172

Решение дифференциальных уравнений численными методами в пакете MathCad

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов. Расчет погрешностей приближенных методов по сравнению с точным. Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта.

Русский

2012-11-14

356 KB

106 чел.

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

                                                       Кафедра «Высшая математика»

                                                       Дисциплина «Вычислительная математика»

Курсовая работа

на тему:

«Решение дифференциальных уравнений численными методами в пакете MathCad»

                                                                      Выполнил: студент группы М-218

                                                                      Выборский М.А.

                                                                     

                                                                      Проверил: преподаватель

                                 Казанцева Н.В.

Екатеринбург

2009


Задача №1. Получить: точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутта, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами, рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов.

x"-x=cos3*t

x(0)=1    x'(0)=1

Дано:

1.Точное решение ДУ операционным методом

 

  Пусть Y(s) изображение функции х(t). Найдем вид операторного уравнения. Запишем выражение для второй  пройзводной (1) и для правой части (2) использованием оператора laplase

(1)

                                      (2)

Перепишем исходное уравнение через полученные изображения, подставив значения х(0) и х'(0) в исходное выражение


             Точное решение ДУ

2. Приближенное решение с помощью рядов

     Найдем функцию х в следующем виде:

 Найдем вторую производную исходного выражения:

                                                            Подставим значения второй производной и правой части в исходное    уравнение:

С помощью функции Find найдем значения неизвестных коэффициентов


            Получим решение уравнения:

      

      Фазовый портрет решения

3. Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Производная х'

Производная х''

                 Графики решения

Фазовый портрет решения


4. Численное решение ДУ методом Эйлера

      Графики решения                                                      Фазовый портрет решения

        

                   

                                     Совместные решения

5. Расчет погрешностей приближенных методов по сравнению с точным

 

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

1, Приближенное решение с помощью рядов

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1

0,000

0,00%

0,1

1,110

1,110

0,000

0,00%

0,2

1,241

1,241

0,000

0,00%

0,3

1,392

1,392

0,000

0,00%

0,4

1,564

1,563

0,001

0,06%

0,5

1,754

1,753

0,001

0,06%

0,6

1,963

1,959

0,004

0,20%

0,7

2,190

2,179

0,011

0,50%

0,8

2,433

2,409

0,024

0,99%

0,9

2,693

2,645

0,048

1,78%

1

2,972

2,883

0,089

2,99%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1,000

0,000

0,00%

0,1

1,110

1,110

0,000

0,00%

0,2

1,241

1,241

0,000

0,00%

0,3

1,392

1,392

0,000

0,00%

0,4

1,564

1,564

0,000

0,00%

0,5

1,754

1,754

0,000

0,00%

0,6

1,963

1,963

0,000

0,00%

0,7

2,190

2,190

0,000

0,00%

0,8

2,433

2,433

0,000

0,00%

0,9

2,693

2,693

0,000

0,00%

1

2,972

2,972

0,000

0,00%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Эйлера

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1,000

0,000

0,00%

0,1

1,110

1,1

0,010

0,90%

0,2

1,241

1,22

0,021

1,69%

0,3

1,392

1,361

0,031

2,23%

0,4

1,564

1,522

0,042

2,69%

0,5

1,754

1,702

0,052

2,96%

0,6

1,963

1,902

0,061

3,11%

0,7

2,190

2,119

0,071

3,24%

0,8

2,433

2,354

0,079

3,25%

0,9

2,693

2,604

0,089

3,30%

1

2,972

2,87

0,102

3,43%

  Вывод: численное решение ДУ методом Рунге-Кутта не дало погрешности, а графики приближенного решения с помощью рядов и численного решения методом Эйлера по мере возрастания на заданном интервале [0,1] дают небольшие отклонения, первый, начиная с точки t=0.6 (δ=0.20%) отклоняется вверх и при t=1 дает погрешность уже δ =2.99%. Решение методом Эйлера дает в сумме большую погрешность, так как уже начиная с точки t=0,2 отклонение от точного графика происходит более, чем на 1% и лежит ниже точного графика.


Задача №2.

Решить систему диф.уравнений, получить точное решение вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов(до 5 элемента), численное решение методом Эйлера,  Рунге-Кутта.  Представить графическое совместное решение, рассчитать относительную и абсолютную погрешность.

1. Решение системы ДУ операторным методом

1.1 Пусть Y(s) изображение функции y(t).Найдем вид операторного уравнения. Запишем выражение для производной х (1), для производной у (2) и для правой части  (3) использованием оператора laplase

  (1)

 (2)

    (3)

Перепишем исходное уравнение через полученные изображения, подставив значения х(0) и  y(0) в исходное выражение


Получим решение системы:


2. Приближенное решение системы ДУ с помощью рядов

   Выразим из первого уравнения системы у через х. Продифференцируем это выражение. Найденные значения у и его производной подставим во второе уравнение системы. Получим диф.уравнение второй степени, зависящее только от х.

y=x'/4-x/4                                     

y'=x''/4-x'/4                                         

x''/4-x'/4-2x+x'/4-x/4-9=0                                   

        x''/4-9/4x-9=0    (1)

 

 

Решим его с помощью рядов. Будем искать функцию х в следующем виде:

Найдем вторую производную этого выражения:

Подставим эти выражения в уравнение (1) и найдем неизвестные коэффициенты:

   

С помощью функции Find найдем значения неизвестных коэффициентов

    Given

 

 Получим решение уравнения:

 

                                                                         Графики решения системы


3. Численное решение системы ДУ методом Рунге-Кутта

        

                                                                        Графики решения системы


4. Численное решение системы ДУ методом Эйлера

Графики решения системы

 


                            Расчет погрешностей для х

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

1, Приближенное решение с помощью рядов

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1

0,000

0,00%

0,1

1,328

1,328

0,000

0,00%

0,2

2,140

2,139

0,001

0,05%

0,3

3,508

3,504

0,004

0,11%

0,4

5,556

5,553

0,003

0,05%

0,5

8,472

8,388

0,084

0,99%

0,6

12,518

12,263

0,255

2,04%

0,7

18,062

17,405

0,657

3,64%

0,8

25,607

24,101

1,506

5,88%

0,9

35,836

32,689

3,147

8,78%

1

49,678

43,55

6,128

12,34%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1,000

0,000

0,00%

0,1

1,328

1,328

0,000

0,00%

0,2

2,140

2,139

0,001

0,05%

0,3

3,508

3,507

0,001

0,03%

0,4

5,556

5,556

0,000

0,00%

0,5

8,472

8,471

0,001

0,01%

0,6

12,518

12,517

0,001

0,01%

0,7

18,062

18,060

0,002

0,01%

0,8

25,607

25,603

0,004

0,02%

0,9

35,836

35,830

0,006

0,02%

1

49,678

49,669

0,009

0,02%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Эйлера

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1,000

0,000

0,00%

0,1

1,328

1,1

0,228

17,17%

0,2

2,140

1,65

0,490

22,90%

0,3

3,508

2,659

0,849

24,20%

0,4

5,556

4,177

1,379

24,82%

0,5

8,472

6,293

2,179

25,72%

0,6

12,518

9,146

3,372

26,94%

0,7

18,062

12,925

5,137

28,44%

0,8

25,607

17,877

7,730

30,19%

0,9

35,836

24,373

11,463

31,99%

1

49,678

33,753

15,925

32,06%


                              Расчет погрешностей для у

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

1, Приближенное решение с помощью рядов

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

0,000

0

0,000

#ДЕЛ/0!

0,1

1,071

1,071

0,000

0,00%

0,2

2,149

2,147

0,002

0,09%

0,3

3,331

3,313

0,018

0,54%

0,4

4,724

4,648

0,076

1,61%

0,5

6,455

6,221

0,234

3,63%

0,6

8,680

8,093

0,587

6,76%

0,7

11,602

10,316

1,286

11,08%

0,8

15,486

12,93

2,556

16,51%

0,9

20,683

15,97

4,713

22,79%

1

27,665

19,456

8,209

29,67%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

0,000

0,000

0,000

#ДЕЛ/0!

0,1

1,071

1,071

0,000

0,00%

0,2

2,149

2,149

0,000

0,00%

0,3

3,331

3,331

0,000

0,00%

0,4

4,724

4,724

0,000

0,00%

0,5

6,455

6,454

0,001

0,02%

0,6

8,680

8,680

0,000

0,00%

0,7

11,602

11,601

0,001

0,01%

0,8

15,486

15,484

0,002

0,01%

0,9

20,683

20,680

0,003

0,01%

1

27,665

27,660

0,005

0,02%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Эйлера

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

0,000

0,000

0,000

#ДЕЛ/0!

0,1

1,071

1,1

-0,029

-2,71%

0,2

2,149

2,11

0,039

1,81%

0,3

3,331

3,129

0,202

6,06%

0,4

4,724

4,248

0,476

10,08%

0,5

6,455

5,558

0,897

13,90%

0,6

8,680

7,161

1,519

17,50%

0,7

11,602

9,174

2,428

20,93%

0,8

15,486

11,742

3,744

24,18%

0,9

20,683

15,045

5,638

27,26%

1

27,665

18,578

9,087

32,85%


                             
Совместные решения для X

                        

                        Совместные решения для Y


      
Вывод: Решение системы ДУ методом Рунге-Кутта практически не дало погрешностей, а графики приближенного решения с помощью рядов и численного решения методом Эйлера по мере возрастания на заданном интервале [0,1] дают небольшие отклонения, первый, начиная с точки t=0.2 (δ=0,05% и 0,09% для функций х и у соответственно) отклоняется вверх и при t=1 дает погрешность уже 12,34% и 29,67%. Решение методом Эйлера дает в сумме большую погрешность, так как уже начиная со второй точки t=0,1отклонение от точного графика значительное и при t=1 достигает значения δ ≈32% и лежит ниже точного графика.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1523. Теория программирования на языке Oracle 164 KB
  Архитектура Oracle. База данных. Физические и логические сегменты. Создание базы данных Oracle. Управляющие файлы. Создание, удаление и перемещение (переименование) управляющих файлов. Файлы данных. Создание, перемещение (переименование) файлов данных. Изменение состояния файлов данных. Использование CPU для нужд Oracle.
1524. Инновационный проект по разработке модели термопластавтомата 196.23 KB
  Характеристика инновационного проекта по разработке модели термопластавтомата на предприятии ООО Имид. Назначение и техническое описание инновационного проекта. Оценка эффективности инновационного проекта. Расчет затрат на электроэнергию по проекту. Анализ показателей эффективности инновационного проекта. Анализ чувствительности проекта и оценка рисков.
1525. Расчет экономических показателей деятельности предприятия 130.41 KB
  Расчет показателей динамики и состояния основных производственных фондов. Анализ влияния факторов на прирост объема произведенной продукции. Оценка влияния отдельных факторов на изменение прибыли от реализации продукции. Оценка влияния отдельных факторов на рентабельность производства.
1526. Аппарат для непрерывного преобразования значения гидростатического давления 76.5 KB
  Использование ЖКИ в диапазонах температуры окружающего воздуха. Шифр преобразователя, код модели, максимальный верхний предел измерений, ряд верхних пределов измерений, пределы допускаемых основных приведенных погрешностей преобразователей. Поверку АИР-20/М2 проводят органы Государственной метрологической службы.
1527. Финансовый и налоговый контроль 187 KB
  Понятие финансов, финансовой системы и финансовой деятельности государства и муниципальных образований. Компетенция государственных и муниципальных органов в области финансового контроля: представительных органов, исполнительных органов власти. Компетенция Счетная Палата РФ в сфере финансового контроля. Участники отношений, регулируемых законодательством о налогах и сборах.
1528. Расчет материальных затрат предприятия 67.99 KB
  Расчет расходов по освоению изделия и на специальную технологическую оснастку. Расчет заводской себестоимости и полной себестоимости агрегата. Структура основных материалов в черном весе турбоагрегата. Расчет стоимости реализуемых отходов.
1529. Логіка і методологія 166.5 KB
  РОБИТЬСЯ СПРОБА РОЗГЛЯНУТИ ПИТАННЯ, ЧИ ЛОГІКА Є МИСТЕЦТВОМ, ШЛЯХОМ ВИЗНАЧЕННЯ Й ПОДІЛУ МИСТЕЦТВА ВЗАГАЛІ. СТВЕРДЖУЄТЬСЯ, ЩО ЛОГІКА Є МИСТЕЦТВО, І ВІДКИДАЄТЬСЯ ТЕ, ЩО ЗАПЕРЕЧУЄ ЦЮ ДУМКУ. ПИТАННЮ, ЧИ ГІДНА ЛОГІКА НАЗИВАТИСЬ НАУКОЮ, ПЕРЕДУЄ РОЗВІДКА ПРО ВИЗНАЧЕННЯ І ПОДІЛ НАУКИ ВЗАГАЛІ. ВСТАНОВЛЮЄТЬСЯ, ЩО ЛОГІКА Є НАУКОЮ У ПРЯМОМУ РОЗУМІННІ СЛОВА, Й ВІДКИДАЮТЬСЯ АРГУМЕНТИ ПРОТИВНИКІВ У ЦЬОМУ ПИТАННІ.
1530. Приспособление для сверления отверстий и фрезерования поверхностей детали 94.69 KB
  Деталь Щит представляет собой литой корпус. Метод получения заготовки – литье в кокиль. Деталь изготавливается из алюминиевого сплава АЛ7ч(АЛ9). АЛ9 – конструкционный герметичный сплав, отличается высокими литейными свойствами и герметичностью изготовленных из них отливок, обладает удовлетворительной коррозионной стойкостью.
1531. Расчет продуктов производства пива 54.85 KB
  Производим расчет выхода товарного пива на 100кг перерабатываемого сырья. Характеристика готовой продукции и процент выпуска пива. Расчёт количества промежуточных продуктов и готового пива.