17160

Лінійні динамічні системи. Диференційне рівняння системи. Передатна функція. Її властивості

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекція 2.Тема. Лінійні динамічні системи. Диференційне рівняння системи. Передатна функція. Її властивості. План 1. Лінійні динамічні системи. 2.Диференційне рівняння системи. 3.Передатна функція. Її властивості. Лінійні динамічні системи. Динамічн...

Украинкский

2013-06-29

70 KB

16 чел.

Лекція 2.Тема. Лінійні динамічні системи. Диференційне рівняння системи. Передатна   функція. Її властивості.

План

1. Лінійні динамічні системи.

2.Диференційне рівняння системи.

3.Передатна функція. Її властивості.

  1.  Лінійні динамічні системи.

Динамічна система - система, що описується лінійними й нелінійними диференціальними рівняннями високого  порядку.

У самому загальному виді зв'язок між входом і виходом динамічної системи можна представити у вигляді:

х(t) – вихідна векторна величина, y(t) – вхідна векторна величина (функція часу), А – оператор системи, встановлюючий відповідності (однозначні) між входом y(t) й виходом x(t) і трактуемый у самому широкому змісті, тобто буквою А позначається вся сукупність математичних дій, які потрібно зробити, щоб по даній вхідній функції y(t) знайти результат – вихідну функцію x(t).

Оператор системи є повною, вичерпною характеристикою. При цьому поняттям оператора поєднуються будь-які математичні дії: всі алгебраїчні дії, диференціювання, інтегрування, зрушення в часі, рішення диференціальних, інтегральних алгебраїчних і будь-яких інших функціональних рівнянь, а також будь-які логічні дії (тобто виконувати досить складні алгоритми).

Задати оператор системи - це означає задати сукупність (програму) дій, які треба здійснити над вхідною функцією, щоб одержати вихідну функцію. Оператор А називається лінійним, якщо при будь-яких n, с1, …, сn і при будь-яких функціях y1(t), …, yn(t) справедливо:

Динамічна система називається лінійної, якщо її оператор лінійний.

Властивість лінійних систем, виражена співвідношенням (*) називається принципом суперпозиції. Для того, щоб система була, таким чином, лінійної необхідно й досить:

1.Сумі будь-яких двох вхідних збурювань відповідає сума двох вихідних змінних:

2.При будь-якім посиленні вхідного збурювання без зміни його форми (масштабне по осі ординат зміна) вихідна змінна перетерплює точно таке ж посилення, також не змінюючись за формою:

Підкреслимо, що для лінійності системи необхідно, щоб принцип суперпозиції дотримувався при будь-якім числі доданків, при будь-якому виборі величини з? і функцій y?(t). Прикладами лінійних операторів є

,

інтегральний оператор

більше загальний интегро-дифференциальный оператор

До лінійному інтегральному або интегро-дифференциальному оператора приводиться оператор рішення довільного звичайного диференціального рівняння:

Зі справедливості принципу суперпозиції для лінійних систем при будь-якім числі доданків і будь-якому виборі функцій y?(t) і чисел з? треба, що він застосовний не тільки до сум, але й до інтегралів, тобто

де індекс t в оператора А показує, що цей оператор діє над функцією аргументу t, а розглядається як фіксований параметр.

Співвідношення (**) позначає принцип суперпозиції в інтегральній формі.

Принцип суперпозиції дає можливість виразити реакцію лінійної системи на будь-яке збурювання через її реакцію на певний вид елементарних збурювань. Для цього досить розкласти довільне збурювання y(t) на елементарні збурювання обраного типу. Тоді, знаючи реакцію лінійної системи на елементарне збурювання, можна за допомогою принципу суперпозиції визначити її реакцію на довільне збурювання.

2.Диференційне рівняння системи.

Опис лінійних систем здійснюється у формі диференціального рівняння:

y(t) – вхід (іноді пишуть  f(t));

x(t) – вихід динамічної системи.

Розглянемо рівняння динамічної системи у вигляді:

(1)

Застосуємо до правої й лівої частин перетворення Лапласа:

…………………………………………………………………………

Підсумовуючи,одержимо:

,

Де - цілком залежить від початкових умов і при нульових початкових умовах звертається в нуль.

Аналогічно можна одержати для правої частини:

.

Уводячи нові позначення, одержимо, що:

;

,

де перший доданок визначає ефект впливу й не залежить від початкових умов, а другий доданок, навпаки, залежить від початкових умов і не залежить від впливу.

3.Передатна функція. Її властивості.

Особливе положення займає відношення

що, являється відношенням перетворення виходу до входу при нульових початкових умовах:

- передатна функція лінійної динамічної системи із зосередженими параметрами (стаціонарна).

Якщо рішення отримане в операторной формі у вигляді (34), то застосовуючи зворотне перетворення Лапласа до   одержимо рішення рівняння в області речовинної змінної, тобто.

.

Властивості передатної функції динамічної системи

Ці властивості справедливі для систем стійких із зосередженими параметрами.

1.Передатна функція  або являють собою дрібно-раціональну функцію, причому порядок m чисельника не перевищує порядок n знаменника.

2.Всі коефіцієнти  речовинні.

3.Нематеріальні нулі й полюси передатної функції можуть бути лише комплексно-спряженні.

4.Всі полюсы передатної функції розташовані в лівій напівплощині комплексного змінного (умова стійкості).

Контрольні питання

1. Лінійні динамічні системи.

2.Диференційне рівняння системи.

3.Передатна функція. Її властивості.

Список літератури.

1. Іванов А.А. Теория автоматического управления и регулирования. М.: издательство «Недра», 1970, с. 252.

2. Я.З. Цыпкин «Основы теории автоматических систем». М.: «Наука», 1977, с. 560.

3. Фельдбаум А.А., Теоретические основы связи и управления. М.: «Наука», 1963, с. 240.

4. Понтрягин А.С., Математическая теория оптимальных процессов. М.: «Наука», 1961, с. 320.

5. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: «Наука», 1975, с. 345.

6. Перегудовидр Ф.И. Информационные системы для руководителей. М.: Финансы и статистика, 1992, с. 168.


Система

(t)

y(t)

f(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5037. Предмет, методы и функции региональной экономики 387 KB
  Предмет, методы и функции региональной экономики. Регионоведение — область научных знаний, изучающая территориальную организацию хозяйства. Предметом регионоведения являются экономические районы всех уровней — экономические зоны, укрупнен...
5038. Исследование линейных резистивных цепей 75.5 KB
  Исследование линейных резистивных цепей Цель работы: экспериментальное исследование линейных разветвлённых резистивных цепей с использованием методов наложения, эквивалентного источника и принципа взаимности. В работе исследуется резистивная цепь с...
5039. Проектирование металлорежущих инструментов. Проектирование круглого радиального фасонного резца 618.5 KB
  Проектирование круглого радиального фасонного резца Назначение фасонных резцов Фасонный резец - инструмент, предназначенный главным образом для использования в условиях серийного и массового производств, где все больший удельный вес приобрет...
5040. Измерение длины волны излучения лазера интерференционным методом 138 KB
  Измерение длины волны излучения лазера интерференционным методом Цель работы: ознакомиться с принципами работы лазеров измерить длину волны излучения лазера и сравнить спектры его индуцированного и спонтанного излучений. Приборы и принадлежности: г...
5041. Определение длин волн излучения источников дискретного и непрерывного спектров 187 KB
  Определение длин волн излучения источников дискретного и непрерывного спектров Цель работы: градуировка спектроскопа по известному спектру неона, определение длин волн в спектре паров ртути и границ видимого спектра лампы накаливания. Приборы и прин...
5042. Исследование статических характеристик полупроводниковых диодов 129.5 KB
  Исследование статических характеристик полупроводниковых диодов. Цель работы Изучить устройство полупроводникового диода, физические процессы, происходящие в нем, характеристики, параметры, а также типы и применение полупроводниковых диодов...
5043. Кинематический анализ и синтез плоских рычажных, рычажных, кулачковых и зубчатых механизмов 509.5 KB
  Структурный анализ механизма. Число степеней свободы механизма определяем по формуле П. Л. Чебышева. где n- число подвижных звеньев механизма, p5- число кинематических пар пятого класса, p4- число Кинематических пар четвертого класса. В ...
5044. Изучение структуры углеродистых сталей после различных видов термической обработки 94 KB
  Изучение структуры углеродистых сталей после различных видов термической обработки Цель работы - изучение влияния закалки и отпуска на структуру и свойства углеродистых сталей. Оборудование, оснастка, приборы: электрические камерные печи...
5045. Определение длины световой волны при помощи дифракционной решетки 111.5 KB
  Определение длины световой волны при помощи дифракционной решётки Цель работы: определение с помощью дифракционной решётки длины световых волн в различных частях видимого спектра. Приборы и принадлежности: дифракционная решётка плоская шкала со щел...