16514

Вычисление пределов – команда limit

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторная работа №6 1.1 Вычисление пределов команда limit Для вычисления пределов функции Fx заданной в аналитическом символьном виде служит команда limit которая используется в одном из следующих вариантов: limitFxa возвращает предел символьного выражения F

Русский

2013-06-22

62 KB

2 чел.

Лабораторная работа №6

1.1 Вычисление пределов – команда limit

Для вычисления пределов функции F(x), заданной в аналитическом (символьном) виде, служит команда limit, которая используется в одном из следующих вариантов:

limit(F,x,a)возвращает предел символьного выражения F в точке x = a;

limit(F,x,a,'right') или limit(F,x,a,'left')возвращает предел в точке a справа или слева.

Продемонстрируем приемы вычисления пределов на следующих примерах:

а) ;  б)    с)  ;  д)  ;

е)  ; ж)  .

Решения в указанном порядке имеют вид:

>> syms a x

>> limit(sin(a*x)/(a*x),x,0)

ans =

1

>> limit((1+3/x)^(2*x),x,inf)

ans =

exp(6)

>> limit(1/(1-x),x,1)

ans =

NaN

Здесь переменная NaN означает, что предела функции  в точке x = 1 не существует.

>> limit(1/(1-x),x,1,'right')

ans =

-inf

Правосторонний предел функции  в точке x = 1 существует и равен - .

>> limit(1/(1-x),x,1,'left')

ans =

inf

Левосторонний предел функции  в точке x=1 существует и равен +.

>> limit(x*(log(a+x)-log(x))/5,x,inf)

ans =

1/5*a

1.2 Вычисление производных – команда diff

Для вычисления в символьном виде производных от выражения S служит команда diff, записываемая в форме diff(S, x, n). Она возвращает символьное значение n-ой производной (производной степени n) от символьного выражения или массива символьных выражений S по переменной x, т. е.

Sn(x) = .

В формате diff(S, x) находится первая производная (n = 1 по умолчанию).

Найти первую и третью производные функции y = x2sinx.

Решение:

>> syms x

>> y=x^2*sin(x);

>> diff(y,x)

ans =

2*x*sin(x)+x^2*cos(x)

>> diff(y,x,3)

ans =

6*cos(x)-6*x*sin(x)-x^2*cos(x)

Если S массив, то diff возвращает массив, элементами которого являются производные от исходных функций, образующих массив.

Например:

>> syms a x

>> Y=[a*log(x);x^a]

[ a*log(x)]

[      x^a]

>> diff(Y,x)

ans =

[     a/x]

[ x^a*a/x]

Если выражение S зависит от нескольких переменных, например, S=S(x,y), то ее частная производная  (или S'x(x,y) ) по аргументу x есть производная этой функции по x при постоянном значении y.

В декартовой системе координат на плоскости xOy градиент функции S(x,y) есть вектор

grad S = .

Частными производными второго порядка функции S=S(x,y) называются частные производные от ее первых производных , , т. е.

= , = , = , = .

Частные производные второго порядка обозначаются также символами

S''xx(x,y), S''xy(x,y), S''yx(x,y), S''yy(x,y). Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высоких порядков. Смешанные производные второго порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности: S''xy(x,y) = S''yx(x,y).

Рассмотрим пример. Для функции двух переменных

f(x,y) = arcsinxy

найти gradf(x;y) и вычислить его в точке (0;0). Проверить выполнение условия f''xy(x,y) = f''yx(x,y).

Решение:

>> syms x y

>> f=asin(x*y);

>> x1=diff(f,x)

x1 =

y/(1-x^2*y^2)^(1/2)

>> pretty(x1)

                                       y

                               ---------------

                                       2  2 1/2

                               (1 - x  y )

Т. е. = .

>> y1=diff(f,y)

y1 =

x/(1-x^2*y^2)^(1/2)

>> pretty(y1)

                                       x

                               ---------------

                                       2  2 1/2

                               (1 - x  y )

Т. е. = . Тогда grad(arcsinxy) = .

>> subs([x1 y1],[x y],[0 0])

ans =

    0     0

Итак, grad(arcsinxy)(0;0) = (0;0).

>> xy=diff(x1,y)

xy =

1/(1-x^2*y^2)^(1/2)+y^2/(1-x^2*y^2)^(3/2)*x^2

>> [m]=simple(xy)

m =

1/(1-x^2*y^2)^(3/2)

>> pretty(m)

                                        1

                               ---------------

                                       2  2 3/2

                               (1 - x  y )

Следовательно,  = .

>> yx=diff(y1,x)

yx =

1/(1-x^2*y^2)^(1/2)+y^2/(1-x^2*y^2)^(3/2)*x^2

>> [m]=simple(yx)

m =

1/(1-x^2*y^2)^(3/2)

>> pretty(m)

                                        1

                               ---------------

                                       2  2 3/2

                               (1 - x  y )

Значит,  = .

Окончательный результат:

grad(arcsinxy)(0;0) = (0;0) и f''xy(x,y) = f''yx(x,y) = .

Задание 1 (1.1). Найти предел

Варианты

1.       2.       3.   

4.      5. (1+3tg2x)ctg2x     6.       7.     

8.      9. (tgx)tg2x     10.       11.     

12.      13. (sinx)tgx     14.       15.  

Задание 2 (1.2). Найти производные

Найти первые и вторые частные производные функции двух переменных f(x,y). Проверить выполнение условия f''xy(x,y) = f''yx(x,y). Вычислить градиент функции f(x,y) в точке (1;2).

Варианты

1. f(x,y) = arctg(x+y)    2. f(x,y) = arcsin(lnxy)    3. f(x,y) = e-xlny

4. f(x,y) = cos(e-xlny)    5. f(x,y) = ln(lnxy)    6. f(x,y) = sinxcosy

7. f(x,y) = arcctg    8. f(x,y) = arccos(sin(x-y))    9. f(x,y) = elnxy

10. f(x,y) = arccos    11. f(x,y) = arcctg(ex-ey)    12. f(x,y) = xln(x+y)

13. f(x,y) = ln    14. f(x,y) = arcsin(ex+y)    15. f(x,y) = ycos(xy)

Задание 3 (см.лаб.№5). Найти неопределенный интеграл

Найти неопределенный интеграл dx. Воспользоваться при необходимости командами pretty, simple.

Варианты

1.    2. dx    3. dx    4.     5 

6. dx   7. dx    8. dx    9.     10.

11. dx   12.     13.     14. dx    15.

PAGE  6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2039. Вплив наркотиків і токсинів на самопочуття людини 38.5 KB
  Мета: сформувати уявлення про наркоманію як найбільш небезпечне соціальне явище, причини наркоманії та її профілактику.
2040. Нумо, хлопці! Виховний захід 40.5 KB
  Мета заходу: привітати хлопців із днем захисника Вітчизни, навчити бачити позитивні якості у кожній людині, розвивати художній смак, удосконалювати навички декламування.
2041. Урок-захід. У дружбі жити – не тужити 23.58 KB
  Мета: формувати уявлення дітей про дружбу і товаришування, вчити оцінювати свої вчинки і вчинки оточуючих людей, розвивати вміння аналізувати, робити висновки, виховувати дружелюбність, бажання бути другом.
2042. Бенкет-кава: особливості меню, сервірування, обслуговування 18.16 KB
  Бенкет-чай організовують у затишних невеликих залах, у яких встановлюють круглі й овальні столи, а якщо їх немає, то столи квадратної або прямокутної форми, стільці, крісла, напівкрісла, а іноді й дивани.
2043. Бенкет-фуршет: особливості сервірування та обслуговування 26 KB
  Для сервування столу використовують столовий посуд і набори, загальна кількість яких залежить від чисельності гостей і нормативу на одного гостя.
2044. Обслуговування учасників конференцій, фестивалів, форумів 18.01 KB
  Учасники вказаних заходів обслуговуються харчуванням за місцем роботи і проживання. У перервах між засіданнями може працювати буфет-фуршет, організований за місцем проведення засідання.
2045. Призначення санітарно-технічної та інженерно-технічної служб 38.03 KB
  Основним призначенням санітарно-технічної та інженерно-технічної служб підприємства готельного господарства є створення та підтримка умов для безперервного функціонування будівель та обладнання готельного підприємства, своєчасне проведення всіх видів ремонту та профілактичних заходів з метою запобігання збоїв у роботі всіх служб підприємства.
2046. Вимоги до коридорів, холів, їх оформлення 25.76 KB
  Основною вимогою до коридорів є відсутність будь-яких меблів і денне та штучне освітлення, що сприяє швидкому орієнтуванню у них споживачів готельних послуг.
2047. Кондиціонування. Ліфти 24.33 KB
  Вентиляція приміщень (провітрювання) є природною і функціонує за рахунок проникнення в приміщення повітря через відкриті вікна, кватирки, щілини в конструкціях будинків і щілі будівельних матеріалів.