16514

Вычисление пределов – команда limit

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторная работа №6 1.1 Вычисление пределов команда limit Для вычисления пределов функции Fx заданной в аналитическом символьном виде служит команда limit которая используется в одном из следующих вариантов: limitFxa возвращает предел символьного выражения F

Русский

2013-06-22

62 KB

2 чел.

Лабораторная работа №6

1.1 Вычисление пределов – команда limit

Для вычисления пределов функции F(x), заданной в аналитическом (символьном) виде, служит команда limit, которая используется в одном из следующих вариантов:

limit(F,x,a)возвращает предел символьного выражения F в точке x = a;

limit(F,x,a,'right') или limit(F,x,a,'left')возвращает предел в точке a справа или слева.

Продемонстрируем приемы вычисления пределов на следующих примерах:

а) ;  б)    с)  ;  д)  ;

е)  ; ж)  .

Решения в указанном порядке имеют вид:

>> syms a x

>> limit(sin(a*x)/(a*x),x,0)

ans =

1

>> limit((1+3/x)^(2*x),x,inf)

ans =

exp(6)

>> limit(1/(1-x),x,1)

ans =

NaN

Здесь переменная NaN означает, что предела функции  в точке x = 1 не существует.

>> limit(1/(1-x),x,1,'right')

ans =

-inf

Правосторонний предел функции  в точке x = 1 существует и равен - .

>> limit(1/(1-x),x,1,'left')

ans =

inf

Левосторонний предел функции  в точке x=1 существует и равен +.

>> limit(x*(log(a+x)-log(x))/5,x,inf)

ans =

1/5*a

1.2 Вычисление производных – команда diff

Для вычисления в символьном виде производных от выражения S служит команда diff, записываемая в форме diff(S, x, n). Она возвращает символьное значение n-ой производной (производной степени n) от символьного выражения или массива символьных выражений S по переменной x, т. е.

Sn(x) = .

В формате diff(S, x) находится первая производная (n = 1 по умолчанию).

Найти первую и третью производные функции y = x2sinx.

Решение:

>> syms x

>> y=x^2*sin(x);

>> diff(y,x)

ans =

2*x*sin(x)+x^2*cos(x)

>> diff(y,x,3)

ans =

6*cos(x)-6*x*sin(x)-x^2*cos(x)

Если S массив, то diff возвращает массив, элементами которого являются производные от исходных функций, образующих массив.

Например:

>> syms a x

>> Y=[a*log(x);x^a]

[ a*log(x)]

[      x^a]

>> diff(Y,x)

ans =

[     a/x]

[ x^a*a/x]

Если выражение S зависит от нескольких переменных, например, S=S(x,y), то ее частная производная  (или S'x(x,y) ) по аргументу x есть производная этой функции по x при постоянном значении y.

В декартовой системе координат на плоскости xOy градиент функции S(x,y) есть вектор

grad S = .

Частными производными второго порядка функции S=S(x,y) называются частные производные от ее первых производных , , т. е.

= , = , = , = .

Частные производные второго порядка обозначаются также символами

S''xx(x,y), S''xy(x,y), S''yx(x,y), S''yy(x,y). Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высоких порядков. Смешанные производные второго порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности: S''xy(x,y) = S''yx(x,y).

Рассмотрим пример. Для функции двух переменных

f(x,y) = arcsinxy

найти gradf(x;y) и вычислить его в точке (0;0). Проверить выполнение условия f''xy(x,y) = f''yx(x,y).

Решение:

>> syms x y

>> f=asin(x*y);

>> x1=diff(f,x)

x1 =

y/(1-x^2*y^2)^(1/2)

>> pretty(x1)

                                       y

                               ---------------

                                       2  2 1/2

                               (1 - x  y )

Т. е. = .

>> y1=diff(f,y)

y1 =

x/(1-x^2*y^2)^(1/2)

>> pretty(y1)

                                       x

                               ---------------

                                       2  2 1/2

                               (1 - x  y )

Т. е. = . Тогда grad(arcsinxy) = .

>> subs([x1 y1],[x y],[0 0])

ans =

    0     0

Итак, grad(arcsinxy)(0;0) = (0;0).

>> xy=diff(x1,y)

xy =

1/(1-x^2*y^2)^(1/2)+y^2/(1-x^2*y^2)^(3/2)*x^2

>> [m]=simple(xy)

m =

1/(1-x^2*y^2)^(3/2)

>> pretty(m)

                                        1

                               ---------------

                                       2  2 3/2

                               (1 - x  y )

Следовательно,  = .

>> yx=diff(y1,x)

yx =

1/(1-x^2*y^2)^(1/2)+y^2/(1-x^2*y^2)^(3/2)*x^2

>> [m]=simple(yx)

m =

1/(1-x^2*y^2)^(3/2)

>> pretty(m)

                                        1

                               ---------------

                                       2  2 3/2

                               (1 - x  y )

Значит,  = .

Окончательный результат:

grad(arcsinxy)(0;0) = (0;0) и f''xy(x,y) = f''yx(x,y) = .

Задание 1 (1.1). Найти предел

Варианты

1.       2.       3.   

4.      5. (1+3tg2x)ctg2x     6.       7.     

8.      9. (tgx)tg2x     10.       11.     

12.      13. (sinx)tgx     14.       15.  

Задание 2 (1.2). Найти производные

Найти первые и вторые частные производные функции двух переменных f(x,y). Проверить выполнение условия f''xy(x,y) = f''yx(x,y). Вычислить градиент функции f(x,y) в точке (1;2).

Варианты

1. f(x,y) = arctg(x+y)    2. f(x,y) = arcsin(lnxy)    3. f(x,y) = e-xlny

4. f(x,y) = cos(e-xlny)    5. f(x,y) = ln(lnxy)    6. f(x,y) = sinxcosy

7. f(x,y) = arcctg    8. f(x,y) = arccos(sin(x-y))    9. f(x,y) = elnxy

10. f(x,y) = arccos    11. f(x,y) = arcctg(ex-ey)    12. f(x,y) = xln(x+y)

13. f(x,y) = ln    14. f(x,y) = arcsin(ex+y)    15. f(x,y) = ycos(xy)

Задание 3 (см.лаб.№5). Найти неопределенный интеграл

Найти неопределенный интеграл dx. Воспользоваться при необходимости командами pretty, simple.

Варианты

1.    2. dx    3. dx    4.     5 

6. dx   7. dx    8. dx    9.     10.

11. dx   12.     13.     14. dx    15.

PAGE  6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53361. Мякі іграшки своїми руками 619.5 KB
  Відмінною особливістю цього заняття є те що з однієї викрійки можна робити найрізноманітніші іграшки додаючи деталі міняючи матеріали і моделюючи вихідну викрійку. Якщо вам потрібно збільшити або зменшити викрійку то візьміть аркуш міліметрового паперу розмітьте його відповідно на великі чи малі квадрати і перемалюйте деталі викрійки зберігаючи в кожному квадраті свій фрагмент малюнка 4 Підбір матеріалів Основними матеріалами для виготовлення напівоб'ємних іграшок є драп сукно та інші тканини з неосипаючими краями. З них краще за все...
53362. Свято дитячої іграшки 71.5 KB
  Обладнання: різноманітні іграшки іграшкові коляски з ляльками мультимедійна презентація. Отже запрошуємо всіх на свято дитячої іграшки танець Вихователь: А зараз давайте познайомимося. Буратіно: А я витягує іграшкову машину лечу по коридору на автомобілі ДАІ i пильно відслідковую порушників коридорного руху штрафую за найменшу провину конфіскую іграшки.
53363. Моя улюблена іграшка 196.5 KB
  The topic under discussion today is “Our toys. In the Toy Shop”. We’ll learn new vocabulary and practice it in speech; we’ll sing songs together, role-play situations, do some exercises.
53364. Рольові ігри на уроках англійської мови 257.5 KB
  Сучасна методика викладає такі ідеї та принципи в навчанні: визнання першорядності процесу пізнання та доступності інформації; цінність співпраці; зокрема використання діалогів полілогів імпровізацій та рольових ігор як основних форм роботи; визнання рівності пізнавальних та творчих можливостей усіх учнів а також свідомої участі учнів у процесі навчання; активна позиція учня в процесі навчання; принцип комунікативності який передбачає побудову процесу навчання як моделі процесу реальної комунікації; урахування...
53365. Ігри на матеріалі економічної термінології, спрямовані на збагачення активного словника та вдосконалення культури мовлення учнів 179 KB
  Методична порада. Для проведення ігор діти класу ділиться на гомогенні або гетерогенні групи. Обирається в кожній групі лідер. Завдання ігрової вправи виконують усі разом, доповідають про виконання тільки лідери. Вимпелом переможця нагороджується та група, яка першою за відведений час виконає правильно завдання.
53367. Ігрові хвилинки на уроках музики 48.5 KB
  Мета даної публікації не заглиблюючись у наукові аспекти теорії гри надати педагогові реальну допомогу на шляху впровадження ігрових форм у навчальновиховний процес. Дуже подобаються школярам варіанти психологічних ігрових вправ після проведення яких бажано аналізувати та обговорювати результати отримані під час гри.Кожній дитині надати можливість для виходу її емоцій після чого бажано алізувати та обговорювати результати отримані...
53368. Ігрові технології на уроках 39.5 KB
  Шіллер наприклад стверджував що античні ігри божественні і можуть служити ідеалом будьяких інших видів дозвілля людини. У Древньому Китаї святкові ігри відкривав імператор і сам у них брав участь. Складність визначається різноманіттям форм гри способів участі в ній партнером та алгоритмами проведення гри.
53369. Объемное моделирование и конструирование из бумаги. Игрушки из бумажных полосок 172.5 KB
  Игрушки из бумажных полосок Вид урока Урок беседа Тип урока Урок изучения нового материала Студенты преподаватели Айрапетова Мария Сергеевна Гусева Анна Павловна Ершова Дарья Дмитриевна Максимова Марина Вадимовна Государственный социальный заказ Во исполнение Закона Российской Федерации Об образовании. Добиваться: применения различных форм методов средств технологий при проведении образовательного урока; установления взаимодействия с различными субъектами образовательного процесса. Технологическая карта урока Триединые...