172
Решение дифференциальных уравнений численными методами в пакете MathCad
Реферат
Информатика, кибернетика и программирование
решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов. Расчет погрешностей приближенных методов по сравнению с точным. Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта.
Русский
2012-11-14
356 KB
106 чел.
Уральский Государственный Университет Путей Сообщения
Кафедра «Высшая математика»
Дисциплина «Вычислительная математика»
Курсовая работа
на тему:
«Решение дифференциальных уравнений численными методами в пакете MathCad»
Выполнил: студент группы М-218
Выборский М.А.
Проверил: преподаватель
Казанцева Н.В.
Екатеринбург
2009
Задача №1. Получить: точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутта, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами, рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов.
x"-x=cos3*t
x(0)=1 x'(0)=1
Дано:
1.Точное решение ДУ операционным методом
Пусть Y(s) изображение функции х(t). Найдем вид операторного уравнения. Запишем выражение для второй пройзводной (1) и для правой части (2) использованием оператора laplase
(1)
(2)
Перепишем исходное уравнение через полученные изображения, подставив значения х(0) и х'(0) в исходное выражение
Точное решение ДУ
2. Приближенное решение с помощью рядов
Найдем функцию х в следующем виде:
Найдем вторую производную исходного выражения:
Подставим значения второй производной и правой части в исходное уравнение:
С помощью функции Find найдем значения неизвестных коэффициентов
Получим решение уравнения:
Фазовый портрет решения
3. Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта
Производная х'
Производная х''
Графики решения
Фазовый портрет решения
4. Численное решение ДУ методом Эйлера
Графики решения Фазовый портрет решения
Совместные решения
5. Расчет погрешностей приближенных методов по сравнению с точным
|
Заданный интевал t |
Точное решение ДУ |
1, Приближенное решение с помощью рядов |
Абсолютная погрешность, D |
Относительная погрешность, d - % |
|
0 |
1,000 |
1 |
0,000 |
0,00% |
|
0,1 |
1,110 |
1,110 |
0,000 |
0,00% |
|
0,2 |
1,241 |
1,241 |
0,000 |
0,00% |
|
0,3 |
1,392 |
1,392 |
0,000 |
0,00% |
|
0,4 |
1,564 |
1,563 |
0,001 |
0,06% |
|
0,5 |
1,754 |
1,753 |
0,001 |
0,06% |
|
0,6 |
1,963 |
1,959 |
0,004 |
0,20% |
|
0,7 |
2,190 |
2,179 |
0,011 |
0,50% |
|
0,8 |
2,433 |
2,409 |
0,024 |
0,99% |
|
0,9 |
2,693 |
2,645 |
0,048 |
1,78% |
|
1 |
2,972 |
2,883 |
0,089 |
2,99% |
|
Заданный интевал t |
Точное решение ДУ |
2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта |
Абсолютная погрешность, D |
Относительная погрешность, d - % |
|
0 |
1,000 |
1,000 |
0,000 |
0,00% |
|
0,1 |
1,110 |
1,110 |
0,000 |
0,00% |
|
0,2 |
1,241 |
1,241 |
0,000 |
0,00% |
|
0,3 |
1,392 |
1,392 |
0,000 |
0,00% |
|
0,4 |
1,564 |
1,564 |
0,000 |
0,00% |
|
0,5 |
1,754 |
1,754 |
0,000 |
0,00% |
|
0,6 |
1,963 |
1,963 |
0,000 |
0,00% |
|
0,7 |
2,190 |
2,190 |
0,000 |
0,00% |
|
0,8 |
2,433 |
2,433 |
0,000 |
0,00% |
|
0,9 |
2,693 |
2,693 |
0,000 |
0,00% |
|
1 |
2,972 |
2,972 |
0,000 |
0,00% |
|
Заданный интевал t |
Точное решение ДУ |
2, Численное решение ДУ методом Эйлера |
Абсолютная погрешность, D |
Относительная погрешность, d - % |
|
0 |
1,000 |
1,000 |
0,000 |
0,00% |
|
0,1 |
1,110 |
1,1 |
0,010 |
0,90% |
|
0,2 |
1,241 |
1,22 |
0,021 |
1,69% |
|
0,3 |
1,392 |
1,361 |
0,031 |
2,23% |
|
0,4 |
1,564 |
1,522 |
0,042 |
2,69% |
|
0,5 |
1,754 |
1,702 |
0,052 |
2,96% |
|
0,6 |
1,963 |
1,902 |
0,061 |
3,11% |
|
0,7 |
2,190 |
2,119 |
0,071 |
3,24% |
|
0,8 |
2,433 |
2,354 |
0,079 |
3,25% |
|
0,9 |
2,693 |
2,604 |
0,089 |
3,30% |
|
1 |
2,972 |
2,87 |
0,102 |
3,43% |
Вывод: численное решение ДУ методом Рунге-Кутта не дало погрешности, а графики приближенного решения с помощью рядов и численного решения методом Эйлера по мере возрастания на заданном интервале [0,1] дают небольшие отклонения, первый, начиная с точки t=0.6 (δ=0.20%) отклоняется вверх и при t=1 дает погрешность уже δ =2.99%. Решение методом Эйлера дает в сумме большую погрешность, так как уже начиная с точки t=0,2 отклонение от точного графика происходит более, чем на 1% и лежит ниже точного графика.
Задача №2.
Решить систему диф.уравнений, получить точное решение вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов(до 5 элемента), численное решение методом Эйлера, Рунге-Кутта. Представить графическое совместное решение, рассчитать относительную и абсолютную погрешность.
1. Решение системы ДУ операторным методом
1.1 Пусть Y(s) изображение функции y(t).Найдем вид операторного уравнения. Запишем выражение для производной х (1), для производной у (2) и для правой части (3) использованием оператора laplase
(1)
(2)
(3)
Перепишем исходное уравнение через полученные изображения, подставив значения х(0) и y(0) в исходное выражение
Получим решение системы:
2. Приближенное решение системы ДУ с помощью рядов
Выразим из первого уравнения системы у через х. Продифференцируем это выражение. Найденные значения у и его производной подставим во второе уравнение системы. Получим диф.уравнение второй степени, зависящее только от х.
y=x'/4-x/4
y'=x''/4-x'/4
x''/4-x'/4-2x+x'/4-x/4-9=0
x''/4-9/4x-9=0 (1)
Решим его с помощью рядов. Будем искать функцию х в следующем виде:
Найдем вторую производную этого выражения:
Подставим эти выражения в уравнение (1) и найдем неизвестные коэффициенты:
С помощью функции Find найдем значения неизвестных коэффициентов
Given
Получим решение уравнения:
Графики решения системы
3. Численное решение системы ДУ методом Рунге-Кутта
Графики решения системы
4. Численное решение системы ДУ методом Эйлера
Графики решения системы
Расчет погрешностей для х
|
Заданный интевал t |
Точное решение ДУ |
1, Приближенное решение с помощью рядов |
Абсолютная погрешность, D |
Относительная погрешность, d - % |
|
0 |
1,000 |
1 |
0,000 |
0,00% |
|
0,1 |
1,328 |
1,328 |
0,000 |
0,00% |
|
0,2 |
2,140 |
2,139 |
0,001 |
0,05% |
|
0,3 |
3,508 |
3,504 |
0,004 |
0,11% |
|
0,4 |
5,556 |
5,553 |
0,003 |
0,05% |
|
0,5 |
8,472 |
8,388 |
0,084 |
0,99% |
|
0,6 |
12,518 |
12,263 |
0,255 |
2,04% |
|
0,7 |
18,062 |
17,405 |
0,657 |
3,64% |
|
0,8 |
25,607 |
24,101 |
1,506 |
5,88% |
|
0,9 |
35,836 |
32,689 |
3,147 |
8,78% |
|
1 |
49,678 |
43,55 |
6,128 |
12,34% |
|
Заданный интевал t |
Точное решение ДУ |
2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта |
Абсолютная погрешность, D |
Относительная погрешность, d - % |
|
0 |
1,000 |
1,000 |
0,000 |
0,00% |
|
0,1 |
1,328 |
1,328 |
0,000 |
0,00% |
|
0,2 |
2,140 |
2,139 |
0,001 |
0,05% |
|
0,3 |
3,508 |
3,507 |
0,001 |
0,03% |
|
0,4 |
5,556 |
5,556 |
0,000 |
0,00% |
|
0,5 |
8,472 |
8,471 |
0,001 |
0,01% |
|
0,6 |
12,518 |
12,517 |
0,001 |
0,01% |
|
0,7 |
18,062 |
18,060 |
0,002 |
0,01% |
|
0,8 |
25,607 |
25,603 |
0,004 |
0,02% |
|
0,9 |
35,836 |
35,830 |
0,006 |
0,02% |
|
1 |
49,678 |
49,669 |
0,009 |
0,02% |
|
Заданный интевал t |
Точное решение ДУ |
2, Численное решение ДУ методом Эйлера |
Абсолютная погрешность, D |
Относительная погрешность, d - % |
|
0 |
1,000 |
1,000 |
0,000 |
0,00% |
|
0,1 |
1,328 |
1,1 |
0,228 |
17,17% |
|
0,2 |
2,140 |
1,65 |
0,490 |
22,90% |
|
0,3 |
3,508 |
2,659 |
0,849 |
24,20% |
|
0,4 |
5,556 |
4,177 |
1,379 |
24,82% |
|
0,5 |
8,472 |
6,293 |
2,179 |
25,72% |
|
0,6 |
12,518 |
9,146 |
3,372 |
26,94% |
|
0,7 |
18,062 |
12,925 |
5,137 |
28,44% |
|
0,8 |
25,607 |
17,877 |
7,730 |
30,19% |
|
0,9 |
35,836 |
24,373 |
11,463 |
31,99% |
|
1 |
49,678 |
33,753 |
15,925 |
32,06% |
Расчет погрешностей для у
|
Заданный интевал t |
Точное решение ДУ |
1, Приближенное решение с помощью рядов |
Абсолютная погрешность, D |
Относительная погрешность, d - % |
|
0 |
0,000 |
0 |
0,000 |
#ДЕЛ/0! |
|
0,1 |
1,071 |
1,071 |
0,000 |
0,00% |
|
0,2 |
2,149 |
2,147 |
0,002 |
0,09% |
|
0,3 |
3,331 |
3,313 |
0,018 |
0,54% |
|
0,4 |
4,724 |
4,648 |
0,076 |
1,61% |
|
0,5 |
6,455 |
6,221 |
0,234 |
3,63% |
|
0,6 |
8,680 |
8,093 |
0,587 |
6,76% |
|
0,7 |
11,602 |
10,316 |
1,286 |
11,08% |
|
0,8 |
15,486 |
12,93 |
2,556 |
16,51% |
|
0,9 |
20,683 |
15,97 |
4,713 |
22,79% |
|
1 |
27,665 |
19,456 |
8,209 |
29,67% |
|
Заданный интевал t |
Точное решение ДУ |
2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта |
Абсолютная погрешность, D |
Относительная погрешность, d - % |
|
0 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
#ДЕЛ/0! |
|
0,1 |
1,071 |
1,071 |
0,000 |
0,00% |
|
0,2 |
2,149 |
2,149 |
0,000 |
0,00% |
|
0,3 |
3,331 |
3,331 |
0,000 |
0,00% |
|
0,4 |
4,724 |
4,724 |
0,000 |
0,00% |
|
0,5 |
6,455 |
6,454 |
0,001 |
0,02% |
|
0,6 |
8,680 |
8,680 |
0,000 |
0,00% |
|
0,7 |
11,602 |
11,601 |
0,001 |
0,01% |
|
0,8 |
15,486 |
15,484 |
0,002 |
0,01% |
|
0,9 |
20,683 |
20,680 |
0,003 |
0,01% |
|
1 |
27,665 |
27,660 |
0,005 |
0,02% |
|
Заданный интевал t |
Точное решение ДУ |
2, Численное решение ДУ методом Эйлера |
Абсолютная погрешность, D |
Относительная погрешность, d - % |
|
0 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
#ДЕЛ/0! |
|
0,1 |
1,071 |
1,1 |
-0,029 |
-2,71% |
|
0,2 |
2,149 |
2,11 |
0,039 |
1,81% |
|
0,3 |
3,331 |
3,129 |
0,202 |
6,06% |
|
0,4 |
4,724 |
4,248 |
0,476 |
10,08% |
|
0,5 |
6,455 |
5,558 |
0,897 |
13,90% |
|
0,6 |
8,680 |
7,161 |
1,519 |
17,50% |
|
0,7 |
11,602 |
9,174 |
2,428 |
20,93% |
|
0,8 |
15,486 |
11,742 |
3,744 |
24,18% |
|
0,9 |
20,683 |
15,045 |
5,638 |
27,26% |
|
1 |
27,665 |
18,578 |
9,087 |
32,85% |
Совместные решения для X
Совместные решения для Y
Вывод: Решение системы ДУ методом Рунге-Кутта практически не дало погрешностей, а графики приближенного решения с помощью рядов и численного решения методом Эйлера по мере возрастания на заданном интервале [0,1] дают небольшие отклонения, первый, начиная с точки t=0.2 (δ=0,05% и 0,09% для функций х и у соответственно) отклоняется вверх и при t=1 дает погрешность уже 12,34% и 29,67%. Решение методом Эйлера дает в сумме большую погрешность, так как уже начиная со второй точки t=0,1отклонение от точного графика значительное и при t=1 достигает значения δ ≈32% и лежит ниже точного графика.
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
| 3861. | Фрейми. Інтерактивні Web-сторінки | 33.5 KB | |
| Фрейми. Інтерактивні Web-сторінки Мета роботи - після виконання роботи студент повинен знати: базові команди мови HTML з реалізації фреймів основи мови HTML зі створення форм базові команди мови HTML із реалізації меню принципи створення інтеракт... | |||
| 3862. | Философия как дисциплина научного познания. Генезис философии | 470 KB | |
| Генезис философии. Нужно отметить, что генезис является проблемой для самой философии, развиваясь, она постоянно сталкивается с проблемой собственного возникновения, ибо, только решив ее, философия сможет в полной мере осознать свою сущность. Сущест... | |||
| 3863. | Контрольна робота. Механіка матеріальної точки | 86.01 KB | |
| Механіка матеріальної точки За заданими рівняннями руху х=х(t), у=у(y) (та z=z(t) для 2 рівня складності) матеріальної точки масою т =1кг встановити: Рівняння та вид траєкторії точки побудувати графік. Вектори переміщення, середньої швидкості та їх... | |||
| 3864. | Управляющие операторы или принятие решений в VB6 | 428.5 KB | |
| Управляющие операторы или принятие решений в VB6. Операторы, которые могут изменить последовательность выполнения операторов процедуры. Основанием для принятия решений в управляющих операторах являются условные (логические) выражения. Логические вы... | |||
| 3865. | Основні поняття та закони хімії. Конспект лекцій | 3.89 MB | |
| ВСТУП Без знання основ хімії неможливе успішне вивчення технічних і технологічних дисциплін. Метою курсу є оволодіння студентами знань, необхідних їм для розуміння хімічних та технологічних явищ, які лежать в основі перетворень процесів зварювання... | |||
| 3866. | Работа с листом. Выделение объектов | 3.16 MB | |
| Работа с листом. Выделение объектов Ячейка, блок ячеек, строка, диапазон строк, столбец, диапазон столбцов, лист, книга - это основные объекты, с которыми работает пользователь Excel. Принцип робот с объектами одинаков для всех программ Windows: на... | |||
| 3867. | Запуск Excel. Основные понятия | 830.33 KB | |
| Запуск Excel. Основные понятия Запустить электронную таблицу Excel можно из главного меню, пункт Программы. При частом обращении к этой программе удобно поместить ее ярлык на рабочий стол, и пользоваться им для запуска Excel. Кроме того, двойное щел... | |||
| 3868. | Моделирование решения уравнений в среде электронных таблиц MS Excel | 74.9 KB | |
| Моделирование решения уравнений в среде электронных таблиц MS Excel Основная задача нашего сегодняшнего урока - это научиться решать уравнения различными методами, а также моделировать процесс решения определенного вида уравнений в зависимости от зн... | |||
| 3869. | Формулы в Microsoft Excel | 407.37 KB | |
| Формулы в Microsoft Excel Общие сведения Excel - программируемый табличный калькулятор. Все расчеты в Excel выполняют формулы. Формулой Excel считает все, что начинается со знака "=". Если в ячейке написать просто "1+1", Excel не будет вычислять это... | |||
