16513

Прикладная численная математика

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторная работа №5 Прикладная численная математика 1.1 Вычисление определенных интегралов В MATLAB определены команды quad и quadl для приближенного вычисления определенных интегралов I = dx. Команда quad или quadl имеет следующие модификации: quad'fx' ab; quad'fx' a...

Русский

2013-06-22

134 KB

7 чел.

Лабораторная работа №5

Прикладная численная математика

1.1 Вычисление определенных интегралов

В MATLAB определены команды quad и quadl для приближенного вычисления определенных интегралов

I = dx.

Команда quad (или quadl) имеет следующие модификации:

quad('f(x)', a,b);

quad('f(x)', a,b,tol).

В выражениях функции приняты следующие обозначения:

'f(x)' – подынтегральная функция или имя файл - функции, ее вычисляющей, взятые в кавычки;

a, b – пределы интегрирования;

tol – относительная погрешность, задаваемая пользователем, по умолчанию tol = 10-6.

Команды quad (quadl) имеют и другие модификации, о которых можно узнать с помощью команды doc funfun.

Реализованный в quad алгоритм основан на квадратурной формуле Симпсона с автоматическим подбором шага интегрирования для достижения требуемой погрешности вычислений. Интегрирование достаточно гладких функций имеет смысл производить командой quadl, основанной на более точных квадратурных формулах Гаусса - Лобатто, что экономит время вычислений.

В определенном интеграле

I = dx

подынтегральная функция

f(x) =

имеет бесконечный разрыв в точке x = 2, но интеграл сходится при любых конечных значениях a и b. Известна первообразная sign(x-2)·2 от f(x), поэтому точное значение интеграла находим по формуле Ньютона - Лейбница:

I = sign(b-2)·2 - sign(a-2)·2.

В частности,

I1 = dx = 1, I2 = dx = 2, I3 = dx = 4.

Интегралы I1, I2, I3 расположены в порядке убывания степени «гладкости» подынтегральной функции f(x):

I1f(x) непрерывна на [1; 1,75];

I2 – точка разрыва x = 2 совпадает с правым концом промежутка интегрирования [1; 2];

I3 – точка разрыва x = 2 лежит внутри промежутка интегрирования [1; 3].

I1 называется собственным интегралом, а I2 и I3 – несобственными интегралами.

Вычислим эти интегралы. Текст файл-функции f, вычисляющей подынтегральное выражение в векторизованном коде, приведен ниже:

function y=f(x)

y=1./sqrt(abs(x-2));

Вычислим интеграл I1 функцией quad:

>> format long

>> tic,I1=quad(@f,1,1.75),toc

I1 =

  1.00000005518294

elapsed_time =

  0.01000000000000

Напомним, что набор команд tic и toc является средством для приблизительного замера (оценки) быстродействия выполнения оператора или M-функции (см. разд. 1.7).

Возникает вопрос, сколько верных значащих цифр в результе I1=1,00000005518294, т. е. с какой точностью вычислен интеграл? В этом случае ответ очевиден, т. к. точное значение интеграла известно и равно 1.

Приведем результаты вычислений интеграла I1 командами quad и quadl с погрешностями 10-6, 10-8, 10-10, 10-12, eps ≈ 2,22·10-16:

                        quad                                                             quadl           

10-6     I1=1,00000005518294, t=0,01 с.          I1=1,000000000000057, t=0,01 с. 

10-8     I1=1,00000000037531, t=0,02 с.          I1=1,000000000000057, t=0,01 с. 

10-10   I1=1,00000000000121, t=0,04 с.          I1=1,000000000000012, t=0,02 с. 

10-12   I1=1,00000000000000, t=0,09 с.          I1=1,000000000000000, t=0,04 с. 

eps     I1=1,00000000000000, t=0,46 с.          I1=1,000000000000000, t=0,09 с.

Системная переменная eps (см. разд. 1.2) задает минимальную допустимую погрешность вычислений.

Как видим, с ростом точности вычислений результаты приближаются к точному значению интеграла I1=1. В данном случае quadl оказалась эффективнее quad по точности и быстродействию.

При вычислениях с quad и quadl указатель @f на файл-функцию f можно заменить на 'f' или на '1./sqrt(abs(x-2))', например:

>> tic,I1=quad('1./sqrt(abs(x-2))',1,1.75,eps),toc

I1 =

    1

elapsed_time =

  1.71200000000000

При такой форме задания f(x) результат вычислений прежний, но время вычислений увеличилось с 0,46 до 1,712 с.

Вывод: первый аргумент quad или quadl лучше вычислять файл-функцией.

Приведем результаты вычислений интеграла I2:

                        quad                                                             quadl           

10-6     I2=2,00001060926878, t=0,06 с.            I2=2,00000041416806, t=0,09 с. 

10-8     I2=2,00000006861257, t=0,13 с.            I2=1,99999998793697, t=0,16 с. 

10-10   I2=1,99999998659242, t=0,31 с.            I2=1,99999998412995, t=0,31 с. 

10-12   I2=Inf,                            t=0,81 с.            I2=1,99999998563725, t=0,54 с. 

eps     I2=1,99940376288895, t=2,8 с.               I2=2,01543021355643, t=1,76 с.

Точное значение интеграла I2=2. В данном случае сравнить quadl и quad по эффективности сложнее. Отметим, что при вычислениях с меньшей точностью получены более точные результаты (наиболее точные при 10-10). В одном случае quad не смогла вычислить интеграл.

Вычислим интеграл I3 командами quad и quadl:

>> tic,I3=quad(@f,1,3),toc

I3 =

  NaN

elapsed_time =

  0.01000000000000

>> tic,I3=quadl(@f,1,3),toc

I3 =

  Inf

elapsed_time =

  0.01000000000000

Команды quad и quadl не смогли вычислить несобственный интеграл I3.

Вычислить несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом

dx = 1.

Первообразная -e-x(x+1) от подынтегральной функции известна, поэтому точное значение интеграла найдено по формуле Ньютона – Лейбница.

Вычислим интеграл командами quad и quadl:

>> quad('x.*exp(-x)',0,inf)

ans =

  NaN

>> quadl('x.*exp(-x)',0,inf)

ans =

  NaN

Команды quad и quadl не смогли вычислить интеграл.

В рассмотренных примерах точные значения интегралов были заранее известны. Команды quad и quadl хорошо справились с собственным интегралом I1 и хуже с несобственным интегралом I2. Остальные несобственные интегралы они не смогли вычислить.

В MATLAB определена команда int (см. разд. 7.10) для вычисления определенных интегралов в символьной арифметике. Символьное и численное интегрирование дополняют друг друга, а их эффективность зависит от конкретных задач. В разделе 7.10 с помощью int будут найдены точные значения всех рассмотренных выше интегралов.

Вычислить определенный интеграл

I = dx.

Аналитического выражения для первообразной не существует, поэтому точное значение интеграла неизвестно.

Текст файл-функции f1, вычисляющей подынтегральное выражение, приведен ниже:

function f=f1(x)

f=exp(abs(sin(x)));

Вычислим интеграл командой quad:

>> format long

>> tic,I=quad(@f1,0,2*pi),toc

I =

 12.41751613152453

elapsed_time =

  0.03000000000000

Число верных значащих цифр результа I=12,41751613152453 неизвестно. Приведем результаты вычислений интеграла командами quad и quadl:

                        quad                                                             quadl           

10-6     I=12,41751613152453, t=0,03 с.           I=12,41751607142046, t=0,04 с.

10-8     I=12,41751607216332, t=0,07 с.           I=12,41751607142223, t=0,05 с.

10-10    I=12,41751607142415, t=0,15 с.           I=12,41751607142222, t=0,08 с.

10-12    I=12,41751607142224, t=0,39 с.           I=12,41751607142222, t=0,13 с.

eps      I=12,41751607142222, t=2,13 с.           I=12,41751607142222, t=0,52 с.

Длина мантиссы формата вывода long ограничена 16 значащими цифрами. Поэтому I=12,41751607142222точное наблюдаемое значение интеграла для этого формата. Правильность всех цифр подтверждается символьным интегрированием командой int в разделе 7.10. В данном случае quadl оказалась эффективнее quad по точности и быстродействию.

В MATLAB определена команда dblquad для приближенного вычисления двойных интегралов.

Вычислить двойной интеграл

I = esin(x²+y²)dxdy.

Файл-функция f2, вычисляющая подынтегральное выражение должна содержать два входных аргумента x и y. Ее текст приведен ниже:

function f=f2(x,y)

f=exp(sin(x.^2+y.^2));

Команда dblquad имеет семь входных аргументов, причем два последних необязательны. При ее вызове необходимо учесть, что первыми задаются пределы внутреннего интеграла по х, а вторыми – внешнего по y:

>> format long

>> tic,I=dblquad(@f2,0,pi,0,pi),toc

I =

 13.44629073627405

elapsed_time =

  3.08500000000000

Число верных значащих цифр результата I=13,44629073627405 неизвестно. Дополнительным шестым аргументом можно задать погрешность вычислений. При вычислении двойного интеграла dblquad использует quad. Если седьмым аргументом указать 'quadl', то для достаточно гладких функций интеграл будет вычислен быстрее. Приведем результаты вычислений интеграла командой dblquad без 'quadl' и с 'quadl':

                    без 'quadl'                                                       с 'quadl'           

10-6     I=13,44629073627405, t=3,08 с.            I=13,44629794896821, t=5,21 с. 

10-8     I=13,44629793673247, t=20,5 с.            I=13,44629793729471, t=15,8 с. 

10-10   I=13,44629793749324, t=111 с.              I=13,44629793733824, t=80,3 с. 

10-12   I=13,44629793749208, t=719 с.              I=13,44629793733828, t=206 с. 

eps     I=13,44629793733828, t=22972 с.          I=13,44629793733828, t=2800 с.

С ростом точности вычислений результаты стремятся к точному значению интеграла I=13,44629793733828. Подтвердить павильность всех цифр интегрированием командой int не удается из - за большого времени вычислений (см. разд. 7.10). В данном случае dblquad с аргументом 'quadl' намного эффективнее int по быстродействию.

В MATLAB определена также команда triplequad для приближенного вычисления тройных интегралов. Вычисления с triplequad аналогичны вычислениям с dblquad.

Вычислить тройной интеграл

I = sin(x2+y2+z2)dxdydz.

Файл-функция f3, вычисляющая подынтегральное выражение должна содержать три входных аргумента x, y и z. Ее текст приведен ниже:

function f=f3(x,y,z)

f=sin(x.^2+y.^2+z.^2);

Вычислим интеграл с погрешностью «по умолчанию»:

>> format long

>> tic,I=triplequad('f3',0,pi,0,pi,0,pi,[],'quadl'),toc

I =

  0.28050086212989

elapsed_time =

   1.448080000000000e+002

Число верных значащих цифр результата I=0,28050086212989 неизвестно.

Приведем результаты вычислений интеграла командой triplequad с разными погрешностями вычислений:

10-6                    I=0,28050086212989,           t=145 с.

10-7                    I=0,28050099966310,           t=580 с.

10-8                    I=0,28050100157222,           t=1448 с.

10-9                    I=0,28050099359960,           t=4165 с.

Время вычислений быстро возрастает с повышением их точности. Результат I=0,2805009936125356921 с 20 верными цифрами будет получен в разделе 7.10 примерно за 2 с. В данном случае int оказалась эффективнее triplequad по точности и быстродействию.

Вывод: точность вычислений собственных интегралов командами quad, quadl, dblquad и triplequad (с погрешностью «по умолчанию») достаточна для практических расчетов; вычисление кратных интегралов с более высокой точностью требует значительных временных затрат.

1.2 Вычисление интегралов – команда int

В ряде случаев возникает необходимость вычисления неопределенных и определенных интегралов

I = dx   и   I = dx.

Здесь f(x) – подынтегральная функция независимой переменной x, a нижний и b верхний пределы интегрирования для определенного интеграла.

Команда int(f, x) возвращает неопределенный интеграл (первообразную функцию) от символьного выражения f по переменной x.

Команда int(f, x, a, b) возвращает значение определенного интеграла от символьного выражения f по переменной x с пределами от а до b.

Подынтегральная функция f может зависеть от символьных параметров, а также быть массивом символьных выражений.

Если f массив, то int(f, x) возвращает массив первообразных, а int(f, x, a, b) – массив значений определенных интегралов. Примеры:

>> syms x

>> f=[sin(x);1/x]

f =

[ sin(x)]

[    1/x]

>> int(f,x)

ans =

[ -cos(x)]

[  log(x)]

>> int(f,x,1,2)

ans =

[ -cos(2)+cos(1)]

[         log(2)]

Пример:

Вычислить неопределенный интеграл

dx.

Решение:

>> syms x a

>> int(log(x+a)/sqrt(x+a),x)

ans =

2*log(x+a)*(x+a)^(1/2)-4*(x+a)^(1/2)

>> [m]=simple(ans)

m =

2*(x+a)^(1/2)*(log(x+a)-2)

Полученную первообразную 2(ln(x+a) - 2), зависящую от символьного параметра a, проверим дифференцированием по x:

>> diff(m,x)

ans =

1/(x+a)^(1/2)*(log(x+a)-2)+2/(x+a)^(1/2)

>> [m]=simple(ans)

m =

log(x+a)/(x+a)^(1/2)

>> pretty(m)

 

                                 log(x + a)

                                 -----------

                                           1/2

                                 (x + a)

В результате дифференцирования получена подынтегральная функция

,

т. е. выражение 2(ln(x+a) - 2) действительно является первообразной.

Пример:

Вычислить определенный интеграл

dx.

Решение:

Подынтегральная функция задана в аналитическом виде с символьными переменными a, b, x, а пределами интегрирования являются символьные переменные c, d. Интегрировать можно по любой из переменных a, b, x. Здесь интегрирование осуществляется по переменной x, поэтому int возвращает значение интеграла, выраженное через параметры a, b, c, d

>> syms x a b c d

>> int(x/(a+b*x^2),x,c,d)

ans =

1/2*(log(a+d^2*b)-log(a+c^2*b))/b

>> pretty(ans)

                                         2                     2

                          log(a + d  b) - log(a + c  b)

                    1/2 --------------------------------

                                            b

Пример:

Вычислить определенный интеграл по переменной b

db.

Решение:

>> syms x a b c d

>> int(x/(a+b*x^2),b,c,d)

ans =

(log(a+d*x^2)-log(a+c*x^2))/x

>> pretty(ans)

 

                                         2                     2

                        log(a + d x ) - log(a + c x )

                        --------------------------------

                                             x

От символьных параметров могут зависеть и кратные определенные интегралы.

Пример:

Вычислить тройной интеграл

(x2+y2)zdxdydz.

Решение:

Применив команду int трижды, получим символьный ответ:

>> syms a x y z

>> int(int(int((x^2+y^2)*z,x,0,a),y,0,a),z,0,a)

ans =

1/3*a^6

Команда int не позволяет получить неопределенный интеграл от произвольной функции.

Пример:

Вычислить неопределенный интеграл

dx.

Решение:

При вводе int выдается предупреждение об ошибке и команда возвращается без результата:

>> syms x

>> int(exp(abs(sin(x))),x)

Warning: Explicit integral could not be found.

> In C:\matlab6p5\toolbox\symbolic\@sym\int.m at line 58

ans =

int(exp(abs(sin(x))),x)

Это означает, что либо первообразной не существует либо система MATLAB не смогла ее найти.

В некоторых случаях int возвращает выражение для первообразной через специальные функции.

Пример:

Вычислить неопределенный интеграл

dx.

Решение:

>> syms x

>> int(sin(x)/x)

ans =

sinint(x)

Ответ содержит функцию интегральный синус, которая определяется интегралом с переменным верхним пределом:

Si(x) = dt.

Вычисление несобственных интегралов, зависящих от параметров, имеет некоторые особенности.

Пример:

Вычислить несобственный интеграл

dt.

Решение:

Команда int возвращается без результата:

>> syms a n t

>> int(t^n*exp(-a*t),t,0,inf)

ans =

int(t^n*exp(-a*t),t = 0 .. inf)

Система MATLAB не смогла вычислить интеграл потому, что величина интеграла зависит от знака параметра n, который при определении n остается незаданным. При инициализации символьной переменной n укажем ее знак, например:

>> syms a t

>> n=sym('n','positive');

>> int(t^n*exp(-a*t),t,0,inf)

ans =

1/(a^n)/a*gamma(n)*n

Значение интеграла выражается через гамма - функцию, информацию о которой можно получить с помощью команды doc gamma. Если n целое, то gamma(nn = n!, и в таком случае

dt = .

Далее на конкретных примерах сравним эффективность символьного и численного интегрирования.

Пример:

Вычислить определенный интеграл

dx.

Решение:

Команда int возвращает символьное значение определенного интеграла, выраженное через функцию арксинус:

>> syms x

>> format long

>> int(asin(x),x,0,pi/4)

ans =

1/4*pi*asin(1/4*pi)+1/4*(16-pi^2)^(1/2)-1

Для получения решения в естественной форме достаточно активизировать с помощью мыши строку ответа и нажать клавишу <Enter>. Будет получен следующий ответ (в установленном формате вывода):

ans =

  0.32847177096777

Команда vpa (см. разд. 7.2) позволяет вывести на экран результат вычислений с любым числом текущих цифр, например, с 20:

>> int(asin(x),x,0,pi/4)

ans =

1/4*pi*asin(1/4*pi)+1/4*(16-pi^2)^(1/2)-1

>> vpa(ans,20)

ans =

.3284717709677653169

В разделе 6.5 командами quad и quadl вычислялись определенные интегралы

I1 = dx = 1, I2 = dx = 2, I3 = dx = 4.

Только интеграл I1 был вычислен успешно.

Вычислим эти интегралы командой int и замерим время вычислений:

>> syms x

>> tic,I1=int(1/sqrt(abs(x-2)),x,1,1.75),toc

I1 =

1

elapsed_time =

  1.17100000000000

>> tic,I2=int(1/sqrt(abs(x-2)),x,1,2),toc

I2 =

2

elapsed_time =

  1.13200000000001

>> tic,I3=int(1/sqrt(abs(x-2)),x,1,3),toc

I3 =

4

elapsed_time =

  0.95200000000000

Команда int вычислила каждый из интегралов точно приблизительно за 1 с.:

В разделе 6.5 команды quad и quadl не смогли вычислить несобственный интеграл

dx = 1.

Команда int находит точный результат:

>> syms x

>> int(x*exp(-x),x,0,inf)

ans =

1

Ранее система MATLAB не смогла найти первообразную от функции e|sinx|.

Но она позволяет вычислить определенный интеграл от этой функции.

Пример:

Вычислить определенный интеграл

I = dx.

Решение:

При обращении к int выдается предупреждение об ошибке и команда возвращается без результата:

>> syms x

>> I=int(exp(abs(sin(x))),x,0,2*pi)

I =

int(exp(abs(sin(x))),x = 0 .. 2*pi)

Это означает, что команда int символьное решение не нашла. Воспользуемся теперь командой vpa. При интегрировании с 15 текущими цифрами получим:

>> vpa(I,15)

ans =

12.4175160714222

Такой же результат был получен в разделе 6. 5 численным нтегрированием командами quad и quadl.

Замерим время вычисления интеграла с разным числом текущих цифр:

vpa(I,10)                  I=12,41751607,                                          t=1,89 с.

vpa(I,15)                  I=12,4175160714222,                                t=2,15 с.

vpa(I,20)                  I=12,417516071422220393,                      t=2,30 с.

vpa(I,25)                  I=12,41751607142222039272708,            t=2,31 с.

Пример:

Вычислить двойной интеграл

I = esin(x²+y²)dxdy.

Решение:

Двойное применение int выдает предупреждение об ошибке и команда возвращается без результата:

>> syms x y

>> I=int(int(exp(sin(x^2+y^2)),x,0,pi),y,0,pi)

I =

int(int(exp(sin(x^2+y^2)),x = 0 .. pi),y = 0 .. pi)

Символьное решение не найдено. Совместное применение int и vpa возвращает приближенное значение интеграла. При вычислениях с 10 текущими цифрами получим:

>> tic,vpa(int(int(exp(sin(x^2+y^2)),x,0,pi),y,0,pi),10),toc

ans =

13.44629794

elapsed_time =

   8.762300000000000e+002

Приведем результаты интегрирования с разным числом текущих цифр:

vpa(I,6)                      I=13,4463,                            t=55 с.

vpa(I,7)                      I=13,44630,                          t=65 с.

vpa(I,8)                      I=13,446298,                        t=105 с.

vpa(I,9)                      I=13,4462979,                      t=89 с.

vpa(I,10)                    I=13,44629794,                    t=876 с.

vpa(I,11)                    I=13,446297937,                  t=1263 с.

vpa(I,12)                    I=13,4462979373,                t=170 с.

vpa(I,13)                    I=13,44629793734,              t=185 с.

vpa(I,14)                    I=13,446297937338,            t=2250 с.

vpa(I,15)                    I=13,4462979373383,          t=2730 с.

Более точный результат I = 13,44629793733828 (16 верных цифр) получен в разделе 6. 5 интегрированием с dblquad приблизительно за 206 с. В данном случае численное интегрирование эффективнее символьного по точности и быстродействию.

Пример:

Вычислить тройной интеграл

I = sin(x2+y2+z2)dxdydz.

Решение:

Тройное обращение к int возвращает символьное решение, выраженное через гипергеометрическую функцию и интегралы Френеля:

>> syms x y z

>> I=int(int(int(sin(x^2+y^2+z^2),x,0,pi),y,0,pi),z,0,pi);

>> [R]=simple(I)

R =

1/18*pi^(5/2)*2^(1/2)*(6*pi^2*hypergeom([3/4],[3/2, 7/4],-1/4*pi^4)*FresnelC(2^(1/2)*pi^(1/2))*hypergeom([1/4],[1/2, 5/4],-1/4*pi^4)-pi^4*hypergeom([3/4],[3/2, 7/4],-1/4*pi^4)^2*FresnelS(2^(1/2)*pi^(1/2))+9*hypergeom([1/4],[1/2, 5/4],-1/4*pi^4)^2*FresnelS(2^(1/2)*pi^(1/2)))

Вычислим интеграл командами int и vpa с 15 текущими цифрами:

>>tic,vpa(int(int(int(sin(x^2+y^2+z^2),x,0,pi),y,0,pi),z,0,pi),15),toc

ans =

.280500993612534

elapsed_time =

   1.90200000000000

Интегрирование с разным числом текущих цифр дает следующие результаты:

vpa(I,15)                    I=0,280500993612534,                              t=1,90 с.

vpa(I,23)                    I=0,28050099361253569211437,              t=1,93 с.

vpa(I,25)                    I=0,2805009936125356921143730,          t=2,00 с.

Менее точный результат I=0,2805009936 (11 верных цифр) получен в разделе 6. 5 интегрированием с triplequad приблизительно за 4165 с. В этом случае символьное интегрирование эффективнее численного.

Вывод: команда int вычислила все рассмотренные несобственные интегралы; если команда int находит символьное значение интеграла, то символьное интегрирование по точности и быстродействию эффективнее численного интегрирования, и наоборот.

Задание 1 (1.1, 1.2).Вычислить определенный интеграл

Вычислить определенный интеграл dx. Воспользоваться при необходимости командой vpa.

Варианты

1.     2. dx    3.     4. dx     5.

6.     7. dx    8.     9.      10.

11.     12.     13.     14. dx  

15.

Задание 2 (1.1, 1.2). Вычислить кратный определенный интеграл

Вычислить кратный определенный интеграл. Воспользоваться при необходимости командой vpa.

Варианты

1. cos(x2y2+sinz)dxdydz    2. (x2+y)coszdxdydz    3. (x2+y2)dxdy

4. xsin(yz)dxdydz     5.  cos(xyz)dxdydz     6.  arcsin(xy)dxdy

7.   sin(xy2+z)dxdydz    8. (x2+y2)(z+y)dxdydz  

9. arccos(x2+y2)dxdy   10.   arcsin(x+yz)dxdydz   

11. (x+y)(z+y)(z+x)dxdydz   12. arcsin(x2y2)dxdy  13. arccos(xy)dxdy     14. tg(xy+z)dxdydz   15. xycoszdxdydz


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79096. Наследование по завещанию. Порядок составления. Условия действительности. Содержание завещания. Обязательная доля. Назначение наследника 23.27 KB
  Завещание по римскому праву это не просто всякое распоряжение лица своим имуществом на случай смерти а лишь такое которое содержало назначение наследника. Назначение наследника должно было быть в самом начале завещания и без него завещание не имело юридической силы. Завещание это односторонняя сделка выражающая волю лишь одного лица завещателя. На практике это позволяло завещателю в любой момент и без какихлибо ограничений отменить или изменить составленное им ранее завещание.
79097. Наследование по закону. Реформы претора. Наследование по закону в период империи 30.68 KB
  То обстоятельство что завещание получит действительное значение лишь при условии если назначенный в нем наследник согласится принять наследство не делает завещания договором ибо выражение воли наследника имеет место не при совершении завещания как например согласие одаряемого при дарении а только после смерти завещателя как совершенно самостоятельный отдельный от завещания акт. Некоторые лица хотя и имели testmenti fctio pssiv но не могли получать наследство полностью или в части если не отпадает обстоятельство признаваемое по...
79098. Общие положения о древнеримской семье. Агнатское и когнатское родство 18.89 KB
  Семья в древнейший известный нам период римской истории представляет тип промежуточной патриархальной семьи объединявшей под властью главы семьи pterfmilis жену детей других родственников кабальных а также рабов. Глава семьи и властелин древнейшей семьи домовладыка единственный полноправный гражданин квирит термин производимый многими исследователями от греческого kueros власть т. имеющий власть.С образованием государства внутри рода происходит имущественная дифференциация; власть внутри рода попадает в руки наиболее богатых...
79099. Опека и попечительство. Завещательная опека 21.41 KB
  Опека рассматривалась в Древнем Риме как обязанность лица и поэтому отказаться от исполнений обязанностей опекуна можно было только по уважительной причине. Если не было завещательной опеки и невозможно было установить законную опекуна назначал претор при участии трибунов учреждаемая опека. Особенности учреждаемой опеки: согласия малолетних на установление подобной опеки не требовалось; опекун должен был проживать в округе претора назначающего опе кунство; предварительно узнавали о нравственном поведении будущего опекуна; не...
79100. Определение деликта. Характер и объем ответственности 21.63 KB
  Различались частные и публичные деликты. Публичные деликты посягали на государственные интересы а частные на права и интересы отдельной личности. В настоящем курсе рассматриваются только частные деликты. Основные отличия деликтного обязательства от договорного: основание возникновения не договор а правонарушение; не допускалось правопреемство в отношении должника; штрафная ответственность возлагалась не солидарно на каждого из должников а кумулятивно то есть суммировалась по числу ответчиков и могла быть взыскана с каждого в полном...
79101. Определение обязательства. Основания возникновения обязательств. Классификация обязательств. Сделки. Контракты и пакты 24.8 KB
  Римское право определяло обязательство как правовые оковы в силу которых мы принуждаемся чтонибудь исполнить согласно законам нашего государства . В позднейший период обязательство стало рассматриваться как юридическое отношение между двумя лицами в силу которого одно из них именуемое кредитором имеет право требовать от другого лица именуемого должником исполнения чеголибо в свою пользу. В отличие от вещного права обязательство связывает только тех лиц которые в нем участвуют и поэтому кредитор может предъявить иск не ко всем а...
79102. Особые средства преторской защиты. Понятие исковой давности 19.33 KB
  Помимо предоставления исков преторы пользуясь принадлежащей им властью так называемым imperium оказывали иногда защиту особыми средствами своими безусловными в противоположность формуле иска непосредственными распоряжениями хотя с течением времени и здесь преторы в некоторых случаях перешли на путь условных распоряжений. С течением времени по мере увеличения числа дел претор стал давать интердикты без проверки фактов в виде условного распоряжения если подтвердятся факты на которые ссылается заявитель и тогда интердикты с...
79103. Открытие наследства. Принятие наследства. Последствия принятия. Иски о наследстве. Выморочное наследство 23.96 KB
  Принятие наследства. Открытие наследства происходило в момент смерти наследодателя. За время между открытием наследства и его принятием наследниками наследственное имущество не принадлежало никому и именовалось лежачее наследство.
79104. Отцовская власть. Основания возникновения. Правовое положение детей. Имущественные права подвластных детей. Пекулий и его виды 24.19 KB
  По праву Юстиниана rrogtio совершалось путем получения на то императорского рескрипта; doptio путем занесения в судебный протокол pud ct соглашения прежнего домовладыки усыновляемого с усыновителем в присутствии усыновляемого. Последствием doptio было прекращение родительской власти прежнего домовладыки и установление власти усыновителя. Если правонарушитель переходил под власть другого домовладыки то и ответственность по ctio noxlis переходила на нового домовладыку: nox cput sequitur ответственность следует за виновным лицом.С...