172

Решение дифференциальных уравнений численными методами в пакете MathCad

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов. Расчет погрешностей приближенных методов по сравнению с точным. Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта.

Русский

2012-11-14

356 KB

106 чел.

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

                                                       Кафедра «Высшая математика»

                                                       Дисциплина «Вычислительная математика»

Курсовая работа

на тему:

«Решение дифференциальных уравнений численными методами в пакете MathCad»

                                                                      Выполнил: студент группы М-218

                                                                      Выборский М.А.

                                                                     

                                                                      Проверил: преподаватель

                                 Казанцева Н.В.

Екатеринбург

2009


Задача №1. Получить: точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутта, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами, рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов.

x"-x=cos3*t

x(0)=1    x'(0)=1

Дано:

1.Точное решение ДУ операционным методом

 

  Пусть Y(s) изображение функции х(t). Найдем вид операторного уравнения. Запишем выражение для второй  пройзводной (1) и для правой части (2) использованием оператора laplase

(1)

                                      (2)

Перепишем исходное уравнение через полученные изображения, подставив значения х(0) и х'(0) в исходное выражение


             Точное решение ДУ

2. Приближенное решение с помощью рядов

     Найдем функцию х в следующем виде:

 Найдем вторую производную исходного выражения:

                                                            Подставим значения второй производной и правой части в исходное    уравнение:

С помощью функции Find найдем значения неизвестных коэффициентов


            Получим решение уравнения:

      

      Фазовый портрет решения

3. Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Производная х'

Производная х''

                 Графики решения

Фазовый портрет решения


4. Численное решение ДУ методом Эйлера

      Графики решения                                                      Фазовый портрет решения

        

                   

                                     Совместные решения

5. Расчет погрешностей приближенных методов по сравнению с точным

 

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

1, Приближенное решение с помощью рядов

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1

0,000

0,00%

0,1

1,110

1,110

0,000

0,00%

0,2

1,241

1,241

0,000

0,00%

0,3

1,392

1,392

0,000

0,00%

0,4

1,564

1,563

0,001

0,06%

0,5

1,754

1,753

0,001

0,06%

0,6

1,963

1,959

0,004

0,20%

0,7

2,190

2,179

0,011

0,50%

0,8

2,433

2,409

0,024

0,99%

0,9

2,693

2,645

0,048

1,78%

1

2,972

2,883

0,089

2,99%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1,000

0,000

0,00%

0,1

1,110

1,110

0,000

0,00%

0,2

1,241

1,241

0,000

0,00%

0,3

1,392

1,392

0,000

0,00%

0,4

1,564

1,564

0,000

0,00%

0,5

1,754

1,754

0,000

0,00%

0,6

1,963

1,963

0,000

0,00%

0,7

2,190

2,190

0,000

0,00%

0,8

2,433

2,433

0,000

0,00%

0,9

2,693

2,693

0,000

0,00%

1

2,972

2,972

0,000

0,00%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Эйлера

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1,000

0,000

0,00%

0,1

1,110

1,1

0,010

0,90%

0,2

1,241

1,22

0,021

1,69%

0,3

1,392

1,361

0,031

2,23%

0,4

1,564

1,522

0,042

2,69%

0,5

1,754

1,702

0,052

2,96%

0,6

1,963

1,902

0,061

3,11%

0,7

2,190

2,119

0,071

3,24%

0,8

2,433

2,354

0,079

3,25%

0,9

2,693

2,604

0,089

3,30%

1

2,972

2,87

0,102

3,43%

  Вывод: численное решение ДУ методом Рунге-Кутта не дало погрешности, а графики приближенного решения с помощью рядов и численного решения методом Эйлера по мере возрастания на заданном интервале [0,1] дают небольшие отклонения, первый, начиная с точки t=0.6 (δ=0.20%) отклоняется вверх и при t=1 дает погрешность уже δ =2.99%. Решение методом Эйлера дает в сумме большую погрешность, так как уже начиная с точки t=0,2 отклонение от точного графика происходит более, чем на 1% и лежит ниже точного графика.


Задача №2.

Решить систему диф.уравнений, получить точное решение вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов(до 5 элемента), численное решение методом Эйлера,  Рунге-Кутта.  Представить графическое совместное решение, рассчитать относительную и абсолютную погрешность.

1. Решение системы ДУ операторным методом

1.1 Пусть Y(s) изображение функции y(t).Найдем вид операторного уравнения. Запишем выражение для производной х (1), для производной у (2) и для правой части  (3) использованием оператора laplase

  (1)

 (2)

    (3)

Перепишем исходное уравнение через полученные изображения, подставив значения х(0) и  y(0) в исходное выражение


Получим решение системы:


2. Приближенное решение системы ДУ с помощью рядов

   Выразим из первого уравнения системы у через х. Продифференцируем это выражение. Найденные значения у и его производной подставим во второе уравнение системы. Получим диф.уравнение второй степени, зависящее только от х.

y=x'/4-x/4                                     

y'=x''/4-x'/4                                         

x''/4-x'/4-2x+x'/4-x/4-9=0                                   

        x''/4-9/4x-9=0    (1)

 

 

Решим его с помощью рядов. Будем искать функцию х в следующем виде:

Найдем вторую производную этого выражения:

Подставим эти выражения в уравнение (1) и найдем неизвестные коэффициенты:

   

С помощью функции Find найдем значения неизвестных коэффициентов

    Given

 

 Получим решение уравнения:

 

                                                                         Графики решения системы


3. Численное решение системы ДУ методом Рунге-Кутта

        

                                                                        Графики решения системы


4. Численное решение системы ДУ методом Эйлера

Графики решения системы

 


                            Расчет погрешностей для х

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

1, Приближенное решение с помощью рядов

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1

0,000

0,00%

0,1

1,328

1,328

0,000

0,00%

0,2

2,140

2,139

0,001

0,05%

0,3

3,508

3,504

0,004

0,11%

0,4

5,556

5,553

0,003

0,05%

0,5

8,472

8,388

0,084

0,99%

0,6

12,518

12,263

0,255

2,04%

0,7

18,062

17,405

0,657

3,64%

0,8

25,607

24,101

1,506

5,88%

0,9

35,836

32,689

3,147

8,78%

1

49,678

43,55

6,128

12,34%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1,000

0,000

0,00%

0,1

1,328

1,328

0,000

0,00%

0,2

2,140

2,139

0,001

0,05%

0,3

3,508

3,507

0,001

0,03%

0,4

5,556

5,556

0,000

0,00%

0,5

8,472

8,471

0,001

0,01%

0,6

12,518

12,517

0,001

0,01%

0,7

18,062

18,060

0,002

0,01%

0,8

25,607

25,603

0,004

0,02%

0,9

35,836

35,830

0,006

0,02%

1

49,678

49,669

0,009

0,02%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Эйлера

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1,000

0,000

0,00%

0,1

1,328

1,1

0,228

17,17%

0,2

2,140

1,65

0,490

22,90%

0,3

3,508

2,659

0,849

24,20%

0,4

5,556

4,177

1,379

24,82%

0,5

8,472

6,293

2,179

25,72%

0,6

12,518

9,146

3,372

26,94%

0,7

18,062

12,925

5,137

28,44%

0,8

25,607

17,877

7,730

30,19%

0,9

35,836

24,373

11,463

31,99%

1

49,678

33,753

15,925

32,06%


                              Расчет погрешностей для у

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

1, Приближенное решение с помощью рядов

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

0,000

0

0,000

#ДЕЛ/0!

0,1

1,071

1,071

0,000

0,00%

0,2

2,149

2,147

0,002

0,09%

0,3

3,331

3,313

0,018

0,54%

0,4

4,724

4,648

0,076

1,61%

0,5

6,455

6,221

0,234

3,63%

0,6

8,680

8,093

0,587

6,76%

0,7

11,602

10,316

1,286

11,08%

0,8

15,486

12,93

2,556

16,51%

0,9

20,683

15,97

4,713

22,79%

1

27,665

19,456

8,209

29,67%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

0,000

0,000

0,000

#ДЕЛ/0!

0,1

1,071

1,071

0,000

0,00%

0,2

2,149

2,149

0,000

0,00%

0,3

3,331

3,331

0,000

0,00%

0,4

4,724

4,724

0,000

0,00%

0,5

6,455

6,454

0,001

0,02%

0,6

8,680

8,680

0,000

0,00%

0,7

11,602

11,601

0,001

0,01%

0,8

15,486

15,484

0,002

0,01%

0,9

20,683

20,680

0,003

0,01%

1

27,665

27,660

0,005

0,02%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Эйлера

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

0,000

0,000

0,000

#ДЕЛ/0!

0,1

1,071

1,1

-0,029

-2,71%

0,2

2,149

2,11

0,039

1,81%

0,3

3,331

3,129

0,202

6,06%

0,4

4,724

4,248

0,476

10,08%

0,5

6,455

5,558

0,897

13,90%

0,6

8,680

7,161

1,519

17,50%

0,7

11,602

9,174

2,428

20,93%

0,8

15,486

11,742

3,744

24,18%

0,9

20,683

15,045

5,638

27,26%

1

27,665

18,578

9,087

32,85%


                             
Совместные решения для X

                        

                        Совместные решения для Y


      
Вывод: Решение системы ДУ методом Рунге-Кутта практически не дало погрешностей, а графики приближенного решения с помощью рядов и численного решения методом Эйлера по мере возрастания на заданном интервале [0,1] дают небольшие отклонения, первый, начиная с точки t=0.2 (δ=0,05% и 0,09% для функций х и у соответственно) отклоняется вверх и при t=1 дает погрешность уже 12,34% и 29,67%. Решение методом Эйлера дает в сумме большую погрешность, так как уже начиная со второй точки t=0,1отклонение от точного графика значительное и при t=1 достигает значения δ ≈32% и лежит ниже точного графика.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19254. Понятие радиационной защиты. Классификация защит. Построение задачи расчета защиты 39 KB
  Лекция 2. Понятие радиационной защиты. Классификация защит. Построение задачи расчета защиты. 2.1. Понятие радиационной защиты. Под радиационной защитой понимают материалы конструкцию располагаемые между источником опасности излучения и объектом защиты для о
19255. Понятие поглощенной и эквивалентной дозы. Коэффициенты качества излучения. Предельно допустимая доза облучения 36.5 KB
  Лекция 3. Понятие поглощенной и эквивалентной дозы. Коэффициенты качества излучения. Предельно допустимая доза облучения. 3.1. Понятие поглощенной дозы. Поглощенная доза излучения доза излучения D отношение энергии переданной излучением веществу в некотором о...
19256. Газокинетическое уравнение переноса нейтронов в неразмножающей среде. Решение уравнения переноса для нерассеянной компоненты излучения 122.5 KB
  Лекция 4. Газокинетическое уравнение переноса нейтронов в неразмножающей среде. Решение уравнения переноса для нерассеянной компоненты излучения. 4.1. Газокинетическое уравнение переноса нейтронов в неразмножающей среде. Неразмножающей подкритической будем н...
19257. Классификация и обзор методов расчета полей нейтронов и гамма-квантов 70 KB
  Лекция 5. Классификация и обзор методов расчета полей нейтронов и гаммаквантов. 5.1. Классификация методов расчета полей нейтронов и гаммаквантов. Методы расчета полей нейтронов и гаммаквантов можно разделить на приближенные и точные. Приближенные методы не
19258. Модель сечения выведения для быстрых нейтронов: основные предположения, границы применимости. Сечение выведения смесей и гетерогенных сред 78 KB
  Лекция 6. Модель сечения выведения для быстрых нейтронов: основные предположения границы применимости. Сечение выведения смесей и гетерогенных сред. 6.1. Модель сечения выведения для быстрых нейтронов. Модель сечения выведения приближенный метод вычисления мо
19259. Модификация модели сечения выведения для различных спектров быстрых нейтронов и неводородосодержащих сред 37.5 KB
  Лекция 7. Модификация модели сечения выведения для различных спектров быстрых нейтронов и неводородосодержащих сред. 7.1. Модификация модели сечения выведения для различных спектров. При получении значений сечений выведения для задач реакторной защиты обычно пр...
19260. Основные процессы взаимодействия гамма-квантов с веществом. Газокинетическое уравнение переноса гамма-квантов в задачах с внешним источником 124 KB
  Лекция 8. Основные процессы взаимодействия гаммаквантов с веществом. Газокинетическое уравнение переноса гаммаквантов в задачах с внешним источником. 8.1. Понятие гаммаизлучения. Электромагнитное излучение высокой энергии высокой частоты испускаемое возбуж
19261. Модель факторов накопления гамма-квантов. Аналитические аппроксимации факторов накопления гамма-квантов. Фактор накопления для многослойных систем 54.5 KB
  Лекция 9. Модель факторов накопления гаммаквантов. Аналитические аппроксимации факторов накопления гаммаквантов. Фактор накопления для многослойных систем. 9.1. Расчет защиты от фотонного излучения. Для расчета мощности дозы гаммаквантов за защитой модель сеч
19262. Многогрупповое приближение. Технология получения групповых констант. Понятие спектра свертки. Стандартные спектры. Библиотеки групповых констант нейтронов. Комбинированные библиотеки констант 139.5 KB
  Лекция 10. Многогрупповое приближение. Технология получения групповых констант. Понятие спектра свертки. Стандартные спектры. Библиотеки групповых констант нейтронов. Комбинированные библиотеки констант. 10.1. Многогрупповое приближение. Аналитическое решени...