17289

КУРС ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ Короткий конспект лекцій

Конспект

Математика и математический анализ

Курс вищої математики. Частина 1.€ КУРС ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ Короткий конспект лекцій ЧАСТИНА 1 2005 Комплексні числа. Визначення. Комплексним числом z називається вираз де a і b – дійсні числа i – уявна одиниця що визначається співвідношенням...

Украинкский

2013-06-30

3.51 MB

232 чел.

Курс вищої математики. Частина 1.”

КУРС

ВИЩОЇ

МАТЕМАТИКИ

Короткий конспект лекцій

ЧАСТИНА 1

2005


Комплексні числа.

Визначення. Комплексним числом z називається вираз , де a і b – дійсні числа, i – уявна одиниця, що визначається співвідношенням:

При цьому число a називається дійсною частиною числа z (a = Re z), а b- уявною частиною (b = Im z).

Якщо a =Re z =0, то число z буде чисто уявним, якщо b = Im z = 0, то число z буде дійсним.

Визначення. Числа  й називаються комплексно спряженими.

Визначення. Два комплексних числа  й  називаються рівними, якщо відповідно рівні їх дійсні й уявні частини:

Визначення. Комплексне число дорівнює нулю, якщо відповідно дорівнюють нулю дійсна й уявна частини.

Поняття комплексного числа має геометричне тлумачення. Множина комплексних чисел є розширенням множини дійсних чисел за рахунок включення множини уявних чисел. Комплексні числа містять у собі всі множини чисел, які вивчалися раніше. Так натуральні, цілі, раціональні, ірраціональні, дійсні числа є, загалом кажучи, окремими випадками комплексних чисел.

Якщо будь-яке дійсне число може бути геометрично представлене у вигляді точки на числовій прямій, то комплексне число представляється точкою на площині, координатами якої будуть відповідно дійсна й уявна частини комплексного числа. При цьому горизонтальна вісь буде дійсною числовою віссю, а вертикальна – уявною віссю.

 у

 A(a, b)

 r b

 

 О a x

Таким чином, на осі Ох розташовуються дійсні числа, а на осі Оу – чисто уявні.

За допомогою подібного геометричного подання можна представляти числа в так званій тригонометричній формі.

Тригонометрична форма комплексного числа.

З геометричних міркувань видно, що . Тоді комплексне число можна представити у вигляді:

Така форма запису називається тригонометричною формою запису комплексного числа.

При цьому величина r називається модулем комплексного числа, а кут нахилу аргументом комплексного числа.

.

З геометричних міркувань видно:

Очевидно, що комплексно спряжені числа мають однакові модулі й протилежні аргументи.

Дії з комплексними числами.

Основні дії з комплексними числами випливають із дій з багаточленами.

1) Додавання й віднімання.

2) Множення.

У тригонометричній формі:

,

З випадку комплексно - сполучених чисел:

3) Ділення.

У тригонометричній формі:

4) Піднесення до степеня.

З операції множення комплексних чисел треба, що

У загальному випадку одержимо:

,

де n – ціле додатне число.

Цей вираз називається формулою Муавра. (Абрахам де Муавр (1667–1754) – англійський математик)

Формулу Муавра можна використати для знаходження тригонометричних функцій подвійного, потрійного й т.д. кутів.

Приклад. Знайти формули  і .

Розглянемо деяке комплексне число

Тоді з однієї сторони .

По формулі Муавра:

Дорівнюючи, одержимо

Оскільки два комплексних числа рівні, якщо рівні їх дійсні й уявні частини, то

Одержали відомі формули подвійного кута.

5) Добування кореня з комплексного числа.

Підносячи до степеня, одержимо:

Звідси:

Таким чином, корінь n-го степеня з комплексного числа має n різних значень.

Показникова форма комплексного числа.

Розглянемо показову функцію

Можна показати, що функція w може бути записана у вигляді:

Дана рівність називається рівнянням Ейлера. Висновок цього рівняння буде розглянутий пізніше.

Для комплексних чисел будуть справедливі наступні властивості:

1)

2)

3)  де m – ціле число.

Якщо в рівнянні Ейлера показник степеня прийняти за чисто уявне число (х=0), то одержуємо:

Для комплексно спряженого числа одержуємо:

З цих двох рівнянь одержуємо:

Цими формулами користуються для знаходження значень ступенів тригонометричних функцій через функції кратних кутів.

Якщо представити комплексне число в тригонометричній формі:

і скористаємося формулою Ейлера:

Отримана рівність і є показниковою формою комплексного числа.

Розклад багаточлена на множники.

Визначення. Функція  вигляду f(x) називається цілою раціональною функцією від х.

Теорема Безу. (Етьєн Безу (1730–1783) – французький математик)

При діленні багаточлена f(x) на різницю x – a виходить остача, рівна f(a).

Доведення. При діленні багаточлена f(x) на різницю x – a часткою буде багаточлен f1(x) степеня на одиницю меншого, ніж f(x), а остачею – стале число R.

Переходячи до границі при х a, одержуємо f(a) = R.

Наслідок. Якщо, а – корінь багаточлена, тобто f(a) = 0, то багаточлен f(x) ділиться на (х – а) без остачі.

Визначення. Якщо рівняння має вигляд Р(х) = 0, де Р(х) – багаточлен степеня n, то це рівняння називається алгебраїчним рівнянням ступеня n.

Теорема. (Основна теорема алгебри) Усяка ціла раціональна функція f(x) має, принаймні, один корінь, дійсний або комплексний.

Теорема. Усякий багаточлен n-го степеня розкладається на n лінійних множників вигляду (x – a) і множник, що дорівнює коефіцієнту при xn.

Теорема. Якщо два багаточлени тотожно рівні один одному, то коефіцієнти одного багаточлена дорівнюють відповідним коефіцієнтам іншого.

Якщо серед коренів багаточлена зустрічаються кратні коріння, то розклад на множники має вигляд:

ki – кратність відповідного кореня.

Звідси випливає, що будь-який багаточлен n-го степеня має рівно n коренів (дійсних або комплексних).

Ця властивість має велике значення для розв’язання алгебраїчних рівнянь, диференціальних рівнянь і відіграє важливу роль в аналізі функцій.

Розгляньмо кілька прикладів дій з комплексними числами.

Приклад. Дано два комплексних числа . Потрібно а) знайти значення виразу в алгебраїчній формі, б) для числа  знайти тригонометричну форму, знайти z20, знайти корінь рівняння

  1.  Очевидно, справедливе наступне перетворення:

Далі виконуємо ділення двох комплексних чисел:

Одержуємо значення заданого виразу: 16(–i)4 = 16i4 =16.

б) Число  представимо у вигляді , де

Тоді .

Для знаходження  скористаємося формулою Муавра.

Якщо , то

Лінійна алгебра.

Основні визначення.

Визначення. Матрицею розміру mn, де m – число рядків, n – число стовпців, називається таблиця чисел, розташованих у певному порядку. Ці числа називаються елементами матриці. Місце кожного елемента однозначно визначається номером рядка й стовпця, на перетині яких він перебуває. Елементи матриці позначаються aij, де i – номер рядка, а j – номер стовпця.

А =

Основні дії над матрицями.

Матриця може складатися як з одного рядка, так і з одного стовпця. Загалом кажучи, матриця може складатися навіть із одного елемента.

Визначення. Якщо число стовпців матриці дорівнює числу рядків (m=n), то матриця називається квадратною.

Визначення. Матриця вигляду:

= E,

називається одиничною матрицею.

Визначення. Якщо amn = anm , то матриця називається симетричною.

Приклад.  – симетрична матриця

Визначення. Квадратна матриця виду  називається діагональною матрицею.

Додавання й віднімання матриць зводиться до відповідних операцій над їхніми елементами. Найголовнішою властивістю цих операцій є те, що вони визначені тільки для матриць однакового розміру. Таким чином, можливо визначити операції додавання й віднімання матриць:

Визначення. Сумою (різницею) матриць є матриця, елементами якої є відповідно сума (різниця) елементів вихідних матриць.

cij = aij  bij

C = А + В = В + А.

Операція множення (ділення) матриці будь-якого розміру на довільне число зводиться до множення (ділення) кожного елемента матриці на це число.

(А  В) =А  В

А () =А  А

Приклад. Дано матриці А = ; B = , знайти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

Операція множення матриць.

Визначення: Добутком матриць називається матриця, елементи якої можуть бути обчислені за наступними формулами:

AB = C;

.

З наведеного визначення видно, що операція множення матриць визначена тільки для матриць, число стовпців першої з яких дорівнює числу рядків другої.

Властивості операції множення матриць.

1) Множення матриць не комутативне, тобто АВ  ВА навіть якщо визначені обидва добутки. Однак, якщо для яких-небудь матриць співвідношення АВ=ВА виконується, то такі матриці називаються комутуючими.

Найхарактернішим прикладом може слугувати одинична матриця, що є комутуючою з будь-якою іншою матрицею того ж розміру.

Комутуючими можуть бути тільки квадратні матриці того самого порядку.

АЕ = ЕА = А

Очевидно, що для будь-яких матриць виконуються наступну властивість:

AO = O; OA = O,

де Онульова матриця.

2) Операція перемножування матриць асоціативна, тобто якщо визначені добутки АВ і (АВ)С, то визначені ВС і А(ВС), і виконується рівність:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операція множення матриць дистрибутивна стосовно додавання, тобто якщо мають сенс виразу А(В+С) і (А+В)С, те відповідно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Якщо добуток АВ визначений, то для будь-якого числа вірне співвідношення:

(AB) = (A)B = A(B).

5) Якщо визначено добуток АВ , те визначений добуток ВТАТ і виконується рівність:

(АВ)Т = ВТАТ, де

індексом Т позначається транспонована матриця.

6) Відмітимо також, що для будь-яких квадратних матриць det (AB) = det Adet B.

Поняття det (визначник, детермінант) буде розглянуто нижче.

Визначення. Матрицю В називають транспонованою матрицею А, а перехід від А к В транспонуванням, якщо елементи кожного рядка матриці А записати в тім же порядку в стовпці матриці В.

А = ; В = АТ= ;

інакше кажучи, bji = aij.

Як наслідок з попередньої властивості (5) можна записати, що:

(ABC)T = CTBTAT,

за умови, що визначено добуток матриць АВС.

Приклад. Дано матриці А = , В = , С =  і число = 2. Знайти АТВ+С.

AT = ; ATB = =  = ;

C = ; АТВ+С = + = .

Приклад. Знайти добуток матриць А =  і В = .

АВ = = .

ВА = = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.

Приклад. Знайти добуток матриць А= , В =

АВ = = = .

Визначники (детермінанти).

Визначення. Визначником квадратної матриці А= називається число, що може бути обчислене по елементах матриці  по формулі:

det A = , де

М1k – детермінант матриці, отриманої з вихідної викреслюванням першого рядка й k-го стовпця. Варто звернути увагу на те, що визначники мають тільки квадратні матриці, тобто матриці, у яких число рядків дорівнює числу стовпців.

Попередня формула дозволяє обчислити визначник матриці за першим рядком, також справедлива формула обчислення визначника за першим стовпцем:

det A =

Загалом кажучи, визначник може обчислюватися за будь-яким рядком або стовпцем матриці, тобто справедлива формула:

det А = , i = 1,2,…,n...

Очевидно, що різні матриці можуть мати однакові визначники.

Визначник одиничної матриці дорівнює 1.

Для зазначеної матриці А число М1k називається додатковим мінором елемента матриці a1k. Таким чином, можна помітити, що кожний елемент матриці має свій додатковий мінор. Додаткові мінори існують тільки у квадратних матрицях.

Визначення. Додатковий мінор довільного елемента квадратної матриці aij дорівнює матриці, отримана з вихідної викреслюванням i-го рядка та j-го стовпця.

Властивість1. Важливою властивістю визначників є наступне співвідношення:

det A = det AT;

Властивість 2. det ( A  B) = det A  det B.

Властивість 3. det ( AB ) = det Adet B

Властивість 4. Якщо у квадратній матриці поміняти місцями які-небудь два рядки (або стовпці), то визначник матриці змінить знак, не змінившись за абсолютною величиною.

Властивість 5. При множенні стовпця (або рядка) матриці на число її визначник множиться на це число.

Визначення: Стовпці (рядки) матриці називаються лінійно залежними, якщо існує їхня лінійна комбінація, рівна нулю, що має нетривіальні (не рівні нулю) розв’язки.

Властивість 6. Якщо в матриці А рядки або стовпці лінійно залежні, то її визначник дорівнює нулю.

Властивість 7. Якщо матриця містить нульовий стовпець або нульовий рядок, то її визначник дорівнює нулю. (Дане твердження очевидно, тому що рахувати визначник можна саме за нульовим рядком або стовпцем.)

Властивість 8. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів однієї з його рядків(стовпця) додати(відняти) елементи іншого рядка(стовпця), помножені на яке-небудь число, не рівне нулю.

Властивість 9. Якщо для елементів якого-небудь рядка або стовпця матриці вірне співвідношення: d = d1  d2  , e = e1  e2 , f = f1  f2 , то вірно:

Приклад. Обчислити визначник матриці А =

= –5 + 18 + 6 = 19.

Приклад:. Дано матриці А = , В = . Знайти det (AB).

1-й спосіб: det A = 4 – 6 = –2;      det B = 15 – 2 = 13;            det (AB) = det A det B = –26.

2- й спосіб: AB = ,       det (AB) = 718 – 819 = 126 –

– 152  = – 26.

Елементарні перетворення матриці.

Визначення. Елементарними перетвореннями матриці назвемо наступні перетворення:

1) множення рядка на число, відмінне від нуля;

2) додавання до елементів одного рядка елементів іншого рядка;

3) перестановка рядків;

4) викреслювання (видалення) одного з однакових рядків (стовпців);

5) транспонування;

Ті ж операції, застосовані до стовпців, також називаються елементарними перетвореннями.

За допомогою елементарних перетворень можна до якого-небудь рядка або стовпця додати лінійну комбінацію інших рядків ( стовпців ).

Мінори.

Вище було використане поняття додаткового мінора матриці. Дамо визначення  мінора матриці.

Визначення. Якщо в матриці А видалити кілька довільних рядків і стільки ж довільних стовпців, то матриця, складена з елементів, розташованих на перетині цих рядків і стовпців називається мінором матриці А. Якщо виділено s рядків і стовпців, то отриманий мінор називається мінором порядку s.

Відмітимо, що вищесказане застосовне не тільки до квадратних матриць, але й до прямокутних.

Якщо викреслити з вихідної квадратної матриці А виділені рядки й стовпці, то отримана матриця буде додатковим мінором.

Алгебраїчні доповнення.

Визначення. Алгебраїчним доповненням мінора матриці називається визначник його додаткового мінора, помножений на (–1) у степені, рівному сумі номера рядка і номера стовпця мінора матриці.

В окремому випадку, алгебраїчним доповненням елемента матриці називається його додатковий мінор, узятий зі своїм знаком, якщо сума номерів стовпця й рядка, на яких стоїть елемент, є число парне і з протилежним знаком, якщо непарне.

Теорема Лапласа. Якщо обрано s рядків матриці з номерами i1, … ,is, то визначник цієї матриці дорівнює сумі добутків всіх елементів, розташованих в обраних рядках на їхні алгебраїчні доповнення.

Обернена матриця.

Визначимо операцію ділення матриць як операцію, обернену множенню.

Визначення. Якщо існують квадратні матриці Х и А одного порядку, що задовольняють умові:

XA = AX = E,

де Е - одинична матриця того ж самого порядку, що й матриця А, те матриця Х називається оберненою до матриці А и позначається А–1.

Кожна квадратна матриця з визначником, не рівним нулю має обернену матрицю й притім тільки одну.

Розглянемо загальний підхід до знаходження оберненої матриці. Виходячи з визначення добутку матриць, можна записати:

AX = E  , i=( 1, n ), j=( 1, n ),

eij = 0, i  j,

eij = 1, i = j .

Таким чином, одержуємо систему рівнянь:

,

Вирішивши цю систему, знаходимо елементи матриці Х.

Приклад. Дано матрицю А = , знайти А–1.

 

Таким чином, А–1=.

Однак, такий спосіб незручний при знаходженні обернених матриць більших порядків, тому звичайно застосовують наступну формулу:

,

де Aji – алгебраїчне доповнення елемента аji матриці А.

Приклад. Дано матрицю А = , знайти А–1.

det A = 4 – 6 = – 2.

M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1

x11= – 2; x12= 1; x21= 3/2; x22= – 1/2

Таким чином, А–1=.

Властивості обернених матриць.

Вкажемо наступні властивості обернених матриць:

1) (A–1)–1 = A;

2) (AB)–1 = B–1A–1

3) (AT)–1 = (A–1)T.

Приклад. Дано матрицю А = , знайти А3.

А2 = АА =  = ; A3 = = .

Відзначимо, що матриці  і  є комутуючими.

Приклад. Обчислити визначник .

= – 1

= – 1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = – 2 – 8 + 20 = 10.

= = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

=  = 2(–4) – 3(–6) = –8 + 18 = 10.

Значення визначника: – 10 + 6 – 40 = – 44.

Базовий мінор матриці.

Ранг матриці.

Як було сказано вище, мінором матриці порядку s називається матриця, утворена з елементів вихідної матриці, що перебувають на перетині яких-небудь обраних s рядків і s стовпців.

Визначення. У матриці порядку mn мінор порядку r називається базовим, якщо його визначник не дорівнює нулю, а всі мінори порядку r+1 і вище дорівнюють нулю, або не існують зовсім, тобто r збігається з меншим із чисел m або n.

Стовпці й рядки матриці, на яких стоїть базовий мінор, також називаються базовими.

У матриці може бути кілька різних базових мінорів, що мають однаковий порядок.

Визначення. Порядок базового мінору матриці називається рангом матриці й позначається Rank А.

Дуже важливою властивістю елементарних перетворень матриць є те, що вони не змінюють ранг матриці.

Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.

Треба відзначити, що рівні матриці й еквівалентні матриці – поняття зовсім різні.

Теорема. Найбільше число лінійно незалежних стовпців у матриці дорівнює числу лінійно незалежних рядків.

Оскільки елементарні перетворення не змінюють ранг матриці, то можна істотно спростити процес знаходження рангу матриці.

Приклад. Визначити ранг матриці.

,  Rank A = 2.

Приклад: Визначити ранг матриці.

,  Rank A = 2.

Приклад. Визначити ранг матриці.

, Rank A = 2.

Якщо за допомогою елементарних перетворень не вдається знайти матрицю, еквівалентну вихідній, але меншого розміру, то знаходження рангу матриці варто починати з обчислення мінорів найвищого можливого порядку. У вищенаведеному прикладі – це мінори порядку 3. Якщо хоча б один з них не дорівнює нулю, то ранг матриці дорівнює порядку цього мінору.

Теорема про базовий мінор.

Теорема. У довільній матриці А кожний стовпець (рядок) є лінійною комбінацією стовпців (рядків), у яких розташований базовий мінор.

Таким чином, ранг довільної матриці А дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків (стовпців) у матриці.

Якщо А – квадратна матриця й det А = 0, то принаймні один зі стовпців – лінійна комбінація інших стовпців. Те ж саме справедливе й для рядків. Дане твердження слід із властивості лінійної залежності при визначнику рівному нулю.

Матричний метод розв’язання систем лінійних рівнянь.

Матричний метод застосуємо до розв’язання систем рівнянь, де число рівнянь дорівнює числу невідомих.

Метод зручний для розв’язання систем невисокого порядку.

Метод заснований на застосуванні властивостей множення матриць.

Нехай дана система рівнянь:

Складемо матриці: A = ; B = ; х = .

Систему рівнянь можна записати:

Aх = B.

Зробимо наступне перетворення: A–1Aх = A–1B,

оскільки А–1А = Е, то Ех = А–1В

х = А–1В

Для застосування даного методу необхідно знаходити обернену матрицю, що може бути пов'язане з обчислювальними труднощами при розв’язанні систем високого порядку.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь:

х = , B = , A =

Знайдемо обернену матрицю А–1.

= det A = 5(4–9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = – 30.

А11 =  = – 5; А21 = –  = – 1; А31 =  = –1;

А12 = –  А22 =  А32 = –

А13 =  А23 = –  А33 =

 A–1 = ;

Зробимо перевірку:

AA–1 = =E.

Знаходимо матрицю х.

х = = А–1В =  = .

Отже розв’язок системи: x =1; y = 2; z = 3.

Незважаючи на обмеження можливості застосування даного методу й складність обчислень при більших значеннях коефіцієнтів, а також систем високого порядку, метод може бути легко реалізований на ЕОМ.

Метод Крамера.

(Габріель Крамер (1704-1752) швейцарський математик)

Даний метод також застосуємо тільки у випадку систем лінійних рівнянь, де число змінних збігається із числом рівнянь. Крім того, необхідно ввести обмеження на коефіцієнти системи. Необхідно, щоб всі рівняння були лінійно незалежні, тобто жодне рівняння не було б лінійною комбінацією інших.

Для цього необхідно, щоб визначник матриці системи не дорівнював 0.

det A  0;

Дійсно, якщо яке-небудь рівняння системи є лінійною комбінацією інших, то якщо до елементів якого-небудь рядка додати елементи іншої, помножені на яке-небудь число, за допомогою лінійних перетворень можна одержати нульовий рядок. Визначник у цьому випадку буде дорівнює нулю.

Теорема. (Правило Крамера):

Теорема. Система з n рівнянь із n невідомими

у випадку, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю, має єдиний розв’язок й цей розв’язок знаходиться за формулами:

xi = i/, де

= det A, а i – визначник матриці, одержаної з матриці системи заміною стовпця i стовпцем вільних членів bi.

i =

Приклад.

A = ; 1= ; 2= ; 3= ;

x1 = 1/det А; x2 = 2/det А; x3 = 3/det А;

Приклад. Знайти розв’язок системи рівнянь:

= = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = – 30;

1 =  = (28 – 48) – (42 – 32) = – 20 – 10 = – 30.

x1 = 1/ = 1;

2 =  = 5(28 – 48) – (16 – 56) = – 100 + 40 = – 60.

x2 = 2/ = 2;

3 =  = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = – 50 – 40 = – 90.

x3 = 3/ = 3.

Як видно, результат збігається з результатом, отриманим вище матричним методом.

Якщо система однорідна, тобто bi = 0, то при 0 система має єдине нульовий розв’язок x1 = x2 = … = xn = 0...

При = 0 система має нескінченну множину розв’язків.

Для самостійного розв’язку:

; Відповідь: x = 0; y = 0; z = – 2.

Розв’язання довільних систем лінійних рівнянь.

Як було сказано вище, матричний метод і метод Крамера застосовні тільки до тих системам лінійних рівнянь, у яких число невідомих дорівнює числу рівнянь. Далі розглянемо довільні системи лінійних рівнянь.

Визначення. Система m рівнянь із n невідомими в загальному виді записується в такий спосіб:

,

де aij – коефіцієнти, а bi – сталі. Розв’язками системи є n чисел, які при підстановці в систему перетворюють кожне її рівняння в тотожність.

Визначення. Якщо система має хоча б один розв’язок, то вона називається сумісною. Якщо система не має жодного розв’язку, то вона називається несумісною.

Визначення. Система називається визначеною, якщо вона має тільки один розв’язок й невизначеною, якщо більше одного.

Визначення. Для системи лінійних рівнянь матриця

А =  називається матрицею системи, а матриця

А*=  називається розширеною матрицею системи

Визначення. Якщо b1, b2, …, bm = 0, те система називається однорідною. однорідна система завжди сумісна, тому що завжди має нульовий розв’язок.

Елементарні перетворення систем.

До елементарних перетворень належать:

1) Додавання до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого, помножених на однакове число, не рівне нулю.

2) Перестановка рівнянь місцями.

3) Видалення із системи рівнянь, що є тотожностями для всіх х.

Теорема Кронекера-Капеллі.

(умова сумісності системи)

(Леопольд Кронекер (1823-1891) німецький математик)

Теорема: Система сумісна (має хоча б один розв’язок) тоді й тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці.

Rank А= Rank А*.

Очевидно, що система (1) може бути записана у вигляді:

x1 + x2 + … + xn 

Доведення.

1) Якщо розв’язок існує, то стовпець вільних членів є лінійною комбінацією стовпців матриці А, а значить додавання цього стовпця в матрицю, тобто перехід АА* не змінює рангу.

2) Якщо Rank А= Rank А*, те це означає, що вони мають той самий базовий мінор. Стовпець вільних членів – лінійна комбінація стовпців базового мінору, тоді вірний запис, наведений вище.

Приклад. Перевірити сумісність лінійних рівнянь:

A =

~ .  Rank A = 2.

A* =  Rank A* = 3.

Система несумісна.

Приклад. Перевірити сумісність лінійних рівнянь.

 А = ;  = 2 + 12 = 14 0; Rank А= 2;

A* =

Rank A* = 2.

Система сумісна. Розв’язок: x1 = 1; x2 =1/2.

Метод Гауса.

(Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) німецький математик)

На відміну від матричного методу і метода Крамера, метод Гауса може бути застосований до систем лінійних рівнянь із довільним числом рівнянь і невідомих. Суть методу полягає в послідовному виключенні невідомих.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

Розділимо обидві частини 1-го рівняння на a11  0, потім:

1) помножимо на а21 і віднімемо із другого рівняння

2) помножимо на а31 і віднімемо із третього рівняння

і т.д.

Одержимо:

, де d1j = a1j/a11,  j = 2, 3, …, n+1...

dij = aij – ai1d1j         i = 2, 3, … , n;       j = 2, 3, … , n+1...

Далі повторюємо цієї ж дії для другого рівняння системи, потім - для третього й т.д.

Приклад. Вирішити систему лінійних рівнянь методом Гауса.

Складемо розширену матрицю системи.

А* =

Таким чином, вихідна система може бути представлена у вигляді:

, звідки одержуємо: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

Приклад. Вирішити систему методом Гауса.

Складемо розширену матрицю системи.

Таким чином, вихідна система може бути представлена у вигляді:

, звідки одержуємо: z = 3; y = 2; x = 1.

Отримана відповідь збігається з відповіддю, отриманою для даної системи методом Крамера й матричним методом.

Для самостійного розв’язання:

Відповідь: {1, 2, 3, 4}.

Елементи векторної алгебри.

Визначення. Вектором називається прямолінійний відрізок (упорядкована пара точок). До векторів належить також і нульовий вектор, початок і кінець якого збігаються.

Визначення. Довжиною (модулем) вектора називається відстань між початком і кінцем вектора.

Визначення. Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній або паралельних прямих. Нульовий вектор колінеарний до будь-якого вектора.

Визначення. Вектори називаються компланарними, якщо існує площина, який вони паралельні.

Колінеарні вектори завжди компланарні, але не всі компланарні вектори колінеарні.

Визначення. Вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково спрямовані й мають однакові модулі.

Усякі вектори можна привести до спільного початку, тобто побудувати вектори, відповідно рівні даним, що мають загальний початок. З визначення рівності векторів треба, що будь-який вектор має нескінченно багато векторів, рівних йому.

Визначення. Лінійними операціями над векторами називається додавання й множення на число.

Сумою векторів є вектор –

Добуток – , при цьому  колінеарний до .

Вектор  співнаправлений з вектором (  ), якщо > 0.

Вектор  протилежно спрямований до вектора (  ), якщо < 0.

Властивості векторів.

  1.   + = +  – комутативність.
  2.   + ( + ) = ( + )+
  3.   +  =  
  4.   +(–1) =
  5.  () = ( ) – асоціативність
  6.  (+) = + – дистрибутивність
  7.  ( + ) = +
  8.  1 =

Визначення.

1) Базисом у просторі називаються будь-які 3 некомпланарні вектори, узяті в певному порядку.

2) Базисом на площині називаються будь-які 2 неколінеарні вектори, узяті в певному порядку.

3) Базисом на прямій називається будь-який ненульовий вектор.

Визначення. Якщо  – базис у просторі й , то числа , і – називаються компонентами або координатами вектора  в цьому базисі.

У зв'язку із цим можна записати наступні властивості:

рівні вектори мають однакові координати,

при множенні вектора на число його компонента теж множаться на це число,

= .

при додаванні векторів складаються їхні відповідні компоненти.

; ;

+ = .

Лінійна залежність векторів.

Визначення. Вектори   називаються лінійно залежними, якщо існує така лінійна комбінація , при не рівних нулю одночасно i , тобто .

Якщо ж тільки при i = 0 виконується, то вектори називаються лінійно незалежними.

Властивість 1. Якщо серед векторів  є нульовий вектор, то ці вектори лінійно залежні.

Властивість 2. Якщо до системи лінійно залежних векторів додати один або кілька векторів, то отримана система теж буде лінійно залежна.

Властивість 3. Система векторів лінійно залежна тоді й тільки тоді, коли один з векторів розкладається в лінійну комбінацію інших векторів.

Властивість 4. Будь-які 2 колінеарні вектори лінійно залежні й, навпаки, будь-які 2 лінійно залежні вектори колінеарні.

Властивість 5. Будь-які 3 компланарних вектори лінійно залежні й, навпаки, будь-які 3 лінійно залежні вектори компланарні.

Властивість 6. Будь-які 4 вектори лінійно залежні.

Система координат.

Для визначення положення довільної точки можуть використатися різні системи координат. Положення довільної точки в якій-небудь системі координат повинне однозначно визначатися. Поняття системи координат являє собою сукупність точки початку відліку (початку координат) і деякого базису. Як на площині, так і в просторі можливе завдання найрізноманітніших систем координат. Вибір системи координат залежить від характеру поставленої геометричної, фізичної або технічної задачі. Розглянемо деякі найбільше часто застосовувані на практиці системи координат.

Декартова система координат.

Зафіксуємо в просторі точку О и розглянемо довільну точку М.

Вектор  назвемо радіус-вектором точки М. Якщо в просторі задати деякий базис, то точці М можна зіставити деяку трійку чисел – компонента її радіус-вектора.

Визначення. Декартовою системою координат у просторі називається сукупність точки й базису. Точка називається початком координат. Прямі, що проходять через початок координат називаються осями координат.

1-я вісь – вісь абсцис

2-я вісь – вісь ординат

3-я вісь – вісь аплікат

Щоб знайти компоненти вектора потрібно з координат його кінця відняти координати початку.

Якщо задані точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то = (x2 x1, y2y1, z2z1).

Визначення. Базис називається ортонормованим, якщо його вектори попарно ортогональні й дорівнюють одиниці.

Визначення. Декартова система координат, базис якої ортонормований називається декартовою прямокутною системою координат.

Приклад. Дано вектори  (1; 2; 3), (–1; 0; 3), (2; 1; –1) і (3; 2; 2) у деякому базисі. Показати, що вектори ,  і утворюють базис і знайти координати вектора  в цьому базисі.

Вектори утворять базис, якщо вони лінійно незалежні, інакше кажучи, якщо  рівняння, що входять у систему:

лінійно незалежні.

Тоді .

Ця умова виконується, якщо визначник матриці системи відмінний від нуля.

. Для розв’язання цієї системи скористаємося методом Крамера.

1 =

;

2 =

3 =

Разом, координати вектора в базисі , , : .□

Довжина вектора в координатах визначається як відстань між точками початку й кінця вектора. Якщо задані дві точки в просторі А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то .

Якщо точка М(х, у, z) ділить відрізок АВ у співвідношенні /, то координати цієї точки визначаються як:

В окремому випадку координати середини відрізка знаходяться як:

 

Лінійні операції над векторами в координатах.

Нехай задані вектори в прямокутній системі координат  тоді

Скалярний добуток векторів.

Визначення. Скалярним добутком векторів  і  називається число, рівне добутку довжин цих сторін на косинус кута між ними.

Властивості скалярного добутку:

  1.   =  2;
  2.   = 0, якщо або = 0 або  = 0.
  3.   =  ;
  4.  ( + ) =  +  ;
  5.  (m ) = (m ) = m(  );

Якщо розглядати вектори  в декартовій прямокутній системі координат, то

= xa xb +  ya yb + za zb;

Використовуючи отримані рівності, одержуємо формулу для обчислення кута між векторами:

;

 

Приклад. Знайти (5 + 3 )(2 – ), якщо

10  – 5  + 6  – 3  = 10 ,

оскільки .

Приклад. Знайти кут між векторами й , якщо

.

Тобто  = (1, 2, 3), = (6, 4, –2)

 = 6 + 8 – 6 = 8:

.

cos =

Приклад.  Знайти скалярний добуток (3 – 2 )(5 – 6 ), якщо   

+ 1236 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

Приклад. Знайти кут між векторами  й , якщо  .

Тобто  = (3, 4, 5), = (4, 5, –3)

 = 12 + 20 – 15 =17;

.

Приклад. При якому m вектори  й  перпендикулярні?

= (m, 1, 0); = (3, –3, –4)

.

Приклад. Знайти скалярний добуток векторів  і , якщо

( )( ) =

= 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.

Векторний добуток векторів.

Визначення. Векторним добутком векторів  і  називається вектор , що задовольняє наступним умовам:

1) , де  – кут між векторами  й ,

2) вектор  ортогональний до векторів  і

3) , і  утворюють праву трійку векторів.

Позначається:  або  .

 

 

 

 

Властивості векторного добутку векторів:

1) ;

2) , якщо  або = 0 або = 0;

3) (m ) = (m ) = m(  );

4) ( + ) =  + ;

5) Якщо задані вектори (xa, ya, za) і (xb, yb, zb) у декартовій прямокутній системі координат з одиничними векторами , то

 =

6) Геометричним змістом векторного добутку векторів є площа паралелограма, побудованого на векторах  і .

Приклад. Знайти векторний добуток векторів  і

.

= (2, 5, 1); = (1, 2, –3)

.

Приклад. Обчислити площу трикутника з вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),

С(0, 1, 0).

 

  (од2).

Приклад. Довести, що вектори , і  компланарны.

, тому що вектори лінійно залежні, то вони компланарны.

Приклад. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах , якщо

(од2).

Мішаний добуток векторів.

Визначення. Мішаним добутком векторів ,  і  називається число, рівне скалярному добутку вектора  на вектор, дорівнює векторному добутку векторів  і .

Позначається або ( , ,).

Мішаний добуток  за модулем дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах ,  і .

 

 

 

 

Властивості мішаного добутку:

1) Мішаний добуток дорівнює нулю, якщо:

а) хоч один з векторів дорівнює нулю;

б) два з векторів колінеарні;

в) вектори компланарні.

2)

3)

4)

5) Об'єм трикутної піраміди, утвореної векторами ,  і , дорівнює

6) Якщо , , то

Приклад. Довести, що точки А(5; 7; 2), B(3; 1; –1), C(9; 4; –4), D(1; 5; 0) лежать в одній площині.

Знайдемо координати векторів:

Знайдемо мішаний добуток отриманих векторів:

,

Таким чином, отримані вище вектори компланарны, отже точки A, B, C і D лежать в одній площині.

Приклад. Знайти об'єм піраміди й довжину висоти, опущеної на грань BCD, якщо вершини мають координати A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Знайдемо координати векторів:

Об'єм піраміди

Для знаходження довжини висоти піраміди знайдемо спочатку площу основи BCD.

Sосн = (од2)

Оскільки V = ; (од).

Рівняння поверхні в просторі.

Визначення. Будь-яке рівняння, що пов'язує координати x, y, z будь-якої точки поверхні є рівнянням цієї поверхні.

Загальне рівняння площини.

Визначення. Площиною називається поверхня, всі точки якої задовольняють загальному рівнянню:

Ax + By + Cz + D = 0,

де А, В, С – координати вектора  – вектор нормалі до площини.

Можливі наступні окремі випадки:

А = 0 – площина паралельна осі Ох

В = 0 – площину паралельна осі Оу

С = 0 – площину паралельна осі Оz

D = 0 – площина проходить через початок координат

А = В = 0 – площину паралельна площині хОу

А = С = 0 – площину паралельна площині хОz

В = С = 0 – площину паралельна площини yOz

А = D = 0 – площина проходить через вісь Ох

В = D = 0 – площина проходить через вісь Оу

С = D = 0 – площина проходить через вісь Oz

А = В = D = 0 – площина збігається із площиною хОу

А = С = D = 0 – площина збігається із площиною xOz

В = С = D = 0 – площина збігається із площиною yOz

Рівняння площини, що проходить через три точки.

Для того, щоб через три які-небудь точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій.

Розглянемо точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) у загальній декартовій системі координат.

Для того, щоб довільна точка М(x, y, z) лежала в одній площині із точками М1, М2, М3 необхідно, щоб вектори  були компланарні.

( ) = 0

Таким чином,

Рівняння площини, що проходить через три точки:

Рівняння площини по двох точках і вектору, колінеарному площині.

Нехай задані точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) і вектор .

Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М1 і М2 і довільну точку М(х, у, z) паралельно вектору .

Вектори й вектор  повинні бути компланарні, тобто

() = 0

Рівняння площини:

 

Рівняння площини за однією точкою і двома векторами,

колінеарними площині.

Нехай задані два вектори  й , колінеарні площини. Тоді для довільної точки М(х, у, z), що належить площини, вектори  повинні бути компланарні.

Рівняння площини:

Рівняння площини за точкою та вектором нормалі.

Теорема. Якщо в просторі задана точка М00, у0, z0), то рівняння площини, що проходить через точку М0 перпендикулярно вектору нормалі (A, B, C) має вигляд:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Доведення. Для довільної точки М(х, у, z), що належить площині, складемо вектор . Оскільки вектор  – вектор нормалі, то він перпендикулярний площини, а, отже, перпендикулярний і вектору . Тоді скалярний добуток

 = 0

Таким чином, одержуємо рівняння площини

Теорему доведено.

Рівняння площини у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні Ах + Ву + Сz + D = 0 поділити обидві частини на – D

,

замінивши , одержимо рівняння площини у відрізках:

Числа a, b, c є точками перетину площини відповідно з осями х, у, z.

Рівняння площини у векторній формі.

де

– радіус-вектор поточної точки М(х, у, z),

– одиничний вектор, що має напрямок, перпендикуляра, опущеного на площину з початку координат.

, и – кути, утворені цим вектором з осями х, у, z.

p – довжина цього перпендикуляра.

У координатах це рівняння має вигляд:

xcos + ycos + zcosp = 0.

Відстань від точки до площини.

Відстань від довільної точки М0(х0, у0, z0) до площини Ах+Ву+Сz+D=0 дорівнює:

Приклад. Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4; –3; 12) – підстава перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

 

Таким чином, A = 4/13; B = –3/13; C = 12/13, скористаємося формулою:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Приклад. Знайти рівняння площини, що проходить через дві точки P(2; 0; –1) і Q(1; –1; 3) перпендикулярно площини 3х + 2уz + 5 = 0.

Вектор нормалі до площини 3х + 2уz + 5 = 0 паралельний шуканої площини.

Одержуємо:

Приклад. Знайти рівняння площини, що проходить через точки А(2, –1, 4) і

В(3, 2, –1) перпендикулярно площини х + у + 2z – 3 = 0.

Шукане рівняння площини має вигляд: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормалі до цієї площини (A, B, C). Вектор (1, 3, –5) належить площині. Задана нам площина, перпендикулярна шуканої має вектор нормалі (1, 1, 2). Оскільки точки А та В належать обом площинам, а площини взаємно перпендикулярні, то

Таким чином, вектор нормалі (11, –7, –2). Оскільки точка А належить шуканій площині, то її координати повинні задовольняти рівнянню цієї площини, тобто 112 + 71 – 24 + D = 0; D = –21.

Отже, одержуємо рівняння площини: 11x – 7y – 2z – 21 = 0.

Приклад. Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4, –3, 12) – підстава перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

Знаходимо координати вектора нормалі = (4, –3, 12). Шукане рівняння площини має вигляд: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для знаходження коефіцієнта D підставимо в рівняння координати точки Р:

16 + 9 + 144 + D = 0

D = –169

Разом, одержуємо шукане рівняння: 4x – 3y + 12z – 169 = 0

Приклад. Дано координати вершин піраміди А1(1; 0; 3), A2(2; –1; 3), A3(2; 1; 1),

A4(1; 2; 5).

  1.  Знайти довжину ребра А1А2.

  1.  Знайти кут між ребрами А1А2 і А1А4.

  1.  Знайти кут між ребром А1А4 і гранню А1А2А3.

Спочатку знайдемо вектор нормалі до грані А1А2А3  як векторний добуток векторів і.

= (2–1; 1–0; 1–3) = (1; 1; –2);

Знайдемо кут між вектором нормалі й вектором .

–4 – 4 = –8.

Шуканий кут між вектором і площиною буде дорівнює = 900.

  1.  Знайти площу грані А1А2А3.

  1.  Знайти об'єм піраміди.

(од3).

  1.  Знайти рівняння площини А1А2А3.

Скористаємося формулою рівняння площини, що проходить через три точки.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Аналітична геометрія на площині.

Рівняння лінії на площині.

Як відомо, будь-яка точка на площині визначається двома координатами в якій-небудь або системі координат. Системи координат можуть бути різними залежно від вибору базису й початку координат.

Визначення. Рівнянням лінії називається співвідношення y = f(x) між координатами точок, що становлять цю лінію.

Відзначимо, що рівняння лінії може бути виражено параметричним способом, тобто кожна координата кожної точки виражається через деякий незалежний параметр t.

Характерний приклад – траєкторія точки, що рухається. У цьому випадку роль параметра грає час.

Рівняння прямої на площині.

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, В не дорівнюють нулю одночасно, тобто А2 + В2  0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.

Залежно від значень сталих А, В и С можливі наступні окремі випадки:

C = 0, А  0, В  0 – пряма проходить через початок координат

А = 0, В  0, С  0 { By + C = 0} – пряма паралельна осі Ох

В = 0, А  0, С  0 { Ax + C = 0} – пряма паралельна осі Оу

В = С = 0, А  0 – пряма збігається з віссю Оу

А = С = 0, В  0 – пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямої може бути представлене в різному виді залежно від яких-небудь заданих початкових умов.

Рівняння прямої по точці й вектору нормалі.

Визначення. У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В) перпендикулярний прямій, заданій рівнянням Ах + Ву + С = 0.

Приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, –1).

Складемо при А = 3 і В = –1 рівняння прямої: 3ху + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А.

Одержуємо: 3 – 2 + C = 0, отже С = –1.

Разом: шукане рівняння: 3ху – 1 = 0.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точки M1(x1, y1, z1) і M2(x2, y2, z2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:

Якщо який-небудь зі знаменників дорівнює нулю, варто прирівняти нулю відповідний чисельник.

На площині записане вище рівняння прямій спрощується:

якщо х1  х2 і х = х1, якщо х1 = х2.

Дріб = k називається кутовим коефіцієнтом прямої.

Приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) і В(3, 4).

Застосовуючи записану вище формулу, одержуємо:

Рівняння прямої по точці й кутовому коефіцієнту.

Якщо загальне рівняння прямій Ах + Ву + С = 0 привести до виду:

і позначити, то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці й напрямному вектору.

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі можна ввести завдання прямої через точку й напрямний вектор прямої.

Визначення. Кожний ненульовий вектор (1, 2), компоненти якого задовольняють умові А1 + В2 = 0 називається напрямним вектором прямої Ах + Ву + С = 0.

Приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, –1), що проходить через точку А(1, 2).

Рівняння шуканої прямої будемо шукати у вигляді: Ax + By + C = 0. Відповідно до визначення, коефіцієнти повинні задовольняти умовам:

1A + (–1)B = 0, тобто А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0, або x + y + C/A = 0. При х = 1, у = 2 одержуємо С/A = –3, тобто шукане рівняння:

х + у – 3 = 0

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні прямої Ах + Ву + С = 0, С  0, то, розділивши на –С, одержимо: або

, де

Геометричний зміст коефіцієнтів у тім, що коефіцієнт а є координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b – координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

Приклад. Задано загальне рівняння прямій ху + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

 С = 1, , а = –1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 розділити на число , що називається нормуючим множником, то одержимо

xcos + ysin  – p = 0 –

нормальне рівняння прямої.

Знак нормуючого множника треба вибирати так, щоб С < 0.

р – довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а – кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямком осі Ох.

Приклад. Дано загальне рівняння прямій 12х – 5у – 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь цій прямій.

рівняння цієї прямої у відрізках:

рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

нормальне рівняння прямої:

; cos = 12/13; sin = –5/13; p = 5.

Слід відзначити, що не кожну пряму можна представити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі, паралельні осям або такі, що проходять через початок координат.

Приклад. Пряма відтинає на координатних осях рівні позитивні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа трикутника, утвореного цими відрізками дорівнює 8 дм2.

Рівняння прямої має вигляд: , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; –4.

a = –4 не підходить по умові задачі.

Разом:  або х + у – 4 = 0.

Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(–2, –3) і початок координат.

Рівняння прямої має вигляд: , де х1 = у1 = 0; x2 = –2; y2 = –3.

Для самостійного розв’язання: Скласти рівняння прямих, що проходять через точку М(–3, –4) і паралельних осям координат.

Відповідь: { x + 3 = 0; y + 4 = 0}.

Кут між прямими на площині.

Визначення. Якщо задані дві прямі y = k1x + b1, y = k2x + b2, то гострий кут між цими прямими буде визначатися як

.

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2.

Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = –1/k2.

Теорема. Прямі Ах + Ву + С = 0 і А1х + В1у + С1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А1 = А, В1 = В. Якщо ще й С1 = С, те прямі збігаються.

Координати точки перетину двох прямих є як розв’язками системи двох рівнянь.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку

перпендикулярно до даної прямої.

Визначення. Пряма, що проходить через точку М1(х1, у1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

Теорема. Якщо задано точку М(х0, у0), то відстань до прямій Ах + Ву + С =0 визначається як

.

Доведення. Нехай точка М1(х1, у1) – основа перпендикуляра, опущеного із точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М и М1:

 (1)

Координати x1 і у1 можуть бути знайдені як розв’язки системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданої прямої.

Якщо перетворити перше рівняння системи до виду:

A(xx0) + B(yy0) + Ax0 + By0 + C = 0,

то, розв’язуючи, одержимо:

Підставляючи ці вирази в рівняння (1), знаходимо:

.

Теорему доведено.

Приклад. Визначити кут між прямими: y = –3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = –3; k2 = 2 tg = ; = /4.

Приклад. Показати, що прямі 3х – 5у + 7 = 0 і 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярні.

Знаходимо: k1 = 3/5, k2 = –5/3, k1k2 = –1, отже, прямі перпендикулярні.

Приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B(6; 5), C(12; –1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини С.

Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b.

k = . Тоді y = . Оскільки висота проходить через точку С, то її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .

Відповідь: 3x + 2y – 34 = 0.

Для самостійного розв’язання: Дані сторони трикутника x + y – 6 = 0,

3x – 5y + 15 = 0, 5x – 3y – 14 = 0. Скласти рівняння його висот.

Вказівка: Спочатку варто знайти координати вершин трикутника, як точок перетину сторін, потім скористатися методом, розглянутому в попередньому прикладі.

Відповідь: {xy = 0; 5x + 3y – 26 = 0; 3x + 5y – 26 = 0}.

Криві другого порядку.

Крива другого порядку може бути задана рівнянням

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Існує система координат (не обов'язково декартова прямокутна), у якій дане рівняння може бути представлене в одному з виглядів, наведених нижче.

  1.   – рівняння еліпса.
  2.   – рівняння “уявного” еліпса.
  3.   – рівняння гіперболи.
  4.  a2x2c2y2 = 0 – рівняння двох прямих, що перетинаються.
  5.  y2 = 2px – рівняння параболи.
  6.  y2a2 = 0 – рівняння двох паралельних прямих.
  7.  y2 + a2 = 0 – рівняння двох “уявних” паралельних прямих.
  8.  y2 = 0 – пари співпадаючих прямих.
  9.  (xa)2 + (yb)2 = R2 – рівняння кола.

Коло.

У кола (xa)2 + (yb)2 = R2 центр має координати (a; b).

Приклад. Знайти координати центра і радіус кола, якщо її рівняння задане у вигляді:

2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.

Для знаходження координат центра й радіуса окружності дане рівняння необхідно привести до вигляду, зазначеному вище у п.9. Для цього виділимо повні квадрати:

x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16

Звідси знаходимо О(2; –5/4); R = 11/4.

Еліпс.

Визначення. Еліпсом називається лінія, задана рівнянням  .

Визначення. Фокусами називаються такі дві точки, сума відстаней від яких до будь-якої точки еліпса є постійна величина.

 у

 М

 r1

 r2

 F1 O F2 х

F1, F2 – фокуси. F1 = (c; 0); F2(–c; 0)

с – половина відстані між фокусами;

a – велика піввісь;

b – мала піввісь.

Теорема. Фокусна відстань і півосі еліпса пов'язані співвідношенням:

a2 = b2 + c2.

Доведення: У випадку, якщо точка М перебуває на перетині еліпса з вертикальною віссю, r1 + r2 = 2 (за теоремою Піфагора). У випадку, якщо точка М перебуває на перетині еліпса з горизонтальною віссю, r1 + r2 = a – c + a + c. Оскільки за визначенням сума r1 + r2 – стала величина, то, прирівнюючи, одержуємо:

a2 = b2 + c2

r1 + r2 = 2a.

Визначення. Форма еліпса визначається характеристикою, що є відношенням фокусної відстані до більшої осі й називається ексцентриситетом.

е = с/a.

Оскільки с < a, то е < 1.

Визначення. Величина k = b/a називається коефіцієнтом стиску еліпса, а величина 1 – k = (ab)/a називається стиском еліпса.

Коефіцієнт стиску й ексцентриситет пов'язані співвідношенням: k2 = 1 – e2.

Якщо a = b (c = 0, e = 0, фокуси зливаються), то еліпс перетворюється в окружність.

Якщо для точки М(х1, у1) виконується умова: , то вона перебуває всередині еліпса, а якщо , то точка перебуває поза еліпсом.

Теорема. Для довільної точки М(х, у), що належить еліпсу вірні співвідношення:

r1 = aex, r2 = a + ex.

Доведення. Вище було показано, що r1 + r2 = 2a. Крім того, з геометричних міркувань можна записати:

Після піднесення у квадрат і приведення подібних доданків:

Аналогічно доводиться, що r2 = a + ex. Теорему доведено.

З еліпсом пов'язано дві прямі, названі директрисами. Їх рівняння:

x = a/e; x = –a/e.

Теорема. Для того, щоб точка лежала на еліпсі, необхідно й достатньо, щоб відношення відстані до фокуса до відстані до відповідної директриси було рівним ексцентриситету е.

Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через лівий фокус і нижню вершину еліпса, заданого рівнянням:

  1.  Координати нижньої вершини: x = 0; y2 = 16; y = –4.
  2.  Координати лівого фокуса: c2 = a2b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(–3; 0).
  3.  Рівняння прямої, що проходить через дві точки:

Приклад. Скласти  рівняння еліпса, якщо його фокуси F1(0; 0), F2(1; 1), велика вісь дорівнює 2.

Рівняння еліпса має вигляд: . Відстань між фокусами:

2c = , таким чином, a2b2 = c2 = 1/2

за умовою 2а = 2, отже а = 1, b =  

Отже: .

Гіпербола.

Визначення. Гіперболою називається множина точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох даних точок, що називаються фокусами, є величина стала, менша відстані між фокусами.

 у

 M(x, y)

 b

 r1

 r2

 x

 F1 a F2

 c

По визначенню r1r2= 2a. F1, F2 – фокуси гіперболи. F1F2 = 2c.

Виберемо на гіперболі довільну точку М(х, у). Тоді:

позначимо с2а2 = b2 (геометрично ця величина – менша піввісь)

Одержали канонічне рівняння гіперболи.

Гіпербола симетрична щодо середини відрізка, що з'єднує фокуси й щодо осей координат.

Вісь 2а називається дійсною віссю гіперболи.

Вісь 2b називається уявною віссю гіперболи.

Гіпербола має дві асимптоти, рівняння яких

Визначення. Відношення називається  ексцентриситетом гіперболи, де с – половина відстані між фокусами, а – дійсна піввісь.

З врахуванням того, що с2а2 = b2:

Якщо а = b, e = , то гіпербола називається рівнобічною (рівносторонньою).

Визначення. Дві прямі, перпендикулярні дійсній осі гіперболи й розташовані симетрично щодо центра на відстані a/e від нього, називаються директрисами гіперболи. Їх рівняння: .

Теорема. Якщо r - відстань від довільної точки М гіперболи до якогось фокуса, d - відстань від тієї ж точки до відповідної цьому фокусу директриси, то відношення r/d - величина стала, рівна ексцентриситету.

Доведення. Зобразимо схематично гіперболу.

 y a/e d

 M(x, y)

 r1

 О a F1 x

OF1 = c

З очевидних геометричних співвідношень можна записати:

a/e + d = x, отже d = xa/e.

(xc)2 + y2 = r2

З канонічного рівняння: , з обліком b2 = c2a2:

Тоді тому що с/a = e, то r = exa.

Разом: .

Для лівої гілки гіперболи доведення аналогічне. Теорему доведено.

Приклад. Знайти рівняння гіперболи, вершини й фокуси якої перебувають у відповідних вершинах і фокусах еліпса .

Для еліпса: c2 = a2b2.

Для гіперболи: c2 = a2 + b2.

 

 

 

 

Рівняння гіперболи: .

Приклад. Скласти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2, а фокуси збігаються з фокусами еліпса з рівнянням

Знаходимо фокусну відстань c2 = 25 – 9 = 16.

Для гіперболи: c2 = a2 + b2 = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4; b2 = 16 – 4 = 12.

Отже:  – шукане рівняння гіперболи.

Парабола.

Визначення. Параболою називається множина точок площини, кожна з яких перебуває на однаковій відстані від даної точки, названої фокусом, і від даної прямої, названої директрисою, такої що не проходить через фокус.

Розташуємо початок координат посередині між фокусом і директрисою.

 у

 А М(х, у)

 О F x

 p/2 p/2

Величина р (відстань від фокуса до директриси) називається параметром параболи. Виведемо канонічне рівняння параболи.

З геометричних співвідношень: AM = MF; AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (xp/2) 2

(x + p/2) 2 = y2 + (xp/2) 2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2xp + p2/4

y2 = 2px

Рівняння директриси: x = – p/2.

Приклад. На параболі у2 = 8х знайти точку, відстань якої від директриси дорівнює 4.

З рівняння параболи одержуємо, що р = 4.

r = x + p/2 = 4; отже:

x = 2; y2 = 16; y = 4. Шукані точки: M1(2; 4), M2(2; –4).

Системи координат.

Будь-яка точка на площині може бути однозначно визначена за допомогою різних координатних систем, вибір яких визначається різними факторами. Спосіб задання початкових умов для розв’язання якої-небудь конкретної технічної задачі може визначити вибір тієї або іншої системи координат. Для зручності проведення обчислень часто краще використати системи координат, відмінні від декартової прямокутної системи. Крім того, наочність подання остаточної відповіді найчастіше теж сильно залежить від вибору системи координат. Нижче розглянемо деякі найбільше часто використовувані системи координат.

Полярна система координат.

Визначення. Точка О називається полюсом, а промінь l – полярною віссю.

Суть задання який-небудь системи координат на площині полягає в тому, щоб кожній точці площини поставити у відповідність пару дійсних чисел, що визначають положення цієї точки на площині. У випадку полярної системи координат роль цих чисел грають відстань точки від полюса й кут між полярною віссю й радіус-вектором цієї точки. Цей кут називається полярним кутом.

 М

 r

 r =

 

 О

l

Можна встановити зв'язок між полярною системою координат і декартовою прямокутною системою, якщо помістити початок декартової прямокутної системи в полюс, а полярну вісь направити уздовж додатного напрямку осі Ох.

Тоді координати довільної точки у двох різних системах координат зв'язуються співвідношеннями:

; ;

Приклад. Рівняння кривої в полярній системі координат має вигляд:

. Знайти рівняння кривої в декартовій прямокутній системі координат, визначити тип кривої, знайти фокуси й ексцентриситет. Схематично побудувати криву.

Скористаємося зв'язком декартової прямокутної й полярної системи координат: ;

Одержали канонічне рівняння еліпса. З рівняння видно, що центр еліпса зсунутий вздовж осі Ох на 1/2 вправо, велика піввісь a дорівнює 3/2, менша піввісь b дорівнює , половина відстані між фокусами дорівнює . Ексцентриситет дорівнює е = с/a = 1/3. Фокуси F1(0; 0) і F2(1; 0).

 y

 

 F1 F2

–1 О ½ 1 2 x

Приклад. Рівняння кривої в полярній системі координат має вигляд:

. Знайти рівняння кривої в декартовій прямокутній системі координат, визначити тип кривої, знайти фокуси й ексцентриситет. Схематично побудувати криву.

Підставимо в задане рівняння формули, що зв'язують полярну й декартову прямокутну системи координат.

Одержали канонічне рівняння гіперболи. З рівняння видно, що гіпербола зсунута вздовж осі Ох на 5 вліво, велика піввісь а дорівнює 4, менша піввісь b дорівнює 3, звідки одержуємо c2 = a2 + b2 ; c = 5; e = c/a = 5/4.

Фокуси F1(–10; 0), F2(0; 0).

Побудуємо графік цієї гіперболи.

 y

3

 F1 –9 –5 –1 О F2 x

–3

Аналітична геометрія в просторі.

Рівняння лінії в просторі.

Як на площині, так і в просторі, будь-яка лінія може бути визначена як сукупність точок, координати яких у деякій обраній у просторі системі координат задовольняють рівнянню:

F(x, y, z) = 0.

Це рівняння називається рівнянням лінії в просторі.

Крім того, лінія в просторі може бути визначена й інакше. Її можна розглядати як лінію перетину двох поверхонь, кожна з яких задана яким-небудь рівнянням.

Нехай F(x, y, z) = 0 і Ф(x, y, z) = 0 – рівняння поверхонь, що перетинаються по лінії L.

Тоді пари рівнянь

назвемо рівнянням лінії в просторі.

Рівняння прямої в просторі за точкою та

напрямним вектором.

Візьмемо довільну пряму й вектор (m, n, p), паралельний даній прямій. Вектор називається напрямним вектором прямої.

На прямій візьмемо дві довільні точки М0(x0, y0, z0) і M(x, y, z).

 z

 M1

 M0

 

 О y

 x

Позначимо радіус-вектори цих точок як і, мабуть, що – = .

Оскільки вектори й  колінеарні, то вірне співвідношення = t, де t – деякий параметр.

Разом, можна записати: =  + t.

Оскільки цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки прямої, то отримане рівняння – параметричне рівняння прямої.

Це векторне рівняння може бути представлене в координатній формі:

Перетворивши цю систему й дорівнявши значення параметра t, одержуємо канонічні рівняння прямої в просторі:

.

Визначення. Напрямними косинусами прямої називаються напрямні косинуси вектора , які можуть бути обчислені за формулами:

;  .

Звідси одержимо: m : n : p = cos : cos : cos .

Числа m, n, p називаються кутовими коефіцієнтами прямої. Оскільки  – ненульовий вектор, то m, n і p не можуть дорівнювати нулю одночасно, але одне або два із цих чисел можуть дорівнювати нулю. У цьому випадку в рівнянні прямої варто прирівняти до нуля відповідні чисельники.

Рівняння прямої в просторі, що проходить

через дві точки.

Якщо на прямій у просторі відзначити дві довільні точки M1(x1, y1, z1) і M2(x2, y2, z2), то координати цих точок повинні задовольняти отриманому вище рівнянню прямої:

.

Крім того, для точки М1 можна записати:

.

Вирішуючи спільно ці рівняння, одержимо:

.

Це рівняння прямої, що проходить через дві точки в просторі.

Загальні рівняння прямої в просторі.

Рівняння прямої може бути розглянуте як рівняння лінії перетину двох площин.

Як було розглянуто вище, площина у векторній формі може бути задана рівнянням:

+ D = 0, де

– нормаль площини; – радіус-вектор довільної точки площини.

Нехай у просторі задані дві площини: + D1 = 0 і + D2 = 0, вектори нормалі мають координати: (A1, B1, C1), (A2, B2, C2); (x, y, z).

Тоді загальні рівняння прямої у векторній формі:

Загальні рівняння прямої в координатній формі:

Практична задача часто полягає в приведенні рівнянь прямих у загальному виді до канонічного виду.

Для цього треба знайти довільну точку прямої й числа m, n, p.

При цьому напрямний вектор прямої може бути знайдений як векторний добуток векторів нормалі до заданих площин.

Приклад. Знайти канонічне рівняння, якщо пряма задана у вигляді:

Для знаходження довільної точки прямій, приймемо її координату х = 0, а потім підставимо це значення в задану систему рівнянь.

, тобто А(0, 2, 1).

Знаходимо компоненти напрямного вектора прямої.

Тоді канонічні рівняння прямої:

Приклад. Привести до канонічного виду рівняння прямої, задане у вигляді:

Для знаходження довільної точки прямої, що є лінією перетину зазначених вище площин, приймемо z = 0. Тоді:

;

2x – 9x – 7 = 0;

x = –1; y = 3;

Одержуємо: A(–1; 3; 0).

Напрямний вектор прямої: .

Отже:

Кут між площинами.

 

   1 О

 

Кут між двома площинами в просторі пов'язаний з кутом між нормалями до цих площин 1 співвідношенням: = 1 або = 1800 1, тобто cos = cos 1.

Визначимо кут 1. Відомо, що площини можуть бути задані співвідношеннями:

, де

(A1, B1, C1), (A2, B2, C2). Кут між векторами нормалі знайдемо з їхнього скалярного добутку:

.

Таким чином, кут між площинами знаходиться за формулою:

Вибір знака косинуса залежить від того, який кут між площинами слід знайти – гострий, або суміжний з ним тупий.

Умови паралельності й перпендикулярності

площин.

На основі отриманої вище формули для знаходження кута між площинами можна знайти умови паралельності й перпендикулярності площин.

Для того, щоб площини були перпендикулярні необхідно й достатньо, щоб косинус кута між площинами дорівнював нулю. Ця умова виконується, якщо:

.

Площини паралельні, вектори нормалей колінеарні:  .Ця умова виконується, якщо: .

Кут між прямими в просторі.

Нехай у просторі задані дві прямі. Їхні параметричні рівняння:

l1:

l2:

Кут між прямими і кут між напрямними векторами цих прямих пов'язані співвідношенням: = 1 або = 18001. Кут між напрямними векторами знаходиться зі скалярного добутку у такий спосіб:

.

Умови паралельності й перпендикулярності

прямих у просторі.

Щоб дві прямі були паралельні необхідно й достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були колінеарні, тобто їх відповідні координати були пропорційні.

Щоб дві прямі були перпендикулярні необхідно й достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були перпендикулярні, тобто косинус кута між ними дорівнює нулю.

Кут між прямою й площиною.

Визначення. Кутом між прямою й площиною називається будь-який кут між прямою та її проекцією на цю площину.

 

 

 

 

Нехай площина задана рівнянням , а пряма – . З геометричних міркувань (див. мал.) видно, що шуканий кут = 900, де – кут між векторами  й . Цей кут може бути знайдений за формулою:

У координатній формі:

Умови паралельності й перпендикулярності

прямої і площині в просторі.

Для того, щоб пряма й площина були паралельні, необхідно й достатньо, щоб вектор нормалі до площини й напрямний вектор прямої були перпендикулярні. Для цього необхідно, щоб їх скалярний добуток був рівний нулю.

Для того, щоб пряма й площина були перпендикулярні, необхідно й достатньо, щоб вектор нормалі до площини й напрямний вектор прямої були колінеарні. Ця умова виконується, якщо векторний добуток цих векторів був дорівнює нулю.

Поверхні другого порядку.

Визначення. Поверхні другого порядку – це поверхні, рівняння яких у прямокутній системі координат є рівняннями другого порядку.

Циліндричні поверхні.

Визначення. Циліндричними поверхнями називаються поверхні, утворені лініями, паралельними до якоїсь фіксованої прямої.

Розглянемо поверхні, у рівнянні яких відсутня складова z, тобто напрямні паралельні осі Оz. Тип лінії на площині хOу (ця лінія називається напрямної поверхні) визначає характер циліндричної поверхні. Розглянемо деякі окремі випадки залежно від рівняння напрямних:

  1.  - еліптичний циліндр.

  1.   – гіперболічний циліндр.

  1.  x2 = 2py – параболічний циліндр.

Поверхні обертання.

Визначення. Поверхня, описана деякою лінією, що обертається навколо нерухомої прямої d, називається поверхнею обертання з віссю обертання d.

Якщо рівняння поверхні в прямокутній системі координат має вигляд: , то ця поверхня – поверхня обертання з віссю обертання Оz. Аналогічно:  – поверхня обертання з віссю обертання Оу,  – поверхня обертання з віссю обертання Ох.

Запишемо рівняння поверхонь обертання для деяких окремих випадків:

  1.   - еліпсоїд обертання
  2.   - однопорожнинний гіперболоїд обертання
  3.   - двопорожнинний гіперболоїд обертання 
  4.   - параболоїд обертання

Аналогічно можуть бути записані рівняння для розглянутих вище поверхонь обертання, якщо осями обертання є осі Ох або Оу.

Однак, перераховані вище поверхні є всього лише окремими випадками поверхонь другого порядку загального виду, деякі типи яких розглянуті нижче:

Сфера:

Тривісний еліпсоїд:

У перетині еліпсоїда площинами, паралельними координатним площинам, виходять еліпси з різними осями.

Однопорожнинний гіперболоїд:

Двопорожнинний гіперболоїд:

Еліптичний параболоїд:

Гіперболічний параболоїд:

Конус другого порядку:

Циліндрична й сферична системи координат.

Як і на площині, у просторі положення будь-якої точки може бути визначене трьома координатами в різних системах координат, відмінних від декартової прямокутної системи. Циліндрична й сферична системи координат є узагальненням для простору полярної системи координат, що була докладно розглянута вище.

Введемо в просторі точку О и промінь l, що виходить із точки О, а також вектор . Через точку О можна провести єдину площину, перпендикулярну вектору нормалі .

Для введення відповідності між циліндричною, сферичною й декартовою прямокутною системами координат точку О суміщають з початком декартової прямокутної системи координат, промінь l – з позитивним напрямком осі х, вектор нормалі – з віссю z.

Циліндрична й сферична системи координат використовуються в тих випадках, коли рівняння кривій або поверхні в декартовій прямокутній системі координат виглядають досить складно, і операції з таким рівнянням виглядають трудомісткими.

Подання рівнянь у циліндричній і сферичній системі дозволяє значно спростити обчислення, що буде показано далі.

z

 М

 

  h

 О  x

 r

 M1

 y

 ОМ1 = r; MM1 = h;

Якщо з точки М опустити перпендикуляр ММ1 на площину, то точка М1 буде мати на площині полярні координати (r, ).

Визначення. Циліндричними координатами точки М називаються  числа (r, , h), які визначають положення точки М у просторі.

Визначення. Сферичними координатами точки М називаються числа (r, , ), де – кут між і нормаллю.

Зв'язок між циліндричною та декартовою прямокутною

системами координат.

Аналогічно полярній системі координат на площині можна записати співвідношення, що зв'язують між собою різні системи координат у просторі. Для циліндричної й декартової прямокутної систем ці співвідношення мають вигляд:

 

Зв'язок сферичної системи координат з

декартовою прямокутної.

У випадку сферичної системи координат співвідношення мають вигляд:

Лінійний (векторний) простір.

Як відомо, лінійні операції (додавання, віднімання, множення на число) визначені по-своєму для кожної множини (числа, багаточлени, направлені відрізки, матриці). Самі операції різні, але їхні властивості однакові.

Ця спільність властивостей дозволяє узагальнити поняття лінійних операцій для будь-яких множин поза залежністю від того, що це за множини (числа, матриці й т.д.).

Для того, щоб дати визначення лінійного (векторного) простору розглянемо деяку множину L дійсних елементів, для яких визначені операції додавання й множення на число.

Ці операції мають властивості:

  1.  Комутативність + = +
  2.  Асоціативність ( + ) + = + ( + )
  3.  Існує такий нульовий вектор , що + = для   L
  4.  Для   L існує вектор  = –, такий, що + =
  5.  1 =
  6.  ( ) = ()
  7.  Розподільний закон ( + ) = +
  8.  ( + ) = +

Визначення: Множина L називається лінійним (векторним) простором, а його елементи називаються векторами.

Важливо не плутати поняття вектора, наведене вище з поняттям вектора як направленого відрізка на площині або в просторі. Направлені відрізки є всього лише часткою случаємо елементів лінійного (векторного) простору. Лінійний (векторний) простір – поняття ширше. Прикладами таких просторів можуть слугувати множина дійсних чисел, множина векторів на площині й у просторі, матриці й т.і.

Якщо операції додавання й множення на число визначені для дійсних елементів, то лінійний (векторний) простір є дійсним простором, якщо для комплексних елементів – комплексним простором.

Властивості лінійних просторів.

  1.  У кожному лінійному просторі існує тільки один нульовий елемент.
  2.  Для кожного елемента існує тільки один протилежний елемент.
  3.  Для кожного  L вірно 0 = 0
  4.  Для кожного  і  L вірно  =
  5.  Якщо  = , те = 0 або  =
  6.  (–1)  = –

Лінійні перетворення.

Визначення: Будемо вважати, що в лінійному просторі L задане деяке лінійне перетворення А, якщо будь-якому елементу  L за деяким правилом ставиться у відповідність елемент А  L.

Визначення: Перетворення А називається лінійним, якщо для будь-яких векторів  L і  L і кожного вірно:

A( + ) = A +A

A() = A

Визначення: Лінійне перетворення називається тотожним, якщо воно перетворить елемент лінійного простору сам у себе.

Е =

Приклад. Чи є А лінійним перетворенням. А = +; 0.

Запишемо перетворення А для якогось елемента . А = +. Перевіримо, чи виконується правило операції додавання для цього перетворення А( + ) = + +; A( ) + A( ) = + + +, що вірно тільки при = 0, тобто дане перетворення А нелінійне.

Визначення: Якщо в просторі L є вектори лінійного перетворення , те інший вектор є лінійною комбінацією векторів .

Визначення: Якщо  тільки при = = … = = 0, то вектори називаються лінійно незалежними.

Визначення: Якщо в лінійному просторі L є n лінійно незалежних векторів, але будь-які n+1 векторів лінійно залежні, то простір L називається n-мірним, а сукупність лінійно незалежних векторів називається базисом лінійного простору L.

Наслідок: Будь-який вектор лінійного простору може бути представлений у вигляді лінійної комбінації векторів базису.

Матриці лінійних перетворень.

Нехай в n-мірному лінійному просторі з базисом , ,…, задано лінійне перетворення А. Тоді вектори А, А,…, А - також вектори цього простору і їх можна представити у вигляді лінійної комбінації векторів базису:

A = a11 + a21 +…+an1

A =a12 +a22 +…+an2

……………………………….........

A = an1 + an2 +…+ann

Тоді матриця А =  називається матрицею лінійного перетворення А.

Якщо в просторі L взяти вектор = x1 + x2 +…+xn, то A  L.

, де

……………………………......

Ці рівності можна назвати лінійним перетворенням у базисі , ,…,... У матричному вигляді:

, А,

Приклад. Знайти матрицю лінійного перетворення, заданого у вигляді:

 

A =

На практиці дії над лінійними перетвореннями зводяться до дій над їхніми матрицями.

Визначення: Якщо вектор переводиться у вектор  лінійним перетворенням з матрицею А, а вектор  у вектор  лінійним перетворенням з матрицею В, те послідовне застосування цих перетворень рівносильне лінійному перетворенню, що переводить вектор  у вектор (воно називається добутком складових перетворень).

С = ВА

Приклад. Задано лінійне перетворення А, що переводить вектор у вектор  і лінійне перетворення В, що переводить вектор  у вектор . Знайти матрицю лінійного перетворення, що переводить вектор  у вектор .

С = ВА

Тобто

Примітка: Якщо А= 0, то перетворення вироджене, тобто, наприклад, площина перетвориться не в цілу площину, а в пряму.

Власні значення й власні вектори

лінійного перетворення.

Визначення: Нехай L – заданий n-мірний лінійний простір. Ненульовий вектор L називається власним вектором лінійного перетворення А, якщо існує таке число , що виконується рівність:

.

При цьому число називається власним значенням (характеристичним числом) лінійного перетворення А, що відповідає вектору .

Визначення: Якщо лінійне перетворення А в деякому базисі , ,…, має матрицю А = , то власні значення лінійного перетворення А можна знайти як корінь 1, 2, …, n рівняння:

Це рівняння називається характеристичним рівнянням, а його ліва частина – характеристичним багаточленом лінійного перетворення А.

Слід зазначити, що характеристичний багаточлен лінійного перетворення не залежить від вибору базису.

Розглянемо окремий випадок. Нехай А – деяке лінійне перетворення площини, матриця якого дорівнює . Тоді перетворення А може бути задане формулами:

;

у деякому базисі .

Якщо перетворення А має власний вектор із власним значенням , то .

або

Оскільки власний вектор  ненульовий, то х1 і х2 не дорівнюють нулю одночасно. Оскільки дана система однорідна, то для того, щоб вона мала нетривіальний розв’язок, визначник системи повинен дорівнювати нулю. У протилежному випадку за правилом Крамера система має єдиний розв’язок – нульовий, що неможливо.

Отримане рівняння є характеристичним рівнянням лінійного перетворення А.

Таким чином, можна знайти власний вектор (х1, х2) лінійні перетворення А с власним значенням , де – корінь характеристичного рівняння, а х1 і х2 – корінь системи рівнянь при підстановці в неї значення .

Зрозуміло, що якщо характеристичне рівняння не має дійсних коренів, то лінійне перетворення А не має власних векторів.

Слід зазначити, що якщо  – власний вектор перетворення А, то й будь-який вектор колінеарний йому – теж власний з тим же самим власним значенням .

Дійсно, . Якщо врахувати, що вектори мають один початок, то ці вектори утворять так званий власний напрямок або власну пряму.

Оскільки характеристичне рівняння може мати два різних дійсних корені 1 і 2, то в цьому випадку при підстановці їх у систему рівнянь одержимо нескінченну кількість розв’язків. (Оскільки рівняння лінійно залежні). Ця множина розв’язків визначає дві власні прямі.

Якщо характеристичне рівняння має два рівних корені 1 = 2 = , то або є лише одна власна пряма, або при підстановці в систему вона перетворюється в систему виду: . Ця система задовольняється будь-якими значеннями х1 і х2. Тоді всі вектори будуть власними, і таке перетворення називається перетворенням подібності.

Приклад. Знайти характеристичні числа й власні вектори лінійного перетворення з матрицею А = .

Запишемо лінійне перетворення у вигляді:

Складемо характеристичне рівняння:

;

Корені характеристичного рівняння: 1 = 7; 2 = 1;

Для кореня 1 = 7:

Із системи виходить залежність: x12x2 = 0. Власні вектори для першого кореня характеристичного рівняння мають координати: (t; 0,5t) де t – параметр.

Для кореня 2 = 1:

Із системи виходить залежність: x1 + x2 = 0. Власні вектори для другого кореня характеристичного рівняння мають координати: (t; –t) де t – параметр.

Отримані власні вектори можна записати у вигляді:

Приклад. Знайти характеристичні числа й власні вектори лінійного перетворення з матрицею А = .

Запишемо лінійне перетворення у вигляді:

Складемо характеристичне рівняння:

;

Корінь характеристичного рівняння: 1 = 2 = 2;

Одержуємо:

Із системи виходить залежність: x1 – x2 = 0. Власні вектори для першого кореня характеристичного рівняння мають координати: (t; t) де t – параметр.

Власний вектор можна записати: .

Розглянемо інший окремий випадок. Якщо  – власний вектор лінійного перетворення А, заданого в тривимірному лінійному просторі, а х1, х2, х3 – компоненти цього вектора в деякому базисі , то

,

де  – власне значення (характеристичне число) перетворення А.

Якщо матриця лінійного перетворення А має вигляд:

, то

Характеристичне рівняння:  

Розкривши визначник, одержимо кубічне рівняння відносно . Будь-яке кубічне рівняння з дійсними коефіцієнтами має або один, або три дійсних корені.

Тоді будь-яке лінійне перетворення в тривимірному просторі має власні вектори.

Приклад. Знайти характеристичні числа й власні вектори лінійного перетворення А, матриця лінійного перетворення А = .

Складемо характеристичне рівняння:

Власні значення: 1 = –2; 2 = 3; 3 = 6;

1) Для 1 = –2:

Якщо прийняти х1 = 1, то  х2 = 0; x3 = – 1;

Власні вектори:

2) Для 2 = 3:

Якщо прийняти х1 = 1, то  х2 = –1; x3 = 1;

Власні вектори:

3) Для 3 = 6:

Якщо прийняти х1 = 1, то  х2 = 2; x3 = 1;

Власні вектори:

Приклад. Знайти характеристичні числа й власні вектори лінійного перетворення А, матриця лінійного перетворення А = .

Складемо характеристичне рівняння:

1 = 0; 2 = 1; 3 = –1;

Для 1 = 0:

Якщо прийняти х3 = 1, одержуємо х1 = 0, х2 = –2

Власні вектори t, де t – параметр.

Для самостійного розв’язання: Аналогічно знайти й  для 2 і 3.

Квадратичні форми.

Визначення: Однорідний багаточлен другого ступеня щодо змінних х1 і х2 

Ф(х1, х2) = а11

не утримуючого вільного члена й невідомих у першому ступені називається квадратичною формою змінних х1 і х2.

Визначення: Однорідний багаточлен другого ступеня щодо змінних х1, х2 і х3 

не утримуючого вільного члена й невідомих у першому ступені називається квадратичною формою змінних х1, х2 і х3.

Розглянемо квадратичну форму двох змінних. Квадратична форма має симетричну матрицю А = . Визначник цієї матриці називається визначником квадратичної форми.

Нехай на площині заданий ортогональний базис . Кожна точка площини має в цьому базисі координати х1, х2.

Якщо задано квадратичну форму Ф(х1, х2) = а11, то її можна розглядати як функцію від змінних х1 і х2.

Приведення квадратичних форм до канонічного

вигляду.

Розглянемо деяке лінійне перетворення А с матрицею .

Це симетричне перетворення можна записати у вигляді:

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a12x1 + a22x2

де у1 і у2 – координати вектора  в базисі .

Очевидно, що квадратична форма може бути записана у вигляді

Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.

Як видно, геометричний зміст числового значення квадратичної форми Ф у точці з координатами х1 і х2 – скалярний добуток .

Якщо взяти інший ортонормований базис на площині, то в ньому квадратична форма Ф буде виглядати інакше, хоча її числове значення в кожній геометричній точці й не зміниться. Якщо знайти такий базис, у якому квадратична форма не буде містити координат у першому ступені, а тільки координати у квадраті, то квадратичну форму можна буде привести до канонічного виду.

Якщо як базис взяти сукупність власних векторів лінійного перетворення, то в цьому базисі матриця лінійного перетворення має вигляд:

.

При переході до нового базису від змінних х1 і х2 ми переходимо до змінних  й . Тоді:

Тоді .

Вираз  називається канонічним виглядом квадратичної форми. Аналогічно можна привести до канонічного виду квадратичну форму з більшим числом змінних.

Теорія квадратичних форм використається для приведення до канонічного вигляду рівнянь кривих і поверхонь другого порядку.

Приклад. Привести до канонічного вигляду квадратичну форму

.

Коефіцієнти: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.

Складемо характеристичне рівняння: ;

1 = 2; 2 = 28;

Приклад. Привести до канонічного вигляду рівняння другого порядку:

17x2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.

Коефіцієнти а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8. А =

Складемо характеристичне рівняння:

(17 – )(8 – ) – 36 = 0

136 – 8 – 17 + 2 – 36 = 0

2 – 25 + 100 = 0

1 = 5, 2 = 20.

Отже:  – канонічне рівняння еліпса.

Приклад. Використовуючи теорію квадратичних форм, привести до канонічного вигляду рівняння лінії другого порядку. Схематично зобразити графік.

Розв’язання: Складемо характеристичне рівняння квадратичної форми : при

Вирішивши це рівняння, одержимо 1 = 2, 2 = 6.

Знайдемо координати власних векторів:

приймаючи m1 = 1, одержимо n1 =

приймаючи m2 = 1, одержимо n2 =

Власні вектори:

Знаходимо координати одиничних векторів нового базису.

Маємо наступне рівняння лінії в новій системі координат:

Канонічне рівняння лінії в новій системі координат буде мати вигляд:

Приклад. Використовуючи теорію квадратичних форм, привести до канонічного вигляду рівняння лінії другого порядку. Схематично зобразити графік.

Розв’язання: Складемо характеристичне рівняння квадратичної форми : при

Вирішивши це рівняння, одержимо 1 = 1, 2 = 11.

Знайдемо координати власних векторів:

приймаючи m1 = 1, одержимо n1 =

приймаючи m2 = 1, одержимо n2 =

Власні вектори:

Знаходимо координати одиничних векторів нового базису.

Маємо наступне рівняння лінії в новій системі координат:

Канонічне рівняння лінії в новій системі координат буде мати вигляд:

Приклад. Використовуючи теорію квадратичних форм, привести до канонічного вигляду рівняння лінії другого порядку. Схематично зобразити графік.

4ху + 3у2 + 16 = 0

Коефіцієнти: a11 = 0; a12 = 2; a22 = 3.

Характеристичне рівняння:

Корені: 1 = –1, 2 = 4.

Для 1 = –1 Для 2 = 4

 

m1 = 1; n1 = –0,5; m2 = 1; n2 = 2;

= (1; –0,5) = (1; 2)

 

 

Одержуємо:  – канонічне рівняння гіперболи.


Вступ до математичного аналізу.

Числова послідовність.

Визначення. Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність число хn, то говорять, що задано послідовність

x1, х2, …, хn = {xn}

Загальний елемент послідовності є функцією від n.

xn = f(n)

У такий спосіб послідовність може розглядатися як функція.

Задати послідовність можна різними способами – головне, щоб був зазначений спосіб одержання будь-якого члена послідовності.

Приклад. {xn} = {(–1)n} або {xn} = –1; 1; –1; 1; …

{xn} = {sin n/2} або {xn} = 1; 0; 1; 0; …

Для послідовностей можна визначити наступні операції:

  1.  Множення послідовності на число m: m{xn} = {mxn}, тобто mx1, mx2, …
  2.  Додавання (вирахування) послідовностей: {xn} {yn} = {xn  yn}.
  3.  Добуток послідовностей: {xn}{yn} = {xnyn}.
  4.  Частка послідовностей:  при {yn} 0.

Обмежені й необмежені послідовності.

Визначення. Послідовність {xn} називається обмеженою, якщо існує таке число М>0, що для будь-якого n вірне нерівність:

тобто всі члени послідовності належать проміжку (–М; M).

Визначення. Послідовність {xn} називається обмеженою згори, якщо для будь-якого n існує таке число М, що

Визначення. Послідовність {xn}називається обмеженої знизу, якщо для будь-якого n існує таке число М, що

Приклад. {xn} = n – обмежена знизу {1, 2, 3, … }...

Визначення. Число а називається границею послідовності {xn}, якщо для будь-якого позитивного  >0 існує такий номер N, що для всіх n > N виконується умова:

Це записується: .

У цьому випадку говорять, що послідовність {xn} збігається до а при n.

Властивість: Якщо відкинути яке-небудь або число членів послідовності, то виходять нові послідовності, при цьому якщо сходиться одна з них, то сходиться й інша.

Приклад. Довести, що границя послідовності .

Нехай при n > N вірно , тобто  . Це вірно при , таким чином, якщо за N взяти цілу частину від , то твердження, наведене вище, виконується.

Приклад. Показати, що при n послідовність 3,  має границею число 2.

Отже: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2

Очевидно, що існує таке число n, що , тобто .

Теорема. Послідовність не може мати більше однієї границі.

Доведення. Припустимо, що послідовність {xn} має дві границі a і b, не рівні один одному.

xn  a; xn  b; a  b.

Тоді за визначенням існує таке число >0, що

Запишемо вираз:

А тому що будь-яке число, те, тобто a = b. Теорему доведено.

Теорема. Якщо xn  a, то .

Доведення. З xn  a треба, що . У той же час:

, тобто  , тобто . Теорему доведено.

Теорема. Якщо xn  a, то послідовність {xn} обмежена.

Слід зазначити, що обернене твердження невірне, тобто з обмеженості послідовності не слідує її збіжність.

Наприклад, послідовність не має границі, хоча

Монотонні послідовності.

Визначення. 1) Якщо xn+1 > xn для всіх n, то послідовність зростаюча.

2) Якщо xn+1  xn для всіх n, то послідовність неспадна.

3) Якщо xn+1 < xn для всіх n, те послідовність спадна.

4) Якщо xn+1  xn для всіх n, те послідовність незростаюча

Всі ці послідовності називаються монотонними. Зростаючі й спадні послідовності називаються строго монотонними.

Приклад. {xn} = 1/n – спадна й обмежена

{xn} = n – зростаюча й необмежена.

Приклад. Довести, що послідовність {xn}= монотонна зростаюча.

Знайдемо член послідовності {xn+1}=

Знайдемо знак різниці: {xn}–{xn+1}=

, тому що , то знаменник додатний при будь-якому n.

Таким чином, xn+1 > xn. Послідовність зростаюча, що й слід було довести.

Приклад. З'ясувати чи є зростаючою або спадною послідовність {xn} = .

Знайдемо . Знайдемо різницю

, тому що , то 1 – 4n <0, тобто хn+1 < xn. Послідовність монотонно спадає.

Слід зазначити, що монотонні послідовності обмежені принаймні з однієї сторони.

Теорема. Монотонна обмежена послідовність має границю.

Доведення. Розглянемо монотонну неспадну послідовність

Ця послідовність обмежена зверху: , де М – деяке число.

Оскільки будь-яка, обмежене згори, числова множина має чітку верхню грань, то для кожного > 0 існує таке число N, що x > a, де а – деяка верхня грань множини.

Оскільки {xn} – неспадна послідовність, то при N > n , xn > a.

Звідси a < xn < a +

< xna < або xna< , тобто .

Для інших монотонних послідовностей доведення аналогічно. Теорему доведено.

Число е.

Розглянемо послідовність {xn} = .

Якщо послідовність {xn} монотонна й обмежена, то вона має скінченну границю.

За формулою бінома Ньютона:

або, що те ж саме

Покажемо, що послідовність {xn} – зростаюча. Дійсно, запишемо вираз xn+1 і прирівняємо його з виразом xn:

Кожний доданок у виразі xn+1 більше відповідного значення xn, і, крім того, в xn+1 додається ще один позитивний доданок. Таким чином, послідовність {xn} зростаюча.

Доведемо тепер, що при будь-якому n її члени не перевершують трьох: xn < 3.

Отже, послідовність  – монотонно зростаюча і обмежена зверху, тобто має скінченну границю. Цю границю прийнято позначати буквою е.

З нерівності  треба, щоб . Відкидаючи в рівності для {xn} всі члени, починаючи із четвертого, маємо:

переходячи до границі, одержуємо

Таким чином, число е розміщене між числами 2,5 і 3. Якщо взяти більшу кількість членів послідовності, то можна одержати більш точну оцінку значення числа е.

Можна показати, що число е ірраціональне і його значення дорівнює 2,71828...

Аналогічно можна показати, що , розширивши вимоги до х до будь-якого дійсного числа:

Припустимо:

Знайдемо

Число е є основою натурального логарифма.

Вище представлений графік функції y = ln x.

Зв'язок натурального й десяткового логарифмів.

Нехай х = 10у, тоді ln x = ln10y, отже ln x = y ln10.

, де М = 1/ln10 0,43429… – модуль переходу.

Границя функції в точці.

 y f(x)

 A +

 A

 A

0 a a a +  x

Нехай функція f(x) визначена в деякому околі точки х = а (тобто в самій точці х = а функція може бути й невизначена).

Визначення. Число А називається границею функції f(x) при ха, якщо для кожного >0 існує таке число >0, що для всіх х таких, що

вірна нерівність .

Те ж визначення може бути записане в іншому вигляді:

Якщо а < x < a + , x  a, то вірна нерівність А < f(x) < A + .

Запис границі функції в точці:

Визначення. Якщо f(x)  A1 при х  а тільки при x < a, то  - називається границею функції f(x) в точці х = а ліворуч, а якщо f(x)  A2 при х  а тільки при x > a, то  називається границею функції f(x) в точці х = а праворуч.

 у

 f(x)

 А2

 А1

0 a x

Наведене вище визначення відповідає випадку, коли функція f(x) не визначена в самій точці х = а, але визначена в деякій як завгодно малому околі цієї точки.

Межі А1 і А2 називаються також однобічними границями функції f(x) у точці х = а. Також кажуть, що Аскінченна границя функції f(x).

Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності.

Визначення. Число А називається границею функції f(x) при х, якщо для будь-якого числа >0 існує таке число М>0, що для всіх х, х>M виконується нерівність

При цьому вважається, що функція f(x) визначена в околиці нескінченності.

Записують:

Графічно можна представити:

 y y

 A A

0 0

 x x

 y y

 A A

0 0

 x x

Аналогічно можна визначити границі  для будь-якого х >M і

для будь-якого х <M.

Основні теореми про границі.

Теорема 1. , де С = const.

Наступні теореми справедливі в припущенні, що функції f(x) і g(x) мають скінченні границі при .

Теорема 2. 

Доведення цієї теореми буде наведено нижче.

Теорема 3. 

Наслідок. 

Теорема 4.  за умови

Теорема 5. Якщо f(x)>0 поблизу точки х = а й , то А>0.

Аналогічно визначається знак границі при

Теорема 6. Якщо  поблизу точки х = а й , то й .

Визначення. Функція f(x) називається обмеженою поблизу точки х = а, якщо існує таке число М>0, що f(x)<M поблизу точки х = а.

Теорема 7. Якщо функція f(x) має скінченну границю при , то вона обмежена поблизу точки х = а.

Доведення. Нехай , тобто , тоді

або

, тобто

де М = + А

Теорему доведено.

Нескінченно малі функції.

Визначення. Функція f(x) називається нескінченно малою при ха, де а може бути числом або однією з величин , + або – , якщо .

Нескінченно малою функція може бути тільки якщо вказати до якого числа прямує аргумент х. При різних значеннях а функція може бути нескінченно малою чи ні.

Приклад. Функція f(x) = xn є нескінченно малою при х0 і не є нескінченно малою при х1, тому що .

Теорема. Для того, щоб функція f(x) при  мала границю, рівну А, необхідно й достатньо, щоб поблизу точки х = а виконувалася умова

де  – нескінченно мала при  ( при .

Властивості нескінченно малих функцій:

  1.  Сума фіксованого числа нескінченно малих функцій при  теж нескінченно мала функція при .
  2.  Добуток фіксованого числа нескінченно малих функцій при  теж нескінченно мала функція при .
  3.  Добуток нескінченно малої функції на функцію, обмежену поблизу точки х = а є нескінченно малою функцією при .
  4.  Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю є величина нескінченно мала.

Використовуючи поняття нескінченно малих функцій, наведемо доведення деяких теорем про границі, наведених вище.

Доведення теореми 2. Представимо , , де

, тоді

A + B = const,  – нескінченно мала, значить

Теорему доведено.

Доведення теореми 3. Представимо , , де

, тоді

,  і  – нескінченно малі, значить

Теорему доведено.

Нескінченно великі функції та їх зв'язок з

нескінченно малими.

Визначення. Границя функції f(x) при ха, де а – число, що дорівнює нескінченності, якщо для будь-якого числа М >0 існує таке число >0, що нерівність

виконується при всіх х, що задовольняють умові

Записується .

Властиво, якщо в наведеному вище визначенні замінити умову  на f(x)>M, то одержимо:

а якщо замінити на f(x)<M, то:

Графічно наведені вище випадки можна проілюструвати в такий спосіб:

 a x a x a x

Визначення. Функція називається нескінченно великою при ха, де а – число або одна з величин , + або – , якщо , де А – число або одна з величин , + або – .

Зв'язок нескінченно великих і нескінченно малих функцій здійснюється у відповідності з наступною теоремою.

Теорема. Якщо при  (якщо ) і не обертається в нуль, то

Порівняння нескінченно малих функцій.

Нехай ,  і  – нескінченно малі функції при . Будемо позначати ці функції ,  і  відповідно. Ці нескінченно малі функції можна порівнювати за швидкістю їхнього спадання, тобто за швидкістю їх прямування до нуля.

Наприклад, функція f(x) = x10 прямує до нуля швидше, ніж функція f(x) = x.

Визначення. Якщо , то функція називається нескінченно малою вищого порядку, ніж функція .

Визначення. Якщо , то і називаються нескінченно малими одного порядку.

Визначення. Якщо то функції і називаються еквівалентними нескінченно малими. Записують .

Приклад. Порівняємо нескінченно малі при х0 функції f(x) = x10 і f(x) = x.

тобто функція f(x) = x10 – нескінченно мала вищого порядку, ніж f(x) = x.

Визначення. Нескінченно мала функція називається нескінченно малою порядку k відносно нескінченно малої функції , якщо границя  скінченна й відмінна від нуля.

Однак, слід зазначити, що не всі нескінченно малі функції можна порівнювати між собою. Наприклад, якщо відношення  не має границі, то функції непорівнянні.

Приклад. Якщо , то при х0 , тобто функція – нескінченно мала порядку 2 щодо функції .

Приклад. Якщо , то при х0  не існує, тобто функція і непорівнянні.

Властивості еквівалентних нескінченно малих.

  1.   ~ ,
  2.  Якщо ~ і ~ , то ~ ,
  3.  Якщо ~ , то ~ ,
  4.  Якщо ~ 1 і ~ 1 і , то й  або .

Наслідки: а) якщо ~ 1 і , то й

б) якщо ~ 1 і , то

Властивість 4 особливо важливо на практиці, тому що воно фактично означає, що границя відношення нескінченно малих не міняється при заміні їх на еквівалентні нескінченно малі. Цей факт дає можливість при знаходженні границь заміняти нескінченно малі на еквівалентні їм функції, що може сильно спростити обчислення границь.

Приклад. Знайти границю

Оскільки tg5x ~ 5x і sin7x ~ 7x при , то, замінивши функції еквівалентними нескінченно малими, одержимо:

Приклад. Знайти границю .

Тому що  при х0, то .

Приклад. Знайти границю

Якщо і – нескінченно малі при ха, причому – нескінченно мала більше високого порядку, чим , то = + – нескінченно мала, еквівалентна . Це можна довести наступною рівністю: .

Тоді кажуть, що головна частина нескінченно малої функції .

Приклад. Функція х2 +х – нескінченно мала при х0, х – головна частина цієї функції. Щоб показати це, запишемо = х2, = х, тоді

.

Деякі визначні границі.

Перша визначна границя. , де P(x) = a0xn + a1xn–1 +…+an,

Q(x) =b0xm+b1xm–1+…+bm – багаточлени.

Разом:

Друга визначна границя. 

Третя визначна границя. 

Часто, якщо безпосереднє знаходження границі якої-небудь функції видається складним, то можна шляхом перетворення функції звести задачу до знаходження визначних меж.

Крім трьох, викладених вище, меж можна записати наступні корисні на практиці співвідношення:

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю .

Для знаходження цієї границі розкладемо на множники чисельник і знаменник даного дробу.

x26x + 8 = 0; x28x + 12 = 0;

D = 3632 = 4; D = 64 – 48 = 16;

x1 = (6 + 2)/2 = 4; x1 = (8 + 4)/2 = 6;

x2 = (6 – 2)/2 = 2; x2 = (8 – 4)/2 = 2;

Тоді

Приклад. Знайти границю.

домножимо чисельник і знаменник дробу на спряжений вираз: =

=.

Приклад. Знайти границю.

Приклад. Знайти границю .

Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

x23x + 2 = (x – 1)(x – 2)

x36x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), тому що

x3 – 6x2 + 11x – 6 x – 1

 x3x2 x2 – 5x + 6

– 5x2 + 11x

– 5x2 + 5x

6x – 6

6x – 6

0

x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

Тоді

Приклад. Знайти границю.

Для самостійного розв’язання:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  8)  – не визначений.

Неперервність функції в точці.

Визначення. Функція f(x), визначена в околі деякої точки х0, називається неперервною в точці х0, якщо границя функції і її значення в цій точці рівні, тобто

Той же факт можна записати інакше:

Визначення. Якщо функція f(x) визначена в деякому околі точки х0, але не є неперервною в самій точці х0, то вона називається розривною функцією, а точка х0 – точкою розриву.

Приклад неперервної функції:


 y

 f(x0)+

 f(x0)

 f(x0)–

0 x0 x0 x0+ x

Приклад розривної функції:

 y

 f(x0)+

 f(x0)

 f(x0)–

 x0 x

Визначення. Функція f(x) називається неперервною в точці х0, якщо для будь-якого додатного числа > 0 існує таке число > 0, що для будь-яких х, що задовольняють умові

вірна нерівність .

Визначення. Функція f(x) називається неперервною в точці х = х0, якщо приріст функції в точці х0 є нескінченно малою величиною.

де (х) – нескінченно мала при хх0.

Властивості неперервних функцій.

1) Сума, різниця й добуток неперервних у точці х0 функцій – є функція, неперервна в точці х0.

2) Частка двох неперервних функцій  є неперервна функція за умови, що g(x) не дорівнює нулю в точці х0.

3) Суперпозиція неперервних функцій є неперервною функцією. Ця властивість може бути записана в такий спосіб:

Якщо u = f(x), v = g(x) – неперервні функції в точці х = х0, то функція v = g(f(x)) – теж неперервна функція в цій точці.

Справедливість наведених вище властивостей можна легко довести, використовуючи теореми про границі.

Неперервність деяких елементарних функцій.

1) Функція f(x) = C, C = const – неперервна функція на всій області визначення.

2) Раціональна функція  неперервна для всіх значень х, крім тих, при яких знаменник обертається в нуль. Таким чином, функція цього виду неперервна на всій області визначення.

3) Тригонометричні функції неперервні на своїй області визначення.

Доведемо властивість 3 для функції y = sin x.

Запишемо приріст функції , або після перетворення:

Дійсно, є границя добутку двох функцій  і . При цьому функція косинус обмежена функція при х0 , а оскільки границя функції синус , то вона є нескінченно малою при х0.

Таким чином, є добуток обмеженої функції на нескінченно малу, отже цей добуток, тобто функція у – нескінченно мала. Відповідно до розглянутого вище визначеннями, функція у = sin x – неперервна функція для будь-якого значення х = х0 з області визначення, тому що її приріст у цій точці – нескінченно мала величина.

Аналогічно можна довести неперервність інших тригонометричних функцій на всій області визначення.

Взагалі варто відмітити, що всі основні елементарні функції неперервні на всій своїй області визначення.

Точки розриву і їхня класифікація.

Розглянемо деяку функцію f(x), неперервну в околиці точки х0, за винятком може бути самої цієї точки. З визначення точки розриву функції треба, щоб х = х0 була точкою розриву, якщо функція не визначена в цій точці, або не є в ній неперервною.

Слід зазначити також, що неперервність функції може бути однобічною. Пояснимо це в такий спосіб.

Якщо однобічна границя (див. вище) , то функція називається неперервною праворуч.


 х0

Якщо однобічна границя (див. вище) , то функція називається неперервною ліворуч.

 х0

Визначення. Точка х0 називається точкою розриву функції f(x), якщо f(x) не визначена в точці х0 або не є неперервною в цій точці.

Визначення. Точка х0 називається точкою розриву 1-го роду, якщо в цій точці функція f(x) має скінченні, але не рівні між собою ліву і праву границі.

Для виконання умов цього визначення непотрібно, щоб функція була визначена в точці х = х0, достатньо того, щоб вона була визначена ліворуч і праворуч від неї.

З визначення можна зробити висновок, що в точці розриву 1-го роду функція може мати тільки скінченний стрибок. У деяких окремих випадках точку розриву 1-го роду ще іноді називають усувною точкою розриву, але докладніше про це поговоримо нижче.

Визначення. Точка х0 називається точкою розриву 2-го роду, якщо в цій точці функція f(x) не має хоча б одної з однобічних границь або хоча б одна з них нескінченна.

Приклад. Функція Діріхле (Діріхле Петер Густав (1805–1859) – німецький математик, член-кореспондент Петербурзької АН з 1837р.)

не є неперервною в будь-якій точці х0.

Приклад. Функція f(x) =  має в точці х0 = 0 точку розриву 2-го роду, тому що

.

Приклад. 

Функція невизначена в точці х = 0, але має в ній кінцева границя , тобто в точці х = 0 функція має точку розриву 1-го роду. Це – усувна точка розриву, тому що якщо довизначити функцію:

Графік цієї функції:

 Приклад. 

 y

1

0 x

–1

Ця функція також позначається sign(x) – знак х. У точці х = 0 функція не визначена. Оскільки ліва й права границі функції різні, то точка розриву – 1-го роду. Якщо довизначити функцію в точці х = 0, поклавши f(0) = 1, то функція буде неперервна праворуч, якщо покласти f(0) = –1, то функція буде неперервною ліворуч, якщо покласти f(x) рівне якому-небудь числу, відмінному від 1 або –1, то функція не буде неперервна ні ліворуч, ні праворуч, але у всіх випадках проте буде мати в точці х = 0 розрив 1-го роду. У цьому прикладі точка розриву 1-го роду не є усувною.

Таким чином, для того, щоб точка розриву 1-го роду була усувною, необхідно, щоб однобічні границі праворуч і ліворуч були скінченні й рівні, а функція була б у цій точці не визначена.

Неперервність функції на інтервалі й на відрізку.

Визначення. Функція f(x) називається неперервною на інтервалі (відрізку), якщо вона неперервна в будь-якій точці інтервалу (відрізка).

При цьому не потрібна неперервність функції на кінцях відрізка або інтервалу, необхідна тільки однобічна неперервність на кінцях відрізка або інтервалу.

Властивості функцій, неперервних на відрізку.

Властивість 1: (Перша теорема Вейєрштраса (Вейерштрас Карл (1815–1897) – німецький математик)). Функція, неперервна на відрізку, обмежена на цьому відрізку, тобто на відрізку [a, b] виконується умова .

Доведення цієї властивості засноване на тому, що функція, неперервна в точці х0, обмежена в деякому її околі, а якщо розбивати відрізок [a, b] на нескінченну кількість відрізків, які “стягаються” до точки х0, то утвориться деякий окіл точки х0.

Властивість 2: Функція, неперервна на відрізку [a, b], приймає на ньому найбільше й найменше значення.

Тобто існують такі значення х1 і х2, що f(x1) = m, f(x2) = M, причем

Відзначимо, що ці найбільші й найменші значення функція може приймати на відрізку й кілька разів (наприклад – f(x) = sin x).

Різниця між найбільшим і найменшим значенням функції на відрізку називається коливанням функції на відрізку.

Властивість 3: (Друга теорема Больцано-Коші). Функція, неперервна на відрізку [a, b], приймає на цьому відрізку всі значення між двома певними величинами.

Властивість 4: Якщо функція f(x) неперервна в точці х = х0, то існує деякий окіл точки х0, у якій функція зберігає знак.

Властивість 5: (Перша теорема Больцано(1781–1848)-Коші). Якщо функція f(x) – неперервна на відрізку [a, b] і має на кінцях відрізка значення протилежних знаків, то існує така точка усередині цього відрізка, де f(x) = 0.

Тобто, якщо sign(f(a)) sign(f(b)), то  х0: f(x0) = 0.

Визначення. Функція f(x) називається рівномірно неперервною на відрізку [a, b], якщо для кожного > 0 існує > 0 таке, що для будь-яких точок х1[a, b] і x2[a, b] таких, що

х2х1<

вірна нерівність f(x2) – f(x1) <

Відмінність рівномірної неперервності від “звичайної” у тім, що для кожного існує своє , що не залежить від х, а при “звичайній” неперервності залежить від і х.

Властивість 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845–1918) – німецький математик). Функція, неперервна на відрізку, рівномірно неперервна на ньому.

(Ця властивість справедлива тільки для відрізків, а не для інтервалів і напівінтервалів.)

Приклад. 

Функція  неперервна на інтервалі (0, а), але не є на ньому рівномірно неперервної, тому що існує таке число >0 таке, що існують значення х1 і х2 такі, щоf(x1) – f(x2)>, – будь-яке число за умови, що х1 і х2 близькі до нуля.

Властивість 7: Якщо функція f(x) визначена, монотонна й неперервна на деякому проміжку, то й обернена їй функція х = g(y) теж однозначна, монотонна й неперервна.

Приклад. Досліджувати на неперервність функцію й визначити тип точок розриву, якщо вони є.

 

у точці х = –1 функція неперервна в точці х = 1 точка розриву 1-го роду

 у

3

2

–4 –1 0 1 х

Приклад. Дослідити на неперервність функцію й визначити тип точок розриву, якщо вони є.

 

у точці х = 0 функція неперервна в точці х = 1 точка розриву 1-го роду

 у

2

1

/2 0 1 x

Елементи вищої алгебри.

Основні поняття теорії множин.

Визначення. Множиною М називається об'єднання в єдине ціле певних розрізнюваних об'єктів а, які називаються елементами множини.

а  М

Множину можна описати, указавши якусь властивість, властиву всім елементам цієї множини.

Множина, що не містить елементів, називається порожньою і позначається .

Визначення. Якщо всі елементи множини А є також елементами множини В, то кажуть, що множина А включається (міститься) у множині В.

 А

 В

Визначення. Якщо А  В, то множина А називається підмножиною множини В, а якщо при цьому А  В, то множина А називається власною підмножиною множини В и позначається А  В.

Для трьох множин А, В, С справедливі наступні співвідношення.

Зв'язок між включенням і рівністю множин встановлюється наступним співвідношенням:

Тут знак позначає кон’юнкцію (логічне “і”).

Операції над множинами.

Визначення. Об'єднанням множин А и В називається множина С, елементи якого належать хоча б одному із множин А и В.

Позначається .

А

В

Геометричне зображення множин у вигляді області на площині називається діаграмою Ейлера-Вейна.

Визначення. Перетином множин А и В називається множина С, елементи якої належать кожній з множин А и В.

Позначення .

 А С В

Для множин А, В и С справедливі наступні властивості:

А  А = А  А = А; A  B = B  A; A  B = B  A;

(A  B)  C = A  (B  C); (A  B)  C = A  (B  C);

A  (B  C) = (A  B) (A  C); A  (B  C) = (A  B) (A  C);

A  (A  B) = A; A  (A  B) = A;

= А; A   = ;

Визначення. Різницею множин А и В називається множина, що складається з елементів множини А, що не належать множині В.

Позначається С = А \ В.

 А В

Визначення. Симетричною різницею множин А и В називається множина С, елементи якого належать у точності одному із множин А або В.

Позначається А  В.

А  В = (A \ B) (B \ A)

 A B

Визначення. СЕ називається доповненням множини А щодо множини Е, якщо А  Е і CЕ = Е \ A.

 A E

Для множин А, В и С справедливі наступні співвідношення:

A \ B  A; A \ A = ; A \ (A \ B) = A  B;

A  B = B  A; A  B = (A  B) \ (A  B);

A \ (B  C) = (A \ B) (A \ C); A \ (B  C) = (A \ B) (A \ C);

(A  B) \ C = (A \ C) (B \ C); (A  B) \ C = (A \ C) (B \ C);

A \ (B \ C) = (A \ B) (A  C); (A \ B) \ C = A \ (B  C);

(A  B)  C = A  (B  C); A  (B  C) = (A  B) (A  C);

A  CEA = E; A  CEA = ; CEE = ; CE = E; CECEA = A;

CE(A  B) = CEA  CEB; CE(A  B) = CEA  CEB;

Приклад. Виходячи з визначення рівності множин і операцій над множинами, довести тотожність і перевірити її за допомогою діаграми Ейлера-Вейна.

Із записаних вище співвідношень видно, що

 = A \ В

Що й було потрібно довести.

Для ілюстрації отриманого результату побудуємо діаграми Ейлера-Вейна:

 А В А В

AB

Приклад. Виходячи з визначення рівності множин і операцій над множинами, довести тотожність.

A \ (B  C) = (A \ B) (A \ C)

Якщо деякий елемент х  А \ (В  С), то це означає, що цей елемент належить множині А, але не належить множинам В и С.

Множина А \ В являє собою множину елементів множини А, що не належать множині В.

Множина А \ С являє собою множину елементів множини А, що не належать множині С.

Множина (A \ B) (A \ C) являє собою множина елементів, які належать множині А, але не належать ні множині В, ні множині С.

Таким чином, тотожність можна вважати доведеною.

Відносини й функції.

Визначення. Упорядкованою парою (a, b) двох елементів a і b називається множина {{a},{a, b}}.

Для будь-яких елементів a, b, c, d справедливе співвідношення:

Визначення. Декартовим добутком множин А и В називається множина всіх упорядкованих пар (a, b), де аА, bB.

Декартовий добуток п рівних множин А буде називатися п-им декартовим степенем множини А і позначається Аn.

Визначення. n-мірним відношенням R на непорожній множині А називається підмножина Аn. Якщо Rn-мірне відношення на множині А і (а12,…аn)R, то кажуть, що відношення R виконується для елементів а12,…аn, і записують R а1а2…аn. Якщо n = 2, то таке відношення називається бінарним.

Для бінарного відношення замість загального запису Ra1a2 застосовують запис а1Ra2.

Властивості бінарних відносин.

Визначення. Добутком двох бінарних відносин R і S, заданих на множині А, називається множина

Знак називається штрих Шеффера й позначає антикон’юнкцію.

Визначення. Оберненим (інверсним) відношенням до відношення R, заданого на множині А, називається відношення R–1, обумовлене рівністю:

Якщо R, S і T – бінарні відносини на множині А, то виконуються наступні рівності:

Алгебраїчні структури.

Визначення. На множині А визначена алгебраїчна операція, якщо кожним двом елементам цієї множини, узятим у певному порядку, однозначним образом поставлений у відповідність деякий третій елемент із цієї ж множини.

Прикладами алгебраїчних операцій можуть слугувати такі операції як додавання й віднімання цілих чисел, додавання й віднімання векторів, матриць, множення квадратних матриць, векторне множення векторів та ін.

Відзначимо, що скалярний добуток векторів не може вважатися алгебраїчною операцією, тому що результатом скалярного добутку буде число, а числа не належать до множини векторів, до якого належать співмножники.

Визначення. Множина А з заданою на ній алгебраїчною операцією (наприклад, множенням) називається групою, якщо виконані такі умови:

1) для будь-яких трьох елементів a, b, c A виконується властивість асоціативності:

2) у множині А існує такий елемент е, що для будь-якого елемента а із цієї множини виконується рівність:

3) для будь-якого елемента а множини існує елемент а' з цієї ж множини, такий, що

Різні множини можуть бути групою щодо якоїсь операції й не бути групою щодо іншої операції.

Число елементів називається порядком групи.

Визначення. Між елементами множин M і N встановлено взаємно однозначну відповідність, якщо кожному елементу множини М поставлено у відповідність певний елемент множини N, причому різним елементам однієї множини відповідають різні елементи іншої множини.

Визначення. Дві групи M і N називаються ізоморфними, якщо між їхніми елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність, при якій для будь-якого двох елементів a, b M і відповідних їм елементів a’, b’ N елементу

с = ab буде відповідає елемент c’ = a’b’.

При цьому відображення групи М на групу N називається гомоморфізмом.

Визначення. Якщо операція, визначена в групі комутативна, (тобто для будь-яких елементів a і b групи вірне співвідношення ab=ba), то така група називається комутативною або абелевою групою.

Визначення. Множина R з двома заданими в ній алгебраїчними операціями, додаванням і множенням, називається кільцем, якщо щодо операції додавання вона є абелевою групою, а операція множення дистрибутивна, тобто для будь-яких елементів a, b і с  R справедливі рівності:

Якщо операція множення, задана в кільці комутативна, то таке кільце називається комутативним кільцем.

Визначення. Полем називається комутативне кільце, у якому для будь-якого ненульового елемента a 0 і будь-якого елемента b існує єдиний елемент х такий, що ax = b.

Дискретна математика.

Елементи комбінаторики.

Якщо з деякої кількості елементів, різних між собою, складати різні комбінації, то серед них можна виділити три типи комбінацій, що носять загальну назву – з'єднання.

Розглянемо докладніше ці три типи з'єднань:

1) Перестановки. 

Визначення. Якщо в деякій множині  переставляти місцями елементи, залишаючи незмінною їх кількість, то кожна отримана в такий спосіб комбінація називається перестановкою.

Загальне число перестановок з m елементів позначається Pm і обчислюється за формулою:

2) Розміщення.

Визначення. Якщо складати з т різних елементів групи по n елементів у кожній, розташовуючи взяті елементи у різному порядку. Комбінації, що вийшли при цьому, називаються розміщеннями з т елементів по n.

Загальне число таких розміщень розраховуються за формулою:

Загалом кажучи, перестановки є частковим випадком розміщень.

3) Сполучення.

Визначення. Якщо з т елементів складати групи по п елементів у кожній, не звертаючи уваги на порядок елементів у групі, то комбінації, що вийшли при цьому, називаються сполученнями з т елементів по n.

Загальне число сполучень знаходиться за формулою:

Також одним з варіантів комбінацій є перестановки з повторюваними елементами.

Якщо серед т елементів є т1 однакових елементів одного типу, т2 однакових елементів іншого типу і далі, то при перестановці цих елементів усілякими способами одержуємо комбінації, кількість яких визначається за формулою:

Приклад. Номер автомобіля складається із трьох літер і трьох цифр. Скільки різних номерів можна скласти, використовуючи 10 цифр і алфавіт з 30 літер.

Очевидно, що кількість всіх можливих комбінацій з 10 цифр по 4 дорівнює 10.000.

Число всіх можливих комбінацій з 30 літер по двом дорівнює . Якщо врахувати можливість того, що літери можуть повторюватися, то число повторюваних комбінацій дорівнює 30 (одна можливість повтору для кожної літери). Разом, повна кількість комбінацій по дві літери дорівнює 900.

Якщо до номера додається ще одна літера з алфавіту в 30 літер, то кількість комбінацій збільшується в 30 разів, тобто досягає 27.000 комбінацій.

Остаточно, оскільки кожній літерній комбінації можна поставити у відповідність числову комбінацію, то повна кількість автомобільних номерів дорівнює 270.000.000.

Біном Ньютона. (поліноміальна формула)

Надалі буде отримано формулу бінома Ньютона за допомогою прийомів диференціального числення.

Біном Ньютона – це формула, що виражає вираз (a + b)n  у вигляді багаточлена. Ця формула має вигляд:

– число сполучень з п елементів по k.

Широко відомі формули скороченого множення квадрата суми й різниці, куба суми й різниці, є окремими випадками бінома Ньютона.

Коли ступінь бінома невисокий, коефіцієнти багаточлена можуть бути знайдені не розрахунком по формулі кількості сполучень, а за допомогою так званого трикутника Паскаля. (Блез Паскаль (1623–1662) – французький математик).

Цей трикутник має вигляд:

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

…………………

Формула бінома Ньютона може бути узагальнена для довільного числа доданків.

Нагадаємо, що при обчисленнях 0! приймається рівним 1.

Приклад. У розкладанні  знайти члени, що містять х, якщо k=3, p=2, n=8, =9.

За формулою бінома Ньютона маємо:

З врахуванням числових значень:

В принципі, можна написати розклад цього виразу в багаточлен, визначити коефіцієнти або безпосередньо, або із трикутника Паскаля (степінь бінома порівняно невеликий), однак, робити це не обов'язково, тому що необхідно знайти тільки член розкладу, що містить х9.

Знайдемо число i, що відповідає цьому члену:

Знаходимо:

Приклад. У розкладі  знайти члени, що містять x. т=9, =6.

За узагальненою формулою бінома Ньютона одержуємо:

Для знаходження повного розкладу необхідно визначити всі можливі значення ni, однак, це пов'язане з величезними обчисленнями. Однак, оскільки треба знайти тільки члени, що містять х6, то n1 = 6, а сума всіх чотирьох значень п дорівнює 9. Виходить, сума п2 + п3 + п4 = 3.

Розглянемо можливі значення цих величин:

n2

0

0

3

1

1

0

2

0

2

1

n3

0

3

0

2

0

1

1

2

0

1

n4

3

0

0

0

2

2

0

1

1

1

Шукані члени розкладу:

Елементи математичної логіки.

Математична логіка – різновид формальної логіки, тобто науки, що вивчає умовиводи з погляду їхньої формальної будови.

Визначення. Висловлюванням називається пропозиція, до якого можливо застосувати поняття істинне або неправдиве.

У математичній логіці не розглядається сам зміст висловлень, визначається тільки його істинність або хибність, що прийнято позначати відповідно І або Н.

Зрозуміло, що істині й помилкові висловлювання утворять відповідні множини. За допомогою простих висловлень можна складати складніші, з'єднуючи прості висловлювання сполучниками “і”, “або”.

Таким чином, операції з висловлюваннями можна описувати за допомогою деякого математичного апарата.

Вводяться наступні логічні операції (зв'язування) над висловлюваннями

  1.  Заперечення. Запереченням висловлювання Р називається висловлювання, що істинне тільки тоді, коли висловлювання Р неправдиве.

Позначається Р або .

Відповідність між висловлюваннями визначається таблицями істинності. У нашому випадку ця таблиця має вигляд:

P

Р

І

Н

Н

І

2) Кон’юнкція. Кон’юнкцією двох висловлювань P і Q називається висловлювання, істинне тоді й тільки тоді, коли істинні обоє висловлювань.

Позначається P&Q або РQ.

P

Q

P&Q

І

І

І

І

Н

Н

Н

І

Н

Н

Н

Н

3) Диз'юнкція. Диз'юнкцією двох висловлень P і Q називається висловлювання, помилкове тоді й тільки тоді, коли обоє висловлювання помилкові.

Позначається PQ.

P

Q

PQ

І

І

І

І

Н

І

Н

І

І

Н

Н

Н

4) Імплікація. Імплікацією двох висловлень P і Q називається висловлювання, неправдиве тоді й тільки тоді, коли висловлювання Р істинне, а Q – неправдиве.

Позначається PQ (або РQ). Висловлювання Р називається посилкою імплікації, а висловлювання Q – наслідком.

P

Q

PQ

І

І

І

І

Н

Н

Н

І

І

Н

Н

І

5) Еквіваленція. Еквіваленцією двох висловлень P і Q називається висловлювання, істинне тоді й тільки тоді, коли істинність висловлювань збігається.

Позначається РQ або РQ.

P

Q

PQ

І

І

І

І

Н

Н

Н

І

Н

Н

Н

І

За допомогою цих основних таблиць істинності можна скласти таблиці істинності складних формул.

Приклад. За допомогою таблиць істинності перевірити, чи є еквівалентними формули і ψ.

Складемо таблиці істинності для кожної формули:

p

r

(pr)

І

І

Н

І

І

І

Н

Н

Н

І

Н

І

І

Н

Н

Н

Н

І

Н

Н

p

r

І

І

Н

Н

Н

І

І

Н

Н

І

І

І

Н

І

І

Н

І

І

Н

Н

І

І

І

І

Дані формули не є еквівалентними.

Приклад. За допомогою таблиць істинності перевірити, чи є еквівалентними формули і ψ.

Складемо таблиці істинності для заданих формул.

p

q

r

pq

(pq)r

І

І

І

І

І

І

І

Н

І

І

І

Н

І

Н

І

І

Н

Н

Н

Н

Н

І

І

Н

І

Н

І

Н

Н

Н

Н

Н

І

І

І

Н

Н

Н

І

І

p

q

r

pq

qp

(pq)(qp)

(pq)(qp)r

І

І

І

І

І

І

І

І

І

Н

І

І

І

І

І

Н

І

Н

І

І

І

І

Н

Н

Н

І

І

І

Н

І

І

І

Н

І

І

Н

І

Н

І

Н

І

І

Н

Н

І

І

І

І

І

Н

Н

Н

І

І

І

І

Зі складених таблиць видно, що дані формули не еквівалентні.

Основні еквівалентності.

Для будь-яких формул А, В и С справедливі наступні еквівалентності:

A & B  B & A; A & A  A; A & (B & C) (A & B) & C;

A  B  B  A; A  A  A; A  (B  C) (A  B)  C;

A  (B & C) (A  B) & (A  C); A & (B  C) (A & B) (A & C);

A & (A  B)  A; A  (A & B) A; A  A; (A & B)  A  B;

A  (A & B) (A & B); A  (A  B) & (A  B);

Булеві функції.

Визначення. Булевою функцією f(X1, X2, …, Xn) називається довільна n-місна функція, аргументи й значення якої належать множині {0, 1}.

Загалом кажучи між логічними висловлюваннями, логічними зв'язуваннями й булевими функціями проглядається явна аналогія. Якщо логічні функції можуть приймати значення істинне або неправдиве, то для булевой функції аналогами цих значень будуть значення 0 або 1.

Для булевих функцій також можна скласти таблиці значень, що відповідають основним логічним операціям.

X1

X2

X1

X1&X2

X1X2

X1X2

X1X2

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

Числення предикатів.

Визначення. Предикатом  P(x1, x2, …, xn) називається функція, змінні якої приймають значення з деякої множини М, а сама функція приймає два значення: І (істина) і Н (неправда), тобто

Предикат від п аргументів називається п-місним предикатом. Висловлювання вважаються нуль-місними предикатами.

Над предикатами можна робити звичайні логічні операції, у результаті яких виходять нові предикати.

Крім звичайних логічних операцій до предикатів застосовуються також спеціальні операції, названі кванторами.

Квантори бувають двох видів:

1) Квантор спільності. Позначається (х) Р(х). Квантором спільності називається висловлювання істинне, коли Р(х) істинне для кожного елемента х із множини М, і помилкове – у противному випадку.

2) Квантор існування. Позначається (х) Р(х). Квантором існування називається висловлювання, істинне, коли існує елемент із множини М, для якого Р(х) істинне, і помилкове в противному випадку.

Операцію зв'язування квантором можна застосовувати й до предикатів від більшого числа змінних.

Для формул логіки предикатів зберігається справедливість всіх правил рівносильних перетворень логіки висловлень. Крім того, справедливі наступні властивості:

  1.  Перенос квантора через заперечення.

(x)A(x) (x)A(x); (x)A(x) (x)A(x);