17160

Лінійні динамічні системи. Диференційне рівняння системи. Передатна функція. Її властивості

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекція 2.Тема. Лінійні динамічні системи. Диференційне рівняння системи. Передатна функція. Її властивості. План 1. Лінійні динамічні системи. 2.Диференційне рівняння системи. 3.Передатна функція. Її властивості. Лінійні динамічні системи. Динамічн...

Украинкский

2013-06-29

70 KB

13 чел.

Лекція 2.Тема. Лінійні динамічні системи. Диференційне рівняння системи. Передатна   функція. Її властивості.

План

1. Лінійні динамічні системи.

2.Диференційне рівняння системи.

3.Передатна функція. Її властивості.

  1.  Лінійні динамічні системи.

Динамічна система - система, що описується лінійними й нелінійними диференціальними рівняннями високого  порядку.

У самому загальному виді зв'язок між входом і виходом динамічної системи можна представити у вигляді:

х(t) – вихідна векторна величина, y(t) – вхідна векторна величина (функція часу), А – оператор системи, встановлюючий відповідності (однозначні) між входом y(t) й виходом x(t) і трактуемый у самому широкому змісті, тобто буквою А позначається вся сукупність математичних дій, які потрібно зробити, щоб по даній вхідній функції y(t) знайти результат – вихідну функцію x(t).

Оператор системи є повною, вичерпною характеристикою. При цьому поняттям оператора поєднуються будь-які математичні дії: всі алгебраїчні дії, диференціювання, інтегрування, зрушення в часі, рішення диференціальних, інтегральних алгебраїчних і будь-яких інших функціональних рівнянь, а також будь-які логічні дії (тобто виконувати досить складні алгоритми).

Задати оператор системи - це означає задати сукупність (програму) дій, які треба здійснити над вхідною функцією, щоб одержати вихідну функцію. Оператор А називається лінійним, якщо при будь-яких n, с1, …, сn і при будь-яких функціях y1(t), …, yn(t) справедливо:

Динамічна система називається лінійної, якщо її оператор лінійний.

Властивість лінійних систем, виражена співвідношенням (*) називається принципом суперпозиції. Для того, щоб система була, таким чином, лінійної необхідно й досить:

1.Сумі будь-яких двох вхідних збурювань відповідає сума двох вихідних змінних:

2.При будь-якім посиленні вхідного збурювання без зміни його форми (масштабне по осі ординат зміна) вихідна змінна перетерплює точно таке ж посилення, також не змінюючись за формою:

Підкреслимо, що для лінійності системи необхідно, щоб принцип суперпозиції дотримувався при будь-якім числі доданків, при будь-якому виборі величини з? і функцій y?(t). Прикладами лінійних операторів є

,

інтегральний оператор

більше загальний интегро-дифференциальный оператор

До лінійному інтегральному або интегро-дифференциальному оператора приводиться оператор рішення довільного звичайного диференціального рівняння:

Зі справедливості принципу суперпозиції для лінійних систем при будь-якім числі доданків і будь-якому виборі функцій y?(t) і чисел з? треба, що він застосовний не тільки до сум, але й до інтегралів, тобто

де індекс t в оператора А показує, що цей оператор діє над функцією аргументу t, а розглядається як фіксований параметр.

Співвідношення (**) позначає принцип суперпозиції в інтегральній формі.

Принцип суперпозиції дає можливість виразити реакцію лінійної системи на будь-яке збурювання через її реакцію на певний вид елементарних збурювань. Для цього досить розкласти довільне збурювання y(t) на елементарні збурювання обраного типу. Тоді, знаючи реакцію лінійної системи на елементарне збурювання, можна за допомогою принципу суперпозиції визначити її реакцію на довільне збурювання.

2.Диференційне рівняння системи.

Опис лінійних систем здійснюється у формі диференціального рівняння:

y(t) – вхід (іноді пишуть  f(t));

x(t) – вихід динамічної системи.

Розглянемо рівняння динамічної системи у вигляді:

(1)

Застосуємо до правої й лівої частин перетворення Лапласа:

…………………………………………………………………………

Підсумовуючи,одержимо:

,

Де - цілком залежить від початкових умов і при нульових початкових умовах звертається в нуль.

Аналогічно можна одержати для правої частини:

.

Уводячи нові позначення, одержимо, що:

;

,

де перший доданок визначає ефект впливу й не залежить від початкових умов, а другий доданок, навпаки, залежить від початкових умов і не залежить від впливу.

3.Передатна функція. Її властивості.

Особливе положення займає відношення

що, являється відношенням перетворення виходу до входу при нульових початкових умовах:

- передатна функція лінійної динамічної системи із зосередженими параметрами (стаціонарна).

Якщо рішення отримане в операторной формі у вигляді (34), то застосовуючи зворотне перетворення Лапласа до   одержимо рішення рівняння в області речовинної змінної, тобто.

.

Властивості передатної функції динамічної системи

Ці властивості справедливі для систем стійких із зосередженими параметрами.

1.Передатна функція  або являють собою дрібно-раціональну функцію, причому порядок m чисельника не перевищує порядок n знаменника.

2.Всі коефіцієнти  речовинні.

3.Нематеріальні нулі й полюси передатної функції можуть бути лише комплексно-спряженні.

4.Всі полюсы передатної функції розташовані в лівій напівплощині комплексного змінного (умова стійкості).

Контрольні питання

1. Лінійні динамічні системи.

2.Диференційне рівняння системи.

3.Передатна функція. Її властивості.

Список літератури.

1. Іванов А.А. Теория автоматического управления и регулирования. М.: издательство «Недра», 1970, с. 252.

2. Я.З. Цыпкин «Основы теории автоматических систем». М.: «Наука», 1977, с. 560.

3. Фельдбаум А.А., Теоретические основы связи и управления. М.: «Наука», 1963, с. 240.

4. Понтрягин А.С., Математическая теория оптимальных процессов. М.: «Наука», 1961, с. 320.

5. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: «Наука», 1975, с. 345.

6. Перегудовидр Ф.И. Информационные системы для руководителей. М.: Финансы и статистика, 1992, с. 168.


Система

(t)

y(t)

f(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77168. ВЫБОРЫ ПРЕЗИДЕНТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 707 KB
  Действительно будущему кандидату необходимо трезво оценивать свои возможности по финансированию избирательной кампании а также планировать возможность привлечения внешних источников пополнения избирательного фонда.
77169. Создание кафе-ресторана с караоке в Центральной части города Москвы 688.5 KB
  Деятельность создаваемого предприятия направлена на оказание услуг в сфере общественного питания для людей с уровнем дохода средним и выше среднего. Данный проект планируется реализовать без образования юридического лица для уменьшения налогообложения и упрощения финансовой отчетности.
77170. Психологические аспекты адаптации персонала во время испытательного срока 588 KB
  Ежедневно в жизни многих людей происходят события, которые можно отнести к слову – «новое». Где-то рождается новый человек, создается новая семья, осуществляется новое открытие в какой-либо сфере или отрасли человеческой деятельности, наконец, новый работник приходит в новый для себя трудовой коллектив.
77171. Event как инструмент PR 496 KB
  Актуальность темы в том, что в современные корпоративные праздники вкладываются большие средства, силы, к их подготовке привлекаются специалисты различных отраслей и сфер деятельности.
77172. Бизнес-план агентства наружной рекламы 464.5 KB
  Наружная реклама ( Outdoor advertising) - одно из основных средств рекламы, носители которого размещаются вне помещений. Данный вид рекламы является наиболее эффективным и перспективным. К основным видам наружной рекламы относят: перетяжки, щиты, суперсайты и брандмауры...
77173. PR И РЕКЛАМА В СРЕДСТВАХ МАССОВОЙ ИНФОРМАЦИИ КАК ЧАСТЬ СИСТЕМЫ БАНКОВСКОГО МАРКЕТИНГА 398.5 KB
  Актуальность выбранной темы определяется также тем, что усиливается необходимость анализа некоторых аспектов деятельности коммерческих банков, нацеленных на вхождение России в мировое хозяйство.