17183

Средние величины. Виды средних и методы их расчета

Лекция

Социология, социальная работа и статистика

Средние величины. Наиболее распространенной формой статистических показателей используемой в социальноэкономических исследованиях является средняя величина представляющая собой обобщенную количественную характеристику признания в статистической совокупнос

Русский

2015-01-19

709.5 KB

3 чел.

Средние величины.

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в социально-экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признания в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из выражающих признаков.

Важнейшее свойство средней заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Средняя величина будет типичной только тогда, когда она будет рассчитана по качественно однородной совокупности.

Например используя для расчета средние величины доходов: служащих государственных, совместных предприятий, наука, культура и т.п., является крайне неоднородной.

В этом и других случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок: если совокупность не однородна – общее среднее должны быть занесены или дополнены групповыми средними, т.е. средними, рассчитанными по по качественно однородным группам.

Виды средних и методы их расчета.

В практике статистической обработки материала возникают различные  задачи, имеются особенности изучаемых явлений и поэтому для их решения требуются различные средние.

Математическая статистика выводит различные средние из формул степенной средней:

=                    =

При  Z =  1 ср. арифметическая

        Z = 0  ср. геометрическая

        Z =-1  ср. гармоническая

        Z =2    ср. квадратическая

Однако вопрос о том, какой вид средней необходимо применить в отдельном случае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности  введем следующие понятия:

1 признак по которому находится средняя называется осредняемым признаком ()

2 величина осредняемого признака у каждой единицы совокупности называется индивидуальным значением осредняемого признака или вариантами (х; х2; х3….хn)

3 Чаcтота – это повторяемость индивидуальных  значений признака (f)

Средняя арифметическая – распространенная. Она исчисляется в тех случаях, когда  объем определяемого признака   образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется следующим образом:

   1 Н-р  Найти средний стаж работы 10 работников: 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4, т.е. даны одиночные значения

                        = =(6+5+4+3+3+4+5+4+5+4)/10 = 43/10 = 4,3года

  1.  Когда значение признака встречается несколько раз.

Средня взвешенная   арифметическая   

=       или         =          

                  

Пример расчета

 

Взвешенная дискретная

Взвешенная интервальная

Оценки, получаемые на экзамене по математике

Число неявок на занятия

оценки

Кол-во студентов

Группы по числу неявок

Число студентов

2

3

4

5

1

2

10

7

интервальный

дискретный

До5

6-10

11-15

16-20

>20

8-5=3

8

5

3

1

3

8

5

3

1

Итого:

20

Итого:

20

= (2*1+3*2+4*10+5*7)/20=83/20 = 4.15

 

=3*3+8*8+13*5+18*3+23/20 = 215/20=10.75

Свойства средней арифметической

П-р         Продажа акций АО «Дока хлеб» на торгах фондовой секции      ТБМ «Гермес»

Сумма

Кол-во проданных акций,  шт.

Курс продажи, руб.

1

500

1080

2

300

1050

3

1100

1145

 

1 средняя арифметическая из постоянных чисел равна этому постоянному числу

Если     х = а.   Тогда     =

2 Если веса всех вариантов пропорционально изменить, т.е. увеличить или уменьшить в одно Ито же число, то   нового ряда от этого не изменится.

Уменьшатся все f в к раз.

=

= 1112.89=1112.9

  1.  Сумма положительных и отрицательных отклонений  отдельных вариантов от средней, умноженных на веса, равна 0, т.е.

из-за  округления.

4   Если все варианты уменьшить или увеличить на какое- либо число, то среднее арифметическое нового ряда уменьшится или увеличится на столько же.

X1 = x-a

Курс продажи увеличился в 1,5 раза, т.е. на 50%

5Если все варианты уменьшить или увеличить в к раз, то среднее арифметическое нового ряда уменьшится или увеличится во столько же, т.е. в к раз

Пусть

Отсюда    в полтора раза

иногда роль частот при исчислении средней играет частота (w) . Посчитаем частоты во втором примере

W, % 15; 40; 25; 15; 5;

Средняя гармоническая.

Это величина обратная средней арифметической, когда z=-1.

Когда статистическая информация не содержит частот  по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, применяется  средне гармоническая взвешенная.

Н-р,  расчет средней цены

Средняя цена =

Город

Цена, руб. хi

реализации т.р.Wi

Частоты

fi =

А

30

600

20

Б

20

1000

50

В

35

350

10

Итого:

1950

80

Известны:

1 реализации

2 Цена Найти: Кол-во реализованных единиц.

Неверный путь.

простая

Где     - сумма обратных значений вариант

n – число вариант  M=fx

Применение: для расчета некоторых индексов, в частности индекса  цен.

Средняя геометрическая – это величина, используемая как средняя из отношений или в рядах распределения, представленных в виде  геометрической прогрессии         Z=0  

т.е. прямой подставленной средняя не выводится.
n – число вариант

Пример

Доходы населения России представлены табл.

1985г.

244,7 млрд.

1986г

283,6 млрд.

1987г

264,3 млрд.

1988г

287,2 млрд.

1989г

324,6 млрд.

1990 г

384,7 млрд.

Рассчитать средне годовой доход населения

Решение

1 найдем цепные Тр

1985г

1986г 253,6/244,7 =1,04

1987г 264,3/253,6 =1,04

1988г 1,09

1989г 1,13

1990г 1,18

Этой средней удобно пользоваться, когда уделяется внимание не абсолютным разностям, а отношением двух чисел. Поэтому ср. геометрическая используется в расчетах ср. годовых темпов роста.

  простая

взвешенная

где  х – вариант осредняемого критерия

П – произведение вариантов

 f – частота вариантов

                          Средняя квадратичная.

Z=2

=

В экономических исследованиях ср. квад. в измененном виде широко используется для характеристики вариации признака (дисперсия, среднее квадратическое отклонение).

Между степенными средними существует следующая зависимость: чем больше показатель степени, тем > значение средней.

Значение к

-1

0

1

2

и т.д.

Отношение м\у сред

    <

    <

   <

    <

и т.д.

Соотношение это называется правилом мажорантности.

Формула ср. арифметической взвешенной

m1i+A , где     m1=

Средняя m1 из значений  называется моментом 1 порядка, а способ вычисления средней – способом моментов. Иногда его называют способом отсчета от условного нуля.

Расчет среднего арифметического способом « условного нуля ».

 

Валовая продукция, млн. руб

Число пред, %

Середина шт. ед.    х

х - 225

До 50

3

25

-200

-4

-12

50-100

6

75

-150

-3

-18

100-150

10

125

-100

-2

-20

150-200

21

175

-50

-1

-21

200-250

33

225

0

0

0

250-300

18

275

50

1

18

Более 300

9

325

100

2

18

итого

100

-

-

-

-35


Пример на решение задачи с применением свойств средней.

х

f

x*100

х*100-48

f

f/

0,13

200

13

-35

2

-70

0,28

250

28

-20

2,5

-50

0,33

300

33

-15

3

-45

0,48

350

48

0

3,5

0

0,53

300

53

+5

3

15

0,68

200

68

20

2

40

итого

1600

16

-110

    Свойство 1. При увеличении х в 100 раз средняя арифметическая увеличивается в 100 раз.

    Свойство 2. Правило условного нуля.

    Свойство 3.При уменьшении f в 100 раз средняя не меняется.

    

     

Структурные средние величины.

Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые можно назвать структурными средними. К таким показателям относятся мода и медиана.

Модой (Мо) называется чаще всего встречающийся вариант, или модой называется то значение признака, которое соответствует max точке теоретической кривой распределения.

Для дискретных рядов

Для интервальных рядов

Размер обуви

Число купленных пар

f

Стаж(лет)

Число работников

F/

34

35

36

37

38

39

40

2

10

20

88

19

9

2

2

12

32

120

139

148

До 2

2-4

4-6

6-8

8-10

свыше 10

4

23

20

35

11

7

4

27

47

82

93

100

итого

150

итого

100

Мо- это варианта  с наибольшей частотой  Мо= 37,т.к.  fmax =88

Мо приближенно считают центральный вариант модального интервала, т.е., того интервала, который имеет наибольшую частоту (частость). В пределах интервала когда найти то значение признака, который является модой.

Если распределение симметрично, то в качестве моды будет середина модального интервала, ото в том случае, если соседние с модальными, мало отличаются друг от друга. В ряду может использовано мод. Наикратное значение моды для интервального ряда.

Мо= Хмо + hмо      (f мо- fмо-1)

                      (fмо-fмо-1)+(fмо-fмо-1)

Хо+К*      f2-f1 

           (f2-f1)(f2-f3)

Где  хмо   - нижняя граница модального интервала

        hмо - величина модального интервала

        fмо  -частота модального интервала

        fмо-1 – частота предшествующая модальному интервалу  

        fмо+1-частота , интервала, следующегоза модальным.

Модальный интервал от 6-8

Мо= 6+2        35-20          6+   30

                 35-20+35-11 =        39  = 6+0,77=6,77года

Мо применяется:

1 при изучении цен на рынках

2  при изучении спроса населения на определенный товар т.е. мода     характеризует типичность.        

Медиана.

 

Ме называется значение признака у средней единицы ранжированного ряда

Ранжированный ряд -это ряд,  у которого значения признака записаны в порядке возрастания или убывания.

Что бы найти Ме определяется:

1 Порядковый № сумма f четное, то    ; если n-нечетное , то  

2 по накопленной частоте определяем ее значение.

Дискретный ряд

Интервальный

Ме определяется по накопленной частоте и номеру Ме.

 

накопленная частота 120 показывает, что купленных пар не привышают 37 размер, а 32, что 32 пары.

=> 75 пара будет 37р.

где Ме – нужная граница медианного интервала

h- величина медианного интервала

- порядковый № ме  

fме-1- частота (частость) наполненная до медианного интервала .

fме – частота(частость)медианного интервала.

        

Ме находит практическое применение вследствие особого свойства абсолютных отклонений членов ряда от Ме есть величина наименьшая

Ме находит широкое практическое применение в маркетинговой деятельности.

Величины, приходящиеся на ¼ и ¾ расстояния от начала ряда называется нижний квартиль, а ¾ и ¼ верхний квартиль.

Т.е. квартиль это варианты, делящие ряд на 4 равные части.

Дециль- варианты, делящие ранжированный ряд на 10 равных частей

1 дециль 1/10 к 9/10

2 дециль2/10 к 8/10 и т.д.

процентиль – на 100 равных частей.

Соотношение между , Мо и Ме.

1 Если = Мо = Ме, то распределение симметрично, т.е. группа симметрична.

2 Ме <  при небольшой группе с большими числами.

3  <  Ме  при большой концентрации данных и не очень больших числах.

4 Мо < ,  если совокупность неоднородна

5  Мо > ,  если совокупность небольшая и Мо отчетливо выражена.

Все рассмотренные формы  степенной средней обладают важным свойством(в отличие от структурных средних)- в формулу определения средней входят все значения ряда т.е. на размеры средней оказывают влияние значение каждого варианта.

С одной стороны, это весьма положительное свойство т.к. в этом случае учитывается действие всех причин воздействующих на все единицы изучаемой совокупности.

С другой стороны, даже одно наблюдение попавшее в исходные данные случайно может существенным образом исказить представление об уровне развития изучаемого признака в рассматриваемой совокупности.

Особенно большое значение это имеет для коротких рядов.

Квартили и децили.

По аналогии с нахождением медиан в  вариационных рядах можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Так в частности можно найти значение у единиц делящих ряд на 4 равные части на 10 и т.п.

Варианты, которые делят ранжированный ряд на 4, называют квартилями.

При этом различают: нижний (или первый) квартиль (Q1) – значение признака у единицы у единицы ранжированного ряда, делящей совокупность в соотношении ¼ к ¾  и верхний (или третий) квартиль(Q3) – значение признака у единицы ранжированного ряда, делящий совокупность в соотношении ¾ к ¼.

Второй квартиль, есть медиана Q2 = Ме нижний и верхний квартили в интервальном ряду рассчитывается по формуле аналогично медиане.

    для нижнего

для верхнего

где  xo – нижняя граница интервала, содержащего квартиль (нижний и верхний)

f1Q1-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль.

f1Q3-1 – то же для вернего квартиля.

FQ1; FQ3 – частоты квартильных интервалов (нижнего и верхнего).

Интервалы, в которых содержатся Q1 и Q3 определяют по положенным частотам (или частостям).

Пример.

Вал.прод., т.р. х

Число предприятий f

Накопленная частота f1

До  50

50-100

100-150

150-200

200-250

250-300

> 300

3

6

10

21

33

18

9

3

9

19

40

73

91

100

 

Из примера находим первый квартиль

Q1 =т.е. интервал 150-200

это означает, что у ¼ всех предприятий выпуск продовольствия не превышает 164,3 т.р.

кроме квартилей рассчитывают децили – варианты, делящие ранжированный ряд на 10 равных частей.

Обозначаются они через D, первый дециль D1 делит ряд в соотношении 1/10 и 9/10, второй D2 – 2/10 и 8/10

и медиана, и квартили, и децили принадлежат к так называемым порядковым статистикам, под которым понимают вариант, занимающий определенное порядковое место в ранжированном ряду.

Понятие о моментах распределения.

В математической статистике моментом k-того прядка называется средняя арифметическая из k- той степени отложений отдельных вариантов от некоторой постоянной величины А, т.е. если обозначить момент к-того порядка  

Через Мк, то в общем виде

                                 

в статистике находят применение моменты первых четырех.

Теоретические кривые распределения.

Графическое изображение вариационного ряда дает представление о форме распределения. Однако судить о закономерностях данного эмпирического распределения по полигону или гистограмме рискованно, т.к. оно зависит от ряда причин, и частности от числа исследованных единиц.

Характерные черты распределения проявляются при росте числа наблюдений.

По мере увеличения числа наблюдений и уменьшения величины интервала для непрерывных признаков ступенчатость гистограммы или ломанность полигона будут сглаживаться и приближаться к некоторой плановой кривой.

Имея графическое изображение эмпирического вариационного ряда, можно представить тот предел в виде сплошной плавной линии, к которой стремится данная гистограмма или полигон при увеличении числа наблюдений и уменьшение величины интервала.

Этот предел в виде сплошной плавной линии называют кривой распределения.

Кривая распределения может рассматриваться как некая теоретическая (вероятностная) форма распределения, свойственная той или иной совокупности в конкретных условиях  места и времени. Если кривая описана математически, т.е. выражена уравнением с определенными параметрами, то она более точно отражает закономерности того или иного распределения.

Имея дело с эмпирическими распределениями можно предположить, что данному эмпирическому распределению соответствует характерное для него теоретическая кривая.

Знание формы теоретической кривой может быть использовано в различных практических расчетах, прогнозах. Поэтому при изучении закономерностей распределение нужно определить тип кривой распределения, установить по эмпирическим данным ее параметры, рассчитать по найденному уравнению

Теоретические частоты (построить эту теоретическую кривую), проверить на сколько эмпирические частоты близки к предполагаемым теоретическим.

Кривая нормального распределения и ее построение по эмпирическим данным.

Среди различных кривых распределения особое место занимает нормальное распределение.

Нормальное распределение на графике представляет собой симметрическую колоколообразную кривую, имеющую максимум в точке соответствующей средней арифметической ряда. Эта же точка является модой и медианой ряда.

Точки перегиба у нормальной кривой на расстоянии  от средней арифметической.

график

Кривая нормального распределения выражается следующим уравнением:

                                  

где у ордината кривой распределения П=3,14 е = 2,182… -основание натурального логарифма.
Отклонение отдельных вариантов от средней арифметической нормируют по

и именуют нормированным отклонением

                                         

если в приведенной выше формуле кривой нормального распределения произвести соответственную замену, то уравнение примет вид

                                   

Как видно из уравнения, два параметра – средняя арифметическая  и средне квадратическое отклонение  - определяют очертание симметричной кривой нормального распределения.

В зависимости от их значения она может иметь разный центр группирования, быть более удлиненной или сжатой.

Если площадь, ограниченную кривой нормального распределения, принять за 1 или  за 100%, то можно рассчитать площадь, заключенную между кривой и е двумя ординатами.

Установлено, что площадь между ординатами, проведенными на расстояние  с каждой стороны от средней арифметической, составляет 0,683 всей площади.

Это означает, что 68,3% всех исследованных единиц (частот) отклоняются от средней арифметической не более чем на , т.е. находятся в пределах ().

S, заключенная между ординатами, проведенными на расстояние 2 в одну другую сторону от средней арифметической, составляет 0,954, т.е. всех единиц совокупности находятся в пределах . Это так называемое правило 3-сигментов, характерное для нормального распределения.

Нормальное распределение характерно для явлений в области биология и техники.

В экономике чаще встречаются умеренно ассиметричные распределения.

Тем не менее кривая нормального распределения имеет определенное значение в анализе вариационных рядов и в теории выборочного метода.

Есть несколько способов построения кривой нормального распределения по эмпирическим данным, если есть основание предположить близость данного распределение к нормальному. По одному из этих способов теоретические частоты (m1) отыскивается

                                  

где   - табулированная величина, отыскиваемая по отклонениям t, а Nh/ - константа, на к умножаются значения  и которая определяет теоретические частоты исходя из общей численности единиц совокупности и числа выделяемых  групп. Последовательность расчета следующая:

1 находим  

2 находим

3 находим нормированное отклонение каждого варианта от  средней арифметической  

4 для найденных t по таблице определяем  

5 расчитаем константу  

6 каждое значение  умножаем на константу

результаты умножения (после округления до целых чисел) будут искомыми частотами (m/) теоретической кривой нормального распределения.

Пример  100предприятиц по % выполнения плана  по валовой продукции (х). показано на рис распределение и теоретическое, и эмпирическое.

Середина  интервала х

m

63=m/

92,5

97,5

102,5

107,5

112,5

117,5

122,5

127,5

3

6

15

27

26

10

8

5

-17,7

-12,7

-7,7

-2,5

2,5

7,3

12,3

17,3

-2,21

-1,59

-0,96

-0,31

0,29

0,91

1,54

2,16

0,0347

0,1127

0,2516

0,3802

0,3825

0,2637

0,1219

0,0387

2,1861   2

7,1001  7

15,85   16

23,95   24

24,097 24

16,61   17

7,68       8

2,44       2

Итого

100

 

 


Распределение Шарлье.

В экономике редко встречаются симметричные распределения, чаще всего это ассиметричные распределения.

При выравнивании таких рядов важно найти кривую, которая бы учитывала ассиметрию и эксцессу ряда.

Для рядов с умеренной асимметрией такой кривой может служить   распределение Шарлье, частоты которой рассчитываются по формуле

              

где N- общее число единиц совокупности

- нормированный момент третьего порядка, выступающий в качестве показателя асимметрии ряда

 - показатель эксцесса

 - нормированные отклонения, по которой определяется

при нормальном распределении, и E3=0. подставим в формулу и получим        т.о  распределение Шарлье представляет собой как бы нормальное распределение, скорректированное на показатели ассиметрии и эксцесса.

Распределение Пуассона.

К числу важнейших  теоретических распределений, имеющих научное и практическое применение, относится распределение Пуассона.

Это распределение в своей классической форме присуще дискретным величинам и возникает в тех случаях, когда сами варианты х являются своего рода частотами, результатом подсчета какого-то редко встречающегося события среди наблюдаемых единиц, причем значений х вероятность их наступление падает.

График.

Аналитически распределение Пуассона выражается формулой

где

для распределения Пуассона характерно то, что равна математическому ожиданию, т.е.  

нахождение теоретических частот  при выравнивании ряда по распределению Пуассона производится в следующем порядке:

1 находится средняя арифметическая, т.е.

2 по таблице определяется

3 для х определяется теоретическая частота

где N – число единиц совокупности.

Пример

Имеется следующее распределение 500 рабочих по количеству выработанных ими бракованных изделий из 100 проверенных.

Кол-во бракованных изделий из 100  х

Число рабочих   m

xm

Теоретические частоты m/

0

1

2

3

4

5

282

160

39

15

3

1

0

160

78

45

12

5

274

165

49

10

2

0

итого

500

300

500

1

2 6,  находим по таблице  e -0.6=0.5488

3 находим  


Распределение Пуассона, поскольку оно характерно для  редко встречающихся явлений, иногда называют «законом малых чисел».

Сравнение частот эмпирического и теоретического распределения при помощи критериев согласия.

Вычисление теоретических частот происходит из той или иной гипотезы о предлагаемом законе  распределения.

Следовательно, после расчета теоретических частот возникает необходимость проверки выдвинутой гипотезы о соответствии  или несоответствии того или иного теоретического закона распределения, принятого в качестве математической модели для эмпирического распределения.

Проверка гипотезы строится на основе сопоставления частот эмпирического и теоретического распределений и суждения о случайности или существенности их расхождений. При этом исходят из того, что если расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами  можно считать случайными, то гипотеза о том, что принятая теоретическое распределение соответствует данному эмпирическому, не отвергается .

Критерий Пирсона «хи-квадрат»

Для оценки случайности или существенности расхождений между частотами эмпирического и теоретического распределения в статистике используют ряд показателей является  критерий (хи- квадрат)

где m и m/ - соответственно эмпирические и теоретические частоты.

если учесть, что , т.е. эмпирических и теоретических частот должна быть, равна, то из записанного выше следует:

  или приняв, что , запишем в окончательном виде

Пирсоном найдено распределение величины  и составлены таблицы, позволяющие определять вероятность наступления определенного значения  для разного числа групп в вариационных рядах.

Если вероятность P() значительно отличается от 0, то расхождение между частотами теоретического и эмпирического распределений можно считать случайными, а гипотезу, выдвинутую при расчете теоретических частот, не отвергнутой для данного наблюдения.

При этом определенная по таблицам вероятность наблюдаемого значения  принимается в зависимости от так называемого числа степеней свободы,

Под которым понимается число групп, частоты которых можно принимать значения, не связанные друг с другом. Практически для вариационного ряда число степеней свободы определяется как число групп в  рассматриваемом ряду минус число ограничивающих эти два ряда связей.

Число ограничивающих связей, в свою очередь, определяется числом сведений эмпирического ряда, используемых при исчислении теоретических частот.

Так, например, в случае выравнивания ряда у кривой нормального распределения между эмпирическим и теоретическим распределением три связи

1 динаковая сумма частот

2

3

по этому при выравнивании по кривой нормального распределения число степеней свободы (к) определяется как n-3, где n число групп в ряду.

При выравнивании по кривой Пуассона k= n-2, так как в этом случае для нахождения теоретических частот учитывались две ограничивающие связи:

1

2

Для оценки существенности наблюдаемых значений при данном числе степеней свободы (k) могут использоваться таблицы двух типов.

1 тип По таблице отыскивается вероятность наступления наблюдаемого значения  при данном числе степеней свободы (к).

Если вероятность близка к 0 (как правило, <0,05), расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами считают существенными, а гипотезу не приемлемой для данного распределения.

2тип  По таблице другого типа определяется предельное верхнее значение «хи – квадрата» (критическое значение) при данном числе степеней свободы и заданном уровне значимости. Затем наблюдаемое значение «хи- квадрат» сравнивают с табличным (критическим). Если фактическое ( хи- квдрат) < табличного

ф =табл

то при заданном уровне значимости расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами  считают случайными, а гипотезу о принятом законе распределения приемлемой.

Под условием значимости в данном случае понимают вероятность, с которой может быть опровергнута гипотеза о том или ином законе распределения. Чем меньше уровень значимости, тем < вероятность не принять гипотезу. Обычно уровень значимости P()=a принимают 0,05 или 0,01, а отвечающая данной


вероятности ( уровню значимости) при определенном числе  степеней свободы величина
считается критической.

Если    превышает критическое значение, отвечающее принятому уровню значимости, то гипотеза о том или ином законе распределения не принимается.

Пример:

х

m

m/

m-m/

(m-m/)2

92.5

97.5

102.5

107.5

112.5

117.5

122.5

127.5

3

6

15

27

26

10

8

5

2

7

16

24

24

17

8

2

1

-1

-1

3

2

-7

0

3

1

1

1

9

4

49

0

9

0.5

0.14

0.06

0.375

0.17

2.88

0

4.5

итого

=8.625

Определяем число степеней свободы

К= n-3; n=8-3=5

Пользуясь таблицами второго типа, определяем, что при к=5 и уровне значимости предельное значение «хи-квадрата»=11,07. фактически же рассчитанное =8,625, т.е. < табличного и теоретического распределений не опровергнута.

Пользуясь критерием  «хи-квадрат» для оценки степени соотношения эмпирических и теоретических распределений, следует иметь в виду, что он будет эффективны, если общий объем совокупности >50 и число единиц в каждом классе не менее 5.

Кроме того, следует учитывать, что данный критерий применим для сопоставления частот, т.е. абсолютных показателей.

Если же распределение дано в частях, т.е. в относительных показателя, то в формуле перед знаком должна учитываться общая численность единиц совокупности, т.е.

                               


Критерий Романовскаго.

Критерий Романовского строится на основе использования упомянутого выше критерия «хи-квадрат», но не требует специальных  таблиц для оценки существенности.

Критерий рассчитывается по формуле

                                                

где k –число степеней свободы. k= 8-3=5

расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами считаются случайными, если критерий < 3.

                 

расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами можно считать случайными и гипотезу о нормальном распределении не опровергнутой.

Критерий ястремского.

Данный критерий базируется на использовании  , но в отличие от критерия романовского Ястремский использует не число степеней свободы, а число групп (n) в вариационном ряду и собой величиной , зависящей от числа групп (для n<20 =0.6 )

                  

т.к. отношение значит < 3, то и по этому критерию приходим к тем же выводам, что расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами случайно.

Все три критерия согласия основаны на сравнении частот эмпирического и теоретического распределения.

Критерий Колмагорова.

Данный критерий основан на сопоставлении накопленных частот или частостей, т.е. на сравнении интегральных распределений эмпирических и теоретических частот (частостей).

Критерий обозначают через  

где       d-абсолютная величина максимальной разности между накопленными частостями эмпирического и теоретического рядов распределений

            N-численность единиц совокупности .

Если распределение задано в частотах

                        

где D-максимальная разность (по модулю) накопленных частот двух распределений.

Пример

х

Частоты

Накопление частоты

Разность между накопленных частот (f/-f//)

Эмпирические

m

Теоретические

m/

Эмпирические f/

Теоретические f//

92.5

97.5

102.5

107.5

112.5

117.5

122.5

127.5

3

6

15

27

26

10

8

5

2

7

16

24

24

17

8

2

3

9

24

51

77

87

95

100

2

9

25

49

73

90

98

100

1

0

1

2

max=4=D

3

3

0

                        

                         

По таблице определяем, что для нашего значения  вероятность P() = 0.997. Как и для показателя Х2 , считается вполне допустимым, если P()>0.05 гипотеза о нормальном распределении не опровергнута.


23


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48534. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 659 KB
  Системы линейных уравнений. Решением линейной системы 2.2 называется набор чисел которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство. Решением этой системы будут любые два числа х и у удовлетворяющие условию у = 3 – х.
48535. Методика навчання розв’язування складених арифметичних задач 90 KB
  Підготовча робота до ознайомлення учнів із складеною задачею; Ознайомлення із складеною задачею; Розвиток уявлень про структуру задачі; Прийоми розвитку уявлень про процес розв’язування задач; Розв’язування типових задач (на знаходження четвертого пропорційного, на пропорційне ділення, на знаходження числа за двома різницями, на знаходження середнього арифметичного та задач на рух). Розвиток умінь учнів розв’язувати складені задачі.
48537. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой 497.5 KB
  Уравнение Фху = 0 7.1 называется уравнением линии L если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки лежащей на линии L и не удовлетворяют координаты ни одной точки не лежащей на линии L. х – а y – b = R уравнение окружности радиуса R с центром в точке b.3 уравнение...
48538. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 613 KB
  Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции. Предел функции в точке и на бесконечности.
48539. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля 440 KB
  Точки экстремума функции. Продифференцировав эту функцию мы получим так называемую вторую производную или производную второго порядка функции fx. Производной nго порядка или nй производной от функции fx называется производная первого порядка от ее n1й производной. Найдем производную 3го порядка от функции y=x5x3x12.
48540. Валютное право 182.3 KB
  № 16ФЗ Об Особой экономической зоне в Калининградской области и о внесении изменений в некоторые законодательные акты Российской Федерации Валютные правоотношения и их виды. В теории права правоотношение рассматривается как сложная общественная связь включающая в себя следующие элементы: субъекты правоотношений носитель прав управомоченный и носитель обязанности правообязанный; В теории права субъекты правоотношений подразделяются на три вида: физические лица; юридические лица коммерческие и некоммерческие организации;...
48541. ЗАРОЖДЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ НАУКИ 57 KB
  Они считали что приумножение богатства требует протекционистских мер по регулированию внешней торговли того чтобы поощрялся экспорт сдерживался импорт и всемерно поддерживалась национальная промышленность. Источником богатства меркантилисты считали неэквивалентный обмен в результате торговых взаимоотношений с другими государствами. Его труд посвящался проблеме преобразований в российской экономике направленных на преодоление бедности и преумножение богатства. Он считал что труд является источником богатства и в промышленности и в...