17156

Сума, добуток, похідна, інтеграл в Maple

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекція №27 Тема: Сума добуток похідна інтеграл в Maple. План Активна та пасивна форма команд. Команди диференціювання. Інтегрування виразів. Limit функції. Для деяких команд існують дві форми: активна і пасивна. У разі виклику активної форми команд

Украинкский

2013-06-29

56.5 KB

11 чел.

Лекція №27

Тема: Сума, добуток, похідна, інтеграл в Maple.

План

  1.  Активна та пасивна форма команд.
  2.  Команди диференціювання.
  3.  Інтегрування виразів.
  4.  Limit функції.

Для деяких команд існують дві форми: активна і пасивна. У разі виклику активної форми команди, яка негайно буде виконана, її ім'я починається з рядкової букви. Пасивна форма команди не виконується негайно ядром Maple, а просто у області висновку відображає математичний запис того, що вона може зробити. Її ім'я починається з прописної букви. Надалі, якщо в операторі привласнення для деякої змінної в правій частині задана пасивна форма команди, то командою value() її можна обчислити. Проте основне призначення пасивних форм команд — використовування їх як засоби документування вироблюваних дій в звичній математичній нотації. Прикладами команд з двома формами є команда диференціювання (diff і Diff), інтеграції (int і Int) і ін.

Maple дозволяє обчислювати звичайні і приватні похідні аналітичного виразу по одній або декількох змінних. Для цієї процедури призначені команди diff() і Diff(). Друга команда є так званою відкладеною командою (inert command), яка не обчислює похідну від виразу, а просто відображає математичний запис узяття похідної. Результат дії відкладеної команди можна привласнити змінній Maple, а надалі за допомогою команди value() обчислити результат цієї відкладеної команди. Відкладена форма команди диференціювання зручна, коли необхідно бачити, які операції були зроблені для отримання потрібного виразу. Окрім відкладеної команди диференціювання в Maple є ще цілий ряд команд, що мають відкладену форму, повну інформацію про яких можна одержати в Довідці.

Синтаксис команди диференціювання наступний:

diff(вираз, змінна 1, змінна 2, ..., змінна n);

diff(вираз, [змінна 1, змінна 2, ..., змінна n]);

В результаті виконання будь-якої з приведених команд буде обчислена приватна похідна n-го порядку від заданого першим параметром виразу по заданих п змінним.

При формуванні похідних високого порядку корисний оператор послідовності $, який дозволяє простіше і нагляднєє задати похідну. Наприклад, для обчислення третьої похідної функції f (х) по змінній х можна використовувати команду diff (f (х),х,х,х), в якій три рази вказано диференціювання по змінній х, або застосувати в команді диференціювання оператора послідовності х$3, що спрощує і

робить наочнішим завдання третьої похідної: diff (f (х),х$3).

 Приклад 1. Обчислення похідних

> f:=x^2*sin(x)+sqrt(y)*ln(cos(x));

> diff(f,x);

> Diff(f,x);

> diff(f,x$2);

> diff(f,x,y);

> fDerive:=Diff(f,x);

> g:=sqrt(fDerive);

> value(%);

Останні три команди показують використовування відкладеної форми команди диференціювання.

Інтеграція виразів по заданій змінній здійснюється командою int(), яка також має відкладену форму int(). Ця команда дозволяє обчислювати як невизначений інтеграл від виразу (при цьому, правда, відповідає не буде ніякою постійною інтеграції) з використанням наступного синтаксису команди:

int ( вираз, змінна);

так і певний інтеграл за допомогою наступного синтаксису команди

int( вираз, змінна = а..b);

де а і b є межами інтеграції, причому ці межі можуть бути і аналітичними виразами.

Приклад 2 Інтеграція функцій

> f:=a*x^2*sin(b*x);

> int(f,x);

> int(f,x=0..1);

> int(f,x=0..а);

> Int(f,x=0..Pi);

> value(%);

Операція % - є зручною формою посилання на результат виконання попередньої операції. У Maple є ще дві подібні  операції, які ідентифікують результати передпопередньої і предпредпредидущий команд. Їх синтаксис виглядає таким чином %% і %%%.

Для символьного обчислення певного інтеграла існують дві опції, керівники обробкою розривів подинтегральной функції. Ці опції задаються третім параметром в командах int () і Int ().

За умовчанням команда інтеграції перевіряє вираз на безперервність у області інтеграції і обчислює інтеграл як суму окремих певних інтегралів на проміжках безперервності функції. Опція 'continuous' відключає цей режим і обчислює інтеграл як різниця значень первісної подинтегральной функції в точці початку і кінця проміжку інтеграції.

Ще одна опція "CauchyPrincipalValue' обчислює невласні інтеграли першого і другого роду в значенні головного значення Коші.

Якщо Maple не може знайти замкнуту форму виразу для певного інтеграла, то команда інтеграції повертає просто виклик самої себе (у області висновку друкується математичний запис обчислення інтеграла, як при зверненні до відкладеної команди інтеграції). У подібних випадках можна обчислити значення певного інтеграла чисельним способом за допомогою команди evalf(). Синтаксис подібної конструкції наступний:

evalf ( int(f,x=a. .b)) ;

evalf ( Int (f,x=a. .b) ) ;

evalf ( Int (f,x=a. .b), digits, flag);

Параметр digits дозволяє задати число значущих цифр при обчисленнях наближеного значення інтеграла (за умовчанням це число рівне числу значущих цифр, визначених значенням системної константи Digits).

Константа нескінченність (infinity ).

Приклад 3. Чисельна інтеграція функцій

> Int(sin(x)*ln(x),x=0..1);

> int(sin(x)*ln(x),x=0..1);

> evalf(int(sin(x)*ln(x),x=0..1));

> Int(sin(x)*ln(x),x=0..1)=evalf(Int(sin(x)*ln(x),x=0..1),20);

> Int(exp(x-x^2/2)/(1+exp(x) /2),x=-infinity..infinity)=evalf(Int(exp(x-x^2/2)/(1+exp(x) /2),x=-infinity..infinity));

Перший інтеграл прикладу 3 обчислюється в аналітичному вигляді, але представляється через значення спеціальної функції інтегральний косинус. Для отримання відповіді у вигляді десяткового числа застосовується алгоритм чисельної інтеграції. На цьому ж прикладі показано використовування відкладеної форми команди інтеграції для зручнішого представлення відповіді.

У системі Maple є набір команд для повного дослідження функцій: limit()— для відшукання межі функції, sum() — для знаходження всіляких кінцевих сум, series() — для розкладання функцій в ряди Тейлора, Маклорена і Лорана, extrema() — для дослідження екстремумів функцій як однієї, так багатьох змінних, minimize() і maximize() — для пошуку мінімуму і максимуму функції на заданому проміжку.

Limit виклик функції межі

Синтаксис

    limit(f,x=a,dir)

    Limit(f,x=a,dir)

Параметри

    f      - вираз алгебри

    x      - ім'я

    а     - вираз алгебри; покажчик межі, можливо нескінченність(infinity), або - нескінченність (-infinity)

    dir   -(необов'язковий) позначення; напрям: left, right, real, або complex 

Приклади

> limit(sin(x) /x, x=0);

> limit(exp(x), x=infinity);

> limit(exp(x), x=-infinity);

> limit(1/x, x=0, real);

> Limit(sin(x), x=0);

Література:

       Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики, Москва, 2000 – 528 с. [4], 145-150, 397-421

Контрольні запитання:

  1.  Активна та пасивна форма команд Maple.
  2.  Особливості використання команди Limit.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13661. Алкоголизм дает больше опустошения, чем три исторических бича вместе взятых: голод, чума и война 15.45 KB
  Алкоголизм дает больше опустошения чем три исторических бича вместе взятых: голод чума и война. У. Гладстон Алкоголизм одна из проблем современного общества которая волнует педагогов и конечно же нас подрастающее поколение. У. Гладстон считает что алкоголи...
13662. Алкоголизм и преступление -это два явления общественной жизни, находящиеся в тесной связи друг с другом 14.11 KB
  Алкоголизм и преступление это два явления общественной жизни находящиеся в тесной связи друг с другомИ. МержевскийПоведение людей в обществе определяется прежде всего тем на какие ценности они равняются каких ценностей они придерживаются. Для стабильности и единс
13663. Берне Л. Без многого может обойтись человек, только не без человека 15.56 KB
  Без многого может обойтись человек только не без человека Л. Берне Я считаю что высказывание Людвига Берне немецкого публициста и писателя о том что без многого может обойтись человек только не без человека верно и сохраняет свою актуальность сегодня поскольку о
13664. Жениться - это значит наполовину уменьшить свои права и вдвое увеличить свои обязанности 16.27 KB
  Жениться это значит наполовину уменьшить свои права и вдвое увеличить свои обязанности. А. Шопенгауэр А. Шопенгауэр выдающийся философ нового времени был пессимистом. Он считает что женитьба и создание семьи лишь увеличивает обязанности. Семья это объединени...
13665. Индивидом рождаются, личностью становятся, индивидуальность – отстаивают 16.52 KB
  Индивидом рождаются личностью становятся индивидуальность – отстаивают. А.Г.Асмолов Личностью не родятся личностью становятся. А.Н. Леонтьев Фундаментальная цель жизни человека – развить и выразить себя. Но ребенок не самодостаточен. Он слаб и физически и духовно ...
13666. Дарендорф. Кто умеет справиться с конфликтами путем их признания, берет под свой контроль ритм истории 14.32 KB
  Кто умеет справиться с конфликтами путем их признания берет под свой контроль ритм истории. Р.Дарендорф. Зададимся вопросом: А что значит конфликт Ученые дают такие варианты определений Конфликты представляют собой особый тип социального взаимодействия субъе...
13667. Личность – это человек как носитель сознания 13.9 KB
  Личность – это человек как носитель сознания К.К. ПлатоновЧеловек вечная проблема. Наши предки считали что человек предназначен для жизни бесконечной. И что свою суть он должен познавать в течение всей свой земной жизни а может быть и за пределами ее. И сейчас немало ...
13668. Личность человека, ни в каком смысле не является предсуществующей по отношению к его деятельности, как и его сознание, она ею порождается 13.85 KB
  Личность человека ни в каком смысле не является предсуществующей по отношению к его деятельности как и его сознание она ею порождается А.Н. ЛеонтьевЛеонтьев Алексей Николаевич советский психолог занимавшийся проблемами сознания и деятельности.Личность это конкр
13669. Люди рождаются только с чистой природой, лишь потом отцы делают их иудеями, христианами или огнепоклонниками 14.77 KB
  Люди рождаются только с чистой природой лишь потом отцы делают их иудеями христианами или огнепоклонниками. Саади Сложно не согласиться с данным высказыванием. Человек существо биосоциальное. От рождения мы обладаем по словам поэта Саади чистой природой. Мале...