеличивается также в n раз в каждой точке между оболочками, а значит, увеличивается в n раз разность потенциалов  между ними.

Обычно пропорциональность между  и q записывается в виде

,        (7)

где С – коэффициент пропорциональности, называемый электроемкостью конденсатора.

При этом рассмотренную систему из двух концентрических металлических оболочек называют конденсатором, а сами оболочки – обкладками конденсатора. Электроемкость конденсатора представляет собой взаимную электроемкость его обкладок.

В общем случае конденсатор (простой конденсатор) представляет собой систему из двух проводников (обкладок), расположенных на малом расстоянии друг от друга, и обладающую относительно большой взаимной электроемкостью. Заряды обкладок разноименны по знаку и равны по абсолютной величине.

Под емкостью конденсатора по аналогии с (2) понимают отношение

,         (8)

где q – абсолютная величина заряда на каждой из обкладок;  – разность потенциалов между обкладками.

В соответствии с (8) электроемкость конденсатора численно равна абсолютной величине заряда, находящегося на каждой из его обкладок, если разность потенциалов между обкладками равна единице . Часто в этой формуле разность потенциалов  называют напряжением U между обкладками. Тогда формула (8)принимает вид

.         (9)

Емкость конденсаторов измеряется в тех же единицах, что и емкость уединенных проводников – в фарадах (Ф).

По форме обкладок конденсатор, изображенный на рис. 3, называется сферическим. Сопоставив (6) с (8), получим формулу для емкости сферического конденсатора:

.        (10)

Сравнивая (10) и (4), легко увидеть, что при почти одинаковых размерах емкость сферического конденсатора может быть значительно больше емкости уединенного проводящего шара (сферы)

с радиусом, равным радиусу  внутренней обкладки конденсатора:

.

Например, при одинаковой диэлектрической среде, радиусе  и величине зазора между обкладками, равной , емкость сферического конденсатора примерно в 100 раз больше емкости уединенного проводящего шара (сферы).

Расчет и опыт показывают, что если внешнее тело попадает в поле конденсатора, то на поверхности этого тела появляются индуцированные (если тело – проводник) или связанные (если тело – диэлектрик) заряды, которые изменяют разность потенциалов  между обкладками конденсатора и, следовательно, изменяют его емкость. Чтобы внешние тела не влияли на емкость, обкладкам придают такую форму и так их располагают друг относительно друга, чтобы поле заряженного конденсатора было сосредоточено только в пространстве между ними. При этом заряды на обкладках должны быть одинаковыми по абсолютной величине и противоположными по знаку ( и ). С помощью теоремы Гаусса легко показать, что такому условию удовлетворяют близко расположенные друг к другу обкладки, имеющие вид: а) двух концентрических сфер; б) двух коаксиальных цилиндров; в) двух параллельных плоскостей. Соответственно различают сферический, цилиндрический и плоский конденсаторы.

Найдем формулу для емкости самого распространенного в технике плоского конденсатора. Его поле, являющееся однородным, изображено на рис. 4. На рисунке показано искажение поля конденсатора на краях обкладок, называемое краевым эффектом. Расчет по теореме Гаусса дает формулу для напряженности E поля плоского конденсатора без учета краевого эффекта:

,

где  – поверхностная плотность заряда на обкладке конденсатора.

Выразим величину напряженности E поля плоского конденсатора через площадь обкладки S и абсолютную величину заряда q на ней:

.

Для однородного поля разность потенциалов между обкладками

,

где d – расстояние между плоскими обкладками.

Отсюда, на основании (8), получаем формулу для емкости плоского конденсатора

,         (11)

где e – диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего зазор между обкладками; d – величина зазора между обкладками; S – площадь обкладки.

Чем меньше величина зазора d по сравнению с линейными размерами обкладок, тем меньше краевой эффект, тем точнее формула (11) определяет емкость реального плоского конденсатора.

 Цилиндрический конденсатор состоит из двух тонких металлических обкладок в виде коаксиальных цилиндров длиной h с радиусами  и , пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e  (рис.5 ).

Если обкладкам сообщить равные по величине, но противоположные по знаку заряды  и , то последние, равномерно распределившись, создадут между обкладками электрическое поле, обладающее цилиндрической симметрией (краевым эффектом мы здесь пренебрегаем). Это означает, что линии напряженности поля направлены радиально, а модуль вектора , рассчитанный по теореме Гаусса, является функцией только расстояния r от оси конденсатора:

,  (12)

где  – линейная плотность заряда на обкладке конденсатора.

Выразим (12) через величину заряда q на каждой из обкладок и длину h конденсатора:

.        (13)

Разность потенциалов  между обкладками находится по формуле

,        (14)

где E – величина напряженности поля между цилиндрическими обкладками на произвольном расстоянии r от их оси; dr – модуль вектора элементарного перемещения по радиальному направлению.

Подставляя (13) в (14), получаем

.

Отсюда в соответствии с (8) находим формулу для емкости цилиндрического конденсатора

.        (15)

Эта формула определяет емкость реального конденсатора тем точнее, чем меньше зазор между обкладками  по сравнению с h и .

Из формул (10), (11) и (15) следует, что емкость конденсаторов определяется формой и размерами их обкладок, величиной зазора между ними, а также диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками.

Кроме емкости конденсатор характеризуется пробивным напряжением, при котором возможен его пробой, т.е. электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Величина пробивного напряжения зависит от свойств диэлектрика, его толщины и формы обкладок.

3. Соединения конденсаторов

Для подбора необходимых значений емкости и рабочего напряжения конденсаторы соединяют в батареи. При этом используется их параллельное и последовательное соединение. Применяется также комбинация этих соединений. Для простоты ограничимся случаем трех конденсаторов.

3.1. Параллельное соединение конденсаторов

При параллельном соединении напряжение между обкладками конденсаторов одинаково и равно напряжению  на батарее:

.         (16)

Заряд батареи  равен сумме зарядов каждого конденсатора:

.         (17)

В соответствии с (9) преобразуем выражение (17):

,

откуда получаем формулу для емкости  батареи конденсаторов:

        (18)

 При параллельном соедине-нии конденсаторов емкость батареи равна сумме емкостей конденсаторов, входящих в батарею.

3.2. Последовательное соединение конденсаторов

Если к батарее последовательно соединенных конденсаторов приложить напряжение , то на их крайних обкладках появятся равные по величине, но противоположные по знаку заряды  и . Вследствие электростатической индукции на всех промежуточных обкладках наведутся заряды, равные по величине зарядам на крайних обкладках  (рис. 7). Таким образом, заряд батареи  и заряды каждого из конденсаторов будут равны между собой:

.       (19)

Напряжение  на батарее равно сумме напряжений на каждом конденсаторе:

,        (20)

где .

Преобразуем выражение (20) в соответствии с (9):

,

откуда получаем формулу для расчета емкости  батареи конденсаторов

.       (21)

 При последовательном соединении конденсаторов величина, обратная емкости батареи, равна сумме величин, обратных емкостям конденсаторов, входящих в батарею.


Напряжение  на батарее равно сумме напряжений на каждом конденсаторе:

,        (20)

где .

Преобразуем выражение (20) в соответствии с (9):

,

откуда получаем формулу для расчета емкости  батареи конденсаторов

.       (21)

 При последовательном соединении конденсаторов величина, обратная емкости батареи, равна сумме величин, обратных емкостям конденсаторов, входящих в батарею.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

1. Метод измерения

Измерение емкости конденсатора можно осуществить различными методами. В данной работе в основу измерения емкости положено соотношение между зарядом конденсатора q, его емкостью C и разностью потенциалов U на обкладках конденсатора (9):

.         (22)

Измерение емкости конденсатора включает в себя градуировку интегратора тока и определение неизвестной емкости двумя методами.

В данной работе для измерения заряда используется интегратор тока. Такое название прибора обусловлено формулой, связывающей величину заряда конденсатора , прошедшего при его полном разряде через интегратор, с изменяющимся током разряда :

.        (23)

При этом величина заряда, прошедшего через интегратор, пропорциональна показанию вольтметра  на его выходе:

,         (24)

где – градуировочная постоянная интегратора.

Расчетную формулу для измеряемой емкости найдем, используя равенства (22) и (24):

.        (25)

Определение градуировочной постоянной (градуировку интегратора) выполняют также с помощью формулы (25), проводя измерения для эталонного конденсатора с известной емкостью . При этом выражение

        (26)

позволяет рассчитать величину  (величины с индексом «э» относятся к измерениям с эталонным конденсатором).

Для проверки правильности градуировки интегратора нужно с его помощью провести измерение неизвестной емкости . Затем значение полученной емкости  необходимо сравнить со значением , измеренным другим методом, например, с помощью мультиметра.

2. Описание экспериментальной установки

Схема электрической цепи представлена на рис. 8, монтажная схема –

на рис. 9.

 Рис. 8. Электрическая схема: 1 – регулируемый источник постоянного  напряжения «0…+15 В»; 2 – переключатель; 3 – миниблок «Ключ»;

 4 – исследуемый конденсатор С; 5 – демпфирующий ключ; 6 – интегратор  тока; 7 – миниблок «Интегратор тока»; 8, 9 – мультиметры (режим V20  В, входы COM, VΩ)

Для зарядки конденсатора переключатель 2 устанавливают в положение «А», а демпфирующий ключ 5 замыкают (положение «Сброс»). Конденсатор заряжают до напряжения  (не более 2 В), контролируемого вольтметром 9. Перед измерением демпфирующий ключ 5 размыкают, а переключатель 2 переводят в положение «В». При этом заряд, имеющийся на обкладках конденсатора, пройдет через интегратор тока и будет зафиксирован вольтметром 8 (показание вольтметра ). В дальнейшем вследствие утечек напряжение, зафиксированное вольтметром 8, может меняться.

Рис.9. Монтажная схема:

3 – миниблок «Ключ»; 7 – миниблок «Интегратор тока»; 8, 9 – мультиметры

3. Выполнение измерений

 1. Для правильного выбора величины напряжения зарядки, отчитываемому по мультиметру 9, в начале измерений возьмите наибольшую измеряемую емкость. Она получается при параллельном соединении конденсаторов  и .

2. Соберите электрическую цепь по схеме, приведенной на рис. 9, подключив конденсаторы  и  параллельно. Значение эталонной емкости  запишите в табл. 1.

 3. Включите кнопками «Сеть» питание блока генераторов напряжения и блока мультиметров. Нажмите кнопку «Исходная установка».

 4. Зарядите конденсаторы, для этого:

 а) демпфирующий ключ 5 установите в положение «Сброс»;

 б) переключатель 2 (тумблер) установите в положение «А»;

 в) изменяя напряжение зарядки конденсатора кнопками установки напряжения «0…+15 В», установите его не более 2 В (отсчет по мультиметру 9).

5. Разрядите заряженные конденсаторы через интегратор, для этого:

 а) разомкните демпфирующий ключ 5;

 б) переведите переключатель 2 в положение «В». Если при этом загорится индикатор перегрузки у интегратора тока, уменьшите напряжение зарядки конденсаторов. Запомните максимальное показание мультиметра 8 непосредственно после разряда конденсатора.

 6. Повторите пп. 4 и 5 несколько раз, подобрав такое напряжение зарядки (показания мультиметра 9)  , при котором напряжение разрядки (показания мультиметра 8)  составило бы 8–10 В (величина, пропорциональная заряду конденсатора). Запишите напряжение  в табл. 1 и далее в ходе лабораторной работы не изменяйте его.

Таблица 1. Напряжения на конденсаторах и на батареях конденсаторов

Эталонный конденсатор =       мкФ

Определение емкости

Неизвестный конденсатор

Соединение конденсаторов

параллельное

последовательное

=        В

=       В

=       В

=       В

1

2

3

4

5

Среднее

7. Не меняя напряжение зарядки , выполните 5 измерений , записывая значения в табл. 1.

8. Соедините  и  последовательно. Напряжение  оставьте равным . Выполните 5 измерений  и запишите результаты в табл. 1.

9. Проведите отдельно измерения величины  для эталонного конденсатора  и величины  для конденсатора неизвестной емкости .

Величины  и  остаются равными  и . Результаты измерений записываются в табл. 1.

10. Проверьте правильность градуировки интегратора, для этого:

а) с помощью мультиметра измерьте неизвестную емкость конденсатора ;

б) результат запишите в табл. 2 (погрешность измерения мультиметром =5 %).

11. Выключите кнопками «Сеть» питание блока генераторов напряжения и блока мультиметров.

4. Обработка результатов измерений

1. Используя данные табл. 1, рассчитайте градуировочную постоянную  (26)

.

2. По формуле (25) рассчитайте: емкость неизвестного конденсатора

,

емкость параллельно соединенных конденсаторов

и емкость последовательно соединенных конденсаторов

.

Результаты расчетов запишите в табл. 2.

Таблица 2. Электроемкости неизвестного конденсатора и батарей конденсаторов

Неизвестная емкость  , мкФ

Емкость соединения С , мкФ

Параллельное

Последовательное

экспер.

имерен.

экспер.

расчетное

экспер.

расчетное

=

=

=

3. Используя значения емкостей  и , по формулам для параллельного и последовательного соединений конденсаторов рассчитайте

и  .

Результаты расчетов запишите в табл. 2.

4. Найдите относительное отклонение экспериментальных значений от расчетных в %:

;

.

Результаты расчетов запишите в табл. 2.

5. Найдите относительное отклонение  от  (результатов измерений неизвестной емкости двумя методами) в %:  .

Результат расчета запишите в табл. 2.

6. По величинам этих отклонений сделайте заключение о точности измерений.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

для самостоятельной подготовки

к выполнению лабораторной работы

  1.  Дайте определение электроемкости уединенного проводника.

  1.  Запишите формулу для емкости уединенного проводящего шара в диэлектрической среде.

  1.  От каких величин зависит электроемкость уединенного проводника?

  1.  Дайте определения конденсатора и его электроемкости.

  1.  Назовите три основных вида конденсаторов, используемых в технике. (Вид конденсатора определяется формой его обкладок.)

  1.  Запишите формулу для емкости плоского конденсатора.

  1.  От каких величин зависит электроемкость конденсатора?

  1.  В чем преимущества конденсатора перед проводником такой же формы и размеров при сравнении их электроемкостей?
  2.  Как изменится емкость конденсатора при изменении диэлектрической проницаемости среды  и расстояния  между его обкладками в случаях, когда:

а) конденсатор отключен от источника тока;

б) конденсатор подключен к источнику тока.

  1.  Запишите три соотношения (формулы) при параллельном соединении конденсаторов:

а) между напряжением на батарее конденсаторов  и напряжениями на отдельных конденсаторах этой батареи;

б) между зарядом на батарее  и зарядами на отдельных конденсаторах этой батареи;

в) между емкостью батареи  и емкостями отдельных конденсаторов этой батареи.

  1.  Как надо соединить конденсаторы, чтобы получить наибольшую результирующую емкость?

  1.  Запишите три соотношения (формулы) при последовательном соединении конденсаторов:

а) между напряжением на батарее конденсаторов  и напряжениями на отдельных конденсаторах этой батареи;

б) между зарядом на батарее  и зарядами на отдельных конденсаторах этой батареи;

в) между емкостью батареи  и емкостями отдельных конденсаторов этой батареи.

  1.  Как надо соединить конденсаторы, чтобы получить наименьшую результирующую емкость (меньшую, чем наименьшая емкость одного из соединяемых конденсаторов)?

  1.  Какую величину и каким образом измеряют интегратором тока в данной работе?

  1.  Как находят величину градуировочной постоянной?

  1.  Как измеряют величину неизвестной емкости конденсатора?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Савельев, И.В. Курс общей физики В 3 т. Т. 2 / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1988

Иродов, И.Е. Электромагнетизм. Основные законы В 5 т. Т. 3 / И.Е. Иродов. – М.– СПб: Физматлит, 2001.

Волков, В.Н. Физика В 3 т. Т. 2 / В.Н. Волков, Г.И. Рыбакова, М.Н. Шипко; Иван. гос. энерг. ун-т. – Иваново, 1993.

Крылов, И.А. Физические основы электромагнитных процессов в технических средствах автоматизации: учеб. пособие /И.А. Крылов; Иван. гос. энерг. ун.-т.- Иваново, 2004.

PAGE  30


Рис. 1. Электростатическое поле уединенного заряженного проводника

EMBED Word.Picture.8

Рис. 2. Электростатическое поле уединенного заряженного

проводящего шара, имеющего радиус R и находящегося в среде

с диэлектрической проницаемостью e

EMBED Word.Picture.8

Рис.3. Сферический конденсатор

EMBED Word.Picture.8

Рис. 4. Поле плоского конденсатора

EMBED Word.Picture.8

ис. 5. Цилиндрический конденсатор

EMBED Word.Picture.8

Рис. 6. Параллельное соединение конденсаторов

EMBED Word.Picture.8

Рис. 7. Последовательное соединение конденсаторов

EMBED Word.Picture.8

EMBED Word.Picture.8


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61035. Изготовление колокольчика из бумаги 44.5 KB
  Изготовление новогодней игрушки Колокольчик из бумаги. Без чего мы не услышим новогодний бой курантов Что Дед Мороз привязывает к саням чтобы известить о том что он скоро приедет колокол...
61039. Узагальнення вивченого про прислівник 43.5 KB
  Мета: вдосконалювати вміння розпізнавати прислівники в усному і писемному мовленні. Розвивати вміння використовувати прислівники у текстах визначати їх роль; розвивати здатність учнів до взаємодії мовне чуття мислення увагу память...
61043. Формирование понятия «культура» на уроке японского языка 266 KB
  Существующая в современном обществе тенденция к возрастающей роли иностранного языка во всех сферах жизнедеятельности человека диктует новый подход к обучению иностранным языкам суть которого заключается не только в пересмотре методики преподавания отдельных аспектов...