17156

Сума, добуток, похідна, інтеграл в Maple

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекція №27 Тема: Сума добуток похідна інтеграл в Maple. План Активна та пасивна форма команд. Команди диференціювання. Інтегрування виразів. Limit функції. Для деяких команд існують дві форми: активна і пасивна. У разі виклику активної форми команд

Украинкский

2013-06-29

56.5 KB

11 чел.

Лекція №27

Тема: Сума, добуток, похідна, інтеграл в Maple.

План

  1.  Активна та пасивна форма команд.
  2.  Команди диференціювання.
  3.  Інтегрування виразів.
  4.  Limit функції.

Для деяких команд існують дві форми: активна і пасивна. У разі виклику активної форми команди, яка негайно буде виконана, її ім'я починається з рядкової букви. Пасивна форма команди не виконується негайно ядром Maple, а просто у області висновку відображає математичний запис того, що вона може зробити. Її ім'я починається з прописної букви. Надалі, якщо в операторі привласнення для деякої змінної в правій частині задана пасивна форма команди, то командою value() її можна обчислити. Проте основне призначення пасивних форм команд — використовування їх як засоби документування вироблюваних дій в звичній математичній нотації. Прикладами команд з двома формами є команда диференціювання (diff і Diff), інтеграції (int і Int) і ін.

Maple дозволяє обчислювати звичайні і приватні похідні аналітичного виразу по одній або декількох змінних. Для цієї процедури призначені команди diff() і Diff(). Друга команда є так званою відкладеною командою (inert command), яка не обчислює похідну від виразу, а просто відображає математичний запис узяття похідної. Результат дії відкладеної команди можна привласнити змінній Maple, а надалі за допомогою команди value() обчислити результат цієї відкладеної команди. Відкладена форма команди диференціювання зручна, коли необхідно бачити, які операції були зроблені для отримання потрібного виразу. Окрім відкладеної команди диференціювання в Maple є ще цілий ряд команд, що мають відкладену форму, повну інформацію про яких можна одержати в Довідці.

Синтаксис команди диференціювання наступний:

diff(вираз, змінна 1, змінна 2, ..., змінна n);

diff(вираз, [змінна 1, змінна 2, ..., змінна n]);

В результаті виконання будь-якої з приведених команд буде обчислена приватна похідна n-го порядку від заданого першим параметром виразу по заданих п змінним.

При формуванні похідних високого порядку корисний оператор послідовності $, який дозволяє простіше і нагляднєє задати похідну. Наприклад, для обчислення третьої похідної функції f (х) по змінній х можна використовувати команду diff (f (х),х,х,х), в якій три рази вказано диференціювання по змінній х, або застосувати в команді диференціювання оператора послідовності х$3, що спрощує і

робить наочнішим завдання третьої похідної: diff (f (х),х$3).

 Приклад 1. Обчислення похідних

> f:=x^2*sin(x)+sqrt(y)*ln(cos(x));

> diff(f,x);

> Diff(f,x);

> diff(f,x$2);

> diff(f,x,y);

> fDerive:=Diff(f,x);

> g:=sqrt(fDerive);

> value(%);

Останні три команди показують використовування відкладеної форми команди диференціювання.

Інтеграція виразів по заданій змінній здійснюється командою int(), яка також має відкладену форму int(). Ця команда дозволяє обчислювати як невизначений інтеграл від виразу (при цьому, правда, відповідає не буде ніякою постійною інтеграції) з використанням наступного синтаксису команди:

int ( вираз, змінна);

так і певний інтеграл за допомогою наступного синтаксису команди

int( вираз, змінна = а..b);

де а і b є межами інтеграції, причому ці межі можуть бути і аналітичними виразами.

Приклад 2 Інтеграція функцій

> f:=a*x^2*sin(b*x);

> int(f,x);

> int(f,x=0..1);

> int(f,x=0..а);

> Int(f,x=0..Pi);

> value(%);

Операція % - є зручною формою посилання на результат виконання попередньої операції. У Maple є ще дві подібні  операції, які ідентифікують результати передпопередньої і предпредпредидущий команд. Їх синтаксис виглядає таким чином %% і %%%.

Для символьного обчислення певного інтеграла існують дві опції, керівники обробкою розривів подинтегральной функції. Ці опції задаються третім параметром в командах int () і Int ().

За умовчанням команда інтеграції перевіряє вираз на безперервність у області інтеграції і обчислює інтеграл як суму окремих певних інтегралів на проміжках безперервності функції. Опція 'continuous' відключає цей режим і обчислює інтеграл як різниця значень первісної подинтегральной функції в точці початку і кінця проміжку інтеграції.

Ще одна опція "CauchyPrincipalValue' обчислює невласні інтеграли першого і другого роду в значенні головного значення Коші.

Якщо Maple не може знайти замкнуту форму виразу для певного інтеграла, то команда інтеграції повертає просто виклик самої себе (у області висновку друкується математичний запис обчислення інтеграла, як при зверненні до відкладеної команди інтеграції). У подібних випадках можна обчислити значення певного інтеграла чисельним способом за допомогою команди evalf(). Синтаксис подібної конструкції наступний:

evalf ( int(f,x=a. .b)) ;

evalf ( Int (f,x=a. .b) ) ;

evalf ( Int (f,x=a. .b), digits, flag);

Параметр digits дозволяє задати число значущих цифр при обчисленнях наближеного значення інтеграла (за умовчанням це число рівне числу значущих цифр, визначених значенням системної константи Digits).

Константа нескінченність (infinity ).

Приклад 3. Чисельна інтеграція функцій

> Int(sin(x)*ln(x),x=0..1);

> int(sin(x)*ln(x),x=0..1);

> evalf(int(sin(x)*ln(x),x=0..1));

> Int(sin(x)*ln(x),x=0..1)=evalf(Int(sin(x)*ln(x),x=0..1),20);

> Int(exp(x-x^2/2)/(1+exp(x) /2),x=-infinity..infinity)=evalf(Int(exp(x-x^2/2)/(1+exp(x) /2),x=-infinity..infinity));

Перший інтеграл прикладу 3 обчислюється в аналітичному вигляді, але представляється через значення спеціальної функції інтегральний косинус. Для отримання відповіді у вигляді десяткового числа застосовується алгоритм чисельної інтеграції. На цьому ж прикладі показано використовування відкладеної форми команди інтеграції для зручнішого представлення відповіді.

У системі Maple є набір команд для повного дослідження функцій: limit()— для відшукання межі функції, sum() — для знаходження всіляких кінцевих сум, series() — для розкладання функцій в ряди Тейлора, Маклорена і Лорана, extrema() — для дослідження екстремумів функцій як однієї, так багатьох змінних, minimize() і maximize() — для пошуку мінімуму і максимуму функції на заданому проміжку.

Limit виклик функції межі

Синтаксис

    limit(f,x=a,dir)

    Limit(f,x=a,dir)

Параметри

    f      - вираз алгебри

    x      - ім'я

    а     - вираз алгебри; покажчик межі, можливо нескінченність(infinity), або - нескінченність (-infinity)

    dir   -(необов'язковий) позначення; напрям: left, right, real, або complex 

Приклади

> limit(sin(x) /x, x=0);

> limit(exp(x), x=infinity);

> limit(exp(x), x=-infinity);

> limit(1/x, x=0, real);

> Limit(sin(x), x=0);

Література:

       Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики, Москва, 2000 – 528 с. [4], 145-150, 397-421

Контрольні запитання:

  1.  Активна та пасивна форма команд Maple.
  2.  Особливості використання команди Limit.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78349. Вода и растворы. Способы выражения состава раствора 140.07 KB
  Свойства воды. Много воды находится в газообразном состоянии в виде паров в атмосфере; в виде огромных масс снега и льда лежит она круглый год на вершинах высоких гор и в полярных странах. Вода содержащая значительное количество солей кальция и магния называется жесткой в отличие от мягкой воды например дождевой. При фильтровании больших количеств воды пользуются фильтрами из песка и гравия.
78350. Растворы электролитов. Изотонический коэффициент. ТЭД 228.26 KB
  Этих толчков вместе с тепловыми колебаниями ионов в кристалле оказывается достаточно для отделения ионов от кристалла и перехода их в раствор. Вслед за первым слоем ионов в раствор переходит следующий слой и таким образом идет постепенное растворение кристалла. Перешедшие в раствор ионы остаются связанными с молекулами воды и образуют гидраты ионов. Иначе говоря в результате диссоциации образуются не свободные ноны а соединения ионов с молекулами растворителя.
78351. Окислительно-восстановительные процессы. Применение электролиза 162.67 KB
  В ионных соединениях эта неравномерность распределения электронов максимальна при образовании веществ с ионной связью валентные электроны практически полностью переходят от атома одного элемента к атому другого. Прн этом элемент электроны которого смещаются к атомам другого элемента полностью в случае ионной связи или частично в случае полярной проявляет положительную окисленность. Элемент к атомам которого смещаются электроны атома другого элемента проявляет отрицательную окисленность. Число электронов смещенных от одного атома...
78352. Металлы и сплавы. Химические свойства металлов и сплавов 238.97 KB
  Химические свойства металлов. Добывание металлов из руд. Правда магний и алюминий сохраняют свой блеск даже будучи превращенными в порошок но большинство металлов в мелкораздробленном виде имеет черный или темносерый цвет.
78353. Комплексные соединения 531.93 KB
  Ионы некоторых элементов способны присоединять к себе другие ионы или нейтральные молекулы (например, NH3), образуя более сложные комплексные ионы. При их связывании с ионами противоположного знака получаются различные комплексные соединения. Наиболее полно свойства и строение комплексных соединений объясняет координационная теория
78354. Химические свойства элементов 157.55 KB
  При нагревании они соединяются с водородом с образованием гидридов с галогенами серой азотом фосфором углеродом и кремнием с образованием соответственно галогенидов сульфидов нитридов фосфидов карбидов и силицидов: При нагревании щелочные металлы способны реагировать с другими металлами образуя интерметаллиды. Иногда для получения щелочных металлов проводят электролиз расплавов их гидроксидов...
78355. Органические соединения. Простые и кратные связи в органических соединениях. Предельные и непредельные углеводороды 70.48 KB
  Изомерия органических соединений. Классификация органических соединений. Берцелиусу определить органическую химию как химию соединений углерода 1806 г. Именно это свойство позволяет углероду образовывать миллионы соединений изучению которых посвящена целая область органическая химия.
78356. Макроэкономическое регулирование национальной экономики 33.31 KB
  Государственная социальная политика. Это совокупность мероприятий в сфере налогообложения направленных на формирование доходной части государственного бюджета повышение эффективности функционирования всей национальной экономики обеспечение экономического роста занятости населения и стабильности денежного обращения Фискальная политика это система регулирования экономики посредством изменений государственных расходов и налогов. Фискальная политика может как благотворно так и достаточно болезненно воздействовать на стабильность...
78357. Экономический рост национальной экономики 63.55 KB
  Факторы экономического роста.Основы методологии расчетов темпов экономического роста. Показатели параметры экономического роста. Как известно темпы экономического роста определяют важнейшие характеристики хозяйствования такие как: динамика объемов производства в системе в целом отдельных ее отраслях и регионах; прогрессивные отраслевые сдвиги; скорость и степень совершенствования структуры национальной экономики; изменение величины и структуры потребления и накопления в стране; динамика уровня жизни населения страны в целом и...