17162

Поняття та умови стійкості. Критерій стійкості Михайлова, Гурвіца

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекція 4. Тема. Поняття та умови стійкості. Критерій стійкості Михайлова Гурвіца. План 1. Поняття та умови стійкості. 2. Критерій стійкості Михайлова 3. Критерій стійкості Гурвіца. У процесі роботи системи автоматичного регулювання піддаються різним впливам щ

Украинкский

2013-06-29

79.5 KB

8 чел.

Лекція 4. Тема. Поняття та умови стійкості. Критерій стійкості Михайлова, Гурвіца.

План

1. Поняття та умови стійкості.

2. Критерій стійкості Михайлова

3. Критерій стійкості Гурвіца.

У процесі роботи системи автоматичного регулювання піддаються різним  впливам, що обурюють, які виводять систему зі сталого режиму, зі стану рівноваги й відхиляють регульовану величину від заданого значення. Регулятор прагне привести регульовану величину до заданого значення. Перехід систем з одного стану в інше внаслідок мас, ємностей і т.п. не може відбутися миттєво. У результаті  впливів, що обурюють, і наступних за ними впливів, що відновлюють, регулятора в системі виникають перехідні процеси.

Перехідний процес - це зміна в часі регульованої величини з моменту додатка впливу до початку сталого процесу.

Перехідний процес має дві складові: змушена, котра визначається характером зовнішнього впливу; власна складова, що залежить тільки від параметрів системи автоматичного регулювання.

Сталої називається такий процес, коли власна складова перехідного процесу повністю загасає й залишається тільки змушена складова.

Види процесів і систем регулювання:

1. Регульована величина, що у результаті  впливу, що обурює, відхилилася від заданого значення, із часом під впливом регулятора вертається до заданого значення з точністю, що відповідає статичної погрішності регулятора. Такий процес називається збіжної, а система регулювання - стійкої.

2. Регульована величина, що у результаті  впливів, що обурюють, відхилилася від заданого значення, із часом під впливом регулятора не наближається, а теоретично безмежно віддаляється від заданого значення аперіодично або з коливаннями, амплітуда яких безупинно зростає. Такий процес називається розбіжної, а система нестійкої.

3. Регульована величина, що у результаті  впливу, що обурює, відхилилася від заданого значення, із часом під впливом регулятора до сталого процесу не вертається, а робить незатухаючі коливання з амплітудою, що залежить від початкових умов. Такий процес називається коливальним, а система -    стійкості, що перебуває на границі.

Нестійкі системи практично непридатні, тому виникає необхідність досліджувати системи на стійкість.

1.Критерій стійкості.

Було показано, що необхідною й достатньою умовою стійкості системи (деякого класу) є заперечність дійсних частин всіх корінь   характеристичного рівняння. Якщо зображувати ці крапки на комплексній площині, то необхідна й достатня умова стійкості, мабуть, полягає в тім, щоб всіх корінь були розташовані в лівій частині комплексної площини.

Отже, дослідження стійкості системи зводиться до знаходження знаків дійсних частин корінь характеристичного рівняння або, до визначення розташування цих корінь на комплексній площині.

Рівняння ступенів більше четвертої не мають загальних виражень для корінь. Тому важливого значення набувають правила, які дозволяють досліджувати стійкість системи, минаючи обчислення корінь. За допомогою цих правил, називаних критеріями стійкості, не тільки встановлюють, стійка  чи система ні, але й з'ясовують вплив тих або інших параметрів і структурних змін у системі на стійкість.

Математично форми критеріїв стійкості еквівалентні, тому що всі вони визначають умови, при яких коріння характеристичного рівняння лежать у лівій частині комплексної площини.

Принцип аргументу.

Якщо мероморфна в області, обмеженої простим замкнутим контуром С и на ньому, і якщо  не має на цьому контурі нулів і полюсів, то різниця між числом нулів і полюсів (з урахуванням їх кратності) функції , лежачих усередині З, дорівнює повному числу оборотів навколо нуля, чинених крапкою , коли z описує контур С у позитивному напрямкуполюсов функции)                                часовой стрелки.  

 

2.Критерій стійкості Михайлова

Нехай система має характеристичне рівняння виду:

Як  замкнутий контур З, про яке говориться в принципі аргументу, виберемо контур, що складається з півкола нескінченно великого радіуса, розташованої в правій напівплощині й мнимій осі. Якщо виявиться, що усередині цього контуру функція  не має нулів, то всі коріння характеристичного рівняння будуть мати негативні речовинні частини й, отже, система буде стійкою.

Таким чином, можна сформулювати як наслідок принципу аргументу наступний критерій:

Динамічна система стійка, якщо при обході крапкою S замкнутого контура С,   нескінченно великого радіуса, що складається з півкола, розташованої в правій напівплощині й мнимій осі комплексного змінного S, число оборотів вектора D(s), відповідної лівої частини характеристичного рівняння системи, навколо початку координат на площині D, дорівнює нулю.

Видозмінимо формулювання критерію. Будемо спочатку змінювати S уздовж півкола  б.б. радиуса.

Заменим: .

.

Якщо , то есть  - досить велико, то модулі всіх доданків, починаючи із другого, на порядок менше модулів першого доданка. У цьому випадку кут повороту комплексного вектора D(s) визначається кутом повороту першого що складає, а тому досить у розкладанні обмежитися лише першим членом..

З вираження  видно, що при обході  модуль залишається незмінним, а  здобуває збільшення π.

Тоді й вектор D(s) повернеться на кут  або т.е.  раз обернеться в цьому ж напрямку навколо початку координат.

Але тому що відповідно до сформульованого критерію при зміні S от  до , а потім по  кут повороту (сумарний) повинен бути дорівнює нулю (для стійкої системи), те:

Для того, щоб система з постійними параметрами була стійка, необхідно й досить, щоб при зміні S мнимої осі від  до  число оборотів вектора D по годинній стрілці рівнялося , де - порядок характеристичного рівняння.З огляду на, що (*- сполучене комплексне число) і змінюючи  не от до 0, а от 0 до , приходимо до наступного критерію Михайлова:

Для стійкості динамічної системи з постійними параметрами необхідно й досить, щоб при зміні  від 0 до  крива, описувана кінцем вектора , проходила проти вартовий стрілки через n квадрантів, де n - порядок характеристичного рівняння.

3. Критерій стійкості Гурвіца.

Характеристичне рівняння системи:  , де .

Критерій Гурвіца: для того, щоб корні характеристичного рівняння системи мали негативні дійсні частини , необхідно і достатньо, щоб його головний визначник і всі діагональні мінори були невід’ємні.

Правило побудови головного визначника характеристичного рівняння: по головній діагоналі записати коефіцієнти рівняння з  по ; дописати стовпці вгору коефіцієнтами зі спадаючими індексами від написаного, вниз – зі зростаючими індексами; елементи, яких не вистачає, дописати нулями.

Контрольні питання

1 Поняття та умови стійкості.

2.Критерій стійкості Михайлова

3. Критерій стійкості Гурвіца.

Список літератури.

1. Іванов А.А. Теория автоматического управления и регулирования. М.: издательство «Недра», 1970, с. 252.

2. Я.З. Цыпкин «Основы теории автоматических систем». М.: «Наука», 1977, с. 560.

3. Фельдбаум А.А., Теоретические основы связи и управления. М.: «Наука», 1963, с. 240.

4. Понтрягин А.С., Математическая теория оптимальных процессов. М.: «Наука», 1961, с. 320.

5. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: «Наука», 1975, с. 345.

6. Перегудовидр Ф.И. Информационные системы для руководителей. М.: Финансы и статистика, 1992, с. 168.


Вектор проходить 2 повних обороти навколо початку координат проти
годинникової стрілки

=5 (хрестиків - нулів функції)

P=3 (кружечків - полюсів функції)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32721. Вивчення універсального вимірювача Е7-11 при вимірюваннях індуктивності, ємності, опору, тангенса кута втрат й добротності елементів 404.5 KB
  Вивчення універсального вимірювача Е7-11 при вимірюваннях індуктивності, ємності, опору, тангенса кута втрат й добротності елементів.
32722. Реальные газы. Силы и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия. Уравнение Ван-дер-Ваальса 44.5 KB
  Реальные газы Как известно уравнение состояния устанавливает функциональную связь между давлением Р объемом V температурой T и числом молей газа в состоянии равновесия. Самым простым и известным уравнением состояния является уравнение состояния идеального газа: 7.1 Реальные газы описываются уравнением состояния идеального газа только приближенно и отклонения от идеального поведения становятся заметными при высоких давлениях и низких температурах особенно когда газ близок к конденсации. Предпринималось много попыток для...
32723. Изотермы Ван-дер-Ваальса и их сопоставление с реальными изотермами. Критическая температура. Внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса 81 KB
  Изотермы ВандерВаальса и их сопоставление с реальными изотермами. Внутренняя энергия газа ВандерВаальса. Изотермы ВандерВаальса Проанализируем изотермы уравнения ВандерВаальса зависимости Р от V для реального газа при постоянной температуре. Умножив уравнение ВандерВаальса на V 2 и раскрыв скобки получаем PV 3 RT bP vV 2 v2V bv3 = 0.
32724. Тепловые явления при низких температурах. Третье начало термодинамики 40.5 KB
  Расчет абсолютной энтропии Рассчитаем изменение энтропии некоторой системы при нагревании её от абсолютного нуля до температуры T при постоянном давлении. При нагревании вещества возможен его переход в жидкое и затем в газообразное состояние; для фазовых переходов происходящих в изобарноизотермических условиях изменение энтропии равно приведенной теплоте фазового перехода: I.65 Таким образом нагревание вещества без фазовых переходов сопровождается непрерывным ростом энтропии; при фазовом переходе происходит...
32725. Понятие фазы. Фазовые переходы 1 и 2 рода. Фазовые диаграммы. Тройная точка 57 KB
  Понятие фазы. В однокомпонентной системе разные фазы могут быть представлены различными агрегатными состояниями или разными полиморфными модификациями вещества. В многокомпонентной системе фазы могут иметь различный состав и структуру. Основные понятия Газ всегда состоит из одной фазы жидкость может состоять из нескольких жидких фаз разного состава Ликвация жидкостная несмешиваемость но двух разных жидкостей одного состава в равновесии сосуществовать не может.
32726. Материальная точка. Абсолютно твёрдое тело. Система отсчёта 27.5 KB
  Система отсчёта. Системы отсчёта. Для определения координат материальной точки следует прежде всего выбрать тело отсчёта и связать с ним систему координат. Для определения положения материальной точки в любой момент времени необходимо также задать начало отсчёта времени.
32727. Кинематика точки. Путь. Перемещение. Скорость и ускорение. Их проекции на координатные оси. Вычисление пройденного пути. Средние значения 28.5 KB
  Скорость и ускорение. Скорость векторная физическая величина характеризующая быстроту перемещения тела численно равная отношению перемещения за малый промежуток времени к величине этого промежутка. Промежуток времени считается достаточно малым если скорость при неравномерном движении в течение этого промежутка не менялась. Измеряют скорость спидометром.
32728. Скорость и ускорение при криволинейном движении. Тангенциальное и нормальное ускорения 37 KB
  Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции vxи vy ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времени t определяется по формулам vx=v0xxt x=x0v0xtxtxt2 2; vy=v0yyt y=y0v0ytyt2 2 Частным случаем криволинейного движения является движение по окружности. Движение по окружности даже равномерное всегда есть движение...
32729. Кинематика твёрдого тела. Вращение вокруг неподвижной оси. Угловые скорость и ускорения. Связь между угловыми и линейными скоростями и ускорениями 39 KB
  Кинематика твёрдого тела. Движение тела может быть как поступательным так и вращательным. При поступательном движении все точки твердого тела за один и тот же промежуток времени совершают равные по величине и направлению перемещения. Следовательно скорости и ускорения всех точек тела в любой момент времени также одинаковы.