16514

Вычисление пределов – команда limit

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторная работа №6 1.1 Вычисление пределов команда limit Для вычисления пределов функции Fx заданной в аналитическом символьном виде служит команда limit которая используется в одном из следующих вариантов: limitFxa возвращает предел символьного выражения F

Русский

2013-06-22

62 KB

1 чел.

Лабораторная работа №6

1.1 Вычисление пределов – команда limit

Для вычисления пределов функции F(x), заданной в аналитическом (символьном) виде, служит команда limit, которая используется в одном из следующих вариантов:

limit(F,x,a)возвращает предел символьного выражения F в точке x = a;

limit(F,x,a,'right') или limit(F,x,a,'left')возвращает предел в точке a справа или слева.

Продемонстрируем приемы вычисления пределов на следующих примерах:

а) ;  б)    с)  ;  д)  ;

е)  ; ж)  .

Решения в указанном порядке имеют вид:

>> syms a x

>> limit(sin(a*x)/(a*x),x,0)

ans =

1

>> limit((1+3/x)^(2*x),x,inf)

ans =

exp(6)

>> limit(1/(1-x),x,1)

ans =

NaN

Здесь переменная NaN означает, что предела функции  в точке x = 1 не существует.

>> limit(1/(1-x),x,1,'right')

ans =

-inf

Правосторонний предел функции  в точке x = 1 существует и равен - .

>> limit(1/(1-x),x,1,'left')

ans =

inf

Левосторонний предел функции  в точке x=1 существует и равен +.

>> limit(x*(log(a+x)-log(x))/5,x,inf)

ans =

1/5*a

1.2 Вычисление производных – команда diff

Для вычисления в символьном виде производных от выражения S служит команда diff, записываемая в форме diff(S, x, n). Она возвращает символьное значение n-ой производной (производной степени n) от символьного выражения или массива символьных выражений S по переменной x, т. е.

Sn(x) = .

В формате diff(S, x) находится первая производная (n = 1 по умолчанию).

Найти первую и третью производные функции y = x2sinx.

Решение:

>> syms x

>> y=x^2*sin(x);

>> diff(y,x)

ans =

2*x*sin(x)+x^2*cos(x)

>> diff(y,x,3)

ans =

6*cos(x)-6*x*sin(x)-x^2*cos(x)

Если S массив, то diff возвращает массив, элементами которого являются производные от исходных функций, образующих массив.

Например:

>> syms a x

>> Y=[a*log(x);x^a]

[ a*log(x)]

[      x^a]

>> diff(Y,x)

ans =

[     a/x]

[ x^a*a/x]

Если выражение S зависит от нескольких переменных, например, S=S(x,y), то ее частная производная  (или S'x(x,y) ) по аргументу x есть производная этой функции по x при постоянном значении y.

В декартовой системе координат на плоскости xOy градиент функции S(x,y) есть вектор

grad S = .

Частными производными второго порядка функции S=S(x,y) называются частные производные от ее первых производных , , т. е.

= , = , = , = .

Частные производные второго порядка обозначаются также символами

S''xx(x,y), S''xy(x,y), S''yx(x,y), S''yy(x,y). Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высоких порядков. Смешанные производные второго порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности: S''xy(x,y) = S''yx(x,y).

Рассмотрим пример. Для функции двух переменных

f(x,y) = arcsinxy

найти gradf(x;y) и вычислить его в точке (0;0). Проверить выполнение условия f''xy(x,y) = f''yx(x,y).

Решение:

>> syms x y

>> f=asin(x*y);

>> x1=diff(f,x)

x1 =

y/(1-x^2*y^2)^(1/2)

>> pretty(x1)

                                       y

                               ---------------

                                       2  2 1/2

                               (1 - x  y )

Т. е. = .

>> y1=diff(f,y)

y1 =

x/(1-x^2*y^2)^(1/2)

>> pretty(y1)

                                       x

                               ---------------

                                       2  2 1/2

                               (1 - x  y )

Т. е. = . Тогда grad(arcsinxy) = .

>> subs([x1 y1],[x y],[0 0])

ans =

    0     0

Итак, grad(arcsinxy)(0;0) = (0;0).

>> xy=diff(x1,y)

xy =

1/(1-x^2*y^2)^(1/2)+y^2/(1-x^2*y^2)^(3/2)*x^2

>> [m]=simple(xy)

m =

1/(1-x^2*y^2)^(3/2)

>> pretty(m)

                                        1

                               ---------------

                                       2  2 3/2

                               (1 - x  y )

Следовательно,  = .

>> yx=diff(y1,x)

yx =

1/(1-x^2*y^2)^(1/2)+y^2/(1-x^2*y^2)^(3/2)*x^2

>> [m]=simple(yx)

m =

1/(1-x^2*y^2)^(3/2)

>> pretty(m)

                                        1

                               ---------------

                                       2  2 3/2

                               (1 - x  y )

Значит,  = .

Окончательный результат:

grad(arcsinxy)(0;0) = (0;0) и f''xy(x,y) = f''yx(x,y) = .

Задание 1 (1.1). Найти предел

Варианты

1.       2.       3.   

4.      5. (1+3tg2x)ctg2x     6.       7.     

8.      9. (tgx)tg2x     10.       11.     

12.      13. (sinx)tgx     14.       15.  

Задание 2 (1.2). Найти производные

Найти первые и вторые частные производные функции двух переменных f(x,y). Проверить выполнение условия f''xy(x,y) = f''yx(x,y). Вычислить градиент функции f(x,y) в точке (1;2).

Варианты

1. f(x,y) = arctg(x+y)    2. f(x,y) = arcsin(lnxy)    3. f(x,y) = e-xlny

4. f(x,y) = cos(e-xlny)    5. f(x,y) = ln(lnxy)    6. f(x,y) = sinxcosy

7. f(x,y) = arcctg    8. f(x,y) = arccos(sin(x-y))    9. f(x,y) = elnxy

10. f(x,y) = arccos    11. f(x,y) = arcctg(ex-ey)    12. f(x,y) = xln(x+y)

13. f(x,y) = ln    14. f(x,y) = arcsin(ex+y)    15. f(x,y) = ycos(xy)

Задание 3 (см.лаб.№5). Найти неопределенный интеграл

Найти неопределенный интеграл dx. Воспользоваться при необходимости командами pretty, simple.

Варианты

1.    2. dx    3. dx    4.     5 

6. dx   7. dx    8. dx    9.     10.

11. dx   12.     13.     14. dx    15.

PAGE  6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24450. Система М/М/1 218 KB
  По способу передачи информации: параллельные последовательные и параллельнопоследовательные. По режиму передачи информации: симплексный режим передача только в одном направлении; дуплексный режим двусторонняя одновременная передача; полудуплексный режим двусторонняя передача но в разные моменты времени. Параллельные интерфейсы обеспечивают высокую пропускную способность которая измеряется количеством битов информации в единицу времени обычно в секунду. Тип передаваемой информации указывается сообщается приемному устройству...
24451. Система М/М/с. 108.5 KB
  Поток поступления заявок простейший. Время обслуживания заявок удовлетворяет Пуассоновскому закону. Вычислим другие показатели: Среднее число заявок находящихся в системе Среднее число заявок находящихся в очереди Не стационарный режим Рассмотри систему дифференциальных уравнений которые у нас уже записанысистема мм1.
24452. Классификация систем массового обслуживания 135 KB
  Принято классифицировать системы набором букв и цифр: A B C k n A указывает на закон распределения времени между соседними поступившими заявками B указывает на за кон распределения времени обслуживания заявок C количество обслуживающих приборов k мощность источника заявок n объем буфера M на первом месте поток простейший M на втором месте экспоненциальное время обслуживания G на первом месте произвольный закон потока G на втором месте произвольное время обслуживания D на первом месте детерминированный поток D на...
24453. Структурная функция. Представление систем при помощи структурных функций 152.5 KB
  Схема обработки прерываний в реальном режиме работы процессора. Использование механизма прерываний позволяет обеспечить наиболее эффективное управление не только внешними устройствами но и программами. векторы прерываний МП дел.на 0переполние переход в режим трасировки векторы прерываний микроконтроллера клава гибк.
24454. Граф состояний систем и вычисление показателей надежности (невосстанавливаемые элементы) 237 KB
  2 1 4 3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.
24455. Граф состояний систем и вычисление показателей надежности (восстанавливаемые элементы) 143.5 KB
  интенсивность отказа интенсивность восстановления период восстановления начальные условия или Выполним преобразование Лапласа: Используем теорему о вычетах: это вероятность нахождения в первом состоянии вероятность готовности системы стационарный коэффициент готовности системы Вычисление показателей надежности и готовности системы Пусть имеется системы состоящая из элементов. Вероятность безотказной работы Для вычисления строим граф состояний системы. Из анализа функционирования системы записываем начальные условия. ...
24456. Характеристики моделей памяти для DOS- и Windows- программах. Начальная загрузка сегментных регистров в зависимости от модели памяти 4.44 MB
  Характеристики моделей памяти для DOS и Windows программах. Начальная загрузка сегментных регистров в зависимости от модели памяти. Модели памяти DOS: Модель памяти Tiny. Эта модель памяти используется при создании загрузочных модулей с расширением имени com.
24457. Химический состав почв 83 KB
  Почва является самой верхней частью коры выветривания литосферы и поэтому в общих чертах наследует ее химический состав. Однако, представляя собой одновременно продукт воздействия на литосферу живого вещества, почва в содержании ряда элементов приобретает существенные отличия.
24458. Метод обратных функций 69 KB
  Предположим что случайная величина определенная на интервале [a ; b] имеет плотность распределения . Зная можно вычислить функцию распределения. Теорема Случайная величина удовлетворяющая уравнению имеет плотность распределения . Замечание отсюда название Доказательство Так как функция распределения это строго возрастающая функция на интервале [a ; b] то она должна удовлетворять условию .