16514

Вычисление пределов – команда limit

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторная работа №6 1.1 Вычисление пределов – команда limit Для вычисления пределов функции Fx заданной в аналитическом символьном виде служит команда limit которая используется в одном из следующих вариантов: limitFxa – возвращает предел символьного выражения F

Русский

2013-06-22

62 KB

1 чел.

Лабораторная работа №6

1.1 Вычисление пределов – команда limit

Для вычисления пределов функции F(x), заданной в аналитическом (символьном) виде, служит команда limit, которая используется в одном из следующих вариантов:

limit(F,x,a)возвращает предел символьного выражения F в точке x = a;

limit(F,x,a,'right') или limit(F,x,a,'left')возвращает предел в точке a справа или слева.

Продемонстрируем приемы вычисления пределов на следующих примерах:

а) ;  б)    с)  ;  д)  ;

е)  ; ж)  .

Решения в указанном порядке имеют вид:

>> syms a x

>> limit(sin(a*x)/(a*x),x,0)

ans =

1

>> limit((1+3/x)^(2*x),x,inf)

ans =

exp(6)

>> limit(1/(1-x),x,1)

ans =

NaN

Здесь переменная NaN означает, что предела функции  в точке x = 1 не существует.

>> limit(1/(1-x),x,1,'right')

ans =

-inf

Правосторонний предел функции  в точке x = 1 существует и равен - .

>> limit(1/(1-x),x,1,'left')

ans =

inf

Левосторонний предел функции  в точке x=1 существует и равен +.

>> limit(x*(log(a+x)-log(x))/5,x,inf)

ans =

1/5*a

1.2 Вычисление производных – команда diff

Для вычисления в символьном виде производных от выражения S служит команда diff, записываемая в форме diff(S, x, n). Она возвращает символьное значение n-ой производной (производной степени n) от символьного выражения или массива символьных выражений S по переменной x, т. е.

Sn(x) = .

В формате diff(S, x) находится первая производная (n = 1 по умолчанию).

Найти первую и третью производные функции y = x2sinx.

Решение:

>> syms x

>> y=x^2*sin(x);

>> diff(y,x)

ans =

2*x*sin(x)+x^2*cos(x)

>> diff(y,x,3)

ans =

6*cos(x)-6*x*sin(x)-x^2*cos(x)

Если S массив, то diff возвращает массив, элементами которого являются производные от исходных функций, образующих массив.

Например:

>> syms a x

>> Y=[a*log(x);x^a]

[ a*log(x)]

[      x^a]

>> diff(Y,x)

ans =

[     a/x]

[ x^a*a/x]

Если выражение S зависит от нескольких переменных, например, S=S(x,y), то ее частная производная  (или S'x(x,y) ) по аргументу x есть производная этой функции по x при постоянном значении y.

В декартовой системе координат на плоскости xOy градиент функции S(x,y) есть вектор

grad S = .

Частными производными второго порядка функции S=S(x,y) называются частные производные от ее первых производных , , т. е.

= , = , = , = .

Частные производные второго порядка обозначаются также символами

S''xx(x,y), S''xy(x,y), S''yx(x,y), S''yy(x,y). Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высоких порядков. Смешанные производные второго порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности: S''xy(x,y) = S''yx(x,y).

Рассмотрим пример. Для функции двух переменных

f(x,y) = arcsinxy

найти gradf(x;y) и вычислить его в точке (0;0). Проверить выполнение условия f''xy(x,y) = f''yx(x,y).

Решение:

>> syms x y

>> f=asin(x*y);

>> x1=diff(f,x)

x1 =

y/(1-x^2*y^2)^(1/2)

>> pretty(x1)

                                       y

                               ---------------

                                       2  2 1/2

                               (1 - x  y )

Т. е. = .

>> y1=diff(f,y)

y1 =

x/(1-x^2*y^2)^(1/2)

>> pretty(y1)

                                       x

                               ---------------

                                       2  2 1/2

                               (1 - x  y )

Т. е. = . Тогда grad(arcsinxy) = .

>> subs([x1 y1],[x y],[0 0])

ans =

    0     0

Итак, grad(arcsinxy)(0;0) = (0;0).

>> xy=diff(x1,y)

xy =

1/(1-x^2*y^2)^(1/2)+y^2/(1-x^2*y^2)^(3/2)*x^2

>> [m]=simple(xy)

m =

1/(1-x^2*y^2)^(3/2)

>> pretty(m)

                                        1

                               ---------------

                                       2  2 3/2

                               (1 - x  y )

Следовательно,  = .

>> yx=diff(y1,x)

yx =

1/(1-x^2*y^2)^(1/2)+y^2/(1-x^2*y^2)^(3/2)*x^2

>> [m]=simple(yx)

m =

1/(1-x^2*y^2)^(3/2)

>> pretty(m)

                                        1

                               ---------------

                                       2  2 3/2

                               (1 - x  y )

Значит,  = .

Окончательный результат:

grad(arcsinxy)(0;0) = (0;0) и f''xy(x,y) = f''yx(x,y) = .

Задание 1 (1.1). Найти предел

Варианты

1.       2.       3.   

4.      5. (1+3tg2x)ctg2x     6.       7.     

8.      9. (tgx)tg2x     10.       11.     

12.      13. (sinx)tgx     14.       15.  

Задание 2 (1.2). Найти производные

Найти первые и вторые частные производные функции двух переменных f(x,y). Проверить выполнение условия f''xy(x,y) = f''yx(x,y). Вычислить градиент функции f(x,y) в точке (1;2).

Варианты

1. f(x,y) = arctg(x+y)    2. f(x,y) = arcsin(lnxy)    3. f(x,y) = e-xlny

4. f(x,y) = cos(e-xlny)    5. f(x,y) = ln(lnxy)    6. f(x,y) = sinxcosy

7. f(x,y) = arcctg    8. f(x,y) = arccos(sin(x-y))    9. f(x,y) = elnxy

10. f(x,y) = arccos    11. f(x,y) = arcctg(ex-ey)    12. f(x,y) = xln(x+y)

13. f(x,y) = ln    14. f(x,y) = arcsin(ex+y)    15. f(x,y) = ycos(xy)

Задание 3 (см.лаб.№5). Найти неопределенный интеграл

Найти неопределенный интеграл dx. Воспользоваться при необходимости командами pretty, simple.

Варианты

1.    2. dx    3. dx    4.     5 

6. dx   7. dx    8. dx    9.     10.

11. dx   12.     13.     14. dx    15.

PAGE  6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51622. Властивості степенів з натуральним показником 75.5 KB
  Тип уроку : урок застосування отриманих умінь і навичок інтерактивний урок Інтерактивні технології : вирішення проблеми аналіз ситуації займи позицію оцінювальна дискусія Обладнання : підручники збірники задач таблиці інтерактивна дошка диференційовані завдання роздатковий матеріал завдання на картках контрольні запитання Зміст урок Організаційний момент. Перевірка домашнього завдання...
51624. Это я, это я, это все мои друзья 35 KB
  У меня руки чистые я только что их вымыл с мылом Ты не мог их вымыть с мылом потому что первоклассник Пупкин на перемене съел мыло и его отвезли в больницу. Ну правильно я попросил мыло у завхоза. Он не мог тебе дать мыло потому что в стране дефицит и мыло выдают по талонам а у завхоза строгий учет Я подкупил завхоза бутылкой спиртного Гражданам СССР не достигшим 21 года спиртные напитки не отпускаются А у меня папа директор ликеро водочного завода.