16514

Вычисление пределов – команда limit

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторная работа №6 1.1 Вычисление пределов – команда limit Для вычисления пределов функции Fx заданной в аналитическом символьном виде служит команда limit которая используется в одном из следующих вариантов: limitFxa – возвращает предел символьного выражения F

Русский

2013-06-22

62 KB

1 чел.

Лабораторная работа №6

1.1 Вычисление пределов – команда limit

Для вычисления пределов функции F(x), заданной в аналитическом (символьном) виде, служит команда limit, которая используется в одном из следующих вариантов:

limit(F,x,a)возвращает предел символьного выражения F в точке x = a;

limit(F,x,a,'right') или limit(F,x,a,'left')возвращает предел в точке a справа или слева.

Продемонстрируем приемы вычисления пределов на следующих примерах:

а) ;  б)    с)  ;  д)  ;

е)  ; ж)  .

Решения в указанном порядке имеют вид:

>> syms a x

>> limit(sin(a*x)/(a*x),x,0)

ans =

1

>> limit((1+3/x)^(2*x),x,inf)

ans =

exp(6)

>> limit(1/(1-x),x,1)

ans =

NaN

Здесь переменная NaN означает, что предела функции  в точке x = 1 не существует.

>> limit(1/(1-x),x,1,'right')

ans =

-inf

Правосторонний предел функции  в точке x = 1 существует и равен - .

>> limit(1/(1-x),x,1,'left')

ans =

inf

Левосторонний предел функции  в точке x=1 существует и равен +.

>> limit(x*(log(a+x)-log(x))/5,x,inf)

ans =

1/5*a

1.2 Вычисление производных – команда diff

Для вычисления в символьном виде производных от выражения S служит команда diff, записываемая в форме diff(S, x, n). Она возвращает символьное значение n-ой производной (производной степени n) от символьного выражения или массива символьных выражений S по переменной x, т. е.

Sn(x) = .

В формате diff(S, x) находится первая производная (n = 1 по умолчанию).

Найти первую и третью производные функции y = x2sinx.

Решение:

>> syms x

>> y=x^2*sin(x);

>> diff(y,x)

ans =

2*x*sin(x)+x^2*cos(x)

>> diff(y,x,3)

ans =

6*cos(x)-6*x*sin(x)-x^2*cos(x)

Если S массив, то diff возвращает массив, элементами которого являются производные от исходных функций, образующих массив.

Например:

>> syms a x

>> Y=[a*log(x);x^a]

[ a*log(x)]

[      x^a]

>> diff(Y,x)

ans =

[     a/x]

[ x^a*a/x]

Если выражение S зависит от нескольких переменных, например, S=S(x,y), то ее частная производная  (или S'x(x,y) ) по аргументу x есть производная этой функции по x при постоянном значении y.

В декартовой системе координат на плоскости xOy градиент функции S(x,y) есть вектор

grad S = .

Частными производными второго порядка функции S=S(x,y) называются частные производные от ее первых производных , , т. е.

= , = , = , = .

Частные производные второго порядка обозначаются также символами

S''xx(x,y), S''xy(x,y), S''yx(x,y), S''yy(x,y). Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высоких порядков. Смешанные производные второго порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности: S''xy(x,y) = S''yx(x,y).

Рассмотрим пример. Для функции двух переменных

f(x,y) = arcsinxy

найти gradf(x;y) и вычислить его в точке (0;0). Проверить выполнение условия f''xy(x,y) = f''yx(x,y).

Решение:

>> syms x y

>> f=asin(x*y);

>> x1=diff(f,x)

x1 =

y/(1-x^2*y^2)^(1/2)

>> pretty(x1)

                                       y

                               ---------------

                                       2  2 1/2

                               (1 - x  y )

Т. е. = .

>> y1=diff(f,y)

y1 =

x/(1-x^2*y^2)^(1/2)

>> pretty(y1)

                                       x

                               ---------------

                                       2  2 1/2

                               (1 - x  y )

Т. е. = . Тогда grad(arcsinxy) = .

>> subs([x1 y1],[x y],[0 0])

ans =

    0     0

Итак, grad(arcsinxy)(0;0) = (0;0).

>> xy=diff(x1,y)

xy =

1/(1-x^2*y^2)^(1/2)+y^2/(1-x^2*y^2)^(3/2)*x^2

>> [m]=simple(xy)

m =

1/(1-x^2*y^2)^(3/2)

>> pretty(m)

                                        1

                               ---------------

                                       2  2 3/2

                               (1 - x  y )

Следовательно,  = .

>> yx=diff(y1,x)

yx =

1/(1-x^2*y^2)^(1/2)+y^2/(1-x^2*y^2)^(3/2)*x^2

>> [m]=simple(yx)

m =

1/(1-x^2*y^2)^(3/2)

>> pretty(m)

                                        1

                               ---------------

                                       2  2 3/2

                               (1 - x  y )

Значит,  = .

Окончательный результат:

grad(arcsinxy)(0;0) = (0;0) и f''xy(x,y) = f''yx(x,y) = .

Задание 1 (1.1). Найти предел

Варианты

1.       2.       3.   

4.      5. (1+3tg2x)ctg2x     6.       7.     

8.      9. (tgx)tg2x     10.       11.     

12.      13. (sinx)tgx     14.       15.  

Задание 2 (1.2). Найти производные

Найти первые и вторые частные производные функции двух переменных f(x,y). Проверить выполнение условия f''xy(x,y) = f''yx(x,y). Вычислить градиент функции f(x,y) в точке (1;2).

Варианты

1. f(x,y) = arctg(x+y)    2. f(x,y) = arcsin(lnxy)    3. f(x,y) = e-xlny

4. f(x,y) = cos(e-xlny)    5. f(x,y) = ln(lnxy)    6. f(x,y) = sinxcosy

7. f(x,y) = arcctg    8. f(x,y) = arccos(sin(x-y))    9. f(x,y) = elnxy

10. f(x,y) = arccos    11. f(x,y) = arcctg(ex-ey)    12. f(x,y) = xln(x+y)

13. f(x,y) = ln    14. f(x,y) = arcsin(ex+y)    15. f(x,y) = ycos(xy)

Задание 3 (см.лаб.№5). Найти неопределенный интеграл

Найти неопределенный интеграл dx. Воспользоваться при необходимости командами pretty, simple.

Варианты

1.    2. dx    3. dx    4.     5 

6. dx   7. dx    8. dx    9.     10.

11. dx   12.     13.     14. dx    15.

PAGE  6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52068. Графические возможности языка программирования 129.5 KB
  Точка SetPixelxycolor Закрашивает цветом color точку с координатами x y; Отрезок Linex1y1x2y2 Рисует отрезок из точки с координатами x1y1 в точку с координатами x2y2; окружность Circlexy rdius Рисует окружность с центром в точке с координатами xy и радиусом rdius. Точки с координатами x1 y1 и x2 y2 определяют диагональные вершины прямоугольника. Начало текста в точке с координатами x y.
52069. ЭТНОГРАФИЯ. Ю. В. Бромлея и Г. Е. Маркова 2.05 MB
  Специальный раздел посвящен проблемам этнической истории народов СССР вопросам формирования новой исторической общности советского народа. Классификация народов мира. Распространенность такого представления в значительной мере связана с тем что сложившись как наука в эпоху расцвета колониализма буржуазной Европы этнография была первоначально нацелена преимущественно на изучение народов внеевропейских территорий в большинстве отстававших в своем развитии. Уже давно стала очевидна несостоятельность деления народов на исторические...
52070. Основи наукових досліджень 846 KB
  Методологія типологія та етапи наукового дослідження План Предмет і задачі дисципліни Основи наукових досліджень. Методологічні основи наукового дослідження Рівні психологопедагогічних досліджень. ОПП: Наука наукознавство об’єкт науки предмет науки наукове дослідження метод методологія методична основа. Методологічні основи наукового дослідження Рівні психологопедагогічних досліджень.
52071. Жанры периодической печати 384 KB
  Жанрообразующие факторы в журналистике. Причины вызывающие жанровую дифференциацию журналистского творчества. Многообразие объектов действительности отражаемых журналистикой.
52072. Основи наукових досліджень-навчальний посібник 3.68 MB
  Основи методології науководослідної роботи. Техніка роботи зі спеціальною літературою. Курсова дипломна магістерська роботи: написання оформлення захист Загальні положення Курсова дипломна робота. Загальна характеристика та їх виконання на прикладі спеціальностей туристськоготельного профілю Етапи наукового дослідження оформлення та захисту дипломної роботи Магістерська робота як кваліфікаційне Дослідження.
52074. Теорія будови Бутлерова як основа вивчення органічної хімії в школі , як сучасний етап розвитку методики викладання хімії 35 KB
  було найвидатнішою подією в історії розвитку органічної хімії. Ця теорія стала науковою основою для подальшого розвитку органічної хімії. Ця теорія дала великий поштовх для розвитку органічної хімії не тільки як практичне застосування але й як неймовірно велику і важливу теоретичну науку . Бутлерова як основа теорії органічної хімії уже розвинулась до такого рівня що вивчається навіть у загальноосвітніх школах знову ж як серце органічної хімії.
52075. Плотность вещества 59.5 KB
  Ребята почему тела равных объемов имеют разные массы Чтобы решить эту проблему изучим новую физическую величину плотность вещества. сегодня на уроке с новой характеристикой вещества плотностью так какая тема сегодняшнего урока Тема нашего урока Плотность вещества II Формирование новых умений и навыков. Молодцы Эту величину назвали – плотность вещества.