ID: 172

Название работы: Решение дифференциальных уравнений численными методами в пакете MathCad

Категория: Реферат

Предметная область: Информатика, кибернетика и программирование

Описание: решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов. Расчет погрешностей приближенных методов по сравнению с точным. Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта.

Язык: Русский

Дата добавления: 2012-11-14

Размер файла: 356 KB

Работу скачали: 106 чел.

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

                                                       Кафедра «Высшая математика»

                                                       Дисциплина «Вычислительная математика»

Курсовая работа

на тему:

«Решение дифференциальных уравнений численными методами в пакете MathCad»

                                                                      Выполнил: студент группы М-218

                                                                      Выборский М.А.

                                                                     

                                                                      Проверил: преподаватель

                                 Казанцева Н.В.

Екатеринбург

2009

Задача №1. Получить: точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутта, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами, рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов.

x"-x=cos3*t

x(0)=1    x'(0)=1

Дано:

1.Точное решение ДУ операционным методом

 

  Пусть Y(s) изображение функции х(t). Найдем вид операторного уравнения. Запишем выражение для второй  пройзводной (1) и для правой части (2) использованием оператора laplase

(1)

                                      (2)

Перепишем исходное уравнение через полученные изображения, подставив значения х(0) и х'(0) в исходное выражение

             Точное решение ДУ

2. Приближенное решение с помощью рядов

     Найдем функцию х в следующем виде:

 Найдем вторую производную исходного выражения:

                                                            Подставим значения второй производной и правой части в исходное    уравнение:

С помощью функции Find найдем значения неизвестных коэффициентов

            Получим решение уравнения:

      

      Фазовый портрет решения

3. Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Производная х'

Производная х''

                 Графики решения

Фазовый портрет решения

4. Численное решение ДУ методом Эйлера

      Графики решения                                                      Фазовый портрет решения

        

                   

                                     Совместные решения

5. Расчет погрешностей приближенных методов по сравнению с точным

 

Заданный интевал t	Точное решение ДУ	1, Приближенное решение с помощью рядов	Абсолютная погрешность, D	Относительная погрешность, d - %
0	1,000	1	0,000	0,00%
0,1	1,110	1,110	0,000	0,00%
0,2	1,241	1,241	0,000	0,00%
0,3	1,392	1,392	0,000	0,00%
0,4	1,564	1,563	0,001	0,06%
0,5	1,754	1,753	0,001	0,06%
0,6	1,963	1,959	0,004	0,20%
0,7	2,190	2,179	0,011	0,50%
0,8	2,433	2,409	0,024	0,99%
0,9	2,693	2,645	0,048	1,78%
1	2,972	2,883	0,089	2,99%
Заданный интевал t	Точное решение ДУ	2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта	Абсолютная погрешность, D	Относительная погрешность, d - %
0	1,000	1,000	0,000	0,00%
0,1	1,110	1,110	0,000	0,00%
0,2	1,241	1,241	0,000	0,00%
0,3	1,392	1,392	0,000	0,00%
0,4	1,564	1,564	0,000	0,00%
0,5	1,754	1,754	0,000	0,00%
0,6	1,963	1,963	0,000	0,00%
0,7	2,190	2,190	0,000	0,00%
0,8	2,433	2,433	0,000	0,00%
0,9	2,693	2,693	0,000	0,00%
1	2,972	2,972	0,000	0,00%
Заданный интевал t	Точное решение ДУ	2, Численное решение ДУ методом Эйлера	Абсолютная погрешность, D	Относительная погрешность, d - %
0	1,000	1,000	0,000	0,00%
0,1	1,110	1,1	0,010	0,90%
0,2	1,241	1,22	0,021	1,69%
0,3	1,392	1,361	0,031	2,23%
0,4	1,564	1,522	0,042	2,69%
0,5	1,754	1,702	0,052	2,96%
0,6	1,963	1,902	0,061	3,11%
0,7	2,190	2,119	0,071	3,24%
0,8	2,433	2,354	0,079	3,25%
0,9	2,693	2,604	0,089	3,30%
1	2,972	2,87	0,102	3,43%

  Вывод: численное решение ДУ методом Рунге-Кутта не дало погрешности, а графики приближенного решения с помощью рядов и численного решения методом Эйлера по мере возрастания на заданном интервале [0,1] дают небольшие отклонения, первый, начиная с точки t=0.6 (δ=0.20%) отклоняется вверх и при t=1 дает погрешность уже δ =2.99%. Решение методом Эйлера дает в сумме большую погрешность, так как уже начиная с точки t=0,2 отклонение от точного графика происходит более, чем на 1% и лежит ниже точного графика.

Задача №2.

Решить систему диф.уравнений, получить точное решение вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов(до 5 элемента), численное решение методом Эйлера,  Рунге-Кутта.  Представить графическое совместное решение, рассчитать относительную и абсолютную погрешность.

1. Решение системы ДУ операторным методом

1.1 Пусть Y(s) изображение функции y(t).Найдем вид операторного уравнения. Запишем выражение для производной х (1), для производной у (2) и для правой части  (3) использованием оператора laplase

  (1)

 (2)

    (3)

Перепишем исходное уравнение через полученные изображения, подставив значения х(0) и  y(0) в исходное выражение

Получим решение системы:

2. Приближенное решение системы ДУ с помощью рядов

   Выразим из первого уравнения системы у через х. Продифференцируем это выражение. Найденные значения у и его производной подставим во второе уравнение системы. Получим диф.уравнение второй степени, зависящее только от х.

y=x'/4-x/4                                     

y'=x''/4-x'/4                                         

x''/4-x'/4-2x+x'/4-x/4-9=0                                   

        x''/4-9/4x-9=0    (1)

 

 

Решим его с помощью рядов. Будем искать функцию х в следующем виде:

Найдем вторую производную этого выражения:

Подставим эти выражения в уравнение (1) и найдем неизвестные коэффициенты:

   

С помощью функции Find найдем значения неизвестных коэффициентов

    Given

 

 Получим решение уравнения:

 

                                                                         Графики решения системы

3. Численное решение системы ДУ методом Рунге-Кутта

        

                                                                        Графики решения системы

4. Численное решение системы ДУ методом Эйлера

Графики решения системы

 

                            Расчет погрешностей для х

Заданный интевал t	Точное решение ДУ	1, Приближенное решение с помощью рядов	Абсолютная погрешность, D	Относительная погрешность, d - %
0	1,000	1	0,000	0,00%
0,1	1,328	1,328	0,000	0,00%
0,2	2,140	2,139	0,001	0,05%
0,3	3,508	3,504	0,004	0,11%
0,4	5,556	5,553	0,003	0,05%
0,5	8,472	8,388	0,084	0,99%
0,6	12,518	12,263	0,255	2,04%
0,7	18,062	17,405	0,657	3,64%
0,8	25,607	24,101	1,506	5,88%
0,9	35,836	32,689	3,147	8,78%
1	49,678	43,55	6,128	12,34%
Заданный интевал t	Точное решение ДУ	2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта	Абсолютная погрешность, D	Относительная погрешность, d - %
0	1,000	1,000	0,000	0,00%
0,1	1,328	1,328	0,000	0,00%
0,2	2,140	2,139	0,001	0,05%
0,3	3,508	3,507	0,001	0,03%
0,4	5,556	5,556	0,000	0,00%
0,5	8,472	8,471	0,001	0,01%
0,6	12,518	12,517	0,001	0,01%
0,7	18,062	18,060	0,002	0,01%
0,8	25,607	25,603	0,004	0,02%
0,9	35,836	35,830	0,006	0,02%
1	49,678	49,669	0,009	0,02%
Заданный интевал t	Точное решение ДУ	2, Численное решение ДУ методом Эйлера	Абсолютная погрешность, D	Относительная погрешность, d - %
0	1,000	1,000	0,000	0,00%
0,1	1,328	1,1	0,228	17,17%
0,2	2,140	1,65	0,490	22,90%
0,3	3,508	2,659	0,849	24,20%
0,4	5,556	4,177	1,379	24,82%
0,5	8,472	6,293	2,179	25,72%
0,6	12,518	9,146	3,372	26,94%
0,7	18,062	12,925	5,137	28,44%
0,8	25,607	17,877	7,730	30,19%
0,9	35,836	24,373	11,463	31,99%
1	49,678	33,753	15,925	32,06%

                              Расчет погрешностей для у

Заданный интевал t	Точное решение ДУ	1, Приближенное решение с помощью рядов	Абсолютная погрешность, D	Относительная погрешность, d - %
0	0,000	0	0,000	#ДЕЛ/0!
0,1	1,071	1,071	0,000	0,00%
0,2	2,149	2,147	0,002	0,09%
0,3	3,331	3,313	0,018	0,54%
0,4	4,724	4,648	0,076	1,61%
0,5	6,455	6,221	0,234	3,63%
0,6	8,680	8,093	0,587	6,76%
0,7	11,602	10,316	1,286	11,08%
0,8	15,486	12,93	2,556	16,51%
0,9	20,683	15,97	4,713	22,79%
1	27,665	19,456	8,209	29,67%
Заданный интевал t	Точное решение ДУ	2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта	Абсолютная погрешность, D	Относительная погрешность, d - %
0	0,000	0,000	0,000	#ДЕЛ/0!
0,1	1,071	1,071	0,000	0,00%
0,2	2,149	2,149	0,000	0,00%
0,3	3,331	3,331	0,000	0,00%
0,4	4,724	4,724	0,000	0,00%
0,5	6,455	6,454	0,001	0,02%
0,6	8,680	8,680	0,000	0,00%
0,7	11,602	11,601	0,001	0,01%
0,8	15,486	15,484	0,002	0,01%
0,9	20,683	20,680	0,003	0,01%
1	27,665	27,660	0,005	0,02%
Заданный интевал t	Точное решение ДУ	2, Численное решение ДУ методом Эйлера	Абсолютная погрешность, D	Относительная погрешность, d - %
0	0,000	0,000	0,000	#ДЕЛ/0!
0,1	1,071	1,1	-0,029	-2,71%
0,2	2,149	2,11	0,039	1,81%
0,3	3,331	3,129	0,202	6,06%
0,4	4,724	4,248	0,476	10,08%
0,5	6,455	5,558	0,897	13,90%
0,6	8,680	7,161	1,519	17,50%
0,7	11,602	9,174	2,428	20,93%
0,8	15,486	11,742	3,744	24,18%
0,9	20,683	15,045	5,638	27,26%
1	27,665	18,578	9,087	32,85%

                             Совместные решения для X

                        

                        Совместные решения для Y

      Вывод: Решение системы ДУ методом Рунге-Кутта практически не дало погрешностей, а графики приближенного решения с помощью рядов и численного решения методом Эйлера по мере возрастания на заданном интервале [0,1] дают небольшие отклонения, первый, начиная с точки t=0.2 (δ=0,05% и 0,09% для функций х и у соответственно) отклоняется вверх и при t=1 дает погрешность уже 12,34% и 29,67%. Решение методом Эйлера дает в сумме большую погрешность, так как уже начиная со второй точки t=0,1отклонение от точного графика значительное и при t=1 достигает значения δ ≈32% и лежит ниже точного графика.