16514

Вычисление пределов – команда limit

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторная работа №6 1.1 Вычисление пределов команда limit Для вычисления пределов функции Fx заданной в аналитическом символьном виде служит команда limit которая используется в одном из следующих вариантов: limitFxa возвращает предел символьного выражения F

Русский

2013-06-22

62 KB

2 чел.

Лабораторная работа №6

1.1 Вычисление пределов – команда limit

Для вычисления пределов функции F(x), заданной в аналитическом (символьном) виде, служит команда limit, которая используется в одном из следующих вариантов:

limit(F,x,a)возвращает предел символьного выражения F в точке x = a;

limit(F,x,a,'right') или limit(F,x,a,'left')возвращает предел в точке a справа или слева.

Продемонстрируем приемы вычисления пределов на следующих примерах:

а) ;  б)    с)  ;  д)  ;

е)  ; ж)  .

Решения в указанном порядке имеют вид:

>> syms a x

>> limit(sin(a*x)/(a*x),x,0)

ans =

1

>> limit((1+3/x)^(2*x),x,inf)

ans =

exp(6)

>> limit(1/(1-x),x,1)

ans =

NaN

Здесь переменная NaN означает, что предела функции  в точке x = 1 не существует.

>> limit(1/(1-x),x,1,'right')

ans =

-inf

Правосторонний предел функции  в точке x = 1 существует и равен - .

>> limit(1/(1-x),x,1,'left')

ans =

inf

Левосторонний предел функции  в точке x=1 существует и равен +.

>> limit(x*(log(a+x)-log(x))/5,x,inf)

ans =

1/5*a

1.2 Вычисление производных – команда diff

Для вычисления в символьном виде производных от выражения S служит команда diff, записываемая в форме diff(S, x, n). Она возвращает символьное значение n-ой производной (производной степени n) от символьного выражения или массива символьных выражений S по переменной x, т. е.

Sn(x) = .

В формате diff(S, x) находится первая производная (n = 1 по умолчанию).

Найти первую и третью производные функции y = x2sinx.

Решение:

>> syms x

>> y=x^2*sin(x);

>> diff(y,x)

ans =

2*x*sin(x)+x^2*cos(x)

>> diff(y,x,3)

ans =

6*cos(x)-6*x*sin(x)-x^2*cos(x)

Если S массив, то diff возвращает массив, элементами которого являются производные от исходных функций, образующих массив.

Например:

>> syms a x

>> Y=[a*log(x);x^a]

[ a*log(x)]

[      x^a]

>> diff(Y,x)

ans =

[     a/x]

[ x^a*a/x]

Если выражение S зависит от нескольких переменных, например, S=S(x,y), то ее частная производная  (или S'x(x,y) ) по аргументу x есть производная этой функции по x при постоянном значении y.

В декартовой системе координат на плоскости xOy градиент функции S(x,y) есть вектор

grad S = .

Частными производными второго порядка функции S=S(x,y) называются частные производные от ее первых производных , , т. е.

= , = , = , = .

Частные производные второго порядка обозначаются также символами

S''xx(x,y), S''xy(x,y), S''yx(x,y), S''yy(x,y). Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высоких порядков. Смешанные производные второго порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности: S''xy(x,y) = S''yx(x,y).

Рассмотрим пример. Для функции двух переменных

f(x,y) = arcsinxy

найти gradf(x;y) и вычислить его в точке (0;0). Проверить выполнение условия f''xy(x,y) = f''yx(x,y).

Решение:

>> syms x y

>> f=asin(x*y);

>> x1=diff(f,x)

x1 =

y/(1-x^2*y^2)^(1/2)

>> pretty(x1)

                                       y

                               ---------------

                                       2  2 1/2

                               (1 - x  y )

Т. е. = .

>> y1=diff(f,y)

y1 =

x/(1-x^2*y^2)^(1/2)

>> pretty(y1)

                                       x

                               ---------------

                                       2  2 1/2

                               (1 - x  y )

Т. е. = . Тогда grad(arcsinxy) = .

>> subs([x1 y1],[x y],[0 0])

ans =

    0     0

Итак, grad(arcsinxy)(0;0) = (0;0).

>> xy=diff(x1,y)

xy =

1/(1-x^2*y^2)^(1/2)+y^2/(1-x^2*y^2)^(3/2)*x^2

>> [m]=simple(xy)

m =

1/(1-x^2*y^2)^(3/2)

>> pretty(m)

                                        1

                               ---------------

                                       2  2 3/2

                               (1 - x  y )

Следовательно,  = .

>> yx=diff(y1,x)

yx =

1/(1-x^2*y^2)^(1/2)+y^2/(1-x^2*y^2)^(3/2)*x^2

>> [m]=simple(yx)

m =

1/(1-x^2*y^2)^(3/2)

>> pretty(m)

                                        1

                               ---------------

                                       2  2 3/2

                               (1 - x  y )

Значит,  = .

Окончательный результат:

grad(arcsinxy)(0;0) = (0;0) и f''xy(x,y) = f''yx(x,y) = .

Задание 1 (1.1). Найти предел

Варианты

1.       2.       3.   

4.      5. (1+3tg2x)ctg2x     6.       7.     

8.      9. (tgx)tg2x     10.       11.     

12.      13. (sinx)tgx     14.       15.  

Задание 2 (1.2). Найти производные

Найти первые и вторые частные производные функции двух переменных f(x,y). Проверить выполнение условия f''xy(x,y) = f''yx(x,y). Вычислить градиент функции f(x,y) в точке (1;2).

Варианты

1. f(x,y) = arctg(x+y)    2. f(x,y) = arcsin(lnxy)    3. f(x,y) = e-xlny

4. f(x,y) = cos(e-xlny)    5. f(x,y) = ln(lnxy)    6. f(x,y) = sinxcosy

7. f(x,y) = arcctg    8. f(x,y) = arccos(sin(x-y))    9. f(x,y) = elnxy

10. f(x,y) = arccos    11. f(x,y) = arcctg(ex-ey)    12. f(x,y) = xln(x+y)

13. f(x,y) = ln    14. f(x,y) = arcsin(ex+y)    15. f(x,y) = ycos(xy)

Задание 3 (см.лаб.№5). Найти неопределенный интеграл

Найти неопределенный интеграл dx. Воспользоваться при необходимости командами pretty, simple.

Варианты

1.    2. dx    3. dx    4.     5 

6. dx   7. dx    8. dx    9.     10.

11. dx   12.     13.     14. dx    15.

PAGE  6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38927. Представление и преобразование цифровых сигналов в телевизионных измерительных системах 31.5 KB
  Оцифровка представление объекта изображения или сигнала в дискретном наборе цифровых замеров. Для решения задач машинной графики обработки и распознавания изображений используются следующие этапы преобразования изображения: Предварительная обработка операции восстановления фильтрации улучшения визуального восприятия изображения. Формирование графического препарата обработка с целью вычленения характерных особенностей изображениясегментация выделение контуров скелетизация Анализ выявление характерных особенностей...
38928. Простой пороговый метод нелинейной фильтрации импульсных помех 51.5 KB
  Сигнал от каждого из элементов массива анализируемого изображения сравнивается со средним значением сигнала для небольшой группы mxn в окрестностях данного элемента Здесь m и n нечётные числа. Анизотропная фильтрация Анизотропная фильтрация относится к категории линейных процедур цифровой обработки массива [Eij ]. Он заключается выполнении операции свёртки исходного массива изображения формата M×N со скользящим сглаживающим массивом [W] меньшего формата m×n ядро свёртки. А поскольку в АТСН работающих в реальном масштабе времени...
38929. Цифровое представление изображения в виде матрицы отсчетов. Преимущество цифрового кодирования видеосигнала 66 KB
  Цифровое представление изображения в виде матрицы отсчетов. Это позволяет пронумеровать отсчеты цифрового видеосигнала в соответствии с позиционным положением элемента изображения в телевизионном растре и nti = ni j где i номер элемента в строке; j номер строки. Фактически номера i j являются цифровыми координатами элемента изображения которые в случае линейных разверток связаны с временными и геометрическими координатами соотношениями где j порядковый номер строки в которой находится элемент изображения; tx интервал...
38930. Линейные цифровые фильтры и их характеристики 47 KB
  Под термином цифровая фильтрация обычно понимают локальную цифровую обработку сигнала скользящим окном или аппертурой. Для каждого положения окна за исключением возможно небольшого числа крайних точек выборки выполняются однотипные действия которые определяют так называемый отклик или выход фильтра. Если действия определяющие отклик фильтра не изменяются в процессе перемещения по выборке сигнала то соответствующий фильтр называется стационарным. Различают линейную и нелинейную цифровую фильтрацию.
38931. Развитие видеозаписи на дисках. Видеопроигрыватели Laser Vision. Структурная схема и принцип работы 265 KB
  Диаметр 30 см; Длительность 30 мин. Диаметр 30 см; Длительность 5 мин; 156 об мин. Диаметр 21 см; Длительность 10 мин цвет; 1500 об мин; 280 канавок мм; четкость 250 линий. Диаметр 30 см; длительность 30 мин; четкость 250 линий.
38932. Цифровая запись видеосигнала. Достоинства по сравнению с аналоговой. Основные принципы цифровой видеозаписи 60 KB
  Цифровая запись видеосигнала пришла на смену аналоговым носителям как более гибкое и удобное средство формирования транспортировки и хранения видеоданных. аналоговый сигнал сглаживается менее подверженным искажениям менее зависимым от аппаратной реализации воспроизведения расширяются возможности обработки сигнала Требования к АЦП: Частота квантования не менее 135 МГц Число разрядов не менее 8 Число каналов: Для чернобелого 1 Для цветного 3 или 2 Дискретизация: Дискретизация дает некоторые искажения: Стоит...
38933. Компрессия с потерей информации. Свойства зрения, используемые для сжатия ВС. Основные методы компрессии с потерей информации 46 KB
  Наибольшее распространение для сжатия движущихся изображений получил стандарт MPEG. MPEG англ. MPEG стандартизовала следующие стандарты сжатия: MPEG1: Исходный стандарт видео и аудио компрессии. MPEG2: видео и аудиостандарты для широковещательного телевидения.
38934. Стандарт VHS. Основные принципы функционирования. Параметры и характеристики 170.5 KB
  Формат видеозаписи VHS Наиболее распространенным сегодня в бытовой видеозаписи особенно в СНГ остается формат VHS Video Home System разработанный японскими фирмами Mtsushit и JVC еще в 1975 году. Первоначально для записи и воспроизведения изображения применялись две видеоголовки размещенные на вращающемся барабане расположенном наклонно относительно ленты. В дальнейшем для возможности экономной записи и воспроизведения при меньшей скорости ленты режим LP long ply а так же для улучшения качества воспроизводимой картинки в...
38935. Основные преобразования видеосигнала при записи и воспроизведении в стандарте VHS. АЧХ канала записи ВМ 58.5 KB
  Основные преобразования видеосигнала при записи и воспроизведении в стандарте VHS. Характерными особенностями видеосигнала являются его широкополосность максимальная ширина спектра видеосигнала яркости составляющая примерно 6 МГц намного больше максимальной ширины спектра аудиосигнала составляющей примерно 20 кГц и компонентный характер в спектральном представлении разделение информации об изображении на сигнал яркости EY красный цветоразностный ERY в SECM корректированный DR и синий цветоразностный EBY или DB сигналы...