17162

Поняття та умови стійкості. Критерій стійкості Михайлова, Гурвіца

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Лекція 4. Тема. Поняття та умови стійкості. Критерій стійкості Михайлова Гурвіца. План 1. Поняття та умови стійкості. 2. Критерій стійкості Михайлова 3. Критерій стійкості Гурвіца. У процесі роботи системи автоматичного регулювання піддаються різним впливам щ

Украинкский

2013-06-29

79.5 KB

8 чел.

Лекція 4. Тема. Поняття та умови стійкості. Критерій стійкості Михайлова, Гурвіца.

План

1. Поняття та умови стійкості.

2. Критерій стійкості Михайлова

3. Критерій стійкості Гурвіца.

У процесі роботи системи автоматичного регулювання піддаються різним  впливам, що обурюють, які виводять систему зі сталого режиму, зі стану рівноваги й відхиляють регульовану величину від заданого значення. Регулятор прагне привести регульовану величину до заданого значення. Перехід систем з одного стану в інше внаслідок мас, ємностей і т.п. не може відбутися миттєво. У результаті  впливів, що обурюють, і наступних за ними впливів, що відновлюють, регулятора в системі виникають перехідні процеси.

Перехідний процес - це зміна в часі регульованої величини з моменту додатка впливу до початку сталого процесу.

Перехідний процес має дві складові: змушена, котра визначається характером зовнішнього впливу; власна складова, що залежить тільки від параметрів системи автоматичного регулювання.

Сталої називається такий процес, коли власна складова перехідного процесу повністю загасає й залишається тільки змушена складова.

Види процесів і систем регулювання:

1. Регульована величина, що у результаті  впливу, що обурює, відхилилася від заданого значення, із часом під впливом регулятора вертається до заданого значення з точністю, що відповідає статичної погрішності регулятора. Такий процес називається збіжної, а система регулювання - стійкої.

2. Регульована величина, що у результаті  впливів, що обурюють, відхилилася від заданого значення, із часом під впливом регулятора не наближається, а теоретично безмежно віддаляється від заданого значення аперіодично або з коливаннями, амплітуда яких безупинно зростає. Такий процес називається розбіжної, а система нестійкої.

3. Регульована величина, що у результаті  впливу, що обурює, відхилилася від заданого значення, із часом під впливом регулятора до сталого процесу не вертається, а робить незатухаючі коливання з амплітудою, що залежить від початкових умов. Такий процес називається коливальним, а система -    стійкості, що перебуває на границі.

Нестійкі системи практично непридатні, тому виникає необхідність досліджувати системи на стійкість.

1.Критерій стійкості.

Було показано, що необхідною й достатньою умовою стійкості системи (деякого класу) є заперечність дійсних частин всіх корінь   характеристичного рівняння. Якщо зображувати ці крапки на комплексній площині, то необхідна й достатня умова стійкості, мабуть, полягає в тім, щоб всіх корінь були розташовані в лівій частині комплексної площини.

Отже, дослідження стійкості системи зводиться до знаходження знаків дійсних частин корінь характеристичного рівняння або, до визначення розташування цих корінь на комплексній площині.

Рівняння ступенів більше четвертої не мають загальних виражень для корінь. Тому важливого значення набувають правила, які дозволяють досліджувати стійкість системи, минаючи обчислення корінь. За допомогою цих правил, називаних критеріями стійкості, не тільки встановлюють, стійка  чи система ні, але й з'ясовують вплив тих або інших параметрів і структурних змін у системі на стійкість.

Математично форми критеріїв стійкості еквівалентні, тому що всі вони визначають умови, при яких коріння характеристичного рівняння лежать у лівій частині комплексної площини.

Принцип аргументу.

Якщо мероморфна в області, обмеженої простим замкнутим контуром С и на ньому, і якщо  не має на цьому контурі нулів і полюсів, то різниця між числом нулів і полюсів (з урахуванням їх кратності) функції , лежачих усередині З, дорівнює повному числу оборотів навколо нуля, чинених крапкою , коли z описує контур С у позитивному напрямкуполюсов функции)                                часовой стрелки.  

 

2.Критерій стійкості Михайлова

Нехай система має характеристичне рівняння виду:

Як  замкнутий контур З, про яке говориться в принципі аргументу, виберемо контур, що складається з півкола нескінченно великого радіуса, розташованої в правій напівплощині й мнимій осі. Якщо виявиться, що усередині цього контуру функція  не має нулів, то всі коріння характеристичного рівняння будуть мати негативні речовинні частини й, отже, система буде стійкою.

Таким чином, можна сформулювати як наслідок принципу аргументу наступний критерій:

Динамічна система стійка, якщо при обході крапкою S замкнутого контура С,   нескінченно великого радіуса, що складається з півкола, розташованої в правій напівплощині й мнимій осі комплексного змінного S, число оборотів вектора D(s), відповідної лівої частини характеристичного рівняння системи, навколо початку координат на площині D, дорівнює нулю.

Видозмінимо формулювання критерію. Будемо спочатку змінювати S уздовж півкола  б.б. радиуса.

Заменим: .

.

Якщо , то есть  - досить велико, то модулі всіх доданків, починаючи із другого, на порядок менше модулів першого доданка. У цьому випадку кут повороту комплексного вектора D(s) визначається кутом повороту першого що складає, а тому досить у розкладанні обмежитися лише першим членом..

З вираження  видно, що при обході  модуль залишається незмінним, а  здобуває збільшення π.

Тоді й вектор D(s) повернеться на кут  або т.е.  раз обернеться в цьому ж напрямку навколо початку координат.

Але тому що відповідно до сформульованого критерію при зміні S от  до , а потім по  кут повороту (сумарний) повинен бути дорівнює нулю (для стійкої системи), те:

Для того, щоб система з постійними параметрами була стійка, необхідно й досить, щоб при зміні S мнимої осі від  до  число оборотів вектора D по годинній стрілці рівнялося , де - порядок характеристичного рівняння.З огляду на, що (*- сполучене комплексне число) і змінюючи  не от до 0, а от 0 до , приходимо до наступного критерію Михайлова:

Для стійкості динамічної системи з постійними параметрами необхідно й досить, щоб при зміні  від 0 до  крива, описувана кінцем вектора , проходила проти вартовий стрілки через n квадрантів, де n - порядок характеристичного рівняння.

3. Критерій стійкості Гурвіца.

Характеристичне рівняння системи:  , де .

Критерій Гурвіца: для того, щоб корні характеристичного рівняння системи мали негативні дійсні частини , необхідно і достатньо, щоб його головний визначник і всі діагональні мінори були невід’ємні.

Правило побудови головного визначника характеристичного рівняння: по головній діагоналі записати коефіцієнти рівняння з  по ; дописати стовпці вгору коефіцієнтами зі спадаючими індексами від написаного, вниз – зі зростаючими індексами; елементи, яких не вистачає, дописати нулями.

Контрольні питання

1 Поняття та умови стійкості.

2.Критерій стійкості Михайлова

3. Критерій стійкості Гурвіца.

Список літератури.

1. Іванов А.А. Теория автоматического управления и регулирования. М.: издательство «Недра», 1970, с. 252.

2. Я.З. Цыпкин «Основы теории автоматических систем». М.: «Наука», 1977, с. 560.

3. Фельдбаум А.А., Теоретические основы связи и управления. М.: «Наука», 1963, с. 240.

4. Понтрягин А.С., Математическая теория оптимальных процессов. М.: «Наука», 1961, с. 320.

5. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: «Наука», 1975, с. 345.

6. Перегудовидр Ф.И. Информационные системы для руководителей. М.: Финансы и статистика, 1992, с. 168.


Вектор проходить 2 повних обороти навколо початку координат проти
годинникової стрілки

=5 (хрестиків - нулів функції)

P=3 (кружечків - полюсів функції)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30198. Опытно – экспериментальная работа по теме «Нетрадиционные графические материалы и техники» 105.16 KB
  Суть искусства определяется тем что оно представляет собой наиболее полную и действенную форму эстетического осознания окружающего мира. Задачи исследования: Рассмотреть особенности эстетического воспитания младших школьников в начальных классах общеобразовательной школы. Эстетическое воспитание младших школьников в начальных классах общеобразовательной школы Понятие об эстетическом воспитании Идеи эстетического воспитания зародились в глубокой древности.Представления о сущности эстетического воспитания его задачах цели изменялись...
30199. ВЛИЯНИЕ ПРОДОВОЛЬСТВЕННОГО КРИЗИСА НА ЦЕНЫ И ПОТРЕБЛЕНИЕ ВНУТРИ СТРАНЫ 25.86 KB
  Тогда вслед за экономическим кризисом стали резко расти цены на продовольственные товары. Индекс продовольственных цен на зерновые культуры по оценке ФАО в 2008 году достиг небывалых высот 2378 пунктов рост за 12 месяцев составил 709 пунктов. Многие страны ощутили на себе отрицательные последствия резкого роста цен на зерно однако КНР благодаря своей развитой системе аграрного производства именно зерновых культур а также широкой зерновой базе удалось сгладить или даже избежать подобных последствий.
30200. Моделирование систем управления различного уровня 1.04 MB
  Новшества различного рода проявляют себя в организациях в виде организационной модернизации системы управления, что требует уточнения основных параметров системы, отдельных связей, применение более эффективных методов их реализации, увеличение уровня надежности. Организационная модернизация системы затрагивает уже не только отдельные связи, но и структуру управления, в общем
30201. Общая классификация вторжений и характеристика угроз 136.5 KB
  3] Правовая защита Защита информации Возросший интерес к проблеме защиты информации основан на объективных процессах создания и сбора информации и информационного обмена. Угроза искажения информации существует в любой точке сети начиная от места ввода в сеть сообщения и до места его получения. Проблемы защиты информации затрагивают различные аспекты ее представления хранения и обработки а также вопросы выбора и реализации средств защиты.
30202. Налоги и налогообложение. Методические указания по выполнению аналитической части дипломной работы 60.5 KB
  Содержание и оформление разделов основной части ВКР По структуре дипломная работа должна состоять из следующих разделов: Введение; Теоретическая часть работы; Практическая часть работы; Заключение. В общем виде ВКР включает пояснительную записку и иллюстрационные плакаты. II раздел баланса стр. 220 стр.
30203. Анализ пожарной опасности медицинских учреждений 623 KB
  Анализ зарегистрированных крупных пожаров в медицинских учреждениях показал что при пожарах в этих зданиях создается сложная обстановка для пожаротушения поэтому требуется разработка комплекса мероприятий по противопожарной защите. В профилактической работе ГПС важно не только предупреждение пожаров но и создание условий для их локализации. Знание условий распространения пожара позволяет заранее предусмотреть эффективные решения пожарной безопасности для предупреждения крупных пожаров.
30204. Состояние и пути совершенствования технологии производства молока в ООО «Бебелево» Ферзиковского района Калужской области 44.5 KB
  Выпускная квалификационная работа бакалаврская работа изложена на 77 страницах компьютерного набора состоит из введения пяти разделов характеристика хозяйства и организационноэкономический анализ хозяйственной деятельности; современное состояние и зоотехническая оценка отраслей животноводства; мероприятия по охране труда животноводов и охране природы; работа в условиях радиоактивного загрязнения местности; экспериментальное исследование по теме выводов и предложений списка использованной литературы; содержит 28 таблиц. Состояние...
30205. РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОГО ТЕСТИРОВАНИЯ 1.67 MB
  Обследование объекта и обоснование необходимости систем компьютерного тестирования. Очень актуальным становится использование школами различных систем компьютерного тестирования. Объектом исследования является системы компьютерного тестирования используемые для контроля знаний.
30206. Изучение туристских ресурсов на территории Аргентины 923.5 KB
  Эта латиноамериканская страна становилась чемпионом Кубка мира дважды в 1978 а также в 1986 годах и такая знаменитая личность конечно после Че Гевары как Диего Марадонна обеспечивает загруженность поклонникам футбола и журналистам уже последние 10 лет. Временный поверенный в делах Аргентины в России Маркос Беднарски недавно сообщал журналистам что в 2007 году число российских туристов посетивших Аргентину выросло на 10. Лист № докум. Подпись Дата Лист 2 МОГКТЭП 100401 ПЗ ДР 15781 зачеткак1212номзачеткизачетки ...