172

Решение дифференциальных уравнений численными методами в пакете MathCad

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов. Расчет погрешностей приближенных методов по сравнению с точным. Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта.

Русский

2012-11-14

356 KB

107 чел.

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

                                                       Кафедра «Высшая математика»

                                                       Дисциплина «Вычислительная математика»

Курсовая работа

на тему:

«Решение дифференциальных уравнений численными методами в пакете MathCad»

                                                                      Выполнил: студент группы М-218

                                                                      Выборский М.А.

                                                                     

                                                                      Проверил: преподаватель

                                 Казанцева Н.В.

Екатеринбург

2009


Задача №1. Получить: точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутта, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами, рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов.

x"-x=cos3*t

x(0)=1    x'(0)=1

Дано:

1.Точное решение ДУ операционным методом

 

  Пусть Y(s) изображение функции х(t). Найдем вид операторного уравнения. Запишем выражение для второй  пройзводной (1) и для правой части (2) использованием оператора laplase

(1)

                                      (2)

Перепишем исходное уравнение через полученные изображения, подставив значения х(0) и х'(0) в исходное выражение


             Точное решение ДУ

2. Приближенное решение с помощью рядов

     Найдем функцию х в следующем виде:

 Найдем вторую производную исходного выражения:

                                                            Подставим значения второй производной и правой части в исходное    уравнение:

С помощью функции Find найдем значения неизвестных коэффициентов


            Получим решение уравнения:

      

      Фазовый портрет решения

3. Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Производная х'

Производная х''

                 Графики решения

Фазовый портрет решения


4. Численное решение ДУ методом Эйлера

      Графики решения                                                      Фазовый портрет решения

        

                   

                                     Совместные решения

5. Расчет погрешностей приближенных методов по сравнению с точным

 

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

1, Приближенное решение с помощью рядов

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1

0,000

0,00%

0,1

1,110

1,110

0,000

0,00%

0,2

1,241

1,241

0,000

0,00%

0,3

1,392

1,392

0,000

0,00%

0,4

1,564

1,563

0,001

0,06%

0,5

1,754

1,753

0,001

0,06%

0,6

1,963

1,959

0,004

0,20%

0,7

2,190

2,179

0,011

0,50%

0,8

2,433

2,409

0,024

0,99%

0,9

2,693

2,645

0,048

1,78%

1

2,972

2,883

0,089

2,99%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1,000

0,000

0,00%

0,1

1,110

1,110

0,000

0,00%

0,2

1,241

1,241

0,000

0,00%

0,3

1,392

1,392

0,000

0,00%

0,4

1,564

1,564

0,000

0,00%

0,5

1,754

1,754

0,000

0,00%

0,6

1,963

1,963

0,000

0,00%

0,7

2,190

2,190

0,000

0,00%

0,8

2,433

2,433

0,000

0,00%

0,9

2,693

2,693

0,000

0,00%

1

2,972

2,972

0,000

0,00%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Эйлера

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1,000

0,000

0,00%

0,1

1,110

1,1

0,010

0,90%

0,2

1,241

1,22

0,021

1,69%

0,3

1,392

1,361

0,031

2,23%

0,4

1,564

1,522

0,042

2,69%

0,5

1,754

1,702

0,052

2,96%

0,6

1,963

1,902

0,061

3,11%

0,7

2,190

2,119

0,071

3,24%

0,8

2,433

2,354

0,079

3,25%

0,9

2,693

2,604

0,089

3,30%

1

2,972

2,87

0,102

3,43%

  Вывод: численное решение ДУ методом Рунге-Кутта не дало погрешности, а графики приближенного решения с помощью рядов и численного решения методом Эйлера по мере возрастания на заданном интервале [0,1] дают небольшие отклонения, первый, начиная с точки t=0.6 (δ=0.20%) отклоняется вверх и при t=1 дает погрешность уже δ =2.99%. Решение методом Эйлера дает в сумме большую погрешность, так как уже начиная с точки t=0,2 отклонение от точного графика происходит более, чем на 1% и лежит ниже точного графика.


Задача №2.

Решить систему диф.уравнений, получить точное решение вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов(до 5 элемента), численное решение методом Эйлера,  Рунге-Кутта.  Представить графическое совместное решение, рассчитать относительную и абсолютную погрешность.

1. Решение системы ДУ операторным методом

1.1 Пусть Y(s) изображение функции y(t).Найдем вид операторного уравнения. Запишем выражение для производной х (1), для производной у (2) и для правой части  (3) использованием оператора laplase

  (1)

 (2)

    (3)

Перепишем исходное уравнение через полученные изображения, подставив значения х(0) и  y(0) в исходное выражение


Получим решение системы:


2. Приближенное решение системы ДУ с помощью рядов

   Выразим из первого уравнения системы у через х. Продифференцируем это выражение. Найденные значения у и его производной подставим во второе уравнение системы. Получим диф.уравнение второй степени, зависящее только от х.

y=x'/4-x/4                                     

y'=x''/4-x'/4                                         

x''/4-x'/4-2x+x'/4-x/4-9=0                                   

        x''/4-9/4x-9=0    (1)

 

 

Решим его с помощью рядов. Будем искать функцию х в следующем виде:

Найдем вторую производную этого выражения:

Подставим эти выражения в уравнение (1) и найдем неизвестные коэффициенты:

   

С помощью функции Find найдем значения неизвестных коэффициентов

    Given

 

 Получим решение уравнения:

 

                                                                         Графики решения системы


3. Численное решение системы ДУ методом Рунге-Кутта

        

                                                                        Графики решения системы


4. Численное решение системы ДУ методом Эйлера

Графики решения системы

 


                            Расчет погрешностей для х

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

1, Приближенное решение с помощью рядов

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1

0,000

0,00%

0,1

1,328

1,328

0,000

0,00%

0,2

2,140

2,139

0,001

0,05%

0,3

3,508

3,504

0,004

0,11%

0,4

5,556

5,553

0,003

0,05%

0,5

8,472

8,388

0,084

0,99%

0,6

12,518

12,263

0,255

2,04%

0,7

18,062

17,405

0,657

3,64%

0,8

25,607

24,101

1,506

5,88%

0,9

35,836

32,689

3,147

8,78%

1

49,678

43,55

6,128

12,34%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1,000

0,000

0,00%

0,1

1,328

1,328

0,000

0,00%

0,2

2,140

2,139

0,001

0,05%

0,3

3,508

3,507

0,001

0,03%

0,4

5,556

5,556

0,000

0,00%

0,5

8,472

8,471

0,001

0,01%

0,6

12,518

12,517

0,001

0,01%

0,7

18,062

18,060

0,002

0,01%

0,8

25,607

25,603

0,004

0,02%

0,9

35,836

35,830

0,006

0,02%

1

49,678

49,669

0,009

0,02%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Эйлера

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1,000

0,000

0,00%

0,1

1,328

1,1

0,228

17,17%

0,2

2,140

1,65

0,490

22,90%

0,3

3,508

2,659

0,849

24,20%

0,4

5,556

4,177

1,379

24,82%

0,5

8,472

6,293

2,179

25,72%

0,6

12,518

9,146

3,372

26,94%

0,7

18,062

12,925

5,137

28,44%

0,8

25,607

17,877

7,730

30,19%

0,9

35,836

24,373

11,463

31,99%

1

49,678

33,753

15,925

32,06%


                              Расчет погрешностей для у

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

1, Приближенное решение с помощью рядов

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

0,000

0

0,000

#ДЕЛ/0!

0,1

1,071

1,071

0,000

0,00%

0,2

2,149

2,147

0,002

0,09%

0,3

3,331

3,313

0,018

0,54%

0,4

4,724

4,648

0,076

1,61%

0,5

6,455

6,221

0,234

3,63%

0,6

8,680

8,093

0,587

6,76%

0,7

11,602

10,316

1,286

11,08%

0,8

15,486

12,93

2,556

16,51%

0,9

20,683

15,97

4,713

22,79%

1

27,665

19,456

8,209

29,67%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

0,000

0,000

0,000

#ДЕЛ/0!

0,1

1,071

1,071

0,000

0,00%

0,2

2,149

2,149

0,000

0,00%

0,3

3,331

3,331

0,000

0,00%

0,4

4,724

4,724

0,000

0,00%

0,5

6,455

6,454

0,001

0,02%

0,6

8,680

8,680

0,000

0,00%

0,7

11,602

11,601

0,001

0,01%

0,8

15,486

15,484

0,002

0,01%

0,9

20,683

20,680

0,003

0,01%

1

27,665

27,660

0,005

0,02%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Эйлера

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

0,000

0,000

0,000

#ДЕЛ/0!

0,1

1,071

1,1

-0,029

-2,71%

0,2

2,149

2,11

0,039

1,81%

0,3

3,331

3,129

0,202

6,06%

0,4

4,724

4,248

0,476

10,08%

0,5

6,455

5,558

0,897

13,90%

0,6

8,680

7,161

1,519

17,50%

0,7

11,602

9,174

2,428

20,93%

0,8

15,486

11,742

3,744

24,18%

0,9

20,683

15,045

5,638

27,26%

1

27,665

18,578

9,087

32,85%


                             Совместные решения для X

                        

                        Совместные решения для Y


      Вывод: Решение системы ДУ методом Рунге-Кутта практически не дало погрешностей, а графики приближенного решения с помощью рядов и численного решения методом Эйлера по мере возрастания на заданном интервале [0,1] дают небольшие отклонения, первый, начиная с точки t=0.2 (δ=0,05% и 0,09% для функций х и у соответственно) отклоняется вверх и при t=1 дает погрешность уже 12,34% и 29,67%. Решение методом Эйлера дает в сумме большую погрешность, так как уже начиная со второй точки t=0,1отклонение от точного графика значительное и при t=1 достигает значения δ ≈32% и лежит ниже точного графика.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85511. Совершенствование системы оценки и аттестации персонала на предприятии (на примере ООО «ПромСтройТорг») 469 KB
  В настоящее время утвердился взгляд на труд как на сознательную целенаправленную созидательную деятельность, приложение человеком умственных и физических усилий для получения полезного результата в удовлетворении своих материальных и духовных потребностей, как на проявление человеческой личности.
85513. Технологический процесс обработки детали «Корпус» с использованием станков с программным числовым управлением 288.35 KB
  Необходимо обновить основные средства производства, которые в настоящее время достигли критического уровня (до 75%). В перспективе стоит задача подготовки нового квалифицированного рабочего персонала, способного решать вопросы по обслуживанию сложнейшей новой техники, станков с ЧПУ.
85514. Расчет и анализ технико-экономических показателей производственно-хозяйственной деятельности предприятия 554 KB
  Целью курсового проектирования является закрепление полученных знаний, приобретение навыков экономического мышления, умения принимать верные решения в конкретных производственно-экономических ситуациях, анализ и совершенствование хозяйственной деятельности в условиях рыночной экономики.
85515. Расчет тепловой схемы производственно-отопительной котельной с выбором основного и вспомогательного оборудования 3.36 MB
  Задаваемые величины: Тип котла: ДЕ-?-1,4ГМ. Мощность котла подбирается, исходя из требования СНиП (не менее 2 котлов в котельной на требуемую мощность). Тип топки для газа – камерная. Это не исходные данные, а выбрано Вами в результате расчета Расход пара на производство...
85516. Противоэрозионная организация сельскохозяйственных угодий и севооборотов 111.55 KB
  Основная цель организации угодий и севооборотов – повышение интенсивности и выявление резервов роста эффективности использования земли на основе учета экономических интересов землевладельцев и землепользователей. При этом должны строго соблюдаться экологические требования, так как в противном случае...
85518. Проектирование одноступенчатого цилиндрического редуктора 760 KB
  Назначение редуктора – понижение угловой скорости и соответственно повышение вращающего момента ведомого вала по сравнению с ведущим. Механизмы для повышения угловой скорости, выполненные в виде отдельных агрегатов, называют ускорителями или мультипликаторами.