17156

Сума, добуток, похідна, інтеграл в Maple

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекція №27 Тема: Сума добуток похідна інтеграл в Maple. План Активна та пасивна форма команд. Команди диференціювання. Інтегрування виразів. Limit функції. Для деяких команд існують дві форми: активна і пасивна. У разі виклику активної форми команд

Украинкский

2013-06-29

56.5 KB

11 чел.

Лекція №27

Тема: Сума, добуток, похідна, інтеграл в Maple.

План

  1.  Активна та пасивна форма команд.
  2.  Команди диференціювання.
  3.  Інтегрування виразів.
  4.  Limit функції.

Для деяких команд існують дві форми: активна і пасивна. У разі виклику активної форми команди, яка негайно буде виконана, її ім'я починається з рядкової букви. Пасивна форма команди не виконується негайно ядром Maple, а просто у області висновку відображає математичний запис того, що вона може зробити. Її ім'я починається з прописної букви. Надалі, якщо в операторі привласнення для деякої змінної в правій частині задана пасивна форма команди, то командою value() її можна обчислити. Проте основне призначення пасивних форм команд — використовування їх як засоби документування вироблюваних дій в звичній математичній нотації. Прикладами команд з двома формами є команда диференціювання (diff і Diff), інтеграції (int і Int) і ін.

Maple дозволяє обчислювати звичайні і приватні похідні аналітичного виразу по одній або декількох змінних. Для цієї процедури призначені команди diff() і Diff(). Друга команда є так званою відкладеною командою (inert command), яка не обчислює похідну від виразу, а просто відображає математичний запис узяття похідної. Результат дії відкладеної команди можна привласнити змінній Maple, а надалі за допомогою команди value() обчислити результат цієї відкладеної команди. Відкладена форма команди диференціювання зручна, коли необхідно бачити, які операції були зроблені для отримання потрібного виразу. Окрім відкладеної команди диференціювання в Maple є ще цілий ряд команд, що мають відкладену форму, повну інформацію про яких можна одержати в Довідці.

Синтаксис команди диференціювання наступний:

diff(вираз, змінна 1, змінна 2, ..., змінна n);

diff(вираз, [змінна 1, змінна 2, ..., змінна n]);

В результаті виконання будь-якої з приведених команд буде обчислена приватна похідна n-го порядку від заданого першим параметром виразу по заданих п змінним.

При формуванні похідних високого порядку корисний оператор послідовності $, який дозволяє простіше і нагляднєє задати похідну. Наприклад, для обчислення третьої похідної функції f (х) по змінній х можна використовувати команду diff (f (х),х,х,х), в якій три рази вказано диференціювання по змінній х, або застосувати в команді диференціювання оператора послідовності х$3, що спрощує і

робить наочнішим завдання третьої похідної: diff (f (х),х$3).

 Приклад 1. Обчислення похідних

> f:=x^2*sin(x)+sqrt(y)*ln(cos(x));

> diff(f,x);

> Diff(f,x);

> diff(f,x$2);

> diff(f,x,y);

> fDerive:=Diff(f,x);

> g:=sqrt(fDerive);

> value(%);

Останні три команди показують використовування відкладеної форми команди диференціювання.

Інтеграція виразів по заданій змінній здійснюється командою int(), яка також має відкладену форму int(). Ця команда дозволяє обчислювати як невизначений інтеграл від виразу (при цьому, правда, відповідає не буде ніякою постійною інтеграції) з використанням наступного синтаксису команди:

int ( вираз, змінна);

так і певний інтеграл за допомогою наступного синтаксису команди

int( вираз, змінна = а..b);

де а і b є межами інтеграції, причому ці межі можуть бути і аналітичними виразами.

Приклад 2 Інтеграція функцій

> f:=a*x^2*sin(b*x);

> int(f,x);

> int(f,x=0..1);

> int(f,x=0..а);

> Int(f,x=0..Pi);

> value(%);

Операція % - є зручною формою посилання на результат виконання попередньої операції. У Maple є ще дві подібні  операції, які ідентифікують результати передпопередньої і предпредпредидущий команд. Їх синтаксис виглядає таким чином %% і %%%.

Для символьного обчислення певного інтеграла існують дві опції, керівники обробкою розривів подинтегральной функції. Ці опції задаються третім параметром в командах int () і Int ().

За умовчанням команда інтеграції перевіряє вираз на безперервність у області інтеграції і обчислює інтеграл як суму окремих певних інтегралів на проміжках безперервності функції. Опція 'continuous' відключає цей режим і обчислює інтеграл як різниця значень первісної подинтегральной функції в точці початку і кінця проміжку інтеграції.

Ще одна опція "CauchyPrincipalValue' обчислює невласні інтеграли першого і другого роду в значенні головного значення Коші.

Якщо Maple не може знайти замкнуту форму виразу для певного інтеграла, то команда інтеграції повертає просто виклик самої себе (у області висновку друкується математичний запис обчислення інтеграла, як при зверненні до відкладеної команди інтеграції). У подібних випадках можна обчислити значення певного інтеграла чисельним способом за допомогою команди evalf(). Синтаксис подібної конструкції наступний:

evalf ( int(f,x=a. .b)) ;

evalf ( Int (f,x=a. .b) ) ;

evalf ( Int (f,x=a. .b), digits, flag);

Параметр digits дозволяє задати число значущих цифр при обчисленнях наближеного значення інтеграла (за умовчанням це число рівне числу значущих цифр, визначених значенням системної константи Digits).

Константа нескінченність (infinity ).

Приклад 3. Чисельна інтеграція функцій

> Int(sin(x)*ln(x),x=0..1);

> int(sin(x)*ln(x),x=0..1);

> evalf(int(sin(x)*ln(x),x=0..1));

> Int(sin(x)*ln(x),x=0..1)=evalf(Int(sin(x)*ln(x),x=0..1),20);

> Int(exp(x-x^2/2)/(1+exp(x) /2),x=-infinity..infinity)=evalf(Int(exp(x-x^2/2)/(1+exp(x) /2),x=-infinity..infinity));

Перший інтеграл прикладу 3 обчислюється в аналітичному вигляді, але представляється через значення спеціальної функції інтегральний косинус. Для отримання відповіді у вигляді десяткового числа застосовується алгоритм чисельної інтеграції. На цьому ж прикладі показано використовування відкладеної форми команди інтеграції для зручнішого представлення відповіді.

У системі Maple є набір команд для повного дослідження функцій: limit()— для відшукання межі функції, sum() — для знаходження всіляких кінцевих сум, series() — для розкладання функцій в ряди Тейлора, Маклорена і Лорана, extrema() — для дослідження екстремумів функцій як однієї, так багатьох змінних, minimize() і maximize() — для пошуку мінімуму і максимуму функції на заданому проміжку.

Limit виклик функції межі

Синтаксис

    limit(f,x=a,dir)

    Limit(f,x=a,dir)

Параметри

    f      - вираз алгебри

    x      - ім'я

    а     - вираз алгебри; покажчик межі, можливо нескінченність(infinity), або - нескінченність (-infinity)

    dir   -(необов'язковий) позначення; напрям: left, right, real, або complex 

Приклади

> limit(sin(x) /x, x=0);

> limit(exp(x), x=infinity);

> limit(exp(x), x=-infinity);

> limit(1/x, x=0, real);

> Limit(sin(x), x=0);

Література:

       Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики, Москва, 2000 – 528 с. [4], 145-150, 397-421

Контрольні запитання:

  1.  Активна та пасивна форма команд Maple.
  2.  Особливості використання команди Limit.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56451. ТИПЫ УРОКОВ РУССКОГО ЯЗЫКА 72 KB
  Итак в школьной практике выделяют: урок повторения предшествующего учебного материала в начале учебного года; урок объяснения нового материала урок новых знаний; урок закрепления знаний формирования умений и навыков...
56452. Типы уроков русского языка 68.5 KB
  Применительно к организации учебного процесса на уроках русского языка можно выделить следующие структурные компоненты: а организационный момент начало урока; б проверка письменных домашних заданий...