172

Решение дифференциальных уравнений численными методами в пакете MathCad

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов. Расчет погрешностей приближенных методов по сравнению с точным. Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта.

Русский

2012-11-14

356 KB

105 чел.

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

                                                       Кафедра «Высшая математика»

                                                       Дисциплина «Вычислительная математика»

Курсовая работа

на тему:

«Решение дифференциальных уравнений численными методами в пакете MathCad»

                                                                      Выполнил: студент группы М-218

                                                                      Выборский М.А.

                                                                     

                                                                      Проверил: преподаватель

                                 Казанцева Н.В.

Екатеринбург

2009


Задача №1. Получить: точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутта, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами, рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов.

x"-x=cos3*t

x(0)=1    x'(0)=1

Дано:

1.Точное решение ДУ операционным методом

 

  Пусть Y(s) изображение функции х(t). Найдем вид операторного уравнения. Запишем выражение для второй  пройзводной (1) и для правой части (2) использованием оператора laplase

(1)

                                      (2)

Перепишем исходное уравнение через полученные изображения, подставив значения х(0) и х'(0) в исходное выражение


             Точное решение ДУ

2. Приближенное решение с помощью рядов

     Найдем функцию х в следующем виде:

 Найдем вторую производную исходного выражения:

                                                            Подставим значения второй производной и правой части в исходное    уравнение:

С помощью функции Find найдем значения неизвестных коэффициентов


            Получим решение уравнения:

      

      Фазовый портрет решения

3. Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Производная х'

Производная х''

                 Графики решения

Фазовый портрет решения


4. Численное решение ДУ методом Эйлера

      Графики решения                                                      Фазовый портрет решения

        

                   

                                     Совместные решения

5. Расчет погрешностей приближенных методов по сравнению с точным

 

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

1, Приближенное решение с помощью рядов

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1

0,000

0,00%

0,1

1,110

1,110

0,000

0,00%

0,2

1,241

1,241

0,000

0,00%

0,3

1,392

1,392

0,000

0,00%

0,4

1,564

1,563

0,001

0,06%

0,5

1,754

1,753

0,001

0,06%

0,6

1,963

1,959

0,004

0,20%

0,7

2,190

2,179

0,011

0,50%

0,8

2,433

2,409

0,024

0,99%

0,9

2,693

2,645

0,048

1,78%

1

2,972

2,883

0,089

2,99%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1,000

0,000

0,00%

0,1

1,110

1,110

0,000

0,00%

0,2

1,241

1,241

0,000

0,00%

0,3

1,392

1,392

0,000

0,00%

0,4

1,564

1,564

0,000

0,00%

0,5

1,754

1,754

0,000

0,00%

0,6

1,963

1,963

0,000

0,00%

0,7

2,190

2,190

0,000

0,00%

0,8

2,433

2,433

0,000

0,00%

0,9

2,693

2,693

0,000

0,00%

1

2,972

2,972

0,000

0,00%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Эйлера

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1,000

0,000

0,00%

0,1

1,110

1,1

0,010

0,90%

0,2

1,241

1,22

0,021

1,69%

0,3

1,392

1,361

0,031

2,23%

0,4

1,564

1,522

0,042

2,69%

0,5

1,754

1,702

0,052

2,96%

0,6

1,963

1,902

0,061

3,11%

0,7

2,190

2,119

0,071

3,24%

0,8

2,433

2,354

0,079

3,25%

0,9

2,693

2,604

0,089

3,30%

1

2,972

2,87

0,102

3,43%

  Вывод: численное решение ДУ методом Рунге-Кутта не дало погрешности, а графики приближенного решения с помощью рядов и численного решения методом Эйлера по мере возрастания на заданном интервале [0,1] дают небольшие отклонения, первый, начиная с точки t=0.6 (δ=0.20%) отклоняется вверх и при t=1 дает погрешность уже δ =2.99%. Решение методом Эйлера дает в сумме большую погрешность, так как уже начиная с точки t=0,2 отклонение от точного графика происходит более, чем на 1% и лежит ниже точного графика.


Задача №2.

Решить систему диф.уравнений, получить точное решение вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов(до 5 элемента), численное решение методом Эйлера,  Рунге-Кутта.  Представить графическое совместное решение, рассчитать относительную и абсолютную погрешность.

1. Решение системы ДУ операторным методом

1.1 Пусть Y(s) изображение функции y(t).Найдем вид операторного уравнения. Запишем выражение для производной х (1), для производной у (2) и для правой части  (3) использованием оператора laplase

  (1)

 (2)

    (3)

Перепишем исходное уравнение через полученные изображения, подставив значения х(0) и  y(0) в исходное выражение


Получим решение системы:


2. Приближенное решение системы ДУ с помощью рядов

   Выразим из первого уравнения системы у через х. Продифференцируем это выражение. Найденные значения у и его производной подставим во второе уравнение системы. Получим диф.уравнение второй степени, зависящее только от х.

y=x'/4-x/4                                     

y'=x''/4-x'/4                                         

x''/4-x'/4-2x+x'/4-x/4-9=0                                   

        x''/4-9/4x-9=0    (1)

 

 

Решим его с помощью рядов. Будем искать функцию х в следующем виде:

Найдем вторую производную этого выражения:

Подставим эти выражения в уравнение (1) и найдем неизвестные коэффициенты:

   

С помощью функции Find найдем значения неизвестных коэффициентов

    Given

 

 Получим решение уравнения:

 

                                                                         Графики решения системы


3. Численное решение системы ДУ методом Рунге-Кутта

        

                                                                        Графики решения системы


4. Численное решение системы ДУ методом Эйлера

Графики решения системы

 


                            Расчет погрешностей для х

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

1, Приближенное решение с помощью рядов

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1

0,000

0,00%

0,1

1,328

1,328

0,000

0,00%

0,2

2,140

2,139

0,001

0,05%

0,3

3,508

3,504

0,004

0,11%

0,4

5,556

5,553

0,003

0,05%

0,5

8,472

8,388

0,084

0,99%

0,6

12,518

12,263

0,255

2,04%

0,7

18,062

17,405

0,657

3,64%

0,8

25,607

24,101

1,506

5,88%

0,9

35,836

32,689

3,147

8,78%

1

49,678

43,55

6,128

12,34%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1,000

0,000

0,00%

0,1

1,328

1,328

0,000

0,00%

0,2

2,140

2,139

0,001

0,05%

0,3

3,508

3,507

0,001

0,03%

0,4

5,556

5,556

0,000

0,00%

0,5

8,472

8,471

0,001

0,01%

0,6

12,518

12,517

0,001

0,01%

0,7

18,062

18,060

0,002

0,01%

0,8

25,607

25,603

0,004

0,02%

0,9

35,836

35,830

0,006

0,02%

1

49,678

49,669

0,009

0,02%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Эйлера

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

1,000

1,000

0,000

0,00%

0,1

1,328

1,1

0,228

17,17%

0,2

2,140

1,65

0,490

22,90%

0,3

3,508

2,659

0,849

24,20%

0,4

5,556

4,177

1,379

24,82%

0,5

8,472

6,293

2,179

25,72%

0,6

12,518

9,146

3,372

26,94%

0,7

18,062

12,925

5,137

28,44%

0,8

25,607

17,877

7,730

30,19%

0,9

35,836

24,373

11,463

31,99%

1

49,678

33,753

15,925

32,06%


                              Расчет погрешностей для у

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

1, Приближенное решение с помощью рядов

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

0,000

0

0,000

#ДЕЛ/0!

0,1

1,071

1,071

0,000

0,00%

0,2

2,149

2,147

0,002

0,09%

0,3

3,331

3,313

0,018

0,54%

0,4

4,724

4,648

0,076

1,61%

0,5

6,455

6,221

0,234

3,63%

0,6

8,680

8,093

0,587

6,76%

0,7

11,602

10,316

1,286

11,08%

0,8

15,486

12,93

2,556

16,51%

0,9

20,683

15,97

4,713

22,79%

1

27,665

19,456

8,209

29,67%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Рунге-Кутта

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

0,000

0,000

0,000

#ДЕЛ/0!

0,1

1,071

1,071

0,000

0,00%

0,2

2,149

2,149

0,000

0,00%

0,3

3,331

3,331

0,000

0,00%

0,4

4,724

4,724

0,000

0,00%

0,5

6,455

6,454

0,001

0,02%

0,6

8,680

8,680

0,000

0,00%

0,7

11,602

11,601

0,001

0,01%

0,8

15,486

15,484

0,002

0,01%

0,9

20,683

20,680

0,003

0,01%

1

27,665

27,660

0,005

0,02%

Заданный интевал t

Точное решение ДУ

2, Численное решение ДУ методом Эйлера

Абсолютная погрешность, D

Относительная погрешность, d - %

0

0,000

0,000

0,000

#ДЕЛ/0!

0,1

1,071

1,1

-0,029

-2,71%

0,2

2,149

2,11

0,039

1,81%

0,3

3,331

3,129

0,202

6,06%

0,4

4,724

4,248

0,476

10,08%

0,5

6,455

5,558

0,897

13,90%

0,6

8,680

7,161

1,519

17,50%

0,7

11,602

9,174

2,428

20,93%

0,8

15,486

11,742

3,744

24,18%

0,9

20,683

15,045

5,638

27,26%

1

27,665

18,578

9,087

32,85%


                             
Совместные решения для X

                        

                        Совместные решения для Y


      
Вывод: Решение системы ДУ методом Рунге-Кутта практически не дало погрешностей, а графики приближенного решения с помощью рядов и численного решения методом Эйлера по мере возрастания на заданном интервале [0,1] дают небольшие отклонения, первый, начиная с точки t=0.2 (δ=0,05% и 0,09% для функций х и у соответственно) отклоняется вверх и при t=1 дает погрешность уже 12,34% и 29,67%. Решение методом Эйлера дает в сумме большую погрешность, так как уже начиная со второй точки t=0,1отклонение от точного графика значительное и при t=1 достигает значения δ ≈32% и лежит ниже точного графика.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53839. Космічна мандрівка. Відкритий урок у початковій школі. Інтегрований урок з природознавства і математики (4 клас) 63.5 KB
  Це найближча до Сонця планета її відстань до Сонця змінюється від 46 до 70 млн. Це найшвидша планета адже за рік вона оббігає навколо Сонця аж 4рази. А дізнатися що ближче до Сонця: Земля чи Меркурій і на скільки ви зможете розв’язавши задачу: Відстань від Сонця до Землі в средньому 150 млн.км а від Сонця до Меркурія 58 млн.
53840. Закрепление изученного материала. Сложение и вычитание в пределах 100 43.5 KB
  Оборудование: Интерактивная доска презентация учебник цепочка чисел. 9 7 = 16 о 30 4 = 34 а 60 20 = 80 у 70 – 1 = 69 б 12 – 7 = 5 р 28 – 20 = 8 и 96 1 = 97 т 8 6 = 14 н Чему равна сумма чисел 9 и 7 16 Чему равна сумма чисел 60 и 20 80 Чему равна разность чисел 12 и 7 5 Чему равна сумма чисел 96 и 1 97...
53841. Адресовані людям вірші – найщиріший у світі лист, присвяченої творчості Ліни Костенко 108.5 KB
  Обладнання: мультимедійна апаратура портрет Ліни Костенко виставка книг поетеси плакати з висловами: Не забувайте незабутнє І не знецінюйте коштовне Не загубіться у юрбі. Костенко Не бійся прикрого рядка Прозрінь не бійсябо вони як піки Не бійся правди хоч яка гірка Не бійся смутків хоч вони як ріки. Костенко Творчість Ліни Костенко – приклад шляхетного служіння поезії.
53842. Анализ финансово-хозяйственной деятельности предприятия, классификация задач анализа 28.5 KB
  Анализ финансово-хозяйственную деятельность предприятия входит в число основных направлений деятельности финансового менеджера. Он формирует объективную основу успешного управления финансами организации.
53843. Коти – пухнасті улюбленці людей. Історія одомашнювання кішки. Породи котів 150.5 KB
  Історія одомашнювання кішки. Кішки Діти а у кого дома є кішечка або котик Розповіді дітей про своїх улюбленців. Історичні відомості з одомашнювання кішки розповідь учителя. Діти а чи знаєте ви що протягом багатьох століть кішки вважалися тваринами загадковими таємничими повязаними з надприродними силами.
53844. Сценарій виховного заходу за темою: «Наша мрія крилата – стати справжніми козачатами» 72 KB
  Не сумуйте гори й ріки Не журиться мами: Коли виростем великі – Будем козаками Приспів: Гей хто любить Наш козацький край З нами разом Козаком ставай Хлопець: Мамо моя За час за годину Свиснуть кулі заграють гармати. Звучить пісня Гей на горі та й женці жнуть. Для присяги звучить пісня Гей там на горі Січ іде: Гей там на горі Січ іде. Гей малиновий стяг несе.
53845. КОЗАЦЬКОМУ РОДУ – НЕМА ПЕРЕВОДУ 67 KB
  Карта козаків Козацька вікторина. Але підростають достойні нащадки козаків. А чи ж були у козаків скрині Дійсно кожному відомо що у козаків насамперед був кінь стрімкий шабля гостра шаровари червоного кольору А що ще ви знаєте про козаків Давайте – но пригадаємо історію Сьогодні ми станемо свідками Козацьких розваг між двома курінями козаків і козачок. Отже зустрічаємо наших сильних вихованих розумних чесних козаків та приголомшливо прекрасних чарівних спокусливих козачок Знайомство команд.
53846. Доба героїчних походів козаків. Петро Конашевич-Сагайдачний 116.5 KB
  Доба героїчних походів козаків. Мета: розглянути напрями морських походів козаків; охарактеризувати діяльність гетьмана П. Актуалізація опорних знань учнів: фронтальна бесіда: Про кого ми вивчаємо у 8класі про козаків; Хто такі козаки Які причини виникнення козацтва З ким воювали козаки поляками турками ІІІ. План Доба героїчних походів козаків.
53847. Козацькому роду нема переводу (конкурс-змагання 2-х команд) 3-і класи 47.5 KB
  Складемо Присягу юних козачат Бути чесним і сміливим Присягаємось Боронити справедливість Присягаємось Цінувати побратимство Присягаємось Шанувати всі народи Присягаємось І плекати рідну мову Присягаємось Щоб козацькому роду не було переводу. Присягаємось на вірність Вітчизні й народу. Присягаємось Присягаємось Присягаємось Журі підводить підсумки.