17160

Лінійні динамічні системи. Диференційне рівняння системи. Передатна функція. Її властивості

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекція 2.Тема. Лінійні динамічні системи. Диференційне рівняння системи. Передатна функція. Її властивості. План 1. Лінійні динамічні системи. 2.Диференційне рівняння системи. 3.Передатна функція. Її властивості. Лінійні динамічні системи. Динамічн...

Украинкский

2013-06-29

70 KB

17 чел.

Лекція 2.Тема. Лінійні динамічні системи. Диференційне рівняння системи. Передатна   функція. Її властивості.

План

1. Лінійні динамічні системи.

2.Диференційне рівняння системи.

3.Передатна функція. Її властивості.

  1.  Лінійні динамічні системи.

Динамічна система - система, що описується лінійними й нелінійними диференціальними рівняннями високого  порядку.

У самому загальному виді зв'язок між входом і виходом динамічної системи можна представити у вигляді:

х(t) – вихідна векторна величина, y(t) – вхідна векторна величина (функція часу), А – оператор системи, встановлюючий відповідності (однозначні) між входом y(t) й виходом x(t) і трактуемый у самому широкому змісті, тобто буквою А позначається вся сукупність математичних дій, які потрібно зробити, щоб по даній вхідній функції y(t) знайти результат – вихідну функцію x(t).

Оператор системи є повною, вичерпною характеристикою. При цьому поняттям оператора поєднуються будь-які математичні дії: всі алгебраїчні дії, диференціювання, інтегрування, зрушення в часі, рішення диференціальних, інтегральних алгебраїчних і будь-яких інших функціональних рівнянь, а також будь-які логічні дії (тобто виконувати досить складні алгоритми).

Задати оператор системи - це означає задати сукупність (програму) дій, які треба здійснити над вхідною функцією, щоб одержати вихідну функцію. Оператор А називається лінійним, якщо при будь-яких n, с1, …, сn і при будь-яких функціях y1(t), …, yn(t) справедливо:

Динамічна система називається лінійної, якщо її оператор лінійний.

Властивість лінійних систем, виражена співвідношенням (*) називається принципом суперпозиції. Для того, щоб система була, таким чином, лінійної необхідно й досить:

1.Сумі будь-яких двох вхідних збурювань відповідає сума двох вихідних змінних:

2.При будь-якім посиленні вхідного збурювання без зміни його форми (масштабне по осі ординат зміна) вихідна змінна перетерплює точно таке ж посилення, також не змінюючись за формою:

Підкреслимо, що для лінійності системи необхідно, щоб принцип суперпозиції дотримувався при будь-якім числі доданків, при будь-якому виборі величини з? і функцій y?(t). Прикладами лінійних операторів є

,

інтегральний оператор

більше загальний интегро-дифференциальный оператор

До лінійному інтегральному або интегро-дифференциальному оператора приводиться оператор рішення довільного звичайного диференціального рівняння:

Зі справедливості принципу суперпозиції для лінійних систем при будь-якім числі доданків і будь-якому виборі функцій y?(t) і чисел з? треба, що він застосовний не тільки до сум, але й до інтегралів, тобто

де індекс t в оператора А показує, що цей оператор діє над функцією аргументу t, а розглядається як фіксований параметр.

Співвідношення (**) позначає принцип суперпозиції в інтегральній формі.

Принцип суперпозиції дає можливість виразити реакцію лінійної системи на будь-яке збурювання через її реакцію на певний вид елементарних збурювань. Для цього досить розкласти довільне збурювання y(t) на елементарні збурювання обраного типу. Тоді, знаючи реакцію лінійної системи на елементарне збурювання, можна за допомогою принципу суперпозиції визначити її реакцію на довільне збурювання.

2.Диференційне рівняння системи.

Опис лінійних систем здійснюється у формі диференціального рівняння:

y(t) – вхід (іноді пишуть  f(t));

x(t) – вихід динамічної системи.

Розглянемо рівняння динамічної системи у вигляді:

(1)

Застосуємо до правої й лівої частин перетворення Лапласа:

…………………………………………………………………………

Підсумовуючи,одержимо:

,

Де - цілком залежить від початкових умов і при нульових початкових умовах звертається в нуль.

Аналогічно можна одержати для правої частини:

.

Уводячи нові позначення, одержимо, що:

;

,

де перший доданок визначає ефект впливу й не залежить від початкових умов, а другий доданок, навпаки, залежить від початкових умов і не залежить від впливу.

3.Передатна функція. Її властивості.

Особливе положення займає відношення

що, являється відношенням перетворення виходу до входу при нульових початкових умовах:

- передатна функція лінійної динамічної системи із зосередженими параметрами (стаціонарна).

Якщо рішення отримане в операторной формі у вигляді (34), то застосовуючи зворотне перетворення Лапласа до   одержимо рішення рівняння в області речовинної змінної, тобто.

.

Властивості передатної функції динамічної системи

Ці властивості справедливі для систем стійких із зосередженими параметрами.

1.Передатна функція  або являють собою дрібно-раціональну функцію, причому порядок m чисельника не перевищує порядок n знаменника.

2.Всі коефіцієнти  речовинні.

3.Нематеріальні нулі й полюси передатної функції можуть бути лише комплексно-спряженні.

4.Всі полюсы передатної функції розташовані в лівій напівплощині комплексного змінного (умова стійкості).

Контрольні питання

1. Лінійні динамічні системи.

2.Диференційне рівняння системи.

3.Передатна функція. Її властивості.

Список літератури.

1. Іванов А.А. Теория автоматического управления и регулирования. М.: издательство «Недра», 1970, с. 252.

2. Я.З. Цыпкин «Основы теории автоматических систем». М.: «Наука», 1977, с. 560.

3. Фельдбаум А.А., Теоретические основы связи и управления. М.: «Наука», 1963, с. 240.

4. Понтрягин А.С., Математическая теория оптимальных процессов. М.: «Наука», 1961, с. 320.

5. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: «Наука», 1975, с. 345.

6. Перегудовидр Ф.И. Информационные системы для руководителей. М.: Финансы и статистика, 1992, с. 168.


Система

(t)

y(t)

f(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77525. ИЗГИБАЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ПО НОРМАЛЬНЫМ СЕЧЕНИЯМ 1.73 MB
  По конструктивной схеме железобетонные перекрытия разделяют на две основные группы: балочные перекрытия безбалочные перекрытия. Балочные перекрытия содержат балки идущие в одном или двух направлениях и опирающиеся на них плиты или панели рис. Монолитное ребристое перекрытие с балочными плитами а внешний вид перекрытия с главными балками...
77526. Уход за больными с разными формами недержания мочи 58.5 KB
  Само по себе недержание мочи казалось бы не такая опасная и грозная болезнь как например инфаркт инсульт онкологические заболевания и т. Что же представляет собой нормальный отток мочи Моча образуется в почках которые фильтруют жидкую часть крови захватывая ненужные организму вещества или шлаки а иногда и нужные но избыточные. Объем выделяемой мочи и частота мочеиспусканий у каждого человека индивидуальны и очень тонко регулируются нервной системой и железами внутренней секреции щитовидная железа надпочечники и др.
77527. Уход за пациентами с пролежнями 41 KB
  В стадии некротических изменений и нагноения II стадия происходит некроз кожи и подлежащих тканей клетчатки фасции и др. обычно развивается влажная гангрена с прогрессирующим некрозом окружающих...
77528. Термометрия: лихорадка, типы, периоды 140 KB
  Общие правила измерения температуры тела Температурная кривая объективно отражает течение заболевания помогает глубже определить тяжесть состояния больного эффективность проводимого лечения точнее судить о сроках выздоровления больного.Необходимо строго соблюдать методику измерения температуры тела. Место измерения температуры тела определяют в зависимости от характера заболевания. При заболеваниях прямой кишки поносах или запорах такой способ измерения температуры неприемлем.
77529. Простейшие физиотерапевтические процедуры постановка банок, горчичников, пузыря со льдом, грелки, компресса, гирудотерапия 239 KB
  Кроме того в целом физиотерапевтические процедуры оказывают общеукрепляющий эффект улучшают сон повышают настроение. Применение холода Суть холодовой процедуры компресс пузырь со льдом заключается в местном охлаждении участка тела что вызывает сужение кровеносных сосудов кожи и соответствующих близлежащих внутренних органов. Цели холодовой процедуры: Ограничение воспаления.
77530. Особенности ухода за пациентами пожилого и старческого возраста 92 KB
  Активность участие пожилых и старых людей в профессиональной общественной жизни стали необходимыми для большинства людей переступивших пенсионный возраст. В специальной литературе все чаще подчеркивается различие между хронологическим и биологическим возрастом высказывается мнение о возможности деления людей одного и того же возраста на молодых старых и старых старых основываясь на состоянии здоровья и социальных показателях. У пожилых и тем более старых людей снижается частота сердечных сокращений в состоянии покоя.
77531. Фреймовое представление знаний 1.36 MB
  Термин фрейм frme рамка остов каркас предложен в 1975 г. Фрейм это единица представления знаний заполненная в прошлом детали которой могут быть изменены согласно текущей ситуации т. Получается что фрейм это абстрактный образ объект или ситуация.
77532. Экспертные системы. Приобретение (извлечение) знаний 255.5 KB
  В экспертных системах знания отделены от данных и мощность ЭС обусловлена в первую очередь мощностью базы знаний и только во вторую очередь используемыми методами решения задач. системы функциональные возможности которых являются в первую очередь следствием их наращиваемой базы знаний БЗ и только во вторую очередь определяется используемыми методами принятия решения. Правильное функционирование ЭС как систем основанных на знаниях зависит от качества и количества знаний хранимых в их БЗ. Поэтому приобретение знаний для ЭС является очень...
77533. Нечеткая логика: история проблемы, практические приложения 1.22 MB
  Для этого значения степень принадлежности физической величины к терму будет равна единице а для всех остальных значений в зависимости от выбранной функции принадлежности. Здесь необходимо описать лингвистические переменные которые вы будете использовать; их функции принадлежности; описать стратегию управления посредством нечетких правил которые вы сможете объединить в единую базу правил или знаний о системе. Другими словами множество А образуют такие объекты элементы для которых указанная выше функция называемая функцией...