17290

КУРС ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ. Диференціальне числення функції однієї змінної

Конспект

Математика и математический анализ

Курс вищої математики. Частина 2.€ КУРС ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ ЧАСТИНА 2 2005 Диференціальне числення функції однієї змінної. Похідна функції її геометричний і фізичний зміст. Визначення. Похідної функції fx у точці х = х0 називається границя ...

Украинкский

2013-06-30

2.83 MB

65 чел.

Курс вищої математики. Частина 2.”

КУРС

ВИЩОЇ

МАТЕМАТИКИ

ЧАСТИНА 2

2005


Диференціальне числення функції однієї змінної.

Похідна функції, її геометричний і фізичний зміст.

Визначення. Похідної функції f(x) у точці х = х0 називається границя відносини приросту функції в цій точці до приросту аргументу, якщо він існує.

 у

 f(x)

 f(x0 +x) P

 f

 f(x0) M

   x

0 x0 x0 + x x

Нехай f(x) визначена на деякому проміжку (a, b). Тоді  – тангенс кута нахилу січної МР до графіка функції.

,

де – кут нахилу дотичній до графіка функції f(x) у точці (x0, f(x0)).

Кут між кривими може бути визначений як кут між дотичними, проведеними до цих кривих у який-небудь точці.

Рівняння дотичної до кривої:

Рівняння нормалі до кривої: .

Фактично похідна функції показує начебто швидкість зміни функції, як змінюється функція при зміні змінної.

Фізичний зміст похідної функції f(t), де t – час, а f(t) – закон руху (зміни координат) – миттєва швидкість руху.

Відповідно, друга похідна функції – швидкість зміни швидкості, тобто прискорення.

Однобічні похідні функції в точці.

Визначення. Правою (лівою) похідною функції f(x) у точці х = х0 називається праве (ліве) значення границі відношення  за умови, що це відношення існує.

 

Якщо функція f(x) має похідну в деякій точці х = х0, то вона має в цій точці однобічні похідні. Однак, зворотне твердження невірне. По-перше функція може мати розрив у точці х0, а по-друге, навіть якщо функція неперервна в точці х0, вона може бути в ній не диференційована.

Наприклад: f(x) = x – має в точці х = 0 і ліву й праву похідну, неперервна  в цій точці, однак, не має в ній похідної.

Теорема. (Необхідна умова існування похідної) Якщо функція f(x) має похідну в точці х0, то вона неперервна в цій точці.

Зрозуміло, що ця умова не є достатнім.

Основні правила диференціювання.

Позначимо f(x) = u, g(x) = v – функції, диференційовані в точці х.

1) (u v) = u  v

2) (uv) = uv + uv

3) , якщо v  0

Ці правила можуть бути легко доведені на основі теорем про границі.

Похідні основних елементарних функцій.

1) С = 0; 9)

2) (xm) = mxm–1; 10)

3)  11)

4)  12)

5)  13)

6)  14)

7)  15)

8)  16)

Похідна складної функції.

Теорема. Нехай y = f(x); u = g(x), причому область значень функції u входить в область визначення функції f.

Тоді

Доведення.

(з врахуванням того, що якщо x0, то u0, тому що u = g(x) – неперервна функція)

Тоді

Теорему доведено.

Логарифмічне диференціювання.

Розглянемо функцію .

Тоді (, тому що .

З огляду на отриманий результат, можна записати .

Відношення  називається логарифмічною похідною функції f(x).

Спосіб логарифмічного диференціювання полягає в тому, що спочатку знаходять логарифмічну похідну функції, а потім похідну самої функції за формулою

Спосіб логарифмічного диференціювання зручно застосовувати для знаходження похідних складних, особливо показникових функцій, для яких безпосереднє обчислення похідної з використанням правил диференціювання видається трудомістким.

Похідна показниково-степеневої функції.

Функція називається показовою, якщо незалежна змінна входить у показник ступеня, і степеневою, якщо змінна є основою. Якщо ж і основа й показник степеня залежать від змінної, то така функція буде показниково-степеневою.

Нехай u = f(x) і v = g(x) – функції, що мають похідні в точці х, f(x)>0.

Знайдемо похідну функції y = uv. Логарифмуючи, одержимо:

ln y = v ln u

Приклад. Знайти похідну функції .

За отриманою вище формулою одержуємо:

Похідні цих функцій:

Остаточно:

Похідна оберненої функцій.

Нехай потрібно знайти похідну функції у = f(x) за умови, що обернена їй функція x = g(y) має похідну, відмінну від нуля у відповідній точці.

Для розв’язання цієї задачі диференціюємо функцію x = g(y) по х:

оскільки g(y) 0

тобто похідна оберненої функції обернена за величиною похідною даної функції.

Приклад. Знайти формулу для похідної функції arctg.

Функція arctg є функцією, зворотною функції tg, тобто її похідна може бути знайдена в такий спосіб:

Відомо, що

За наведеною вище формулою одержуємо:

Оскільки  то можна записати остаточну формулу для похідної арктангенса:

У такий спосіб отримані всі формули для похідних арксинуса, арккосинуса й інших зворотних функцій, наведених у таблиці похідних.

Диференціал функції.

Нехай функція y = f(x) має похідну в точці х:

Тоді можна записати: , де 0, при х0.

Отже: .

Величина x – нескінченно мала більш високого порядку, чим f(x)x, тобто f(x)x – головна частина приросту у.

Визначення. Диференціалом функції f(x) у точці х називається головна лінійна частина приросту функції.

Позначається dy або df(x).

З визначення треба, що dy = f(x)x або

.

Можна також записати:

Геометричний зміст диференціала.

 y

 f(x)

 K

dy

 M y

 L

 

 x x + x x

Із трикутника MKL: KL = dy = tgx = yx

Таким чином, диференціал функції f(x) у точці х дорівнює приросту ординати дотичній до графіка цієї функції в розглянутій точці.

Властивості диференціала.

Якщо u = f(x) і v = g(x) –- функції, диференційовані в точці х, то безпосередньо з визначення диференціала випливають наступні властивості:

  1.  d(u v) = (u v)dx = udx vdx = du  dv

  1.  d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv

  1.  d(Cu) = Cdu

  1.   

Диференціал складної функції.

Інваріантна форма запису диференціала.

Нехай y = f(x), x = g(t), тобто у складна функція.

Тоді dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.

Видно, що форма запису диференціала dy не залежить від того, чи буде х незалежної змінної або функцією якоїсь іншої змінної, у зв'язку із чим ця форма запису називається інваріантною формою запису диференціала.

Однак, якщо х – незалежна змінна, то

dx = x, але

якщо х залежить від t, то х  dx.

У такий спосіб форма запису dy = f(x)x не є інваріантною.

Приклад. Знайти похідну функції.

Спочатку перетворимо дану функцію:

Приклад. Знайти похідну функції .

Приклад. Знайти похідну функції

Приклад. Знайти похідну функції

Приклад. Знайти похідну функції .

Формула Тейлора.

Тейлор (1685–1731) – англійський математик

Теорема Тейлора. 1) Нехай функція f(x) має в точці х = а й деякому її околі похідні порядку до (n+1) включно. {Тобто і всі попередні до порядку n функції і їхні похідні неперервні й диференційовані в цьому околі}.

2) Нехай х – будь-яке значення з цього околу, але х а.

Тоді між точками х і а знайдеться така точка , що справедливо формула:

– цей вираз називається формулою Тейлора, а вираз:

називається залишковим членом у формі Лагранжа.

Доведення. Представимо функцію f(x) у вигляді деякого багаточлена Pn(x), значення якого в точці х = а дорівнює значенню функції f(x), а значення його похідних дорівнює значенням відповідних похідних функції в точці х = а.

 (1)

Багаточлен Pn(x) буде близький до функції f(x). Чим більше значення n, тим ближче значення багаточлена до значень функції, тим точніше він повторює функцію.

Представимо цей багаточлен з невизначеними поки коефіцієнтами:

 (2)

Для знаходження невизначених коефіцієнтів обчислюємо похідні багаточлена в точці х = а й становимо систему рівнянь:

 (3)

Розв’язки цієї системи при х = а не викликає утруднень, одержуємо:

……………………......

Підставляючи отримані значення Ci у формулу (2), одержуємо:

Як було помічено вище, багаточлен не точно збігається з функцією f(x), тобто відрізняється від неї на деяку величину. Позначимо цю величину Rn+1(x). Тоді:

f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)

Теорему доведено.

Розглянемо докладніше величину Rn+1(x).

 y

 f(x) Rn+1(x)

 Pn(x)

0 a x x

Як видно на малюнку, в точці х = а значення багаточлена в точності співпадає зі значенням функції. Однак, при видаленні від точки х = а розбіжність значно збільшується.

Іноді використається інший запис для Rn+1(x). Оскільки точка  (a, x), то найдеться таке число з інтервалу 0 < < 1, що = a + (xa).

Тоді можна записати:

Тоді, якщо прийняти a = x0, xa = x, x = x0 + x, формулу Тейлора можна записати у вигляді:

де 0 <  < 1.

Якщо прийняти n = 0, одержимо: f(x0 + x) – f(x0) = f(x0 + x)x – це вираз називається формулою Лагранжа. (Жозеф Луї Лагранж (1736–1813) французький математик і механік).

Формула Тейлора має величезне значення для різних математичних перетворень. З її допомогою можна знаходити значення різних функцій, інтегрувати, вирішувати диференціальні рівняння та інше.

При розгляді степеневих рядів буде більш докладно описані деякі особливості й умови розкладу функції за формулою Тейлора.

Формула Маклорена.

Колін Маклорен (1698–1746) шотландський математик.

Формулою Маклорена називається  формула Тейлора при а = 0:

Ми одержали так звану формулу Маклорена із залишковим членом у формі Лагранжа.

Слід зазначити, що при розкладі функції в ряд, застосування формули Маклорена краще, ніж застосування безпосередньо формули Тейлора, тому що обчислення значень похідних у нулі простіше, ніж у будь-якій іншій точці, природно, за умови, що ці похідні існують.

Однак, вибір числа а дуже важливий для практичного використання. Справа в тому, що при обчисленні значення функції в точці, розташованої відносно близько до точки а, значення, отримане за формулою Тейлора, навіть при обмеженні трьома – чотирма першими доданками, збігається з точним значенням функції практично абсолютно. При видаленні ж розглянутої точки від точки а для одержання точного значення треба брати все більшу кількість доданків формули Тейлора, що незручно.

Тобто чим більше по модулі значення різниці (х – а) тим більше точне значення функції відрізняється від знайденого за формулою Тейлора.

Крім того, можна показати, що залишковий член Rn+1(x) є нескінченно малою функцією при ха, причому більш високого порядку, ніж (ха)n, тобто

.

Таким чином, ряд Маклорена можна вважати частковим випадком ряду Тейлора.

Подання деяких елементарних функцій за формулою Тейлора.

Застосування формули Тейлора для розкладу функцій у степеневий ряд широко використовується й має величезне значення при проведенні різних математичних розрахунків. Безпосереднє обчислення інтегралів деяких функцій може бути сполучене зі значними труднощами, а заміна функції степеневим рядом дозволяє значно спростити задачу. Знаходження значень тригонометричних, зворотних тригонометричних, логарифмічних функцій також може бути зведене до знаходження значень відповідних багаточленів.

Якщо при розкладі в ряд взяти достатню кількість доданків, то значення функції може бути знайдене з будь-якою наперед заданою точністю. Практично можна сказати, що для знаходження значення будь-якої функції з достатнім ступенем точності (передбачається, що точність, що перевищує 10–20 знаків після десяткової точки, необхідна дуже рідко) досить 4–10 членів розкладу в ряд.

Застосування принципу розкладу в ряд дозволяє робити обчислення на ЕОМ у режимі реального часу, що варте уваги при розв’язанні конкретних технічних задач.

Функція f(x) = ex.

Знаходимо: f(x) = ex, f(0) = 1

f(x) = ex, f(0) = 1

……………………

f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1

Тоді:

Приклад: Знайдемо значення числа е.

В отриманій вище формулі покладемо х = 1.

Для 8 членів розкладу: e = 2,71827876984127003

Для 10 членів розкладу: e = 2,71828180114638451

Для 100 членів розкладу: e = 2,71828182845904553

На графіку показані значення числа е з точністю залежно від числа членів розкладу в ряд Тейлора.

Як видно, для досягнення точності, достатньої для розв’язання більшості практичних задач, можна обмежитися 6–7-ю членами ряду.

Функція f(x) = sin x.

Одержуємо f(x) = sin x; f(0) = 0

 f '(x) = cos x = sin ( x + /2); f '(0) = 1;

 f ''(x) = – sin x = sin ( x + 2(/2); f ''(0) = 0;

 f '''(x) = – cos x = sin ( x + 3(/2); f '''(0)= – 1;

…………………………………………

 f (n)(x) = sin (x + n/2); f(n)(0) = sin (n/2);

 f (n+1)(x) = sin (x + (n + 1)/2); f(n+1)() = sin ( + (n + 1)/2);

Отже:

Функція f(x) = cos x.

Для функції cos x, застосувавши аналогічні перетворення, одержимо:

Функція f(x) = (1 + x).

( – дійсне число)

…………………………………………………......

Тоді:

Якщо в отриманій формулі прийняти = n, де n – натуральне число й f (n+1)(x)=0, то Rn+1 = 0, тоді

Вийшла формула, відома як біном Ньютона.

Приклад: Застосувати отриману формулу для знаходження синуса будь-якого кута з будь-яким ступенем точності.

На наведених нижче графіках представлене порівняння точного значення функції й значення розкладу в ряд Тейлора при різній кількості членів розкладу.

Рис. 1. Два члени розкладу

Рис. 2. Чотири члени розкладу

Рис. 3. Шість членів розкладу

Рис. 4. Десять членів розкладу

Щоб одержати найбільш точне значення функції при найменшій кількості членів розкладу треба у формулі Тейлора як параметр а вибрати таке число, що досить близько до значення х, і значення функції від цього числа легко обчислюється.

Для приклада обчислимо значення sin200.

Попередньо переведемо кут 200 у радіани: 200 = /9.

Застосуємо розклад в ряд Тейлора, обмежившись трьома першими членами розкладу:

У чотиризначних таблицях Брадіса для синуса цього кута зазначене значення 0,3420.

На графіку показана зміна значень розкладу в ряд Тейлора залежно від кількості членів розкладу. Як видно, якщо обмежитися трьома членами розкладу, то досягається точність до 0,0002.

Вище говорилося, що при  функція sin x є нескінченно малою й може при обчисленні бути замінена на еквівалентну їй нескінченно малу функцію х. Тепер видно, що при х, близьких до нуля, можна практично без втрати в точності обмежитися першим членом розкладу, тобто .

Приклад: Обчислити sin2801315.

Для того, щоб представити заданий кут у радіанах, скористаємося співвідношеннями:

10 = ; 280 ;

1; ;

; ;

радіан

Якщо при розкладанні за формулою Тейлора обмежитися трьома першими членами, одержимо: sin x = .

Порівнюючи отриманий результат з точним значенням синуса цього кута,

sin = 0,472869017612759812,

бачимо, що навіть при обмеженні всього трьома членами розкладу, точність склала 0,000002, що цілком достатньо для більшості практичних технічних задач.

Функція f(x) = ln(1 + x).

Одержуємо: f(x) = ln(1 + x); f(0) = 0;

f(x) = ;

 

 

………………………………………

 

Разом:

Отримана формула дозволяє знаходити значення будь-яких логарифмів (не тільки натуральних) з будь-яким ступенем точності. Нижче представлений приклад обчислення натурального логарифма ln 1,5. Спочатку отримане точне значення, потім – розрахунок по отриманій вище формулі, обмежившись п'ятьма членами розкладу. Точність досягає 0,0003.

ln 1,5 = 0,405465108108164381

Розклад різних функцій за формулами Тейлора й Маклорена наводиться в спеціальних таблицях, однак, формула Тейлора настільки зручна, що для переважної більшості функцій розклад може бути легко знайдене безпосередньо.

Нижче будуть розглянуті різні застосування формули Тейлора не тільки до наближених подань функцій, але й до розв’язку диференціальних рівнянь і до обчислення інтегралів.

Застосування диференціала до наближених обчислень.

Диференціал функції y = f(x) залежить від х і є головною частиною приросту х.

Також можна скористатися формулою

Тоді абсолютна похибка

Відносна похибка

Більш докладне застосування диференціала до наближених обчислень буде описано нижче.

Теореми про середнє.

Теорема Ролля.

(Ролль (1652–1719) – французький математик)

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], диференційована на інтервалі (а, b) і значення функції на кінцях відрізка рівні f(a) = f(b), то на інтервалі (а, b) існує точка , a < < b, у якій похідна функція f(x) рівна нулю, f() = 0.

Геометричний зміст теореми Ролля полягає в тому, що при виконанні умов теореми на інтервалі (a, b) існує точка така, що у відповідній точці кривої y = f(x) дотична паралельна осі Ох. Таких точок на інтервалі може бути й трохи, але теорема затверджує існування принаймні однієї такої точки.

Доведення. По властивості функцій, неперервних на відрізку функція f(x) на відрізку [a, b] приймає найбільше й найменше значення. Позначимо ці значення М і m відповідно. Можливі два різних випадки М = m і M  m.

Нехай M = m. Тоді функція f(x) на відрізку [a, b] зберігає постійне значення й у будь-якій точці інтервалу її похідна дорівнює нулю. У цьому випадку за можна прийняти будь-яку точку інтервалу.

Нехай М = m. Тоді значення на кінцях відрізка рівні, то хоча б одне зі значень М або m функція приймає усередині відрізка [a, b]. Позначимо , a < < b точку, у якій f() = M. Тому що М – найбільше значення функції, то для кожного х ( будемо вважати, що точка + х перебуває усередині розглянутого інтервалу) вірна нерівність:

При цьому

Але тому що за умовою похідна в точці існує, то існує й границя .

Оскільки  і , то можна зробити висновок:

Теорему доведено.

Теорема Ролля має кілька наслідків:

  1.  Якщо функція f(x) на відрізку [a, b] задовольняє теоремі Ролля, причому f(a) = f(b) = = 0, то існує принаймні одна точка , a < < b, така, що f () = 0. Тобто між двома нулями функції знайдеться хоча б одна точка, у якій похідна функції дорівнює нулю.

  1.  Якщо на розглянутому інтервалі (а, b) функція f(x) має похідну (n–1)-го порядку й n раз обертається в нуль, то існує принаймні одна точка інтервалу, у якій похідна (n – 1)-го порядку дорівнює нулю.

Теорема Лагранжа.

(Жозеф Луї Лагранж (1736–1813) французький математик)

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на інтервалі (а, b), то на цьому інтервалі найдеться принаймні одна точка  a < < b, така, що .

Це означає, що якщо на деякому проміжку виконуються умови теореми, то відношення приросту функції до приросту аргументу на цьому відрізку дорівнює значенню похідної у деякій проміжній точці.

Розглянута вище теорема Ролля є частковим випадком теореми Лагранжа.

Відношення дорівнює кутовому коефіцієнту січної АВ.


 у

 В

 А

0 а  b x

Якщо функція f(x) задовольняє умовам теореми, то на інтервалі (а, b) існує точка така, що у відповідній точці кривої y = f(x) дотична паралельна січній, що з'єднує точки А і В. Таких точок може бути й трохи, але одна існує точно.

Доведення. Розглянемо деяку допоміжну функцію

F(x) = f(x) – yсек АВ

Рівняння січної АВ можна записати у вигляді:

Функція F(x) задовольняє теоремі Ролля. Дійсно, вона неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на інтервалі (а, b). За теоремою Ролля існує хоча б одна точка , a < < b, така що F() = 0.

Оскільки , то , отже

Теорему доведено.

Визначення. Вираз  називається формулою Лагранжа або формулою скінчених приростів.

Надалі ця формула буде дуже часто застосовуватися  для доведення найрізноманітніших теорем.

Іноді формулу Лагранжа записують у трохи іншому вигляді:

,

де 0 < < 1, x = ba, y = f(b) – f(a).

Теорема Коші.

(Коші (1789–1857) – французький математик)

Якщо функції f(x) і g(x) неперервні на відрізку [a, b] і диференційовані на інтервалі (a, b) і g(x)  0 на інтервалі (a, b), то існує принаймні одна точка , a < < b, така, що

.

Тобто відношення приростів функцій на даному відрізку дорівнює відношенню похідних у точці .

Для доведення цієї теореми на перший погляд дуже зручно скористатися теоремою Лагранжа. Записати формулу скінченних різниць для кожної функції, а потім розділити їхній одну на одну. Однак, це враження помилкове, тому що точка для кожної з функцій в загальному випадку різна. Звичайно, у деяких окремих випадках ця точка інтервалу може виявитися однаковою для обох функцій, але це – дуже рідкий збіг, а не правило, тому не може бути використаний для доведення теореми.

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію

,

яка на інтервалі [a, b] задовольняє умовам теореми Ролля. Легко бачити, що при х = а й х = b F(a) = F(b) = 0. Тоді за теоремою Ролля існує така точка , a < < b, така, що F() = 0. Оскільки

, то

А оскільки , то

Теорему доведено.

Слід зазначити, що розглянута вище теорема Лагранжа є частковим випадком (при g(x) = x) теореми Коші. Доведена нами теорема Коші дуже широко використається для розкриття так званих невизначеностей. Застосування отриманих результатів дозволяє істотно спростити процес обчислення границь функцій, що буде докладно розглянуто нижче.

Розкриття невизначеностей.

Правило Лопіталя.

(Лопіталь (1661–1704) – французький математик)

До розряду невизначеностей прийнято відносити наступні співвідношення:

Теорема (правило Лопіталя). Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані поблизу точки а, неперервні в точці а, g(x) відмінна від нуля поблизу а й f(a) = g(a) = 0, то границя частки функцій при  дорівнює границі частки їхніх похідних, якщо ця границя (скінченна або нескінченна) існує.

Доведення. Застосувавши формулу Коші, одержимо:

де – точка, що перебуває між а й х. З огляду на що f(a) = g(a) = 0:

Нехай при ха відношення  прямує до деякої границі. Оскільки точка лежить між точками а й х, то при х а одержимо   а, а отже й відношення  прямує до того ж границі. Таким чином, можна записати:

.

Теорему доведено.

Приклад: Знайти границю .

Як видно, при спробі безпосереднього обчислення границі виходить невизначеність виду . Функції, що входять у чисельник і знаменник дробу задовольняють вимогам теореми Лопіталя.

f(x) = 2x + ; g(x) = ex;

;

Приклад: Знайти границю .

; ;

.

Якщо при розв’язанні приклада після застосування правила Лопіталя спроба обчислити границю знову приводить до невизначеності, то правило Лопіталя може бути застосовано другий раз, третій і т.д. поки не буде отриманий результат. Природно, це можливо тільки в тому випадку, якщо знову отримані функції у свою чергу задовольняють вимогам теореми Лопіталя.

Приклад: Знайти границю .

; ;

; ;

; ;

Слід зазначити, що правило Лопіталя – всього лише один зі способів обчислення границь. Часто в конкретному прикладі поряд із правилом Лопіталя може бути використаний і якийсь інший метод (заміна змінних, домноження та ін.).

Приклад: Знайти границю .

; ;

– знову вийшла невизначеність. Застосуємо правило Лопіталя ще раз.

; ;

– застосовуємо правило Лопіталя ще раз.

; ;

;

Невизначеності вигляду  можна розкрити за допомогою логарифмування. Такі невизначеності зустрічаються при знаходженні меж функцій вигляду , f(x)>0 поблизу точки а при ха. Для знаходження границі такої функції досить знайти границю функції ln y = g(x) ln f(x).

Приклад: Знайти границю .

Тут y = xx, ln y = x ln x.

Тоді . Отже  

Приклад: Знайти границю .

;  – одержали невизначеність. Застосовуємо правило Лопіталя ще раз.

; ;

Похідні й диференціали вищих порядків.

Нехай функція f(x) – диференційована на деякому інтервалі. Тоді, диференціюючи її, одержуємо першу похідну

Якщо знайти похідну функції f(x), одержимо другу похідну функції f(x).

тобто y = (y) або .

Цей процес можна продовжити й далі, знаходячи похідні ступеня n.

.

Загальні правила знаходження вищих похідних.

Якщо функції u = f(x) і v = g(x) диференційовані, то

  1.  (Сu)(n)  = Cu(n);
  2.  (u  v)(n) = u(n)  v(n);

3)

.

Цей вираз називається формулою Лейбніца.

Також за формулою dny = f(n)(x)dxn може бути знайдений диференціал n-го порядку.

Дослідження функцій за допомогою похідної.

Зростання й спадання функцій.

Теорема. 1) Якщо функція f(x) має похідну на відрізку [a, b] і зростає на цьому відрізку, то її похідна на цьому відрізку ненегативна, тобто .

2) Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на проміжку (а, b), причому f(x) > 0 для a < x < b, то ця функція зростає на відрізку [a, b].

Доведення.

  1.  Якщо функція f(x) зростає, то f(x + x) > f(x) при x >0 і f(x + x) < f(x) при x<0,

тоді:

2) Нехай f(x)>0 для будь-яких точок х1 і х2, що належать відрізку [a, b], причому x1<x2.

Тоді за теоремою Лагранжа: f(x2) – f(x1) = f()(x2x1), x1 < < x2

За умовою f()>0, отже, f(x2) – f(x1) >0, тобто функція f(x) зростає.

Теорему доведено.

Аналогічно можна зробити висновок про те, що якщо функція f(x) спадає на відрізку [a, b], то  на цьому відрізку. Якщо  у проміжку (a, b), то f(x) спадає на відрізку [a, b].

Звичайно, дане твердження справедливо, якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на інтервалі (a, b).

Доведену вище теорему можна проілюструвати геометрично:

 y y

    

 x x

Точки екстремуму.

Визначення. Функція f(x) має в точці х1 максимум, якщо її значення в цій точці більше значень у всіх точках деякого інтервалу, що містить точку х1. Функція f(x) має в точці х2 мінімум, якщо f(x2 +x) > f(x2) при кожному х (х може бути й від’ємним).

Очевидно, що функція, визначена на відрізку може мати максимум і мінімум тільки в точках, що перебувають усередині цього відрізка. Не можна також плутати максимум і мінімум функції з її найбільшим і найменшим значенням на відрізку – це поняття принципово різні.

Визначення. Точки максимуму й мінімуму функції називаються точками екстремуму.

Теорема. (необхідна умова існування екстремуму) Якщо функція f(x) диференційована в точці х = х1 і точка х1 є точкою екстремуму, то похідна функції обертається в нуль у цій точці.

Доведення. Припустимо, що функція f(x) має в точці х = х1 максимум.

Тоді при досить малих позитивних х > 0 вірна нерівність:

, тобто

Тоді

За визначенням:

Тобто якщо х0, але х<0, то , а якщо х0, але х>0, то .

А можливо це тільки в тому випадку, якщо при х0 f (x1) = 0.

Для випадку, якщо функція f(x) має в точці х2 мінімум теорема доводиться аналогічно.

Теорему доведено.

Наслідок. Зворотне твердження невірно. Якщо похідна функції в деякій точці дорівнює нулю, то це ще не значить, що в цій точці функція має екстремум. Красномовний приклад цього – функція у = х3, похідна якої в точці х = 0 дорівнює нулю, однак у цій точці функція має тільки перегин, а не максимум або мінімум.

Визначення. Критичними точками функції називаються точки, у яких похідна функції не існує або дорівнює нулю.

Розглянута вище теорема дає нам необхідні умови існування екстремуму, але цього недостатньо.

Приклад: f (x) = x Приклад: f (x) =

 y y

 x

 x

В точці х = 0 функція не має ні максимуму, ні мінімуму, ні похідної.

У точці х = 0 функція має мінімум, але не має похідної.

Загалом кажучи, функція f(x) може мати екстремум у точках, де похідна не існує або дорівнює нулю.

Теорема. (Достатні умови існування екстремуму)

Нехай функція f(x) неперервна в інтервалі (a, b), що містить критичну точку х1, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (крім, може бути, самої точки х1).

Якщо при переході через точку х1 ліворуч праворуч похідна функції f(x) міняє знак з “+” на “–“, то в точці х = х1 функція f(x) має максимум, а якщо похідна міняє знак з “–“ на “+” – то функція має мінімум.

Доведення.

Нехай

За теоремою Лагранжа: f(x) – f(x1) = f()(x – x1), де x < < x1.

Тоді: 1) Якщо х < x1, то < x1; f ()>0; f ()(xx1) < 0, отже

f(x) – f(x1)<0 або f(x) < f(x1).

2) Якщо х > x1, то при > x1 f ()<0; f ()(xx1)<0, отже

f(x) – f(x1)<0  або f(x) < f(x1).

Оскільки відповіді збігаються, то можна сказати, що f(x) < f(x1) у будь-яких точках поблизу х1, тобто х1 – точка максимуму.

Доведення теореми для точки мінімуму проводиться аналогічно.

Теорему доведено.

На основі вищесказаного можна виробити єдиний порядок дій при знаходженні найбільшого й найменшого значення функції на відрізку:

  1.  Знайти критичні точки функції.
  2.  Знайти значення функції в критичних точках.
  3.  Знайти значення функції на кінцях відрізка.
  4.  Обрати серед отриманих значень найбільше й найменше.

Дослідження функції на екстремум за допомогою похідних вищих порядків.

Нехай у точці х = х1 f (x1) = 0 і f (x1) існує й неперервна в деякому околі точки х1.

Теорема. Якщо f(x1) = 0, то функція f(x) у точці х = х1 має максимум, якщо f (x1) < 0 і мінімум, якщо f (x1) > 0.

Доведення.

Нехай f (x1) = 0 і f (x1) < 0. Оскільки функція f(x) неперервна, то f (x1) буде від’ємною й у деякій малому околі точки х1.

Оскільки f (x) = (f (x)) < 0, то f (x) спадає на відрізку, що містить точку х1, але (x1)=0, тобто f (x) > 0 при х<x1 і f (x) < 0 при x > x1. Це й означає, що при переході через точку х = х1 похідна f (x) міняє знак з “+” на “–“, тобто в цій точці функція f(x) має максимум.

Для випадку мінімуму функції теорема доводиться аналогічно.

Якщо f(x) = 0, то характер критичної точки невідомий. Для його визначення потрібне подальше дослідження.

Опуклість і увігнутість кривої.

Точки перегину.

Визначення. Крива звернена опуклістю догори на інтервалі (а, b), якщо всі її точки лежать нижче будь-якої її дотичної на цьому інтервалі. Крива, звернена опуклістю нагору, називається опуклою, а крива, звернена опуклістю вниз – називається увігнутою.

 у

 x

На малюнку показана ілюстрація наведеного вище визначення.

Теорема 1. Якщо у всіх точках інтервалу (a, b) друга похідна функції f(x) від’ємна, то крива y = f(x) звернена опуклістю нагору (опукла).

Доведення. Нехай х0  (a, b). Проведемо дотичну до кривої в цій точці.

Рівняння кривої: y = f(x);

Рівняння дотичної:

Слід довести, що .

За теоремою Лагранжа для f(x) – f(x0): , x0 < c < x.

За теоремою Лагранжа для  .

Нехай х > x0 тоді x0 < c1 < c < x. Оскільки xx0 > 0 і cx0 > 0, і крім того за умовою

, отже, .

Нехай x < x0 тоді x < c < c1 < x0 і xx0 < 0, cx0 < 0, оскільки за умовою  тому .

Аналогічно доводиться, що якщо f (x) > 0 на інтервалі (a, b), то крива y = f(x) увігнута на інтервалі (a, b).

Теорему доведено.

Визначення. Точка, що відокремлює опуклу частину кривої від увігнутої, називається точкою перегину.

Очевидно, що в точці перегину дотична перетинає криву.

Теорема 2. Нехай крива визначається рівнянням y = f(x). Якщо друга похідна f(a) = 0 або f(a) не існує й при переході через точку х = а f(x) міняє знак, то точка кривої з абсцисою х = а є точкою перегину.

Доведення. 1) Нехай f (x) < 0 при х < a і f (x) > 0 при x > a. Тоді при x < a крива опукла, а при x > a крива увігнута, тобто точка х = а – точка перегину.

2) Нехай f (x) > 0 при x < b і f (x) < 0 при x < b. Тоді при x < b крива звернена опуклістю вниз, а при x > b – опуклістю нагору. Тоді x = b – точка перегину.

Теорему доведено.

Асимптоти.

При дослідженні функцій часто буває, що при видаленні координати х точки кривої в нескінченність крива необмежено наближається до деякої прямої.

Визначення. Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань від змінної точки кривої до цієї прямої при видаленні точки в нескінченність прямує до нуля.

Слід зазначити, що не будь-яка крива має асимптоту. Асимптоти можуть бути прямі й похилі. Дослідження функцій на наявність асимптот має велике значення й дозволяє більш точно визначити характер функції й поводження графіка кривої.

Загалом кажучи, крива, необмежено наближаючись до своєї асимптоти, може й перетинати її, причому не в одній точці, як показано на наведеному нижче графіку функції . Її похила асимптот y = х.

Розглянемо докладніше методи знаходження асимптот кривих.

Вертикальні асимптоти.

З визначення асимптоти треба, що якщо або  або , то пряма х = а – асимптота кривої y = f(x).

Наприклад, для функції  пряма х = 5 є вертикальною асимптотою.

Похилі асимптоти.

Припустимо, що крива y = f(x) має похилу асимптоту y = kx + b.

M

 

 N

  P

 Q

Позначимо точку перетину кривої й перпендикуляра до асимптоти – М, Р – точку перетину цього перпендикуляра з асимптотою. Кут між асимптотою і віссю Ох позначимо . Перпендикуляр МQ до осі Ох перетинає асимптоту в точці N.

Тоді MQ = y – ордината точки кривої, NQ =  – ордината точки N на асимптоті.

За умовою: , NMP = , .

Кут – сталий і не рівний 900, тому

Тоді .

Отже, пряма y = kx + b – асимптота кривої. Для точного визначення цієї прямої необхідно знайти спосіб обчислення коефіцієнтів k і b.

В отриманому виразі виносимо за дужки х:

Оскільки х, то , оскільки b = const, то .

Тоді , отже,

.

Оскільки , то , отже,

Відзначимо, що горизонтальні асимптоти є частковим випадком похилих асимптот при k =0.

Приклад. Знайти асимптоти й побудувати графік функції .

1) Вертикальні асимптоти: y  + x 0–0; y  x 0+0, отже, х = 0 – вертикальна асимптота.

2) Похилі асимптоти:

Таким чином, пряма y = х + 2 є похилої асимптотою.

Побудуємо графік функції:

Приклад. Знайти асимптоти й побудувати графік функції .

Прямі х = 3 і х = – 3 є вертикальними асимптотами кривої.

Знайдемо похилі асимптоти:

y = 0 – горизонтальна асимптота.

Приклад. Знайти асимптоти й побудувати графік функції .

Пряма х = – 2 є вертикальною асимптотою кривої.

Знайдемо похилі асимптоти.

Отже, пряма y = х – 4 є похилою асимптотою.

Схема дослідження функцій

Процес дослідження функції складається з декількох етапів. Для найбільш повного подання про поводження функції й характер її графіка необхідно відшукати:

  1.  Область існування функції.

Це поняття містить у собі й область значень і область визначення функції.

  1.  Точки розриву. (Якщо вони є).
  2.  Інтервали зростання й спадання.
  3.  Точки максимуму й мінімуму.
  4.  Максимальне й мінімальне значення функції на її області визначення.
  5.  Області опуклості й увігнутості.
  6.  Точки перегину.(Якщо вони є).
  7.  Асимптоти.(Якщо вони є).
  8.  Побудова графіка.

Застосування цієї схеми розглянемо на прикладі.

Приклад. Дослідити функцію й побудувати її графік.

Знаходимо область існування функції. Очевидно, що областю визначення функції є область (–; – 1) (– 1; 1) (1; ).

У свою чергу, видно, що прямі х = 1, х = – 1 є вертикальними асимптотами кривої.

Областю значень даної функції є інтервал (– ; ).

Точками розриву функції є точки х = 1, х = – 1.

Знаходимо критичні точки.

Знайдемо похідну функції

Критичні точки: x = 0; x = –; x = ; x = – 1; x = 1.

Знайдемо другу похідну функції

.

Визначимо опуклість і увігнутість кривої на проміжках.

< x < – , y < 0, крива опукла

–  < x < – 1, y < 0, крива опукла

– 1 < x < 0, y > 0, крива увігнута

0 < x < 1, y < 0, крива опукла

1 < x < , y > 0, крива увігнута

< x < , y > 0, крива увігнута

Знаходимо проміжки зростання й спадання функції. Для цього визначаємо знаки похідної функції на проміжках.

< x < –, y > 0, функція зростає

– < x < –1, y < 0, функція спадає

–1 < x < 0, y < 0, функція спадає

0 < x < 1, y < 0, функція спадає

1 < x < , y < 0, функція спадає

< x < , y > 0, функція зростає

Видно, що точка х = – є точкою максимуму, а точка х =  є точкою мінімуму. Значення функції в цих точках рівні відповідно 3/2 і –3/2.

Про вертикальні асимптоти було вже сказане вище. Тепер знайдемо похилі асимптоти.

Отже, рівняння похилої асимптоти – y = x.

Побудуємо графік функції:

Векторна функція скалярного аргументу.

 z

 A(x, y, z)

 

 

 y

 х

Нехай деяка крива в просторі заданий параметрично:

x = (t); y = (t); z = f(t);

Радіус-вектор довільної точки кривої: .

Таким чином, радіус-вектор точки кривої може розглядатися як деяка векторна функція скалярного аргументу t. При зміні параметра t змінюється величина і напрямок вектора .

Запишемо співвідношення для деякої точки t0:

Тоді вектор  – границя функції (t). .

Очевидно, що

, тоді

.

Щоб знайти похідну векторної функції скалярного аргументу, розглянемо приріст радіус-вектора при деякому прирості параметра t.

 

 

 

; ;

або, якщо існують похідні  (t),  (t), f (t), то

Цей вираз – вектор похідна вектора .

Якщо є рівняння кривої:

x = (t); y = (t); z = f(t);

то в довільній точці кривої А(xА, yА, zА) з радіус-вектором

можна провести пряму з рівнянням

Оскільки похідна  – вектор, спрямований по дотичній до кривої, то

.

Властивості похідної векторної функції скалярного аргументу.

1)

2) , де = (t) – скалярна функція

3)

4)

Рівняння нормальної площини до кривої буде мати вигляд:

Приклад. Скласти рівняння дотичної і нормальної площини до лінії, заданої рівнянням  у точці t = /2.

Рівняння, що описують криву, по осях координат мають вигляд:

x(t) = cos t; y(t) = sin t; z(t) = ;

Знаходимо значення функцій і їхніх похідних у заданій точці:

x(t) = – sin t; y(t) = cos t;

x(/2) = –1; y(/2) = 0; z(/2) = 

x(/2) = 0; y(/2) = 1; z(/2) = /2

– це рівняння дотичної.

Нормальна площина має рівняння:

Параметричне задання функції.

Дослідження й побудова графіка кривої, що задана системою рівнянь вигляду:

,

проводиться загалом аналогічно дослідженню функції вигляду y = f(x).

Знаходимо похідні:

Тепер можна знайти похідну . Далі знаходяться значення параметра t, при яких хоча б одна з похідних (t) або (t) дорівнює нулю або не існує. Такі значення параметра t називаються критичними.

Для кожного інтервалу (t1, t2), (t2, t3), … , (tk-1, tk) знаходимо відповідний інтервал (x1, x2), (x2, x3), … , (xk-1, xk) і визначаємо знак похідної  на кожному з отриманих інтервалів, тим самим визначаючи проміжки зростання й спадання функції.

Далі знаходимо другу похідну функції на кожному з інтервалів і, визначаючи її знак, знаходимо напрямок опуклості кривої у кожній точці.

Для знаходження асимптот знаходимо такі значення t, при наближенні до яких або х або y прямує до нескінченності, і такі значення t, при наближенні до яких і х і y прямують до нескінченності.

В іншому дослідження проводиться аналогічно тому, як і дослідження функції, заданої безпосередньо.

На практиці дослідження параметрично заданих функцій здійснюється, наприклад, при знаходженні траєкторії об'єкта, що рухається, де роль параметра t виконує час.

Нижче розглянемо докладніше деякі широко відомі типи параметрично заданих кривих.

Рівняння деяких типів кривих у параметричній формі.

Коло.

Якщо центр кола перебуває у початку координат, то координати будь-якої його точки можуть бути знайдені за формулами:   

Якщо виключити параметр t, то одержимо канонічне рівняння кола:

x2 + y2 = r2(cos2t + sin2t) = r2

Еліпс.

Канонічне рівняння: .


 у

 C M(x, y)

t

 О N P

Для довільної точки еліпса М(х, у) з геометричних міркувань можна записати:  з ОВР і  з OCN, де а – більша піввісь еліпса, а b – менша піввісь еліпса, х і y – координати точки М.

Тоді одержуємо параметричні рівняння еліпса:

де 0  t  2

Кут t називається ексцентричним кутом.

Циклоїда.

 y

 C

 М К

 О Р B а 2а х

Визначення. Циклоїдою називається крива, що описує деяка точка, що лежить на кола, коли коло без ковзання котиться по прямій.

Нехай коло радіуса а пересувається без ковзання уздовж осі х. Тоді з геометричних міркувань можна записати: OB = = at; PB = MK = a sin t;

MCB = t; Тоді y = MP = KB = CBCK = aa cos t = a(1 – cos t).

x = ata sin t = a(t – sin t).

Отже:  при  – це параметричне рівняння циклоїди.

Якщо виключити параметр, то одержуємо:

Як видно, параметричне рівняння циклоїди набагато зручніше у використанні, ніж рівняння, що безпосередньо виражає одну координату через іншу.

Астроїда.

Дана крива являє собою траєкторію точки кола радіуса R/4, що обертається без ковзання по внутрішній стороні кола радіуса R.

 R/4

 R

Параметричні рівняння, що задають зображену вище криву,

Перетворюючи, одержимо: x2/3 + y2/3 = a2/3 (cos2 t + sin2 t) = a2/3

Похідна функції, заданої параметрично.

Нехай .

Припустимо, що ці функції мають похідні й функція x = (t) має зворотну функцію t = Ф(х).

Тоді функція y = (t) може бути розглянута як складна функція y = [Ф(х)].

оскільки Ф(х) – обернена функція, то

Остаточно одержуємо:

Таким чином, можна знаходити похідну функції, не знаходячи безпосередньої залежності у від х.

Приклад. Знайти похідну функції

Спосіб 1: Виразимо одну змінну через іншу , тоді

Спосіб 2: Застосуємо параметричне завдання даної кривої: .

x2 = a2cos2 t;

 

Кривизна плоскої кривої.

  

 В

 А А В

Визначення: Кут повороту дотичної до кривої при переході від точки А до точки В називається кутом суміжності.

Відповідно, вигнутіша та крива, у якої при однаковій довжині більше кут суміжності.

Визначення: Середньою кривизною Кср дуги  називається відношення відповідного кута суміжності до довжини дуги .

Відзначимо, що для однієї кривої середня кривизна її різних частин може бути різної, тобто дана величина характеризує не криву цілком, а деяка її ділянка.

Визначення: Кривизною дуги в точці КА називається границя середньої кривизни при прямуванні довжини дуги   0.

Легко бачити, що якщо позначити  = ш, то за умови, що кут – функція, що залежить від S і диференційована, то

Визначення: Радіусом кривизни кривої називається величина .

Нехай крива задана рівнянням y = f(x).

 y

 B

 

 A  +

 x

Kcp = ; ;

Якщо = (x) і S = S(x), то .

У той же час .

Для диференціала дуги: , тоді

Оскільки . В інших позначеннях: .

Розглянемо криву, задану рівнянням: y = f(x).

 A

 C(a, b)

Якщо побудувати в точці А кривої нормаль, спрямовану убік опуклості, то можна відкласти відрізок АС = R, де R – радіус кривизни кривої у точці А. Тоді точка C(a, b) називається центром кривизни кривої у точці А.

Коло радіуса R із центром у точці C називається колом кривизни.

Очевидно, що в точці А кривизна кривої і кривизна кола рівні.

Можна показати, що координати центра кривизни можуть бути знайдені за формулами:

Визначення: Сукупність всіх центрів кривизни кривої лінії утворять нову лінію, що називається еволютою стосовно даної кривої. Стосовно еволюти вихідна крива називається евольвентою.

Наведені вище рівняння, що визначають координати центрів кривизни кривої визначають рівняння еволюти.

Властивості еволюти.

Теорема 1: Нормаль до даної кривої є дотичною до її еволюти.

Теорема 2: Модуль різниці радіусів кривизни в будь-яких точках кривої дорівнює модулю довжини відповідної еволюти.

 C3

 C2 

 C1 

 R1 R2 R3

 M1

 M’1 M2 M3

 M’2

 M’3

Треба відзначити, що будь-якій еволюті відповідає нескінченне число евольвент.

Зазначені вище властивості можна проілюструвати в такий спосіб: якщо на еволюту натягнута нитка, то евольвента є траєкторною лінією кінця нитки при її змотуванні або розмотуванні за умови, що нитка перебуває в натягнутому стані.

Приклад: Знайти рівняння еволюти кривою, заданої рівняннями:

Рівняння еволюти:

Остаточно:  – це рівняння кола із центром на початку координат радіуса а.

Вихідна крива виходить свого роду розгорненням кола.

Нижче наведені графіки вихідної кривої і її еволюти.

Кривизна просторової кривої.

 z

 A(x, y, z)

 B 

 

 O y

 x

Для довільної точки А, що перебуває на просторовій кривій, координати можуть бути визначені як функції деякої довжини дуги S.

x = (S); y = (S); z = f (S);

Наведене вище рівняння називають векторним рівнянням лінії в просторі.

Визначення: Лінія, що опише в просторі змінний радіус-вектор при зміні параметра S, називається годографом цього вектора.

, тоді  – вектор, спрямований по дотичній до кривої в точці А(xyz).

Але оскільки , то  – одиничний вектор, спрямований по дотичній.

Якщо прийняти , то .

Причому .

Розглянемо другу похідну

Визначення: Пряма з напрямком, що співпадає з напрямком вектора  називається головною нормаллю до кривої. Її одиничний вектор позначається .

, де K – кривизна кривої.

Кривизна просторової кривої може бути знайдена за формулою:

Можливий й інший запис формули для кривизни просторової кривої (вона виходить із наведеної вище формули):

Визначення: Вектор  називається вектором кривизни. Величина  називається радіусом кривизни.

Про формули Френе.

Формулами Френе називаються співвідношення:

Остання формула отримана із двох перших.

У цих формулах:

 – одиничний вектор головної нормалі до кривої,

– одиничний вектор бінормалі,

 R – радіус кривизни кривої ,

 Т – радіус кручення кривої.

Визначення: Площина, що проходить через дотичну й головну нормаль до кривої в точці А називається дотичною площиною.

Визначення: Нормаль до кривої, перпендикулярна до дотичної площини, називається бінормаллю. Її одиничний вектор – .

Величина  називається крученням кривої.

Нижче розглянемо кілька прикладів дослідження методами диференціального числення різних типів функцій.

Приклад: Методами диференціального числення дослідити функцію  й побудувати її графік.

1. Областю визначення даної функції є всі дійсні числа (-; ).

2. Функція є функцією загального виду в сенсі парності й непарності.

3. точки перетину з координатними осями: з віссю Оу: x = 0; y = 1;

з віссю Ох: y = 0; x = 1;

4. Точки розриву й асимптоти: Вертикальних асимптот немає.

Похилі асимптоти: загальне рівняння y = kx + b;

Отже: y = – х – похила асимптота.

5. Зростання й спадання функції, точки екстремуму.

. Видно, що y 0 при будь-якому х 0, отже, функція спадає на всій області визначення й не має екстремумів. У точці х = 0 перша похідна функції дорівнює нулю, однак у цій точці спадання не змінюється на зростання, отже, у точці х = 0 функція швидше за все має перегин. Для знаходження точок перегину, знаходимо другу похідну функції.

; y = 0 при х =0 і y = при х = 1.

Точки (0,1) і (1,0) є точками перегину, тому що y(1 – h) < 0; y(1 + h) >0; y(– h) > 0; y(h) < 0 для будь-якого h > 0.

6. Побудуємо графік функції.

Приклад: Дослідити функцію  й побудувати її графік.

1. Областю визначення функції є всі значення х, крім х = 0.

2. Функція є функцією загального виду в сенсі парності й непарності.

3. Точки перетину з координатними осями: c віссю Ох: y = 0; x =

с віссю Оу: x = 0; y – не існує.

4. Точка х = 0 є точкою розриву , отже, пряма х = 0 є вертикальної асимптотою.

Похилі асимптоти шукаємо у вигляді: y = kx + b.

Похила асимптот y = х.

5. Знаходимо точки екстремуму функції.

; y = 0 при х = 2, y = при х = 0.

y > 0 при х (– , 0) – функція зростає,

y < 0 при х (0, 2) – функція спадає,

у > 0 при х (2, ) – функція зростає.

Таким чином, точка (2, 3) є точкою мінімуму.

Для визначення характеру опуклості/увігнутості функції знаходимо другу похідну.

> 0 при будь-якому х 0, отже, функція увігнута на всій області визначення.

6. Побудуємо графік функції.

Приклад: Досліджувати функцію  й побудувати її графік.

  1.  Областю визначення даної функції є проміжок х (– , ).
  2.  У сенсі парності й непарності функція є функцією загального виду.
  3.  Точки перетину з осями координат: з віссю Оу: x = 0, y = 0;

з віссю Ох: y = 0, x = 0, x = 1.

  1.  Асимптоти кривої.

Вертикальних асимптот немає.

Спробуємо знайти похилі асимптоти у вигляді y = kx + b.

– похилих асимптот не існує.

  1.  Знаходимо точки екстремуму.

Для знаходження критичних точок слід розв’язати рівняння 4х3 – 9х2 +6х –1 = 0.

Для цього розкладемо даний багаточлен третього ступеня на множники.

Підбором можна визначити, що одним з коренів цього рівняння є число х = 1. Тоді:

4x3 – 9x2 + 6x – 1 x – 1

4x3 – 4x2 4x2 – 5x + 1

– 5x2 + 6x

– 5x2 + 5x

 x – 1

 x – 1

0

Тоді можна записати (х – 1)(4х2 – 5х + 1) = 0. Остаточно одержуємо дві критичні точки: x = 1 і x = 1/4.

Примітка. Операції ділення багаточленів можна було уникнути, якщо при знаходженні похідної скористатися формулою похідної добутку:

Знайдемо другу похідну функції: 12x2 – 18x + 6. Прирівнюючи до нуля, знаходимо:

x = 1, x = 1/2.

Систематизуємо отриману інформацію в таблиці:

(– ; ¼)

1/4

( ¼ ; ½)

1/2

( ½ ; 1)

1

(1 ; )

f(x)

+

+

+

0

0

+

f(x)

0

+

+

+

0

+

f(x)

спадає

увігнута

min

зростає

увігнута

перегин

зростає

опукла

перегин

зростає

опукла

  1.  Побудуємо графік функції.

Інтегральне числення.

Первісна функція.

Визначення: Функція F(x) називається первісною функцією функції f(x) на відрізку [a, b], якщо в будь-якій точці цього відрізка вірна рівність:

F(x) = f(x).

Треба відзначити, що первісних для однієї й тієї ж функції може бути нескінченно багато. Вони будуть відрізнятися друг від друга на деяке постійне число.

F1(x) = F2(x) + C.

Невизначений інтеграл.

Визначення: Невизначеним інтегралом функції f(x) називається сукупність первісних функцій, які визначені співвідношенням:

F(x) + C.

Записують:

Умовою існування невизначеного інтеграла на деякому відрізку є неперервність функції на цьому відрізку.

Властивості:

1.

2.

3.

4.  де u, v, w – деякі функції від х.

  1.  

Приклад: 

Знаходження значення невизначеного інтеграла пов'язано головним чином зі знаходженням первісної функції. Для деяких функцій це досить складна задача. Нижче будуть розглянуті способи знаходження невизначених інтегралів для основних класів функцій – раціональних, ірраціональних, тригонометричних, показникових та ін.

Для зручності значення невизначених інтегралів більшості елементарних функцій зібрані в спеціальні таблиці інтегралів, які бувають іноді досить об'ємними. У них включені різні найрозповсюдженніші комбінації функцій. Але більшість представлених у цих таблицях формул є наслідками одна одної, тому нижче приведемо таблицю основних інтегралів, за допомогою якої можна одержати значення невизначених інтегралів різних функцій.

Інтеграл

Значення

Інтеграл

Значення

1

– lncosx+C

9

ex + C

2

lnsinx+ C

10

sinx + C

3

11

– cosx + C

4

12

tgx + C

5

13

– ctg x + C

6

ln

14

+ C

7

15

8

16

Методи інтегрування.

Розглянемо три основних методи інтегрування.

Безпосереднє інтегрування.

Метод безпосереднього інтегрування заснований на припущенні про можливе значення первісної функції з подальшою перевіркою цього значення диференціюванням. Взагалі, відмітимо, що диференціювання є потужним інструментом перевірки результатів інтегрування.

Розглянемо застосування цього методу на прикладі:

Потрібно знайти значення інтеграла . На основі відомої формули диференціювання  можна зробити висновок, що шуканий інтеграл дорівнює , де C – деяке стале число. Однак, з іншого боку . Таким чином, остаточно можна зробити висновок:

Відмітимо, що на відміну від диференціювання, де для знаходження похідної використалися чіткі прийоми й методи, правила знаходження похідної, нарешті визначення похідної, для інтегрування такі методи недоступні. Якщо при знаходженні похідної ми користувалися, так би мовити, конструктивними методами, які, базуючись на певних правилах, приводили до результату, то при знаходженні первісної доводиться в основному опиратися на знання таблиць похідних і первісних.

Що стосується методу безпосереднього інтегрування, то він застосовний тільки для деяких досить обмежених класів функцій. Функцій, для яких можна з ходу знайти первісну дуже мало. Тому в більшості випадків застосовуються способи, описані нижче.

Спосіб підстановки (заміни змінних).

Теорема: Якщо потрібно знайти інтеграл , але складно відшукати первісну, то за допомогою заміни x = (t) і dx = (t)dt виходить:

Доведення: Продиференціюємо пропоновану рівність:

По розглянутому вище властивості №2 невизначені інтеграли:

f (x)dx = f [(t)](t) dt

що з урахуванням введених позначень і є вихідним припущенням. Теорему доведено.

Приклад. Знайти невизначений інтеграл .

Зробимо заміну t = sin x, dt = cos x dt.

Приклад. 

Заміна  Одержуємо:

Нижче будуть розглянуті інші приклади застосування методу підстановки для різних типів функцій.

Інтегрування частинами.

Спосіб заснований на відомій формулі похідної добутку:

(uv) = uv + vu

де u і v – деякі функції від х.

У диференціальній формі: d(uv) = udv + vdu

Проінтегрувавши, одержуємо: , а відповідно до наведених вище властивостей невизначеного інтеграла:

або ;

Одержали формулу інтегрування частинами, що дозволяє знаходити інтеграли багатьох елементарних функцій.

Приклад. 

Як видно, послідовне застосування формули інтегрування частинами дозволяє поступово спростити функцію й привести інтеграл до табличного.

Приклад. 

Видно, що в результаті повторного застосування інтегрування частинами функцію не вдалося спростити до табличного виду. Однак, останній отриманий інтеграл нічим не відрізняється від вихідного. Тому перенесемо його в ліву частину рівності.

Таким чином, інтеграл знайдений взагалі без застосування таблиць інтегралів.

Перш ніж розглянути докладно методи інтегрування різних класів функцій, наведемо ще кілька прикладів знаходження невизначених інтегралів приведенням їх до табличного.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Інтегрування елементарних дробів.

Визначення: Елементарними називаються дроби наступних чотирьох типів:

I.  III.

II.  IV.

m, n – натуральні числа () і b2 – 4ac <0.

Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто приводяться до табличних підстановкою t = ax + b.

  1.  

II.

Розглянемо метод інтегрування елементарних дробів виду III.

Інтеграл дробу виду III може бути представлений у вигляді:

Тут у загальному вигляді показане приведення інтеграла дробу виду III до двох табличних інтегралів.

Розглянемо застосування зазначеної вище формули на прикладах.

Приклад.

Загалом кажучи, якщо в тричлена ax2 + bx + c вираз b2 – 4ac >0, то дріб за визначенням не є елементарним, однак, його можна інтегрувати зазначеним вище способом.

Приклад.

Приклад.

Розглянемо тепер методи інтегрування найпростіших дробів IV типу.

Спочатку розглянемо окремий випадок при М = 0, N = 1.

Тоді інтеграл виду  можна шляхом виділення в знаменнику повного квадрата представити у вигляді . Зробимо наступне перетворення:

.

Другий інтеграл, що входить у цю рівність, будемо брати частинами.

Позначимо:

Для вихідного інтеграла одержуємо:

Отримана формула називається рекурентною. Якщо застосувати її n – 1 раз, то вийде табличний інтеграл .

Повернемося тепер до інтеграла від елементарного дробу виду IV у загальному випадку.

В отриманій рівності перший інтеграл за допомогою підстановки t = u2 + s приводиться до табличного , а до другого інтеграла застосовується розглянута вище рекурентна формула.

Незважаючи на видиму складність інтегрування елементарного дробу виду IV, на практиці його досить легко застосовувати для дробів з невеликим ступенем n, а універсальність і загальність підходу уможливлює дуже просту реалізацію цього методу на ЕОМ.

Приклад: 

Інтегрування раціональних функцій.

Інтегрування раціональних дробів.

Для того, щоб проінтегрувати раціональний дріб необхідно розкласти його на елементарні дроби.

Теорема: Якщо  – правильний раціональний дріб, знаменник P(x) якого представлений у вигляді добутку лінійних і квадратичних множників (відзначимо, що будь-який багаточлен з дійсними коефіцієнтами може бути представлений у такому вигляді: P(x) = (xa)(x-b)(x2+px+q)(x2+rx+s)), то цей дріб може бути розкладена на елементарні за наступною схемою:

де Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – деякі постійні величини.

При інтегруванні раціональних дробів вдаються до розкладу вихідного дробу на елементарні. Для знаходження величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si застосовують так званий метод невизначених коефіцієнтів, суть якого полягає в тому, що для того, щоб два багаточлени були тотожно рівні, необхідно й досить, щоб були рівні коефіцієнти при однакових ступенях х.

Застосування цього методу розглянемо на конкретному прикладі.

Приклад.

Оскільки , то

Приводячи до спільного знаменника й дорівнюючи відповідні чисельники, одержуємо:

 

 

 

Отже:

Приклад.

Оскільки дріб неправильний, то попередньо слід виділити в ньому цілу частину:

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7 3x3 – 4x2 – 17x + 6

6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2 2x2 + 3

9x3 + 8x2 – 76x – 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2 – 25x – 25

Розкладемо знаменник отриманого дробу на множники. Видно, що при х = 3 знаменник дробу перетворюється в нуль. Тоді:

3x3 – 4x2 – 17x + 6 x – 3

3x3 – 9x2 3x2 + 5x – 2

5x2 – 17x

5x2 – 15x

– 2x + 6

– 2x + 6

0

Таким чином 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тоді:

Для того, щоб уникнути при знаходженні невизначених коефіцієнтів розкриття дужок, групування й розв’язання системи рівнянь (яка в деяких випадках може виявитися досить великою) застосовують так званий метод довільних значень. Суть методу полягає в тому, що в отриманий вище вираз підставляються по черзі декілька (по числу невизначених коефіцієнтів) довільних значень х. Для спрощення обчислень прийнято як довільні значення приймати точки, при яких знаменник дробу дорівнює нулю, тобто в нашому випадку – 3, – 2, 1/3. Одержуємо:

 

Остаточно одержуємо:

=

Приклад.

Знайдемо невизначені коефіцієнти:

 

 

Тоді значення заданого інтеграла:

Інтегрування деяких тригонометричних функцій.

Інтегралів від тригонометричних функцій може бути нескінченно багато. Більшість із цих інтегралів взагалі не можна обчислити аналітично, тому розглянемо деякі найголовніші типи функцій, які можуть бути проінтегровані завжди.

Інтеграл виду .

Тут R – позначення деякої раціональної функції від змінних sin x і cos x.

Інтеграли цього виду обчислюються за допомогою підстановки . Ця підстановка дозволяє перетворити тригонометричну функцію в раціональну.

,

Тоді

У такий спосіб:

Описане вище перетворення називається універсальною тригонометричною підстановкою.

Приклад.

Безсумнівною перевагою цієї підстановки є те, що з її допомогою завжди можна перетворити тригонометричну функцію в раціональну й обчислити відповідний інтеграл. До недоліків можна віднести те, що при перетворенні може вийти досить складна раціональна функція, інтегрування якої займе багато часу й сил.

Однак при неможливості застосувати раціональнішу заміну змінної цей метод є єдиним результативним.

Приклад.

Інтеграл виду , якщо

функція R є непарною відносно cos x.

Незважаючи на можливість обчислення такого інтеграла за допомогою універсальної тригонометричної підстановки, раціональніше застосувати підстановку t = sin x.

Функція  може містити cos x тільки в парних ступенях, а отже, може бути перетворена в раціональну функцію відносно sin x.

Приклад.

Загалом кажучи, для застосування цього методу необхідна тільки непарність функції щодо косинуса, а ступінь синуса, що входить у функцію може бути кожний, як цілої, так і дробової.

Інтеграл виду , якщо

функція R є непарною відносно sin x.

За аналогією з розглянутим вище випадком робиться підстановка t = cos x.

Тоді

Приклад.

Інтеграл виду

функція R парна відносно sin x і cos x.

Для перетворення функції R у раціональну використається підстановка t = tgx.

Тоді

Приклад.

Інтеграл добутку синусів і косинусів

різних аргументів.

Залежно від типу добутку застосуються одна із трьох формул:

Приклад.

Приклад.

Іноді при інтегруванні тригонометричних функцій зручно використати загальновідомі тригонометричні формули для зниження порядку функцій.

Приклад.

Приклад.

Іноді застосовуються деякі нестандартні прийоми.

Приклад.

Отже

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

Далеко не кожна ірраціональна функція може мати інтеграл, виражений елементарними функціями. Для знаходження інтеграла від ірраціональної функції слід застосувати підстановку, що дозволить перетворити функцію в раціональну, інтеграл від якої може бути знайдений як відомо завжди.

Розглянемо деякі прийоми для інтегрування різних типів ірраціональних функцій.

Інтеграл виду  де n – натуральне число.

За допомогою підстановки  функція раціоналізується.

Тоді

Приклад.

Якщо до складу ірраціональної функції входять коріння різних ступенів, то в якості нової змінної раціонально взяти корінь ступеня, рівного найменшому спільному кратному ступенів корінь, що входять у вираз.

Проілюструємо це на прикладі.

Приклад.

Інтегрування біноміальних диференціалів.

Визначення: Біноміальним диференціалом називається вираз

xm(a + bxn)pdx

де m, n, і p – раціональні числа.

Як було доведено академіком Чебишевим П.Л. (1821–1894), інтеграл від біноміального диференціала може бути виражений через елементарні функції тільки в наступних трьох випадках:

  1.  Якщо р – ціле число, то інтеграл раціоналізується за допомогою підстановки

, де – спільний знаменник m і n.

  1.  Якщо  – ціле число, то інтеграл раціоналізується підстановкою , де s – знаменник числа р.

3) Якщо  – ціле число, то використовується підстановка , де s – знаменник числа р.

Однак, найбільше практичне значення мають інтеграли від функцій, раціональних щодо аргументу й квадратного кореня із квадратного тричлена.

На розгляді цих інтегралів зупинимося більш докладно.

Інтеграли виду .

Існує кілька способів інтегрування такого роду функцій. Залежно від виду виразу, що стоїть під знаком радикала, переважно застосовувати той або інший спосіб.

Як відомо, квадратний тричлен шляхом виділення повного квадрата може бути зведений до виду:

Таким чином, інтеграл приводиться до одного з трьох типів:

  1.  
  2.  
  3.  

1 спосіб. Тригонометрична підстановка.

Теорема: Інтеграл виду  підстановкою  або  зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sin t або cos t.

Приклад:

Теорема: Інтеграл виду  підстановкою  або зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sint і cost.

Приклад:

Теорема: Інтеграл виду  підстановкою  або  зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sin t або cos t.

Приклад:

2 спосіб. Підстановки Ейлера. (1707–1783)

  1.  Якщо а > 0, то інтеграл виду  раціоналізується підстановкою

.

  1.  Якщо a < 0 і c > 0, то інтеграл виду  раціоналізується підстановкою .

  1.  Якщо a<0 , а підкореневе вираз розкладається на дійсні множники a(xx1)(xx2), то інтеграл виду  раціоналізується підстановкою .

Відзначимо, що підстановки Ейлера незручні для практичного використання, оскільки навіть при нескладних підінтегральних функціях приводять до досить громіздких обчислень. Ці підстановки представляють скоріше теоретичний інтерес.

3 спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів.

Розглянемо інтеграли наступних трьох типів:

де P(x) – багаточлен, n – натуральне число.

Причому інтеграли II і III типів можуть бути легко наведені до виду інтеграла I типу.

Далі робиться наступне перетворення:

у цьому виразі Q(x) – деякий багаточлен, степінь якого нижче ступеня багаточлена P(x), а – деяка стала величина.

Для знаходження невизначених коефіцієнтів багаточлена Q(x), степінь якого нижче степеня багаточлена P(x), диференціюють обидві частини отриманого виразу, потім множать на  й, порівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х, визначають і коефіцієнти багаточлена Q(x).

Даний метод вигідно застосовувати, якщо степінь багаточлена Р(х) більше одиниці. У противному випадку можна успішно використати методи інтегрування раціональних дробів, розглянуті вище, тому що лінійна функція є похідною підкореневого виразу.

Приклад.

.

Тепер продиференціюємо отриманий вираз, помножимо на  й згрупуємо коефіцієнти при однакових ступенях х.

=

=

Разом =

=

Приклад.

Приклад.

Інший спосіб розв’язання того ж приклада.

З врахуванням того, що функції arcsin і arccos зв'язані співвідношенням , а стала інтегрування C – довільне число, відповіді, отримані різними методами, збігаються.

Як видно, при інтегруванні ірраціональних функцій можливо застосовувати різні розглянуті вище прийоми. Вибір методу інтегрування обумовлюється в основному найбільшою зручністю, очевидністю застосування того або іншого методу, а також складністю обчислень і перетворень.

Приклад.

Кілька прикладів інтегралів, що не виражаються через елементарні функції.

До таких інтегралів ставиться інтеграл виду , де Р(х) – багаточлен ступеня вище другого. Ці інтеграли називаються еліптичними.

Якщо степінь багаточлена Р(х) вище четвертого, то інтеграл називається гіпереліптичним.

Якщо все-таки інтеграл такого виду виражається через елементарні функції, то він називається псевдоеліптичним.

Не можуть бути виражені через елементарні функції наступні інтеграли:

  1.  інтеграл Пуассона (Сімеон Дені Пуассон – французький математик (1781–1840))
  2.   – інтеграли Френеля (Жан Огюстен Френель – французький вчений (1788–1827) – теорія хвильової оптики та ін.)
  3.  інтегральний логарифм
  4.   – приводиться до інтегрального логарифма
  5.   – інтегральний синус
  6.   – інтегральний косинус

Визначений інтеграл.

Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція f(x).

 y

 M

 m

 O a xi b x

Позначимо m і M найменше й найбільше значення функції на відрізку [a, b]. Розіб'ємо відрізок [a, b] на частини (необов'язково однакові) n точками.

x0 < x1 < x2 < … < xn

Тоді x1x0 = x1, x2x1 = x2, … ,xnxn–1  = xn;

На кожному з отриманих відрізків знайдемо найменше й найбільше значення функції.

[x0, x1]  m1, M1; [x1, x2]  m2, M2; … [xn–1, xn]  mn, Mn...

Складемо суми:

n = m1x1 + m2x2 +  … +mnxn =

n = M1x1 + M2x2 + … + Mnxn =

Сума  називається нижньою інтегральною сумою, а сума  – верхньою інтегральною сумою.

Оскільки , то , а .

Усередині кожного відрізка виберемо деяку точку i.

x0 < 1 < x1,     x1 < <  x2,  …  , xn–1 < < xn...

Знайдемо значення функції в цих точках і складемо вираз, що називається інтегральною сумою для функції f(x) на відрізку [a, b].

Sn = f(1)x1 +  f(2)x2 + … + f(n)xn =

Тоді можна записати:

Отже,

Геометрично це представляється в такий спосіб: графік функції f(x) обмежений зверху описаною ламаною лінією, а знизу – вписаною ламаною.

Позначимо max xi – найбільший відрізок розбивки, а min xi – найменший. Якщо max xi 0, то число відрізків розбивки відрізка [a, b] прямує до нескінченності.

Якщо , то

Визначення: Якщо при будь-яких розбивках відрізка [a, b] таких, що max xi0 і довільному виборі точок i інтегральна сума  прямує до границі S, що називається визначеним інтегралом від f (x) на відрізку [a, b].

Позначення :

а – нижня границя, b – верхня границя, х – змінна інтегрування, [a, b] – відрізок інтегрування.

Визначення: Якщо для функції f (x) існує границя  то функція називається інтегрованою на відрізку [a, b].

Також вірні твердження:

 

Теорема: Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], то вона інтегрована на цьому відрізку.

Властивості визначеного інтеграла.

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  Якщо  на відрізку [a, b] a < b, то
  5.  Якщо m і M – відповідно найменше й найбільше значення функції f(x) на відрізку [a, b], то:

  1.  Теорема про середнє. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], то на цьому відрізку існує точка така, що

Доведення: У відповідності із властивістю 5:

оскільки функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], то вона приймає на цьому відрізку всі значення від m до М. Інакше кажучи, існує таке число  [a, b], що якщо  і = f(), а , тоді . Теорему доведено.

7) Для довільних чисел a, b, c справедлива рівність:

Зрозуміло, ця рівність виконується, якщо існує кожний із інтегралів, що входять у неї.

8)

Узагальнена теорема про середнє. Якщо функції f(x) і (x) неперервні на відрізку [a, b], і функція (х) знакостала на ньому, то на цьому відрізку існує точка , така, що

Обчислення визначеного інтеграла.

Нехай в інтегралі  нижня границя а = const, а верхня границя b змінюється. Очевидно, що якщо змінюється верхня границя, то змінюється й значення інтеграла.

Позначимо . Знайдемо похідну функції Ф(х) по змінній верхній границі х.

Аналогічну теорему можна довести для випадку змінної нижньої границі.

Теорема: Для всякої функції f(x), неперервної на відрізку [a, b], існує на цьому відрізку первісна, а виходить, існує невизначений інтеграл.

Теорема: (Теорема Ньютона-Лейбніца)

Якщо функція F(x) – якась первісна від неперервної функції f(x), то

це вираз відомий за назвою формули Ньютона-Лейбніца.

Доведення: Нехай F(x) – первісна функції f(x). Тоді відповідно до наведеного вище теоремою, функція  – первісна функція від f(x). Але тому що функція може мати нескінченно багато первісних, які будуть відрізнятися друг від друга тільки на якесь стале число C, то

при відповідному виборі С цю рівність справедливо для будь-якого х, тобто при х = а:

Тоді .

А при х = b:   

Замінивши змінну t на змінну х, одержуємо формулу Ньютона-Лейбніца:

Теорему доведено.

Іноді застосовують позначення F(b) – F(a) = F(x).

Формула Ньютона-Лейбніца являє собою загальний підхід до знаходження визначених інтегралів.

Що стосується прийомів обчислення визначених інтегралів, то вони практично нічим не відрізняються від всіх тих прийомів і методів, які були розглянуті вище при знаходженні невизначених інтегралів.

Точно так само застосовуються методи підстановки (заміни змінної), метод інтегрування частинами, ті ж прийоми знаходження первісних для тригонометричних, ірраціональних і трансцендентних функцій. Особливістю є тільки те, що при застосуванні цих прийомів треба поширювати перетворення не тільки на підінтегральну функцію, але й на границі інтегрування. Заміняючи змінну інтегрування, слід не забувати змінити відповідно границі інтегрування.

Заміна змінних.

Нехай заданий інтеграл , де f(x) – неперервна функція на відрізку [a, b].

Введемо нову змінну відповідно до формули x = (t).

Тоді якщо

1) ()  = а, () = b

2) (t) і (t) неперервні на відрізку [, ]

3) f ((t)) визначена на відрізку [, ], то

Тоді

Приклад.

При заміні змінної в визначеному інтегралі слід пам'ятати про те, що вводять функцію, що (у розглянутому прикладі це функція sin) повинна бути неперервна на відрізку інтегрування. У противному випадку формальне застосування формули приводить до абсурду.

Приклад.

, з іншого боку, якщо застосувати тригонометричну підстановку,

Тобто два способи знаходження інтеграла дають різні результати. Це відбулося через те, що не був врахований той факт, що уведена змінна tg x має на відрізку інтегрування розрив (у точці х = /2). Тому в цьому випадку така підстановка незастосовна. При заміні змінної в визначеному інтегралі слід уважно стежити за виконанням перерахованих вище умов.

Інтегрування частинами.

Якщо функції u = (x) та v = (x) неперервні на відрізку [a, b], а також неперервні на цьому відрізку їхні похідні, то справедлива формула інтегрування частинами:

Висновок цієї формули абсолютно аналогічний висновку формули інтегрування частинами для невизначеного інтеграла, що був досить докладно розглянутий вище, тому тут приводити його нема рації.

Наближене обчислення визначеного інтеграла.

Як було сказано вище, існує величезна кількість функцій, інтеграл від яких не може бути виражений через елементарні функції. Для знаходження інтегралів від подібних функцій застосовуються різноманітні наближені методи, суть яких полягає в тому, що підінтегральна функція заміняється “близькою” до неї функцією, інтеграл від якої виражається через елементарні функції.

Формула прямокутників.

Якщо відомі значення функції f(x) у деяких точках x0, x1, … , xm, то як функція “близьку” до f(x) можна взяти багаточлен Р(х) ступеня не вище m, значення якого в обраних точках дорівнюють значенням функції f(x) у цих точках.

Якщо розбити відрізок інтегрування на n рівних частин . При цьому:

y0 = f (x0), y1 = f (x1), … , yn = f(xn).

Складемо суми: y0x + y1x + … + yn–1x

y1x + y2x + … + ynx

Це відповідно нижня й верхня інтегральні суми. Перша відповідає вписаній ламаній, друга – описаній.

Тоді  або

кожна із цих формул може застосовуватися для наближеного обчислення визначеного інтеграла й називається загальною формулою прямокутників.

Формула трапецій.

 у

 y1 y2 уn

 a x1 x2 b x

Ця формула є більш точною в порівнянні з формулою прямокутників. Підінтегральна функція в цьому випадку заміняється на вписану ламану.

Геометрично площа криволінійної трапеції заміняється сумою площ вписаних трапецій. Очевидно, що чим більше взяти точок n розбивки інтервалу, тим з більшою точністю буде обчислений інтеграл.

Площі вписаних трапецій обчислюються за формулами:

Після приведення подібних доданків одержуємо формулу трапецій:

Формула парабол

(формула Сімпсона або квадратурна формула).

(Томас Сімпсон (1710–1761) – англійський математик)

Розділимо відрізок інтегрування [a, b] на парне число відрізків (2m). Площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x) замінимо на площу криволінійної трапеції, обмеженою параболою другого ступеня з віссю симетрії, паралельною осі Оу, такої що проходить через точки кривої, зі значеннями f(x0), f(x1), f(x2).

Для кожної пари відрізків побудуємо таку параболу.


 y

0 х0 х1 х2 х3 x4 х

Рівняння цих парабол мають вигляд Ax2 + Bx + C, де коефіцієнти А, В, C можуть бути легко знайдені по трьох точках перетину параболи з вихідною кривою.

 (1)

Позначимо .

Якщо прийняти

 х0 = – h, x1 = 0, x2 = h, то  (2)

Тоді рівняння значень функції (1) мають вигляд:

З врахуванням цього: .

Звідси рівняння (2) прийме вид:

Тоді

Складаючи ці вирази, одержуємо формулу Сімпсона:

Чим більше взяти число m, тим більше точне значення інтеграла буде отримано.

Приклад. Обчислити наближене значення визначеного інтеграла

за допомогою формули Сімпсона, розбивши відрізок інтегрування на 10 частин.

За формулою Сімпсона одержимо:

m

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

– 2

– 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

f(x)

2,828

3,873

4

4,123

4,899

6,557

8,944

11,874

15,232

18,947

22,978

Точне значення цього інтеграла – 91,173.

Як видно, навіть при порівняно великому кроці розбивки точність отриманого результату цілком задовільна.

Для порівняння застосуємо до цієї ж задачі формулу трапецій.

Формула трапецій дала менш точний результат у порівнянні з формулою Сімпсона.

Крім перерахованих вище способів, можна обчислити значення визначеного інтеграла за допомогою розкладу підінтегральної функції в степеневої ряд.

Принцип цього методу полягає в тому, щоб замінити підінтегральну функцію за формулою Тейлора і почленно проінтегрувати отриману суму.

Приклад. З точністю до 0,001 обчислити інтеграл

Оскільки інтегрування проводиться в околі точки х=0, то можна скористатися для розкладу підінтегральної функції формулою Маклорена.

Розклад функції cos x має вигляд:

Знаючи розклад функції cos х легко знайти функцію 1 – cos x:

У цій формулі підсумовування проводиться по п від 1 нескінченно, а в попередній – від 0 до нескінченності. Це – не помилка, так виходить у результаті перетворення.

Тепер представимо у вигляді ряду підінтегральний вираз.

Тепер представимо наш інтеграл у вигляді:

У наступній дії буде застосована теорема про почленне інтегрування ряду. (Тобто інтеграл від суми буде представлений у вигляді суми інтегралів членів ряду).

Загалом кажучи, зі строго теоретичної точки зору для застосування цієї теореми треба довести, що ряд збігається й, більше того, збігається рівномірно на відрізку інтегрування [0, 0,5]. Ці питання будуть докладно розглянуті пізніше (Див. Дії зі степеневими рядами.) Відзначимо лише, що в нашому випадку подібна дія справедлива хоча б з властивостей визначеного інтеграла (інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів).

Отже:

Разом, одержуємо:

Як видно, абсолютна величина членів ряду дуже швидко зменшується, і необхідна точність досягається вже при третьому члені розкладу.

Для довідки: точне (вірніше – більше точне) значення цього інтеграла: 0,2482725418...

Невласні інтеграли.

Нехай функція f(x) визначена й неперервна на інтервалі [a, ). Тоді вона неперервна на будь-якому відрізку [a, b].

Визначення: Якщо існує скінченна границя , то ця границя називається невласним інтегралом від функції f(x) на інтервалі [a, ).

Позначення:

Якщо ця границя існує й скінченна, то говорять, що невласний інтеграл збігається.

Якщо границя не існує або нескінченна, то невласний інтеграл розбігається.

Аналогічні міркування можна привести для невласних інтегралів виду:

Звичайно, ці твердження справедливі, якщо інтеграли, що до них входять, існують.

Приклад.

не існує.

Невласний інтеграл розбіжний.

Приклад.

– інтеграл розбіжний.

Теорема: Якщо для всіх х () виконується умова  й інтеграл  збігається, то  теж збігається й .

Теорема: Якщо для всіх х () виконується умова  й інтеграл  розбігається, то  теж розбігається.

Теорема: Якщо  збігається, то збігається й інтеграл . У цьому випадку інтеграл  називається абсолютно збіжним.

Інтеграл від розривної функції.

Якщо в точці x = с функція або невизначена, або розривна, то

Якщо інтеграл  існує, то інтеграл  – збігається, якщо інтеграл  не існує, то  – розбігається.

Якщо в точці х = а функція терпить розрив, то .

Якщо функція f (x) має розрив у точці b на проміжку [a, c], то

Таких точок всередині відрізку може бути кілька.

Якщо збігаються всі інтеграли, що входять у суму, то збігається й сумарний інтеграл.

Геометричні застосування визначеного інтеграла.

Обчислення площ плоских фігур.

у

+ +

 O a b x

Відомо, що визначений інтеграл на відрізку являє собою площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x). Якщо графік розташований нижче осі Ох, тобто f(x) < 0, то площа має знак “–“, якщо графік розташований вище осі Ох, тобто f(x) > 0, то площа має знак “+”.

Для знаходження сумарної площі використовується формула .

Площа фігури, обмеженої деякими лініями може бути знайдена за допомогою визначених інтегралів, якщо відомі рівняння цих ліній.

Приклад. Знайти площу фігури, обмеженої лініями y = x, y = x2, x = 2.

Шукана площа (заштрихована на малюнку) може бути знайдена за формулою:

(од2)

Знаходження площі криволінійного сектора.

  = f ()

 

 

 О

Для знаходження площі криволінійного сектора введемо полярну систему координат. Рівняння кривої, що обмежує сектор у цій системі координат, має вигляд  = f (), де – довжина радіус-вектора, що з'єднує полюс із довільною точкою кривої, а – кут нахилу цього радіус-вектора до полярної осі.

Докладніше про полярну систему координат і її зв'язок з декартовою прямокутною системою координат див. Полярна система координат.

Площа криволінійного сектора може бути знайдена за формулою

Обчислення довжини дуги кривої.

 Y y = f(x)

 Si yi

 xi

 a b x

Довжина ламаної лінії, що відповідає дузі, може бути знайдена як .

Тоді довжина дуги дорівнює .

З геометричних міркувань:

У той же час

Тоді можна показати (див. Інтегрована функція.), що

Тобто 

Якщо рівняння кривої задане параметрично, то з урахуванням правил обчислення похідної параметрично заданої функції (див. Похідна функції, заданої параметрично.), одержуємо

,

де х = (t) і у = (t).

Якщо задано просторову криву, і х = (t), y = (t) і z = Z(t), то

Якщо крива задана в полярних координатах, то

, = f ().

Приклад: Знайти довжину кола, заданого рівнянням x2 + y2 = r2.

1 спосіб. Виразимо з рівняння змінну y.

Знайдемо похідну

Тоді

Тоді S = 2r. Одержали загальновідому формулу довжини кола.

2 спосіб. Якщо представити задане рівняння в полярній системі координат, то одержимо: r2cos2 + r2sin2 = r2, тобто функція = f () = r,  тоді

Обчислення об'ємів тіл.

Обчислення об'єму тіла за відомими площами його паралельних перетинів.

 Q(xi–1)

 Q(xi)

 a xi–1 xi b x

Нехай є тіло об'єму V. Площа будь-якого поперечного переріза тіла Q, відома як неперервна функція Q = Q(x). Розіб'ємо тіло на “шари” поперечними перерізами, що проходять через точки хi розбивки відрізка [a, b]. Оскільки на будь-якому проміжному відрізку розбивки [xi–1, xi] функція Q(x) неперервна, то приймає на ньому найбільше й найменше значення. Позначимо їх відповідно Mi і mi.

Якщо на цих найбільшому й найменшому перетинах побудувати циліндри з твірними, паралельними осі х, то об'єми цих циліндрів будуть відповідно рівні Mixi і mixi тут xi = xi  xi–1.

Зробивши такі побудови для всіх відрізків розбивки, одержимо циліндри, об'єми яких рівні відповідно  й .

При прямуванні до нуля кроку розбивки , ці суми мають спільну границю:

Таким чином, об'єм тіла може бути знайдений за формулою:

Недоліком цієї формули є те, що для знаходження об'єму необхідно знати функцію Q(x), що досить проблематично для складних тіл.

Приклад: Знайти об'єм кулі радіуса R.

 y

 R y

R O x R x

У поперечних перерізах кулі виходять кола змінного радіуса y. Залежно від поточної координати х цей радіус виражається за формулою .

Тоді функція площ перетинів має вигляд: Q(x) = .

Одержуємо об'єм кулі:

.

Приклад: Знайти об'єм довільної піраміди з висотою Н і площею основи S.

 Q S

 x H x

При перетині піраміди площинами, перпендикулярними висоті, у перетині одержуємо фігури, подібні до основи. Коефіцієнт подібності цих фігур дорівнює відношенню x/H, де х – відстань від площини перетину до вершини піраміди.

З геометрії відомо, що відношення площ подібних фігур дорівнює коефіцієнту подоби у квадраті, тобто

Звідси одержуємо функцію площ перетинів:

Знаходимо об'єм піраміди:

Об'єм тіл обертання.

Розглянемо криву, задану рівнянням y = f(x). Припустимо, що функція f(x) неперервна на відрізку [a, b]. Якщо відповідну їй криволінійну трапецію з основами а й b обертати навколо осі Ох, то одержимо так зване тіло обертання.


 y = f(x)

 x

Оскільки кожний перетин тіла площиною  x = const являє собою коло радіуса , то об'єм тіла обертання може бути легко знайдений за отриманою вище формулою:

Площа поверхні тіла обертання.

 Мi B

 А

 x

 xi

Визначення: Площею поверхні обертання кривої АВ навколо даної осі називають границю, до якої прямують площі поверхонь обертання ламаних, вписаних у криву АВ, при прямуванні до нуля найбільших з довжин ланок цих ламаних.

Розіб'ємо дугу АВ на n частин точками M0, M1, M2, … , Mn ... Координати вершин отриманої ламаної мають координати xi і yi. При обертанні ламаної навколо осі одержимо поверхню, що складається з бічних поверхонь усічених конусів, площа яких дорівнює Pi. Ця площа може бути знайдена за формулою:

Тут Si – довжина кожної хорди.

Застосовуємо теорему Лагранжа (див. Теорема Лагранжа.) до відношення .

Одержуємо:

Тоді

Площа поверхні, описаної ламаної дорівнює:

Ця сума не є інтегральної, але можна показати, що

Тоді  – формула обчислення площі поверхні тіла обертання.

Функції декількох змінних

При розгляді функцій декількох змінних обмежимося докладним описом функцій двох змінних, тому що всі отримані результати будуть справедливі для функцій довільного числа змінних.

Визначення: Якщо кожній парі незалежних одне від одного чисел (х, у) з деякої множини за якимось правилом ставиться у відповідність одне або кілька значень змінної z, то змінна z називається функцією двох змінних.

z = f(x, y)

Визначення: Якщо парі чисел (х, у) відповідає одне значення z, то функція називається однозначною, а якщо більше одного, то – багатозначною.

Визначення: Областю визначення функції z називається сукупність пар (х, у), при яких функція z існує.

Визначення: Околом точки М0(х0, y0) радіуса r називається сукупність всіх точок (х, у), які задовольняють умові .

Визначення: Число А називається границею функції f (x, y) при прямуванні точки М(х, у) до точки М0(х0, y0), якщо для кожного числа > 0 знайдеться таке число r > 0, що для будь-якої точки М(х, у), для якої вірна умова

також вірна й умова .

Записують:

Визначення: Нехай точка М0(х0, y0) належить області визначення функції f (x, y). Тоді функція z = f(x, y) називається неперервною в точці М0(х0, y0), якщо

 (1)

причому точка М(х, у) прямує до точки М0(х0, y0) довільним чином.

Якщо в будь-якій точці умова (1) не виконується, то ця точка називається точкою розриву функції f (x, y). Це може бути в наступних випадках:

  1.  Функція z = f(x, y) не визначена в точці М0(х0, y0).
  2.  Не існує границя .
  3.  Ця границя існує, але він не дорівнює f (x0, y0).

Властивість. Якщо функція f(x, y, ...) визначена й неперервна в замкнутій і обмеженої області D, то в цій області знайдеться принаймні одна точка N(x0, y0, …), така, що для інших точок вірна нерівність

а також точка N1(x01, y01, …), така, що для всіх інших точок вірна нерівність

тоді f (x0, y0, …) = Mнайбільше значення функції, а f (x01, y01, …) = mнайменше значення функції f (x, y, …) в області D.

Неперервна функція в замкнутій і обмеженій області D досягає принаймні один раз найбільшого значення й один раз найменшого.

Властивість. Якщо функція f (x, y, ...) визначена й неперервна в замкнутій обмеженій області D, а M і m – відповідно найбільше й найменше значення функції в цій області, то для будь-якої точки   [m, M] існує точка N0(x0, y0, …) така, що f (x0y0, …) = .

Простіше кажучи, неперервна функція приймає в області D всі проміжні значення між M і m. Наслідком цієї властивості може служити висновок, що якщо числа M і m різних знаків, то в області D функція принаймні один раз звертається в нуль.

Властивість. Функція f(x, y, …), неперервна в замкнутій обмеженій області D, обмежена в цій області, якщо існує таке число K, що для всіх точок області вірна нерівність .

Властивість. Якщо функція f(x, y, …) визначена й неперервна в замкнутій обмеженій області D, то вона рівномірно неперервна в цій області, тобто для будь-якого позитивного числа існує таке число > 0, що для будь-яких двох точок (х1, y1) і (х2, y2) області, що перебувають на відстані, меншій , виконується нерівність

Наведені вище властивості  аналогічні властивостям функцій однієї змінної, неперервним на відрізку. Див. Властивості функцій, неперервних на відрізку.

Похідні й диференціали функцій декількох змінних.

Визначення. Нехай у деякій області задана функція z = f (x, y). Візьмемо довільну точку М(х, у) і задамо приріст х до змінної х. Тоді величина xz = (x + xy) – f(x, y) називається частинним приростом функції по х.

Можна записати

.

Тоді  називається частинною похідною функції z = f(x, y) по х.

Позначення:

Аналогічно визначається частинна похідна функції по y.

Геометричним змістом частинної похідної (наприклад ) є тангенс кута нахилу дотичної, проведеної в точці N0(x0, y0, z0) до перетину поверхні площиною y y0.

Повний приріст і повний диференціал.

Визначення. Для функції f(x, y) вираз z = f( x + x, y + y) – f(x, y) називається повним приростом.

Якщо функція f(x, y) має неперервні частинні похідні, то

Застосуємо теорему Лагранжа (див. Теорема Лагранжа.) до виразів, що стоять у квадратних дужках.

тут

Тоді одержуємо

Оскільки частинні похідні неперервні, то можна записати рівності:

Визначення. Вираз  називається повним приростом функції f(x, y) у деякій точці (х, у), де 1 і 2 – нескінченно малі функції при х  0 і y  0 відповідно.

Визначення: Повним диференціалом функції z = f(x, y) називається головна лінійна відносно х і у частина приросту функції z у точці (х, у).

Для функції довільного числа змінних:

Приклад. Знайти повний диференціал функції .

Приклад. Знайти повний диференціал функції

Геометричний зміст повного диференціала.

Дотична площина й нормаль до поверхні.

 нормаль

 N

  N0

 дотична площина

Нехай N і N0 – точки даної поверхні. Проведемо пряму NN0. Площина, що проходить через точку N0, називається дотичною площиною до поверхні, якщо кут між січної NN0 і цією площиною прямує до нуля, коли прямує до нуля відстань NN0.

Визначення. Нормаллю до поверхні в точці N0 називається пряма, що проходить через точку N0 перпендикулярно дотичній площини до цієї поверхні.

У будь-якій точці поверхня має або тільки одну дотичну площину, або не має її зовсім.

Якщо поверхня задана рівнянням z = f(x, y), де f(x, y) – функція, диференційована в точці М0(х0, y0), дотична площина в точці N0(x0,y0) існує й має рівняння:

.

Рівняння нормалі до поверхні в цій точці:

Геометричним змістом повного диференціала функції двох змінних f(x, y) у точці (х0, y0) є приріст аплікати (координати z) дотичної площини до поверхні при переході від точки (х0, y0) до точки (х0+х, y0+у).

Як видно, геометричний зміст повного диференціала функції двох змінних є просторовим аналогом геометричного змісту диференціала функції однієї змінної.

Приклад. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні

у точці М(1, 1, 1).

Рівняння дотичної площини:

Рівняння нормалі:

Наближені обчислення за допомогою повного диференціала.

Нехай функція f(x, y) диференційована в точці (х, у). Знайдемо повний приріст цієї функції:

Якщо підставити в цю формулу вираз

то одержимо наближену формулу:

Приклад. Обчислити приблизно значення , виходячи зі значення функції  при x = 1, y = 2, z = 1.

Із заданого виразу визначимо x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = – 0,01,

z = 1,02 – 1 = 0,02.

Знайдемо значення функції u(x, y, z) =

Знаходимо частинні похідні:

Повний диференціал функції u дорівнює:

Точне значення цього виразу: 1,049275225687319176.

Частинні похідні вищих порядків.

Якщо функція f (x, y) визначена в деякій області D, то її частки похідні  й  теж будуть визначені в тій же області або її частині.

Будемо називати ці похідні частинними похідними першого порядку.

Похідні цих функцій будуть частинними похідними другого порядку.

Продовжуючи диференціювати отримані рівності, одержимо частинні похідні вищих порядків.

Визначення. Частинні похідні виду  і далі називаються змішаними похідними.

Теорема. Якщо функція f(x, y) і її частинні похідні   визначені й неперервні в точці М(х, у) і її околі, то вірне співвідношення:

.

Тобто частинні похідні вищих порядків не залежать від порядку диференціювання.

Аналогічно визначаються диференціали вищих порядків.

…………………

Тут n – символічний ступінь похідної, на яку заміняється реальний ступінь після піднесення до нього виразу в дужках.

Екстремум функції декількох змінних.

Визначення. Якщо для функції z = f(x, y), визначеної в деякій області, у деякому околі точки М0(х0, y0) вірна нерівність

то точка М0 називається точкою максимуму.

Визначення. Якщо для функції z = f(x, y), визначеної в деякій області, у деякому околі точки М0(х0, y0) вірна нерівність

то точка М0 називається точкою мінімуму.

Теорема. (Необхідні умови екстремуму). 

Якщо функція f (x, y) у точці (х0, y0) має екстремум, то в цій точці або обидві її частинні похідні першого порядку дорівнюють нулю , або хоча б одна з них не існує.

Цю точку (х0, y0) будемо називати критичною точкою.

Теорема. (Достатні умови екстремуму). 

Нехай в околі критичної точки (х0, y0) функція f(x, y) має неперервні частинні похідні до другого порядку включно. Розглянемо вираз:

  1.  Якщо D (x0, y0) > 0, то в точці (х0, y0) функція f (x, y) має екстремум, якщо  – максимум, якщо  – мінімум.
  2.  Якщо D (x0, y0) < 0, то в точці (х0, y0) функція f (x, y) не має екстремуму. У випадку, якщо D = 0, висновок про наявність екстремуму зробити не можна.

Умовний екстремум.

Умовний екстремум знаходиться, коли змінні x і y, що входять у функцію u = f (xy), не є незалежними, тобто існує деяке співвідношення (х, у) = 0, що називається рівнянням зв'язку.

Тоді зі змінних х і y тільки одна буде незалежною, тому що інша може бути виражена через неї з рівняння зв'язку.

Тоді u = f (x, y(x)).

У точках екстремуму:

 (1)

Крім того:

 (2)

Помножимо рівність (2) на число і складемо з рівністю (1).

Для виконання цієї умови у всіх точках знайдемо невизначений коефіцієнт так, щоб виконувалася система трьох рівнянь:

Отримана система рівнянь є необхідними умовами умовного екстремуму. Однак ця умова не є достатньою. Тому при знаходженні критичних точок потрібно їхнє додаткове дослідження на екстремум.

Вираз u = f (x, y) + (x, y) називається функцією Лагранжа.

Приклад. Знайти екстремум функції f (x, y) = xy, якщо рівняння зв'язку:

2x + 3y – 5 = 0

Таким чином, функція має екстремум у точці .

Використання функції Лагранжа для знаходження точок екстремуму функції називається також методом множників Лагранжа.

Вище ми розглянули функцію двох змінних, однак, всі міркування щодо умовного екстремуму можуть бути поширені на функції більшого числа змінних.

Похідна за напрямком.

Розглянемо функцію u(x, y, z) у точці М( x, y, z) і точці М1(x + x, y + y, z + z).

Проведемо через точки М та М1 вектор . Кути нахилу цього вектора до напрямку координатних осей х, y, z позначимо відповідно , , . Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусами вектора .

Відстань між точками М та М1 на векторі  позначимо S.

Висловлені вище припущення, проілюструємо на малюнку:

z

M

 

 M1

 

 y

 x

Далі припустимо, що функція u(x, y, z) неперервна й має неперервні частинні похідні по змінним х, у і z. Тоді правомірно записати наступний вираз:

,

де величини 1, 2, 3 – нескінченно малі при .

З геометричних міркувань очевидно:

Таким чином, наведені вище рівності можуть бути представлені в такий спосіб:

;

Відзначимо, що величина s є скалярною. Вона лише визначає напрямок вектора .

Із цього рівняння випливає таке визначення:

Визначення: Границя  називається похідною функції u(x, y, z) за напрямком вектора  в точці з координатами (x, y, z).

Пояснимо значення викладених вище рівностей на прикладі.

Приклад. Обчислити похідну функції z = x2 + y2x у точці А(1, 2) за напрямком вектора . В (3, 0).

Розв’язання. Насамперед необхідно визначити координати вектора .

=(3 – 1; 0 – 2) = (2; – 2) = 2.

Далі визначаємо модуль цього вектора:

=

Знаходимо частинні похідні функції z у загальному вигляді:

Значення цих величин у точці А:

Для знаходження напрямних косинусів вектора  робимо наступні перетворення:

=

За величину  приймається довільний вектор, спрямований уздовж заданого вектора, тобто визначальний напрямок диференціювання.

Звідси одержуємо значення напрямних косинусів вектора :

cos = ; cos = –

Остаточно одержуємо:  – значення похідної заданої функції за напрямком вектора .

Градієнт.

Визначення: Якщо в деякій області D задана функція u = u (x, y, z) і деякий вектор, проекції якого на координатні осі дорівнюють значенням функції u у відповідній точці

,

те цей вектор називається градієнтом функції u.

При цьому говорять, що в області D задане поле градієнтів.

Зв'язок градієнта з похідною за напрямком.

Теорема: Нехай задана функція u = u(x, y, z) і поле градієнтів

.

Тоді похідна  за напрямком деякого вектора  рівна проекції вектора grad u на вектор .

Доведення: Розглянемо одиничний вектор  і деяку функцію u = u (x, y, z) і знайдемо скалярний добуток векторів  і grad u.

Вираз, що стоїть в правій частині цієї рівності є похідною функції u за напрямком s.

Тобто . Якщо кут між векторами grad u і  позначити через , той скалярний добуток можна записати у вигляді добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. З врахуванням того, що вектор  одиничний, тобто його модуль дорівнює одиниці, можна записати:

Вираз, що стоїть в правій частині цієї рівності і є проекцією вектора grad u на вектор .

Теорему доведено.

Для ілюстрації геометричного й фізичного змісту градієнта скажемо, що градієнт – вектор, що показує напрямок найшвидшої зміни деякого скалярного поля u у якійсь точці. У фізиці існують такі поняття як градієнт температури, градієнт тиску й т.п. Тобто напрямок градієнта є напрямком найбільш швидкого росту функції.

З погляду геометричного подання градієнт перпендикулярний поверхні рівня функції.

Кратні інтеграли.

Як відомо, інтегрування є процесом підсумовування. Однак підсумовування може проводитися неодноразово, що приводить нас до поняття кратних інтегралів. Розгляд цього питання почнемо з розгляду подвійних інтегралів.

Подвійні інтеграли.

Розглянемо на площині деяку замкнуту криву, рівняння якої f (x, y) = 0.

 y

0 x

Сукупність всіх точок, що лежать усередині кривої і на самій кривій назвемо замкнутою областю . Якщо вибрати точки області без врахування точок, що лежать на кривій, область буде називається незамкнутою областю .

З геометричної точки зору – площа фігури, обмеженої контуром.

Розіб'ємо область на n часткових областей сіткою прямих, що відстоять одна від одної по осі х на відстані хi, а по осі y – на уi. Загалом кажучи, такий порядок розбивки необов'язковий, можлива розбивка області на часткові ділянки довільної форми й розміру.

Одержуємо, що площа S ділиться на елементарні прямокутники, площі яких рівні Si = xi  yi.

У кожній частковій області візьмемо довільну точку Р(хi, yi) і складемо інтегральну суму

де f – функція неперервна й однозначна для всіх точок області .

Якщо нескінченно збільшувати кількість часткових областей i, тоді, очевидно, площа кожної часткової ділянки Si прямує до нуля.

Визначення: Якщо при прямуванні до нуля кроку розбивки області інтегральні суми  мають скінченну границю, то ця границя називається подвійним інтегралом від функції f(x, y) по області .

З врахуванням того, що Si = xi  yi одержуємо:

У наведенім вище записі є два знаки , тому що підсумовування виробляється по двох змінним х і y.

Оскільки ділення області інтегрування довільне, також довільний і вибір точок Рi, то, вважаючи всі площі Si однаковими, одержуємо формулу:

Умови існування подвійного інтеграла.

Сформулюємо достатні умови існування подвійного інтеграла.

Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області , то подвійний інтеграл  існує.

Теорема. Якщо функція f(x, y) обмежена в замкнутій області і неперервна в ній усюди, крім кінцевого числа кусково-гладких ліній, то подвійний інтеграл   існує.

Властивості подвійного інтеграла.

1)

2)

3) Якщо = 1 + 2, то

4) Теорема про середнє. Подвійний інтеграл від функції f (x, y) дорівнює добутку значення цієї функції в деякій точці області інтегрування на площу області інтегрування.

5) Якщо  в області , то .

6) Якщо , то .

7) .

Обчислення подвійного інтеграла.

Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області , обмеженої лініями х = a, x = b, (a < b), y = (x), y = (x), де  і неперервні функції і , тоді

 y y = (x)

 

 y = (x)

 a b x

Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область обмежена лініями: y = 0, y = x2, x = 2.

 y

4

 

0 2 x

=

=

Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області , обмеженої лініями y = c, y = d (c < d), x = (y), x = (y) (), то

Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область обмежена лініями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

 y

 y = x

2

 

1

0 x

Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область інтегрування обмежена лініями х = 0, х = y2, y = 2.

=

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл , якщо область інтегрування обмежена лініями ху=1, y = , х = 2.

  1.  

2.

3.

Заміна змінних у подвійному інтегралі.

Розглянемо подвійний інтеграл виду , де змінна х змінюється в границях від a до b, а змінна y – від 1(x) до 2(х).

Покладемо х = f(u, v); y = (u, v)

Тоді dx = ; dy = ;

оскільки при першому інтегруванні змінна х приймається за сталу, то dx = 0.

, тобто  

підставляючи цей вираз в записане вище співвідношення для dy, одержуємо:

Вираз   називається визначником Якобі або Якобіаном функцій f(u, <